Tilstøtende vinkler i en rettvinklet trekant. Hvilke vinkler kalles tilstøtende hva er summen av tilstøtende vinkler

Hvordan finne en tilstøtende vinkel?

Matematikk er den eldste eksakte vitenskapen, som er obligatorisk studert på skoler, høyskoler, institutter og universiteter. Grunnleggende kunnskap er imidlertid alltid lagt ned på skolen. Noen ganger får barnet ganske vanskelige oppgaver, og foreldrene kan ikke hjelpe, fordi de rett og slett glemte noen ting fra matematikk. For eksempel hvordan finne en tilstøtende vinkel ved verdien av hovedvinkelen osv. Oppgaven er enkel, men den kan være vanskelig å løse fordi man ikke vet hvilke vinkler som kalles tilstøtende og hvordan man finner dem.

La oss se nærmere på definisjonen og egenskapene til tilstøtende hjørner, samt hvordan vi beregner dem fra dataene i problemet.

Definisjon og egenskaper ved tilstøtende hjørner

To stråler som kommer fra samme punkt danner en figur som kalles en "flat vinkel". I dette tilfellet kalles dette punktet toppen av vinkelen, og strålene er sidene. Hvis en av strålene fortsettes lenger enn startpunktet langs en rett linje, dannes det en annen vinkel, som kalles tilstøtende. Hver vinkel i dette tilfellet har to tilstøtende vinkler, siden sidene av vinkelen er ekvivalente. Det vil si at det alltid er en tilstøtende vinkel på 180 grader.

Hovedegenskapene til tilstøtende vinkler inkluderer

  • Tilstøtende hjørner har en felles toppunkt og en side;
  • Summen av tilstøtende vinkler er alltid 180 grader, eller pi hvis beregningen er i radianer;
  • Sinusene til tilstøtende vinkler er alltid like;
  • Cosinusene og tangentene til tilstøtende vinkler er like, men har motsatte fortegn.

Hvordan finne tilstøtende hjørner

Vanligvis gis tre varianter av problemer for å finne verdien av tilstøtende vinkler

  • Verdien av hovedvinkelen er gitt;
  • Forholdet mellom hoved- og tilstøtende vinkel er gitt;
  • Verdien av den vertikale vinkelen er gitt.

Hver versjon av problemet har sin egen løsning. La oss vurdere dem.

Gitt verdien av hovedvinkelen

Hvis verdien av hovedvinkelen er angitt i oppgaven, er det veldig enkelt å finne den tilstøtende vinkelen. For å gjøre dette er det nok å trekke verdien av hovedvinkelen fra 180 grader, og du vil få verdien av den tilstøtende vinkelen. Denne løsningen kommer fra egenskapen til en tilstøtende vinkel - summen av tilstøtende vinkler er alltid 180 grader.

Hvis verdien av hovedvinkelen er gitt i radianer og i oppgaven er det nødvendig å finne den tilstøtende vinkelen i radianer, er det nødvendig å trekke verdien av hovedvinkelen fra tallet Pi, siden verdien av den fulle vinkelen på 180 grader er lik tallet Pi.

Gitt forholdet mellom hoved- og tilstøtende vinkel

I oppgaven kan forholdet mellom hoved- og tilstøtende vinkel gis i stedet for grader og radianer av størrelsen på hovedvinkelen. I dette tilfellet vil løsningen se ut som en proporsjonsligning:

  1. Vi betegner andelen av andelen av hovedvinkelen som variabelen "Y".
  2. Andelen relatert til det tilstøtende hjørnet er betegnet som variabelen "X".
  3. Antall grader som faller på hver andel, betegner vi for eksempel "a".
  4. Den generelle formelen vil se slik ut - a*X+a*Y=180 eller a*(X+Y)=180.
  5. Vi finner fellesfaktoren til ligningen "a" ved formelen a=180/(X+Y).
  6. Deretter multipliserer vi den oppnådde verdien av fellesfaktoren "a" med brøkdelen av vinkelen som må bestemmes.

