Jika diskriminasi ialah nombor negatif. Persamaan kuadratik - contoh dengan penyelesaian, ciri dan formula

Dalam artikel ini kita akan melihat penyelesaian persamaan kuadratik tidak lengkap.

Tetapi pertama, mari kita ulang apa persamaan yang dipanggil kuadratik. Persamaan bentuk ax 2 + bx + c = 0, di mana x ialah pembolehubah, dan pekali a, b dan c ialah beberapa nombor, dan a ≠ 0, dipanggil segi empat sama. Seperti yang kita lihat, pekali untuk x 2 tidak sama dengan sifar, dan oleh itu pekali untuk x atau sebutan bebas boleh sama dengan sifar, dalam hal ini kita mendapat persamaan kuadratik yang tidak lengkap.

Terdapat tiga jenis persamaan kuadratik tidak lengkap:

1) Jika b = 0, c ≠ 0, maka ax 2 + c = 0;

2) Jika b ≠ 0, c = 0, maka ax 2 + bx = 0;

3) Jika b = 0, c = 0, maka ax 2 = 0.

• Mari kita fikirkan bagaimana untuk menyelesaikannya persamaan bentuk ax 2 + c = 0.

Untuk menyelesaikan persamaan, kita memindahkan sebutan bebas c ke sebelah kanan persamaan, kita dapat

ax 2 = ‒s. Oleh kerana a ≠ 0, kita bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan a, maka x 2 = ‒c/a.

Jika ‒с/а > 0, maka persamaan itu mempunyai dua punca

x = ±√(–c/a) .

Jika ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Mari kita cuba memahami dengan contoh bagaimana untuk menyelesaikan persamaan tersebut.

Contoh 1. Selesaikan persamaan 2x 2 ‒ 32 = 0.

Jawapan: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Contoh 2. Selesaikan persamaan 2x 2 + 8 = 0.

Jawapan: persamaan tidak mempunyai penyelesaian.

• Mari kita fikirkan bagaimana untuk menyelesaikannya persamaan bentuk ax 2 + bx = 0.

Untuk menyelesaikan persamaan ax 2 + bx = 0, mari kita memfaktorkannya, iaitu, ambil x daripada kurungan, kita dapat x(ax + b) = 0. Hasil darab adalah sama dengan sifar jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama. kepada sifar. Kemudian sama ada x = 0, atau ax + b = 0. Menyelesaikan persamaan ax + b = 0, kita dapat ax = - b, dari mana x = - b/a. Persamaan bentuk ax 2 + bx = 0 sentiasa mempunyai dua punca x 1 = 0 dan x 2 = ‒ b/a. Lihat rupa penyelesaian kepada persamaan jenis ini dalam rajah.

Mari kita satukan pengetahuan kita dengan contoh khusus.

Contoh 3. Selesaikan persamaan 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 atau 3x – 12 = 0

Jawapan: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Persamaan jenis ketiga ax 2 = 0 diselesaikan dengan sangat mudah.

Jika ax 2 = 0, maka x 2 = 0. Persamaan mempunyai dua punca yang sama x 1 = 0, x 2 = 0.

Untuk kejelasan, mari lihat gambar rajah.

Marilah kita pastikan semasa menyelesaikan Contoh 4 bahawa persamaan jenis ini boleh diselesaikan dengan sangat mudah.

Contoh 4. Selesaikan persamaan 7x 2 = 0.

Jawapan: x 1, 2 = 0.

Ia tidak selalu jelas dengan segera jenis persamaan kuadratik tidak lengkap yang perlu kita selesaikan. Pertimbangkan contoh berikut.

Contoh 5. Selesaikan persamaan

Mari kita darab kedua-dua belah persamaan dengan penyebut sepunya, iaitu, dengan 30

Mari kita mengurangkannya

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

Jom buka kurungan

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

Mari kita berikan yang serupa

Mari kita gerakkan 99 dari sebelah kiri persamaan ke kanan, menukar tanda ke sebaliknya

Jawapan: tiada akar.

Kami melihat bagaimana persamaan kuadratik tidak lengkap diselesaikan. Saya berharap bahawa sekarang anda tidak akan menghadapi sebarang kesulitan dengan tugas-tugas tersebut. Berhati-hati apabila menentukan jenis persamaan kuadratik yang tidak lengkap, maka anda akan berjaya.

Jika anda mempunyai soalan mengenai topik ini, daftarlah untuk pelajaran saya, kami akan menyelesaikan masalah yang timbul bersama-sama.

laman web, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber diperlukan.

Dengan cara yang lebih mudah. Untuk melakukan ini, letakkan z daripada kurungan. Anda akan mendapat: z(аz + b) = 0. Faktor boleh ditulis: z=0 dan аz + b = 0, kerana kedua-duanya boleh menghasilkan sifar. Dalam notasi az + b = 0, kita gerakkan yang kedua ke kanan dengan tanda yang berbeza. Dari sini kita dapat z1 = 0 dan z2 = -b/a. Ini adalah akar asal.

Jika terdapat persamaan yang tidak lengkap dalam bentuk az² + c = 0, dalam kes ini ia didapati dengan hanya memindahkan sebutan bebas ke sebelah kanan persamaan. Tukar juga tandanya. Hasilnya ialah az² = -с. Ungkapkan z² = -c/a. Ambil punca dan tulis dua penyelesaian - punca kuasa dua positif dan negatif.

Nota

Jika terdapat pekali pecahan dalam persamaan, darabkan keseluruhan persamaan dengan faktor yang sesuai untuk menyingkirkan pecahan tersebut.

Pengetahuan tentang cara menyelesaikan persamaan kuadratik adalah perlu untuk kedua-dua pelajar sekolah dan pelajar kadang-kadang ini juga boleh membantu orang dewasa dalam kehidupan seharian. Terdapat beberapa kaedah penyelesaian khusus.

