Hoe gewone breuken op te lossen. Hoe voorbeelden met breuken op te lossen


Dit artikel geeft een algemene blik op het werken met breuken. Hier zullen we de regels formuleren en rechtvaardigen voor het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen van breuken van de algemene vorm A/B, waarbij A en B enkele getallen, numerieke uitdrukkingen of uitdrukkingen met variabelen zijn. Zoals gebruikelijk zullen we het materiaal voorzien van verklarende voorbeelden met gedetailleerde beschrijvingen van oplossingen.

Paginanavigatie.

Regels voor het uitvoeren van bewerkingen met algemene numerieke breuken

Laten we het erover eens zijn dat we met algemene numerieke breuken breuken bedoelen waarin de teller en/of noemer niet alleen door natuurlijke getallen kan worden weergegeven, maar ook door andere getallen of numerieke uitdrukkingen. Voor de duidelijkheid volgen hier enkele voorbeelden van dergelijke breuken: .

Wij kennen de regels waarmee ze worden uitgevoerd. Met dezelfde regels kunt u bewerkingen uitvoeren met algemene breuken:

Reden voor de regels

Om de geldigheid van de regels voor het uitvoeren van bewerkingen met numerieke breuken van een algemene vorm te rechtvaardigen, kunt u uitgaan van de volgende punten:

  • De schuine streep is in wezen een scheidingsteken,
  • delen door een getal dat niet nul is, kan worden beschouwd als vermenigvuldiging met het omgekeerde van de deler (dit verklaart onmiddellijk de regel voor het delen van breuken),
  • eigenschappen van bewerkingen met reële getallen,
  • en zijn algemene begrip,

Hiermee kunt u de volgende transformaties uitvoeren die de regels voor het optellen, aftrekken van breuken met gelijke en ongelijke noemers rechtvaardigen, evenals de regel voor het vermenigvuldigen van breuken:

Voorbeelden

Laten we voorbeelden geven van het uitvoeren van bewerkingen met algemene breuken volgens de regels die we in de vorige paragraaf hebben geleerd. Laten we meteen zeggen dat de resulterende breuk meestal na het uitvoeren van bewerkingen met breuken vereenvoudiging vereist, en dat het proces van het vereenvoudigen van een breuk vaak ingewikkelder is dan het uitvoeren van eerdere acties. We zullen niet in detail ingaan op het vereenvoudigen van breuken (de overeenkomstige transformaties worden besproken in het artikel over het transformeren van breuken), om niet afgeleid te worden van het onderwerp dat ons interesseert.

Laten we beginnen met voorbeelden van het optellen en aftrekken van breuken met gelijke noemers. Laten we eerst de breuken en optellen. Uiteraard zijn de noemers gelijk. Volgens de overeenkomstige regel schrijven we een breuk op waarvan de teller gelijk is aan de som van de tellers van de oorspronkelijke breuken, en laten we de noemer hetzelfde, zoals we hebben. De optelling is voltooid, het enige dat overblijft is het vereenvoudigen van de resulterende breuk: . Dus, .

De oplossing had ook anders aangepakt kunnen worden: maak eerst de overstap naar gewone breuken en voer dan de optelling uit. Met deze aanpak hebben we .

Laten we nu de breuk aftrekken fractie . De noemers van de breuken zijn gelijk, daarom volgen we de regel voor het aftrekken van breuken met dezelfde noemers:

Laten we verder gaan met voorbeelden van het optellen en aftrekken van breuken met verschillende noemers. De grootste moeilijkheid hier is het brengen van breuken naar een gemeenschappelijke noemer. Voor algemene breuken is dit een vrij uitgebreid onderwerp, we zullen het in een apart artikel in detail onderzoeken. breuken naar een gemeenschappelijke noemer brengen. Voorlopig beperken we ons tot een aantal algemene aanbevelingen, omdat we op dit moment meer geïnteresseerd zijn in de techniek van het uitvoeren van bewerkingen met breuken.

Over het algemeen is het proces vergelijkbaar met het reduceren van gewone breuken tot een gemeenschappelijke noemer. Dat wil zeggen, de noemers worden gepresenteerd in de vorm van producten, vervolgens worden alle factoren uit de noemer van de eerste breuk genomen en worden de ontbrekende factoren uit de noemer van de tweede breuk daaraan toegevoegd.

Als de noemers van breuken die worden opgeteld of afgetrokken geen gemeenschappelijke deler hebben, dan is het logisch om hun product als gemeenschappelijke noemer te nemen. Laten we een voorbeeld geven.

Laten we zeggen dat we breuken en 1/2 moeten optellen. Hier is het logisch om als gemeenschappelijke noemer het product van de noemers van de oorspronkelijke breuken te nemen, dat wil zeggen . In dit geval is de extra factor voor de eerste breuk 2. Nadat je de teller en de noemer ermee hebt vermenigvuldigd, krijgt de breuk de vorm . En voor de tweede breuk is de extra factor de uitdrukking. Met zijn hulp wordt de breuk 1/2 teruggebracht tot de vorm . Het enige dat overblijft is het optellen van de resulterende breuken met dezelfde noemers. Hier is een samenvatting van de hele oplossing:

Bij algemene breuken hebben we het niet meer over de kleinste gemene deler, waartoe gewone breuken doorgaans worden herleid. Hoewel het in deze kwestie nog steeds raadzaam is om naar enig minimalisme te streven. Hiermee willen we zeggen dat je niet meteen het product van de noemers van de oorspronkelijke breuken als gemeenschappelijke noemer moet nemen. Het is bijvoorbeeld helemaal niet nodig om de gemeenschappelijke noemer van breuken en het product te nemen . Hier kunnen we nemen.

Laten we verder gaan met voorbeelden van het vermenigvuldigen van algemene breuken. Laten we breuken en vermenigvuldigen. De regel voor het uitvoeren van deze actie instrueert ons om een ​​breuk op te schrijven, waarvan de teller het product is van de tellers van de oorspronkelijke breuken, en de noemer het product van de noemers. We hebben . Hier kunt u, net als in veel andere gevallen bij het vermenigvuldigen van breuken, de breuk verkleinen: .

Met de regel voor het delen van breuken kunt u van delen naar vermenigvuldigen met de omgekeerde breuk. Hier moet je onthouden dat je, om de inverse van een gegeven breuk te krijgen, de teller en de noemer van de gegeven breuk moet verwisselen. Hier is een voorbeeld van de overgang van het delen van algemene numerieke breuken naar vermenigvuldigen: . Het enige dat overblijft is het uitvoeren van de vermenigvuldiging en het vereenvoudigen van de resulterende breuk (zie indien nodig de transformatie van irrationele uitdrukkingen):

Bedenk ter afsluiting van de informatie in deze paragraaf dat elk getal of elke numerieke uitdrukking kan worden weergegeven als een breuk met de noemer 1. Daarom kan het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van getallen en breuken worden beschouwd als het uitvoeren van de overeenkomstige bewerking met breuken, één waarvan er één in de noemer staat. Bijvoorbeeld vervangen in de expressie wortel van drie met een breuk, gaan we van het vermenigvuldigen van een breuk met een getal naar het vermenigvuldigen van twee breuken: .

Dingen doen met breuken die variabelen bevatten

De regels uit het eerste deel van dit artikel zijn ook van toepassing op het uitvoeren van bewerkingen met breuken die variabelen bevatten. Laten we de eerste rechtvaardigen: de regel voor het optellen en aftrekken van breuken met identieke noemers, de rest wordt op absoluut dezelfde manier bewezen.

Laten we bewijzen dat voor alle uitdrukkingen A, C en D (D is niet identiek gelijk aan nul) de gelijkheid geldt op het bereik van toegestane waarden van variabelen.

