Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis persamaan yang mana. Contoh
Sekarang kita beralih kepada pertimbangan aplikasi kalkulus kamiran. Dalam pelajaran ini, kami akan menganalisis tugas biasa dan paling biasa. mengira luas rajah rata menggunakan kamiran pasti. Akhir sekali, semua yang mencari makna dalam matematik yang lebih tinggi - semoga mereka menemuinya. Anda tidak pernah tahu. Dalam kehidupan sebenar, anda perlu menganggarkan kotej musim panas dengan fungsi asas dan mencari kawasannya menggunakan kamiran tertentu.
Untuk berjaya menguasai bahan, anda mesti:
1) Memahami kamiran tak tentu sekurang-kurangnya pada tahap pertengahan. Oleh itu, dummies harus terlebih dahulu membaca pelajaran tidak.
2) Dapat menggunakan formula Newton-Leibniz dan mengira kamiran pasti. Anda boleh menjalin hubungan mesra yang mesra dengan kamiran tertentu pada halaman Kamiran pasti. Contoh penyelesaian. Tugas "mengira luas menggunakan kamiran pasti" sentiasa melibatkan pembinaan lukisan, oleh itu, pengetahuan dan kemahiran melukis anda juga akan menjadi isu yang mendesak. Sekurang-kurangnya, seseorang mesti boleh membina garis lurus, parabola dan hiperbola.
Mari kita mulakan dengan trapezoid melengkung. Trapezoid melengkung ialah rajah rata yang dibatasi oleh graf bagi beberapa fungsi y = f(x), paksi OX dan garisan x = a; x = b.
Luas trapezium melengkung secara berangka sama dengan kamiran tertentu
Mana-mana kamiran pasti (yang wujud) mempunyai makna geometri yang sangat baik. Pada pelajaran Kamiran pasti. Contoh penyelesaian kami berkata kamiran pasti ialah nombor. Dan kini tiba masanya untuk menyatakan satu lagi fakta berguna. Dari sudut geometri, kamiran pasti ialah LUAS. i.e, kamiran pasti (jika wujud) secara geometri sepadan dengan luas beberapa rajah. Pertimbangkan kamiran pasti
Integrasi
mentakrifkan lengkung pada satah (ia boleh dilukis jika dikehendaki), dan kamiran pasti itu sendiri secara berangka sama dengan luas trapezoid lengkung yang sepadan.
Contoh 1
, , , .
Ini adalah pernyataan tugas biasa. Perkara yang paling penting dalam keputusan ialah pembinaan lukisan. Selain itu, lukisan mesti dibina BETUL.
Apabila membina pelan tindakan, saya mengesyorkan susunan berikut: pada mulanya adalah lebih baik untuk membina semua baris (jika ada) dan sahaja selepas- parabola, hiperbola, graf fungsi lain. Teknik pembinaan titik demi titik boleh didapati dalam bahan rujukan Graf dan sifat fungsi asas. Di sana anda juga boleh mencari bahan yang sangat berguna berkaitan dengan pelajaran kami - cara membina parabola dengan cepat.
Dalam masalah ini, penyelesaiannya mungkin kelihatan seperti ini.
Mari buat lukisan (perhatikan bahawa persamaan y= 0 menentukan paksi OX):
Kami tidak akan menetas trapezoid curvilinear, jelas kawasan apa yang kita bicarakan di sini. Penyelesaiannya berterusan seperti ini:
Pada selang [-2; 1] graf fungsi y = x 2 + 2 terletak atas paksiOX, Itulah sebabnya:
Jawapan: .
Siapa yang mengalami kesukaran mengira kamiran pasti dan menggunakan formula Newton-Leibniz
,
rujuk kuliah Kamiran pasti. Contoh penyelesaian. Selepas tugasan selesai, ia sentiasa berguna untuk melihat lukisan dan mengetahui sama ada jawapannya adalah benar. Dalam kes ini, "dengan mata" kita mengira bilangan sel dalam lukisan - baik, kira-kira 9 akan ditaip, nampaknya benar. Agak jelas bahawa jika kita mempunyai, katakan, jawapannya: 20 unit persegi, maka, jelas sekali, kesilapan telah dibuat di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan angka yang dipersoalkan, paling banyak sedozen. Jika jawapannya ternyata negatif, maka tugas itu juga diselesaikan dengan tidak betul.
Contoh 2
Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis xy = 4, x = 2, x= 4 dan paksi OX.
Ini adalah contoh buat sendiri. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.
Apa yang perlu dilakukan jika trapezoid curvilinear terletak bawah gandarOX?
Contoh 3
Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis y = e-x, x= 1 dan paksi koordinat.
Penyelesaian: Mari buat lukisan:
Jika trapezoid melengkung sepenuhnya di bawah gandar OX , maka luasnya boleh didapati dengan formula:
Dalam kes ini:
.