Menyelesaikan Persamaan Kuadratik

Untuk menyelesaikan persamaan ini, perlu menggunakan teorem Vieta atau mencari diskriminasi. Kaedah yang paling biasa ialah mencari diskriminasi, kerana untuk beberapa nilai a, b, c tidak mungkin untuk menggunakan teorem Vieta.

Untuk mencari diskriminasi (D), anda perlu menulis formula D=b^2 - 4*a*c. Nilai D boleh lebih besar daripada, kurang daripada, atau sama dengan sifar. Jika D lebih besar atau kurang daripada sifar, maka akan ada dua punca, jika D = 0, maka hanya satu punca yang tinggal dengan lebih tepat, kita boleh mengatakan bahawa D dalam kes ini mempunyai dua punca yang setara. Gantikan pekali a, b, c yang diketahui ke dalam formula dan hitung nilainya.

Selepas anda menemui diskriminasi, gunakan formula untuk mencari x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, dengan sqrt ialah fungsi yang bermaksud mengambil punca kuasa dua nombor yang diberikan. Selepas mengira ungkapan ini, anda akan menemui dua punca persamaan anda, selepas itu persamaan dianggap diselesaikan.

Jika D kurang daripada sifar, maka ia masih mempunyai punca. Bahagian ini boleh dikatakan tidak dipelajari di sekolah. Pelajar universiti harus sedar bahawa nombor negatif muncul di bawah akar. Mereka menyingkirkannya dengan menyerlahkan bahagian khayalan, iaitu, -1 di bawah akar sentiasa sama dengan unsur khayalan "i", yang didarabkan dengan punca dengan nombor positif yang sama. Sebagai contoh, jika D=sqrt(-20), selepas penjelmaan kita mendapat D=sqrt(20)*i. Selepas penjelmaan ini, penyelesaian persamaan dikurangkan kepada penemuan punca yang sama seperti yang diterangkan di atas.

Teorem Vieta terdiri daripada memilih nilai x(1) dan x(2). Dua persamaan yang sama digunakan: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Selain itu, satu titik yang sangat penting ialah tanda di hadapan pekali b; ingat bahawa tanda ini adalah bertentangan dengan satu dalam persamaan. Pada pandangan pertama, nampaknya pengiraan x(1) dan x(2) adalah sangat mudah, tetapi apabila menyelesaikan, anda akan berhadapan dengan hakikat bahawa anda perlu memilih nombor.

Elemen menyelesaikan persamaan kuadratik

Juga, jangan lupa tentang persamaan kuadratik yang tidak lengkap. Anda mungkin kehilangan beberapa istilah jika ya, maka semua pekalinya adalah sama dengan sifar. Jika tiada apa-apa di hadapan x^2 atau x, maka pekali a dan b adalah sama dengan 1.

Kami terus mengkaji topik itu " menyelesaikan persamaan" Kami telah membiasakan diri dengan persamaan linear dan beralih kepada membiasakan diri dengan persamaan kuadratik.

Pertama, kita akan melihat apakah persamaan kuadratik, bagaimana ia ditulis dalam bentuk umum, dan memberikan definisi yang berkaitan. Selepas ini, kami akan menggunakan contoh untuk mengkaji secara terperinci bagaimana persamaan kuadratik tidak lengkap diselesaikan. Seterusnya, kita akan beralih kepada menyelesaikan persamaan lengkap, mendapatkan formula punca, berkenalan dengan diskriminasi persamaan kuadratik, dan mempertimbangkan penyelesaian kepada contoh biasa. Akhir sekali, mari kita mengesan hubungan antara akar dan pekali.

Navigasi halaman.

Apakah persamaan kuadratik? Jenis mereka

Mula-mula anda perlu memahami dengan jelas apa itu persamaan kuadratik. Oleh itu, adalah logik untuk memulakan perbualan tentang persamaan kuadratik dengan definisi persamaan kuadratik, serta definisi yang berkaitan. Selepas ini, anda boleh mempertimbangkan jenis utama persamaan kuadratik: dikurangkan dan tidak dikurangkan, serta persamaan lengkap dan tidak lengkap.

Definisi dan contoh persamaan kuadratik

Definisi.

Persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk a x 2 +b x+c=0, di mana x ialah pembolehubah, a, b dan c ialah beberapa nombor, dan a ialah bukan sifar.

Katakan segera bahawa persamaan kuadratik sering dipanggil persamaan darjah kedua. Ini disebabkan oleh fakta bahawa persamaan kuadratik adalah persamaan algebra ijazah kedua.

Takrifan yang dinyatakan membolehkan kita memberikan contoh persamaan kuadratik. Jadi 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, dsb. Ini adalah persamaan kuadratik.

Definisi.

Nombor a, b dan c dipanggil pekali persamaan kuadratik a·x 2 +b·x+c=0, dan pekali a dipanggil pertama, atau tertinggi, atau pekali x 2, b ialah pekali kedua, atau pekali x, dan c ialah sebutan bebas .

Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadratik dalam bentuk 5 x 2 −2 x −3=0, di sini pekali pendahulu ialah 5, pekali kedua bersamaan dengan −2, dan sebutan bebas adalah sama dengan -3. Sila ambil perhatian bahawa apabila pekali b dan/atau c adalah negatif, seperti dalam contoh yang diberi, bentuk pendek persamaan kuadratik ialah 5 x 2 −2 x−3=0 , bukannya 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Perlu diingat bahawa apabila pekali a dan/atau b adalah sama dengan 1 atau -1, ia biasanya tidak hadir secara eksplisit dalam persamaan kuadratik, yang disebabkan oleh keanehan penulisan seperti . Contohnya, dalam persamaan kuadratik y 2 −y+3=0 pekali pendahulu ialah satu, dan pekali y adalah sama dengan -1.

