Orthogonaal projectiegebied. Ontwikkeling van "Gedetailleerd bewijs van de stelling over de orthogonale projectie van een veelhoek" (graad 10)

Denk eens aan een vliegtuig P en de rechte lijn die deze snijdt . Laten A - een willekeurig punt in de ruimte. Laten we een rechte lijn door dit punt trekken , evenwijdig aan de lijn . Laten . Punt heet de projectie van een punt A naar het vliegtuig P met een parallel ontwerp langs een gegeven rechte lijn . Vliegtuig P , waarop de punten in de ruimte worden geprojecteerd, wordt het projectievlak genoemd.

p - projectievlak;

- direct ontwerp; ;

; ; ;

Orthogonaal ontwerp is een speciaal geval van parallel ontwerp. Orthogonaal ontwerp is een parallel ontwerp waarbij de ontwerplijn loodrecht op het projectievlak staat. Orthogonaal ontwerp wordt veel gebruikt bij technisch tekenen, waarbij een figuur op drie vlakken wordt geprojecteerd: horizontaal en twee verticaal.

Definitie: Orthogonale projectie van een punt M naar het vliegtuig P de basis genoemd M 1 loodrecht MM 1, viel van het punt M naar het vliegtuig P.

Aanduiding: , , .

Definitie: Orthogonale projectie van een figuur F naar het vliegtuig P is de verzameling van alle punten van het vlak die orthogonale projecties zijn van de verzameling punten van de figuur F naar het vliegtuig P.

Orthogonaal ontwerp heeft, als speciaal geval van parallel ontwerp, dezelfde eigenschappen:

p - projectievlak;

- direct ontwerp; ;

1) ;

2) , .

1. Projecties van evenwijdige lijnen zijn evenwijdig.

PROJECTIEGEBIED VAN EEN PLATTE FIGUUR

Stelling: Het gebied van de projectie van een vlakke veelhoek op een bepaald vlak is gelijk aan het gebied van de geprojecteerde veelhoek vermenigvuldigd met de cosinus van de hoek tussen het vlak van de veelhoek en het projectievlak.

Fase 1: De geprojecteerde figuur is een driehoek ABC, waarvan de zijde AC in het projectievlak a ligt (parallel aan het projectievlak a).

Gegeven:

Bewijzen:

Bewijs:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. Volgens de stelling van drie loodlijnen;

BD – hoogte; B 1 D – hoogte;

5. – lineaire hoek van de tweevlakshoek;

6. ; ; ; ;

Fase 2: De geprojecteerde figuur is een driehoek ABC, waarvan geen enkele zijde in het projectievlak a ligt en niet evenwijdig daaraan is.

Gegeven:

Bewijzen:

Bewijs:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(Fase 1);

5. ; ; ;

(Fase 1);

Fase: De ontworpen figuur is een willekeurige veelhoek.

Bewijs:

De veelhoek wordt gedeeld door diagonalen die vanuit één hoekpunt worden getrokken in een eindig aantal driehoeken, voor elk waarvan de stelling waar is. Daarom zal de stelling ook gelden voor de som van de oppervlakten van alle driehoeken waarvan de vlakken dezelfde hoek vormen met het projectievlak.

Opmerking: De bewezen stelling geldt voor elke vlakke figuur die wordt begrensd door een gesloten curve.

Opdrachten:

1. Zoek de oppervlakte van een driehoek waarvan het vlak schuin ten opzichte van het projectievlak staat, als de projectie een regelmatige driehoek is met zijde a.

2. Zoek de oppervlakte van een driehoek waarvan het vlak schuin ten opzichte van het projectievlak staat, als de projectie een gelijkbenige driehoek is met een zijde van 10 cm en een basis van 12 cm.

3. Zoek de oppervlakte van een driehoek waarvan het vlak schuin ten opzichte van het projectievlak staat, als de projectie een driehoek is met zijden 9, 10 en 17 cm.

