Lesontwikkelingsmethode van wiskundige inductie. Les "Methode van wiskundige inductie

Savelyeva Ekaterina

Het artikel beschouwt de toepassing van de methode van wiskundige inductie bij het oplossen van deelbaarheidsproblemen op de sommatie van reeksen. Voorbeelden van de toepassing van de methode van wiskundige inductie op het bewijs van ongelijkheden en op de oplossing van meetkundige problemen worden besproken. Het werk wordt geïllustreerd met een presentatie.

downloaden:

Voorbeeld:

Ministerie van Wetenschap en Onderwijs van de Russische Federatie

Staatsonderwijsinstelling

middelbare school nr. 618

Cursus: Algebra en het begin van analyse

Project werk onderwerp

"Methode van wiskundige inductie en de toepassing ervan op het oplossen van problemen"

Werk voltooid: Savelyeva E, 11B klasse

Leidinggevende : Makarova T.P., wiskundeleraar, middelbare school №618

1. Inleiding.

2. Methode van wiskundige inductie bij het oplossen van deelbaarheidsproblemen.

3. Toepassing van de methode van wiskundige inductie op het optellen van reeksen.

4. Voorbeelden van het toepassen van de methode van wiskundige inductie op het bewijs van ongelijkheden.

5. Toepassing van de methode van wiskundige inductie op de oplossing van geometrische problemen.

6. Lijst met gebruikte literatuur.

Invoering

Deductieve en inductieve methoden vormen de basis van elk wiskundig onderzoek. De deductieve manier van redeneren is redeneren van algemeen naar bijzonder, d.w.z. redenering, waarvan het uitgangspunt het algemene resultaat is en het laatste punt het bijzondere resultaat. Inductie wordt toegepast bij het overgaan van bepaalde resultaten naar algemene, d.w.z. is het tegenovergestelde van de deductieve methode. De methode van wiskundige inductie kan worden vergeleken met vooruitgang. We beginnen bij het laagste, door logisch denken komen we bij het hoogste. De mens heeft altijd gestreefd naar vooruitgang, naar het vermogen om zijn denken logisch te ontwikkelen, wat betekent dat de natuur hem heeft voorbestemd om inductief te denken. Hoewel het toepassingsgebied van de methode van wiskundige inductie is gegroeid, wordt er in het schoolcurriculum weinig tijd aan besteed, maar het is zo belangrijk om inductief te kunnen denken. De toepassing van dit principe bij het oplossen van problemen en het bewijzen van stellingen staat op één lijn met de overweging in de schoolpraktijk van andere wiskundige principes: het uitgesloten midden, inclusie-uitsluiting, Dirichlet, enz. Dit essay bevat problemen uit verschillende takken van de wiskunde, waarin het belangrijkste hulpmiddel is de gebruiksmethode van wiskundige inductie. Over het belang van deze methode gesproken, A.N. Kolmogorov merkte op dat "begrip en het vermogen om het principe van wiskundige inductie toe te passen een goed criterium is voor volwassenheid, wat absoluut noodzakelijk is voor een wiskundige." De methode van inductie in de breedste zin van het woord bestaat uit de overgang van particuliere waarnemingen naar een universeel, algemeen patroon of algemene formulering. In deze interpretatie is de methode natuurlijk de belangrijkste techniek om onderzoek te doen in elke experimentele natuurwetenschap.

menselijke activiteit. De methode (principe) van wiskundige inductie in zijn eenvoudigste vorm wordt gebruikt wanneer het nodig is om een ​​bewering voor alle natuurlijke getallen te bewijzen.

Probleem 1. In zijn artikel “How I Becam a Mathematician” A.N. Kolmogorov schrijft: "Ik leerde al vroeg het plezier van wiskundige 'ontdekking', toen ik op de leeftijd van vijf of zes jaar het patroon van

1 =1 2 ,

1 + 3 = 2 2 ,

1 + 3 + 5 \u003d W 2,

1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 enzovoort.

De school heeft het tijdschrift "Lentezwaluwen" uitgegeven. Daarin werd mijn ontdekking gepubliceerd ... "

We weten niet wat voor bewijs er in dit tijdschrift is gegeven, maar het begon allemaal met persoonlijke observaties. De hypothese zelf, die waarschijnlijk ontstond na de ontdekking van deze partiële gelijkheden, is dat de formule

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n 2

waar voor elk gegeven nummer n = 1, 2, 3, ...

Om dit vermoeden te bewijzen, volstaat het om twee feiten vast te stellen. Ten eerste, voor n = 1 (en zelfs voor n = 2, 3, 4) de gewenste bewering is waar. Stel ten tweede dat de bewering waar is voor: n = k, en verifieer dat dan ook geldt voor n = k + 1:

1 + 3 + 5+…+ (2k - 1) + (2k + 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)) + (2k + 1) = k 2 + (2k + 1) = (k + I) 2 .

Daarom is de bewering die wordt bewezen waar voor alle waarden n: voor n = 1 het is waar (dit is geverifieerd), en op grond van het tweede feit, voor n = 2, vanwaar voor n = 3 (vanwege hetzelfde tweede feit), enz.

Opgave 2. Beschouw alle mogelijke gewone breuken met teller 1 en elk (positief geheel getal)

noemer: Bewijs dat voor any n> 3 kan worden weergegeven als een som P verschillende fracties van dit soort.

Oplossing, Laten we eerst deze bewering controleren op: n = 3; wij hebben:

Daarom is aan de basisbewering voldaan

Stel nu dat de verklaring die voor ons van belang is waar is voor een bepaald aantal tot, en bewijs dat het ook waar is voor het nummer dat erop volgt tot + 1. Met andere woorden, stel dat er een representatie is

waarin k termen en alle noemers zijn verschillend. Laten we bewijzen dat het dan mogelijk is om een ​​voorstelling van de eenheid in de vorm van een som te krijgen van tot + 1 fracties van het gewenste type. We nemen aan dat de breuken afnemend zijn, dat wil zeggen de noemers (in de weergave van de eenheid door de som tot termen) verhogen van links naar rechts zodat t is de grootste van de noemers. We krijgen de representatie die we nodig hebben in de vorm van een som(tot + 1)de breuk, als we een breuk, bijvoorbeeld de laatste, in tweeën splitsen. Dit kan omdat

En daarom

Bovendien blijven alle breuken verschillend, aangezien t was de grootste noemer, en t + 1 > t, en

m(t + 1) > m.

Zo hebben we vastgesteld:

1. voor n = 3 deze bewering is waar;

1. als de verklaring waarin we geïnteresseerd zijn waar is voor tot,
   dan geldt het ook voor naar + 1.

Op basis hiervan kunnen we stellen dat de bewering in kwestie waar is voor alle natuurlijke getallen, beginnend bij drie. Bovendien impliceert het bovenstaande bewijs ook een algoritme voor het vinden van de gewenste eenheidspartitie. (Welk algoritme is dit? Stel jezelf het getal 1 voor als de som van 4, 5, 7 termen.)

Bij het oplossen van de vorige twee problemen werden twee stappen gezet. De eerste stap heet basis inductie, de tweedeinductieve overgangof een inductiestap. De tweede stap is de belangrijkste en omvat een aanname (de bewering is waar voor) n = k) en conclusie (de bewering is waar voor) n = k + 1). De parameter p zelf heet inductie parameter.Dit logische schema (apparaat), dat het mogelijk maakt om te concluderen dat de betreffende bewering waar is voor alle natuurlijke getallen (of voor alle, uitgaande van sommige), aangezien zowel de basis als de overgang geldig zijn, wordt genoemdhet principe van wiskundige inductie, waarop en de methode van wiskundige inductie is gebaseerd.De term "inductie" zelf komt van het Latijnse woord inductie (begeleiding), wat de overgang betekent van enkele kennis over individuele objecten van een bepaalde klasse naar een algemene conclusie over alle objecten van een bepaalde klasse, wat een van de belangrijkste methoden van kennis is.

Het principe van wiskundige inductie, in de gebruikelijke vorm van twee stappen, verscheen voor het eerst in 1654 in Blaise Pascal's verhandeling over de rekenkundige driehoek, waarin een eenvoudige methode voor het berekenen van het aantal combinaties (binomiale coëfficiënten) werd bewezen door inductie. D. Poya citeert B. Pascal in het boek met kleine wijzigingen tussen vierkante haken:

“Ondanks het feit dat de stelling in kwestie [een expliciete formule voor binomiale coëfficiënten] een oneindig aantal speciale gevallen bevat, zal ik er een heel kort bewijs voor geven, gebaseerd op twee lemma's.

Het eerste lemma stelt dat het vermoeden waar is voor de basis - dit is duidelijk. [Bij P = 1 de expliciete formule is geldig...]

Het tweede lemma stelt het volgende: als onze aanname waar is voor een willekeurig grondtal [voor een willekeurige r], dan zal het ook gelden voor het volgende grondtal [voor n + 1].

Deze twee lemma's impliceren noodzakelijkerwijs de geldigheid van de propositie voor alle waarden P. Krachtens het eerste lemma is het inderdaad geldig voor: P = 1; daarom is het op grond van het tweede lemma geldig voor P = 2; daarom, opnieuw op grond van het tweede lemma, is het geldig voor n = 3 enzovoort tot in het oneindige.

Opgave 3. De torens van Hanoi puzzel bestaat uit drie staven. Op een van de staven bevindt zich een piramide (Fig. 1), bestaande uit verschillende ringen van verschillende diameters, afnemend van onder naar boven

Figuur 1

Deze piramide moet worden overgebracht naar een van de andere staven, waarbij telkens slechts één ring wordt overgedragen en niet de grotere ring op de kleinere. Kan het?

Oplossing. We moeten dus de vraag beantwoorden: is het mogelijk om een ​​piramide te verplaatsen die bestaat uit: P ringen met verschillende diameters, van de ene staaf naar de andere, volgens de spelregels? Nu is het probleem, zoals ze zeggen, door ons geparametriseerd (een natuurlijk getal) P), en het kan worden opgelost door wiskundige inductie.

1. basis van inductie. Voor n = 1, alles is duidelijk, aangezien een piramide van één ring natuurlijk naar elke staaf kan worden verplaatst.
2. stap van inductie. Stel dat we elke piramide kunnen verplaatsen met het aantal ringen p = k.
   Laten we bewijzen dat we dan ook de piramide halverwege kunnen verplaatsen van n = k + 1.

Piramide van tot ringen liggend op de grootste(tot + 1)-de ring, kunnen we, volgens de veronderstelling, naar elk ander draaipunt gaan. Laten we het doen. roerloos(tot + 1)de ring zal ons niet hinderen om het verplaatsingsalgoritme uit te voeren, omdat dit de grootste is. na verhuizing tot ringen, verplaats deze grootste(tot + 1)de ring op de resterende staaf. En dan passen we opnieuw het bewegende algoritme toe dat ons bekend is door de inductieve aanname tot ringen, en verplaats ze naar de staaf met de(tot + 1)e ring. Dus, als we de piramides kunnen verplaatsen met tot ringen, dan kunnen we de piramides verplaatsen en tot + 1 ringen. Daarom is het volgens het principe van wiskundige inductie altijd mogelijk om de piramide te verplaatsen, bestaande uit n ringen, waarbij n > 1.

De methode van wiskundige inductie bij het oplossen van deelbaarheidsproblemen.

Met behulp van de methode van wiskundige inductie kan men verschillende uitspraken over de deelbaarheid van natuurlijke getallen bewijzen.

Taak 4 . Als n een natuurlijk getal is, dan is het getal even.

Voor n=1 is onze bewering waar: - een even getal. Laten we aannemen dat dit een even getal is. Aangezien een 2k een even getal is, is het dat ook. Dus pariteit wordt bewezen voor n=1, pariteit wordt afgeleid uit pariteit, dus zelfs voor alle natuurlijke waarden van n.

Opdracht 3. Bewijs dat het getal Z 3 + 3 - 26n - 27 met een willekeurige natuurlijke n is deelbaar door 26 2 zonder rest.

Oplossing. Laten we eerst met inductie een hulpbewering bewijzen dat 3 3n+3 1 is deelbaar door 26 zonder rest n > 0.

1. basis van inductie. Voor n = 0 hebben we: Z 3 - 1 \u003d 26 - gedeeld door 26.

stap van inductie. Stel dat 3 3n + 3 - 1 is deelbaar door 26 wanneer n = k, en Laten we bewijzen dat in dit geval de bewering waar is voor: n = k + 1. Aangezien 3

dan concluderen we uit de inductieve aanname dat het getal 3 3k + 6 - 1 is deelbaar door 26.

Laten we nu de bewering bewijzen die geformuleerd zijn in de toestand van het probleem. En weer door inductie.

