Hoe de lengte van de hypotenusa in een rechthoekige driehoek te vinden. Hoe de benen te vinden als de hypotenusa bekend is?

Vertaald uit het Grieks betekent hypotenusa "strak". Stel je voor een goed begrip een boogpees voor die de twee uiteinden van een flexibele stok met elkaar verbindt. Evenzo is in een rechthoekige driehoek de langste zijde de hypotenusa, die tegenover de rechte hoek ligt. Het fungeert als een connector van de andere twee kanten, de benen genoemd. Om erachter te komen hoe lang deze "string" is, moet je de lengte van de benen hebben, of de waarde van twee scherpe hoeken. Door deze gegevens te combineren, kunt u met formules de gewenste waarde berekenen.

Hoe de hypotenusa op de benen te vinden?

De eenvoudigste manier om te berekenen of je de waarde van twee benen kent (laten we een A aanduiden, de tweede B). Pythagoras zelf en zijn wereldberoemde stelling komen te hulp. Ze vertelt ons dat als we de lengte van de benen kwadrateren en de berekende waarden optellen, we als resultaat de waarde van de lengte van de hypotenusa in het kwadraat zullen vinden. Uit het bovenstaande concluderen we: om de waarde van de hypotenusa te vinden, is het noodzakelijk om de vierkantswortel te extraheren van de totale som van de vierkanten van de benen C \u003d √ (A² + B²). Voorbeeld: been A \u003d 10 cm, been B \u003d 20 cm De hypotenusa is 22,36 cm De berekening is als volgt: √ (10² + 20²) \u003d √ (100 + 400) \u003d √500≈22.36.

Hoe de hypotenusa door een hoek te vinden?

Het is iets moeilijker om de lengte van de hypotenusa over een bepaalde hoek te berekenen. Als je de grootte van een van de twee benen weet (laten we A aanduiden) en de grootte van de hoek (laten we aanduiden) die er tegenover ligt, dan wordt de grootte van de hypotenusa bepaald met behulp van trigonometrie, en specifiek de sinus. Het enige wat u hoeft te doen is de waarde van het bekende been te delen door de sinus van de hoek. C=A/zonde(α). Voorbeeld: de beenlengte is A = 30 cm, de hoek daar tegenover is 45°, de hypotenusa wordt 42,25 cm De berekening is als volgt: 30 / sin (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.

Een andere manier is om de grootte van de hypotenusa te vinden met behulp van de cosinus. Het wordt gebruikt als je de grootte van het been kent (laten we B aanduiden) en de scherpe hoek (laten we aanduiden) die ernaast ligt. Het enige wat u hoeft te doen is de beenwaarde te delen door de sinus van de hoek. С=В/cos(α). Voorbeeld: de lengte van het been is B = 30 cm, de hoek er tegenover is 45°, de hypotenusa wordt 42,25 cm De berekening is als volgt: 30 / cos (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.

Hoe de hypotenusa van een gelijkbenige rechthoekige driehoek te vinden?

Elke zichzelf respecterende student weet dat een driehoek gelijkbenig is, op voorwaarde dat twee van de drie zijden gelijk zijn aan elkaar. Deze zijden worden lateraal genoemd en degene die overblijft is de basis. Als een van de hoeken 90 ° is, heb je een gelijkbenige rechthoekige driehoek.

Het vinden van de hypotenusa in zo'n driehoek is eenvoudig, omdat het verschillende eigenschappen heeft die zullen helpen. De hoeken aangrenzend aan de basis hebben dezelfde waarde, de totale som van de hoeken is 180°. Dit betekent dat de rechte hoek tegenover de basis ligt, wat betekent dat de basis de hypotenusa is, de benen de zijkanten.

Instructie

Gerelateerde video's

Opmerking

Bij het berekenen van de zijden van een rechthoekige driehoek kan kennis van de kenmerken ervan spelen:
1) Als het been van een rechte hoek tegenover een hoek van 30 graden ligt, dan is het gelijk aan de helft van de hypotenusa;
2) De hypotenusa is altijd langer dan een van de benen;
3) Als een cirkel om een ​​rechthoekige driehoek is omgeschreven, dan moet het middelpunt in het midden van de hypotenusa liggen.

