Memahami keajaiban hiperbola. Merencanakan Hubungan Songsang (Hiperbola)

Bagi pembaca yang lain, saya mencadangkan untuk menambah pengetahuan sekolah mereka dengan ketara tentang parabola dan hiperbola. Hiperbola dan parabola - adakah ia mudah? … Jangan tunggu =)

Hiperbola dan persamaan kanoniknya

Struktur umum pembentangan bahan akan menyerupai perenggan sebelumnya. Mari kita mulakan dengan konsep umum hiperbola dan masalah pembinaannya.

Persamaan kanonik hiperbola mempunyai bentuk , di mana nombor nyata positif. Perhatikan bahawa, tidak seperti elips, syarat tidak dikenakan di sini, iaitu nilai "a" mungkin kurang daripada nilai "be".

Saya mesti katakan, secara tidak dijangka ... persamaan hiperbola "sekolah" tidak hampir sama dengan rekod kanonik. Tetapi teka-teki ini masih perlu menunggu kita, tetapi buat masa ini mari kita menggaru belakang kepala kita dan ingat apakah ciri ciri yang ada pada lengkung yang sedang dipertimbangkan? Ayuh sebarkan di skrin imaginasi kita graf fungsi ….

Hiperbola mempunyai dua cabang simetri.

Kemajuan yang baik! Mana-mana hiperbola mempunyai sifat ini, dan kini kita akan melihat dengan kekaguman yang tulen pada garis leher garis ini:

Contoh 4

Bina hiperbola yang diberikan oleh persamaan

Keputusan: pada langkah pertama, kami membawa persamaan ini kepada bentuk kanonik . Sila ingat prosedur biasa. Di sebelah kanan, anda perlu mendapatkan "satu", jadi kami membahagikan kedua-dua bahagian persamaan asal dengan 20:

Di sini anda boleh mengurangkan kedua-dua pecahan, tetapi lebih optimum untuk membuat setiap pecahan tiga tingkat:

Dan hanya selepas itu untuk menjalankan pengurangan:

Kami memilih petak dalam penyebut:

Mengapakah lebih baik untuk melakukan transformasi dengan cara ini? Lagipun, pecahan sebelah kiri boleh segera dikurangkan dan dapatkan. Hakikatnya ialah dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, kami agak bernasib baik: nombor 20 boleh dibahagikan dengan kedua-dua 4 dan 5. Dalam kes umum, nombor sedemikian tidak berfungsi. Pertimbangkan, sebagai contoh, persamaan. Di sini, dengan pembahagian, semuanya lebih sedih dan tanpa pecahan tiga tingkat tidak diperlukan lagi:

Jadi, mari kita gunakan hasil kerja kita - persamaan kanonik:

Bagaimana untuk membina hiperbola?

Terdapat dua pendekatan untuk membina hiperbola - geometri dan algebra.
Dari sudut pandangan praktikal, melukis dengan kompas ... Saya juga akan mengatakan utopia, jadi lebih menguntungkan untuk membawa pengiraan mudah untuk menyelamatkan lagi.

Adalah dinasihatkan untuk mematuhi algoritma berikut, pertama lukisan selesai, kemudian komen:

Dalam amalan, gabungan putaran melalui sudut arbitrari dan terjemahan selari hiperbola sering ditemui. Keadaan ini dibincangkan dalam pelajaran. Pengurangan persamaan baris tertib ke-2 kepada bentuk kanonik.

Parabola dan persamaan kanoniknya

Sudah siap! Dia adalah yang paling. Bersedia untuk mendedahkan banyak rahsia. Persamaan kanonik parabola mempunyai bentuk , di mana ialah nombor nyata. Adalah mudah untuk melihat bahawa dalam kedudukan piawainya parabola "terletak di sisinya" dan puncaknya berada di titik asal. Dalam kes ini, fungsi menetapkan cawangan atas baris ini, dan fungsi menetapkan cawangan bawah. Jelas sekali, parabola adalah simetri mengenai paksi. Sebenarnya, apa yang perlu dimandikan:

Contoh 6

Bina parabola

Keputusan: puncak diketahui, mari kita cari titik tambahan. Persamaan menentukan lengkok atas parabola, persamaan menentukan lengkok bawah.

Untuk memendekkan rekod, kami akan menjalankan pengiraan "di bawah berus yang sama":

Untuk tatatanda padat, keputusan boleh diringkaskan dalam jadual.

Sebelum melakukan lukisan titik demi titik asas, kami merumuskan yang ketat

definisi parabola:

Parabola ialah set semua titik dalam satah yang berjarak sama dari titik tertentu dan garis tertentu yang tidak melalui titik itu.

Intinya dipanggil fokus parabola, garis lurus guru besar (ditulis dengan satu "es") parabola. "pe" malar bagi persamaan kanonik dipanggil parameter fokus, yang sama dengan jarak dari fokus ke directrix. Dalam kes ini. Dalam kes ini, fokus mempunyai koordinat, dan direktriks diberikan oleh persamaan.
Dalam contoh kami:

Takrifan parabola lebih mudah difahami daripada takrifan elips dan hiperbola. Untuk mana-mana titik parabola, panjang segmen (jarak dari fokus ke titik) adalah sama dengan panjang serenjang (jarak dari titik ke directrix):

tahniah! Ramai daripada anda telah membuat penemuan sebenar hari ini. Ternyata hiperbola dan parabola bukan sama sekali graf fungsi "biasa", tetapi mempunyai asalan geometri yang jelas.