Persamaan kuadratik terkurang dan tidak terkurang

Bergantung pada nilai pekali utama, persamaan kuadratik terkurang dan tidak terkurang dibezakan. Mari kita berikan definisi yang sepadan.

Definisi.

Persamaan kuadratik di mana pekali pendahuluan ialah 1 dipanggil persamaan kuadratik yang diberikan. Jika tidak, persamaan kuadratik ialah tidak disentuh.

Mengikut takrifan ini, persamaan kuadratik x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, dsb. – diberikan, dalam setiap daripada mereka pekali pertama adalah sama dengan satu. A 5 x 2 −x−1=0, dsb. - persamaan kuadratik tidak dikurangkan, pekali utamanya berbeza daripada 1.

Daripada mana-mana persamaan kuadratik yang tidak dikurangkan, dengan membahagikan kedua-dua belah dengan pekali pendahulu, anda boleh pergi ke yang dikurangkan. Tindakan ini ialah penjelmaan setara, iaitu, persamaan kuadratik terkurang yang diperoleh dengan cara ini mempunyai punca yang sama seperti persamaan kuadratik tak terkurang asal, atau, seperti itu, tidak mempunyai punca.

Mari kita lihat contoh bagaimana peralihan daripada persamaan kuadratik tidak dikurangkan kepada persamaan dikurangkan dilakukan.

Contoh.

Daripada persamaan 3 x 2 +12 x−7=0, pergi ke persamaan kuadratik terkurang yang sepadan.

Penyelesaian.

Kita hanya perlu membahagikan kedua-dua belah persamaan asal dengan pekali pendahulu 3, ia bukan sifar, jadi kita boleh melakukan tindakan ini. Kami mempunyai (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, yang sama, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, dan kemudian (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, dari mana . Ini adalah bagaimana kita memperoleh persamaan kuadratik terkurang, yang bersamaan dengan yang asal.

Jawapan:

Persamaan kuadratik lengkap dan tidak lengkap

Takrif persamaan kuadratik mengandungi keadaan a≠0. Keadaan ini perlu supaya persamaan a x 2 + b x + c = 0 adalah kuadratik, kerana apabila a = 0 ia sebenarnya menjadi persamaan linear bentuk b x + c = 0.

Bagi pekali b dan c, ia boleh sama dengan sifar, secara individu dan bersama. Dalam kes ini, persamaan kuadratik dipanggil tidak lengkap.

Definisi.

Persamaan kuadratik a x 2 +b x+c=0 dipanggil tidak lengkap, jika sekurang-kurangnya satu daripada pekali b, c adalah sama dengan sifar.

Pada gilirannya

Definisi.

Persamaan kuadratik lengkap ialah persamaan di mana semua pekali adalah berbeza daripada sifar.

Nama sedemikian tidak diberikan secara kebetulan. Ini akan menjadi jelas daripada perbincangan berikut.

Jika pekali b ialah sifar, maka persamaan kuadratik mengambil bentuk a·x 2 +0·x+c=0, dan ia bersamaan dengan persamaan a·x 2 +c=0. Jika c=0, iaitu persamaan kuadratik mempunyai bentuk a·x 2 +b·x+0=0, maka ia boleh ditulis semula sebagai a·x 2 +b·x=0. Dan dengan b=0 dan c=0 kita mendapat persamaan kuadratik a·x 2 =0. Persamaan yang terhasil berbeza daripada persamaan kuadratik lengkap kerana bahagian kirinya tidak mengandungi sama ada sebutan dengan pembolehubah x, atau sebutan bebas, atau kedua-duanya. Oleh itu nama mereka - persamaan kuadratik tidak lengkap.

Jadi persamaan x 2 +x+1=0 dan −2 x 2 −5 x+0.2=0 ialah contoh persamaan kuadratik lengkap, dan x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 ialah persamaan kuadratik tidak lengkap.

Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap

Daripada maklumat dalam perenggan sebelum ini ia berikutan bahawa terdapat tiga jenis persamaan kuadratik tidak lengkap:

• a·x 2 =0, pekali b=0 dan c=0 sepadan dengannya;
• a x 2 +c=0 apabila b=0 ;
• dan a·x 2 +b·x=0 apabila c=0.

Mari kita periksa mengikut urutan bagaimana persamaan kuadratik tidak lengkap bagi setiap jenis ini diselesaikan.

a x 2 =0

Mari kita mulakan dengan menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap di mana pekali b dan c adalah sama dengan sifar, iaitu, dengan persamaan bentuk a x 2 =0. Persamaan a·x 2 =0 adalah bersamaan dengan persamaan x 2 =0, yang diperoleh daripada yang asal dengan membahagikan kedua-dua bahagian dengan nombor bukan sifar a. Jelas sekali, punca persamaan x 2 =0 ialah sifar, kerana 0 2 =0. Persamaan ini tidak mempunyai punca lain, yang dijelaskan oleh fakta bahawa bagi mana-mana nombor bukan sifar p ketaksamaan p 2 >0 berlaku, yang bermaksud bahawa untuk p≠0 kesamaan p 2 =0 tidak pernah dicapai.

Jadi, persamaan kuadratik tidak lengkap a·x 2 =0 mempunyai punca tunggal x=0.

Sebagai contoh, kami memberikan penyelesaian kepada persamaan kuadratik tidak lengkap −4 x 2 =0. Ia bersamaan dengan persamaan x 2 =0, punca tunggalnya ialah x=0, oleh itu, persamaan asal mempunyai sifar punca tunggal.

