Analytiske modeller av køsystemer. Squeak: Modeling Queuing Systems

I løpet av de siste tiårene har det på ulike områder av nasjonaløkonomien blitt nødvendig å løse sannsynlighetsproblemer knyttet til driften av køsystemer. Eksempler på slike systemer er telefonsentraler, verksteder, utsalgssteder, billettkontorer og så videre. arbeidet til ethvert køsystem består i å betjene den innkommende strømmen av krav (anrop fra abonnenter, strømmen av kunder til butikken, krav til arbeid på verkstedet, etc.).
Den matematiske disiplinen som studerer modeller av ekte køsystemer kalles køteori. Køteoriens oppgave er å etablere avhengigheten av de resulterende ytelsesindikatorene til køsystemet (sannsynligheten for at kravet vil bli betjent; den matematiske forventningen til antall betjente krav, etc.) på inngangsindikatorene (antall enheter i systemet, parametrene for den innkommende strømmen av krav, etc.) .) er det mulig å etablere slike avhengigheter i formelform bare for enkle køsystemer. Studiet av ekte systemer utføres ved imitasjon eller modellering av arbeidet deres på en datamaskin ved hjelp av metoden for statistiske tester.
Køsystemet anses som gitt hvis følgende er definert:
1) den innkommende strømmen av krav, eller med andre ord distribusjonsloven som kjennetegner tidspunktene når krav kommer inn i systemet. Grunnårsaken til kravene kalles kilden. I det følgende er vi enige om å anta at kilden har et ubegrenset antall krav og at kravene er homogene, det vil si at de bare skiller seg i øyeblikkene av deres opptreden i systemet;
2) et servicesystem bestående av en stasjon og en servicenode. Sistnevnte er en eller flere tjenesteenheter, som vil bli referert til som enheter. Hvert krav må gå til et av instrumentene for å få service. Det kan vise seg at kravene må vente til enhetene er fri. I dette tilfellet er kravene i butikken, og danner en eller flere køer. La oss anta at overgangen av kravet fra lagringen til tjenestenoden skjer øyeblikkelig;
3) tjenestetiden for kravet for hver enhet, som er en tilfeldig variabel og er preget av en viss distribusjonslov;
4) ventedisiplin, dvs. et sett med regler som styrer antall krav som er samtidig i systemet. Et system der en innkommende etterspørsel avvises når alle enheter er opptatt kalles et system uten å vente. Hvis en forespørsel som har holdt alle enheter opptatt kommer inn i en kø og venter til
inntil en av enhetene blir ledig, da kalles et slikt system et rent ventesystem. Et system der en kunde som har holdt alle servere opptatt kommer inn i køen bare hvis antall kunder i systemet ikke overstiger et visst nivå (ellers går kunden tapt) kalles et blandet køsystem;
5) tjenestedisiplin, det vil si et sett med regler etter hvilke kravet velges fra køen for tjeneste. Følgende regler brukes oftest i praksis:
- søknader aksepteres for tjeneste i prioritert rekkefølge;
- Søknader aksepteres for tjeneste i henhold til minimumstiden for å motta et avslag;
- søknader aksepteres for tjeneste i en tilfeldig rekkefølge i samsvar med de gitte sannsynlighetene;
6) kødisiplin, dvs. et sett med regler etter hvilke kravet gir preferanse til en eller annen kø (hvis det er mer enn én) og er plassert i den valgte køen. For eksempel kan et innkommende krav ta plass i den korteste køen; i denne køen kan den ligge sist (en slik kø kalles bestilt), eller den kan gå til tjeneste utenom tur. Andre alternativer er også mulig.

Simuleringsmodellering av køsystemer

Modell - det er et hvilket som helst bilde, analogt, mentalt eller etablert, bilde, beskrivelse, diagram, tegning, etc. av ethvert objekt, prosess eller fenomen, som i prosessen med erkjennelse (studie) erstatter originalen, og beholder noen typiske egenskaper som er viktige for denne studien .
Modellering er studiet av ethvert objekt eller system av objekter ved å bygge og studere modellene deres. Og også - dette er bruken av modeller for å bestemme eller avgrense egenskapene og rasjonalisere måtene å konstruere nykonstruerte objekter på.
Modellen er et verktøy for å studere komplekse systemer.
Generelt et komplekst system presenteres som en flernivåkonstruksjon av samvirkende elementer kombinert til delsystemer på forskjellige nivåer. Komplekse systemer inkluderer informasjonssystemer. Utformingen av slike komplekse systemer utføres i to trinn.

1 Ekstern design

På dette stadiet utføres valget av strukturen til systemet, dets hovedelementer, organiseringen av samspillet mellom elementene, hensynet til påvirkningen av det ytre miljøet og evalueringen av ytelsesindikatorene til systemet.

2 Innvendig design - design av individuelle elementer
systemer

En typisk metode for å studere komplekse systemer på første trinn er deres simulering på en datamaskin.
Som et resultat av modellering oppnås avhengigheter som karakteriserer påvirkningen av systemets struktur og parametere på dets effektivitet, pålitelighet og andre egenskaper. Disse avhengighetene brukes for å oppnå den optimale strukturen og parametrene til systemet.
En modell formulert på matematikkspråket ved bruk av matematiske metoder kalles matematisk modell.
Simuleringsmodellering er preget av reproduksjon av fenomener beskrevet av en matematisk modell, med bevaring av deres logiske struktur, sekvensen av veksling i tid. Eventuell egnet informasjon som sirkulerer i modellen kan brukes til å estimere ønskede verdier, så lenge den er tilgjengelig for registrering og etterfølgende behandling.
De ønskede verdiene i studiet av prosesser ved simulering bestemmes vanligvis som gjennomsnittsverdier fra dataene til et stort antall prosessimplementeringer. Hvis antallet realisasjoner N brukt til å estimere de søkte verdiene er stort nok, får de resulterende estimatene på grunn av loven om store tall statistisk stabilitet og kan tas som omtrentlige verdier av de søkte verdiene med tilstrekkelig nøyaktighet for praksis.
Essensen av simuleringsmodelleringsmetoden brukt på køoppgaver er som følger. Algoritmer er bygget
ved hjelp av dette er det mulig å utvikle tilfeldige realiseringer av gitte strømmer av homogene hendelser, samt å modellere prosessene for funksjon av tjenestesystemer. Disse algoritmene brukes til gjentatte ganger å reprodusere implementeringen av en tilfeldig tjenesteprosess under faste forhold for problemet. Den resulterende informasjonen om tilstanden til prosessen blir utsatt for statistisk behandling for å evaluere verdiene som er indikatorer på kvaliteten på tjenesten.

3 Dannelse av implementeringer av en tilfeldig flyt av applikasjoner

I studiet av komplekse systemer ved hjelp av simuleringsmetoden er det lagt stor vekt på å ta hensyn til tilfeldige faktorer.
Tilfeldige hendelser, tilfeldige variabler og tilfeldige prosesser (funksjoner) brukes som matematiske skjemaer som brukes for å formalisere virkningen av disse faktorene. Dannelsen på en datamaskin av realiseringer av tilfeldige objekter av enhver art er redusert til generering og transformasjon av tilfeldige tall. Vurder en metode for å oppnå mulige verdier av tilfeldige variabler med en gitt distribusjonslov. For å danne de mulige verdiene av tilfeldige variabler med en gitt distribusjonslov, er startmaterialet tilfeldige variabler som har en jevn fordeling i intervallet (0, 1). Med andre ord kan de mulige verdiene xi for den tilfeldige variabelen t, som har en jevn fordeling i intervallet (0, 1), transformeres til mulige verdier yi for den tilfeldige variabelen r), hvis fordelingslov er gitt. Transformasjonsmetoden er at tilfeldige tall velges fra en jevnt fordelt populasjon som tilfredsstiller en viss betingelse på en slik måte at de utvalgte tallene overholder en gitt distribusjonslov.
La oss anta at det er nødvendig å få en sekvens av tilfeldige tall yi med en tetthetsfunksjon 1^(y). Hvis domenet til funksjonen f^y) ikke er begrenset på en eller begge sider, er det nødvendig å gå over til den tilsvarende avkortede distribusjonen. La området av mulige verdier for den avkortede fordelingen være (a, b).
Fra den tilfeldige variabelen r) som tilsvarer tetthetsfunksjonen f → y), går vi over til f.
Tilfeldig verdi b, vil ha en rekke mulige verdier (0, 1) og en tetthetsfunksjon f ^ (z) gitt av uttrykket.
La maksimalverdien av f^(z) være lik f m . La oss sette enhetlige fordelinger i intervallene (0, 1) av tilfeldige tall x 2 i-1 og x 2 i. Prosedyren for å oppnå en sekvens yi av tilfeldige tall med en tetthetsfunksjon ^(y) reduseres til følgende:
1) par med tilfeldige tall x2i-1 velges fra den opprinnelige populasjonen,
2) for disse tallene kontrolleres gyldigheten av ulikheten
x 21<-- ^[а + (Ъ-а)х 2М ] (3)
m
3) hvis ulikhet (3) er tilfredsstilt, bestemmes neste tall yi fra relasjonen
yi \u003d a + (b-a) x 21 (4)
Ved modellering av tjenesteprosesser blir det nødvendig å danne realiseringer av en tilfeldig flyt av homogene hendelser (applikasjoner). Hver flythendelse er preget av tidspunktet tj den inntreffer. For å beskrive en tilfeldig flyt av homogene hendelser som en tilfeldig prosess, er det tilstrekkelig å spesifisere en distribusjonslov som karakteriserer rekkefølgen av tilfeldige variabler tj. For å oppnå en realisering av en strøm av homogene hendelser t1, t2..., tk, er det nødvendig å danne en realisering z b z 2 ,...,zk av en k-dimensjonal tilfeldig vektor ££2,... , Sk og beregn verdiene ti i samsvar med følgende forhold:
t 2 =
La en stasjonær ordinær strømning med begrenset ettervirkning gis av tetthetsfunksjonen f(z). I samsvar med Palm-formelen (6) finner vi tetthetsfunksjonen f1(z1) for det første intervallet z1.
1-Jf(u)du
Nå kan vi generere et tilfeldig tall z b som vist ovenfor, tilsvarende tetthetsfunksjonen f1(z1), og få øyeblikket for opptreden av den første forespørselen t1 = z1. Deretter danner vi en serie med tilfeldige tall som tilsvarer tetthetsfunksjonen f(z), og ved hjelp av relasjon (4) beregner vi verdiene til mengdene t2, t3 ,.., tk.
4 Behandling av simuleringsresultater
Når du implementerer modelleringsalgoritmer på en datamaskin, genereres informasjon om tilstandene til systemet som studeres. Denne informasjonen er kildematerialet for å bestemme de omtrentlige verdiene for de søkte mengdene, eller, som de sier, estimater for de søkte mengdene.
Sannsynlighetsestimatet for hendelse A beregnes ved hjelp av formelen
p(A) = mN. (7)
Estimat av gjennomsnittet x av en tilfeldig variabel b, beregnet av
formel
_ 1n
k=1
Estimatet S 2 for variansen til den tilfeldige variabelen ^ beregnes ved hjelp av formelen
1 N 1 ( N L 2
S2=1 YA xk 2-5> J (9)
Estimat av korrelasjonsmomentet K^ for tilfeldige variabler b, og c med mulige verdier henholdsvis x k og y k, beregnes av formelen
1 N 1 N
Y> [ wow

5 QS-modelleringseksempel
Tenk på følgende system:
1 Forespørsler kommer på tilfeldige tidspunkter, mens
tidsintervallet Q mellom to påfølgende krav har en eksponentiell lov med parameteren Jeg, dvs. distribusjonsfunksjonen har formen
>0. (11) Køsystemet består av s identiske, nummererte servere.
3 Tid T om bsl - en stokastisk variabel med en enhetlig fordelingslov på segmentet.
4 System uten å vente, dvs. kravet som gjorde alle enheter opptatt forlater systemet.
5 Tjenestedisiplinen er som følger: hvis den første serveren er ledig i øyeblikket for mottak av det k-te kravet, begynner den å betjene kravet; hvis denne serveren er opptatt og den andre er ledig, betjenes forespørselen av den andre serveren, og så videre.
Det kreves å estimere de matematiske forventningene til antall forespørsler som betjenes av systemet i tid T og avvist.
For det første beregningsmomentet velger vi ankomsttidspunktet for det første kravet Т1=0. La oss introdusere følgende notasjon: Tk er øyeblikket for mottak av det k-te kravet; ti - øyeblikket for avslutning av tjenesten for kravet av den i-te enheten, i=1, 2, 3, ...,s.
Anta at på tidspunkt T 1 er alle enheter ledige.
Den første etterspørselen kommer til server 1. Tjenestetiden til denne serveren har en enhetlig fordeling på segmentet. Derfor er den spesifikke verdien av t obl for denne tiden funnet av formelen
(12)
der r er verdien av en tilfeldig variabel R jevnt fordelt på segmentet. Enhet 1 vil være opptatt i løpet av tiden t o bsl. Derfor bør tidspunktet t 1 for slutten av servicekravet av enheten 1 anses som lik: t 1 = T1+ t om obsl.
Legg deretter en til telleren med forespørsler som ble levert og gå videre til neste forespørsel.
Anta at k krav allerede er vurdert. La oss definere øyeblikket Т k+1 for mottak av (k+1)-te krav. For å gjøre dette finner vi verdien t for tidsintervallet mellom påfølgende krav. Siden dette intervallet har en eksponentiell lov, altså
12
x \u003d - In r (13)
| Ll
hvor r er den neste verdien av den tilfeldige variabelen R . Så tidspunktet for ankomst av (k + 1) krav: T k +1 = Tk + T.
Er den første enheten ledig for øyeblikket? For å svare på dette spørsmålet er det nødvendig å sjekke tilstanden ti< Tk + i - Если это условие выполнено, то к моменту Т k +1 первый прибор освободился и может обслуживать требование. В этом случае t 1 заменяем на (Т k +1 + t обсл), добавляем единицу в счетчик об служенных требований и переходим к следующему требованию. Если t 1>T k +1, så er den første enheten på tidspunktet T k +1 opptatt. I dette tilfellet sjekker vi om den andre enheten er ledig. Hvis tilstand i 2< Tk + i выполнено, заменяем t2 на (Т k +1+ t о бсл), добавляем единицу в счетчик обслуженных требований и переходим к следующему требованию. Если t 2>Т k +1, så sjekker vi tilstanden 1з<Тк+1 и т. д. Eсли при всех i от 1 до s имеет ti >T k +1, så i øyeblikket T k +1 er alle enheter opptatt. I dette tilfellet legger vi en til feiltelleren og går videre til neste krav. Hver gang, etter å ha beregnet T k + 1, må vi også sjekke betingelsen for avslutning av implementeringen: Tk + i< T . Если это условие выполнено, то одна реализация процесса функционирования системы воспроизведена и испыта ние заканчивается. В счетчике обслуженных требований и в счетчике отказов находятся числа n обсл и n отк.
Etter å ha gjentatt en slik test n ganger (ved å bruke forskjellig r) og gjennomsnittet av resultatene av eksperimentene, bestemmer vi estimatene for de matematiske forventningene til antall kunder som ble servert og antall kunder som ble avvist:
(14)
(Ji
n j = 1
hvor (n obl) j og (n obl) j er verdiene til n obl og n obl i det j-te eksperimentet.
13