Jelas sekali, dengan peningkatan dalam parameter fokus, cawangan graf akan "merebak" ke atas dan ke bawah, menghampiri paksi yang hampir tidak terhingga. Dengan penurunan nilai "pe", mereka akan mula mengecut dan meregangkan sepanjang paksi

Sipi mana-mana parabola adalah sama dengan satu:

Putaran dan terjemahan parabola

Parabola ialah salah satu baris yang paling biasa dalam matematik, dan anda perlu membinanya dengan kerap. Oleh itu, sila beri perhatian khusus kepada perenggan akhir pelajaran, di mana saya akan menganalisis pilihan tipikal untuk lokasi lengkung ini.

! Catatan : seperti dalam kes dengan lengkung sebelumnya, adalah lebih tepat untuk bercakap tentang putaran dan terjemahan selari paksi koordinat, tetapi penulis akan mengehadkan dirinya kepada versi persembahan yang dipermudahkan supaya pembaca mempunyai idea asas tentang ​​transformasi ini.

Pembentangan dan pengajaran mengenai topik:
"Hiperbola, definisi, sifat fungsi"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa untuk meninggalkan komen, maklum balas, cadangan anda. Semua bahan disemak oleh program antivirus.

Alat bantu mengajar dan simulator di kedai dalam talian "Integral" untuk gred 8
Jadual pendidikan elektronik mengenai geometri. 7-9 darjah
Jadual pendidikan elektronik dalam algebra. 7-9 gred"

Hiperbola, definisi

Graf fungsi $y=\frac(1)(x)$.
Graf fungsi sedemikian dipanggil "Hiperbola".

Sifat hiperbola

Hiperbola bukan sahaja mempunyai pusat simetri, tetapi juga paksi simetri. Kawan-kawan, lukis garis lurus $y=x$ dan lihat bagaimana graf kami berpecah. Dapat dilihat bahawa jika bahagian yang terletak di atas garis $y=x$ ditindih pada bahagian yang terletak di bawah, maka ia akan bertepatan, ini bermakna simetri berkenaan dengan garis.

Kami telah membina graf bagi fungsi $y=\frac(1)(x)$, tetapi apakah yang akan berlaku dalam kes umum $y=\frac(k)(x)$, $k>0$.
Graf secara praktikal tidak akan berbeza. Hiperbola dengan cawangan yang sama akan diperolehi, hanya lebih banyak $k$, semakin jauh cabang akan dikeluarkan dari asal, dan semakin kecil $k$, semakin dekat dengan asal.

Sebagai contoh, graf fungsi $y=\frac(10)(x)$ kelihatan seperti ini. Graf menjadi "lebih luas", beralih daripada asal.
Tetapi bagaimana pula dalam kes $k$ negatif? Graf fungsi $y=-f(x)$ adalah simetri kepada graf $y=f(x)$ tentang paksi-x, anda perlu memusingkannya "terbalik".
Mari kita gunakan sifat ini dan plot fungsi $y=-\frac(1)(x)$.

Mari kita ringkaskan ilmu yang diperolehi.
Graf fungsi $y=\frac(k)(x)$, $k≠0$ ialah hiperbola yang terletak pada suku koordinat pertama dan ketiga (kedua dan keempat), untuk $k>0$ ($k

Sifat fungsi $y=\frac(k)(x)$, $k>0$

Sifat fungsi $y=\frac(k)(x)$, $k
1. Domain definisi: semua nombor kecuali $х=0$.
2. $y>0$ untuk $x 0$.
3. Fungsi bertambah pada selang $(-∞;0)$ dan $(0;+∞)$.
4. Fungsi tidak terhad dari atas atau bawah.
5. Tiada nilai maksimum atau minimum.
6. Fungsi adalah selanjar pada selang $(-∞;0)U(0;+∞)$ dan mempunyai ketakselanjaran pada titik $х=0$.
7. Julat nilai: $(-∞;0)U(0;+∞)$.

Hiperbola ialah lengkung satah tertib kedua yang terdiri daripada dua lengkung berasingan yang tidak bersilang.
Formula Hiperbola y = k/x, dengan syarat k tidak sama 0 . Iaitu, bucu hiperbola cenderung kepada sifar, tetapi tidak pernah bersilang dengannya.

Hiperbola- ini adalah satu set titik satah, modulus perbezaan dalam jarak yang dari dua titik, dipanggil fokus, adalah nilai malar.

sifat:

1. Sifat optik: cahaya dari sumber yang terletak pada salah satu fokus hiperbola dipantulkan oleh cabang kedua hiperbola sedemikian rupa sehingga kesinambungan sinar pantulan bersilang pada fokus kedua.
Dalam erti kata lain, jika F1 dan F2 ialah fokus hiperbola, maka tangen pada mana-mana titik X hiperbola ialah pembahagi dua sudut ∠F1XF2.

2. Bagi mana-mana titik yang terletak pada hiperbola, nisbah jarak dari titik ini ke fokus kepada jarak dari titik yang sama ke directrix ialah nilai yang tetap.

