Isipadu piramid dengan tapak segi tiga sama sisi. Isipadu piramid segi tiga

Salah satu angka volumetrik yang paling mudah ialah piramid segi tiga, kerana ia terdiri daripada bilangan muka terkecil dari mana rajah boleh dibentuk di angkasa. Dalam artikel ini, kami akan mempertimbangkan formula yang anda boleh mencari isipadu piramid biasa segi tiga.

piramid segi tiga

Mengikut definisi umum, piramid ialah poligon, semua bucunya disambungkan ke satu titik yang tidak terletak dalam satah poligon ini. Jika yang terakhir adalah segi tiga, maka keseluruhan rajah itu dipanggil piramid segi tiga.

Piramid yang dipertimbangkan terdiri daripada tapak (segi tiga) dan tiga muka sisi (segi tiga). Titik di mana tiga muka sisi disambungkan dipanggil bucu rajah. Serenjang jatuh ke pangkal dari bucu ini ialah ketinggian piramid. Jika titik persilangan serenjang dengan tapak bertepatan dengan titik persilangan median segitiga di pangkalan, maka mereka bercakap tentang piramid biasa. Jika tidak, ia akan menjadi condong.

Seperti yang telah dikatakan, tapak piramid segi tiga boleh menjadi segi tiga am. Walau bagaimanapun, jika ia adalah sama sisi, dan piramid itu sendiri adalah lurus, maka mereka bercakap tentang angka tiga dimensi yang betul.

Setiap satu mempunyai 4 muka, 6 tepi dan 4 bucu. Jika panjang semua tepi adalah sama, maka angka tersebut dipanggil tetrahedron.

jenis umum

Sebelum menulis piramid segi tiga biasa, kami memberikan ungkapan untuk kuantiti fizik ini untuk piramid jenis umum. Ungkapan ini kelihatan seperti:

Di sini S o ialah luas tapak, h ialah ketinggian rajah. Kesamaan ini akan sah untuk sebarang jenis asas poligon piramid, dan juga untuk kon. Jika di tapaknya terdapat segitiga yang mempunyai panjang sisi a dan ketinggian h o diturunkan kepadanya, maka formula untuk isipadu akan ditulis seperti berikut:

Formula untuk isipadu piramid segi tiga biasa

Segi tiga mempunyai segi tiga sama di tapak. Adalah diketahui bahawa ketinggian segi tiga ini berkaitan dengan panjang sisinya dengan kesamaan:

Menggantikan ungkapan ini ke dalam formula untuk isipadu piramid segi tiga, yang ditulis dalam perenggan sebelumnya, kita dapat:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

Isipadu piramid sekata dengan tapak segi tiga ialah fungsi panjang sisi tapak dan ketinggian rajah.

Oleh kerana mana-mana poligon sekata boleh ditulis dalam bulatan yang jejarinya secara unik menentukan panjang sisi poligon, maka formula ini boleh ditulis dalam sebutan jejari r yang sepadan:

Formula ini mudah diperolehi daripada yang sebelumnya, memandangkan jejari r bulatan yang dihadkan melalui panjang sisi a segitiga ditentukan oleh ungkapan:

Tugas menentukan isipadu tetrahedron

Mari kita tunjukkan cara menggunakan formula di atas dalam menyelesaikan masalah geometri tertentu.

Diketahui bahawa tetrahedron mempunyai panjang tepi 7 cm Cari isipadu piramid-tetrahedron segi tiga sekata.

Ingat bahawa tetrahedron ialah piramid segi tiga sekata di mana semua tapak adalah sama antara satu sama lain. Untuk menggunakan formula bagi isipadu piramid segi tiga biasa, anda perlu mengira dua kuantiti:

panjang sisi segi tiga;
ketinggian angka.

Nilai pertama diketahui dari keadaan masalah:

Untuk menentukan ketinggian, pertimbangkan rajah yang ditunjukkan dalam rajah.

Segitiga ABC yang bertanda ialah segi tiga tegak dengan sudut ABC ialah 90o. Sisi AC ialah hipotenus, yang panjangnya ialah a. Dengan penaakulan geometri mudah, ia boleh ditunjukkan bahawa sisi BC mempunyai panjang:

Ambil perhatian bahawa panjang BC ialah jejari bulatan berhad di sekeliling segi tiga.

h \u003d AB \u003d √ (AC 2 - BC 2) \u003d √ (a 2 - a 2 / 3) \u003d a * √ (2/3).

