Cari persamaan garis itu. Persamaan am garis lurus pada satah

Persamaan am garis lurus:

Kes khas persamaan am garis lurus:

dan jika C= 0, persamaan (2) akan mempunyai bentuk

Ax + Oleh = 0,

dan garis lurus yang ditakrifkan oleh persamaan ini melalui asalan, kerana koordinat asalan ialah x = 0, y= 0 memenuhi persamaan ini.

b) Jika dalam persamaan am garis lurus (2) B= 0, maka persamaan itu mengambil bentuk

Ax + DENGAN= 0, atau .

Persamaan tidak mengandungi pembolehubah y, dan garis lurus yang ditakrifkan oleh persamaan ini adalah selari dengan paksi Oy.

c) Jika dalam persamaan am garis lurus (2) A= 0, maka persamaan ini akan berbentuk

Oleh + DENGAN= 0, atau ;

persamaan tidak mengandungi pembolehubah x, dan garis lurus yang ditakrifkannya adalah selari dengan paksi lembu.

Perlu diingat: jika garis lurus selari dengan beberapa paksi koordinat, maka dalam persamaannya tidak ada istilah yang mengandungi koordinat dengan nama yang sama dengan paksi ini.

d) Bila C= 0 dan A= 0 persamaan (2) mengambil bentuk Oleh= 0, atau y = 0.

Ini adalah persamaan paksi lembu.

d) Bila C= 0 dan B= 0 persamaan (2) akan ditulis dalam bentuk Ax= 0 atau x = 0.

Ini adalah persamaan paksi Oy.

Kedudukan relatif garisan pada satah. Sudut antara garis lurus pada satah. Keadaan untuk garis selari. Keadaan serenjang garis.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Vektor S 1 dan S 2 dipanggil panduan untuk garisannya.

Sudut antara garis lurus l 1 dan l 2 ditentukan oleh sudut antara vektor arah.
Teorem 1: cos bagi sudut antara l 1 dan l 2 = cos(l 1 ; l 2) =

Teorem 2: Agar 2 baris sama adalah perlu dan mencukupi:

Teorem 3: Untuk 2 garis lurus berserenjang adalah perlu dan mencukupi:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Persamaan satah am dan kes khasnya. Persamaan satah dalam segmen.

Persamaan satah am:

Ax + By + Cz + D = 0

Kes khas:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – satah melalui asalan

2. С=0 Ax+By+D = 0 – satah || OZ

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – satah || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – satah || OX

5. A=0 dan D=0 By+Cz = 0 – kapal terbang melalui OX

6. B=0 dan D=0 Ax+Cz = 0 – satah melalui OY

7. C=0 dan D=0 Ax+By = 0 – satah itu melalui OZ

Kedudukan relatif satah dan garis lurus di angkasa:

1. Sudut antara garis lurus dalam ruang ialah sudut antara vektor arahnya.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = =

2. Sudut antara satah ditentukan melalui sudut antara vektor normalnya.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = =

3. Kosinus sudut antara garis dan satah boleh didapati melalui sin sudut antara vektor arah garis dan vektor normal satah.

4. 2 lurus || di angkasa apabila || mereka panduan vektor

5. 2 kapal terbang || bila || vektor biasa

6. Konsep keserenjang garis dan satah diperkenalkan sama.

Soalan No 14

Pelbagai jenis persamaan garis lurus pada satah (persamaan garis lurus dalam segmen, dengan pekali sudut, dsb.)