Laten we een bepaalde reeks variabelen uit de ODZ nemen. Laat de uitdrukkingen A, C en D de waarden a 0, c 0 en d 0 aannemen voor deze waarden van de variabelen. Door vervolgens de waarden van variabelen uit de geselecteerde set in de uitdrukking te vervangen, wordt deze omgezet in een som (verschil) van numerieke breuken met gelijke noemers van de vorm , die, volgens de regel van het optellen (aftrekken) van numerieke breuken met gelijke noemers , is gelijk aan . Maar door de waarden van variabelen uit de geselecteerde set in de uitdrukking te vervangen, wordt deze in dezelfde breuk veranderd. Dit betekent dat voor de geselecteerde set variabele waarden uit de ODZ de waarden van de expressies en gelijk zijn. Het is duidelijk dat de waarden van de aangegeven uitdrukkingen gelijk zullen zijn voor elke andere reeks waarden van variabelen uit de ODZ, wat betekent dat de uitdrukkingen identiek gelijk zijn, dat wil zeggen dat de bewezen gelijkheid waar is .

Voorbeelden van het optellen en aftrekken van breuken met variabelen

Als de noemers van de breuken die worden opgeteld of afgetrokken hetzelfde zijn, dan is alles vrij eenvoudig: de tellers worden opgeteld of afgetrokken, maar de noemer blijft hetzelfde. Het is duidelijk dat de hierna verkregen fractie indien nodig en mogelijk wordt vereenvoudigd.

Merk op dat de noemers van breuken soms alleen op het eerste gezicht verschillen, maar dat het in feite identieke gelijke uitdrukkingen zijn, bijvoorbeeld: en , of en . En soms is het voldoende om de oorspronkelijke breuken te vereenvoudigen, zodat hun identieke noemers ‘verschijnen’.

Voorbeeld.

, B) , V) .

Oplossing.

a) We moeten breuken met gelijke noemers aftrekken. Volgens de overeenkomstige regel laten we de noemer hetzelfde en trekken we de tellers af, die we hebben . De actie is voltooid. Maar u kunt ook de haakjes in de teller openen en vergelijkbare termen weergeven: .

b) Het is duidelijk dat de noemers van de breuken die worden opgeteld dezelfde zijn. Daarom tellen we de tellers bij elkaar op en laten we de noemer hetzelfde: . Toevoeging voltooid. Maar het is gemakkelijk in te zien dat de resulterende fractie kan worden verminderd. De teller van de resulterende breuk kan inderdaad worden samengevouwen met behulp van de formule kwadraat van de som als (lgx+2) 2 (zie formules voor verkorte vermenigvuldiging), waardoor de volgende transformaties plaatsvinden: .

c) Breuken in som verschillende noemers hebben. Maar nadat u een van de breuken hebt getransformeerd, kunt u doorgaan met het optellen van breuken met dezelfde noemers. We zullen twee oplossingen laten zien.

Eerste manier. De noemer van de eerste breuk kan worden ontbonden met behulp van de formule voor het verschil in kwadraten, en vervolgens deze breuk verkleinen: . Dus, . Het kan nog steeds geen kwaad om jezelf te bevrijden van de irrationaliteit in de noemer van de breuk: .

Tweede manier. Door de teller en de noemer van de tweede breuk te vermenigvuldigen met (deze uitdrukking gaat voor geen enkele waarde van de variabele x uit de ODZ voor de oorspronkelijke uitdrukking naar nul) kunt u twee doelen tegelijk bereiken: uzelf bevrijden van irrationaliteit en verder gaan met breuken met dezelfde noemers optellen. We hebben

Antwoord:

A) , B) , V) .

Het laatste voorbeeld bracht ons bij de kwestie van het reduceren van breuken tot een gemeenschappelijke noemer. Daar kwamen we bijna per ongeluk op dezelfde noemers uit door een van de opgetelde breuken te vereenvoudigen. Maar in de meeste gevallen moet je bij het optellen en aftrekken van breuken met verschillende noemers de breuken doelbewust naar een gemeenschappelijke noemer brengen. Om dit te doen, worden de noemers van breuken meestal gepresenteerd in de vorm van producten, worden alle factoren uit de noemer van de eerste breuk genomen en worden de ontbrekende factoren uit de noemer van de tweede breuk eraan toegevoegd.

Voorbeeld.

Voer bewerkingen uit met breuken: a) , b) , c) .

Oplossing.

a) Je hoeft niets te doen met de noemers van de breuken. Als gemene deler nemen we het product . In dit geval is de extra factor voor de eerste breuk de uitdrukking en voor de tweede breuk het getal 3. Deze extra factoren brengen de breuken naar een gemeenschappelijke noemer, waardoor we later de actie kunnen uitvoeren die we nodig hebben

b) In dit voorbeeld worden de noemers al weergegeven als producten en vereisen ze geen extra transformaties. Het is duidelijk dat de factoren in de noemers alleen verschillen in exponenten. Daarom nemen we als gemeenschappelijke noemer het product van de factoren met de hoogste exponenten, dat wil zeggen: . Dan is de extra factor voor de eerste breuk x 4, en voor de tweede – ln(x+1) . Nu zijn we klaar om breuken af ​​te trekken:

c) En in dit geval zullen we eerst werken met de noemers van breuken. Met de formules voor het verschil tussen kwadraten en het kwadraat van de som kunt u van de oorspronkelijke som naar de uitdrukking gaan . Nu is het duidelijk dat deze breuken kunnen worden herleid tot een gemeenschappelijke noemer . Met deze aanpak ziet de oplossing er als volgt uit:

Antwoord:

A)

B)

V)

Voorbeelden van het vermenigvuldigen van breuken met variabelen

Het vermenigvuldigen van breuken levert een breuk op waarvan de teller het product is van de tellers van de oorspronkelijke breuken, en de noemer het product van de noemers. Hier is, zoals u kunt zien, alles bekend en eenvoudig, en we kunnen er alleen maar aan toevoegen dat de fractie die als resultaat van deze actie wordt verkregen, vaak reduceerbaar blijkt te zijn. In deze gevallen wordt het verlaagd, tenzij dit uiteraard noodzakelijk en gerechtvaardigd is.

Breuken

Aandacht!
Er zijn extra
materialen in speciale sectie 555.
Voor degenen die heel "niet erg..." zijn
En voor degenen die “heel graag...”)

Breuken zijn op de middelbare school niet zo erg. Voorlopig. Totdat je machten tegenkomt met rationele exponenten en logaritmen. En daar... U drukt en drukt op de rekenmachine, en deze toont een volledige weergave van enkele cijfers. Je moet met je hoofd denken, net als in de derde klas.

Laten we eindelijk breuken ontdekken! Welnu, hoeveel kun je erin verwarren!? Bovendien is het allemaal eenvoudig en logisch. Dus, wat zijn de soorten breuken?

Soorten breuken. Transformaties.

Er zijn drie soorten breuken.

1. Gemeenschappelijke breuken , Bijvoorbeeld:

Soms plaatsen ze in plaats van een horizontale lijn een schuine streep: 1/2, 3/4, 19/5, nou ja, enzovoort. Hier zullen we deze spelling vaak gebruiken. Het bovenste nummer wordt gebeld teller, lager - noemer. Als je deze namen voortdurend door elkaar haalt (het gebeurt...), zeg dan tegen jezelf de zin: " Zzzzz herinneren! Zzzzz noemer - kijk zzzzz uh!" Kijk, alles zal zzzz onthouden worden.)

Het streepje, horizontaal of schuin, betekent divisie van het bovenste getal (teller) naar het onderste getal (noemer). Dat is alles! In plaats van een streepje is het heel goed mogelijk om een ​​deelteken te plaatsen: twee punten.

Wanneer volledige deling mogelijk is, moet dit gebeuren. Dus in plaats van de breuk “32/8” is het veel prettiger om het getal “4” te schrijven. Die. 32 wordt eenvoudigweg gedeeld door 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Ik heb het niet eens over de breuk "4/1". Dat is ook gewoon "4". En als het niet volledig deelbaar is, laten we het als een breuk staan. Soms moet je de tegenovergestelde handeling uitvoeren. Converteer een geheel getal naar een breuk. Maar daarover later meer.

2. Decimalen , Bijvoorbeeld:

In dit formulier moet u de antwoorden op taak "B" opschrijven.