Penyelesaian ringkas dalam kes ini boleh ditulis seperti berikut:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Sekarang mari kita lihat bagaimana persamaan kuadratik tidak lengkap diselesaikan di mana pekali b ialah sifar dan c≠0, iaitu persamaan bentuk a x 2 +c=0. Kita tahu bahawa memindahkan sebutan dari satu sisi persamaan ke yang lain dengan tanda bertentangan, serta membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan nombor bukan sifar, memberikan persamaan yang setara. Oleh itu, kita boleh menjalankan transformasi setara berikut bagi persamaan kuadratik tidak lengkap a x 2 +c=0:

• gerakkan c ke sebelah kanan, yang memberikan persamaan a x 2 =−c,
• dan bahagikan kedua-dua belah dengan a, kita dapat .

Persamaan yang terhasil membolehkan kita membuat kesimpulan tentang puncanya. Bergantung pada nilai a dan c, nilai ungkapan boleh menjadi negatif (contohnya, jika a=1 dan c=2, maka ) atau positif (contohnya, jika a=−2 dan c=6, maka ), ia tidak sama dengan sifar , kerana mengikut keadaan c≠0. Mari lihat kes secara berasingan.

Jika , maka persamaan itu tidak mempunyai punca. Pernyataan ini berikutan fakta bahawa kuasa dua mana-mana nombor ialah nombor bukan negatif. Ia berikutan daripada ini bahawa apabila , maka untuk sebarang nombor p kesamaan tidak boleh benar.

Jika , maka keadaan dengan punca-punca persamaan adalah berbeza. Dalam kes ini, jika kita ingat tentang , maka punca persamaan serta-merta menjadi jelas; Sangat mudah untuk meneka bahawa nombor itu juga merupakan punca persamaan, sememangnya, . Persamaan ini tidak mempunyai punca lain, yang boleh ditunjukkan, sebagai contoh, dengan percanggahan. Mari lakukannya.

Mari kita nyatakan punca-punca persamaan yang baru diumumkan sebagai x 1 dan −x 1 . Katakan persamaan itu mempunyai satu lagi punca x 2, berbeza daripada punca yang ditunjukkan x 1 dan −x 1. Adalah diketahui bahawa menggantikan puncanya kepada persamaan dan bukannya x menjadikan persamaan itu menjadi kesamaan berangka yang betul. Untuk x 1 dan −x 1 kita ada , dan untuk x 2 kita ada . Sifat kesamaan berangka membolehkan kita melakukan penolakan sebutan demi sebutan bagi kesamaan berangka yang betul, jadi penolakan bahagian yang sepadan bagi kesamaan itu menghasilkan x 1 2 −x 2 2 =0. Sifat operasi dengan nombor membolehkan kita menulis semula kesamaan yang terhasil sebagai (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Kita tahu bahawa hasil darab dua nombor adalah sama dengan sifar jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripadanya sama dengan sifar. Oleh itu, daripada kesamaan yang terhasil ia mengikuti bahawa x 1 −x 2 =0 dan/atau x 1 +x 2 =0, iaitu sama, x 2 =x 1 dan/atau x 2 =−x 1. Jadi kita sampai kepada percanggahan, kerana pada mulanya kita mengatakan bahawa punca persamaan x 2 adalah berbeza daripada x 1 dan −x 1. Ini membuktikan bahawa persamaan tidak mempunyai punca selain dan .

Mari kita ringkaskan maklumat dalam perenggan ini. Persamaan kuadratik tidak lengkap a x 2 +c=0 adalah bersamaan dengan persamaan yang

• tidak mempunyai akar jika ,
• mempunyai dua punca dan , jika .

Mari kita pertimbangkan contoh penyelesaian persamaan kuadratik tidak lengkap dalam bentuk a·x 2 +c=0.

Mari kita mulakan dengan persamaan kuadratik 9 x 2 +7=0. Selepas memindahkan sebutan bebas ke sebelah kanan persamaan, ia akan mengambil bentuk 9 x 2 =−7. Membahagikan kedua-dua belah persamaan yang terhasil dengan 9, kita tiba di . Oleh kerana bahagian kanan mempunyai nombor negatif, persamaan ini tidak mempunyai punca, oleh itu, persamaan kuadratik tidak lengkap asal 9 x 2 +7 = 0 tidak mempunyai punca.

Mari kita selesaikan satu lagi persamaan kuadratik tidak lengkap −x 2 +9=0. Kami memindahkan sembilan ke sebelah kanan: −x 2 =−9. Sekarang kita bahagikan kedua-dua belah dengan -1, kita dapat x 2 =9. Di sebelah kanan terdapat nombor positif, dari mana kita membuat kesimpulan bahawa atau . Kemudian kita tuliskan jawapan akhir: persamaan kuadratik tidak lengkap −x 2 +9=0 mempunyai dua punca x=3 atau x=−3.

a x 2 +b x=0

Ia kekal untuk menangani penyelesaian jenis terakhir persamaan kuadratik tidak lengkap untuk c=0. Persamaan kuadratik yang tidak lengkap dalam bentuk a x 2 + b x = 0 membolehkan anda menyelesaikannya kaedah pemfaktoran. Jelas sekali, kita boleh, terletak di sebelah kiri persamaan, yang cukup untuk mengambil faktor sepunya x daripada kurungan. Ini membolehkan kita beralih daripada persamaan kuadratik tak lengkap asal kepada persamaan setara dalam bentuk x·(a·x+b)=0. Dan persamaan ini bersamaan dengan satu set dua persamaan x=0 dan a·x+b=0, yang kedua adalah linear dan mempunyai punca x=−b/a.

Jadi, persamaan kuadratik tidak lengkap a·x 2 +b·x=0 mempunyai dua punca x=0 dan x=−b/a.

Untuk menyatukan bahan, kami akan menganalisis penyelesaian kepada contoh tertentu.

Contoh.

Selesaikan persamaan.

Penyelesaian.

Mengambil x daripada kurungan memberikan persamaan . Ia bersamaan dengan dua persamaan x=0 dan . Kami menyelesaikan persamaan linear yang terhasil: , dan dengan membahagikan nombor bercampur dengan pecahan biasa, kami dapati . Oleh itu, punca-punca persamaan asal ialah x=0 dan .