Persamaan garis lurus dalam segmen:
Mari kita anggap bahawa dalam persamaan umum garis lurus:

1. C = 0 Ах + Ву = 0 – garis lurus melalui asalan.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Ax + C = 0 x =

4. b=C=0 Ax = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

Persamaan garis lurus dengan kecerunan:

Mana-mana garis lurus yang tidak sama dengan paksi op-amp (B bukan = 0) boleh ditulis dalam baris seterusnya. borang:

k = tanα α – sudut antara garis lurus dan garis berarah positif OX

b – titik persilangan garis lurus dengan paksi op-amp

Dokumen:

Ax+By+C = 0

Wu= -Ah-S |:B

Persamaan garis lurus berdasarkan dua titik:

Soalan No 16

Had terhingga fungsi pada satu titik dan untuk x→∞

Had tamat pada x0:

Nombor A dipanggil had fungsi y = f(x) untuk x→x 0 jika bagi mana-mana E > 0 wujud b > 0 supaya untuk x ≠x 0 memuaskan ketaksamaan |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Had ditunjukkan oleh: = A

Had tamat pada titik +∞:

Nombor A dipanggil had bagi fungsi y = f(x) pada x → + ∞ , jika bagi mana-mana E > 0 wujud C > 0 supaya bagi x > C ketaksamaan |f(x) - A|< Е

Had ditunjukkan oleh: = A

Had tamat pada titik -∞:

Nombor A dipanggil had fungsi y = f(x) untuk x→-∞, jika untuk mana-mana E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Dalam artikel ini kita akan mempertimbangkan persamaan umum garis lurus pada satah. Mari kita berikan contoh membina persamaan am garis jika dua titik garis ini diketahui atau jika satu titik dan vektor normal garis ini diketahui. Mari kita kemukakan kaedah untuk mengubah persamaan dalam bentuk am kepada bentuk kanonik dan parametrik.

Biarkan sistem koordinat segi empat tepat Cartesan sembarangan diberikan Oxy. Pertimbangkan darjah pertama atau persamaan linear:

di mana A, B, C− beberapa pemalar, dan sekurang-kurangnya satu daripada unsur A Dan B berbeza dengan sifar.

Kami akan menunjukkan bahawa persamaan linear pada satah mentakrifkan garis lurus. Mari kita buktikan teorem berikut.

Teorem 1. Dalam sistem koordinat segi empat tepat Cartesan sembarangan pada satah, setiap garis lurus boleh ditentukan oleh persamaan linear. Sebaliknya, setiap persamaan linear (1) dalam sistem koordinat segi empat tepat Cartesan sembarangan pada satah mentakrifkan garis lurus.

Bukti. Ia cukup untuk membuktikan bahawa garis lurus L ditentukan oleh persamaan linear untuk mana-mana satu sistem koordinat segi empat tepat Cartes, sejak itu ia akan ditentukan oleh persamaan linear untuk sebarang pilihan sistem koordinat segi empat tepat Cartes.

Biarkan garis lurus diberikan pada satah L. Marilah kita memilih sistem koordinat supaya paksi lembu bertepatan dengan garis lurus L, dan paksi Oy adalah berserenjang dengannya. Kemudian persamaan garis L akan mengambil bentuk berikut:

Semua titik pada satu garisan L akan memenuhi persamaan linear (2), dan semua titik di luar garis ini tidak akan memenuhi persamaan (2). Bahagian pertama teorem telah dibuktikan.

Biarkan sistem koordinat segi empat tepat Cartesan diberikan dan biarkan persamaan linear (1) diberikan, di mana sekurang-kurangnya satu daripada unsur A Dan B berbeza dengan sifar. Mari kita cari lokus geometri bagi titik yang koordinatnya memenuhi persamaan (1). Oleh kerana sekurang-kurangnya satu daripada pekali A Dan B adalah berbeza daripada sifar, maka persamaan (1) mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian M(x 0 ,y 0). (Sebagai contoh, apabila A≠0, titik M 0 (−C/A, 0) tergolong dalam lokus titik geometri yang diberikan). Menggantikan koordinat ini kepada (1) kita memperoleh identiti

Mari kita tolak identiti (3) daripada (1):

Jelas sekali, persamaan (4) adalah bersamaan dengan persamaan (1). Oleh itu, cukup untuk membuktikan bahawa (4) mentakrifkan garis tertentu.

Oleh kerana kita sedang mempertimbangkan sistem koordinat segi empat tepat Cartesian, ia mengikuti daripada kesamaan (4) bahawa vektor dengan komponen ( x−x 0 , y−y 0 ) ortogon kepada vektor n dengan koordinat ( A,B}.

