Isipadu angka yang dibatasi oleh garis kalkulator dalam talian. Pelajaran "Mengira isipadu badan revolusi menggunakan kamiran pasti

Jenis pelajaran: digabungkan.

Tujuan pelajaran: belajar mengira isipadu badan revolusi menggunakan kamiran.

Tugasan:

• menyatukan keupayaan untuk memilih trapezoid lengkung daripada beberapa bentuk geometri dan membangunkan kemahiran mengira kawasan trapezoid lengkung;
• berkenalan dengan konsep angka tiga dimensi;
• belajar mengira isipadu badan revolusi;
• untuk menggalakkan pembangunan pemikiran logik, ucapan matematik yang cekap, ketepatan dalam pembinaan lukisan;
• untuk memupuk minat dalam subjek, untuk beroperasi dengan konsep dan imej matematik, untuk memupuk kemahuan, berdikari, ketabahan dalam mencapai keputusan akhir.

Semasa kelas

I. Detik organisasi.

Salam berkumpulan. Komunikasi kepada pelajar tentang objektif pelajaran.

Refleksi. Melodi yang tenang.

Saya ingin memulakan pelajaran hari ini dengan perumpamaan. “Ada seorang yang bijak yang mengetahui segala-galanya. Seseorang ingin membuktikan bahawa orang bijak itu tidak mengetahui segala-galanya. Sambil memegang kupu-kupu itu di tangannya, dia bertanya: "Beritahu saya, orang bijak, rama-rama mana yang ada di tangan saya: mati atau hidup?" Dan dia sendiri berfikir: "Jika yang hidup berkata, saya akan membunuhnya, jika yang mati berkata, saya akan melepaskannya." Orang bijak, berfikir, menjawab: "Semua di tangan anda". (Pembentangan.Gelongsor)

- Oleh itu, mari kita bekerja dengan baik hari ini, memperoleh gedung pengetahuan baru, dan kita akan menggunakan kemahiran dan kebolehan yang diperoleh dalam kehidupan kemudian dan dalam aktiviti praktikal. "Semua di tangan anda".

II. Pengulangan bahan yang telah dipelajari sebelumnya.

Mari kita semak perkara utama bahan yang dipelajari sebelum ini. Untuk melakukan ini, mari kita lakukan tugas "Alih keluar perkataan yang berlebihan."(Gelongsor.)

(Pelajar pergi ke I.D. dengan bantuan pemadam mengalih keluar perkataan tambahan.)

- Betul "Perbezaan". Cuba namakan perkataan yang tinggal dalam satu perkataan biasa. (Kalkulus bersepadu.)

- Mari kita ingat peringkat dan konsep utama yang berkaitan dengan kalkulus kamiran..

"Sekumpulan Matematik".

Senaman. Pulihkan pas. (Pelajar itu keluar dan menulis perkataan yang diperlukan dengan pen.)

- Kami akan mendengar laporan mengenai penggunaan kamiran kemudian.

Bekerja dalam buku nota.

– Formula Newton-Leibniz telah dibangunkan oleh ahli fizik Inggeris Isaac Newton (1643–1727) dan ahli falsafah Jerman Gottfried Leibniz (1646–1716). Dan ini tidak menghairankan, kerana matematik adalah bahasa yang dituturkan oleh alam semula jadi.

– Pertimbangkan bagaimana formula ini digunakan dalam menyelesaikan tugasan praktikal.

Contoh 1: Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis

Penyelesaian: Mari bina graf fungsi pada satah koordinat . Pilih kawasan rajah untuk ditemui.

III. Mempelajari bahan baharu.

- Perhatikan skrin. Apakah yang ditunjukkan dalam gambar pertama? (Gelongsor) (Rajah menunjukkan angka rata.)

Apakah yang ditunjukkan dalam gambar kedua? Adakah angka ini rata? (Gelongsor) (Rajah menunjukkan rajah tiga dimensi.)

- Di ruang angkasa, di bumi dan dalam kehidupan seharian, kita bertemu bukan sahaja dengan angka rata, tetapi juga dengan tiga dimensi, tetapi bagaimana untuk mengira isipadu badan tersebut? Contohnya, isipadu planet, komet, meteorit, dsb.

– Fikirkan tentang isipadu dan membina rumah, dan menuangkan air dari satu bekas ke yang lain. Peraturan dan kaedah untuk mengira isipadu sepatutnya timbul, perkara lain ialah seberapa tepat dan wajarnya.

Mesej pelajar. (Tyurina Vera.)

Tahun 1612 sangat membuahkan hasil bagi penduduk kota Linz di Austria, tempat tinggal ahli astronomi terkenal Johannes Kepler, terutama untuk anggur. Orang ramai sedang menyediakan tong wain dan ingin tahu cara praktikal menentukan jumlahnya. (Slaid 2)

- Oleh itu, karya-karya yang dipertimbangkan oleh Kepler menandakan permulaan keseluruhan aliran penyelidikan, yang memuncak pada suku terakhir abad ke-17. reka bentuk dalam karya I. Newton dan G.V. kalkulus pembezaan dan kamiran Leibniz. Sejak masa itu, pembolehubah magnitud matematik telah mengambil tempat utama dalam sistem pengetahuan matematik.

