Derivatif dengan parameter dalam talian. Terbitan bagi fungsi yang ditakrifkan secara parametrik

Pertimbangkan untuk mentakrifkan garis pada satah di mana pembolehubah x, y adalah fungsi pembolehubah ketiga t (dipanggil parameter):

Bagi setiap nilai t dari selang tertentu nilai tertentu sepadan x Dan y, a, oleh itu, titik tertentu M (x, y) satah itu. Bila t berjalan melalui semua nilai dari selang tertentu, kemudian titik M (x, y) menerangkan beberapa baris L. Persamaan (2.2) dipanggil persamaan garis parametrik L.

Jika fungsi x = φ(t) mempunyai songsang t = Ф(x), kemudian menggantikan ungkapan ini ke dalam persamaan y = g(t), kita memperoleh y = g(Ф(x)), yang menentukan y sebagai fungsi x. Dalam kes ini, kita katakan bahawa persamaan (2.2) mentakrifkan fungsi y secara parametrik.

Contoh 1. biarlah M(x,y)– titik sewenang-wenangnya pada bulatan jejari R dan berpusat pada asal. biarlah t– sudut antara paksi lembu dan jejari OM(lihat Rajah 2.3). Kemudian x, y dinyatakan melalui t:

Persamaan (2.3) ialah persamaan parametrik bagi bulatan. Marilah kita mengecualikan parameter t daripada persamaan (2.3). Untuk melakukan ini, kita kuasa duakan setiap persamaan dan tambahkannya, kita dapat: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) atau x 2 + y 2 = R 2 – persamaan bulatan dalam Cartesan sistem koordinat. Ia mentakrifkan dua fungsi: Setiap fungsi ini diberikan oleh persamaan parametrik (2.3), tetapi untuk fungsi pertama , dan untuk yang kedua .

Contoh 2. Persamaan parametrik

tentukan elips dengan separuh paksi a, b(Gamb. 2.4). Tidak termasuk parameter daripada persamaan t, kita memperoleh persamaan kanonik bagi elips:

Contoh 3. Sikloid ialah garis yang diterangkan oleh titik yang terletak pada bulatan jika bulatan ini bergolek tanpa menggelongsor dalam garis lurus (Rajah 2.5). Mari kita perkenalkan persamaan parametrik bagi sikloid. Biarkan jejari bulatan bergolek itu a, titik M, menerangkan sikloid, pada permulaan pergerakan bertepatan dengan asal koordinat.

Mari tentukan koordinat x, mata y M selepas bulatan itu berputar melalui suatu sudut t
(Gamb. 2.5), t = ÐMCB. Panjang lengkok M.B. sama dengan panjang segmen O.B. kerana bulatan bergolek tanpa tergelincir, oleh itu

OB = at, AB = MD = asin, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – kos).

Jadi, persamaan parametrik sikloid diperoleh:

Apabila menukar parameter t dari 0 hingga 2π bulatan berputar satu pusingan, dan titik M menerangkan satu lengkok bagi sikloid. Persamaan (2.5) memberi y sebagai fungsi daripada x. Walaupun fungsi x = a(t – sint) mempunyai fungsi songsang, tetapi ia tidak dinyatakan dalam sebutan fungsi asas, jadi fungsi itu y = f(x) tidak dinyatakan melalui fungsi asas.

Mari kita pertimbangkan pembezaan fungsi yang ditakrifkan secara parametrik oleh persamaan (2.2). Fungsi x = φ(t) pada selang perubahan t tertentu mempunyai fungsi songsang t = Ф(x), Kemudian y = g(Ф(x)). biarlah x = φ(t), y = g(t) mempunyai derivatif, dan x"t≠0. Mengikut peraturan pembezaan fungsi kompleks y"x=y"t×t"x. Berdasarkan peraturan untuk membezakan fungsi songsang, oleh itu:

Formula yang terhasil (2.6) membolehkan seseorang mencari derivatif bagi fungsi yang dinyatakan secara parametrik.