Liste over kilder som er brukt
1 Emelyanov A.A. Simuleringsmodellering av økonomiske prosesser [Tekst]: Proc. godtgjørelse for universiteter / A.A. Emelyanov, E.A. Vlasova, R.V. Tanken. - M. : Finans og statistikk, 2002. - 368s.
2 Buslenko, N.P. Modellering av komplekse systemer [Tekst] / N.P. Buslenko.- M.: Nauka, 1978. - 399s.
3 sovjetiske B.Ya. Modelleringssystemer [Tekst]: Proc. for universiteter / B.Ya. Sove tov, S.A. Yakovlev. -M. : Høyest. skole, 1985. - 271 s.
4 sovjetiske B.Ya. Modelleringssystemer [Tekst]: Laboratorieverksted: Proc. godtgjørelse for universiteter i spesialiteten: "Automatisk system for behandling av informasjon og kontroll." / B.Ya. Sovetov, S.A. Yakovlev. -M. : Høyest. skole, 1989. - 80 s.
5 Maximei I.V. Simuleringsmodellering på en datamaskin [Tekst] / Maksimey, I.V. -M: RADIO OG KOMMUNIKASJON, 1988. - 231s.
6 Wentzel E.S. Sannsynlighetsteori [Tekst]: lærebok. for universiteter / E.S. Ventemål - M.: Høyere. skole, 2001. - 575 s.
7 Gmurman, V.E. Sannsynlighetsteori og matematisk statistikk [Tekst]: lærebok. godtgjørelse / V.E. Gmurman - M .: Høyere. skole, 2001. - 479 s.
Vedlegg A
(påbudt, bindende)
Tilnærmet tema om bosetting og grafiske arbeider
1 Det er en lege som jobber på legevakten. Varigheten av pasientens behandling
og tidsintervaller mellom innleggelser av pasienter er tilfeldige variabler fordelt i henhold til Poisson-loven. I henhold til alvorlighetsgraden av skader er pasienter delt inn i tre kategorier, innleggelse av en pasient av en hvilken som helst kategori er en tilfeldig hendelse med en likesannsynlig fordeling. Legen behandler først pasienter med de alvorligste skadene (i den rekkefølgen de mottas), deretter, hvis det ikke er noen, pasienter av moderat alvorlighetsgrad, og først deretter med pasienter med mindre skader. Simuler prosessen og estimer gjennomsnittlig ventetid i køen til pasienter i hver kategori.
2 Det er to reparasjonssoner i bybilparken. Den første serverer reparasjoner av kort og middels varighet, den andre - middels og lang. Som havari blir kjøretøy levert til flåten; tidsintervallet mellom leveranser er en tilfeldig Poisson-variabel. Reparasjonsvarighet er en tilfeldig variabel med normalfordeling. Modeller det beskrevne systemet. Estimer gjennomsnittlig ventetid i transportkøen, som krever henholdsvis kortsiktige, mellomlange og langsiktige reparasjoner.
3 Et minimarked med én kontroller - en kasserer betjener kunder hvis innkommende strøm overholder Poisson-loven med en parameter på 20 kunder / time. Gjennomfør en simulering av den beskrevne prosessen og bestem sannsynligheten for nedetid for kontrolleren - kassereren, gjennomsnittlig lengde på køen, gjennomsnittlig antall kunder i minimarkedet, gjennomsnittlig ventetid på service, gjennomsnittlig tid brukt av kunder i minimarkedet og evaluere arbeidet hans.
4 ATS mottar søknader om fjernsamtaler. Strømmen av forespørsler er Poisson. I snitt mottas det 13 søknader i timen. Finn gjennomsnittlig antall mottatte søknader per dag, gjennomsnittlig tid mellom søknader. Ved telefonsentralen oppstår det funksjonsfeil dersom det kommer inn over 50 forespørsler i løpet av en halvtime. Finn sannsynligheten for stasjonsfeil.
5 Bensinstasjonen mottar den enkleste
strømmen av søknader med en intensitet på 1 bil per 2 timer Ikke mer enn 3 biler kan stå i kø på tunet. Gjennomsnittlig reparasjonstid - 2 timer. Evaluere arbeidet til CMO og utvikle anbefalinger for å forbedre tjenesten.
6 En vever betjener en gruppe vevstoler, og utfører kortsiktige intervensjoner etter behov, hvis varighet er en tilfeldig variabel. Simuler den beskrevne situasjonen. Hva er sannsynligheten for nedetid for to maskiner samtidig. Hvor lang er gjennomsnittlig nedetid per maskin.
7 På en fjerntelefonsentral betjener to telefonoperatører en felles ordrekø. Den neste ordren betjenes av telefonoperatøren som var den første som ble løslatt. Hvis begge er opptatt når bestillingen mottas, vil samtalen bli kansellert. Simuler prosessen forutsatt at inngangsstrømmene er Poisson.
8 Det er to leger som jobber på legevakten. Varigheten av behandlingen gjør vondt
og tidsintervallene mellom innleggelser av pasienter er tilfeldige variabler fordelt i henhold til Poisson-loven. I henhold til alvorlighetsgraden av skader er pasienter delt inn i tre kategorier, innleggelse av en pasient av en hvilken som helst kategori er en tilfeldig hendelse med en likesannsynlig fordeling. Legen behandler først pasienter med de alvorligste skadene (i den rekkefølgen de mottas), deretter, hvis det ikke er noen, pasienter av moderat alvorlighetsgrad, og først deretter med pasienter med mindre skader. Simuler prosessen og estimer gjennomsnittlig ventetid i køen til pasienter i hver kategori.
9 Ved en intercity-telefonsentral betjener to telefonoperatører
opprette en felles ordrekø. Den neste ordren betjenes av den telefonoperatøren,
som ble utgitt først. Hvis begge er opptatt på tidspunktet for mottak av bestillingen, dannes det en kø. Simuler prosessen forutsatt at inngangsstrømmene er Poisson.
10 I et dataoverføringssystem utveksles datapakker mellom nodene A og B over en dupleks kommunikasjonskanal. Pakker kommer til systempunkter fra abonnenter med tidsintervaller mellom dem på 10 ± 3 ms. Pakkeoverføring tar 10 ms. Punktene har bufferregistre som kan lagre to pakker, inkludert den som sendes. Hvis en pakke ankommer i det øyeblikket registrene er opptatt, får systemets punkter tilgang til en satellitt halv dupleks kommunikasjonslinje, som sender datapakker på 10 ± 5 ms. Når satellittlinjen er opptatt, blir pakken avvist. Simuler utveksling av informasjon i dataoverføringssystemet i 1 min. Bestem frekvensen for samtaler til satellittlinjen og belastningen. Hvis feil er mulig, bestemme volumet av bufferregistre som er nødvendig for at systemet skal fungere uten feil.
11 La standardsystemet brukes på en telefonsentral med én inngang: hvis abonnenten er opptatt, dannes ikke køen og det er nødvendig å ringe igjen. Simuler situasjonen: tre abonnenter prøver å nå den samme eieren av nummeret og, hvis det lykkes, snakk med ham i noen (tilfeldig varighet) tid. Hva er sannsynligheten for at noen som prøver å komme seg gjennom telefonen ikke vil være i stand til å gjøre det på en viss tid T.
12 Et handelsselskap planlegger å utføre ordre om kjøp av varer per telefon, for hvilke det er nødvendig å installere en passende mini-automatisk telefonsentral med flere telefonapparater. Hvis bestillingen kommer når alle linjer er opptatt, mottar klienten et avslag. Hvis på tidspunktet for mottak av forespørselen minst én linje er ledig, byttes til denne linjen og en bestilling legges inn. Intensiteten på den innkommende strømmen av søknader er 30 bestillinger per time. Varigheten av søknaden er i gjennomsnitt 5 minutter. Bestem det optimale antallet tjenestekanaler for å sikre stasjonær drift av QS.
13 I en selvbetjent butikk er det 6 kontrollører - kasserere. Den innkommende strømmen av kjøpere følger Poissons lov med en intensitet på 120 personer i timen. En kasserer kan betjene 40 personer i timen. Bestem sannsynligheten for ledig kasserer, gjennomsnittlig antall kunder i køen, gjennomsnittlig ventetid, gjennomsnittlig antall travle kasserere. Gi en vurdering av arbeidet til QS.
14 En Poisson-strøm på 200 kunder i timen kommer inn i en selvbetjent butikk. På dagtid betjenes de av 3 kassekontrollører med en intensitet på 90 kunder i timen. Intensiteten av innspillsstrømmen til kjøpere i rushtiden øker til en verdi på 400 kjøpere per time, og i nedgangstimer når den 100 kjøpere per time. Bestem sannsynligheten for å danne en kø i butikken og den gjennomsnittlige lengden på køen i løpet av dagen, samt det nødvendige antallet kassererkontrollører i høy- og lavkonjunktur, som gir samme lengde på køen og sannsynligheten for at den dannes som i nominell modus.
15 Gjennomsnittlig antall kunder som kommer til oppgjørsknutepunktet i en selvbetjent butikk er 100 personer i timen. Kassereren kan betjene 60 personer i timen. Simuler prosessen og finn ut hvor mange kasserer som trengs slik at sannsynligheten for en kø ikke overstiger 0,6.
16 Simuler en kø i en butikk med én selger med likesannsynlige lover for distribusjon av tilfeldige variabler: ankomsten av kunder og varigheten av tjenesten (med noen faste sett med parametere). Få stabile egenskaper: gjennomsnittsverdiene for å vente i køen av kjøperen og den ledige tiden til selgeren i påvente av ankomsten av kjøpere. Vurder deres troverdighet.
17 Simuler en kø i en butikk med én selger med Poisson-lovene for distribusjon av tilfeldige variabler: ankomsten av kunder og varigheten av tjenesten (med noen faste sett med parametere). Få stabile egenskaper: gjennomsnittsverdiene for å vente i køen av kjøperen og den ledige tiden til selgeren i påvente av ankomsten av kjøpere. Vurder deres troverdighet.
18 Lag en bensinstasjonsmodell. Finn indikatorer for kvaliteten på tjenesteforespørsler. Bestem antall stativer slik at køen ikke vokser.
19 Gjennomsnittlig antall kunder som kommer til kassen i en selvbetjent butikk, 60 personer i timen. Kassereren kan betjene 35 personer i timen. Simuler prosessen og finn ut hvor mange kasserer som trengs slik at sannsynligheten for en kø ikke overstiger 0,6.
20 Modeller en bussrute med n stopp. Bestem ytelsesindikatorene for bruk av QS.

Moskva statlige tekniske universitet

oppkalt etter N.E. Bauman (Kaluga gren)

Institutt for høyere matematikk

Kursarbeid

på kurset "Operasjonsforskning"

Simuleringsmodellering av køsystemet

Arbeidsoppgave: Sett sammen en simuleringsmodell og beregn ytelsesindikatorene til et køsystem (QS) med følgende egenskaper:

Antall tjenestekanaler n; maksimal kølengde t;

Strømmen av forespørsler som kommer inn i systemet er den enkleste med en gjennomsnittlig intensitet λ og en eksponentiell lov om tidsfordeling mellom ankomsten av forespørsler;

Strømmen av forespørsler som betjenes i systemet er den enkleste med en gjennomsnittlig intensitet µ og en eksponentiell lov om tjenestetidsfordeling.

Sammenlign de funnet verdiene til indikatorene med resultatene. oppnådd ved numerisk løsning av Kolmogorov-ligningen for sannsynlighetene for systemtilstandene. Verdiene til QS-parametrene er gitt i tabellen.

Introduksjon

Kapittel 1. Hovedkjennetegn ved CMOer og indikatorer for deres effektivitet

1.1 Konseptet med en Markov stokastisk prosess

1.2 Hendelsesstrømmer

1.3 Kolmogorov-ligninger

1.4 Endelige sannsynligheter og tilstandsgraf for QS

1.5 QS ytelsesindikatorer

1.6 Grunnleggende begreper for simulering

1.7 Bygge simuleringsmodeller

Kapittel 2

2.1 Angi graf for systemet og Kolmogorov-ligningen

2.2 Beregning av systemytelsesindikatorer etter endelige sannsynligheter

kapittel 3

3.1 Algoritme for QS-simuleringsmetode (trinn for trinn tilnærming)

3.2 Programflytskjema

3.3 Beregning av QS-ytelsesindikatorer basert på resultatene av simuleringen

3.4 Statistisk bearbeiding av resultater og deres sammenligning med resultatene av analytisk modellering

Konklusjon

Litteratur

Vedlegg 1

I operasjonsforskning møter man ofte systemer designet for gjenbruk for å løse samme type problemer. Prosessene som oppstår i dette tilfellet kalles tjenesteprosesser, og systemene kalles køsystemer (QS).

Hver QS består av et visst antall serviceenheter (instrumenter, enheter, punkter, stasjoner), som kalles servicekanaler. Kanaler kan være kommunikasjonslinjer, driftspunkter, datamaskiner, selgere osv. I henhold til antall kanaler er QS delt inn i en-kanal og multi-kanal.

Søknader kommer vanligvis til QS ikke regelmessig, men tilfeldig, og danner den såkalte tilfeldige strømmen av søknader (krav). Service av søknader fortsetter også i noen tilfeldig tid. Den tilfeldige karakteren av applikasjonsflyten og tjenestetiden fører til at QS-en lastes ujevnt: i noen tidsperioder akkumuleres et veldig stort antall applikasjoner (de enten står i kø eller lar QS-en ikke betjenes), mens i andre perioder. perioder QS opererer med underlast eller tomgang.

Emnet for køteori er konstruksjonen av matematiske modeller som relaterer de gitte driftsbetingelsene til QS (antall kanaler, deres ytelse, arten av flyten av applikasjoner, etc.) med ytelsesindikatorene til QS, som beskriver dens evne til å takle strømmen av søknader.

Følgende brukes som ytelsesindikatorer for QS:

Den absolutte gjennomstrømningen til systemet (A), dvs. gjennomsnittlig antall søknader per tidsenhet;

Relativ gjennomstrømning (Q), dvs. den gjennomsnittlige andelen av mottatte forespørsler som betjenes av systemet;

Sannsynlighet for forespørselstjenestefeil (

);

Gjennomsnittlig antall opptatte kanaler (k);

Gjennomsnittlig antall søknader i CMO (

);

Gjennomsnittlig oppholdstid for en søknad i systemet (

);

Gjennomsnittlig antall søknader i køen (

);

Den gjennomsnittlige tiden en applikasjon bruker i køen (

);

Gjennomsnittlig antall søknader per tidsenhet;

Gjennomsnittlig ventetid for service;

Sannsynligheten for at antall forespørsler i køen vil overstige en viss verdi osv.

QS er delt inn i 2 hovedtyper: QS med feil og QS med venting (kø). I en QS med avslag avvises en forespørsel som kommer på et tidspunkt da alle kanaler er opptatt, forlater QS og deltar ikke i den videre tjenesteprosessen (for eksempel en forespørsel om en telefonsamtale på et tidspunkt da alle kanaler er busy mottar et avslag og lar QS-en ikke vises). I en QS med venting forlater ikke et krav som kommer på et tidspunkt hvor alle kanaler er opptatt, men står i kø for service.

En av metodene for å beregne QS-ytelsesindikatorer er simuleringsmetoden. Den praktiske bruken av datasimuleringsmodellering innebærer konstruksjon av en passende matematisk modell som tar hensyn til usikkerhetsfaktorer, dynamiske egenskaper og hele komplekset av sammenhenger mellom elementene i systemet som studeres. Simuleringsmodellering av systemoperasjonen begynner med en bestemt starttilstand. På grunn av implementeringen av forskjellige hendelser av tilfeldig karakter, går modellen av systemet over i sine andre mulige tilstander i påfølgende øyeblikk av tid. Denne evolusjonsprosessen fortsetter til slutten av planperioden, dvs. til slutten av simuleringen.

La det være et system som endrer tilstanden tilfeldig over tid. I dette tilfellet sier vi at det foregår en tilfeldig prosess i systemet.

En prosess kalles en diskret tilstandsprosess hvis dens tilstander

kan listes opp på forhånd og overgangen til systemet fra en tilstand til en annen skjer brått. En prosess kalles en kontinuerlig-tidsprosess hvis overgangene til systemet fra tilstand til tilstand skjer øyeblikkelig.

QS-operasjonsprosessen er en tilfeldig prosess med diskrete tilstander og kontinuerlig tid.

En tilfeldig prosess kalles en Markov eller tilfeldig prosess uten ettervirkning for ethvert øyeblikk

de sannsynlige egenskapene til prosessen i fremtiden avhenger bare av dens nåværende tilstand og avhenger ikke av når og hvordan systemet kom til denne tilstanden.

1.2 Hendelsesstrømmer

En strøm av hendelser er en sekvens av homogene hendelser som følger etter hverandre på tilfeldige tidspunkter.

Strømmen er preget av intensiteten λ - frekvensen av forekomst av hendelser eller gjennomsnittlig antall hendelser som kommer inn i QS per tidsenhet.

En strøm av hendelser kalles regelmessig hvis hendelser følger etter hverandre med jevne mellomrom.

En strøm av hendelser kalles stasjonær hvis dens sannsynlige egenskaper ikke avhenger av tid. Spesielt er intensiteten til en stasjonær strømning en konstant verdi:

En strøm av hendelser kalles vanlig hvis sannsynligheten for å treffe en liten periode

to eller flere hendelser er liten sammenlignet med sannsynligheten for å treffe en hendelse, dvs. hvis hendelsene vises i den enkeltvis, og ikke i grupper.

En strøm av hendelser kalles en strøm uten ettervirkning hvis for to ikke-overlappende tidsintervaller

INTRODUKSJON

KAPITTEL I. FORMULERING AV PROBLEMER MED KØSERVICE

1.1 Generelt konsept for køteori

1.2 Modellering av køsystemer

1.3 QS-tilstandsgrafer

1.4 Stokastiske prosesser

Kapittel II. LIGNINGER SOM BESKRIVER KØSYSTEMER

2.1 Kolmogorov-ligninger

2.2 Prosessene med "fødsel - død"

2.3 Økonomisk og matematisk formulering av køproblemer

Kapittel III. MODELLER AV KØSYSTEMER

3.1 Enkanals QS med tjenestenekt

3.2 Flerkanals QS med tjenestenekt

3.3 Modell av et flerfaset turistservicesystem

3.4 Enkanals QS med begrenset kølengde

3.5 Enkanals QS med ubegrenset kø

3.6 Flerkanals QS med begrenset kølengde

3.7 Multichannel QS med ubegrenset kø

3.8 Supermarked køsystemanalyse

KONKLUSJON

Introduksjon

For tiden har det dukket opp en stor mengde litteratur som er direkte viet til teorien om kø, utviklingen av dens matematiske aspekter, så vel som ulike anvendelsesområder - militær, medisinsk, transport, handel, luftfart, etc.

Køteori er basert på sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. Den første utviklingen av teorien om kø er assosiert med navnet på den danske vitenskapsmannen A.K. Erlang (1878-1929), med sine arbeider innen design og drift av telefonsentraler.

Køteori er et felt innen anvendt matematikk som omhandler analyse av prosesser i produksjons-, service- og kontrollsystemer der homogene hendelser gjentas mange ganger, for eksempel i forbrukertjenestebedrifter; i systemer for mottak, behandling og overføring av informasjon; automatiske produksjonslinjer osv. Et stort bidrag til utviklingen av denne teorien ble gitt av russiske matematikere A.Ya. Khinchin, B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov, E.S. Wentzel og andre.

Emnet for køteori er å etablere forhold mellom arten av strømmen av forespørsler, antall tjenestekanaler, ytelsen til en enkelt kanal og effektiv tjeneste for å finne de beste måtene å kontrollere disse prosessene. Oppgavene til køteorien er av optimaliseringskarakter og inkluderer til syvende og sist det økonomiske aspektet ved å bestemme en slik variant av systemet, som vil gi et minimum av totale kostnader fra venting på service, tap av tid og ressurser til service, og fra nedetid av tjenestekanaler.

I kommersiell virksomhet har ikke anvendelsen av teorien om kø ennå funnet ønsket fordeling.

Dette skyldes hovedsakelig vanskelighetene med å sette mål, behovet for en dyp forståelse av innholdet i kommersielle aktiviteter, samt pålitelige og nøyaktige verktøy som gjør det mulig å beregne ulike alternativer for konsekvensene av ledelsesbeslutninger i kommersiell virksomhet.