Perhatian! Kedua-dua jenis tugas tidak boleh dikelirukan:
1) Jika anda diminta untuk menyelesaikan hanya kamiran pasti tanpa sebarang makna geometri, maka ia boleh menjadi negatif.
2) Jika anda diminta untuk mencari luas rajah menggunakan kamiran pasti, maka luas itu sentiasa positif! Itulah sebabnya tolak muncul dalam formula yang baru dipertimbangkan.
Dalam amalan, selalunya angka itu terletak di kedua-dua satah separuh atas dan bawah, dan oleh itu, dari masalah sekolah yang paling mudah, kita beralih kepada contoh yang lebih bermakna.
Contoh 4
Cari luas rajah satah yang dibatasi oleh garis y = 2x – x 2 , y = -x.
Penyelesaian: Mula-mula anda perlu membuat lukisan. Apabila membina lukisan dalam masalah kawasan, kami paling berminat dengan titik persilangan garisan. Cari titik persilangan parabola y = 2x – x 2 dan lurus y = -x. Ini boleh dilakukan dengan dua cara. Cara pertama adalah analitikal. Kami menyelesaikan persamaan:
Jadi had bawah integrasi a= 0, had atas penyepaduan b= 3. Selalunya lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membina garisan titik demi titik, manakala had penyepaduan didapati seolah-olah "dengan sendirinya". Walau bagaimanapun, kaedah analisis untuk mencari had masih kadangkala perlu digunakan jika, sebagai contoh, graf cukup besar, atau pembinaan berulir tidak mendedahkan had penyepaduan (ia boleh menjadi pecahan atau tidak rasional). Kami kembali kepada tugas kami: adalah lebih rasional untuk mula-mula membina garis lurus dan hanya kemudian parabola. Mari buat lukisan:
Kami mengulangi bahawa dalam pembinaan yang tepat, had penyepaduan paling kerap didapati "secara automatik".
Dan sekarang formula kerja:
Jika pada segmen [ a; b] beberapa fungsi berterusan f(x) lebih besar daripada atau sama beberapa fungsi berterusan g(x), maka kawasan angka yang sepadan boleh didapati dengan formula:
Di sini tidak perlu lagi memikirkan di mana angka itu terletak - di atas paksi atau di bawah paksi, tetapi penting carta mana yang DI ATAS(berbanding dengan graf lain), dan yang mana satu di BAWAH.
Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, adalah jelas bahawa pada segmen parabola terletak di atas garis lurus, dan oleh itu dari 2 x – x 2 mesti ditolak - x.
Penyelesaian penyelesaian mungkin kelihatan seperti ini:
Angka yang dikehendaki dihadkan oleh parabola y = 2x – x 2 atas dan lurus y = -x dari bawah.
Pada segmen 2 x – x 2 ≥ -x. Mengikut formula yang sepadan:
Jawapan: .
Malah, formula sekolah untuk luas trapezium melengkung pada separuh satah bawah (lihat contoh No. 3) ialah kes khas formula
.
Sejak paksi OX diberikan oleh persamaan y= 0, dan graf fungsi g(x) terletak di bawah paksi OX, kemudian
.
Dan kini beberapa contoh untuk penyelesaian bebas
Contoh 5
Contoh 6
Cari luas rajah yang dibatasi oleh garis
Semasa menyelesaikan masalah untuk mengira luas menggunakan kamiran tertentu, insiden lucu kadang-kadang berlaku. Lukisan itu dibuat dengan betul, pengiraannya betul, tetapi, kerana tidak berhati-hati, ... mendapati luas angka yang salah.
Contoh 7
Mari melukis dahulu:
Rajah yang kawasannya perlu kita cari dilorekkan dengan warna biru.(berhati-hati melihat keadaan - betapa angka itu terhad!). Tetapi dalam praktiknya, disebabkan oleh ketidakpedulian, mereka sering memutuskan bahawa mereka perlu mencari kawasan angka yang berlorek dengan warna hijau!
Contoh ini juga berguna kerana di dalamnya kawasan angka dikira menggunakan dua kamiran pasti. sungguh:
1) Pada segmen [-1; 1] di atas gandar OX graf adalah lurus y = x+1;
2) Pada segmen di atas paksi OX graf hiperbola terletak y = (2/x).
Agak jelas bahawa kawasan boleh (dan harus) ditambah, oleh itu:
Jawapan:
Contoh 8
Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis
Mari kita membentangkan persamaan dalam bentuk "sekolah".
dan lakukan lukisan garisan:
Ia boleh dilihat dari lukisan bahawa had atas kami adalah "baik": b = 1.
Tetapi apakah had yang lebih rendah? Sudah jelas bahawa ini bukan integer, tetapi apa?
Mungkin, a=(-1/3)? Tetapi di manakah jaminan bahawa lukisan itu dibuat dengan ketepatan yang sempurna, ia mungkin ternyata begitu a=(-1/4). Bagaimana jika kita tidak mendapat graf dengan betul?
