Multiplikasjon med en nullmatrise. Matriser

Matrisetillegg:

Subtraksjon og addisjon av matriser reduserer til tilsvarende operasjoner på elementene deres. Matrise addisjon operasjon oppgitt kun for matriser samme størrelse, dvs. for matriser, der antall rader og kolonner er henholdsvis likt. Sum av matriser A og B kalles matrise C, hvis elementer er lik summen av de tilsvarende elementene. C = A + B c ij = a ij + b ij Definert tilsvarende matriseforskjell.

Multiplisere en matrise med et tall:

Matrise multiplikasjon (divisjon) operasjon av hvilken som helst størrelse med et vilkårlig tall reduseres til å multiplisere (dele) hvert element matriser for dette nummeret. Matriseprodukt Og tallet k kalles matrise B, slik at

b ij = k × a ij . B = k × A b ij = k × a ij . Matrise- A = (-1) × A kalles det motsatte matrise EN.

Egenskaper for å legge til matriser og multiplisere en matrise med et tall:

Matriseaddisjonsoperasjoner Og matrisemultiplikasjon per tall har følgende egenskaper: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5. 1 x A = A; 6. a x (A + B) = aA + aB; 7. (a + β) x A = αA + βA; 8. a x (βA) = (αβ) x A; , hvor A, B og C er matriser, α og β er tall.

Matrisemultiplikasjon (matriseprodukt):

Operasjon av å multiplisere to matriser angis bare for tilfellet når antall kolonner i den første matriser lik antall linjer i sekundet matriser. Matriseprodukt Og m×n på matrise I n×p, kalt matrise Med m×p slik at med ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a i × b nk , dvs. summen av produktene til elementene i den i-te raden finnes matriser Og til de tilsvarende elementene i den jth kolonnen matriser B. Hvis matriser A og B er kvadrater av samme størrelse, da finnes produktene AB og BA alltid. Det er lett å vise at A × E = E × A = A, hvor A er kvadratisk matrise, E - enhet matrise samme størrelse.

Egenskaper for matrisemultiplikasjon:

Matrisemultiplikasjon ikke kommutativ, dvs. AB ≠ BA selv om begge produktene er definert. Imidlertid, hvis for noen matriser forholdet AB=BA er tilfredsstilt, da slikt matriser kalles kommutativ. Det mest typiske eksemplet er en singel matrise, som pendler med andre matrise samme størrelse. Bare firkantede kan være permuterbare matriser av samme rekkefølge. A × E = E × A = A

Matrisemultiplikasjon har følgende egenskaper: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A x (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) x C = AC + BC; 4. a x (AB) = (aA) x B; 5. A x 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T V T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;

2. Determinanter for 2. og 3. orden. Egenskaper til determinanter.

Matrisedeterminant andre orden, eller avgjørende faktor andre orden er et tall som beregnes med formelen:

Matrisedeterminant tredje orden, eller avgjørende faktor tredje orden er et tall som beregnes med formelen:

Dette tallet representerer en algebraisk sum som består av seks ledd. Hvert begrep inneholder nøyaktig ett element fra hver rad og hver kolonne matriser. Hvert ledd består av produktet av tre faktorer.

Skilt med hvilke medlemmer determinant for matrisen inkludert i formelen finne determinanten til matrisen tredje orden kan bestemmes ved hjelp av det gitte skjemaet, som kalles triangelregelen eller Sarrus regel. De tre første leddene tas med plusstegn og bestemmes fra venstre figur, og de neste tre leddene tas med minustegn og bestemmes ut fra høyre figur.

Bestem antall termer du skal finne determinant for matrisen, i en algebraisk sum, kan du beregne faktoren: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Egenskaper til matrisedeterminanter

Egenskaper til matrisedeterminanter:

Eiendom #1:

Matrisedeterminant vil ikke endres hvis radene erstattes med kolonner, hver rad med en kolonne med samme nummer, og omvendt (Transponering). |A| = |A| T

Konsekvens:

Kolonner og rader determinant for matrisen er like, derfor oppfylles egenskapene som ligger i rader også for kolonner.