På denne måten kan vi finne verdien av den tilstøtende vinkelen i grader. Men hvis du trenger å finne verdien i radianer, trenger du bare å konvertere grader til radianer. For å gjøre dette, multipliser vinkelen i grader med pi og del på 180 grader. Den resulterende verdien vil være i radianer.

Gitt verdien av den vertikale vinkelen

Hvis verdien av hovedvinkelen ikke er gitt i oppgaven, men verdien av den vertikale vinkelen er gitt, kan den tilstøtende vinkelen beregnes ved å bruke samme formel som i første ledd, hvor verdien av hovedvinkelen er gitt .

En vertikal vinkel er en vinkel som kommer fra samme punkt som hovedvinkelen, men som samtidig er rettet i nøyaktig motsatt retning. Dette resulterer i et speilbilde. Dette betyr at den vertikale vinkelen er like stor som hovedvinkelen. I sin tur er den tilstøtende vinkelen til den vertikale vinkelen lik den tilstøtende vinkelen til hovedvinkelen. Takket være dette er det mulig å beregne den tilstøtende vinkelen til hovedvinkelen. For å gjøre dette, trekk ganske enkelt verdien av vertikalen fra 180 grader og få verdien av den tilstøtende vinkelen til hovedvinkelen i grader.

Hvis verdien er gitt i radianer, er det nødvendig å trekke verdien av den vertikale vinkelen fra tallet Pi, siden verdien av den fulle vinkelen på 180 grader er lik tallet Pi.

Du kan også lese våre nyttige artikler og.

1. Tilstøtende hjørner.

Hvis vi fortsetter siden av en vinkel utenfor toppunktet, får vi to vinkler (fig. 72): ∠ABC og ∠CBD, der den ene siden av BC er felles, og de to andre, AB og BD, danner en rett linje .

To vinkler som har en side til felles og de to andre danner en rett linje kalles tilstøtende vinkler.

Tilstøtende vinkler kan også oppnås på denne måten: hvis vi tegner en stråle fra et punkt på en rett linje (som ikke ligger på en gitt rett linje), så får vi tilstøtende vinkler.

For eksempel er ∠ADF og ∠FDВ tilstøtende vinkler (fig. 73).

Tilstøtende hjørner kan ha en lang rekke posisjoner (fig. 74).

Tilstøtende vinkler legger opp til en rett vinkel, så summen av to tilstøtende vinkler er 180°

Derfor kan en rett vinkel defineres som en vinkel lik dens tilstøtende vinkel.

Når vi kjenner verdien av en av de tilstøtende vinklene, kan vi finne verdien av den andre tilstøtende vinkelen.

For eksempel, hvis en av de tilstøtende vinklene er 54°, vil den andre vinkelen være:

180° - 54° = l26°.

2. Vertikale vinkler.

Hvis vi forlenger sidene av en vinkel utover toppunktet, får vi vertikale vinkler. I figur 75 er vinklene EOF og AOC vertikale; vinklene AOE og COF er også vertikale.

To vinkler kalles vertikale hvis sidene til den ene vinkelen er forlengelser av sidene til den andre vinkelen.

La ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° (fig. 76). ∠2 ved siden av den vil være lik 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, dvs. 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

På samme måte kan du regne ut hva ∠3 og ∠4 er.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (fig. 77).

Vi ser at ∠1 = ∠3 og ∠2 = ∠4.

Du kan løse flere av de samme oppgavene, og hver gang får du samme resultat: de vertikale vinklene er like med hverandre.

Men for å sikre at de vertikale vinklene alltid er like med hverandre, er det ikke nok å vurdere individuelle numeriske eksempler, siden konklusjoner trukket fra bestemte eksempler noen ganger kan være feil.

Det er nødvendig å verifisere gyldigheten av egenskapen til vertikale vinkler ved bevis.