Dalam kes sedemikian, seseorang itu perlu meluangkan masa tambahan dan memperhalusi had penyepaduan secara analitik.
Cari titik persilangan graf
Untuk melakukan ini, kami menyelesaikan persamaan:
.
Oleh itu, a=(-1/3).
Penyelesaian selanjutnya adalah remeh. Perkara utama ialah jangan keliru dalam penggantian dan tanda. Pengiraan di sini bukanlah yang paling mudah. Pada segmen
, 
,
mengikut formula yang sepadan:
Jawapan: 
Sebagai kesimpulan pelajaran, kami akan mempertimbangkan dua tugas yang lebih sukar.
Contoh 9
Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis
Penyelesaian: Lukis rajah ini dalam lukisan.
Untuk melukis titik lukisan demi titik, anda perlu mengetahui rupa sinusoid. Secara umum, adalah berguna untuk mengetahui graf semua fungsi asas, serta beberapa nilai sinus. Mereka boleh didapati dalam jadual nilai fungsi trigonometri. Dalam sesetengah kes (contohnya, dalam kes ini), ia dibenarkan untuk membina lukisan skematik, di mana graf dan had penyepaduan mesti dipaparkan secara prinsip dengan betul.
Tiada masalah dengan had penyepaduan di sini, mereka mengikut terus dari syarat:
- "x" berubah daripada sifar kepada "pi". Kami membuat keputusan selanjutnya:
Pada segmen, graf fungsi y= dosa 3 x terletak di atas paksi OX, Itulah sebabnya:
(1) Anda boleh melihat bagaimana sinus dan kosinus disepadukan dalam kuasa ganjil dalam pelajaran Kamiran bagi fungsi trigonometri. Kami mencubit satu sinus.
(2) Kami menggunakan identiti trigonometri asas dalam bentuk
(3) Mari kita ubah pembolehubah t= cos x, kemudian: terletak di atas paksi , jadi:
.
.
Catatan: perhatikan bagaimana kamiran tangen dalam kubus diambil, di sini akibat identiti trigonometri asas digunakan
.
Bagaimana untuk memasukkan formula matematik di tapak?
Jika anda perlu menambah satu atau dua formula matematik pada halaman web, maka cara paling mudah untuk melakukan ini adalah seperti yang diterangkan dalam artikel: formula matematik mudah dimasukkan ke dalam tapak dalam bentuk gambar yang Wolfram Alpha jana secara automatik. Selain kesederhanaan, kaedah universal ini akan membantu meningkatkan keterlihatan tapak dalam enjin carian. Ia telah berfungsi untuk masa yang lama (dan saya fikir ia akan berfungsi selama-lamanya), tetapi ia sudah ketinggalan zaman.
Jika, sebaliknya, anda sentiasa menggunakan formula matematik di tapak anda, maka saya syorkan anda menggunakan MathJax, perpustakaan JavaScript khas yang memaparkan tatatanda matematik dalam pelayar web menggunakan markup MathML, LaTeX atau ASCIIMathML.
Terdapat dua cara untuk mula menggunakan MathJax: (1) menggunakan kod ringkas, anda boleh menyambungkan skrip MathJax ke tapak anda dengan cepat, yang akan dimuatkan secara automatik dari pelayan jauh pada masa yang betul (senarai pelayan); (2) muat naik skrip MathJax dari pelayan jauh ke pelayan anda dan sambungkannya ke semua halaman tapak anda. Kaedah kedua adalah lebih rumit dan memakan masa dan akan membolehkan anda mempercepatkan pemuatan halaman tapak anda, dan jika pelayan MathJax induk menjadi tidak tersedia buat sementara waktu atas sebab tertentu, ini tidak akan menjejaskan tapak anda sendiri dalam apa jua cara. Walaupun kelebihan ini, saya memilih kaedah pertama, kerana ia lebih mudah, lebih cepat dan tidak memerlukan kemahiran teknikal. Ikuti contoh saya, dan dalam masa 5 minit anda akan dapat menggunakan semua ciri MathJax di tapak web anda.
Anda boleh menyambungkan skrip perpustakaan MathJax dari pelayan jauh menggunakan dua pilihan kod yang diambil dari tapak web MathJax utama atau dari halaman dokumentasi:
Salah satu daripada pilihan kod ini perlu disalin dan ditampal ke dalam kod halaman web anda, sebaik-baiknya antara teg
dan atau betul-betul selepas tag . Mengikut pilihan pertama, MathJax memuat lebih cepat dan melambatkan halaman kurang. Tetapi pilihan kedua secara automatik menjejaki dan memuatkan versi terkini MathJax. Jika anda memasukkan kod pertama, maka ia perlu dikemas kini secara berkala. Jika anda menampal kod kedua, maka halaman akan dimuatkan dengan lebih perlahan, tetapi anda tidak perlu sentiasa memantau kemas kini MathJax.Cara paling mudah untuk menyambungkan MathJax ialah dalam Blogger atau WordPress: dalam panel kawalan tapak, tambahkan widget yang direka untuk memasukkan kod JavaScript pihak ketiga, salin versi pertama atau kedua kod beban yang dibentangkan di atas ke dalamnya dan letakkan widget lebih dekat ke permulaan templat (by the way, ini sama sekali tidak perlu , kerana skrip MathJax dimuatkan secara tak segerak). Itu sahaja. Sekarang pelajari sintaks markup MathML, LaTeX dan ASCIIMathML dan anda sudah bersedia untuk membenamkan formula matematik ke dalam halaman web anda.