3. Hiperbola mempunyai cermin simetri tentang paksi sebenar dan khayalan, serta simetri putaran apabila diputar melalui sudut 180° mengelilingi pusat hiperbola.

4. Setiap hiperbola mempunyai hiperbola konjugat, yang mana paksi sebenar dan khayalan ditukar ganti, tetapi asimtot tetap sama.

Sifat hiperbola:

1) Hiperbola mempunyai dua paksi simetri (paksi utama hiperbola) dan pusat simetri (pusat hiperbola). Selain itu, salah satu paksi ini bersilang dengan hiperbola pada dua titik, dipanggil bucu hiperbola. Ia dipanggil paksi sebenar hiperbola (paksi Oh untuk pilihan kanonik sistem koordinat). Paksi lain tidak mempunyai titik sepunya dengan hiperbola dan dipanggil paksi khayalannya (dalam koordinat kanonik, paksi OU). Pada kedua-dua belahnya terdapat cabang kanan dan kiri hiperbola. Tumpuan hiperbola terletak pada paksi sebenarnya.

2) Cabang-cabang hiperbola mempunyai dua asimtot yang ditakrifkan oleh persamaan

3) Bersama-sama dengan hiperbola (11.3), kita boleh mempertimbangkan apa yang dipanggil hiperbola konjugat yang ditakrifkan oleh persamaan kanonik

yang mana paksi sebenar dan khayalan ditukar ganti sambil mengekalkan asimtot yang sama.

4) Sipi hiperbola e> 1.

5) Nisbah jarak r i daripada titik hiperbola kepada fokus F i untuk menjauhkan d i dari titik ini ke directrix yang sepadan dengan fokus adalah sama dengan kesipian hiperbola.

42. Hiperbola ialah set titik dalam satah yang mana modulus perbezaan antara jarak ke dua titik tetap F 1 dan F 2 pesawat ini, dipanggil muslihat, ialah nilai tetap.

Mari kita terbitkan persamaan kanonik hiperbola dengan analogi dengan terbitan persamaan elips, menggunakan tatatanda yang sama.

|r 1 - r 2 | = 2a, dari mana Jika menandakan b² = c² - a², dari sini anda boleh dapatkan

- persamaan kanonik hiperbola. (11.3)

Lokus titik yang nisbah jarak ke fokus dan garis lurus tertentu, dipanggil directrix, adalah malar dan lebih besar daripada satu, dipanggil hiperbola. Pemalar yang diberikan dipanggil kesipian hiperbola

Definisi 11.6.kesipian hiperbola dipanggil kuantiti e = c / a.

Sipi:

Definisi 11.7.Guru Besar D i hiperbola yang sepadan dengan fokus F i, dipanggil garis lurus yang terletak pada separuh satah yang sama dengan F i mengenai paksi OU berserenjang dengan paksi Oh pada jarak a / e dari asal.

43. Kes konjugat, hiperbola merosot (TIDAK LENGKAP)

Setiap hiperbola mempunyai hiperbola konjugat, yang mana paksi sebenar dan khayalan ditukar ganti, tetapi asimtot tetap sama. Ini sepadan dengan penggantian a dan b di atas satu sama lain dalam formula yang menerangkan hiperbola. Hiperbola konjugat bukanlah hasil daripada putaran 90° hiperbola awal; kedua-dua hiperbola berbeza dalam bentuk.

Jika asimtot hiperbola saling berserenjang, maka hiperbola dipanggil sama kaki . Dua hiperbola yang mempunyai asimtot biasa, tetapi dengan paksi melintang dan konjugat yang disusun semula, dipanggil saling berganding .

Hiperbola dan parabola

Mari kita beralih ke bahagian kedua artikel. mengenai baris pesanan kedua, didedikasikan kepada dua lengkung biasa yang lain - hiperbola dan parabola. Jika anda datang ke halaman ini dari enjin carian atau belum mempunyai masa untuk menavigasi topik, maka saya cadangkan anda terlebih dahulu mempelajari bahagian pertama pelajaran, di mana kami mengkaji bukan sahaja perkara teori utama, tetapi juga berkenalan dengan elips. Bagi pembaca yang lain, saya mencadangkan untuk menambah pengetahuan sekolah mereka dengan ketara tentang parabola dan hiperbola. Hiperbola dan parabola - adakah ia mudah? … Jangan tunggu =)

Hiperbola dan persamaan kanoniknya

Struktur umum pembentangan bahan akan menyerupai perenggan sebelumnya. Mari kita mulakan dengan konsep umum hiperbola dan masalah pembinaannya.

Persamaan kanonik hiperbola mempunyai bentuk , di mana nombor nyata positif. Perhatikan bahawa, tidak seperti elips, syarat tidak dikenakan di sini, iaitu nilai "a" mungkin kurang daripada nilai "be".

Saya mesti katakan, secara tidak dijangka ... persamaan hiperbola "sekolah" tidak hampir sama dengan rekod kanonik. Tetapi teka-teki ini masih perlu menunggu kita, tetapi buat masa ini mari kita menggaru belakang kepala kita dan ingat apakah ciri ciri yang ada pada lengkung yang sedang dipertimbangkan? Ayuh sebarkan di skrin imaginasi kita graf fungsi ….