Beviset kan utføres som følger (fig. 78):

∠et +∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(siden summen av tilstøtende vinkler er 180°).

∠et +∠c = ∠b+∠c

(siden venstre side av denne likheten er 180°, og høyre side også er 180°).

Denne likheten inkluderer samme vinkel Med.

Hvis vi trekker likt fra like verdier, vil det forbli likt. Resultatet blir: ∠en = ∠b, dvs. de vertikale vinklene er lik hverandre.

3. Summen av vinkler som har felles toppunkt.

På tegning 79 er ∠1, ∠2, ∠3 og ∠4 plassert på samme side av linjen og har et felles toppunkt på denne linjen. I sum utgjør disse vinklene en rett vinkel, dvs.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

På tegning 80 har ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 og ∠5 et felles toppunkt. Disse vinklene summerer seg til en full vinkel, dvs. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Andre materialer

To vinkler kalles tilstøtende hvis de har en side til felles og de andre sidene av disse vinklene er komplementære stråler. I figur 20 er vinklene AOB og BOC tilstøtende.

Summen av tilstøtende vinkler er 180°

Teorem 1. Summen av tilstøtende vinkler er 180°.

Bevis. OB-bjelken (se fig. 1) passerer mellom sidene av den utviklede vinkelen. Derfor ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.

Fra setning 1 følger det at hvis to vinkler er like, så er vinklene ved siden av dem like.

Vertikale vinkler er like

To vinkler kalles vertikale hvis sidene til den ene vinkelen er komplementære stråler på sidene til den andre. Vinklene AOB og COD, BOD og AOC, dannet i skjæringspunktet mellom to rette linjer, er vertikale (fig. 2).

Teorem 2. Vertikale vinkler er like.

Bevis. Tenk på de vertikale vinklene AOB og COD (se fig. 2). Vinkel BOD er ​​ved siden av hver av vinklene AOB og COD. Ved setning 1, ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Derfor konkluderer vi med at ∠ AOB = ∠ COD.

Konsekvens 1. En vinkel ved siden av en rett vinkel er en rett vinkel.

Tenk på to kryssende rette linjer AC og BD (fig. 3). De danner fire hjørner. Hvis en av dem er rett (vinkel 1 i fig. 3), så er de andre vinklene også rett (vinkel 1 og 2, 1 og 4 er tilstøtende, vinkler 1 og 3 er vertikale). I dette tilfellet sies disse linjene å krysse hverandre i rette vinkler og kalles vinkelrett (eller gjensidig vinkelrett). Perpendikulariteten til linjene AC og BD er angitt som følger: AC ⊥ BD.

Den vinkelrette halveringslinjen til et segment er en linje vinkelrett på dette segmentet og går gjennom midtpunktet.

AN - vinkelrett på linjen

Tenk på en linje a og et punkt A som ikke ligger på den (fig. 4). Koble punktet A med et segment til punktet H med en rett linje a. Et segment AH kalles en perpendikulær trukket fra punkt A til linje a hvis linjene AN og a er perpendikulære. Punktet H kalles grunnflaten til perpendikulæren.

Tegning firkant

Følgende teorem er sant.

Teorem 3. Fra ethvert punkt som ikke ligger på en linje, kan man tegne en vinkelrett på denne linjen, og dessuten bare en.

For å tegne en perpendikulær fra et punkt til en rett linje på tegningen, brukes en tegningsfirkant (fig. 5).

Kommentar. Utsagnet av teoremet består vanligvis av to deler. Den ene delen snakker om det som er gitt. Denne delen kalles tilstanden til teoremet. Den andre delen snakker om hva som må bevises. Denne delen kalles konklusjonen av teoremet. For eksempel er betingelsen for teorem 2 vertikale vinkler; konklusjon - disse vinklene er like.

Ethvert teorem kan uttrykkes i detalj i ord slik at tilstanden begynner med ordet "hvis", og konklusjonen med ordet "da". For eksempel kan teorem 2 angis i detalj som følger: "Hvis to vinkler er vertikale, så er de like."