1. basis van inductie. Het is duidelijk dat bij n = 1 uitspraak is waar: sinds 3 3+3 - 26 - 27 = 676 = 26 2 .
2. stap van inductie. Laten we aannemen dat bij n = k
   uitdrukking 3 3k + 3 - 26k - 27 is deelbaar door 26 2 zonder rest, en bewijs dat de bewering waar is voor n = k + 1,
   d.w.z. dat nummer

deelbaar door 26 2 zonder een spoor. In de laatste som worden beide termen zonder rest gedeeld door 26 2 . De eerste is omdat we hebben bewezen dat de uitdrukking tussen haakjes deelbaar is door 26; de tweede, door de inductieve hypothese. Op grond van het principe van wiskundige inductie is de noodzakelijke verklaring volledig bewezen.

Toepassing van de methode van wiskundige inductie op de optelling van reeksen.

Opdracht 5. Bewijs de formule

N is een natuurlijk getal.

Oplossing.

Voor n=1 worden beide delen van de gelijkheid één en daarmee is voldaan aan de eerste voorwaarde van het principe van wiskundige inductie.

Neem aan dat de formule waar is voor n=k, d.w.z.

Laten we beide kanten van deze gelijkheid optellen en de rechterkant transformeren. Dan krijgen we

Dus uit het feit dat de formule waar is voor n=k, volgt dat ze ook waar is voor n=k+1. Deze bewering geldt voor elke natuurlijke waarde van k. Er is dus ook voldaan aan de tweede voorwaarde van het principe van wiskundige inductie. De formule is bewezen.

Een taak 6. Er zijn twee cijfers op het bord geschreven: 1.1. Als we hun som tussen de getallen invoeren, krijgen we de getallen 1, 2, 1. Als we deze bewerking nogmaals herhalen, krijgen we de getallen 1, 3, 2, 3, 1. Na drie bewerkingen zijn de getallen 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1. Wat is de som van alle getallen op het bord na 100 operaties?

Oplossing. Doe alle 100 operaties zou zeer tijdrovend en tijdrovend zijn. We moeten dus proberen een algemene formule te vinden voor de som S cijfers na n activiteiten. Laten we naar de tabel kijken:

Heb je hier een patroon opgemerkt? Zo niet, dan kunt u nog een stap zetten: na vier bewerkingen zijn er cijfers

1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1,

waarvan de som S 4 82 is.

Je kunt namelijk geen getallen uitschrijven, maar direct zeggen hoe de som verandert na het toevoegen van nieuwe getallen. Laat de som gelijk zijn aan 5. Wat wordt het als er nieuwe getallen worden toegevoegd? Laten we elk nieuw getal splitsen in de som van twee oude. Bijvoorbeeld, van 1, 3, 2, 3, 1 gaan we naar 1,

1 + 3, 3, 3 + 2, 2, 2 + 3, 3, 3 + 1, 1.

Dat wil zeggen, elk oud getal (behalve de twee uiterste) voert de som nu drie keer in, dus de nieuwe som is 3S - 2 (trek 2 af om rekening te houden met de ontbrekende eenheden). daarom S 5 = 3S 4 - 2 = 244, en in het algemeen

Wat is de algemene formule? Als het niet voor het aftrekken van twee eenheden was, dan zou de som elke keer drie keer toenemen, zoals in de machten van de triple (1, 3, 9, 27, 81, 243, ...). En onze cijfers, zoals je nu kunt zien, zijn er nog een. Er kan dus worden aangenomen dat

Laten we dit nu met inductie proberen te bewijzen.

basis van inductie. Zie tabel (voor n = 0, 1, 2, 3).

stap van inductie. Laten we doen alsof

Laten we dan bewijzen dat S tot + 1 \u003d Z tot + 1 + 1.

Werkelijk,

Onze formule is dus bewezen. Het laat zien dat na honderd bewerkingen de som van alle getallen op het bord gelijk zal zijn aan 3 100 + 1.

Overweeg een opmerkelijk voorbeeld van de toepassing van het principe van wiskundige inductie, waarbij je eerst twee natuurlijke parameters moet introduceren en vervolgens inductie op hun som moet uitvoeren.

Een taak 7. Bewijs dat als= 2, x 2 = 3 en voor elke natuurlijke n> 3

x n \u003d Zx n - 1 - 2x n - 2,

dan

2 n - 1 + 1, n = 1, 2, 3, ...

Oplossing. Merk op dat in deze opgave de eerste reeks getallen(xn) wordt bepaald door inductie, omdat de termen van onze rij, met uitzondering van de eerste twee, inductief worden gegeven, dat wil zeggen door de vorige. De gegeven reeksen worden genoemd terugkerend, en in ons geval wordt deze volgorde bepaald (door de eerste twee termen te specificeren) op een unieke manier.

basis van inductie. Het bestaat uit het controleren van twee beweringen: n=1 en n=2.B In beide gevallen is de bewering waar door aanname.

stap van inductie. Laten we aannemen dat voor n = k - 1 en n = k bewering wordt gedaan, dat wil zeggen:

Laten we dan de bewering bewijzen voor n = k + 1. We hebben:

x 1 = 3(2 + 1) - 2(2 + 1) = 2 + 1, wat bewezen moest worden.

Taak 8. Bewijs dat elk natuurlijk getal kan worden weergegeven als de som van verschillende leden van de terugkerende reeks van Fibonacci-getallen:

voor k > 2.

Oplossing. Laat p - natuurlijk nummer. We zullen inductie uitvoeren op P.

basis van inductie. Voor n = 1-verklaring is waar, aangezien de eenheid zelf een Fibonacci-getal is.

stap van inductie. Neem aan dat alle natuurlijke getallen kleiner zijn dan een getal P, kan worden weergegeven als de som van verschillende termen van de Fibonacci-reeks. Vind het grootste Fibonacci-getal Ft, niet overschrijden P; dus F t n en F t +1 > n.

Omdat de

Volgens de inductiehypothese is het getal p- F t kan worden weergegeven als een som van 5 verschillende leden van de Fibonacci-reeks, en uit de laatste ongelijkheid volgt dat alle leden van de Fibonacci-reeks die betrokken zijn bij de som van 8 kleiner zijn dan Ft. Daarom is de uitbreiding van het aantal n = 8 + F t voldoet aan de toestand van het probleem.

Voorbeelden van toepassing van de methode van wiskundige inductie op het bewijs van ongelijkheden.

Taak 9. (Bernoulli's ongelijkheid.)Bewijs dat wanneer x > -1, x 0, en voor geheel getal n > 2 de ongelijkheid

(1 + x) n > 1 + xn.

Oplossing. We zullen het bewijs opnieuw uitvoeren met inductie.

1. Basis van inductie. Laten we de geldigheid van de ongelijkheid verifiëren voor n = 2. Inderdaad,

(1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 > 1 + 2x.

2. Stap van inductie. Laten we aannemen dat voor het nummer n = k de stelling is waar, dat wil zeggen:

(1 + x) k > 1 + xk,

Waar k > 2. We bewijzen het voor n = k + 1. We hebben: (1 + x) k + 1 = (1 + x) k (1 + x)> (1 + kx) (1 + x) =

1 + (k + 1)x + kx 2 > 1 + (k + 1)x.

Dus, op basis van het principe van wiskundige inductie, kan worden gesteld dat de ongelijkheid van Bernoulli geldt voor elke n > 2.

Niet altijd in de omstandigheden van problemen die worden opgelost met behulp van de methode van wiskundige inductie, is de algemene wet die moet worden bewezen duidelijk geformuleerd. Soms is het nodig om, door het observeren van bepaalde gevallen, eerst te ontdekken (raden) tot welke algemene wet ze leiden, en pas dan de gestelde hypothese door wiskundige inductie te bewijzen. Bovendien kan de inductievariabele worden gemaskeerd en voordat het probleem wordt opgelost, moet worden bepaald op welke parameter de inductie zal worden uitgevoerd. Beschouw als voorbeelden de volgende taken.

Probleem 10. Bewijs dat

voor elke natuurlijke n > 1.

Oplossing, Laten we proberen deze ongelijkheid te bewijzen met wiskundige inductie.

De inductiebasis is eenvoudig te verifiëren:1+

Door de inductieve hypothese

en het blijft aan ons om te bewijzen dat

Met behulp van de inductieve hypothese zullen we stellen dat:

Hoewel deze gelijkheid in feite waar is, geeft het ons geen oplossing voor het probleem.

Laten we proberen een sterkere bewering te bewijzen dan vereist is in het oorspronkelijke probleem. We zullen namelijk bewijzen dat

Het lijkt misschien dat het bewijzen van deze bewering door inductie hopeloos is.

Echter, bij p = 1 we hebben: de bewering is waar. Om de inductieve stap te rechtvaardigen, veronderstel dat:

en dan zullen we bewijzen dat

Werkelijk,

We hebben dus een sterkere bewering bewezen, waaruit de bewering in de toestand van het probleem onmiddellijk volgt.

Het leerzame hier is dat hoewel we een sterkere bewering moesten bewijzen dan vereist in het probleem, we ook een sterkere veronderstelling konden gebruiken in de inductieve stap. Dit verklaart dat de eenvoudige toepassing van het principe van wiskundige inductie niet altijd tot het doel leidt.

De situatie die ontstond bij het oplossen van het probleem heetde uitvindersparadox.De paradox zelf is dat complexere plannen met meer succes kunnen worden uitgevoerd als ze gebaseerd zijn op een dieper begrip van de essentie van de zaak.

Opgave 11. Bewijs dat 2m + n - 2m voor elke natuurlijke soort van.

Oplossing. Hier hebben we twee opties. Daarom kunt u proberen de zogenaamdedubbele inductie(een inductie binnen een inductie).

We zullen inductief redeneren op: P.

1. Basis van inductie volgens p. Voor n = 1 moet dat controleren 2 t ~ 1 > t. Om deze ongelijkheid te bewijzen, gebruiken we inductie op t.

a) Basis van inductie door vol. Voor t = 1 in uitvoering
gelijkheid, wat acceptabel is.

b) Stap van inductie volgens t.Laten we aannemen dat bij t = k bewering is waar, dat wil zeggen: 2k ~ 1 > k. dan omhoog
Laten we zeggen dat de bewering waar is, zelfs als m = k + 1.
Wij hebben:

bij natuurlijke k.

Dus de ongelijkheid 2 uitgevoerd voor elke natuurlijke t.

2. Stap van inductie volgens itemKies en repareer een natuurlijk getal t. Laten we aannemen dat bij n = ik de verklaring is waar (voor een vaste t), d.w.z. 2 t +1 ~ 2 > t1, en bewijzen dat dan de bewering waar zal zijn voor n = l + 1.
Wij hebben:

voor elke natuurlijke soort van.

Daarom, gebaseerd op het principe van wiskundige inductie (volgens: P) de verklaring van het probleem geldt voor iedereen P en voor elke vaste t. Deze ongelijkheid geldt dus voor elke natuurlijke soort van.

Opgave 12. Laat m, n en k zijn natuurlijke getallen, en t > p Welke van de twee getallen is groter:

In elke uitdrukking tot vierkantswortel tekens, t en n wisselen elkaar af.

Oplossing. Laten we eerst een hulpbewering bewijzen.

Lemma. Voor elke natuurlijke t en n (t > n) en niet-negatief (niet noodzakelijk geheel getal) X de ongelijkheid

Een bewijs. Denk aan de ongelijkheid

Deze ongelijkheid is waar, aangezien beide factoren aan de linkerkant positief zijn. Als we de haakjes uitbreiden en converteren, krijgen we:

Door de vierkantswortel van beide delen van de laatste ongelijkheid te nemen, verkrijgen we de bewering van het lemma. Het lemma is dus bewezen.

Laten we nu verder gaan met het oplossen van het probleem. Laten we de eerste van deze getallen aanduiden met a, en de tweede door b naar . Laten we bewijzen dat een voor elke natuurlijke tot. Het bewijs zal worden uitgevoerd door de methode van wiskundige inductie afzonderlijk voor even en oneven tot.

basis van inductie. voor k = 1 we hebben de ongelijkheid

j[t > j/n , die geldig is vanwege het feit dat: m > zn. = 2, het gewenste resultaat wordt verkregen uit het bewezen lemma door te substitueren x = 0.

stap van inductie. Stel, voor sommigen naar de ongelijkheid a >b naar eerlijk. Laten we bewijzen dat

Uit de aanname van inductie en de monotoniciteit van de vierkantswortel, hebben we:

Aan de andere kant volgt uit het bewezen lemma dat

Als we de laatste twee ongelijkheden combineren, krijgen we:

Volgens het principe van wiskundige inductie is de bewering bewezen.

Opdracht 13. (Ongelijkheid van Cauchy.)Bewijs dat voor alle positieve getallen..., een p de ongelijkheid

Oplossing. Voor n = 2 de ongelijkheid

het rekenkundig gemiddelde en het meetkundig gemiddelde (voor twee getallen) worden als bekend beschouwd. Laten n= 2, k = 1, 2, 3, ... en voer eerst inductie uit op tot. De basis van deze inductie geldt.Ervan uitgaande dat nu de gewenste ongelijkheid al is vastgesteld voor n = 2, we zullen het bewijzen voor: P = 2 . We hebben (met behulp van de ongelijkheid voor twee getallen):

Daarom, door de inductiehypothese

Dus, door inductie op k, hebben we de ongelijkheid voor iedereen bewezen p 9 die machten van twee zijn.