Mana-mana fraktal dibina mengikut peraturan tertentu, yang digunakan secara konsisten dalam bilangan kali yang tidak terhad. Setiap masa itu dipanggil lelaran.
Algoritma lelaran untuk membina span Menger agak mudah: kubus asal dengan sisi 1 dibahagikan dengan satah selari dengan mukanya kepada 27 kubus yang sama. Satu kiub pusat dan 6 kiub bersebelahan dengannya di sepanjang muka dikeluarkan daripadanya. Ternyata satu set yang terdiri daripada 20 baki kiub yang lebih kecil. Melakukan perkara yang sama dengan setiap kiub ini, kami mendapat satu set yang terdiri daripada 400 kiub yang lebih kecil. Meneruskan proses ini selama-lamanya, kami mendapat span Menger.
Nombor tugas 3. Buat lukisan dan kirakan luas angka yang dibatasi oleh garisan
Aplikasi kamiran untuk menyelesaikan masalah gunaan
Pengiraan kawasan
Kamiran pasti bagi fungsi bukan negatif selanjar f(x) adalah sama secara berangka dengan luas trapezium lengkung yang dibatasi oleh lengkung y \u003d f (x), paksi O x dan garis lurus x \u003d a dan x \u003d b. Sehubungan itu, formula luas ditulis seperti berikut:
Pertimbangkan beberapa contoh pengiraan luas angka satah.
Nombor tugas 1. Kira kawasan yang dibatasi oleh garis y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.
Keputusan. Mari kita bina angka, luas yang perlu kita kira.
y \u003d x 2 + 1 ialah parabola yang cawangannya diarahkan ke atas, dan parabola dianjak ke atas oleh satu unit berbanding dengan paksi O y (Rajah 1).
Rajah 1. Graf bagi fungsi y = x 2 + 1
Nombor tugas 2. Kira kawasan yang dibatasi oleh garis y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 dalam julat dari 0 hingga 1.
 |
Keputusan. Graf fungsi ini ialah parabola cawangan, yang diarahkan ke atas, dan parabola dianjak ke bawah oleh satu unit berbanding paksi O y (Rajah 2).
Rajah 2. Graf fungsi y \u003d x 2 - 1
Nombor tugas 3. Buat lukisan dan kirakan luas angka yang dibatasi oleh garisan
y = 8 + 2x - x 2 dan y = 2x - 4.
Keputusan. Yang pertama daripada kedua-dua garis ini ialah parabola dengan cawangan menghala ke bawah, kerana pekali pada x 2 adalah negatif, dan garis kedua ialah garis lurus yang melintasi kedua-dua paksi koordinat.
Untuk membina parabola, mari cari koordinat bucunya: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – vertex abscissa; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 ialah ordinatnya, N(1;9) ialah bucunya.
Sekarang kita mencari titik persilangan parabola dan garis dengan menyelesaikan sistem persamaan:
Menyamakan sisi kanan persamaan yang sisi kirinya adalah sama.
Kami mendapat 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 atau x 2 - 12 \u003d 0, dari mana 
.
Jadi, titik ialah titik persilangan parabola dan garis lurus (Rajah 1).
Rajah 3 Graf fungsi y = 8 + 2x – x 2 dan y = 2x – 4
Mari kita bina garis lurus y = 2x - 4. Ia melalui titik (0;-4), (2; 0) pada paksi koordinat.
Untuk membina parabola, anda juga boleh mempunyai titik persilangannya dengan paksi 0x, iaitu punca-punca persamaan 8 + 2x - x 2 = 0 atau x 2 - 2x - 8 = 0. Dengan teorem Vieta, ia adalah mudah untuk mencari puncanya: x 1 = 2, x 2 = 4.
Rajah 3 menunjukkan rajah (segmen parabola M 1 N M 2) yang dibatasi oleh garisan ini.
Bahagian kedua masalahnya ialah mencari luas angka ini. Luasnya boleh didapati menggunakan kamiran pasti menggunakan formula 
.
