Hvordan finne vinkelen mellom linjene. Vinkel mellom linjer på et plan

Oh-oh-oh-oh-oh ... vel, det er blikkt, som om du leser setningen for deg selv =) Men da vil avslapning hjelpe, spesielt siden jeg kjøpte passende tilbehør i dag. Derfor, la oss fortsette til den første delen, håper jeg, ved slutten av artikkelen vil jeg holde et muntert humør.

Gjensidig arrangement av to rette linjer

Saken når salen synger med i kor. To linjer kan:

1) match;

2) være parallell: ;

3) eller kryss på et enkelt punkt: .

Hjelp til dummies : husk det matematiske tegnet på krysset, det vil forekomme veldig ofte. Oppføringen betyr at linjen skjærer linjen i punktet.

Hvordan bestemme den relative plasseringen av to linjer?

La oss starte med det første tilfellet:

To linjer faller sammen hvis og bare hvis deres respektive koeffisienter er proporsjonale, det vil si at det er et slikt tall «lambda» at likestillingene

La oss vurdere rette linjer og komponere tre likninger fra de tilsvarende koeffisientene: . Fra hver ligning følger det at derfor disse linjene faller sammen.

Faktisk, hvis alle koeffisientene til ligningen multipliser med -1 (endre fortegn), og alle koeffisientene til ligningen reduser med 2, du får samme ligning:.

Det andre tilfellet når linjene er parallelle:

To linjer er parallelle hvis og bare hvis koeffisientene ved variablene er proporsjonale: , men.

Som et eksempel, tenk på to rette linjer. Vi sjekker proporsjonaliteten til de tilsvarende koeffisientene for variablene:

Det er imidlertid klart at.

Og det tredje tilfellet, når linjene krysser hverandre:

To linjer krysser hverandre hvis og bare hvis koeffisientene til variablene IKKE er proporsjonale, det vil si at det IKKE er en slik verdi av «lambda» at likestillingene oppfylles

Så for rette linjer vil vi komponere et system:

Fra den første ligningen følger det at , og fra den andre ligningen: , derav, systemet er inkonsekvent(ingen løsninger). Dermed er koeffisientene ved variablene ikke proporsjonale.

Konklusjon: linjer krysser hverandre

I praktiske problemer kan løsningsskjemaet som nettopp er vurdert, brukes. Den er forresten veldig lik algoritmen for å sjekke vektorer for kollinearitet, som vi vurderte i leksjonen. Konseptet med lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Vektor basis. Men det er en mer sivilisert pakke:

Eksempel 1

Finn ut den relative plasseringen av linjene:

Løsning basert på studiet av retningsvektorer av rette linjer:

a) Fra ligningene finner vi retningsvektorene til linjene: .

, så vektorene er ikke kollineære og linjene krysser hverandre.

I tilfelle vil jeg sette en stein med pekere ved veikrysset:

Resten hopper over steinen og følger videre, rett til Kashchei the Deathless =)

b) Finn retningsvektorene til linjene:

Linjene har samme retningsvektor, noe som betyr at de enten er parallelle eller like. Her er ikke determinanten nødvendig.

Selvfølgelig er koeffisientene til de ukjente proporsjonale, mens .

La oss finne ut om likheten er sann:

På denne måten,

c) Finn retningsvektorene til linjene:

La oss beregne determinanten, sammensatt av koordinatene til disse vektorene:
, derfor er retningsvektorene kollineære. Linjene er enten parallelle eller sammenfallende.

Proporsjonalitetsfaktoren "lambda" er lett å se direkte fra forholdet mellom kollineære retningsvektorer. Imidlertid kan det også bli funnet gjennom koeffisientene til selve ligningene: .

La oss nå finne ut om likheten er sann. Begge gratisvilkårene er null, så:

Den resulterende verdien tilfredsstiller denne ligningen (hvilket som helst tall tilfredsstiller den vanligvis).

Dermed faller linjene sammen.

Svar:

Svært snart vil du lære (eller til og med allerede har lært) å løse det vurderte problemet verbalt bokstavelig talt i løpet av sekunder. I denne forbindelse ser jeg ingen grunn til å tilby noe for en uavhengig løsning, det er bedre å legge en viktig murstein i det geometriske fundamentet:

Hvordan tegne en linje parallelt med en gitt?

For uvitenhet om denne enkleste oppgaven, straffer Nattergalen røveren hardt.

Eksempel 2

Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en ligning for en parallell linje som går gjennom punktet.

Løsning: Angi den ukjente linjen med bokstaven . Hva sier tilstanden om det? Linjen går gjennom punktet. Og hvis linjene er parallelle, så er det åpenbart at retningsvektoren til linjen "ce" også er egnet for å konstruere linjen "de".

Vi tar ut retningsvektoren fra ligningen:

Svar:

Geometrien til eksemplet ser enkel ut:

Analytisk verifisering består av følgende trinn:

1) Vi sjekker at linjene har samme retningsvektor (hvis likningen til linjen ikke er riktig forenklet, vil vektorene være kollineære).

2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen.

Analytisk verifisering er i de fleste tilfeller lett å utføre verbalt. Se på de to ligningene, og mange av dere vil raskt finne ut hvordan linjene er parallelle uten noen tegning.

Eksempler på selvløsning i dag vil være kreative. For du må fortsatt konkurrere med Baba Yaga, og hun, du vet, elsker alle slags gåter.

Eksempel 3

Skriv en ligning for en linje som går gjennom et punkt parallelt med linjen if

Det er en rasjonell og lite rasjonell måte å løse på. Den korteste veien er på slutten av leksjonen.

Vi jobbet litt med parallelle linjer og kommer tilbake til dem senere. Tilfellet med sammenfallende linjer er av liten interesse, så la oss vurdere et problem som er godt kjent for deg fra skolens læreplan:

Hvordan finne skjæringspunktet mellom to linjer?

Hvis rett skjærer hverandre i punktet , så er koordinatene løsningen systemer av lineære ligninger

Hvordan finne skjæringspunktet mellom linjer? Løs systemet.

Her er til deg geometrisk betydning av et system av to lineære ligninger med to ukjente er to kryssende (oftest) rette linjer på et plan.

Eksempel 4

Finn skjæringspunktet mellom linjer

Løsning: Det er to måter å løse - grafisk og analytisk.

Den grafiske måten er å ganske enkelt tegne de gitte linjene og finne ut skjæringspunktet direkte fra tegningen:

Her er poenget vårt:. For å sjekke, bør du erstatte koordinatene i hver ligning på en rett linje, de skal passe både der og der. Med andre ord er koordinatene til et punkt løsningen av systemet. Faktisk vurderte vi en grafisk måte å løse på systemer av lineære ligninger med to ligninger, to ukjente.

Den grafiske metoden er selvfølgelig ikke dårlig, men det er merkbare ulemper. Nei, poenget er ikke at sjuendeklassinger bestemmer seg på denne måten, poenget er at det vil ta tid å lage en riktig og NØYAKTIG tegning. I tillegg er noen linjer ikke så enkle å konstruere, og selve skjæringspunktet kan ligge et sted i det trettiende rike utenfor notatbokarket.

Derfor er det mer hensiktsmessig å søke etter skjæringspunktet ved hjelp av den analytiske metoden. La oss løse systemet:

For å løse systemet ble metoden med termvis addisjon av ligninger brukt. For å utvikle de relevante ferdighetene, besøk leksjonen Hvordan løse et ligningssystem?

Svar:

Verifikasjonen er triviell - koordinatene til skjæringspunktet må tilfredsstille hver likning i systemet.

Eksempel 5

Finn skjæringspunktet for linjene hvis de skjærer hverandre.

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Oppgaven kan enkelt deles inn i flere stadier. Analyse av tilstanden tyder på at det er nødvendig:
1) Skriv ligningen til en rett linje.
2) Skriv ligningen til en rett linje.
3) Finn ut den relative plasseringen av linjene.
4) Hvis linjene skjærer hverandre, finn skjæringspunktet.

Utviklingen av en handlingsalgoritme er typisk for mange geometriske problemer, og jeg vil gjentatte ganger fokusere på dette.

Full løsning og svar på slutten av opplæringen:

Et par sko er ennå ikke utslitt, da vi kom til den andre delen av leksjonen:

Vinkelrette linjer. Avstanden fra et punkt til en linje.
Vinkel mellom linjene

La oss starte med en typisk og veldig viktig oppgave. I den første delen lærte vi å bygge en rett linje parallelt med den gitte, og nå vil hytta på kyllingbein snu 90 grader:

Hvordan tegne en linje vinkelrett på en gitt?

Eksempel 6

Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en likning for en vinkelrett linje som går gjennom et punkt.

Løsning: Det er kjent ved å anta at . Det ville vært fint å finne retningsvektoren til den rette linjen. Siden linjene er vinkelrette, er trikset enkelt:

Fra ligningen "fjerner" vi normalvektoren: , som vil være retningsvektoren til den rette linjen.

Vi komponerer likningen av en rett linje med et punkt og en retningsvektor:

Svar:

La oss brette ut den geometriske skissen:

Hmmm... Oransje himmel, oransje hav, oransje kamel.

Analytisk verifisering av løsningen:

1) Trekk ut retningsvektorene fra ligningene og med hjelp prikkprodukt av vektorer vi konkluderer med at linjene faktisk er vinkelrette: .

Du kan forresten bruke vanlige vektorer, det er enda enklere.

2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen .

Verifisering, igjen, er enkel å utføre verbalt.

Eksempel 7

Finn skjæringspunktet mellom vinkelrette linjer, hvis ligningen er kjent og prikk.

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Det er flere handlinger i oppgaven, så det er praktisk å ordne løsningen punkt for punkt.

Vår spennende reise fortsetter:

Avstand fra punkt til linje

Foran oss ligger en rett stripe av elven og vår oppgave er å nå den på korteste vei. Det er ingen hindringer, og den mest optimale ruten vil være bevegelse langs perpendikulæren. Det vil si at avstanden fra et punkt til en linje er lengden på det vinkelrette segmentet.

Avstanden i geometri er tradisjonelt betegnet med den greske bokstaven "ro", for eksempel: - avstanden fra punktet "em" til den rette linjen "de".

Avstand fra punkt til linje uttrykkes med formelen

Eksempel 8

Finn avstanden fra et punkt til en linje

Løsning: alt du trenger er å erstatte tallene nøye i formelen og gjøre beregningene:

Svar:

La oss utføre tegningen:

Avstanden funnet fra punktet til linjen er nøyaktig lengden på det røde segmentet. Hvis du lager en tegning på rutete papir i en skala på 1 enhet. \u003d 1 cm (2 celler), så kan avstanden måles med en vanlig linjal.

Vurder en annen oppgave i henhold til samme tegning:

Oppgaven er å finne koordinatene til punktet, som er symmetrisk med punktet i forhold til linjen . Jeg foreslår å utføre handlingene på egen hånd, men jeg vil skissere løsningsalgoritmen med mellomresultater:

1) Finn en linje som er vinkelrett på en linje.

2) Finn skjæringspunktet mellom linjene: .

Begge handlingene diskuteres i detalj i denne leksjonen.

3) Punktet er midtpunktet i segmentet. Vi kjenner koordinatene til midten og en av endene. Av formler for koordinatene til midten av segmentet finne.

Det vil ikke være overflødig å kontrollere at avstanden også er lik 2,2 enheter.

Vanskeligheter her kan oppstå i beregninger, men i tårnet hjelper en mikrokalkulator mye, slik at du kan telle vanlige brøker. Har gitt råd mange ganger og vil anbefale igjen.

Hvordan finne avstanden mellom to parallelle linjer?

Eksempel 9

Finn avstanden mellom to parallelle linjer

Dette er nok et eksempel på en uavhengig løsning. Et lite hint: det er uendelig mange måter å løse på. Debriefing på slutten av leksjonen, men prøv å gjette selv, jeg tror du klarte å spre oppfinnsomheten din godt.

Vinkel mellom to linjer

Uansett hjørne, så jamben:


I geometri er vinkelen mellom to rette linjer tatt som den MINDRE vinkelen, hvorav det automatisk følger at den ikke kan være stump. På figuren regnes ikke vinkelen angitt av den røde buen som vinkelen mellom kryssende linjer. Og dens "grønne" nabo eller motsatt orientert crimson hjørne.

Hvis linjene er vinkelrette, kan en hvilken som helst av de 4 vinklene tas som vinkelen mellom dem.

Hvordan er vinklene forskjellige? Orientering. For det første er retningen for å "rulle" hjørnet grunnleggende viktig. For det andre skrives en negativt orientert vinkel med et minustegn, for eksempel hvis .

Hvorfor sa jeg dette? Det ser ut til at du kan klare deg med det vanlige konseptet med en vinkel. Faktum er at i formlene som vi vil finne vinklene med, kan et negativt resultat lett oppnås, og dette bør ikke overraske deg. En vinkel med et minustegn er ikke verre, og har en veldig spesifikk geometrisk betydning. På tegningen for en negativ vinkel er det viktig å angi orienteringen (med klokken) med en pil.

Hvordan finne vinkelen mellom to linjer? Det er to arbeidsformler:

Eksempel 10

Finn vinkelen mellom linjene

Løsning og Metode én

Tenk på to rette linjer gitt av ligninger i generell form:

Hvis rett ikke vinkelrett, deretter orientert vinkelen mellom dem kan beregnes ved hjelp av formelen:

La oss følge nøye med på nevneren - dette er nøyaktig skalært produkt retningsvektorer for rette linjer:

Hvis , så forsvinner nevneren til formelen, og vektorene vil være ortogonale og linjene vil være vinkelrette. Det er derfor tatt forbehold om at linjene i formuleringen ikke er vinkelrett.

Basert på det foregående er løsningen praktisk formalisert i to trinn:

1) Beregn skalarproduktet av retningsvektorer av rette linjer:
så linjene er ikke vinkelrette.

2) Vi finner vinkelen mellom linjene ved formelen:

Ved å bruke den omvendte funksjonen er det enkelt å finne selve vinkelen. I dette tilfellet bruker vi oddeligheten til buetangensen (se fig. Grafer og egenskaper til elementære funksjoner):

Svar:

I svaret angir vi den nøyaktige verdien, samt den omtrentlige verdien (gjerne både i grader og i radianer), beregnet ved hjelp av en kalkulator.

Vel, minus, så minus, det er greit. Her er en geometrisk illustrasjon:

Det er ikke overraskende at vinkelen viste seg å ha en negativ orientering, fordi i tilstanden til problemet er det første tallet en rett linje og "vridningen" av vinkelen begynte nøyaktig fra den.

Hvis du virkelig ønsker å få en positiv vinkel, må du bytte de rette linjene, det vil si ta koeffisientene fra den andre ligningen , og ta koeffisientene fra den første ligningen. Kort sagt, du må begynne med en direkte .

Definisjon. Hvis to linjer er gitt y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, vil den spisse vinkelen mellom disse linjene bli definert som

To linjer er parallelle hvis k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette hvis k 1 = -1/ k 2 .

Teorem. De rette linjene Ax + Vy + C \u003d 0 og A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 er parallelle når koeffisientene A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB er proporsjonale. Hvis også С 1 = λС, så faller linjene sammen. Koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer er funnet som en løsning på likningssystemet til disse linjene.

Ligning av en linje som går gjennom et gitt punkt

Vinkelrett på denne linjen

Definisjon. Linjen som går gjennom punktet M 1 (x 1, y 1) og vinkelrett på linjen y \u003d kx + b er representert av ligningen:

Avstand fra punkt til linje

Teorem. Hvis et punkt M(x 0, y 0) er gitt, er avstanden til linjen Ax + Vy + C \u003d 0 definert som

.

Bevis. La punktet M 1 (x 1, y 1) være bunnen av perpendikulæren som faller fra punktet M til den gitte linjen. Da er avstanden mellom punktene M og M 1:

(1)

x 1 og y 1 koordinatene kan bli funnet som en løsning på likningssystemet:

Den andre ligningen i systemet er ligningen av en rett linje som går gjennom et gitt punkt M 0 vinkelrett på en gitt rett linje. Hvis vi transformerer den første ligningen i systemet til formen:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,

så når vi løser, får vi:

Ved å erstatte disse uttrykkene i ligning (1), finner vi:

Teoremet er bevist.

Eksempel. Bestem vinkelen mellom linjene: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Eksempel. Vis at linjene 3x - 5y + 7 = 0 og 10x + 6y - 3 = 0 er vinkelrett.

Løsning. Vi finner: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, derfor er linjene vinkelrette.

Eksempel. Toppunktene til trekanten A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) er gitt. Finn ligningen for høyden trukket fra toppunktet C.

Løsning. Vi finner ligningen til siden AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Ønsket høydeligning er: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b. k = . Da er y = . Fordi høyden går gjennom punkt C, så tilfredsstiller koordinatene denne ligningen: hvorfra b = 17. Totalt:.

Svar: 3x + 2y - 34 = 0.

Ligning av en linje som går gjennom et gitt punkt i en gitt retning. Ligning av en rett linje som går gjennom to gitte punkter. Vinkel mellom to linjer. Tilstand for parallellitet og perpendikularitet av to linjer. Bestemme skjæringspunktet mellom to linjer

1. Ligning av en linje som går gjennom et gitt punkt EN(x 1 , y 1) i en gitt retning, bestemt av helningen k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Denne ligningen definerer en blyant av linjer som går gjennom et punkt EN(x 1 , y 1), som kalles midten av strålen.

2. Ligning av en rett linje som går gjennom to punkter: EN(x 1 , y 1) og B(x 2 , y 2) er skrevet slik:

Helningen til en rett linje som går gjennom to gitte punkter, bestemmes av formelen

3. Vinkel mellom rette linjer EN og B er vinkelen som den første rette linjen må roteres med EN rundt skjæringspunktet for disse linjene mot klokken til det faller sammen med den andre linjen B. Hvis to linjer er gitt ved helningsligninger

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

da bestemmes vinkelen mellom dem av formelen

Det skal bemerkes at i telleren av brøken trekkes helningen til den første rette linjen fra helningen til den andre rette linjen.

Hvis likningene til en rett linje er gitt i generell form

EN 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

EN 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

vinkelen mellom dem bestemmes av formelen

4. Betingelser for parallellitet av to linjer:

a) Hvis linjene er gitt av ligningene (4) med en helning, så er den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for deres parallellitet likheten til deres helninger:

k 1 = k 2 . (8)

b) For tilfellet når linjene er gitt ved ligninger i generell form (6), er den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for deres parallellitet at koeffisientene ved de tilsvarende gjeldende koordinatene i deres ligninger er proporsjonale, dvs.

5. Betingelser for vinkelrett på to linjer:

a) I tilfellet når linjene er gitt av ligningene (4) med en helning, er den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for deres perpendikularitet at deres helninger er gjensidige i størrelse og motsatte i fortegn, dvs.

Denne betingelsen kan også skrives i skjemaet

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Hvis likningene til rette linjer er gitt i generell form (6), så er betingelsen for deres perpendikularitet (nødvendig og tilstrekkelig) å oppfylle likheten

EN 1 EN 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer finner man ved å løse ligningssystemet (6). Linjer (6) krysser hvis og bare hvis

1. Skriv likningene til linjene som går gjennom punktet M, hvorav den ene er parallell og den andre er vinkelrett på den gitte linjen l.

hjørne mellom rette linjer i rommet vil vi kalle noen av de tilstøtende vinklene dannet av to rette linjer trukket gjennom et vilkårlig punkt parallelt med dataene.

La to rette linjer gis i rommet:

Åpenbart kan vinkelen φ mellom linjene tas som vinkelen mellom retningsvektorene deres og . Siden , da i henhold til formelen for cosinus til vinkelen mellom vektorene får vi

Betingelsene for parallellitet og perpendikularitet til to linjer er ekvivalent med betingelsene for parallellitet og perpendikularitet til retningsvektorene deres og:

To rette er parallelle hvis og bare hvis deres respektive koeffisienter er proporsjonale, dvs. l 1 parallell l 2 hvis og bare hvis parallell .

To rette vinkelrett hvis og bare hvis summen av produktene til de tilsvarende koeffisientene er lik null: .

På mål mellom linje og fly

La linjen d- ikke vinkelrett på planet θ;
d′− projeksjon av en rett linje d til planet θ;
Den minste av vinklene mellom rette linjer d og d"Vi ringer vinkel mellom linje og plan.
La oss betegne det som φ=( d,θ)
Hvis en d⊥θ , deretter ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− rektangulært koordinatsystem.
Planligning:

θ: Øks+Av+cz+D=0

Vi anser at linjen er gitt av et punkt og en retningsvektor: d[M 0,s→]
Vektor n→(EN,B,C)⊥θ
Så gjenstår det å finne ut vinkelen mellom vektorene n→ og s→, angi det som γ=( n→,s→).

Hvis vinkelen γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Hvis vinkelen γ>π/2 , så er den nødvendige vinkelen φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Deretter, vinkel mellom linje og plan kan beregnes ved hjelp av formelen:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √EN 2+B 2+C 2√s 21+s 22+s 23

Spørsmål 29. Konseptet med en kvadratisk form. Tegnbestemtheten til kvadratiske former.

Kvadratisk form j (x 1, x 2, ..., x n) n reelle variabler x 1, x 2, ..., x n kalles summen av formen
, (1)

hvor aij er noen tall som kalles koeffisienter. Uten tap av generalitet kan vi anta det aij = en ji.

Den kvadratiske formen kalles gyldig, hvis aij О GR. Matrise av kvadratisk form kalles matrisen som består av koeffisientene. Kvadratisk form (1) tilsvarer en unik symmetrisk matrise
dvs. A T = A. Derfor kan kvadratisk form (1) skrives i matriseform j ( X) = x T Ah, hvor x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Og omvendt, enhver symmetrisk matrise (2) tilsvarer en unik kvadratisk form opp til notasjonen av variabler.

Rangeringen av den kvadratiske formen kalles rangeringen av matrisen. Den kvadratiske formen kalles ikke-degenerert, hvis matrisen er ikke-singular MEN. (husk at matrisen MEN kalles ikke-degenerert hvis determinanten er ikke-null). Ellers er den kvadratiske formen degenerert.

positiv bestemt(eller strengt tatt positiv) hvis

j ( X) > 0 , for alle X = (X 1 , X 2 , …, x n), I tillegg X = (0, 0, …, 0).

Matrise MEN positiv bestemt kvadratisk form j ( X) kalles også positiv bestemt. Derfor tilsvarer en positiv bestemt kvadratisk form en unik positiv bestemt matrise og omvendt.

Den kvadratiske formen (1) kalles negativt klart(eller strengt tatt negativ) hvis

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), Dessuten X = (0, 0, …, 0).

På samme måte som ovenfor kalles en negativ-definitiv kvadratisk matrise også negativ-definitiv.

Derfor, en positivt (negativt) bestemt kvadratisk form j ( X) når minimum (maksimum) verdi j ( X*) = 0 for X* = (0, 0, …, 0).

Merk at de fleste kvadratiske formene ikke er tegnbestemte, det vil si at de verken er positive eller negative. Slike kvadratiske former forsvinner ikke bare ved opprinnelsen til koordinatsystemet, men også på andre punkter.

Når n> 2, kreves det spesielle kriterier for å kontrollere fortegnsbestemtheten til en kvadratisk form. La oss vurdere dem.

Store mindreårige kvadratisk form kalles mindreårige:

det vil si at dette er mindreårige av orden 1, 2, …, n matriser MEN, plassert i øvre venstre hjørne, den siste av dem sammenfaller med determinanten til matrisen MEN.

Kriterium for positiv bestemthet (Sylvester-kriterium)

X) = x T Ah er positiv definitivt, er det nødvendig og tilstrekkelig at alle hovedminorer i matrisen MEN var positive, det vil si: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Kriterium for negativ sikkerhet For at den kvadratiske formen j ( X) = x T Ah er negativ bestemt, er det nødvendig og tilstrekkelig at dens viktigste mindreårige av partall er positive, og de av oddetall er negative, dvs.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

en. La det gis to linjer Disse linjene, som det ble antydet i kapittel 1, danner ulike positive og negative vinkler, som i dette tilfellet kan være både spisse og stumpe. Når vi kjenner en av disse vinklene, kan vi enkelt finne andre.

For alle disse vinklene er den numeriske verdien av tangenten den samme, forskjellen kan bare være i tegnet

Ligninger av linjer. Tallene er projeksjonene av retningsvektorene til den første og andre linjen Vinkelen mellom disse vektorene er lik en av vinklene som dannes av rette linjer. Derfor er problemet redusert til å bestemme vinkelen mellom vektorene, får vi

For enkelhets skyld kan vi bli enige om en vinkel mellom to rette linjer for å forstå en spiss positiv vinkel (som for eksempel i fig. 53).

Da vil tangenten til denne vinkelen alltid være positiv. Således, hvis et minustegn oppnås på høyre side av formel (1), må vi forkaste det, dvs. bare beholde den absolutte verdien.

Eksempel. Bestem vinkelen mellom linjene

Ved formel (1) har vi

Med. Hvis det er indikert hvilken av sidene av vinkelen som er dens begynnelse og hvilken som er slutten, kan vi, når vi alltid teller retningen til vinkelen mot klokken, trekke ut noe mer fra formler (1). Som det er lett å se av fig. 53 tegnet på høyre side av formelen (1) vil indikere hvilken - spiss eller stump - vinkelen danner den andre linjen med den første.

(Faktisk, fra fig. 53 ser vi at vinkelen mellom den første og andre retningsvektoren enten er lik den ønskede vinkelen mellom linjene, eller skiller seg fra den med ±180°.)

d. Hvis linjene er parallelle, er retningsvektorene deres også parallelle. Ved å anvende betingelsen for parallellitet til to vektorer, får vi!

Dette er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for at to linjer skal være parallelle.

Eksempel. Direkte

er parallelle fordi

e. Hvis linjene er vinkelrette, er retningsvektorene deres også vinkelrette. Ved å anvende betingelsen for perpendikularitet til to vektorer, får vi tilstanden for perpendikularitet til to linjer, nemlig

Eksempel. Direkte

vinkelrett pga

I forbindelse med betingelsene for parallellitet og perpendikularitet vil vi løse følgende to problemer.

f. Tegn en linje parallelt med en gitt linje gjennom et punkt

Avgjørelsen er tatt slik. Siden den ønskede linjen er parallell med den gitte, kan vi for dens retningsvektor ta den samme som den for den gitte linjen, dvs. en vektor med projeksjoner A og B. Og så vil ligningen til den ønskede linjen bli skrevet i formen (§ 1)

Eksempel. Ligning av en rett linje som går gjennom et punkt (1; 3) parallelt med en rett linje

blir neste!

g. Tegn en linje gjennom et punkt vinkelrett på den gitte linjen

Her er det ikke lenger egnet å ta en vektor med projeksjoner A og som en retningsvektor, men det er nødvendig å vinne en vektor vinkelrett på denne. Projeksjonene til denne vektoren må derfor velges i henhold til betingelsen om at begge vektorene er vinkelrette, dvs. i henhold til tilstanden

Denne betingelsen kan oppfylles på et uendelig antall måter, siden det her er én ligning med to ukjente. Men den enkleste måten er å ta den. Da vil ligningen til den ønskede rette linjen skrives på formen

Eksempel. Ligning av en linje som går gjennom et punkt (-7; 2) i en vinkelrett linje

vil være følgende (i henhold til den andre formelen)!

h. I tilfellet når linjene er gitt ved formlikninger

Instruksjon

Merk

Perioden for den trigonometriske funksjonstangensen er 180 grader, noe som betyr at helningsvinklene til de rette linjene ikke kan overskride denne verdien i absolutt verdi.

Nyttige råd

Hvis helningskoeffisientene er lik hverandre, er vinkelen mellom slike linjer 0, siden slike linjer enten sammenfaller eller er parallelle.

For å bestemme vinkelen mellom de kryssende linjene, er det nødvendig å overføre begge linjene (eller en av dem) til en ny posisjon ved metoden for parallell overføring til krysset. Etter det bør du finne vinkelen mellom de resulterende kryssende linjene.

Du vil trenge

• Linjal, rettvinklet trekant, blyant, gradskive.

Instruksjon

Så la vektoren V = (a, b, c) og planet A x + B y + C z = 0 gis, hvor A, B og C er koordinatene til normalen N. Deretter cosinus til vinkelen α mellom vektorene V og N er: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

For å beregne verdien av vinkelen i grader eller radianer, må du beregne funksjonen invers til cosinus fra det resulterende uttrykket, dvs. arccosine: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Eksempel: finn hjørne mellom vektor(5, -3, 8) og flyet, gitt ved den generelle ligningen 2 x - 5 y + 3 z = 0. Løsning: skriv ned koordinatene til normalvektoren til planet N = (2, -5, 3). Bytt alle kjente verdier inn i formelen ovenfor: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Relaterte videoer

En rett linje som har ett felles punkt med en sirkel er tangent til sirkelen. Et annet trekk ved tangenten er at den alltid er vinkelrett på radien trukket til kontaktpunktet, det vil si at tangenten og radien danner en rett linje hjørne. Hvis to tangenter til sirkelen AB og AC trekkes fra ett punkt A, er de alltid like hverandre. Definisjon av vinkelen mellom tangenter ( hjørne ABC) er produsert ved hjelp av Pythagoras teorem.

Instruksjon

For å bestemme vinkelen, må du vite radiusen til sirkelen OB og OS og avstanden til startpunktet til tangenten fra sentrum av sirkelen - O. Så, vinklene ABO og ACO er like, radius OB, for eksempel 10 cm, og avstanden til sentrum av sirkelen AO er 15 cm. Bestem lengden på tangenten med formel i samsvar med Pythagoras teoremet: AB \u003d kvadratroten av AO2 - OB2 eller 152 - 102 \u003d 225 - 100 \u003d 125;