De hypotenusa is de zijde in een rechthoekige driehoek die tegenover de hoek van 90 graden ligt. Om de lengte te berekenen, volstaat het om de lengte van een van de benen en de waarde van een van de scherpe hoeken van de driehoek te kennen.

Instructie

Laat ons een van de poten weten en de hoek ernaast. Laat het voor de zekerheid het been zijn |AB| en hoek . Dan kunnen we de formule gebruiken voor de trigonometrische cosinus-cosinusverhouding van het aangrenzende been tot. Die. in onze notatie cos α = |AB| / |AC|. Vanaf hier krijgen we de lengte van de hypotenusa |AC| = |AB| / cosα.
Als we het been |BC| . kennen en hoek α, dan gebruiken we de formule voor het berekenen van de sinus van de hoek - de sinus van de hoek is gelijk aan de verhouding van het tegenoverliggende been tot de hypotenusa: sin α = |BC| / |AC|. We krijgen dat de lengte van de hypotenusa wordt gevonden als |AC| = |BC| / cosα.

Bekijk voor de duidelijkheid een voorbeeld. Laat de lengte van het been |AB| = 15. En de hoek α = 60°. We krijgen |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Overweeg hoe u uw resultaat kunt controleren met behulp van de stelling van Pythagoras. Om dit te doen, moeten we de lengte van het tweede been |BC| berekenen. Met behulp van de formule voor de tangens van de hoek tg α = |BC| / |AC|, we krijgen |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Vervolgens passen we de stelling van Pythagoras toe, we krijgen 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. De verificatie is gedaan.

Nuttig advies

Controleer na het berekenen van de hypotenusa of de resulterende waarde voldoet aan de stelling van Pythagoras.

bronnen:

  • Tabel met priemgetallen van 1 tot 10000

Poten noem de twee korte zijden van een rechthoekige driehoek waaruit het hoekpunt bestaat, waarvan de waarde 90 ° is. De derde zijde in zo'n driehoek wordt de hypotenusa genoemd. Al deze zijden en hoeken van de driehoek zijn met elkaar verbonden door bepaalde relaties waarmee u de lengte van het been kunt berekenen als er verschillende andere parameters bekend zijn.

Instructie

Gebruik de stelling van Pythagoras voor het been (A) als je de lengte weet van de andere twee zijden (B en C) van de rechthoekige driehoek. Deze stelling stelt dat de som van de lengtes van de benen in het kwadraat gelijk is aan het kwadraat van de hypotenusa. Hieruit volgt dat de lengte van elk van de benen gelijk is aan de vierkantswortel van de lengtes van de hypotenusa en het tweede been: A=√(C²-B²).

Gebruik de definitie van de directe trigonometrische functie "sinus" voor een scherpe hoek, als u de waarde van de hoek (α) tegenover het berekende been en de lengte van de hypotenusa (C) kent. Hierin staat dat de sinus van deze bekende de verhouding is van de lengte van het gewenste been tot de lengte van de hypotenusa. Dit is dat de lengte van het gewenste been gelijk is aan het product van de lengte van de hypotenusa en de sinus van de bekende hoek: A=C∗sin(α). Voor dezelfde bekende waarden kun je de cosecans gebruiken en de gewenste lengte berekenen door de lengte van de hypotenusa te delen door de cosecans van de bekende hoek A=C/cosec(α).

Gebruik de definitie van de directe trigonometrische cosinusfunctie als, naast de lengte van de hypotenusa (C), ook de waarde van de scherpe hoek (β) naast de vereiste bekend is. De cosinus van deze hoek is de verhouding van de lengtes van het gewenste been en de hypotenusa, en hieruit kunnen we concluderen dat de lengte van het been gelijk is aan het product van de lengte van de hypotenusa en de cosinus van de bekende hoek: A=C∗cos(β). U kunt de definitie van de secansfunctie gebruiken en de gewenste waarde berekenen door de lengte van de hypotenusa te delen door de secans van de bekende hoek A=C/sec(β).

