Bagaimana untuk menyemak kaedah gauss. Kaedah Gauss Songsang

Salah satu cara paling mudah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ialah helah berdasarkan pengiraan penentu ( Peraturan Cramer). Kelebihannya ialah ia membolehkan anda merekodkan penyelesaian dengan segera, ia amat mudah dalam kes di mana pekali sistem bukan nombor, tetapi beberapa parameter. Kelemahannya ialah kerumitan pengiraan dalam kes sejumlah besar persamaan, lebih-lebih lagi, peraturan Cramer tidak terpakai secara langsung kepada sistem di mana bilangan persamaan tidak bertepatan dengan bilangan yang tidak diketahui. Dalam kes sedemikian, ia biasanya digunakan Kaedah Gauss.

Sistem persamaan linear yang mempunyai set penyelesaian yang sama dipanggil bersamaan. Jelas sekali, set penyelesaian sistem linear tidak akan berubah jika mana-mana persamaan ditukar ganti, atau jika salah satu persamaan didarab dengan beberapa nombor bukan sifar, atau jika satu persamaan ditambah kepada yang lain.

Kaedah Gauss (kaedah penghapusan berturut-turut yang tidak diketahui) terletak pada hakikat bahawa, dengan bantuan transformasi asas, sistem dikurangkan kepada sistem berperingkat yang setara. Pertama, dengan bantuan persamaan 1, x 1 daripada semua persamaan sistem berikutnya. Kemudian, menggunakan persamaan ke-2, kita hapuskan x 2 daripada persamaan ke-3 dan semua persamaan seterusnya. Proses ini, dipanggil kaedah Gauss langsung, berterusan sehingga hanya satu yang tidak diketahui kekal di sebelah kiri persamaan terakhir x n. Selepas itu, ia dibuat Gaussian terbalik– menyelesaikan persamaan terakhir, kita dapati x n; selepas itu, menggunakan nilai ini, dari persamaan kedua terakhir kita mengira x n-1 dsb. Terakhir kita jumpa x 1 daripada persamaan pertama.

Transformasi Gaussian dilakukan dengan mudah dengan melakukan transformasi bukan dengan persamaan itu sendiri, tetapi dengan matriks pekalinya. Pertimbangkan matriks:

dipanggil sistem matriks lanjutan, kerana sebagai tambahan kepada matriks utama sistem, ia termasuk lajur ahli percuma. Kaedah Gaussian adalah berdasarkan membawa matriks utama sistem kepada bentuk segi tiga (atau bentuk trapezoid dalam kes sistem bukan segi empat sama) menggunakan transformasi baris asas (!) bagi matriks lanjutan sistem.

Contoh 5.1. Selesaikan sistem menggunakan kaedah Gauss:

Keputusan. Mari kita tuliskan matriks tambahan sistem dan, menggunakan baris pertama, selepas itu kita akan menetapkan seluruh elemen kepada sifar:

kita mendapat sifar dalam baris ke-2, ke-3 dan ke-4 lajur pertama:

Sekarang kita memerlukan semua elemen dalam lajur kedua di bawah baris ke-2 untuk sama dengan sifar. Untuk melakukan ini, anda boleh mendarabkan baris kedua dengan -4/7 dan menambah pada baris ke-3. Walau bagaimanapun, untuk tidak berurusan dengan pecahan, kami mencipta unit di baris ke-2 lajur kedua dan hanya

Sekarang, untuk mendapatkan matriks segi tiga, anda perlu menyifarkan elemen baris keempat lajur ke-3, untuk ini anda boleh mendarabkan baris ketiga dengan 8/54 dan menambahnya kepada yang keempat. Walau bagaimanapun, untuk tidak berurusan dengan pecahan, kami akan menukar baris ke-3 dan ke-4 serta lajur ke-3 dan ke-4, dan hanya selepas itu kami akan menetapkan semula elemen yang ditentukan. Ambil perhatian bahawa apabila lajur disusun semula, pembolehubah yang sepadan ditukar, dan ini mesti diingat; transformasi asas lain dengan lajur (penambahan dan pendaraban dengan nombor) tidak boleh dilakukan!

Matriks ringkas terakhir sepadan dengan sistem persamaan yang setara dengan yang asal:

Dari sini, menggunakan laluan terbalik kaedah Gauss, kita dapati daripada persamaan keempat x 3 = -1; daripada yang ketiga x 4 = -2, daripada yang kedua x 2 = 2 dan daripada persamaan pertama x 1 = 1. Dalam bentuk matriks, jawapan ditulis sebagai

Kami telah mempertimbangkan kes apabila sistem adalah pasti, i.e. apabila hanya ada satu penyelesaian. Mari lihat apa yang berlaku jika sistem tidak konsisten atau tidak tentu.

Contoh 5.2. Terokai sistem menggunakan kaedah Gaussian:

Keputusan. Kami menulis dan mengubah matriks tambahan sistem

Kami menulis sistem persamaan yang dipermudahkan:

Di sini, dalam persamaan terakhir, ternyata 0=4, i.e. percanggahan. Oleh itu, sistem tidak mempunyai penyelesaian, i.e. dia tidak serasi. à

Contoh 5.3. Teroka dan selesaikan sistem menggunakan kaedah Gaussian:

Keputusan. Kami menulis dan mengubah matriks lanjutan sistem:

Hasil daripada transformasi, hanya sifar diperoleh dalam baris terakhir. Ini bermakna bilangan persamaan telah berkurangan sebanyak satu:

Oleh itu, selepas pemudahan, dua persamaan kekal, dan empat tidak diketahui, i.e. dua "tambahan" yang tidak diketahui. Biarkan "berlebihan", atau, seperti yang mereka katakan, pembolehubah bebas, akan x 3 dan x 4 . Kemudian