Eiendom #2:

Når du omorganiserer 2 rader eller kolonner matrisedeterminant vil endre tegnet til det motsatte, og opprettholde den absolutte verdien, dvs.:

Eiendom #3:

Matrisedeterminantå ha to like rader er lik null.

Eiendom #4:

Felles faktor for elementer i enhver serie determinant for matrisen kan tas som et tegn avgjørende faktor.

Følger fra eiendom nr. 3 og nr. 4:

Hvis alle elementene i en bestemt serie (rad eller kolonne) er proporsjonale med de tilsvarende elementene i en parallell serie, så matrisedeterminant lik null.

Eiendom #5:

determinant for matrisen er lik null, da matrisedeterminant lik null.

Eiendom #6:

Hvis alle elementene i en rad eller kolonne avgjørende faktor presentert som en sum av 2 ledd, da avgjørende faktor matriser kan representeres som summen av 2 determinanter etter formelen:

Eiendom #7:

Hvis til en hvilken som helst rad (eller kolonne) avgjørende faktor legg til de tilsvarende elementene i en annen rad (eller kolonne), multiplisert med det samme tallet, deretter matrisedeterminant vil ikke endre verdien.

Eksempel på bruk av egenskaper for beregning determinant for matrisen:

Matrise dimensjon er et rektangulært bord som består av elementer plassert i m linjer og n kolonner.

Matriseelementer (første indeks Jeg− linjenummer, andre indeks j− kolonnenummer) kan være tall, funksjoner osv. Matriser er merket med store bokstaver i det latinske alfabetet.

Matrisen kalles torget, hvis den har samme antall rader som antall kolonner ( m = n). I dette tilfellet nummeret n kalles rekkefølgen til matrisen, og selve matrisen kalles en matrise n-te orden.

Elementer med samme indekser form hoveddiagonal kvadratmatrise, og elementene (dvs. har en sum av indekser lik n+1) − side diagonal.

Enkelt matrise er en kvadratisk matrise, hvor alle elementene i hoveddiagonalen er lik 1, og de resterende elementene er lik 0. Det er angitt med bokstaven E.

Null matrise− er en matrise, der alle elementer er lik 0. En nullmatrise kan ha en hvilken som helst størrelse.

Til nummeret lineære operasjoner på matriser relatere:

1) matriseaddisjon;

2) multiplisere matriser med tall.

Matriseaddisjonsoperasjonen er kun definert for matriser med samme dimensjon.

Summen av to matriser EN Og I kalt en matrise MED, hvor alle elementer er lik summen av de tilsvarende matriseelementene EN Og I:

.

Matriseprodukt EN per nummer k kalt en matrise I, hvor alle elementene er lik de tilsvarende elementene i denne matrisen EN, multiplisert med tallet k:

Operasjon matrisemultiplikasjon er introdusert for matriser som tilfredsstiller betingelsen: antall kolonner i den første matrisen er lik antall rader i den andre.

Matriseprodukt EN dimensjoner til matrisen I dimensjon kalles en matrise MED dimensjoner, element Jeg-te linje og j hvis kolonne er lik summen av produktene til elementene Jeg raden i matrisen EN til de tilsvarende elementene j matrisekolonnen I:

Produktet av matriser (i motsetning til produktet av reelle tall) overholder ikke den kommutative loven, dvs. generelt EN I I EN.

1.2. Determinanter. Egenskaper til determinanter

Konseptet med en determinant introduseres kun for kvadratiske matriser.

Determinanten for en 2. ordens matrise er et tall beregnet i henhold til følgende regel

.

Determinant av en 3. ordens matrise er et tall beregnet etter følgende regel:

Det første av begrepene med "+"-tegnet er produktet av elementene som ligger på hoveddiagonalen til matrisen (). De resterende to inneholder elementer som er plassert i hjørnene av trekanter med basen parallelt med hoveddiagonalen (i). "-"-tegnet inkluderer produktene av elementer i den sekundære diagonalen () og elementer som danner trekanter med baser parallelle med denne diagonalen (og).

Denne regelen for å beregne 3. ordens determinant kalles trekantregelen (eller Sarrus sin regel).

Egenskaper til determinanter La oss se på eksemplet med 3. ordens determinanter.

1. Når du erstatter alle rader av determinanten med kolonner med samme tall som radene, endrer ikke determinanten sin verdi, dvs. rader og kolonner av determinanten er like

.

2. Når to rader (kolonner) omorganiseres, endrer determinanten fortegn.

3. Hvis alle elementene i en bestemt rad (kolonne) er null, er determinanten 0.

4. Fellesfaktoren til alle elementene i en rad (kolonne) kan tas ut av determinanttegnet.

5. Determinanten som inneholder to identiske rader (kolonner) er lik 0.

6. En determinant som inneholder to proporsjonale rader (kolonner) er lik null.

7. Hvis hvert element i en bestemt kolonne (rad) av en determinant representerer summen av to ledd, så er determinanten lik summen av to determinanter, hvorav den ene inneholder de første leddene i samme kolonne (rad), og den andre inneholder den andre. De gjenværende elementene i begge determinantene er de samme. Så,

.

8. Determinanten vil ikke endres hvis de tilsvarende elementene i en annen kolonne (rad) legges til elementene i noen av kolonnene (rader), multiplisert med samme tall.

Dette emnet vil dekke operasjoner som å legge til og subtrahere matriser, multiplisere en matrise med et tall, multiplisere en matrise med en matrise og transponere en matrise. Alle symboler som brukes på denne siden er hentet fra forrige emne.

Addisjon og subtraksjon av matriser.

Summen av $A+B$ av matrisene $A_(m\ ganger n)=(a_(ij))$ og $B_(m\ ganger n)=(b_(ij))$ kalles matrise $C_(m \ ganger n) =(c_(ij))$, hvor $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ for alle $i=\overline(1,m)$ og $j=\overline( 1,n) $.

En lignende definisjon er introdusert for forskjellen mellom matriser:

Forskjellen mellom $A-B$ matrisene $A_(m\ ganger n)=(a_(ij))$ og $B_(m\ ganger n)=(b_(ij))$ er matrisen $C_(m\ ganger n)=( c_(ij))$, hvor $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ for alle $i=\overline(1,m)$ og $j=\overline(1, n)$.

Forklaring på oppføringen $i=\overline(1,m)$: show\hide

Notasjonen "$i=\overline(1,m)$" betyr at parameteren $i$ varierer fra 1 til m. For eksempel, oppføringen $i=\overline(1,5)$ indikerer at parameteren $i$ tar verdiene 1, 2, 3, 4, 5.

Det er verdt å merke seg at addisjons- og subtraksjonsoperasjoner kun er definert for matriser av samme størrelse. Generelt er addisjon og subtraksjon av matriser operasjoner som er klare intuitivt, fordi de i hovedsak bare betyr summering eller subtraksjon av de tilsvarende elementene.

Eksempel nr. 1

Tre matriser er gitt:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

Er det mulig å finne matrisen $A+F$? Finn matriser $C$ og $D$ hvis $C=A+B$ og $D=A-B$.

Matrise $A$ inneholder 2 rader og 3 kolonner (med andre ord, størrelsen på matrise $A$ er $2\ ganger 3$), og matrise $F$ inneholder 2 rader og 2 kolonner. Størrelsene på matrisene $A$ og $F$ stemmer ikke overens, så vi kan ikke legge dem til, dvs. $A+F$-operasjonen er ikke definert for disse matrisene.

Størrelsene på matrisene $A$ og $B$ er de samme, dvs. Matrisedataene inneholder et likt antall rader og kolonner, så addisjonsoperasjonen gjelder for dem.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

La oss finne matrisen $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Svar: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Multiplisere en matrise med et tall.

Produktet av matrisen $A_(m\ ganger n)=(a_(ij))$ med tallet $\alpha$ er matrisen $B_(m\ ganger n)=(b_(ij))$, hvor $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ for alle $i=\overline(1,m)$ og $j=\overline(1,n)$.

Enkelt sagt betyr å multiplisere en matrise med et visst tall å multiplisere hvert element i en gitt matrise med det tallet.

Eksempel nr. 2

Matrisen er gitt: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Finn matrisene $3\cdot A$, $-5\cdot A$ og $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( array) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$

Notasjonen $-A$ er en forkortelse for $-1\cdot A$. Det vil si at for å finne $-A$ må du multiplisere alle elementene i matrisen $A$ med (-1). I hovedsak betyr dette at tegnet til alle elementene i matrisen $A$ vil endres til det motsatte:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Svar: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Produkt av to matriser.

Definisjonen av denne operasjonen er tungvint og ved første øyekast uklar. Derfor vil jeg først indikere en generell definisjon, og deretter vil vi analysere i detalj hva det betyr og hvordan man arbeider med det.

Produktet av matrisen $A_(m\ ganger n)=(a_(ij))$ ved matrisen $B_(n\ ganger k)=(b_(ij))$ er matrisen $C_(m\ ganger k )=(c_( ij))$, hvor hvert element $c_(ij)$ er lik summen av produktene til de tilsvarende elementene i den i-te raden i matrisen $A$ med elementene i j -te kolonne i matrisen $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overlinje(1,m), j=\overlinje(1,n).$$

La oss se på matrisemultiplikasjon trinn for trinn ved å bruke et eksempel. Du bør imidlertid umiddelbart merke deg at ikke alle matriser kan multipliseres. Hvis vi ønsker å multiplisere matrise $A$ med matrise $B$, må vi først sørge for at antall kolonner i matrise $A$ er lik antall rader av matrise $B$ (slike matriser kalles ofte avtalt). For eksempel kan ikke matrisen $A_(5\ ganger 4)$ (matrisen inneholder 5 rader og 4 kolonner) multipliseres med matrisen $F_(9\ ganger 8)$ (9 rader og 8 kolonner), siden tallet av kolonner i matrisen $A $ er ikke lik antall rader i matrisen $F$, dvs. $4\neq 9$. Men du kan multiplisere matrisen $A_(5\ ganger 4)$ med matrisen $B_(4\ ganger 9)$, siden antall kolonner i matrisen $A$ er lik antall rader i matrisen $ B$. I dette tilfellet vil resultatet av å multiplisere matrisene $A_(5\ ganger 4)$ og $B_(4\ ganger 9)$ være matrisen $C_(5\ ganger 9)$, som inneholder 5 rader og 9 kolonner:

Eksempel nr. 3

Oppgitte matriser: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (matrise) \right)$ og $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Finn matrisen $C=A\cdot B$.

Først, la oss umiddelbart bestemme størrelsen på matrisen $C$. Siden matrise $A$ har størrelse $3\ ganger 4$, og matrise $B$ har størrelse $4\ ganger 2$, så er størrelsen på matrise $C$: $3\ ganger 2$:

Så, som et resultat av produktet av matrisene $A$ og $B$, bør vi få en matrise $C$, bestående av tre rader og to kolonner: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Hvis betegnelsen på elementer reiser spørsmål, kan du se på det forrige emnet: "Matrisetyper", i begynnelsen av dette, er betegnelsen på matriseelementer forklart. Vårt mål: å finne verdiene til alle elementene i matrisen $C$.

La oss starte med elementet $c_(11)$. For å få elementet $c_(11)$, må du finne summen av produktene til elementene i den første raden i matrisen $A$ og den første kolonnen i matrisen $B$:

For å finne selve elementet $c_(11)$ må du multiplisere elementene i den første raden i matrisen $A$ med de tilsvarende elementene i den første kolonnen i matrisen $B$, dvs. det første elementet til det første, det andre til det andre, det tredje til det tredje, det fjerde til det fjerde. Vi oppsummerer oppnådde resultater:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

La oss fortsette løsningen og finne $c_(12)$. For å gjøre dette må du multiplisere elementene i den første raden i matrisen $A$ og den andre kolonnen i matrisen $B$:

I likhet med den forrige har vi:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Alle elementene i den første raden i matrisen $C$ er funnet. La oss gå videre til den andre linjen, som begynner med elementet $c_(21)$. For å finne den må du multiplisere elementene i den andre raden i matrisen $A$ og den første kolonnen i matrisen $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Vi finner det neste elementet $c_(22)$ ved å multiplisere elementene i den andre raden i matrisen $A$ med de tilsvarende elementene i den andre kolonnen i matrisen $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

For å finne $c_(31)$, multipliser elementene i den tredje raden i matrisen $A$ med elementene i den første kolonnen i matrisen $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

Og til slutt, for å finne elementet $c_(32)$, må du multiplisere elementene i den tredje raden i matrisen $A$ med de tilsvarende elementene i den andre kolonnen i matrisen $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Alle elementene i matrisen $C$ er funnet, alt som gjenstår er å skrive at $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( array) \right)$ . Eller for å skrive i sin helhet:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Svar: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

For øvrig er det ofte ingen grunn til å beskrive i detalj plasseringen av hvert element i resultatmatrisen. For matriser med liten størrelse kan du gjøre dette:

Det er også verdt å merke seg at matrisemultiplikasjon er ikke-kommutativ. Dette betyr at i det generelle tilfellet $A\cdot B\neq B\cdot A$. Bare for noen typer matriser, som kalles permutable(eller pendling), er likheten $A\cdot B=B\cdot A$ sann. Det er nettopp basert på ikke-kommutativiteten til multiplikasjon at vi må indikere nøyaktig hvordan vi multipliserer uttrykket med en bestemt matrise: til høyre eller til venstre. For eksempel betyr uttrykket "multipliser begge sider av likheten $3E-F=Y$ med matrisen $A$ til høyre" at du ønsker å få følgende likhet: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Transponert med hensyn til matrisen $A_(m\ ganger n)=(a_(ij))$ er matrisen $A_(n\ ganger m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, for elementer som $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Enkelt sagt, for å få en transponert matrise $A^T$, må du erstatte kolonnene i den opprinnelige matrisen $A$ med de tilsvarende radene i henhold til dette prinsippet: det var en første rad - det vil være en første kolonne ; det var en andre rad - det vil være en andre kolonne; det var en tredje rad - det vil være en tredje kolonne og så videre. La oss for eksempel finne den transponerte matrisen til matrisen $A_(3\ ganger 5)$:

Følgelig, hvis den opprinnelige matrisen hadde en størrelse på $3\ ganger 5$, så har den transponerte matrisen en størrelse på $5\ ganger 3$.

Noen egenskaper ved operasjoner på matriser.

Her antas det at $\alpha$, $\beta$ er noen tall, og $A$, $B$, $C$ er matriser. For de fire første egenskapene anga jeg navn, resten kan navngis analogt med de fire første.

  1. $A+B=B+A$ (kommutativitet av addisjon)
  2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (assosiativitet ved addisjon)
  3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (fordeling av multiplikasjon med en matrise med hensyn til addisjon av tall)
  4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (fordeling av multiplikasjon med et tall med hensyn til matriseaddisjon)
  5. $A(BC)=(AB)C$
  6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
  7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
  8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, hvor $E$ er identitetsmatrisen til den tilsvarende rekkefølgen.
  9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, der $O$ er en nullmatrise av passende størrelse.
  10. $\venstre(A^T \høyre)^T=A$
  11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
  12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
  13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

I neste del vil vi vurdere operasjonen med å heve en matrise til en ikke-negativ heltalls potens, og også løse eksempler der det er nødvendig å utføre flere operasjoner på matriser.

1. år, høyere matematikk, studerer matriser og grunnleggende handlinger på dem. Her systematiserer vi de grunnleggende operasjonene som kan utføres med matriser. Hvor skal man begynne å bli kjent med matriser? Selvfølgelig, fra de enkleste ting - definisjoner, grunnleggende konsepter og enkle operasjoner. Vi forsikrer deg om at matrisene vil bli forstått av alle som bruker minst litt tid på dem!

Matrisedefinisjon

Matrise er en rektangulær tabell med elementer. Vel, enkelt sagt - en talltabell.

Vanligvis er matriser angitt med store latinske bokstaver. For eksempel matrise EN , matrise B og så videre. Matriser kan ha forskjellige størrelser: rektangulære, kvadratiske, og det finnes også rad- og kolonnematriser som kalles vektorer. Størrelsen på matrisen bestemmes av antall rader og kolonner. La oss for eksempel skrive en rektangulær matrise av størrelse m på n , Hvor m – antall linjer, og n - Antall kolonner.

Varer for hvilke i=j (a11, a22, .. ) danner hoveddiagonalen til matrisen og kalles diagonal.

Hva kan du gjøre med matriser? Legg til/trekk fra, gange med et tall, formere seg imellom, transponere. Nå om alle disse grunnleggende operasjonene på matriser i rekkefølge.

Matriseaddisjons- og subtraksjonsoperasjoner

La oss umiddelbart advare deg om at du bare kan legge til matriser av samme størrelse. Resultatet vil være en matrise av samme størrelse. Å legge til (eller trekke fra) matriser er enkelt - du trenger bare å legge sammen de tilsvarende elementene . La oss gi et eksempel. La oss legge til to matriser A og B med størrelse to og to.

Subtraksjon utføres analogt, bare med motsatt fortegn.

Enhver matrise kan multipliseres med et vilkårlig tall. Å gjøre dette, du må multiplisere hvert av elementene med dette tallet. La oss for eksempel multiplisere matrise A fra det første eksemplet med tallet 5:

Matrisemultiplikasjonsoperasjon

Ikke alle matriser kan multipliseres sammen. For eksempel har vi to matriser - A og B. De kan bare multipliseres med hverandre hvis antall kolonner i matrise A er lik antall rader i matrise B. I dette tilfellet hvert element i den resulterende matrisen, plassert i den i-te raden og den j-te kolonnen, vil være lik summen av produktene til de tilsvarende elementene i den i-te raden i den første faktoren og den j-te kolonnen til den andre. For å forstå denne algoritmen, la oss skrive ned hvordan to kvadratiske matriser multipliseres:

Og et eksempel med reelle tall. La oss multiplisere matrisene:

Matrisetransponeringsoperasjon

Matrisetransponering er en operasjon der de tilsvarende radene og kolonnene byttes. La oss for eksempel transponere matrisen A fra det første eksemplet:

Matrisedeterminant

Determinant, eller determinant, er et av de grunnleggende begrepene i lineær algebra. Det var en gang folk kom opp med lineære ligninger, og etter dem måtte de komme med en determinant. Til syvende og sist er det opp til deg å takle alt dette, så det siste dyttet!

Determinanten er en numerisk karakteristikk av en kvadratisk matrise, som er nødvendig for å løse mange problemer.
For å beregne determinanten til den enkleste kvadratiske matrisen, må du beregne forskjellen mellom produktene til elementene i hoved- og sekundærdiagonalene.

Determinanten til en matrise av første orden, det vil si bestående av ett element, er lik dette elementet.

Hva om matrisen er tre ganger tre? Dette er vanskeligere, men du kan klare det.

For en slik matrise er verdien av determinanten lik summen av produktene til elementene i hoveddiagonalen og produktene til elementene som ligger på trekantene med en flate parallelt med hoveddiagonalen, hvorfra produktet av elementer av sekundærdiagonalen og produktet av elementene som ligger på trekantene med forsiden av den parallelle sekundærdiagonalen trekkes fra.

Heldigvis er det i praksis sjelden nødvendig å beregne determinanter for matriser av store størrelser.

Her så vi på grunnleggende operasjoner på matriser. Selvfølgelig, i det virkelige liv vil du kanskje aldri støte på en antydning til et matrisesystem av ligninger, eller tvert imot, du kan støte på mye mer komplekse tilfeller når du virkelig må pusse hjernen din. Det er for slike saker det finnes profesjonelle studenttjenester. Be om hjelp, få en detaljert løsning av høy kvalitet, nyt akademisk suksess og fritid.

Matriser. Handlinger på matriser. Egenskaper for operasjoner på matriser. Typer matriser.

Matriser (og følgelig den matematiske delen - matrisealgebra) er viktige i anvendt matematikk, siden de lar en skrive ned en betydelig del av matematiske modeller av objekter og prosesser i en ganske enkel form. Begrepet "matrise" dukket opp i 1850. Matriser ble først nevnt i det gamle Kina, og senere av arabiske matematikere.

Matrise A=A mn orden m*n kalles rektangulær talltabell som inneholder m - rader og n - kolonner.

Matriseelementer aij, for hvilke i=j kalles diagonal og form hoveddiagonal.

For en kvadratisk matrise (m=n) er hoveddiagonalen dannet av elementene a 11, a 22,..., a nn.

Matrise-likhet.

A=B, hvis matrisen rekker EN Og B er de samme og a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Handlinger på matriser.

1. Matriseaddisjon - elementvis operasjon

2. Subtraksjon av matriser - elementvis operasjon

3. Produktet av en matrise og et tall er en elementvis operasjon

4. Multiplikasjon A*B matriser etter regelen rad til kolonne(antall kolonner i matrise A må være lik antall rader i matrise B)

A mk *B kn =C mn og hvert element med ij matriser Cmn er lik summen av produktene til elementene i den i-te raden av matrise A med de tilsvarende elementene i den j-te kolonnen i matrise B, dvs.

La oss demonstrere driften av matrisemultiplikasjon ved å bruke et eksempel

5. Eksponentiering

m>1 er et positivt heltall. A er en kvadratisk matrise (m=n) dvs. bare relevant for kvadratiske matriser

6. Transponer matrise A. Den transponerte matrisen er merket med A T eller A"

Rader og kolonner byttet

Eksempel

Egenskaper for operasjoner på matriser

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Typer matriser

1. Rektangulær: m Og n- vilkårlige positive heltall

2. Firkant: m=n

3. Matriserad: m=1. For eksempel (1 3 5 7) - i mange praktiske problemer kalles en slik matrise en vektor

4. Matrisekolonne: n=1. For eksempel

5. Diagonal matrise: m=n Og a ij =0, Hvis i≠j. For eksempel

6. Identitetsmatrise: m=n Og

7. Nullmatrise: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Trekantmatrise: alle elementer under hoveddiagonalen er 0.

9. Symmetrisk matrise: m=n Og a ij =a ji(dvs. like elementer er plassert på steder symmetrisk i forhold til hoveddiagonalen), og derfor A"=A

For eksempel,

10. Skeiv-symmetrisk matrise: m=n Og a ij =-a ji(dvs. motsatte elementer er plassert symmetriske steder i forhold til hoveddiagonalen). Følgelig er det nuller på hoveddiagonalen (siden når i=j vi har a ii =-a ii)

Klar, A"=-A

11. Hermitisk matrise: m=n Og a ii =-ã ii (ã ji- kompleks - konjugere til en ji, dvs. Hvis A=3+2i, deretter det komplekse konjugatet Ã=3-2i)