Hiperbola mempunyai dua cabang simetri.

Hiperbola mempunyai dua asimtot.

Kemajuan yang baik! Mana-mana hiperbola mempunyai sifat ini, dan kini kita akan melihat dengan kekaguman yang tulen pada garis leher garis ini:

Contoh 4

Bina hiperbola yang diberikan oleh persamaan

Keputusan: pada langkah pertama, kami membawa persamaan ini kepada bentuk kanonik . Sila ingat prosedur biasa. Di sebelah kanan, anda perlu mendapatkan "satu", jadi kami membahagikan kedua-dua bahagian persamaan asal dengan 20:

Di sini anda boleh mengurangkan kedua-dua pecahan, tetapi lebih optimum untuk membuat setiap pecahan tiga tingkat:

Dan hanya selepas itu untuk menjalankan pengurangan:

Kami memilih petak dalam penyebut:

Mengapakah lebih baik untuk melakukan transformasi dengan cara ini? Lagipun, pecahan sebelah kiri boleh segera dikurangkan dan dapatkan. Hakikatnya ialah dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, kami agak bernasib baik: nombor 20 boleh dibahagikan dengan kedua-dua 4 dan 5. Dalam kes umum, nombor sedemikian tidak berfungsi. Pertimbangkan, sebagai contoh, persamaan. Di sini, dengan pembahagian, semuanya lebih sedih dan tanpa pecahan tiga tingkat tidak diperlukan lagi:

Jadi, mari kita gunakan hasil kerja kita - persamaan kanonik:

Bagaimana untuk membina hiperbola?

Terdapat dua pendekatan untuk membina hiperbola - geometri dan algebra.
Dari sudut pandangan praktikal, melukis dengan kompas ... Saya juga akan mengatakan utopia, jadi lebih menguntungkan untuk membawa pengiraan mudah untuk menyelamatkan lagi.

Adalah dinasihatkan untuk mematuhi algoritma berikut, pertama lukisan selesai, kemudian komen:

1) Pertama sekali, kita dapati asimtot. Jika hiperbola diberikan oleh persamaan kanonik , maka asimtotnya ialah lurus . Dalam kes kami: . Item ini diperlukan! Ini adalah ciri asas lukisan, dan ia akan menjadi satu kesilapan besar jika cabang hiperbola "merangkak keluar" melebihi asimtotnya.

2) Sekarang kita dapati dua bucu hiperbola, yang terletak pada paksi-x pada titik . Ia diterbitkan secara asas: jika , maka persamaan kanonik bertukar menjadi , dari mana ia mengikuti bahawa . Hiperbola yang dianggap mempunyai bucu

3) Kami sedang mencari mata tambahan. Biasanya 2-3 sudah cukup. Dalam kedudukan kanonik, hiperbola adalah simetri tentang asal dan kedua-dua paksi koordinat, jadi ia cukup untuk melakukan pengiraan bagi suku koordinat pertama. Tekniknya sama seperti untuk pembinaan elips. Daripada persamaan kanonik pada draf, kami menyatakan:

Persamaan terbahagi kepada dua fungsi:
- mentakrifkan arka atas hiperbola (apa yang kita perlukan);
- mentakrifkan lengkok bawah hiperbola.

Ia mencadangkan mencari titik dengan abscissas:

4) Lukiskan asimtot pada lukisan , bucu , titik tambahan dan simetri dalam suku koordinat lain. Kami menyambung dengan teliti titik-titik yang sepadan pada setiap cabang hiperbola:

Kesukaran teknikal boleh timbul dengan tidak rasional faktor cerun, tetapi ini adalah masalah yang boleh diatasi sepenuhnya.

Segmen garisan dipanggil paksi sebenar hiperbola,
panjangnya - jarak antara bucu;
nombor dipanggil separuh paksi sebenar hiperbola;
nombor – paksi khayalan.

Dalam contoh kami: , dan, jelas sekali, jika hiperbola yang diberikan diputar di sekeliling pusat simetri dan/atau digerakkan, maka nilai ini tidak akan berubah.

Definisi hiperbola. Fokus dan kesipian

Dalam hiperbola, dengan cara yang sama seperti dalam elips, terdapat dua titik tunggal , yang dipanggil muslihat. Saya tidak mengatakannya, tetapi untuk berjaga-jaga, tiba-tiba seseorang salah faham: pusat simetri dan titik fokus, sudah tentu, tidak tergolong dalam lengkung.

Konsep umum definisi juga serupa:

Hiperbola ialah set semua titik dalam satah, nilai mutlak perbezaan jarak ke setiap satu daripada dua titik yang diberikan ialah nilai malar, secara berangka sama dengan jarak antara bucu hiperbola ini: . Dalam kes ini, jarak antara fokus melebihi panjang paksi sebenar: .

Jika hiperbola diberikan oleh persamaan kanonik, maka jarak dari pusat simetri ke setiap fokus dikira dengan formula: .
Dan, oleh itu, fokus mempunyai koordinat .

