Formel for å forenkle en andregradsligning. Kvadratiske ligninger

”, det vil si ligninger av første grad. I denne leksjonen skal vi utforske hva er en andregradsligning og hvordan løse det.

Hva er en andregradsligning

Viktig!

Graden av en ligning bestemmes av den høyeste grad det ukjente står i.

Hvis den maksimale graden som det ukjente står i er "2", så har du en andregradsligning.

Eksempler på andregradsligninger

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Viktig! Den generelle formen for kvadratisk ligning ser slik ut:

A x 2 + b x + c = 0

• "a" - den første eller senior koeffisienten;
• "b" - den andre koeffisienten;
• "c" er et gratis medlem.

For å finne "a", "b" og "c" må du sammenligne ligningen din med den generelle formen for kvadratisk ligning "ax 2 + bx + c \u003d 0".

La oss øve på å bestemme koeffisientene "a", "b" og "c" i andregradsligninger.

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Hvordan løse andregradsligninger

I motsetning til lineære ligninger, brukes en spesiell ligning for å løse andregradsligninger. formel for å finne røtter.

Huske!

For å løse en kvadratisk ligning trenger du:

• bringe den andregradsligningen til den generelle formen "ax 2 + bx + c \u003d 0". Det vil si at bare "0" skal forbli på høyre side;
• bruk formelen for røtter:

La oss bruke et eksempel for å finne ut hvordan du bruker formelen for å finne røttene til en kvadratisk ligning. La oss løse den andregradsligningen.

X 2 - 3x - 4 = 0

Ligningen "x 2 - 3x - 4 = 0" er allerede redusert til den generelle formen "ax 2 + bx + c = 0" og krever ingen ytterligere forenklinger. For å løse det trenger vi bare søke formel for å finne røttene til en andregradsligning.

La oss definere koeffisientene "a", "b" og "c" for denne ligningen.

Med dens hjelp løses enhver annengradsligning.

I formelen "x 1; 2 \u003d" erstattes ofte rotuttrykket
"b 2 − 4ac" til bokstaven "D" og kalt diskriminant. Begrepet diskriminant er nærmere omtalt i leksjonen «Hva er en diskriminant».

Tenk på et annet eksempel på en andregradsligning.

x 2 + 9 + x = 7x

I denne formen er det ganske vanskelig å bestemme koeffisientene "a", "b" og "c". La oss først bringe ligningen til den generelle formen "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Nå kan du bruke formelen for røttene.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

Det er tider når det ikke er røtter i kvadratiske ligninger. Denne situasjonen oppstår når et negativt tall vises i formelen under roten.

Vi fortsetter å studere temaet løsning av ligninger". Vi har allerede blitt kjent med lineære ligninger og nå skal vi bli kjent med andregradsligninger.

Først vil vi diskutere hva en andregradsligning er, hvordan den skrives i generell form, og gi relaterte definisjoner. Etter det, ved hjelp av eksempler, vil vi analysere i detalj hvordan ufullstendige kvadratiske ligninger løses. La oss deretter gå videre til å løse komplette ligninger, få formelen for røttene, bli kjent med diskriminanten til en kvadratisk ligning og vurdere løsninger på typiske eksempler. Til slutt sporer vi sammenhengene mellom røtter og koeffisienter.

Sidenavigering.

Hva er en andregradsligning? Typene deres

Først må du forstå hva en kvadratisk ligning er. Derfor er det logisk å begynne å snakke om andregradsligninger med definisjonen av en andregradsligning, samt definisjoner knyttet til den. Etter det kan du vurdere hovedtypene kvadratiske ligninger: reduserte og ikke-reduserte, samt komplette og ufullstendige ligninger.

Definisjon og eksempler på andregradsligninger

Definisjon.

Kvadratisk ligning er en formlikning a x 2 +b x+c=0, hvor x er en variabel, a , b og c er noen tall, og a er forskjellig fra null.

La oss si med en gang at andregradsligninger ofte kalles andregradsligninger. Dette er fordi andregradsligningen er algebraisk ligning andre grad.

Den lydde definisjonen lar oss gi eksempler på andregradsligninger. Så 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, osv. er andregradsligninger.

Definisjon.

Tall a, b og c kalles koeffisientene til den kvadratiske ligningen a x 2 +b x + c=0, og koeffisienten a kalles den første, eller senior, eller koeffisienten ved x 2, b er den andre koeffisienten, eller koeffisienten ved x, og c er et fritt medlem.

La oss for eksempel ta en andregradsligning av formen 5 x 2 −2 x−3=0 , her er den ledende koeffisienten 5 , den andre koeffisienten er −2 , og frileddet er −3 . Legg merke til at når koeffisientene b og/eller c er negative, som i eksemplet nettopp gitt, brukes den korte formen av den kvadratiske ligningen på formen 5 x 2 −2 x−3=0, ikke 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Det er verdt å merke seg at når koeffisientene a og / eller b er lik 1 eller −1, er de vanligvis ikke eksplisitt tilstede i notasjonen til den kvadratiske ligningen, noe som skyldes særegenhetene ved notasjonen til slike . For eksempel, i den andregradsligningen y 2 −y+3=0, er den ledende koeffisienten én, og koeffisienten ved y er −1.

Reduserte og ikke-reduserte kvadratiske ligninger

Avhengig av verdien av den ledende koeffisienten, skilles reduserte og ikke-reduserte kvadratiske ligninger. La oss gi de tilsvarende definisjonene.

Definisjon.

En annengradsligning der den ledende koeffisienten er 1 kalles redusert andregradsligning. Ellers er andregradsligningen ikke redusert.

I følge denne definisjonen vil kvadratiske ligninger x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, etc. - redusert, i hver av dem er den første koeffisienten lik en. Og 5 x 2 −x−1=0 osv. - ikke-reduserte kvadratiske ligninger, deres ledende koeffisienter er forskjellige fra 1 .

Fra enhver ikke-redusert kvadratisk ligning, ved å dele begge delene med den ledende koeffisienten, kan du gå til den reduserte. Denne handlingen er en ekvivalent transformasjon, det vil si at den reduserte kvadratiske ligningen oppnådd på denne måten har de samme røttene som den opprinnelige ikke-reduserte kvadratiske ligningen, eller har, som den, ingen røtter.

La oss ta et eksempel på hvordan overgangen fra en ikke-redusert andregradsligning til en redusert utføres.

Eksempel.

Fra ligningen 3 x 2 +12 x−7=0, gå til den tilsvarende reduserte andregradsligningen.

Løsning.

Det er nok for oss å dele begge deler av den opprinnelige ligningen med den ledende koeffisienten 3, den er ikke-null, så vi kan utføre denne handlingen. Vi har (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , som er det samme som (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , og så videre (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , hvorfra . Så vi fikk den reduserte andregradsligningen, som tilsvarer den opprinnelige.

Svar:

Fullstendige og ufullstendige andregradsligninger

Det er en betingelse a≠0 i definisjonen av en andregradsligning. Denne betingelsen er nødvendig for at ligningen a x 2 +b x+c=0 skal være nøyaktig kvadratisk, siden den med a=0 faktisk blir en lineær ligning av formen b x+c=0 .

Når det gjelder koeffisientene b og c, kan de være lik null, både hver for seg og sammen. I disse tilfellene kalles andregradsligningen ufullstendig.

Definisjon.

Andregradsligningen a x 2 +b x+c=0 kalles ufullstendig, hvis minst én av koeffisientene b , c er lik null.

I sin tur

Definisjon.

Fullfør andregradsligningen er en ligning der alle koeffisienter er forskjellige fra null.

Disse navnene er ikke gitt ved en tilfeldighet. Dette vil fremgå av den følgende diskusjonen.

Hvis koeffisienten b er lik null, har den andregradsligningen formen a x 2 +0 x+c=0 , og den er ekvivalent med ligningen a x 2 +c=0 . Hvis c=0 , det vil si at andregradsligningen har formen a x 2 +b x+0=0 , så kan den skrives om som en x 2 +b x=0 . Og med b=0 og c=0 får vi andregradsligningen a·x 2 =0. De resulterende ligningene skiller seg fra den fullstendige kvadratiske ligningen ved at venstresiden deres ikke inneholder verken et ledd med variabelen x, eller et fritt ledd, eller begge deler. Derav navnet deres - ufullstendige kvadratiske ligninger.

Så likningene x 2 +x+1=0 og −2 x 2 −5 x+0,2=0 er eksempler på komplette andregradsligninger, og x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 er ufullstendige andregradsligninger.

Løse ufullstendige andregradsligninger

Det følger av informasjonen i forrige avsnitt at det er tre typer ufullstendige andregradsligninger:

• a x 2 =0, koeffisientene b=0 og c=0 tilsvarer det;
• a x2 +c=0 når b=0;
• og a x 2 + b x=0 når c=0.

La oss analysere i rekkefølge hvordan de ufullstendige kvadratiske ligningene til hver av disse typene løses.

a x 2 \u003d 0

La oss starte med å løse ufullstendige andregradsligninger der koeffisientene b og c er lik null, det vil si med likninger av formen a x 2 =0. Ligningen a·x 2 =0 er ekvivalent med ligningen x 2 =0, som fås fra originalen ved å dele begge delene med et tall a som ikke er null. Det er klart at roten av ligningen x 2 \u003d 0 er null, siden 0 2 \u003d 0. Denne ligningen har ingen andre røtter, noe som er forklart, ja, for ethvert ikke-null tall p, finner ulikheten p 2 >0 sted, noe som innebærer at for p≠0, blir likheten p 2 =0 aldri oppnådd.

Så den ufullstendige andregradsligningen a x 2 \u003d 0 har en enkelt rot x \u003d 0.

Som et eksempel gir vi løsningen av en ufullstendig andregradsligning −4·x 2 =0. Det tilsvarer ligningen x 2 \u003d 0, dens eneste rot er x \u003d 0, derfor har den opprinnelige ligningen en enkelt rot null.

En kort løsning i dette tilfellet kan gis som følger:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x 2 + c=0

Tenk nå på hvordan ufullstendige kvadratiske ligninger løses, der koeffisienten b er lik null, og c≠0, det vil si ligninger av formen a x 2 +c=0. Vi vet at overføringen av et ledd fra den ene siden av ligningen til den andre med motsatt fortegn, samt delingen av begge sider av ligningen med et tall som ikke er null, gir en ekvivalent ligning. Derfor kan følgende ekvivalente transformasjoner av den ufullstendige kvadratiske ligningen a x 2 + c=0 utføres:

• flytt c til høyre side, som gir ligningen a x 2 =−c,
• og dele begge delene med a , får vi .

Den resulterende ligningen lar oss trekke konklusjoner om røttene. Avhengig av verdiene til a og c, kan verdien av uttrykket være negativ (for eksempel hvis a=1 og c=2, da ) eller positiv, (for eksempel hvis a=−2 og c=6 , da ), er den ikke lik null , fordi ved betingelsen c≠0 . Vi vil separat analysere sakene og .

Hvis , så har ligningen ingen røtter. Dette utsagnet følger av det faktum at kvadratet av et hvilket som helst tall er et ikke-negativt tall. Det følger av dette at når , så for et hvilket som helst tall p kan ikke likheten være sann.

Hvis , så er situasjonen med røttene til ligningen annerledes. I dette tilfellet, hvis vi husker om, så blir roten av ligningen umiddelbart åpenbar, det er tallet, siden. Det er lett å gjette at tallet også er roten til ligningen , faktisk . Denne ligningen har ingen andre røtter, som kan vises for eksempel ved selvmotsigelse. La oss gjøre det.

La oss betegne de nettopp stemte røttene til ligningen som x 1 og −x 1 . Anta at ligningen har en annen rot x 2 forskjellig fra de angitte røttene x 1 og −x 1 . Det er kjent at substitusjon i ligningen i stedet for x av røttene gjør ligningen til en sann numerisk likhet. For x 1 og −x 1 har vi , og for x 2 har vi . Egenskapene til numeriske likheter lar oss utføre termin-for-term subtraksjon av sanne numeriske likheter, så subtrahering av de tilsvarende delene av likhetene gir x 1 2 − x 2 2 =0. Egenskapene til operasjoner med tall tillater oss å omskrive den resulterende likheten som (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Vi vet at produktet av to tall er lik null hvis og bare hvis minst ett av dem er lik null. Derfor følger det av den oppnådde likheten at x 1 −x 2 =0 og/eller x 1 +x 2 =0 , som er det samme, x 2 =x 1 og/eller x 2 = −x 1 . Så vi har kommet til en selvmotsigelse, siden vi i begynnelsen sa at roten til likningen x 2 er forskjellig fra x 1 og −x 1 . Dette beviser at ligningen ikke har andre røtter enn og .

La oss oppsummere informasjonen i dette avsnittet. Den ufullstendige andregradsligningen a x 2 +c=0 er ekvivalent med ligningen , som

• har ingen røtter hvis ,
• har to røtter og hvis .

Tenk på eksempler på løsning av ufullstendige andregradsligninger på formen a·x 2 +c=0 .

La oss starte med den andregradsligningen 9 x 2 +7=0 . Etter å ha overført frileddet til høyre side av ligningen, vil det ha formen 9·x 2 =−7. Ved å dele begge sider av den resulterende ligningen med 9, kommer vi til . Siden et negativt tall oppnås på høyre side, har denne ligningen ingen røtter, derfor har den opprinnelige ufullstendige kvadratiske ligningen 9 x 2 +7=0 ingen røtter.

La oss løse en ufullstendig annengradsligning til −x 2 +9=0. Vi overfører de ni til høyre side: -x 2 \u003d -9. Nå deler vi begge delene med −1, vi får x 2 =9. Høyre side inneholder et positivt tall, hvorfra vi konkluderer med at eller . Etter at vi har skrevet ned det endelige svaret: den ufullstendige andregradsligningen −x 2 +9=0 har to røtter x=3 eller x=−3.

a x 2 + b x=0

Det gjenstår å ta for seg løsningen av den siste typen ufullstendige kvadratiske ligninger for c=0. Ufullstendige andregradsligninger på formen a x 2 +b x=0 lar deg løse faktoriseringsmetode. Åpenbart kan vi, plassert på venstre side av ligningen, som det er nok å ta den felles faktoren x ut av parentes. Dette lar oss gå fra den opprinnelige ufullstendige andregradsligningen til en ekvivalent ligning på formen x·(a·x+b)=0 . Og denne ligningen er ekvivalent med settet av to ligninger x=0 og a x+b=0 , hvorav den siste er lineær og har en rot x=−b/a .

Så den ufullstendige andregradsligningen a x 2 +b x=0 har to røtter x=0 og x=−b/a.

For å konsolidere materialet, vil vi analysere løsningen av et spesifikt eksempel.

Eksempel.

Løs ligningen.

Løsning.

Vi tar x ut av parentes, dette gir ligningen. Det tilsvarer to ligninger x=0 og . Vi løser den resulterende lineære ligningen: , og etter å ha delt det blandede tallet med en vanlig brøk, finner vi . Derfor er røttene til den opprinnelige ligningen x=0 og .

Etter å ha fått nødvendig øvelse, kan løsningene av slike ligninger skrives kort:

Svar:

x=0, .

Diskriminant, formel for røttene til en kvadratisk ligning

For å løse andregradsligninger er det en rotformel. La oss skrive ned formelen til røttene til kvadratisk ligning: , hvor D=b 2 −4 a c- såkalte diskriminant av en andregradsligning. Notasjonen betyr i hovedsak at .

Det er nyttig å vite hvordan rotformelen ble oppnådd, og hvordan den brukes for å finne røttene til kvadratiske ligninger. La oss håndtere dette.

Utledning av formelen til røttene til en kvadratisk ligning

La oss løse den andregradsligningen a·x 2 +b·x+c=0 . La oss utføre noen tilsvarende transformasjoner:

• Vi kan dele begge deler av denne ligningen med et tall som ikke er null a, som et resultat får vi den reduserte andregradsligningen.
• Nå velg en hel firkant på venstre side: . Etter det vil ligningen ha formen .
• På dette stadiet er det mulig å gjennomføre overføringen av de to siste leddene til høyre side med motsatt fortegn, vi har .
• Og la oss også transformere uttrykket på høyre side: .

Som et resultat kommer vi til ligningen , som er ekvivalent med den opprinnelige andregradsligningen a·x 2 +b·x+c=0 .

Vi har allerede løst likninger med lignende form i de foregående avsnittene da vi analyserte . Dette lar oss trekke følgende konklusjoner angående røttene til ligningen:

• hvis , så har ligningen ingen reelle løsninger;
• hvis , så har ligningen formen , derfor, , hvorfra dens eneste rot er synlig;
• hvis , da eller , som er det samme som eller , det vil si at ligningen har to røtter.

Således avhenger tilstedeværelsen eller fraværet av røttene til ligningen, og dermed den opprinnelige kvadratiske ligningen, av tegnet til uttrykket på høyre side. I sin tur bestemmes tegnet til dette uttrykket av tellerens fortegnet, siden nevneren 4 a 2 alltid er positiv, det vil si tegnet til uttrykket b 2 −4 a c . Dette uttrykket b 2 −4 a c kalles diskriminant av en andregradsligning og merket med bokstaven D. Herfra er essensen av diskriminanten klar - ved sin verdi og fortegn konkluderes det om den kvadratiske ligningen har reelle røtter, og i så fall hva er deres nummer - en eller to.

Vi går tilbake til ligningen, omskriver den ved å bruke notasjonen til diskriminanten: . Og vi konkluderer:

• hvis D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• hvis D=0, så har denne ligningen en enkelt rot;
• til slutt, hvis D>0, så har ligningen to røtter eller , som kan skrives om i formen eller , og etter å utvide og redusere brøkene til en fellesnevner, får vi .

Så vi utledet formlene for røttene til den kvadratiske ligningen, de ser ut som , hvor diskriminanten D beregnes med formelen D=b 2 −4 a c .

Med deres hjelp, med en positiv diskriminant, kan du beregne begge de reelle røttene til en kvadratisk ligning. Når diskriminanten er lik null, gir begge formlene samme rotverdi som tilsvarer den eneste løsningen av andregradsligningen. Og med en negativ diskriminant, når vi prøver å bruke formelen for røttene til en kvadratisk ligning, står vi overfor å trekke ut kvadratroten fra et negativt tall, noe som tar oss utenfor rammen av skolens læreplan. Med en negativ diskriminant har andregradsligningen ingen reelle røtter, men har et par komplekst konjugat røtter, som kan finnes ved å bruke de samme rotformlene som vi fikk.

Algoritme for å løse andregradsligninger ved hjelp av rotformler

I praksis, når du løser en kvadratisk ligning, kan du umiddelbart bruke rotformelen for å beregne verdiene deres. Men dette handler mer om å finne komplekse røtter.

Men i et skolealgebrakurs snakker vi vanligvis ikke om kompleks, men om reelle røtter til en kvadratisk ligning. I dette tilfellet er det lurt å først finne diskriminanten før du bruker formlene for røttene til den kvadratiske ligningen, forsikre deg om at den er ikke-negativ (ellers kan vi konkludere med at ligningen ikke har noen reelle røtter), og etter det beregne verdiene til røttene.

Resonnementet ovenfor lar oss skrive algoritme for å løse en andregradsligning. For å løse den kvadratiske ligningen a x 2 + b x + c \u003d 0, trenger du:

• ved å bruke diskriminantformelen D=b 2 −4 a c beregne verdien;
• konkluder med at den andregradsligningen ikke har noen reelle røtter hvis diskriminanten er negativ;
• beregne den eneste roten av ligningen ved å bruke formelen hvis D=0 ;
• finn to reelle røtter av en kvadratisk ligning ved å bruke rotformelen hvis diskriminanten er positiv.

Her legger vi bare merke til at dersom diskriminanten er lik null, kan formelen også brukes, den vil gi samme verdi som .

Du kan gå videre til eksempler på bruk av algoritmen for å løse andregradsligninger.

Eksempler på løsning av andregradsligninger

Vurder løsninger av tre andregradsligninger med positiv, negativ og null diskriminant. Etter å ha behandlet løsningen deres, vil det analogt være mulig å løse enhver annen kvadratisk ligning. La oss begynne.

Eksempel.

Finn røttene til ligningen x 2 +2 x−6=0 .

Løsning.

I dette tilfellet har vi følgende koeffisienter for kvadratisk ligning: a=1 , b=2 og c=−6 . I henhold til algoritmen må du først beregne diskriminanten, for dette erstatter vi de angitte a, b og c i diskriminantformelen, vi har D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Siden 28>0, det vil si diskriminanten er større enn null, har kvadratisk ligning to reelle røtter. La oss finne dem ved formelen av røtter , vi får , her kan vi forenkle uttrykkene oppnådd ved å gjøre utregning av rotens tegn etterfulgt av brøkreduksjon:

Svar:

La oss gå videre til neste typiske eksempel.

Eksempel.

Løs den andregradsligningen −4 x 2 +28 x−49=0 .

Løsning.

Vi starter med å finne diskriminanten: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Derfor har denne andregradsligningen en enkelt rot, som vi finner som , det vil si,

Svar:

x=3,5.

Det gjenstår å vurdere løsningen av kvadratiske ligninger med negativ diskriminant.

Eksempel.

Løs ligningen 5 y 2 +6 y+2=0 .

Løsning.

Her er koeffisientene til kvadratisk ligning: a=5 , b=6 og c=2 . Å erstatte disse verdiene i diskriminantformelen har vi D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Diskriminanten er negativ, derfor har denne kvadratiske ligningen ingen reelle røtter.

Hvis du trenger å spesifisere komplekse røtter, så bruker vi den velkjente formelen for røttene til kvadratisk ligning, og utfører operasjoner med komplekse tall:

Svar:

det er ingen reelle røtter, de komplekse røttene er: .

Nok en gang legger vi merke til at hvis diskriminanten til kvadratisk ligning er negativ, skriver skolen vanligvis umiddelbart ned svaret, der de indikerer at det ikke er noen reelle røtter, og de finner ikke komplekse røtter.

Rotformel for selv andre koeffisienter

Formelen for røttene til en andregradsligning , hvor D=b 2 −4 a c lar deg få en mer kompakt formel som lar deg løse andregradsligninger med en jevn koeffisient ved x (eller ganske enkelt med en koeffisient som ser ut som 2 n , for eksempel eller 14 ln5=2 7 ln5 ). La oss ta henne ut.

La oss si at vi må løse en andregradsligning av formen a x 2 +2 n x + c=0 . La oss finne røttene ved hjelp av formelen som er kjent for oss. For å gjøre dette, beregner vi diskriminanten D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), og så bruker vi rotformelen:

Betegn uttrykket n 2 − a c som D 1 (noen ganger er det betegnet D ") Så tar formelen for røttene til den betraktede andregradsligningen med den andre koeffisienten 2 n formen , hvor D 1 =n 2 −a c .

Det er lett å se at D=4·D 1 eller D 1 =D/4 . D 1 er med andre ord den fjerde delen av diskriminanten. Det er tydelig at tegnet på D 1 er det samme som tegnet på D . Det vil si at tegnet D 1 også er en indikator på tilstedeværelse eller fravær av røttene til kvadratisk ligning.

Så for å løse en andregradsligning med den andre koeffisienten 2 n, trenger du

• Beregn D 1 =n 2 −a·c ;
• Hvis D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Hvis D 1 =0, beregner du den eneste roten av ligningen ved å bruke formelen;
• Hvis D 1 >0, finn to reelle røtter ved å bruke formelen.

Vurder løsningen av eksemplet ved å bruke rotformelen som er oppnådd i dette avsnittet.

Eksempel.

Løs den andregradsligningen 5 x 2 −6 x−32=0 .

Løsning.

Den andre koeffisienten til denne ligningen kan representeres som 2·(−3) . Det vil si at du kan skrive om den opprinnelige kvadratiske ligningen på formen 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , her a=5 , n=−3 og c=−32 , og beregne den fjerde delen av diskriminerende: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Siden verdien er positiv, har ligningen to reelle røtter. Vi finner dem ved å bruke den tilsvarende rotformelen:

Merk at det var mulig å bruke den vanlige formelen for røttene til en kvadratisk ligning, men i dette tilfellet måtte mer beregningsarbeid gjøres.

Svar:

Forenkling av formen til andregradsligninger

Noen ganger, før du begynner å beregne røttene til en kvadratisk ligning ved hjelp av formler, skader det ikke å stille spørsmålet: "Er det mulig å forenkle formen til denne ligningen"? Enig i at når det gjelder beregninger vil det være lettere å løse andregradsligningen 11 x 2 −4 x −6=0 enn 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Vanligvis oppnås en forenkling av formen til en kvadratisk ligning ved å multiplisere eller dele begge sider av den med et tall. For eksempel, i forrige avsnitt, klarte vi å oppnå en forenkling av ligningen 1100 x 2 −400 x −600=0 ved å dele begge sider med 100 .

En lignende transformasjon utføres med kvadratiske ligninger, hvis koeffisienter ikke er . I dette tilfellet er begge deler av ligningen vanligvis delt med de absolutte verdiene til koeffisientene. La oss for eksempel ta den andregradsligningen 12 x 2 −42 x+48=0. absolutte verdier av koeffisientene: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Ved å dele begge sider av den opprinnelige andregradsligningen med 6 kommer vi til den ekvivalente andregradsligningen 2 x 2 −7 x+8=0 .

Og multiplikasjonen av begge deler av den kvadratiske ligningen gjøres vanligvis for å bli kvitt brøkkoeffisienter. I dette tilfellet utføres multiplikasjonen på nevnerne til koeffisientene. For eksempel, hvis begge sider av en kvadratisk ligning multipliseres med LCM(6, 3, 1)=6 , vil den ha en enklere form x 2 +4 x−18=0 .

Som konklusjon av dette avsnittet, merker vi at nesten alltid bli kvitt minus ved den høyeste koeffisienten til kvadratisk ligning ved å endre tegnene til alle ledd, som tilsvarer å multiplisere (eller dividere) begge deler med −1. For eksempel, vanligvis fra den andregradsligningen −2·x 2 −3·x+7=0 gå til løsningen 2·x 2 +3·x−7=0 .

Forholdet mellom røtter og koeffisienter til en kvadratisk ligning

Formelen for røttene til en kvadratisk ligning uttrykker røttene til en ligning i form av koeffisientene. Basert på formelen til røttene kan du få andre sammenhenger mellom røttene og koeffisientene.

De mest kjente og anvendelige formlene fra Vieta-setningen til formen og . Spesielt for den gitte kvadratiske ligningen er summen av røttene lik den andre koeffisienten med motsatt fortegn, og produktet av røttene er frileddet. For eksempel, ved form av kvadratisk ligning 3 x 2 −7 x+22=0, kan du umiddelbart si at summen av røttene er 7/3, og produktet av røttene er 22/3.

Ved å bruke de allerede skrevne formlene kan du få en rekke andre sammenhenger mellom røttene og koeffisientene til den kvadratiske ligningen. For eksempel kan du uttrykke summen av kvadratene til røttene til en kvadratisk ligning i form av koeffisientene: .

Bibliografi.

• Algebra: lærebok for 8 celler. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; utg. S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M. : Utdanning, 2008. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8. klasse. Kl. 14.00 Del 1. En lærebok for studenter ved utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich. - 11. utg., slettet. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Oppgaver for en andregradsligning studeres både i skolens læreplan og på universiteter. De forstås som ligninger av formen a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, hvor x- variabel, a,b,c – konstanter; en<>0 . Problemet er å finne røttene til ligningen.

Den geometriske betydningen av den kvadratiske ligningen

Grafen til en funksjon som er representert ved en andregradsligning er en parabel. Løsningene (røttene) til en kvadratisk ligning er skjæringspunktene mellom parabelen og x-aksen. Det følger at det er tre mulige tilfeller:
1) parablen har ingen skjæringspunkter med x-aksen. Dette betyr at den er i det øvre planet med greiner opp eller det nedre med greiner ned. I slike tilfeller har kvadratisk ligning ingen reelle røtter (den har to komplekse røtter).

2) parablen har ett skjæringspunkt med aksen Ox. Et slikt punkt kalles parabelens toppunkt, og andregradsligningen i den får sin minimums- eller maksimumsverdi. I dette tilfellet har kvadratisk ligning én reell rot (eller to identiske røtter).

3) Det siste tilfellet er mer interessant i praksis - det er to skjæringspunkter for parabelen med abscisseaksen. Dette betyr at det er to reelle røtter til ligningen.

Basert på analysen av koeffisientene ved potensene til variablene kan det trekkes interessante konklusjoner om plasseringen av parabelen.

1) Hvis koeffisienten a er større enn null, er parablen rettet oppover, hvis negativ er grenene til parablen rettet nedover.

2) Hvis koeffisienten b er større enn null, så ligger toppunktet til parablen i venstre halvplan, hvis den har en negativ verdi, så i høyre.

Utledning av en formel for å løse en andregradsligning

La oss overføre konstanten fra andregradsligningen

for likhetstegnet får vi uttrykket

Multipliser begge sider med 4a

For å få en hel firkant til venstre, legg til b ^ 2 i begge deler og utfør transformasjonen

Herfra finner vi

Formel for diskriminanten og røttene til kvadratisk ligning

Diskriminanten er verdien av det radikale uttrykket. Hvis det er positivt, så har ligningen to reelle røtter, beregnet med formelen Når diskriminanten er null, har den andregradsligningen én løsning (to sammenfallende røtter), som er enkle å få fra formelen ovenfor for D=0. Når diskriminanten er negativ, er det ingen reelle røtter. Men for å studere løsningene av den kvadratiske ligningen i det komplekse planet, og verdien deres beregnes av formelen

Vietas teorem

Tenk på to røtter av en andregradsligning og konstruer en andregradsligning på grunnlag av disse.Vieta-setningen i seg selv følger lett av notasjonen: hvis vi har en andregradsligning av formen da er summen av røttene lik koeffisienten p, tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene til ligningen er lik det frie leddet q. Formelen for ovenstående vil se slik ut. Hvis konstanten a i den klassiske ligningen ikke er null, må du dele hele ligningen med den, og deretter bruke Vieta-setningen.

Tidsplan for kvadratisk ligning på faktorer

La oppgaven være satt: å dekomponere den andregradsligningen i faktorer. For å utføre det løser vi først ligningen (finn røttene). Deretter erstatter vi de funnet røttene i formelen for å utvide kvadratisk ligning. Dette problemet vil bli løst.

Oppgaver for en andregradsligning

Oppgave 1. Finn røttene til en andregradsligning

x^2-26x+120=0 .

Løsning: Skriv ned koeffisientene og erstatt i diskriminantformelen

Roten til denne verdien er 14, det er lett å finne den med en kalkulator, eller huske den med hyppig bruk, men for enkelhets skyld vil jeg på slutten av artikkelen gi deg en liste over kvadrater med tall som ofte kan være finnes i slike oppgaver.
Den funnet verdien erstattes med rotformelen

og vi får

Oppgave 2. løse ligningen

2x2+x-3=0.

Løsning: Vi har en fullstendig andregradsligning, skriver ut koeffisientene og finner diskriminanten


Ved hjelp av kjente formler finner vi røttene til kvadratisk ligning

Oppgave 3. løse ligningen

9x2 -12x+4=0.

Løsning: Vi har en fullstendig andregradsligning. Bestem diskriminanten

Vi fikk saken når røttene faller sammen. Vi finner verdiene til røttene ved formelen

Oppgave 4. løse ligningen

x^2+x-6=0 .

Løsning: I tilfeller der det er små koeffisienter for x, er det lurt å bruke Vieta-setningen. Ved dens tilstand får vi to ligninger

Fra den andre betingelsen får vi at produktet må være lik -6. Dette betyr at en av røttene er negativ. Vi har følgende mulige løsningspar(-3;2), (3;-2) . Når vi tar i betraktning den første betingelsen, avviser vi det andre paret med løsninger.
Røttene til ligningen er

Oppgave 5. Finn lengdene på sidene til et rektangel hvis omkretsen er 18 cm og arealet er 77 cm 2.

Løsning: Halve omkretsen av et rektangel er lik summen av de tilstøtende sidene. La oss betegne x - den større siden, så er 18-x dens mindre side. Arealet til et rektangel er lik produktet av disse lengdene:
x(18x)=77;
eller
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Finn diskriminanten til ligningen

Vi beregner røttene til ligningen

Hvis en x=11, deretter 18x=7 , omvendt er også sant (hvis x=7, så 21-x=9).

Oppgave 6. Faktoriser den kvadratiske 10x 2 -11x+3=0 ligningen.

Løsning: Regn ut røttene til ligningen, for dette finner vi diskriminanten

Vi erstatter den funnet verdien i formelen til røttene og beregner

Vi bruker formelen for å utvide andregradsligningen i form av røtter

Ved å utvide parentesene får vi identiteten.

Andregradsligning med parameter

Eksempel 1. For hvilke verdier av parameteren en , har ligningen (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 én rot?

Løsning: Ved direkte substitusjon av verdien a=3 ser vi at den ikke har noen løsning. Videre vil vi bruke det faktum at med en null diskriminant, har ligningen én rot av multiplisitet 2. La oss skrive ut diskriminanten

forenkle det og tilsvarer null

Vi har fått en andregradsligning med hensyn til parameteren a, hvis løsning er enkel å få ved hjelp av Vieta-setningen. Summen av røttene er 7, og produktet deres er 12. Ved enkel oppregning fastslår vi at tallene 3.4 vil være røttene til ligningen. Siden vi allerede har forkastet løsningen a=3 i begynnelsen av beregningene, vil den eneste riktige være - a=4. Således, for a = 4, har ligningen én rot.

Eksempel 2. For hvilke verdier av parameteren en , ligningen a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 har mer enn én rot?

Løsning: Tenk først på entallspunktene, de vil være verdiene a=0 og a=-3. Når a=0, vil ligningen forenkles til formen 6x-9=0; x=3/2 og det vil være én rot. For a= -3 får vi identiteten 0=0 .
Beregn diskriminanten

og finn verdiene til en som den er positiv for

Fra den første betingelsen får vi a>3. For det andre finner vi diskriminanten og røttene til ligningen


La oss definere intervallene der funksjonen tar positive verdier. Ved å erstatte punktet a=0 får vi 3>0 . Så utenfor intervallet (-3; 1/3) er funksjonen negativ. Ikke glem prikken a=0 som bør utelukkes, siden den opprinnelige ligningen har én rot i seg.
Som et resultat får vi to intervaller som tilfredsstiller problemets tilstand

Det vil være mange lignende oppgaver i praksis, prøv å håndtere oppgavene selv og ikke glem å ta hensyn til forhold som utelukker hverandre. Studer godt formlene for å løse kvadratiske ligninger, de er ganske ofte nødvendige i beregninger i ulike problemer og vitenskaper.

Jeg håper at etter å ha studert denne artikkelen, vil du lære hvordan du finner røttene til en komplett kvadratisk ligning.

Ved hjelp av diskriminanten løses kun komplette andregradsligninger, for å løse ufullstendige andregradsligninger brukes andre metoder som du finner i artikkelen "Løse ufullstendige andregradsligninger".

Hvilke andregradsligninger kalles komplette? den ligninger på formen ax 2 + b x + c = 0, hvor koeffisientene a, b og c ikke er lik null. Så for å løse den komplette kvadratiske ligningen, må du beregne diskriminanten D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Avhengig av hvilken verdi diskriminanten har, vil vi skrive ned svaret.

Hvis diskriminanten er et negativt tall (D< 0),то корней нет.

Hvis diskriminanten er null, så x \u003d (-b) / 2a. Når diskriminanten er et positivt tall (D > 0),

deretter x 1 = (-b - √D)/2a, og x 2 = (-b + √D)/2a.

For eksempel. løse ligningen x 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Svar: 2.

Løs ligning 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Svar: ingen røtter.

Løs ligning 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Svar: - 3,5; en.

Så la oss forestille oss løsningen av komplette kvadratiske ligninger etter skjemaet i figur 1.

Disse formlene kan brukes til å løse en hvilken som helst komplett kvadratisk ligning. Du må bare være forsiktig ligningen ble skrevet som et polynom av standardform

en x 2 + bx + c, ellers kan du gjøre en feil. For eksempel, når du skriver ligningen x + 3 + 2x 2 = 0, kan du feilaktig bestemme at

a = 1, b = 3 og c = 2. Deretter

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 og så har ligningen to røtter. Og dette er ikke sant. (Se eksempel 2 løsning ovenfor).

Derfor, hvis ligningen ikke er skrevet som et polynom av standardformen, må først hele andregradsligningen skrives som et polynom av standardformen (monomialet med den største eksponenten skal være i første omgang, dvs. en x 2 , deretter med mindre – bx, og deretter friperioden Med.

Når du løser den ovennevnte andregradsligningen og den andregradsligningen med en jevn koeffisient for andre ledd, kan andre formler også brukes. La oss bli kjent med disse formlene. Hvis koeffisienten i hele andregradsligningen med det andre leddet er partall (b = 2k), kan ligningen løses ved å bruke formlene vist i diagrammet i figur 2.

En fullstendig andregradsligning kalles redusert hvis koeffisienten ved x 2 er lik enhet og ligningen tar formen x 2 + px + q = 0. En slik ligning kan gis for å løse, eller fås ved å dele alle koeffisientene til ligningen med koeffisienten en står ved x 2 .

Figur 3 viser et diagram over løsningen av det reduserte kvadratet
ligninger. Tenk på eksempelet på bruken av formlene som er diskutert i denne artikkelen.

Eksempel. løse ligningen

3x 2 + 6x - 6 = 0.

La oss løse denne ligningen ved å bruke formlene vist i figur 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Svar: -1 - √3; –1 + √3

Du kan se at koeffisienten ved x i denne ligningen er et partall, det vil si b \u003d 6 eller b \u003d 2k, hvorfra k \u003d 3. La oss så prøve å løse ligningen ved å bruke formlene vist i figurdiagrammet D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Svar: -1 - √3; –1 + √3. Når vi legger merke til at alle koeffisientene i denne andregradsligningen er delbare med 3 og dividerer, får vi den reduserte andregradsligningen x 2 + 2x - 2 = 0. Vi løser denne likningen ved å bruke formlene for den reduserte andregradslikningen
ligninger figur 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Svar: -1 - √3; –1 + √3.

Som du kan se, når vi løser denne ligningen ved hjelp av forskjellige formler, fikk vi det samme svaret. Derfor, etter å ha mestret formlene vist i diagrammet i figur 1, kan du alltid løse en hvilken som helst komplett kvadratisk ligning.

nettstedet, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. en

1 Kommunal budsjettutdanningsinstitusjon ungdomsskole nr. 11

Teksten til verket er plassert uten bilder og formler.
Den fullstendige versjonen av verket er tilgjengelig i fanen "Jobbfiler" i PDF-format

Andregradsligningers historie

Babylon

Behovet for å løse ligninger ikke bare av første grad, men også av andre, selv i antikken, ble forårsaket av behovet for å løse problemer knyttet til å finne landområdene, med utviklingen av astronomi og matematikk i seg selv. Kvadratiske ligninger var i stand til å løse ca 2000 f.Kr. e. babylonere. Reglene for å løse disse ligningene som er angitt i de babylonske tekstene, er i hovedsak sammenfallende med moderne, men disse tekstene mangler konseptet med et negativt tall og generelle metoder for å løse kvadratiske ligninger.

Antikkens Hellas

I antikkens Hellas var slike forskere som Diophantus, Euclid og Heron også engasjert i løsningen av kvadratiske ligninger. Diophantus Diophantus av Alexandria var en gammel gresk matematiker som antagelig levde på 300-tallet e.Kr. Hovedverket til Diophantus er "Aritmetikk" i 13 bøker. Euklid. Euklid er en gammel gresk matematiker, forfatteren av den første teoretiske avhandlingen om matematikk som har kommet ned til oss, Heron. Heron - gresk matematiker og ingeniør for første gang i Hellas i det 1. århundre e.Kr. gir en rent algebraisk måte å løse den andregradsligningen på

India

Problemer med kvadratiske ligninger finnes allerede i den astronomiske avhandlingen "Aryabhattam", kompilert i 499 av den indiske matematikeren og astronomen Aryabhatta. En annen indisk vitenskapsmann, Brahmagupta (7. århundre), skisserte den generelle regelen for å løse kvadratiske ligninger redusert til en enkelt kanonisk form: ax2 + bx = c, a> 0. (1) I ligning (1) kan koeffisientene også være negative . Brahmaguptas styre faller i hovedsak sammen med vårt. I India var offentlige konkurranser for å løse vanskelige problemer vanlig. I en av de gamle indiske bøkene sies det følgende om slike konkurranser: "Som solen overstråler stjernene med sin glans, slik vil en lærd person overstråle herligheten i offentlige møter, foreslå og løse algebraiske problemer." Oppgaver var ofte kledd i poetisk form.

Her er et av problemene til den berømte indiske matematikeren fra XII århundre. Bhaskara.

"En frekk flokk aper

Og tolv langs vinstokkene

De begynte å hoppe, hengende

De kvadret del åtte

Hvor mange aper var det

Ha det gøy på enga

Fortell meg, i denne flokken?

Bhaskaras løsning indikerer at forfatteren var klar over to-verdien av røttene til kvadratiske ligninger. Bhaskar skriver ligningen som tilsvarer oppgaven under formen x2 - 64x = - 768, og for å fullføre venstre side av denne ligningen til et kvadrat, legger han til 322 til begge deler, og får deretter: x2 - b4x + 322 = - 768 + 1024, (x - 32) 2 \u003d 256, x - 32 \u003d ± 16, x1 \u003d 16, x2 \u003d 48.

Kvadratiske ligninger i Europa på 1600-tallet

Formler for å løse kvadratiske ligninger på modellen til Al - Khorezmi i Europa ble først fremsatt i "Book of the Abacus", skrevet i 1202 av den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci. Dette omfangsrike verket, som gjenspeiler innflytelsen fra matematikk, både islams land og antikkens Hellas, utmerker seg både ved fullstendighet og klarhet i presentasjonen. Forfatteren utviklet uavhengig noen nye algebraiske eksempler på problemløsning og var den første i Europa som nærmet seg innføringen av negative tall. Boken hans bidro til spredningen av algebraisk kunnskap ikke bare i Italia, men også i Tyskland, Frankrike og andre europeiske land. Mange oppgaver fra "Book of the Abacus" gikk over i nesten alle europeiske lærebøker på 1500- og 1600-tallet. og delvis XVIII. Vieta har en generell avledning av formelen for å løse en kvadratisk ligning, men Vieta gjenkjente bare positive røtter. De italienske matematikerne Tartaglia, Cardano, Bombelli var blant de første på 1500-tallet. Ta i betraktning, i tillegg til positive og negative røtter. Bare i det XVII århundre. Takket være arbeidet til Girard, Descartes, Newton og andre forskere, får måten å løse andregradsligninger på et moderne utseende.

Definisjon av en andregradsligning

En ligning av formen ax 2 + bx + c = 0, hvor a, b, c er tall, kalles en kvadratisk ligning.

Koeffisienter til en kvadratisk ligning

Tallene a, b, c er koeffisientene til den kvadratiske ligningen. a er den første koeffisienten (før x²), a ≠ 0; b er den andre koeffisienten (før x); c er frileddet (uten x).

Hvilke av disse ligningene er ikke kvadratiske?

1. 4x² + 4x + 1 \u003d 0; 2. 5x - 7 \u003d 0; 3. - x² - 5x - 1 \u003d 0; 4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 \u003d 0; 6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 \u003d 0; 8. x² - 1 / x \u003d 0; 9. 2x² - x \u003d 0; 10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8х²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Typer andregradsligninger

En redusert kvadratisk ligning kalles, der den ledende koeffisienten er lik én. En slik ligning kan fås ved å dele hele uttrykket med den ledende koeffisienten en:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

En kvadratisk ligning sies å være fullstendig hvis alle koeffisientene ikke er null.

En slik kvadratisk ligning kalles ufullstendig hvis minst én av koeffisientene, bortsett fra den høyeste (enten den andre koeffisienten eller frileddet), er lik null.

Måter å løse andregradsligninger på

jeg måte. Generell formel for beregning av røtter

Å finne røttene til en andregradsligning øks 2 + b + c = 0 Generelt bør følgende algoritme brukes:

Regn ut verdien av diskriminanten til den kvadratiske ligningen: dette er uttrykket for den D= b 2 - 4ac

Utledning av formelen:

Merk: det er åpenbart at formelen for en rot av multiplisitet 2 er et spesialtilfelle av den generelle formelen, den oppnås ved å erstatte likheten D=0 i den, og konklusjonen om fraværet av reelle røtter ved D0, og (visningsstil ( sqrt (-1))=i) = i.

Den beskrevne metoden er universell, men den er langt fra den eneste. Løsningen av en ligning kan tilnærmes på forskjellige måter, preferansene avhenger vanligvis av løseren selv. I tillegg, ofte for dette, viser noen av metodene seg å være mye mer elegante, enklere, mindre tidkrevende enn standarden.

II vei. Røttene til en andregradsligning med en jevn koeffisient b III måte. Løse ufullstendige andregradsligninger

IV måte. Bruke partielle forhold av koeffisienter

Det er spesielle tilfeller av kvadratiske ligninger der koeffisientene står i forhold til hverandre, noe som gjør det mye lettere å løse dem.

Røttene til en kvadratisk ligning der summen av den ledende koeffisienten og frileddet er lik den andre koeffisienten

Hvis i en andregradsligning øks 2 + bx + c = 0 summen av den første koeffisienten og frileddet er lik den andre koeffisienten: a+b=c, da er røttene -1 og tallet motsatt av forholdet mellom frileddet og ledende koeffisient ( -c/a).

Derfor, før du løser en annengradsligning, bør du sjekke muligheten for å bruke denne teoremet på den: sammenligne summen av den ledende koeffisienten og frileddet med den andre koeffisienten.

Røttene til en kvadratisk ligning hvis sum av alle koeffisienter er null

Hvis summen av alle koeffisientene i en kvadratisk ligning er lik null, er røttene til en slik ligning 1 og forholdet mellom frileddet og den ledende koeffisienten ( c/a).

Derfor, før du løser ligningen med standardmetoder, bør man sjekke anvendeligheten til denne teoremet på den: legg sammen alle koeffisientene til denne ligningen og se om denne summen er lik null.

V måte. Dekomponering av et kvadratisk trinomium til lineære faktorer

Hvis et trinomium av formen (visningsstil ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) kan på en eller annen måte representeres som et produkt av lineære faktorer (visningsstil (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), så kan vi finne røttene til ligningen øks 2 + bx + c = 0- de vil være -m / k og n / l, faktisk fordi (visningsstil (kx+m)(lx+n)=0Langvenstrepil kx+m=0kopp lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, og ved å løse de indikerte lineære ligningene får vi ovenstående. Merk at et kvadratisk trinomium ikke alltid dekomponeres i lineære faktorer med reelle koeffisienter: dette er mulig hvis ligningen som tilsvarer det har reelle røtter.

Vurder noen spesielle tilfeller

Bruke formelen for kvadratet av summen (forskjellen)

Hvis et kvadratisk trinomium har formen (visningsstil (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2, kan vi bruke formelen ovenfor på det, og vi kan faktorere det inn i lineære faktorer og, finn derfor røtter:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Valg av hele kvadratet av summen (forskjell)

Også den navngitte formelen brukes ved å bruke metoden som kalles "valg av hele kvadratet av summen (forskjellen)". I forhold til den gitte kvadratiske ligningen med notasjonen introdusert tidligere, betyr dette følgende:

Merk: hvis du legger merke til, faller denne formelen sammen med den som er foreslått i delen "Røttene til den reduserte kvadratiske ligningen", som igjen kan fås fra den generelle formelen (1) ved å erstatte likheten a=1. Dette faktum er ikke bare en tilfeldighet: ved hjelp av den beskrevne metoden, etter å ha gjort noen ekstra resonnementer, er det mulig å utlede en generell formel, så vel som å bevise egenskapene til diskriminanten.

VI måte. Bruk av direkte og invers Vieta-setning

Vietas direkte teorem (se nedenfor i avsnittet med samme navn) og dets inverse teorem lar oss løse de reduserte kvadratiske ligningene muntlig uten å ty til ganske tungvinte beregninger ved å bruke formel (1).

I følge det inverse teoremet er et hvilket som helst tallpar (tall) (visningsstil x_(1),x_(2)) x 1 , x 2 er løsningen av ligningssystemet nedenfor, røttene til ligningen

I det generelle tilfellet, det vil si for en ikke-redusert kvadratisk ligning ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 \u003d -b / a, x 1 * x 2 \u003d c / a

Et direkte teorem vil hjelpe deg verbalt å velge tall som tilfredsstiller disse ligningene. Med dens hjelp kan du bestemme tegnene på røttene uten å kjenne røttene selv. For å gjøre dette, følg regelen:

1) hvis frileddet er negativt, så har røttene et annet fortegn, og den største modulen til røttene er tegnet motsatt fortegnet til den andre koeffisienten i ligningen;

2) hvis frileddet er positivt, så har begge røttene samme fortegn, og dette er motsatt fortegn på den andre koeffisienten.

7. vei. Overføringsmetode

Den såkalte "overføringsmetoden" gjør det mulig å redusere løsningen av ikke-reduserte og ikke-transformerbare ligninger til form av ligninger redusert med heltallskoeffisienter ved å dele dem med den ledende ligningskoeffisienten til løsningen av ligninger redusert med heltall. koeffisienter. Det er som følger:

Deretter løses ligningen muntlig på måten beskrevet ovenfor, så går de tilbake til den opprinnelige variabelen og finner røttene til ligningene (visningsstil y_(1)=ax_(1)) y 1 = øks 1 og y 2 = øks 2 .(displaystyle y_(2)=ax_(2))

geometrisk sans

Grafen til en kvadratisk funksjon er en parabel. Løsningene (røttene) til en kvadratisk ligning er abscissen til skjæringspunktene mellom parabelen og abscisseaksen. Hvis parabelen beskrevet av en kvadratisk funksjon ikke skjærer x-aksen, har ligningen ingen reelle røtter. Hvis parabelen skjærer x-aksen i ett punkt (ved toppunktet til parablen), har ligningen én reell rot (likningen sies også å ha to sammenfallende røtter). Hvis parabelen skjærer x-aksen i to punkter, har ligningen to reelle røtter (se bildet til høyre.)

Hvis koeffisient (visningsstil a) en positiv, er grenene til parablen rettet oppover og omvendt. Hvis koeffisienten (visningsstil b) bpositiv (når positiv (visningsstil a) en, hvis negativ, omvendt), så ligger toppunktet til parablen i venstre halvplan og omvendt.

Anvendelse av andregradsligninger i livet

Andregradsligningen er utbredt. Det brukes i mange beregninger, strukturer, sport, og også rundt oss.

Vurder og gi noen eksempler på anvendelsen av den andregradsligningen.

Sport. Høye hopp: når hopperen tar av, for det mest nøyaktige treffet på frastøtningsstangen og høyflyging, brukes beregninger relatert til parabelen.

Også lignende beregninger er nødvendig i kasting. Flyrekkevidden til et objekt avhenger av en kvadratisk ligning.

Astronomi. Banen til planetene kan bli funnet ved hjelp av en kvadratisk ligning.

Flyreise. Starten av et fly er hovedkomponenten i flyvningen. Her er regnestykket tatt for en liten motstand og startakselerasjon.

Dessuten brukes kvadratiske ligninger i ulike økonomiske disipliner, i programmer for behandling av lyd, video, vektor- og rastergrafikk.

Konklusjon

Som et resultat av arbeidet som ble gjort, viste det seg at kvadratiske ligninger tiltrakk seg forskere i eldgamle tider, de møtte dem allerede når de løste noen problemer og prøvde å løse dem. Ved å vurdere ulike måter å løse andregradsligninger på, kom jeg til den konklusjon at ikke alle er enkle. Etter min mening er den beste måten å løse andregradsligninger på å bruke formler. Formler er enkle å huske, denne metoden er universell. Hypotesen om at ligninger er mye brukt i livet og matematikken ble bekreftet. Etter å ha studert emnet, lærte jeg mange interessante fakta om kvadratiske ligninger, deres bruk, anvendelse, typer, løsninger. Og jeg vil fortsette å studere dem med glede. Jeg håper dette vil hjelpe meg med å gjøre det bra på eksamenene mine.

Liste over brukt litteratur

Materialer på nettstedet:

Wikipedia

Åpen leksjon.rf

Håndbok i elementær matematikk Vygodsky M. Ya.