Lineære og homogene differensialligninger av første orden. Løsningseksempler
Homogen differensialligning av første orden
er en formlikning
, hvor f er en funksjon.
Hvordan definere en homogen differensialligning
For å bestemme om en førsteordens differensialligning er homogen, må man innføre en konstant t og erstatte y med ty og x med tx : y → ty , x → tx . Hvis t reduseres, så dette homogen differensialligning. Den deriverte y′ endres ikke under en slik transformasjon.
.
Eksempel
Bestem om den gitte ligningen er homogen
Løsning
Vi gjør endringen y → ty , x → tx .
Del med t 2
.
.
Ligningen inneholder ikke t . Derfor er dette en homogen ligning.
Metode for å løse en homogen differensialligning
En homogen førsteordens differensialligning reduseres til en ligning med separerbare variabler ved å bruke substitusjonen y = ux . La oss vise det. Tenk på ligningen:
(Jeg)
Vi gjør en erstatning:
y=ux
hvor u er en funksjon av x . Differensiere med hensyn til x:
y' =
Vi erstatter inn i den opprinnelige ligningen (Jeg).
,
,
(ii) .
Separate variabler. Multipliser med dx og del på x ( f(u) - u ).
For f (u) - u ≠ 0 og x ≠ 0
vi får:
Vi integrerer:
Dermed har vi fått det generelle integralet til ligningen (Jeg) i firkanter:
Vi erstatter integrasjonskonstanten C med logg C, deretter
Vi utelater fortegnet for modulen, siden det ønskede tegnet bestemmes av valget av tegnet til konstanten C . Da vil det generelle integralet ha formen:
Vurder deretter saken f (u) - u = 0.
Hvis denne ligningen har røtter, er de en løsning på ligningen (ii). Siden ligningen (ii) ikke sammenfaller med den opprinnelige ligningen, bør du sørge for at flere løsninger tilfredsstiller den opprinnelige ligningen (Jeg).
Når som helst, i prosessen med transformasjoner, deler vi enhver ligning med en funksjon, som vi betegner som g (x, y), da er de videre transformasjonene gyldige for g (x, y) ≠ 0. Derfor er saken g (x, y) = 0.
Et eksempel på løsning av en førsteordens homogen differensialligning
løse ligningen
Løsning
La oss sjekke om denne ligningen er homogen. Vi gjør endringen y → ty , x → tx . I dette tilfellet, y′ → y′.
,
,
.
Vi reduserer med t.
Konstanten t er redusert. Derfor er ligningen homogen.
Vi gjør en substitusjon y = ux , der u er en funksjon av x .
y' = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
Erstatter i den opprinnelige ligningen.
,
,
,
.
For x ≥ 0
, |x| =x. For x ≤ 0
, |x| = - x . Vi skriver |x| = x betyr at det øvre tegnet refererer til verdier x ≥ 0
, og den nederste - til verdiene x ≤ 0
.
,
Multipliser med dx og del på .
For deg 2 - 1 ≠ 0
vi har:
Vi integrerer:
Tabellintegraler,
.
La oss bruke formelen:
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2.
La a = u,.
.
Ta begge delene modulo og logaritme,
.
Herfra
.
Dermed har vi:
,
.
Vi utelater fortegnet for modulen, siden det nødvendige tegnet er gitt ved å velge tegnet til konstanten C .
Multipliser med x og erstatt ux = y .
,
.
La oss kvadrere det.
,
,
.
Vurder nå saken, u 2 - 1 = 0
.
Røttene til denne ligningen
.
Det er lett å se at funksjonene y = x tilfredsstiller den opprinnelige ligningen.
Svar
,
,
.
Referanser:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Samling av problemer i høyere matematikk, Lan, 2003.
Homogen
I denne leksjonen skal vi se på den såkalte homogene differensialligninger av første orden. Sammen med separerbare variabellikninger og lineære inhomogene ligninger denne typen kontroll finnes i nesten ethvert kontrollarbeid om temaet diffuser. Hvis du gikk inn på siden fra en søkemotor eller ikke er veldig trygg på differensialligninger, anbefaler jeg først på det sterkeste at du utarbeider en innledende leksjon om emnet - Første ordens differensialligninger. Faktum er at mange prinsipper for å løse homogene ligninger og teknikkene som brukes vil være nøyaktig de samme som for de enkleste ligningene med separerbare variabler.
Hva er forskjellen mellom homogene differensialligninger og andre typer DE? Dette er lettest å forklare med en gang med et konkret eksempel.
Eksempel 1
Løsning:
Hva først av alt bør analyseres når man bestemmer seg noen differensial ligning første orden? Først av alt er det nødvendig å sjekke om det er mulig å umiddelbart skille variablene ved å bruke "skole"-handlinger? Vanligvis utføres en slik analyse mentalt eller prøver å skille variablene i et utkast.
I dette eksemplet variabler kan ikke skilles(du kan prøve å snu begrepene fra del til del, ta faktorer ut av parentes osv.). Forresten, i dette eksemplet er det faktum at variablene ikke kan deles ganske åpenbart på grunn av tilstedeværelsen av faktoren .
Spørsmålet oppstår - hvordan løser man denne diffuren?
Må sjekke og Er denne ligningen homogen?? Verifikasjonen er enkel, og selve verifikasjonsalgoritmen kan formuleres som følger:
Til den opprinnelige ligningen:
i stedet for erstatning , i stedet for erstatning , ikke rør derivatet:
Bokstaven lambda er en betinget parameter, og her spiller den følgende rolle: hvis det, som et resultat av transformasjoner, er mulig å "ødelegge" ALLE lambdaer og få den opprinnelige ligningen, så er denne differensialligningen er homogen.
Åpenbart kansellerer lambdaene umiddelbart i eksponenten: 
Nå, på høyre side, tar vi lambdaen ut av parentes: 
og del begge deler med samme lambda:
Som et resultat alle lambdaene forsvant som en drøm, som en morgentåke, og vi fikk den opprinnelige ligningen.
Konklusjon: Denne ligningen er homogen
Hvordan løse en homogen differensialligning?
Jeg har veldig gode nyheter. Absolutt alle homogene ligninger kan løses med en enkelt (!) standard erstatning.
"y"-funksjonen skal erstatte arbeid noen funksjon (også avhengig av "x") og "x":
Skriv nesten alltid kort:
Vi finner ut hva derivatet blir til med en slik erstatning, vi bruker regelen for å differensiere et produkt. Hvis da:
Bytt inn i den opprinnelige ligningen:
Hva vil en slik erstatning gi? Etter denne utskiftingen og de forenklingene som er gjort, har vi garantert vi får en ligning med separerbare variabler. HUSKE som første kjærlighet :) og følgelig .
Etter bytte gjør vi maksimale forenklinger: 
Siden er en funksjon som avhenger av "x", kan dens deriverte skrives som en standardbrøk: .
På denne måten:
Vi skiller variablene, mens på venstre side trenger du bare å samle "te", og på høyre side - bare "x":
Variablene er separert, vi integrerer: 
I følge mitt første tekniske tips fra artikkelen Første ordens differensialligninger i mange tilfeller er det hensiktsmessig å "formulere" en konstant i form av en logaritme.
Etter at ligningen er integrert, må du utføre omvendt substitusjon, den er også standard og unik:
Hvis da
I dette tilfellet:
I 18-19 tilfeller av 20 skrives løsningen av den homogene ligningen som en generell integral.
Svar: generell integral: 
Hvorfor er svaret på en homogen ligning nesten alltid gitt som et generelt integral?
I de fleste tilfeller er det umulig å uttrykke "y" i en eksplisitt form (for å få en generell løsning), og hvis det er mulig, viser den generelle løsningen seg som oftest å være tungvint og klønete.
Så, for eksempel, i det betraktede eksemplet, kan den generelle løsningen oppnås ved å henge logaritmer på begge deler av det generelle integralet: 
- Vel, fortsatt greit. Skjønt, skjønner du, den er fortsatt skjev.
Forresten, i dette eksemplet skrev jeg ikke helt "anstendig" ned den generelle integralen. Det er ikke en feil, men i en "god" stil, minner jeg deg på, er det vanlig å skrive det generelle integralet i formen . For å gjøre dette, umiddelbart etter integrering av ligningen, bør konstanten skrives uten logaritme (Det er unntaket fra regelen!):
Og etter omvendt erstatning, få den generelle integralen i den "klassiske" formen: 
Det mottatte svaret kan kontrolleres. For å gjøre dette må du skille det generelle integralet, det vil si finne avledet av en funksjon definert implisitt:
Bli kvitt brøkene ved å multiplisere hver side av ligningen med: 
Den opprinnelige differensialligningen er oppnådd, noe som betyr at løsningen er funnet riktig.
Det er lurt å alltid sjekke. Men homogene ligninger er ubehagelige fordi det vanligvis er vanskelig å sjekke deres generelle integraler - dette krever en veldig, veldig anstendig differensieringsteknikk. I det vurderte eksemplet, under verifiseringen, var det allerede nødvendig å ikke finne de enkleste derivatene (selv om eksemplet i seg selv er ganske enkelt). Hvis du kan sjekke det, sjekk det ut!
Eksempel 2
Sjekk ligningen for homogenitet og finn dens generelle integral. 
Skriv svaret i skjemaet
Dette er et eksempel for en uavhengig beslutning - slik at du blir vant til selve handlingsalgoritmen. Sjekk i ro og mak, fordi. her er det ganske komplisert, og jeg begynte ikke engang å ta det med, ellers kommer du ikke lenger til en slik galning :)
Og nå det lovede viktige punktet, nevnt helt i begynnelsen av emnet,
med fete svarte bokstaver:
Hvis vi i løpet av transformasjoner "tilbakestiller" faktoren (ikke en konstant)til nevneren, så RISIKERE vi å miste løsninger!
Og faktisk møtte vi dette i det aller første eksemplet. innledende leksjon om differensialligninger. I prosessen med å løse ligningen viste "y" seg å være i nevneren: , men er åpenbart en løsning på DE, og som et resultat av en ikke-ekvivalent transformasjon (divisjon) er det alle muligheter å miste det! En annen ting er at den kom inn i den generelle løsningen med nullverdi av konstanten. Tilbakestilling av "x" til nevneren kan også ignoreres, fordi tilfredsstiller ikke den originale diffuse.
En lignende historie med den tredje ligningen i samme leksjon, under løsningen som vi "droppet" inn i nevneren. Her var det strengt tatt nødvendig å sjekke om den gitte diffurasjonen er en løsning? Tross alt er det det! Men selv her "fungerte alt", siden denne funksjonen gikk inn i det generelle integralet 
kl.
Og hvis dette ofte er tilfelle med "separerbare" ligninger;) "ruller den", så med homogene og andre diffurer kan den "ikke rulle". Med stor sannsynlighet.
La oss analysere problemene som allerede er løst i denne leksjonen: Eksempel 1 det var en "tilbakestilling" av x, men det kan ikke være en løsning på ligningen. Men i eksempel 2 vi delte inn i 
, men også dette "slapp unna": siden løsningene ikke kunne gå tapt, eksisterer de rett og slett ikke her. Men selvfølgelig arrangerte jeg «lykkesakene» med vilje, og det er ikke et faktum at de vil komme over i praksis:
Eksempel 3
Løs differensialligning 
Er ikke det et enkelt eksempel? ;-)
Løsning: homogeniteten til denne ligningen er åpenbar, men likevel - på første trinn Sjekk ALLTID om variabler kan skilles. For ligningen er også homogen, men variablene i den er stille atskilt. Ja, det er noen!
Etter å ha sjekket for "separerbarhet", gjør vi en erstatning og forenkler ligningen så mye som mulig: 
Vi skiller variablene, til venstre samler vi "te", til høyre - "x": 
Og her er STOPP. Ved å dele på risikerer vi å miste to funksjoner samtidig. Siden , så er disse funksjonene: 
Den første funksjonen er åpenbart en løsning på ligningen . Vi sjekker den andre - vi erstatter dens derivat med diffuren vår: 
- riktig likhet oppnås, som betyr at funksjonen er en løsning.
Og vi risikerer å miste disse beslutningene.
I tillegg var nevneren "X", substitusjonen innebærer imidlertid at den ikke er null. Husk dette faktum. Men! Sørg for å sjekke, om er en løsning på ORIGINAL differensialligningen. Nei det er det ikke.
La oss notere alt dette og fortsette: 
Det skal sies at vi var heldige med integralen til venstresiden, det skjer mye verre.
Vi samler en enkelt logaritme på høyre side, og tilbakestiller sjaklene: 
Og akkurat nå den omvendte erstatningen:
Multipliser alle ledd med:
Nå for å sjekke - om «farlige» løsninger inngår i den generelle integralen. Ja, begge løsningene er inkludert i det generelle integralet ved nullverdien til konstanten: , så de trenger ikke å angis i tillegg i svar:
generell integral:
Undersøkelse. Ikke en gang en test, men ren nytelse :) 
Den opprinnelige differensialligningen er oppnådd, noe som betyr at løsningen er funnet riktig.
For en frittstående løsning:
Eksempel 4
Utfør en homogenitetstest og løs differensialligningen 
Det generelle integralet kan kontrolleres ved differensiering.
Full løsning og svar på slutten av timen.
Tenk på et par eksempler hvor en homogen likning er gitt med ferdige differensialer.
Eksempel 5
Løs differensialligning
Dette er et veldig interessant eksempel, bare en hel thriller!
Løsning Vi skal venne oss til å gjøre det mer kompakt. Først, mentalt eller på et utkast, sørger vi for at variablene ikke kan deles her, deretter sjekker vi for enhetlighet - det utføres vanligvis ikke på en ren kopi (med mindre det er spesielt nødvendig). Dermed begynner nesten alltid løsningen med oppføringen: " Denne ligningen er homogen, la oss erstatte: ...».
Hvis en homogen ligning inneholder ferdige differensialer, kan den løses ved en modifisert substitusjon:
Men jeg anbefaler ikke å bruke en slik erstatning, siden det vil vise seg å være den kinesiske mur av differensialer, hvor du trenger et øye og et øye. Fra et teknisk synspunkt er det mer fordelaktig å bytte til den "stiplede" betegnelsen på derivatet, for dette deler vi alle vilkårene i ligningen med: 
Og allerede her har vi gjort en "farlig" transformasjon! Nulldifferensialet tilsvarer - en familie av linjer parallelle med aksen. Er de røttene til vår DU? Bytt inn i den opprinnelige ligningen: 
Denne likheten er sann hvis, det vil si at når vi deler på risikerte vi å miste løsningen, og vi mistet den- fordi det tilfredsstiller ikke lenger den resulterende ligningen 
.
Det skal bemerkes at hvis vi opprinnelig ligningen ble gitt , da ville roten være uaktuelt. Men vi har det, og vi "fanget" det i tide.
Vi fortsetter løsningen med en standard erstatning:
:
Etter substitusjon forenkler vi ligningen så mye som mulig: 
Separere variabler:
Og her igjen STOPP: Når vi deler på risikerer vi å miste to funksjoner. Siden , så er disse funksjonene: 
Den første funksjonen er åpenbart en løsning på ligningen . Vi sjekker den andre - vi erstatter og dens derivat: 
- mottatt ekte likestilling, så funksjonen er også en løsning av differensialligningen.
Og når vi deler på risikerer vi å miste disse løsningene. Imidlertid kan de inngå en felles integral. Men de kommer kanskje ikke inn.
La oss ta dette til etterretning og integrere begge deler: 
Integralet til venstre side løses standard ved hjelp av valg av en hel firkant, men i diffusorer er det mye mer praktisk å bruke metode for ubestemte koeffisienter:
Ved å bruke metoden med ubestemte koeffisienter utvider vi integranden til en sum av elementære brøker: 
På denne måten: 
Vi finner integraler: 
- siden vi kun har tegnet logaritmer, skyver vi også konstanten under logaritmen.
Før utskifting forenkle igjen alt som kan forenkles:
Slippe kjeder:
Og omvendt erstatning:
Nå husker vi "tapene": løsningen gikk inn i det generelle integralet ved , men - "fløy forbi kassaapparatet", fordi dukket opp i nevneren. Derfor tildeles det i svaret en egen frase, og ja - ikke glem den tapte avgjørelsen, som forresten også viste seg å ligge i bunnen.
Svar: generell integral: 
. Flere løsninger:
Det er ikke så vanskelig å uttrykke den generelle løsningen her:
, men dette er allerede show-off.
Men praktisk for testing. La oss finne den deriverte:
og erstatter 
til venstre side av ligningen:
– som et resultat ble høyre side av ligningen oppnådd, som måtte kontrolleres.
Følgende diffur er alene:
Eksempel 6
Løs differensialligning 
Full løsning og svar på slutten av timen. Prøv samtidig for trening og uttrykk den generelle løsningen her.
I den siste delen av leksjonen vil vi vurdere et par mer karakteristiske oppgaver om emnet:
Eksempel 7
Løs differensialligning 
Løsning: La oss gå allfarvei. Denne ligningen er homogen, la oss endre: 
Med "x" er alt i orden, men hva med kvadrattrinomialet? Siden det er uoppløselig i faktorer: , så mister vi definitivt ikke løsninger. Det ville alltid vært slik! Velg hele firkanten på venstre side og integrer:
Det er ingenting å forenkle her, og derfor omvendt erstatning: 
Svar: generell integral: 
Eksempel 8
Løs differensialligning 
Dette er et gjør-det-selv eksempel.
Så:
For ikke-ekvivalente konverteringer, sjekk ALLTID (i det minste verbalt), mister du ikke avgjørelsene dine! Hva er disse transformasjonene? Som regel reduksjon med noe eller divisjon med noe. Så når du for eksempel deler med, må du sjekke om funksjonene er løsninger av en differensialligning. Samtidig, når deling med behovet for en slik sjekk allerede forsvinner - på grunn av det faktum at denne divisoren ikke forsvinner.
Her er en annen farlig situasjon:
Her, å bli kvitt , bør man sjekke om det er en løsning på DE. Ofte er "x", "y" funnet som en slik faktor, og ved å redusere med dem, mister vi funksjoner som kan vise seg å være løsninger.
På den annen side, hvis noe i utgangspunktet er i nevneren, så er det ingen grunn til en slik bekymring. Så, i en homogen ligning, trenger du ikke å bekymre deg for funksjonen, siden den er "erklært" i nevneren.
De oppførte finessene mister ikke sin relevans, selv om det er nødvendig å finne bare en bestemt løsning i problemet. Det er en liten, men en sjanse for at vi mister akkurat den nødvendige løsningen. Sannhet Cauchy problem i praktiske oppgaver med homogene ligninger, etterspørres det ganske sjelden. Det er imidlertid slike eksempler i artikkelen Ligninger som reduserer til homogene, som jeg anbefaler å studere "in hot pursuit" for å konsolidere løsningsferdighetene dine.
Det er også mer komplekse homogene ligninger. Vanskeligheten ligger ikke i endringen av variabel eller forenklinger, men i de ganske vanskelige eller sjeldne integralene som oppstår som et resultat av separasjonen av variabler. Jeg har eksempler på løsninger på slike homogene ligninger – stygge integraler og stygge svar. Men vi vil ikke snakke om dem, for i de neste leksjonene (se nedenfor) Jeg har fortsatt tid til å torturere deg, jeg vil se deg frisk og optimistisk!
Vellykket promotering!
Løsninger og svar:
Eksempel 2: Løsning: sjekk ligningen for homogenitet, for dette, i den opprinnelige ligningen i stedet for la oss sette , og i stedet for la oss erstatte: 
Som et resultat oppnås den opprinnelige ligningen, noe som betyr at denne DE er homogen.
For å løse en homogen differensialligning av 1. orden brukes substitusjonen u=y/x, det vil si at u er en ny ukjent funksjon som er avhengig av x. Derfor y=ux. Vi finner den deriverte y’ ved å bruke produktdifferensieringsregelen: y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (siden x’=1). For en annen form for skriving: dy=udx+xdu Etter substitusjon forenkler vi likningen og kommer frem til en likning med separerbare variabler.
Eksempler på løsning av homogene differensialligninger av 1. orden.
1) Løs ligningen
Vi sjekker at denne ligningen er homogen (se Hvordan definere en homogen ligning). Forsikre oss om at vi gjør erstatningen u=y/x, hvorfra y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Erstatning: u'x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Siden logaritmen til et produkt er lik summen av logaritmer, ln(ux)=lnu+lnx. Herfra
u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). Etter å ha brakt lignende termer: u'x+u=u(1+lnu). Utvid nå parentesene
u'x+u=u+u lnu. Begge deler inneholder u, derav u'x=u·lnu. Siden u er en funksjon av x, u’=du/dx. Erstatning
Vi fikk en ligning med separerbare variabler. Vi skiller variablene, for hvilke vi multipliserer begge deler med dx og deler på x u lnu, forutsatt at produktet x u lnu≠0
Vi integrerer:
På venstre side er en tabellformet integral. Til høyre gjør vi erstatningen t=lnu, hvorfra dt=(lnu)’du=du/u
ln│t│=ln│x│+C. Men vi har allerede diskutert at i slike ligninger er det mer praktisk å ta ln│C│ i stedet for С. Deretter
ln│t│=ln│x│+ln│C│. Ved egenskapen til logaritmer: ln│t│=ln│Сx│. Derfor t=Cx. (etter betingelse, x>0). Det er på tide å gjøre omvendt erstatning: lnu=Cx. Og en annen omvendt erstatning:
I henhold til egenskapen til logaritmer:
Dette er det generelle integralet til ligningen.
Husk tilstandsproduktet x·u·lnu≠0 (som betyr x≠0,u≠0, lnu≠0, hvorav u≠1). Men x≠0 fra betingelsen forblir u≠1, derav x≠y. Åpenbart er y=x (x>0) inkludert i den generelle løsningen.
2) Finn partialintegralet til ligningen y’=x/y+y/x som tilfredsstiller startbetingelsene y(1)=2.
Først sjekker vi at denne ligningen er homogen (selv om tilstedeværelsen av begrepene y/x og x/y allerede indirekte indikerer dette). Så gjør vi erstatningen u=y/x, hvorfra y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Vi erstatter de resulterende uttrykkene i ligningen:
u'x+u=1/u+u. Forenkling:
u'x=1/u. Siden u er en funksjon av x, u’=du/dx:
Vi fikk en ligning med separerbare variabler. For å skille variablene multipliserer vi begge delene med dx og u og deler på x (x≠0 med betingelsen, derav u≠0 også, noe som betyr at det ikke er tap av beslutninger).
Vi integrerer:
og siden det er tabellintegraler i begge deler, får vi umiddelbart
Utføre en omvendt erstatning:
Dette er det generelle integralet til ligningen. Vi bruker startbetingelsen y(1)=2, det vil si at vi erstatter y=2, x=1 i den resulterende løsningen:
3) Finn det generelle integralet til den homogene ligningen:
(x²-y²)dy-2xydx=0.
Endre u=y/x, hvorfra y=ux, dy=xdu+udx. Vi erstatter:
(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Vi tar x² ut av parentes og deler begge delene med det (forutsatt at x≠0):
x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0
(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Utvid parentesene og forenkle:
xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,
xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Gruppering av termer med du og dx:
(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Vi tar de vanlige faktorene ut av parentes:
x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Separere variabler:
x(1-u²)du=u(u²+1)dx. For å gjøre dette deler vi begge delene av ligningen med xu(u²+1)≠0 (følgelig legger vi til kravene x≠0 (allerede nevnt), u≠0):
Vi integrerer:
På høyre side av ligningen er et tabellformet integral, den rasjonelle brøken på venstre side er dekomponert i enkle faktorer:
(eller i det andre integralet, i stedet for å subsumere under differensialtegnet, var det mulig å gjøre substitusjonen t=1+u², dt=2udu - hvem som liker hvilken vei). Vi får:
I henhold til egenskapene til logaritmene:
Omvendt utskifting
Husk tilstanden u≠0. Derfor y≠0. Når C=0 y=0, er det ingen tap av løsninger, og y=0 er inkludert i det generelle integralet.
Kommentar
Du kan få løsningen i en annen form hvis du lar begrepet stå med x til venstre:
Den geometriske betydningen av integralkurven i dette tilfellet er en familie av sirkler sentrert på Oy-aksen og går gjennom opprinnelsen.
Oppgaver for selvtest:
1) (x²+y²)dx-xydy=0
1) Vi sjekker at ligningen er homogen, hvoretter vi gjør erstatningen u=y/x, derfra y=ux, dy=xdu+udx. Erstatter i betingelsen: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Ved å dele begge sider av ligningen med x²≠0, får vi: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Derfor dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Forenklet har vi: dx-xudu=0. Derfor xudu=dx, udu=dx/x. La oss integrere begge deler:
Ferdige svar på eksempler på homogene differensialligninger Mange studenter ser etter første orden (DE-er av 1. orden er de vanligste i opplæringen), så kan du analysere dem i detalj. Men før du går videre til vurderingen av eksempler, anbefaler vi at du nøye leser et kort teoretisk materiale.
Ligninger av formen P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, hvor funksjonene P(x,y) og Q(x,y) er homogene funksjoner av samme orden, kalles homogen differensialligning(ODR).
Skjema for å løse en homogen differensialligning
1. Først må du bruke substitusjonen y=z*x , der z=z(x) er en ny ukjent funksjon (dermed reduseres den opprinnelige ligningen til en differensialligning med separerbare variabler.
2. Den deriverte av produktet er y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z eller i differensialer dy=d(zx)=z*dx+x* dz.
3. Deretter erstatter vi den nye funksjonen y og dens deriverte y "(eller dy) inn DE med separerbare variabler med hensyn til x og z.
4. Etter å ha løst differensialligningen med separerbare variabler, vil vi gjøre en invers erstatning y=z*x, derfor z= y/x, og vi får generell løsning (generell integral) av en differensialligning.
5. Hvis startbetingelsen y(x 0)=y 0 er gitt, finner vi en spesiell løsning på Cauchy-problemet. I teorien høres alt enkelt ut, men i praksis er det ikke alle som er så morsomme å løse differensialligninger. Derfor, for å utdype kunnskapen, bør du vurdere vanlige eksempler. På enkle oppgaver er det ikke mye å lære deg, så vi går umiddelbart videre til mer komplekse.
Beregninger av homogene differensialligninger av første orden
Eksempel 1
Løsning: Del høyre side av ligningen med variabelen som er en faktor nær den deriverte. Som et resultat kommer vi kl homogen differensialligning av orden 0
Og her ble det interessant for mange, hvordan bestemme rekkefølgen til en funksjon av en homogen ligning?
Spørsmålet er relevant nok, og svaret på det er som følger:
på høyre side erstatter vi verdien t*x, t*y i stedet for funksjonen og argumentet. Ved forenkling oppnås parameteren "t" til en viss grad k, og den kalles rekkefølgen til ligningen. I vårt tilfelle vil "t" reduseres, som tilsvarer 0. grad eller null orden til den homogene ligningen.
Videre på høyre side kan vi gå videre til den nye variabelen y=zx; z=y/x.
Samtidig, ikke glem å uttrykke den deriverte av "y" gjennom den deriverte av den nye variabelen. Etter regelen om deler finner vi 
Likninger i differensialer vil ta formen 
Vi reduserer fellesleddene på høyre og venstre side og går over til differensialligning med separerte variabler.
La oss integrere begge deler av DE 
For å gjøre det lettere for ytterligere transformasjoner, introduserer vi umiddelbart konstanten under logaritmen 
Ved egenskapene til logaritmene er den resulterende logaritmiske ligningen ekvivalent med følgende 
Denne oppføringen er ennå ikke en løsning (svar), du må gå tilbake til endringen av variabler utført 
Slik finner de generell løsning av differensialligninger. Hvis du leste de forrige leksjonene nøye, sa vi at du burde kunne bruke ordningen for beregning av ligninger med separerte variabler fritt, og slike ligninger må beregnes for mer komplekse typer fjernkontroll.
Eksempel 2
Finn integralet til en differensialligning
Løsning: Ordningen for å beregne homogene og oppsummerende DE-er er nå kjent for deg. Vi overfører variabelen til høyre side av ligningen, og også i telleren og nevneren tar vi ut x 2 som en felles faktor 
Dermed får vi en homogen nullordens DE.
Det neste trinnet er å introdusere endringen av variablene z=y/x, y=z*x , som vi stadig vil minne deg på å huske
Etter det skriver vi DE i differensialer 
Deretter transformerer vi avhengigheten til differensialligning med separerte variabler
og løse det ved integrering. 
Integralene er enkle, resten av transformasjonene er basert på egenskapene til logaritmen. Den siste handlingen innebærer å avsløre logaritmen. Til slutt går vi tilbake til den opprinnelige erstatningen og skriver inn skjemaet 
Konstanten "C" har en hvilken som helst verdi. Alle som studerer in absentia har problemer på eksamen med denne typen ligninger, så vennligst se nøye på og husk regneskjemaet.
Eksempel 3
Løs differensialligning
Løsning: Som følger av teknikken ovenfor løser differensialligninger av denne typen ved å introdusere en ny variabel. La oss omskrive avhengigheten slik at den deriverte er uten variabel 
Videre, ved å analysere høyresiden, ser vi at delen -ee er tilstede overalt og betegnet med det nye ukjente
z=y/x, y=z*x.
Å finne den deriverte av y
Med tanke på erstatningen, omskriver vi den originale DE i skjemaet 
Forenkle de samme vilkårene, og reduser alle mottatte vilkår til DE med atskilte variabler
Ved å integrere begge sider av likestillingen 
vi kommer til løsningen i form av logaritmer 
Ved å avsløre avhengighetene vi finner generell løsning av en differensialligning
som, etter å ha erstattet den første endringen av variabler i den, tar formen 
Her er C en konstant, som kan utvides fra Cauchy-tilstanden. Hvis Cauchy-problemet ikke er gitt, blir det en vilkårlig reell verdi.
Det er all visdommen i beregningen av homogene differensialligninger.
Stoppe! La oss likevel prøve å forstå denne tungvinte formelen.
I første omgang bør være den første variabelen i graden med noen koeffisient. I vårt tilfelle, dette
I vårt tilfelle er det det. Som vi fant ut betyr det at her konvergerer graden for den første variabelen. Og den andre variabelen i første grad er på plass. Koeffisient.
Vi har det.
Den første variabelen er eksponentiell, og den andre variabelen er kvadratisk med en koeffisient. Dette er siste ledd i ligningen.
Som du kan se, passer ligningen vår til definisjonen i form av en formel.
La oss se på den andre (verbale) delen av definisjonen.
Vi har to ukjente og. Det konvergerer her.
La oss vurdere alle vilkår. I dem må summen av gradene til de ukjente være den samme.
Summen av potensene er lik.
Summen av potensene er lik (ved og ved).
Summen av potensene er lik.
Som du ser passer alt!
La oss nå øve på å definere homogene ligninger.
Bestem hvilken av ligningene som er homogene:
Homogene ligninger - ligninger med tall:
La oss vurdere ligningen separat.
Hvis vi deler hvert ledd ved å utvide hvert ledd, får vi
Og denne ligningen faller fullstendig inn under definisjonen av homogene ligninger.
Hvordan løse homogene ligninger?
Eksempel 2
La oss dele ligningen med.
I følge vår tilstand kan ikke y være lik. Derfor kan vi trygt dele med
Ved å substituere får vi en enkel andregradsligning:
Siden dette er en redusert kvadratisk ligning, bruker vi Vieta-setningen:
Ved å gjøre omvendt erstatning, får vi svaret
Svar:
Eksempel 3
Del ligningen med (etter betingelse).
Svar:
Eksempel 4
Finn hvis.
Her trenger du ikke å dividere, men å multiplisere. Multipliser hele ligningen med:
La oss lage en erstatning og løse den kvadratiske ligningen:
Ved å gjøre omvendt erstatning får vi svaret:
Svar:
Løsning av homogene trigonometriske ligninger.
Løsningen av homogene trigonometriske ligninger er ikke forskjellig fra løsningsmetodene beskrevet ovenfor. Bare her må du blant annet kunne litt trigonometri. Og kunne løse trigonometriske ligninger (for dette kan du lese avsnittet).
La oss vurdere slike ligninger på eksempler.
Eksempel 5
Løs ligningen.
Vi ser en typisk homogen ligning: og er ukjente, og summen av potensene deres i hvert ledd er lik.
Lignende homogene likninger er ikke vanskelige å løse, men før du deler likningene inn i, vurder tilfellet når
I dette tilfellet vil ligningen ha formen: Men sinus og cosinus kan ikke være like på samme tid, fordi i henhold til den grunnleggende trigonometriske identiteten. Derfor kan vi trygt dele det inn i:
Siden ligningen er redusert, så ifølge Vieta-setningen:
Svar:
Eksempel 6
Løs ligningen.
Som i eksemplet må du dele ligningen med. Vurder saken når:
Men sinus og cosinus kan ikke være like på samme tid, fordi i henhold til den grunnleggende trigonometriske identiteten. Derfor.
La oss gjøre en erstatning og løse den andregradsligningen:
La oss gjøre omvendt erstatning og finne og:
Svar:
Løsning av homogene eksponentialligninger.
Homogene ligninger løses på samme måte som de som er vurdert ovenfor. Hvis du har glemt hvordan du løser eksponentialligninger - se på den tilsvarende delen ()!
La oss se på noen få eksempler.
Eksempel 7
Løs ligningen
Tenk deg hvordan:
Vi ser en typisk homogen likning, med to variabler og en sum av potenser. La oss dele ligningen inn i:
Som du kan se, etter å ha gjort erstatningen, får vi den reduserte kvadratiske ligningen (i dette tilfellet er det ikke nødvendig å være redd for å dele med null - den er alltid strengt tatt større enn null):
I følge Vietas teorem:
Svar: .
Eksempel 8
Løs ligningen
Tenk deg hvordan:
La oss dele ligningen inn i:
La oss lage en erstatning og løse den kvadratiske ligningen:
Roten tilfredsstiller ikke betingelsen. Vi gjør omvendt erstatning og finner:
Svar:
HOMOGENE LIGNINGER. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ
Først, ved å bruke et eksempel på ett problem, la meg minne deg på det hva er homogene likninger og hva er løsningen av homogene likninger.
Løs problemet:
Finn hvis.
Her kan du legge merke til en merkelig ting: hvis vi deler hvert ledd med, får vi:
Det vil si, nå er det ingen separate og, - nå er ønsket verdi variabelen i ligningen. Og dette er en vanlig andregradsligning, som er lett å løse ved å bruke Vietas teorem: produktet av røttene er lik, og summen er tallene og.
Svar:
Formens ligninger
kalt homogen. Det vil si at dette er en ligning med to ukjente, i hvert ledd som det er den samme summen av potensene til disse ukjente. For eksempel, i eksemplet ovenfor, er dette beløpet lik. Løsningen av homogene ligninger utføres ved å dele med en av de ukjente i denne graden:
Og den påfølgende endringen av variabler: . Dermed får vi en gradslikning med en ukjent:
Oftest vil vi møte ligninger av andre grad (det vil si kvadratisk), og vi kan løse dem:
Merk at å dele (og multiplisere) hele ligningen med en variabel er bare mulig hvis vi er overbevist om at denne variabelen ikke kan være lik null! For eksempel, hvis vi blir bedt om å finne, forstår vi det umiddelbart, siden det er umulig å dele. I tilfeller der dette ikke er så åpenbart, er det nødvendig å sjekke tilfellet separat når denne variabelen er lik null. For eksempel:
Løs ligningen.
Løsning:
Vi ser her en typisk homogen ligning: og er ukjente, og summen av potensene deres i hvert ledd er lik.
Men før vi deler med og får den kvadratiske ligningen med respekt, må vi vurdere tilfellet når. I dette tilfellet vil ligningen ha formen: , derav, . Men sinus og cosinus kan ikke være lik null på samme tid, fordi i henhold til den grunnleggende trigonometriske identiteten:. Derfor kan vi trygt dele det inn i:
Jeg håper denne løsningen er helt klar? Hvis ikke, les avsnittet. Hvis det ikke er klart hvor det kom fra, må du gå tilbake enda tidligere - til seksjonen.
Bestem selv:
- Finn hvis.
- Finn hvis.
- Løs ligningen.
Her vil jeg kort skrive direkte løsningen av homogene ligninger:
Løsninger:
Svar: .
Og her er det nødvendig å ikke dele, men å multiplisere:
Svar:
Hvis du ennå ikke har gått gjennom trigonometriske ligninger, kan du hoppe over dette eksemplet.
Siden vi her må dele på, sørger vi først for at hundre ikke er lik null:
Og dette er umulig.
Svar: .
HOMOGENE LIGNINGER. KORT OM HOVEDET
Løsningen av alle homogene ligninger reduseres til divisjon med en av de ukjente i graden og videre endring av variabler.
Algoritme:
Vel, emnet er over. Hvis du leser disse linjene, er du veldig kul.
Fordi bare 5 % av mennesker er i stand til å mestre noe på egen hånd. Og hvis du har lest til slutten, så er du på 5%!
Nå er det viktigste.
Du har funnet ut teorien om dette emnet. Og, jeg gjentar, det er ... det er bare supert! Du er allerede bedre enn de aller fleste av dine jevnaldrende.
Problemet er at dette kanskje ikke er nok...
For hva?
For vellykket bestått eksamen, for opptak til instituttet på budsjettet og, VIKTIGST, for livet.
Jeg vil ikke overbevise deg om noe, jeg vil bare si en ting ...
Folk som har fått god utdanning tjener mye mer enn de som ikke har fått den. Dette er statistikk.
Men dette er ikke hovedsaken.
Hovedsaken er at de er GLADERE (det finnes slike studier). Kanskje fordi mye flere muligheter åpner seg foran dem og livet blir lysere? Vet ikke...
Men tenk selv...
Hva skal til for å være sikker på å være bedre enn andre på eksamen og til slutt ... bli lykkeligere?
FYLL HÅNDEN DIN, LØS PROBLEMER OM DETTE EMNET.
På eksamen vil du ikke bli spurt om teori.
Du vil trenge løse problemer i tide.
Og hvis du ikke har løst dem (MASSE!), vil du definitivt gjøre en dum feil et sted eller rett og slett ikke gjøre det i tide.
Det er som i sport - du må gjenta mange ganger for å vinne sikkert.
Finn en samling hvor som helst du vil nødvendigvis med løsninger, detaljert analyse og bestemme, bestemme, bestemme!
Du kan bruke oppgavene våre (ikke nødvendig) og vi anbefaler dem absolutt.
For å få en hånd ved hjelp av oppgavene våre, må du bidra til å forlenge levetiden til YouClever-læreboken du leser nå.
Hvordan? Det er to alternativer:
- Lås opp tilgang til alle skjulte oppgaver i denne artikkelen - 299 gni.
- Lås opp tilgang til alle skjulte oppgaver i alle 99 artiklene i opplæringen - 499 gni.
Ja, vi har 99 slike artikler i læreboken og tilgang til alle oppgaver og alle skjulte tekster i dem kan åpnes umiddelbart.
Tilgang til alle skjulte oppgaver er gitt for hele nettstedets levetid.
For å konkludere...
Hvis du ikke liker oppgavene våre, finn andre. Bare ikke slutt med teori.
«Forstått» og «Jeg vet hvordan jeg skal løse» er helt forskjellige ferdigheter. Du trenger begge deler.
Finn problemer og løs!