Mari kita pertimbangkan beberapa garis lurus L, melalui titik itu M 0 (x 0 , y 0) dan berserenjang dengan vektor n(Rajah 1). Biarkan titik M(x,y) tergolong dalam barisan L. Kemudian vektor dengan koordinat x−x 0 , y−y 0 berserenjang n dan persamaan (4) berpuas hati (hasil skalar bagi vektor n dan sama dengan sifar). Sebaliknya, jika titik M(x,y) tidak terletak pada garisan L, kemudian vektor dengan koordinat x−x 0 , y−y 0 bukan ortogon kepada vektor n dan persamaan (4) tidak berpuas hati. Teorem terbukti.

Bukti. Oleh kerana baris (5) dan (6) mentakrifkan garis yang sama, maka vektor normal n 1 ={A 1 ,B 1) dan n 2 ={A 2 ,B 2) kolinear. Sejak vektor n 1 ≠0, n 2 ≠0, maka terdapat nombor sedemikian λ , Apa n 2 =n 1 λ . Dari sini kita ada: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Mari kita buktikan C 2 =C 1 λ . Jelas sekali, garisan bertepatan mempunyai titik yang sama M 0 (x 0 , y 0). Mendarab persamaan (5) dengan λ dan menolak persamaan (6) daripadanya kita dapat:

Oleh kerana dua kesamaan pertama daripada ungkapan (7) berpuas hati, maka C 1 λ −C 2 =0. Itu. C 2 =C 1 λ . Kenyataan itu telah terbukti.

Perhatikan bahawa persamaan (4) mentakrifkan persamaan garis lurus yang melalui titik itu M 0 (x 0 , y 0) dan mempunyai vektor biasa n={A,B). Oleh itu, jika vektor normal garis dan titik kepunyaan garis ini diketahui, maka persamaan am garis boleh dibina menggunakan persamaan (4).

Contoh 1. Garis lurus melalui satu titik M=(4,−1) dan mempunyai vektor normal n=(3, 5). Bina persamaan am bagi garis.

Penyelesaian. Kami ada: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Untuk membina persamaan umum garis lurus, kami menggantikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan (4):

Jawapan:

Vektor adalah selari dengan garis L dan, oleh itu, berserenjang dengan vektor normal garis L. Mari kita bina vektor garis biasa L, dengan mengambil kira bahawa hasil darab skalar bagi vektor n dan sama dengan sifar. Kita boleh menulis, sebagai contoh, n={1,−3}.

Untuk membina persamaan am bagi garis lurus, kita menggunakan formula (4). Mari kita gantikan koordinat titik itu kepada (4) M 1 (kita juga boleh mengambil koordinat titik M 2) dan vektor biasa n:

Menggantikan koordinat titik M 1 dan M 2 dalam (9) kita boleh memastikan bahawa garis lurus yang diberikan oleh persamaan (9) melalui titik-titik ini.

Jawapan:

Tolak (10) daripada (1):

Kami telah memperoleh persamaan kanonik garis. vektor q={−B, A) ialah vektor arah garis (12).

Lihat penukaran terbalik.

Contoh 3. Garis lurus pada satah diwakili oleh persamaan am berikut:

Mari kita gerakkan sebutan kedua ke kanan dan bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 2·5.

Pelajaran daripada siri "Algoritma geometri"

Hello pembaca yang dikasihi!

Hari ini kita akan mula mempelajari algoritma yang berkaitan dengan geometri. Hakikatnya ialah terdapat banyak masalah Olimpik dalam sains komputer yang berkaitan dengan geometri pengiraan, dan menyelesaikan masalah sedemikian sering menyebabkan kesukaran.

Sepanjang beberapa pelajaran, kami akan mempertimbangkan beberapa subtugas asas yang berdasarkan penyelesaian kebanyakan masalah dalam geometri pengiraan.