Untuk hiperbola yang dikaji:

Mari kita pergi ke definisi. Nyatakan dengan jarak dari fokus ke titik arbitrari hiperbola:

Mula-mula, gerakkan titik biru secara mental di sepanjang cabang kanan hiperbola - di mana sahaja kita berada, modul(nilai mutlak) perbezaan antara panjang segmen adalah sama:

Jika titik itu "dilemparkan" ke cawangan kiri, dan dialihkan ke sana, maka nilai ini akan kekal tidak berubah.

Tanda modulus diperlukan atas sebab perbezaan panjang boleh sama ada positif atau negatif. Dengan cara ini, untuk mana-mana titik di cawangan yang betul (kerana segmen lebih pendek daripada segmen ). Untuk mana-mana titik cawangan kiri, keadaannya betul-betul bertentangan dan .

Selain itu, memandangkan sifat modulus yang jelas, tidak kira apa yang hendak ditolak daripada apa.

Mari kita pastikan bahawa dalam contoh kita modulus perbezaan ini benar-benar sama dengan jarak antara bucu. Letakkan titik secara mental pada puncak kanan hiperbola. Kemudian: , yang akan disemak.

Hiperbola ialah lokus titik yang perbezaan jarak dari dua titik tetap satah, dipanggil fokus, adalah pemalar; perbezaan yang ditunjukkan diambil dalam nilai mutlak dan biasanya dilambangkan dengan 2a. Fokus hiperbola dilambangkan dengan huruf F 1 dan F 2, jarak antara mereka adalah melalui 2s. Mengikut definisi hiperbola 2a

Biar hiperbola diberikan. Jika paksi sistem koordinat segi empat tepat Cartesan dipilih supaya fokus hiperbola tertentu terletak pada paksi absis secara simetri berkenaan dengan asalan, maka dalam sistem koordinat ini persamaan hiperbola mempunyai bentuk

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1, (1)

di mana b \u003d √ (c 2 - a 2). Persamaan bentuk (I) dipanggil persamaan kanonik hiperbola. Dengan pilihan sistem koordinat yang ditunjukkan, paksi koordinat ialah paksi simetri hiperbola, dan asal koordinat ialah pusat simetrinya (Rajah). 18). Paksi simetri hiperbola dipanggil hanya paksinya, pusat simetri ialah pusat hiperbola. Hiperbola melintasi salah satu paksinya; titik persilangan dipanggil bucu hiperbola. Pada rajah. 18 Bucu hiperbola ialah titik A" dan A.

Segi empat tepat dengan sisi 2a dan 2b, terletak secara simetri pada paksi hiperbola dan menyentuhnya pada bucu, dipanggil segi empat tepat utama hiperbola.

Segmen panjang 2a dan 2b yang menghubungkan titik tengah sisi segi empat tepat utama hiperbola juga dipanggil paksinya. Diagonal bagi segi empat tepat utama (dilanjutkan tanpa had) ialah asimtot hiperbola; persamaan mereka ialah:

y = b/a x, y = - b/a x

Persamaan

X 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1 (2)

mentakrifkan hiperbola simetri tentang paksi koordinat dengan fokus pada paksi-y; persamaan (2), seperti persamaan (1), dipanggil persamaan kanonik hiperbola; dalam kes ini, perbezaan malar dalam jarak dari titik arbitrari hiperbola ke fokus adalah sama dengan 2b.

Dua hiperbola yang ditakrifkan oleh persamaan

x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \u003d 1, - x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1

dalam sistem koordinat yang sama dipanggil konjugat.

Hiperbola dengan separuh lengan yang sama (a \u003d b) dipanggil sama sisi,; persamaan kanoniknya ialah

x 2 - y 2 \u003d a 2 atau - x 2 + y 2 \u003d a 2.

di mana a ialah jarak dari pusat hiperbola ke puncaknya, dipanggil kesipian hiperbola. Jelas sekali, untuk sebarang hiperbola ε > 1. Jika M(x; y) ialah titik arbitrari bagi hiperbola, maka segmen F 1 M dan F 2 M (lihat Rajah 18) dipanggil jejari fokus titik M. Jejari fokus titik cabang kanan hiperbola adalah formula yang dikira

r 1 \u003d εx + a, r 2 \u003d εx - a,

jejari fokus titik cawangan kiri - mengikut formula

r 1 \u003d -εx - a, r 2 \u003d -εx + a

Jika hiperbola diberikan oleh persamaan (1), maka garisan yang ditakrifkan oleh persamaan

x = -a/ε, x = a/ε

dipanggil pengarahnya (lihat Rajah 18). Jika hiperbola diberikan oleh persamaan (2), maka direktriks ditentukan oleh persamaan

x = -b/ε, x = b/ε

Setiap direktriks mempunyai sifat berikut: jika r ialah jarak dari titik arbitrari hiperbola ke beberapa fokus, d ialah jarak dari titik yang sama ke direktriks satu sisi dengan fokus ini, maka nisbah r/d ialah pemalar nilai yang sama dengan kesipian hiperbola:

515. Tulis persamaan hiperbola, yang fokusnya terletak pada paksi absis secara simetri tentang asalan, dengan mengetahui, sebagai tambahan, bahawa:

1) paksinya 2a = 10 dan 2b = 8;

2) jarak antara fokus 2с = 10 dan paksi 2b = 8;

3) jarak antara fokus 2с = 6 dan kesipian ε = 3/2;

4) paksi 2a = 16 dan kesipian ε = 5/4;

5) persamaan asimtot y = ±4/3x dan jarak antara fokus 2c = 20;

6) jarak antara directrixes ialah 22 2/13 dan jarak antara fokus ialah 2c = 26; 39

7) jarak antara direktriks ialah 32/5 dan paksi 2b = 6;

8) jarak antara directrixes ialah 8/3 dan kesipian ε = 3/2;

9) persamaan asimtot y = ± 3/4 x dan jarak antara directrixes ialah 12 4/5.