Kapittel Jeg . Sette køoppgaver

1.1 Generelt konsept for køteori

Naturen til kø, på ulike felt, er veldig subtil og kompleks. Kommersiell aktivitet er assosiert med utførelsen av mange operasjoner i bevegelsesstadiene, for eksempel en masse varer fra produksjonssfæren til forbrukssfæren. Slike operasjoner er lasting av varer, transport, lossing, lagring, prosessering, pakking, salg. I tillegg til slike grunnleggende operasjoner, er prosessen med bevegelse av varer ledsaget av et stort antall foreløpige, forberedende, medfølgende, parallelle og etterfølgende operasjoner med betalingsdokumenter, containere, penger, biler, kunder, etc.

De oppførte fragmentene av kommersiell aktivitet er preget av massemottak av varer, penger, besøkende til tilfeldige tider, deretter deres konsekvente service (tilfredsstillelse av krav, forespørsler, forespørsler) ved å utføre passende operasjoner, hvis utførelsestid også er tilfeldig. Alt dette skaper ujevnheter i arbeidet, genererer underbelastning, nedetid og overbelastning i kommersiell drift. Køer skaper mye trøbbel, for eksempel besøkende på kafeer, kantiner, restauranter eller bilførere på varelager som venter på lossing, lasting eller papirarbeid. I denne forbindelse er det oppgaver med å analysere de eksisterende alternativene for å utføre hele settet med operasjoner, for eksempel handelsgulvet til et supermarked, en restaurant eller i verksteder for produksjon av egne produkter for å evaluere arbeidet deres, identifisere svake lenker og reserver, og til slutt utvikle anbefalinger som tar sikte på å øke effektiviteten av kommersielle operasjoner.

I tillegg oppstår andre oppgaver knyttet til opprettelse, organisering og planlegging av et nytt økonomisk, rasjonelt alternativ for å utføre mange operasjoner innenfor handelsgulvet, konfektbutikken, alle servicenivåer i en restaurant, kafé, kantine, planleggingsavdeling, regnskapsavdeling, personalavdeling etc.

Oppgavene med køorganisering oppstår i nesten alle sfærer av menneskelig aktivitet, for eksempel å betjene kjøpere i butikker av selgere, betjene besøkende på offentlige serveringssteder, betjene kunder ved forbrukertjenester, gi telefonsamtaler på en telefonsentral, yte medisinsk behandling til pasienter på klinikk osv. I alle eksemplene ovenfor er det behov for å tilfredsstille behovene til et stort antall forbrukere.

De oppførte oppgavene kan løses med hell ved hjelp av metoder og modeller av køteorien (QMT) spesielt laget for disse formålene. Denne teorien forklarer at det er nødvendig å betjene noen eller noe, som er definert av begrepet "forespørsel (krav) for tjeneste", og tjenesteoperasjoner utføres av noen eller noe som kalles tjenestekanaler (noder). Rollen til applikasjoner i kommersielle aktiviteter spilles av varer, besøkende, penger, revisorer, dokumenter, og rollen som tjenestekanaler spilles av selgere, administratorer, kokker, konditorer, servitører, kasserere, merchandisers, lastere, kommersielt utstyr, etc. Det er viktig å merke seg at i en variant, for eksempel, er en kokk i ferd med å tilberede retter en servicekanal, og i en annen fungerer han som en forespørsel om service, for eksempel til produksjonslederen for å motta varer.

På grunn av den massive karakteren av mottak av tjenester, danner søknadsstrømmer som kalles innkommende før serviceoperasjoner utføres, og etter en eventuell venting på at tjenesten skal begynne, dvs. nedetid i køen, skjematjenesteflyter i kanaler, og så dannes det en utgående flyt av forespørsler. Generelt sett utgjør settet med elementer av den innkommende strømmen av applikasjoner, køen, tjenestekanaler og den utgående strømmen av applikasjoner det enkleste enkeltkanals køsystemet - QS.

Et system er et sett med sammenkoblede og. målrettet samvirkende deler (elementer). Eksempler på slike enkle QS i kommersiell virksomhet er mottaks- og behandlingssteder, oppgjørssentraler med kunder i butikker, kafeer, kantiner, jobber som økonom, regnskapsfører, kjøpmann, kokk ved distribusjon mv.

Serviceprosedyren anses som fullført når serviceforespørselen forlater systemet. Varigheten av tidsintervallet som kreves for å implementere tjenesteprosedyren avhenger hovedsakelig av arten av tjenesteforespørselsforespørselen, tilstanden til selve tjenestesystemet og tjenestekanalen.

Faktisk avhenger varigheten av kjøperens opphold i supermarkedet på den ene siden av kjøperens personlige egenskaper, hans forespørsler, utvalget av varer han skal kjøpe, og på den annen side av skjemaet. av serviceorganisasjon og ledsagere, noe som i betydelig grad kan påvirke tiden kjøperen bruker i supermarkedet og serviceintensiteten. For eksempel gjorde kassekontrollører som mestret den "blinde" metoden for å jobbe på et kasseapparat det mulig å øke gjennomstrømningen av oppgjørsnoder med 1,3 ganger og spare tid brukt på oppgjør med kunder ved hvert kassaapparat med mer enn 1,5 timer per dag . Innføringen av en enkelt oppgjørsnode i supermarkedet gir konkrete fordeler for kjøperen. Så hvis med den tradisjonelle formen for oppgjør var tjenestetiden for en kunde i gjennomsnitt 1,5 minutter, så med introduksjonen av en enkelt oppgjørsnode - 67 sekunder. Av disse brukes 44 sekunder på å foreta et kjøp i seksjonen og 23 sekunder brukes direkte på betalinger for kjøp. Hvis kjøperen gjør flere kjøp i forskjellige seksjoner, reduseres tidstapet ved å kjøpe to kjøp med 1,4 ganger, tre - med 1,9, fem - med 2,9 ganger.

Med serviceforespørsler mener vi prosessen med å tilfredsstille et behov. Tjenesten er annerledes i naturen. I alle eksemplene må imidlertid forespørslene som mottas betjenes av en eller annen enhet. I noen tilfeller utføres tjenesten av én person (kundeservice av én selger, i noen tilfeller av en gruppe personer (pasientbehandling av en medisinsk kommisjon i en poliklinikk), og i noen tilfeller av teknisk utstyr (salg av brusvann). , smørbrød fra salgsautomater). Et sett med verktøy som betjener applikasjoner kalles en servicekanal.

Hvis tjenestekanalene er i stand til å tilfredsstille de samme forespørslene, kalles tjenestekanalene homogene. Et sett med homogene tjenestekanaler kalles et serveringssystem.

Køsystemet mottar et stort antall forespørsler på tilfeldige tidspunkter, hvis tjenestevarighet også er en tilfeldig variabel. Den suksessive ankomsten av kunder til køsystemet kalles den innkommende strømmen av kunder, og sekvensen av kunder som forlater køsystemet kalles den utgående strømmen.

Den tilfeldige karakteren av fordelingen av varigheten av utførelsen av tjenesteoperasjoner, sammen med den tilfeldige karakteren av ankomsten av tjenestekrav, fører til det faktum at en tilfeldig prosess skjer i tjenestekanalene, som "kan kalles (analogt). med inndataflyten av forespørsler) flyten av tjenesteforespørsler eller ganske enkelt tjenesteflyten.

Merk at kunder som kommer inn i køsystemet kan forlate det uten å bli betjent. Hvis kunden for eksempel ikke finner ønsket produkt i butikken, så forlater han butikken uten å bli servert. Kjøper kan også forlate butikken dersom ønsket produkt er tilgjengelig, men det er lang kø, og kjøper har ikke tid.

Teorien om kø omhandler studiet av prosesser knyttet til kø, utvikling av metoder for å løse typiske køproblemer.

Når man skal studere effektiviteten til tjenestesystemet, spiller ulike måter å tilrettelegge tjenestekanaler i systemet på en viktig rolle.

Med en parallell ordning av tjenestekanaler, kan en forespørsel betjenes av en hvilken som helst gratis kanal. Et eksempel på et slikt servicesystem er en oppgjørsnode i selvbetjente butikker, hvor antall servicekanaler sammenfaller med antall kasserer-kontrollører.

I praksis betjenes ofte én applikasjon sekvensielt av flere tjenestekanaler. I dette tilfellet begynner den neste tjenestekanalen å betjene forespørselen etter at den forrige kanalen har fullført arbeidet. I slike systemer er tjenesteprosessen flerfaset, tjenesten til en applikasjon av en kanal kalles tjenestefasen. For eksempel, hvis en selvbetjent butikk har avdelinger med selgere, blir kjøpere først betjent av selgere, og deretter av kasserer-kontrollører.

Organiseringen av tjenestesystemet avhenger av personens vilje. Kvaliteten på systemfunksjonen i teorien om kø forstås ikke som hvor godt tjenesten utføres, men hvor fulllastet tjenestesystemet er, om tjenestekanalene er inaktive, om det dannes en kø.

I kommersiell virksomhet stiller applikasjoner som kommer inn i køsystemet også høye krav til kvaliteten på tjenesten som helhet, som ikke bare inkluderer en liste over egenskaper som historisk har utviklet seg og som vurderes direkte i teorien om kø, men også tilleggsegenskaper som er spesifikke for spesifikke kommersielle aktiviteter, spesielt individuelle vedlikeholdsprosedyrer, som kravene har økt kraftig nå. I denne forbindelse er det også nødvendig å ta hensyn til indikatorene for kommersiell aktivitet.

Tjenestesystemets arbeid er preget av slike indikatorer. Som tjenesteventetid, kølengde, mulighet for tjenestenektelse, mulighet for tjenestekanal nedetid, kostnad for tjenesten, og til slutt tilfredshet med kvaliteten på tjenesten, som også inkluderer forretningsytelse. For å forbedre kvaliteten på tjenestesystemet, er det nødvendig å bestemme hvordan du skal distribuere innkommende applikasjoner mellom tjenestekanaler, hvor mange tjenestekanaler du må ha, hvordan du arrangerer eller grupperer tjenestekanaler eller tjenesteenheter for å forbedre forretningsytelsen. For å løse disse problemene er det en effektiv modelleringsmetode som inkluderer og kombinerer prestasjonene til ulike vitenskaper, inkludert matematikk.

1.2 Modellering av køsystemer

QS-overganger fra en tilstand til en annen skjer under påvirkning av veldefinerte hendelser - mottak av søknader og deres service. Rekkefølgen av forekomst av hendelser som følger etter hverandre på tilfeldige tidspunkter danner den såkalte strømmen av hendelser. Eksempler på slike strømmer i kommersiell virksomhet er strømmer av ulik karakter – varer, penger, dokumenter, transport, kunder, kunder, telefonsamtaler, forhandlinger. Systemets oppførsel bestemmes vanligvis ikke av én, men av flere strømmer av hendelser samtidig. For eksempel er kundeservice i en butikk bestemt av kundeflyt og serviceflyt; i disse strømmene er øyeblikkene for kjøpers opptreden, tiden brukt i køen og tiden brukt på å betjene hver kjøper tilfeldig.

I dette tilfellet er det viktigste karakteristiske trekk ved strømmer den sannsynlige fordelingen av tid mellom nabohendelser. Det er forskjellige bekker som er forskjellige i sine egenskaper.

En strøm av hendelser kalles regelmessig hvis hendelser i den følger etter hverandre med forhåndsbestemte og strengt definerte tidsintervaller. En slik flyt er ideell og er svært sjelden i praksis. Oftere er det uregelmessige strømninger som ikke har egenskapen regularitet.

En strøm av hendelser kalles stasjonær hvis sannsynligheten for at et hvilket som helst antall hendelser faller inn i et tidsintervall bare avhenger av lengden på dette intervallet og ikke avhenger av hvor langt dette intervallet er fra begynnelsen av tiden. Stasjonariteten til en strøm betyr at dens sannsynlige egenskaper er uavhengige av tid, spesielt er intensiteten til en slik strøm gjennomsnittlig antall hendelser per tidsenhet og forblir konstant. I praksis kan strømninger vanligvis betraktes som stasjonære bare i et visst begrenset tidsintervall. Vanligvis endres strømmen av kunder, for eksempel i en butikk, betydelig i løpet av arbeidsdagen. Det er imidlertid mulig å skille ut visse tidsintervaller innenfor hvilke denne strømmen kan betraktes som stasjonær, med konstant intensitet.

En strøm av hendelser kalles en strøm uten konsekvenser dersom antallet hendelser som faller på ett av de vilkårlig valgte tidsintervallene ikke er avhengig av antall hendelser som faller på et annet, også vilkårlig valgt intervall, forutsatt at disse intervallene ikke skjærer hverandre . I en flyt uten konsekvens, oppstår hendelser til påfølgende tidspunkt uavhengig av hverandre. For eksempel kan strømmen av kunder som kommer inn i en butikk betraktes som en flyt uten konsekvenser, fordi årsakene som førte til ankomsten til hver av dem ikke er relatert til lignende årsaker for andre kunder.

En strøm av hendelser kalles ordinær hvis sannsynligheten for å treffe to eller flere hendelser samtidig i en svært kort periode er ubetydelig sammenlignet med sannsynligheten for å treffe bare én hendelse. I en vanlig strøm skjer hendelser én om gangen, i stedet for to eller flere ganger. Hvis en strømning samtidig har egenskapene til stasjonaritet, ordinaritet og fravær av en konsekvens, kalles en slik flyt den enkleste (eller Poisson) strømmen av hendelser. Den matematiske beskrivelsen av virkningen av en slik flyt på systemer er den enkleste. Derfor spiller spesielt den enkleste flyten en spesiell rolle blant andre eksisterende strømmer.

Tenk på et tidsintervall t på tidsaksen. La oss anta at sannsynligheten for at en tilfeldig hendelse faller inn i dette intervallet er p, og det totale antallet mulige hendelser er n. I nærvær av egenskapen til en vanlig flyt av hendelser, må sannsynligheten p være en tilstrekkelig liten verdi, og π et tilstrekkelig stort antall, siden massefenomener vurderes. Under disse forholdene, for å beregne sannsynligheten for å treffe et visst antall hendelser t i et tidsintervall t, kan du bruke Poisson-formelen:

P m, n = en m_e-a; (m=0,n),

hvor verdien a = pr er det gjennomsnittlige antall hendelser som faller på tidsintervallet t, som kan bestemmes gjennom intensiteten til flyten av hendelser X som følger: a= λ τ

Dimensjonen til strømningsintensiteten X er gjennomsnittlig antall hendelser per tidsenhet. Mellom p og λ, p og τ er det følgende forhold:

der t er hele tidsperioden som handlingen til strømmen av hendelser vurderes.

Det er nødvendig å bestemme fordelingen av tidsintervallet T mellom hendelser i en slik strøm. Siden dette er en tilfeldig variabel, la oss finne fordelingsfunksjonen. Som kjent fra sannsynlighetsteori er integralfordelingsfunksjonen F(t) sannsynligheten for at verdien T blir mindre enn tiden t.

I henhold til betingelsen skal det ikke forekomme hendelser i løpet av tiden T, og minst én hendelse skal vises på tidsintervallet t. Denne sannsynligheten beregnes ved å bruke sannsynligheten for den motsatte hendelsen på tidsintervallet (0; t), der ingen hendelse falt, dvs. m=0, da

F(t)=1-P0 =1-(a0 *e -a)0!=1-e -Xt,t≥0

For liten ∆t kan man få en omtrentlig formel oppnådd ved å erstatte funksjonen e - Xt med bare to ledd av ekspansjonen i en serie i potenser av ∆t, deretter sannsynligheten for at minst én hendelse faller inn i et lite tidsintervall ∆ t er

P(T<∆t)=1-e - λ t ≈1- ≈ λΔt

Fordelingstettheten til tidsintervallet mellom to påfølgende hendelser oppnås ved å differensiere F(t) med hensyn til tid,

f(t)= λe- λt,t≥0

Ved å bruke den oppnådde fordelingstetthetsfunksjonen kan man få de numeriske karakteristikkene til den stokastiske variabelen T: den matematiske forventningen M (T), variansen D(T) og standardavviket σ(T).

М(Т)= λ ∞ ∫ 0 t*e - λt *dt=1/ λ ; D(T)=1/A2; σ(T)=1/ λ .

Fra dette kan vi trekke følgende konklusjon: det gjennomsnittlige tidsintervallet T mellom alle to nabohendelser i den enkleste strømmen er i gjennomsnitt 1/λ, og standardavviket er også 1/λ, λ hvor, er strømningsintensiteten, dvs. gjennomsnittlig antall hendelser per tidsenhet. Fordelingsloven til en tilfeldig variabel med slike egenskaper M(T) = T kalles eksponentiell (eller eksponentiell), og verdien λ er en parameter for denne eksponentielle loven. For den enkleste flyten er således den matematiske forventningen til tidsintervallet mellom nabohendelser lik standardavviket. I dette tilfellet bestemmes sannsynligheten for at antall forespørsler som kommer for service i et tidsintervall t er lik k av Poisson-loven:

P k (t)=(λt) k / k! *e -λ t,

der λ er intensiteten av strømmen av forespørsler, gjennomsnittlig antall hendelser i QS per tidsenhet, for eksempel [personer / min; gni./time; sjekker/time; dokumenter/dag; kg./time; tonn/år] .

For en slik flyt av applikasjoner er tiden mellom to naboapplikasjoner T fordelt eksponentielt med en sannsynlighetstetthet:

ƒ(t)= λe - λt .

Tilfeldig ventetid i tjenestestartkøen t och kan også betraktes som eksponentielt fordelt:

ƒ (t och)=V*e - v t och,

der v er intensiteten til køpassasjestrømmen, bestemt av gjennomsnittlig antall søknader som passerer for service per tidsenhet:

hvor T och - gjennomsnittlig ventetid for service i køen.