3. Gemengde cijfers , Bijvoorbeeld:

Gemengde cijfers worden op de middelbare school vrijwel niet gebruikt. Om ermee te kunnen werken, moeten ze worden omgezet in gewone breuken. Maar je moet dit zeker wel kunnen! Anders kom je zo'n nummer tegen in een probleem en bevriest... Uit het niets. Maar we zullen deze procedure onthouden! Iets lager.

Meest veelzijdig gewone breuken. Laten we met hen beginnen. Als een breuk allerlei logaritmen, sinussen en andere letters bevat, verandert daar trouwens niets aan. In de zin dat alles acties met breukuitdrukkingen verschillen niet van acties met gewone breuken!

De belangrijkste eigenschap van een breuk.

Dus laten we gaan! Om te beginnen zal ik je verrassen. De hele verscheidenheid aan breuktransformaties wordt geleverd door één enkele eigenschap! Zo heet het hoofdeigenschap van een breuk. Herinneren: Als de teller en de noemer van een breuk worden vermenigvuldigd (gedeeld) met hetzelfde getal, verandert de breuk niet. Die:

Het is duidelijk dat je kunt blijven schrijven totdat je blauw in je gezicht bent. Laat sinussen en logaritmen u niet in verwarring brengen, we zullen ze verder behandelen. Het belangrijkste is om te begrijpen dat al deze verschillende uitdrukkingen dat zijn dezelfde fractie . 2/3.

Hebben we het nodig, al deze transformaties? En hoe! Nu zul je het zelf zien. Laten we om te beginnen de basiseigenschap van een breuk gebruiken breuken verkleinen. Het lijkt iets elementairs. Deel de teller en de noemer door hetzelfde getal en dat is alles! Het is onmogelijk om een ​​fout te maken! Maar... de mens is een creatief wezen. Je kunt overal een fout maken! Vooral als je niet een breuk als 5/10 moet verkleinen, maar een breukuitdrukking met allerlei letters.

Hoe u breuken correct en snel kunt verkleinen zonder extra werk te doen, leest u in het speciale hoofdstuk 555.

Een normale leerling neemt niet de moeite om de teller en de noemer door hetzelfde getal (of dezelfde uitdrukking) te delen! Hij streept eenvoudigweg alles door wat boven en onder hetzelfde is! Dit is waar een typische fout, een blunder, zo je wilt, op de loer ligt.

U moet bijvoorbeeld de uitdrukking vereenvoudigen:

Er is hier niets om over na te denken, streep de letter “a” bovenaan en de twee onderaan! We krijgen:

Alles is correct. Maar in werkelijkheid waren jullie verdeeld alle teller en alle de noemer is "een". Als je gewend bent om gewoon door te strepen, dan kun je haastig de "a" in de uitdrukking doorstrepen

en krijg het weer

Wat categorisch onwaar zou zijn. Want hier alle de teller op "a" is al niet gedeeld! Deze fractie kan niet worden verminderd. Overigens is zo'n reductie, eh... een serieuze uitdaging voor de leraar. Dit is niet vergeven! Weet je nog? Bij het verkleinen moet je delen alle teller en alle noemer!

Het verkleinen van breuken maakt het leven een stuk eenvoudiger. Je krijgt ergens een breuk, bijvoorbeeld 375/1000. Hoe kan ik nu met haar blijven samenwerken? Zonder rekenmachine? Vermenigvuldigen, zeg maar, optellen, kwadrateren!? En als je niet te lui bent, en het voorzichtig met vijf inkort, en nog eens vijf, en zelfs... terwijl het wordt ingekort, kortom. Laten we 3/8 halen! Veel leuker, toch?

Met de hoofdeigenschap van een breuk kunt u gewone breuken omzetten in decimalen en omgekeerd zonder rekenmachine! Dit is belangrijk voor het Unified State Exam, toch?

Hoe breuken van het ene type naar het andere te converteren.

Met decimale breuken is alles eenvoudig. Zoals het gehoord wordt, zo wordt het geschreven! Laten we zeggen 0,25. Dit is nul komma vijfentwintig honderdste. Wij schrijven dus: 25/100. We verminderen (we delen de teller en de noemer door 25), we krijgen de gebruikelijke breuk: 1/4. Alle. Het gebeurt en er wordt niets verminderd. Zoals 0,3. Dit is drie tiende, d.w.z. 3/10.

Wat als de gehele getallen niet nul zijn? Het is ok. We schrijven de hele breuk op zonder komma's in de teller en in de noemer - wat er wordt gehoord. Bijvoorbeeld: 3.17. Dit is drie komma zeventien honderdste. We schrijven 317 in de teller en 100 in de noemer. We krijgen 317/100. Niets wordt verminderd, dat betekent alles. Dit is het antwoord. Elementaire Watson! Uit alles wat er is gezegd, een nuttige conclusie: elke decimale breuk kan worden omgezet in een gewone breuk .

Maar sommige mensen kunnen de omgekeerde conversie van gewoon naar decimaal niet doen zonder een rekenmachine. En het is noodzakelijk! Hoe schrijf je het antwoord op het Unified State Exam!? Lees aandachtig en beheers dit proces.

Wat is het kenmerk van een decimale breuk? Haar noemer is Altijd kost 10, of 100, of 1000, of 10000 enzovoort. Als uw gemeenschappelijke breuk een dergelijke noemer heeft, is er geen probleem. Bijvoorbeeld 4/10 = 0,4. Of 7/100 = 0,07. Of 12/10 = 1,2. Wat als het antwoord op de taak in sectie “B” 1/2 bleek te zijn? Wat zullen we als reactie schrijven? Decimalen zijn vereist...

Laat ons herdenken hoofdeigenschap van een breuk ! Met wiskunde kun je op een gunstige manier de teller en de noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigen. Trouwens, wat dan ook! Behalve nul natuurlijk. Laten we deze eigenschap dus in ons voordeel gebruiken! Waarmee kan de noemer worden vermenigvuldigd, d.w.z. 2 zodat het 10 wordt, of 100, of 1000 (kleiner is natuurlijk beter...)? Om 5 uur, uiteraard. Voel je vrij om de noemer te vermenigvuldigen (dit is ons nodig) met 5. Maar dan moet de teller ook met 5 vermenigvuldigd worden. Dit is al zo wiskunde eisen! We krijgen 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Dat is alles.

Er komen echter allerlei noemers tegen. Je komt bijvoorbeeld de breuk 3/16 tegen. Probeer uit te vinden waarmee je 16 moet vermenigvuldigen om 100 of 1000 te krijgen... Werkt het niet? Dan kun je eenvoudig 3 delen door 16. Bij gebrek aan een rekenmachine zul je moeten delen met een hoekje, op een vel papier, zoals ze dat op de basisschool leerden. We krijgen 0,1875.

En er zijn ook hele slechte noemers. Er is bijvoorbeeld geen manier om de breuk 1/3 in een goed decimaal getal te veranderen. Zowel op de rekenmachine als op een vel papier krijgen we 0,3333333... Dit betekent dat 1/3 een exacte decimale breuk is vertaalt niet. Hetzelfde als 1/7, 5/6 enzovoort. Er zijn er veel, onvertaalbaar. Dit brengt ons tot een andere nuttige conclusie. Niet elke breuk kan worden omgezet in een decimaal getal !

Dit is overigens nuttige informatie voor zelftesten. In onderdeel "B" moet u een decimale breuk in uw antwoord noteren. En je hebt bijvoorbeeld 4/3. Deze breuk wordt niet omgezet in een decimaal getal. Dit betekent dat je ergens onderweg een fout hebt gemaakt! Ga terug en controleer de oplossing.

Dus we hebben gewone en decimale breuken bedacht. Het enige dat overblijft is het omgaan met gemengde cijfers. Om ermee te kunnen werken, moeten ze worden omgezet in gewone breuken. Hoe je dat doet? Je kunt een zesdeklasser betrappen en het hem vragen. Maar er zal niet altijd een zesdeklasser bij de hand zijn... Je zult het zelf moeten doen. Het is niet moeilijk. Je moet de noemer van het breukdeel vermenigvuldigen met het hele deel en de teller van het breukdeel optellen. Dit is de teller van de gewone breuk. Hoe zit het met de noemer? De noemer blijft hetzelfde. Het klinkt ingewikkeld, maar in werkelijkheid is alles eenvoudig. Laten we eens kijken naar een voorbeeld.