Dalam pelajaran ini kita akan membuat program untuk mencari persamaan garis, melalui yang diberikan dua mata. Untuk menyelesaikan masalah geometri, kita memerlukan sedikit pengetahuan tentang geometri pengiraan. Kami akan menumpukan sebahagian daripada pelajaran untuk mengenali mereka.

Cerapan daripada Geometri Pengiraan

Geometri pengiraan ialah satu cabang sains komputer yang mengkaji algoritma untuk menyelesaikan masalah geometri.

Data awal untuk masalah sedemikian boleh menjadi satu set titik pada satah, satu set segmen, poligon (ditentukan, sebagai contoh, dengan senarai bucunya mengikut urutan jam), dsb.

Hasilnya boleh sama ada jawapan kepada beberapa soalan (seperti titik kepunyaan segmen, dua segmen bersilang, ...), atau beberapa objek geometri (contohnya, poligon cembung terkecil yang menghubungkan titik tertentu, luas poligon, dsb.).

Kami akan mempertimbangkan masalah geometri pengiraan hanya pada satah dan hanya dalam sistem koordinat Cartesian.

Vektor dan koordinat

Untuk menggunakan kaedah geometri pengiraan, adalah perlu untuk menterjemah imej geometri ke dalam bahasa nombor. Kami akan menganggap bahawa satah itu diberi sistem koordinat Cartesan, di mana arah putaran lawan jam dipanggil positif.

Kini objek geometri menerima ungkapan analitikal. Jadi, untuk menentukan titik, cukup untuk menunjukkan koordinatnya: sepasang nombor (x; y). Segmen boleh ditentukan dengan menentukan koordinat hujungnya; garis lurus boleh ditentukan dengan menentukan koordinat sepasang titiknya.

Tetapi alat utama kami untuk menyelesaikan masalah ialah vektor. Oleh itu, izinkan saya mengingati beberapa maklumat tentang mereka.

Segmen garisan AB, yang mempunyai titik A dianggap sebagai permulaan (titik permohonan), dan titik DALAM– hujung, dipanggil vektor AB dan dilambangkan dengan sama ada atau dengan huruf kecil tebal, sebagai contoh A .

Untuk menandakan panjang vektor (iaitu, panjang segmen yang sepadan), kita akan menggunakan simbol modulus (contohnya, ).

Vektor arbitrari akan mempunyai koordinat yang sama dengan perbezaan antara koordinat penghujung dan permulaan yang sepadan:

,

inilah mata-matanya A Dan B mempunyai koordinat masing-masing.

Untuk pengiraan kita akan menggunakan konsep sudut berorientasikan, iaitu sudut yang mengambil kira kedudukan relatif vektor.

Sudut berorientasikan antara vektor a Dan b positif jika putaran adalah daripada vektor a kepada vektor b dilakukan dalam arah positif (lawan arah jam) dan negatif dalam kes lain. Lihat Rajah.1a, Rajah.1b. Ia juga dikatakan bahawa sepasang vektor a Dan b berorientasikan positif (negatif).

Oleh itu, nilai sudut berorientasikan bergantung pada susunan di mana vektor disenaraikan dan boleh mengambil nilai dalam selang.

Banyak masalah dalam geometri pengiraan menggunakan konsep vektor (skew atau pseudoscalar) produk vektor.

Hasil darab vektor bagi vektor a dan b ialah hasil darab panjang vektor ini dan sinus sudut di antara keduanya:

.

Hasil silang vektor dalam koordinat:

Ungkapan di sebelah kanan ialah penentu tertib kedua:

Tidak seperti definisi yang diberikan dalam geometri analitik, ia adalah skalar.

Tanda produk vektor menentukan kedudukan vektor secara relatif antara satu sama lain:

a Dan b berorientasikan positif.

Jika nilainya ialah , maka sepasang vektor a Dan b berorientasikan negatif.

Hasil silang bagi vektor bukan sifar adalah sifar jika dan hanya jika ia adalah kolinear ( ). Ini bermakna mereka terletak pada garisan yang sama atau pada garisan selari.

Mari kita lihat beberapa masalah mudah yang perlu apabila menyelesaikan masalah yang lebih kompleks.