Utgangsstrømmen av forespørsler er assosiert med tjenesteflyten i kanalen, der tjenestevarigheten t obs også er en tilfeldig variabel og i mange tilfeller følger en eksponentiell distribusjonslov med en sannsynlighetstetthet:

ƒ(t obs)=µ*e µt obs,

hvor µ er intensiteten til tjenestestrømmen, dvs. gjennomsnittlig antall forespørsler levert per tidsenhet:

µ=1/ t obs [person/min; gni./time; sjekker/time; dokumenter/dag; kg./time; tonn/år],

der t obs er gjennomsnittstiden for serviceforespørsler.

Et viktig kjennetegn ved QS, som kombinerer indikatorene λ og µ , er intensiteten til lasten: ρ= λ/ µ, som viser graden av koordinering av inngangs- og utgangsstrømmene til tjenestekanalforespørsler og bestemmer stabiliteten til køsystem.

I tillegg til begrepet den enkleste flyten av hendelser, er det ofte nødvendig å bruke begrepene flyt av andre typer. En strøm av hendelser kalles en Palm-strøm når i denne strømmen er tidsintervallene mellom påfølgende hendelser T 1 , T 2 , ..., T k ..., T n uavhengige, likt fordelte, tilfeldige variabler, men i motsetning til de enkleste. strøm, er de ikke nødvendigvis fordelt i henhold til den eksponentielle loven. Den enkleste flyten er et spesialtilfelle av Palm-strømmen.

Et viktig spesialtilfelle av Palmestrømmen er den såkalte Erlangstrømmen.

Denne strømmen oppnås ved å "tynne" den enkleste bekken. Slik "tynning" utføres ved å velge hendelser fra en enkel strøm i henhold til en bestemt regel.

For eksempel, hvis vi godtar å ta hensyn til bare annenhver hendelse fra elementene i den enkleste flyten, får vi en andreordens Erlang-flyt. Hvis vi bare tar hver tredje hendelse, dannes det en Erlang-strøm av tredje orden, og så videre.

Det er mulig å skaffe Erlang-strømmer av hvilken som helst k-te orden. Den enkleste flyten er åpenbart Erlang-strømmen av første orden.

Enhver studie av et køsystem begynner med en studie av hva som skal serveres, og derfor med en undersøkelse av den innkommende strømmen av kunder og dens egenskaper.

Siden tidspunktene t og tidsintervallene for mottak av søknader τ, så er varigheten av tjenesteoperasjoner t obs og ventetiden i køen t och, samt lengden på køen l och tilfeldige variabler, da, derfor er egenskapene til QS-tilstanden av en sannsynlighet, og for deres beskrivelse følger det anvende metoder og modeller for køteori.

Karakteristikkene k, τ, λ, L och, T och, v, t obs, µ, p, P k oppført ovenfor er de vanligste for QS, som vanligvis bare er en del av den objektive funksjonen, siden det også er nødvendig å ta hensyn til indikatorer på kommersiell aktivitet.

1.3 QS-tilstandsgrafer

Når man analyserer tilfeldige prosesser med diskrete tilstander og kontinuerlig tid, er det praktisk å bruke en variant av en skjematisk representasjon av mulige tilstander til CMO (fig. 6.2.1) i form av en graf med en markering av dens mulige faste tilstander. QS-tilstander er vanligvis avbildet enten av rektangler eller sirkler, og de mulige retningene for overganger fra en tilstand til en annen er orientert av piler som forbinder disse tilstandene. For eksempel er den merkede tilstandsgrafen til et enkeltkanalsystem for en tilfeldig tjenesteprosess i en aviskiosk vist i fig. 1.3.

Ris. 1.3. Merket QS State Graph

Systemet kan være i en av tre tilstander: S 0 - kanalen er ledig, inaktiv, S 1 - kanalen er opptatt med service, S 2 - kanalen er opptatt med service og en applikasjon er i køen. Overgangen av systemet fra tilstand S 0 til S l skjer under påvirkning av den enkleste strømmen av forespørsler med intensitet λ 01, og fra tilstand S l til tilstand S 0 overføres systemet av en tjenesteflyt med intensitet λ 01 . Tilstandsgrafen til et køsystem med strømningsintensiteter festet til pilene kalles merket. Siden systemets opphold i en eller annen tilstand er sannsynlighetsmessig av natur, kalles sannsynligheten: p i (t) for at systemet vil være i tilstand S i på tidspunktet t sannsynligheten for den i-te tilstanden til QS og bestemmes av antall forespørsler k mottatt for service.

En tilfeldig prosess som forekommer i systemet består i at systemet på tilfeldige tidspunkter t 0, t 1, t 2 ,..., t k ,..., t n er i en eller annen tidligere kjent diskret tilstand sekvensielt. Slik. En tilfeldig sekvens av hendelser kalles en Markov-kjede hvis sannsynligheten for overgang fra en tilstand S t til en hvilken som helst annen Sj for hvert trinn ikke avhenger av når og hvordan systemet flyttet til tilstanden S t . Markov-kjeden er beskrevet ved hjelp av sannsynligheten for tilstander, og de danner en komplett gruppe hendelser, så summen deres er lik én. Hvis overgangssannsynligheten ikke avhenger av tallet k, kalles Markov-kjeden homogen. Når man kjenner den opprinnelige tilstanden til køsystemet, kan man finne sannsynlighetene for tilstander for en hvilken som helst verdi av k-antall forespørsler mottatt for tjeneste.

1.4 Stokastiske prosesser

QS-overgangen fra en tilstand til en annen skjer tilfeldig og er en tilfeldig prosess. Arbeidet til QS er en tilfeldig prosess med diskrete tilstander, siden dens mulige tilstander i tid kan listes opp på forhånd. Dessuten skjer overgangen fra en tilstand til en annen brått, på tilfeldige tidspunkter, og det er derfor det kalles en prosess med kontinuerlig tid. Dermed er arbeidet til QS en tilfeldig prosess med diskrete tilstander og kontinuerlig; tid. For eksempel, i prosessen med å betjene grossistkjøpere hos Kristall-selskapet i Moskva, er det mulig å fikse på forhånd alle mulige tilstander av protozoer. CMOer som er inkludert i hele syklusen av kommersielle tjenester fra tidspunktet for inngåelse av en avtale om levering av alkoholholdige drikkevarer, betaling for det, papirarbeid, utgivelse og mottak av produkter, ytterligere lasting og fjerning fra lageret av ferdige produkter.

Av de mange variantene av tilfeldige prosesser, er de mest utbredte i kommersiell aktivitet de prosessene der egenskapene til prosessen til enhver tid i fremtiden bare avhenger av tilstanden i øyeblikket og ikke avhenger av forhistorien - av fortiden. . For eksempel avhenger muligheten for å skaffe alkoholholdige drikkevarer fra Kristall-anlegget av tilgjengeligheten i ferdigvarelageret, dvs. tilstanden for øyeblikket, og er ikke avhengig av når og hvordan andre kjøpere mottok og tok bort disse produktene tidligere.

Slike tilfeldige prosesser kalles prosesser uten konsekvenser, eller Markov-prosesser, der, med en fast nåtid, er den fremtidige tilstanden til QS ikke avhengig av fortiden. En tilfeldig prosess som kjører i et system kalles en Markov tilfeldig prosess, eller en "prosess uten konsekvenser" hvis den har følgende egenskap: for hver gang t 0, sannsynligheten for en hvilken som helst tilstand t > t 0 i systemet Si , - i fremtiden (t>t Q ) avhenger kun av sin tilstand i nåtid (ved t = t 0) og er ikke avhengig av når og hvordan systemet kom til denne tilstanden, dvs. på grunn av hvordan prosessen utviklet seg tidligere.

Markov stokastiske prosesser er delt inn i to klasser: prosesser med diskrete og kontinuerlige tilstander. En prosess med diskrete tilstander oppstår i systemer som bare har noen faste tilstander, mellom hvilke hoppoverganger er mulige ved noen ukjente tidsøyeblikk. Tenk på et eksempel på en prosess med diskrete tilstander. Det er to telefoner på kontoret til firmaet. Følgende tilstander er mulige for dette tjenestesystemet: S o - telefoner er gratis; S l - en av telefonene er opptatt; S 2 - begge telefonene er opptatt.

Prosessen som foregår i dette systemet er at systemet tilfeldig hopper fra en diskret tilstand til en annen.

Prosesser med kontinuerlige tilstander er preget av en kontinuerlig jevn overgang fra en tilstand til en annen. Disse prosessene er mer typiske for tekniske innretninger enn for økonomiske objekter, hvor man vanligvis bare kan snakke om kontinuiteten i prosessen (for eksempel kontinuerlig forbruk av et varelager), mens prosessen faktisk alltid har en diskret karakter. . Derfor vil vi nedenfor kun vurdere prosesser med diskrete tilstander.

Markov tilfeldige prosesser med diskrete tilstander er på sin side delt inn i prosesser med diskret tid og prosesser med kontinuerlig tid. I det første tilfellet skjer overganger fra en tilstand til en annen bare ved bestemte, forhåndsbestemte tidspunkter, mens systemet i intervallene mellom disse øyeblikkene beholder sin tilstand. I det andre tilfellet kan overgangen til systemet fra tilstand til tilstand skje når som helst tilfeldig.

I praksis er prosesser med kontinuerlig tid mye mer vanlig, siden overgangene til systemet fra en tilstand til en annen vanligvis ikke skjer på et bestemt tidspunkt, men på et hvilket som helst tilfeldig tidspunkt.

For å beskrive prosesser med kontinuerlig tid, brukes en modell i form av en såkalt Markov-kjede med diskrete tilstander av systemet, eller en kontinuerlig Markov-kjede.

Kapittel II . Ligninger som beskriver køsystemer

2.1 Kolmogorov-ligninger

Tenk på en matematisk beskrivelse av en Markov tilfeldig prosess med diskrete systemtilstander S o , S l , S 2 (se fig. 6.2.1) og kontinuerlig tid. Vi tror at alle overganger av køsystemet fra tilstanden Si til tilstanden Sj skjer under påvirkning av de enkleste strømmene av hendelser med intensiteter λ ij , og den omvendte overgangen under påvirkning av en annen flyt λ ij ,. Vi introduserer notasjonen p i som sannsynligheten for at systemet på tidspunktet t er i tilstand S i . For ethvert tidspunkt t er det rettferdig å skrive ned normaliseringstilstanden - summen av sannsynlighetene for alle tilstander er lik 1:

Σpi (t)=p 0 (t)+ p 1 (t)+ p 2 (t)=1

La oss analysere systemet på tidspunktet t, sette et lite tidsøkning Δt, og finne sannsynligheten p 1 (t + Δt) for at systemet til tiden (t + Δt) vil være i tilstand S 1, som oppnås ved forskjellige alternativer :

a) systemet i øyeblikket t med sannsynlighet p 1 (t) var i tilstanden S 1 og i en liten tids inkrement gikk Δt aldri over til en annen nabotilstand - verken til S 0 eller bS 2 . Systemet kan tas ut av tilstanden S 1 ved en total enkel strømning med intensitet (λ 10 + λ 12), siden superposisjonen av de enkleste strømmene også er den enkleste strømmen. På dette grunnlaget er sannsynligheten for å gå ut av tilstanden S 1 i løpet av en kort tidsperiode Δt tilnærmet lik (λ 10 +λ 12)* Δt. Da er sannsynligheten for ikke å forlate denne tilstanden lik . Følgelig er sannsynligheten for at systemet vil forbli i tilstanden Si, basert påningen, lik:

p 1 (t);

b) systemet var i en nabotilstand S o og i løpet av kort tid gikk Δt over i tilstanden S o Systemets overgang skjer under påvirkning av strømmen λ 01 med en sannsynlighet tilnærmet lik λ 01 Δt

Sannsynligheten for at systemet vil være i tilstand S 1 i dette tilfellet er lik p o (t)λ 01 Δt;

c) systemet var i tilstand S 2 og i løpet av tiden Δt gikk over i tilstand S 1 under påvirkning av en strømning med intensitet λ 21 med en sannsynlighet tilnærmet lik λ 21 Δt. Sannsynligheten for at systemet vil være i tilstand S 1 er lik p 2 (t) λ 21 Δt.

Ved å bruke sannsynlighetsaddisjonsteoremet for disse alternativene får vi uttrykket:

p 2 (t+Δt)= p 1 (t) + p o (t)λ 01 Δt+p 2 (t) λ 21 Δt,

som kan skrives annerledes:

p 2 (t + Δt) -p 1 (t) / Δt \u003d p o (t) λ 01 + p 2 (t) λ 21 - p 1 (t) (λ 10 + λ 12) .

Ved å gå til grensen ved Δt-> 0, blir de omtrentlige likhetene til eksakte, og så får vi den førsteordens deriverte

dp 2 /dt= p 0 λ 01 + p 2 λ 21 - p 1 (λ 10 + λ 12),

som er en differensialligning.

Ved å resonnere på en lignende måte for alle andre tilstander i systemet, får vi et system med differensialligninger, som kalles A.N. Kolmogorov:

dp 0 /dt= p 1 λ 10 ,

dp 1 /dt= p 0 λ 01 + p 2 λ 21 - p 1 (λ 10 + λ 12),

dp 2 /dt= p 1 λ 12 + p 2 λ 21.

Det er generelle regler for å kompilere Kolmogorov-ligningene.

Kolmogorov-ligningene gjør det mulig å beregne alle sannsynligheter for QS-tilstander S i som funksjon av tiden p i (t). I teorien om tilfeldige prosesser er det vist at hvis antallet tilstander i systemet er begrenset, og fra hver av dem er det mulig å gå til en hvilken som helst annen tilstand, så er det begrensende (endelige) sannsynligheter for tilstander som indikerer gjennomsnittlig relativ verdi av tiden systemet bruker i denne tilstanden. Hvis marginalsannsynligheten for tilstanden S 0 er lik p 0 = 0,2, så er derfor i gjennomsnitt 20 % av tiden, eller 1/5 av arbeidstiden, systemet i tilstanden S o . For eksempel, i fravær av tjenesteforespørsler k = 0, p 0 = 0,2,; derfor, i gjennomsnitt 2 timer per dag, er systemet i S o-tilstand og er inaktivt hvis arbeidsdagen er 10 timer.

Siden de begrensende sannsynlighetene til systemet er konstante, og erstatter de tilsvarende deriverte i Kolmogorov-ligningene med nullverdier, får vi et system med lineære algebraiske ligninger som beskriver den stasjonære modusen til QS. Et slikt ligningssystem er kompilert i henhold til den merkede grafen for QS-tilstander i henhold til følgende regler: til venstre for likhetstegnet i ligningen er den begrensende sannsynligheten p i for den betraktede tilstanden Si multiplisert med den totale intensiteten til alle strømmer som utgang (utgående piler) av den gitte tilstanden S i til systemet, og til høyre for likhetstegnet - summen av produktene av intensiteten til alle strømmer som kommer inn (innkommende piler) i tilstanden til Sisystemet med sannsynligheten for de statene som disse strømmene kommer fra. For å løse et slikt system, er det nødvendig å legge til enda en ligning som bestemmer normaliseringstilstanden, siden summen av sannsynlighetene for alle QS-tilstander er 1: n

For eksempel, for en QS som har en merket graf med tre tilstander So, S 1, S 2 fig. 6.2.1, Kolmogorov-likningssystemet, kompilert på grunnlag av den angitte regelen, har følgende form:

For tilstanden So → p 0 λ 01 = p 1 λ 10

For tilstanden S 1 → p 1 (λ 10 + λ 12) = p 0 λ 01 + p 2 λ 21

For tilstanden S 2 → p 2 λ 21 = p 1 λ 12

p0 +pl +p2 =1

dp 4 (t) / dt \u003d λ 34 p 3 (t) - λ 43 p 4 (t),

p1(t)+p2(t)+p3(t)+p4(t)=1.

Til disse ligningene må vi legge til flere startbetingelser. For eksempel, hvis ved t = 0 systemet S er i tilstanden S 1, kan startbetingelsene skrives som følger:

p 1 (0)=1, p 2 (0)= p 3 (0)= p 4 (0)=0.

Overgangene mellom tilstandene til QS skjer under påvirkning av mottak av søknader og deres tjeneste. Overgangssannsynligheten i det tilfellet hvor flyten av hendelser er enklest, bestemmes av sannsynligheten for at en hendelse inntreffer i løpet av tiden Δt, dvs. verdien av λ ij Δt, hvor λ ij er intensiteten av strømmen av hendelser som overfører systemet fra tilstand i til tilstand i (langs den tilsvarende pilen på tilstandsgrafen).

Hvis alle strømmer av hendelser som overfører systemet fra en tilstand til en annen er de enkleste, vil prosessen som skjer i systemet være en tilfeldig Markov-prosess, dvs. prosess uten konsekvenser. I dette tilfellet er oppførselen til systemet ganske enkel, det bestemmes om intensiteten til alle disse enkle hendelsesstrømmene er kjent. For eksempel, hvis en Markov stokastisk prosess med kontinuerlig tid forekommer i systemet, får vi, etter å ha skrevet Kolmogorov-likningssystemet for tilstandssannsynlighetene og integrert dette systemet under gitte startbetingelser, alle tilstandssannsynlighetene som en funksjon av tid:

p i (t), p 2 (t), ...., p n (t).

I mange tilfeller viser det seg i praksis at sannsynlighetene for tilstander som funksjon av tid oppfører seg på en slik måte at det er

lim pi (t) = pi (i=1,2,...,n); t→∞

uavhengig av type startforhold. I dette tilfellet sier de at det er begrensende sannsynligheter for systemtilstandene ved t->∞ og en begrensende stasjonær modus er etablert i systemet. I dette tilfellet endrer systemet tilfeldig tilstandene sine, men hver av disse tilstandene utføres med en viss konstant sannsynlighet, bestemt av den gjennomsnittlige tiden systemet bruker i hver av tilstandene.

Det er mulig å beregne de begrensende sannsynlighetene for tilstanden p i hvis alle deriverte i systemet settes lik 0, siden i Kolmogorov-ligningene ved t-> ∞ forsvinner avhengigheten av tid. Deretter blir systemet med differensialligninger til et system med vanlige lineære algebraiske ligninger, som sammen med normaliseringsbetingelsen gjør det mulig å beregne alle de begrensende sannsynlighetene for tilstander.