- Jadi hari ini kita akan terlibat dalam aktiviti praktikal sedemikian, oleh itu,

Topik pelajaran kami: "Pengiraan isipadu badan revolusi menggunakan kamiran pasti." (Gelongsor)

- Anda akan mempelajari definisi badan revolusi dengan menyelesaikan tugasan berikut.

"Labyrinth".

Labyrinth (perkataan Yunani) bermaksud laluan ke penjara bawah tanah. Labirin ialah rangkaian laluan, laluan, bilik yang rumit yang berkomunikasi antara satu sama lain.

Tetapi definisi "terhempas", terdapat petunjuk dalam bentuk anak panah.

Senaman. Cari jalan keluar daripada situasi yang mengelirukan dan tulis definisi.

Gelongsor. “Kad arahan” Pengiraan isipadu.

Menggunakan kamiran pasti, anda boleh mengira isipadu badan, khususnya, badan revolusi.

Jasad revolusi ialah jasad yang diperoleh dengan memutarkan trapezoid melengkung di sekeliling tapaknya (Rajah 1, 2)

Isipadu badan revolusi dikira dengan salah satu formula:

1. mengelilingi paksi-x.

2. , jika putaran trapezoid melengkung mengelilingi paksi-y.

Setiap pelajar menerima kad arahan. Guru mengetengahkan perkara utama.

Guru menerangkan penyelesaian contoh di papan hitam.

Pertimbangkan petikan dari kisah dongeng yang terkenal oleh A. S. Pushkin "Kisah Tsar Saltan, tentang puteranya yang mulia dan perkasa Putera Gvidon Saltanovich dan Puteri Lebed yang cantik" (Slaid 4):

…..
Dan membawa utusan yang mabuk
Pada hari yang sama, pesanan adalah:
“Tsar memerintahkan budak-budaknya,
Tidak membuang masa,
Dan permaisuri dan keturunan
Diam-diam dilemparkan ke dalam jurang air.”
Tiada apa yang perlu dilakukan: bangsawan,
Setelah berkabung tentang kedaulatan
Dan permaisuri muda
Orang ramai datang ke bilik tidurnya.
Mengisytiharkan wasiat diraja -
Dia dan anaknya mempunyai nasib yang buruk,
Baca dekri dengan kuat
Dan ratu pada masa yang sama
Mereka memasukkan saya ke dalam tong bersama anak saya,
Berdoa, bergolek
Dan mereka membenarkan saya masuk ke okian -
Demikian perintah de Tsar Saltan.

Berapakah isipadu tong itu supaya permaisuri dan anaknya boleh muat di dalamnya?

– Pertimbangkan tugas berikut

1. Cari isipadu jasad yang diperolehi dengan berputar mengelilingi paksi-y trapezium lengkung yang dibatasi oleh garisan: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Jawapan: 1163 cm 3 .

Cari isipadu jasad yang diperolehi dengan memutarkan trapezoid parabola mengelilingi absis y = , x = 4, y = 0.

IV. Memperbaiki bahan baharu

Contoh 2. Hitung isipadu jasad yang terbentuk oleh putaran kelopak mengelilingi paksi-x y \u003d x 2, y 2 \u003d x.

Mari kita lukiskan graf bagi fungsi tersebut. y=x2, y2=x. Jadual y 2 = x berubah kepada bentuk y= .

Kami ada V \u003d V 1 - V 2 Mari kita hitung isipadu setiap fungsi

- Sekarang, mari kita lihat menara untuk stesen radio di Moscow di Shabolovka, dibina mengikut projek jurutera Rusia yang hebat, ahli akademik kehormat V. G. Shukhov. Ia terdiri daripada bahagian - hiperboloid revolusi. Selain itu, setiap satu daripadanya diperbuat daripada rod logam rectilinear yang menghubungkan bulatan bersebelahan (Rajah 8, 9).

- Pertimbangkan masalahnya.

Cari isipadu jasad yang diperoleh dengan memutarkan lengkok hiperbola di sekeliling paksi khayalannya, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 8, di mana

kiub unit

Tugasan kumpulan. Pelajar membuat undian dengan tugasan, lukisan dibuat di atas kertas whatman, salah seorang wakil kumpulan mempertahankan hasil kerja.

kumpulan pertama.

Pukul! Pukul! Satu lagi pukulan!
Bola terbang ke pintu pagar - BOLA!
Dan ini adalah bola tembikai
Hijau, bulat, sedap.
Lihat lebih baik - sungguh bola!
Ia terdiri daripada bulatan.
Potong bulatan tembikai
Dan rasa mereka.

Cari isipadu jasad yang diperoleh melalui putaran mengelilingi paksi OX bagi fungsi yang dibatasi oleh

Silap! Penanda halaman tidak ditentukan.

- Tolong beritahu saya, di mana kita boleh berjumpa dengan tokoh ini?

Rumah. tugasan kumpulan 1. SILINDER (gelongsor) .

"Silinder - apa itu?" Saya bertanya kepada ayah saya.
Bapa ketawa: Topi atas ialah topi.
Untuk mempunyai idea yang betul,
Silinder, katakan, adalah tin tin.
Paip pengukus adalah silinder,
Paip di bumbung kami juga,

Semua paip adalah serupa dengan silinder.
Dan saya memberikan contoh seperti ini -
Kaleidoskop tercinta saya
Anda tidak boleh mengalihkan pandangan anda dari dia.
Ia juga kelihatan seperti silinder.

- Senaman. Kerja rumah untuk memplot fungsi dan mengira isipadu.

kumpulan ke-2. KON (gelongsor).

Ibu berkata: Dan sekarang
Mengenai kon itu akan menjadi cerita saya.
Stargazer dalam topi tinggi
Mengira bintang sepanjang tahun.
KON - topi pemerhati bintang.
Itulah dia. Faham? Itu sahaja.
Ibu berada di meja
Dia menuang minyak ke dalam botol.
- Di manakah corongnya? Tiada corong.
Tengok. Jangan berdiri di tepi.
- Ibu, saya tidak akan bergerak dari tempat itu,
Beritahu saya lebih lanjut tentang kon.
- Corong adalah dalam bentuk kon tong penyiram.
Jom, cari saya cepat.
Saya tidak dapat mencari corong
Tetapi ibu membuat beg,
Balut kadbod di sekeliling jari anda
Dan dengan cekap diikat dengan klip kertas.
Minyak mencurah, ibu gembira
Kon keluar betul-betul.

Senaman. Kira isipadu jasad yang diperolehi melalui putaran mengelilingi paksi-x

Rumah. tugasan untuk kumpulan ke-2. PIRAMID(gelongsor).

Saya melihat gambar itu. Dalam gambar ini
Terdapat PIRAMID di padang pasir.
Segala-galanya dalam piramid adalah luar biasa,
Terdapat beberapa misteri dan misteri di dalamnya.
Menara Spasskaya di Dataran Merah
Kedua-dua kanak-kanak dan orang dewasa sangat dikenali.
Lihatlah menara - penampilan biasa,
Apa yang ada pada dia? Piramid!

Senaman. Kerja rumah memplot fungsi dan mengira isipadu piramid

- Kami mengira isipadu pelbagai jasad berdasarkan formula asas untuk isipadu jasad menggunakan kamiran.

Ini adalah satu lagi pengesahan bahawa kamiran pasti adalah beberapa asas untuk kajian matematik.

"Sekarang mari kita berehat."

Cari pasangan.

Permainan melodi domino matematik.

"Jalan yang dia sendiri cari tidak akan dilupakan ..."

Penyelidikan. Aplikasi kamiran dalam ekonomi dan teknologi.

Ujian untuk pelajar yang kuat dan bola sepak matematik.

Simulator matematik.

2. Set semua antiderivatif bagi fungsi tertentu dipanggil

A) kamiran tak tentu

B) fungsi,

B) pembezaan.

7. Cari isipadu jasad yang diperolehi dengan berputar mengelilingi paksi absis trapezium lengkung yang dibatasi oleh garisan:

D/Z. Kira isipadu badan revolusi.

Refleksi.

Penerimaan refleksi dalam bentuk cinquain(lima baris).

Baris pertama - nama topik (satu kata nama).

Baris ke-2 - penerangan topik secara ringkas, dua kata sifat.

Baris ke-3 - perihalan tindakan dalam topik ini dalam tiga perkataan.

Baris ke-4 - frasa empat perkataan, menunjukkan sikap terhadap topik (ayat keseluruhan).

Baris ke-5 adalah sinonim yang mengulangi intipati topik.

1. Kelantangan.
2. Fungsi kamiran pasti, boleh diintegrasikan.
3. Kami membina, memutar, mengira.
4. Jasad yang diperolehi dengan memutarkan trapezoid melengkung (di sekeliling tapaknya).
5. Badan revolusi (badan geometri 3D).

Kesimpulan (gelongsor).

• Kamiran pasti adalah sejenis asas untuk kajian matematik, yang memberikan sumbangan yang sangat diperlukan untuk menyelesaikan masalah kandungan praktikal.
• Topik "Integral" jelas menunjukkan hubungan antara matematik dan fizik, biologi, ekonomi dan teknologi.
• Perkembangan sains moden tidak dapat difikirkan tanpa penggunaan integral. Dalam hal ini, adalah perlu untuk mula mempelajarinya dalam rangka pendidikan khusus menengah!

Penggredan. (Dengan ulasan.)

Omar Khayyam yang hebat ialah seorang ahli matematik, penyair, dan ahli falsafah. Dia memanggil untuk menjadi tuan kepada takdirnya. Dengarkan petikan daripada karya beliau:

Awak kata hidup ni sekejap je.
Hargainya, dapatkan inspirasi daripadanya.
Apabila anda membelanjakannya, ia akan berlalu.
Jangan lupa: dia adalah ciptaan anda.

Bagaimana untuk mengira isipadu badan revolusi
menggunakan kamiran pasti?

Secara umum, terdapat banyak aplikasi menarik dalam kalkulus kamiran, dengan bantuan kamiran yang pasti, anda boleh mengira luas angka, isipadu badan putaran, panjang arka, kawasan permukaan putaran, dan banyak lagi. Jadi ia akan menjadi menyeronokkan, sila optimis!

Bayangkan beberapa angka rata pada satah koordinat. diwakili? ... Saya tertanya-tanya siapa yang menyampaikan apa ... =))) Kami telah menemui kawasannya. Tetapi, sebagai tambahan, angka ini juga boleh diputar, dan diputar dalam dua cara:

- di sekeliling paksi-x;
- mengelilingi paksi-y.

Dalam artikel ini, kedua-dua kes akan dibincangkan. Kaedah putaran kedua amat menarik, ia menyebabkan kesukaran yang paling besar, tetapi sebenarnya penyelesaiannya hampir sama seperti dalam putaran yang lebih biasa di sekitar paksi-x. Sebagai bonus, saya akan kembali ke masalah mencari luas rajah, dan memberitahu anda cara mencari kawasan dengan cara kedua - di sepanjang paksi. Malah bukan bonus kerana bahan itu sesuai dengan tema.

Mari kita mulakan dengan jenis putaran yang paling popular.

rajah rata di sekeliling paksi

Kira isipadu jasad yang diperoleh dengan memutarkan rajah yang dibatasi oleh garisan mengelilingi paksi.

Keputusan: Seperti dalam masalah kawasan, penyelesaian dimulakan dengan lukisan angka rata. Iaitu, pada satah adalah perlu untuk membina angka yang dibatasi oleh garis , , sambil tidak lupa bahawa persamaan mentakrifkan paksi . Cara membuat lukisan dengan lebih rasional dan pantas boleh didapati di halaman Graf dan Sifat Fungsi Asas dan . Ini adalah peringatan Cina dan saya tidak berhenti pada ketika ini.

Lukisan di sini agak mudah:

Angka rata yang diingini dilorekkan dengan warna biru, dan ialah yang berputar mengelilingi paksi. Hasil daripada putaran, piring terbang berbentuk telur sedikit seperti itu diperolehi, yang simetri mengenai paksi. Sebenarnya, badan itu mempunyai nama matematik, tetapi terlalu malas untuk menyatakan sesuatu dalam buku rujukan, jadi kita teruskan.

Bagaimana untuk mengira isipadu badan revolusi?

Isipadu badan revolusi boleh dikira dengan formula:

Dalam formula, mesti ada nombor sebelum kamiran. Ia berlaku - semua yang berputar dalam kehidupan dikaitkan dengan pemalar ini.

Bagaimana untuk menetapkan had penyepaduan "a" dan "menjadi", saya fikir, mudah untuk meneka dari lukisan yang telah siap.

Fungsi... apakah fungsi ini? Mari lihat lukisan itu. Angka rata itu dibatasi oleh graf parabola dari atas. Ini adalah fungsi yang tersirat dalam formula.

Dalam tugas praktikal, angka rata kadangkala boleh diletakkan di bawah paksi. Ini tidak mengubah apa-apa - integrand dalam formula adalah kuasa dua: , dengan itu kamiran sentiasa bukan negatif, yang agak logik.

Kira isipadu badan revolusi menggunakan formula ini:

Seperti yang telah saya nyatakan, integral hampir selalu ternyata mudah, perkara utama adalah berhati-hati.

Jawab:

Dalam jawapannya, adalah perlu untuk menunjukkan dimensi - unit padu. Iaitu, dalam badan putaran kita terdapat kira-kira 3.35 "kubus". Kenapa betul-betul kubik unit? Kerana formulasi yang paling universal. Mungkin ada sentimeter padu, mungkin ada meter padu, mungkin ada kilometer padu, dan lain-lain, itulah berapa ramai lelaki hijau kecil yang boleh dimuatkan dalam imaginasi anda ke dalam piring terbang.

Cari isipadu jasad yang terbentuk melalui putaran mengelilingi paksi rajah yang dibatasi oleh garis , ,

Ini adalah contoh buat sendiri. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.

Mari kita pertimbangkan dua masalah yang lebih kompleks, yang juga sering dihadapi dalam amalan.

Kira isipadu jasad yang diperolehi dengan berputar mengelilingi paksi absis rajah yang dibatasi oleh garis , , dan

Keputusan: Lukiskan angka rata dalam lukisan, dibatasi oleh garis , , , , sambil tidak lupa bahawa persamaan mentakrifkan paksi:

Angka yang dikehendaki dilorekkan dengan warna biru. Apabila ia berputar di sekeliling paksi, donat surreal dengan empat penjuru diperolehi.

Isipadu badan revolusi dikira sebagai perbezaan isipadu badan.

Mula-mula, mari kita lihat rajah yang dibulatkan dengan warna merah. Apabila ia berputar mengelilingi paksi, kon terpenggal diperolehi. Mari kita nyatakan isipadu kon terpenggal ini sebagai .

Pertimbangkan rajah yang dibulatkan dengan warna hijau. Jika anda memutarkan rajah ini di sekeliling paksi, anda juga akan mendapat kon terpenggal, hanya lebih kecil sedikit. Mari kita nyatakan isipadunya dengan .

Dan, jelas sekali, perbezaan dalam jumlah adalah betul-betul jumlah "donut" kami.

Kami menggunakan formula standard untuk mencari isipadu badan revolusi:

1) Rajah yang dilingkari merah dibatasi dari atas oleh garis lurus, oleh itu:

2) Rajah yang dilingkari hijau dibatasi dari atas dengan garis lurus, oleh itu:

3) Isipadu badan revolusi yang dikehendaki:

Jawab:

Adalah aneh bahawa dalam kes ini penyelesaiannya boleh disemak menggunakan formula sekolah untuk mengira isipadu kon terpenggal.

Keputusan itu sendiri sering dibuat lebih pendek, seperti ini:

Sekarang mari kita berehat dan bercakap tentang ilusi geometri.

Orang sering mempunyai ilusi yang dikaitkan dengan jilid, yang Perelman (yang lain) perhatikan dalam buku itu geometri yang menarik. Lihat angka rata dalam masalah yang diselesaikan - ia nampaknya kecil di kawasan, dan isipadu badan revolusi adalah lebih daripada 50 unit padu, yang kelihatan terlalu besar. Ngomong-ngomong, orang biasa sepanjang hidupnya meminum cecair dengan isipadu bilik 18 meter persegi, yang, sebaliknya, nampaknya jumlahnya terlalu kecil.

Selepas penyimpangan lirik, adalah sesuai untuk menyelesaikan tugas kreatif:

Hitung isipadu jasad yang terbentuk melalui putaran tentang paksi suatu rajah rata yang dibatasi oleh garis , , dengan .

Ini adalah contoh buat sendiri. Sila ambil perhatian bahawa semua perkara berlaku dalam kumpulan itu, dengan kata lain, had penyepaduan siap sedia sebenarnya diberikan. Lukis graf fungsi trigonometri dengan betul, saya akan mengingatkan anda tentang bahan pelajaran transformasi geometri graf: jika hujah boleh dibahagikan dengan dua: , maka graf diregangkan sepanjang paksi dua kali. Adalah wajar untuk mencari sekurang-kurangnya 3-4 mata mengikut jadual trigonometri untuk melengkapkan lukisan dengan lebih tepat. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran. Dengan cara ini, tugas itu boleh diselesaikan secara rasional dan tidak terlalu rasional.

Pengiraan isipadu jasad yang terbentuk melalui putaran
rajah rata di sekeliling paksi

Perenggan kedua akan menjadi lebih menarik daripada perenggan pertama. Tugas mengira isipadu badan revolusi di sekeliling paksi-y juga merupakan pelawat yang agak kerap dalam ujian. Secara lulus akan dipertimbangkan masalah mencari luas rajah cara kedua - dengan menyepadukan sepanjang paksi, ini akan membolehkan anda bukan sahaja untuk meningkatkan kemahiran anda, tetapi juga mengajar anda cara mencari penyelesaian yang paling menguntungkan. Ia juga mempunyai makna praktikal! Semasa guru saya dalam kaedah pengajaran matematik mengenang kembali sambil tersenyum, ramai graduan mengucapkan terima kasih kepadanya dengan kata-kata: "Subjek anda banyak membantu kami, kini kami adalah pengurus yang berkesan dan menguruskan kakitangan kami secara optimum." Mengambil kesempatan ini, saya juga merakamkan setinggi-tinggi penghargaan kepada beliau, lebih-lebih lagi saya menggunakan ilmu yang diperolehi untuk tujuan yang dimaksudkan =).

Saya mengesyorkannya untuk dibaca oleh semua orang, walaupun boneka yang lengkap. Selain itu, bahan berasimilasi perenggan kedua akan menjadi bantuan yang tidak ternilai dalam mengira kamiran berganda.

Diberi angka rata yang dibatasi oleh garis , , .

1) Cari luas rajah rata yang dibatasi oleh garis-garis ini.
2) Cari isipadu jasad yang diperoleh dengan memutarkan rajah rata yang dibatasi oleh garisan ini mengelilingi paksi.

Perhatian! Walaupun anda hanya mahu membaca perenggan kedua, pastikan anda membaca perenggan pertama dahulu!

Keputusan: Tugasan terdiri daripada dua bahagian. Mari kita mulakan dengan petak.

1) Mari kita laksanakan lukisan:

Adalah mudah untuk melihat bahawa fungsi mentakrifkan cawangan atas parabola, dan fungsi mentakrifkan cawangan bawah parabola. Di hadapan kita adalah parabola remeh, yang "terletak di sisinya."

Angka yang dikehendaki, kawasan yang boleh ditemui, dilorekkan dengan warna biru.

Bagaimana untuk mencari luas angka? Ia boleh didapati dengan cara "biasa", yang dipertimbangkan dalam pelajaran. Kamiran pasti. Bagaimana untuk mengira luas rajah. Selain itu, luas angka itu didapati sebagai jumlah kawasan:
- pada segmen ;
- pada segmen.

Jadi:

Apakah yang salah dengan penyelesaian biasa dalam kes ini? Pertama, terdapat dua kamiran. Kedua, punca di bawah kamiran, dan punca kamiran bukan hadiah, lebih-lebih lagi, seseorang boleh keliru dalam menggantikan had kamiran. Sebenarnya, integral, tentu saja, tidak mematikan, tetapi dalam praktiknya semuanya lebih menyedihkan, saya hanya mengambil fungsi "lebih baik" untuk tugas itu.

Terdapat penyelesaian yang lebih rasional: ia terdiri daripada peralihan kepada fungsi songsang dan penyepaduan sepanjang paksi.

Bagaimana untuk menghantar ke fungsi songsang? Secara kasarnya, anda perlu menyatakan "x" melalui "y". Pertama, mari kita berurusan dengan parabola:

Ini sudah cukup, tetapi mari kita pastikan bahawa fungsi yang sama boleh diperolehi dari cawangan bawah:

Dengan garis lurus, semuanya lebih mudah:

Sekarang lihat paksi : sila condongkan kepala anda ke kanan 90 darjah secara berkala semasa penjelasan (ini bukan jenaka!). Angka yang kita perlukan terletak pada segmen, yang ditunjukkan oleh garis putus-putus merah. Pada masa yang sama, pada segmen, garis lurus terletak di atas parabola, yang bermaksud bahawa kawasan angka itu harus dicari menggunakan formula yang sudah biasa kepada anda: . Apa yang telah berubah dalam formula? Hanya sepucuk surat, tidak lebih.

! Catatan: Had integrasi sepanjang paksi hendaklah ditetapkan dengan ketat dari bawah ke atas!

Mencari kawasan:

Pada segmen, oleh itu:

Beri perhatian kepada bagaimana saya menjalankan penyepaduan, ini adalah cara yang paling rasional, dan dalam perenggan seterusnya tugasan akan jelas mengapa.

Bagi pembaca yang meragui ketepatan integrasi, saya akan mencari derivatif:

integrand asal diperolehi, yang bermaksud bahawa integrasi dilakukan dengan betul.

Jawab:

2) Kira isipadu jasad yang terbentuk oleh putaran rajah ini mengelilingi paksi.

Saya akan melukis semula lukisan dalam reka bentuk yang sedikit berbeza:

Jadi, rajah yang berlorek biru berputar mengelilingi paksi. Hasilnya ialah "rama-rama melayang" yang berputar mengelilingi paksinya.

Untuk mencari isipadu badan revolusi, kita akan menyepadukan sepanjang paksi. Mula-mula kita perlu beralih ke fungsi songsang. Perkara ini telah pun dilakukan dan diterangkan secara terperinci dalam perenggan sebelumnya.

Sekarang kita condongkan kepala kita ke kanan sekali lagi dan mengkaji angka kita. Jelas sekali, isipadu badan revolusi harus didapati sebagai perbezaan antara isipadu.

Kami memutarkan rajah yang dilingkari merah di sekeliling paksi, menghasilkan kon terpotong. Mari kita nyatakan jilid ini dengan .

Kami memutarkan angka itu, dilingkari hijau, di sekeliling paksi dan menandakannya melalui isipadu badan revolusi yang terhasil.

Isipadu rama-rama kita adalah sama dengan perbezaan isipadu.

Kami menggunakan formula untuk mencari isipadu badan revolusi:

Bagaimanakah ia berbeza daripada formula perenggan sebelumnya? Hanya dalam surat.

Dan inilah kelebihan integrasi yang saya bincangkan sebentar tadi, ia lebih mudah dicari daripada menaikkan integrand terlebih dahulu kepada kuasa ke-4.

Jawab:

Ambil perhatian bahawa jika angka rata yang sama diputarkan di sekeliling paksi, maka satu badan revolusi yang sama sekali berbeza akan berubah, dengan isipadu yang berbeza, secara semula jadi,.

Diberi rajah rata yang dibatasi oleh garis , dan paksi .

1) Pergi ke fungsi songsang dan cari luas angka rata yang dibatasi oleh garis-garis ini dengan menyepadukan ke atas pembolehubah.
2) Kira isipadu jasad yang diperolehi dengan memutarkan rajah rata yang dibatasi oleh garisan ini mengelilingi paksi.

Ini adalah contoh buat sendiri. Mereka yang ingin juga boleh mencari kawasan angka itu dengan cara "biasa", dengan itu menyelesaikan ujian titik 1). Tetapi jika, saya ulangi, anda memutarkan angka rata di sekeliling paksi, maka anda mendapat badan putaran yang sama sekali berbeza dengan jumlah yang berbeza, dengan cara itu, jawapan yang betul (juga untuk mereka yang suka menyelesaikan).

Penyelesaian lengkap kedua-dua item tugasan yang dicadangkan pada akhir pelajaran.

Oh, dan jangan lupa condongkan kepala anda ke kanan untuk memahami badan putaran dan dalam integrasi!

Saya mahu, sudah pun, untuk menyelesaikan artikel itu, tetapi hari ini mereka membawa contoh yang menarik hanya untuk mencari isipadu badan revolusi di sekeliling paksi-y. segar:

Hitung isipadu jasad yang terbentuk melalui putaran mengelilingi paksi rajah yang dibatasi oleh lengkung dan .

Keputusan: Mari buat lukisan:

Sepanjang perjalanan, kami berkenalan dengan graf beberapa fungsi lain. Graf fungsi genap yang begitu menarik ....

I. Jilid badan revolusi. Kaji terlebih dahulu bab XII, p°p° 197, 198, menurut buku teks oleh G. M. Fikhtengol'ts* Analisis secara terperinci contoh-contoh yang diberikan dalam ms 198.

508. Hitung isipadu jasad yang terbentuk oleh putaran elips Mengelilingi paksi-x.

Oleh itu,

530. Cari luas permukaan yang dibentuk oleh putaran di sekeliling paksi Ox lengkok sinusoid y \u003d sin x dari titik X \u003d 0 ke titik X \u003d Ia.