Om de ongelijkheid voor andere waarden te bewijzen P we zullen de "inductie naar beneden" gebruiken, dat wil zeggen, we zullen bewijzen dat als aan de ongelijkheid wordt voldaan voor willekeurige niet-negatieve P nummers, het is ook geldig voor:(P - 1)e nummer. Om dit te verifiëren, merken we op dat, volgens de gemaakte veronderstelling, for P getallen, de ongelijkheid

dat wil zeggen, a r + a 2 + ... + a n _ x > (n - 1) A. Het verdelen van beide delen in: P - 1, verkrijgen we de vereiste ongelijkheid.

Dus hebben we eerst vastgesteld dat de ongelijkheid geldt voor een oneindig aantal mogelijke waarden P, en toonde vervolgens aan dat als de ongelijkheid geldt voor P nummers, het is ook geldig voor:(P - 1) nummers. Hieruit concluderen we nu dat de ongelijkheid van Coty geldt voor een set van P alle niet-negatieve getallen voor elke n = 2, 3, 4, ...

Opgave 14. (D. Uspensky.) Voor elke driehoek ABC met hoeken = CAB, = CBA zijn vergelijkbaar, er zijn ongelijkheden

Oplossing. De hoeken en zijn vergelijkbaar, en dit betekent (per definitie) dat deze hoeken een gemeenschappelijke maat hebben, waarvoor = p, = (p, q zijn natuurlijke priemgetallen).

Laten we de methode van wiskundige inductie gebruiken en deze over de som tekenen n = p + q natuurlijke priemgetallen..

basis van inductie. Voor p + q = 2 geldt: p = 1 en q = 1. Dan is de driehoek ABC gelijkbenig, en de gewenste ongelijkheden liggen voor de hand: ze volgen uit de driehoeksongelijkheid

stap van inductie. Stel nu dat de gewenste ongelijkheden worden vastgesteld voor p + q = 2, 3, ..., k - 1, waarbij k > 2. Laten we bewijzen dat de ongelijkheden ook gelden voor p + q = k.

Laat ABC is een gegeven driehoek met> 2. Dan de zijden AC en BC kan niet gelijk zijn: let AC > BC. Laten we nu, zoals in figuur 2, een gelijkbenige driehoek bouwen ABC; wij hebben:

AC \u003d DC en AD \u003d AB + BD, daarom

2AC > AB + BD (1)

Beschouw nu de driehoek VDC, waarvan de hoeken ook vergelijkbaar zijn:

DCB = (q - p), BDC = p.

Rijst. 2

Deze driehoek voldoet aan de inductieve aanname, en daarom

(2)

Als we (1) en (2) toevoegen, hebben we:

2AC+BD>

en daarom

Uit dezelfde driehoek WBS door de inductiehypothese concluderen we dat

Gezien de eerdere ongelijkheid, concluderen we dat:

Zo wordt de inductieve overgang verkregen en volgt de probleemstelling uit het principe van wiskundige inductie.

Opmerking. De probleemstelling blijft geldig, zelfs als de hoeken a en p niet vergelijkbaar zijn. Als uitgangspunt voor de overweging in het algemene geval moeten we al een ander belangrijk wiskundig principe toepassen - het continuïteitsprincipe.

Opgave 15. Verschillende rechte lijnen verdelen het vlak in delen. Bewijs dat het mogelijk is om deze delen wit te kleuren

en zwarte kleuren zodat aangrenzende delen die een gemeenschappelijk randsegment hebben, verschillende kleuren hebben (zoals in figuur 3 wanneer n = 4).

foto 3

Oplossing. We gebruiken inductie op het aantal lijnen. Dus laat P - het aantal lijnen dat ons vliegtuig in delen verdeelt, n > 1.

basis van inductie. Als er maar één rechte is(P = 1), dan verdeelt het het vlak in twee halve vlakken, waarvan de ene wit en de andere zwart kan worden gekleurd, en de stelling van het probleem is waar.

stap van inductie. Overweeg het proces van het toevoegen van een nieuwe regel om het bewijs van de inductieve stap duidelijker te maken. Als we de tweede lijn trekken(P= 2), dan krijgen we vier delen die op de gewenste manier kunnen worden gekleurd door de tegenoverliggende hoeken in dezelfde kleur te schilderen. Laten we eens kijken wat er gebeurt als we de derde rechte lijn trekken. Het verdeelt enkele van de "oude" delen, terwijl nieuwe delen van de rand verschijnen, aan beide zijden waarvan de kleur hetzelfde is (Fig. 4).

Rijst. vier

Laten we als volgt te werk gaan:een zijdevan de nieuwe rechte lijn zullen we van kleur veranderen - we zullen wit zwart maken en vice versa; tegelijkertijd worden die delen die aan de andere kant van deze rechte lijn liggen niet opnieuw geverfd (afb. 5). Dan zal deze nieuwe kleuring aan de nodige eisen voldoen: aan de ene kant was de rechte lijn al afwisselend (maar met verschillende kleuren), en aan de andere kant was het nodig. Om de delen die een gemeenschappelijke rand hebben die bij de getekende lijn hoort, in verschillende kleuren te schilderen, hebben we de delen slechts aan één kant van deze getekende lijn opnieuw geverfd.

Afb.5

Laten we nu de inductieve stap bewijzen. Stel dat voor sommigenn = kde verklaring van het probleem is geldig, dat wil zeggen, alle delen van het vlak waarin het is verdeeld door dezetotrecht, je kunt in wit en zwart schilderen, zodat de aangrenzende delen verschillende kleuren hebben. Laten we bewijzen dat er dan zo'n kleuring bestaat voorP= tot+ 1 recht. Laten we op dezelfde manier te werk gaan als bij de overgang van twee rechte lijnen naar drie. Laten we in het vliegtuig zittentotdirect. Vervolgens kan door de inductieve aanname de resulterende "kaart" op de gewenste manier worden gekleurd. Laten we nu besteden(tot+ 1) -de rechte lijn en aan de ene kant ervan veranderen we de kleuren in de tegenovergestelde. Dus nu(totDe + 1)-de rechte lijn scheidt overal secties van verschillende kleuren, terwijl de "oude" delen, zoals we al zagen, correct gekleurd blijven. Volgens het principe van wiskundige inductie is het probleem opgelost.

Een taak16. Aan de rand van de woestijn is er een grote voorraad benzine en een auto die met een vol tankstation 50 kilometer kan rijden. In onbeperkte hoeveelheden zijn er jerrycans waarin je benzine uit de benzinetank van de auto kunt laten lopen en deze ergens in de woestijn kunt opbergen. Bewijs dat de auto elke gehele afstand groter dan 50 kilometer kan afleggen. Het is niet toegestaan ​​om blikken benzine te vervoeren, lege blikken kunnen in elke hoeveelheid worden vervoerd.

Oplossing.Laten we proberen het te bewijzen met inductie opP,dat de auto kan rijdenPkilometer van de rand van de woestijn. BijP= 50 is bekend. Het blijft om de stap van inductie uit te voeren en uit te leggen hoe daar te komenn = k+ 1 km indien bekendn = kkilometer kan worden gereden.

Hier stuiten we echter op een moeilijkheid: nadat we zijn geslaagdtotkilometers, benzine is misschien niet eens genoeg voor de terugreis (om nog maar te zwijgen van opslag). En in dit geval is de uitweg het versterken van de bewering die wordt bewezen (de paradox van de uitvinder). We zullen bewijzen dat het niet alleen mogelijk is om te rijdenPkilometer, maar ook om een ​​willekeurig grote voorraad benzine te maken op een punt op afstandPkilometer van de rand van de woestijn, op dit punt na het einde van het transport.

basis van inductie.Laat een eenheid benzine de hoeveelheid benzine zijn die nodig is om één kilometer te reizen. Dan vereist een vlucht van 1 kilometer en terug twee eenheden benzine, dus we kunnen 48 eenheden benzine op een kilometer van de rand in opslag laten en terugkeren voor meer. Zo kunnen we voor meerdere reizen naar de opslag een voorraad maken van een willekeurige grootte die we nodig hebben. Tegelijkertijd geven we, om 48 eenheden voorraad te creëren, 50 eenheden benzine uit.

stap van inductie.Laten we aannemen dat op afstandP= totvanaf de rand van de woestijn kun je elke hoeveelheid benzine opslaan. Laten we bewijzen dat het dan mogelijk is om op afstand een repository te makenn = k+ 1 km met een vooraf bepaalde voorraad benzine en wees bij deze opslag aan het einde van het transport. Omdat op het puntP= toter is een onbeperkte voorraad benzine, dan (volgens de inductiebasis) kunnen we, in verschillende reizen naar het puntn = k+ 1 om een ​​punt te makenP= tot4-1 voorraad van elke gewenste maat.

De waarheid van een meer algemene uitspraak dan in de toestand van het probleem volgt nu uit het principe van wiskundige inductie.

Conclusie

In het bijzonder, nadat ik de methode van wiskundige inductie had bestudeerd, verbeterde ik mijn kennis op dit gebied van wiskunde en leerde ik ook hoe ik problemen kon oplossen die voorheen buiten mijn macht lagen.

Kortom, dit waren logische en vermakelijke taken, d.w.z. alleen degenen die de interesse in wiskunde zelf als wetenschap vergroten. Het oplossen van dergelijke problemen wordt een vermakelijke bezigheid en kan steeds meer nieuwsgierige mensen naar de wiskundige labyrinten lokken. Naar mijn mening is dit de basis van elke wetenschap.

Terwijl ik de methode van wiskundige inductie blijf bestuderen, zal ik proberen te leren hoe ik deze niet alleen in de wiskunde kan toepassen, maar ook bij het oplossen van problemen in de natuurkunde, scheikunde en het leven zelf.

Literatuur

1.Vulenkin INDUCTIE. Combinatoriek. Handboek VOOR docenten. M., Verlichting,

1976.-48 d.

2. Golovina L.I., Yaglom I.M. Inductie in geometrie. - M.: Gosud. uitgeverij verlicht. - 1956 - S.I00. Een handleiding over wiskunde voor aanvragers van universiteiten / Ed. Yakovleva GN De wetenschap. -1981. - P.47-51.

3. Golovina L.I., Yaglom IM. Inductie in geometrie. —
M.: Nauka, 1961. - (Populaire lezingen over wiskunde.)

4. IT Demidov, AN Kolmogorov, SI Shvartsburg, OS Ivashev-Musatov, BE Veits. Leerboek / "Verlichting" 1975.

5.R. Courant, G Robbins "Wat is wiskunde?" Hoofdstuk 1, § 2

6. Popa D. Wiskunde en aannemelijk redeneren. — M: Nauka, 1975.

7. Popa D. Wiskundige ontdekking. — M.: Nauka, 1976.

8. Rubanov I.S. Hoe de methode van wiskundige inductie / wiskundeschool te onderwijzen. - Nl. - 1996. - S.14-20.

9. Sominsky I.S., Golovina L.I., Yaglom I.M. Over de methode van wiskundige inductie. - M.: Nauka, 1977. - (Populaire lezingen over wiskunde.)

10. Solominsky I.S. Methode van wiskundige inductie. - M.: Wetenschap.

63s.

11. Solominsky I.S., Golovina L.I., Yaglom I.M. Over wiskundige inductie. - M.: Wetenschap. - 1967. - S.7-59.

12.http://w.wikiredia.org/wiki

13.htt12:/ /www.refeshtcollestiop.ru/40 124.html

Methode van wiskundige inductie

Invoering

Grootste deel

1. Volledige en onvolledige inductie
2. Principe van wiskundige inductie
3. Methode van wiskundige inductie
4. Oplossing van voorbeelden
5. Gelijkwaardigheid
6. Nummerverdeling
7. ongelijkheden

Conclusie

Lijst met gebruikte literatuur

Invoering

Deductieve en inductieve methoden vormen de basis van elk wiskundig onderzoek. De deductieve manier van redeneren is redeneren van algemeen naar bijzonder, d.w.z. redenering, waarvan het uitgangspunt het algemene resultaat is en het laatste punt het bijzondere resultaat. Inductie wordt toegepast bij het overgaan van bepaalde resultaten naar algemene, d.w.z. is het tegenovergestelde van de deductieve methode.

De methode van wiskundige inductie kan worden vergeleken met vooruitgang. We beginnen bij het laagste, door logisch denken komen we bij het hoogste. De mens heeft altijd gestreefd naar vooruitgang, naar het vermogen om zijn denken logisch te ontwikkelen, wat betekent dat de natuur hem heeft voorbestemd om inductief te denken.