516. Susun persamaan hiperbola, yang fokusnya terletak pada paksi-y secara simetri berkenaan dengan asalan, dengan mengetahui, sebagai tambahan, bahawa:

1) separuh paksinya a = 6, b = 18 (huruf a menandakan separuh paksi hiperbola yang terletak pada paksi absis);

2) jarak antara fokus 2с = 10 dan exceitrity ε = 5/3; Oh saya. 12

3) persamaan asimtot y = ±12/5x dan jarak antara bucu ialah 48;

4) jarak antara directrixes ialah 7 1/7 dan kesipian ε = 7/5;

5) persamaan asymptot y = ± 4/3x dan jarak antara directrixes ialah 6 2/5.

517. Tentukan separuh paksi a dan b bagi setiap hiperbola berikut:

1) x 2 /9 - y 2/4 \u003d 1; 2) x 2 /16 - y 2 \u003d 1; 3) x 2 - 4y 2 = 16;

4) x 2 - y 2 \u003d 1; 5) 4x 2 - 9y 2 = 25; 6) 25x 2 -16y 2 \u003d 1;

7) 9x 2 - 64y 2 = 1.

518. Diberi hiperbola 16x 2 - 9y 2 = 144. Cari: 1) separuh paksi a dan b; 2) muslihat; 3) kesipian; 4) persamaan asimtot; 5) persamaan diretriks.

519. Diberi hiperbola 16x 2 - 9y 2 = -144. Cari: 1) separuh paksi a dan b; 2) muslihat; 3) kesipian; 4) persamaan asimtot; 5) persamaan diretriks.

520. Kira luas segi tiga yang dibentuk oleh asimtot hiperbola x 2/4 - y 2/9 = 1 dan garis 9x + 2y - 24 = 0.

521. Tentukan garis yang ditentukan oleh persamaan berikut:

1) y \u003d + 2 / 3 √ (x 2 - 9); 2) y \u003d -3 √ (x 2 + 1)

3) x \u003d -4 / 3 √ (y 2 + 9); 4) +2/5√(x 2 + 25)

522. Diberi titik M 1 (l0; - √5) pada hiperbola - x 2 /80 - y 2 /20 = 1. Susun persamaan garis di mana jejari fokus titik M 1 terletak.

523. Memastikan titik M 1 (-5; 9/4) terletak pada bola guiler x 2 /16 - y 2 /9 = 1, tentukan jejari fokus titik M 1 .

524. Kesipian hiperbola ε = 2, jejari fokus titik M, diambil dari beberapa fokus, ialah 16. Kira jarak dari titik M ke directrix sebelah dengan fokus ini.

525. Kesipian hiperbola ε = 3, jarak dari titik M hiperbola ke directrix ialah 4. Kira jarak dari titik M ke fokus, sebelah dengan directrix ini.

526. Sipi bagi hiperbola ε = 2, pusatnya terletak pada asalan, salah satu fokus ialah F(12; 0). Hitung jarak dari titik M 1 hiperbola dengan absis sama dengan 13 kepada directrix yang sepadan dengan fokus yang diberikan.

527. Sipi bagi hiperbola ε = 3/2, pusatnya terletak pada asalan, salah satu daripada directrixes diberikan oleh persamaan x = -8. Kira jarak dari titik M 1 hiperbola dengan absis sama dengan 10 ke fokus yang sepadan dengan directrix yang diberikan.

528. Tentukan titik hiperbola - x 2 /64 - y 2 /36 = 1, jaraknya ke fokus kanan ialah 4.5.

529. Tentukan titik hiperbola x 2 /9 - y 2 /16 = 1, jaraknya ke fokus kiri ialah 7.

530. Serenjang dilukis melalui fokus kiri hiperbola x 2 /144 - y 2 /25 = 1 ke paksinya yang mengandungi bucu. Tentukan jarak dari fokus ke titik persilangan serenjang ini dengan hiperbola.

531. Menggunakan satu kompas, bina fokus hiperbola x 2 /16 - y 2 /25 = 1 (dengan andaian bahawa paksi koordinat ditunjukkan dan unit skala diberi).

532. Tulis persamaan hiperbola, fokusnya terletak pada paksi-x secara simetri tentang asalan, jika diberi:

1) mata M 1 (6; -1) dan M 2 (-8; 2√2) hiperbola;

2) titik M 1 (-5; 3) hiperbola dan kesipian ε = √2;

3) titik M 1 (9/2;-l) hiperbola dan persamaan asimtot y = ± 2.3x;

4) titik M 1 (-3; 5.2) hiperbola dan persamaan diretriks x = ± 4/3;

5) persamaan asymptot y = ±-3/4x dan persamaan directrix x = ± 16/5

533. Tentukan kesipian hiperbola sama sisi.

534. Tentukan kesipian hiperbola jika segmen antara bucunya kelihatan daripada fokus hiperbola konjugat pada sudut 60°.

535. Fokus hiperbola bertepatan dengan fokus elips x 2 /25 + y 2 /9 = 1. Tulis persamaan hiperbola jika kesipiannya ε = 2.