Berkenaan dengan keadaan ini, kami memperoleh integral: 
2 Pengiraan isipadu badan revolusi
Isipadu badan yang diperoleh daripada putaran lengkung y \u003d f (x) di sekeliling paksi O x dikira dengan formula:
Apabila berputar di sekeliling paksi O y, formula kelihatan seperti:
Tugas nombor 4. Tentukan isipadu badan yang diperoleh daripada putaran trapezoid lengkung yang dibatasi oleh garis lurus x \u003d 0 x \u003d 3 dan lengkung y \u003d di sekeliling paksi O x.
Keputusan. Mari bina lukisan (Rajah 4).
Rajah 4. Graf bagi fungsi y =
Isipadu yang dikehendaki adalah sama dengan 
Tugas nombor 5. Hitung isipadu jasad yang diperoleh daripada putaran trapezium lengkung yang dibatasi oleh lengkung y = x 2 dan garis lurus y = 0 dan y = 4 mengelilingi paksi O y .
Keputusan. Kami ada:
Ulangkaji soalan
Kamiran pasti. Bagaimana untuk mengira luas rajah
Sekarang kita beralih kepada pertimbangan aplikasi kalkulus kamiran. Dalam pelajaran ini, kami akan menganalisis tugas biasa dan paling biasa. Cara menggunakan kamiran pasti untuk mengira luas rajah satah. Akhir sekali, mereka yang mencari makna dalam matematik yang lebih tinggi - semoga mereka menemuinya. Anda tidak pernah tahu. Dalam kehidupan sebenar, anda perlu menganggarkan kotej musim panas dengan fungsi asas dan mencari kawasannya menggunakan kamiran tertentu.
Untuk berjaya menguasai bahan, anda mesti:
1) Memahami kamiran tak tentu sekurang-kurangnya pada tahap pertengahan. Oleh itu, dummies harus terlebih dahulu membaca pelajaran tidak.
2) Dapat menggunakan formula Newton-Leibniz dan mengira kamiran pasti. Anda boleh menjalin hubungan mesra yang mesra dengan kamiran tertentu pada halaman Kamiran pasti. Contoh penyelesaian.
Malah, untuk mencari luas angka, anda tidak memerlukan begitu banyak pengetahuan tentang kamiran tak tentu dan pasti. Tugas "mengira luas menggunakan kamiran pasti" sentiasa melibatkan pembinaan lukisan, jadi pengetahuan dan kemahiran melukis anda akan menjadi isu yang lebih relevan. Dalam hal ini, adalah berguna untuk menyegarkan semula graf fungsi asas utama dalam ingatan, dan, sekurang-kurangnya, dapat membina garis lurus, parabola dan hiperbola. Ini boleh dilakukan (ramai yang memerlukannya) dengan bantuan bahan metodologi dan artikel mengenai transformasi geometri graf.
Sebenarnya, semua orang sudah biasa dengan masalah mencari kawasan menggunakan kamiran pasti sejak sekolah, dan kami akan pergi sedikit ke hadapan daripada kurikulum sekolah. Artikel ini mungkin tidak wujud sama sekali, tetapi hakikatnya masalah itu berlaku dalam 99 kes daripada 100, apabila pelajar diseksa oleh menara yang dibenci dengan semangat menguasai kursus dalam matematik yang lebih tinggi.
Bahan-bahan bengkel ini dibentangkan secara ringkas, terperinci dan dengan teori yang minimum.
Mari kita mulakan dengan trapezoid melengkung.
Trapezoid lengkung dipanggil angka rata yang dibatasi oleh paksi , garis lurus , dan graf fungsi berterusan pada segmen yang tidak berubah tanda pada selang ini. Biarkan angka ini terletak tidak kurang abscissa:
Kemudian luas trapezium melengkung secara berangka sama dengan kamiran tertentu. Mana-mana kamiran pasti (yang wujud) mempunyai makna geometri yang sangat baik. Pada pelajaran Kamiran pasti. Contoh penyelesaian Saya mengatakan bahawa kamiran pasti ialah nombor. Dan kini tiba masanya untuk menyatakan satu lagi fakta berguna. Dari sudut geometri, kamiran pasti ialah LUAS.
i.e, kamiran pasti (jika wujud) secara geometri sepadan dengan luas beberapa rajah. Sebagai contoh, pertimbangkan kamiran pasti . Kamiran dan mentakrifkan lengkung pada satah yang terletak di atas paksi (mereka yang ingin melengkapkan lukisan), dan kamiran pasti itu sendiri secara berangka sama dengan luas trapezoid lengkung yang sepadan.
Contoh 1
Ini adalah pernyataan tugas biasa. Momen pertama dan paling penting dalam keputusan ialah pembinaan lukisan. Selain itu, lukisan mesti dibina BETUL.
Apabila membina pelan tindakan, saya mengesyorkan susunan berikut: pada mulanya adalah lebih baik untuk membina semua baris (jika ada) dan sahaja selepas- parabola, hiperbola, graf fungsi lain. Graf fungsi lebih menguntungkan untuk dibina titik demi titik, dengan teknik binaan mengikut arah boleh didapati dalam bahan rujukan Graf dan sifat fungsi asas. Di sana anda juga boleh mencari bahan yang sangat berguna berkaitan dengan pelajaran kami - cara membina parabola dengan cepat.