Mari kita tentukan persamaan garis lurus daripada koordinat dua titik.

Persamaan garis yang melalui dua titik berbeza yang ditentukan oleh koordinatnya.

Biarkan dua titik tidak bertepatan diberikan pada garis lurus: dengan koordinat (x1; y1) dan dengan koordinat (x2; y2). Sehubungan itu, vektor dengan permulaan pada titik dan penghujung pada titik mempunyai koordinat (x2-x1, y2-y1). Jika P(x, y) ialah titik arbitrari pada garis kita, maka koordinat vektor adalah sama dengan (x-x1, y – y1).

Menggunakan produk vektor, syarat untuk keselarasan vektor dan boleh ditulis seperti berikut:

Itu. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Kami menulis semula persamaan terakhir seperti berikut:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Jadi, garis lurus boleh ditentukan dengan persamaan bentuk (1).

Masalah 1. Koordinat dua titik diberikan. Cari perwakilannya dalam bentuk ax + by + c = 0.

Dalam pelajaran ini kami mempelajari beberapa maklumat tentang geometri pengiraan. Kami menyelesaikan masalah mencari persamaan garis dari koordinat dua titik.

Dalam pelajaran seterusnya, kita akan mencipta program untuk mencari titik persilangan dua garis yang diberikan oleh persamaan kita.

Sifat garis lurus dalam geometri Euclidean.

Bilangan garis lurus yang tidak terhingga boleh dilukis melalui mana-mana titik.

Melalui mana-mana dua titik tidak bertepatan satu garis lurus boleh dilukis.

Dua garis mencapah dalam satah sama ada bersilang pada satu titik atau berada

selari (mengikut dari yang sebelumnya).

Dalam ruang tiga dimensi, terdapat tiga pilihan untuk kedudukan relatif dua baris:

• garis bersilang;

• garisan selari;

• garis lurus bersilang.

Lurus barisan— lengkung algebra tertib pertama: garis lurus dalam sistem koordinat Cartesan

diberikan pada satah oleh persamaan darjah pertama (persamaan linear).

Persamaan am garis lurus.

Definisi. Mana-mana garis lurus pada satah boleh ditentukan oleh persamaan tertib pertama

Ax + Wu + C = 0,

dan berterusan A, B tidak sama dengan sifar pada masa yang sama. Persamaan tertib pertama ini dipanggil umum

persamaan garis lurus. Bergantung kepada nilai pemalar A, B Dan DENGAN Kes khas berikut adalah mungkin:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- garis lurus melalui asalan

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Oleh + C = 0)- garis lurus selari dengan paksi Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- garis lurus selari dengan paksi OU

. B = C = 0, A ≠0- garis lurus bertepatan dengan paksi OU

. A = C = 0, B ≠0- garis lurus bertepatan dengan paksi Oh

Persamaan garis lurus boleh dibentangkan dalam bentuk yang berbeza bergantung pada mana-mana yang diberikan

keadaan awal.

Persamaan garis lurus dari titik dan vektor normal.

Definisi. Dalam sistem koordinat segi empat tepat Cartesan, vektor dengan komponen (A, B)

berserenjang dengan garis yang diberikan oleh persamaan

Ax + Wu + C = 0.

Contoh. Cari persamaan garis yang melalui suatu titik A(1, 2) berserenjang dengan vektor (3, -1).

Penyelesaian. Dengan A = 3 dan B = -1, mari kita susun persamaan garis lurus: 3x - y + C = 0. Untuk mencari pekali C

Mari kita gantikan koordinat titik A yang diberikan ke dalam ungkapan yang terhasil. Kita dapat: 3 - 2 + C = 0, oleh itu

C = -1. Jumlah: persamaan yang diperlukan: 3x - y - 1 = 0.

Persamaan garis yang melalui dua titik.

Biarkan dua mata diberikan dalam ruang M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Dan M2 (x 2, y 2, z 2), Kemudian persamaan garis,

melalui titik-titik ini:

Jika mana-mana penyebut adalah sifar, pengangka yang sepadan hendaklah ditetapkan sama dengan sifar. hidup

satah, persamaan garis lurus yang ditulis di atas dipermudahkan:

Jika x 1 ≠ x 2 Dan x = x 1, Jika x 1 = x 2 .