Contoh 4. Biarkan fungsi y, bergantung kepada x, dinyatakan secara parametrik:

Penyelesaian. .
Contoh 5. Cari cerun k tangen kepada sikloid pada titik M 0 sepadan dengan nilai parameter.
Penyelesaian. Daripada persamaan sikloid: y" t = masin, x" t = a(1 – kos), sebab tu

Cerun tangen pada satu titik M0 sama dengan nilai di t 0 = π/4:

FUNGSI BERBEZA

Biarkan fungsi pada titik x 0 mempunyai derivatif. A-priory:
oleh itu, mengikut sifat had (Seksyen 1.8), di mana a– sangat kecil pada Δx → 0. Dari sini

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Sebagai Δx → 0, sebutan kedua dalam kesamaan (2.7) ialah tertib yang lebih tinggi, berbanding dengan , oleh itu Δy dan f " (x 0)×Δx adalah setara, infinitesimal (untuk f "(x 0) ≠ 0).

Oleh itu, kenaikan fungsi Δy terdiri daripada dua sebutan, di mana f "(x 0)×Δx pertama ialah bahagian utama kenaikan Δy, linear berkenaan dengan Δx (untuk f "(x 0)≠ 0).

Berbeza fungsi f(x) pada titik x 0 dipanggil bahagian utama kenaikan fungsi dan dilambangkan: dy atau df(x0). Oleh itu,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Contoh 1. Cari pembezaan fungsi dy dan pertambahan fungsi Δy untuk fungsi y = x 2 pada:
1) sewenang-wenangnya x dan Δ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0.1.

Penyelesaian

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Jika x 0 = 20, Δx = 0.1, maka Δy = 40×0.1 + (0.1) 2 = 4.01; dy = 40×0.1= 4.

Mari kita tulis kesamaan (2.7) dalam bentuk:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

Kenaikan Δy berbeza daripada pembezaan dy kepada infinitesimal of higher order, berbanding dengan Δx, oleh itu, dalam pengiraan anggaran, anggaran kesamaan Δy ≈ dy digunakan jika Δx cukup kecil.

Memandangkan Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), kita memperoleh formula anggaran:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Contoh 2. Kira kira-kira.

Penyelesaian. Pertimbangkan:

Menggunakan formula (2.10), kami memperoleh:

Jadi, ≈ 2.025.

Mari kita pertimbangkan makna geometri bagi pembezaan df(x 0)(Gamb. 2.6).

Mari kita lukis tangen kepada graf fungsi y = f(x) pada titik M 0 (x0, f(x 0)), biarkan φ ialah sudut antara tangen KM0 dan paksi Ox, kemudian f"( x 0) = tanφ. Daripada ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Tetapi PN ialah kenaikan ordinat tangen apabila x berubah daripada x 0 kepada x 0 + Δx.

Akibatnya, pembezaan fungsi f(x) pada titik x 0 adalah sama dengan kenaikan ordinat tangen.

Mari cari pembezaan fungsi
y = x. Oleh kerana (x)" = 1, maka dx = 1×Δx = Δx. Kami akan menganggap bahawa pembezaan pembolehubah bebas x adalah sama dengan kenaikannya, iaitu dx = Δx.

Jika x ialah nombor arbitrari, maka daripada kesamaan (2.8) kita memperoleh df(x) = f "(x)dx, dari mana .
Oleh itu, terbitan untuk fungsi y = f(x) adalah sama dengan nisbah pembezaannya dengan pembezaan hujah.

Mari kita pertimbangkan sifat pembezaan fungsi.

Jika u(x), v(x) ialah fungsi boleh dibezakan, maka formula berikut adalah sah:

Untuk membuktikan formula ini, formula terbitan untuk jumlah, hasil darab dan hasil bagi suatu fungsi digunakan. Mari kita buktikan, sebagai contoh, formula (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Mari kita pertimbangkan pembezaan fungsi kompleks: y = f(x), x = φ(t), i.e. y = f(φ(t)).