531. Hitung luas permukaan sebuah kon dengan ketinggian h dan jejari r.

532. Kira luas permukaan yang dibentuk oleh

putaran astroid x3 -) - y* - a3 mengelilingi paksi-x.

533. Hitung luas permukaan yang dibentuk oleh penyongsangan gelung lengkung 18 y-x(6-x)r di sekeliling paksi-x.

534. Cari permukaan torus yang dihasilkan oleh putaran bulatan X2 - j - (y-3)2 = 4 mengelilingi paksi-x.

535. Hitung luas permukaan yang dibentuk oleh putaran bulatan X = kos, y = asint di sekeliling paksi Lembu.

536. Hitung luas permukaan yang dibentuk oleh putaran gelung lengkung x = 9t2, y = St - 9t3 mengelilingi paksi Ox.

537. Cari luas permukaan yang dibentuk oleh putaran lengkok lengkok x = e * sint, y = el kos di sekeliling paksi Ox

daripada t = 0 kepada t = -.

538. Tunjukkan bahawa permukaan yang dihasilkan oleh putaran lengkok sikloid x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) di sekeliling paksi Oy, adalah bersamaan dengan 16 u2 o2.

539. Cari permukaan yang diperoleh dengan memutarkan kardioid mengelilingi paksi kutub.

540. Cari luas permukaan yang dibentuk oleh putaran lemniskat mengelilingi paksi kutub.

Tugas Tambahan untuk Bab IV

Kawasan angka satah

541. Cari keseluruhan kawasan kawasan yang dibatasi oleh lengkung Dan paksi Oh.

542. Cari luas kawasan yang dibatasi oleh lengkung

Dan paksi Oh.

543. Cari bahagian luas wilayah yang terletak dalam sukuan pertama dan dibatasi oleh lengkung

l paksi koordinat.

544. Cari luas kawasan yang terkandung di dalamnya

gelung:

545. Cari luas kawasan yang dibatasi oleh satu gelung lengkung:

546. Cari luas kawasan yang terkandung di dalam gelung:

547. Cari luas kawasan yang dibatasi oleh lengkung

Dan paksi Oh.

548. Cari luas kawasan yang dibatasi oleh lengkung

Dan paksi Oh.

549. Cari luas kawasan yang dibatasi oleh paksi Oxr

lurus dan melengkung

Biarkan T ialah jasad revolusi yang dibentuk melalui putaran mengelilingi paksi absis trapezium lengkung yang terletak pada separuh satah atas dan dibatasi oleh paksi absis, garis lurus x=a dan x=b dan graf bagi fungsi selanjar y =f(x) .

Mari kita buktikan bahawa ini badan revolusi boleh cuba dan isipadunya dinyatakan dengan formula

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Pertama, kita membuktikan bahawa badan revolusi ini adalah tetap jika kita mengambil sebagai \Pi satah Oyz berserenjang dengan paksi revolusi. Ambil perhatian bahawa bahagian yang terletak pada jarak x dari satah Oyz ialah bulatan berjejari f(x) dan luasnya S(x) ialah \pi f^2(x) (Rajah 46). Oleh itu, fungsi S(x) adalah selanjar disebabkan oleh kesinambungan f(x) . Seterusnya, jika S(x_1)\leqslant S(x_2), maka ini bermakna bahawa . Tetapi unjuran bahagian pada satah Oyz ialah bulatan berjejari f(x_1) dan f(x_2) dengan pusat O , dan dari f(x_1)\leqslant f(x_2) ia berikutan bahawa bulatan jejari f(x_1) terkandung dalam bulatan jejari f(x_2) .

Jadi, badan putaran adalah teratur. Oleh itu, ia boleh kubus dan isipadunya dikira dengan formula

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Jika trapezoid melengkung diikat kedua-dua dari bawah dan dari atas oleh lengkung y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) , maka

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

Formula (3) juga boleh digunakan untuk mengira isipadu badan revolusi dalam kes apabila sempadan rajah berputar diberikan oleh persamaan parametrik. Dalam kes ini, seseorang perlu menggunakan perubahan pembolehubah di bawah tanda kamiran pasti.

Dalam sesetengah kes, ternyata mudah untuk menguraikan badan revolusi bukan menjadi silinder bulat lurus, tetapi menjadi angka dari jenis yang berbeza.

Sebagai contoh, mari kita cari isipadu jasad yang diperoleh dengan memutarkan trapezium melengkung mengelilingi paksi-y. Mula-mula, mari kita cari isipadu yang diperoleh dengan memutarkan segi empat tepat dengan ketinggian y#, di pangkalnya terletak segmen . Isipadu ini adalah sama dengan perbezaan antara isipadu dua silinder bulat lurus

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

Tetapi kini jelas bahawa jumlah yang dikehendaki dianggarkan dari atas dan bawah seperti berikut:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Dari ini ia mudah mengikuti formula untuk isipadu badan revolusi di sekeliling paksi-y:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

Contoh 4 Cari isipadu bola berjejari R.

