Homogene differensialligninger av første orden. Homogene differensialligninger

Jeg tror vi bør starte med historien til et så strålende matematisk verktøy som differensialligninger. Som all differensial- og integralregning ble disse ligningene oppfunnet av Newton på slutten av 1600-tallet. Han anså nettopp denne oppdagelsen av ham som så viktig at han til og med krypterte meldingen, som i dag kan oversettes omtrent slik: «Alle naturlover er beskrevet av differensialligninger». Dette kan virke som en overdrivelse, men det er sant. Enhver lov om fysikk, kjemi, biologi kan beskrives med disse ligningene.

Et stort bidrag til utviklingen og opprettelsen av teorien om differensialligninger ble gitt av matematikerne Euler og Lagrange. Allerede på 1700-tallet oppdaget og utviklet de det de nå studerer på seniorkursene ved universitetene.

En ny milepæl i studiet av differensialligninger begynte takket være Henri Poincare. Han opprettet en "kvalitativ teori om differensialligninger", som, i kombinasjon med teorien om funksjoner til en kompleks variabel, ga et betydelig bidrag til grunnlaget for topologi - vitenskapen om rommet og dets egenskaper.

Hva er differensialligninger?

Mange mennesker er redde for en setning, men i denne artikkelen vil vi detaljere hele essensen av dette svært nyttige matematiske apparatet, som faktisk ikke er så komplisert som det ser ut fra navnet. For å begynne å snakke om førsteordens differensialligninger, bør du først gjøre deg kjent med de grunnleggende begrepene som er iboende relatert til denne definisjonen. La oss starte med differensialen.

Differensial

Mange kjenner dette konseptet fra skolen. La oss imidlertid se nærmere på det. Se for deg en graf av en funksjon. Vi kan øke den i en slik grad at hvilken som helst av segmentene vil ha form av en rett linje. På den tar vi to punkter som er uendelig nær hverandre. Forskjellen mellom deres koordinater (x eller y) vil være en uendelig liten verdi. Det kalles en differensial og er betegnet med tegnene dy (differensial fra y) og dx (differensial fra x). Det er veldig viktig å forstå at differensialen ikke er en endelig verdi, og dette er dens betydning og hovedfunksjon.

Og nå er det nødvendig å vurdere følgende element, som vil være nyttig for oss for å forklare konseptet med en differensialligning. Dette er et derivat.

Derivat

Vi har nok alle hørt dette konseptet på skolen. Den deriverte sies å være vekst eller reduksjon av en funksjon. Mye av denne definisjonen blir imidlertid uforståelig. La oss prøve å forklare den deriverte i form av differensialer. La oss gå tilbake til et infinitesimalt segment av en funksjon med to punkter som er i minimumsavstand fra hverandre. Men selv for denne avstanden klarer funksjonen å endre seg noe. Og for å beskrive denne endringen kom de opp med en derivert, som ellers kan skrives som et forhold mellom differensialer: f (x) "=df / dx.

Nå er det verdt å vurdere de grunnleggende egenskapene til derivatet. Det er bare tre av dem:

1. Den deriverte av summen eller differansen kan representeres som summen eller differansen av de deriverte: (a+b)"=a"+b" og (a-b)"=a"-b".
2. Den andre egenskapen er relatert til multiplikasjon. Den deriverte av et produkt er summen av produktene til en funksjon og den deriverte av en annen: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Den deriverte av forskjellen kan skrives som følgende likhet: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Alle disse egenskapene vil være nyttige for oss for å finne løsninger på førsteordens differensialligninger.

Det finnes også partielle derivater. La oss si at vi har en funksjon z som avhenger av variablene x og y. For å beregne den partielle deriverte av denne funksjonen, for eksempel med hensyn til x, må vi ta variabelen y som en konstant og ganske enkelt differensiere.

Integral

Et annet viktig konsept er integralen. Faktisk er dette det direkte motsatte av derivatet. Det finnes flere typer integraler, men for å løse de enkleste differensialligningene trenger vi de mest trivielle

Så, la oss si at vi har en viss avhengighet av f på x. Vi tar integralet fra det og får funksjonen F (x) (ofte kalt antideriverten), hvis deriverte er lik den opprinnelige funksjonen. Dermed F(x)"=f(x). Det følger også at integralet til den deriverte er lik den opprinnelige funksjonen.

Når du løser differensialligninger, er det veldig viktig å forstå betydningen og funksjonen til integralet, siden du må ta dem veldig ofte for å finne en løsning.

Ligninger er forskjellige avhengig av deres natur. I neste avsnitt vil vi vurdere typene av førsteordens differensialligninger, og deretter vil vi lære hvordan vi løser dem.

Klasser av differensialligninger

"Diffura" er delt inn i henhold til rekkefølgen på derivatene involvert i dem. Dermed er det første, andre, tredje og flere ordre. De kan også deles inn i flere klasser: ordinære og partielle derivater.

I denne artikkelen vil vi vurdere vanlige differensialligninger av første orden. Vi vil også diskutere eksempler og måter å løse dem på i de følgende avsnittene. Vi vil kun vurdere ODE-er, fordi dette er de vanligste ligningstypene. Vanlige er delt inn i underarter: med separerbare variabler, homogene og heterogene. Deretter vil du lære hvordan de skiller seg fra hverandre, og lære hvordan du løser dem.

I tillegg kan disse ligningene kombineres, slik at vi etter får et system med differensialligninger av første orden. Vi vil også vurdere slike systemer og lære hvordan vi løser dem.

Hvorfor vurderer vi kun den første bestillingen? Fordi du må begynne med en enkel en, og det er rett og slett umulig å beskrive alt relatert til differensialligninger i en artikkel.

Separerbare variabellikninger

Dette er kanskje de enkleste førsteordens differensialligningene. Disse inkluderer eksempler som kan skrives slik: y "=f (x) * f (y). For å løse denne ligningen trenger vi en formel for å representere den deriverte som et forhold mellom differensialer: y" = dy / dx. Ved å bruke den får vi følgende ligning: dy/dx=f(x)*f(y). Nå kan vi gå til metoden for å løse standardeksempler: vi deler variablene i deler, det vil si at vi overfører alt med y-variabelen til delen der dy er plassert, og vi vil gjøre det samme med x-variabelen. Vi får en likning av formen: dy/f(y)=f(x)dx, som løses ved å ta integralene til begge deler. Ikke glem konstanten, som må settes etter å ha tatt integralen.

Løsningen av enhver "diffuranse" er en funksjon av avhengigheten til x av y (i vårt tilfelle) eller, hvis det er en numerisk betingelse, så er svaret i form av et tall. La oss ta en titt på hele løsningen ved å bruke et spesifikt eksempel:

Vi overfører variabler i forskjellige retninger:

Nå tar vi integraler. Alle kan finnes i en spesiell tabell over integraler. Og vi får:

log(y) = -2*cos(x) + C

Om nødvendig kan vi uttrykke "y" som en funksjon av "x". Nå kan vi si at vår differensialligning er løst hvis ingen betingelse er gitt. En betingelse kan gis, for eksempel y(n/2)=e. Deretter erstatter vi verdien av disse variablene i løsningen og finner verdien av konstanten. I vårt eksempel er det lik 1.

Homogene differensialligninger av første orden

La oss nå gå videre til den vanskeligere delen. Homogene differensialligninger av første orden kan skrives i generell form som følger: y "= z (x, y). Det skal bemerkes at høyrefunksjonen til to variabler er homogen, og den kan ikke deles inn i to avhengigheter : z på x og z på y. Sjekk om ligningen er homogen eller ikke er ganske enkelt: vi gjør substitusjonen x=k*x og y=k*y.Nå kansellerer vi alle k.Hvis alle disse bokstavene er redusert , da er ligningen homogen, og du kan trygt fortsette å løse den. Se fremover, si: prinsippet for å løse disse eksemplene er også veldig enkelt.

Vi må lage en erstatning: y=t(x)*x, der t er en funksjon som også avhenger av x. Da kan vi uttrykke den deriverte: y"=t"(x)*x+t. Ved å erstatte alt dette i vår opprinnelige ligning og forenkle den, får vi et eksempel med separerbare variabler t og x. Vi løser det og får avhengigheten t(x). Når vi fikk det, erstatter vi ganske enkelt y=t(x)*x i vår forrige erstatning. Da får vi avhengigheten av y av x.

For å gjøre det klarere, la oss se på et eksempel: x*y"=y-x*e y/x .

Ved sjekk med en erstatning reduseres alt. Så ligningen er egentlig homogen. Nå gjør vi en annen erstatning som vi snakket om: y=t(x)*x og y"=t"(x)*x+t(x). Etter forenkling får vi følgende ligning: t "(x) * x \u003d -e t. Vi løser det resulterende eksemplet med separerte variabler og får: e -t \u003dln (C * x). Vi trenger bare å erstatte t med y / x (fordi hvis y \u003d t * x, så t \u003d y / x), og vi får svaret: e -y / x \u003d ln (x * C).

Lineære differensialligninger av første orden

Det er på tide å vurdere et annet bredt tema. Vi vil analysere inhomogene differensialligninger av første orden. Hvordan er de forskjellige fra de to foregående? La oss finne ut av det. Lineære differensialligninger av første orden i generell form kan skrives som følger: y " + g (x) * y \u003d z (x). Det er verdt å presisere at z (x) og g (x) kan være konstante verdier .

Og nå et eksempel: y" - y*x=x 2 .

Det er to måter å løse på, og vi vil analysere begge i rekkefølge. Den første er metoden for variasjon av vilkårlige konstanter.

For å løse ligningen på denne måten, må du først likestille høyresiden til null og løse den resulterende ligningen, som etter overføring av delene vil ha formen:

ln|y|=x 2/2 + C;

y \u003d e x2 / 2 * y C \u003d C 1 * e x2 / 2.

Nå må vi erstatte konstanten C 1 med funksjonen v(x), som vi må finne.

La oss endre den deriverte:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2.

La oss erstatte disse uttrykkene i den opprinnelige ligningen:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Det kan ses at to terminer er kansellert på venstre side. Hvis i et eksempel dette ikke skjedde, så har du gjort noe galt. La oss fortsette:

v"*e x2/2 = x 2 .

Nå løser vi den vanlige ligningen der vi må skille variablene:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

For å trekke ut integralet, må vi bruke integrering etter deler her. Dette er imidlertid ikke temaet for artikkelen vår. Hvis du er interessert, kan du lære hvordan du utfører slike handlinger selv. Det er ikke vanskelig, og med tilstrekkelig dyktighet og omsorg tar det ikke mye tid.

La oss gå til den andre metoden for å løse inhomogene ligninger: Bernoulli-metoden. Hvilken tilnærming som er raskere og enklere er opp til deg.

Så når vi løser ligningen med denne metoden, må vi gjøre en erstatning: y=k*n. Her er k og n noen x-avhengige funksjoner. Da vil den deriverte se slik ut: y"=k"*n+k*n". Vi erstatter begge erstatningene i ligningen:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Gruppering:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Nå må vi likestille med null det som står i parentes. Nå, hvis vi kombinerer de to resulterende ligningene, får vi et system med førsteordens differensialligninger som må løses:

Vi løser den første likningen som en ordinær likning. For å gjøre dette må du skille variablene:

Vi tar integralet og får: ln(n)=x 2 /2. Så, hvis vi uttrykker n:

Nå erstatter vi den resulterende likheten med den andre ligningen i systemet:

k "*e x2/2 \u003d x 2.

Og ved å transformere får vi samme likhet som i den første metoden:

dk=x 2 /e x2/2 .

Vi vil heller ikke analysere ytterligere handlinger. Det er verdt å si at løsningen av førsteordens differensialligninger først forårsaker betydelige vanskeligheter. Men med en dypere fordypning i temaet begynner det å bli bedre og bedre.

Hvor brukes differensialligninger?

Differensialligninger brukes veldig aktivt i fysikk, siden nesten alle de grunnleggende lovene er skrevet i differensialform, og formlene som vi ser er løsningen av disse likningene. I kjemi brukes de av samme grunn: grunnleggende lover er avledet fra dem. I biologi brukes differensialligninger for å modellere oppførselen til systemer, for eksempel rovdyr-byttedyr. De kan også brukes til å lage reproduksjonsmodeller av for eksempel en koloni av mikroorganismer.

Hvordan vil differensialligninger hjelpe i livet?

Svaret på dette spørsmålet er enkelt: ingen måte. Hvis du ikke er en vitenskapsmann eller ingeniør, er det usannsynlig at de er nyttige for deg. Men for generell utvikling skader det ikke å vite hva en differensialligning er og hvordan den løses. Og så spørsmålet om en sønn eller datter "hva er en differensialligning?" vil ikke forvirre deg. Vel, hvis du er vitenskapsmann eller ingeniør, forstår du selv viktigheten av dette emnet i enhver vitenskap. Men det viktigste er at nå er spørsmålet "hvordan løser man en førsteordens differensialligning?" du kan alltid svare. Enig, det er alltid hyggelig når du forstår hva folk til og med er redde for å forstå.

Hovedproblemer i læring

Hovedproblemet med å forstå dette emnet er den dårlige ferdigheten til å integrere og differensiere funksjoner. Hvis du ikke er flink til å ta derivater og integraler, er det sannsynligvis verdt å lære mer, mestre forskjellige metoder for integrasjon og differensiering, og først deretter fortsette å studere materialet som ble beskrevet i artikkelen.

Noen blir overrasket når de får vite at dx kan overføres, fordi det tidligere (på skolen) ble oppgitt at brøken dy / dx er udelelig. Her må du lese litteraturen om den deriverte og forstå at det er forholdet mellom infinitesimale størrelser som kan manipuleres når du løser ligninger.

Mange innser ikke umiddelbart at løsningen av førsteordens differensialligninger ofte er en funksjon eller et integral som ikke kan tas, og denne vrangforestillingen gir dem mye trøbbel.

Hva annet kan studeres for en bedre forståelse?

Det er best å starte ytterligere fordyping i differensialregningens verden med spesialiserte lærebøker, for eksempel om kalkulus for elever med ikke-matematiske spesialiteter. Deretter kan du gå videre til mer spesialisert litteratur.

Det er verdt å si at i tillegg til differensialligninger, er det også integralligninger, så du vil alltid ha noe å strebe etter og noe å studere.

Konklusjon

Vi håper at du etter å ha lest denne artikkelen har en ide om hva differensialligninger er og hvordan du løser dem riktig.

Uansett er matematikk på en eller annen måte nyttig for oss i livet. Det utvikler logikk og oppmerksomhet, uten hvilken hver person er som uten hender.

Ferdige svar på eksempler på homogene differensialligninger Mange studenter ser etter første orden (DE-er av 1. orden er de vanligste i opplæringen), så kan du analysere dem i detalj. Men før du går videre til vurderingen av eksempler, anbefaler vi at du nøye leser et kort teoretisk materiale.
Ligninger av formen P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, hvor funksjonene P(x,y) og Q(x,y) er homogene funksjoner av samme orden, kalles homogen differensialligning(ODR).

Skjema for å løse en homogen differensialligning

1. Først må du bruke substitusjonen y=z*x , der z=z(x) er en ny ukjent funksjon (dermed reduseres den opprinnelige ligningen til en differensialligning med separerbare variabler.
2. Den deriverte av produktet er y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z eller i differensialer dy=d(zx)=z*dx+x* dz.
3. Deretter erstatter vi den nye funksjonen y og dens deriverte y "(eller dy) inn DE med separerbare variabler med hensyn til x og z.
4. Etter å ha løst differensialligningen med separerbare variabler, vil vi gjøre en invers erstatning y=z*x, derfor z= y/x, og vi får generell løsning (generell integral) av en differensialligning.
5. Hvis startbetingelsen y(x 0)=y 0 er gitt, finner vi en spesiell løsning på Cauchy-problemet. I teorien høres alt enkelt ut, men i praksis er det ikke alle som er så morsomme å løse differensialligninger. Derfor, for å utdype kunnskapen, bør du vurdere vanlige eksempler. På enkle oppgaver er det ikke mye å lære deg, så vi går umiddelbart videre til mer komplekse.

Beregninger av homogene differensialligninger av første orden

Eksempel 1

Løsning: Del høyre side av ligningen med variabelen som er en faktor nær den deriverte. Som et resultat kommer vi kl homogen differensialligning av orden 0

Og her ble det interessant for mange, hvordan bestemme rekkefølgen til en funksjon av en homogen ligning?
Spørsmålet er relevant nok, og svaret på det er som følger:
på høyre side erstatter vi verdien t*x, t*y i stedet for funksjonen og argumentet. Ved forenkling oppnås parameteren "t" til en viss grad k, og den kalles rekkefølgen til ligningen. I vårt tilfelle vil "t" reduseres, som tilsvarer 0. grad eller null orden til den homogene ligningen.
Videre på høyre side kan vi gå videre til den nye variabelen y=zx; z=y/x.
Samtidig, ikke glem å uttrykke den deriverte av "y" gjennom den deriverte av den nye variabelen. Etter regelen om deler finner vi

Likninger i differensialer vil ta formen

Vi reduserer fellesleddene på høyre og venstre side og går over til differensialligning med separerte variabler.

La oss integrere begge deler av DE

For å gjøre det lettere for ytterligere transformasjoner, introduserer vi umiddelbart konstanten under logaritmen

Ved egenskapene til logaritmene er den resulterende logaritmiske ligningen ekvivalent med følgende

Denne oppføringen er ennå ikke en løsning (svar), du må gå tilbake til endringen av variabler utført

Slik finner de generell løsning av differensialligninger. Hvis du leste de forrige leksjonene nøye, sa vi at du burde kunne bruke ordningen for beregning av ligninger med separerte variabler fritt, og slike ligninger må beregnes for mer komplekse typer fjernkontroll.

Eksempel 2 Finn integralet til en differensialligning

Løsning: Ordningen for å beregne homogene og oppsummerende DE-er er nå kjent for deg. Vi overfører variabelen til høyre side av ligningen, og også i telleren og nevneren tar vi ut x 2 som en felles faktor

Dermed får vi en homogen nullordens DE.
Det neste trinnet er å introdusere endringen av variablene z=y/x, y=z*x , som vi stadig vil minne deg på å huske

Etter det skriver vi DE i differensialer

Deretter transformerer vi avhengigheten til differensialligning med separerte variabler

og løse det ved integrering.

Integralene er enkle, resten av transformasjonene er basert på egenskapene til logaritmen. Den siste handlingen innebærer å avsløre logaritmen. Til slutt går vi tilbake til den opprinnelige erstatningen og skriver inn skjemaet

Konstanten "C" har en hvilken som helst verdi. Alle som studerer in absentia har problemer på eksamen med denne typen ligninger, så vennligst se nøye på og husk regneskjemaet.

Eksempel 3 Løs differensialligning

Løsning: Som følger av teknikken ovenfor løser differensialligninger av denne typen ved å introdusere en ny variabel. La oss omskrive avhengigheten slik at den deriverte er uten variabel

Videre, ved å analysere høyresiden, ser vi at delen -ee er tilstede overalt og betegnet med det nye ukjente
z=y/x, y=z*x.
Å finne den deriverte av y

Med tanke på erstatningen, omskriver vi den originale DE i skjemaet

Forenkle de samme vilkårene, og reduser alle mottatte vilkår til DE med separerte variabler

Ved å integrere begge sider av likestillingen

vi kommer til løsningen i form av logaritmer

Ved å avsløre avhengighetene vi finner generell løsning av en differensialligning

som, etter å ha erstattet den første endringen av variabler i den, tar formen

Her er C en konstant, som kan utvides fra Cauchy-tilstanden. Hvis Cauchy-problemet ikke er gitt, blir det en vilkårlig reell verdi.
Det er all visdommen i beregningen av homogene differensialligninger.

Homogen

I denne leksjonen skal vi se på den såkalte homogene differensialligninger av første orden. Sammen med separerbare variabellikninger og lineære inhomogene ligninger denne typen kontroll finnes i nesten ethvert kontrollarbeid om temaet diffuser. Hvis du gikk inn på siden fra en søkemotor eller ikke er veldig trygg på differensialligninger, anbefaler jeg først på det sterkeste at du utarbeider en innledende leksjon om emnet - Første ordens differensialligninger. Faktum er at mange prinsipper for å løse homogene ligninger og teknikkene som brukes vil være nøyaktig de samme som for de enkleste ligningene med separerbare variabler.

Hva er forskjellen mellom homogene differensialligninger og andre typer DE? Dette er lettest å forklare med en gang med et konkret eksempel.

Eksempel 1

Løsning:
Hva først av alt bør analyseres når man bestemmer seg noen differensial ligning første orden? Først av alt er det nødvendig å sjekke om det er mulig å umiddelbart skille variablene ved å bruke "skole"-handlinger? Vanligvis utføres en slik analyse mentalt eller prøver å skille variablene i et utkast.

I dette eksemplet variabler kan ikke skilles(du kan prøve å snu begrepene fra del til del, ta faktorer ut av parentes osv.). Forresten, i dette eksemplet er det faktum at variablene ikke kan deles ganske åpenbart på grunn av tilstedeværelsen av faktoren .

Spørsmålet oppstår - hvordan løser man denne diffuren?

Må sjekke og Er denne ligningen homogen?? Verifikasjonen er enkel, og selve verifikasjonsalgoritmen kan formuleres som følger:

Til den opprinnelige ligningen:

i stedet for erstatning , i stedet for erstatning , ikke rør derivatet:

Bokstaven lambda er en betinget parameter, og her spiller den følgende rolle: hvis det, som et resultat av transformasjoner, er mulig å "ødelegge" ALLE lambdaer og få den opprinnelige ligningen, så er denne differensialligningen er homogen.

Åpenbart kansellerer lambdaene umiddelbart i eksponenten:

Nå, på høyre side, tar vi lambdaen ut av parentes:

og del begge deler med samme lambda:

Som et resultat alle lambdaene forsvant som en drøm, som en morgentåke, og vi fikk den opprinnelige ligningen.

Konklusjon: Denne ligningen er homogen

Hvordan løse en homogen differensialligning?

Jeg har veldig gode nyheter. Absolutt alle homogene ligninger kan løses med en enkelt (!) standard erstatning.

"y"-funksjonen skal erstatte arbeid noen funksjon (også avhengig av "x") og "x":

Skriv nesten alltid kort:

Vi finner ut hva derivatet blir til med en slik erstatning, vi bruker regelen for å differensiere et produkt. Hvis da:

Bytt inn i den opprinnelige ligningen:

Hva vil en slik erstatning gi? Etter denne utskiftingen og de forenklingene som er gjort, har vi garantert får vi en ligning med separerbare variabler. HUSKE som første kjærlighet :) og følgelig .

Etter bytte gjør vi maksimale forenklinger:

Siden er en funksjon som avhenger av "x", kan dens deriverte skrives som en standardbrøk: .
På denne måten:

Vi skiller variablene, mens på venstre side trenger du bare å samle "te", og på høyre side - bare "x":

Variablene er separert, vi integrerer:


I følge mitt første tekniske tips fra artikkelen Første ordens differensialligninger i mange tilfeller er det hensiktsmessig å "formulere" en konstant i form av en logaritme.

Etter at ligningen er integrert, må du utføre omvendt substitusjon, den er også standard og unik:
Hvis da
I dette tilfellet:

I 18-19 tilfeller av 20 skrives løsningen av den homogene ligningen som en generell integral.

Svar: generell integral:

Hvorfor er svaret på en homogen ligning nesten alltid gitt som et generelt integral?
I de fleste tilfeller er det umulig å uttrykke "y" i en eksplisitt form (for å få en generell løsning), og hvis det er mulig, viser seg som oftest den generelle løsningen å være tungvint og klønete.

Så, for eksempel, i det betraktede eksemplet, kan den generelle løsningen oppnås ved å henge logaritmer på begge deler av det generelle integralet:

- Vel, fortsatt greit. Skjønt, skjønner du, den er fortsatt skjev.

Forresten, i dette eksemplet skrev jeg ikke helt "anstendig" ned den generelle integralen. Det er ikke en feil, men i en "god" stil, minner jeg deg på, er det vanlig å skrive det generelle integralet i formen . For å gjøre dette, umiddelbart etter integrering av ligningen, bør konstanten skrives uten logaritme (Det er unntaket fra regelen!):

Og etter omvendt erstatning, få den generelle integralen i den "klassiske" formen:

Det mottatte svaret kan kontrolleres. For å gjøre dette må du skille det generelle integralet, det vil si finne avledet av en funksjon definert implisitt:

Bli kvitt brøkene ved å multiplisere hver side av ligningen med:

Den opprinnelige differensialligningen er oppnådd, noe som betyr at løsningen er funnet riktig.

Det er lurt å alltid sjekke. Men homogene ligninger er ubehagelige fordi det vanligvis er vanskelig å sjekke deres generelle integraler - dette krever en veldig, veldig anstendig differensieringsteknikk. I det vurderte eksemplet, under verifiseringen, var det allerede nødvendig å ikke finne de enkleste derivatene (selv om eksemplet i seg selv er ganske enkelt). Hvis du kan sjekke det, sjekk det ut!

Eksempel 2

Sjekk ligningen for homogenitet og finn dens generelle integral.

Skriv svaret i skjemaet

Dette er et eksempel for en uavhengig beslutning - slik at du blir vant til selve handlingsalgoritmen. Sjekk i ro og mak, fordi. her er det ganske komplisert, og jeg begynte ikke engang å ta det med, ellers kommer du ikke lenger til en slik galning :)

Og nå det lovede viktige punktet, nevnt helt i begynnelsen av emnet,
med fete svarte bokstaver:

Hvis vi i løpet av transformasjoner "tilbakestiller" faktoren (ikke en konstant)til nevneren, så RISIKERE vi å miste løsninger!

Og faktisk møtte vi dette i det aller første eksemplet. innledende leksjon om differensialligninger. I prosessen med å løse ligningen viste "y" seg å være i nevneren: , men, åpenbart, er en løsning på DE, og som et resultat av en ikke-ekvivalent transformasjon (divisjon), er det alle muligheter å miste det! En annen ting er at den kom inn i den generelle løsningen med nullverdi av konstanten. Tilbakestilling av "x" til nevneren kan også ignoreres, fordi tilfredsstiller ikke den originale diffuse.

En lignende historie med den tredje ligningen i samme leksjon, under løsningen som vi "droppet" inn i nevneren. Her var det strengt tatt nødvendig å sjekke om den gitte diffurasjonen er en løsning? Tross alt er det det! Men selv her "fungerte alt", siden denne funksjonen gikk inn i det generelle integralet kl.

Og hvis dette ofte er tilfellet med "separerbare" ligninger;) "ruller den", så med homogene og noen andre diffurer kan den "ikke rulle". Med stor sannsynlighet.

La oss analysere problemene som allerede er løst i denne leksjonen: Eksempel 1 det var en "tilbakestilling" av x, men det kan ikke være en løsning på ligningen. Men i eksempel 2 vi delte inn i , men også dette "slapp unna": siden løsningene ikke kunne gå tapt, eksisterer de rett og slett ikke her. Men selvfølgelig arrangerte jeg «lykkesakene» med vilje, og det er ikke et faktum at de vil komme over i praksis:

Eksempel 3

Løs differensialligning

Er ikke det et enkelt eksempel? ;-)

Løsning: homogeniteten til denne ligningen er åpenbar, men likevel - på første trinn Sjekk ALLTID om variabler kan skilles. For ligningen er også homogen, men variablene i den er stille atskilt. Ja, det er noen!

Etter å ha sjekket for "separerbarhet", gjør vi en erstatning og forenkler ligningen så mye som mulig:

Vi skiller variablene, til venstre samler vi "te", til høyre - "x":

Og her er STOPP. Ved å dele på risikerer vi å miste to funksjoner samtidig. Siden , så er disse funksjonene:

Den første funksjonen er åpenbart en løsning på ligningen . Vi sjekker den andre - vi erstatter dens derivat med diffuren vår:

- riktig likhet oppnås, som betyr at funksjonen er en løsning.

Og vi risikerer å miste disse beslutningene.

I tillegg var nevneren "X", substitusjonen innebærer imidlertid at den ikke er null. Husk dette faktum. Men! Sørg for å sjekke, om er en løsning på ORIGINAL differensialligningen. Nei det er det ikke.

La oss legge merke til alt dette og fortsette:

Det skal sies at vi var heldige med integralen til venstresiden, det skjer mye verre.

Vi samler en enkelt logaritme på høyre side, og tilbakestiller sjaklene:

Og akkurat nå den omvendte erstatningen:

Multipliser alle ledd med:

Nå for å sjekke - om «farlige» løsninger inngår i den generelle integralen. Ja, begge løsningene er inkludert i det generelle integralet ved nullverdien til konstanten: , så de trenger ikke å angis i tillegg i svar:

generell integral:

Undersøkelse. Ikke en gang en test, men ren nytelse :)

Den opprinnelige differensialligningen er oppnådd, noe som betyr at løsningen er funnet riktig.

For en frittstående løsning:

Eksempel 4

Utfør en homogenitetstest og løs differensialligningen

Det generelle integralet kan kontrolleres ved differensiering.

Full løsning og svar på slutten av timen.

Tenk på et par eksempler hvor en homogen likning er gitt med ferdige differensialer.

Eksempel 5

Løs differensialligning

Dette er et veldig interessant eksempel, bare en hel thriller!

Løsning Vi skal venne oss til å gjøre det mer kompakt. Først, mentalt eller på et utkast, sørger vi for at variablene ikke kan deles opp her, deretter sjekker vi for enhetlighet - det utføres vanligvis ikke på en ren kopi (med mindre det er spesielt nødvendig). Dermed begynner nesten alltid løsningen med oppføringen: " Denne ligningen er homogen, la oss erstatte: ...».

Hvis en homogen ligning inneholder ferdige differensialer, kan den løses ved en modifisert substitusjon:

Men jeg anbefaler ikke å bruke en slik erstatning, siden det vil vise seg å være den kinesiske mur av differensialer, hvor du trenger et øye og et øye. Fra et teknisk synspunkt er det mer fordelaktig å bytte til den "stiplede" betegnelsen på derivatet, for dette deler vi alle vilkårene i ligningen med:

Og allerede her har vi gjort en "farlig" transformasjon! Nulldifferensialet tilsvarer - en familie av linjer parallelle med aksen. Er de røttene til vår DU? Bytt inn i den opprinnelige ligningen:

Denne likheten er sann hvis, det vil si at når vi deler på risikerte vi å miste løsningen, og vi mistet den- fordi det tilfredsstiller ikke lenger den resulterende ligningen .

Det skal bemerkes at hvis vi opprinnelig ligningen ble gitt , da ville roten være uaktuelt. Men vi har det, og vi "fanget" det i tide.

Vi fortsetter løsningen med en standard erstatning:
:

Etter substitusjon forenkler vi ligningen så mye som mulig:

Separere variabler:

Og her igjen STOPP: Når vi deler på risikerer vi å miste to funksjoner. Siden , så er disse funksjonene:

Den første funksjonen er åpenbart en løsning på ligningen . Vi sjekker den andre - vi erstatter og dens derivat:

- mottatt ekte likestilling, så funksjonen er også en løsning av differensialligningen.

Og når vi deler på risikerer vi å miste disse løsningene. Imidlertid kan de inngå en felles integral. Men de kommer kanskje ikke inn.

La oss ta dette til etterretning og integrere begge deler:

Integralet til venstre side løses standard ved hjelp av valg av en hel firkant, men i diffusorer er det mye mer praktisk å bruke metode for ubestemte koeffisienter:

Ved å bruke metoden med ubestemte koeffisienter utvider vi integranden til en sum av elementære brøker:


På denne måten:

Vi finner integraler:

- siden vi kun har tegnet logaritmer, skyver vi også konstanten under logaritmen.

Før utskifting forenkle igjen alt som kan forenkles:

Slippe kjeder:

Og omvendt erstatning:

Nå husker vi "tapene": løsningen gikk inn i det generelle integralet ved , men - "fløy forbi kassaapparatet", fordi dukket opp i nevneren. Derfor tildeles det i svaret en egen setning, og ja - ikke glem den tapte avgjørelsen, som forresten også viste seg å ligge nederst.

Svar: generell integral: . Flere løsninger:

Det er ikke så vanskelig å uttrykke den generelle løsningen her:
, men dette er allerede show-off.

Praktisk imidlertid for testing. La oss finne den deriverte:

og erstatter til venstre side av ligningen:

– som et resultat ble høyre side av ligningen oppnådd, som måtte kontrolleres.

Følgende diffur er alene:

Eksempel 6

Løs differensialligning

Full løsning og svar på slutten av timen. Prøv samtidig for trening og uttrykk den generelle løsningen her.

I den siste delen av leksjonen vil vi vurdere et par mer karakteristiske oppgaver om emnet:

Eksempel 7

Løs differensialligning

Løsning: La oss gå allfarvei. Denne ligningen er homogen, la oss endre:

Med "x" er alt i orden, men hva med kvadrattrinomialet? Siden det er uoppløselig i faktorer: , så mister vi definitivt ikke løsninger. Det ville alltid vært slik! Velg hele firkanten på venstre side og integrer:

Det er ingenting å forenkle her, og derfor omvendt erstatning:

Svar: generell integral:

Eksempel 8

Løs differensialligning

Dette er et gjør-det-selv eksempel.

Så:

For ikke-ekvivalente konverteringer, sjekk ALLTID (i hvert fall verbalt), mister du ikke avgjørelsene dine! Hva er disse transformasjonene? Som regel reduksjon med noe eller oppdeling i noe. Så når du for eksempel deler med, må du sjekke om funksjonene er løsninger av en differensialligning. Samtidig, når deling med behovet for en slik sjekk allerede forsvinner - på grunn av det faktum at denne divisoren ikke forsvinner.

Her er en annen farlig situasjon:

Her, å bli kvitt , bør man sjekke om det er en løsning på DE. Ofte er "x", "y" funnet som en slik faktor, og ved å redusere med dem, mister vi funksjoner som kan vise seg å være løsninger.

På den annen side, hvis noe i utgangspunktet er i nevneren, så er det ingen grunn til en slik bekymring. Så, i en homogen ligning, trenger du ikke å bekymre deg for funksjonen, siden den er "erklært" i nevneren.

De oppførte finessene mister ikke sin relevans, selv om det er nødvendig å finne bare en bestemt løsning i problemet. Det er en liten, men en sjanse for at vi mister akkurat den nødvendige løsningen. Sannhet Cauchy problem i praktiske oppgaver med homogene ligninger, etterspørres det ganske sjelden. Det er imidlertid slike eksempler i artikkelen Ligninger som reduserer til homogene, som jeg anbefaler å studere "in hot pursuit" for å konsolidere løsningsferdighetene dine.

Det er også mer komplekse homogene ligninger. Vanskeligheten ligger ikke i endring av variabel eller forenklinger, men i de ganske vanskelige eller sjeldne integralene som oppstår som et resultat av separasjonen av variabler. Jeg har eksempler på løsninger på slike homogene ligninger – stygge integraler og stygge svar. Men vi vil ikke snakke om dem, for i de neste leksjonene (se nedenfor) Jeg har fortsatt tid til å torturere deg, jeg vil se deg frisk og optimistisk!

Vellykket promotering!

Løsninger og svar:

Eksempel 2: Løsning: sjekk ligningen for homogenitet, for dette, i den opprinnelige ligningen i stedet for la oss sette , og i stedet for la oss erstatte:

Som et resultat oppnås den opprinnelige ligningen, noe som betyr at denne DE er homogen.

For øyeblikket, i henhold til det grunnleggende nivået for å studere matematikk, er det bare gitt 4 timer for å studere matematikk på videregående skole (2 timer algebra, 2 timer geometri). På småskoler på landsbygda prøver de å øke timetallet på bekostning av skoledelen. Men hvis klassen er humanitær, så legges skoledelen til for å studere humanitære fag. I en liten landsby trenger ofte ikke et skolebarn å velge, han studerer i den klassen; hva som er tilgjengelig på skolen. Han skal ikke bli advokat, historiker eller journalist (det finnes slike tilfeller), men ønsker å bli ingeniør eller økonom, så eksamen i matematikk må bestå til høy score. Under slike omstendigheter må læreren i matematikk finne sin egen vei ut av denne situasjonen, i tillegg er studiet av emnet "homogene ligninger" ifølge Kolmogorovs lærebok ikke gitt. I de siste årene, for å introdusere dette emnet og forsterke det, trengte jeg to doble leksjoner. Dessverre forbød den pedagogiske tilsynskontrollen dobbelttimer på skolen, så antall øvelser måtte reduseres til 45 minutter, og følgelig ble vanskelighetsgraden på øvelsene senket til middels. Jeg gjør deg oppmerksom på en leksjonsplan om dette temaet i 10. klasse med et grunnleggende matematikknivå på en landlig, dårlig utstyrt skole.

Leksjonstype: tradisjonell.

Mål: lære å løse typiske homogene ligninger.

Oppgaver:

kognitive:

Pedagogisk:

Pedagogisk:

• Utdanning av flid gjennom tålmodig utførelse av oppgaver, en følelse av kameratskap gjennom arbeid i par og grupper.

I løpet av timene

JEG. Organisatorisk scene(3 min.)

II. Sjekke kunnskapen som er nødvendig for å assimilere nytt materiale (10 min.)

Identifiser hovedvanskene med videre analyse av oppgavene som utføres. Barna har 3 alternativer å velge mellom. Oppgaver differensiert etter graden av kompleksitet og beredskapsnivået til barna, etterfulgt av en forklaring ved tavlen.

1 nivå. Løs ligningene:

1. 3(x+4)=12,
2. 2(x-15)=2x-30
3. 5(2-x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 Svar: 7;3

2 nivå. Løs de enkleste trigonometriske ligningene og den biquadratiske ligningen:

svar:

b) x 4 -13x 3 +36=0 Svar: -2; 2; -3; 3

3. nivå. Løse ligninger ved å endre variabelmetoden:

b) x 6 -9x 3 +8=0 Svar:

III. Meldingsemner, sette mål og mål.

Emne: Homogene ligninger

Mål: lære å løse typiske homogene ligninger

Oppgaver:

kognitive:

• bli kjent med homogene ligninger, lære hvordan du løser de vanligste typene slike ligninger.

Pedagogisk:

• Utvikling av analytisk tenkning.
• Utvikling av matematiske ferdigheter: lær å fremheve hovedtrekkene ved hvilke homogene ligninger skiller seg fra andre ligninger, være i stand til å etablere likheten mellom homogene ligninger i deres ulike manifestasjoner.

IV. Assimilering av ny kunnskap (15 min.)

1. Forelesningsøyeblikk.

Definisjon 1(Skriv i notatbok). En ligning på formen P(x;y)=0 kalles homogen hvis P(x;y) er et homogent polynom.

Et polynom i to variable x og y kalles homogent hvis graden av hvert av leddene er lik det samme tallet k.

Definisjon 2(Bare en introduksjon). Formens ligninger

kalles en homogen ligning av grad n med hensyn til u(x) og v(x). Ved å dele begge sider av ligningen med (v(x))n, kan vi bruke substitusjonen for å få ligningen

Dette forenkler den opprinnelige ligningen. Saken v(x)=0 må vurderes separat, siden det er umulig å dele på 0.

2. Eksempler på homogene ligninger:

Forklar hvorfor de er homogene, gi dine egne eksempler på slike ligninger.

3. Oppgave for definisjon av homogene ligninger:

Blant de gitte ligningene, bestem homogene ligninger og forklar valget ditt:

Etter å ha forklart valget ditt på et av eksemplene, vis en måte å løse en homogen ligning på:

4. Bestem deg selv:

Svar:

b) 2sin x - 3 cos x \u003d 0

Del begge sider av ligningen med cos x, vi får 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +

5. Vis brosjyreeksempelløsning«P.V. Chulkov. Ligninger og ulikheter i skoleløpet i matematikk. Moscow Pedagogical University "First of September" 2006 s.22. Som et av de mulige eksemplene på USE-nivå C.

V. Løs for å konsolidere i henhold til Bashmakovs lærebok

s. 183 nr. 59 (1.5) eller i henhold til læreboken redigert av Kolmogorov: s. 81 nr. 169 (a, c)

svar:

VI. Kontroll, selvstendig arbeid (7 min.)

Svar på oppgaver:

Alternativ 1 a) Svar: arctg2+πn,n € Z; b) Svar: ±π/2+ 3πn,n € Z; i)

Alternativ 2 a) Svar: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; b) Svar: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; c) (-5; -2); (5;2)

VII. Hjemmelekser

nr. 169 ifølge Kolmogorov, nr. 59 ifølge Bashmakov.

Løs i tillegg ligningssystemet:

Svar: arctg(-1±√3) +πn ,

Referanser:

1. P.V. Chulkov. Ligninger og ulikheter i skoleløpet i matematikk. - M .: Pedagogisk universitet "First of September", 2006. s. 22
2. A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovich, M. Yakir. Trigonometri. - M .: "AST-PRESS", 1998, s. 389
3. Algebra for klasse 8, redigert av N.Ya. Vilenkin. - M .: "Enlightenment", 1997.
4. Algebra for klasse 9, redigert av N.Ya. Vilenkin. Moskva "Enlightenment", 2001.
5. M.I. Bashmakov. Algebra og begynnelsen av analysen. For klassetrinn 10-11 - M .: "Enlightenment" 1993
6. Kolmogorov, Abramov, Dudnitsyn. Algebra og begynnelsen av analysen. For 10-11 klassetrinn. - M .: "Enlightenment", 1990.
7. A.G. Mordkovich. Algebra og begynnelsen av analysen. Del 1 Lærebok 10-11 klassetrinn. - M .: "Mnemosyne", 2004.