Kemudian dy = y" t dt, tetapi y" t = y" x ×x" t, jadi dy =y" x x" t dt. Memandangkan,

bahawa x" t = dx, kita dapat dy = y" x dx =f "(x)dx.

Oleh itu, pembezaan fungsi kompleks y = f(x), dengan x =φ(t), mempunyai bentuk dy = f "(x)dx, sama seperti dalam kes apabila x ialah pembolehubah bebas. Sifat ini dipanggil invarian bentuk pembezaan A.

Jangan tekankan, segala-galanya dalam perenggan ini juga agak mudah. Anda boleh menulis formula am untuk fungsi yang ditentukan secara parametrik, tetapi untuk menjelaskannya, saya akan segera menulis contoh khusus. Dalam bentuk parametrik, fungsi diberikan oleh dua persamaan: . Selalunya persamaan ditulis bukan di bawah kurungan kerinting, tetapi secara berurutan: , .

Pembolehubah dipanggil parameter dan boleh mengambil nilai daripada "tolak infiniti" kepada "tambah infiniti". Pertimbangkan, sebagai contoh, nilai dan gantikannya ke dalam kedua-dua persamaan: . Atau dalam istilah manusia: "jika x sama dengan empat, maka y sama dengan satu." Anda boleh menandakan titik pada satah koordinat, dan titik ini akan sepadan dengan nilai parameter. Begitu juga, anda boleh mencari titik untuk sebarang nilai parameter "te". Bagi fungsi "biasa", bagi orang India Amerika bagi fungsi yang ditentukan secara parametrik, semua hak juga dihormati: anda boleh membina graf, mencari derivatif, dsb. Ngomong-ngomong, jika anda perlu memplot graf fungsi yang ditentukan secara parametrik, muat turun program geometri saya pada halaman Formula dan jadual matematik.

Dalam kes yang paling mudah, adalah mungkin untuk mewakili fungsi secara eksplisit. Mari kita nyatakan parameter dari persamaan pertama: – dan gantikannya ke dalam persamaan kedua: . Hasilnya ialah fungsi padu biasa.

Dalam kes yang lebih "teruk", helah ini tidak berfungsi. Tetapi tidak mengapa, kerana terdapat formula untuk mencari derivatif fungsi parametrik:

Kami mencari terbitan "permainan berkenaan dengan pembolehubah te":

Semua peraturan pembezaan dan jadual terbitan adalah sah, secara semula jadi, untuk huruf , oleh itu, tiada kebaharuan dalam proses mencari derivatif. Gantikan secara mental semua "X" dalam jadual dengan huruf "Te".

Kami mencari terbitan "x berkenaan dengan pembolehubah te":

Sekarang yang tinggal hanyalah menggantikan derivatif yang ditemui ke dalam formula kami:

sedia. Derivatif, seperti fungsi itu sendiri, juga bergantung pada parameter.

Bagi tatatanda, bukannya menulisnya dalam formula, seseorang hanya boleh menulisnya tanpa subskrip, kerana ini adalah terbitan "biasa" "berkenaan dengan X". Tetapi dalam kesusasteraan sentiasa ada pilihan, jadi saya tidak akan menyimpang dari standard.

Contoh 6

Kami menggunakan formula

Dalam kes ini:

Oleh itu:

Satu ciri khas mencari terbitan bagi fungsi parametrik ialah hakikat bahawa pada setiap langkah adalah berfaedah untuk memudahkan hasilnya sebanyak mungkin. Jadi, dalam contoh yang dipertimbangkan, apabila saya menemuinya, saya membuka kurungan di bawah akar (walaupun saya mungkin tidak melakukan ini). Terdapat kemungkinan besar apabila menggantikan formula, banyak perkara akan dikurangkan dengan baik. Walaupun, sudah tentu, terdapat contoh dengan jawapan yang kekok.

Contoh 7

Cari terbitan bagi fungsi yang dinyatakan secara parametrik

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri.