Hoewel het toepassingsgebied van de methode van wiskundige inductie is gegroeid, wordt er in het schoolcurriculum weinig tijd aan besteed. Welnu, stel dat een nuttig persoon zal worden gebracht door die twee of drie lessen waarvoor hij vijf woorden theorie hoort, vijf primitieve problemen oplost en als resultaat een vijf krijgt voor niets weten.

Maar dit is zo belangrijk - om inductief te kunnen denken.

Grootste deel

In zijn oorspronkelijke betekenis wordt het woord "inductie" toegepast op redeneringen waarmee algemene conclusies worden verkregen op basis van een aantal specifieke uitspraken. De eenvoudigste manier van redeneren van deze soort is volledige inductie. Hier is een voorbeeld van een dergelijke redenering.

Laat het nodig zijn om vast te stellen dat elk natuurlijk even getal n binnen 4 kan worden weergegeven als de som van twee priemgetallen. Om dit te doen, nemen we al dergelijke nummers en schrijven we de bijbehorende uitbreidingen uit:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

Deze negen gelijkheden laten zien dat elk van de voor ons van belang zijnde getallen inderdaad wordt weergegeven als de som van twee priemgetallen.

Volledige inductie is dus dat de algemene bewering afzonderlijk wordt bewezen in elk van een eindig aantal mogelijke gevallen.

Soms kan het algemene resultaat worden voorspeld nadat niet alle, maar eerder een groot aantal speciale gevallen zijn overwogen (de zogenaamde onvolledige inductie).

Het resultaat verkregen door onvolledige inductie blijft echter slechts een hypothese totdat het wordt bewezen door exacte wiskundige redenering, die alle speciale gevallen dekt. Met andere woorden, onvolledige inductie in de wiskunde wordt niet beschouwd als een legitieme methode van rigoureus bewijs, maar is een krachtige methode om nieuwe waarheden te ontdekken.

Laat het bijvoorbeeld nodig zijn om de som van de eerste n opeenvolgende oneven getallen te vinden. Overweeg speciale gevallen:

1+3+5+7+9=25=5 2

Na deze enkele speciale gevallen te hebben overwogen, komt de volgende algemene conclusie naar voren:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

die. de som van de eerste n opeenvolgende oneven getallen is n 2

Uiteraard kan de gemaakte observatie nog niet als bewijs dienen voor de geldigheid van bovenstaande formule.

Volledige inductie heeft slechts beperkte toepassingen in de wiskunde. Veel interessante wiskundige uitspraken hebben betrekking op een oneindig aantal speciale gevallen, en we kunnen niet testen op een oneindig aantal gevallen. Onvolledige inductie leidt vaak tot foutieve resultaten.

In veel gevallen is de uitweg uit dit soort problemen het gebruik van een speciale redeneermethode, de methode van wiskundige inductie genoemd. Het is als volgt.

Laat het nodig zijn om de geldigheid van een bepaalde uitspraak voor elk natuurlijk getal n te bewijzen (het is bijvoorbeeld nodig om te bewijzen dat de som van de eerste n oneven getallen gelijk is aan n 2). Een directe verificatie van deze verklaring voor elke waarde van n is onmogelijk, omdat de verzameling natuurlijke getallen oneindig is. Om deze bewering te bewijzen, controleert u eerst de geldigheid ervan voor n=1. Dan wordt bewezen dat voor elke natuurlijke waarde van k, de geldigheid van de bewering in kwestie voor n=k ook de geldigheid ervan voor n=k+1 impliceert.

Dan wordt de bewering voor alle n als bewezen beschouwd. De bewering is inderdaad waar voor n=1. Maar dan geldt het ook voor het volgende getal n=1+1=2. De geldigheid van de bewering voor n=2 impliceert de geldigheid ervan voor n=2+

1=3. Dit impliceert de geldigheid van de bewering voor n=4, enzovoort. Het is duidelijk dat we uiteindelijk elk natuurlijk getal n zullen bereiken. De bewering is dus waar voor elke n.

Samenvattend wat gezegd is, formuleren we het volgende algemene principe.

Het principe van wiskundige inductie.

Als zin A(n) afhankelijk van het natuurlijke getaln, waar voorn=1 en uit het feit dat het waar is voorn= k (waark-elk natuurlijk getal), hieruit volgt dat het ook geldt voor het volgende getaln= k+1, dan aanname A(n) geldt voor elk natuurlijk getaln.

In een aantal gevallen kan het nodig zijn om de geldigheid van een bepaalde uitspraak niet voor alle natuurlijke getallen te bewijzen, maar alleen voor n>p, waar p een vast natuurlijk getal is. In dit geval wordt het principe van wiskundige inductie als volgt geformuleerd.

Als zin A(n) is waar voorn= p en als A(k) Þ MAAR(k+1) voor iedereenk> p, dan zin A(n) geldt voor elken> p.

Het bewijs met de methode van wiskundige inductie wordt als volgt uitgevoerd. Eerst wordt de te bewijzen bewering gecontroleerd op n=1, d.w.z. de waarheid van de stelling A(1) staat vast. Dit deel van het bewijs wordt de inductiebasis genoemd. Dit wordt gevolgd door een deel van het bewijs dat de inductiestap wordt genoemd. In dit deel wordt de geldigheid van de bewering voor n=k+1 bewezen onder de aanname dat de bewering waar is voor n=k (de inductieve aanname), d.w.z. bewijs dat A(k)ÞA(k+1).

VOORBEELD 1

Bewijs dat 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 .

Oplossing: 1) We hebben n=1=1 2 . Vervolgens,

de bewering is waar voor n=1, d.w.z. A(1) is waar.

2) Laten we bewijzen dat A(k)ÞA(k+1).

Laat k een willekeurig natuurlijk getal zijn en laat de bewering waar zijn voor n=k, d.w.z.

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

Laten we bewijzen dat de bewering dan ook geldt voor het volgende natuurlijke getal n=k+1, d.w.z. wat

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

Inderdaad,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

Dus A(k)ÞA(k+1). Op basis van het principe van wiskundige inductie concluderen we dat Veronderstelling A(n) waar is voor elke nОN.

VOORBEELD 2

Bewijs dat

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n \u003d (x n +1 -1) / (x-1), waarbij x¹1

Oplossing: 1) Voor n=1 krijgen we

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

daarom is voor n=1 de formule waar; A(1) is waar.

2) Laat k een willekeurig natuurlijk getal zijn en laat de formule waar zijn voor n=k, d.w.z.

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k \u003d (x k +1 -1) / (x-1).

Laten we bewijzen dat dan de gelijkheid

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k + x k +1 \u003d (x k +2-1) / (x-1).

Inderdaad

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k +1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k +1 =

=(x k +1 -1)/(x-1)+x k +1 =(x k +2 -1)/(x-1).

Dus A(k)ÞA(k+1). Op basis van het principe van wiskundige inductie concluderen we dat de formule waar is voor elk natuurlijk getal n.

VOORBEELD 3

Bewijs dat het aantal diagonalen van een convexe n-hoek n(n-3)/2 is.

Oplossing: 1) Voor n=3 is de bewering waar

En 3 is juist, want in een driehoek

 A 3 =3(3-3)/2=0 diagonalen;

A 2 A (3) is waar.

2) Stel dat in elk

convexe k-gon heeft-

A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 diagonalen.

A k Laten we bewijzen dat dan in een convexe

(k+1)-gon getal

diagonalen A k +1 \u003d (k + 1) (k-2) / 2.

Laat А 1 А 2 А 3 …A k A k +1 -convexe (k+1)-hoek. Laten we er een diagonaal A 1 A k in tekenen. Om het totale aantal diagonalen van deze (k + 1)-gon te tellen, moet je het aantal diagonalen in de k-gon A 1 A 2 ...A k tellen, k-2 optellen bij het resulterende getal, d.w.z. het aantal diagonalen van de (k+1)-gon afkomstig van het hoekpunt A k +1 , en bovendien moet rekening worden gehouden met de diagonaal A 1 A k.

Op deze manier,

 k +1 =  k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

Dus A(k)ÞA(k+1). Vanwege het principe van wiskundige inductie is de bewering waar voor elke convexe n-gon.

VOORBEELD 4

Bewijs dat voor elke n de bewering waar is:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

Oplossing: 1) Laat n=1, dan

X 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1.

Dus voor n=1 is de bewering waar.

2) Neem aan dat n=k

X k \u003d k 2 \u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6.

3) Beschouw deze uitspraak voor n=k+1

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k +1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

We hebben de geldigheid van de gelijkheid voor n=k+1 bewezen, daarom is, dankzij de methode van wiskundige inductie, de bewering waar voor elke natuurlijke n.

VOORBEELD 5

Bewijs dat voor elke natuurlijke n de gelijkheid waar is:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

Oplossing: 1) Laat n=1.

Dan X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

We zien dat voor n=1 de bewering waar is.

2) Neem aan dat de gelijkheid waar is voor n=k

X k \u003d k 2 (k + 1) 2 / 4.

3) Laten we de waarheid van deze bewering bewijzen voor n=k+1, d.w.z.

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4.

Uit het bovenstaande bewijs is het duidelijk dat de bewering waar is voor n=k+1, daarom is de gelijkheid waar voor elke natuurlijke n.

VOORBEELD 6

Bewijs dat

((2 3 +1)/(2 3 -1))´((3 3 +1)/(3 3 -1))´…´(((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), waarbij n>2.

Oplossing: 1) Voor n=2 ziet de identiteit er als volgt uit: (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3´2´3)/2(2 2 +2+1),

die. het is correct.

2) Neem aan dat de uitdrukking waar is voor n=k

(2 3 +1)/(2 3 -1)´…´(k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1).

3) We zullen de juistheid van de uitdrukking voor n=k+1 bewijzen.

(((2 3 +1)/(2 3 -1))´…´((k 3 +1)/(k 3 -1)))´(((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1))´((k+2)((k+

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2´

´((k+1) 2 +(k+1)+1).

We hebben de geldigheid van de gelijkheid voor n=k+1 bewezen, daarom is, dankzij de methode van wiskundige inductie, de bewering waar voor elke n>2

VOORBEELD 7

Bewijs dat

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3)

voor elke natuurlijke n.

Oplossing: 1) Laat n=1, dan

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7.

2) Neem aan dat n=k, dan

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3).

3) Laten we de waarheid van deze bewering bewijzen voor n=k+1

(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3).

De geldigheid van de gelijkheid voor n=k+1 is ook bewezen, daarom is de bewering waar voor elk natuurlijk getal n.

VOORBEELD 8

Bewijs de geldigheid van de identiteit

(1 2 /1´3)+(2 2 /3´5)+…+(n 2 /(2n-1)´(2n+1))=n(n+1)/2(2n+1)

voor elke natuurlijke n.

1) Voor n=1 is de identiteit waar 1 2 /1´3=1(1+1)/2(2+1).

2) Neem aan dat voor n=k

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)´(2k+1))=k(k+1)/2(2k+1).

3) Laten we bewijzen dat de identiteit waar is voor n=k+1.

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1 )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1))´((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2)´ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (k+2)/2(2(k+1)+1).

Uit het bovenstaande bewijs blijkt dat de bewering waar is voor elk natuurlijk getal n.

VOORBEELD 9

Bewijs dat (11 n+2 +12 2n+1) deelbaar is door 133 zonder rest.

Oplossing: 1) Laat n=1, dan

11 3 +12 3 \u003d (11 + 12) (11 2 -132 + 12 2) \u003d 23´133.

Maar (23´133) is deelbaar door 133 zonder rest, dus voor n=1 is de bewering waar; A(1) is waar.

2) Stel dat (11 k+2 +12 2k+1) deelbaar is door 133 zonder rest.

3) Laten we bewijzen dat in dit geval

(11 k+3 +12 2k+3) is deelbaar door 133 zonder rest. Inderdaad, 11 k +3 +12 2k+3 =11´11 k+2 +12 2 ´12 2k+1 =11´11 k+2 +

+(11+133)´12 2k+1 =11(11k+2 +12 2k+1)+133´12 2k+1 .

De resulterende som is deelbaar door 133 zonder rest, aangezien de eerste term deelbaar is door 133 zonder rest door aanname, en in de tweede van de factoren is 133. Dus, А(k)ÞА(k+1). Op grond van de methode van wiskundige inductie wordt de bewering bewezen.

VOORBEELD 10

Bewijs dat voor elke n 7 n -1 deelbaar is door 6 zonder rest.

Oplossing: 1) Zij n=1, dan wordt X 1 =7 1 -1=6 gedeeld door 6 zonder rest. Dus voor n=1 is de bewering waar.

2) Neem aan dat voor n=k

7 k -1 is deelbaar door 6 zonder rest.

3) Laten we bewijzen dat de bewering waar is voor n=k+1.

X k+1 =7 k+1 -1=7´7 k -7+6=7(7k -1)+6.

De eerste term is deelbaar door 6, aangezien 7 k -1 deelbaar is door 6 door aanname, en de tweede term is 6. Dus 7 n -1 is een veelvoud van 6 voor elke natuurlijke n. Op grond van de methode van wiskundige inductie wordt de bewering bewezen.