Keputusan. Tanpa kehilangan keluasan, kita akan mempertimbangkan bulatan jejari R berpusat pada asalan. Bulatan ini, berputar mengelilingi paksi Lembu, membentuk bola. Persamaan bulatan ialah x^2+y^2=R^2 , jadi y^2=R^2-x^2 . Memandangkan simetri bulatan tentang paksi-y, kita mula-mula mencari separuh daripada isipadu yang dikehendaki

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \kiri.(\pi\!\kiri(R^2x- \frac(x^3)(3)\kanan))\kanan|_(0)^(R)= \pi\ !\kiri(R^3- \frac(R^3)(3)\kanan)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Oleh itu, isipadu keseluruhan sfera ialah \frac(4)(3)\pi R^3.

Contoh 5 Hitung isipadu kon yang tingginya h dan jejari tapaknya ialah r.

Keputusan. Kami memilih sistem koordinat supaya paksi Ox bertepatan dengan ketinggian h (Rajah 47), dan kami mengambil bahagian atas kon sebagai asal. Kemudian persamaan garis OA boleh ditulis sebagai y=\frac(r)(h)\,x .

Dengan menggunakan formula (3), kami memperoleh:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \kiri.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\kanan|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2j\,.

Contoh 6 Cari isipadu jasad yang diperoleh dengan berputar mengelilingi paksi absis astroid \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(cases)(Gamb. 48).

Keputusan. Mari bina astroid. Pertimbangkan separuh daripada bahagian atas astroid, terletak secara simetri pada paksi-y. Menggunakan formula (3) dan menukar pembolehubah di bawah tanda kamiran pasti, kita dapati had pengamiran untuk pembolehubah baru t.

Jika x=a\cos^3t=0 , maka t=\frac(\pi)(2) , dan jika x=a\cos^3t=a , maka t=0 . Diberi bahawa y^2=a^2\sin^6t dan dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, kita mendapatkan:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Isipadu seluruh badan yang terbentuk oleh putaran astroid adalah \frac(32\pi)(105)\,a^3.

Contoh 7 Cari isipadu jasad yang diperolehi dengan berputar mengelilingi paksi-y trapezium lengkung yang dibatasi oleh paksi absis dan lengkung pertama sikloid \begin(kes)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(cases).

Keputusan. Kami menggunakan formula (4): V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, dan gantikan pembolehubah di bawah tanda kamiran, dengan mengambil kira bahawa lengkok pertama sikloid terbentuk apabila pembolehubah t berubah daripada 0 kepada 2\pi . Oleh itu,

\mula(diselaraskan)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2 )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\kanan))\kanan|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\kiri(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\kanan)= 6\pi^3a^3. \end(diselaraskan)

Menggunakan Kamiran untuk Mencari Isipadu Pepejal Revolusi

Kegunaan praktikal matematik adalah disebabkan oleh fakta bahawa tanpa

pengetahuan matematik khusus menyukarkan untuk memahami prinsip peranti dan penggunaan teknologi moden. Setiap orang dalam hidupnya perlu melakukan pengiraan yang agak rumit, menggunakan peralatan yang biasa digunakan, mencari formula yang diperlukan dalam buku rujukan, dan mengarang algoritma mudah untuk menyelesaikan masalah. Dalam masyarakat moden, semakin banyak kepakaran yang memerlukan tahap pendidikan yang tinggi dikaitkan dengan aplikasi langsung matematik. Oleh itu, bagi murid sekolah, matematik menjadi mata pelajaran yang penting secara profesional. Peranan utama adalah milik matematik dalam pembentukan pemikiran algoritma, ia membawa keupayaan untuk bertindak mengikut algoritma yang diberikan dan mereka bentuk algoritma baru.

Mempelajari topik penggunaan kamiran untuk mengira isipadu jasad revolusi, saya mencadangkan pelajar dalam kelas pilihan mempertimbangkan topik: "Jumlah badan revolusi menggunakan kamiran." Berikut adalah beberapa garis panduan untuk menangani topik ini:

1. Luas rajah rata.

Daripada kursus algebra, kita tahu bahawa masalah praktikal membawa kepada konsep kamiran pasti..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Untuk mencari isipadu jasad revolusi yang dibentuk oleh putaran trapezoid melengkung mengelilingi paksi Lembu, dibatasi oleh garis putus y=f(x), paksi Lembu, garis lurus x=a dan x=b, kita mengira dengan formula

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Isipadu silinder.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Kon diperoleh dengan memutarkan segitiga bersudut tegak ABC(C=90) di sekeliling paksi Lembu di mana kaki AC terletak.

Segmen AB terletak pada baris y=kx+c, di mana https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Biarkan a=0, b=H (H ialah ketinggian kon), kemudian Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. Isipadu kon terpenggal.

Kon terpenggal boleh diperolehi dengan memutarkan trapezoid segi empat tepat ABCD (CDOx) mengelilingi paksi Lembu.

Segmen AB terletak pada garis y=kx+c, di mana , c=r.

Oleh kerana garis itu melalui titik A (0; r).

Oleh itu, garis lurus kelihatan seperti https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Biarkan a=0, b=H (H ialah ketinggian kon terpenggal), kemudian https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Isipadu bola.

Bola boleh diperolehi dengan memutarkan bulatan dengan pusat (0;0) mengelilingi paksi-x. Separuh bulatan yang terletak di atas paksi-x diberikan oleh persamaan

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.