Kini anda boleh menggantikan h dan a ke dalam formula yang sepadan untuk volum:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

Oleh itu, kami telah memperoleh formula untuk isipadu tetrahedron. Ia boleh dilihat bahawa isipadu hanya bergantung pada panjang rusuk. Jika kita menggantikan nilai dari keadaan masalah ke dalam ungkapan, maka kita mendapat jawapannya:

V \u003d √2 / 12 * 7 3 ≈ 40.42 cm 3.

Jika kita membandingkan nilai ini dengan isipadu kubus yang mempunyai tepi yang sama, kita dapati bahawa isipadu tetrahedron adalah 8.5 kali lebih kecil. Ini menunjukkan bahawa tetrahedron adalah angka padat, yang direalisasikan dalam beberapa bahan semula jadi. Contohnya, molekul metana ialah tetrahedral, dan setiap atom karbon dalam berlian disambungkan kepada empat atom lain untuk membentuk tetrahedron.

Masalah dengan piramid homotetik

Mari kita selesaikan satu masalah geometri yang ingin tahu. Andaikan bahawa terdapat sebuah piramid sekata segi tiga dengan beberapa isipadu V 1 . Berapa kalikah saiz rajah ini harus dikecilkan untuk mendapatkan piramid homotetik kepadanya dengan isipadu tiga kali lebih kecil daripada yang asal?

Mari kita mulakan menyelesaikan masalah dengan menulis formula untuk piramid biasa asal:

V 1 \u003d √3 / 12 * a 1 2 * h 1.

Biarkan isipadu rajah yang diperlukan oleh keadaan masalah diperoleh dengan mendarab parameternya dengan pekali k. Kami ada:

V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .

Oleh kerana nisbah isipadu angka diketahui daripada keadaan, kita memperoleh nilai pekali k:

k \u003d ∛ (V 2 / V 1) \u003d ∛ (1/3) ≈ 0.693.

Ambil perhatian bahawa kita akan memperoleh nilai yang sama bagi pekali k untuk jenis piramid yang sewenang-wenangnya, dan bukan hanya untuk segi tiga biasa.

Untuk mencari isipadu piramid, anda perlu mengetahui beberapa formula. Mari kita pertimbangkan mereka.

Bagaimana untuk mencari isipadu piramid - cara pertama

Isipadu piramid boleh didapati menggunakan ketinggian dan luas tapaknya. V = 1/3*S*h. Jadi, sebagai contoh, jika ketinggian piramid ialah 10 cm, dan luas tapaknya ialah 25 cm 2, maka isipadunya akan sama dengan V \u003d 1/3 * 25 * 10 \u003d 1 /3 * 250 \u003d 83.3 cm 3

Bagaimana untuk mencari isipadu piramid - kaedah ke-2

Jika poligon sekata terletak di dasar piramid, maka isipadunya boleh didapati menggunakan formula berikut: V \u003d na 2 h / 12 * tg (180 / n), di mana a ialah sisi poligon yang terletak di tapak, dan n ialah bilangan sisinya. Sebagai contoh: Tapak ialah heksagon sekata, iaitu, n = 6. Oleh kerana ia sekata, semua sisinya adalah sama, iaitu, semua a adalah sama. Katakan a = 10 dan h - 15. Kami memasukkan nombor ke dalam formula dan kami mendapat jawapan anggaran - 1299 cm 3

Bagaimana untuk mencari isipadu piramid - cara ke-3

Jika segitiga sama sisi terletak di dasar piramid, maka isipadunya boleh didapati dengan formula berikut: V = ha 2 /4√3, dengan a ialah sisi segi tiga sama. Sebagai contoh: ketinggian piramid ialah 10 cm, sisi tapak ialah 5 cm Isipadu akan sama dengan V \u003d 10 * 25 / 4 √ 3 \u003d 250 / 4 √ 3. Biasanya, apa yang berlaku dalam penyebut tidak dikira dan dibiarkan dalam bentuk yang sama. Anda juga boleh mendarab kedua-dua pengangka dan penyebut dengan 4√3 untuk mendapatkan 1000√3/48. Mengurangkan kita mendapat 125√ 3/6 cm 3.