Selepas mendapat amalan yang diperlukan, penyelesaian kepada persamaan tersebut boleh ditulis secara ringkas:

Jawapan:

x=0 , .

Diskriminasi, formula untuk punca-punca persamaan kuadratik

Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, terdapat formula punca. Mari kita menulisnya formula untuk punca-punca persamaan kuadratik: , Di mana D=b 2 −4 a c- kononnya diskriminasi bagi persamaan kuadratik. Entri itu pada dasarnya bermaksud bahawa .

Adalah berguna untuk mengetahui bagaimana formula punca diperoleh dan bagaimana ia digunakan dalam mencari punca persamaan kuadratik. Mari kita fikirkan perkara ini.

Terbitan rumus bagi punca-punca persamaan kuadratik

Mari kita perlu menyelesaikan persamaan kuadratik a·x 2 +b·x+c=0. Mari lakukan beberapa transformasi yang setara:

• Kita boleh membahagikan kedua-dua belah persamaan ini dengan nombor bukan sifar a, menghasilkan persamaan kuadratik berikut.
• Sekarang pilih petak lengkap di sebelah kirinya: . Selepas ini, persamaan akan mengambil bentuk .
• Pada peringkat ini, adalah mungkin untuk memindahkan dua istilah terakhir ke sebelah kanan dengan tanda bertentangan, kita ada .
• Dan mari juga mengubah ungkapan di sebelah kanan: .

Hasilnya, kita sampai pada persamaan yang setara dengan persamaan kuadratik asal a·x 2 +b·x+c=0.

Kami telah menyelesaikan persamaan yang serupa dalam bentuk dalam perenggan sebelumnya, apabila kami meneliti. Ini membolehkan kita membuat kesimpulan berikut mengenai punca-punca persamaan:

• jika , maka persamaan tidak mempunyai penyelesaian sebenar;
• jika , maka persamaan itu mempunyai bentuk , oleh itu, , yang daripadanya satu-satunya puncanya kelihatan;
• jika , maka atau , yang sama dengan atau , iaitu persamaan mempunyai dua punca.

Oleh itu, kehadiran atau ketiadaan punca persamaan, dan oleh itu persamaan kuadratik asal, bergantung pada tanda ungkapan di sebelah kanan. Sebaliknya, tanda ungkapan ini ditentukan oleh tanda pengangka, kerana penyebut 4·a 2 sentiasa positif, iaitu, dengan tanda ungkapan b 2 −4·a·c. Ungkapan ini b 2 −4 a c dipanggil diskriminasi bagi persamaan kuadratik dan ditetapkan oleh surat itu D. Dari sini intipati diskriminasi adalah jelas - berdasarkan nilai dan tandanya, mereka membuat kesimpulan sama ada persamaan kuadratik mempunyai punca sebenar, dan jika ya, apakah nombor mereka - satu atau dua.

Mari kita kembali kepada persamaan dan tulis semula menggunakan tatatanda diskriminasi: . Dan kami membuat kesimpulan:

• jika D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• jika D=0, maka persamaan ini mempunyai punca tunggal;
• akhirnya, jika D>0, maka persamaan itu mempunyai dua punca atau, yang boleh ditulis semula dalam bentuk atau, dan selepas mengembangkan dan membawa pecahan kepada penyebut biasa yang kita perolehi.

Jadi kami memperoleh formula untuk punca persamaan kuadratik, ia kelihatan seperti , di mana diskriminasi D dikira oleh formula D=b 2 −4·a·c.

Dengan bantuan mereka, dengan diskriminasi positif, anda boleh mengira kedua-dua punca sebenar persamaan kuadratik. Apabila diskriminasi adalah sama dengan sifar, kedua-dua formula memberikan nilai punca yang sama, sepadan dengan penyelesaian unik kepada persamaan kuadratik. Dan dengan diskriminasi negatif, apabila cuba menggunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik, kita berhadapan dengan mengekstrak punca kuasa dua nombor negatif, yang membawa kita di luar skop kurikulum sekolah. Dengan diskriminasi negatif, persamaan kuadratik tidak mempunyai punca sebenar, tetapi mempunyai pasangan konjugat kompleks akar, yang boleh didapati menggunakan formula akar yang sama yang kami perolehi.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan rumus punca

Dalam amalan, apabila menyelesaikan persamaan kuadratik, anda boleh segera menggunakan formula akar untuk mengira nilainya. Tetapi ini lebih berkaitan dengan mencari akar yang kompleks.

Walau bagaimanapun, dalam kursus algebra sekolah kita biasanya bercakap bukan tentang kompleks, tetapi tentang punca sebenar persamaan kuadratik. Dalam kes ini, adalah dinasihatkan, sebelum menggunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik, terlebih dahulu mencari diskriminasi, pastikan ia bukan negatif (jika tidak, kita boleh membuat kesimpulan bahawa persamaan itu tidak mempunyai punca sebenar), dan hanya kemudian mengira nilai akar.

Alasan di atas membolehkan kita menulis algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik a x 2 +b x+c=0, anda perlu:

• menggunakan formula diskriminasi D=b 2 −4·a·c, hitung nilainya;
• membuat kesimpulan bahawa persamaan kuadratik tidak mempunyai punca sebenar jika diskriminasi adalah negatif;
• hitung satu-satunya punca persamaan menggunakan formula jika D=0;
• cari dua punca nyata bagi persamaan kuadratik menggunakan formula punca jika diskriminasinya positif.

Di sini kami hanya ambil perhatian bahawa jika diskriminasi adalah sama dengan sifar, anda juga boleh menggunakan formula itu akan memberikan nilai yang sama seperti .