536. Tulis persamaan untuk hiperbola yang fokusnya terletak pada bucu elips x 2 /100 + y 2 /64 = 1, dan directrixes melalui fokus elips ini.

537. Buktikan bahawa jarak dari fokus hiperbola x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 ke asimtotnya adalah sama dengan b.

538. Buktikan bahawa hasil darab jarak dari mana-mana titik hiperbola x x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 kepada dua asimtotnya ialah nilai malar bersamaan dengan a 2 b 2 /(a 2 + b 2)

539. Buktikan bahawa luas segi empat selari yang dibatasi oleh asimtot hiperbola x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 dan garis lurus yang dilukis melalui mana-mana titiknya yang selari dengan asimtot ialah nilai malar yang sama. kepada ab/2.

540. Susun persamaan hiperbola jika separuh paksi a dan bnya diketahui, pusat C (x 0; y 0) dan fokus terletak pada garis lurus: 1) selari dengan paksi Lembu; 2) selari dengan paksi Oy.

541. Tetapkan bahawa setiap persamaan berikut mentakrifkan hiperbola, dan cari koordinat pusat C, semipaksi, kesipian, persamaan asimtot dan persamaan directrixnya:

1) 16x 2 - 9y 2 - 64x - 54y - 161 = 0;

2) 9x 2 - 16y 2 + 90x + 32y - 367 = 0;

3) 16x 2 - 9y 2 - 64x - 18y + 199 = 0.

542. Tentukan garis mana yang ditentukan oleh persamaan berikut:

1) y \u003d - 1 + 2/3 √ (x 2 - 4x - 5);

2) y \u003d 7- 3 / 2 √ (x 2 - 6x + 13);

3) x = 9 - 2√(y 2 + 4y + 8);

4) X \u003d 5 + 3/4 √ (y 2 + 4y - 12).

Lukiskan garisan ini pada lukisan itu.

543. Tulis persamaan hiperbola, mengetahui bahawa:

1) jarak antara bucunya ialah 24 dan fokusnya ialah F 1 (-10; 2), F 2 (16; 2);

2) fokus ialah F 1 (3; 4), F 2 (-3; -4) dan jarak antara direktriks ialah 3.6;

3) sudut antara asimtot ialah 90° dan fokus ialah F 1 (4; -4), F 1 (- 2; 2).

544. Tulis persamaan hiperbola jika kesipiannya ε = 5/4, fokus F (5; 0) dan persamaan direktriks sepadan 5x - 16 = 0 diketahui.

545. Tulis persamaan hiperbola jika kesipiannya e diketahui - fokus F (0; 13) dan persamaan direktriks sepadan 13y - 144 = 0.

546. Titik A (-3; - 5) terletak pada hiperbola yang fokusnya ialah F (-2; -3), dan direktriks yang sepadan diberikan oleh persamaan x + 1 = 0. Tulis persamaan untuk hiperbola ini .

547. Tuliskan persamaan hiperbola jika kesipiannya ε = √5, fokus F(2;-3) dan persamaan direktriks sepadan Zx - y + 3 = 0 diketahui.

548. Titik M 1 (1; 2) terletak pada hiperbola yang fokusnya ialah F(-2; 2), dan diretriks yang sepadan diberikan oleh persamaan 2x - y - 1 = 0. Tulis persamaan untuk ini hiperbola.

549. Persamaan hiperbola sama sisi x 2 - y 2 = a 2 diberi. Cari persamaannya dalam sistem baharu, mengambil asimtotnya sebagai paksi koordinat.

550. Setelah menetapkan bahawa setiap persamaan berikut mentakrifkan hiperbola, cari bagi setiap satu daripadanya pusat, separuh paksi, persamaan asimtot dan plotkannya pada lukisan: 1) xy = 18; 2) 2xy - 9 = 0; 3) 2xy + 25 = 0.

551. Cari titik persilangan garis 2x - y - 10 = 0 dan hiperbola x 2 /20 - y 2 /5 = 1.

552. Cari titik persilangan garis 4x - 3y - 16 = 0 dan hiperbola x 2 /25 - y 2 /16 = 1.

553. Cari titik persilangan garis 2x - y + 1 = 0 dan hiperbola x 2 /9 - y 2 /4 = 1.

554. Dalam kes berikut, tentukan cara garis itu terletak relatif kepada hiperbola: sama ada ia bersilang, menyentuh atau melepasi luarnya:

1) x - y - 3 \u003d 0, x 2 / 12 - y 2 / 3 \u003d l;

2) x - 2y + 1 \u003d 0, x 2 / 16 - y 2 / 9 \u003d l;

555. Tentukan nilai m garis lurus y = 5/2x + m

1) bersilang dengan hiperbola x 2/9 - y 2/36 = 1; 2) menyentuhnya;

3) melepasi luar hiperbola ini.