Dalam masalah ini, penyelesaiannya mungkin kelihatan seperti ini.
Mari kita buat lukisan (perhatikan bahawa persamaan mentakrifkan paksi):
Saya tidak akan menetas trapezoid melengkung, jelas kawasan yang kita bicarakan di sini. Penyelesaiannya berterusan seperti ini:
Pada segmen, graf fungsi terletak atas paksi, Itulah sebabnya:
Jawapan:
Siapa yang mengalami kesukaran mengira kamiran pasti dan menggunakan formula Newton-Leibniz 
, rujuk syarahan Kamiran pasti. Contoh penyelesaian.
Selepas tugasan selesai, ia sentiasa berguna untuk melihat lukisan dan mengetahui sama ada jawapannya adalah benar. Dalam kes ini, "dengan mata" kita mengira bilangan sel dalam lukisan - baik, kira-kira 9 akan ditaip, nampaknya benar. Agak jelas bahawa jika kita mempunyai, katakan, jawapannya: 20 unit persegi, maka, jelas sekali, kesilapan telah dibuat di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan angka yang dipersoalkan, paling banyak sedozen. Jika jawapannya ternyata negatif, maka tugas itu juga diselesaikan dengan tidak betul.
Contoh 2
Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis , , dan paksi
Ini adalah contoh buat sendiri. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.
Apa yang perlu dilakukan jika trapezoid curvilinear terletak bawah gandar?
Contoh 3
Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis dan paksi koordinat.
Keputusan: Mari buat lukisan: 
Jika trapezoid melengkung terletak bawah gandar(atau sekurang-kurangnya tidak lebih tinggi paksi yang diberikan), maka luasnya boleh didapati dengan formula:
Dalam kes ini: 
Perhatian! Jangan mengelirukan kedua-dua jenis tugas:
1) Jika anda diminta untuk menyelesaikan hanya kamiran pasti tanpa sebarang makna geometri, maka ia boleh menjadi negatif.
2) Jika anda diminta untuk mencari luas rajah menggunakan kamiran pasti, maka luas itu sentiasa positif! Itulah sebabnya tolak muncul dalam formula yang baru dipertimbangkan.
Dalam amalan, selalunya angka itu terletak di kedua-dua satah separuh atas dan bawah, dan oleh itu, dari masalah sekolah yang paling mudah, kita beralih kepada contoh yang lebih bermakna.
Contoh 4
Cari luas rajah rata yang dibatasi oleh garis , .
Keputusan: Mula-mula anda perlu melengkapkan lukisan. Secara umumnya, apabila membina lukisan dalam masalah kawasan, kami paling berminat dengan titik persilangan garisan. Mari kita cari titik persilangan parabola dan garis. Ini boleh dilakukan dengan dua cara. Cara pertama adalah analitikal. Kami menyelesaikan persamaan:
Oleh itu, had bawah penyepaduan, had atas penyepaduan.
Sebaiknya jangan gunakan kaedah ini jika boleh..
Ia adalah lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membina garisan titik demi titik, manakala had penyepaduan didapati seolah-olah "dengan sendirinya". Teknik pembinaan titik demi titik untuk pelbagai carta dibincangkan secara terperinci dalam bantuan Graf dan sifat fungsi asas. Walau bagaimanapun, kaedah analisis untuk mencari had masih kadangkala perlu digunakan jika, sebagai contoh, graf cukup besar, atau pembinaan berulir tidak mendedahkan had penyepaduan (ia boleh menjadi pecahan atau tidak rasional). Dan kami juga akan mempertimbangkan contoh sedemikian.
Kami kembali kepada tugas kami: adalah lebih rasional untuk mula-mula membina garis lurus dan hanya kemudian parabola. Mari buat lukisan: 
Saya ulangi bahawa dengan pembinaan yang tepat, had penyepaduan paling kerap didapati "secara automatik".
Dan kini formula kerja: Jika terdapat beberapa fungsi berterusan pada selang lebih besar daripada atau sama beberapa fungsi berterusan, maka luas rajah yang dibatasi oleh graf fungsi dan garis lurus ini, boleh didapati dengan formula: 
Di sini tidak perlu lagi memikirkan di mana angka itu terletak - di atas paksi atau di bawah paksi, dan, secara kasarnya, penting carta mana yang DI ATAS(berbanding dengan graf lain), dan yang mana satu di BAWAH.
Dalam contoh yang dipertimbangkan, adalah jelas bahawa pada segmen parabola terletak di atas garis lurus, dan oleh itu adalah perlu untuk menolak daripada
Penyelesaian penyelesaian mungkin kelihatan seperti ini:
Angka yang dikehendaki dihadkan oleh parabola dari atas dan garis lurus dari bawah.