Andainya x 3 = 2a dan x 4 = b, kita mendapatkan x 2 = 1–a dan x 1 = 2b–a; atau dalam bentuk matriks

Penyelesaian yang ditulis dengan cara ini dipanggil umum, kerana, dengan memberikan parameter a dan b nilai yang berbeza, adalah mungkin untuk menerangkan semua kemungkinan penyelesaian sistem. a

Hari ini kita berurusan dengan kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear. Anda boleh membaca tentang sistem ini dalam artikel sebelumnya yang dikhaskan untuk menyelesaikan SLAE yang sama dengan kaedah Cramer. Kaedah Gauss tidak memerlukan sebarang pengetahuan khusus, hanya penjagaan dan konsistensi diperlukan. Walaupun fakta bahawa dari sudut pandangan matematik, persediaan sekolah sudah cukup untuk aplikasinya, menguasai kaedah ini sering menyebabkan kesukaran kepada pelajar. Dalam artikel ini, kami akan cuba mengurangkannya kepada tiada!

Kaedah Gauss

M Kaedah Gauss ialah kaedah paling universal untuk menyelesaikan SLAE (dengan pengecualian sistem yang sangat besar). Tidak seperti yang dibincangkan sebelum ini, ia sesuai bukan sahaja untuk sistem yang mempunyai penyelesaian yang unik, tetapi juga untuk sistem yang mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Terdapat tiga pilihan di sini.

1. Sistem ini mempunyai penyelesaian yang unik (penentu matriks utama sistem tidak sama dengan sifar);
2. Sistem ini mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga;
3. Tiada penyelesaian, sistem tidak konsisten.

Jadi, kami mempunyai sistem (biar ia mempunyai satu penyelesaian), dan kami akan menyelesaikannya menggunakan kaedah Gaussian. Bagaimana ia berfungsi?

Kaedah Gaussian terdiri daripada dua peringkat - langsung dan songsang.

Kaedah Gauss Terus

Pertama, kita menulis matriks tambahan sistem. Untuk melakukan ini, kami menambah lajur ahli percuma pada matriks utama.

Intipati keseluruhan kaedah Gaussian adalah untuk mengurangkan matriks ini kepada bentuk berperingkat (atau, seperti yang mereka katakan, segi tiga) melalui transformasi asas. Dalam bentuk ini, hanya perlu ada sifar di bawah (atau di atas) pepenjuru utama matriks.

Apa yang boleh dibuat:

1. Anda boleh menyusun semula baris matriks;
2. Jika terdapat baris yang sama (atau berkadar) dalam matriks, anda boleh memadamkan semua kecuali satu daripadanya;
3. Anda boleh mendarab atau membahagi rentetan dengan sebarang nombor (kecuali sifar);
4. Garis sifar dikeluarkan;
5. Anda boleh menambah rentetan yang didarab dengan nombor bukan sifar pada rentetan.

Kaedah Gauss Songsang

Selepas kami mengubah sistem dengan cara ini, satu tidak diketahui xn diketahui, dan adalah mungkin untuk mencari semua baki yang tidak diketahui dalam susunan terbalik, menggantikan x yang sudah diketahui ke dalam persamaan sistem, sehingga yang pertama.

Apabila Internet sentiasa ada, anda boleh menyelesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah Gauss dalam talian. Apa yang anda perlu lakukan ialah memasukkan kemungkinan ke dalam kalkulator dalam talian. Tetapi anda mesti mengakui, adalah lebih menyenangkan untuk menyedari bahawa contoh itu diselesaikan bukan oleh program komputer, tetapi oleh otak anda sendiri.

Contoh penyelesaian sistem persamaan menggunakan kaedah Gauss

Dan sekarang - contoh, supaya semuanya menjadi jelas dan boleh difahami. Biarkan sistem persamaan linear diberikan, dan adalah perlu untuk menyelesaikannya dengan kaedah Gauss:

Mula-mula, mari tulis matriks tambahan:

Sekarang mari kita lihat pada transformasi. Ingat bahawa kita perlu mencapai bentuk segi tiga matriks. Darab baris pertama dengan (3). Darab baris ke-2 dengan (-1). Mari tambahkan baris ke-2 ke baris pertama dan dapatkan:

Kemudian darab baris ke-3 dengan (-1). Mari tambah baris ke-3 ke baris ke-2:

Darab baris pertama dengan (6). Darab baris ke-2 dengan (13). Mari tambah baris ke-2 ke baris pertama:

Voila - sistem dibawa ke bentuk yang sesuai. Ia kekal untuk mencari yang tidak diketahui:

Sistem dalam contoh ini mempunyai penyelesaian yang unik. Kami akan mempertimbangkan penyelesaian sistem dengan set penyelesaian yang tidak terhingga dalam artikel berasingan. Mungkin pada mulanya anda tidak akan tahu di mana hendak bermula dengan transformasi matriks, tetapi selepas latihan yang sesuai anda akan mendapatkannya dan akan mengklik Gaussian SLAE seperti kacang. Dan jika anda tiba-tiba terjumpa SLAU, yang ternyata terlalu sukar untuk dipecahkan, hubungi pengarang kami! anda boleh dengan meninggalkan permohonan dalam Surat-menyurat. Bersama-sama kita akan menyelesaikan sebarang masalah!

Kalkulator dalam talian ini mencari penyelesaian kepada sistem persamaan linear (SLE) menggunakan kaedah Gaussian. Penyelesaian terperinci diberikan. Untuk mengira, pilih bilangan pembolehubah dan bilangan persamaan. Kemudian masukkan data dalam sel dan klik pada "Kira."

Perwakilan nombor:

Bilangan digit selepas pemisah perpuluhan

×

Amaran

Kosongkan semua sel?