556. Terbitkan keadaan di mana garis y \u003d kx + m menyentuh hiperbola x 2 / a 2 - y 2 / b 2 \u003d 1.

557. Susun persamaan tangen kepada hiperbola x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 pada titiknya Af, (*,; #i).

558. Buktikan bahawa tangen kepada hiperbola yang dilukis pada hujung diameter yang sama adalah selari.

559. Susun persamaan tangen kepada hiperbola x 2 /20 - y 2 /5 \u003d 1, berserenjang dengan garis 4x + Zy - 7 \u003d 0.

560. Susun persamaan tangen kepada hiperbola x 2 /16 - y 2 /64 = 1, selari dengan garis 10x - 3y + 9 = 0.

561. Lukis tangen kepada hiperbola x 2 /16 - y 2 /8 = - 1 selari dengan garis 2x + 4y - 5 = 0 dan hitung jarak d antara keduanya.

562. Pada hiperbola x 2 /24- y 2 /18 = 1, cari titik M 1 yang paling hampir dengan garis Zx + 2y + 1 = O, dan hitung jarak d dari titik M x ke garis ini.

563. Susun persamaan tangen kepada hiperbola x 2 - y 2 = 16, dilukis dari titik A (- 1; -7).

564. Tangen kepada hiperbola x 2 /8 - y 2 /32 = 1 dilukis daripada titik C (1; -10) Tulis persamaan kord yang menghubungkan titik sentuhan.

565. Tangen kepada hiperbola x 2 /3 - y 2 /5 = 1 dilukis dari titik P (1; -5). Kira jarak d dari titik P ke kord hiperbola yang menghubungkan titik sentuhan.

566. Hiperbola melalui titik A(√6; 3) dan menyentuh garis 9x + 2y - 15 == 0. Tulis persamaan untuk hiperbola ini, dengan syarat paksinya bertepatan dengan paksi koordinat.

567. Tuliskan persamaan hiperbola tangen kepada dua garis: 5x - 6y - 16 = 0, 13x - 10y - 48 = 0, dengan syarat paksinya bertepatan dengan paksi koordinat.

568. Memastikan bahawa titik persilangan elips x 2 /3 - y 2 /5 = 1 dan hiperbola x 2 /12 - y 2 /3 = 1 ialah bucu segi empat tepat, lukiskan persamaan sisinya .

569. Hiperbola x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 dan beberapa tangennya diberikan: P - titik persilangan tangen dengan paksi Ox, Q - unjuran titik sentuhan pada yang sama paksi. Buktikan bahawa OP OQ = a 2 .

570. Buktikan bahawa fokus hiperbola terletak pada sisi bertentangan mana-mana tangennya.

571. Buktikan bahawa hasil darab jarak dari fokus ke sebarang tangen kepada hiperbola x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 ialah pemalar sama dengan b 2 .

572. Garis 2x - y - 4 == 0 menyentuh hiperbola yang fokusnya berada pada titik F 1 (-3; 0) dan F 2 (3; 0). Tulis persamaan untuk hiperbola ini.

573. Susun persamaan hiperbola, yang fokusnya terletak pada paksi absis secara simetri tentang asalan, jika persamaan tangen kepada hiperbola 15x + 16y - 36 = 0 dan jarak antara bucunya 2a = 8 ialah diketahui.

574. Buktikan bahawa garis tangen kepada hiperbola pada satu titik M membuat sudut yang sama dengan jejari fokus F 1 M, F 2 M dan melepasi dalam sudut F 1 MF 2 . X^

575. Dari fokus kanan hiperbola x 2 /5 - y 2 /4 = 1 pada sudut α(π

576. Buktikan bahawa elips dan hiperbola yang mempunyai fokus sepunya bersilang pada sudut tepat.

577. Pekali mampatan seragam satah kepada paksi Ox ialah 4/3. Tentukan persamaan garis di mana hiperbola x 2 /16 - y 2 /9 = 1 diubah semasa pemampatan ini. Petunjuk. Lihat tugasan 509.

578. Pekali mampatan seragam satah kepada paksi Oy ialah 4/5. Tentukan persamaan garis di mana hiperbola x 2 /25 - y 2 /9 = 1 diubah semasa pemampatan ini.

579. Cari persamaan garis di mana hiperbola x 2 - y 2 \u003d 9 diubah dengan dua mampatan seragam berturut-turut bagi satah kepada paksi koordinat, jika pekali mampatan seragam satah kepada paksi Ox dan Oy masing-masing sama dengan 2/3 dan 5/3.

580. Tentukan pekali q bagi mampatan seragam satah kepada paksi Ox, di mana hiperbola - x 2 /25 - y 2 /36 = 1 diubah menjadi hiperbola x 2 /25 - y 2 /16 = 1.

581. Tentukan pekali q bagi mampatan seragam satah ke paksi Oy, di mana hiperbola x 2 /4 - y 2 /9 = 1 diubah menjadi hiperbola x 2 /16 - y 2 /9 = 1.

582. Tentukan pekali q 1 dan q 2 daripada dua mampatan seragam berturut-turut bagi satah kepada paksi Ox dan Oy, di mana hiperbola x 2 /49 - y 2 /16 = 1 diubah menjadi hiperbola x 2 /25 - y 2/64 = 1.