Eksempel 1 En av de tilstøtende vinklene er 44°. Hva er den andre lik?

Løsning. Angi gradmålet for en annen vinkel med x, deretter i henhold til setning 1.
44° + x = 180°.
Ved å løse den resulterende ligningen finner vi at x \u003d 136 °. Derfor er den andre vinkelen 136°.

Eksempel 2 La COD-vinkelen i figur 21 være 45°. Hva er vinkler AOB og AOC?

Løsning. Vinklene COD og AOB er vertikale, derfor er de like ved setning 1.2, dvs. ∠ AOB = 45°. Vinkelen AOC er ved siden av vinkelen COD, derfor av teorem 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Eksempel 3 Finn tilstøtende vinkler hvis en av dem er 3 ganger den andre.

Løsning. Angi gradmålet for den mindre vinkelen med x. Da vil gradmålet for den større vinkelen være Zx. Siden summen av tilstøtende vinkler er 180° (setning 1), er x + 3x = 180°, hvorav x = 45°.
Så de tilstøtende vinklene er 45° og 135°.

Eksempel 4 Summen av to vertikale vinkler er 100°. Finn verdien av hver av de fire vinklene.

Løsning. La figur 2 korrespondere med tilstanden til oppgaven De vertikale vinklene COD til AOB er like (Setning 2), som betyr at deres gradmål også er like. Derfor, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (deres sum er 100° etter betingelse). Vinkelen BOD (også vinkelen AOC) er ved siden av vinkelen COD, og ​​derfor av teorem 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Spørsmål 1. Hvilke vinkler kalles tilstøtende?
Svar. To vinkler kalles tilstøtende hvis de har en side til felles og de andre sidene av disse vinklene er komplementære halvlinjer.
I figur 31 er hjørnene (a 1 b) og (a 2 b) tilstøtende. De har en felles side b, og sidene a 1 og a 2 er ytterligere halvlinjer.

Spørsmål 2. Bevis at summen av tilstøtende vinkler er 180°.
Svar. Teorem 2.1. Summen av tilstøtende vinkler er 180°.
Bevis. La vinkelen (a 1 b) og vinkelen (a 2 b) gis tilstøtende vinkler (se fig. 31). Strålen b passerer mellom sidene a 1 og a 2 av den utviklede vinkelen. Derfor er summen av vinklene (a 1 b) og (a 2 b) lik den utviklede vinkelen, dvs. 180 °. Q.E.D.

Spørsmål 3. Bevis at hvis to vinkler er like, så er også vinklene ved siden av dem like.
Svar.

Fra teoremet 2.1 Det følger at hvis to vinkler er like, så er vinklene ved siden av dem like.
La oss si at vinklene (a 1 b) og (c 1 d) er like. Vi må bevise at vinklene (a 2 b) og (c 2 d) også er like.
Summen av tilstøtende vinkler er 180°. Det følger av dette at a 1 b + a 2 b = 180° og c 1 d + c 2 d = 180°. Derfor, a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b og c 2 d \u003d 180 ° - c 1 d. Siden vinklene (a 1 b) og (c 1 d) er like, får vi at a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d c 2 d. Av egenskapen transitivitet til likhetstegnet følger det at a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Spørsmål 4. Hvilken vinkel kalles rett (spiss, stump)?
Svar. En vinkel lik 90° kalles en rett vinkel.
En vinkel mindre enn 90° kalles en spiss vinkel.
En vinkel større enn 90° og mindre enn 180° kalles en stump vinkel.

Spørsmål 5. Bevis at en vinkel ved siden av en rett vinkel er en rett vinkel.
Svar. Fra teoremet om summen av tilstøtende vinkler følger det at vinkelen ved siden av en rett vinkel er en rett vinkel: x + 90° = 180°, x= 180° - 90°, x = 90°.