Tutup Kosong

Arahan kemasukan data. Nombor dimasukkan sebagai nombor bulat (contoh: 487, 5, -7623, dsb.), nombor perpuluhan (cth. 67., 102.54, dsb.) atau pecahan. Pecahan mesti ditaip dalam bentuk a/b, dengan a dan b (b>0) ialah nombor integer atau perpuluhan. Contoh 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, dsb.

Kaedah Gauss

Kaedah Gauss ialah kaedah peralihan daripada sistem asal persamaan linear (menggunakan transformasi setara) kepada sistem yang lebih mudah diselesaikan daripada sistem asal.

Penjelmaan setara sistem persamaan linear ialah:

• menukar dua persamaan dalam sistem,
• pendaraban mana-mana persamaan dalam sistem dengan nombor nyata bukan sifar,
• menambah pada satu persamaan persamaan lain didarab dengan nombor arbitrari.

Pertimbangkan sistem persamaan linear:

Kami menulis sistem (1) dalam bentuk matriks:

(3)

A dipanggil matriks pekali sistem, b− sebelah kanan kekangan, x− vektor pembolehubah untuk ditemui. Biarkan pangkat( A)=hlm.

Transformasi setara tidak mengubah pangkat matriks pekali dan pangkat matriks tambahan sistem. Set penyelesaian sistem juga tidak berubah di bawah transformasi yang setara. Intipati kaedah Gauss adalah untuk membawa matriks pekali A kepada pepenjuru atau berpijak.

Mari bina matriks lanjutan sistem:

Pada peringkat seterusnya, kami menetapkan semula semua elemen lajur 2, di bawah elemen. Jika elemen yang diberikan adalah nol, maka baris ini ditukar ganti dengan baris yang terletak di bawah baris yang diberikan dan mempunyai elemen bukan sifar dalam lajur kedua. Seterusnya, kita sifarkan semua elemen lajur 2 di bawah elemen utama a 22. Untuk melakukan ini, tambahkan baris 3, ... m dengan baris 2 didarab dengan − a 32 /a 22 , ..., −a m2 / a 22, masing-masing. Meneruskan prosedur, kami memperoleh matriks bentuk pepenjuru atau bertingkat. Biarkan matriks tambahan yang terhasil kelihatan seperti:

Sebagai pangkatA=pangkat(A|b), maka set penyelesaian (7) ialah ( n−p) adalah pelbagai. Oleh itu n−p yang tidak diketahui boleh dipilih sewenang-wenangnya. Baki yang tidak diketahui daripada sistem (7) dikira seperti berikut. Daripada persamaan terakhir kita nyatakan x p melalui seluruh pembolehubah dan masukkan ke dalam ungkapan sebelumnya. Seterusnya, daripada persamaan kedua terakhir, kami nyatakan x p−1 melalui seluruh pembolehubah dan masukkan ke dalam ungkapan sebelumnya, dsb. Pertimbangkan kaedah Gauss pada contoh tertentu.

Contoh penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss

Contoh 1. Cari penyelesaian umum sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss:

Nyatakan dengan a unsur ij i-baris ke- dan j-lajur ke.

a sebelas. Untuk melakukan ini, tambahkan baris 2,3 dengan baris 1, masing-masing didarab dengan -2/3, -1/2:

Jenis rekod matriks: ax=b, di mana

Nyatakan dengan a unsur ij i-baris ke- dan j-lajur ke.

Kecualikan elemen lajur pertama matriks di bawah elemen a sebelas. Untuk melakukan ini, tambahkan baris 2,3 dengan baris 1, masing-masing didarab dengan -1/5, -6/5:

Kami membahagikan setiap baris matriks dengan elemen utama yang sepadan (jika unsur utama wujud):

di mana x 3 , x

Menggantikan ungkapan atas kepada yang lebih rendah, kami memperoleh penyelesaiannya.

Kemudian penyelesaian vektor boleh diwakili seperti berikut:

di mana x 3 , x 4 ialah nombor nyata arbitrari.

1. Sistem persamaan algebra linear

1.1 Konsep sistem persamaan algebra linear

Sistem persamaan ialah keadaan yang terdiri daripada pelaksanaan serentak beberapa persamaan dalam beberapa pembolehubah. Sistem persamaan algebra linear (selepas ini dirujuk sebagai SLAE) yang mengandungi m persamaan dan n tidak diketahui ialah sistem dalam bentuk:

di mana nombor a ij dipanggil pekali sistem, nombor b i adalah ahli bebas, aij dan b i(i=1,…, m; b=1,…, n) ialah beberapa nombor yang diketahui, dan x 1 ,…, x n- tidak diketahui. Dalam tatatanda pekali aij indeks pertama i menandakan nombor persamaan, dan indeks kedua j ialah nombor yang tidak diketahui di mana pekali ini berdiri. Tertakluk kepada mencari nombor x n . Adalah mudah untuk menulis sistem sedemikian dalam bentuk matriks padat: AX=B. Di sini A ialah matriks pekali sistem, dipanggil matriks utama;

Hasil darab matriks A * X ditakrifkan, kerana terdapat banyak lajur dalam matriks A berbanding baris dalam matriks X (n keping).

Matriks lanjutan sistem ialah matriks A sistem, ditambah dengan lajur ahli bebas

1.2 Penyelesaian sistem persamaan algebra linear

Penyelesaian sistem persamaan ialah set nombor tersusun (nilai pembolehubah), apabila menggantikannya dan bukannya pembolehubah, setiap persamaan sistem bertukar menjadi kesamaan sebenar.