Anda boleh beralih kepada contoh menggunakan algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

Contoh penyelesaian persamaan kuadratik

Mari kita pertimbangkan penyelesaian kepada tiga persamaan kuadratik dengan diskriminasi positif, negatif dan sifar. Setelah menangani penyelesaian mereka, dengan analogi adalah mungkin untuk menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik lain. Mari kita mulakan.

Contoh.

Cari punca-punca persamaan x 2 +2·x−6=0.

Penyelesaian.

Dalam kes ini, kita mempunyai pekali persamaan kuadratik berikut: a=1, b=2 dan c=−6. Menurut algoritma, pertama anda perlu mengira diskriminasi; untuk melakukan ini, kami menggantikan a, b dan c yang ditunjukkan ke dalam formula diskriminasi, yang kami ada D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Oleh kerana 28>0, iaitu, diskriminasi lebih besar daripada sifar, persamaan kuadratik mempunyai dua punca nyata. Mari cari mereka menggunakan formula akar, kita dapat , di sini anda boleh memudahkan ungkapan yang terhasil dengan melakukan menggerakkan pengganda melebihi tanda akar diikuti dengan pengurangan pecahan:

Jawapan:

Mari kita beralih kepada contoh tipikal seterusnya.

Contoh.

Selesaikan persamaan kuadratik −4 x 2 +28 x−49=0 .

Penyelesaian.

Kita mulakan dengan mencari diskriminasi: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Oleh itu, persamaan kuadratik ini mempunyai punca tunggal, yang kita dapati sebagai , iaitu,

Jawapan:

x=3.5.

Ia kekal untuk mempertimbangkan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan diskriminasi negatif.

Contoh.

Selesaikan persamaan 5·y 2 +6·y+2=0.

Penyelesaian.

Berikut ialah pekali bagi persamaan kuadratik: a=5, b=6 dan c=2. Kami menggantikan nilai-nilai ini ke dalam formula diskriminasi, yang kami ada D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminasi adalah negatif, oleh itu, persamaan kuadratik ini tidak mempunyai punca sebenar.

Jika anda perlu menunjukkan punca kompleks, maka kami menggunakan formula yang terkenal untuk punca persamaan kuadratik, dan lakukan operasi dengan nombor kompleks:

Jawapan:

tiada akar sebenar, akar kompleks ialah: .

Mari kita perhatikan sekali lagi bahawa jika diskriminasi persamaan kuadratik adalah negatif, maka di sekolah mereka biasanya segera menulis jawapan di mana mereka menunjukkan bahawa tidak ada punca sebenar, dan punca kompleks tidak dijumpai.

Formula akar untuk pekali kedua genap

Formula untuk punca-punca persamaan kuadratik, di mana D=b 2 −4·a·c membolehkan anda memperoleh formula bentuk yang lebih padat, membolehkan anda menyelesaikan persamaan kuadratik dengan pekali genap untuk x (atau hanya dengan pekali yang mempunyai bentuk 2·n, sebagai contoh, atau 14· ln5=2·7·ln5 ). Mari kita bawa dia keluar.

Katakan kita perlu menyelesaikan persamaan kuadratik dalam bentuk a x 2 +2 n x+c=0. Mari cari puncanya menggunakan formula yang kita tahu. Untuk melakukan ini, kami mengira diskriminasi D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), dan kemudian kami menggunakan formula akar:

Mari kita nyatakan ungkapan n 2 −a c sebagai D 1 (kadangkala ia dilambangkan D "). Kemudian formula untuk punca-punca persamaan kuadratik yang dipertimbangkan dengan pekali kedua 2 n akan mengambil bentuk , dengan D 1 =n 2 −a·c.

Adalah mudah untuk melihat bahawa D=4·D 1, atau D 1 =D/4. Dalam erti kata lain, D 1 ialah bahagian keempat diskriminasi. Jelas bahawa tanda D 1 adalah sama dengan tanda D . Iaitu, tanda D 1 juga merupakan penunjuk kehadiran atau ketiadaan punca-punca persamaan kuadratik.

Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan pekali kedua 2·n, anda perlukan

• Kira D 1 =n 2 −a·c ;
• Jika D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Jika D 1 =0, maka kira satu-satunya punca persamaan menggunakan formula;
• Jika D 1 >0, maka cari dua punca nyata menggunakan rumus.

Mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan contoh menggunakan formula akar yang diperolehi dalam perenggan ini.

Contoh.

Selesaikan persamaan kuadratik 5 x 2 −6 x −32=0 .

Penyelesaian.

Pekali kedua persamaan ini boleh diwakili sebagai 2·(−3) . Iaitu, anda boleh menulis semula persamaan kuadratik asal dalam bentuk 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, di sini a=5, n=−3 dan c=−32, dan hitung bahagian keempat daripada diskriminasi: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Oleh kerana nilainya positif, persamaan mempunyai dua punca nyata. Mari cari mereka menggunakan formula akar yang sesuai:

Ambil perhatian bahawa adalah mungkin untuk menggunakan formula biasa untuk punca-punca persamaan kuadratik, tetapi dalam kes ini lebih banyak kerja pengiraan perlu dilakukan.

Jawapan:

Mempermudahkan bentuk persamaan kuadratik

Kadang-kadang, sebelum mula mengira punca persamaan kuadratik menggunakan formula, tidak ada salahnya untuk bertanya soalan: "Adakah mungkin untuk memudahkan bentuk persamaan ini?" Setuju bahawa dari segi pengiraan adalah lebih mudah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik 11 x 2 −4 x−6=0 daripada 1100 x 2 −400 x−600=0.

Lazimnya, memudahkan bentuk persamaan kuadratik dicapai dengan mendarab atau membahagi kedua-dua belah dengan nombor tertentu. Sebagai contoh, dalam perenggan sebelumnya adalah mungkin untuk memudahkan persamaan 1100 x 2 −400 x −600=0 dengan membahagikan kedua-dua belah dengan 100.

