Inhomogene differentiaalvergelijking van de tweede orde. Lineaire inhomogene differentiaalvergelijkingen van de tweede orde met constante coëfficiënten

De lezing behandelt LNDE - lineaire inhomogene differentiaalvergelijkingen. De structuur van de algemene oplossing, de oplossing van LNDE door de methode van variatie van willekeurige constanten, de oplossing van LNDE met constante coëfficiënten en een rechterkant van een speciale vorm worden beschouwd. De besproken onderwerpen worden gebruikt bij de studie van geforceerde oscillaties in de natuurkunde, elektrotechniek en elektronica, en de theorie van automatische besturing.

1. De structuur van de algemene oplossing van een lineaire inhomogene differentiaalvergelijking van de 2e orde.

Beschouw eerst een lineaire inhomogene vergelijking van willekeurige volgorde:

Gegeven de notatie kunnen we schrijven:

In dit geval nemen we aan dat de coëfficiënten en de rechterkant van deze vergelijking continu zijn op een bepaald interval.

Stelling. De algemene oplossing van een lineaire inhomogene differentiaalvergelijking in een bepaald domein is de som van een van zijn oplossingen en de algemene oplossing van de overeenkomstige lineaire homogene differentiaalvergelijking.

Een bewijs. Laat Y een oplossing zijn van een inhomogene vergelijking.

Als we deze oplossing in de oorspronkelijke vergelijking substitueren, krijgen we de identiteit:

Laten
- fundamenteel systeem van oplossingen van een lineaire homogene vergelijking
. Dan kan de algemene oplossing van de homogene vergelijking worden geschreven als:

In het bijzonder voor een lineaire inhomogene differentiaalvergelijking van de 2e orde heeft de structuur van de algemene oplossing de vorm:

waar
is het fundamentele systeem van oplossingen van de overeenkomstige homogene vergelijking, en
- een bepaalde oplossing van de inhomogene vergelijking.

Om een ​​lineaire inhomogene differentiaalvergelijking op te lossen, is het dus noodzakelijk om een ​​algemene oplossing van de overeenkomstige homogene vergelijking te vinden en op de een of andere manier een bepaalde oplossing van de inhomogene vergelijking te vinden. Meestal wordt het gevonden door selectie. De methoden voor het selecteren van een bepaalde oplossing zullen in de volgende vragen worden besproken.

2. Wijze van variatie

In de praktijk is het handig om de methode van variatie van willekeurige constanten toe te passen.

Zoek hiervoor eerst de algemene oplossing van de overeenkomstige homogene vergelijking in de vorm:

Stel vervolgens de coëfficiënten in C i functies van X, wordt de oplossing van de inhomogene vergelijking gezocht:

Het kan worden aangetoond dat om de functies te vinden: C i (x) je moet het stelsel vergelijkingen oplossen:

Voorbeeld. los De vergelijking op

We lossen een lineaire homogene vergelijking op

De oplossing van de inhomogene vergelijking ziet er als volgt uit:

We stellen een stelsel vergelijkingen samen:

Laten we dit systeem oplossen:

Uit de relatie vinden we de functie Oh).

Nu vinden we B(x).

We vervangen de verkregen waarden in de formule voor de algemene oplossing van de inhomogene vergelijking:

Definitieve antwoord:

Over het algemeen is de methode van variatie van willekeurige constanten geschikt voor het vinden van oplossingen voor elke lineaire inhomogene vergelijking. Maar sinds het vinden van het fundamentele systeem van oplossingen van de overeenkomstige homogene vergelijking kan een behoorlijk moeilijke taak zijn, deze methode wordt voornamelijk gebruikt voor niet-homogene vergelijkingen met constante coëfficiënten.

3. Vergelijkingen met de rechterkant van een speciale vorm

Het lijkt mogelijk om de vorm van een bepaalde oplossing weer te geven, afhankelijk van de vorm van de rechterkant van de inhomogene vergelijking.

Er zijn de volgende gevallen:

I. De rechterkant van de lineaire inhomogene differentiaalvergelijking heeft de vorm:

waar is een graad polynoom m.