Bagaimana untuk mencari isipadu piramid - cara ke-4

Jika segi empat sama terletak di dasar piramid, maka isipadunya boleh didapati dengan formula berikut: V = 1/3*h*a 2, dengan a ialah sisi segi empat sama. Contohnya: ketinggian - 5 cm, sisi segi empat sama - 3 cm V \u003d 1/3 * 5 * 9 \u003d 15 cm 3

Bagaimana untuk mencari isipadu piramid - cara ke-5

Jika piramid ialah tetrahedron, iaitu semua mukanya ialah segi tiga sama sisi, anda boleh mencari isipadu piramid menggunakan formula berikut: V = a 3 √2/12, dengan a ialah tepi tetrahedron. Contohnya: tepi tetrahedron \u003d 7. V \u003d 7 * 7 * 7√2 / 12 \u003d 343 cm 3

Apa itu piramid?

Bagaimana rupa dia?

Anda lihat: di piramid di bawah (mereka berkata " di pangkalan”) beberapa poligon, dan semua bucu poligon ini disambungkan ke beberapa titik dalam ruang (titik ini dipanggil “ puncak»).

Keseluruhan struktur ini mempunyai muka sebelah, rusuk sebelah dan rusuk asas. Sekali lagi, mari kita lukis piramid bersama semua nama ini:

Sesetengah piramid mungkin kelihatan sangat pelik, tetapi ia masih piramid.

Di sini, sebagai contoh, agak "serong" piramid.

Dan sedikit lagi mengenai nama-nama: jika terdapat segitiga di dasar piramid, maka piramid itu dipanggil segi tiga;

Pada masa yang sama, titik di mana ia jatuh ketinggian, dipanggil asas ketinggian. Perhatikan bahawa dalam piramid "bengkok". ketinggian malah mungkin berada di luar piramid. seperti ini:

Dan tidak ada yang mengerikan dalam hal ini. Ia kelihatan seperti segi tiga tumpul.

Piramid yang betul.

Banyak kata susah? Mari kita tafsirkan: " Pada asasnya - betul"- ini boleh difahami. Dan sekarang ingat bahawa poligon sekata mempunyai pusat - titik yang merupakan pusat dan , dan .

Nah, perkataan "bahagian atas diunjurkan ke tengah tapak" bermaksud bahawa pangkal ketinggian jatuh tepat ke tengah tapak. Lihatlah betapa licin dan comelnya piramid kanan.

Heksagon: di pangkalan - heksagon biasa, bucu diunjurkan ke tengah tapak.

segi empat: di pangkalan - segi empat sama, bahagian atas diunjurkan ke titik persilangan pepenjuru segi empat sama ini.

segi tiga: di tapak adalah segi tiga sekata, bucu diunjurkan ke titik persilangan ketinggian (ia juga median dan pembahagi dua) segi tiga ini.

sangat sifat penting piramid biasa:

Dalam piramid yang betul

semua tepi sisi adalah sama.
semua muka sisi ialah segi tiga sama kaki dan semua segi tiga ini adalah sama.

Isipadu Piramid

Formula utama untuk isipadu piramid:

Dari manakah ia datang? Ini tidak begitu mudah, dan pada mulanya anda hanya perlu ingat bahawa piramid dan kon mempunyai isipadu dalam formula, tetapi silinder tidak.

Sekarang mari kita mengira isipadu piramid yang paling popular.

Biarkan sisi tapak sama, dan tepi sisi sama. Saya perlu mencari dan.

Ini adalah luas segi tiga tepat.

Mari kita ingat bagaimana untuk mencari kawasan ini. Kami menggunakan formula kawasan:

Kami mempunyai "" - ini, dan "" - ini juga, eh.

Sekarang mari kita cari.

Mengikut teorem Pythagoras untuk

Apa yang penting? Ini ialah jejari bulatan yang dihadkan dalam, kerana piramidbetul dan seterusnya pusat.

Sejak - titik persimpangan dan median juga.

(Teorem Pythagoras untuk)

Gantikan dalam formula untuk.

Mari masukkan semuanya ke dalam formula volum:

Perhatian: jika anda mempunyai tetrahedron biasa (iaitu), maka formulanya ialah:

Biarkan sisi tapak sama, dan tepi sisi sama.

Tidak perlu mencari di sini; kerana di pangkalan adalah segi empat sama, dan oleh itu.

Jom cari. Mengikut teorem Pythagoras untuk

Adakah kita tahu? Hampir. Lihat:

(kami melihat ini dengan menyemak).