Penjelmaan yang serupa dilakukan dengan persamaan kuadratik, pekalinya bukan . Dalam kes ini, kedua-dua belah persamaan biasanya dibahagikan dengan nilai mutlak pekalinya. Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadratik 12 x 2 −42 x+48=0. nilai mutlak pekalinya: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Membahagikan kedua-dua belah persamaan kuadratik asal dengan 6, kita sampai pada persamaan kuadratik setara 2 x 2 −7 x+8=0.

Dan mendarab kedua-dua belah persamaan kuadratik biasanya dilakukan untuk menyingkirkan pekali pecahan. Dalam kes ini, pendaraban dijalankan oleh penyebut pekalinya. Sebagai contoh, jika kedua-dua belah persamaan kuadratik didarab dengan LCM(6, 3, 1)=6, maka ia akan mengambil bentuk yang lebih mudah x 2 +4·x−18=0.

Sebagai kesimpulan daripada perkara ini, kita perhatikan bahawa mereka hampir selalu menyingkirkan tolak pada pekali tertinggi persamaan kuadratik dengan menukar tanda-tanda semua sebutan, yang sepadan dengan mendarab (atau membahagi) kedua-dua belah dengan -1. Sebagai contoh, biasanya seseorang bergerak dari persamaan kuadratik −2 x 2 −3 x+7=0 kepada penyelesaian 2 x 2 +3 x−7=0 .

Hubungan antara punca dan pekali persamaan kuadratik

Formula untuk punca-punca persamaan kuadratik menyatakan punca-punca persamaan melalui pekalinya. Berdasarkan formula akar, anda boleh mendapatkan hubungan lain antara akar dan pekali.

Formula yang paling terkenal dan terpakai daripada teorem Vieta adalah dalam bentuk dan . Khususnya, untuk persamaan kuadratik yang diberikan, jumlah punca adalah sama dengan pekali kedua dengan tanda yang bertentangan, dan hasil darab akar adalah sama dengan sebutan bebas. Sebagai contoh, dengan melihat bentuk persamaan kuadratik 3 x 2 −7 x + 22 = 0, kita boleh dengan serta-merta mengatakan bahawa jumlah puncanya adalah sama dengan 7/3, dan hasil darab akar-akarnya adalah sama dengan 22 /3.

Dengan menggunakan formula yang telah ditulis, anda boleh mendapatkan beberapa sambungan lain antara punca dan pekali persamaan kuadratik. Sebagai contoh, anda boleh menyatakan jumlah kuasa dua punca persamaan kuadratik melalui pekalinya: .

Bibliografi.

• Algebra: buku teks untuk darjah 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; diedit oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. Gred 8. Dalam 2 jam Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan am / A. G. Mordkovich. - ed. ke-11, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.

Mari kita pertimbangkan masalahnya. Tapak segi empat tepat adalah 10 cm lebih besar daripada ketinggiannya, dan luasnya ialah 24 cm². Cari ketinggian segi empat tepat itu. biarlah X sentimeter ialah ketinggian segi empat tepat, maka tapaknya adalah sama dengan ( X+10) cm Luas segi empat tepat ini ialah X(X+ 10) cm². Mengikut keadaan masalah X(X+ 10) = 24. Membuka kurungan dan menggerakkan nombor 24 dengan tanda bertentangan ke sebelah kiri persamaan, kita dapat: X² + 10 X-24 = 0. Apabila menyelesaikan masalah ini, satu persamaan telah diperolehi yang dipanggil kuadratik.

Persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk

kapak ²+ bx+c= 0

di mana a, b, c- nombor yang diberikan, dan A≠ 0, dan X- tidak diketahui.

Kemungkinan a, b, c Persamaan kuadratik biasanya dipanggil: a- pekali pertama atau tertinggi, b- pekali kedua, c- ahli percuma. Sebagai contoh, dalam masalah kita, pekali utama ialah 1, pekali kedua ialah 10, dan sebutan bebas ialah -24. Menyelesaikan banyak masalah dalam matematik dan fizik datang kepada penyelesaian persamaan kuadratik.

Menyelesaikan Persamaan Kuadratik

Lengkapkan persamaan kuadratik. Langkah pertama ialah membawa persamaan yang diberikan kepada bentuk piawai kapak²+ bx+ c = 0. Mari kita kembali kepada masalah kita, di mana persamaan boleh ditulis sebagai X(X+ 10) = 24 mari bawa ke bentuk standard, buka kurungan X² + 10 X- 24 = 0, kita selesaikan persamaan ini menggunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik am.

Ungkapan di bawah tanda akar dalam formula ini dipanggil diskriminasi D = b² - 4 ac

Jika D>0, maka persamaan kuadratik mempunyai dua punca yang berbeza, yang boleh didapati menggunakan formula untuk punca-punca persamaan kuadratik.

Jika D=0, maka persamaan kuadratik mempunyai satu punca.

Jika D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

Mari kita gantikan nilai ke dalam formula kami A= 1, b= 10, c= -24.

kita mendapat D>0, oleh itu kita mendapat dua punca.

Mari kita pertimbangkan contoh di mana D=0, di bawah keadaan ini harus ada satu punca.

25x² — 30 x+ 9 = 0

Pertimbangkan contoh di mana D<0, при этом условии решения не должно быть.

2x² + 3 x+ 4 = 0

Nombor di bawah tanda akar (diskriminan) adalah negatif; kami menulis jawapan seperti berikut: persamaan tidak mempunyai punca sebenar.

Menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap

Persamaan kuadratik kapak² + bx+ c= 0 dipanggil tidak lengkap jika sekurang-kurangnya satu daripada pekali b atau c sama dengan sifar. Persamaan kuadratik tidak lengkap ialah persamaan salah satu daripada jenis berikut:

kapak² = 0,

kapak² + c= 0, c≠ 0,

kapak² + bx= 0, b≠ 0.