4. Bereken de oppervlakte van een trapezium, waarvan het vlak schuin ten opzichte van het projectievlak staat, als de projectie een gelijkbenig trapezium is, waarvan de grootste basis 44 cm is, de zijkant 17 cm en de diagonaal bedraagt ​​39 cm.

5. Bereken het projectieoppervlak van een regelmatige zeshoek met een zijde van 8 cm, waarvan het vlak schuin ten opzichte van het projectievlak staat.

6. Een ruit met een zijde van 12 cm en een scherpe hoek vormt een hoek met een gegeven vlak. Bereken het gebied van de projectie van de ruit op dit vlak.

7. Een ruit met een zijde van 20 cm en een diagonaal van 32 cm vormt een hoek met een gegeven vlak. Bereken het gebied van de projectie van de ruit op dit vlak.

8. De projectie van een baldakijn op een horizontaal vlak is een rechthoek met zijden en . Zoek de oppervlakte van de overkapping als de zijvlakken gelijke rechthoeken zijn die schuin ten opzichte van het horizontale vlak staan, en het middelste deel van de overkapping een vierkant is evenwijdig aan het projectievlak.

11. Oefeningen over het onderwerp “Lijnen en vlakken in de ruimte”:

De zijden van de driehoek zijn gelijk aan 20 cm, 65 cm, 75 cm. Vanaf het hoekpunt van de grootste hoek van de driehoek wordt een loodlijn gelijk aan 60 cm naar het vlak getrokken. Zoek de afstand vanaf de uiteinden van de loodlijn tot de grootste zijde van de driehoek.

2. Vanaf een punt op een afstand van cm van het vlak worden twee hellende punten getekend, die hoeken vormen met het vlak gelijk aan , en een rechte hoek daartussen. Bereken de afstand tussen de snijpunten van de hellende vlakken.

3. De zijde van een regelmatige driehoek is 12 cm. Punt M wordt zo gekozen dat de segmenten die punt M verbinden met alle hoekpunten van de driehoek hoeken vormen met zijn vlak. Bereken de afstand van punt M tot de hoekpunten en zijden van de driehoek.

4. Er wordt een vlak door de zijkant van het vierkant getrokken, onder een hoek met de diagonaal van het vierkant. Zoek de hoeken waaronder twee zijden van het vierkant hellen ten opzichte van het vlak.

5. Het been van een gelijkbenige rechthoekige driehoek helt ten opzichte van het vlak dat onder een hoek door de hypotenusa gaat. Bewijs dat de hoek tussen vlak a en het vlak van de driehoek gelijk is aan .

6. De tweevlakshoek tussen de vlakken van driehoeken ABC en DBC is gelijk aan . Zoek AD als AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.

Testvragen over het onderwerp “Lijnen en vlakken in de ruimte”

1. Noem de basisconcepten van stereometrie. Formuleer de axioma's van stereometrie.

2. Bewijs de gevolgen van de axioma's.

3. Wat is de relatieve positie van twee lijnen in de ruimte? Geef definities van kruisende, evenwijdige en scheve lijnen.

4. Bewijs het teken van scheve lijnen.

5. Wat is de relatieve positie van de lijn en het vlak? Geef definities van elkaar kruisende, evenwijdige lijnen en vlakken.

6. Bewijs het teken van parallellisme tussen een lijn en een vlak.

7. Wat is de relatieve positie van de twee vlakken?

8. Definieer evenwijdige vlakken. Bewijs een teken dat twee vlakken evenwijdig zijn. Stel stellingen over evenwijdige vlakken.

9. Definieer de hoek tussen rechte lijnen.

10. Bewijs het teken van de loodrechtheid van een lijn en een vlak.

11. Definieer de basis van een loodlijn, de basis van een hellende lijn, de projectie van een hellende lijn op een vlak. Formuleer de eigenschappen van loodrechte en hellende lijnen die vanuit één punt op een vlak vallen.

12. Definieer de hoek tussen een rechte lijn en een vlak.

13. Bewijs de stelling over drie loodlijnen.

14. Geef definities van tweevlakshoek, lineaire hoek van tweevlakshoek.

15. Bewijs het teken van loodrechtheid van twee vlakken.

16. Definieer de afstand tussen twee verschillende punten.

17. Definieer de afstand van een punt tot een lijn.

18. Definieer de afstand van een punt tot een vlak.

19. Definieer de afstand tussen een rechte lijn en een vlak dat evenwijdig daaraan loopt.

20. Definieer de afstand tussen parallelle vlakken.

21. Definieer de afstand tussen kruisende lijnen.

22. Definieer de orthogonale projectie van een punt op een vlak.

23. Definieer de orthogonale projectie van een figuur op een vlak.

24. Formuleer de eigenschappen van projecties op een vlak.

25. Formuleer en bewijs een stelling over het projectiegebied van een vlakke veelhoek.

Gedetailleerd bewijs van de orthogonale projectiestelling van de veelhoek

If is de projectie van een flat N -gon naar een vlak, waar is dan de hoek tussen de vlakken van de veelhoeken en. Met andere woorden: het projectiegebied van een vlakke veelhoek is gelijk aan het product van de oppervlakte van de geprojecteerde veelhoek en de cosinus van de hoek tussen het projectievlak en het vlak van de geprojecteerde veelhoek.

Bewijs. I fase. Laten we eerst het bewijs voor een driehoek uitvoeren. Laten we 5 gevallen bekijken.

1 geval. liggen in het projectievlak .

Laten dit respectievelijk de projecties van punten op het vlak zijn. In ons geval. Laten we dat aannemen. Laat de hoogte zijn, dan kunnen we door de stelling van drie loodlijnen concluderen dat - de hoogte (- de projectie van de hellende, - de basis en de rechte lijn die door de basis van de hellende lijn gaat, en).

Laat ons nadenken. Het is rechthoekig. Per definitie van cosinus:

Aan de andere kant, aangezien en, dan is per definitie de lineaire hoek van de tweevlakshoek gevormd door de halve vlakken van de vlakken en met de grenslijn, en daarom is de maat ervan ook de maat van de hoek tussen de vlakken van de projectie van de driehoek en de driehoek zelf dus.

Laten we de verhouding van het gebied vinden:

Merk op dat de formule waar blijft, zelfs wanneer. In dit geval

Geval 2. Ligt alleen in het projectievlak en is evenwijdig aan het projectievlak .

Laten dit respectievelijk de projecties van punten op het vlak zijn. In ons geval.

Laten we een rechte lijn door het punt trekken. In ons geval snijdt de rechte lijn het projectievlak, wat volgens het lemma betekent dat de rechte lijn ook het projectievlak snijdt. Laat het op het punt Sinds zijn, dan liggen de punten in hetzelfde vlak, en aangezien het evenwijdig is aan het projectievlak, volgt het als gevolg van het teken van evenwijdigheid van de lijn en het vlak dat. Daarom is het een parallellogram. Laten we overwegen en. Ze zijn aan drie zijden gelijk (de gemeenschappelijke zijde is als de tegenoverliggende zijden van een parallellogram). Merk op dat een vierhoek een rechthoek is en gelijk is (op het been en de hypotenusa), dus aan drie zijden gelijk. Daarom.

Voor toepasselijk geval 1: , d.w.z..

Geval 3. Ligt alleen in het projectievlak en is niet evenwijdig aan het projectievlak .

Laat het punt het snijpunt zijn van de lijn met het projectievlak. Merk op dat en. In 1 geval: i. Zo krijgen wij dat

Geval 4 De hoekpunten liggen niet in het projectievlak . Laten we naar de loodlijnen kijken. Laten we de kleinste van deze loodlijnen nemen. Laat het loodrecht zijn. Het kan blijken dat het alleen of alleen is. Dan nemen we het toch mee.