Leid de vereiste formule af van een vergelijkbare definitie voor de afgeleide van de trigonometrische functietangens, als, naast de waarde van de scherpe hoek (α) die tegenover het gewenste been (A) ligt, de lengte van het tweede been (B) is bekend. De tangens van de hoek tegenover het gewenste been is de verhouding van de lengte van dit been tot de lengte van het tweede been. Dit betekent dat de gewenste waarde gelijk zal zijn aan het product van de lengte van het bekende been en de tangens van de bekende hoek: A=B∗tg(α). Van dezelfde bekende grootheden kan een andere formule worden afgeleid met behulp van de definitie van de cotangensfunctie. Om de lengte van het been te berekenen, is het in dit geval nodig om de verhouding van de lengte van het bekende been tot de cotangens van de bekende hoek te vinden: A=B/ctg(α).

Gerelateerde video's

Het woord "katet" kwam uit het Grieks in het Russisch. In exacte vertaling betekent het een loodlijn, dat wil zeggen loodrecht op het aardoppervlak. In de wiskunde worden benen zijden genoemd die een rechte hoek van een rechthoekige driehoek vormen. De zijde tegenover deze hoek wordt de hypotenusa genoemd. De term "been" wordt ook gebruikt in de architectuur en lastechniek.

Teken een rechthoekige driehoek ACB. Label zijn poten a en b, en label zijn hypotenusa c. Alle zijden en hoeken van een rechthoekige driehoek zijn ten opzichte van elkaar gedefinieerd. De verhouding van het been tegenover een van de scherpe hoeken tot de hypotenusa wordt de sinus van deze hoek genoemd. In deze driehoek sinCAB=a/c. Cosinus is de verhouding tot de hypotenusa van het aangrenzende been, d.w.z. cosCAB=b/c. De inverse relaties worden secans en cosecans genoemd.

De secans van deze hoek wordt verkregen door de hypotenusa te delen door het aangrenzende been, dat wil zeggen secCAB=c/b. Het blijkt het omgekeerde van de cosinus te zijn, dat wil zeggen, het kan worden uitgedrukt door de formule secCAB=1/cosSAB.
De cosecans is gelijk aan het quotiënt van het delen van de hypotenusa door het andere been en is het omgekeerde van de sinus. Het kan worden berekend met de formule cosecCAB=1/sinCAB

Beide benen zijn onderling verbonden en cotangent. In dit geval is de raaklijn de verhouding van zijde a tot zijde b, dat wil zeggen, het tegenoverliggende been tot het aangrenzende. Deze verhouding kan worden uitgedrukt met de formule tgCAB=a/b. Dienovereenkomstig zal de inverse verhouding de cotangens zijn: ctgCAB=b/a.

De verhouding tussen de grootte van de hypotenusa en beide benen werd bepaald door de oude Griekse Pythagoras. De stelling, zijn naam, gebruiken mensen nog steeds. Er staat dat het kwadraat van de hypotenusa gelijk is aan de som van de kwadraten van de benen, dat wil zeggen c2 \u003d a2 + b2. Dienovereenkomstig zal elk been gelijk zijn aan de vierkantswortel van het verschil tussen de vierkanten van de hypotenusa en het andere been. Deze formule kan worden geschreven als b=√(c2-a2).

De lengte van het been kan ook worden uitgedrukt door de relaties die je kent. Volgens de stellingen van sinussen en cosinus is het been gelijk aan het product van de hypotenusa en een van deze functies. Je kunt het uitdrukken en of cotangens. Het been a kan bijvoorbeeld worden gevonden door de formule a \u003d b * tan CAB. Op precies dezelfde manier wordt, afhankelijk van de gegeven raaklijn of , het tweede been bepaald.

In de architectuur wordt ook de term "been" gebruikt. Het wordt toegepast op een Ionische hoofdstad en loodrecht door het midden van zijn rug. Dat is, in dit geval, door deze term, de loodlijn op de gegeven lijn.

In de lastechnologie is er een "been van een hoeklas". Zoals in andere gevallen is dit de kortste afstand. Hier hebben we het over de opening tussen een van de te lassen delen aan de rand van de naad die zich op het oppervlak van het andere deel bevindt.