Pada segmen , mengikut formula yang sepadan:
Jawapan:
Malah, formula sekolah untuk luas trapezium melengkung pada separuh satah bawah (lihat contoh mudah No. 3) ialah kes khas formula 
. Oleh kerana paksi diberikan oleh persamaan , dan graf fungsi itu terletak tidak lebih tinggi kapak, kemudian 
Dan kini beberapa contoh untuk penyelesaian bebas
Contoh 5
Contoh 6
Cari luas rajah yang dikelilingi oleh garisan , .
Semasa menyelesaikan masalah untuk mengira luas menggunakan kamiran tertentu, insiden lucu kadang-kadang berlaku. Lukisan itu dibuat dengan betul, pengiraan adalah betul, tetapi kerana kurang perhatian ... mendapati luas angka yang salah, begitulah hambamu yang taat berkali-kali mengacau. Berikut ialah kes kehidupan sebenar:
Contoh 7
Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis , , , .
Keputusan: Mari buat lukisan dahulu: 
…Eh, lukisan itu kelihatan omong kosong, tetapi semuanya nampaknya boleh dibaca.
Rajah yang kawasannya perlu kita cari dilorekkan dengan warna biru.(berhati-hati melihat keadaan - betapa angka itu terhad!). Tetapi dalam praktiknya, disebabkan oleh kurangnya perhatian, "gangguan" sering berlaku, yang anda perlukan untuk mencari kawasan angka yang berlorek dengan warna hijau!
Contoh ini juga berguna kerana di dalamnya kawasan angka dikira menggunakan dua kamiran pasti. sungguh:
1) Pada segmen di atas paksi terdapat graf garis lurus;
2) Pada segmen di atas paksi ialah graf hiperbola.
Agak jelas bahawa kawasan boleh (dan harus) ditambah, oleh itu:
Jawapan:
Mari kita beralih kepada satu tugas yang lebih bermakna.
Contoh 8
Hitung luas rajah yang dibatasi oleh garis,
Mari kita bentangkan persamaan dalam bentuk "sekolah", dan lakukan lukisan titik demi titik: 
Dari lukisan itu dapat dilihat bahawa had atas kita adalah "baik": .
Tetapi apakah had yang lebih rendah? Sudah jelas bahawa ini bukan integer, tetapi apa? Mungkin ? Tetapi di manakah jaminan bahawa lukisan itu dibuat dengan ketepatan yang sempurna, ia mungkin ternyata begitu. Atau akar. Bagaimana jika kita tidak mendapat graf dengan betul?
Dalam kes sedemikian, seseorang itu perlu meluangkan masa tambahan dan memperhalusi had penyepaduan secara analitik.
Mari kita cari titik persilangan garis dan parabola.
Untuk melakukan ini, kami menyelesaikan persamaan: 
,
Sungguh, .
Penyelesaian selanjutnya adalah remeh, perkara utama adalah jangan keliru dalam penggantian dan tanda, pengiraan di sini bukanlah yang paling mudah.
Pada segmen 
, mengikut formula yang sepadan: 
Jawapan: 
Nah, sebagai kesimpulan pelajaran, kita akan mempertimbangkan dua tugas yang lebih sukar.
Contoh 9
Hitung luas rajah yang dibatasi oleh garis , ,
Keputusan: Lukis rajah ini dalam lukisan. 
Sial, saya terlupa untuk menandatangani jadual, dan membuat semula gambar, maaf, tidak panas. Bukan lukisan, pendek kata, hari ini adalah harinya =)
Untuk pembinaan titik demi titik, adalah perlu untuk mengetahui rupa sinusoid (dan secara umum adalah berguna untuk mengetahui graf semua fungsi asas), serta beberapa nilai sinus, ia boleh didapati dalam jadual trigonometri. Dalam sesetengah kes (seperti dalam kes ini), ia dibenarkan untuk membina lukisan skematik, di mana graf dan had penyepaduan mesti dipaparkan secara prinsip dengan betul.
Tiada masalah dengan had penyepaduan di sini, mereka mengikuti terus dari keadaan: - "x" berubah dari sifar kepada "pi". Kami membuat keputusan selanjutnya:
Pada segmen, graf fungsi terletak di atas paksi, oleh itu:
Dalam artikel ini, anda akan belajar cara mencari luas angka yang dibatasi oleh garis menggunakan pengiraan kamiran. Buat pertama kalinya, kita menghadapi perumusan masalah sedemikian di sekolah menengah, apabila kajian kamiran tertentu baru sahaja selesai dan sudah tiba masanya untuk memulakan tafsiran geometri pengetahuan yang diperoleh dalam amalan.