Gantikan dalam formula untuk:

Dan sekarang kita menggantikan dan ke dalam formula volum.

Biarkan sisi tapak sama, dan tepi sisi.

Bagaimana untuk mencari? Lihat, heksagon mengandungi tepat enam segi tiga sekata yang sama. Kami telah pun mencari luas segi tiga sekata apabila mengira isipadu piramid segi tiga sekata, di sini kami menggunakan formula yang ditemui.

Sekarang mari kita cari (ini).

Mengikut teorem Pythagoras untuk

Tetapi apa yang penting? Ia mudah kerana (dan orang lain juga) betul.

Kami menggantikan:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMID. SECARA RINGKAS TENTANG UTAMA

Piramid ialah polihedron yang terdiri daripada sebarang poligon rata (), titik yang tidak terletak pada satah tapak (atas piramid) dan semua segmen yang menghubungkan bahagian atas piramid ke titik tapak (tepi sisi. ).

Serenjang jatuh dari bahagian atas piramid ke satah tapak.

Piramid yang betul- piramid, yang mempunyai poligon sekata di pangkalan, dan bahagian atas piramid diunjurkan ke tengah tapak.

Sifat piramid biasa:

Dalam piramid biasa, semua tepi sisi adalah sama.
Semua muka sisi ialah segi tiga sama kaki dan semua segi tiga ini adalah sama.

Isipadu piramid:

Nah, topik itu sudah tamat. Jika anda membaca baris ini, maka anda sangat keren.

Kerana hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu dengan sendiri. Dan jika anda telah membaca sehingga habis, maka anda berada dalam 5%!

Sekarang perkara yang paling penting.

Anda telah mengetahui teori mengenai topik ini. Dan, saya ulangi, ia ... ia sangat hebat! Anda sudah lebih baik daripada kebanyakan rakan sebaya anda.

Masalahnya ialah ini mungkin tidak mencukupi ...

Untuk apa?

Untuk kejayaan lulus peperiksaan, untuk kemasukan ke institut pada bajet dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan anda tentang apa-apa, saya hanya akan mengatakan satu perkara ...

Orang yang telah mendapat pendidikan yang baik mendapat lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tetapi ini bukan perkara utama.

Perkara utama ialah mereka LEBIH BAHAGIA (ada kajian sedemikian). Mungkin kerana lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? tidak tahu...

Tapi fikir sendiri...

Apakah yang diperlukan untuk memastikan anda menjadi lebih baik daripada orang lain dalam peperiksaan dan akhirnya ... lebih gembira?

LENGKAPKAN TANGAN ANDA, SELESAIKAN MASALAH MENGENAI TOPIK INI.

Pada peperiksaan, anda tidak akan ditanya teori.

Anda perlu menyelesaikan masalah tepat pada masanya.

Dan, jika anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), anda pasti akan membuat kesilapan bodoh di suatu tempat atau tidak akan berjaya tepat pada masanya.

Ia seperti dalam sukan - anda perlu mengulangi berkali-kali untuk menang dengan pasti.

Cari koleksi di mana sahaja anda mahu semestinya dengan penyelesaian, analisis terperinci dan tentukan, tentukan, tentukan!

Anda boleh menggunakan tugas kami (tidak perlu) dan kami pasti mengesyorkannya.

Untuk mendapatkan bantuan dengan bantuan tugasan kami, anda perlu membantu memanjangkan hayat buku teks YouClever yang sedang anda baca.

Bagaimana? Terdapat dua pilihan:

Buka kunci akses kepada semua tugas tersembunyi dalam artikel ini - 299 gosok.
Buka kunci akses kepada semua tugas tersembunyi dalam semua 99 artikel tutorial - 499 gosok.

Ya, kami mempunyai 99 artikel sedemikian dalam buku teks dan akses kepada semua tugasan dan semua teks tersembunyi di dalamnya boleh dibuka serta-merta.

Akses kepada semua tugas tersembunyi disediakan untuk sepanjang hayat tapak.

Kesimpulannya...

Jika anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Cuma jangan berhenti dengan teori.

"Difahamkan" dan "Saya tahu bagaimana untuk menyelesaikan" adalah kemahiran yang sama sekali berbeza. Anda perlukan kedua-duanya.

Cari masalah dan selesaikan!