Mari kita lihat beberapa contoh dan selesaikan persamaan

Membahagi kedua-dua belah persamaan dengan 5 memberikan persamaan X² = 0, jawapan akan mempunyai satu punca X= 0.

Pertimbangkan persamaan bentuk

3X² - 27 = 0

Membahagikan kedua-dua belah dengan 3, kita mendapat persamaan X² - 9 = 0, atau boleh ditulis X² = 9, jawapan akan mempunyai dua punca X= 3 dan X= -3.

Pertimbangkan persamaan bentuk

2X² + 7 = 0

Membahagikan kedua-dua belah dengan 2, kita mendapat persamaan X² = -7/2. Persamaan ini tidak mempunyai punca sebenar, kerana X² ≥ 0 untuk sebarang nombor nyata X.

Pertimbangkan persamaan bentuk

3X² + 5 X= 0

Memfaktorkan bahagian kiri persamaan, kita dapat X(3X+ 5) = 0, jawapan akan mempunyai dua punca X= 0, X=-5/3.

Perkara yang paling penting semasa menyelesaikan persamaan kuadratik ialah membawa persamaan kuadratik kepada bentuk piawai, menghafal formula punca-punca persamaan kuadratik am dan tidak keliru dalam tanda-tanda.

NOMBOR KOMPLEKS XI

§ 253. Mengeluarkan punca kuasa dua daripada nombor negatif.
Menyelesaikan persamaan kuadratik dengan diskriminasi negatif

Seperti yang kita tahu,

i 2 = - 1.

Pada masa yang sama

(- i ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.

Oleh itu, terdapat sekurang-kurangnya dua nilai punca kuasa dua - 1, iaitu i Dan - i . Tetapi mungkin terdapat beberapa nombor kompleks lain yang kuasa duanya sama dengan - 1?

Untuk menjelaskan soalan ini, andaikan kuasa dua nombor kompleks a + bi adalah sama dengan - 1. Kemudian

(a + bi ) 2 = - 1,

A 2 + 2abi - b 2 = - 1

Dua nombor kompleks adalah sama jika dan hanya jika bahagian sebenar dan pekali bahagian khayalannya adalah sama. sebab tu

Menurut persamaan kedua sistem (1), sekurang-kurangnya satu daripada nombor A Dan b mestilah sifar. Jika b = 0, maka dari persamaan pertama kita dapat A 2 = - 1. Nombor A nyata, dan oleh itu A 2 > 0. Nombor bukan negatif A 2 tidak boleh sama dengan nombor negatif - 1. Oleh itu, kesamaan b = 0 adalah mustahil dalam kes ini. Ia tetap untuk mengakui itu A = 0, tetapi kemudian daripada persamaan pertama sistem kita perolehi: - b 2 = - 1, b = ± 1.

Oleh itu, satu-satunya nombor kompleks yang kuasa duanya ialah -1 ialah i Dan - i , Secara konvensional, ini ditulis dalam bentuk:

√-1 = ± i .

Dengan menggunakan penaakulan yang sama, pelajar boleh diyakinkan bahawa terdapat betul-betul dua nombor yang kuasa duanya adalah sama dengan nombor negatif - A . Nombor tersebut ialah √ a i dan -√ a i . Secara konvensional, ia ditulis seperti ini:

√- A = ± √ a i .

Di bawah √ a di sini kita maksudkan aritmetik, iaitu positif, punca. Contohnya, √4 = 2, √9 =.3; sebab tu

√-4 = + 2i , √-9 = ± 3 i

Jika sebelum ini, apabila mempertimbangkan persamaan kuadratik dengan diskriminasi negatif, kita mengatakan bahawa persamaan tersebut tidak mempunyai punca, kini kita tidak boleh mengatakannya lagi. Persamaan kuadratik dengan diskriminasi negatif mempunyai punca yang kompleks. Akar ini diperolehi mengikut formula yang kita ketahui. Biarkan, sebagai contoh, diberikan persamaan x 2 + 2X + 5 = 0; Kemudian

X 1.2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 i .

Jadi, persamaan ini mempunyai dua punca: X 1 = - 1 +2i , X 2 = - 1 - 2i . Akar-akar ini saling berkonjugasi. Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa jumlah mereka ialah - 2, dan hasil darabnya ialah 5, jadi teorem Vieta berlaku.

Senaman

2022. (No. set) Selesaikan persamaan:

A) x 2 = - 16; b) x 2 = - 2; pukul 3 x 2 = - 5.

2023. Cari semua nombor kompleks yang kuasa duanya adalah sama:

A) i ; b) 1 / 2 - √ 3 / 2 i ;

2024. Selesaikan persamaan kuadratik:

A) x 2 - 2x + 2 = 0; b) 4 x 2 + 4x + 5 = 0; V) x 2 - 14x + 74 = 0.

Selesaikan sistem persamaan (No. 2025, 2026):

2027. Buktikan bahawa punca-punca persamaan kuadratik dengan pekali nyata dan diskriminasi negatif adalah saling berganding.

2028. Buktikan bahawa teorem Vieta adalah benar untuk mana-mana persamaan kuadratik, dan bukan hanya untuk persamaan dengan diskriminasi bukan negatif.

2029. Susun persamaan kuadratik dengan pekali nyata, punca-puncanya ialah:

a) X 1 = 5 - i , X 2 = 5 + i ; b) X 1 = 3i , X 2 = - 3i .

2030. Susun persamaan kuadratik dengan pekali nyata, salah satu puncanya adalah sama dengan (3 - i ) (2i - 4).

2031. Susun persamaan kuadratik dengan pekali nyata, salah satu puncanya adalah sama dengan 32 - i
1- 3i .