Dalam artikel Masalah tipikal yang paling mudah dengan derivatif kami melihat contoh di mana kami perlu mencari terbitan kedua bagi sesuatu fungsi. Untuk fungsi yang ditakrifkan secara parametrik, anda juga boleh mencari terbitan kedua, dan ia didapati menggunakan formula berikut: . Agak jelas bahawa untuk mencari derivatif kedua, anda mesti mencari derivatif pertama dahulu.

Contoh 8

Cari terbitan pertama dan kedua bagi fungsi yang diberi secara parametrik

Mula-mula, mari cari derivatif pertama.
Kami menggunakan formula

Dalam kes ini:

Menggantikan derivatif yang ditemui ke dalam formula. Untuk tujuan penyederhanaan, kami menggunakan formula trigonometri:

Saya perhatikan bahawa dalam masalah mencari derivatif fungsi parametrik, selalunya untuk tujuan pemudahan ia perlu digunakan rumus trigonometri . Ingat mereka atau pastikan mereka berguna, dan jangan lepaskan peluang untuk memudahkan setiap keputusan dan jawapan perantaraan. Untuk apa? Sekarang kita perlu mengambil terbitan , dan ini jelas lebih baik daripada mencari terbitan .

Mari cari terbitan kedua.
Kami menggunakan formula: .

Mari lihat formula kami. Penyebut telah dijumpai dalam langkah sebelumnya. Ia kekal untuk mencari pengangka - terbitan terbitan pertama berkenaan dengan pembolehubah "te":

Ia tetap menggunakan formula:

Untuk mengukuhkan bahan, saya menawarkan beberapa lagi contoh untuk anda selesaikan sendiri.

Contoh 9

Contoh 10

Cari dan untuk fungsi yang ditentukan secara parametrik

Semoga anda berjaya!

Saya harap pelajaran ini berguna, dan kini anda boleh mencari derivatif fungsi yang dinyatakan secara tersirat dan daripada fungsi parametrik

Penyelesaian dan jawapan:

Contoh 3: Penyelesaian:

Oleh itu:

Sehingga kini, kami telah mempertimbangkan persamaan garis pada satah yang menyambung secara langsung koordinat semasa bagi titik garisan ini. Walau bagaimanapun, kaedah lain untuk mentakrifkan garis sering digunakan, di mana koordinat semasa dianggap sebagai fungsi pembolehubah ketiga.

Biarkan dua fungsi pembolehubah diberikan

dipertimbangkan untuk nilai yang sama t. Kemudian mana-mana nilai t ini sepadan dengan nilai tertentu dan nilai tertentu y, dan oleh itu ke titik tertentu. Apabila pembolehubah t berjalan melalui semua nilai dari domain definisi fungsi (73), titik itu menerangkan garis C tertentu dalam satah. Persamaan (73) dipanggil persamaan parametrik garis ini, dan pembolehubah dipanggil satu parameter.

Mari kita andaikan bahawa fungsi itu mempunyai fungsi songsang. Menggantikan fungsi ini ke dalam kedua persamaan (73), kita memperoleh persamaan

menyatakan y sebagai fungsi

Marilah kita bersetuju untuk mengatakan bahawa fungsi ini diberikan secara parametrik oleh persamaan (73). Peralihan daripada persamaan ini kepada persamaan (74) dipanggil penyingkiran parameter. Apabila mempertimbangkan fungsi yang ditakrifkan secara parametrik, mengecualikan parameter bukan sahaja tidak diperlukan, tetapi juga tidak selalu mungkin secara praktikal.

Dalam banyak kes, ia adalah lebih mudah, memandangkan nilai parameter yang berbeza, untuk kemudian mengira, menggunakan formula (73), nilai yang sepadan dengan hujah dan fungsi y.

Mari lihat contoh.

Contoh 1. Biarkan titik arbitrari pada bulatan dengan pusat pada asalan dan jejari R. Koordinat Cartesian x dan y titik ini dinyatakan melalui jejari kutub dan sudut kutubnya, yang kita nyatakan di sini dengan t, seperti berikut ( lihat Bab I, § 3, perenggan 3):

Persamaan (75) dipanggil persamaan parametrik bulatan. Parameter di dalamnya ialah sudut kutub, yang berbeza dari 0 hingga .