Dan wordt een bepaalde oplossing gezocht in de vorm:

Hier Q(x) is een polynoom van dezelfde graad als P(x) , maar met ongedefinieerde coëfficiënten, en r- een getal dat aangeeft hoe vaak het getal  de wortel is van de karakteristieke vergelijking voor de overeenkomstige lineaire homogene differentiaalvergelijking.

Voorbeeld. los De vergelijking op
.

We lossen de overeenkomstige homogene vergelijking op:

Laten we nu een bepaalde oplossing van de oorspronkelijke inhomogene vergelijking zoeken.

Laten we de rechterkant van de vergelijking vergelijken met de vorm van de rechterkant die hierboven is besproken.

We zoeken een bepaalde oplossing in de vorm:
, waar

Die.

Nu definiëren we de onbekende coëfficiënten MAAR en BIJ.

Laten we een bepaalde oplossing in algemene vorm substitueren in de oorspronkelijke inhomogene differentiaalvergelijking.

Dus een privé-oplossing:

Dan is de algemene oplossing van de lineaire inhomogene differentiaalvergelijking:

II. De rechterkant van de lineaire inhomogene differentiaalvergelijking heeft de vorm:

Hier R 1 (X) en R 2 (X) zijn veeltermen van graad m 1 en m 2 respectievelijk.

Dan zal de specifieke oplossing van de inhomogene vergelijking de vorm hebben:

waar nummer r laat zien hoe vaak een getal
is de wortel van de karakteristieke vergelijking voor de overeenkomstige homogene vergelijking, en Q 1 (x) en Q 2 (x) – hoogstens veeltermen van graad m, waar m- de grootste van de graden m 1 en m 2 .

Overzichtstabel met typen specifieke oplossingen

voor verschillende soorten juiste onderdelen:

Merk op dat als de rechterkant van de vergelijking een combinatie is van uitdrukkingen van de hierboven beschouwde vorm, de oplossing wordt gevonden als een combinatie van oplossingen van hulpvergelijkingen, die elk een rechterkant hebben die overeenkomt met de uitdrukking die in de combinatie is opgenomen.

Die. als de vergelijking er zo uitziet:
, dan is een bepaalde oplossing van deze vergelijking
waar Bij 1 en Bij 2 zijn bepaalde oplossingen van hulpvergelijkingen

en

Laten we ter illustratie het bovenstaande voorbeeld op een andere manier oplossen.

Voorbeeld. los De vergelijking op

We stellen de rechterkant van de differentiaalvergelijking voor als de som van twee functies f 1 (x) + f 2 (x) = x + (- zonde x).

We stellen de karakteristieke vergelijking op en lossen deze op:

We krijgen: D.w.z.

Totaal:

Die. de gewenste specifieke oplossing heeft de vorm:

De algemene oplossing van de inhomogene differentiaalvergelijking:

Laten we eens kijken naar voorbeelden van toepassing van de beschreven methoden.

Voorbeeld 1.. los De vergelijking op

Laten we een karakteristieke vergelijking opstellen voor de overeenkomstige lineaire homogene differentiaalvergelijking:

Nu vinden we een bepaalde oplossing van de inhomogene vergelijking in de vorm:

Laten we de methode van onbepaalde coëfficiënten gebruiken.

Substitueren in de oorspronkelijke vergelijking, krijgen we:

De specifieke oplossing ziet er als volgt uit:

De algemene oplossing van de lineaire inhomogene vergelijking:

Voorbeeld. los De vergelijking op

Karakteristieke vergelijking:

De algemene oplossing van de homogene vergelijking:

Bijzondere oplossing van de inhomogene vergelijking:
.