VOORBEELD 11

Bewijs dat 3 3n-1 +2 4n-3 voor willekeurige natuurlijke n deelbaar is door 11.
Oplossing: 1) Laat n=1, dan

X 1 \u003d 3 3-1 +2 4-3 \u003d 3 2 +2 1 \u003d 11 wordt gedeeld door 11 zonder rest. Dus voor n=1 is de bewering waar.

2) Neem aan dat voor n=k

X k \u003d 3 3k-1 +2 4k-3 is deelbaar door 11 zonder rest.

3) Laten we bewijzen dat de bewering waar is voor n=k+1.

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 ´3 3k-1 +2 4 ´2 4k-3 =

27´3 3k-1 +16´2 4k-3 =(16+11)´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16´3 3k-1 +

11´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16(3 3k -1 +2 4k-3)+11´3 3k-1 .

De eerste term is deelbaar door 11 zonder rest, aangezien 3 3 k-1 +2 4k-3 deelbaar is door 11 door aanname, de tweede is deelbaar door 11, omdat een van de factoren het getal 11 is. De som is dus deelbaar door 11 geen rest voor een natuurlijke n. Op grond van de methode van wiskundige inductie wordt de bewering bewezen.

VOORBEELD 12

Bewijs dat 11 2n -1 voor een willekeurig positief geheel getal n zonder rest deelbaar is door 6.

Oplossing: 1) Zij n=1, dan is 11 2 -1=120 deelbaar door 6 zonder rest. Dus voor n=1 is de bewering waar.

2) Neem aan dat voor n=k

11 2 k -1 is deelbaar door 6 zonder rest.

11 2(k+1) -1=121´11 2k -1=120´11 2k +(11 2k -1).

Beide termen zijn deelbaar door 6 zonder rest: de eerste bevat een veelvoud van 6 getal 120, en de tweede is deelbaar door 6 zonder rest door aanname. De som is dus deelbaar door 6 zonder rest. Op grond van de methode van wiskundige inductie wordt de bewering bewezen.

VOORBEELD 13

Bewijs dat 3 3 n+3 -26n-27 voor een willekeurig positief geheel getal n deelbaar is door 26 2 (676) zonder rest.

Oplossing: Laten we eerst bewijzen dat 3 3 n+3 -1 deelbaar is door 26 zonder rest.

1. Voor n=0

3 3 -1=26 is deelbaar door 26

1. Stel dat voor n=k

3 3k+3 -1 is deelbaar door 26

1. Laten we bewijzen dat de verklaring

waar voor n=k+1.

3 3 k+6 -1=27´3 3k+3 -1=26´3 3k+3 +(3 3 k +3 -1) - is deelbaar door 26

Laten we nu de bewering bewijzen die geformuleerd zijn in de toestand van het probleem.

1) Het is duidelijk dat voor n=1 de bewering waar is

3 3+3 -26-27=676

2) Neem aan dat voor n=k

de uitdrukking 3 3 k+3 -26k-27 is deelbaar door 26 2 zonder rest.

3) Laten we bewijzen dat de bewering waar is voor n=k+1

3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27).

Beide termen zijn deelbaar door 26 2 ; de eerste is deelbaar door 26 2 omdat we hebben bewezen dat de uitdrukking tussen haakjes deelbaar is door 26, en de tweede is deelbaar door de inductieve hypothese. Op grond van de methode van wiskundige inductie wordt de bewering bewezen.

VOORBEELD 14

Bewijs dat als n>2 en x>0, de ongelijkheid

(1+x) n >1+n´x.

Oplossing: 1) Voor n=2 is de ongelijkheid waar, aangezien

(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x.

Dus A(2) is waar.

2) Laten we bewijzen dat A(k)ÞA(k+1) als k> 2. Stel dat A(k) waar is, d.w.z. dat de ongelijkheid

(1+x) k >1+k´x. (3)

Laten we bewijzen dat dan A(k+1) ook waar is, d.w.z. dat de ongelijkheid

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

Inderdaad, door beide zijden van ongelijkheid (3) te vermenigvuldigen met een positief getal 1+x, krijgen we

(1+x) k+1 >(1+k´x)(1+x).

Beschouw de rechterkant van de laatste ongelijke

stva; wij hebben

(1+k´x)(1+x)=1+(k+1)´x+k´x 2 >1+(k+1)´x.

Als resultaat krijgen we dat

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

Dus A(k)ÞA(k+1). Op basis van het principe van wiskundige inductie kan worden gesteld dat de ongelijkheid van Bernoulli geldt voor

VOORBEELD 15

Bewijs dat de ongelijkheid waar is

(1+a+a 2) m > 1+m´a+(m(m+1)/2)´a 2 voor a> 0.

Oplossing: 1) Voor m=1

(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2)´a 2 beide delen zijn gelijk.

2) Neem aan dat voor m=k

(1+a+a 2) k >1+k´a+(k(k+1)/2)´a 2

3) Laten we bewijzen dat voor m=k+1 de ongelijkheid waar is

(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k´a+

+(k(k+1)/2)´a 2)=1+(k+1)´a+((k(k+1)/2)+k+1)´a 2 +

+((k(k+1)/2)+k)´a 3 +(k(k+1)/2)´a 4 > 1+(k+1)´a+

+((k+1)(k+2)/2)´a 2 .

We hebben de geldigheid van de ongelijkheid voor m=k+1 bewezen, daarom is, dankzij de methode van wiskundige inductie, de ongelijkheid waar voor elke natuurlijke m.

VOORBEELD 16

Bewijs dat voor n>6 de ongelijkheid

Oplossing: laten we de ongelijkheid herschrijven in de vorm

1. Voor n=7 hebben we

3 7 /2 7 =2187/128>14=2´7

de ongelijkheid is waar.

1. Stel dat voor n=k

3) Laten we de juistheid van de ongelijkheid bewijzen voor n=k+1.

3k+1 /2k+1 =(3k /2k)´(3/2)>2k´(3/2)=3k>2(k+1).

Sinds k>7 is de laatste ongelijkheid duidelijk.

Op grond van de methode van wiskundige inductie is de ongelijkheid geldig voor elke natuurlijke n.

VOORBEELD 17

Bewijs dat voor n>2 de ongelijkheid

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)

Oplossing: 1) Voor n=3 is de ongelijkheid waar

1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180

1. Stel dat voor n=k

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1,7-(1/k).

3) We zullen de geldigheid van de niet-

gelijkheden voor n=k+1

(1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)

Laten we bewijzen dat 1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2)

Û(1/(k+1) 2)+(1/k+1)Ûk(k+2)

Dat laatste ligt voor de hand, en daarom

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)

Dankzij de methode van wiskundige inductie wordt de ongelijkheid bewezen.

Conclusie

In het bijzonder, nadat ik de methode van wiskundige inductie had bestudeerd, verbeterde ik mijn kennis op dit gebied van wiskunde en leerde ik ook hoe ik problemen kon oplossen die voorheen buiten mijn macht lagen.

Kortom, dit waren logische en vermakelijke taken, d.w.z. alleen degenen die de interesse in wiskunde zelf als wetenschap vergroten. Het oplossen van dergelijke problemen wordt een vermakelijke bezigheid en kan steeds meer nieuwsgierige mensen naar de wiskundige labyrinten lokken. Naar mijn mening is dit de basis van elke wetenschap.

Terwijl ik de methode van wiskundige inductie blijf bestuderen, zal ik proberen te leren hoe ik deze niet alleen in de wiskunde kan toepassen, maar ook bij het oplossen van problemen in de natuurkunde, scheikunde en het leven zelf.

WISKUNDE:

LEZINGEN, TAKEN, OPLOSSINGEN

Leerboek / V. G. Boltyansky, Yu. V. Sidorov, M. I. Shabunin. Potpourri LLC 1996.

ALGEBRA EN DE PRINCIPES VAN ANALYSE

Textbook / IT Demidov, AN Kolmogorov, SI Shvartsburg, OS Ivashev-Musatov, BE Veits. "Verlichting" 1975.

Bibliografische beschrijving: Badanin AS, Sizova M. Yu Toepassing van de methode van wiskundige inductie op het oplossen van problemen met de deelbaarheid van natuurlijke getallen // Jonge wetenschapper. 2015. №2. S. 84-86..04.2019).

Heel moeilijke problemen bij het bewijzen van de deelbaarheid van natuurlijke getallen komen vaak voor bij wiskundige Olympiades. Schoolkinderen staan ​​voor een probleem: hoe vind je een universele wiskundige methode die het mogelijk maakt om dergelijke problemen op te lossen?

Het blijkt dat de meeste deelbaarheidsproblemen kunnen worden opgelost door wiskundige inductie, maar in schoolboeken wordt er weinig aandacht aan deze methode besteed, meestal wordt een korte theoretische beschrijving gegeven en worden verschillende problemen geanalyseerd.

De methode van wiskundige inductie vinden we in de getaltheorie. Aan het begin van de getaltheorie ontdekten wiskundigen veel feiten inductief: L. Euler en K. Gauss overwogen soms duizenden voorbeelden voordat ze een numeriek patroon opmerkten en erin geloofden. Maar tegelijkertijd begrepen ze hoe misleidend hypothesen kunnen zijn als ze slagen voor de "laatste" test. Voor een inductieve overgang van een verklaring die is geverifieerd voor een eindige deelverzameling naar een soortgelijke verklaring voor de gehele oneindige verzameling, is een bewijs nodig. Deze methode werd voorgesteld door Blaise Pascal, die een algemeen algoritme vond voor het vinden van tekens van de deelbaarheid van een geheel getal door een ander geheel getal (verhandeling "Over de aard van de deelbaarheid van getallen").

De methode van wiskundige inductie wordt gebruikt om de waarheid van een bepaalde uitspraak voor alle natuurlijke getallen of de waarheid van een uitspraak vanaf een getal n te bewijzen door te redeneren.

Het oplossen van problemen om de waarheid van een bepaalde uitspraak te bewijzen door de methode van wiskundige inductie bestaat uit vier fasen (Fig. 1):

Rijst. 1. Schema voor het oplossen van het probleem

1. Basis van inductie . Controleer de geldigheid van de verklaring voor het kleinste natuurlijke getal waarvoor de verklaring zinvol is.

2. Inductieve veronderstelling . We nemen aan dat de bewering waar is voor een bepaalde waarde van k.

3. inductieve overgang . We bewijzen dat de bewering waar is voor k+1.

4. Conclusie . Als zo'n bewijs is voltooid, kan op basis van het principe van wiskundige inductie worden betoogd dat de bewering waar is voor elk natuurlijk getal n.

Overweeg de toepassing van de methode van wiskundige inductie op het oplossen van problemen om de deelbaarheid van natuurlijke getallen te bewijzen.

voorbeeld 1. Bewijs dat het getal 5 een veelvoud van 19 is, waarbij n een natuurlijk getal is.

Een bewijs:

1) Laten we controleren of deze formule waar is voor n = 1: het getal =19 is een veelvoud van 19.

2) Laat deze formule waar zijn voor n = k, d.w.z. het getal is een veelvoud van 19.

Deelbaar door 19. Inderdaad, de eerste term is deelbaar door 19 vanwege aanname (2); de tweede term is ook deelbaar door 19 omdat er een factor 19 in zit.

Voorbeeld 2 Bewijs dat de som van kubussen van drie opeenvolgende natuurlijke getallen deelbaar is door 9.

Een bewijs:

Laten we de stelling bewijzen: “Voor elk natuurlijk getal n is de uitdrukking n 3 +(n+1) 3 +(n+2) 3 een veelvoud van 9.

1) Controleer of deze formule juist is voor n = 1: 1 3 +2 3 +3 3 =1+8+27=36 is een veelvoud van 9.

2) Laat deze formule waar zijn voor n = k, d.w.z. k 3 +(k+1) 3 +(k+2) 3 is een veelvoud van 9.

3) Laten we bewijzen dat de formule ook geldt voor n = k + 1, d.w.z. (k+1) 3 +(k+2) 3 +(k+3) 3 is een veelvoud van 9. (k+1) 3 +( k+2) 3 +(k+3) 3 =(k+1) 3 +(k+2) 3 + k 3 + 9k 2 +27 k+ 27=(k 3 +(k+1) 3 +(k +2) 3)+9(k 2 +3k+ 3).

De resulterende uitdrukking bevat twee termen, die elk deelbaar zijn door 9, dus de som is deelbaar door 9.

4) Aan beide voorwaarden van het principe van wiskundige inductie is voldaan, daarom is de propositie waar voor alle waarden van n.

Voorbeeld 3 Bewijs dat voor elke natuurlijke n het getal 3 2n+1 +2 n+2 deelbaar is door 7.

Een bewijs:

1) Controleer of deze formule correct is voor n = 1: 3 2*1+1 +2 1+2 = 3 3 +2 3 =35, 35 is een veelvoud van 7.