Pecahan = k dipanggil cerun lurus.

Contoh. Cari persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Penyelesaian. Menggunakan formula yang ditulis di atas, kita mendapat:

Persamaan garis lurus menggunakan titik dan kecerunan.

Jika persamaan am garis Ax + Wu + C = 0 membawa kepada:

dan menetapkan , maka persamaan yang terhasil dipanggil

persamaan garis lurus dengan kecerunan k.

Persamaan garis lurus dari titik dan vektor arah.

Dengan analogi dengan titik mempertimbangkan persamaan garis lurus melalui vektor normal, anda boleh memasukkan tugasan

garis lurus melalui titik dan vektor arah garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan sifar (α 1 , α 2), yang komponennya memenuhi syarat

Aα 1 + Bα 2 = 0 dipanggil vektor arah garis lurus.

Ax + Wu + C = 0.

Contoh. Cari persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Penyelesaian. Kami akan mencari persamaan garis yang dikehendaki dalam bentuk: Ax + By + C = 0. Mengikut definisi,

pekali mesti memenuhi syarat berikut:

1 * A + (-1) * B = 0, i.e. A = B.

Kemudian persamaan garis lurus mempunyai bentuk: Ax + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0.

di x = 1, y = 2 kita mendapatkan C/A = -3, iaitu persamaan yang diperlukan:

x + y - 3 = 0

Persamaan garis lurus dalam segmen.

Jika dalam persamaan umum garis lurus Ах + Ву + С = 0 С≠0, maka, membahagikan dengan -С, kita dapat:

atau di mana

Maksud geometri pekali ialah pekali a ialah koordinat titik persilangan.

lurus dengan paksi Oh, A b- koordinat titik persilangan garis dengan paksi OU.

Contoh. Persamaan am garis lurus diberikan x - y + 1 = 0. Cari persamaan garis ini dalam segmen.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Persamaan normal garis.

Jika kedua-dua belah persamaan Ax + Wu + C = 0 bahagi dengan nombor yang dipanggil

faktor menormalkan, maka kita dapat

xcosφ + ysinφ - p = 0 -persamaan normal garis.

Tanda ± faktor normalisasi mesti dipilih supaya μ*C< 0.

R- panjang serenjang jatuh dari asal ke garis lurus,

A φ - sudut yang dibentuk oleh serenjang ini dengan arah positif paksi Oh.

Contoh. Persamaan am garis diberikan 12x - 5y - 65 = 0. Diperlukan untuk menulis pelbagai jenis persamaan

garis lurus ini.

Persamaan garis ini dalam segmen:

Persamaan garis ini dengan cerun: (bahagi dengan 5)

Persamaan garis:

cos φ = 12/13; dosa φ= -5/13; p = 5.

Perlu diingatkan bahawa tidak setiap garis lurus boleh diwakili oleh persamaan dalam segmen, contohnya, garis lurus,

selari dengan paksi atau melalui asalan.

Sudut antara garis lurus pada satah.

Definisi. Jika dua baris diberi y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garisan ini

akan ditakrifkan sebagai

Dua garis adalah selari jika k 1 = k 2. Dua garis berserenjang

Jika k 1 = -1/ k 2 .

Teorem.

Langsung Ax + Wu + C = 0 Dan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 selari apabila pekali adalah berkadar

A 1 = λA, B 1 = λB. Jika juga С 1 = λС, maka garisan itu bertepatan. Koordinat titik persilangan dua garis

didapati sebagai penyelesaian kepada sistem persamaan garis-garis ini.

Persamaan garis yang melalui titik tertentu berserenjang dengan garis tertentu.

Definisi. Garisan yang melalui satu titik M 1 (x 1, y 1) dan berserenjang dengan garis y = kx + b

diwakili oleh persamaan:

Jarak dari titik ke garis.