We vinden de afgeleiden en vervangen ze in de oorspronkelijke inhomogene vergelijking:

We verkrijgen de algemene oplossing van de inhomogene differentiaalvergelijking:

Inhomogene tweede orde differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten

Structuur van de algemene oplossing Een lineaire inhomogene vergelijking van dit type heeft de vorm: waar p, q− constante getallen (die zowel reëel als complex kunnen zijn). Voor elk van deze vergelijkingen kan men de corresponderende . schrijven homogene vergelijking: Stelling: De algemene oplossing van de inhomogene vergelijking is de som van de algemene oplossing ja 0 (x) van de overeenkomstige homogene vergelijking en een bepaalde oplossing ja 1 (x) van de inhomogene vergelijking: Hieronder beschouwen we twee methoden voor het oplossen van niet-homogene differentiaalvergelijkingen. Constante variatiemethode Als de algemene oplossing ja 0 van de bijbehorende homogene vergelijking bekend is, dan kan de algemene oplossing van de inhomogene vergelijking worden gevonden met constante variatie methode:. Laat de algemene oplossing van een homogene differentiaalvergelijking van de tweede orde de vorm hebben: In plaats van permanent C 1 en C 2 we zullen hulpfuncties beschouwen C 1 (x) en C 2 (x). We zullen deze functies zo zoeken dat de oplossing: voldoet aan de inhomogene vergelijking met de rechterkant f(x). Onbekende kenmerken C 1 (x) en C 2 (x) worden bepaald uit het stelsel van twee vergelijkingen: Methode van onbepaalde coëfficiënten Rechter deel f(x) van een inhomogene differentiaalvergelijking is vaak een polynoom, een exponentiële of trigonometrische functie, of een combinatie van deze functies. In dit geval is het handiger om een ​​oplossing te vinden met: methode van onzekere coëfficiënten. We benadrukken dat deze methode alleen werkt voor een beperkte klasse van functies aan de rechterkant, zoals: In beide gevallen moet de keuze van een bepaalde oplossing overeenkomen met de structuur van de rechterkant van de inhomogene differentiaalvergelijking. In geval 1, als het nummer α in de exponentiële functie samenvalt met de wortel van de karakteristieke vergelijking, dan zal de specifieke oplossing een extra factor bevatten x s, waar s− veelvoud van de wortel α in de karakteristieke vergelijking. In geval 2, als het nummer α + i samenvalt met de wortel van de karakteristieke vergelijking, dan bevat de uitdrukking voor de specifieke oplossing een extra factor x. Onbekende coëfficiënten kunnen worden bepaald door de gevonden uitdrukking voor een bepaalde oplossing in de oorspronkelijke inhomogene differentiaalvergelijking te substitueren. Superpositie principe Als de rechterkant van de inhomogene vergelijking is hoeveelheid verschillende functies van het formulier dan zal de specifieke oplossing van de differentiaalvergelijking ook de som zijn van bepaalde oplossingen die afzonderlijk voor elke term aan de rechterkant zijn geconstrueerd.

voorbeeld 1

Los differentiaalvergelijking op y"" + y= zonde (2 x). Oplossing. We lossen eerst de overeenkomstige homogene vergelijking op y"" + y= 0. In dit geval zijn de wortels van de karakteristieke vergelijking puur denkbeeldig: Daarom wordt de algemene oplossing van de homogene vergelijking gegeven door Laten we weer terugkeren naar de inhomogene vergelijking. We zullen de oplossing zoeken in de vorm met behulp van de methode van variatie van constanten. Functies C 1 (x) en C 2 (x) kan worden gevonden uit het volgende stelsel vergelijkingen: We drukken de afgeleide uit C 1 " (x) uit de eerste vergelijking: Substitueren in de tweede vergelijking, vinden we de afgeleide C 2 " (x): Hieruit volgt dat Uitdrukkingen voor afgeleiden integreren C 1 " (x) en C 2 " (x), we krijgen: waar EEN 1 , EEN 2 integratieconstanten. Nu vervangen we de gevonden functies C 1 (x) en C 2 (x) in de formule voor ja 1 (x) en schrijf de algemene oplossing van de inhomogene vergelijking:

Voorbeeld 2

Vind een algemene oplossing voor de vergelijking j"" + j" −6ja = 36x. Oplossing. Laten we de methode van onbepaalde coëfficiënten gebruiken. De rechterkant van de gegeven vergelijking is een lineaire functie f(x)= bijl + b. Daarom zullen we zoeken naar een bepaalde oplossing in de vorm De afgeleiden zijn: Als we dit in de differentiaalvergelijking invullen, krijgen we: De laatste vergelijking is een identiteit, dat wil zeggen, het is geldig voor iedereen x, dus we stellen de coëfficiënten van de termen gelijk aan dezelfde machten x aan de linker- en rechterkant: Uit het resulterende systeem vinden we: EEN = −6, B= −1. Als gevolg hiervan wordt de specifieke oplossing geschreven in de vorm Laten we nu de algemene oplossing van de homogene differentiaalvergelijking zoeken. Laten we de wortels van de hulpkenmerkvergelijking berekenen: Daarom heeft de algemene oplossing van de overeenkomstige homogene vergelijking de vorm: Dus de algemene oplossing van de oorspronkelijke inhomogene vergelijking wordt uitgedrukt door de formule

Algemene integraal van DE.