Jika persamaan (75) adalah sebutan kuasa dua dengan sebutan dan ditambah, maka berdasarkan identiti parameter itu dihapuskan dan persamaan bulatan dalam sistem koordinat Cartesan diperoleh, yang mentakrifkan dua fungsi asas:

Setiap fungsi ini ditentukan secara parametrik oleh persamaan (75), tetapi julat parameter untuk fungsi ini adalah berbeza. Untuk yang pertama daripada mereka; Graf fungsi ini ialah separuh bulatan atas. Untuk fungsi kedua, grafnya ialah separuh bulatan bawah.

Contoh 2. Pertimbangkan serentak elips

dan bulatan dengan pusat pada asalan dan jejari a (Rajah 138).

Pada setiap titik M elips kita mengaitkan satu titik N bulatan, yang mempunyai absis yang sama dengan titik M dan terletak dengannya pada sisi yang sama paksi Lembu. Kedudukan titik N, dan oleh itu titik M, ditentukan sepenuhnya oleh sudut kutub t titik.Dalam kes ini, untuk absis sepunya mereka kita memperoleh ungkapan berikut: x = a. Kami mencari ordinat pada titik M daripada persamaan elips:

Tanda tersebut dipilih kerana ordinat bagi titik M dan ordinat bagi titik N mestilah mempunyai tanda yang sama.

Oleh itu, persamaan parametrik berikut diperolehi untuk elips:

Di sini parameter t berbeza dari 0 hingga .

Contoh 3. Pertimbangkan bulatan dengan pusat di titik a) dan jejari a, yang jelas menyentuh paksi-x pada asalan (Rajah 139). Mari kita andaikan bahawa bulatan ini bergolek tanpa tergelincir sepanjang paksi-x. Kemudian titik M bulatan, yang pada saat awal bertepatan dengan asal koordinat, menerangkan garis yang dipanggil sikloid.

Marilah kita terbitkan persamaan parametrik bagi sikloid, dengan mengambil sebagai parameter t sudut MSV putaran bulatan apabila menggerakkan titik tetapnya dari kedudukan O ke kedudukan M. Kemudian untuk koordinat dan y titik M kita memperoleh ungkapan berikut:

Disebabkan oleh fakta bahawa bulatan bergolek di sepanjang paksi tanpa tergelincir, panjang segmen OB adalah sama dengan panjang lengkok BM. Oleh kerana panjang lengkok BM adalah sama dengan hasil darab jejari a dan sudut pusat t, maka . sebab tu . Tetapi Oleh itu,

Persamaan ini ialah persamaan parametrik bagi sikloid. Apabila parameter t berubah dari 0 kepada bulatan akan membuat satu revolusi penuh. Titik M akan menerangkan satu lengkok bagi sikloid.

Mengecualikan parameter t di sini membawa kepada ungkapan yang menyusahkan dan boleh dikatakan tidak praktikal.

Takrifan parametrik garisan sering digunakan dalam mekanik, dan peranan parameter dimainkan oleh masa.

Contoh 4. Mari kita tentukan trajektori peluru yang dilepaskan daripada pistol dengan kelajuan awal pada sudut a kepada mendatar. Kami mengabaikan rintangan udara dan dimensi peluru, menganggapnya sebagai titik material.