2.2 Prosessene med "fødsel - død"

Blant de homogene Markov-prosessene er det en klasse med tilfeldige prosesser som er mye brukt i konstruksjonen av matematiske modeller innen feltene demografi, biologi, medisin (epidemiologi), økonomi og kommersielle aktiviteter. Dette er de såkalte "fødselsdødsprosessene", Markov-prosesser med stokastiske tilstandsgrafer i følgende form:

kjlS n

μ 0 μ 1 μ 3 μ 4 μ n-1

Ris. 2.1 Merket fødsels-dødsprosessgraf

Denne grafen gjengir en velkjent biologisk tolkning: verdien λ k gjenspeiler intensiteten av fødselen til en ny representant for en viss populasjon, for eksempel kaniner, og den nåværende populasjonsstørrelsen er k; verdien av μ er intensiteten av død (salg) til en representant for denne populasjonen, hvis det nåværende volumet av populasjonen er lik k. Spesielt kan populasjonen være ubegrenset (antallet n av tilstander i Markov-prosessen er uendelig, men tellbar), intensiteten λ kan være lik null (en populasjon uten mulighet for gjenfødelse), for eksempel når reproduksjon av kaniner stopper.

For Markov-prosessen med "fødsel - død", beskrevet av den stokastiske grafen vist i fig. 2.1 finner vi den endelige fordelingen. Ved å bruke reglene for å kompilere ligninger for et endelig antall n av de begrensende sannsynlighetene for tilstanden til systemet S 1 , S 2 , S 3 ,… Sk ,…, S n , komponerer vi de tilsvarende ligningene for hver tilstand:

for tilstanden S 0 -λ 0 p 0 =μ 0 p 1;

for tilstanden S 1 -(λ 1 +μ 0)p 1 = λ 0 p 0 +μ 1 p 2 , som, tatt i betraktning den forrige ligningen for tilstanden S 0, kan konverteres til formen λ 1 p 1 = μ 1 p 2.

Tilsvarende kan man komponere ligninger for de gjenværende tilstandene til systemet S 2 , S 3 ,..., Sk ,..., S n . Som et resultat får vi følgende ligningssystem:

Ved å løse dette ligningssystemet kan man få uttrykk som bestemmer slutttilstandene til køsystemet:

Det skal bemerkes at formlene for å bestemme de endelige sannsynlighetene for tilstandene p 1 , p 2 , p 3 ,..., p n inkluderer termer som er en integrert del av summen av uttrykket som bestemmer p 0 . Tellerne til disse begrepene inneholder produktene av alle intensiteter ved pilene på tilstandsgrafen som fører fra venstre til høyre til den betraktede tilstanden S k , og nevnerne er produktene av alle intensiteter som står ved pilene som fører fra høyre til venstre til betraktet tilstand S k , dvs. μ 0 , μ 1 , μ 2 , μ 3 , ... μ k . I denne forbindelse skriver vi disse modellene i en mer kompakt form:

k=1,n

2.3 Økonomisk og matematisk formulering av køproblemer

Den riktige eller mest vellykkede økonomiske og matematiske formuleringen av problemet bestemmer i stor grad nytten av anbefalinger for å forbedre køsystemer i kommersiell virksomhet.

I denne forbindelse er det nødvendig å nøye overvåke prosessen i systemet, søke etter og identifisere betydelige koblinger, formulere et problem, identifisere et mål, bestemme indikatorer og identifisere økonomiske kriterier for å evaluere arbeidet til QS. I dette tilfellet kan den mest generelle, integrerte indikatoren være kostnadene på den ene siden av QS for kommersiell aktivitet som et tjenestesystem, og på den andre siden kostnadene for applikasjoner, som kan ha en annen fysisk karakter.

K. Marx betraktet til syvende og sist økningen i effektivitet i ethvert aktivitetsfelt som tidsbesparende og så dette som en av de viktigste økonomiske lovene. Han skrev at tidsøkonomien, så vel som den planlagte fordelingen av arbeidstid mellom ulike produksjonsgrener, fortsatt er den første økonomiske loven basert på kollektiv produksjon. Denne loven er manifestert i alle områder av sosial aktivitet.

For varer, inkludert kontanter som strømmer inn i den kommersielle sfæren, er effektivitetskriteriet knyttet til tid og hastighet på sirkulasjonen av varer og bestemmer intensiteten av kontantstrømmen til banken. Tid og hastighet på sirkulasjonen, som er økonomiske indikatorer for kommersiell aktivitet, karakteriserer effektiviteten av bruken av midler investert i inventar. Lageromsetning reflekterer den gjennomsnittlige realisasjonsraten for gjennomsnittlig varelager. Indikatorer for vareomsetning og lagernivå er nært knyttet til kjente modeller. Dermed er det mulig å spore og etablere forholdet mellom disse og andre indikatorer på kommersiell aktivitet med tidsmessige egenskaper.

Følgelig er effektiviteten til en kommersiell virksomhet eller organisasjon summen av tiden brukt på å utføre individuelle serviceoperasjoner, samtidig som tidskostnadene for befolkningen inkluderer reisetid, besøk i butikk, kantine, kafé, restaurant, venting for at tjenesten skal starte, sette seg inn i menyen, velge produkter, beregning osv. De utførte studiene av strukturen på tidsbruken til befolkningen indikerer at en betydelig del av den brukes irrasjonelt. Merk at kommersiell aktivitet til syvende og sist er rettet mot å tilfredsstille menneskelige behov. Derfor bør QS-modelleringsarbeid inkludere tidsanalyse for hver elementær tjenesteoperasjon. Ved hjelp av passende metoder bør det lages modeller for forholdet mellom QS-indikatorer. Dette nødvendiggjør at de vanligste og mest kjente økonomiske indikatorene, som omsetning, profitt, distribusjonskostnader, lønnsomhet og andre, kobles sammen i økonomiske og matematiske modeller med en ekstra voksende gruppe indikatorer bestemt av spesifikasjonene til tjenestesystemer og introdusert. av spesifikasjonene til selve køteorien.

For eksempel er funksjonene til QS-indikatorer med feil: ventetiden for applikasjoner i køen T pt = 0, siden det i sin natur i slike systemer er umulig å eksistere en kø, så er L pt = 0 og derfor sannsynligheten for dannelsen P pt = 0. I henhold til antall forespørsler k, driftsmodusen til systemet, dets tilstand bestemmes: med k=0 - ledige kanaler, med 1 n - service og feil. Indikatorene for slike QS er sannsynligheten for tjenestenekt R otk, sannsynligheten for tjeneste R obs, gjennomsnittlig kanalnedetid t pr, gjennomsnittlig antall travle n s og ledige kanaler n sv, gjennomsnittlig tjeneste t obs, den absolutte gjennomstrømningen EN.

For en QS med ubegrenset venting er det typisk at sannsynligheten for å betjene en forespørsel P obs = 1, siden lengden på køen og ventetiden for start av tjenesten ikke er begrenset, dvs. formelt L och →∞ og T och →∞. Følgende driftsmoduser er mulige i systemene: ved k=0 er det en enkel servicekanal, ved 1 n - service og kø. Indikatorene for slik effektivitet av slike QS er gjennomsnittlig antall applikasjoner i køen L och, gjennomsnittlig antall applikasjoner i systemet k, gjennomsnittlig oppholdstid for applikasjonen i systemet T QS, absolutt gjennomstrømning A.

I QS med venting med en grense på lengden på køen, hvis antall forespørsler i systemet er k=0, så er det en ledig kanal, med 1 n + m - service, kø og avslag som venter på service. Ytelsesindikatorene for slike QS er sannsynligheten for tjenestenekt Р otk - sannsynligheten for tjeneste Р obs, gjennomsnittlig antall søknader i køen L och, gjennomsnittlig antall søknader i systemet L smo, gjennomsnittlig oppholdstid på applikasjonen i systemet T smo, den absolutte gjennomstrømningen A.

Dermed kan listen over kjennetegn ved køsystemer representeres som følger: gjennomsnittlig tjenestetid - t obs; gjennomsnittlig ventetid i køen - T och; gjennomsnittlig opphold i SMO - T smo; gjennomsnittlig lengde på køen - L och; gjennomsnittlig antall søknader i CMO - L CMO; antall tjenestekanaler - n; intensiteten av inngangsstrømmen til applikasjoner - λ; tjenesteintensitet - μ; belastningsintensitet - ρ; lastfaktor - α; relativ gjennomstrømning - Q; absolutt gjennomstrømning - A; andel ledig tid i QS - Р 0 ; andelen betjente applikasjoner - R obs; andelen tapte forespørsler - P otk, gjennomsnittlig antall travle kanaler - n z; gjennomsnittlig antall gratis kanaler - n St; kanalbelastningsfaktor - K z; gjennomsnittlig ledig tid for kanaler - t pr.

Det skal bemerkes at noen ganger er det nok å bruke opptil ti nøkkelindikatorer for å identifisere svakheter og utvikle anbefalinger for å forbedre QS.

Dette er ofte forbundet med løsningen av problemer med en koordinert arbeidskjede eller sett med QS.

For eksempel, i kommersielle aktiviteter, er det også nødvendig å ta hensyn til de økonomiske indikatorene for QS: totale kostnader - C; sirkulasjonskostnader - С io, forbrukskostnader - С ip, kostnader for å betjene en applikasjon - С 1, tap forbundet med avgang av en applikasjon - С у1, kanaldriftskostnader - С c, kanal nedetidskostnader - С pr, kapitalinvesteringer - C-tak, reduserte årlige kostnader - C pr, nåværende kostnader - C-teknologi, inntekt på QS per tidsenhet - D 1

I prosessen med å sette mål er det nødvendig å avsløre sammenhengen mellom QS-indikatorer, som, i henhold til deres grunnleggende tilknytning, kan deles inn i to grupper: den første er relatert til kostnadene ved å håndtere C IO, som bestemmes av antall kanaler okkupert av vedlikehold av kanaler, kostnadene for å opprettholde QS, intensiteten av tjenesten, graden av lasting av kanaler, deres effektivitet, bruk, gjennomstrømning av QS, etc.; den andre gruppen av indikatorer bestemmes av kostnadene for de faktiske forespørslene C un, kommer inn i tjenesten, som danner den innkommende flyten, føler effektiviteten til tjenesten og er assosiert med slike indikatorer som kølengde, tjenesteventetid, sannsynlighet av tjenestenekt, tiden søknaden forblir i QS, etc.

Disse gruppene av indikatorer er motstridende i den forstand at forbedring av ytelsen til en gruppe, for eksempel å redusere lengden på køen eller ventetiden i kø ved å øke antall servicekanaler (servitører, kokker, lastere, kasserere), er assosiert med en forringelse av gruppens ytelse, siden dette kan føre til en økning i nedetid for tjenestekanaler, kostnadene for å vedlikeholde dem, etc. I denne forbindelse er det ganske naturlig å formalisere tjenesteoppgaver for å bygge en QS på en slik måte at det etableres et rimelig kompromiss mellom indikatorene for de faktiske forespørslene og fullstendigheten av å bruke systemets muligheter. For dette formål er det nødvendig å velge en generalisert, integrert indikator for effektiviteten til QS, som samtidig inkluderer påstandene og evnene til begge grupper. Som en slik indikator kan et kriterium for økonomisk effektivitet velges, inkludert både kostnadene ved sirkulasjon C io og kostnadene ved applikasjoner C ip, som vil ha en optimal verdi med et minimum av totale kostnader C. På denne bakgrunn er målsettingen funksjonen til problemet kan skrives som følger:

С= (С io + С ip) →min

Siden sirkulasjonskostnadene inkluderer kostnadene knyttet til driften av QS - C ex og nedetid av tjenestekanaler - C pr, og kostnadene for forespørsler inkluderer tap knyttet til avgang av ubetjente forespørsler - C n, og med å stå i køen - C pt, så kan objektivfunksjonen omskrives under hensyntagen til disse indikatorene på følgende måte:

C \u003d ((C pr n sv + C ex n h) + C og R obs λ (T och + t obs) + C fra R otk λ) → min.

Avhengig av oppgaven kan variable, dvs. håndterbare, indikatorer være: antall tjenestekanaler, organisering av tjenestekanaler (parallelt, sekvensielt, på en blandet måte), kødisiplin, prioritet i serviceapplikasjoner, gjensidig assistanse mellom kanaler , osv. Noen av indikatorene i oppgaven vises som uadministrerte, som vanligvis er kildedataene. Som et effektivitetskriterium i den objektive funksjonen kan det også være omsetning, fortjeneste eller inntekt, for eksempel lønnsomhet, da er de optimale verdiene til de administrerte QS-indikatorene åpenbart allerede ved maksimering, som i forrige versjon.

I noen tilfeller bør du bruke et annet alternativ for å skrive objektivfunksjonen:

C \u003d (C ex n s + C pr (n-n s) + C otk * P otk *λ + C syst * n s ) → min

Som et generelt kriterium kan for eksempel nivået på kundeservicekulturen i bedrifter velges, så kan den objektive funksjonen representeres av følgende modell:

K omtrent \u003d [(Z pu * K y) + (Z pv * K c) + (Z pd * K d) + (Z pz * K z) + (Z ved * K 0) + (Z kt * K ct )]*K mp,

hvor Z pu - betydningen av indikatoren for bærekraft for vareutvalget;

K y - stabilitetskoeffisient for utvalget av varer;

Z pv - betydningen av indikatoren for innføring av progressive metoder for å selge varer;

K in - koeffisienten for innføring av progressive metoder for å selge varer;

Zpd - betydningen av indikatoren for tilleggstjeneste;

K d - koeffisient for tilleggstjeneste;

Z pz - betydningen av indikatoren for gjennomføring av kjøpet;

K s - koeffisienten for gjennomføring av kjøpet;

3 på - betydningen av indikatoren for tiden brukt på å vente i tjeneste;

Til omtrent - en indikator på tiden brukt på å vente på service;

З kt - betydningen av indikatoren for kvaliteten på lagets arbeid;

K kt - koeffisienten for kvaliteten på lagets arbeid;

K mp - en indikator på tjenestekulturen etter kundenes mening;

For analysen av QS kan du velge andre kriterier for å evaluere effektiviteten til QS. For eksempel, som et slikt kriterium for systemer med feil, kan du velge sannsynligheten for feil Р ref, hvis verdi ikke vil overstige en forhåndsbestemt verdi. For eksempel kravet P otk<0,1 означает, что не менее чем в 90% случаев система должна справляться с обслуживанием потока заявок при заданной интенсивности λ. Можно ограничить среднее время пребывания заявки в очереди или в системе. В качестве показателей, подлежащих определению, могут выступать: либо число каналов n при заданной интенсивности обслуживания μ, либо интенсивность μ при заданном числе каналов.

Etter å ha konstruert den objektive funksjonen, er det nødvendig å bestemme betingelsene for å løse problemet, finne begrensninger, angi de opprinnelige verdiene for indikatorer, fremheve ikke-administrerte indikatorer, bygge eller velge et sett med modeller for forholdet mellom alle indikatorer for de analyserte type QS, for til slutt å finne de optimale verdiene for kontrollerte indikatorer, for eksempel antall kokker, servitører, kasserere, lastere, volumer av lagringsanlegg, etc.

Kapittel III . Modeller av køsystemer

3.1 Enkanals QS med tjenestenekt

La oss analysere en enkel enkanals QS med tjenestenektelser, som mottar en Poisson-flyt av forespørsler med intensitet λ, og tjenesten skjer under handlingen av en Poisson-flyt med intensitet μ.

Operasjonen til en enkeltkanals QS n=1 kan representeres som en merket tilstandsgraf (3.1).

QS-overganger fra en tilstand S 0 til en annen S 1 skjer under handlingen av en inngangsflyt av forespørsler med intensiteten λ, og den omvendte overgangen skjer under handlingen av en tjenesteflyt med intensiteten μ.

S 0 – tjenestekanalen er gratis; S 1 – kanalen er opptatt med service;

Ris. 3.1 Merket tilstandsgraf for en enkeltkanals QS

La oss skrive systemet med Kolmogorov differensialligninger for tilstandssannsynligheter i henhold til reglene ovenfor:

Derfra får vi differensialligningen for å bestemme sannsynligheten p 0 (t) for tilstanden S 0:

Denne ligningen kan løses under initiale forhold under antagelsen om at systemet i øyeblikket t=0 var i tilstanden S 0 , deretter р 0 (0)=1, р 1 (0)=0.

I dette tilfellet lar differensialligningsløsningen deg bestemme sannsynligheten for at kanalen er ledig og ikke opptatt med tjenesten:

Da er det ikke vanskelig å få et uttrykk for sannsynligheten for å bestemme sannsynligheten for at kanalen er opptatt:

Sannsynligheten p 0 (t) avtar med tiden og i grensen ettersom t→∞ tenderer til verdien

og sannsynligheten p 1 (t) øker samtidig fra 0, og tenderer i grensen som t→∞ til verdien

Disse sannsynlighetsgrensene kan fås direkte fra Kolmogorov-ligningene under betingelsen

Funksjonene p 0 (t) og p 1 (t) bestemmer den transiente prosessen i en enkelt-kanal QS og beskriver prosessen med eksponentiell tilnærming av QS til dens grensetilstand med en tidskonstant karakteristikk for systemet som vurderes.

Med tilstrekkelig nøyaktighet for praksis kan vi anta at den transiente prosessen i QS ender innen en tid lik 3τ.

Sannsynligheten p 0 (t) bestemmer den relative gjennomstrømningen til QS, som bestemmer andelen betjente forespørsler i forhold til det totale antallet innkommende forespørsler, per tidsenhet.

Faktisk, p 0 (t) er sannsynligheten for at forespørselen som kom på tidspunktet t vil bli akseptert for tjeneste. Totalt kommer λ-forespørsler i gjennomsnitt per tidsenhet, og λр 0-forespørsler betjenes fra dem.