Spørsmål 6. Hva er de vertikale vinklene?
Svar. To vinkler kalles vertikale hvis sidene til en vinkel er de komplementære halvlinjene til sidene til den andre.

Spørsmål 7. Bevis at de vertikale vinklene er like.
Svar. Teorem 2.2. Vertikale vinkler er like.
Bevis. La (a 1 b 1) og (a 2 b 2) gis vertikale vinkler (fig. 34). Hjørnet (a 1 b 2) ligger inntil hjørnet (a 1 b 1) og hjørnet (a 2 b 2). Herfra, ved teoremet om summen av tilstøtende vinkler, konkluderer vi med at hver av vinklene (a 1 b 1) og (a 2 b 2) komplementerer vinkelen (a 1 b 2) opp til 180 °, dvs. vinklene (a 1 b 1) og (a 2 b 2) er like. Q.E.D.

Spørsmål 8. Bevis at hvis i skjæringspunktet mellom to linjer en av vinklene er en rett vinkel, så er de tre andre vinklene også rette.
Svar. Anta at linjene AB og CD skjærer hverandre i punktet O. Anta at vinkelen AOD er ​​90°. Siden summen av tilstøtende vinkler er 180°, får vi at AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. COB-vinkelen er vertikal til AOD-vinkelen, så de er like. Det vil si at vinkelen COB = 90°. COA er vertikalt til BOD, så de er like. Det vil si at vinkelen BOD = 90°. Dermed er alle vinkler lik 90 °, det vil si at de er i orden. Q.E.D.

Spørsmål 9. Hvilke linjer kalles perpendikulære? Hvilket tegn brukes for å indikere vinkelrett på linjer?
Svar. To linjer kalles vinkelrett hvis de skjærer hverandre i rett vinkel.
Perpendikulariteten til linjer er betegnet med \(\perp\). Oppføringen \(a\perp b\) lyder: "Linje a er vinkelrett på linje b".

Spørsmål 10. Bevis at gjennom et hvilket som helst punkt på en linje kan man tegne en linje vinkelrett på den, og bare en.
Svar. Teorem 2.3. Gjennom hver linje kan du tegne en linje vinkelrett på den, og bare en.
Bevis. La a være en gitt linje og A være et gitt punkt på den. Angi med 1 en av halvlinjene med den rette linjen a med startpunktet A (fig. 38). Sett til side fra halvlinjen a 1 vinkelen (a 1 b 1) lik 90 °. Da vil linjen som inneholder strålen b 1 være vinkelrett på linjen a.

Anta at det er en annen linje som også går gjennom punktet A og er vinkelrett på linjen a. Angi med c 1 halvlinjen til denne linjen som ligger i samme halvplan med strålen b 1 .
Vinkler (a 1 b 1) og (a 1 c 1), lik 90° hver, er lagt ut i ett halvplan fra halvlinjen a 1 . Men fra halvlinjen a 1 kan bare én vinkel lik 90° settes til side i dette halvplanet. Derfor kan det ikke være en annen linje som går gjennom punktet A og vinkelrett på linjen a. Teoremet er bevist.

Spørsmål 11. Hva er en vinkelrett på en linje?
Svar. Vinkelrett på en gitt linje er et linjestykke vinkelrett på den gitte, som har en av endene i skjæringspunktet. Denne enden av segmentet kalles basis vinkelrett.

Spørsmål 12. Forklar hva bevis ved motsigelse er.
Svar. Bevismetoden som vi brukte i teorem 2.3 kalles proof by contradiction. Denne bevismåten består i at vi først gjør en antagelse motsatt av det som står i teoremet. Så, ved å resonnere, stole på aksiomer og beviste teoremer, kommer vi til en konklusjon som motsier enten betingelsen til teoremet, eller en av aksiomene, eller den tidligere beviste teoremet. På dette grunnlaget konkluderer vi med at antagelsen vår var feil, noe som betyr at påstanden til teoremet er sann.