Los differentiaalvergelijking op

Maar het grappige is dat het antwoord al bekend is: om precies te zijn, we moeten ook een constante toevoegen: de algemene integraal is een oplossing van de differentiaalvergelijking.

Wijze van variatie van willekeurige constanten. Voorbeelden van oplossingen

De methode van variatie van willekeurige constanten wordt gebruikt om inhomogene differentiaalvergelijkingen op te lossen. Deze les is bedoeld voor studenten die al min of meer vertrouwd zijn met het onderwerp. Als u net begint met de afstandsbediening te leren kennen, d.w.z. Als je een theepot bent, raad ik aan te beginnen met de eerste les: Differentiaalvergelijkingen van de eerste orde. Voorbeelden van oplossingen. En als je al klaar bent, gooi dan alsjeblieft het mogelijke vooroordeel weg dat de methode moeilijk is. Omdat hij eenvoudig is.

In welke gevallen wordt de methode van variatie van willekeurige constanten gebruikt?

1) De methode van variatie van een willekeurige constante kan worden gebruikt om op te lossen lineaire inhomogene DE van de 1e orde. Aangezien de vergelijking van de eerste orde is, is de constante (constante) ook één.

2) De methode van variatie van willekeurige constanten wordt gebruikt om een ​​aantal op te lossen: lineaire inhomogene vergelijkingen van de tweede orde. Hier variëren twee constanten (constanten).

Het is logisch om aan te nemen dat de les uit twee paragrafen zal bestaan ​​.... Ik schreef dit voorstel en ongeveer 10 minuten dacht ik pijnlijk na over wat andere slimme onzin toe te voegen voor een soepele overgang naar praktische voorbeelden. Maar om de een of andere reden zijn er geen gedachten na de vakantie, hoewel het lijkt alsof ik niets heb misbruikt. Dus laten we meteen naar de eerste alinea springen.

Willekeurige constante variatiemethode voor een lineaire inhomogene eerste-orde vergelijking

Alvorens de methode van variatie van een willekeurige constante te overwegen, is het wenselijk om bekend te zijn met het artikel Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde. In die les oefenden we eerste manier om op te lossen inhomogene DE van de 1e orde. Deze eerste oplossing, ik herinner u eraan, heet vervangingsmethode: of Bernoulli-methode(niet te verwarren met Bernoulli-vergelijking!!!)

We zullen nu overwegen: tweede manier om op te lossen– methode van variatie van een willekeurige constante. Ik zal slechts drie voorbeelden geven, en ik zal ze uit de bovenstaande les halen. Waarom zo weinig? Omdat in feite de oplossing op de tweede manier erg zal lijken op de oplossing op de eerste manier. Bovendien wordt volgens mijn observaties de methode van variatie van willekeurige constanten minder vaak gebruikt dan de vervangingsmethode.

voorbeeld 1

Zoek de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking (Diffur uit voorbeeld nr. 2 van de les) Lineaire inhomogene DE van de 1e orde)

Oplossing: Deze vergelijking is lineair inhomogeen en heeft een bekende vorm:

In de eerste fase is het noodzakelijk om een ​​eenvoudigere vergelijking op te lossen: dat wil zeggen, we stellen domweg de rechterkant opnieuw in - in plaats daarvan schrijven we nul. De vergelijking die ik zal noemen hulpvergelijking.

In dit voorbeeld moet u de volgende hulpvergelijking oplossen:

Voor ons scheidbare vergelijking, waarvan de oplossing (hoop ik) niet langer moeilijk voor je is:

Dus: is de algemene oplossing van de hulpvergelijking .

Op de tweede stap vervangen een constante van wat nog onbekende functie die afhangt van "x":

Vandaar de naam van de methode - we variëren de constante. Als alternatief kan de constante een functie zijn die we nu moeten vinden.

BIJ voorletter niet-homogene vergelijking, zullen we de vervanging maken:

Vervang in de vergelijking:

controlemoment - de twee termen aan de linkerkant annuleren. Als dit niet gebeurt, moet u de bovenstaande fout zoeken.

Als resultaat van de vervanging wordt een vergelijking met scheidbare variabelen verkregen. Scheid variabelen en integreer.

Wat een zegen, ook de exponenten krimpen:

We voegen een "normale" constante toe aan de gevonden functie:

In de laatste fase herinneren we onze vervanger:

Functie zojuist gevonden!

De algemene oplossing is dus:

Antwoorden: gemeenschappelijke beslissing:

Als je de twee oplossingen uitprint, zul je snel merken dat we in beide gevallen dezelfde integralen hebben gevonden. Het enige verschil zit in het oplossingsalgoritme.

Nu iets ingewikkelder, ik zal ook commentaar geven op het tweede voorbeeld:

Voorbeeld 2

Zoek de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking (Diffur uit voorbeeld nr. 8 van de les) Lineaire inhomogene DE van de 1e orde)

Oplossing: Laten we de vergelijking naar de vorm brengen:

Zet de rechterkant op nul en los de hulpvergelijking op:

Scheid variabelen en integreer: Algemene oplossing van de hulpvergelijking:

In de inhomogene vergelijking maken we de substitutie:

Volgens de productdifferentiatieregel:

Vervang en in de oorspronkelijke inhomogene vergelijking:

De twee termen aan de linkerkant heffen elkaar op, wat betekent dat we op de goede weg zijn:

We integreren in delen. Een smakelijke letter uit de formule voor integratie in delen zit al in de oplossing, daarom gebruiken we bijvoorbeeld de letters "a" en "be":

Eventueel:

Laten we nu kijken naar de vervanging:

Antwoorden: gemeenschappelijke beslissing:

Methode van variatie van willekeurige constanten voor een lineaire inhomogene tweede orde vergelijking met constante coëfficiënten

Men hoorde vaak de mening dat de methode van variatie van willekeurige constanten voor een vergelijking van de tweede orde niet eenvoudig is. Maar ik denk het volgende: hoogstwaarschijnlijk lijkt de methode voor velen moeilijk, omdat het niet zo gebruikelijk is. Maar in werkelijkheid zijn er geen specifieke problemen - het verloop van de beslissing is duidelijk, transparant en begrijpelijk. En mooi.

Om de methode onder de knie te krijgen, is het wenselijk om inhomogene vergelijkingen van de tweede orde op te lossen door een bepaalde oplossing te selecteren volgens de vorm van de rechterkant. Deze methode wordt in het artikel in detail besproken. Inhomogene DE van de 2e orde. We herinneren ons dat een lineaire inhomogene vergelijking van de tweede orde met constante coëfficiënten de vorm heeft:

De selectiemethode, die in de bovenstaande les is besproken, werkt alleen in een beperkt aantal gevallen, wanneer polynomen, exponenten, sinussen en cosinuslijnen aan de rechterkant staan. Maar wat te doen als aan de rechterkant, bijvoorbeeld een breuk, logaritme, tangens? In een dergelijke situatie komt de methode van variatie van constanten te hulp.

Voorbeeld 4

Vind de algemene oplossing van een differentiaalvergelijking van de tweede orde

Oplossing: Er staat een breuk aan de rechterkant van deze vergelijking, dus we kunnen meteen zeggen dat de methode om een ​​bepaalde oplossing te selecteren niet werkt. We gebruiken de methode van variatie van willekeurige constanten.

Niets voorspelt onweer, het begin van de oplossing is heel gewoon:

Laten we vinden gemeenschappelijke beslissing overeenkomend homogeen vergelijkingen:

We stellen de karakteristieke vergelijking op en lossen deze op: – geconjugeerde complexe wortels worden verkregen, dus de algemene oplossing is:

Besteed aandacht aan het record van de algemene oplossing - als er haakjes zijn, open ze dan.

Nu doen we bijna dezelfde truc als voor de eerste-ordevergelijking: we variëren de constanten en vervangen ze door onbekende functies. Dat is, algemene oplossing van de inhomogene We zoeken vergelijkingen in de vorm:

Waar - nog onbekende functies.

Het ziet eruit als een vuilnisbelt, maar nu gaan we alles sorteren.

Derivaten van functies fungeren als onbekenden. Ons doel is om afgeleiden te vinden, en de gevonden afgeleiden moeten voldoen aan zowel de eerste als de tweede vergelijking van het systeem.

Waar komen "spelletjes" vandaan? De ooievaar brengt ze. We kijken naar de eerder verkregen algemene oplossing en schrijven:

Laten we derivaten zoeken:

Behandeld met de linkerkant. Wat is er aan de rechterkant?

is de rechterkant van de oorspronkelijke vergelijking, in dit geval:

Dit artikel onthult de kwestie van het oplossen van lineaire inhomogene differentiaalvergelijkingen van de tweede orde met constante coëfficiënten. De theorie wordt behandeld samen met voorbeelden van de gegeven problemen. Om onbegrijpelijke termen te ontcijferen, is het noodzakelijk om te verwijzen naar het onderwerp van de basisdefinities en concepten van de theorie van differentiaalvergelijkingen.

Overweeg een lineaire differentiaalvergelijking (LDE) van de tweede orde met constante coëfficiënten van de vorm y "" + p y " + q y \u003d f (x) , waarbij p en q willekeurige getallen zijn, en de bestaande functie f (x) is continu op het integratie-interval x .

Laten we overgaan tot de formulering van de algemene oplossingsstelling voor LIDE.

Yandex.RTB RA-339285-1

Algemene oplossingsstelling voor LDNU

De algemene oplossing, gelegen op het interval x, van een inhomogene differentiaalvergelijking van de vorm y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) met continue integratiecoëfficiënten op x interval f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) en een continue functie f (x) is gelijk aan de som van de algemene oplossing y 0 , die overeenkomt met de LODE, en een bepaalde oplossing y ~ , waarbij de oorspronkelijke inhomogene vergelijking y = y 0 is + y ~ .

Dit laat zien dat de oplossing van zo'n tweede-orde vergelijking de vorm y = y 0 + y ~ heeft. Het algoritme voor het vinden van y 0 wordt beschouwd in het artikel over lineaire homogene differentiaalvergelijkingen van de tweede orde met constante coëfficiënten. Daarna moet men overgaan tot de definitie van y ~ .

De keuze van een bepaalde oplossing voor de LIDE hangt af van het type beschikbare functie f (x) aan de rechterkant van de vergelijking. Om dit te doen, is het noodzakelijk om de oplossingen van lineaire inhomogene differentiaalvergelijkingen van de tweede orde met constante coëfficiënten afzonderlijk te beschouwen.

Wanneer f (x) wordt beschouwd als een polynoom van de n-de graad f (x) = P n (x) , volgt daaruit dat een bepaalde oplossing van de LIDE wordt gevonden door een formule van de vorm y ~ = Q n (x ) x γ , waarbij Q n ( x) een polynoom is van graad n, r is het aantal nulwortels van de karakteristieke vergelijking. De waarde van y ~ is een bepaalde oplossing y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , dan de beschikbare coëfficiënten, die worden gedefinieerd door de polynoom
Q n (x) , vinden we met behulp van de methode van onbepaalde coëfficiënten van de gelijkheid y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

voorbeeld 1

Bereken met behulp van de stelling van Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Oplossing

Met andere woorden, het is noodzakelijk om over te gaan tot een bepaalde oplossing van een lineaire inhomogene differentiaalvergelijking van de tweede orde met constante coëfficiënten y "" - 2 y " = x 2 + 1 , die zal voldoen aan de gegeven voorwaarden y (0) = 2 , j " (0) = 1 4 .

De algemene oplossing van een lineaire inhomogene vergelijking is de som van de algemene oplossing die overeenkomt met de vergelijking y 0 of een bepaalde oplossing van de inhomogene vergelijking y ~ , dat wil zeggen y = y 0 + y ~ .