Deretter bestemmes andelen betjente forespørsler i forhold til hele strømmen av forespørsler av verdien

I grensen ved t→∞, nesten allerede ved t>3τ, vil verdien av den relative kapasiteten være lik

Den absolutte gjennomstrømningen, som bestemmer antall forespørsler som serveres per tidsenhet i grensen ved t→∞, er lik:

Følgelig er andelen av søknader som ble avslått, under de samme begrensende betingelsene:

og det totale antallet ikke-serverte forespørsler er lik

Eksempler på enkanals QS med denial of service er: bestillingsskranken i butikken, kontrollrommet til et lastebilselskap, lagerkontoret, administrasjonskontoret til et kommersielt selskap, som kommunikasjon etableres med via telefon.

3.2 Flerkanals QS med tjenestenekt

I kommersiell virksomhet er eksempler på flerkanals CMO-kontorer til kommersielle foretak med flere telefonkanaler, en gratis referansetjeneste for tilgjengeligheten av de billigste bilene i bilbutikker i Moskva har 7 telefonnumre, og som du vet er det veldig vanskelig å komme gjennom og få hjelp.

Følgelig mister bilbutikker kunder, muligheten til å øke antall solgte biler og salgsinntekter, omsetning, fortjeneste.

Turistselskaper har to, tre, fire eller flere kanaler, for eksempel Express-Line.

Tenk på en flerkanals QS med tjenestenekt i fig. 3.2, som mottar en Poisson-strøm av forespørsler med intensitet λ.

S k

S n

μ 2μkμ (k+1)μ nμ

Ris. 3.2. Merket tilstandsgraf for en flerkanals QS med feil

Tjenesteflyten i hver kanal har intensitet μ. I henhold til antall QS-applikasjoner bestemmes tilstandene Sk, representert som en merket graf:

S 0 – alle kanaler er gratis k=0,

S 1 – kun én kanal er opptatt, k=1,

S 2 - bare to kanaler er opptatt, k=2,

S k – k kanaler er opptatt,

S n – alle n kanalene er opptatt, k= n.

Tilstandene til en flerkanals QS endres brått på tilfeldige tidspunkter. Overgangen fra en tilstand, for eksempel S 0 til S 1, skjer under påvirkning av inngangsstrømmen av forespørsler med intensitet λ, og omvendt - under påvirkning av strømmen av serviceforespørsler med intensitet μ. For overgangen til systemet fra tilstanden Sk til Sk -1 spiller det ingen rolle hvilken av kanalene som skal frigjøres, derfor har strømmen av hendelser som overfører QS en intensitet kμ, derfor er strømmen av hendelser som overfører systemet fra S n til S n -1 har en intensitet nμ . Slik formuleres det klassiske Erlang-problemet, oppkalt etter den danske ingeniøren og matematikeren som grunnla teorien om kø.

En tilfeldig prosess som forekommer i en QS er et spesialtilfelle av "fødsel-død"-prosessen og er beskrevet av et system av Erlang differensialligninger, som lar en få uttrykk for de begrensende sannsynlighetene for tilstanden til systemet som vurderes, kalt Erlang-formlene:

Etter å ha beregnet alle sannsynlighetene for tilstander til n-kanalen QS med feil р 0 , р 1 , р 2 , …,р k ,..., р n , kan vi finne egenskapene til tjenestesystemet.

Sannsynligheten for tjenestenekt bestemmes av sannsynligheten for at en innkommende tjenesteforespørsel vil finne alle n kanaler opptatt, systemet vil være i tilstanden Sn:

k=n.

I systemer med feil utgjør feil- og vedlikeholdshendelser en komplett gruppe av hendelser, altså

R otk + R obs \u003d 1

På dette grunnlaget bestemmes den relative gjennomstrømningen av formelen

Q \u003d P obs \u003d 1-R otk \u003d 1-R n

Den absolutte gjennomstrømningen til QS kan bestemmes av formelen

Tjenestesannsynligheten, eller andelen betjente forespørsler, bestemmer den relative gjennomstrømningen til QS, som også kan bestemmes av en annen formel:

Fra dette uttrykket kan du bestemme gjennomsnittlig antall applikasjoner under tjeneste, eller, hva som er det samme, gjennomsnittlig antall kanaler okkupert av service

Kanalbeleggsgraden bestemmes av forholdet mellom gjennomsnittlig antall opptatte kanaler og deres totale antall

Sannsynligheten for at kanalene er opptatt med tjenesten, som tar hensyn til gjennomsnittlig opptatttid t opptatt og nedetid t pr kanaler, bestemmes som følger:

Fra dette uttrykket kan du bestemme den gjennomsnittlige inaktive tiden for kanalene

Gjennomsnittlig oppholdstid for søknaden i systemet i steady state bestemmes av Littles formel

T cmo \u003d n c / λ.

3.3 Modell av et flerfaset turistservicesystem

I det virkelige liv ser turistservicesystemet mye mer komplisert ut, så det er nødvendig å detaljere problemformuleringen, under hensyntagen til forespørslene og kravene fra både kunder og reisebyråer.

For å øke effektiviteten til reisebyrået er det nødvendig å modellere oppførselen til en potensiell klient som helhet fra begynnelsen av operasjonen til den er ferdig. Sammenkoblingsstrukturen til hovedkøsystemene består faktisk av QS av ulike typer (fig. 3.3).

Search Choice Choice Solution

referent

reiseselskapssøk

Betaling Flight Exodus

Ris. 3.3 Modell av et flerfaset turistservicesystem

Problemet fra posisjonen til massetjeneste for turister som drar på ferie er å bestemme det nøyaktige hvilestedet (tur), tilstrekkelig til søkerens krav, som tilsvarer hans helse og økonomiske evner og ideer om resten generelt. I dette kan han bli assistert av reisebyråer, søket etter som vanligvis utføres fra reklamemeldinger fra CMO r, deretter etter å ha valgt et selskap, mottas konsultasjoner på telefon CMO t, etter en tilfredsstillende samtale, ankomst til reisebyrået og motta mer detaljerte konsultasjoner personlig med referenten, deretter betale for turen og motta tjenester fra flyselskapet for flight CMO a og til slutt tjenesten på hotell CMO 0 . Videreutvikling av anbefalinger for å forbedre arbeidet med selskapets QS er forbundet med endring av det faglige innholdet i forhandlinger med klienter på telefon. For å gjøre dette er det nødvendig å utdype analysen knyttet til detaljeringen av dialogen til referenten med klienter, siden ikke hver telefonsamtale fører til inngåelse av en avtale om kjøp av en kupong. Formaliseringen av vedlikeholdsoppgaven indikerte behovet for å danne en fullstendig (nødvendig og tilstrekkelig) liste over egenskaper og deres eksakte verdier for emnet for en kommersiell transaksjon. Deretter blir disse egenskapene rangert, for eksempel etter metoden for parede sammenligninger, og ordnet i en dialog i henhold til deres grad av betydning, for eksempel: årstid (vinter), måned (januar), klima (tørr), lufttemperatur (+ 25 "C), fuktighet (40 %), geografisk plassering (nærmere ekvator), flytid (opptil 5 timer), overføring, land (Egypt), by (Hurghada), hav (rød), sjøvannstemperatur ( +23°C), hotellrangering (4 stjerner, fungerende klimaanlegg, sjampogaranti på rommet), avstand fra sjøen (opptil 300 m), avstand fra butikker (i nærheten), avstand fra diskoteker og andre støykilder ( borte, stillhet under søvn på hotellet), mat (svensk bord - frokost, middag, hyppighet av menyendringer per uke), hoteller (Princes, Marlin-In, Hour-Palace), utflukter (Cairo, Luxor, koralløyer, scuba) dykking), underholdningsshow, sportsspill, turpris, betalingsmåte, forsikringsinnhold, hva du skal ta med deg, hva du skal kjøpe på stedet, garantier, straffer.

Det er en annen svært viktig indikator som er gunstig for klienten, som foreslås etablert uavhengig av den korrosive leseren. Deretter, ved å bruke metoden for parvis sammenligning av de oppførte egenskapene x i, kan du danne en sammenligningsmatrise n x p, hvis elementer fylles sekvensielt i rader i henhold til følgende regel:

0 hvis karakteristikken er mindre signifikant,

og ij = 1, hvis karakteristikken er ekvivalent,

2 hvis karakteristikken dominerer.

Deretter bestemmes verdiene av summen av vurderinger for hver indikator på linjen Si =∑a ij , vekten av hver karakteristikk M i = Si /n 2 og følgelig integralkriteriet, på basert på hvilket det er mulig å velge et reisebyrå, tur eller hotell, i henhold til formelen

F = ∑ M i * x i -» maks.

For å eliminere mulige feil i denne prosedyren, for eksempel, introduseres en 5-punkts karakterskala med en gradering av karakteristikkene B i (x i) i henhold til prinsippet dårligere (B i = 1 poeng) - bedre (B i = 5 poeng). For eksempel, jo dyrere turen er, jo verre, jo billigere er det, jo bedre. Basert på dette vil objektivfunksjonen ha en annen form:

F b = ∑ M i * B i * x i -> maks.

Dermed, basert på anvendelsen av matematiske metoder og modeller, ved å bruke fordelene ved formalisering, er det mulig å formulere problemstillingen mer nøyaktig og mer objektivt og betydelig forbedre QS-ytelsen i kommersielle aktiviteter for å nå målene.

3.4 Enkanals QS med begrenset kølengde

I kommersiell virksomhet er QS med venting (kø) mer vanlig.

Tenk på en enkel enkanals QS med en begrenset kø, der antall plasser i køen m er en fast verdi. Følgelig blir en søknad som kommer i det øyeblikket alle plassene i køen er opptatt, ikke akseptert for service, kommer ikke inn i køen og forlater systemet.

Grafen til denne QS er vist i fig. 3.4 og sammenfaller med grafen i fig. 2.1 som beskriver prosessen med "fødsel-død", med den forskjellen at i nærvær av bare én kanal.

λ λλλ... λ

μ μμμ... μ

Ris. 3.4. Den merkede grafen for prosessen med "fødsel - død" av tjeneste, alle intensiteter av tjenesteflyter er like

QS-tilstander kan representeres som følger:

S 0 - tjenestekanalen er gratis,

S, - tjenestekanalen er opptatt, men det er ingen kø,

S 2 - tjenestekanalen er opptatt, det er en forespørsel i køen,

S 3 - tjenestekanalen er opptatt, det er to forespørsler i køen,

S m +1 - tjenestekanalen er opptatt, alle m plasser i køen er opptatt, enhver neste forespørsel avvises.

For å beskrive den tilfeldige prosessen til QS, kan man bruke de tidligere oppgitte reglene og formlene. La oss skrive uttrykkene som definerer de begrensende sannsynlighetene for tilstandene:

p 1 = ρ * ρ o

p 2 \u003d ρ 2 * ρ 0

p k =ρ k * ρ 0

P m+1 = p m=1 * ρ 0

p0 = -1

Uttrykket for p 0 kan skrives i dette tilfellet enklere ved å bruke det faktum at nevneren er en geometrisk progresjon med hensyn til p, så får vi etter de riktige transformasjonene:

ρ= (1- ρ )

Denne formelen er gyldig for alle andre p enn 1, men hvis p = 1, så er p 0 = 1/(m + 2), og alle andre sannsynligheter er også lik 1/(m + 2). Hvis vi antar m = 0, går vi fra vurdering av en enkanals QS med venting til den allerede vurderte enkanals QS med tjenestenekt. Faktisk har uttrykket for den marginale sannsynligheten p 0 i tilfellet m = 0 formen:

p o \u003d μ / (λ + μ)

Og i tilfellet λ = μ har den verdien p 0 = 1/2.

La oss definere hovedkarakteristikkene til en enkeltkanals QS med venting: den relative og absolutte gjennomstrømningen, sannsynligheten for feil, samt gjennomsnittlig kølengde og gjennomsnittlig ventetid for en applikasjon i køen.

Forespørselen avvises hvis den ankommer i det øyeblikket QS allerede er i tilstanden S m +1 og følgelig alle plasser i køen er opptatt og en kanal betjener. Derfor bestemmes sannsynligheten for feil av sannsynligheten for utseendet

Tilstander S m +1:

P åpen \u003d p m +1 \u003d ρ m +1 * p 0

Den relative gjennomstrømningen, eller andelen betjente forespørsler som kommer per tidsenhet, bestemmes av uttrykket

Q \u003d 1- p otk \u003d 1- ρ m+1 * p 0

den absolutte båndbredden er:

Gjennomsnittlig antall søknader L och som står i kø for tjeneste bestemmes av den matematiske forventningen til en tilfeldig variabel k - antall søknader som står i kø

den tilfeldige variabelen k tar kun følgende heltallsverdier:

1 - det er en applikasjon i køen,

2 - det er to applikasjoner i køen,

t-alle plasser i køen er opptatt

Sannsynlighetene for disse verdiene bestemmes av de tilsvarende tilstandssannsynlighetene, med utgangspunkt i tilstanden S 2 . Fordelingsloven til en diskret tilfeldig variabel k er avbildet som følger:

k	1	2	m
pi	s2	s 3	p m+1

Den matematiske forventningen til denne tilfeldige variabelen er:

L pt = 1* p2 +2* p3 +...+ m* pm +1

I det generelle tilfellet, for p ≠ 1, kan denne summen transformeres ved hjelp av geometriske progresjonsmodeller til en mer praktisk form:

L og \u003d p 2 * 1-p m * (m-m*p+1)*p0

I det spesielle tilfellet ved p = 1, når alle sannsynligheter p k viser seg å være like, kan du bruke uttrykket for summen av leddene i tallserien

1+2+3+ m = m ( m +1)

Så får vi formelen

L’ og = m(m+1)* p 0 = m(m+1)(p=1).

Ved å bruke lignende resonnementer og transformasjoner kan det vises at gjennomsnittlig ventetid for å betjene en forespørsel og en kø bestemmes av Littles formler

T och \u003d L och / A (ved p ≠ 1) og T 1 och \u003d L ’och / A (ved p \u003d 1).

Et slikt resultat, når det viser seg at Т och ~ 1/ λ, kan virke rart: med en økning i intensiteten av strømmen av forespørsler, ser det ut til at lengden på køen bør øke og den gjennomsnittlige ventetiden skal avta. Det bør imidlertid tas i betraktning at for det første er verdien av L och en funksjon av λ og μ, og for det andre har QS-en som vurderes en begrenset kølengde på ikke mer enn m applikasjoner.

En forespørsel som ankommer QS på et tidspunkt når alle kanaler er opptatt, blir avvist, og følgelig er dens "ventetid" i QS null. Dette fører i det generelle tilfellet (for p ≠ 1) til en reduksjon i Т och med en økning i λ, siden andelen slike applikasjoner øker med en økning i λ.

Hvis vi forlater begrensningen på lengden på køen, dvs. tendens m-> →∞, deretter tilfellene s< 1 и р ≥1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

p k =p k *(1 - p)

For tilstrekkelig stor k har sannsynligheten p k en tendens til null. Derfor vil den relative gjennomstrømningen være Q = 1, og den absolutte gjennomstrømningen vil være lik A -λ Q - λ, derfor blir alle innkommende forespørsler behandlet, og den gjennomsnittlige kølengden vil være lik:

L og = s 2 1-s

og gjennomsnittlig ventetid etter Littles formel

T og \u003d L och / A

I grensen s<< 1 получаем Т оч = ρ / μт.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р ≥ 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t → ∞). Предельные вероятности состояний поэтому не могут быть определены: при Q= 1 они равны нулю. Фактически СМО не выполняет своих функций, поскольку она не в состоянии обслужить все поступающие заявки. Нетрудно определить, что доля обслуживаемых заявок и абсолютная пропускная способность соответственно составляют в среднем ρ и μ, однако неограниченное увеличение очереди, а следовательно, и времени ожидания в ней приводит к тому, что через некоторое время заявки начинают накапливаться в очереди на неограниченно долгое время.

Som en av kjennetegnene til QS, brukes den gjennomsnittlige tiden Tsmo for oppholdet til en applikasjon i QS, inkludert gjennomsnittlig tid brukt i køen og gjennomsnittlig tjenestetid. Denne verdien beregnes av Littles formler: hvis kølengden er begrenset, er gjennomsnittlig antall søknader i køen lik:

Lcm= m +1 ;2

T cmo= L smo; for p ≠ 1

Da er gjennomsnittlig oppholdstid for forespørselen i køsystemet (både i køen og under tjeneste) lik:

T cmo= m +1 for p ≠1 2μ

3.5 Enkanals QS med ubegrenset kø

I kommersiell virksomhet, for eksempel, er en kommersiell direktør en enkanals QS med ubegrenset venting, siden han som regel er tvunget til å betjene søknader av en annen karakter: dokumenter, telefonsamtaler, møter og samtaler med underordnede, representanter for skattetilsynet, politiet, vareeksperter, markedsførere, produktleverandører og løse problemer innen råvare- og finanssfæren med en høy grad av økonomisk ansvar, som er forbundet med obligatorisk oppfyllelse av forespørsler som noen ganger ivrig venter på oppfyllelsen av deres krav, og uriktige servicefeil er vanligvis svært håndgripelige økonomisk.

Samtidig danner varer importert for salg (service), mens de er på lageret, en kø for service (salg).

Lengden på køen er antall varer som skal selges. I denne situasjonen fungerer selgere som kanaler som serverer varer. Hvis mengden varer beregnet for salg er stor, har vi i dette tilfellet å gjøre med et typisk tilfelle av QS med forventning.

La oss vurdere den enkleste enkanals QS med tjenesteventing, som mottar en Poisson-flyt av forespørsler med intensitet λ og tjenesteintensitet µ.

Dessuten står forespørselen mottatt i øyeblikket når kanalen er opptatt med service i kø og venter på service.