2) Laat deze formule waar zijn voor n = k, d.w.z. 3 2 k +1 +2 k +2 is deelbaar door 7.

3) Laten we bewijzen dat de formule ook geldt voor n = k + 1, d.w.z.

3 2(k +1)+1 +2 (k +1)+2 =3 2k +1 3 2 +2k +2 2 1 =3 2k +1 9+2k +2 2 =3 2k +1 9+2 k +2 (9–7)=(3 2 k +1 +2 k +2) 9–7 2 k +2 .T. Aangezien (3 2 k +1 +2 k +2) 9 deelbaar is door 7 en 7 2 k +2 deelbaar is door 7, is hun verschil ook deelbaar door 7.

4) Aan beide voorwaarden van het principe van wiskundige inductie is voldaan, daarom is de propositie waar voor alle waarden van n.

Veel bewijsproblemen in de theorie van de deelbaarheid van natuurlijke getallen worden gemakkelijk opgelost met behulp van de methode van wiskundige inductie, men kan zelfs zeggen dat het oplossen van problemen met deze methode behoorlijk algoritmisch is, het is voldoende om 4 basisstappen uit te voeren. Maar deze methode kan niet universeel worden genoemd, omdat er ook nadelen zijn: ten eerste is het mogelijk om alleen te bewijzen op de verzameling natuurlijke getallen, en ten tweede is het mogelijk om slechts voor één variabele te bewijzen.

Voor de ontwikkeling van logisch denken, wiskundige cultuur, is deze methode een noodzakelijk hulpmiddel, omdat zelfs de grote Russische wiskundige A. N. Kolmogorov zei: "Het begrijpen en het vermogen om het principe van wiskundige inductie correct toe te passen, is een goed criterium voor logische volwassenheid, wat absoluut noodzakelijk voor wiskunde.”

Literatuur:

1. Vilenkin N. Ya Inductie. Combinatoriek. - M.: Verlichting, 1976. - 48 p.

2. Genkin L. Over wiskundige inductie. - M., 1962. - 36 d.

3. Solominsky I. S. Methode van wiskundige inductie. - M.: Nauka, 1974. - 63 d.

4. Sharygin I. F. Keuzevak wiskunde: probleemoplossing: leerboek voor 10 cellen. middelbare school - M.: Verlichting, 1989. - 252 p.

5. Shen A. Wiskundige inductie. - M.: MTSNMO, 2007.- 32 d.

METHODE VAN WISKUNDE INDUCTIE

Het woord inductie in het Russisch betekent begeleiding, en inductief wordt conclusies genoemd op basis van observaties, experimenten, d.w.z. verkregen door gevolgtrekking van het bijzondere naar het algemene.

We zien bijvoorbeeld elke dag dat de zon vanuit het oosten opkomt. Daarom kunt u er zeker van zijn dat het morgen in het oosten zal verschijnen en niet in het westen. We trekken deze conclusie zonder onze toevlucht te nemen tot veronderstellingen over de oorzaak van de beweging van de zon langs de hemel (bovendien blijkt deze beweging zelf duidelijk te zijn, aangezien de aardbol daadwerkelijk beweegt). En toch beschrijft deze inductieve afleiding correct de waarnemingen die we morgen zullen doen.

De rol van inductieve gevolgtrekkingen in de experimentele wetenschappen is zeer groot. Ze geven die bepalingen, waaruit vervolgens door aftrek verdere conclusies worden getrokken. En hoewel de theoretische mechanica gebaseerd is op de drie bewegingswetten van Newton, waren deze wetten zelf het resultaat van diep nadenken over experimentele gegevens, in het bijzonder Keplers wetten van planetaire beweging, door hem afgeleid tijdens de verwerking van langetermijnwaarnemingen door de Deense astronoom Tycho Brahe. Observatie en inductie blijken in de toekomst nuttig om de gemaakte aannames te verfijnen. Na Michelsons experimenten met het meten van de lichtsnelheid in een bewegend medium, bleek het nodig om de natuurwetten te verduidelijken en een relativiteitstheorie te creëren.

In de wiskunde is de rol van inductie grotendeels dat het ten grondslag ligt aan de gekozen axiomatiek. Nadat lang oefenen had uitgewezen dat een recht pad altijd korter is dan een gebogen of gebroken pad, lag het voor de hand om een ​​axioma te formuleren: voor elke drie punten A, B en C is de ongelijkheid

De onderliggende notie van te volgen rekenkunde kwam ook voort uit het observeren van de vorming van soldaten, schepen en andere geordende sets.

Men moet echter niet denken dat dit het einde is van de rol van inductie in de wiskunde. Natuurlijk moeten we stellingen die logisch zijn afgeleid uit axioma's niet experimenteel verifiëren: als er geen logische fouten zijn gemaakt in de afleiding, dan zijn ze waar voor zover de axioma's die we hebben aanvaard waar zijn. Maar uit dit systeem van axioma's kunnen veel uitspraken worden afgeleid. En de selectie van die beweringen die moeten worden bewezen, wordt opnieuw gesuggereerd door inductie. Zij is het die ons in staat stelt nuttige stellingen van nutteloze te scheiden, geeft aan welke stellingen waar kunnen blijken te zijn en helpt zelfs om het pad van het bewijs te schetsen.

De essentie van de methode van wiskundige inductie

In veel secties van rekenen, algebra, meetkunde en analyse moet men de waarheid bewijzen van zinnen A(n) die afhankelijk zijn van een natuurlijke variabele. Het bewijs van de waarheid van de zin A(n) voor alle waarden van de variabele kan vaak worden uitgevoerd door de methode van wiskundige inductie, die gebaseerd is op het volgende principe.

De zin A(n) wordt als waar beschouwd voor alle natuurlijke waarden van de variabele als aan de volgende twee voorwaarden is voldaan:

Stelling A(n) is waar voor n=1.

Uit de aanname dat A(n) waar is voor n=k (waar k een willekeurig natuurlijk getal is), volgt dat het waar is voor de volgende waarde n=k+1.

Dit principe wordt het principe van wiskundige inductie genoemd. Het wordt meestal gekozen als een van de axioma's die de natuurlijke getallenreeks definiëren en wordt daarom zonder bewijs geaccepteerd.

De methode van wiskundige inductie wordt opgevat als de volgende bewijsmethode. Als het nodig is om de waarheid van de propositie A(n) voor alle natuurlijke n te bewijzen, dan moet men ten eerste de waarheid van de propositie A(1) controleren en ten tweede de waarheid van de propositie A(k) aannemen. , probeer te bewijzen dat de propositie A(k +1) waar is. Als dit kan worden bewezen, en het bewijs blijft geldig voor elke natuurlijke waarde van k, dan wordt volgens het principe van wiskundige inductie de propositie A(n) als waar erkend voor alle waarden van n.

De methode van wiskundige inductie wordt veel gebruikt bij het bewijzen van stellingen, identiteiten, ongelijkheden, bij het oplossen van deelbaarheidsproblemen, bij het oplossen van enkele geometrische en vele andere problemen.

De methode van wiskundige inductie bij het oplossen van problemen op

deelbaarheid

Met behulp van de methode van wiskundige inductie kan men verschillende uitspraken over de deelbaarheid van natuurlijke getallen bewijzen.

De volgende bewering kan relatief eenvoudig worden bewezen. Laten we laten zien hoe het wordt verkregen met behulp van de methode van wiskundige inductie.

voorbeeld 1. Als n een natuurlijk getal is, dan is het getal even.

Voor n=1 is onze bewering waar: - een even getal. Laten we aannemen dat dit een even getal is. Aangezien , een 2k een even getal is, dan ook al. Dus de pariteit is bewezen voor n=1, de pariteit wordt afgeleid uit de pariteit .Dus, zelfs voor alle natuurlijke waarden van n.

Voorbeeld 2Bewijs de waarheid van de zin

A(n)=(getal 5 is een veelvoud van 19), n is een natuurlijk getal.

Oplossing.

De bewering A(1)=(getal is een veelvoud van 19) is waar.

Stel dat voor een bepaalde waarde n=k

A(k)=(getal is een veelvoud van 19) is waar. dan, sinds

Uiteraard is A(k+1) ook waar. Inderdaad, de eerste term is deelbaar door 19 op grond van de aanname dat A(k) waar is; de tweede term is ook deelbaar door 19, omdat deze een factor 19 bevat. Aan beide voorwaarden van het principe van wiskundige inductie is voldaan, daarom is de propositie A(n) waar voor alle waarden van n.

Toepassing van de methode van wiskundige inductie op:

serie sommatie

voorbeeld 1Bewijs de formule

, n is een natuurlijk getal.

Oplossing.

Voor n=1 worden beide delen van de gelijkheid één en daarmee is voldaan aan de eerste voorwaarde van het principe van wiskundige inductie.

Neem aan dat de formule waar is voor n=k, d.w.z.

.

Laten we beide kanten van deze gelijkheid optellen en de rechterkant transformeren. Dan krijgen we

Dus uit het feit dat de formule waar is voor n=k, volgt dat ze ook waar is voor n=k+1. Deze bewering geldt voor elke natuurlijke waarde van k. Er is dus ook voldaan aan de tweede voorwaarde van het principe van wiskundige inductie. De formule is bewezen.

Voorbeeld 2Bewijs dat de som van de eerste n getallen van de natuurlijke reeks is .

Oplossing.

Laten we het vereiste bedrag aangeven, d.w.z. .

Voor n=1 is de hypothese waar.

Laten . Laten we dat laten zien .

Inderdaad,

Probleem opgelost.

Voorbeeld 3Bewijs dat de som van de kwadraten van de eerste n getallen van de natuurlijke reeks gelijk is aan .

Oplossing.

Laten .

.

Laten we doen alsof . Dan

En tenslotte.

Voorbeeld 4 Bewijs dat .

Oplossing.

Als dan

Voorbeeld 5 Bewijs dat

Oplossing.

Voor n=1 is de hypothese uiteraard correct.

Laten .

Laten we dat bewijzen.

Werkelijk,

Voorbeelden van het toepassen van de methode van wiskundige inductie op:

bewijs van ongelijkheden

voorbeeld 1Bewijs dat voor elk natuurlijk getal n>1

.

Oplossing.

Geef de linkerkant van de ongelijkheid aan met .

Daarom is voor n=2 de ongelijkheid waar.

Laat voor wat k. Laten we bewijzen dat dan en . Wij hebben , .

Vergelijken en , we hebben , d.w.z. .

Voor elk positief geheel getal k is de rechterkant van de laatste gelijkheid positief. Dat is waarom . Maar daarom en.

Voorbeeld 2Zoek een fout in de redenering.

Uitspraak. Voor elke natuurlijke n is de ongelijkheid waar.

Een bewijs.

. (1)

Laten we bewijzen dat de ongelijkheid dan ook geldt voor n=k+1, d.w.z.

.

Inderdaad, minstens 2 voor elke natuurlijke k. Laten we ongelijkheid (1) aan de linkerkant toevoegen en aan de rechterkant 2. We krijgen een redelijke ongelijkheid, of . De stelling is bewezen.

Voorbeeld 3Bewijs dat , waarbij >-1, , n een natuurlijk getal groter dan 1 is.

Oplossing.

Voor n=2 is de ongelijkheid waar, aangezien .

Laat de ongelijkheid waar zijn voor n=k, waar k een natuurlijk getal is, d.w.z.

. (1)

Laten we aantonen dat de ongelijkheid dan ook geldt voor n=k+1, d.w.z.

. (2)

Inderdaad, door aanname, dus de ongelijkheid

, (3)

verkregen uit ongelijkheid (1) door elk deel ervan te vermenigvuldigen met . Laten we ongelijkheid (3) als volgt herschrijven: . Als we de positieve term aan de rechterkant van de laatste ongelijkheid weggooien, krijgen we de geldige ongelijkheid (2).

Voorbeeld 4 Bewijs dat

(1)

waarbij , , n een natuurlijk getal groter dan 1 is.

Oplossing.

Voor n=2 heeft ongelijkheid (1) de vorm

. (2)

Sinds , dan is de ongelijkheid

. (3)

Als we aan elk deel van ongelijkheid (3) toevoegen door , krijgen we ongelijkheid (2).

Dit bewijst dat ongelijkheid (1) geldt voor n=2.

Laat ongelijkheid (1) geldig zijn voor n=k, waar k een natuurlijk getal is, d.w.z.

. (4)

Laten we bewijzen dat dan ongelijkheid (1) ook geldig moet zijn voor n=k+1, d.w.z.

(5)

Laten we beide delen van ongelijkheid (4) vermenigvuldigen met a+b. Aangezien, door voorwaarde, krijgen we de volgende eerlijke ongelijkheid:

. (6)

Om ongelijkheid (5) te bewijzen, volstaat het om aan te tonen dat

, (7)

of, wat hetzelfde is,

. (8)

Ongelijkheid (8) is gelijk aan de ongelijkheid

. (9)

Als , dan , en aan de linkerkant van ongelijkheid (9) hebben we het product van twee positieve getallen. Als , dan , en aan de linkerkant van ongelijkheid (9) hebben we het product van twee negatieve getallen. In beide gevallen is ongelijkheid (9) geldig.