Mari kita pilih sistem koordinat. Mari kita ambil titik berlepas peluru dari muncung sebagai asal koordinat. Mari kita halakan paksi Lembu secara mendatar, dan paksi Oy secara menegak, letakkannya dalam satah yang sama dengan muncung pistol. Jika tiada daya graviti, maka peluru akan bergerak dalam garis lurus, membuat sudut a dengan paksi Lembu, dan mengikut masa t ia akan menempuh jarak tersebut. Koordinat peluru pada masa t masing-masing adalah sama kepada: . Disebabkan oleh graviti, peluru mesti pada saat ini menurun secara menegak dengan jumlah. Oleh itu, pada hakikatnya, pada masa t, koordinat peluru ditentukan oleh formula:

Persamaan ini mengandungi kuantiti tetap. Apabila t berubah, koordinat pada titik trajektori peluru juga akan berubah. Persamaan adalah persamaan parametrik bagi trajektori peluru, di mana parameternya ialah masa

Menyatakan daripada persamaan pertama dan menggantikannya ke dalam

persamaan kedua, kita memperoleh persamaan trajektori peluru dalam bentuk Ini adalah persamaan parabola.

Terbitan bagi fungsi yang dinyatakan secara tersirat.
Terbitan bagi fungsi yang ditakrifkan secara parametrik

Dalam artikel ini kita akan melihat dua lagi tugas biasa yang sering dijumpai dalam ujian dalam matematik yang lebih tinggi. Untuk berjaya menguasai bahan, anda mesti dapat mencari derivatif sekurang-kurangnya pada tahap pertengahan. Anda boleh belajar mencari derivatif secara praktikal dari awal dalam dua pelajaran asas dan Terbitan fungsi kompleks. Jika kemahiran pembezaan anda okey, maka mari pergi.

Terbitan bagi fungsi yang dinyatakan secara tersirat

Atau, secara ringkasnya, terbitan bagi fungsi tersirat. Apakah fungsi tersirat? Mari kita ingat dahulu definisi fungsi satu pembolehubah:

Fungsi pembolehubah tunggal ialah peraturan mengikut mana setiap nilai pembolehubah bebas sepadan dengan satu dan hanya satu nilai fungsi.

Pembolehubah dipanggil pembolehubah bebas atau hujah.
Pembolehubah dipanggil pembolehubah bersandar atau fungsi .

Setakat ini kita telah melihat fungsi yang ditakrifkan dalam eksplisit bentuk. Apakah maksudnya? Mari kita jalankan taklimat menggunakan contoh khusus.

Pertimbangkan fungsinya

Kami melihat bahawa di sebelah kiri kami mempunyai "pemain" tunggal, dan di sebelah kanan - hanya "X". Iaitu, fungsi secara eksplisit dinyatakan melalui pembolehubah bebas.

Mari lihat fungsi lain:

Di sinilah pembolehubah bercampur-campur. Lebih-lebih lagi mustahil dengan apa cara sekalipun nyatakan "Y" hanya melalui "X". Apakah kaedah ini? Memindahkan istilah dari bahagian ke bahagian dengan perubahan tanda, mengalihkannya keluar dari kurungan, membaling faktor mengikut peraturan perkadaran, dsb. Tulis semula kesamaan dan cuba nyatakan "y" secara eksplisit: . Anda boleh memutar dan memutar persamaan selama berjam-jam, tetapi anda tidak akan berjaya.

Izinkan saya memperkenalkan anda: – contoh fungsi tersirat.

Dalam perjalanan analisis matematik terbukti bahawa fungsi tersirat wujud(namun, tidak selalu), ia mempunyai graf (sama seperti fungsi "biasa"). Fungsi tersirat adalah sama wujud terbitan pertama, terbitan kedua, dsb. Seperti yang mereka katakan, semua hak minoriti seksual dihormati.

Dan dalam pelajaran ini kita akan belajar cara mencari terbitan bagi fungsi yang dinyatakan secara tersirat. Ia tidak begitu sukar! Semua peraturan pembezaan dan jadual terbitan bagi fungsi asas kekal berkuat kuasa. Perbezaannya adalah dalam satu momen pelik, yang akan kita lihat sekarang.

Ya, dan saya akan memberitahu anda berita baik - tugas yang dibincangkan di bawah dilakukan mengikut algoritma yang agak ketat dan jelas tanpa batu di hadapan tiga trek.

