Hvordan finne skjæringspunktet mellom linjer. Finn skjæringspunktet mellom linjer

Leksjon fra serien "Geometriske algoritmer"

Hei kjære leser!

Vi fortsetter å bli kjent med geometriske algoritmer. I den siste leksjonen fant vi ligningen til en rett linje i koordinatene til to punkter. Vi har en ligning av formen:

I dag skal vi skrive en funksjon som ved å bruke likningene til to rette linjer vil finne koordinatene til skjæringspunktet deres (hvis noen). For å sjekke likheten til reelle tall, vil vi bruke spesialfunksjonen RealEq().

Punkter på planet er beskrevet av et par reelle tall. Når du bruker den virkelige typen, er det bedre å ordne sammenligningsoperasjonene med spesialfunksjoner.

Årsaken er kjent: det er ingen ordrerelasjon på Real-typen i Pascal-programmeringssystemet, så det er bedre å ikke bruke poster på formen a = b, hvor a og b er reelle tall.
I dag vil vi introdusere RealEq()-funksjonen for å implementere "=" (strengt lik) operasjonen:

Funksjon RealEq(Const a, b:Real):Boolsk; (strengt lik) begynne RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Oppgave. Ligninger av to rette linjer er gitt: og . Finn deres skjæringspunkt.

Beslutning. Den åpenbare løsningen er å løse systemet med linjelikninger: La oss omskrive dette systemet litt annerledes:
(1)

Vi introduserer notasjonen: , , . Her er D determinanten for systemet, og er determinantene som oppnås ved å erstatte kolonnen med koeffisienter for den tilsvarende ukjente med en kolonne med frie ledd. Hvis , så er system (1) bestemt, det vil si at det har en unik løsning. Denne løsningen kan finnes ved hjelp av følgende formler: , , som kalles Cramers formler. La meg minne deg på hvordan andreordens determinant beregnes. Determinanten skiller mellom to diagonaler: hoved og sekundær. Hoveddiagonalen består av elementer tatt i retning fra øvre venstre hjørne av determinanten til nedre høyre hjørne. Side diagonal - fra øvre høyre til nedre venstre. Andreordens determinant er lik produktet av elementene i hoveddiagonalen minus produktet av elementene i sekundærdiagonalen.

Koden bruker RealEq()-funksjonen for å se etter likhet. Beregninger over reelle tall gjøres med nøyaktighet opptil _Eps=1e-7.

Program geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(beregningsnøyaktighet) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Funksjon RealEq(Const a, b:Real):Boolsk; (strengt lik) begynne RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Vi har satt sammen et program som du kan, ved å kjenne likningene til linjene, finne koordinatene til skjæringspunktet deres.

Tema 3. Teori

Analytisk geometri i rommet.

Ligninger av et plan og en rett linje.

 Generell ligning flyet er en førsteordens algebraisk ligning med hensyn til koordinatene (x; y; z)

- normal , en vektor vinkelrett på planet.

Betingelsene for parallellitet og perpendikularitet til planene bestemmes av betingelsene for kolinaritet og perpendikularitet til normalene.

Noen standardtyper av planligninger:

De faktiske ligningene til planet vil bli oppnådd ved å utvide den tilsvarende determinanten i den første raden.

 Formel å regne ut avstander fra gitt poeng M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) før flyet gitt av ligningen Ah+Av+ cz+ D=0 :

.

Åpenbart hvis d=0 , så poenget M 1 tilhører flyet.

 Rett linje i rommet er definert som skjæringslinjen mellom to ikke-parallelle plan (alle som går gjennom en rett linje).

Typer ligninger for en rett linje i rommet:

Betingelsene for parallellitet og perpendikularitet til rette linjer i rommet er definert som betingelsene for henholdsvis kollinearitet og perpendikularitet til retningsvektorene deres. La da linjene (1) og (2) gis i kanonisk eller parametrisk form

.

 Betingelsen for skjæringen av to linjer i rommet er betingelsen for komlonaritet for tre vektorer:

 Overgang fra de generelle ligningene til den rette linjen til ligningene i kanonisk eller parametrisk form utføres som følger (omvendt overgang er også mulig).

Ligninger av en rett linje i generell form er gitt:
.

La oss finne koordinatene til retningsvektoren:
som et vektorprodukt av normalene til planene som definerer linjen.

La oss finne noen punkt på linjen. Den tilhører også begge planene som definerer linjen, så dens koordinater (x 0, y 0, z 0) kan finnes fra ligningssystemet:

,

hvor en av koordinatene må settes vilkårlig (fordi vi finner noen punkt), men på en slik måte at systemet har en unik løsning. Vektorkoordinater og det funnet punktet erstattes med de kanoniske eller parametriske ligningene.

Betingelsene for parallellitet og perpendikularitet til linjen og planet er formulert som betingelsene for perpendikularitet og parallellitet til normalen og retningsvektoren.

Oh-oh-oh-oh-oh ... vel, den er tinny, som om du leser setningen for deg selv =) Men da vil avslapning hjelpe, spesielt siden jeg i dag kjøpte passende tilbehør. Derfor, la oss fortsette til den første delen, håper jeg, ved slutten av artikkelen vil jeg holde et muntert humør.

Gjensidig arrangement av to rette linjer

Saken når salen synger med i kor. To linjer kan:

1) match;

2) være parallell: ;

3) eller kryss på et enkelt punkt: .

Hjelp til dummies : husk det matematiske tegnet på krysset, det vil forekomme veldig ofte. Oppføringen betyr at linjen skjærer linjen i punktet.

Hvordan bestemme den relative plasseringen av to linjer?

La oss starte med det første tilfellet:

To linjer faller sammen hvis og bare hvis deres respektive koeffisienter er proporsjonale, det vil si at det er et slikt tall «lambda» at likestillingene

La oss vurdere rette linjer og komponere tre likninger fra de tilsvarende koeffisientene: . Fra hver ligning følger det at derfor disse linjene faller sammen.

Faktisk, hvis alle koeffisientene til ligningen multipliser med -1 (endre fortegn), og alle koeffisientene til ligningen reduser med 2, du får samme ligning:.

Det andre tilfellet når linjene er parallelle:

To linjer er parallelle hvis og bare hvis koeffisientene deres ved variablene er proporsjonale: , men.

Som et eksempel, tenk på to rette linjer. Vi sjekker proporsjonaliteten til de tilsvarende koeffisientene for variablene:

Det er imidlertid klart at.

Og det tredje tilfellet, når linjene krysser hverandre:

To linjer krysser hverandre hvis og bare hvis koeffisientene til variablene IKKE er proporsjonale, det vil si at det IKKE er en slik verdi av «lambda» at likestillingene oppfylles

Så for rette linjer vil vi komponere et system:

Fra den første ligningen følger det at , og fra den andre ligningen: , derav, systemet er inkonsekvent(ingen løsninger). Dermed er koeffisientene ved variablene ikke proporsjonale.

Konklusjon: linjer krysser hverandre

I praktiske problemer kan løsningsskjemaet som nettopp er vurdert, brukes. Den er forresten veldig lik algoritmen for å sjekke vektorer for kollinearitet, som vi vurderte i leksjonen. Konseptet med lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Vektor basis. Men det er en mer sivilisert pakke:

Eksempel 1

Finn ut den relative plasseringen av linjene:

Beslutning basert på studiet av retningsvektorer av rette linjer:

a) Fra ligningene finner vi retningsvektorene til linjene: .

, så vektorene er ikke kollineære og linjene krysser hverandre.

Bare i tilfelle vil jeg sette en stein med pekere ved veikrysset:

Resten hopper over steinen og følger videre, rett til Kashchei the Deathless =)

b) Finn retningsvektorene til linjene:

Linjene har samme retningsvektor, noe som betyr at de enten er parallelle eller like. Her er ikke determinanten nødvendig.

Selvfølgelig er koeffisientene til de ukjente proporsjonale, mens .

La oss finne ut om likheten er sann:

Og dermed,

c) Finn retningsvektorene til linjene:

La oss beregne determinanten, sammensatt av koordinatene til disse vektorene:
, derfor er retningsvektorene kollineære. Linjene er enten parallelle eller sammenfallende.

Proporsjonalitetsfaktoren "lambda" er lett å se direkte fra forholdet mellom kollineære retningsvektorer. Imidlertid kan det også bli funnet gjennom koeffisientene til selve ligningene: .

La oss nå finne ut om likheten er sann. Begge gratisvilkårene er null, så:

Den resulterende verdien tilfredsstiller denne ligningen (hvilket som helst tall tilfredsstiller den vanligvis).

Dermed faller linjene sammen.

Svar:

Svært snart vil du lære (eller til og med allerede har lært) å løse det vurderte problemet verbalt bokstavelig talt i løpet av sekunder. I denne forbindelse ser jeg ingen grunn til å tilby noe for en uavhengig løsning, det er bedre å legge en viktig murstein i det geometriske fundamentet:

Hvordan tegne en linje parallelt med en gitt?

For uvitenhet om denne enkleste oppgaven, straffer raneren nattergalen hardt.

Eksempel 2

Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en ligning for en parallell linje som går gjennom punktet.

Beslutning: Angi den ukjente linjen med bokstaven . Hva sier tilstanden om det? Linjen går gjennom punktet. Og hvis linjene er parallelle, så er det åpenbart at retningsvektoren til linjen "ce" også er egnet for å konstruere linjen "te".

Vi tar ut retningsvektoren fra ligningen:

Svar:

Geometrien til eksemplet ser enkel ut:

Analytisk verifisering består av følgende trinn:

1) Vi sjekker at linjene har samme retningsvektor (hvis likningen til linjen ikke er riktig forenklet, vil vektorene være kollineære).

2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen.

Analytisk verifisering er i de fleste tilfeller enkel å utføre verbalt. Se på de to ligningene, og mange av dere vil raskt finne ut hvordan linjene er parallelle uten noen tegning.

Eksempler for selvløsning i dag vil være kreative. For du må fortsatt konkurrere med Baba Yaga, og hun, du vet, elsker alle slags gåter.

Eksempel 3

Skriv en ligning for en linje som går gjennom et punkt parallelt med linjen if

Det er en rasjonell og lite rasjonell måte å løse på. Den korteste veien er på slutten av leksjonen.

Vi jobbet litt med parallelle linjer og kommer tilbake til dem senere. Tilfellet med sammenfallende linjer er av liten interesse, så la oss vurdere et problem som er godt kjent for deg fra skolens læreplan:

Hvordan finne skjæringspunktet mellom to linjer?

Hvis rett skjærer hverandre ved punktet , så er koordinatene løsningen systemer av lineære ligninger

Hvordan finne skjæringspunktet mellom linjer? Løs systemet.

Her er til deg geometrisk betydning av et system av to lineære ligninger med to ukjente er to kryssende (oftest) rette linjer på et plan.

Eksempel 4

Finn skjæringspunktet mellom linjer

Beslutning: Det er to måter å løse - grafisk og analytisk.

Den grafiske måten er å ganske enkelt tegne de gitte linjene og finne ut skjæringspunktet direkte fra tegningen:

Her er poenget vårt: . For å sjekke, bør du erstatte koordinatene i hver ligning på en rett linje, de skal passe både der og der. Med andre ord er koordinatene til et punkt løsningen av systemet. Faktisk vurderte vi en grafisk måte å løse på systemer av lineære ligninger med to ligninger, to ukjente.

Den grafiske metoden er selvfølgelig ikke dårlig, men det er merkbare ulemper. Nei, poenget er ikke at sjuendeklassinger bestemmer seg på denne måten, poenget er at det vil ta tid å lage en riktig og NØYAKTIG tegning. I tillegg er noen linjer ikke så enkle å konstruere, og selve skjæringspunktet kan være et sted i det trettiende rike utenfor notatbokarket.

Derfor er det mer hensiktsmessig å søke etter skjæringspunktet ved hjelp av den analytiske metoden. La oss løse systemet:

For å løse systemet ble metoden med termvis addisjon av ligninger brukt. For å utvikle de relevante ferdighetene, besøk leksjonen Hvordan løser man et ligningssystem?

Svar:

Verifikasjonen er triviell - koordinatene til skjæringspunktet må tilfredsstille hver likning i systemet.

Eksempel 5

Finn skjæringspunktet mellom linjene hvis de skjærer hverandre.

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Oppgaven kan enkelt deles inn i flere stadier. Analyse av tilstanden tyder på at det er nødvendig:
1) Skriv ligningen til en rett linje.
2) Skriv ligningen til en rett linje.
3) Finn ut den relative plasseringen av linjene.
4) Hvis linjene skjærer hverandre, finn skjæringspunktet.

Utviklingen av en handlingsalgoritme er typisk for mange geometriske problemer, og jeg vil gjentatte ganger fokusere på dette.

Full løsning og svar på slutten av opplæringen:

Et par sko er ennå ikke utslitt, da vi kom til den andre delen av leksjonen:

Vinkelrette linjer. Avstanden fra et punkt til en linje.
Vinkel mellom linjene

La oss starte med en typisk og veldig viktig oppgave. I den første delen lærte vi å bygge en rett linje parallelt med den gitte, og nå vil hytta på kyllingbein snu 90 grader:

Hvordan tegne en linje vinkelrett på en gitt?

Eksempel 6

Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en ligning for en vinkelrett linje som går gjennom et punkt.

Beslutning: Det er kjent ved antagelse at . Det ville vært fint å finne retningsvektoren til den rette linjen. Siden linjene er vinkelrette, er trikset enkelt:

Fra ligningen "fjerner" vi normalvektoren: , som vil være retningsvektoren til den rette linjen.

Vi komponerer likningen av en rett linje med et punkt og en retningsvektor:

Svar:

La oss brette ut den geometriske skissen:

Hmmm... Oransje himmel, oransje hav, oransje kamel.

Analytisk verifisering av løsningen:

1) Trekk ut retningsvektorene fra ligningene og med hjelp prikkprodukt av vektorer vi konkluderer med at linjene faktisk er vinkelrette: .

Du kan forresten bruke vanlige vektorer, det er enda enklere.

2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen .

Verifisering, igjen, er enkel å utføre verbalt.

Eksempel 7

Finn skjæringspunktet for vinkelrette linjer, hvis ligningen er kjent og prikk.

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Det er flere handlinger i oppgaven, så det er praktisk å ordne løsningen punkt for punkt.

Vår spennende reise fortsetter:

Avstand fra punkt til linje

Foran oss er en rett stripe av elven og vår oppgave er å nå den på korteste vei. Det er ingen hindringer, og den mest optimale ruten vil være bevegelse langs perpendikulæren. Det vil si at avstanden fra et punkt til en linje er lengden på det vinkelrette segmentet.

Avstanden i geometri er tradisjonelt betegnet med den greske bokstaven "ro", for eksempel: - avstanden fra punktet "em" til den rette linjen "de".

Avstand fra punkt til linje uttrykkes med formelen

Eksempel 8

Finn avstanden fra et punkt til en linje

Beslutning: alt du trenger er å nøye erstatte tallene i formelen og gjøre beregningene:

Svar:

La oss utføre tegningen:

Avstanden funnet fra punktet til linjen er nøyaktig lengden på det røde segmentet. Hvis du lager en tegning på rutete papir i en skala på 1 enhet. \u003d 1 cm (2 celler), så kan avstanden måles med en vanlig linjal.

Vurder en annen oppgave i henhold til samme tegning:

Oppgaven er å finne koordinatene til punktet, som er symmetrisk med punktet i forhold til linjen . Jeg foreslår å utføre handlingene på egen hånd, men jeg vil skissere løsningsalgoritmen med mellomresultater:

1) Finn en linje som er vinkelrett på en linje.

2) Finn skjæringspunktet mellom linjene: .

Begge handlingene diskuteres i detalj i denne leksjonen.

3) Punktet er midtpunktet i segmentet. Vi kjenner koordinatene til midten og en av endene. Av formler for koordinatene til midten av segmentet finne.

Det vil ikke være overflødig å kontrollere at avstanden også er lik 2,2 enheter.

Vanskeligheter her kan oppstå i beregninger, men i tårnet hjelper en mikrokalkulator mye, slik at du kan telle vanlige brøker. Har gitt råd mange ganger og vil anbefale igjen.

Hvordan finne avstanden mellom to parallelle linjer?

Eksempel 9

Finn avstanden mellom to parallelle linjer

Dette er nok et eksempel på en uavhengig løsning. Et lite hint: det er uendelig mange måter å løse. Debriefing på slutten av leksjonen, men prøv å gjette selv, jeg tror du klarte å spre oppfinnsomheten din godt.

Vinkel mellom to linjer

Uansett hjørne, så jamben:


I geometri er vinkelen mellom to rette linjer tatt som den MINDRE vinkelen, hvorfra det automatisk følger at den ikke kan være stump. På figuren anses ikke vinkelen som er angitt av den røde buen å være vinkelen mellom kryssende linjer. Og dens "grønne" nabo eller motsatt orientert crimson hjørne.

Hvis linjene er vinkelrette, kan en hvilken som helst av de 4 vinklene tas som vinkelen mellom dem.

Hvordan er vinklene forskjellige? Orientering. For det første er retningen for å "rulle" hjørnet grunnleggende viktig. For det andre skrives en negativt orientert vinkel med et minustegn, for eksempel hvis .

Hvorfor sa jeg dette? Det ser ut til at du kan klare deg med det vanlige konseptet med en vinkel. Faktum er at i formlene som vi vil finne vinklene med, kan et negativt resultat lett oppnås, og dette bør ikke overraske deg. En vinkel med et minustegn er ikke verre, og har en veldig spesifikk geometrisk betydning. På tegningen for en negativ vinkel er det viktig å angi orienteringen (med klokken) med en pil.

Hvordan finne vinkelen mellom to linjer? Det er to arbeidsformler:

Eksempel 10

Finn vinkelen mellom linjene

Beslutning og Metode én

Tenk på to rette linjer gitt av ligninger i generell form:

Hvis rett ikke vinkelrett, deretter orientert vinkelen mellom dem kan beregnes ved hjelp av formelen:

La oss følge nøye med på nevneren - dette er nøyaktig skalært produkt retningsvektorer for rette linjer:

Hvis , så forsvinner nevneren til formelen, og vektorene vil være ortogonale og linjene vil være vinkelrette. Det er derfor tatt forbehold om at linjene i formuleringen ikke er vinkelrette.

Basert på det foregående er løsningen praktisk formalisert i to trinn:

1) Beregn skalarproduktet av retningsvektorer av rette linjer:
så linjene er ikke vinkelrette.

2) Vi finner vinkelen mellom linjene ved formelen:

Ved å bruke den omvendte funksjonen er det enkelt å finne selve vinkelen. I dette tilfellet bruker vi oddeligheten til buetangensen (se fig. Grafer og egenskaper til elementære funksjoner):

Svar:

I svaret angir vi den nøyaktige verdien, samt den omtrentlige verdien (gjerne både i grader og i radianer), beregnet ved hjelp av en kalkulator.

Vel, minus, så minus, det er greit. Her er en geometrisk illustrasjon:

Det er ikke overraskende at vinkelen viste seg å ha en negativ orientering, fordi i tilstanden til problemet er det første tallet en rett linje og "vridningen" av vinkelen begynte nøyaktig fra den.

Hvis du virkelig ønsker å få en positiv vinkel, må du bytte de rette linjene, det vil si ta koeffisientene fra den andre ligningen , og ta koeffisientene fra den første ligningen. Kort sagt, du må begynne med en direkte .

I todimensjonalt rom skjærer to linjer bare ett punkt, gitt av koordinatene (x, y). Siden begge linjene går gjennom skjæringspunktet, må koordinatene (x, y) tilfredsstille begge ligningene som beskriver disse linjene. Med noen avanserte ferdigheter kan du finne skjæringspunktene til parabler og andre kvadratiske kurver.

Trinn

Skjæringspunktet mellom to linjer

Skriv ned ligningen til hver linje, isoler variabelen "y" på venstre side av ligningen. Andre ledd i ligningen skal plasseres på høyre side av ligningen. Kanskje ligningen gitt til deg i stedet for "y" vil inneholde variabelen f (x) eller g (x); i dette tilfellet isolere en slik variabel. For å isolere en variabel, utfør de riktige matematiske operasjonene på begge sider av ligningen.

• Hvis likningene til linjene ikke er gitt til deg, på grunnlag av informasjon kjent for deg.
• Eksempel. Gitt rette linjer beskrevet av ligningene og y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). For å isolere "y" i den andre ligningen, legg til tallet 12 på begge sider av ligningen:

1. Du ser etter skjæringspunktet for begge linjene, det vil si punktet hvis (x, y) koordinater tilfredsstiller begge ligningene. Siden variabelen "y" er på venstre side av hver ligning, kan uttrykkene på høyre side av hver ligning likestilles. Skriv ned en ny ligning.

   • Eksempel. Som y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) og y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x), så kan vi skrive følgende likhet: .

2. Finn verdien til variabelen "x". Den nye ligningen inneholder bare én variabel "x". For å finne "x", isoler denne variabelen på venstre side av ligningen ved å gjøre riktig matematikk på begge sider av ligningen. Du bør ende opp med en ligning som x = __ (hvis du ikke kan gjøre det, se denne delen).

   • Eksempel. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Legge til 2x (\displaystyle 2x) til hver side av ligningen:
   • 3x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Trekk fra 3 fra hver side av ligningen:
   • 3x=9 (\displaystyle 3x=9)
   • Del hver side av ligningen med 3:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Bruk funnverdien til variabelen "x" for å beregne verdien av variabelen "y". For å gjøre dette, erstatte den funnet verdien "x" i ligningen (en hvilken som helst) rett linje.

   • Eksempel. x = 3 (\displaystyle x=3) og y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y=6 (\displaystyle y=6)

4. Sjekk svaret. For å gjøre dette, erstatte verdien av "x" i en annen ligning av en rett linje og finne verdien av "y". Hvis du får forskjellige "y"-verdier, sjekk at beregningene dine er riktige.

   • Eksempel: x = 3 (\displaystyle x=3) og y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y=6 (\displaystyle y=6)
   • Du har samme "y"-verdi, så det er ingen feil i beregningene dine.

5. Skriv ned koordinatene (x, y). Ved å beregne verdiene av "x" og "y", har du funnet koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer. Skriv ned koordinatene til skjæringspunktet på formen (x, y).

   • Eksempel. x = 3 (\displaystyle x=3) og y=6 (\displaystyle y=6)
   • Dermed skjærer to linjer i et punkt med koordinater (3,6).

6. Beregninger i spesielle tilfeller. I noen tilfeller kan ikke verdien til variabelen "x" bli funnet. Men det betyr ikke at du har gjort en feil. Et spesielt tilfelle oppstår når en av følgende betingelser er oppfylt:

   • Hvis to linjer er parallelle, krysser de ikke hverandre. I dette tilfellet vil variabelen "x" ganske enkelt reduseres, og ligningen din blir til en meningsløs likhet (f.eks. 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). I dette tilfellet, skriv ned i svaret ditt at linjene ikke krysser hverandre eller at det ikke er noen løsning.
   • Hvis begge ligningene beskriver én rett linje, vil det være et uendelig antall skjæringspunkter. I dette tilfellet vil variabelen "x" ganske enkelt reduseres, og ligningen din blir til en streng likhet (f.eks. 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). I dette tilfellet, skriv ned i svaret ditt at de to linjene er sammenfallende.

   Problemer med kvadratiske funksjoner

   1. Definisjon av en kvadratisk funksjon. I en kvadratisk funksjon har en eller flere variabler en andregrad (men ikke høyere), for eksempel, x 2 (\displaystyle x^(2)) eller y 2 (\displaystyle y^(2)). Grafer av kvadratiske funksjoner er kurver som kanskje ikke skjærer eller skjærer i ett eller to punkter. I denne delen vil vi fortelle deg hvordan du finner skjæringspunktet eller skjæringspunktene til kvadratiske kurver.

   2. Omskriv hver ligning ved å isolere variabelen "y" på venstre side av ligningen. Andre ledd i ligningen skal plasseres på høyre side av ligningen.

      • Eksempel. Finn skjæringspunkt(ene) mellom grafene x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) og
      • Isoler variabelen "y" på venstre side av ligningen:
      • og y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • I dette eksemplet får du én kvadratisk funksjon og én lineær funksjon. Husk at hvis du får to kvadratiske funksjoner, er beregningene de samme som trinnene nedenfor.

   3. Sett likhetstegn mellom uttrykkene på høyre side av hver ligning. Siden variabelen "y" er på venstre side av hver ligning, kan uttrykkene på høyre side av hver ligning likestilles.

      • Eksempel. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) og y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Overfør alle leddene i den resulterende ligningen til venstre side, og skriv 0 på høyre side. For å gjøre dette, utfør grunnleggende matematiske operasjoner. Dette vil tillate deg å løse den resulterende ligningen.

      • Eksempel. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Trekk fra "x" fra begge sider av ligningen:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Trekk fra 7 fra begge sider av ligningen:

   5. Løs den andregradsligningen. Ved å overføre alle leddene i ligningen til venstre side, får du en andregradsligning. Det kan løses på tre måter: ved hjelp av en spesiell formel, og.

      • Eksempel. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Når du faktoriserer likningen, får du to binomialer, som, når de multipliseres, gir den opprinnelige likningen. I vårt eksempel, det første medlemmet x 2 (\displaystyle x^(2)) kan dekomponeres til x*x. Skriv inn følgende: (x)(x) = 0
      • I vårt eksempel kan avskjæringen -6 faktoriseres som følger: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • I vårt eksempel er det andre leddet x (eller 1x). Legg til hvert par av skjæringsfaktorer (i vårt eksempel -6) til du får 1. I vårt eksempel er det riktige paret med skjæringsfaktorer -2 og 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), som − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Fyll ut hullene med det funnet tallparet: .

   6. Ikke glem det andre skjæringspunktet mellom de to grafene. Hvis du løser problemet raskt og ikke veldig nøye, kan du glemme det andre skjæringspunktet. Slik finner du "x"-koordinatene til to skjæringspunkter:

      • Eksempel (factoring). Hvis i ligningen (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) ett av uttrykkene i parentes vil være lik 0, så vil hele ligningen være lik 0. Derfor kan vi skrive det slik: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) og x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (det vil si at du fant to røtter til ligningen).
      • Eksempel (bruk formel eller komplett kvadrat). Ved bruk av en av disse metodene vil en kvadratrot vises i løsningsprosessen. For eksempel vil ligningen fra vårt eksempel ha formen x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Husk at når du tar kvadratroten, får du to løsninger. I vårt tilfelle: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt(25))=5*5), og 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Så skriv ned to likninger og finn to x-verdier.

   7. Grafer krysser hverandre på ett punkt eller krysser ikke i det hele tatt. Slike situasjoner oppstår når følgende betingelser er oppfylt:

      • Hvis grafene skjærer hverandre på ett punkt, dekomponeres den kvadratiske ligningen i like faktorer, for eksempel (x-1) (x-1) = 0, og kvadratroten av 0 vises i formelen ( 0 (\displaystyle (\sqrt(0)))). I dette tilfellet har ligningen bare én løsning.
      • Hvis grafene ikke skjærer hverandre i det hele tatt, faktoriseres ikke ligningen, og kvadratroten av et negativt tall vises i formelen (for eksempel, − 2 (\displaystyle (\sqrt(-2)))). Skriv i så fall i svaret at det ikke finnes noen løsning.

1. For å finne koordinatene til skjæringspunktet til grafene til funksjoner, må du likestille begge funksjonene til hverandre, flytte alle ledd som inneholder $ x $ til venstre side, og resten til høyre side og finne røttene til den resulterende ligning.
2. Den andre måten er å komponere et ligningssystem og løse det ved å erstatte en funksjon med en annen
3. Den tredje metoden involverer den grafiske konstruksjonen av funksjoner og den visuelle definisjonen av skjæringspunktet.

Tilfelle av to lineære funksjoner

Tenk på to lineære funksjoner $ f(x) = k_1 x+m_1 $ og $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Disse funksjonene kalles direkte. Å bygge dem er enkelt nok, du trenger bare å ta hvilke som helst to verdier $x_1$ og $x_2$ og finne $f(x_1)$ og $(x_2)$. Gjenta deretter det samme med $ g(x) $-funksjonen. Deretter finner du visuelt koordinaten til skjæringspunktet til funksjonsgrafene.

Du bør vite at lineære funksjoner bare har ett skjæringspunkt og kun når $ k_1 \neq k_2 $. Ellers, i tilfellet med $ k_1=k_2 $, er funksjonene parallelle med hverandre, siden $ k $ er helningsfaktoren. Hvis $ k_1 \neq k_2 $, men $ m_1=m_2 $, vil skjæringspunktet være $ M(0;m) $. Det er ønskelig å huske denne regelen for akselerert problemløsning.

Tilfelle av to ikke-lineære funksjoner