Penyelesaian sistem ialah n nilai yang tidak diketahui x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, menggantikan semua persamaan sistem menjadi kesamaan benar. Sebarang penyelesaian sistem boleh ditulis sebagai matriks lajur

Sistem persamaan dipanggil konsisten jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian, dan tidak konsisten jika ia tidak mempunyai penyelesaian.

Sistem gabungan dipanggil pasti jika ia mempunyai penyelesaian yang unik, dan tidak tentu jika ia mempunyai lebih daripada satu penyelesaian. Dalam kes kedua, setiap penyelesaiannya dipanggil penyelesaian tertentu sistem. Set semua penyelesaian tertentu dipanggil penyelesaian umum.

Untuk menyelesaikan sistem bermaksud untuk mengetahui sama ada ia konsisten atau tidak konsisten. Jika sistem itu serasi, cari penyelesaian amnya.

Dua sistem dipanggil setara (setara) jika mereka mempunyai penyelesaian umum yang sama. Dalam erti kata lain, sistem adalah setara jika setiap penyelesaian kepada salah satu daripada mereka adalah penyelesaian kepada yang lain, dan sebaliknya.

Transformasi, aplikasi yang mengubah sistem menjadi sistem baru yang setara dengan yang asal, dipanggil transformasi yang setara atau setara. Penjelmaan berikut boleh berfungsi sebagai contoh penjelmaan setara: menukar dua persamaan sistem, menukar dua yang tidak diketahui bersama-sama dengan pekali semua persamaan, mendarab kedua-dua bahagian mana-mana persamaan sistem dengan nombor bukan sifar.

Sistem persamaan linear dipanggil homogen jika semua sebutan bebas sama dengan sifar:

Sistem homogen sentiasa konsisten, kerana x1=x2=x3=…=xn=0 ialah penyelesaian kepada sistem. Penyelesaian ini dipanggil batal atau remeh.

2. Kaedah penghapusan Gaussian

2.1 Intipati kaedah penghapusan Gaussian

Kaedah klasik untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear ialah kaedah penghapusan berturut-turut bagi yang tidak diketahui - Kaedah Gauss(Ia juga dipanggil kaedah penghapusan Gaussian). Ini adalah kaedah penghapusan pembolehubah berturut-turut, apabila, dengan bantuan penjelmaan asas, sistem persamaan dikurangkan kepada sistem yang setara dalam bentuk berperingkat (atau segi tiga), dari mana semua pembolehubah lain ditemui secara berurutan, bermula dari pembolehubah terakhir (mengikut nombor).

Proses penyelesaian Gaussian terdiri daripada dua peringkat: pergerakan ke hadapan dan ke belakang.

1. Pergerakan langsung.

Pada peringkat pertama, apa yang dipanggil gerakan langsung dijalankan, apabila, melalui transformasi asas ke atas baris, sistem dibawa ke bentuk berperingkat atau segi tiga, atau didapati bahawa sistem itu tidak konsisten. Iaitu, antara unsur-unsur lajur pertama matriks, satu bukan sifar dipilih, ia dipindahkan ke kedudukan paling atas dengan mengubah suai baris, dan baris pertama yang diperoleh selepas pilih atur ditolak daripada baris yang tinggal, mendarabkannya. dengan nilai yang sama dengan nisbah elemen pertama bagi setiap baris ini kepada elemen pertama baris pertama, dengan itu mensifarkan lajur di bawahnya.

Selepas transformasi yang ditunjukkan telah dibuat, baris pertama dan lajur pertama dicoret secara mental dan diteruskan sehingga matriks bersaiz sifar kekal. Jika pada beberapa lelaran antara elemen lajur pertama tidak dijumpai satu bukan sifar, kemudian pergi ke lajur seterusnya dan lakukan operasi yang serupa.

Pada peringkat pertama (lari ke hadapan), sistem dikurangkan kepada bentuk berperingkat (khususnya, segi tiga).

Sistem di bawah adalah secara berperingkat:

Pekali aii dipanggil elemen utama (terutama) sistem.

Kami mengubah sistem dengan menghapuskan x1 yang tidak diketahui dalam semua persamaan kecuali yang pertama (menggunakan transformasi asas sistem). Untuk melakukan ini, darabkan kedua-dua belah persamaan pertama dengan

Meneruskan proses ini, kami mendapat sistem yang setara:

Oleh itu, pada langkah pertama, semua pekali di bawah unsur utama pertama a 11 dimusnahkan

Jika, dalam proses mengurangkan sistem kepada bentuk berperingkat, persamaan sifar muncul, i.e. kesamaan bentuk 0=0, ia dibuang. Jika terdapat persamaan bentuk

Ini melengkapkan kursus langsung kaedah Gauss.

2. Pergerakan songsang.

Pada peringkat kedua, apa yang dipanggil langkah terbalik dijalankan, intipatinya adalah untuk menyatakan semua pembolehubah asas yang terhasil dari segi bukan asas dan membina sistem penyelesaian asas, atau, jika semua pembolehubah adalah asas, kemudian secara berangka menyatakan satu-satunya penyelesaian kepada sistem persamaan linear.

Prosedur ini bermula dengan persamaan terakhir, dari mana pembolehubah asas yang sepadan dinyatakan (hanya terdapat satu di dalamnya) dan digantikan dengan persamaan sebelumnya, dan seterusnya, naik ke "langkah".

Setiap baris sepadan dengan tepat satu pembolehubah asas, jadi pada setiap langkah, kecuali yang terakhir (paling atas), situasi itu betul-betul mengulangi kes baris terakhir.

Nota: dalam amalan, adalah lebih mudah untuk bekerja bukan dengan sistem, tetapi dengan matriks lanjutannya, melakukan semua transformasi asas pada barisnya. Adalah mudah bahawa pekali a11 adalah sama dengan 1 (susun semula persamaan, atau bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan a11).