Contoh 1

1) Pada peringkat pertama, kami melampirkan strok pada kedua-dua bahagian:

2) Kami menggunakan peraturan lineariti terbitan (dua peraturan pertama pelajaran Bagaimana untuk mencari derivatif? Contoh penyelesaian):

3) Pembezaan langsung.
Cara membezakan adalah jelas. Apa yang perlu dilakukan jika terdapat "permainan" di bawah pukulan?

- hanya ke tahap yang memalukan, terbitan bagi suatu fungsi adalah sama dengan terbitannya: .

Bagaimana untuk membezakan
Di sini kita ada fungsi kompleks. kenapa? Nampaknya di bawah sinus hanya terdapat satu huruf "Y". Tetapi hakikatnya hanya terdapat satu huruf "y" - ADAKAH SENDIRI SATU FUNGSI(lihat definisi pada permulaan pelajaran). Oleh itu, sinus ialah fungsi luaran dan merupakan fungsi dalaman. Kami menggunakan peraturan untuk membezakan fungsi kompleks :

Kami membezakan produk mengikut peraturan biasa :

Sila ambil perhatian bahawa – juga merupakan fungsi yang kompleks, sebarang "permainan dengan loceng dan wisel" adalah fungsi yang kompleks:

Penyelesaian itu sendiri sepatutnya kelihatan seperti ini:

Jika terdapat kurungan, kemudian kembangkannya:

4) Di sebelah kiri kami mengumpul istilah yang mengandungi "Y" dengan perdana. Pindahkan semua yang lain ke sebelah kanan:

5) Di sebelah kiri kita mengambil terbitan daripada kurungan:

6) Dan mengikut peraturan perkadaran, kami menjatuhkan kurungan ini ke dalam penyebut di sebelah kanan:

Derivatif telah dijumpai. sedia.

Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa mana-mana fungsi boleh ditulis semula secara tersirat. Sebagai contoh, fungsi boleh ditulis semula seperti ini: . Dan membezakannya menggunakan algoritma yang baru dibincangkan. Malah, frasa "fungsi tersirat" dan "fungsi tersirat" berbeza dalam satu nuansa semantik. Frasa "fungsi yang dinyatakan secara tersirat" adalah lebih umum dan betul, – fungsi ini dinyatakan secara tersirat, tetapi di sini anda boleh menyatakan "permainan" dan mempersembahkan fungsi secara eksplisit. Frasa "fungsi tersirat" merujuk kepada fungsi tersirat "klasik" apabila "y" tidak dapat dinyatakan.

Penyelesaian kedua

Perhatian! Anda boleh membiasakan diri dengan kaedah kedua hanya jika anda tahu cara mencari dengan yakin terbitan separa. Tolong pemula dan dummies kalkulus jangan baca dan langkau perkara ini, jika tidak, kepala anda akan menjadi kucar-kacir.

Mari cari terbitan bagi fungsi tersirat menggunakan kaedah kedua.

Kami memindahkan semua istilah ke sebelah kiri:

Dan pertimbangkan fungsi dua pembolehubah:

Kemudian derivatif kami boleh didapati menggunakan formula
Mari cari derivatif separa:

Oleh itu:

Penyelesaian kedua membolehkan anda melakukan pemeriksaan. Tetapi mereka tidak dinasihatkan untuk menulis versi akhir tugasan, kerana terbitan separa dikuasai kemudian, dan pelajar yang mempelajari topik "Terbitan fungsi satu pembolehubah" seharusnya belum mengetahui terbitan separa.

Mari lihat beberapa contoh lagi.

Contoh 2

Cari terbitan bagi fungsi yang diberi secara tersirat

Tambahkan pukulan pada kedua-dua bahagian:

Kami menggunakan peraturan lineariti:

Mencari derivatif:

Membuka semua kurungan:

Kami memindahkan semua istilah dengan ke sebelah kiri, selebihnya ke sebelah kanan:

Jawapan akhir:

Contoh 3

Cari terbitan bagi fungsi yang diberi secara tersirat

Reka bentuk penyelesaian dan sampel penuh pada akhir pelajaran.