Stel dat je geschokt was toen je het getal in het probleem zag:

Rustig, zonder paniek, denken we. Het hele onderdeel is 1. Eenheid. Het fractionele deel is 3/7. Daarom is de noemer van het breukgedeelte 7. Deze noemer zal de noemer van de gewone breuk zijn. We tellen de teller. We vermenigvuldigen 7 met 1 (het gehele deel) en tellen 3 op (de teller van het breukdeel). We krijgen 10. Dit is de teller van een gewone breuk. Dat is alles. Het ziet er nog eenvoudiger uit in wiskundige notatie:

Is het duidelijk? Verzeker dan uw succes! Converteren naar gewone breuken. Je zou 10/7, 7/2, 23/10 en 21/4 moeten krijgen.

De omgekeerde bewerking – het omzetten van een onechte breuk naar een gemengd getal – is op de middelbare school zelden nodig. Nou, als dat zo is... En als je niet op de middelbare school zit, kun je de speciale Sectie 555 bekijken. Overigens leer je daar ook over onechte breuken.

Nou, dat is praktisch alles. Je herinnerde je de soorten breuken en begreep het Hoe breng ze over van het ene type naar het andere. De vraag blijft: Waarvoor doe het? Waar en wanneer deze diepgaande kennis toepassen?

Ik antwoord. Elk voorbeeld zelf suggereert de noodzakelijke acties. Als in het voorbeeld gewone breuken, decimalen en zelfs gemengde getallen met elkaar worden gemengd, zetten we alles om in gewone breuken. Het kan altijd. Als er zoiets staat als 0,8 + 0,3, dan tellen we het zo, zonder enige vertaling. Waarom hebben we extra werk nodig? Wij kiezen voor de oplossing die handig is ons !

Als de taak alleen uit decimale breuken bestaat, maar eh... een of andere slechte, ga dan naar de gewone breuken en probeer het! Kijk, alles komt goed. U moet bijvoorbeeld het getal 0,125 kwadrateren. Het is niet zo eenvoudig als je niet gewend bent geraakt aan het gebruik van een rekenmachine! Je moet niet alleen getallen in een kolom vermenigvuldigen, je moet ook nadenken over waar je de komma plaatst! In je hoofd zal het zeker niet werken! Wat als we overgaan naar een gewone breuk?

0,125 = 125/1000. We verminderen het met 5 (dit is om te beginnen). Wij krijgen 25/200. Nogmaals met 5. We krijgen 5/40. Oh, het krimpt nog steeds! Terug naar 5! Wij krijgen 1/8. We kunnen het gemakkelijk kwadrateren (in onze gedachten!) en 1/64 krijgen. Alle!

Laten we deze les samenvatten.

1. Er zijn drie soorten breuken. Gemeenschappelijke, decimale en gemengde getallen.

2. Decimalen en gemengde getallen Altijd kan worden omgezet in gewone breuken. Omgekeerde overdracht niet altijd beschikbaar.

3. De keuze van het type breuken waarmee een taak moet worden gewerkt, hangt af van de taak zelf. Als er verschillende soorten breuken in één taak voorkomen, is het meest betrouwbare om over te schakelen naar gewone breuken.

Nu kun je oefenen. Converteer eerst deze decimale breuken naar gewone breuken:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Je zou antwoorden als deze moeten krijgen (in een puinhoop!):

Laten we dit afronden. In deze les hebben we ons geheugen opgefrist over belangrijke punten over breuken. Het komt echter voor dat er niets bijzonders te verversen valt...) Als iemand het helemaal vergeten is, of het nog niet onder de knie heeft... Dan kun je terecht bij een speciale Sectie 555. Alle basisprincipes worden daar gedetailleerd behandeld. Velen plotseling begrijp alles zijn begonnen. En ze lossen breuken meteen op).

Als je deze site leuk vindt...

Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)

U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau ontdekken. Testen met onmiddellijke verificatie. Laten we leren - met interesse!)

Je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.

Om een ​​deel uit te drukken als een fractie van het geheel, moet je het deel in het geheel verdelen.

Taak 1. Er zitten 30 leerlingen in de klas, waarvan er vier afwezig zijn. Hoeveel procent van de leerlingen is afwezig?

Oplossing:

Antwoord: Er zijn geen leerlingen in de klas.

Een breuk uit een getal zoeken

Om problemen op te lossen waarbij je een deel van een geheel moet vinden, geldt de volgende regel:

Als een deel van een geheel wordt uitgedrukt als een breuk, kun je om dit deel te vinden het geheel delen door de noemer van de breuk en het resultaat vermenigvuldigen met de teller.

Taak 1. Er waren 600 roebel, dit bedrag werd uitgegeven. Hoeveel geld heb je uitgegeven?

Oplossing: om 600 roebel of meer te vinden, moeten we dit bedrag in 4 delen verdelen, daardoor zullen we ontdekken hoeveel geld een vierde deel is:

600: 4 = 150 (r.)

Antwoord: 150 roebel uitgegeven.

Taak 2. Er waren 1000 roebel, dit bedrag werd uitgegeven. Hoeveel geld is er uitgegeven?

Oplossing: uit de probleemstelling weten we dat 1000 roebel uit vijf gelijke delen bestaat. Laten we eerst eens kijken hoeveel roebel een vijfde van 1000 is, en dan kijken we hoeveel roebel twee vijfde is:

1) 1000: 5 = 200 (r.) - een vijfde.

2) 200 · 2 = 400 (r.) - twee vijfde.

Deze twee acties kunnen worden gecombineerd: 1000: 5 · 2 = 400 (r.).

Antwoord: Er werd 400 roebel uitgegeven.

De tweede manier om een ​​deel van een geheel te vinden:

Om een ​​deel van een geheel te vinden, kun je het geheel vermenigvuldigen met de breuk die dat deel van het geheel uitdrukt.

Taak 3. Volgens het charter van de coöperatie moeten tenminste leden van de organisatie aanwezig zijn om geldig te kunnen rapporteren. De coöperatie heeft 120 leden. In welke samenstelling kan een meldgesprek plaatsvinden?

Oplossing:

Antwoord: de rapportagebijeenkomst kan plaatsvinden als er 80 leden van de organisatie zijn.

Een getal zoeken op basis van zijn breuk

Om problemen op te lossen waarbij je een geheel uit zijn deel moet vinden, geldt de volgende regel:

Als een deel van het gewenste geheel wordt uitgedrukt als een breuk, kunt u, om dit geheel te vinden, dit deel delen door de teller van de breuk en het resultaat vermenigvuldigen met de noemer.

Taak 1. We hebben 50 roebel uitgegeven, wat minder was dan het oorspronkelijke bedrag. Vind het oorspronkelijke geldbedrag.

Oplossing: uit de beschrijving van het probleem zien we dat 50 roebel 6 keer minder is dan het oorspronkelijke bedrag, d.w.z. het oorspronkelijke bedrag is 6 keer meer dan 50 roebel. Om dit bedrag te vinden, moet je 50 met 6 vermenigvuldigen:

50 · 6 = 300 (r.)

Antwoord: het initiële bedrag is 300 roebel.

Taak 2. We hebben 600 roebel uitgegeven, wat minder was dan het oorspronkelijke geldbedrag. Zoek het oorspronkelijke bedrag.

Oplossing: We gaan ervan uit dat het benodigde aantal uit drie derde bestaat. Volgens de voorwaarde is tweederde van het aantal gelijk aan 600 roebel. Laten we eerst een derde van het oorspronkelijke bedrag vinden, en vervolgens hoeveel roebel drie derde is (het oorspronkelijke bedrag):

1) 600: 2 3 = 900 (r.)

Antwoord: het initiële bedrag is 900 roebel.

De tweede manier om een ​​geheel uit zijn deel te vinden:

Om een ​​geheel te vinden op basis van de waarde die het deel ervan uitdrukt, kun je deze waarde delen door de breuk die dit deel uitdrukt.