Laten we een punt opzij zetten van een punt op een lijnstuk, zodat, en van een punt op een lijnstuk, een punt, zodat. Deze constructie is mogelijk omdat deze de kleinste van de loodlijnen is. Merk op dat dit een projectie is van en, door constructie. Laten we dat bewijzen en gelijk zijn.

Beschouw een vierhoek. Volgens de voorwaarde - loodlijnen op één vlak, dus volgens de stelling, dus. Omdat we door constructie en vervolgens op basis van de kenmerken van een parallellogram (door evenwijdige en gelijke tegenoverliggende zijden) kunnen concluderen dat het een parallellogram is. Middelen, . Op soortgelijke wijze is bewezen dat . Daarom, en zijn aan drie kanten gelijk. Daarom. Merk op dat en, als tegenoverliggende zijden van parallellogrammen, daarom gebaseerd op het parallellisme van de vlakken, . Omdat deze vlakken evenwijdig zijn, vormen ze dezelfde hoek met het projectievlak.

De voorgaande gevallen zijn van toepassing:.

Geval 5 Het projectievlak snijdt de zijkanten . Laten we naar rechte lijnen kijken. Ze staan ​​loodrecht op het projectievlak, dus volgens de stelling zijn ze evenwijdig. Op codirectionele stralen met een oorsprong in punten zullen we respectievelijk gelijke segmenten uitzetten, zodat de hoekpunten buiten het projectievlak liggen. Merk op dat dit een projectie is van en, door constructie. Laten we laten zien dat het gelijk is.

Sindsdien en, door de bouw, toen. Daarom is het, volgens het kenmerk van een parallellogram (op twee gelijke en evenwijdige zijden), een parallellogram. Het wordt op een vergelijkbare manier bewezen dat en parallellogrammen zijn. Maar dan zijn en (als tegenoverliggende zijden) dus aan drie zijden gelijk. Middelen, .

Bovendien, en daarom gebaseerd op het parallellisme van de vlakken. Omdat deze vlakken evenwijdig zijn, vormen ze dezelfde hoek met het projectievlak.

Voor toepasselijk geval 4:.

II fase. Laten we een platte veelhoek in driehoeken verdelen met behulp van diagonalen getrokken vanaf het hoekpunt: Vervolgens, volgens de voorgaande gevallen voor driehoeken: .

QED

Bij meetkundeproblemen hangt succes niet alleen af ​​van kennis van de theorie, maar ook van een tekening van hoge kwaliteit.
Met platte tekeningen is alles min of meer duidelijk. Maar in stereometrie is de situatie ingewikkelder. Het is tenslotte noodzakelijk om af te beelden driedimensionaal lichaam aan vlak tekening, en zodat zowel jijzelf als de persoon die naar je tekening kijkt hetzelfde volumetrische lichaam zien.

Hoe je dat doet?
Natuurlijk zal elk beeld van een volumetrisch lichaam in een vlak voorwaardelijk zijn. Er is echter een bepaald stel regels. Er is een algemeen aanvaarde manier om tekeningen te maken: parallelle projectie.

Laten we een volumetrisch lichaam nemen.
Laten we kiezen projectie vlak.
Door elk punt van het volumetrische lichaam trekken we rechte lijnen evenwijdig aan elkaar en die het projectievlak onder elke hoek snijden. Elk van deze lijnen snijdt op een bepaald punt het projectievlak. En alles bij elkaar vormen deze punten projectie van een volumetrisch lichaam op een vlak, dat wil zeggen het platte beeld ervan.

Hoe projecties van volumetrische lichamen construeren?
Stel je voor dat je een frame hebt van een volumetrisch lichaam - een prisma, piramide of cilinder. Door het te verlichten met een parallelle lichtstraal, krijgen we een beeld: een schaduw op de muur of op het scherm. Merk op dat vanuit verschillende hoeken verschillende afbeeldingen worden verkregen, maar dat er nog steeds enkele patronen aanwezig zijn:

De projectie van een segment zal een segment zijn.