Tidak jarang pecahan timbul selepas pembezaan. Dalam kes sedemikian, anda perlu menyingkirkan pecahan. Mari lihat dua lagi contoh.

Contoh 4

Cari terbitan bagi fungsi yang diberi secara tersirat

Kami melampirkan kedua-dua bahagian di bawah pukulan dan menggunakan peraturan lineariti:

Bezakan menggunakan peraturan untuk membezakan fungsi kompleks dan peraturan pembezaan hasil bagi :

Memperluas kurungan:

Sekarang kita perlu menyingkirkan pecahan itu. Ini boleh dilakukan kemudian, tetapi adalah lebih rasional untuk melakukannya dengan segera. Penyebut pecahan itu mengandungi . gandakan pada . Secara terperinci, ia akan kelihatan seperti ini:

Kadang-kadang selepas pembezaan 2-3 pecahan muncul. Jika kita mempunyai pecahan lain, sebagai contoh, maka operasi itu perlu diulang - darab setiap sebutan bagi setiap bahagian pada

Di sebelah kiri kami meletakkannya daripada kurungan:

Jawapan akhir:

Contoh 5

Cari terbitan bagi fungsi yang diberi secara tersirat

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Satu-satunya perkara ialah sebelum anda menyingkirkan pecahan itu, anda perlu terlebih dahulu menyingkirkan struktur tiga tingkat pecahan itu sendiri. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.

Terbitan bagi fungsi yang ditakrifkan secara parametrik

Pembolehubah dipanggil parameter dan boleh mengambil nilai daripada "tolak infiniti" kepada "tambah infiniti". Pertimbangkan, sebagai contoh, nilai dan gantikannya ke dalam kedua-dua persamaan: . Atau dalam istilah manusia: "jika x sama dengan empat, maka y sama dengan satu." Anda boleh menandakan titik pada satah koordinat, dan titik ini akan sepadan dengan nilai parameter. Begitu juga, anda boleh mencari titik untuk sebarang nilai parameter "te". Bagi fungsi "biasa", bagi orang India Amerika bagi fungsi yang ditentukan secara parametrik, semua hak juga dihormati: anda boleh membina graf, mencari derivatif, dsb. Dengan cara ini, jika anda perlu memplot graf fungsi yang ditakrifkan secara parametrik, anda boleh menggunakan program saya.

Dalam kes yang lebih "teruk", helah ini tidak berfungsi. Tetapi tidak mengapa, kerana terdapat formula untuk mencari derivatif fungsi parametrik:

Kami mencari terbitan "permainan berkenaan dengan pembolehubah te":

Kami mencari terbitan "x berkenaan dengan pembolehubah te":

Sekarang yang tinggal hanyalah menggantikan derivatif yang ditemui ke dalam formula kami:

sedia. Derivatif, seperti fungsi itu sendiri, juga bergantung pada parameter.

Contoh 6

Kami menggunakan formula

Dalam kes ini:

Oleh itu:

Contoh 7

Cari terbitan bagi fungsi yang dinyatakan secara parametrik

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri.

Contoh 8

Cari terbitan pertama dan kedua bagi fungsi yang diberi secara parametrik

Mula-mula, mari cari derivatif pertama.
Kami menggunakan formula

Dalam kes ini:

Kami menggantikan derivatif yang ditemui ke dalam formula. Untuk tujuan penyederhanaan, kami menggunakan formula trigonometri:

Derivatif dengan parameter dalam talian. Terbitan bagi fungsi yang ditakrifkan secara parametrik

Terbitan bagi fungsi yang dinyatakan secara tersirat. Terbitan bagi fungsi yang ditakrifkan secara parametrik

Terbitan bagi fungsi yang dinyatakan secara tersirat

Terbitan bagi fungsi yang ditakrifkan secara parametrik

Terbitan bagi fungsi yang dinyatakan secara tersirat.
Terbitan bagi fungsi yang ditakrifkan secara parametrik