Laten we eerst een algemene oplossing zoeken voor de LNDE, en dan een specifieke.

Laten we verder gaan met het vinden van y 0 . Het schrijven van de karakteristieke vergelijking zal helpen bij het vinden van de wortels. We snappen dat

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

We ontdekten dat de wortels anders en echt zijn. Daarom schrijven we

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

Laten we y ~ vinden. Het is te zien dat de rechterkant van de gegeven vergelijking een polynoom van de tweede graad is, dan is een van de wortels gelijk aan nul. Vanaf hier krijgen we dat een bepaalde oplossing voor y ~ zal zijn

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, waarbij de waarden van A, B, C neem ongedefinieerde coëfficiënten.

Laten we ze vinden vanuit een gelijkheid van de vorm y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Dan krijgen we dat:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Als we de coëfficiënten gelijkstellen aan dezelfde exponenten x , krijgen we een stelsel van lineaire uitdrukkingen - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Bij het oplossen op een van de manieren vinden we de coëfficiënten en schrijven: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 en y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Deze invoer wordt de algemene oplossing van de oorspronkelijke lineaire inhomogene differentiaalvergelijking van de tweede orde met constante coëfficiënten genoemd.

Om een ​​bepaalde oplossing te vinden die voldoet aan de voorwaarden y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , is het nodig om de waarden te bepalen C1 en C2, gebaseerd op een gelijkheid van de vorm y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

We krijgen dat:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

We werken met het resulterende stelsel vergelijkingen van de vorm C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , waarbij C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

Als we de stelling van Cauchy toepassen, hebben we dat

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Antwoorden: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Wanneer de functie f (x) wordt weergegeven als een product van een polynoom met graad n en een exponent f (x) = P n (x) e a x , dan verkrijgen we hier dat een bepaalde oplossing van de tweede-orde LIDE zal zijn een vergelijking van de vorm y ~ = e a x Q n ( x) · x γ , waarbij Q n (x) een polynoom van de n-de graad is, en r het aantal wortels van de karakteristieke vergelijking gelijk aan α is.

De coëfficiënten behorende bij Q n (x) worden gevonden door de gelijkheid y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Voorbeeld 2

Vind de algemene oplossing van een differentiaalvergelijking van de vorm y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Oplossing

Algemene vergelijking y = y 0 + y ~ . De aangegeven vergelijking komt overeen met de LOD y "" - 2 y " = 0. Het vorige voorbeeld laat zien dat de wortels zijn k1 = 0 en k 2 = 2 en y 0 = C 1 + C 2 e 2 x volgens de karakteristieke vergelijking.

Het is te zien dat de rechterkant van de vergelijking x 2 + 1 · e x is. Vanaf hier wordt LNDE gevonden via y ~ = e a x Q n (x) x γ , waarbij Q n (x) , wat een polynoom van de tweede graad is, waarbij α = 1 en r = 0 , omdat de karakteristieke vergelijking niet hebben een wortel gelijk aan 1. Vandaar dat we dat krijgen

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .

A, B, C zijn onbekende coëfficiënten, die gevonden kunnen worden door de gelijkheid y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .

Heb het

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

We stellen de indicatoren voor dezelfde coëfficiënten gelijk en verkrijgen een stelsel lineaire vergelijkingen. Vanaf hier vinden we A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 A = - 1 B = 0 C = - 3

Antwoorden: het is te zien dat y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 is een bepaalde oplossing van LIDE, en y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

Als de functie wordt geschreven als f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x , en een 1 en IN 1 zijn getallen, dan een vergelijking van de vorm y ~ = A cos β x + B sin β x x γ , waarbij A en B worden beschouwd als onbepaalde coëfficiënten, en r het aantal complexe geconjugeerde wortels gerelateerd aan de karakteristieke vergelijking, gelijk aan ± ik . In dit geval wordt het zoeken naar coëfficiënten uitgevoerd door de gelijkheid y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Voorbeeld 3

Vind de algemene oplossing van een differentiaalvergelijking van de vorm y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Oplossing

Voordat we de karakteristieke vergelijking schrijven, vinden we y 0 . Dan

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i

We hebben een paar complexe geconjugeerde wortels. Laten we transformeren en krijgen:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

