Forberedelse til eksamen i matematikk (profilnivå): oppgaver, løsninger og forklaringer. Grammatiske kommunikasjonsmidler

Oppgave 2 BRUK i samfunnet: hvordan løses

Kompleksiteten i denne oppgaven 2 BRUK i samfunnsvitenskap er at den krever at du finner et generaliserende ord for det angitte antallet termer. Et generaliserende ord er et generisk begrep eller begrep som i sin betydning inkluderer betydningen av andre begreper og begreper. Som i andre BRUK-oppdrag i samfunnet, kan oppdragstemaene være svært forskjellige: den sosiale sfæren, politisk, åndelig osv.

Her er for eksempel en oppgave fra en ekte BRUK-test i samfunnet:

Det blir umiddelbart klart for intelligente gutter og jenter at de foreslåtte ordene relaterer seg til emnet "spirituelle samfunnets sfære", nemlig til temaet religion. Hvis du synes det er vanskelig å svare med en gang, anbefaler jeg å lese mitt forrige innlegg "". Etter å ha lest vilkårene, blir det umiddelbart klart for de mest kunnskapsrike at det kun er to alternativer for svaret: kult og religion. Hva ville vært mer generelt? En kult er tilbedelse av noe.

For et eksperiment kan du sette en kost i hjørnet av rommet ditt. Og be til ham hver dag, snakk med ham... Om en måned vil det være den mest verdifulle gjenstanden for deg :). Lag en kult av kosten. Hva er religion? Dette er en spesifikk form for verdensbilde, bevissthet om verden. Det er klart at begrepet "religion" inkluderer begrepet "kult", siden verdensbildet kan omfatte tilbedelse av ulike guddommer. For eksempel hedenskap blant de østlige slaverne: noen hadde kulten av Perun (guden for torden og lyn), andre hadde kulten til myrguden, etc.

Eller, for eksempel, ortodoks kristendom: det er en kult av Jesus Kristus, det er en kult av Den Hellige Ånd, det er en kult av de aller helligste Theotokos... Forstår du?

OK. Så det riktige svaret er religion.

Anbefaling 2 Du må kjenne begrepene og begrepene fra ulike emner innen samfunnsvitenskap godt. Forstå hvilke begreper som er knyttet til hvilke, og hvilke som følger av dem. For å gjøre dette, i mitt betalte videokurs "Samfunnsvitenskap: BRUK for 100 poeng " Jeg ga strukturen av begreper om alle emner innen samfunnsvitenskap. Jeg anbefaler også på det sterkeste artikkelen min om.

La oss ta en titt på en annen oppgave 2 i Unified State Examination i samfunnsfag:

Vi forstår umiddelbart at i oppgave 2 av BRUK, er temaet sosial sfære sjekket. Hvis du har glemt emnet, last ned mitt gratis videokurs. Hvis du ikke gjør det, vil du sannsynligvis gjøre en feil. Logikken til noen mennesker er så skjev at det bare er tinn! I mellomtiden er det riktige svaret: "sosialiseringsagent" - en gruppe eller forening som deltar i individets utvikling av samfunnets regler og normer, så vel som sosiale roller. Hvis du ikke er kjent med disse vilkårene, anbefaler jeg nok en gang å laste ned gratis videokurset mitt.

Anbefaling 3 Vær ekstremt forsiktig! Løs igjen og igjen oppgave 2 i Unified State Examination i samfunnsfag for å gjøre dette kvalitativt på maskinen. For eksempel er en lignende oppgave vanskeligere:

Temaet "Vitenskap" er fra samfunnets åndelige sfære. Forresten, jeg hadde en detaljert artikkel om dette emnet. Personer som ikke er særlig oppmerksomme vil umiddelbart gjøre en feil ved å angi i svaret: klassifiseringsgrunnlaget, eller teoretisk gyldighet. Mellom riktig svar: vitenskapelig kunnskap , som inkluderer både ulike klassifikasjoner og teoretisk gyldighet!

I de følgende innleggene vil vi definitivt analysere andre ikke enkle oppgaver i samfunnet, derfor !

Jeg legger ved et par oppgaver til 2. eksamen i samfunnet som du kan bestemme:

Videregående allmennutdanning

Linje UMK G.K. Muravina. Algebra og begynnelsen av matematisk analyse (10-11) (dyp)

Linje UMK Merzlyak. Algebra og begynnelsen av analyse (10-11) (U)

Matte

Forberedelse til eksamen i matematikk (profilnivå): oppgaver, løsninger og forklaringer

Eksamensoppgaven på profilnivå varer i 3 timer 55 minutter (235 minutter).

Minimum terskel– 27 poeng.

Eksamensoppgaven består av to deler, som er forskjellige i innhold, kompleksitet og antall oppgaver.

Det definerende trekk ved hver del av arbeidet er oppgaveformen:

• del 1 inneholder 8 oppgaver (oppgave 1-8) med et kort svar i form av et heltall eller en siste desimalbrøk;
• del 2 inneholder 4 oppgaver (oppgavene 9-12) med et kort svar i form av et heltall eller en siste desimalbrøk og 7 oppgaver (oppgavene 13-19) med et detaljert svar (full oversikt over avgjørelsen med begrunnelsen for utførte handlinger).

Panova Svetlana Anatolievna, lærer i matematikk av skolens høyeste kategori, arbeidserfaring på 20 år:

"For å få et skolebevis, må en nyutdannet bestå to obligatoriske eksamener i form av Unified State Examination, hvorav den ene er matematikk. I samsvar med konseptet for utvikling av matematisk utdanning i den russiske føderasjonen, er Unified State Exam i matematikk delt inn i to nivåer: grunnleggende og spesialisert. I dag vil vi vurdere alternativer for profilnivået.

Oppgave nummer 1- sjekker USE-deltakernes evne til å anvende ferdighetene tilegnet i løpet av 5-9 karakterer i elementær matematikk i praktiske aktiviteter. Deltakeren må ha regneferdigheter, kunne arbeide med rasjonelle tall, kunne avrunde desimalbrøker, kunne gjøre om en måleenhet til en annen.

Eksempel 1 I leiligheten der Petr bor ble det installert en kaldtvannsmåler (måler). Første mai viste måleren et forbruk på 172 kubikkmeter. m vann, og den første juni - 177 kubikkmeter. m. Hvilket beløp bør Peter betale for kaldt vann for mai, hvis prisen på 1 cu. m kaldt vann er 34 rubler 17 kopek? Gi svaret ditt i rubler.

Løsning:

1) Finn mengden vann som brukes per måned:

177 - 172 = 5 (cu m)

2) Finn hvor mye penger som skal betales for det brukte vannet:

34,17 5 = 170,85 (gni)

Svar: 170,85.

Oppgave nummer 2- er en av de enkleste oppgavene på eksamen. Flertallet av nyutdannede takler det med hell, noe som indikerer besittelse av definisjonen av funksjonsbegrepet. Oppgavetype nr. 2 i henhold til kravkodifisereren er en oppgave for å bruke tilegnet kunnskap og ferdigheter i praktiske aktiviteter og hverdagsliv. Oppgave nr. 2 består i å beskrive, bruke funksjoner, ulike reelle sammenhenger mellom størrelser og tolke deres grafer. Oppgave nummer 2 tester evnen til å trekke ut informasjon presentert i tabeller, diagrammer, grafer. Nyutdannede må være i stand til å bestemme verdien av en funksjon ved verdien av argumentet med forskjellige måter å spesifisere funksjonen på og beskrive funksjonen og egenskapene til funksjonen i henhold til dens graf. Det er også nødvendig å kunne finne den største eller minste verdien fra funksjonsgrafen og bygge grafer over de studerte funksjonene. Feilene som gjøres er av tilfeldig karakter når man leser forholdene for problemet, leser diagrammet.

#ADVERTISING_INSERT#

Eksempel 2 Figuren viser endringen i bytteverdien til én aksje i et gruveselskap i første halvdel av april 2017. 7. april kjøpte forretningsmannen 1000 aksjer i dette selskapet. 10. april solgte han tre fjerdedeler av de kjøpte aksjene, og 13. april solgte han alle de resterende. Hvor mye tapte forretningsmannen som følge av disse operasjonene?

Løsning:

2) 1000 3/4 = 750 (aksjer) - utgjør 3/4 av alle kjøpte aksjer.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rubler) - forretningsmannen mottok etter salg av 1000 aksjer.

7) 340 000 - 325 000 = 15 000 (rubler) - forretningsmannen tapte som et resultat av alle operasjoner.

Svar: 15000.

Oppgave nummer 3- er en oppgave på grunnleggende nivå i den første delen, den kontrollerer evnen til å utføre handlinger med geometriske former i henhold til innholdet i kurset "Planimetri". Oppgave 3 tester evnen til å beregne arealet til en figur på rutete papir, evnen til å beregne gradmål av vinkler, beregne omkrets, etc.

Eksempel 3 Finn arealet til et rektangel tegnet på rutepapir med en cellestørrelse på 1 cm x 1 cm (se figur). Gi svaret i kvadratcentimeter.

Løsning: For å beregne arealet til denne figuren kan du bruke toppformelen:

For å beregne arealet til dette rektangelet bruker vi toppformelen:

Eksempel 4 Det er 5 røde og 1 blå prikker på sirkelen. Bestem hvilke polygoner som er større: de med alle røde toppunkter, eller de med en av de blå toppunktene. I svaret ditt, angi hvor mange flere av den ene enn den andre.

Løsning: 1) Vi bruker formelen for antall kombinasjoner fra n elementer av k:

alle hjørnene er røde.

3) En femkant med alle røde hjørner.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polygoner med alle røde hjørner.

hvis toppunkter er røde eller med ett blått toppunkt.

hvis toppunkter er røde eller med ett blått toppunkt.

8) En sekskant hvis toppunkter er røde med en blå toppunkt.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygoner som har alle røde toppunkter eller ett blått toppunkt.

10) 42 - 16 = 26 polygoner som bruker den blå prikken.

11) 26 - 16 = 10 polygoner - hvor mange polygoner, der en av toppunktene er en blå prikk, er flere enn polygoner, der alle toppunktene kun er røde.

Svar: 10.

Oppgave nummer 5- det grunnleggende nivået i første del tester evnen til å løse de enkleste ligningene (irrasjonelle, eksponentielle, trigonometriske, logaritmiske).

Eksempel 5 Løs ligning 2 3 + x= 0,4 5 3 + x .

Løsning. Del begge sider av denne ligningen med 5 3 + X≠ 0, får vi

hvorfra det følger at 3 + x = 1, x = –2.

Svar: –2.

Oppgave nummer 6 i planimetri for å finne geometriske størrelser (lengder, vinkler, arealer), modellering av virkelige situasjoner på geometrispråket. Studiet av de konstruerte modellene ved hjelp av geometriske konsepter og teoremer. Kilden til vanskeligheter er som regel uvitenhet eller feilaktig anvendelse av de nødvendige planimetrisetningene.

Arealet av en trekant ABC tilsvarer 129. DE- midtlinje parallelt med siden AB. Finn arealet av trapesen EN SENG.

Løsning. Triangel CDE ligner på en trekant DROSJE ved to hjørner, siden hjørnet ved toppunktet C generelt, vinkel CDE lik vinkelen DROSJE som de tilsvarende vinklene ved DE || AB sekant AC. Fordi DE er midtlinjen i trekanten ved betingelsen, deretter av egenskapen til midtlinjen | DE = (1/2)AB. Så likhetskoeffisienten er 0,5. Arealene til lignende figurer er relatert som kvadratet av likhetskoeffisienten, så

Følgelig S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Oppgave nummer 7- kontrollerer anvendelsen av den deriverte til studiet av funksjonen. For vellykket implementering er en meningsfull, ikke-formell besittelse av begrepet et derivat nødvendig.

Eksempel 7 Til grafen til funksjonen y = f(x) på punktet med abscissen x 0 tegnes en tangent som er vinkelrett på den rette linjen som går gjennom punktene (4; 3) og (3; -1) i denne grafen. Finne f′( x 0).

Løsning. 1) La oss bruke ligningen til en rett linje som går gjennom to gitte punkter og finne ligningen til en rett linje som går gjennom punktene (4; 3) og (3; -1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (-en)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x– 13, hvor k 1 = 4.

2) Finn hellingen til tangenten k 2 som er vinkelrett på linjen y = 4x– 13, hvor k 1 = 4, i henhold til formelen:

3) Helningen til tangenten er den deriverte av funksjonen i kontaktpunktet. Midler, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Svar: –0,25.

Oppgave nummer 8- sjekker kunnskapen om elementær stereometri blant eksamensdeltakerne, evnen til å bruke formler for å finne overflatearealer og volumer av figurer, dihedriske vinkler, sammenligne volumene til lignende figurer, kunne utføre handlinger med geometriske figurer, koordinater og vektorer, etc. .

Volumet til en terning som er omskrevet rundt en kule er 216. Finn radiusen til kulen.

Løsning. 1) V kube = en 3 (hvor en er lengden på kanten av kuben), så

en 3 = 216

en = 3 √216

2) Siden sfæren er innskrevet i en terning, betyr det at lengden på sfærens diameter er lik lengden på kanten av kuben, derfor d = en, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Oppgave nummer 9- krever at kandidaten transformerer og forenkler algebraiske uttrykk. Oppgave nr. 9 av økt kompleksitetsnivå med kort svar. Oppgaver fra avsnittet "Beregninger og transformasjoner" i USE er delt inn i flere typer:

transformasjoner av numeriske rasjonelle uttrykk;

transformasjoner av algebraiske uttrykk og brøker;

transformasjoner av numeriske/bokstavirrasjonelle uttrykk;

handlinger med grader;

transformasjon av logaritmiske uttrykk;

1. konvertering av numeriske/bokstav trigonometriske uttrykk.

Eksempel 9 Beregn tgα hvis det er kjent at cos2α = 0,6 og

Løsning. 1) La oss bruke dobbeltargumentformelen: cos2α = 2 cos 2 α - 1 og finne

Derfor er tan 2a = ± 0,5.

3) Etter tilstand

derfor er α vinkelen til andre kvartal og tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Svar: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Oppgave nummer 10- sjekker elevenes evne til å bruke tilegnet tidlig kunnskap og ferdigheter i praktiske aktiviteter og hverdagsliv. Vi kan si at dette er problemer i fysikk, og ikke i matematikk, men alle nødvendige formler og størrelser er gitt i tilstanden. Oppgavene reduseres til å løse en lineær eller andregradsligning, eller en lineær eller kvadratisk ulikhet. Derfor er det nødvendig å kunne løse slike likninger og ulikheter, og bestemme svaret. Svaret må være i form av et helt tall eller en siste desimalbrøk.

To massekropper m= 2 kg hver, beveger seg med samme hastighet v= 10 m/s i en vinkel på 2α til hverandre. Energien (i joule) som frigjøres under deres absolutt uelastiske kollisjon, bestemmes av uttrykket Q = mv 2 sin 2 α. Ved hvilken minste vinkel 2α (i grader) må kroppene bevege seg slik at minst 50 joule frigjøres som følge av kollisjonen?
Løsning. For å løse problemet må vi løse ulikheten Q ≥ 50, på intervallet 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

Siden α ∈ (0°; 90°), vil vi bare løse

Vi representerer løsningen av ulikheten grafisk:

Siden ved antagelse α ∈ (0°; 90°), betyr det at 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Oppgave nummer 11– er typisk, men det viser seg å være vanskelig for elevene. Hovedkilden til vanskeligheter er konstruksjonen av en matematisk modell (tegning av en ligning). Oppgave nummer 11 tester evnen til å løse ordoppgaver.

Eksempel 11. I løpet av vårpausen måtte 11-klassingen Vasya løse 560 treningsproblemer for å forberede seg til eksamen. Den 18. mars, på siste skoledag, løste Vasya 5 problemer. Så hver dag løste han like mange problemer mer enn dagen før. Bestem hvor mange problemer Vasya løste 2. april på den siste dagen i ferien.

560 = (5 + en 16) 8,

5 + en 16 = 560: 8,

5 + en 16 = 70,

en 16 = 70 – 5

en 16 = 65.

Svar: 65.

Oppgave nummer 12- sjekke elevenes evne til å utføre handlinger med funksjoner, kunne anvende den deriverte på studiet av funksjonen.

Finn maksimumspunktet for en funksjon y= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Løsning: 1) Finn domenet til funksjonen: x + 9 > 0, x> –9, det vil si x ∈ (–9; ∞).

2) Finn den deriverte av funksjonen:

4) Det funnet punktet tilhører intervallet (–9; ∞). Vi definerer tegnene til den deriverte av funksjonen og viser funksjonen til funksjonen i figuren:

Ønsket maksimumspunkt x = –8.

a) Løs ligningen 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Finn alle røttene til denne ligningen som tilhører segmentet.

Løsning: a) La logg 3 (2cos x) = t, deretter 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

b) Finn røttene som ligger på segmentet .

Det kan ses av figuren at det gitte segmentet har røtter

Omkretsdiameteren til bunnen av sylinderen er 20, generatrisen til sylinderen er 28. Planet skjærer bunnene langs akkorder med lengde 12 og 16. Avstanden mellom akkordene er 2√197.

a) Bevis at sentrene til sylinderens base ligger på samme side av dette planet.

b) Finn vinkelen mellom dette planet og planet til bunnen av sylinderen.

Løsning: a) En korde med lengde 12 er i en avstand = 8 fra midten av grunnsirkelen, og en korde med lengde 16 er på samme måte i en avstand på 6. Derfor er avstanden mellom deres projeksjoner på et plan parallelt med basene på sylindrene er enten 8 + 6 = 14, eller 8 - 6 = 2.

Da er avstanden mellom akkordene enten

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

I henhold til betingelsen ble det andre tilfellet realisert, der fremspringene til akkordene ligger på den ene siden av sylinderens akse. Dette betyr at aksen ikke skjærer dette planet i sylinderen, det vil si at basene ligger på den ene siden av den. Det som måtte bevises.

b) La oss betegne sentrene til basene som O 1 og O 2. La oss tegne fra midten av basen med en akkord med lengde 12 den vinkelrette halveringslinjen til denne akkorden (den har en lengde på 8, som allerede nevnt) og fra midten av den andre basen til en annen akkord. De ligger i samme plan β vinkelrett på disse akkordene. La oss kalle midtpunktet til den mindre akkorden B, større enn A, og projeksjonen av A på den andre basen H (H ∈ β). Da er AB,AH ∈ β og derfor AB,AH vinkelrett på akkorden, det vil si skjæringslinjen mellom basen og det gitte planet.

Så den nødvendige vinkelen er

Oppgave nummer 15- et økt kompleksitetsnivå med et detaljert svar, kontrollerer evnen til å løse ulikheter, den mest vellykkede løst blant oppgavene med et detaljert svar på et økt kompleksitetsnivå.

Eksempel 15 Løs ulikheten | x 2 – 3x| logg 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Løsning: Definisjonsdomenet for denne ulikheten er intervallet (–1; +∞). Vurder tre tilfeller separat:

1) La x 2 – 3x= 0, dvs. X= 0 eller X= 3. I dette tilfellet blir denne ulikheten sann, derfor er disse verdiene inkludert i løsningen.

2) La nå x 2 – 3x> 0, dvs. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). I dette tilfellet kan denne ulikheten skrives om i formen ( x 2 – 3x) logg 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 og del med et positivt uttrykk x 2 – 3x. Vi får logg 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 -1 eller x≤ -0,5. Med tanke på definisjonsdomenet har vi x ∈ (–1; –0,5].

3) Til slutt, vurder x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). I dette tilfellet vil den opprinnelige ulikheten skrives om i formen (3 x – x 2) logg 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Etter å ha dividert med et positivt uttrykk 3 x – x 2, vi får logg 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Med hensyn til arealet har vi x ∈ (0; 1].

Ved å kombinere de oppnådde løsningene får vi x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Svar: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Oppgave nummer 16- avansert nivå refererer til oppgavene i andre del med et detaljert svar. Oppgaven tester evnen til å utføre handlinger med geometriske former, koordinater og vektorer. Oppgaven inneholder to elementer. I første ledd skal oppgaven bevises, og i andre ledd skal den beregnes.

I en likebenet trekant ABC med en vinkel på 120° ved toppunktet A, tegnes en halveringslinje BD. Rektangel DEFH er innskrevet i trekant ABC slik at side FH ligger på segment BC og toppunkt E ligger på segment AB. a) Bevis at FH = 2DH. b) Finn arealet av rektangelet DEFH hvis AB = 4.

Løsning: en)

1) ΔBEF - rektangulær, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, så EF = BE på grunn av egenskapen til benet motsatt vinkelen på 30°.

2) La EF = DH = x, så BE = 2 x, BF = x√3 ved Pythagoras teorem.

3) Siden ΔABC er likebenet, så er ∠B = ∠C = 30˚.

BD er halveringslinjen til ∠B, så ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Tenk på ΔDBH - rektangulær, fordi DH⊥BC.

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = ED EF = (3 - √3 ) 2(3 - √3 )

S DEFH = 24 - 12√3.

Svar: 24 – 12√3.

Eksempel 17. Innskuddet på 20 millioner rubler er planlagt åpnet i fire år. Ved utgangen av hvert år øker banken innskuddet med 10 % sammenlignet med størrelsen ved inngangen til året. I tillegg, ved begynnelsen av tredje og fjerde år, fyller innskyter årlig på innskuddet med X millioner rubler, hvor X - hel Antall. Finn den høyeste verdien X, hvor banken vil legge til mindre enn 17 millioner rubler til innskuddet om fire år.

Løsning: På slutten av det første året vil bidraget være 20 + 20 · 0,1 = 22 millioner rubler, og på slutten av det andre - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 millioner rubler. Ved begynnelsen av det tredje året vil bidraget (i millioner rubler) være (24,2 + X), og på slutten - (24,2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Ved begynnelsen av det fjerde året vil bidraget være (26,62 + 2,1 X), og på slutten - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Etter betingelse må du finne det største heltall x som ulikheten for

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

Den største heltallsløsningen på denne ulikheten er tallet 24.

Svar: 24.

På hva en system av ulikheter

har nøyaktig to løsninger?

Løsning: Dette systemet kan skrives om som

Hvis vi tegner på planet settet med løsninger til den første ulikheten, får vi det indre av en sirkel (med en grense) med radius 1 sentrert ved punktet (0, en). Settet med løsninger av den andre ulikheten er den delen av planet som ligger under grafen til funksjonen y = | x| – en, og sistnevnte er grafen til funksjonen
y = | x| , flyttet ned av en. Løsningen til dette systemet er skjæringspunktet mellom løsningssettene til hver av ulikhetene.

Følgelig vil dette systemet kun ha to løsninger i tilfellet vist i fig. en.

Kontaktpunktene mellom sirkelen og linjene vil være de to løsningene til systemet. Hver av de rette linjene er skråstilt til aksene i en vinkel på 45°. Så trekanten PQR- rektangulære likebenete. Punktum Q har koordinater (0, en), og poenget R– koordinater (0, – en). I tillegg kutt PR og PQ er lik sirkelradius lik 1. Derfor,

La sn sum P medlemmer av en aritmetisk progresjon ( en s). Det er kjent at S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Gi formelen P medlem av denne progresjonen.

b) Finn den minste modulosummen S n.

c) Finn den minste P, ved hvilken S n vil være kvadratet av et heltall.

Løsning: a) Selvfølgelig, en n = S n – S n- en . Ved å bruke denne formelen får vi:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

midler, en n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) fordi S n = 2n 2 – 25n, og vurder deretter funksjonen S(x) = | 2x 2 – 25x|. Grafen hennes kan sees på figuren.

Det er åpenbart at den minste verdien nås ved heltallspunktene som ligger nærmest nullpunktene til funksjonen. Dette er åpenbart poeng. X= 1, X= 12 og X= 13. Siden, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, så er den minste verdien 12.

c) Det følger av forrige ledd at sn positiv siden n= 13. Siden S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), så realiseres det åpenbare tilfellet når dette uttrykket er et perfekt kvadrat n = 2n- 25, altså med P= 25.

Det gjenstår å sjekke verdiene fra 13 til 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Det viser seg at for mindre verdier P full firkant oppnås ikke.

Svar: en) en n = 4n- 27; b) 12; c) 25.

________________

*Siden mai 2017 har den felles publiseringsgruppen DROFA-VENTANA vært en del av Russian Textbook Corporation. Selskapet inkluderte også Astrel forlag og den digitale utdanningsplattformen LECTA. Alexander Brychkin, utdannet ved Financial Academy under regjeringen i den russiske føderasjonen, kandidat for økonomiske vitenskaper, leder for innovative prosjekter i DROFA-forlaget innen digital utdanning (elektroniske former for lærebøker, Russian Electronic School, LECTA digital educational plattform) har blitt utnevnt til daglig leder. Før han begynte i DROFA forlag, hadde han stillingen som visepresident for strategisk utvikling og investeringer i EKSMO-AST forlag. I dag har Russian Textbook Publishing Corporation den største porteføljen av lærebøker inkludert i den føderale listen - 485 titler (omtrent 40%, unntatt lærebøker for kriminalomsorgsskoler). Selskapets forlag eier settene med lærebøker i fysikk, tegning, biologi, kjemi, teknologi, geografi, astronomi, mest etterspurt av russiske skoler - kunnskapsområdene som trengs for å utvikle landets produksjonspotensial. Selskapets portefølje inkluderer lærebøker og læremidler for grunnskoler som er tildelt presidentens pris i utdanning. Dette er lærebøker og håndbøker om fagområder som er nødvendige for utviklingen av Russlands vitenskapelige, tekniske og industrielle potensial.

Leksikalske kommunikasjonsmidler:

1. Leksikalsk repetisjon- repetisjon av samme ord. Rundt byen på de lave åsene er skoger, mektige, uberørte. I skogene var det store enger og døvevann med enorme gamle furuer langs bredden.
2. Rotord. Selvfølgelig kjente en slik mester sin egen verdi, følte forskjellen mellom seg selv og en ikke så talentfull person, men han visste utmerket godt en annen forskjell - forskjellen mellom seg selv og en mer begavet person. Respekt for de mer dyktige og erfarne er det første tegn på talent.
3. Synonymer. Vi så en elg i skogen. Sukhaty gikk langs kanten av skogen og var ikke redd for noen.
4. Antonymer. Naturen har mange venner. Hun har færre fiender.
5. Beskrivende setninger. De bygde en motorvei. En støyende, rask elv av liv knyttet regionen til hovedstaden.

Grammatikk kommunikasjonsmidler:

1. Personlige pronomen. 1) Og nå lytter jeg til stemmen til en eldgammel bekk. Han kurrer som en vill due. 2) Oppfordringen til vern av skog bør først og fremst rettes til ungdom. Det er opp til henne å leve og klare seg på denne jorden, for henne å dekorere den. 3) Han kom uventet tilbake til hjembyen. Hans ankomst gledet og skremte moren.
2. Demonstrative pronomen(slik, det, dette) 1) En mørk himmel med lyse, nålestjerner fløt over landsbyen. Slike stjerner vises bare om høsten. 2) Kornskrikene skrek med et fjernt, søtt rykk. Disse corncrakes og solnedganger er uforglemmelige; ren visjon bevarte dem for alltid. - i den andre teksten, kommunikasjonsmidler - leksikalsk repetisjon og demonstrativt pronomen "disse".
3. Pronominale adverb(der, så, da osv.) Han [Nikolai Rostov] visste at denne historien bidro til glorifiseringen av våre våpen, og derfor var det nødvendig å late som om du ikke tvilte på det. Og det gjorde han.
4. Fagforeninger(for det meste skriver) Det var mai 1945. Tornet vår. Folket og jorden gledet seg. Moskva hilste heltene. Og gleden steg opp i himmelen med lys. Med samme aksent og latter begynte offiserene raskt å samles; igjen legg samovaren på det skitne vannet. Men Rostov, uten å vente på te, dro til skvadronen.
5. Partikler.
6. Innledende ord og konstruksjoner(med et ord, så, for det første, osv.) Unge mennesker snakket om alt russisk med forakt eller likegyldighet og forutsa spøkefullt skjebnen til Rhinforbundet for Russland. Med et ord, samfunnet var ganske ekkelt.
7. Enhet av aspekt tidsformer av verb- bruken av de samme formene for grammatisk tid, som indikerer samtidigheten eller rekkefølgen av situasjoner. Imitasjonen av den franske tonen fra Louis XVs tid var på moten. Kjærligheten til fedrelandet virket pedanteri. Datidens vise menn roste Napoleon med fanatisk trangsyn og spøkte med våre feil. Alle verb er i preteritum.
8. Ufullstendige setninger og ellipse, med henvisning til de tidligere elementene i teksten: Gorkin skjærer brød, deler ut skiver. Han setter meg også: stor, du vil dekke hele ansiktet ditt.
9. Syntaks-parallellisme- samme konstruksjon av flere tilstøtende setninger. Å vite hvordan man snakker er en kunst. Å lytte er kultur.

Semantiske relasjoner uttrykt av koordinerende fagforeninger:

1. Kobler til: og, ja(=og), og...og..., ikke bare... men også, liker... og, også, også
2. Avdelere: eller, enten, da ... det, ikke det ... ikke det, eller ... eller, enten ... eller
3. Motsatte: men, ja (= men), derimot, men
4. Gradering: ikke bare, men også, ikke så mye ... hvor mye, ikke det ... men
5. Forklarende: altså
6. Kobler til: også, også, ja, og dessuten, dessuten
7. også, ja, og det vil si, dvs.

Semantiske relasjoner uttrykt av underordnede fagforeninger:

• Midlertidig: når, mens, neppe, bare, mens, bare, bare, litt
• Årsak: fordi, fordi, fordi, i lys av det faktum at, på grunn av det faktum at, på grunn av det faktum at, fordi (foreldet), på grunn av det faktum at
• Betinget: hvis (hvis, hvis, hvis - utdatert.), hvis, en gang, hvor snart
• Mål: slik at, for å, slik at (foreldet), for å, for å
• Konsekvenser: så
• Innrømmelser: selv om det til tross for det
• Sammenlignende: som, som om, som om, nøyaktig, enn, som om, liker, heller enn (foreldet)
• Forklarende: hva, hvordan
• Konjunksjoner brukes ikke i begynnelsen av en setning: så, enn, enn, samt forklarende konjunksjoner: hva, hvordan, til.

I oppgave nr. 2 av BRUK i matematikk er det nødvendig å demonstrere kunnskap om arbeid med maktuttrykk.

Teori for oppgave nummer 2

Reglene for håndtering av grader kan representeres som følger:

I tillegg bør det huskes om operasjoner med brøker:

Nå kan vi gå videre til analysen av typiske alternativer! 🙂

Analyse av typiske alternativer for oppgaver nr. 2 BRUK i matematikk på et grunnleggende nivå

Den første versjonen av oppgaven

Finn verdien av et uttrykk

Utførelsesalgoritme:

1. Uttrykk et negativt tall som en egenbrøk.
2. Gjør den første multiplikasjonen.
3. Representer potenser av tall som primtall, og erstatte potenser med multiplikasjon.
4. Utfør multiplikasjon.
5. Utfør tillegg.

Løsning:

Det vil si: 10 -1 = 1/10 1 = 1/10

La oss utføre den første multiplikasjonen, det vil si multiplikasjonen av et heltall med en egenbrøk. For å gjøre dette, multipliser telleren av brøken med et heltall, og la nevneren være uendret.

9 1/10 = (9 1)/10 = 9/10

Den første potensen av et tall er alltid selve tallet.

Den andre potensen av et tall er et tall multiplisert med seg selv.

10 2 = 10 10 = 100

Svar: 560,9

Den andre versjonen av oppgaven

Finn verdien av et uttrykk

Utførelsesalgoritme:

1. Uttrykk første potens av et tall som et heltall.
2. Uttrykk negative potenser av tall som egenbrøker.
3. Utfør heltallsmultiplikasjon.
4. Multipliser hele tall med egenbrøker.
5. Utfør tillegg.

Løsning:

Den første potensen av et tall er alltid selve tallet. (10 1 = 10)

For å representere en negativ potens av et tall som en vanlig brøk, må du dele 1 på dette tallet, men allerede til en positiv potens.

10 -1 = 1/10 1 = 1/10

10 -2 = 1/10 2 = 1/(10 10) = 1/100

La oss gjøre heltallsmultiplikasjon.

3 10 1 = 3 10 = 30

La oss multiplisere hele tall med egenbrøker.

4 10 -2 = 4 1/100 = (4 1)/100 = 4/100

2 10 -1 = 2 1/10 = (2 1)/10 = 2/10

La oss beregne verdien av uttrykket, ta hensyn til det

Svar: 30.24

Den tredje versjonen av oppgaven

Finn verdien av et uttrykk

Utførelsesalgoritme:

1. Uttrykk potensene til tall som multiplikasjon og beregn verdien av potensene til tall.
2. Utfør multiplikasjon.
3. Utfør tillegg.

Løsning:

La oss representere potenser av tall i form av multiplikasjon. For å representere potensen til et tall som en multiplikasjon, må du multiplisere dette tallet med seg selv så mange ganger som det er inneholdt i eksponenten.

2 4 = 2 2 2 2 = 16

2 3 = 2 2 2 = 8

La oss gjøre multiplikasjonen:

4 2 4 = 4 16 = 64

3 2 3 = 3 8 = 24

La oss beregne verdien av uttrykket:

Det fjerde alternativet

Finn verdien av et uttrykk

Utførelsesalgoritme:

1. Utfør handlingen i parentes.
2. Utfør multiplikasjon.

Løsning:

La oss representere kraften til et tall på en slik måte at den felles faktoren kan settes i parentes.

3 4 3 + 2 4 4 = 4 3 (3 + 2 4)

La oss gjøre parentesene.

(3 + 2 4) = (3 + 8) = 11

4 3 = 4 4 4 = 64

La oss beregne verdien av uttrykket, ta hensyn til det

Femte alternativ

Finn verdien av et uttrykk

Utførelsesalgoritme:

1. La oss representere kraften til et tall på en slik måte at den felles faktoren kan settes i parentes.
2. Ta den felles faktoren ut av braketten.
3. Utfør handlingen i parentes.
4. Uttrykk potensen til et tall som en multiplikasjon og beregn verdien av potensen til tallet.
5. Utfør multiplikasjon.

Løsning:

La oss representere kraften til et tall på en slik måte at den felles faktoren kan settes i parentes.

La oss ta den felles faktoren ut av braketten

2 5 3 + 3 5 2 = 5 2 (2 5 + 3)

La oss gjøre parentesene.

(2 5 + 3) = (10 + 3) = 13

La oss representere potensen til et tall som en multiplikasjon. For å representere potensen til et tall som en multiplikasjon, må du multiplisere dette tallet med seg selv så mange ganger som det er inneholdt i eksponenten.

5 2 = 5 5 = 25

La oss beregne verdien av uttrykket, ta hensyn til det

Vi utfører multiplikasjon i en kolonne, vi har:

Variant av den andre oppgaven fra USE 2017 (1)

Finn verdien av uttrykket:

Løsning:

I denne oppgaven er det mer praktisk å bringe verdiene til en mer kjent form, nemlig å skrive tallene i telleren og nevneren i en standardform:

Etter det kan du dele 24 med 6, som et resultat får vi 4.

Ti til fjerde potens delt på ti til tredje gir ti til første, eller bare ti, så vi får:

Variant av den andre oppgaven fra USE 2017 (2)

Finn verdien av uttrykket:

Løsning:

I dette tilfellet bør vi merke oss at tallet 6 i nevneren er faktorisert med 2 og 3 i potensen 5:

Etter det kan du redusere gradene på to: 6-5=1, for tre: 8-5=3.

Nå kuber vi 3 og multipliserer med 2, og får 54.

Variant av den andre oppgaven i 2019 (1)

Utførelsesalgoritme

1. Vi bruker de hellige grader på telleren (a x) y = a xy. Vi får 3-6.
2. Vi søker på brøkdelen av St. grader a x /a y =a x-y.
3. Hev 3 til makten.

Løsning:

(3 –3) 2 /3 –8 = 3 –6 /3 –8 = 3 –6–(–8)) = 3 –6+8 = 3 2 = 9

Variant av den andre oppgaven i 2019 (2)

Utførelsesalgoritme

1. Vi bruker for graden i telleren (14 9) St. (ab) x \u003d a x b x. Vi dekomponerer 14 til produktet av 2 og 7. Vi får produktet av potenser med basene 2 og 7.
2. La oss konvertere uttrykket til 2 brøker, som hver vil inneholde potenser med samme base.
3. Vi gjelder brøkdeler av St-in grader a x /a y =a x-y.
4. Vi finner det resulterende arbeidet.

Løsning:

14 9 / 2 7 7 8 = (2 7) 9 / 2 7 7 8 = 2 9 7 9 / 2 7 7 8 = 2 9–7 7 9–8 = 2 2 7 1 = 4 7 = 28

Variant av den andre oppgaven i 2019 (3)

Utførelsesalgoritme

1. Vi tar ut fellesfaktoren 5 2 =25.
2. Vi utfører multiplikasjonen av tallene 2 og 5 i parentes. Vi får 10.
3. Vi legger til 10 og 3 i parentes. Vi får 13.
4. Vi multipliserer fellesfaktoren 25 og 13.

Løsning:

2 5 3 +3 5 2 = 5 2 (2 5+3) = 25 (10+3) = 25 13 = 325

Variant av den andre oppgaven i 2019 (4)

Utførelsesalgoritme

1. Vi firkanter (-1). Vi får 1, fordi vi hever til jevn styrke.
2. Hev (-1) til 5. potens. Vi får -1, fordi hevet til en merkelig kraft.
3. La oss gjøre multiplikasjonen.
4. Vi får forskjellen på to tall. Vi finner henne.

Løsning:

6 (–1) 2 +4 (–1) 5 = 6 1+4 (–1) = 6+(–4) = 6–4 = 2

Variant av den andre oppgaven i 2019 (5)

Utførelsesalgoritme

1. La oss konvertere faktorene 10 3 og 10 2 til heltall.
2. Vi finner produktene ved å flytte desimaltegnet til høyre med passende antall tegn.
3. Vi finner den resulterende summen.