Piramid ialah polihedron dengan poligon di tapaknya. Semua muka, seterusnya, membentuk segi tiga yang menumpu pada satu bucu. Piramid adalah segi tiga, segi empat, dan sebagainya. Untuk menentukan piramid yang ada di hadapan anda, cukup untuk mengira bilangan sudut di pangkalannya. Takrifan "ketinggian piramid" sangat kerap ditemui dalam masalah geometri dalam kurikulum sekolah. Dalam artikel kami akan cuba mempertimbangkan cara yang berbeza untuk mencarinya.

Bahagian piramid

Setiap piramid terdiri daripada unsur-unsur berikut:

muka sisi yang mempunyai tiga sudut dan menumpu di bahagian atas;
apotema mewakili ketinggian yang menurun dari atasnya;
bahagian atas piramid adalah titik yang menghubungkan tepi sisi, tetapi tidak terletak pada satah pangkalan;
tapak ialah poligon yang tidak mengandungi bucu;
ketinggian piramid ialah satu ruas yang memotong bahagian atas piramid dan membentuk sudut tepat dengan tapaknya.

Bagaimana untuk mencari ketinggian piramid jika isipadunya diketahui

Melalui formula V \u003d (S * h) / 3 (dalam formula V ialah isipadu, S ialah luas tapak, h ialah ketinggian piramid), kita dapati bahawa h \u003d (3 * V) / S . Untuk menyatukan bahan, mari segera selesaikan masalah itu. Tapak segi tiga ialah 50 cm 2 manakala isipadunya ialah 125 cm 3 . Ketinggian piramid segi tiga tidak diketahui, yang perlu kita cari. Semuanya mudah di sini: kami memasukkan data ke dalam formula kami. Kami mendapat h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7.5 cm.

Bagaimana untuk mencari ketinggian piramid jika panjang pepenjuru dan tepinya diketahui

Seperti yang kita ingat, ketinggian piramid membentuk sudut tepat dengan tapaknya. Dan ini bermakna bahawa ketinggian, tepi dan separuh pepenjuru bersama-sama membentuk Ramai, sudah tentu, ingat teorem Pythagoras. Mengetahui dua dimensi, tidak sukar untuk mencari nilai ketiga. Ingat teorem terkenal a² = b² + c², dengan a ialah hipotenus, dan dalam kes kita pinggir piramid; b - kaki pertama atau separuh pepenjuru dan c - masing-masing, kaki kedua, atau ketinggian piramid. Daripada formula ini, c² = a² - b².

Sekarang masalahnya: dalam piramid biasa, pepenjuru ialah 20 cm, manakala panjang tepi ialah 30 cm. Anda perlu mencari ketinggian. Kami menyelesaikan: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. Oleh itu c \u003d √ 500 \u003d kira-kira 22.4.

Bagaimana untuk mencari ketinggian piramid terpotong

Ia adalah poligon yang mempunyai bahagian yang selari dengan tapaknya. Ketinggian piramid terpotong ialah segmen yang menghubungkan dua tapaknya. Ketinggian boleh didapati pada piramid biasa jika panjang pepenjuru kedua-dua tapak, serta pinggir piramid, diketahui. Biarkan pepenjuru tapak yang lebih besar ialah d1, manakala pepenjuru tapak yang lebih kecil ialah d2, dan tepi mempunyai panjang l. Untuk mencari ketinggian, anda boleh menurunkan ketinggian dari dua titik bertentangan atas rajah ke pangkalannya. Kami melihat bahawa kami telah mendapat dua segi tiga bersudut tegak, masih perlu mencari panjang kaki mereka. Untuk melakukan ini, tolak pepenjuru yang lebih kecil daripada pepenjuru yang lebih besar dan bahagikan dengan 2. Jadi kita akan dapati satu kaki: a \u003d (d1-d2) / 2. Selepas itu, mengikut teorem Pythagoras, kita hanya perlu mencari kaki kedua, iaitu ketinggian piramid.

Sekarang mari kita lihat keseluruhan perkara ini dalam amalan. Kami mempunyai tugas di hadapan kami. Piramid yang dipotong mempunyai segi empat sama di tapak, panjang pepenjuru tapak yang lebih besar ialah 10 cm, manakala yang lebih kecil ialah 6 cm, dan tepinya ialah 4 cm. Ia dikehendaki mencari ketinggian. Sebagai permulaan, kita dapati satu kaki: a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 cm Satu kaki ialah 2 cm, dan hipotenus ialah 4 cm. Ternyata kaki atau ketinggian kedua akan menjadi 16- 4 \u003d 12, iaitu, h \u003d √12 = kira-kira 3.5 cm.