Jadi, apa yang diperlukan untuk berjaya menyelesaikan masalah mencari luas angka menggunakan kamiran:
- Keupayaan untuk melukis lukisan dengan betul;
- Keupayaan untuk menyelesaikan kamiran pasti menggunakan formula Newton-Leibniz yang terkenal;
- Keupayaan untuk "melihat" penyelesaian yang lebih menguntungkan - i.e. untuk memahami bagaimana dalam hal ini atau itu akan lebih mudah untuk menjalankan integrasi? Sepanjang paksi-x (OX) atau paksi-y (OY)?
- Nah, di mana tanpa pengiraan yang betul?) Ini termasuk memahami cara menyelesaikan jenis kamiran lain itu dan pengiraan berangka yang betul.
Algoritma untuk menyelesaikan masalah mengira luas angka yang dibatasi oleh garis:
1. Kami membina lukisan. Adalah dinasihatkan untuk melakukan ini pada sekeping kertas dalam sangkar, secara besar-besaran. Kami menandatangani dengan pensel di atas setiap graf nama fungsi ini. Tandatangan graf dilakukan semata-mata untuk kemudahan pengiraan selanjutnya. Setelah menerima graf angka yang dikehendaki, dalam kebanyakan kes ia akan segera jelas had penyepaduan yang akan digunakan. Oleh itu, kami menyelesaikan masalah secara grafik. Walau bagaimanapun, ia berlaku bahawa nilai had adalah pecahan atau tidak rasional. Oleh itu, anda boleh membuat pengiraan tambahan, pergi ke langkah dua.
2. Jika had penyepaduan tidak ditetapkan secara eksplisit, maka kami mencari titik persilangan graf antara satu sama lain, dan lihat sama ada penyelesaian grafik kami bertepatan dengan penyelesaian analitik.
3. Seterusnya, anda perlu menganalisis lukisan itu. Bergantung pada bagaimana graf fungsi terletak, terdapat pendekatan yang berbeza untuk mencari luas angka tersebut. Pertimbangkan pelbagai contoh mencari luas rajah menggunakan kamiran.
3.1. Versi masalah yang paling klasik dan paling mudah ialah apabila anda perlu mencari kawasan trapezoid melengkung. Apakah trapezoid melengkung? Ini ialah angka rata yang dibatasi oleh paksi-x (y=0), lurus x = a, x = b dan sebarang lengkung yang berterusan pada selang dari a sebelum ini b. Pada masa yang sama, angka ini bukan negatif dan terletak tidak lebih rendah daripada paksi-x. Dalam kes ini, luas trapezoid melengkung adalah sama secara berangka dengan kamiran pasti yang dikira menggunakan formula Newton-Leibniz:
Contoh 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Apakah garisan yang menentukan angka tersebut? Kami mempunyai parabola y = x2 - 3x + 3, yang terletak di atas paksi OH, ia bukan negatif, kerana semua titik parabola ini adalah positif. Seterusnya, diberi garis lurus x = 1 dan x = 3 yang berjalan selari dengan paksi OU, ialah garis sempadan rajah di kiri dan kanan. Baiklah y = 0, dia ialah paksi-x, yang mengehadkan rajah dari bawah. Angka yang terhasil dilorekkan, seperti yang dilihat dalam rajah di sebelah kiri. Dalam kes ini, anda boleh mula menyelesaikan masalah dengan segera. Di hadapan kita adalah contoh mudah trapezoid curvilinear, yang kemudian kita selesaikan menggunakan formula Newton-Leibniz.
3.2. Dalam perenggan 3.1 sebelumnya, kes itu dianalisis apabila trapezoid lengkung terletak di atas paksi-x. Sekarang pertimbangkan kes apabila keadaan masalah adalah sama, kecuali fungsi itu terletak di bawah paksi-x. Tolak ditambah kepada formula Newton-Leibniz standard. Bagaimana untuk menyelesaikan masalah sedemikian, kami akan mempertimbangkan lebih lanjut.
Contoh 2 . Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
Dalam contoh ini, kita mempunyai parabola y=x2+6x+2, yang berasal dari bawah paksi OH, lurus x=-4, x=-1, y=0. Di sini y = 0 mengehadkan angka yang dikehendaki dari atas. Langsung x = -4 dan x = -1 ini adalah sempadan di mana kamiran pasti akan dikira. Prinsip menyelesaikan masalah mencari luas angka hampir sepenuhnya bertepatan dengan contoh nombor 1. Satu-satunya perbezaan ialah fungsi yang diberikan tidak positif, dan semuanya juga berterusan pada selang waktu [-4; -1] . Apakah maksud tidak positif? Seperti yang dapat dilihat dari rajah, angka yang terletak dalam x yang diberikan mempunyai koordinat "negatif" secara eksklusif, yang merupakan perkara yang perlu kita lihat dan ingat apabila menyelesaikan masalah. Kami sedang mencari kawasan angka menggunakan formula Newton-Leibniz, hanya dengan tanda tolak pada mulanya.
Artikel tidak selesai.