Gerelateerde video's

bronnen:

  • wat is het been en de hypotenusa in 2019

Er zijn drie mogelijkheden om dit probleem op te lossen. De eerste is als in de probleemvoorwaarden wordt gegeven dat de benen gelijk zijn (in feite hebben we een rechthoekige gelijkbenige driehoek). De tweede - als een andere hoek wordt gegeven (behalve de hoek van 45%, dan hebben we dezelfde gelijkbenige driehoek en keren we terug naar de eerste optie). En de derde - wanneer een van de benen bekend is. Laten we deze opties in meer detail bekijken.

Hoe gelijke benen te vinden, met een bekende hypotenusa

  • het eerste been (laten we het aanduiden met de letter "a") is gelijk aan het tweede been ((laten we het aanduiden met de letter "b"): a=b;
  • de grootte van de benen;

In deze versie is de oplossing van het probleem gebaseerd op het gebruik van de stelling van Pythagoras. Het wordt toegepast op rechthoekige driehoeken en de basisversie klinkt als: "Het kwadraat van de hypotenusa is gelijk aan de som van de kwadraten van de benen." Omdat onze benen gelijk zijn, kunnen we beide benen met hetzelfde teken aanduiden: a=b, wat betekent - a=a.

  1. We vervangen onze conventies in de stelling (rekening houdend met het bovenstaande):
    c^2=a^2+a^2,
  2. Vervolgens vereenvoudigen we de formule zo veel mogelijk:
    с^2=2*(a^2) - groep,
    c \u003d √ 2 * a - we brengen beide delen van de vergelijking naar de vierkantswortel,
    a=c/√2 - haal het gewenste eruit.
  3. We vervangen deze waarde van de hypotenusa en krijgen de oplossing:
    a=x/√2

Hoe de benen te vinden, met een bekende hypotenusa en hoek?

  • de hypotenusa (aangegeven met de letter "c") is gelijk aan x cm: c=x;
  • hoek β gelijk aan q: β=q;
  • de grootte van de benen;

Om dit probleem op te lossen, is het noodzakelijk om trigonometrische functies te gebruiken. De twee meest populaire zijn:

  • sinusfunctie - de sinus van de gewenste hoek is gelijk aan de verhouding van het andere been tot de hypotenusa;
  • cosinusfunctie - de cosinus van de gewenste hoek is gelijk aan de verhouding van het aangrenzende been tot de hypotenusa;

Je kunt elke gebruiken. Ik zal een voorbeeld geven met de eerste. Laat de poten worden aangeduid met de symbolen "a" (naast de hoek) en "b" (tegenover de hoek). Dienovereenkomstig ligt onze hoek tussen het been "a" en de hypotenusa.

  1. We vervangen de geselecteerde symbolen in de formule:
    sinβ = b/c
  2. We leiden de kathet af:
    b=c*sinβ
  3. We vervangen onze gegevens en hebben één been.
    b=c*sinq

Het tweede been kan worden gevonden met behulp van de tweede trigonometrische functie, of ga naar de derde optie.

Hoe een been te vinden als de hypotenusa en het andere been bekend zijn?

  • de hypotenusa (aangegeven met de letter "c") is gelijk aan x cm: c=x;
  • het been (laten we het aanduiden met de letter "b") is gelijk aan y cm: b=y;
  • de grootte van het andere been (laten we het aanduiden met de letter "a");

In deze variant is de oplossing van het probleem, net als in de eerste, het gebruik van de stelling van Pythagoras.

  1. Het vervangen van onze conventies in de stelling:
    c^2=a^2+b^2,
  2. We halen het benodigde been eruit:
    a^2=c^2-b^2
  3. We brengen beide kanten van de vergelijking naar de vierkantswortel:
    a=√(c^2-b^2)
  4. We vervangen deze waarden en we hebben de oplossing:
    a=√(x^2-y^2)

"En ze vertellen ons dat het been korter is dan de hypotenusa..." Deze regels uit het beroemde lied dat klonk in de speelfilm "The Adventures of Electronics" zijn inderdaad correct in termen van Euclid's geometrie. De benen zijn immers twee zijden die een hoek vormen, waarvan de graadmaat 90 graden is. En de hypotenusa is de langste "uitgerekte" zijde die twee benen loodrecht op elkaar verbindt en tegenover de rechte hoek ligt. Daarom is het mogelijk om de hypotenusa langs de benen alleen in een rechthoekige driehoek te vinden, en als het been langer zou zijn dan de hypotenusa, dan zou zo'n driehoek niet bestaan.

Hoe de hypotenusa te vinden met behulp van de stelling van Pythagoras als beide benen bekend zijn?

De stelling zegt dat het kwadraat van de hypotenusa niets meer is dan de som van de kwadraten van de benen: x^2+y^2=z^2, waarbij:

  • x - de eerste etappe;
  • y - tweede been;
  • z is de hypotenusa.

Maar je moet alleen de hypotenusa vinden, niet het vierkant. Om dit te doen, extraheer je de wortel.

Het algoritme voor het vinden van de hypotenusa door twee bekende benen:

  • Wijs voor jezelf aan waar de benen zijn, en waar de hypotenusa.
  • Vierkant van het eerste been.
  • Vierkant van het tweede been.
  • Tel de resulterende waarden op.
  • Neem de wortel van het in stap 4 verkregen getal.

Hoe de hypotenusa door de sinus te vinden, als het been en de scherpe hoek die ertegenaan ligt bekend zijn?

De verhouding van het bekende been tot de scherpe hoek die er tegenover ligt is gelijk aan de waarde van de hypotenusa: a/sin A = c. Dit is een gevolg van de definitie van sinus:

De verhouding van het andere been tot de hypotenusa: sin A \u003d a / c, waarbij:

  • a - de eerste etappe;
  • A is een scherpe hoek tegenover het been;
  • c is de hypotenusa.

Het algoritme voor het vinden van de hypotenusa met behulp van de sinusstelling:

  • Wijs voor jezelf het bekende been en de tegenoverliggende hoek aan.
  • Verdeel het been naar de tegenoverliggende hoek.
  • Pak de hypotenusa.

Hoe de hypotenusa door cosinus te vinden, als het been en de scherpe hoek ernaast bekend zijn?

De verhouding van het bekende been tot de scherpe ingesloten hoek is gelijk aan de waarde van de hypotenusa a/cos B = c. Dit is een gevolg van de definitie van cosinus: de verhouding van het aangrenzende been tot de hypotenusa: cos B \u003d a / s, waarbij:

  • a - het tweede been;
  • B is een scherpe hoek naast het tweede been;
  • c is de hypotenusa.

Het algoritme voor het vinden van de hypotenusa met behulp van de cosinusstelling:

  • Wijs voor uzelf het bekende been en de aangrenzende hoek aan.
  • Verdeel het been in een aangrenzende hoek.
  • Pak de hypotenusa.

Hoe de hypotenusa te vinden met behulp van de "Egyptische driehoek"

De "Egyptische driehoek" is een drietal cijfers, waarmee u tijd kunt besparen om de hypotenusa of zelfs een ander onbekend been te vinden. De driehoek heeft zo'n naam, omdat in Egypte sommige getallen de goden symboliseerden en de basis vormden voor de bouw van de piramides en andere verschillende structuren.

  • Eerste drietal cijfers: 3-4-5. De benen zijn hier gelijk aan 3 en 4. Dan is de hypotenusa noodzakelijkerwijs gelijk aan 5. Controleer: (9 + 16 = 25).
  • Het tweede drietal: 5-12-13. Ook hier zijn de benen 5 en 12. De hypotenusa wordt dus 13. Check: (25+144=169).

Dergelijke getallen helpen zelfs als ze worden gedeeld of vermenigvuldigd met een enkel getal. Als de benen 3 en 4 zijn, dan is de hypotenusa 5. Als je deze getallen met 2 vermenigvuldigt, wordt de hypotenusa vermenigvuldigd met 2. Het drievoud van de getallen 6-8-10 past bijvoorbeeld ook in de stelling van Pythagoras en je kunt de hypotenusa niet berekenen als je deze drietallen van getallen onthoudt.



Er zijn dus 4 manieren om de hypotenusa te vinden met behulp van bekende benen. De beste optie is de stelling van Pythagoras, maar het zou ook geen kwaad kunnen om de drietallen te onthouden die deel uitmaken van de "Egyptische driehoek", omdat je veel tijd kunt besparen als je dergelijke waarden tegenkomt.