Den merkede tilstandsgrafen for et slikt system er vist i fig. 3.5

Antall mulige tilstander av det er uendelig:

Kanalen er gratis, det er ingen kø, ;

Kanalen er opptatt med service, det er ingen kø, ;

Kanalen er opptatt, en forespørsel i køen, ;

Kanalen er opptatt, applikasjonen står i køen.

Modeller for å estimere sannsynligheten for tilstander til en QS med en ubegrenset kø kan fås fra formler isolert for en QS med en ubegrenset kø ved å gå til grensen som m→∞:

Ris. 3.5 Graf over tilstander for en enkeltkanals QS med ubegrenset kø.

Det skal bemerkes at for en QS med begrenset kølengde i formelen

det er en geometrisk progresjon med første ledd 1 og nevneren . En slik sekvens er summen av et uendelig antall ledd ved . Denne summen konvergerer hvis progresjonen, uendelig avtagende ved , som bestemmer steady-state-operasjonen til QS, med ved , kan køen ved vokse til uendelig over tid.

Siden det ikke er noen begrensning på kølengden i QS-en som vurderes, kan enhver forespørsel betjenes, og derfor er henholdsvis den relative gjennomstrømningen og den absolutte gjennomstrømningen

Sannsynligheten for å stå i køen for k applikasjoner er lik:

;

Gjennomsnittlig antall søknader i køen -

Gjennomsnittlig antall søknader i systemet -

;

Gjennomsnittlig oppholdstid for en søknad i systemet -

;

Gjennomsnittlig oppholdstid for søknaden med systemet -

Hvis intensiteten på mottak av forespørsler i en enkeltkanals QS med venting er større enn intensiteten på tjenesten, vil køen stadig øke. I denne forbindelse er analysen av stabil QS som opererer i en stasjonær modus av størst interesse ved .

3.6 Flerkanals QS med begrenset kølengde

Tenk på en flerkanals QS , som mottar en Poisson-flyt av forespørsler med intensitet , og tjenesteintensiteten til hver kanal er , maksimalt mulig antall plasser i køen er begrenset med m. Diskrete tilstander for QS bestemmes av antall applikasjoner som har kommet inn i systemet, som kan registreres.

Alle kanaler er gratis, ;

Bare én kanal er opptatt (hvilken som helst), ;

Bare to kanaler er opptatt (hvilken som helst), ;

Alle kanaler er opptatt.

Mens QS er i noen av disse tilstandene, er det ingen kø. Etter at alle tjenestekanaler er opptatt, danner påfølgende forespørsler en kø, og bestemmer dermed den videre tilstanden til systemet:

Alle kanaler er opptatt og en applikasjon står i køen,

Alle kanaler er opptatt og to applikasjoner står i køen,

Alle kanaler er opptatt og alle plasser i køen er opptatt,

Graf over tilstander til en n-kanal QS med en kø begrenset til m steder i fig. 3.6

Ris. 3.6 Oppgi graf for en n-kanal QS med en grense på kølengden m

Overgangen av QS til en tilstand med høyere tall bestemmes av strømmen av innkommende forespørsler med intensitet, mens disse forespørslene etter betingelse betjenes av de samme kanalene med intensiteten til tjenesteflyten lik for hver kanal. I dette tilfellet øker den totale intensiteten til tjenesteflyten med tilkobling av nye kanaler opp til en slik tilstand når alle n kanaler er opptatt. Med ankomsten av køen øker tjenesteintensiteten mer, siden den allerede har nådd sin maksimale verdi lik .

La oss skrive uttrykk for de begrensende sannsynlighetene for tilstander:

Uttrykket for kan transformeres ved å bruke den geometriske progresjonsformelen for summen av ledd med en nevner:

Dannelsen av en kø er mulig når en nylig mottatt forespørsel finner ikke mindre enn krav i systemet, dvs. når det vil være krav i systemet. Disse hendelsene er uavhengige, så sannsynligheten for at alle kanaler er opptatt er lik summen av de tilsvarende sannsynlighetene. Derfor er sannsynligheten for å danne en kø:

Sannsynligheten for tjenestenekt oppstår når alle kanaler og alle plasser i køen er opptatt:

Den relative gjennomstrømningen vil være lik:

Absolutt båndbredde -

Gjennomsnittlig antall opptatte kanaler -

Gjennomsnittlig antall ledige kanaler -

Belegg (bruk) koeffisient for kanaler -

Kanalens tomgangsforhold -

Gjennomsnittlig antall søknader i køene -

Hvis denne formelen har en annen form -

Gjennomsnittlig ventetid i en kø er gitt av Littles formler −

Gjennomsnittlig oppholdstid for en applikasjon i QS, som for en enkanals QS, er større enn gjennomsnittlig ventetid i køen med gjennomsnittlig tjenestetid lik , siden applikasjonen alltid betjenes av kun én kanal:

3.7 Multichannel QS med ubegrenset kø

La oss vurdere en flerkanals QS med venting og en ubegrenset lengde på køen, som mottar en flyt av forespørsler med intensitet og som har en tjenesteintensitet for hver kanal. Den merkede tilstandsgrafen er vist i figur 3.7. Den har et uendelig antall tilstander:

S - alle kanaler er gratis, k=0;

S - en kanal er opptatt, resten er ledig, k=1;

S - to kanaler er opptatt, resten er ledig, k=2;

S - alle n kanaler er opptatt, k=n, det er ingen kø;

S - alle n kanaler er opptatt, en forespørsel er i køen, k=n+1,

S - alle n kanaler er opptatt, r forespørsler er i køen, k=n+r,

Vi henter sannsynlighetene for tilstander fra formlene for en flerkanals QS med begrenset kø når vi passerer til grensen ved m. Det skal bemerkes at summen av den geometriske progresjonen i uttrykket for p divergerer på lastnivået p/n>1, køen vil øke i det uendelige, og ved p/n<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.

ingen kø

…

Fig.3.7 Merket tilstandsgraf for flerkanals QS

med ubegrenset kø

for hvilke vi definerer uttrykk for de begrensende sannsynlighetene for tilstander:

Siden det ikke kan være tjenestenekt i slike systemer, er gjennomstrømningsegenskapene:

gjennomsnittlig antall søknader i køen -

gjennomsnittlig ventetid i kø

gjennomsnittlig antall søknader i CMO -

Sannsynligheten for at QS er i tilstanden når det ikke er noen forespørsler og ingen kanal er opptatt, bestemmes av uttrykket

Denne sannsynligheten bestemmer den gjennomsnittlige brøkdelen av tjenestekanalens nedetid. Sannsynligheten for å være opptatt med å betjene k forespørsler er

På dette grunnlaget er det mulig å bestemme sannsynligheten, eller andelen av tiden for at alle kanaler er opptatt med tjenesten

Hvis alle kanaler allerede er okkupert av tjenesten, bestemmes sannsynligheten for staten av uttrykket

Sannsynligheten for å stå i køen er lik sannsynligheten for å finne alle kanaler som allerede er opptatt med tjeneste

Gjennomsnittlig antall forespørsler i køen og venter på service er lik:

Gjennomsnittlig ventetid på søknad i køen etter Littles formel: og i systemet

gjennomsnittlig antall kanaler okkupert av tjenesten:

gjennomsnittlig antall gratiskanaler:

tjenestekanal beleggsprosent:

Det er viktig å merke seg at parameteren karakteriserer graden av koordinering av inngangsflyten, for eksempel kunder i en butikk med intensiteten av tjenesteflyten. Tjenesteprosessen vil være stabil på If, men gjennomsnittlig kølengde og gjennomsnittlig ventetid for kunder for å starte tjenesten vil øke i systemet og derfor vil QS fungere ustabilt.

3.8 Supermarked køsystemanalyse

En av de viktige oppgavene for kommersiell aktivitet er den rasjonelle organiseringen av handelen og den teknologiske prosessen med masseservice, for eksempel i et supermarked. Spesielt er det ikke en lett oppgave å bestemme kapasiteten til kontantpunktet til et handelsforetak. Slike økonomiske og organisatoriske indikatorer som omsetningsbelastningen per 1 m 2 butikkareal, bedriftens gjennomstrømning, tiden kundene bruker i butikken, samt indikatorer for nivået på den teknologiske løsningen til handelsgulvet: forholdet mellom arealene til selvbetjeningssoner og oppgjørsnoden, koeffisientene til installasjons- og utstillingsområdene, i mange henseender bestemt av gjennomstrømningen til kontantnoden. I dette tilfellet, gjennomstrømningen av to soner (faser) av tjenesten: selvbetjeningssonen og sonen til bosettingsnoden (fig. 4.1).

CMO

Intensiteten av inngangsstrømmen til kjøpere;

Intensiteten av ankomsten av kjøpere av selvbetjeningssonen;

Intensiteten av ankomsten av kjøpere i oppgjørsnoden;

Intensiteten til flyten av tjenesten.

Fig.4.1. Modell av en to-fase CMO av et supermarked handelsgulv

Hovedfunksjonen til oppgjørsnoden er å gi høy gjennomstrømning av kunder i handelsgulvet og skape en komfortabel kundeservice. Faktorer som påvirker gjennomstrømningen til oppgjørsnoden kan deles inn i to grupper:

1) økonomiske og organisatoriske faktorer: ansvarssystemet i supermarkedet; gjennomsnittlig kostnad og struktur for ett kjøp;

2) organisasjonsstrukturen til pengeautomaten;

3) tekniske og teknologiske faktorer: brukte typer kasseapparater og kasseapparater; kundeserviceteknologi som brukes av kontrolleren-kassereren; samsvar med kapasiteten til kontanter punkt av intensiteten av kundestrømmer.

Av disse faktorgruppene er det organisasjonsstrukturen til kassaapparatet og kapasiteten til kassaapparatet samsvarer med intensiteten av kundestrømmene.

Vurder begge fasene av tjenestesystemet:

1) valg av varer av kjøpere i selvbetjeningssonen;

2) kundeservice i området for oppgjørsnoden. Den innkommende strømmen av kjøpere går inn i selvbetjeningsfasen, og kjøperen velger uavhengig de vareenhetene han trenger, og danner dem til et enkelt kjøp. Dessuten avhenger tidspunktet for denne fasen av hvordan varesonene er gjensidig plassert, hva slags front de har, hvor mye tid kjøperen bruker på å velge et bestemt produkt, hva er strukturen på kjøpet osv.

Den utgående strømmen av kunder fra selvbetjeningsområdet er samtidig den innkommende strømmen til kassaområdet, som sekvensielt inkluderer å vente på kunden i køen og deretter betjene ham av kontrolløren-kassereren. Kassenoden kan betraktes som et køsystem med tap eller som et køsystem med venting.

Imidlertid gjør verken det første eller det andre betraktede systemet det mulig å faktisk beskrive serviceprosessen ved kassen til et supermarked av følgende grunner:

i den første varianten krever kasseapparatet, hvis kapasitet vil være designet for et system med tap, betydelige både kapitalinvesteringer og løpende kostnader for vedlikehold av kassekontrollører;

i den andre varianten, fører kassenoden, hvis kapasitet vil være utformet for et system med forventninger, til stor sløsing med tid for kunder som venter på service. Samtidig, i rushtiden, "flyter" sonen til oppgjørsnoden over, og køen av kjøpere "flyter" inn i selvbetjeningssonen, noe som bryter med de normale betingelsene for valg av varer av andre kjøpere.

I denne forbindelse er det tilrådelig å vurdere den andre fasen av tjenesten som et system med begrenset kø, mellom et system med venting og et system med tap. Det forutsettes at ikke flere enn L kan være i systemet samtidig, og L=n+m, hvor n er antall kunder som betjenes i kassen, m er antall kunder som står i kø, og evt. m+1-applikasjonen lar systemet være ubetjent.

Denne betingelsen gjør det på den ene side mulig å begrense området til bosettingsnoden, under hensyntagen til den maksimalt tillatte kølengden, og på den annen side å innføre en grense for tiden kundene venter på service kl. cash point, dvs. ta hensyn til kostnadene ved forbrukerforbruk.

Legitimiteten av å sette problemet i denne formen bekreftes av undersøkelser av kundestrømmer i supermarkeder, hvis resultater er gitt i tabell. 4.1, hvis analyse avdekket en nær sammenheng mellom gjennomsnittlig lang kø ved kassen og antall kjøpere som ikke foretok kjøp.

Åpningstider	Ukedag
	fredag			lørdag			søndag
	sving,	beløp kjøpere ingen shopping		sving,	beløp kjøpere ingen shopping		sving,	beløp kjøpere ingen shopping
	sving,	mennesker	%	sving,	mennesker	%	sving,	mennesker	%
fra 9 til 10	2	38	5	5	60	5,4	7	64	4,2
fra 10 til 11	3	44	5,3	5	67	5	6	62	3,7
fra 11 til 12	3	54	6,5	4	60	5,8	7	121	8,8
fra 12 til 13	2	43	4,9	4	63	5,5	8	156	10
fra 14 til 15	2	48	5,5	6	79	6,7	7	125	6,5
fra 15 til 16	3	61	7,3	6	97	6,4	5	85	7,2
fra 16 til 17	4	77	7,1	8	140	9,7	5	76	6
fra 17 til 18	5	91	6,8	7	92	8,4	4	83	7,2
fra 18 til 19	5	130	7,3	6	88	5,9	7	132	8
fra 19 til 20	6	105	7,6	6	77	6
fra 20 til 21	6	58	7	5	39	4,4
Total	749	6,5	862	6,3	904	4,5

Det er en annen viktig funksjon i organiseringen av driften av kasseenheten til supermarkedet, som påvirker gjennomstrømningen betydelig: tilstedeværelsen av ekspresskasser (ett eller to kjøp). En studie av strukturen på kundestrømmen i supermarkeder etter type kontanttjeneste viser at omsetningsstrømmen er 12,9 % (tabell 4.2).

Ukedager	Kundestrømmer			Handelsomsetning
Ukedager	Total	ved ekspresskasse	% til daglig flyt	Total	ved ekspresskasse	% av daglig omsetning
Sommerperiode
mandag	11182	3856	34,5	39669,2	3128,39	7,9
tirsdag	10207	1627	15,9	38526,6	1842,25	4,8
onsdag	10175	2435	24	33945	2047,37	6
Torsdag	10318	2202	21,3	36355,6	1778,9	4,9
fredag	11377	2469	21,7	43250,9	5572,46	12,9
lørdag	10962	1561	14,2	39873	1307,62	3,3
søndag	10894	2043	18,8	35237,6	1883,38	5,1
vinterperiode
mandag	10269	1857	18,1	37121,6	2429,73	6,5
tirsdag	10784	1665	15,4	38460,9	1950,41	5,1
onsdag	11167	3729	33,4	39440,3	4912,99	12,49,4
Torsdag	11521	2451	21,3	40000,7	3764,58	9,4
fredag	11485	1878	16,4	43669,5	2900,73	6,6
lørdag	13689	2498	18,2	52336,9	4752,77	9,1
søndag	13436	4471	33,3	47679,9	6051,93	12,7

For den endelige konstruksjonen av en matematisk modell av tjenesteprosessen, under hensyntagen til faktorene ovenfor, er det nødvendig å bestemme fordelingsfunksjonene til tilfeldige variabler, samt tilfeldige prosesser som beskriver innkommende og utgående strømmer av kunder:

1) funksjonen til å fordele kjøpernes tid til å velge varer i selvbetjeningsområdet;

2) funksjonen til å fordele arbeidstiden til kontrollerende kasserer for vanlige kasser og ekspresskasser;

3) en tilfeldig prosess som beskriver den innkommende strømmen av kunder i den første fasen av tjenesten;

4) en tilfeldig prosess som beskriver inngående strøm til andre fase av tjenesten for vanlige kasser og ekspresskasser.

Det er praktisk å bruke modeller for å beregne egenskapene til et køsystem hvis den innkommende strømmen av forespørsler til køsystemet er den enkleste Poisson-strømmen, og tjenestetiden for forespørsler er fordelt i henhold til en eksponentiell lov.

Studien av strømmen av kunder i sonen til kontantnoden viste at en Poisson-strøm kan brukes for den.

Distribusjonsfunksjonen til kundeservicetid av kassekontrollører er eksponentiell; en slik antakelse fører ikke til store feil.

Av utvilsomt interesse er analysen av egenskapene til å betjene strømmen av kunder i supermarkedskassen, beregnet for tre systemer: med tap, med forventning og blandet type.

Beregninger av parametrene for kundeserviceprosessen ved kassen ble utført for et kommersielt foretak med et salgsareal på S=650 basert på følgende data.

Den objektive funksjonen kan skrives i den generelle formen av forholdet (kriteriet) for salgsinntekter fra QS-karakteristikkene:

hvor - kassen består av = 7 kasser av vanlig type og = 2 ekspresskasse,

Intensiteten til kundeservice i området med vanlige kassedisker - 0,823 personer / min;

Intensiteten på belastningen av kasseapparater i området med ordinære kasser er 6,65,

Intensiteten til kundeservice i sonen med ekspresskasser - 2,18 personer / min;

Intensiteten av den innkommende strømmen til området til vanlige kassedisker - 5,47 personer / min

Intensiteten på belastningen av kasseapparater i sonen med ekspresskasse er 1,63,

Intensiteten på den innkommende strømmen til ekspresskasseområdet er 3,55 personer/min;

For QS-modellen med begrensning på lengden på køen i henhold til den utformede sonen til kassen, antas maksimalt tillatt antall kunder som står i kø ved én kasse å være m = 10 kunder.

Det skal bemerkes at for å oppnå relativt små absolutte verdier av sannsynligheten for tap av applikasjoner og ventetiden til kundene ved kassen, må følgende betingelser overholdes:

Tabell 6.6.3 viser resultatene av kvalitetskarakteristikkene til QS som fungerer i sonen til bosettingsnoden.

Beregningene ble gjort for den travleste perioden på arbeidsdagen fra 17.00 til 21.00. Det er i denne perioden, som resultatene av undersøkelser har vist, at omtrent 50 % av éndagsstrømmen av kjøpere faller.

Fra dataene i tabellen. 4.3 følger det at hvis for beregningen ble valgt:

1) modell med avslag, da må 22,6 % av strømmen av kjøpere som betjenes av vanlige kassaskranker, og følgelig 33,6 % av strømmen av kjøpere som betjenes av ekspresskasser, forlate uten å foreta kjøp;

2) en modell med forventning, så skal det ikke være tap av forespørsler i oppgjørsnoden;

Tab. 4.3 Kjennetegn ved kundekøsystemet i området til oppgjørsnoden

Betalingstype	Antall kasser i noden	CMO type	QS-egenskaper
Betalingstype	Antall kasser i noden	CMO type	Gjennomsnittlig antall travle kasser,	gjennomsnittlig ventetid på service,	Sannsynligheten for å miste applikasjoner,
Vanlige kassadisker	7	med feil med forventning med begrensning
Ekspresskasse	2	med feil med forventning med begrensning

3) en modell med en grense for lengden på køen, da vil bare 0,12 % av strømmen av kjøpere som betjenes av vanlige kassadisker og 1,8 % av strømmen av kjøpere som betjenes av ekspresskasser forlate handelsgulvet uten å foreta kjøp. Derfor gjør modellen med en grense for lengden på køen det mulig å mer nøyaktig og realistisk beskrive prosessen med å betjene kunder i området ved pengeautomaten.

Av interesse er en sammenlignende beregning av kapasiteten til kasseapparatet, både med og uten ekspresskasseapparater. I tabellen. 4.4 viser egenskapene til kassesystemet til tre standardstørrelser på supermarkeder, beregnet i henhold til modeller for QS med en grense for lengden på køen for den travleste perioden på arbeidsdagen fra 17 til 21 timer.

En analyse av dataene i denne tabellen viser at å ikke ta hensyn til faktoren "Struktur av strømmen av kunder etter type kontanttjeneste" på stadium av teknologisk design kan føre til en økning i sonen til oppgjørsnoden med 22- 33%, og dermed til henholdsvis en nedgang i installasjons- og utstillingsområdene for handel og teknologisk utstyr og varemasse plassert på handelsgulvet.

Problemet med å bestemme kapasiteten til et kontantpunkt er en kjede av sammenhengende egenskaper. Å øke kapasiteten reduserer dermed tiden for kundene til å vente på service, reduserer sannsynligheten for tap av krav og følgelig tap av omsetning. Sammen med dette er det nødvendig å redusere selvbetjeningsområdet, fronten av handel og teknologisk utstyr, og massen av varer på handelsgulvet tilsvarende. Samtidig øker kostnadene for lønn til kasserere og utstyr for tilleggsjobber. Derfor

nr. p / s	QS-egenskaper	måleenhet	Betegnelse		Indikatorer beregnet etter typer supermarkeder som selger plass, kvm. m
					Uten ekspresskasse						Inkludert ekspress utsjekking
					650		1000		2000		650			1000			2000
											Vanlige kassadisker		Ekspresskasse	Vanlige kassadisker		ekspresskasse	Vanlige kassadisker		ekspresskasse
1	Antall kjøpere	mennesker	k		2310		3340		6680		1460		850	2040		1300	4080		2600
2	Intensiteten til den innkommende strømmen		λ		9,64		13,9		27,9		6,08		3,55	8,55		5,41	17,1		10,8
3	Vedlikeholdsintensitet	person/min	μ		0,823		0,823		0,823		0,823		2,18	0,823		2,18	0,823		2,18
4	Belastningsintensitet	-	ρ		11,7		16,95		33,8		6,65		1,63	10,35		2,48	20,7		4,95
5	Antall kasseapparater	PCS.	n		12		17		34		7		2	11		3	21		5
6	Totalt antall kasser for oppgjørsnoden	PCS.		∑n		12		17		34		9			14			26

det er nødvendig å utføre optimaliseringsberegninger. La oss vurdere egenskapene til servicesystemet ved kassen til et supermarked med et handelsområde på 650 m, beregnet ved hjelp av QS-modeller med begrenset kølengde for ulike kapasiteter til kassen i tabellen. 4.5.

Basert på analysen av dataene i Tabell. 4.5 kan vi konkludere med at etter hvert som antall kassaapparater øker, øker ventetiden for kjøpere i køen, for så å etter et visst punkt synker den kraftig. Arten av endringen i kundens ventetidsplan er forståelig hvis vi parallelt vurderer endringen i sannsynligheten for tap av etterspørsel. Det er åpenbart at når kapasiteten til POS-noden er for liten, vil mer enn 85 % av kundene vil gå ubetjent, og resten av kundene vil bli betjent i løpet av svært kort tid. Jo større kapasitet POS-noden har, desto mer sannsynlig er det at krav vil gå tapt mens de venter på tjenesten deres, noe som betyr at ventetiden i køen vil øke tilsvarende. Etter at forventningene og sannsynligheten for tap vil avta dramatisk.

For et 650-utsalgssted er denne grensen for det vanlige kassaområdet mellom 6 og 7 kassaapparater. Med henholdsvis 7 kasseapparater er gjennomsnittlig ventetid 2,66 minutter, og sannsynligheten for å miste søknader er svært liten – 0,1 %. Dermed, som vil tillate deg å få minimum totalkostnad for massekundeservice.

Type kontanttjeneste	Antall kasseapparater i node n, stk.	Kjennetegn ved tjenestesystemet		Gjennomsnittlig inntekt for 1 times gnidning.	Gjennomsnittlig tap av inntekt for 1 times gni	Antall kjøpere i området til oppgjørsnoden	Området til bosettingsknutesonen, Sy, m	Egenvekt av området til nodesone 650/ Sy
Type kontanttjeneste	Antall kasseapparater i node n, stk.	Gjennomsnittlig ventetid, T, min	Sannsynligheten for å miste applikasjoner	Gjennomsnittlig inntekt for 1 times gnidning.	Gjennomsnittlig tap av inntekt for 1 times gni	Antall kjøpere i området til oppgjørsnoden	Området til bosettingsknutesonen, Sy, m	Egenvekt av området til nodesone 650/ Sy
Soner med vanlige kassadisker
Ekspresskassesoner

Konklusjon

Basert på analysen av dataene i Tabell. 4.5 kan vi konkludere med at etter hvert som antall kassaapparater øker, øker ventetiden for kjøpere i køen. Og så etter et visst punkt synker det kraftig. Arten av endringen i kundens ventetidsplan er forståelig hvis vi parallelt vurderer endringen i sannsynligheten for tap av skader. Det er åpenbart at når kapasiteten til kontantnoden er for liten, vil mer enn 85 % av kundene vil gå ubetjent, og resten av kundene vil bli betjent i løpet av svært kort tid. Jo større kraft har kontantnoden. Sannsynligheten for tap av krav vil avta, og følgelig vil flere kjøpere vente på tjenesten deres, og dermed vil tiden for å vente i kø øke tilsvarende. Etter at oppgjørsnoden overskrider optimal effekt, vil ventetiden og sannsynligheten for tap avta kraftig.

For et supermarked med et salgsareal på 650 kvm. meter, ligger denne grensen for sonen med konvensjonelle kasseapparater mellom 6-8 kasseapparater. Med henholdsvis 7 kasseapparater er gjennomsnittlig ventetid 2,66 minutter, og sannsynligheten for å miste søknader er svært liten – 0,1 %. Dermed er oppgaven å velge en slik kapasitet til pengepunktet, som vil tillate deg å motta den minste totale kostnaden for massekundeservice.

I denne forbindelse er det neste trinnet i å løse problemet å optimalisere kapasiteten til pengepunktet basert på bruk av forskjellige typer QS-modeller, med tanke på de totale kostnadene og faktorene som er oppført ovenfor.

I praksis av menneskelig aktivitet er en stor plass okkupert av køprosesser som skjer i systemer designet for gjenbrukbar bruk for å løse samme type problemer. Slike systemer kalles køsystemer (QS). Eksempler på slike systemer er telefonsystemer, datasystemer, bilindustri, luftfart, vedlikeholdssystemer, butikker, billettkontorer og lignende.

Hvert system består av et visst antall tjenesteenheter (instrumenter, enheter, enheter "punkter, stasjoner), som kalles servicekanaler. I henhold til antall kanaler er QS delt inn i en-kanal og multi-kanal. Diagrammet av et enkeltkanals køsystem er vist i fig. 6.2.

Applikasjoner kommer vanligvis ikke inn i systemet regelmessig, men tilfeldig, og danner en tilfeldig strøm av søknader (krav). Tjenesten av hvert krav i seg selv kan ta enten en viss tid, eller, oftere, en ubestemt tid. Den tilfeldige naturen fører til at QS-en er ujevnt lastet: i noen perioder akkumuleres et veldig stort antall applikasjoner (enten kommer de i kø eller lar QS-en ikke betjenes), mens QS-en i andre perioder opererer med underbelastning eller er inaktiv.

Ris. 6.2.

Formålet med studiet av køsystemer er å analysere kvaliteten på deres funksjon og identifisere muligheter for forbedring. Samtidig vil begrepet «funksjonskvalitet» i hvert enkelt tilfelle ha sin egen spesifikke betydning og komme til uttrykk ved ulike kvantitative indikatorer. For eksempel slike kvantitative indikatorer som størrelsen på køen for tjenesten, gjennomsnittlig tjenestetid, venting på service eller å finne et krav i tjenestesystemet, inaktiv tid for tjenesteenheter; tillit til at alle forespørsler mottatt av systemet vil bli servert.

Dermed forstås kvaliteten på funksjonen til køsystemet ikke som kvaliteten på ytelsen til et bestemt arbeid, forespørselen som ble mottatt, men graden av tilfredsstillelse av behovet for service.

Klassifisering av køsystemer

Den første funksjonen som lar en klassifisere køoppgaver er oppførselen til kravene som mottas av serveringssystemet i det øyeblikket alle maskinene er opptatt.

I noen tilfeller kan et krav som kommer inn i systemet på et tidspunkt hvor alle maskiner er opptatt ikke vente på at de blir frigitt og lar systemet være ubetjent, dvs. kravet er tapt for det gitte serveringssystemet. Slike servicesystemer kalles systemer med tap, og problemene som er formulert på bakgrunn av dem kalles serviceproblemer for systemer med tap.

Hvis derimot en etterspørsel, etter å ha kommet inn i systemet, kommer inn i køen og venter på at enheten skal frigjøres, kalles slike systemer systemer med venting, og de tilsvarende oppgavene kalles serviceoppgaver i systemer med venting. QS med venting er delt inn i ulike typer avhengig av hvordan køen er organisert: med begrenset eller ubegrenset kølengde, med begrenset ventetid osv.

QS-er varierer også i antall krav som samtidig kan være i serveringssystemet. Tildele:

1) systemer med begrenset flyt av krav;
2) systemer med en ubegrenset flyt av krav.

Avhengig av formene for intern organisering av tjenesten i systemet, er det:

1) systemer med bestilt service;
2) systemer med uordnet tjeneste.

Et viktig steg i studiet av QS er valg av kriterier som karakteriserer prosessen som studeres. Valget avhenger av typen problemer som studeres, av målet som forfølges av løsningen.

Oftest er det i praksis systemer der kravflyten er nærmest den enkleste, og tjenestetiden følger en eksponentiell fordelingslov. Disse systemene er mest utviklet innen køteori.

Under forholdene til en virksomhet er oppgaver med venting, med et begrenset antall serviceenheter, med begrenset flyt av krav, og med uordnet service, typiske.

Antakelser om Poisson-naturen til strømmen av forespørsler og om den eksponentielle fordelingen av tjenestetid tillater oss å anvende det Markovianske apparatet i teorien om kø. En prosess som skjer i et fysisk system kalles en Markov-prosess (eller en prosess uten ettervirkning) hvis sannsynligheten for en hvilken som helst tilstand av systemet i fremtiden for hvert øyeblikk avhenger bare av tilstanden til systemet i det nåværende øyeblikk og gjør ikke avhengig av hvordan systemet kom til denne tilstanden.

Tenk på en QS med et begrenset diskret sett av tilstander (fig. 2.). La oss definere tilstanden som QS-tilstanden som tilsvarer tilstedeværelsen av for øyeblikket opptatte kanaler. I dette tilfellet kan systemet endre sin tilstand diskret på de tilsvarende diskrete tidspunktene. Når en forespørsel kommer til QS-inngangen, endrer systemet hviletilstand,

og når en forespørsel forlater systemet og den tilsvarende utgivelsen av en kanal - fra til.

Ris. 2. Diagram over tilstander og overganger av QS

Et typisk eksempel på en QS er et telekommunikasjonssystem med flere servere. En forespørsel som kommer til inngangen til en slik QS kan enten bli servert, eller sette i kø, eller motta en tjenestenekt. I denne forbindelse er QS delt inn i to hovedtyper: a) QS med feil; b) QS med forventning.

I systemer med feil blir en forespørsel som kommer i det øyeblikket alle tjenestekanaler er opptatt, umiddelbart avvist, forlater systemet og deltar ikke i den videre tjenesteprosessen.

I ventesystemer forlater ikke en kunde som har funnet alle kanaler opptatt systemet, men står i kø og venter til en kanal blir ledig.

Klassifiseringsfunksjoner for køsystemer.

I køsystemer er det tre hovedstadier som hver applikasjon går gjennom:

1) utseendet til en applikasjon ved inngangen til systemet;

2) passerer køen;

3) serviceprosessen, hvoretter søknaden forlater systemet.

På hvert trinn brukes visse egenskaper, som bør diskuteres før man bygger matematiske modeller.

Inndataspesifikasjoner:

1) antall søknader ved inngangen (befolkningsstørrelse);

2) modusen for mottak av søknader i tjenestesystemet;

3) kundeadferd.

Antall søknader ved inngangen. Antall potensielle applikasjoner (populasjonsstørrelse) kan betraktes som enten uendelig (ubegrenset populasjon) eller begrenset (begrenset populasjon). Hvis antallet kunder som kommer inn i systemet fra starten av tjenesteprosessen til et gitt tidspunkt bare er en liten del av det potensielle antallet kunder, anses inputpopulasjonen som ubegrenset. Eksempler på ubegrensede populasjoner: biler som passerer sjekkpunkter på motorveier, shoppere i et supermarked osv. I de fleste modeller av køer ved inngangen er det ubegrensede populasjoner som vurderes.

Dersom antall kunder som kan komme inn i systemet er sammenlignbare med antall kunder som allerede er i køsystemet, anses populasjonen som begrenset. Eksempel på begrenset populasjon: Datamaskiner som eies av en spesifikk organisasjon som blir betjent av et verksted.

Modusen for mottak av søknader i tjenestesystemet. Søknader kan komme inn i servicesystemet i henhold til en bestemt tidsplan (for eksempel en pasient til tannlegen hvert 15. minutt, en bil på samlebåndet hvert 20. minutt) eller tilfeldig. Klientopptredener anses som tilfeldige hvis de er uavhengige av hverandre og ikke akkurat er forutsigbare. Ofte i køproblemer kan antall forekomster per tidsenhet estimeres ved å bruke en Poisson-sannsynlighetsfordeling. Ved en gitt inngangshastighet (for eksempel to kunder per time eller fire lastebiler per minutt)

den diskrete Poisson-fordelingen beskrives med følgende formel:

Hvor P(x) - sannsynlighet for innleggelse X søknader per tidsenhet;

X - antall søknader per tidsenhet;

L er gjennomsnittlig antall søknader per tidsenhet (frekvensen for mottak av søknader);

E \u003d 2.7182 - basen til den naturlige logaritmen.

De tilsvarende sannsynlighetene P(x) er lett å bestemme ved hjelp av Poisson-fordelingstabellen. Hvis for eksempel gjennomsnittshastigheten for mottak av forespørsler er to klienter per time, er sannsynligheten for at ingen forespørsler kommer inn i systemet innen en time 0,135, sannsynligheten for én forespørsel er omtrent 0,27, og to er også omtrent 0,27 , tre påstander kan dukke opp med en sannsynlighet på 0,18, fire med en sannsynlighet på ca 0,09 osv. Sannsynligheten for at 9 eller flere påstander kommer inn i systemet i løpet av en time er nær null.

I praksis følger selvfølgelig ikke alltid sannsynlighetene for forekomst av applikasjoner Poisson-fordelingen (de kan ha en annen fordeling). Derfor kreves det forundersøkelser for å kontrollere at Poisson-fordelingen kan tjene som en god tilnærming.

Kundeadferd . De fleste kømodeller er basert på antakelsen om at kundeadferd er standard, det vil si at hver kunde som kommer inn i systemet går inn i en kø, venter på service og forlater ikke systemet før det er betjent. Med andre ord, en kunde (menneske eller maskin) som har kommet inn i en kø venter til den blir servert, forlater køen og flytter fra en kø til en annen.

Livet er mye vanskeligere. I praksis kan kundene gå ut av køen

fordi den var for lang. En annen situasjon kan oppstå: kundene venter på tur, men av en eller annen grunn går de uten betjening. Disse sakene er også gjenstand for køteori.

Køegenskaper:

2) tjenesteregel.

Kølengde . Lengden kan være begrenset eller ikke. Lengden på køen (køen) er begrenset hvis den av en eller annen grunn (for eksempel på grunn av fysiske begrensninger) ikke kan øke i det uendelige. Hvis køen når sin maksimale størrelse, er den neste forespørselen til systemet ikke tillatt, og det oppstår en feil. Lengden på køen er ikke begrenset, Hvis det kan være et hvilket som helst antall søknader i køen. For eksempel en kø med biler på en bensinstasjon.

Vedlikeholdsregel . De fleste ekte systemer bruker først inn, først ut-regelen. (FIFO- først inn først ut). I noen tilfeller, for eksempel på legevakten på et sykehus, kan det settes ulike prioriteringer i tillegg til denne regelen. . En kritisk syk pasient med hjerteinfarkt vil sannsynligvis ha prioritet i omsorgen fremfor en pasient med brukket finger. Rekkefølgen dataprogrammer startes i er et annet eksempel på tjenesteprioritering.