2.2 Contoh penyelesaian SLAE dengan kaedah Gauss

Dalam bahagian ini, menggunakan tiga contoh berbeza, kami akan menunjukkan bagaimana kaedah Gaussian boleh digunakan untuk menyelesaikan SLAE.

Contoh 1. Selesaikan SLAE daripada susunan ke-3.

Tetapkan pekali kepada sifar pada

Kami terus mempertimbangkan sistem persamaan linear. Pelajaran ini adalah yang ketiga mengenai topik ini. Sekiranya anda mempunyai idea yang samar-samar tentang sistem persamaan linear secara umum, anda berasa seperti teko, maka saya cadangkan bermula dengan asas pada halaman Seterusnya, adalah berguna untuk mempelajari pelajaran.

Kaedah Gauss adalah mudah! kenapa? Ahli matematik Jerman terkenal Johann Carl Friedrich Gauss, semasa hayatnya, menerima pengiktirafan sebagai ahli matematik terhebat sepanjang zaman, genius, dan juga gelaran "Raja Matematik". Dan segala-galanya yang bijak, seperti yang anda tahu, adalah mudah! By the way, bukan sahaja penghisap, tetapi juga genius jatuh ke dalam wang - potret Gauss telah dipamerkan pada bil 10 Deutschmarks (sebelum pengenalan euro), dan Gauss masih secara misteri tersenyum kepada orang Jerman dari setem pos biasa.

Kaedah Gauss adalah mudah kerana ia CUKUP ILMU PELAJAR DARJAH LIMA untuk menguasainya. Mesti boleh tambah dan darab! Bukan kebetulan bahawa kaedah penyingkiran berturut-turut yang tidak diketahui sering dipertimbangkan oleh guru di elektif matematik sekolah. Ia adalah satu paradoks, tetapi kaedah Gauss menyebabkan kesukaran yang paling besar untuk pelajar. Tiada apa yang menghairankan - ini semua tentang metodologi, dan saya akan cuba memberitahu dalam bentuk yang boleh diakses tentang algoritma kaedah.

Pertama, kita mensistemkan sedikit pengetahuan tentang sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear boleh:

1) Mempunyai penyelesaian yang unik. 2) Mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. 3) Tidak mempunyai penyelesaian (jadi tidak serasi).

Kaedah Gauss ialah alat yang paling berkuasa dan serba boleh untuk mencari penyelesaian mana-mana sistem persamaan linear. Seperti yang kita ingat Kaedah peraturan dan matriks Cramer tidak sesuai dalam kes di mana sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga atau tidak konsisten. Kaedah penghapusan berturut-turut yang tidak diketahui bagaimanapun membawa kami kepada jawapan! Dalam pelajaran ini, kita sekali lagi akan mempertimbangkan kaedah Gauss untuk kes No. 1 (satu-satunya penyelesaian kepada sistem), artikel dikhaskan untuk situasi mata No. 2-3. Saya perhatikan bahawa algoritma kaedah itu sendiri berfungsi dengan cara yang sama dalam ketiga-tiga kes.

Mari kita kembali kepada sistem yang paling mudah dari pelajaran Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan linear? dan selesaikannya menggunakan kaedah Gaussian.

Langkah pertama ialah menulis sistem matriks lanjutan: . Dengan prinsip apa pekali direkodkan, saya fikir semua orang boleh melihat. Garis menegak di dalam matriks tidak membawa apa-apa makna matematik - ia hanya coretan untuk memudahkan reka bentuk.

Rujukan : Saya mengesyorkan untuk mengingati syarat algebra linear. Matriks Sistem ialah matriks yang hanya terdiri daripada pekali untuk yang tidak diketahui, dalam contoh ini, matriks sistem: . Matriks Sistem Lanjutan ialah matriks sistem yang sama ditambah lajur ahli percuma, dalam kes ini: . Mana-mana matriks boleh dipanggil hanya matriks untuk ringkasnya.

Selepas matriks lanjutan sistem ditulis, perlu melakukan beberapa tindakan dengannya, yang juga dipanggil transformasi asas.

Terdapat transformasi asas berikut:

1) rentetan matriks boleh menyusun semula tempat-tempat. Sebagai contoh, dalam matriks yang sedang dipertimbangkan, anda boleh menyusun semula baris pertama dan kedua dengan selamat:

2) Jika terdapat (atau muncul) baris berkadar (sebagai kes khas - serupa) dalam matriks, maka ia akan mengikuti padam daripada matriks, semua baris ini kecuali satu. Pertimbangkan, sebagai contoh, matriks . Dalam matriks ini, tiga baris terakhir adalah berkadar, jadi cukup untuk meninggalkan hanya satu daripadanya: .

3) Jika baris sifar muncul dalam matriks semasa transformasi, maka baris itu juga mengikuti padam. Saya tidak akan melukis, sudah tentu, garis sifar adalah garisan di mana hanya sifar.

4) Barisan matriks boleh darab (bahagi) untuk sebarang nombor bukan sifar. Pertimbangkan, sebagai contoh, matriks . Di sini adalah dinasihatkan untuk membahagikan baris pertama dengan -3, dan darab baris kedua dengan 2: . Tindakan ini sangat berguna, kerana ia memudahkan transformasi selanjutnya matriks.

5) Transformasi ini menyebabkan paling sukar, tetapi sebenarnya tidak ada yang rumit sama ada. Ke baris matriks, anda boleh tambah satu lagi rentetan yang didarab dengan nombor, berbeza daripada sifar. Pertimbangkan matriks kami dari contoh praktikal: . Pertama, saya akan menerangkan transformasi dengan terperinci. Darabkan baris pertama dengan -2: , dan ke baris kedua kita tambah baris pertama didarab dengan -2: . Sekarang baris pertama boleh dibahagikan "kembali" dengan -2: . Seperti yang anda lihat, baris yang DITAMBAH LI – tidak berubah. Sentiasa baris ditukar, KE MANA TAMBAH UT.

Dalam amalan, sudah tentu, mereka tidak melukis dengan terperinci, tetapi menulis lebih pendek: Sekali lagi: ke baris kedua menambah baris pertama didarab dengan -2. Garis biasanya didarab secara lisan atau pada draf, manakala pengiraan mental adalah seperti ini:

"Saya menulis semula matriks dan menulis semula baris pertama: »

Lajur pertama dahulu. Di bawah saya perlu mendapatkan sifar. Oleh itu, saya mendarab unit di atas dengan -2:, dan menambah yang pertama pada baris kedua: 2 + (-2) = 0. Saya menulis hasilnya dalam baris kedua: »

“Sekarang ruangan kedua. Di atas -1 kali -2: . Saya menambah yang pertama ke baris kedua: 1 + 2 = 3. Saya menulis hasilnya ke baris kedua: »

“Dan lajur ketiga. Di atas -5 kali -2: . Saya menambah baris pertama ke baris kedua: -7 + 10 = 3. Saya menulis hasilnya dalam baris kedua: »

Sila fikirkan dengan teliti tentang contoh ini dan fahami algoritma pengiraan berjujukan, jika anda memahami perkara ini, maka kaedah Gauss boleh dikatakan "di dalam poket anda". Tetapi, sudah tentu, kami masih mengusahakan transformasi ini.

Transformasi asas tidak mengubah penyelesaian sistem persamaan

! PERHATIAN: dianggap manipulasi tak boleh guna, jika anda ditawarkan tugasan di mana matriks diberikan "sendiri". Contohnya, dengan "klasik" matriks jangan sekali-kali anda menyusun semula sesuatu di dalam matriks! Mari kembali ke sistem kami. Dia boleh dikatakan dipecah menjadi kepingan.

Mari kita tulis matriks tambahan sistem dan, menggunakan transformasi asas, kurangkan kepada pandangan melangkah:

(1) Baris pertama ditambah ke baris kedua, didarab dengan -2. Dan sekali lagi: mengapa kita mendarab baris pertama dengan -2? Untuk mendapatkan sifar di bahagian bawah, yang bermaksud menyingkirkan satu pembolehubah dalam baris kedua.

(2) Bahagikan baris kedua dengan 3.

Tujuan transformasi asas – tukar matriks kepada bentuk langkah: . Dalam reka bentuk tugas, mereka terus mengeluarkan "tangga" dengan pensil mudah, dan juga melingkari nombor yang terletak pada "langkah". Istilah "pandangan berperingkat" itu sendiri tidak sepenuhnya teori; dalam kesusasteraan saintifik dan pendidikan, ia sering dipanggil pandangan trapezoid atau pandangan segi tiga.

Hasil daripada transformasi asas, kami telah memperoleh bersamaan sistem persamaan asal:

Kini sistem perlu "tidak berpusing" ke arah yang bertentangan - dari bawah ke atas, proses ini dipanggil kaedah Gauss terbalik.

Dalam persamaan yang lebih rendah, kita sudah mempunyai hasil selesai: .

Pertimbangkan persamaan pertama sistem dan gantikan nilai "y" yang telah diketahui ke dalamnya:

Mari kita pertimbangkan situasi yang paling biasa, apabila kaedah Gaussian diperlukan untuk menyelesaikan sistem tiga persamaan linear dengan tiga tidak diketahui.

Contoh 1

Selesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah Gauss:

Mari kita tulis matriks tambahan sistem:

Sekarang saya akan segera melukis hasil yang akan kita perolehi dalam penyelesaiannya: Dan saya ulangi, matlamat kami adalah untuk membawa matriks ke bentuk berperingkat menggunakan transformasi asas. Di mana untuk mula mengambil tindakan?

Mula-mula, lihat nombor kiri atas: Hampir selalu ada di sini unit. Secara umumnya, -1 (dan kadangkala nombor lain) juga sesuai, tetapi entah bagaimana secara tradisinya, unit biasanya diletakkan di sana. Bagaimana untuk mengatur unit? Kami melihat lajur pertama - kami mempunyai unit siap! Transformasi satu: tukar baris pertama dan ketiga:

Sekarang baris pertama akan kekal tidak berubah sehingga akhir penyelesaian. Sekarang baik.

Unit di bahagian atas sebelah kiri disusun. Kini anda perlu mendapatkan sifar di tempat ini:

Sifar diperoleh hanya dengan bantuan transformasi "sukar". Pertama, kita berurusan dengan baris kedua (2, -1, 3, 13). Apakah yang perlu dilakukan untuk mendapatkan sifar pada kedudukan pertama? Perlu ke baris kedua tambah baris pertama didarab dengan -2. Secara mental atau pada draf, kami mendarabkan baris pertama dengan -2: (-2, -4, 2, -18). Dan kami secara konsisten melaksanakan (sekali lagi secara mental atau pada draf) tambahan, ke baris kedua kita tambah baris pertama, sudah didarab dengan -2:

Hasilnya ditulis dalam baris kedua:

Begitu juga, kita berurusan dengan baris ketiga (3, 2, -5, -1). Untuk mendapatkan sifar dalam kedudukan pertama, anda perlukan ke baris ketiga tambah baris pertama didarab dengan -3. Secara mental atau pada draf, kami mendarabkan baris pertama dengan -3: (-3, -6, 3, -27). Dan ke baris ketiga kita tambah baris pertama didarab dengan -3:

Hasilnya ditulis dalam baris ketiga:

Dalam amalan, tindakan ini biasanya dilakukan secara lisan dan ditulis dalam satu langkah:

Tidak perlu mengira semuanya sekaligus dan pada masa yang sama. Susunan pengiraan dan "penyisipan" keputusan konsisten dan biasanya begini: mula-mula kita tulis semula baris pertama, dan senyap-senyap - SECARA KONSISTEN dan SECARA PERHATIAN:
Dan saya telah pun mempertimbangkan perjalanan mental pengiraan itu sendiri di atas.