De wortels van de karakteristieke vergelijking worden beschouwd als een geconjugeerd paar ± 2 i , dan is f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Dit laat zien dat de zoektocht naar y ~ zal worden gedaan vanuit y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Onbekenden coëfficiënten A en B zullen worden gezocht vanuit een gelijkheid van de vorm y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Laten we transformeren:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Dan wordt gezien dat

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

Het is noodzakelijk om de coëfficiënten van sinus en cosinus gelijk te stellen. We krijgen een systeem van de vorm:

4 A = 3 4 B = 1 A = - 3 4 B = 1 4

Hieruit volgt dat y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .

Antwoorden: de algemene oplossing van de oorspronkelijke LIDE van de tweede orde met constante coëfficiënten wordt beschouwd als

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Als f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , dan is y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x ) cos (β x) x γ We hebben dat r het aantal complexe geconjugeerde wortelparen is gerelateerd aan de karakteristieke vergelijking, gelijk aan α ± i β , waarbij P n (x) , Q k (x) , L m ( x) en Nm (x) zijn veeltermen van graad n, k, m, waarbij m = m een ​​x (n, k). Coëfficiënten vinden Lm (x) en Nm (x) wordt geproduceerd op basis van de gelijkheid y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Voorbeeld 4

Vind de algemene oplossing y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Oplossing

Uit de voorwaarde blijkt duidelijk dat:

α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

Dan is m = m a x (n , k) = 1 . We vinden y 0 door eerst de karakteristieke vergelijking van de vorm te schrijven:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

We ontdekten dat de wortels echt en duidelijk zijn. Dus y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Vervolgens moet een algemene oplossing worden gezocht op basis van een inhomogene vergelijking y ~ van de vorm

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) zonde (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) zonde (5 x))

Het is bekend dat A, B, C coëfficiënten zijn, r = 0, omdat er geen paar geconjugeerde wortels zijn gerelateerd aan de karakteristieke vergelijking met α ± i β = 3 ± 5 · i . Deze coëfficiënten worden gevonden uit de resulterende gelijkheid:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) zonde (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) zonde (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) zonde (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Het vinden van de afgeleide en soortgelijke termen geeft

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

Na het gelijkstellen van de coëfficiënten, verkrijgen we een systeem van de vorm

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Uit alles volgt dat

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1)zonde(5x))

Antwoorden: nu is de algemene oplossing van de gegeven lineaire vergelijking verkregen:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) zonde (5 x))

Algoritme voor het oplossen van LDNU

Elke andere functie f (x) voor de oplossing voorziet in het oplossingsalgoritme:

• het vinden van de algemene oplossing van de overeenkomstige lineaire homogene vergelijking, waarbij y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , waarbij y 1 en y2 zijn lineair onafhankelijke bepaalde oplossingen van LODE, Vanaf 1 en Vanaf 2 worden beschouwd als willekeurige constanten;
• aanvaarding als algemene oplossing van de LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• definitie van afgeleiden van een functie door een systeem van de vorm C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) , en het vinden van functies C1 (x) en C2(x) door integratie.

Voorbeeld 5

Vind de algemene oplossing voor y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .

Oplossing

We gaan verder met het schrijven van de karakteristieke vergelijking, nadat we eerder y 0 , y "" + 36 y = 0 hebben geschreven. Laten we schrijven en oplossen:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = zonde (6 x)

We hebben dat het record van de algemene oplossing van de gegeven vergelijking de vorm zal aannemen y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . Het is noodzakelijk om door te gaan naar de definitie van afgeleide functies C1 (x) en C2(x) volgens het systeem met vergelijkingen:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Er moet een besluit worden genomen over C1"(x) en C2" (x) met behulp van welke methode dan ook. Dan schrijven we:

C 1 "(x) \u003d - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 en 6 x cos (6 x)

Elk van de vergelijkingen moet worden geïntegreerd. Dan schrijven we de resulterende vergelijkingen:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x zonde (6 x) + C 4

Hieruit volgt dat de algemene oplossing de vorm zal hebben:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x zonde (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 zonde (6 x)

Antwoorden: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter