Stelling over het fundamentele systeem van oplossingen. Fundamenteel oplossingssysteem

De Gaussische methode heeft een aantal nadelen: het is onmogelijk om te weten of het systeem consistent is of niet totdat alle transformaties die nodig zijn in de Gaussische methode zijn uitgevoerd; De methode van Gauss is niet geschikt voor systemen met lettercoëfficiënten.

Laten we andere methoden bekijken voor het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen. Deze methoden maken gebruik van het concept van de matrixrangschikking en reduceren de oplossing van elk consistent systeem tot de oplossing van een systeem waarop de regel van Cramer van toepassing is.

Voorbeeld 1. Vind een algemene oplossing voor het volgende systeem van lineaire vergelijkingen met behulp van het fundamentele systeem van oplossingen voor het gereduceerde homogene systeem en een specifieke oplossing voor het inhomogene systeem.

1. Een matrix maken A en uitgebreide systeemmatrix (1)

2. Verken het systeem (1) voor saamhorigheid. Om dit te doen, vinden we de rangschikking van de matrices A en https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Als blijkt dat , dan is het systeem (1) onverenigbaar. Als we dat krijgen , dan is dit systeem consistent en zullen we het oplossen. (Het compatibiliteitsonderzoek is gebaseerd op de stelling van Kronecker-Capelli).

A. We vinden rA.

Vinden rA, zullen we achtereenvolgens niet-nul minderjarigen van de eerste, tweede, etc. ordes van de matrix beschouwen A en de minderjarigen om hen heen.

M1=1≠0 (we nemen 1 uit de linkerbovenhoek van de matrix A).

Wij grenzen M1 de tweede rij en tweede kolom van deze matrix. . Wij blijven grenzen M1 de tweede regel en de derde kolom..gif" width="37" height="20 src=">. Nu grenzen we de niet-nul kleine M2′ tweede bestelling.

We hebben: (aangezien de eerste twee kolommen hetzelfde zijn)

(aangezien de tweede en derde regel proportioneel zijn).

We zien dat rA=2, a is de basismineur van de matrix A.

B. We vinden.

Redelijk eenvoudige minor M2′ matrices A rand met een kolom met vrije termen en alle rijen (we hebben alleen de laatste rij).

. Het volgt dat M3 '' blijft de basismineur van de matrix https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Omdat M2′- basisminor van de matrix A systemen (2) , dan is dit systeem gelijkwaardig aan het systeem (3) , bestaande uit de eerste twee vergelijkingen van het systeem (2) (voor M2′ bevindt zich in de eerste twee rijen van matrix A).

(3)

Sinds de basisminor https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

In dit systeem zijn er twee vrije onbekenden ( x2 En x4 ). Daarom FSR systemen (4) bestaat uit twee oplossingen. Om ze te vinden, wijzen we vrije onbekenden toe (4) waarden eerst x2=1 , x4=0 , en dan - x2=0 , x4=1 .

Bij x2=1 , x4=0 we krijgen:

.

Dit systeem heeft dat al het enige oplossing (deze kan worden gevonden met behulp van de regel van Cramer of een andere methode). Als we de eerste van de tweede vergelijking aftrekken, krijgen we:

Haar oplossing zal zijn x1= -1 , x3=0 . Gezien de waarden x2 En x4 , die we hebben toegevoegd, verkrijgen we de eerste fundamentele oplossing van het systeem (2) : .

Nu geloven wij erin (4) x2=0 , x4=1 . We krijgen:

.

We lossen dit systeem op met behulp van de stelling van Cramer:

.

We verkrijgen de tweede fundamentele oplossing van het systeem (2) : .

Oplossingen β1 , β2 en opmaken FSR systemen (2) . Dan zal de algemene oplossing zijn

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Hier C1 , C2 – willekeurige constanten.

4. Laten we er een zoeken privaat oplossing heterogeen systeem(1) . Zoals in paragraaf 3 , in plaats van het systeem (1) Laten we een gelijkwaardig systeem overwegen (5) , bestaande uit de eerste twee vergelijkingen van het systeem (1) .

(5)

Laten we de vrije onbekenden naar de rechterkant verplaatsen x2 En x4.

(6)

Laten we gratis onbekenden geven x2 En x4 willekeurige waarden, bijvoorbeeld x2=2 , x4=1 en plaats ze erin (6) . Laten we het systeem pakken

Dit systeem heeft een unieke oplossing (aangezien zijn determinant M2′0). Door het op te lossen (met behulp van de stelling van Cramer of de methode van Gauss) verkrijgen we x1=3 , x3=3 . Gezien de waarden van de vrije onbekenden x2 En x4 , we krijgen bijzondere oplossing van een inhomogeen systeem(1)α1=(3,2,3,1).

5. Nu hoef je het alleen nog maar op te schrijven algemene oplossing α van een inhomogeen systeem(1) : het is gelijk aan de som particuliere oplossing dit systeem en algemene oplossing van het gereduceerde homogene systeem (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Dit betekent: (7)

6. Inspectie. Om te controleren of je het systeem correct hebt opgelost (1) hebben we een algemene oplossing nodig (7) vervangen in (1) . Als elke vergelijking verandert in de identiteit ( C1 En C2 vernietigd moet worden), dan is de oplossing correct gevonden.

Wij zullen vervangen (7) bijvoorbeeld alleen de laatste vergelijking van het systeem (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .

We krijgen: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Waar –1=–1. We hebben een identiteit. We doen dit met alle andere vergelijkingen van het systeem (1) .

Opmerking. De controle is meestal behoorlijk omslachtig. De volgende “gedeeltelijke controle” kan worden aanbevolen: in de algemene oplossing van het systeem (1) wijs enkele waarden toe aan willekeurige constanten en vervang de resulterende gedeeltelijke oplossing alleen in de weggegooide vergelijkingen (dat wil zeggen, in die vergelijkingen uit (1) , die er niet in waren opgenomen (5) ). Als je identiteiten krijgt, dan waarschijnlijker, systeemoplossing (1) correct gevonden (maar een dergelijke controle biedt geen volledige garantie op juistheid!). Als er bijvoorbeeld in (7) neerzetten C2=- 1 , C1=1, dan krijgen we: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Als we dit in de laatste vergelijking van systeem (1) invullen, krijgen we: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , d.w.z. –1=–1. We hebben een identiteit.

Voorbeeld 2. Zoek een algemene oplossing voor een stelsel lineaire vergelijkingen (1) , waarbij de fundamentele onbekenden worden uitgedrukt in termen van vrije.

Oplossing. Als in voorbeeld 1, stel matrices samen A en https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> van deze matrices. Nu laten we alleen die vergelijkingen van het systeem over (1) , waarvan de coëfficiënten zijn opgenomen in deze basisminor (dat wil zeggen, we hebben de eerste twee vergelijkingen) en beschouwen een systeem dat daaruit bestaat, gelijkwaardig aan systeem (1).

Laten we de vrije onbekenden overbrengen naar de rechterkant van deze vergelijkingen.

systeem (9) We lossen het op volgens de Gaussische methode, waarbij we de rechterkant als vrije termen beschouwen.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" breedte = "202 hoogte = 106" hoogte = "106">

Optie 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Optie 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" breedte = "172" hoogte = "80">

Optie 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" breedte = "179 hoogte = 106" hoogte = "106">

Optie 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" breedte = "195" hoogte = "106">

U kunt een gedetailleerde oplossing voor uw probleem bestellen!!!

Om te begrijpen wat het is fundamenteel beslissingssysteem U kunt een video-tutorial voor hetzelfde voorbeeld bekijken door op te klikken. Laten we nu verder gaan met de daadwerkelijke beschrijving van al het noodzakelijke werk. Dit zal u helpen de essentie van dit probleem in meer detail te begrijpen.

Hoe vind je het fundamentele systeem van oplossingen voor een lineaire vergelijking?

Laten we bijvoorbeeld het volgende systeem van lineaire vergelijkingen nemen:

Laten we de oplossing voor dit lineaire systeem van vergelijkingen vinden. Om te beginnen wij je moet de coëfficiëntenmatrix van het systeem uitschrijven.

Laten we deze matrix transformeren naar een driehoekige matrix. We herschrijven de eerste regel zonder wijzigingen. En alle elementen die zich onder $a_(11)$ bevinden, moeten als nullen worden gemaakt. Om een ​​nul te maken in plaats van het element $a_(21)$, moet je het eerste van de tweede regel aftrekken en het verschil op de tweede regel schrijven. Om een ​​nul te maken in plaats van het element $a_(31)$, moet je de eerste van de derde regel aftrekken en het verschil op de derde regel schrijven. Om een ​​nul te maken in plaats van het element $a_(41)$, moet je de eerste vermenigvuldigd met 2 aftrekken van de vierde regel en het verschil op de vierde regel schrijven. Om een ​​nul te maken in plaats van het element $a_(31)$, moet je de eerste vermenigvuldigd met 2 aftrekken van de vijfde regel en het verschil op de vijfde regel schrijven.

We herschrijven de eerste en tweede regel zonder wijzigingen. En alle elementen die zich onder $a_(22)$ bevinden, moeten op nul worden gezet. Om een ​​nul te maken in plaats van het element $a_(32)$, moet je de tweede vermenigvuldigd met 2 aftrekken van de derde regel en het verschil op de derde regel schrijven. Om een ​​nul te maken in plaats van het element $a_(42)$, moet je de tweede vermenigvuldigd met 2 aftrekken van de vierde regel en het verschil op de vierde regel schrijven. Om een ​​nul te maken in plaats van het element $a_(52)$, moet je de tweede vermenigvuldigd met 3 aftrekken van de vijfde regel en het verschil op de vijfde regel schrijven.

We zien dat de laatste drie regels zijn hetzelfde, dus als je de derde aftrekt van de vierde en vijfde, worden ze nul.

Volgens deze matrix schrijf een nieuw systeem van vergelijkingen.

We zien dat we slechts drie lineair onafhankelijke vergelijkingen hebben en vijf onbekenden, dus het fundamentele systeem van oplossingen zal uit twee vectoren bestaan. Zodat we we moeten de laatste twee onbekenden naar rechts verplaatsen.

Nu beginnen we de onbekenden aan de linkerkant uit te drukken via de onbekenden aan de rechterkant. We beginnen met de laatste vergelijking, eerst drukken we $x_3$ uit, dan vervangen we het resulterende resultaat in de tweede vergelijking en drukken we $x_2$ uit, en dan in de eerste vergelijking en hier drukken we $x_1$ uit. We hebben dus alle onbekenden aan de linkerkant uitgedrukt via de onbekenden aan de rechterkant.

Vervolgens kunnen we in plaats van $x_4$ en $x_5$ willekeurige getallen vervangen en $x_1$, $x_2$ en $x_3$ vinden. Elke vijf van deze getallen zullen de wortels zijn van ons oorspronkelijke systeem van vergelijkingen. Om de vectoren te vinden die zijn opgenomen in FSR we moeten 1 vervangen in plaats van $x_4$, en 0 vervangen in plaats van $x_5$, $x_1$, $x_2$ en $x_3$ vinden, en dan omgekeerd $x_4=0$ en $x_5=1$.


Het oplossen van systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen (SLAE's) is ongetwijfeld het belangrijkste onderwerp in een cursus lineaire algebra. Een groot aantal problemen uit alle takken van de wiskunde komen neer op het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen. Deze factoren verklaren de reden voor dit artikel. Het materiaal van het artikel is zo geselecteerd en gestructureerd dat u dit met zijn hulp kunt doen

  • kies de optimale methode voor het oplossen van uw systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen,
  • de theorie van de gekozen methode bestuderen,
  • los uw systeem van lineaire vergelijkingen op door gedetailleerde oplossingen voor typische voorbeelden en problemen te overwegen.

Korte beschrijving van het artikelmateriaal.

Eerst geven we alle noodzakelijke definities, concepten en introduceren we notaties.

Vervolgens zullen we methoden bekijken voor het oplossen van stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen waarin het aantal vergelijkingen gelijk is aan het aantal onbekende variabelen en die een unieke oplossing hebben. Ten eerste zullen we ons concentreren op de methode van Cramer, ten tweede zullen we de matrixmethode laten zien voor het oplossen van dergelijke stelsels vergelijkingen, en ten derde zullen we de Gauss-methode analyseren (de methode voor de sequentiële eliminatie van onbekende variabelen). Om de theorie te consolideren, zullen we zeker verschillende SLAE's op verschillende manieren oplossen.

Hierna gaan we verder met het oplossen van systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen van algemene vorm, waarbij het aantal vergelijkingen niet samenvalt met het aantal onbekende variabelen of de hoofdmatrix van het systeem singulier is. Laten we de stelling van Kronecker-Capelli formuleren, waarmee we de compatibiliteit van SLAE's kunnen vaststellen. Laten we de oplossing van systemen analyseren (als ze compatibel zijn) met behulp van het concept van een basisminor van een matrix. We zullen ook de Gauss-methode overwegen en de oplossingen voor de voorbeelden in detail beschrijven.

We zullen zeker stilstaan ​​bij de structuur van de algemene oplossing van homogene en inhomogene systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen. Laten we het concept van een fundamenteel systeem van oplossingen geven en laten zien hoe de algemene oplossing van een SLAE wordt geschreven met behulp van de vectoren van het fundamentele systeem van oplossingen. Laten we voor een beter begrip een paar voorbeelden bekijken.

Concluderend zullen we stelsels van vergelijkingen beschouwen die tot lineaire vergelijkingen kunnen worden gereduceerd, evenals verschillende problemen bij de oplossing waarvan SLAE's ontstaan.

Paginanavigatie.

Definities, concepten, benamingen.

We zullen systemen van p lineaire algebraïsche vergelijkingen beschouwen met n onbekende variabelen (p kan gelijk zijn aan n) van de vorm

Onbekende variabelen, - coëfficiënten (sommige reële of complexe getallen), - vrije termen (ook reële of complexe getallen).

Deze vorm van opnemen wordt SLAE genoemd coördineren.

IN matrixvorm het schrijven van dit systeem van vergelijkingen heeft de vorm,
Waar - de hoofdmatrix van het systeem, - een kolommatrix met onbekende variabelen, - een kolommatrix met vrije termen.

Als we een matrixkolom met vrije termen aan matrix A toevoegen als de (n+1)de kolom, krijgen we de zogenaamde uitgebreide matrix systemen van lineaire vergelijkingen. Meestal wordt een uitgebreide matrix aangegeven met de letter T, en wordt de kolom met vrije termen gescheiden door een verticale lijn van de overige kolommen, dat wil zeggen:

Een systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen oplossen een reeks waarden van onbekende variabelen genoemd die alle vergelijkingen van het systeem in identiteiten verandert. De matrixvergelijking voor gegeven waarden van de onbekende variabelen wordt ook een identiteit.

Als een stelsel vergelijkingen ten minste één oplossing heeft, wordt dit genoemd gewricht.

Als een stelsel vergelijkingen geen oplossingen heeft, wordt het genoemd niet-gezamenlijk.

Als een SLAE een unieke oplossing heeft, wordt deze aangeroepen zeker; als er meer dan één oplossing is, dan – onzeker.

Als de vrije termen van alle vergelijkingen van het systeem gelijk zijn aan nul , waarna het systeem wordt aangeroepen homogeen, anders - heterogeen.

Het oplossen van elementaire stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen.

Als het aantal vergelijkingen van een systeem gelijk is aan het aantal onbekende variabelen en de determinant van de hoofdmatrix niet gelijk is aan nul, dan worden dergelijke SLAE's genoemd elementair. Dergelijke stelsels vergelijkingen hebben een unieke oplossing, en in het geval van een homogeen systeem zijn alle onbekende variabelen gelijk aan nul.

We zijn op de middelbare school begonnen met het bestuderen van dergelijke SLAE's. Bij het oplossen ervan namen we één vergelijking, drukten één onbekende variabele uit in termen van andere en substitueerden deze in de overige vergelijkingen, namen vervolgens de volgende vergelijking, drukten de volgende onbekende variabele uit en substitueerden deze in andere vergelijkingen, enzovoort. Of ze gebruikten de optelmethode, dat wil zeggen dat ze twee of meer vergelijkingen toevoegden om onbekende variabelen te elimineren. We zullen niet in detail op deze methoden ingaan, omdat het in wezen wijzigingen zijn van de Gauss-methode.

De belangrijkste methoden voor het oplossen van elementaire stelsels van lineaire vergelijkingen zijn de Cramer-methode, de matrixmethode en de Gauss-methode. Laten we ze uitzoeken.

Systemen van lineaire vergelijkingen oplossen met behulp van de methode van Cramer.

Stel dat we een systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen moeten oplossen

waarin het aantal vergelijkingen gelijk is aan het aantal onbekende variabelen en de determinant van de hoofdmatrix van het systeem verschillend is van nul, dat wil zeggen .

Laat de determinant zijn van de hoofdmatrix van het systeem, en - determinanten van matrices die door vervanging uit A worden verkregen 1e, 2e, …, nde kolom respectievelijk naar de kolom met vrije leden:

Met deze notatie worden onbekende variabelen berekend met behulp van de formules van Cramer's methode as . Dit is hoe de oplossing voor een systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen wordt gevonden met behulp van de methode van Cramer.

Voorbeeld.

Cramers methode .

Oplossing.

De hoofdmatrix van het systeem heeft de vorm . Laten we de determinant ervan berekenen (zie indien nodig het artikel):

Omdat de determinant van de hoofdmatrix van het systeem niet nul is, heeft het systeem een ​​unieke oplossing die kan worden gevonden met de methode van Cramer.

Laten we de noodzakelijke determinanten samenstellen en berekenen (we verkrijgen de determinant door de eerste kolom in matrix A te vervangen door een kolom met vrije termen, de determinant door de tweede kolom te vervangen door een kolom met vrije termen, en door de derde kolom van matrix A te vervangen door een kolom met vrije termen) :

Onbekende variabelen vinden met behulp van formules :

Antwoord:

Het belangrijkste nadeel van de methode van Cramer (als het al een nadeel kan worden genoemd) is de complexiteit van het berekenen van determinanten wanneer het aantal vergelijkingen in het systeem meer dan drie bedraagt.

Systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen oplossen met behulp van de matrixmethode (met behulp van een inverse matrix).

Laat een systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen in matrixvorm worden gegeven, waarbij de matrix A dimensie n bij n heeft en de determinant ervan niet nul is.

Omdat matrix A inverteerbaar is, dat wil zeggen dat er een inverse matrix is. Als we beide zijden van de gelijkheid met links vermenigvuldigen, krijgen we een formule voor het vinden van een matrixkolom met onbekende variabelen. Op deze manier hebben we een oplossing verkregen voor een systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen met behulp van de matrixmethode.

Voorbeeld.

Systeem van lineaire vergelijkingen oplossen matrixmethode.

Oplossing.

Laten we het systeem van vergelijkingen in matrixvorm herschrijven:

Omdat

dan kan de SLAE worden opgelost met behulp van de matrixmethode. Met behulp van de inverse matrix kan de oplossing voor dit systeem worden gevonden als .

Laten we een inverse matrix construeren met behulp van een matrix uit algebraïsche optellingen van elementen van matrix A (zie indien nodig het artikel):

Het blijft nodig om de matrix van onbekende variabelen te berekenen door de inverse matrix te vermenigvuldigen naar een matrixkolom met vrije leden (zie indien nodig het artikel):

Antwoord:

of in een andere notatie x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Het grootste probleem bij het vinden van oplossingen voor stelsels van lineaire algebraïsche vergelijkingen met behulp van de matrixmethode is de complexiteit van het vinden van de inverse matrix, vooral voor vierkante matrices met een orde hoger dan de derde.

Systemen van lineaire vergelijkingen oplossen met behulp van de Gauss-methode.

Stel dat we een oplossing moeten vinden voor een stelsel van n lineaire vergelijkingen met n onbekende variabelen
waarvan de determinant van de hoofdmatrix verschillend is van nul.

De essentie van de Gauss-methode bestaat uit het opeenvolgend elimineren van onbekende variabelen: eerst wordt x 1 uitgesloten van alle vergelijkingen van het systeem, beginnend bij de tweede, vervolgens wordt x 2 uitgesloten van alle vergelijkingen, beginnend bij de derde, enzovoort, totdat alleen de onbekende variabele x n overblijft in de laatste vergelijking. Dit proces van het transformeren van systeemvergelijkingen om opeenvolgend onbekende variabelen te elimineren, wordt genoemd directe Gaussische methode. Na het voltooien van de voorwaartse slag van de Gauss-methode, wordt x n gevonden uit de laatste vergelijking, met behulp van deze waarde uit de voorlaatste vergelijking, wordt x n-1 berekend, enzovoort, x 1 wordt gevonden uit de eerste vergelijking. Het proces van het berekenen van onbekende variabelen bij het overgaan van de laatste vergelijking van het systeem naar de eerste wordt genoemd inverse van de Gaussische methode.

Laten we het algoritme voor het elimineren van onbekende variabelen kort beschrijven.

We gaan ervan uit dat , omdat we dit altijd kunnen bereiken door de vergelijkingen van het systeem te herschikken. Laten we de onbekende variabele x 1 uit alle vergelijkingen van het systeem elimineren, te beginnen met de tweede. Om dit te doen, voegen we aan de tweede vergelijking van het systeem de eerste toe, vermenigvuldigd met , aan de derde vergelijking voegen we de eerste toe, vermenigvuldigd met , enzovoort, aan de n-de vergelijking voegen we de eerste toe, vermenigvuldigd met . Het systeem van vergelijkingen na dergelijke transformaties zal de vorm aannemen

waar en .

We zouden tot hetzelfde resultaat zijn gekomen als we x 1 hadden uitgedrukt in termen van andere onbekende variabelen in de eerste vergelijking van het systeem en de resulterende uitdrukking in alle andere vergelijkingen hadden vervangen. De variabele x 1 wordt dus uitgesloten van alle vergelijkingen, te beginnen vanaf de tweede.

Vervolgens gaan we op een vergelijkbare manier te werk, maar alleen met een deel van het resulterende systeem, dat in de figuur is gemarkeerd

Om dit te doen, voegen we aan de derde vergelijking van het systeem de tweede toe, vermenigvuldigd met , aan de vierde vergelijking voegen we de tweede toe, vermenigvuldigd met , enzovoort, aan de n-de vergelijking voegen we de tweede toe, vermenigvuldigd met . Het systeem van vergelijkingen na dergelijke transformaties zal de vorm aannemen

waar en . De variabele x 2 wordt dus uitgesloten van alle vergelijkingen, te beginnen vanaf de derde.

Vervolgens gaan we verder met het elimineren van de onbekende x 3, terwijl we op dezelfde manier handelen met het deel van het systeem dat in de figuur is gemarkeerd

We zetten dus de directe voortgang van de Gaussische methode voort totdat het systeem de vorm aanneemt

Vanaf dit moment beginnen we met het omgekeerde van de Gauss-methode: we berekenen x n uit de laatste vergelijking als , met behulp van de verkregen waarde van x n vinden we x n-1 uit de voorlaatste vergelijking, enzovoort, we vinden x 1 uit de eerste vergelijking .

Voorbeeld.

Systeem van lineaire vergelijkingen oplossen Gauss-methode.

Oplossing.

Laten we de onbekende variabele x 1 uitsluiten van de tweede en derde vergelijkingen van het systeem. Om dit te doen, voegen we aan beide zijden van de tweede en derde vergelijking de overeenkomstige delen van de eerste vergelijking toe, respectievelijk vermenigvuldigd met en met:

Nu elimineren we x 2 uit de derde vergelijking door aan de linker- en rechterkant de linker- en rechterkant van de tweede vergelijking toe te voegen, vermenigvuldigd met:

Hiermee is de voorwaartse slag van de Gauss-methode voltooid; we beginnen met de omgekeerde slag.

Uit de laatste vergelijking van het resulterende stelsel vergelijkingen vinden we x 3:

Uit de tweede vergelijking krijgen we .

Uit de eerste vergelijking vinden we de resterende onbekende variabele en voltooien daarmee het omgekeerde van de Gauss-methode.

Antwoord:

X1 = 4, x2 = 0, x3 = -1.

Systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen met algemene vorm oplossen.

Over het algemeen valt het aantal vergelijkingen van het systeem p niet samen met het aantal onbekende variabelen n:

Dergelijke SLAE's hebben mogelijk geen oplossingen, hebben één enkele oplossing of hebben oneindig veel oplossingen. Deze verklaring is ook van toepassing op stelsels vergelijkingen waarvan de hoofdmatrix vierkant en enkelvoudig is.

Stelling van Kronecker-Capelli.

Voordat we een oplossing kunnen vinden voor een stelsel van lineaire vergelijkingen, is het noodzakelijk om de compatibiliteit ervan vast te stellen. Het antwoord op de vraag wanneer SLAE compatibel is en wanneer inconsistent wordt gegeven door Stelling van Kronecker-Capelli:
Om een ​​systeem van p-vergelijkingen met n onbekenden (p kan gelijk zijn aan n) consistent te laten zijn, is het noodzakelijk en voldoende dat de rang van de hoofdmatrix van het systeem gelijk is aan de rang van de uitgebreide matrix, dat wil zeggen , Rang(A)=Rang(T).

Laten we als voorbeeld de toepassing van de stelling van Kronecker-Capelli bekijken om de compatibiliteit van een stelsel van lineaire vergelijkingen te bepalen.

Voorbeeld.

Ontdek of het systeem van lineaire vergelijkingen dat heeft oplossingen.

Oplossing.

. Laten we de methode van het grenzen van minderjarigen gebruiken. Minor van de tweede orde verschillend van nul. Laten we eens kijken naar de minderjarigen van de derde orde die eraan grenzen:

Omdat alle aangrenzende minderjarigen van de derde orde gelijk zijn aan nul, is de rangorde van de hoofdmatrix gelijk aan twee.

Op zijn beurt de rangorde van de uitgebreide matrix is gelijk aan drie, aangezien de minor van de derde orde is

verschillend van nul.

Dus, Rang(A) kunnen we daarom, met behulp van de stelling van Kronecker-Capelli, concluderen dat het oorspronkelijke systeem van lineaire vergelijkingen inconsistent is.

Antwoord:

Het systeem kent geen oplossingen.

We hebben dus geleerd de inconsistentie van een systeem vast te stellen met behulp van de stelling van Kronecker-Capelli.

Maar hoe vind je een oplossing voor een SLAE als de compatibiliteit ervan is vastgesteld?

Om dit te doen hebben we het concept van een basisminor van een matrix nodig en een stelling over de rangorde van een matrix.

De minor van de hoogste orde van de matrix A, verschillend van nul, wordt genoemd eenvoudig.

Uit de definitie van een basisminor volgt dat de volgorde ervan gelijk is aan de rangorde van de matrix. Voor een niet-nul matrix A kunnen er meerdere basisminoren zijn; er is altijd één basisminor.

Kijk bijvoorbeeld eens naar de matrix .

Alle minoren van de derde orde van deze matrix zijn gelijk aan nul, aangezien de elementen van de derde rij van deze matrix de som zijn van de overeenkomstige elementen van de eerste en tweede rij.

De volgende minoren van de tweede orde zijn eenvoudig, aangezien ze niet nul zijn

Minderjarigen zijn niet fundamenteel, aangezien ze gelijk zijn aan nul.

Matrix-rangstelling.

Als de rangorde van een matrix van orde p bij n gelijk is aan r, dan worden alle rij- (en kolom-)elementen van de matrix die niet de gekozen basis-minor vormen lineair uitgedrukt in termen van de overeenkomstige rij- (en kolom-) elementen die de basisminor.

Wat vertelt de matrixrangstelling ons?

Als we, volgens de stelling van Kronecker-Capelli, de compatibiliteit van het systeem hebben vastgesteld, dan kiezen we een willekeurige basis-minor van de hoofdmatrix van het systeem (de volgorde is gelijk aan r), en sluiten we alle vergelijkingen die dat wel doen uit het systeem uit. vormen niet de gekozen basisminor. De op deze manier verkregen SLAE zal gelijkwaardig zijn aan de oorspronkelijke, aangezien de weggegooide vergelijkingen nog steeds redundant zijn (volgens de matrixrangstelling zijn ze een lineaire combinatie van de resterende vergelijkingen).

Als gevolg hiervan zijn, na het weggooien van onnodige vergelijkingen van het systeem, twee gevallen mogelijk.

    Als het aantal vergelijkingen r in het resulterende systeem gelijk is aan het aantal onbekende variabelen, dan zal het definitief zijn en kan de enige oplossing gevonden worden met de Cramer-methode, de matrixmethode of de Gauss-methode.

    Voorbeeld.

    .

    Oplossing.

    Rang van de hoofdmatrix van het systeem is gelijk aan twee, aangezien de minor van de tweede orde is verschillend van nul. Uitgebreide matrixrang is ook gelijk aan twee, aangezien de enige derde orde minor nul is

    en de hierboven beschouwde tweede orde minor verschilt van nul. Op basis van de stelling van Kronecker-Capelli kunnen we de compatibiliteit van het oorspronkelijke systeem van lineaire vergelijkingen beweren, aangezien Rang(A)=Rang(T)=2.

    Als basisminor nemen wij . Het wordt gevormd door de coëfficiënten van de eerste en tweede vergelijking:

    De derde vergelijking van het systeem neemt niet deel aan de vorming van de basismineur, dus sluiten we deze uit van het systeem op basis van de stelling over de rangorde van de matrix:

    Op deze manier hebben we een elementair systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen verkregen. Laten we het oplossen met behulp van de methode van Cramer:

    Antwoord:

    x1=1,x2=2.

    Als het aantal vergelijkingen r in de resulterende SLAE kleiner is dan het aantal onbekende variabelen n, dan laten we aan de linkerkant van de vergelijkingen de termen achter die de basisminor vormen, en verplaatsen we de resterende termen naar de rechterkant van de vergelijkingen. vergelijkingen van het systeem met het tegengestelde teken.

    De onbekende variabelen (r ervan) die aan de linkerkant van de vergelijkingen achterblijven, worden genoemd voornaamst.

    Onbekende variabelen (er zijn n - r stukken) die aan de rechterkant staan ​​worden genoemd vrij.

    Nu geloven we dat vrije onbekende variabelen willekeurige waarden kunnen aannemen, terwijl de belangrijkste onbekende variabelen op een unieke manier via vrije onbekende variabelen zullen worden uitgedrukt. Hun uitdrukking kan worden gevonden door de resulterende SLAE op te lossen met behulp van de Cramer-methode, de matrixmethode of de Gauss-methode.

    Laten we het eens bekijken met een voorbeeld.

    Voorbeeld.

    Een systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen oplossen .

    Oplossing.

    Laten we de rangorde van de hoofdmatrix van het systeem vinden door de methode van grensoverschrijdende minderjarigen. Laten we een 1 1 = 1 nemen als een niet-nul minor van de eerste orde. Laten we beginnen met zoeken naar een niet-nul minor van de tweede orde die aan deze minor grenst:

    Zo vonden we een niet-nul minor van de tweede orde. Laten we beginnen met zoeken naar een niet-nul grenzende minderjarige van de derde orde:

    De rangorde van de hoofdmatrix is ​​dus drie. De rangorde van de uitgebreide matrix is ​​ook gelijk aan drie, dat wil zeggen dat het systeem consistent is.

    Als basis nemen we de gevonden niet-nulmineur van de derde orde.

    Voor de duidelijkheid laten we de elementen zien die de basisminor vormen:

    We laten de termen die betrokken zijn bij de basismineur aan de linkerkant van de systeemvergelijkingen, en verplaatsen de rest met tegengestelde tekens naar de rechterkant:

    Laten we de vrije onbekende variabelen x 2 en x 5 willekeurige waarden geven, dat wil zeggen: we accepteren , waar willekeurige getallen zijn. In dit geval zal de SLAE de vorm aannemen

    Laten we het resulterende elementaire systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen oplossen met behulp van de methode van Cramer:

    Vandaar, .

    Vergeet in je antwoord niet om vrije onbekende variabelen aan te geven.

    Antwoord:

    Waar zijn willekeurige getallen.

Samenvatten.

Om een ​​systeem van algemene lineaire algebraïsche vergelijkingen op te lossen, bepalen we eerst de compatibiliteit ervan met behulp van de stelling van Kronecker-Capelli. Als de rangorde van de hoofdmatrix niet gelijk is aan de rangorde van de uitgebreide matrix, dan concluderen we dat het systeem incompatibel is.

Als de rangorde van de hoofdmatrix gelijk is aan de rangorde van de uitgebreide matrix, selecteren we een basis-minor en negeren we de vergelijkingen van het systeem die niet deelnemen aan de vorming van de geselecteerde basis-minor.

Als de volgorde van de basisminor gelijk is aan het aantal onbekende variabelen, dan heeft de SLAE een unieke oplossing, die kan worden gevonden met elke ons bekende methode.

Als de volgorde van de basismineur kleiner is dan het aantal onbekende variabelen, laten we aan de linkerkant van de systeemvergelijkingen de termen met de belangrijkste onbekende variabelen achter, verplaatsen we de resterende termen naar de rechterkant en geven we willekeurige waarden aan de vrije onbekende variabelen. Uit het resulterende systeem van lineaire vergelijkingen vinden we de belangrijkste onbekende variabelen met behulp van de Cramer-methode, de matrixmethode of de Gauss-methode.

Gauss-methode voor het oplossen van systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen met een algemene vorm.

De Gauss-methode kan worden gebruikt om systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen van welke aard dan ook op te lossen zonder ze eerst op consistentie te testen. Het proces van sequentiële eliminatie van onbekende variabelen maakt het mogelijk om een ​​conclusie te trekken over zowel de compatibiliteit als de incompatibiliteit van de SLAE, en als er een oplossing bestaat, is het mogelijk deze te vinden.

Vanuit computationeel oogpunt verdient de Gaussische methode de voorkeur.

Zie de gedetailleerde beschrijving en geanalyseerde voorbeelden in het artikel Gauss-methode voor het oplossen van systemen van algemene lineaire algebraïsche vergelijkingen.

Schrijven van een algemene oplossing voor homogene en inhomogene lineaire algebraïsche systemen met behulp van vectoren van het fundamentele systeem van oplossingen.

In deze sectie zullen we het hebben over gelijktijdige homogene en inhomogene systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen die een oneindig aantal oplossingen hebben.

Laten we eerst kijken naar homogene systemen.

Fundamenteel systeem van oplossingen homogeen systeem van p lineaire algebraïsche vergelijkingen met n onbekende variabelen is een verzameling (n – r) lineair onafhankelijke oplossingen van dit systeem, waarbij r de orde is van de basismineur van de hoofdmatrix van het systeem.

Als we lineair onafhankelijke oplossingen van een homogene SLAE aanduiden als X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) zijn kolommatrices met dimensie n door 1), dan wordt de algemene oplossing van dit homogene systeem weergegeven als een lineaire combinatie van vectoren van het fundamentele systeem van oplossingen met willekeurige constante coëfficiënten C 1, C 2, ..., C (n-r), dat wil zeggen, .

Wat betekent de term algemene oplossing van een homogeen systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen (oroslau)?

De betekenis is simpel: de formule specificeert alle mogelijke oplossingen van de oorspronkelijke SLAE, met andere woorden, waarbij elke reeks waarden van willekeurige constanten C 1, C 2, ..., C (n-r) wordt genomen, met behulp van de formule die we zullen gebruiken verkrijg een van de oplossingen van de oorspronkelijke homogene SLAE.

Dus als we een fundamenteel systeem van oplossingen vinden, kunnen we alle oplossingen van deze homogene SLAE definiëren als .

Laten we het proces tonen van het construeren van een fundamenteel systeem van oplossingen voor een homogene SLAE.

We selecteren de basismineur van het oorspronkelijke systeem van lineaire vergelijkingen, sluiten alle andere vergelijkingen uit het systeem en verplaatsen alle termen die vrije onbekende variabelen bevatten naar de rechterkant van de systeemvergelijkingen met tegengestelde tekens. Laten we de vrije onbekende variabelen de waarden 1,0,0,...,0 geven en de belangrijkste onbekenden berekenen door het resulterende elementaire systeem van lineaire vergelijkingen op welke manier dan ook op te lossen, bijvoorbeeld met behulp van de Cramer-methode. Dit zal resulteren in X (1) - de eerste oplossing van het fundamentele systeem. Als we de vrije onbekenden de waarden 0,1,0,0,…,0 geven en de belangrijkste onbekenden berekenen, krijgen we X (2) . Enzovoort. Als we de waarden 0,0,…,0,1 toekennen aan de vrije onbekende variabelen en de belangrijkste onbekenden berekenen, krijgen we X (n-r) . Op deze manier zal een fundamenteel systeem van oplossingen voor een homogene SLAE worden geconstrueerd en kan de algemene oplossing ervan in de vorm worden geschreven.

Voor inhomogene systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen wordt de algemene oplossing weergegeven in de vorm , waarbij de algemene oplossing van het overeenkomstige homogene systeem is, en de specifieke oplossing is van de oorspronkelijke inhomogene SLAE, die we verkrijgen door de vrije onbekenden de waarden te geven ​0,0,...,0 en het berekenen van de waarden van de belangrijkste onbekenden.

Laten we naar voorbeelden kijken.

Voorbeeld.

Vind het fundamentele systeem van oplossingen en de algemene oplossing van een homogeen systeem van lineaire algebraïsche vergelijkingen .

Oplossing.

De rangorde van de hoofdmatrix van homogene stelsels van lineaire vergelijkingen is altijd gelijk aan de rangorde van de uitgebreide matrix. Laten we de rangorde van de hoofdmatrix vinden met behulp van de methode van aangrenzende minderjarigen. Als een niet-nul minor van de eerste orde nemen we element a 1 1 = 9 van de hoofdmatrix van het systeem. Laten we de aangrenzende niet-nul mineur van de tweede orde vinden:

Er is een minor van de tweede orde gevonden, verschillend van nul. Laten we de minderjarigen van de derde orde die eraan grenzen, doornemen op zoek naar een niet-nul:

Alle aangrenzende minderjarigen van de derde orde zijn gelijk aan nul, daarom is de rangorde van de hoofd- en uitgebreide matrix gelijk aan twee. Laten we nemen . Laten we voor de duidelijkheid eens kijken naar de elementen van het systeem waaruit het bestaat:

De derde vergelijking van de oorspronkelijke SLAE neemt niet deel aan de vorming van de basisminor en kan daarom worden uitgesloten:

We laten de termen met de belangrijkste onbekenden aan de rechterkant van de vergelijkingen staan, en verplaatsen de termen met vrije onbekenden naar de rechterkant:

Laten we een fundamenteel systeem van oplossingen construeren voor het oorspronkelijke homogene systeem van lineaire vergelijkingen. Het fundamentele systeem van oplossingen van deze SLAE bestaat uit twee oplossingen, aangezien de oorspronkelijke SLAE vier onbekende variabelen bevat en de volgorde van de basismineur gelijk is aan twee. Om X (1) te vinden, geven we de vrije onbekende variabelen de waarden x 2 = 1, x 4 = 0, daarna vinden we de belangrijkste onbekenden uit het stelsel vergelijkingen
.

Laten M 0 – reeks oplossingen voor een homogeen systeem (4) van lineaire vergelijkingen.

Definitie 6.12. Vectoren Met 1 ,Met 2 , …, met blz, die oplossingen van een homogeen systeem van lineaire vergelijkingen worden genoemd fundamentele reeks oplossingen(afgekort FNR), als

1) vectoren Met 1 ,Met 2 , …, met blz lineair onafhankelijk (dat wil zeggen, geen van hen kan worden uitgedrukt in termen van de andere);

2) elke andere oplossing voor een homogeen systeem van lineaire vergelijkingen kan worden uitgedrukt in termen van oplossingen Met 1 ,Met 2 , …, met blz.

Merk op dat als Met 1 ,Met 2 , …, met blz– elke f.n.r., dan de uitdrukking k 1× Met 1 + k 2× Met 2 + … + k p× met blz je kunt de hele set beschrijven M 0 oplossingen voor systeem (4), zo heet het algemeen beeld van de systeemoplossing (4).

Stelling 6.6. Elk onbepaald homogeen systeem van lineaire vergelijkingen heeft een fundamentele reeks oplossingen.

De manier om de fundamentele reeks oplossingen te vinden is als volgt:

Vind een algemene oplossing voor een homogeen systeem van lineaire vergelijkingen;

Bouwen ( N – R) deeloplossingen van dit systeem, terwijl de waarden van de vrije onbekenden een identiteitsmatrix moeten vormen;

Noteer de algemene vorm van de oplossing die is opgenomen in M 0 .

Voorbeeld 6.5. Zoek een fundamentele reeks oplossingen voor het volgende systeem:

Oplossing. Laten we een algemene oplossing voor dit systeem vinden.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Er zijn vijf onbekenden in dit systeem ( N= 5), waarvan er twee belangrijke onbekenden zijn ( R= 2), zijn er drie vrije onbekenden ( N – R), dat wil zeggen dat de fundamentele oplossingsset drie oplossingsvectoren bevat. Laten we ze bouwen. We hebben X 1 en X 3 – belangrijkste onbekenden, X 2 , X 4 , X 5 – vrije onbekenden

Waarden van vrije onbekenden X 2 , X 4 , X 5 vormen de identiteitsmatrix E derde bestelling. Ik heb die vectoren Met 1 ,Met 2 , Met 3 formulier f.n.r. van dit systeem. Dan zal de reeks oplossingen van dit homogene systeem zijn M 0 = {k 1× Met 1 + k 2× Met 2 + k 3× Met 3 , k 1 , k 2 , k 3 Î R).

Laten we nu de voorwaarden ontdekken voor het bestaan ​​van niet-nuloplossingen van een homogeen systeem van lineaire vergelijkingen, met andere woorden, de voorwaarden voor het bestaan ​​van een fundamentele reeks oplossingen.

Een homogeen systeem van lineaire vergelijkingen heeft oplossingen die niet nul zijn, dat wil zeggen dat het onzeker is of

1) de rangorde van de hoofdmatrix van het systeem is kleiner dan het aantal onbekenden;

2) in een homogeen systeem van lineaire vergelijkingen is het aantal vergelijkingen kleiner dan het aantal onbekenden;

3) als in een homogeen systeem van lineaire vergelijkingen het aantal vergelijkingen gelijk is aan het aantal onbekenden, en de determinant van de hoofdmatrix gelijk is aan nul (d.w.z. | A| = 0).

Voorbeeld 6.6. Bij welke parameterwaarde A homogeen systeem van lineaire vergelijkingen heeft niet-nul oplossingen?

Oplossing. Laten we de hoofdmatrix van dit systeem samenstellen en de determinant ervan vinden: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. De determinant van deze matrix is ​​gelijk aan nul bij A = –4.

Antwoord: –4.

7. Rekenkunde N-dimensionale vectorruimte

Basisconcepten

In eerdere paragrafen zijn we al het concept tegengekomen van een reeks reële getallen die in een bepaalde volgorde zijn gerangschikt. Dit is een rijmatrix (of kolommatrix) en een oplossing voor een systeem van lineaire vergelijkingen met N onbekend. Deze informatie kan worden samengevat.

Definitie 7.1. N-dimensionale rekenkundige vector wel een geordende set genoemd N echte getallen.

Middelen A= (een 1, een 2, …, een N), waar een iО R, i = 1, 2, …, N– algemeen beeld van de vector. Nummer N genaamd dimensie vectoren en getallen a i worden de zijne genoemd coördinaten.

Bijvoorbeeld: A= (1, –8, 7, 4, ) – vijfdimensionale vector.

Helemaal klaar N-dimensionale vectoren worden meestal aangeduid als Rn.

Definitie 7.2. Twee vectoren A= (een 1, een 2, …, een N) En B= (b 1, b 2, …, b N) van dezelfde afmeting gelijkwaardig dan en slechts dan als hun overeenkomstige coördinaten gelijk zijn, d.w.z. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a N= geb N.

Definitie 7.3.Hoeveelheid twee N-dimensionale vectoren A= (een 1, een 2, …, een N) En B= (b 1, b 2, …, b N) wordt een vector genoemd A + B= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, een N+ b N).

Definitie 7.4. Het werk echt nummer k naar vector A= (een 1, een 2, …, een N) wordt een vector genoemd k× A = (k×een 1, k×een 2 , …, k× een N)

Definitie 7.5. Vector O= (0, 0, …, 0) wordt aangeroepen nul(of nulvector).

Het is gemakkelijk om te verifiëren dat de acties (bewerkingen) van het optellen van vectoren en het vermenigvuldigen ervan met een reëel getal de volgende eigenschappen hebben: " A, B, C Î Rn, " k, lО R:

1) A + B = B + A;

2) A + (B+ C) = (A + B) + C;

3) A + O = A;

4) A+ (–A) = O;

5) 1× A = A, 1 О R;

6) k×( l× A) = l×( k× A) = (l× k)× A;

7) (k + l)× A = k× A + l× A;

8) k×( A + B) = k× A + k× B.

Definitie 7.6. Een stelletje Rn met de bewerkingen van het optellen van vectoren en het vermenigvuldigen ervan met een reëel getal dat erop staat, wordt genoemd rekenkundige n-dimensionale vectorruimte.

We zullen doorgaan met het oppoetsen van onze technologie elementaire transformaties op homogeen systeem van lineaire vergelijkingen.
Op basis van de eerste alinea's lijkt het materiaal misschien saai en middelmatig, maar deze indruk is bedrieglijk. Naast de verdere ontwikkeling van technieken zal er veel nieuwe informatie zijn, dus probeer de voorbeelden in dit artikel niet te negeren.

Wat is een homogeen systeem van lineaire vergelijkingen?

Het antwoord suggereert zichzelf. Een systeem van lineaire vergelijkingen is homogeen als de vrije term geldt iedereen vergelijking van het systeem is nul. Bijvoorbeeld:

Dat is absoluut duidelijk een homogeen systeem is altijd consistent, dat wil zeggen: er is altijd een oplossing. En wat in de eerste plaats opvalt, is het zogenaamde triviaal oplossing . Triviaal, voor degenen die de betekenis van het bijvoeglijk naamwoord helemaal niet begrijpen, betekent zonder opschepperij. Niet academisch natuurlijk, maar begrijpelijk =) ...Waarom eromheen draaien, laten we eens kijken of dit systeem nog andere oplossingen heeft:

voorbeeld 1


Oplossing: om een ​​homogeen systeem op te lossen is het noodzakelijk om te schrijven systeemmatrix en breng het met behulp van elementaire transformaties naar een stapsgewijze vorm. Houd er rekening mee dat het hier niet nodig is om de verticale balk en de nulkolom met vrije termen op te schrijven - wat u ook doet met nullen, het blijven nullen:

(1) De eerste regel is opgeteld bij de tweede regel, vermenigvuldigd met –2. De eerste regel werd opgeteld bij de derde regel, vermenigvuldigd met –3.

(2) De tweede regel is toegevoegd aan de derde regel, vermenigvuldigd met –1.

Het heeft niet veel zin om de derde regel door 3 te delen.

Als resultaat van elementaire transformaties wordt een gelijkwaardig homogeen systeem verkregen , en met behulp van de inverse van de Gauss-methode is het eenvoudig te verifiëren dat de oplossing uniek is.

Antwoord:

Laten we een voor de hand liggend criterium formuleren: een homogeen systeem van lineaire vergelijkingen heeft slechts een triviale oplossing, Als systeemmatrix rang(in dit geval 3) is gelijk aan het aantal variabelen (in dit geval – 3 stuks).

Laten we onze radio opwarmen en afstemmen op de golf van elementaire transformaties:

Voorbeeld 2

Los een homogeen systeem van lineaire vergelijkingen op

Laten we, om het algoritme uiteindelijk te consolideren, de laatste taak analyseren:

Voorbeeld 7

Los een homogeen systeem op, schrijf het antwoord in vectorvorm.

Oplossing: laten we de matrix van het systeem opschrijven en deze, met behulp van elementaire transformaties, in een stapsgewijze vorm brengen:

(1) Het teken van de eerste regel is gewijzigd. Ik vestig nogmaals de aandacht op een techniek die al vele malen is aangetroffen en waarmee u de volgende actie aanzienlijk kunt vereenvoudigen.

(1) De eerste regel is toegevoegd aan de 2e en 3e regel. De eerste regel, vermenigvuldigd met 2, werd toegevoegd aan de 4e regel.

(3) De laatste drie regels zijn proportioneel, twee ervan zijn verwijderd.

Als gevolg hiervan wordt een standaardstappenmatrix verkregen en gaat de oplossing verder langs het gekartelde spoor:

– basisvariabelen;
– vrije variabelen.

Laten we de basisvariabelen uitdrukken in termen van vrije variabelen. Uit de 2e vergelijking:

– vervang in de eerste vergelijking:

De algemene oplossing is dus:

Omdat er in het beschouwde voorbeeld drie vrije variabelen zijn, bevat het fundamentele systeem drie vectoren.

Laten we een drietal waarden vervangen in de algemene oplossing en verkrijg een vector waarvan de coördinaten voldoen aan elke vergelijking van het homogene systeem. En nogmaals, ik herhaal dat het zeer raadzaam is om elke ontvangen vector te controleren - het kost niet veel tijd, maar het zal u volledig tegen fouten beschermen.

Voor een drievoudige waarde vind de vector

En tenslotte voor de drie we krijgen de derde vector:

Antwoord: , Waar

Degenen die fractionele waarden willen vermijden, kunnen drielingen overwegen en krijg een antwoord in gelijkwaardige vorm:

Over breuken gesproken. Laten we eens kijken naar de matrix die in het probleem is verkregen en laten we ons afvragen: is het mogelijk om de verdere oplossing te vereenvoudigen? Hier hebben we immers eerst de basisvariabele uitgedrukt door middel van breuken, en vervolgens door middel van breuken de basisvariabele, en ik moet zeggen dat dit proces niet het eenvoudigste en niet het meest aangename was.

Tweede oplossing:

Het idee is om het te proberen kies andere basisvariabelen. Laten we naar de matrix kijken en er twee in de derde kolom opmerken. Waarom dan geen nul bovenaan? Laten we nog een elementaire transformatie uitvoeren: