Eksempler på løsninger av andreordens differensialligninger ved Lagrange-metoden.
2. ordens differensialligninger
§en. Metoder for å senke rekkefølgen til en ligning.
2. ordens differensialligning har formen:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( eller Differensial" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">2. ordens differensialligning). Cauchy problem for 2. ordens differensialligning (1..gif" width="85" height= "25 src= ">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.
La 2. ordens differensialligning se slik ut: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.
Dermed blir 2. ordens ligning https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Når vi løser det, får vi det generelle integralet til den opprinnelige differensialligningen, avhengig av to vilkårlige konstanter: https://pandia.ru/text/78/516/images/image020_23.gif" width="95" height="25 src =">. gif" width="76" height="25 src=">.
Løsning.
Siden det ikke er noe eksplisitt argument i den opprinnelige ligningen https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">..gif" width="35" height="25 src=">.gif" width="82" height="38 src="> ..gif" width="99" height="38 src=">.
Siden https://pandia.ru/text/78/516/images/image029_18.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width="42" height="38 src= "> .gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="68" height="35 src=">..gif" height="25 src=">.
La differensialligningen av 2. orden se slik ut: https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_39.gif" height="25 src=">..gif" width="161" height=" 25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="33" height="25 src=">..gif" width="225" height="25 src =">..gif" width="150" height="25 src=">.
Eksempel 2 Finn den generelle løsningen av ligningen: https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="107" høyde ="25 src=">..gif" width="100" height="27 src=">.gif" width="130" height="37 src=">.gif" width="34" height= "25 src =">.gif" width="183" height="36 src=">.
3. Rekkefølgen på graden reduseres hvis det er mulig å transformere den til en slik form at begge deler av ligningen blir totale derivater i henhold til https://pandia.ru/text/78/516/images/image052_13.gif " width="92" height=" 25 src=">..gif" width="98" height="48 src=">.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="282" height="25 src=">, (2.1)
hvor https://pandia.ru/text/78/516/images/image060_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> gis funksjoner som er kontinuerlige på intervallet løsningen søkes på. Forutsatt at a0(x) ≠ 0, del med (2..gif" width="215" height="25 src="> (2.2)
Anta uten bevis at (2..gif" width="82" height="25 src=">.gif" width="38" height="25 src=">.gif" width="65" height= " 25 src=">, så kalles ligning (2.2) homogen, og ligning (2.2) kalles inhomogen ellers.
La oss vurdere egenskapene til løsninger til 2. ordens lodu.
Definisjon. Lineær kombinasjon av funksjoner https://pandia.ru/text/78/516/images/image071_10.gif" width="93" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src = ">.gif" width="195" height="25 src=">, (2.3)
deretter deres lineære kombinasjon https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> i (2.3) og viser at resultatet er en identitet:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image078_10.gif" width="368" height="25 src=">.
Siden funksjonene https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> er løsninger av ligning (2.3), så er hver av parentesene i den siste ligningen er identisk lik null, noe som skulle bevises.
Konsekvens 1. Det følger av det beviste teoremet på https://pandia.ru/text/78/516/images/image080_10.gif" width="77" height="25 src="> – løsning av ligningen (2..gif) " width=" 97" height="25 src=">.gif" width="165" height="25 src="> kalles lineært uavhengig av et eller annet intervall hvis ingen av disse funksjonene er representert som en lineær kombinasjon av alle de andre.
Ved to funksjoner https://pandia.ru/text/78/516/images/image085_11.gif" width="119" height="25 src=">, dvs..gif" width="77" height= "47 src=">.gif" width="187" height="43 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. Dermed kan ikke Wronsky-determinanten for to lineært uavhengige funksjoner være identisk lik null.
La https://pandia.ru/text/78/516/images/image091_10.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src="> .gif" width="605" height="50">..gif" width="18" height="25 src="> tilfredsstille ligningen (2..gif" width="42" height="25 src") = "> – løsning av ligning (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width= "162 " height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> er identisk. Dermed
https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, der determinanten for lineært uavhengige løsninger av ligningen (2..gif) " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> Begge faktorene på høyre side av formel (3.2) er ikke-null.
§fire. Strukturen til den generelle løsningen til 2. ordens lodd.
Teorem. Hvis https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> er lineært uavhengige løsninger av ligningen (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">er en løsning på ligning (2.3), følger av teoremet om egenskapene til 2. ordens lodu-løsninger..gif " width="85 "height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">
Konstantene https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> fra dette systemet med lineære algebraiske ligninger er unikt bestemt, siden determinanten av dette systemet er https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. I henhold til forrige avsnitt er den generelle løsningen til 2. ordens lodu lett å bestemme hvis to lineært uavhengige partielle løsninger av denne ligningen er kjent. En enkel metode for å finne partielle løsninger til en ligning med konstante koeffisienter foreslått av L. Euler..gif" width="25" height="26 src=">, får vi en algebraisk ligning, som kalles karakteristikken:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> vil være en løsning på ligning (5.1) bare for de verdiene av k som er røttene til den karakteristiske ligningen (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> og den generelle løsningen (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. Sjekk at denne funksjonen tilfredsstiller ligningen (5.1)..gif" width="190" height="26 src=">. Setter inn disse uttrykkene i ligning (5.1), får vi
https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, because.gif" width="137" height="26 src=" >.
Private løsninger https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> er lineært uavhengige, fordi.gif" width="166" height= "26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" høyde =" 25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.
Begge parentesene på venstre side av denne likheten er identisk lik null..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> er løsning av ligning (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> vil se slik ut:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)
representert som summen av den generelle løsningen https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)
og enhver spesiell løsning https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> vil være en løsning på ligning (6.1)..gif" width=" 272" height="25 src="> f(x). Denne likheten er en identitet fordi..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Derfor.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width= "138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> er lineært uavhengige løsninger på denne ligningen. På denne måten:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, og en slik determinant, som vi så ovenfor, er forskjellig fra zero..gif" width="19" height="25 src="> fra systemet av ligninger (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> vil være løsning av ligningen
https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> inn i ligningen (6.5), får vi
https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)
hvor https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> av ligning (7.1) i tilfellet når høyre side f(x) har en spesiell Denne metoden kalles metoden for ubestemte koeffisienter og består i å velge en bestemt løsning avhengig av formen til høyre side av f(x). Tenk på høyre side av følgende form:
1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src="> kan være null. La oss angi i hvilken form den spesielle løsningen må tas i dette tilfellet.
a) Hvis nummeret er https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height=" 25 src =">.
Løsning.
For ligningen https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.
Vi forkorter begge deler med https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> i venstre og høyre del av likheten
https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">
Fra det resulterende ligningssystemet finner vi: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, og den generelle løsningen til den gitte ligningen er:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,
hvor https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.
Løsning.
Den tilsvarende karakteristiske ligningen har formen:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Til slutt vi har følgende uttrykk for den generelle løsningen:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> utmerket fra null. La oss angi formen til en bestemt løsning i dette tilfellet.
a) Hvis nummeret er https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,
hvor https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> er roten til den karakteristiske ligningen for ligningen (5..gif" bredde) ="229 "height="25 src=">,
hvor https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.
Løsning.
Røttene til den karakteristiske ligningen for ligningen https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" høyde="25 src=">.
Høyresiden av ligningen gitt i eksempel 3 har en spesiell form: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.
For å definere https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > og bytt inn i den gitte ligningen:
Bringe like termer, likestille koeffisienter på https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height= "25 src=">.
Den endelige generelle løsningen av den gitte ligningen er: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> henholdsvis, og ett av disse polynomene kan være lik null. La oss angi formen til en bestemt løsning i denne generelle sak.
a) Hvis nummeret er https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)
hvor https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.
b) Hvis nummeret er https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, vil en bestemt løsning se slik ut:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. I uttrykket (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.
Eksempel 4 Angi typen spesiell løsning for ligningen
https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Den generelle løsningen på hytta har formen:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.
Ytterligere koeffisienter https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > det er en spesiell løsning for ligningen med høyre side f1(x), og Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">variasjoner av vilkårlige konstanter (Lagrange-metoden).
Det direkte funnet av en bestemt løsning på en linje, bortsett fra tilfellet med en ligning med konstante koeffisienter, og dessuten med spesielle konstante termer, byr på store vanskeligheter. Derfor, for å finne den generelle løsningen til linduen, brukes vanligvis metoden for variasjon av vilkårlige konstanter, som alltid gjør det mulig å finne den generelle løsningen til linduen i kvadraturer, hvis det grunnleggende løsningssystemet for den tilsvarende homogene ligningen er kjent. Denne metoden er som følger.
I henhold til ovenstående er den generelle løsningen av den lineære homogene ligningen:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – ikke konstant, men noen, men ukjente, funksjoner til f(x). . må tas fra intervallet. Faktisk, i dette tilfellet er Wronsky-determinanten ikke null på alle punkter av intervallet, dvs. i hele rommet er det den komplekse roten til den karakteristiske ligningen..gif" width="20" height="25 src= "> lineært uavhengige spesielle løsninger av formen:
I den generelle løsningsformelen tilsvarer denne roten et uttrykk for formen.
Grunnleggende om å løse lineære inhomogene differensialligninger av andre orden (LNDE-2) med konstante koeffisienter (PC)
En andreordens CLDE med konstante koeffisienter $p$ og $q$ har formen $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, hvor $f\left( x \right)$ er en kontinuerlig funksjon.
De følgende to påstandene er sanne med hensyn til den andre LNDE med PC.
Anta at en funksjon $U$ er en vilkårlig spesiell løsning av en inhomogen differensialligning. La oss også anta at en funksjon $Y$ er en generell løsning (OR) av den tilsvarende lineære homogene differensialligningen (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Deretter OR for LNDE-2 er lik summen av de angitte private og generelle løsningene, dvs. $y=U+Y$.
Hvis høyre side av 2. ordens LIDE er summen av funksjoner, det vil si $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+. ..+f_(r) \left(x\right)$, så først kan du finne PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ som tilsvarer hver av funksjonene $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, og skriv deretter LNDE-2 PD som $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
Løsning av 2. ordens LNDE med PC
Det er klart at formen til en eller annen PD $U$ av en gitt LNDE-2 avhenger av den spesifikke formen til høyresiden $f\left(x\right)$. De enkleste tilfellene av å søke etter PD av LNDE-2 er formulert som følgende fire regler.
Regel nummer 1.
Høyre side av LNDE-2 har formen $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, hvor $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, det vil si at det kalles en polynom av grad $n$. Deretter søkes dens PR $U$ i formen $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, der $Q_(n) \left(x\right)$ er en annen polynom av samme grad som $P_(n) \left(x\right)$, og $r$ er antallet nullrøtter til den karakteristiske ligningen til den tilsvarende LODE-2. Koeffisientene til polynomet $Q_(n) \venstre(x\høyre)$ er funnet ved metoden med ubestemte koeffisienter (NC).
Regel nummer 2.
Høyre side av LNDE-2 har formen $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, hvor $P_(n) \left( x\right)$ er et polynom av grad $n$. Deretter søkes dens PD $U$ i formen $U=Q_(n) \venstre(x\høyre)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, hvor $Q_(n ) \ left(x\right)$ er et annet polynom av samme grad som $P_(n) \left(x\right)$, og $r$ er antall røtter til den karakteristiske ligningen til den tilsvarende LODE-2 lik $\alpha $. Koeffisientene til polynomet $Q_(n) \venstre(x\høyre)$ er funnet ved NK-metoden.
Regel nummer 3.
Høyre del av LNDE-2 har formen $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, hvor $a$, $b$ og $\beta $ er kjente tall. Deretter søkes dens PD $U$ etter i formen $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right )\right )\cdot x^(r) $, hvor $A$ og $B$ er ukjente koeffisienter, og $r$ er antall røtter til den karakteristiske ligningen til den tilsvarende LODE-2 lik $i\cdot \beta $. Koeffisientene $A$ og $B$ er funnet ved NDT-metoden.
Regel nummer 4.
Høyresiden av LNDE-2 har formen $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, hvor $P_(n) \left(x\right)$ er et polynom av grad $ n$, og $P_(m) \left(x\right)$ er et polynom med grad $m$. Deretter søkes dens PD $U$ etter i formen $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, hvor $Q_(s) \left(x\right) $ og $ R_(s) \left(x\right)$ er polynomer av grad $s$, tallet $s$ er maksimum av to tall $n$ og $m$, og $r$ er antallet av røttene til den karakteristiske ligningen til den tilsvarende LODE-2, lik $\alpha +i\cdot \beta $. Koeffisientene til polynomene $Q_(s) \venstre(x\høyre)$ og $R_(s) \venstre(x\høyre)$ finnes ved NK-metoden.
NK-metoden består i å anvende følgende regel. For å finne de ukjente koeffisientene til polynomet, som er en del av den spesielle løsningen av den inhomogene differensialligningen LNDE-2, er det nødvendig:
- erstatte PD $U$, skrevet i generell form, i venstre del av LNDE-2;
- på venstre side av LNDE-2, utfør forenklinger og grupper termer med samme potenser $x$;
- i den resulterende identiteten, likestille koeffisientene til leddene med de samme potensene $x$ på venstre og høyre side;
- løse det resulterende systemet med lineære ligninger for ukjente koeffisienter.
Eksempel 1
Oppgave: finn OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Finn også PR , som tilfredsstiller startbetingelsene $y=6$ for $x=0$ og $y"=1$ for $x=0$.
Skriv den tilsvarende LODA-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Karakteristisk ligning: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Røttene til den karakteristiske ligningen: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Disse røttene er ekte og distinkte. Dermed har ELLER for den tilsvarende LODE-2 formen: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Høyre del av denne LNDE-2 har formen $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Det er nødvendig å vurdere koeffisienten til eksponenten til eksponenten $\alpha =3$. Denne koeffisienten faller ikke sammen med noen av røttene til den karakteristiske ligningen. Derfor har PR-en til denne LNDE-2 formen $U=\venstre(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Vi vil se etter koeffisientene $A$, $B$ ved hjelp av NK-metoden.
Vi finner den første deriverte av CR:
$U"=\venstre(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\venstre(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\venstre(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Vi finner den andre deriverte av CR:
$U""=\venstre(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\venstre(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\venstre(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\venstre(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Vi erstatter funksjonene $U""$, $U"$ og $U$ i stedet for $y""$, $y"$ og $y$ i den gitte LNDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Samtidig, siden eksponenten $e^(3\cdot x) $ er inkludert som en faktor i alle komponenter, kan den utelates.
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
Vi utfører handlinger på venstre side av den resulterende likheten:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Vi bruker NC-metoden. Vi får et system av lineære ligninger med to ukjente:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Løsningen på dette systemet er: $A=-2$, $B=-1$.
CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ for problemet vårt ser slik ut: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.
OR $y=Y+U$ for problemet vårt ser slik ut: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ venstre(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
For å søke etter en PD som tilfredsstiller de gitte startbetingelsene, finner vi den deriverte $y"$ OR:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\venstre(-2\cdot x-1\høyre)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Vi erstatter i $y$ og $y"$ startbetingelsene $y=6$ med $x=0$ og $y"=1$ for $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Vi har et ligningssystem:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Vi løser det. Vi finner $C_(1) $ ved å bruke Cramers formel, og $C_(2) $ bestemmes fra den første ligningen:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\venstre(-3\høyre)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3,$
Dermed er PD for denne differensialligningen: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.
I noen fysikkproblemer kan det ikke etableres en direkte sammenheng mellom mengdene som beskriver prosessen. Men det er en mulighet for å oppnå en likhet som inneholder derivatene av funksjonene som studeres. Dette er hvordan differensialligninger oppstår og behovet for å løse dem for å finne en ukjent funksjon.
Denne artikkelen er ment for de som står overfor problemet med å løse en differensialligning der den ukjente funksjonen er en funksjon av én variabel. Teorien er bygget på en slik måte at med null forståelse av differensialligninger kan du gjøre jobben din.
Hver type differensialligninger er knyttet til en løsningsmetode med detaljerte forklaringer og løsninger på typiske eksempler og problemer. Du må bare bestemme typen differensialligning for problemet ditt, finne et lignende analysert eksempel og utføre lignende handlinger.
For å lykkes med å løse differensialligninger, vil du også trenge evnen til å finne sett med antiderivater (ubestemte integraler) av ulike funksjoner. Om nødvendig anbefaler vi at du henviser til avsnittet.
Først vurderer vi typene ordinære differensialligninger av første orden som kan løses med hensyn til den deriverte, deretter går vi videre til andreordens ODE-er, deretter dveler vi ved høyereordensligninger og avslutter med differensialligningssystemer.
Husk at hvis y er en funksjon av argumentet x .
Første ordens differensialligninger.
De enkleste differensialligningene av første rekkefølge av formen.
La oss skrive ned flere eksempler på slike DE 
.
Differensiallikninger 
kan løses med hensyn til den deriverte ved å dele begge sider av likheten med f(x) . I dette tilfellet kommer vi til ligningen , som vil være ekvivalent med den opprinnelige for f(x) ≠ 0 . Eksempler på slike ODE-er er .
Hvis det er verdier av argumentet x som funksjonene f(x) og g(x) forsvinner for samtidig, vises flere løsninger. Ytterligere løsninger til ligningen 
gitt x er alle funksjoner definert for disse argumentverdiene. Eksempler på slike differensialligninger er .
Andre ordens differensialligninger.
Andre ordens lineære homogene differensialligninger med konstante koeffisienter.
LODE med konstante koeffisienter er en veldig vanlig type differensialligninger. Løsningen deres er ikke spesielt vanskelig. Først finner man røttene til den karakteristiske ligningen 
. For forskjellige p og q er tre tilfeller mulige: røttene til den karakteristiske ligningen kan være reelle og forskjellige, reelle og sammenfallende 
eller komplekst konjugat. Avhengig av verdiene til røttene til den karakteristiske ligningen, skrives den generelle løsningen av differensialligningen som 
, eller 
, eller hhv.
Tenk for eksempel på en andreordens lineær homogen differensialligning med konstante koeffisienter. Røttene til hans karakteristiske ligning er k 1 = -3 og k 2 = 0. Røttene er ekte og forskjellige, derfor er den generelle løsningen til LDE med konstante koeffisienter
Lineære ikke-homogene andre ordens differensialligninger med konstante koeffisienter.
Den generelle løsningen av andreordens LIDE med konstante koeffisienter y søkes som summen av den generelle løsningen til den tilsvarende LODE 
og en spesiell løsning av den opprinnelige inhomogene ligningen, det vil si . Det forrige avsnittet er viet til å finne en generell løsning på en homogen differensialligning med konstante koeffisienter. Og en bestemt løsning bestemmes enten av metoden for ubestemte koeffisienter for en viss form av funksjonen f (x), som står på høyre side av den opprinnelige ligningen, eller av metoden for variasjon av vilkårlige konstanter.
Som eksempler på andreordens LIDE-er med konstante koeffisienter presenterer vi 
For å forstå teorien og bli kjent med de detaljerte løsningene av eksempler, tilbyr vi deg på siden lineære inhomogene differensialligninger av andre orden med konstante koeffisienter.
Lineære homogene differensialligninger (LODEs) 
og andreordens lineære inhomogene differensialligninger (LNDE).
Et spesielt tilfelle av differensialligninger av denne typen er LODE og LODE med konstante koeffisienter.
Den generelle løsningen til LODE på et visst intervall er representert av en lineær kombinasjon av to lineært uavhengige spesielle løsninger y 1 og y 2 av denne ligningen, det vil si, 
.
Hovedvanskeligheten ligger nettopp i å finne lineært uavhengige partielle løsninger av denne typen differensialligninger. Vanligvis velges spesielle løsninger fra følgende systemer med lineært uavhengige funksjoner: 
Spesielle løsninger er imidlertid ikke alltid presentert i denne formen.
Et eksempel på en LODU er 
.
Den generelle løsningen til LIDE søkes i formen , hvor er den generelle løsningen til den tilsvarende LODE, og er en spesiell løsning av den opprinnelige differensialligningen. Vi snakket nettopp om å finne, men det kan bestemmes ved å bruke metoden for variasjon av vilkårlige konstanter.
Et eksempel på en LNDE er 
.
Differensialligninger av høyere orden.
Differensialligninger som innrømmer rekkefølgereduksjon.
Rekkefølgen på differensialligningen 
, som ikke inneholder den ønskede funksjonen og dens deriverte opp til k-1 orden, kan reduseres til n-k ved å erstatte .
I dette tilfellet reduseres den opprinnelige differensialligningen til . Etter å ha funnet løsningen p(x), gjenstår det å gå tilbake til erstatningen og bestemme den ukjente funksjonen y .
For eksempel differensialligningen 
etter at erstatningen blir en separerbar ligning , og rekkefølgen reduseres fra den tredje til den første.
I denne delen vil vi vurdere et spesielt tilfelle av andreordens lineære ligninger, når koeffisientene til ligningen er konstante, dvs. de er tall. Slike ligninger kalles ligninger med konstante koeffisienter. Denne typen ligninger finner spesielt bred anvendelse.
1. Lineære homogene differensialligninger
andre orden med konstante koeffisienterTenk på ligningen
hvor koeffisientene er konstante. Forutsatt at å dele alle ledd i ligningen med og betegne
vi skriver denne ligningen i skjemaet
Som kjent, for å finne en generell løsning på en andreordens lineær homogen ligning, er det tilstrekkelig å kjenne til dets grunnleggende system med partielle løsninger. La oss vise hvordan det grunnleggende systemet med bestemte løsninger finnes for en homogen lineær differensialligning med konstante koeffisienter. Vi vil se etter en spesiell løsning av denne ligningen i skjemaet
Ved å differensiere denne funksjonen to ganger og erstatte uttrykkene for i ligning (59), får vi
Siden , da, redusere med får vi ligningen
Fra denne ligningen bestemmes de verdiene av k for hvilke funksjonen vil være en løsning på ligning (59).
Den algebraiske ligningen (61) for å bestemme koeffisienten k kalles den karakteristiske ligningen til den gitte differensialligningen (59).
Den karakteristiske ligningen er en ligning av andre grad og har derfor to røtter. Disse røttene kan enten være virkelig distinkte, eller ekte og like, eller komplekse konjugerte.
La oss vurdere formen til det grunnleggende systemet med delløsninger i hvert av disse tilfellene.
1. Røttene til den karakteristiske ligningen er reelle og forskjellige: . I dette tilfellet, i henhold til formel (60), finner vi to spesielle løsninger:
Disse to spesielle løsningene danner et grunnleggende system av løsninger på hele tallaksen, siden Wronsky-determinanten aldri forsvinner:
Derfor har den generelle løsningen av ligningen i henhold til formel (48) formen
2. Røttene til den karakteristiske ligningen er like: . I dette tilfellet vil begge røttene være ekte. Ved formel (60) får vi bare én bestemt løsning
La oss vise at den andre spesielle løsningen, som sammen med den første danner et fundamentalt system, har formen
Først og fremst sjekker vi at funksjonen er en løsning av ligning (59). Egentlig,
Men siden er roten til den karakteristiske ligningen (61). I tillegg, ifølge Vieta-teoremet, derfor . Derfor, dvs. funksjonen er virkelig en løsning av ligning (59).
La oss nå vise at de bestemte løsningene som er funnet danner et grunnleggende system av løsninger. Egentlig,
I dette tilfellet har altså den generelle løsningen av den homogene lineære ligningen formen
3. Røttene til den karakteristiske ligningen er komplekse. Som du vet, er de komplekse røttene til en kvadratisk ligning med reelle koeffisienter konjugerte komplekse tall, det vil si at de har formen: . I dette tilfellet vil spesielle løsninger av ligning (59), i henhold til formel (60), ha formen:
Ved å bruke Euler-formlene (se kap. XI, § 5 s. 3), kan uttrykkene for skrives på formen:
Disse løsningene er komplekse. For å få reelle løsninger, vurder de nye funksjonene
De er lineære kombinasjoner av løsninger og er derfor i seg selv løsninger av ligning (59) (se § 3, punkt 2, teorem 1).
Det er lett å vise at Wronsky-determinanten for disse løsningene er forskjellig fra null, og derfor danner løsningene et grunnleggende system av løsninger.
Dermed har den generelle løsningen av en homogen lineær differensialligning i tilfelle av komplekse røtter av den karakteristiske ligningen formen
Avslutningsvis gir vi en tabell med formler for den generelle løsningen av ligning (59) avhengig av formen til røttene til den karakteristiske ligningen.
Lineær differensialligning av andre orden kalles en formlikning
y"" + s(x)y" + q(x)y = f(x) ,
hvor y er funksjonen som skal finnes, og s(x) , q(x) og f(x) er kontinuerlige funksjoner på et eller annet intervall ( a, b) .
Hvis høyre side av ligningen er null ( f(x) = 0 ), så kalles ligningen lineær homogen ligning . Slike ligninger vil hovedsakelig være viet til den praktiske delen av denne leksjonen. Hvis høyre side av ligningen ikke er lik null ( f(x) ≠ 0 ), så kalles ligningen .
I oppgaver er vi pålagt å løse ligningen mht y"" :
y"" = −s(x)y" − q(x)y + f(x) .
Andreordens lineære differensialligninger har en unik løsning Cauchy problemer .
Lineær homogen differensialligning av andre orden og dens løsning
Tenk på en lineær homogen differensialligning av andre orden:
y"" + s(x)y" + q(x)y = 0 .
Hvis en y1 (x) og y2 (x) er spesielle løsninger av denne ligningen, så er følgende påstander sanne:
1) y1 (x) + y 2 (x) - er også en løsning på denne ligningen;
2) Cy1 (x) , hvor C- en vilkårlig konstant (konstant), er også en løsning på denne ligningen.
Det følger av disse to utsagnene at funksjonen
C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x)
er også en løsning på denne ligningen.
Et rettferdig spørsmål oppstår: er denne løsningen generell løsning av en lineær homogen differensialligning av andre orden , det vil si en slik løsning der, for ulike verdier C1 og C2 er det mulig å få alle mulige løsninger av ligningen?
Svaret på dette spørsmålet er: det kan, men under visse betingelser. den betingelse om hvilke egenskaper bestemte løsninger skal ha y1 (x) og y2 (x) .
Og denne tilstanden kalles betingelsen for lineær uavhengighet av bestemte løsninger.
Teorem. Funksjon C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) er en generell løsning av en andreordens lineær homogen differensialligning hvis funksjonene y1 (x) og y2 (x) er lineært uavhengige.
Definisjon. Funksjoner y1 (x) og y2 (x) kalles lineært uavhengig hvis forholdet deres er en konstant som ikke er null:
y1 (x)/y 2 (x) = k ; k = konst ; k ≠ 0 .
Imidlertid er det ofte svært vanskelig å fastslå per definisjon om disse funksjonene er lineært uavhengige. Det er en måte å etablere lineær uavhengighet ved å bruke Wronsky-determinanten W(x) :
Hvis Wronsky-determinanten ikke er lik null, er løsningene lineært uavhengige . Hvis Wronsky-determinanten er lik null, er løsningene lineært avhengige.
Eksempel 1 Finn den generelle løsningen av en lineær homogen differensialligning.
Løsning. Vi integrerer to ganger og, som det er lett å se, for at forskjellen mellom den andre deriverte av funksjonen og funksjonen i seg selv skal være lik null, må løsningene assosieres med en eksponent hvis deriverte er lik seg selv. Det vil si at private løsninger er og .
Siden Vronsky-determinanten
er ikke lik null, så er disse løsningene lineært uavhengige. Derfor kan den generelle løsningen av denne ligningen skrives som
.
Lineære homogene differensialligninger av andre orden med konstante koeffisienter: teori og praksis
Lineær homogen differensialligning av andre orden med konstante koeffisienter kalles en formlikning
y"" + py" + qy = 0 ,
hvor s og q er konstante verdier.
Det faktum at dette er en andreordens ligning indikeres av tilstedeværelsen av den andre deriverte av den ønskede funksjonen, og dens homogenitet er indikert med null på høyre side. Mengdene som allerede er nevnt ovenfor kalles konstante koeffisienter.
Til løse en andreordens lineær homogen differensialligning med konstante koeffisienter , må du først løse den såkalte karakteristiske ligningen til formen
k² + pq + q = 0 ,
som, som man kan se, er en vanlig andregradsligning.
Avhengig av løsningen av den karakteristiske ligningen, er tre forskjellige alternativer mulige løsning av en lineær homogen differensialligning av andre orden med konstante koeffisienter , som vi nå skal analysere. For fullstendig bestemthet vil vi anta at alle spesielle løsninger er testet av Vronsky-determinanten og i alle tilfeller er den ikke lik null. Tvilere kan imidlertid sjekke det selv.
Røtter til den karakteristiske ligningen - ekte og annerledes
Med andre ord, . I dette tilfellet har løsningen av en lineær homogen differensialligning av andre orden med konstante koeffisienter formen
.
Eksempel 2. Løs en lineær homogen differensialligning
.
Eksempel 3. Løs en lineær homogen differensialligning
.
Løsning. Den karakteristiske ligningen har formen, sine røtter og er ekte og annerledes. De tilsvarende spesielle løsningene av ligningen: og . Den generelle løsningen av denne differensialligningen har formen
.
Røtter til den karakteristiske ligningen - ekte og lik
Det er, . I dette tilfellet har løsningen av en lineær homogen differensialligning av andre orden med konstante koeffisienter formen
.
Eksempel 4. Løs en lineær homogen differensialligning
.
Løsning. Karakteristisk ligning 
har like røtter. De tilsvarende spesielle løsningene av ligningen: og . Den generelle løsningen av denne differensialligningen har formen
Eksempel 5. Løs en lineær homogen differensialligning
.
Løsning. Den karakteristiske ligningen har like røtter. De tilsvarende spesielle løsningene av ligningen: og . Den generelle løsningen av denne differensialligningen har formen