Teorem. Jika mata diberi M(x 0, y 0), kemudian jarak ke garis lurus Ax + Wu + C = 0 ditakrifkan sebagai:

Bukti. Biarkan titik M 1 (x 1, y 1)- tapak serenjang jatuh dari satu titik M untuk diberikan

langsung. Kemudian jarak antara titik M Dan M 1:

(1)

Koordinat x 1 Dan pada pukul 1 boleh didapati sebagai penyelesaian kepada sistem persamaan:

Persamaan kedua sistem ialah persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu M 0 secara berserenjang

diberi garis lurus. Jika kita menukar persamaan pertama sistem kepada bentuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

kemudian, menyelesaikan, kita dapat:

Menggantikan ungkapan ini ke dalam persamaan (1), kita dapati:

Teorem terbukti.

Biarkan garis itu melalui titik M 1 (x 1; y 1) dan M 2 (x 2; y 2). Persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 mempunyai bentuk y-y 1 = k (x - x 1), (10.6)

di mana k - masih tidak diketahui pekali.

Oleh kerana garis lurus melalui titik M 2 (x 2 y 2), koordinat titik ini mesti memenuhi persamaan (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Dari sini kita dapati Menggantikan nilai yang ditemui k ke dalam persamaan (10.6), kita memperoleh persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 dan M 2:

Diandaikan bahawa dalam persamaan ini x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Jika x 1 = x 2, maka garis lurus yang melalui titik M 1 (x 1,y I) dan M 2 (x 2,y 2) adalah selari dengan paksi ordinat. Persamaannya ialah x = x 1 .

Jika y 2 = y I, maka persamaan garis boleh ditulis sebagai y = y 1, garis lurus M 1 M 2 adalah selari dengan paksi absis.

Persamaan garis dalam segmen

Biarkan garis lurus bersilang dengan paksi Ox di titik M 1 (a;0), dan paksi Oy di titik M 2 (0;b). Persamaan akan mengambil bentuk:
mereka.
. Persamaan ini dipanggil persamaan garis lurus dalam segmen, kerana nombor a dan b menunjukkan segmen yang mana garis terputus pada paksi koordinat.

Persamaan garis yang melalui titik tertentu berserenjang dengan vektor tertentu

Mari kita cari persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu Mo (x O; y o) berserenjang dengan vektor bukan sifar n = (A; B).

Mari kita ambil titik M(x; y) sembarangan pada garis dan pertimbangkan vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (lihat Rajah 1). Oleh kerana vektor n dan M o M adalah berserenjang, hasil skalarnya adalah sama dengan sifar: iaitu

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Persamaan (10.8) dipanggil persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu berserenjang dengan vektor tertentu .

Vektor n= (A; B), berserenjang dengan garis, dipanggil normal vektor biasa baris ini .

Persamaan (10.8) boleh ditulis semula sebagai Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

di mana A dan B ialah koordinat bagi vektor normal, C = -Ax o - Vu o ialah sebutan bebas. Persamaan (10.9) ialah persamaan am bagi garis itu(lihat Rajah 2).

Rajah.1 Rajah.2

Persamaan kanonik garis

,

di mana
- koordinat titik yang dilalui garis, dan
- vektor arah.

Lengkung tertib kedua Bulatan

Bulatan ialah set semua titik satah yang berjarak sama dari titik tertentu, yang dipanggil pusat.

Persamaan kanonik bagi bulatan jejari R berpusat pada satu titik
:

Khususnya, jika pusat pancang bertepatan dengan asal koordinat, maka persamaan akan kelihatan seperti:

Ellipse

Elips ialah satu set titik pada satah, jumlah jarak dari setiap satu ke dua titik tertentu. Dan , yang dipanggil fokus, ialah kuantiti tetap
, lebih besar daripada jarak antara fokus
.

Persamaan kanonik elips yang fokusnya terletak pada paksi Lembu, dan asal koordinat di tengah antara fokus mempunyai bentuk
G de a panjang paksi separuh utama; b – panjang paksi separuh kecil (Rajah 2).