Als het segment loodrecht op het projectievlak staat, wordt het uiteraard op één punt weergegeven.

In het algemene geval zal de projectie van een cirkel een ellips zijn.

De projectie van een rechthoek is een parallellogram.

Zo ziet de projectie van een kubus op een vlak eruit:

Hier zijn de voor- en achterkant evenwijdig aan het projectievlak

Je kunt het anders doen:

Welke hoek we ook kiezen, de projecties van parallelle segmenten in de tekening zullen ook parallelle segmenten zijn. Dit is een van de principes van parallelle projectie.

We tekenen projecties van de piramide,

cilinder:

Laten we nogmaals het basisprincipe van parallelle projectie herhalen. We selecteren een projectievlak en tekenen parallelle lijnen door elk punt van het volumetrische lichaam. Deze lijnen snijden het projectievlak onder elke hoek. Als deze hoek 90° is, hebben we het over rechthoekige projectie. Met behulp van rechthoekige projectie worden tekeningen van volumetrische onderdelen in de technologie geconstrueerd. In dit geval hebben we het over bovenaanzicht, vooraanzicht en zijaanzicht.

Hoofdstuk IV. Rechte lijnen en vlakken in de ruimte. Veelvlakken

§ 55. Projectiegebied van een veelhoek.

Laten we ons herinneren dat de hoek tussen een lijn en een vlak de hoek is tussen een gegeven lijn en zijn projectie op het vlak (Fig. 164).

Stelling. Het gebied van de orthogonale projectie van een veelhoek op een vlak is gelijk aan het gebied van de geprojecteerde veelhoek vermenigvuldigd met de cosinus van de hoek gevormd door het vlak van de veelhoek en het projectievlak.

Elke veelhoek kan worden verdeeld in driehoeken waarvan de som van de gebieden gelijk is aan de oppervlakte van de veelhoek. Daarom is het voldoende om de stelling voor een driehoek te bewijzen.

Laten /\ ABC wordt op een vlak geprojecteerd R. Laten we twee gevallen bekijken:
a) een van de partijen /\ ABC is evenwijdig aan het vlak R;
b) geen van beide partijen /\ ABC is niet parallel R.

Laat ons nadenken eerste geval: laat [AB] || R.

Laten we een vlak tekenen door (AB) R 1 || R en orthogonaal ontwerpen /\ ABC-aan R 1 en verder R(Afb. 165); we krijgen /\ ABC1 en /\ ABC".
Door de projectie-eigenschap die we hebben /\ ABC1 /\ A"B"C", en daarom

S /\ ABC1=S /\ ABC"

Laten we _|_ en het segment D 1 C 1 tekenen. Dan is _|_ , a = φ de waarde van de hoek tussen het vlak /\ ABC en vliegtuig R 1. Daarom

S /\ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C1D1 | = 1 / 2 | AB | | CD1 | cos φ = S /\ ABC cos φ

en daarom S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.

Laten we verder gaan met nadenken tweede geval. Laten we een vlak tekenen R 1 || R over dat topje /\ ABC, de afstand tot het vlak R de kleinste (laat dit hoekpunt A zijn).
Laten we ontwerpen /\ ABC in een vliegtuig R 1 en R(Afb. 166); laat de projecties respectievelijk zijn /\ AB 1 C 1 en /\ ABC".

Laat (zon) P 1 = D. Dan

S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ

Taak. Een vlak wordt door de basiszijde van een regelmatig driehoekig prisma getrokken onder een hoek φ = 30° met het vlak van zijn basis. Zoek het gebied van de resulterende doorsnede als de zijkant van de basis van het prisma A= 6 cm.

Laten we de dwarsdoorsnede van dit prisma weergeven (Fig. 167). Omdat het prisma regelmatig is, staan ​​de zijkanten loodrecht op het vlak van de basis. Middelen, /\ ABC is een projectie /\ ADC dus