Dalam contoh ini, ini mudah dilakukan, kami membahagikan baris kedua dengan -5 (kerana semua nombor di sana boleh dibahagikan dengan 5 tanpa baki). Pada masa yang sama, kami membahagikan baris ketiga dengan -2, kerana semakin kecil nombornya, semakin mudah penyelesaiannya:

Pada peringkat akhir transformasi asas, satu sifar lagi mesti diperoleh di sini:

Untuk ini ke baris ketiga kita tambah baris kedua, didarab dengan -2:
Cuba huraikan tindakan ini sendiri - darabkan baris kedua secara mental dengan -2 dan lakukan penambahan.

Tindakan terakhir yang dilakukan ialah gaya rambut hasilnya, bahagikan baris ketiga dengan 3.

Hasil daripada penjelmaan asas, sistem awal persamaan linear yang setara telah diperolehi: Sejuk.

Sekarang laluan terbalik kaedah Gaussian mula dimainkan. Persamaan "berehat" dari bawah ke atas.

Dalam persamaan ketiga, kita sudah mempunyai hasil selesai:

Mari kita lihat persamaan kedua: . Makna "z" sudah diketahui, oleh itu:

Dan akhirnya, persamaan pertama: . "Y" dan "Z" diketahui, perkaranya kecil:

Jawab:

Seperti yang telah berulang kali dinyatakan, untuk mana-mana sistem persamaan, adalah mungkin dan perlu untuk menyemak penyelesaian yang ditemui, mujurlah, ini tidak sukar dan cepat.

Contoh 2

Ini adalah contoh untuk penyelesaian kendiri, sampel penamat dan jawapan pada akhir pelajaran.

Perlu diingatkan bahawa anda tindakan mungkin tidak bertepatan dengan tindakan saya, dan ini adalah ciri kaedah Gauss. Tetapi jawapannya mesti sama!

Contoh 3

Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss

Kami melihat "langkah" di sebelah kiri atas. Di sana kita sepatutnya mempunyai satu unit. Masalahnya ialah tidak ada sama sekali dalam lajur pertama, jadi tiada apa yang boleh diselesaikan dengan menyusun semula baris. Dalam kes sedemikian, unit mesti disusun menggunakan transformasi asas. Ini biasanya boleh dilakukan dalam beberapa cara. Saya melakukan ini: (1) Pada baris pertama kita tambahkan baris kedua, didarab dengan -1. Iaitu, kami secara mental mendarabkan baris kedua dengan -1 dan melakukan penambahan baris pertama dan kedua, manakala baris kedua tidak berubah.

Kini di bahagian atas sebelah kiri "tolak satu", yang sesuai dengan kita dengan sempurna. Siapa yang ingin mendapatkan +1 boleh melakukan gerak isyarat tambahan: darab baris pertama dengan -1 (tukar tandanya).

(2) Baris pertama didarab dengan 5 telah ditambah ke baris kedua. Baris pertama didarab dengan 3 ditambah ke baris ketiga.

(3) Baris pertama didarab dengan -1, pada dasarnya, ini adalah untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga ditukar dan dipindahkan ke tempat kedua, oleh itu, pada "langkah kedua, kami mempunyai unit yang dikehendaki.

(4) Baris kedua didarab dengan 2 telah ditambah pada baris ketiga.

(5) Baris ketiga dibahagikan dengan 3.

Tanda buruk yang menunjukkan ralat pengiraan (kurang kerap kesilapan menaip) ialah garis bawah "buruk". Iaitu, jika kita mendapat sesuatu seperti di bawah, dan, dengan itu, , maka dengan tahap kebarangkalian yang tinggi boleh dikatakan bahawa ralat telah dibuat dalam perjalanan transformasi asas.

Kami mengenakan langkah terbalik, dalam reka bentuk contoh, sistem itu sendiri sering tidak ditulis semula, dan persamaan "diambil terus dari matriks yang diberikan". Langkah terbalik, saya ingatkan anda, berfungsi dari bawah ke atas. Ya, inilah hadiahnya:

Jawab: .

Contoh 4

Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas, ia agak lebih rumit. Tidak mengapa jika ada yang keliru. Contoh penyelesaian dan reka bentuk penuh pada akhir pelajaran. Penyelesaian anda mungkin berbeza daripada saya.

Pada bahagian terakhir, kami mempertimbangkan beberapa ciri algoritma Gauss. Ciri pertama ialah kadangkala beberapa pembolehubah hilang dalam persamaan sistem, contohnya: Bagaimana untuk menulis matriks tambahan sistem dengan betul? Saya sudah bercakap tentang detik ini dalam pelajaran. Peraturan Cramer. Kaedah matriks. Dalam matriks sistem yang diperluas, kami meletakkan sifar sebagai ganti pembolehubah yang hilang: Ngomong-ngomong, ini adalah contoh yang agak mudah, kerana sudah ada satu sifar dalam lajur pertama, dan terdapat lebih sedikit transformasi asas untuk dilakukan.

Ciri kedua ialah ini. Dalam semua contoh yang dipertimbangkan, kami meletakkan sama ada -1 atau +1 pada "langkah". Mungkinkah ada nombor lain? Dalam beberapa kes mereka boleh. Pertimbangkan sistem: .

Di sini di sebelah kiri atas "langkah" kita mempunyai deuce. Tetapi kita perhatikan hakikat bahawa semua nombor dalam lajur pertama boleh dibahagikan dengan 2 tanpa baki - dan dua dan enam lagi. Dan deuce di kiri atas akan sesuai dengan kita! Pada langkah pertama, anda perlu melakukan transformasi berikut: tambah baris pertama didarab dengan -1 ke baris kedua; ke baris ketiga tambah baris pertama didarab dengan -3. Oleh itu, kita akan mendapat sifar yang dikehendaki dalam lajur pertama.

Atau contoh hipotesis lain: . Di sini, tiga kali ganda pada "anak tangga" kedua juga sesuai dengan kita, kerana 12 (tempat di mana kita perlu mendapatkan sifar) boleh dibahagikan dengan 3 tanpa baki. Adalah perlu untuk menjalankan transformasi berikut: ke baris ketiga, tambah baris kedua, didarab dengan -4, akibatnya sifar yang kita perlukan akan diperolehi.

Kaedah Gauss adalah universal, tetapi terdapat satu keanehan. Anda dengan yakin boleh belajar bagaimana untuk menyelesaikan sistem dengan kaedah lain (kaedah Cramer, kaedah matriks) secara literal dari kali pertama - terdapat algoritma yang sangat tegar. Tetapi untuk merasa yakin dengan kaedah Gauss, anda harus "mengisi tangan anda" dan menyelesaikan sekurang-kurangnya 5-10 sepuluh sistem. Oleh itu, pada mulanya mungkin terdapat kekeliruan, kesilapan dalam pengiraan, dan tidak ada yang luar biasa atau tragis dalam hal ini.

Cuaca musim luruh hujan di luar tingkap .... Oleh itu, untuk semua orang, contoh yang lebih kompleks untuk penyelesaian bebas:

Contoh 5

Selesaikan sistem 4 persamaan linear dengan empat tidak diketahui menggunakan kaedah Gauss.

Tugas sedemikian dalam amalan tidak begitu jarang berlaku. Saya fikir walaupun teko yang telah mengkaji halaman ini secara terperinci memahami algoritma untuk menyelesaikan sistem sedemikian secara intuitif. Pada asasnya sama - hanya lebih banyak tindakan.

Kes apabila sistem tidak mempunyai penyelesaian (tidak konsisten) atau mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga dipertimbangkan dalam pelajaran. Sistem dan sistem yang tidak serasi dengan penyelesaian yang sama. Di sana anda boleh membetulkan algoritma kaedah Gauss yang dipertimbangkan.

Semoga berjaya!

Penyelesaian dan jawapan:

Contoh 2: Keputusan : Mari kita tuliskan matriks lanjutan sistem dan, menggunakan transformasi asas, bawa ia ke bentuk berperingkat.
Melakukan transformasi asas: (1) Baris pertama ditambah ke baris kedua, didarab dengan -2. Baris pertama ditambah pada baris ketiga, didarab dengan -1. Perhatian! Di sini mungkin menarik untuk menolak yang pertama dari baris ketiga, saya sangat tidak mengesyorkan menolak - risiko ralat sangat meningkat. Kami hanya lipat! (2) Tanda baris kedua telah ditukar (didarab dengan -1). Baris kedua dan ketiga telah ditukar. catatan bahawa pada "langkah" kita berpuas hati bukan sahaja dengan satu, tetapi juga dengan -1, yang lebih mudah. (3) Pada baris ketiga, tambahkan baris kedua, didarab dengan 5. (4) Tanda baris kedua telah ditukar (didarab dengan -1). Baris ketiga dibahagikan dengan 14.

Pergerakan terbalik:

Jawab : .

Contoh 4: Keputusan : Kami menulis matriks lanjutan sistem dan, menggunakan transformasi asas, membawanya ke bentuk langkah:

Penukaran dilakukan: (1) Baris kedua telah ditambahkan pada baris pertama. Oleh itu, unit yang dikehendaki disusun di sebelah kiri atas "langkah". (2) Baris pertama didarab dengan 7 telah ditambah ke baris kedua. Baris pertama didarab dengan 6 ditambah ke baris ketiga.

Dengan "langkah" kedua semuanya lebih teruk , "calon" untuknya ialah nombor 17 dan 23, dan kami memerlukan sama ada satu atau -1. Transformasi (3) dan (4) akan bertujuan untuk mendapatkan unit yang dikehendaki (3) Baris kedua ditambah pada baris ketiga, didarab dengan -1. (4) Baris ketiga, didarab dengan -3, telah ditambah pada baris kedua. Perkara yang perlu pada langkah kedua diterima . (5) Pada baris ketiga ditambah yang kedua, didarab dengan 6. (6) Baris kedua didarab dengan -1, baris ketiga dibahagikan dengan -83.

Pergerakan terbalik:

Jawab :

Contoh 5: Keputusan : Mari kita tuliskan matriks sistem dan, menggunakan penjelmaan asas, bawa ia ke bentuk berperingkat:

Penukaran dilakukan: (1) Baris pertama dan kedua telah ditukar. (2) Baris pertama ditambah ke baris kedua, didarab dengan -2. Baris pertama ditambah ke baris ketiga, didarab dengan -2. Baris pertama ditambah pada baris keempat, didarab dengan -3. (3) Baris kedua didarab dengan 4 telah ditambah pada baris ketiga. Baris kedua didarab dengan -1 ditambah kepada baris keempat. (4) Tanda baris kedua telah ditukar. Baris keempat dibahagikan dengan 3 dan diletakkan sebagai ganti baris ketiga. (5) Baris ketiga ditambah kepada baris keempat, didarab dengan -5.

Pergerakan terbalik:

Jawab :