Taak 3. Lijnstuk AB, gelijk aan 42 cm, is de lengte van het segment CD. Zoek de lengte van het segment CD.

Oplossing:

Antwoord: segmentlengte CD 70 cm.

Taak 4. Watermeloenen werden naar de winkel gebracht. Voor de lunch verkocht de winkel de meegebrachte watermeloenen en na de lunch waren er nog 80 watermeloenen over om te verkopen. Hoeveel watermeloenen heb jij meegenomen naar de winkel?

Oplossing: Laten we eerst eens kijken welk deel van de meegebrachte watermeloenen het getal 80 is. Om dit te doen, nemen we het totale aantal meegebrachte watermeloenen als één en trekken we daarvan het aantal verkochte watermeloenen af ​​(verkocht):

En zo kwamen we erachter dat het totale aantal meegebrachte watermeloenen uit 80 watermeloenen bestaat. Nu ontdekken we hoeveel watermeloenen er van de totale hoeveelheid zijn, en hoeveel watermeloenen er zijn (het aantal meegebrachte watermeloenen):

2) 80: 4 15 = 300 (watermeloenen)

Antwoord: In totaal werden er 300 watermeloenen naar de winkel gebracht.

In dit gedeelte worden bewerkingen met gewone breuken behandeld. Als het nodig is een wiskundige bewerking met gemengde getallen uit te voeren, volstaat het om de gemengde breuk om te zetten in een buitengewone breuk, de noodzakelijke bewerkingen uit te voeren en, indien nodig, het eindresultaat opnieuw te presenteren in de vorm van een gemengd getal . Deze operatie zal hieronder worden beschreven.

Een fractie verkleinen

Wiskundige operatie. Een fractie verkleinen

Om de breuk \frac(m)(n) te verkleinen, moet je de grootste gemene deler van de teller en de noemer vinden: ggd(m,n), en vervolgens de teller en de noemer van de breuk delen door dit getal. Als GCD(m,n)=1, kan de breuk niet worden verkleind. Voorbeeld: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

Meestal lijkt het onmiddellijk vinden van de grootste gemene deler een moeilijke taak, en in de praktijk wordt een breuk in verschillende fasen verkleind, waarbij stap voor stap voor de hand liggende gemeenschappelijke factoren worden geïsoleerd van de teller en de noemer. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Breuken herleiden tot een gemeenschappelijke noemer

Wiskundige operatie. Breuken herleiden tot een gemeenschappelijke noemer

Om twee breuken \frac(a)(b) en \frac(c)(d) tot een gemeenschappelijke noemer te brengen heb je nodig:

  • vind het kleinste gemene veelvoud van de noemers: M=LMK(b,d);
  • vermenigvuldig de teller en de noemer van de eerste breuk met M/b (waarna de noemer van de breuk gelijk wordt aan het getal M);
  • vermenigvuldig de teller en de noemer van de tweede breuk met M/d (waarna de noemer van de breuk gelijk wordt aan het getal M).

We transformeren dus de oorspronkelijke breuken naar breuken met dezelfde noemers (die gelijk zijn aan het getal M).

De breuken \frac(5)(6) en \frac(4)(9) hebben bijvoorbeeld LCM(6,9) = 18. Dan: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . De resulterende breuken hebben dus een gemeenschappelijke noemer.

In de praktijk is het vinden van het kleinste gemene veelvoud (LCM) van noemers niet altijd een eenvoudige taak. Daarom wordt als gemeenschappelijke noemer een getal gekozen dat gelijk is aan het product van de noemers van de oorspronkelijke breuken. De breuken \frac(5)(6) en \frac(4)(9) worden bijvoorbeeld gereduceerd tot een gemeenschappelijke noemer N=6\cdot9:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

Vergelijking van breuken

Wiskundige operatie. Vergelijking van breuken

Om twee gewone breuken te vergelijken heb je nodig:

  • vergelijk de tellers van de resulterende breuken; een breuk met een grotere teller zal groter zijn.
Bijvoorbeeld \frac(9)(14)

Bij het vergelijken van breuken zijn er verschillende speciale gevallen:

  1. Uit twee fracties met dezelfde noemers De breuk waarvan de teller groter is, is groter. Bijvoorbeeld \frac(3)(15)
  2. Uit twee fracties met dezelfde tellers Hoe groter is de breuk waarvan de noemer kleiner is. Bijvoorbeeld \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
  3. Die fractie die tegelijkertijd grotere teller en kleinere noemer, meer. Bijvoorbeeld \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Aandacht! Regel 1 is van toepassing op alle breuken als hun gemeenschappelijke noemer een positief getal is. Regels 2 en 3 zijn van toepassing op positieve breuken (waarbij zowel de teller als de noemer groter is dan nul).

Breuken optellen en aftrekken

Wiskundige operatie. Breuken optellen en aftrekken

Om twee breuken op te tellen heb je nodig:

  • breng ze onder een gemeenschappelijke noemer;
  • tel de tellers op en laat de noemer ongewijzigd.

Voorbeeld: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49 )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

Om een ​​andere van een breuk af te trekken, heb je het volgende nodig:

  • breuken terugbrengen tot een gemeenschappelijke noemer;
  • Trek de teller van de tweede breuk af van de teller van de eerste breuk en laat de noemer ongewijzigd.

Voorbeeld: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Als de oorspronkelijke breuken aanvankelijk een gemeenschappelijke noemer hebben, wordt stap 1 (herleiden tot een gemeenschappelijke noemer) overgeslagen.

Een gemengd getal omzetten in een onechte breuk en omgekeerd

Wiskundige operatie. Een gemengd getal omzetten in een onechte breuk en omgekeerd

Om een ​​gemengde breuk om te zetten in een onechte breuk, telt u eenvoudigweg het hele deel van de gemengde breuk op bij het breukdeel. Het resultaat van een dergelijke som is een onechte breuk, waarvan de teller gelijk is aan de som van het product van het hele deel door de noemer van de breuk met de teller van de gemengde breuk, en de noemer blijft hetzelfde. Bijvoorbeeld 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Om een ​​onechte breuk om te zetten in een gemengd getal:

  • deel de teller van een breuk door de noemer;
  • schrijf de rest van de deling in de teller en laat de noemer hetzelfde;
  • schrijf het resultaat van de deling als een geheel getal.

Bijvoorbeeld de breuk \frac(23)(4) . Bij deling 23:4=5,75, dat wil zeggen dat het hele deel 5 is, is de rest van de deling 23-5*4=3. Vervolgens wordt het gemengde getal geschreven: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Een decimaal getal omzetten in een breuk

Wiskundige operatie. Een decimaal getal omzetten in een breuk

Om een ​​decimale breuk om te zetten in een gewone breuk, moet je:

  1. neem de n-de macht van tien als noemer (hier is n het aantal decimalen);
  2. neem als teller het getal achter de komma (als het gehele deel van het oorspronkelijke getal niet gelijk is aan nul, neem dan ook alle voorafgaande nullen);
  3. het gehele deel dat niet nul is, wordt helemaal aan het begin in de teller geschreven; het geheeltallige deel nul wordt weggelaten.

Voorbeeld 1: 0,0089=\frac(89)(10000) (er zijn 4 decimalen, dus de noemer heeft 10 4 =10000, aangezien het gehele deel 0 is, bevat de teller het getal na de komma zonder voorafgaande nullen)

Voorbeeld 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (in de teller schrijven we het getal achter de komma met allemaal nullen: “0109”, en daarvoor voegen we het hele deel van het oorspronkelijke getal “31” toe)

Als het hele deel van een decimale breuk niet nul is, kan deze worden omgezet in een gemengde breuk. Om dit te doen, converteren we het getal naar een gewone breuk alsof het hele deel gelijk is aan nul (punten 1 en 2), en herschrijven we eenvoudig het hele deel vóór de breuk - dit zal het hele deel van het gemengde getal zijn . Voorbeeld:

3.014=3\frac(14)(100)

Om een ​​breuk naar een decimaal getal om te zetten, deelt u eenvoudigweg de teller door de noemer. Soms kom je uit op een oneindig decimaalteken. In dit geval is het noodzakelijk om af te ronden op het gewenste decimaal. Voorbeelden:

\frac(401)(5)=80,2;\quad \frac(2)(3)\circa 0,6667

Breuken vermenigvuldigen en delen

Wiskundige operatie. Breuken vermenigvuldigen en delen

Om twee gewone breuken te vermenigvuldigen, moet je de tellers en noemers van de breuken vermenigvuldigen.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Om de ene gemeenschappelijke breuk door de andere te delen, moet je de eerste breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde van de tweede ( wederkerige breuk- een breuk waarbij de teller en de noemer worden verwisseld.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Als een van de breuken een natuurlijk getal is, blijven de bovenstaande regels voor vermenigvuldigen en delen van kracht. U hoeft er alleen maar rekening mee te houden dat een geheel getal dezelfde breuk is, waarvan de noemer gelijk is aan één. Bijvoorbeeld: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

Inhoud van de les

Breuken met gelijke noemers optellen

Er zijn twee soorten optelling van breuken:

  1. Breuken met gelijke noemers optellen
  2. Breuken met verschillende noemers optellen

Laten we eerst de optelling van breuken met gelijke noemers leren. Alles is hier eenvoudig. Om breuken met dezelfde noemers op te tellen, moet je hun tellers optellen en de noemer ongewijzigd laten. Laten we bijvoorbeeld de breuken en optellen. Voeg de tellers toe en laat de noemer ongewijzigd:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we de pizza onthouden, die in vier delen is verdeeld. Als je pizza aan pizza toevoegt, krijg je pizza:

Voorbeeld 2. Voeg breuken en toe.

Het antwoord bleek een onechte breuk te zijn. Wanneer het einde van de taak is bereikt, is het gebruikelijk om onechte breuken te verwijderen. Om van een onechte breuk af te komen, moet je het hele deel ervan selecteren. In ons geval is het hele deel gemakkelijk te isoleren: twee gedeeld door twee is één:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we ons een pizza herinneren die in twee delen is verdeeld. Als je meer pizza aan de pizza toevoegt, krijg je één hele pizza:

Voorbeeld 3. Voeg breuken en toe.

Nogmaals, we tellen de tellers bij elkaar op en laten de noemer ongewijzigd:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we de pizza onthouden, die in drie delen is verdeeld. Als je meer pizza aan de pizza toevoegt, krijg je pizza:

Voorbeeld 4. Zoek de waarde van een expressie

Dit voorbeeld wordt op precies dezelfde manier opgelost als de vorige. De tellers moeten worden opgeteld en de noemer moet ongewijzigd blijven:

Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een tekening. Als je pizza's aan een pizza toevoegt en meer pizza's toevoegt, krijg je 1 hele pizza en meer pizza's.

Zoals je kunt zien, is er niets ingewikkelds aan het optellen van breuken met dezelfde noemers. Het is voldoende om de volgende regels te begrijpen:

  1. Om breuken met dezelfde noemer op te tellen, moet je hun tellers optellen en de noemer ongewijzigd laten;

Breuken met verschillende noemers optellen

Laten we nu leren hoe we breuken met verschillende noemers kunnen optellen. Bij het optellen van breuken moeten de noemers van de breuken hetzelfde zijn. Maar ze zijn niet altijd hetzelfde.

Breuken kunnen bijvoorbeeld worden opgeteld omdat ze dezelfde noemers hebben.

Maar breuken kunnen niet meteen worden opgeteld, omdat deze breuken verschillende noemers hebben. In dergelijke gevallen moeten breuken worden herleid tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.

Er zijn verschillende manieren om breuken tot dezelfde noemer te herleiden. Vandaag zullen we er slechts één bekijken, omdat de andere methoden voor een beginner misschien ingewikkeld lijken.

De essentie van deze methode is dat eerst de LCM van de noemers van beide breuken wordt doorzocht. De LCM wordt vervolgens gedeeld door de noemer van de eerste breuk om de eerste aanvullende factor te verkrijgen. Hetzelfde doen ze met de tweede breuk: de LCM wordt gedeeld door de noemer van de tweede breuk en er wordt een tweede extra factor verkregen.

De tellers en noemers van de breuken worden vervolgens vermenigvuldigd met hun aanvullende factoren. Als gevolg van deze acties veranderen breuken met verschillende noemers in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten optellen.

voorbeeld 1. Laten we de breuken en optellen

Allereerst vinden we het kleinste gemene veelvoud van de noemers van beide breuken. De noemer van de eerste breuk is het getal 3, en de noemer van de tweede breuk is het getal 2. Het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is 6

LCM (2 en 3) = 6

Laten we nu terugkeren naar breuken en . Deel eerst de LCM door de noemer van de eerste breuk en verkrijg de eerste extra factor. LCM is het getal 6, en de noemer van de eerste breuk is het getal 3. Deel 6 door 3 en we krijgen 2.

Het resulterende getal 2 is de eerste extra vermenigvuldiger. We schrijven het op tot de eerste breuk. Om dit te doen, trekt u een kleine schuine lijn over de breuk en noteert u de extra factor die erboven staat:

Hetzelfde doen we met de tweede breuk. We delen de LCM door de noemer van de tweede breuk en krijgen de tweede extra factor. LCM is het getal 6, en de noemer van de tweede breuk is het getal 2. Deel 6 door 2 en we krijgen 3.

Het resulterende getal 3 is de tweede extra vermenigvuldiger. We schrijven het op in de tweede breuk. We maken opnieuw een kleine schuine lijn over de tweede breuk en noteren de extra factor die erboven staat:

Nu hebben we alles klaar voor toevoeging. Het blijft nodig om de tellers en noemers van de breuken te vermenigvuldigen met hun aanvullende factoren:

Kijk goed naar wat we zijn tegengekomen. We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten optellen. Laten we dit voorbeeld tot het einde nemen:

Hiermee is het voorbeeld voltooid. Het blijkt toe te voegen.

Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een tekening. Als je pizza aan een pizza toevoegt, krijg je één hele pizza en nog een zesde deel van een pizza:

Het herleiden van breuken tot dezelfde (gemene) noemer kan ook met behulp van een afbeelding worden weergegeven. Door de breuken terug te brengen tot een gemeenschappelijke noemer, kregen we de breuken en . Deze twee breuken worden weergegeven door dezelfde stukken pizza. Het enige verschil is dat ze deze keer in gelijke delen worden verdeeld (herleid tot dezelfde noemer).

De eerste tekening vertegenwoordigt een breuk (vier van de zes), en de tweede tekening vertegenwoordigt een breuk (drie van de zes). Als we deze stukken toevoegen, krijgen we (zeven van de zes). Deze breuk is ongepast, dus hebben we het hele deel ervan gemarkeerd. Als resultaat kregen we (een hele pizza en nog een zesde pizza).

Houd er rekening mee dat we dit voorbeeld te gedetailleerd hebben beschreven. In onderwijsinstellingen is het niet gebruikelijk om zo gedetailleerd te schrijven. U moet snel de LCM van beide noemers en aanvullende factoren kunnen vinden, en de gevonden aanvullende factoren snel kunnen vermenigvuldigen met uw tellers en noemers. Als we op school zaten, zouden we dit voorbeeld als volgt moeten schrijven:

Maar er zit ook een andere kant aan de medaille. Als je in de eerste fasen van het studeren van wiskunde geen gedetailleerde aantekeningen maakt, beginnen dit soort vragen te verschijnen. “Waar komt dat getal vandaan?”, “Waarom veranderen breuken ineens in totaal andere breuken? «.

Om het optellen van breuken met verschillende noemers makkelijker te maken, kun je de volgende stapsgewijze instructies gebruiken:

  1. Zoek de LCM van de noemers van breuken;
  2. Deel de LCM door de noemer van elke breuk en verkrijg een extra factor voor elke breuk;
  3. Vermenigvuldig de tellers en noemers van breuken met hun aanvullende factoren;
  4. Voeg breuken toe die dezelfde noemers hebben;
  5. Als het antwoord een onechte breuk blijkt te zijn, selecteer dan het hele deel ervan;

Voorbeeld 2. Zoek de waarde van een expressie .

Laten we de hierboven gegeven instructies gebruiken.

Stap 1. Zoek de LCM van de noemers van de breuken

Zoek de LCM van de noemers van beide breuken. De noemers van breuken zijn de getallen 2, 3 en 4

Stap 2. Deel de LCM door de noemer van elke breuk en bereken een extra factor voor elke breuk

Verdeel de LCM door de noemer van de eerste breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de eerste breuk is het getal 2. Deel 12 door 2 en we krijgen 6. We hebben de eerste extra factor 6. We schrijven deze boven de eerste breuk:

Nu delen we de LCM door de noemer van de tweede breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de tweede breuk is het getal 3. Deel 12 door 3, we krijgen 4. We krijgen de tweede extra factor 4. We schrijven deze boven de tweede breuk:

Nu delen we de LCM door de noemer van de derde breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de derde breuk is het getal 4. Deel 12 door 4, we krijgen 3. We krijgen de derde extra factor 3. We schrijven deze boven de derde breuk:

Stap 3. Vermenigvuldig de tellers en noemers van de breuken met hun aanvullende factoren

We vermenigvuldigen de tellers en noemers met hun aanvullende factoren:

Stap 4. Voeg breuken toe met dezelfde noemers

We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde (gemeenschappelijke) noemers. Het enige dat overblijft is het optellen van deze breuken. Bij elkaar optellen:

De toevoeging paste niet op één regel, dus hebben we de resterende uitdrukking naar de volgende regel verplaatst. In de wiskunde is dit toegestaan. Wanneer een uitdrukking niet op één regel past, wordt deze naar de volgende regel verplaatst en is het noodzakelijk om een ​​gelijkteken (=) aan het einde van de eerste regel en aan het begin van de nieuwe regel te plaatsen. Het gelijkteken op de tweede regel geeft aan dat dit een voortzetting is van de uitdrukking die op de eerste regel stond.

Stap 5. Als het antwoord een onechte breuk blijkt te zijn, selecteer dan het hele deel ervan

Ons antwoord bleek een onechte breuk te zijn. We moeten een heel deel ervan onder de aandacht brengen. Wij benadrukken:

Wij kregen antwoord

Breuken met gelijke noemers aftrekken

Er zijn twee soorten aftrekkingen van breuken:

  1. Breuken met gelijke noemers aftrekken
  2. Breuken met verschillende noemers aftrekken

Laten we eerst leren hoe we breuken met gelijke noemers kunnen aftrekken. Alles is hier eenvoudig. Om een ​​andere breuk van de ene breuk af te trekken, moet je de teller van de tweede breuk aftrekken van de teller van de eerste breuk, maar laat de noemer hetzelfde.

Laten we bijvoorbeeld de waarde van de expressie vinden. Om dit voorbeeld op te lossen, moet je de teller van de tweede breuk aftrekken van de teller van de eerste breuk, en de noemer ongewijzigd laten. Laten we dit doen:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we de pizza onthouden, die in vier delen is verdeeld. Als je pizza’s uit een pizza snijdt, krijg je pizza’s:

Voorbeeld 2. Zoek de waarde van de uitdrukking.

Nogmaals, trek van de teller van de eerste breuk de teller van de tweede breuk af en laat de noemer ongewijzigd:

Dit voorbeeld kan gemakkelijk worden begrepen als we de pizza onthouden, die in drie delen is verdeeld. Als je pizza’s uit een pizza snijdt, krijg je pizza’s:

Voorbeeld 3. Zoek de waarde van een expressie

Dit voorbeeld wordt op precies dezelfde manier opgelost als de vorige. Van de teller van de eerste breuk moet je de tellers van de resterende breuken aftrekken:

Zoals je kunt zien, is er niets ingewikkelds aan het aftrekken van breuken met dezelfde noemers. Het is voldoende om de volgende regels te begrijpen:

  1. Om een ​​andere breuk van de ene breuk af te trekken, moet je de teller van de tweede breuk aftrekken van de teller van de eerste breuk, en de noemer ongewijzigd laten;
  2. Als het antwoord een onechte breuk blijkt te zijn, moet je het hele deel ervan benadrukken.

Breuken met verschillende noemers aftrekken

U kunt bijvoorbeeld een breuk van een breuk aftrekken omdat de breuken dezelfde noemers hebben. Maar je kunt geen breuk van een breuk aftrekken, omdat deze breuken verschillende noemers hebben. In dergelijke gevallen moeten breuken worden herleid tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.

De gemeenschappelijke noemer wordt gevonden met behulp van hetzelfde principe dat we hebben gebruikt bij het optellen van breuken met verschillende noemers. Zoek eerst de LCM van de noemers van beide breuken. Vervolgens wordt de LCM gedeeld door de noemer van de eerste breuk en wordt de eerste aanvullende factor verkregen, die boven de eerste breuk wordt geschreven. Op dezelfde manier wordt de LCM gedeeld door de noemer van de tweede breuk en wordt een tweede extra factor verkregen, die boven de tweede breuk wordt geschreven.

De breuken worden vervolgens vermenigvuldigd met hun aanvullende factoren. Als resultaat van deze bewerkingen worden breuken met verschillende noemers omgezet in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten aftrekken.

Voorbeeld 1. Zoek de betekenis van de uitdrukking:

Deze breuken hebben verschillende noemers, dus je moet ze terugbrengen tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.

Eerst vinden we de LCM van de noemers van beide breuken. De noemer van de eerste breuk is het getal 3, en de noemer van de tweede breuk is het getal 4. Het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is 12

LCM (3 en 4) = 12

Laten we nu terugkeren naar breuken en

Laten we een extra factor voor de eerste breuk vinden. Om dit te doen, deelt u de LCM door de noemer van de eerste breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de eerste breuk is het getal 3. Deel 12 door 3 en je krijgt 4. Schrijf een vier boven de eerste breuk:

Hetzelfde doen we met de tweede breuk. Verdeel de LCM door de noemer van de tweede breuk. LCM is het getal 12, en de noemer van de tweede breuk is het getal 4. Deel 12 door 4, we krijgen 3. Schrijf een drie over de tweede breuk:

Nu zijn we klaar voor aftrekken. Het blijft om de breuken te vermenigvuldigen met hun aanvullende factoren:

We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten aftrekken. Laten we dit voorbeeld tot het einde nemen:

Wij kregen antwoord

Laten we proberen onze oplossing weer te geven met behulp van een tekening. Als je pizza uit een pizza snijdt, krijg je pizza

Dit is de gedetailleerde versie van de oplossing. Als we op school zaten, zouden we dit voorbeeld korter moeten oplossen. Zo’n oplossing zou er als volgt uit kunnen zien:

Het herleiden van breuken tot een gemeenschappelijke noemer kan ook worden weergegeven met behulp van een afbeelding. Door deze breuken terug te brengen tot een gemeenschappelijke noemer, kregen we de breuken en . Deze breuken worden weergegeven door dezelfde pizzapunten, maar deze keer worden ze in gelijke delen verdeeld (herleid tot dezelfde noemer):

De eerste foto toont een breuk (acht van de twaalf), en de tweede foto toont een breuk (drie van de twaalf). Door drie stukken uit acht stukken te snijden, krijgen we vijf stukken uit twaalf. De breuk beschrijft deze vijf stukken.

Voorbeeld 2. Zoek de waarde van een expressie

Deze breuken hebben verschillende noemers, dus eerst moet je ze terugbrengen tot dezelfde (gemeenschappelijke) noemer.

Laten we de LCM van de noemers van deze breuken vinden.

De noemers van de breuken zijn de getallen 10, 3 en 5. Het kleinste gemene veelvoud van deze getallen is 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Nu vinden we voor elke breuk aanvullende factoren. Om dit te doen, deelt u de LCM door de noemer van elke breuk.

Laten we een extra factor voor de eerste breuk vinden. LCM is het getal 30, en de noemer van de eerste breuk is het getal 10. Deel 30 door 10, we krijgen de eerste extra factor 3. We schrijven deze boven de eerste breuk:

Nu vinden we een extra factor voor de tweede breuk. Verdeel de LCM door de noemer van de tweede breuk. LCM is het getal 30, en de noemer van de tweede breuk is het getal 3. Deel 30 door 3, we krijgen de tweede extra factor 10. We schrijven deze boven de tweede breuk:

Nu vinden we een extra factor voor de derde breuk. Verdeel de LCM door de noemer van de derde breuk. LCM is het getal 30, en de noemer van de derde breuk is het getal 5. Deel 30 door 5, we krijgen de derde extra factor 6. We schrijven deze boven de derde breuk:

Nu is alles klaar voor aftrekken. Het blijft om de breuken te vermenigvuldigen met hun aanvullende factoren:

We kwamen tot de conclusie dat breuken met verschillende noemers veranderden in breuken met dezelfde (gemeenschappelijke) noemers. En we weten al hoe we dergelijke breuken moeten aftrekken. Laten we dit voorbeeld afmaken.

Het vervolg van het voorbeeld past niet op één regel, dus verplaatsen we het vervolg naar de volgende regel. Vergeet het gelijkteken (=) op de nieuwe regel niet:

Het antwoord bleek een regelmatige breuk te zijn, en alles lijkt bij ons te passen, maar het is te omslachtig en lelijk. We moeten het eenvoudiger maken. Wat gedaan kan worden? Je kunt deze breuk inkorten.

Om een ​​breuk te verkleinen, moet je de teller en de noemer delen door (GCD) van de getallen 20 en 30.

We vinden dus de ggd van de nummers 20 en 30:

Nu keren we terug naar ons voorbeeld en delen de teller en de noemer van de breuk door de gevonden ggd, dat wil zeggen door 10

Wij kregen antwoord

Een breuk vermenigvuldigen met een getal

Om een ​​breuk met een getal te vermenigvuldigen, moet je de teller van de gegeven breuk met dat getal vermenigvuldigen en de noemer hetzelfde laten.

voorbeeld 1. Vermenigvuldig een breuk met het getal 1.

Vermenigvuldig de teller van de breuk met het getal 1

De opname kan worden opgevat als een halve tijdsbesteding. Als je bijvoorbeeld één keer pizza neemt, krijg je pizza

Uit de vermenigvuldigingswetten weten we dat als het vermenigvuldigtal en de factor worden verwisseld, het product niet zal veranderen. Als de uitdrukking wordt geschreven als , zal het product nog steeds gelijk zijn aan . Nogmaals, de regel voor het vermenigvuldigen van een geheel getal en een breuk werkt:

Deze notatie kan worden opgevat als het nemen van de helft van één. Als er bijvoorbeeld 1 hele pizza is en we nemen de helft ervan, dan hebben we pizza:

Voorbeeld 2. Zoek de waarde van een expressie

Vermenigvuldig de teller van de breuk met 4

Het antwoord was een onechte breuk. Laten we het hele deel ervan benadrukken:

De uitdrukking kan worden opgevat als vier keer twee kwartalen nemen. Als u bijvoorbeeld 4 pizza's neemt, krijgt u twee hele pizza's

En als we de vermenigvuldiger en de vermenigvuldiger verwisselen, krijgen we de uitdrukking . Het zal ook gelijk zijn aan 2. Deze uitdrukking kan worden opgevat als het nemen van twee pizza's uit vier hele pizza's:

Breuken vermenigvuldigen

Om breuken te vermenigvuldigen, moet je hun tellers en noemers vermenigvuldigen. Als het antwoord een onechte breuk blijkt te zijn, moet je het hele deel ervan markeren.

Voorbeeld 1. Zoek de waarde van de uitdrukking.

Wij kregen antwoord. Het is raadzaam deze fractie te verkleinen. De breuk kan met 2 worden verminderd. Dan zal de uiteindelijke oplossing de volgende vorm aannemen:

De uitdrukking kan worden opgevat als het nemen van een pizza uit een halve pizza. Laten we zeggen dat we een halve pizza hebben:

Hoe kun je tweederde van deze helft halen? Eerst moet je deze helft in drie gelijke delen verdelen:

En neem er twee uit deze drie stukken:

Wij gaan pizza maken. Onthoud hoe pizza eruit ziet als deze in drie delen is verdeeld:

Eén stuk van deze pizza en de twee stukken die we hebben genomen, hebben dezelfde afmetingen:

Met andere woorden, we hebben het over pizza van dezelfde grootte. Daarom is de waarde van de uitdrukking

Voorbeeld 2. Zoek de waarde van een expressie

Vermenigvuldig de teller van de eerste breuk met de teller van de tweede breuk, en de noemer van de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk:

Het antwoord was een onechte breuk. Laten we het hele deel ervan benadrukken:

Voorbeeld 3. Zoek de waarde van een expressie

Vermenigvuldig de teller van de eerste breuk met de teller van de tweede breuk, en de noemer van de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk:

Het antwoord bleek een regelmatige breuk te zijn, maar het zou goed zijn als deze werd ingekort. Om deze breuk te verkleinen, moet je de teller en de noemer van deze breuk delen door de grootste gemene deler (GCD) van de getallen 105 en 450.

Laten we dus de ggd van de nummers 105 en 450 vinden:

Nu delen we de teller en de noemer van ons antwoord door de ggd die we nu hebben gevonden, dat wil zeggen door 15

Een geheel getal weergeven als een breuk

Elk geheel getal kan als een breuk worden weergegeven. Het getal 5 kan bijvoorbeeld worden weergegeven als . Dit zal de betekenis van vijf niet veranderen, aangezien de uitdrukking ‘het getal vijf gedeeld door één’ betekent, en dit is, zoals we weten, gelijk aan vijf:

Wederzijdse cijfers

Nu zullen we kennis maken met een zeer interessant onderwerp in de wiskunde. Het heet ‘omgekeerde getallen’.

Definitie. Omkeren naar nummerA is een getal dat, vermenigvuldigd metA geeft er een.

Laten we deze definitie vervangen in plaats van de variabele A nummer 5 en probeer de definitie te lezen:

Omkeren naar nummer 5 is een getal dat, vermenigvuldigd met 5 geeft er een.

Is het mogelijk een getal te vinden dat, vermenigvuldigd met 5, één oplevert? Het blijkt mogelijk te zijn. Laten we ons vijf voorstellen als een breuk:

Vermenigvuldig deze breuk vervolgens met zichzelf, verwissel gewoon de teller en de noemer. Met andere woorden, laten we de breuk met zichzelf vermenigvuldigen, alleen ondersteboven:

Wat zal er als gevolg hiervan gebeuren? Als we dit voorbeeld blijven oplossen, krijgen we er een:

Dit betekent dat het omgekeerde van het getal 5 het getal is, want als je 5 vermenigvuldigt, krijg je er één.

Het omgekeerde van een getal kan ook voor elk ander geheel getal worden gevonden.

Je kunt ook het omgekeerde van elke andere breuk vinden. Om dit te doen, draait u het gewoon om.

Een breuk delen door een getal

Laten we zeggen dat we een halve pizza hebben:

Laten we het gelijkelijk over twee verdelen. Hoeveel pizza krijgt elke persoon?

Te zien is dat na het verdelen van de helft van de pizza twee gelijke stukken werden verkregen, die elk een pizza vormen. Dus iedereen krijgt een pizza.

Het delen van breuken gebeurt met behulp van reciprocals. Met wederkerige getallen kunt u deling vervangen door vermenigvuldiging.

Om een ​​breuk door een getal te delen, moet je de breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde van de deler.

Met behulp van deze regel zullen we de verdeling van onze helft van de pizza in twee delen opschrijven.

Je moet de breuk dus delen door het getal 2. Hier is het deeltal de breuk en de deler het getal 2.

Om een ​​breuk te delen door het getal 2, moet je deze breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde van de deler 2. Het omgekeerde van de deler 2 is de breuk. Je moet dus vermenigvuldigen met