Perkataan "piramid" secara tidak sengaja dikaitkan dengan gergasi megah di Mesir, dengan setia menjaga keamanan firaun. Mungkin itulah sebabnya piramid itu dikenali oleh semua orang, walaupun kanak-kanak.

Walau bagaimanapun, mari kita cuba memberikan definisi geometri. Mari kita bayangkan beberapa titik (A1, A2,..., An) pada satah dan satu lagi (E) yang bukan miliknya. Jadi, jika titik E (atas) disambungkan ke bucu poligon yang dibentuk oleh titik A1, A2, ..., An (tapak), anda mendapat polihedron, yang dipanggil piramid. Jelas sekali, poligon di dasar piramid boleh mempunyai sebarang nombor bucu, dan bergantung pada bilangannya, piramid boleh dipanggil segi tiga dan segi empat, pentagonal, dsb.

Jika anda melihat dengan teliti pada piramid, ia akan menjadi jelas mengapa ia juga ditakrifkan secara berbeza - sebagai angka geometri dengan poligon di tapak, dan segi tiga disatukan oleh bucu biasa sebagai muka sisi.

Oleh kerana piramid adalah angka spatial, maka ia juga mempunyai ciri kuantitatif sedemikian, kerana ia dikira daripada sepertiga sama yang terkenal daripada hasil asas piramid dan ketinggiannya:

Isipadu piramid, apabila memperoleh formula, pada mulanya dikira untuk segi tiga, dengan mengambil sebagai asas nisbah malar yang mengaitkan nilai ini dengan isipadu prisma segi tiga yang mempunyai tapak dan ketinggian yang sama, yang ternyata, adalah tiga kali ganda jumlah ini.

Dan oleh kerana mana-mana piramid dibahagikan kepada segi tiga, dan isipadunya tidak bergantung pada pembinaan yang dilakukan dalam bukti, kesahihan formula volum di atas adalah jelas.

Berdiri berasingan di antara semua piramid adalah yang betul, di mana tapaknya terletak. Manakala, ia sepatutnya "berakhir" di tengah-tengah pangkalan.

Dalam kes poligon tidak sekata di pangkalan, untuk mengira luas tapak, anda memerlukan:

pecahkannya kepada segi tiga dan segi empat sama;

kirakan luas setiap satu daripadanya;

tambah data yang diterima.

Dalam kes poligon sekata di dasar piramid, luasnya dikira menggunakan formula sedia, jadi isipadu piramid sekata dikira dengan sangat mudah.

Sebagai contoh, untuk mengira isipadu piramid segi empat, jika ia sekata, panjang sisi segi empat sekata (segi empat sama) di tapak adalah kuasa dua dan, didarab dengan ketinggian piramid, hasil darab yang terhasil dibahagikan dengan tiga.

Isipadu piramid boleh dikira menggunakan parameter lain:

sebagai satu pertiga daripada hasil jejari bola yang tertulis dalam piramid dan luas permukaan keseluruhannya;

sebagai dua pertiga daripada hasil darab jarak antara dua tepi silang yang diambil secara sewenang-wenangnya dan luas segi empat selari yang membentuk titik tengah empat tepi yang tinggal.

Isipadu piramid juga dikira hanya dalam kes apabila ketinggiannya bertepatan dengan salah satu tepi sisi, iaitu, dalam kes piramid segi empat tepat.

Bercakap tentang piramid, seseorang tidak boleh mengabaikan piramid terpotong yang diperoleh dengan memotong piramid dengan satah selari dengan pangkalan. Isipadunya hampir sama dengan perbezaan antara isipadu keseluruhan piramid dan bahagian atas yang dipotong.

Jilid pertama piramid, walaupun tidak dalam bentuk modennya, tetapi sama dengan 1/3 daripada isipadu prisma yang diketahui oleh kita, ditemui oleh Democritus. Archimedes memanggil kaedah pengiraannya "tanpa bukti," kerana Democritus menghampiri piramid sebagai figura yang terdiri daripada plat yang sangat nipis dan serupa.

Algebra vektor juga "menjawab" persoalan mencari isipadu piramid, menggunakan koordinat bucunya untuk ini. Piramid yang dibina di atas triplet vektor a,b,c adalah sama dengan satu perenam daripada modulus hasil campuran vektor yang diberi.