Dit bewijst dat de geldigheid van ongelijkheid (1) voor n=k de geldigheid ervan impliceert voor n=k+1.

Methode van wiskundige inductie zoals toegepast op anderen

taken

De meest natuurlijke toepassing van de methode van wiskundige inductie in de meetkunde, dicht bij het gebruik van deze methode in de getaltheorie en algebra, is de toepassing op de oplossing van geometrische rekenproblemen. Laten we een paar voorbeelden bekijken.

voorbeeld 1Bereken de zijde van de juiste - een vierkant ingeschreven in een cirkel met straal R.

Oplossing.

Voor n=2 juist 2 n - een vierkant is een vierkant; zijn kant. Verder, volgens de verdubbelingsformule

vind dat de zijde van een regelmatige achthoek , zijde van een regelmatige zeshoek , de zijde van een regelmatige tweeëndertig-hoek . We kunnen dus aannemen dat de zijde van een regelmatig ingeschreven 2 n - een vierkant voor elke is gelijk

. (1)

Laten we aannemen dat de zijde van een regelmatige ingeschreven -gon wordt uitgedrukt door de formule (1). In dit geval, door de verdubbelingsformule

,

waaruit volgt dat formule (1) geldig is voor alle n.

Voorbeeld 2In hoeveel driehoeken kan een n-hoek (niet noodzakelijk convex) worden verdeeld door zijn niet-snijdende diagonalen?

Oplossing.

Voor een driehoek is dit getal gelijk aan één (er kunnen geen diagonalen in een driehoek worden getekend); voor een vierhoek is dit getal uiteraard gelijk aan twee.

Stel dat we al weten dat elke k-gon, waarbij k 1 A 2 ... Een n in driehoeken.

Een

A 1 A 2

Laat А 1 А k een van de diagonalen van deze partitie zijn; het verdeelt de n-gon А 1 А 2 …А n in de k-gon A 1 A 2 …A k en de (n-k+2)-gon А 1 А k A k+1 …A n . Op grond van de gemaakte aanname zal het totale aantal partitiedriehoeken gelijk zijn aan

(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;

dus onze bewering is bewezen voor alle n.

Voorbeeld 3Specificeer een regel voor het berekenen van het aantal P(n) manieren waarop een convexe n-hoek kan worden verdeeld in driehoeken door niet-snijdende diagonalen.

Oplossing.

Voor een driehoek is dit getal uiteraard gelijk aan één: P(3)=1.

Stel dat we de getallen P(k) al hebben bepaald voor alle k 1 A 2 ... Een n . Voor elke verdeling ervan in driehoeken, de zijde A 1 A 2 zal een zijde zijn van een van de deeldriehoeken, het derde hoekpunt van deze driehoek kan samenvallen met elk van de punten A 3 , А 4 , …,А n . Het aantal manieren om een ​​n-hoek te verdelen waarin dit hoekpunt samenvalt met punt A 3 , is gelijk aan het aantal manieren om de (n-1)-gon A . te trianguleren 1 A 3 A 4 ... Een n , d.w.z. is gelijk aan P(n-1). Het aantal manieren waarop dit hoekpunt samenvalt met A 4 , is gelijk aan het aantal manieren om de (n-2)-gon A . te verdelen 1 A 4 A 5 ... Een n , d.w.z. is gelijk aan P(n-2)=P(n-2)P(3); het aantal manieren waarop het samenvalt met A 5 , is gelijk aan P(n-3)P(4), aangezien elk van de partities van de (n-3)-gon A 1 A 5 ... Een n kan worden gecombineerd met elk van de partities van de vierhoek A 2 A 3 A 4 A 5 , enz. Zo komen we tot de volgende relatie:

Р(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+…+P(3)P(n-2)+P(n -een).

Met behulp van deze formule verkrijgen we achtereenvolgens:

P(4)=P(3)+P(3)=2,

P(5)=P(4)+P(3)P(3)+P(4)+5,

P(6)=P(5)+P(4)P(3)+P(3)P(4)+P(5)=14

enz.

Met behulp van de methode van wiskundige inductie kunt u ook problemen met grafieken oplossen.

Laat een netwerk van lijnen op het vlak worden gegeven, die enkele punten met elkaar verbinden en geen andere punten hebben. We zullen zo'n netwerk van lijnen een kaart noemen, de gegeven punten zijn de hoekpunten, de segmenten van krommen tussen twee aangrenzende hoekpunten - de grenzen van de kaart, de delen van het vlak waarin het wordt verdeeld door de grenzen - de landen van de kaart.

Laat een kaart in het vliegtuig worden gegeven. We zullen zeggen dat het de juiste kleur heeft als elk van zijn landen in een bepaalde kleur is geverfd, en twee landen die een gemeenschappelijke grens delen, in verschillende kleuren zijn geverfd.

Voorbeeld 4Er zijn n cirkels in het vliegtuig. Bewijs dat voor elke rangschikking van deze cirkels, de kaart die ze vormen correct kan worden gekleurd met twee kleuren.

Oplossing.

Voor n=1 ligt onze bewering voor de hand.

Stel dat onze stelling waar is voor elke kaart gevormd door n cirkels, en laat n + 1 cirkels worden gegeven op het vlak. Door een van deze cirkels te verwijderen, krijgen we een kaart die, op grond van de gemaakte aanname, correct kan worden gekleurd met twee kleuren, bijvoorbeeld zwart en wit.

Ware kennis was te allen tijde gebaseerd op het vaststellen van een patroon en het bewijzen van de waarheid ervan in bepaalde omstandigheden. Voor zo'n lange periode van logisch redeneren werden de formuleringen van de regels gegeven, en Aristoteles stelde zelfs een lijst op van 'juiste redeneringen'. Historisch gezien is het gebruikelijk om alle gevolgtrekkingen in twee soorten te verdelen - van het concrete naar het meervoud (inductie) en vice versa (deductie). Opgemerkt moet worden dat de soorten bewijs van bijzonder naar algemeen en van algemeen naar bijzonder alleen in onderlinge samenhang bestaan ​​en niet kunnen worden uitgewisseld.

Inductie in wiskunde

De term "inductie" (inductie) heeft Latijnse wortels en vertaalt zich letterlijk als "begeleiding". Bij nadere bestudering kan men de structuur van het woord onderscheiden, namelijk het Latijnse voorvoegsel - in- (geeft gerichte actie naar binnen of binnen zijn) en -ductie - introductie. Het is vermeldenswaard dat er twee soorten zijn: volledige en onvolledige inductie. De volledige vorm wordt gekenmerkt door conclusies getrokken uit de studie van alle onderwerpen van een bepaalde klasse.

Onvolledig - conclusies toegepast op alle vakken van de klas, maar gemaakt op basis van de studie van slechts enkele eenheden.

Volledige wiskundige inductie is een conclusie gebaseerd op een algemene conclusie over de hele klasse van objecten die functioneel gerelateerd zijn door relaties van de natuurlijke reeks getallen op basis van kennis van deze functionele verbinding. In dit geval vindt het bewijsproces plaats in drie fasen:

• in de eerste fase wordt de juistheid van de verklaring van wiskundige inductie bewezen. Voorbeeld: f = 1, inductie;
• de volgende fase is gebaseerd op de veronderstelling dat de positie geldig is voor alle natuurlijke getallen. Dat wil zeggen, f=h, dit is de inductieve aanname;
• in de derde fase wordt de geldigheid van de positie voor het getal f=h+1 bewezen, gebaseerd op de juistheid van de positie van de vorige paragraaf - dit is een inductie-overgang, of een stap van wiskundige inductie. Een voorbeeld is de zogenaamde als het eerste bot in de rij valt (basis), dan vallen alle botten in de rij (overgang).

Zowel gekscherend als serieus

Voor het gemak van waarneming worden voorbeelden van oplossingen door de methode van wiskundige inductie aan de kaak gesteld in de vorm van grapproblemen. Dit is de taak Beleefd Wachtrij:

• De gedragsregels verbieden een man een bocht te nemen voor een vrouw (in zo'n situatie wordt ze vooraan gelaten). Op basis van deze verklaring, als de laatste in de rij een man is, dan zijn de rest mannen.

Een treffend voorbeeld van de methode van wiskundige inductie is het probleem "Dimensieloze vlucht":

• Het is vereist om te bewijzen dat een willekeurig aantal mensen in de minibus past. Weliswaar kan één persoon probleemloos in het transport (basis). Maar hoe vol de minibus ook is, er past altijd 1 passagier in (inductiestap).

bekende kringen

Voorbeelden van het oplossen van problemen en vergelijkingen door wiskundige inductie zijn heel gewoon. Ter illustratie van deze benadering kunnen we het volgende probleem beschouwen.

Voorwaarde: h cirkels worden op het vlak geplaatst. Het is vereist om te bewijzen dat, voor elke rangschikking van de figuren, de kaart die ze vormen correct kan worden gekleurd met twee kleuren.

Oplossing: voor h=1 is de waarheid van de stelling duidelijk, dus het bewijs zal worden gebouwd voor het aantal cirkels h+1.

Laten we aannemen dat de bewering waar is voor elke kaart, en h + 1 cirkels worden gegeven op het vlak. Door een van de cirkels uit het totaal te verwijderen, kun je een kaart correct inkleuren met twee kleuren (zwart en wit).

Bij het herstellen van een verwijderde cirkel verandert de kleur van elk gebied in het tegenovergestelde (in dit geval binnen de cirkel). Het blijkt een kaart correct gekleurd in twee kleuren, die moest worden bewezen.

Voorbeelden met natuurlijke getallen

De toepassing van de methode van wiskundige inductie wordt hieronder duidelijk weergegeven.

Voorbeelden van oplossingen:

Bewijs dat voor elke h de gelijkheid correct is:

1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.

1. Laat h=1, dan:

R 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

Hieruit volgt dat voor h=1 de stelling juist is.

2. Aannemende dat h=d, wordt de volgende vergelijking verkregen:

R 1 \u003d d 2 \u003d d (d + 1) (2d + 1) / 6 \u003d 1

3. Aannemende dat h=d+1, dan blijkt:

Rd+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6

R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

De geldigheid van de gelijkheid voor h=d+1 is dus bewezen, dus de bewering is waar voor elk natuurlijk getal, dat in het oplossingsvoorbeeld wordt getoond door wiskundige inductie.

Een taak

Voorwaarde: bewijs is vereist dat voor elke waarde van h de uitdrukking 7 h -1 deelbaar is door 6 zonder rest.

Oplossing:

1. Laten we zeggen h=1, in dit geval:

R 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 (d.w.z. gedeeld door 6 zonder rest)

Daarom is voor h=1 de bewering waar;

2. Zij h=d en 7 d -1 is zonder rest deelbaar door 6;

3. Het bewijs van de geldigheid van de stelling voor h=d+1 is de formule:

R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6

In dit geval is de eerste term deelbaar door 6 volgens de aanname van de eerste alinea, en de tweede term is gelijk aan 6. De bewering dat 7 h -1 deelbaar is door 6 zonder rest voor een natuurlijke h is waar.

Misvatting van het oordeel

Vaak wordt in bewijzen onjuist redeneren gebruikt, vanwege de onnauwkeurigheid van de gebruikte logische constructies. Dit gebeurt in principe wanneer de structuur en logica van het bewijs worden geschonden. Een voorbeeld van een onjuiste redenering is de volgende illustratie.

Een taak

Voorwaarde: vereist een bewijs dat een stapel stenen geen stapel is.

Oplossing:

1. Laten we zeggen h=1, in dit geval ligt er 1 steen in de stapel en is de stelling waar (basis);

2. Laat voor h=d gelden dat een stapel stenen geen stapel is (aanname);

3. Stel h=d+1, waaruit volgt dat wanneer er nog een steen wordt toegevoegd, de verzameling geen hoop zal zijn. De conclusie suggereert zelf dat de aanname geldig is voor alle natuurlijke h.

De fout ligt in het feit dat er geen definitie is van hoeveel stenen een stapel vormen. Een dergelijke omissie wordt in de methode van wiskundige inductie overhaaste generalisatie genoemd. Een voorbeeld laat dit duidelijk zien.

Inductie en de wetten van de logica

Historisch gezien lopen ze altijd "hand in hand". Zulke wetenschappelijke disciplines als logica, filosofie beschrijven ze in de vorm van tegenstellingen.

Vanuit het oogpunt van de wet van de logica zijn inductieve definities gebaseerd op feiten, en de juistheid van de premissen bepaalt niet de juistheid van de resulterende verklaring. Vaak worden conclusies getrokken met een zekere mate van waarschijnlijkheid en aannemelijkheid, die uiteraard door aanvullend onderzoek geverifieerd en bevestigd moeten worden. Een voorbeeld van inductie in logica zou de verklaring zijn:

Droogte in Estland, droogte in Letland, droogte in Litouwen.

Estland, Letland en Litouwen zijn de Baltische staten. Droogte in alle Baltische staten.

Uit het voorbeeld kunnen we concluderen dat nieuwe informatie of waarheid niet kan worden verkregen met behulp van de methode van inductie. Het enige waarop kan worden gerekend, is een mogelijke waarheidsgetrouwheid van de conclusies. Bovendien garandeert de waarheid van de premissen niet dezelfde conclusies. Dit feit betekent echter niet dat inductie in de achtertuin van deductie vegeet: een groot aantal bepalingen en wetenschappelijke wetten worden onderbouwd met behulp van de methode van inductie. Wiskunde, biologie en andere wetenschappen kunnen als voorbeeld dienen. Dit komt voornamelijk door de methode van volledige inductie, maar in sommige gevallen is gedeeltelijk ook van toepassing.

Het eerbiedwaardige tijdperk van inductie liet het toe om door te dringen tot bijna alle gebieden van menselijke activiteit - dit zijn wetenschap, economie en alledaagse conclusies.

Inductie in de wetenschappelijke omgeving

De methode van inductie vereist een nauwgezette houding, omdat te veel afhangt van het aantal bestudeerde bijzonderheden van het geheel: hoe groter het bestudeerde aantal, hoe betrouwbaarder het resultaat. Op basis van dit kenmerk worden de wetenschappelijke wetten verkregen door de methode van inductie voldoende lang getest op het niveau van probabilistische veronderstellingen om alle mogelijke structurele elementen, verbindingen en invloeden te isoleren en te bestuderen.

In de wetenschap is de inductieve conclusie gebaseerd op significante kenmerken, met uitzondering van willekeurige bepalingen. Dit feit is belangrijk in verband met de specifieke kenmerken van wetenschappelijke kennis. Dit is duidelijk te zien in de voorbeelden van inductie in de wetenschap.

Er zijn twee soorten inductie in de wetenschappelijke wereld (in verband met de studiemethode):

1. inductie-selectie (of selectie);
2. inductie - uitsluiting (eliminatie).

Het eerste type onderscheidt zich door methodische (nauwkeurige) bemonstering van een klasse (subklassen) uit zijn verschillende gebieden.

Een voorbeeld van dit type inductie is als volgt: zilver (of zilverzouten) zuivert water. De conclusie is gebaseerd op langetermijnobservaties (een soort selectie van bevestigingen en weerleggingen - selectie).

Het tweede type inductie is gebaseerd op conclusies die causale verbanden leggen en omstandigheden uitsluiten die niet overeenkomen met zijn eigenschappen, namelijk universaliteit, naleving van de temporele volgorde, noodzaak en ondubbelzinnigheid.

Inductie en deductie vanuit het standpunt van de filosofie

Als je kijkt naar de historische retrospectieve, werd de term 'inductie' voor het eerst genoemd door Socrates. Aristoteles beschreef voorbeelden van inductie in de filosofie in een meer benaderend terminologisch woordenboek, maar de kwestie van onvolledige inductie blijft open. Na de vervolging van het Aristotelische syllogisme werd de inductieve methode erkend als vruchtbaar en de enig mogelijke in de natuurwetenschap. Bacon wordt beschouwd als de vader van inductie als een onafhankelijke speciale methode, maar hij slaagde er niet in om inductie van de deductieve methode te scheiden, zoals zijn tijdgenoten eisten.

Verdere ontwikkeling van inductie werd uitgevoerd door J. Mill, die de inductietheorie beschouwde vanuit het standpunt van vier hoofdmethoden: overeenstemming, verschil, residuen en overeenkomstige veranderingen. Het is niet verwonderlijk dat tegenwoordig de genoemde methoden, wanneer ze in detail worden beschouwd, deductief zijn.

Bewustwording van de inconsistentie van de theorieën van Bacon en Mill bracht wetenschappers ertoe de probabilistische basis van inductie te onderzoeken. Maar ook hier waren er enkele uitersten: er werd getracht de inductie terug te brengen tot de waarschijnlijkheidstheorie, met alle gevolgen van dien.

Inductie krijgt een stem van vertrouwen in praktische toepassing in bepaalde vakgebieden en dankzij de metrische nauwkeurigheid van de inductieve basis. Een voorbeeld van inductie en deductie in de filosofie kan worden beschouwd als de wet van universele zwaartekracht. Op de datum van ontdekking van de wet kon Newton deze verifiëren met een nauwkeurigheid van 4 procent. En bij controle na meer dan tweehonderd jaar werd de juistheid bevestigd met een nauwkeurigheid van 0,0001 procent, hoewel de controle werd uitgevoerd door dezelfde inductieve generalisaties.

De moderne filosofie besteedt meer aandacht aan deductie, die wordt gedicteerd door een logische wens om nieuwe kennis (of waarheid) af te leiden uit wat al bekend is, zonder toevlucht te nemen tot ervaring, intuïtie, maar met behulp van 'zuivere' redenering. Wanneer in de deductieve methode naar ware premissen wordt verwezen, is de uitvoer in alle gevallen een ware verklaring.

Deze zeer belangrijke eigenschap mag de waarde van de inductieve methode niet overschaduwen. Omdat inductie, gebaseerd op de verworvenheden van ervaring, ook een middel wordt voor de verwerking ervan (inclusief generalisatie en systematisering).

Toepassing van inductie in economie

Inductie en deductie worden al lang gebruikt als methoden om de economie te bestuderen en de ontwikkeling ervan te voorspellen.

Het toepassingsgebied van de inductiemethode is vrij breed: de studie van de vervulling van prognose-indicatoren (winst, afschrijvingen, enz.) En een algemene beoordeling van de toestand van de onderneming; vorming van een effectief ondernemingspromotiebeleid op basis van feiten en hun relaties.

Dezelfde methode van inductie wordt gebruikt in de grafieken van Shewhart, waar, in de veronderstelling dat processen zijn onderverdeeld in gecontroleerd en onbeheerd, wordt gesteld dat het raamwerk van het gecontroleerde proces inactief is.

Opgemerkt moet worden dat wetenschappelijke wetten worden gerechtvaardigd en bevestigd met behulp van de inductiemethode, en aangezien economie een wetenschap is die vaak gebruikmaakt van wiskundige analyse, risicotheorie en statistische gegevens, is het niet verwonderlijk dat inductie is opgenomen in de lijst met belangrijkste methoden.

De volgende situatie kan dienen als een voorbeeld van inductie en deductie in de economie. Een stijging van de prijs van voedsel (uit het consumentenmandje) en essentiële goederen zet de consument ertoe aan na te denken over de opkomende hoge kosten in de staat (inductie). Tegelijkertijd is het uit het feit van hoge kosten, met behulp van wiskundige methoden, mogelijk om indicatoren van prijsgroei voor individuele goederen of categorieën goederen af ​​te leiden (aftrek).

Meestal wenden managementpersoneel, managers en economen zich tot de inductiemethode. Om de ontwikkeling van een onderneming, het marktgedrag en de gevolgen van concurrentie met voldoende waarheidsgetrouwheid te kunnen voorspellen, is een inductief-deductieve benadering van de analyse en verwerking van informatie noodzakelijk.

Een illustratief voorbeeld van inductie in de economie, verwijzend naar bedrieglijke oordelen:

• de winst van het bedrijf daalde met 30%;
  een concurrent heeft zijn productlijn uitgebreid;
  niets anders is veranderd;
• het productiebeleid van een concurrerend bedrijf zorgde voor een winstdaling van 30%;
• daarom moet hetzelfde productiebeleid worden gevoerd.

Het voorbeeld is een kleurrijke illustratie van hoe het onbekwame gebruik van de inductiemethode bijdraagt ​​aan de ondergang van een onderneming.

Deductie en inductie in de psychologie

Omdat er een methode is, is er logischerwijs ook een goed georganiseerd denken (voor het gebruik van de methode). Psychologie als een wetenschap die mentale processen, hun vorming, ontwikkeling, relaties, interacties bestudeert, besteedt aandacht aan "deductief" denken als een van de vormen van manifestatie van deductie en inductie. Helaas is er op de pagina's van psychologie op internet praktisch geen rechtvaardiging voor de integriteit van de deductief-inductieve methode. Hoewel professionele psychologen vaker manifestaties van inductie tegenkomen, of liever, foutieve conclusies.

Een voorbeeld van inductie in de psychologie, ter illustratie van verkeerde oordelen, is de uitspraak: mijn moeder is een bedrieger, daarom zijn alle vrouwen bedriegers. Er zijn nog meer "foutieve" voorbeelden van inductie uit het leven:

• een student is tot niets in staat als hij een deuce in wiskunde heeft behaald;
• hij is een dwaas;
• hij is slim;
• Ik kan alles;

En vele andere waardeoordelen gebaseerd op absoluut willekeurige en soms onbeduidende berichten.

Opgemerkt moet worden: wanneer de misvatting van iemands oordelen het punt van absurditeit bereikt, verschijnt er een front van werk voor de psychotherapeut. Een voorbeeld van introductie op een specialistische afspraak:

“De patiënt is er absoluut zeker van dat de rode kleur bij elke manifestatie alleen maar gevaar voor hem inhoudt. Als gevolg hiervan heeft een persoon dit kleurenschema uit zijn leven uitgesloten - voor zover mogelijk. In de woonomgeving zijn er veel mogelijkheden om comfortabel te wonen. U kunt alle rode items weigeren of vervangen door analogen in een ander kleurenschema. Maar op openbare plaatsen, op het werk, in de winkel - het is onmogelijk. Als de patiënt in een stressvolle situatie komt, ervaart hij elke keer een "vloed" van totaal verschillende emotionele toestanden, die gevaarlijk kunnen zijn voor anderen.

Dit voorbeeld van inductie, en onbewust, wordt 'vaste ideeën' genoemd. Als dit een mentaal gezond persoon overkomt, kunnen we praten over een gebrek aan organisatie van mentale activiteit. De elementaire ontwikkeling van deductief denken kan een manier worden om van obsessieve toestanden af ​​te komen. In andere gevallen werken psychiaters met dergelijke patiënten.

De bovenstaande voorbeelden van inductie geven aan dat "onwetendheid van de wet niet vrijstelt van de gevolgen (foutieve oordelen)".

Psychologen, die werken aan het onderwerp deductief denken, hebben een lijst met aanbevelingen samengesteld om mensen te helpen deze methode onder de knie te krijgen.

De eerste stap is het oplossen van problemen. Zoals te zien is, kan de vorm van inductie die in de wiskunde wordt gebruikt als "klassiek" worden beschouwd, en het gebruik van deze methode draagt ​​bij aan de "discipline" van de geest.

De volgende voorwaarde voor de ontwikkeling van deductief denken is de verruiming van de horizon (wie helder denkt, stelt duidelijk). Deze aanbeveling leidt het "lijden" naar de schatkamers van wetenschap en informatie (bibliotheken, websites, educatieve initiatieven, reizen, enz.).

Afzonderlijk moet melding worden gemaakt van de zogenaamde "psychologische inductie". Deze term is, hoewel zelden, te vinden op internet. Alle bronnen geven niet op zijn minst een korte definitie van deze term, maar verwijzen naar "voorbeelden uit het leven", terwijl ze ofwel suggestie, sommige vormen van geestesziekte of extreme toestanden van de menselijke psyche presenteren als een nieuw type inductie. Uit al het bovenstaande is het duidelijk dat een poging om een ​​"nieuwe term" af te leiden op basis van valse (vaak onware) premissen, de onderzoeker ertoe brengt een foutieve (of overhaaste) verklaring te ontvangen.

Opgemerkt moet worden dat de verwijzing naar de experimenten uit 1960 (zonder de locatie, de namen van de onderzoekers, de steekproef van proefpersonen en vooral het doel van het experiment aan te geven) er op zijn zachtst gezegd niet overtuigend uitziet, en de verklaring dat de hersenen informatie waarnemen die alle waarnemingsorganen omzeilt (de uitdrukking "ervaren" zou in dit geval meer organisch passen), doet nadenken over de goedgelovigheid en kritiekloosheid van de auteur van de verklaring.

In plaats van een conclusie

De koningin van de wetenschappen - wiskunde, gebruikt niet tevergeefs alle mogelijke reserves van de methode van inductie en deductie. De weloverwogen voorbeelden stellen ons in staat om te concluderen dat de oppervlakkige en onhandige (onbedachtzame, zoals ze zeggen) toepassing van zelfs de meest nauwkeurige en betrouwbare methoden altijd tot foutieve resultaten leidt.

In het massabewustzijn wordt de deductiemethode geassocieerd met de beroemde Sherlock Holmes, die in zijn logische constructies vaak voorbeelden van inductie gebruikt, waarbij hij deductie gebruikt in noodzakelijke situaties.

Het artikel ging in op voorbeelden van de toepassing van deze methoden in verschillende wetenschappen en sferen van het menselijk leven.