Spørsmål 13. Hva er en vinkelhalveringslinje?
Svar. Halveringslinjen til en vinkel er en stråle som kommer fra vinkelens toppunkt, passerer mellom sidene og deler vinkelen i to.

Den kjente verdien av hovedvinkelen α₁ = α₂ = 180°-α.

Fra dette er det. Hvis to vinkler er både tilstøtende og like på samme tid, så er de rette vinkler. Hvis en av de tilstøtende vinklene er rett, det vil si at den er 90 grader, så er den andre vinkelen også rett. Hvis en av de tilstøtende vinklene er spiss, vil den andre være stump. Tilsvarende, hvis en av vinklene er stumpe, vil den andre henholdsvis være spiss.

En spiss vinkel er en hvis mål er mindre enn 90 grader, men større enn 0. En stump vinkel har et mål større enn 90 grader, men mindre enn 180.

En annen egenskap for tilstøtende vinkler er formulert som følger: hvis to vinkler er like, så er vinklene ved siden av dem også like. Dette er at hvis det er to vinkler der gradmålet er det samme (for eksempel er det 50 grader) og samtidig en av dem har en tilstøtende vinkel, så verdiene for disse tilstøtende vinklene faller også sammen (i eksemplet vil gradmålet deres være 130 grader).

Kilder:

  • Big Encyclopedic Dictionary - Tilstøtende hjørner
  • 180 graders vinkel

Ordet "" har forskjellige tolkninger. I geometri er en vinkel en del av et plan avgrenset av to stråler som kommer ut av ett punkt - et toppunkt. Når det gjelder rette, skarpe, utviklede vinkler er det geometriske vinkler som menes.

Som enhver form i geometri, kan vinkler sammenlignes. Likheten av vinkler bestemmes av bevegelse. En vinkel er lett å dele i to like deler. Å dele i tre deler er litt vanskeligere, men det kan likevel gjøres med linjal og kompass. Denne oppgaven virket forresten ganske vanskelig. Det er geometrisk enkelt å beskrive at en vinkel er større eller mindre enn en annen.

Måleenheten for vinkler er 1/180 av den utvidede vinkelen. Vinkelverdien er et tall som viser hvor mange ganger vinkelen valgt som måleenhet passer inn i den aktuelle figuren.

Hver vinkel har et gradmål større enn null. Den rette vinkelen er 180 grader. Gradmålet til en vinkel regnes som lik summen av gradmålene til vinklene den er delt inn i av en hvilken som helst stråle på planet avgrenset av sidene.

Fra hvilken som helst stråle til et gitt plan kan du sette til side en vinkel med en viss grad som ikke overstiger 180 . Dessuten vil det bare være en slik vinkel. Målet på en flat vinkel, som er en del av et halvplan, er gradmålet for en vinkel med lignende sider. Målet på planet til vinkelen som inneholder halvplanet er verdien 360– α, der α er gradmålet for den komplementære flate vinkelen.

Gradmålet til en vinkel gjør det mulig å gå fra deres geometriske beskrivelse til en numerisk. Så, en rett vinkel er en vinkel lik 90 grader, en stump vinkel er en vinkel mindre enn 180 grader, men mer enn 90, en spiss vinkel overstiger ikke 90 grader.

I tillegg til grader er det et radianmål for en vinkel. I planimetri er lengden L, radien er r, og den tilsvarende midtvinkelen er α. Dessuten er disse parameterne relatert av forholdet α = L/r. Dette er grunnlaget for radianmålet for vinkler. Hvis L=r, vil vinkelen α være lik en radian. Så radianmålet for en vinkel er forholdet mellom lengden av en bue tegnet av en vilkårlig radius og innelukket mellom sidene av denne vinkelen og buens radius. En fullstendig rotasjon i grader (360 grader) tilsvarer 2π i radianer. Den ene er 57,2958 grader.

Relaterte videoer

Kilder:

  • formel for gradsmål for vinkler