Co to są ekstrema funkcji: punkty krytyczne maksimum i minimum.
Co to jest ekstremum funkcji i jaki jest warunek konieczny ekstremum?
Ekstremum funkcji to jej maksimum i minimum.
Warunek konieczny na maksimum i minimum (ekstremum) funkcji jest następujący: jeśli funkcja f(x) ma ekstremum w punkcie x = a, to w tym punkcie pochodna jest albo zerowa, albo nieskończona, albo nie istnieje.
Warunek ten jest konieczny, ale niewystarczający. Pochodna w punkcie x = a może dążyć do zera, nieskończoności lub nie istnieć, jeśli funkcja nie ma w tym punkcie ekstremum.
Jaki jest warunek wystarczający na ekstremum funkcji (maksimum lub minimum)?
Pierwszy warunek:
Jeżeli w wystarczającej odległości od punktu x = a pochodna f?(x) jest dodatnia na lewo od a i ujemna na prawo od a, to w punkcie x = a funkcja f(x) ma maksymalny
Jeżeli w wystarczającej odległości od punktu x = a pochodna f?(x) jest ujemna na lewo od a i dodatnia na prawo od a, to w punkcie x = a funkcja f(x) ma minimum pod warunkiem, że funkcja f(x) jest tutaj ciągła.
Zamiast tego możesz użyć drugiego warunku wystarczającego dla ekstremum funkcji:
Niech w punkcie x = a pierwsza pochodna f?(x) zniknie; jeśli druga pochodna f??(a) jest ujemna, to funkcja f(x) ma maksimum w punkcie x = a, jeśli jest dodatnia, to ma minimum.
Jaki jest punkt krytyczny funkcji i jak go znaleźć?
Jest to wartość argumentu funkcji, przy której funkcja ma ekstremum (tj. maksimum lub minimum). Aby go znaleźć, potrzebujesz znajdź pochodną funkcję f?(x) i przyrównując ją do zera, Rozwiązać równanie f?(x) = 0. Pierwiastki tego równania, a także te punkty, w których pochodna tej funkcji nie istnieje, są punktami krytycznymi, czyli wartościami argumentu, w których może istnieć ekstremum. Można je łatwo rozpoznać po spojrzeniu wykres pochodnej: interesują nas te wartości argumentu, przy których wykres funkcji przecina oś odciętych (oś wołu) i te, przy których wykres wykazuje nieciągłości.
Na przykład znajdźmy ekstremum paraboli.
Funkcja y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Pochodna funkcji: y?(x) = 6x + 2
Rozwiąż równanie: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
W tym przypadku punktem krytycznym jest x0=-1/3. Funkcja ma właśnie tę wartość argumentu ekstremum. Do niego znajdować, zamień znalezioną liczbę w wyrażeniu na funkcję zamiast „x”:
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Jak wyznaczyć maksimum i minimum funkcji, tj. jego największa i najmniejsza wartość?
Jeżeli znak pochodnej przy przejściu przez punkt krytyczny x0 zmieni się z „plus” na „minus”, to x0 wynosi maksymalny punkt; jeśli znak pochodnej zmienia się z minus na plus, to x0 wynosi minimalny punkt; jeśli znak się nie zmienia, to w punkcie x0 nie ma ani maksimum, ani minimum.
Dla rozważanego przykładu:
Przyjmujemy dowolną wartość argumentu na lewo od punktu krytycznego: x = -1
Przy x = -1 wartość pochodnej będzie wynosić y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tzn. znak to „minus”).
Teraz bierzemy dowolną wartość argumentu na prawo od punktu krytycznego: x = 1
Przy x = 1 wartość pochodnej będzie wynosić y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tzn. znak to „plus”).
Jak widać pochodna zmieniała znak z minus na plus po przejściu przez punkt krytyczny. Oznacza to, że przy wartości krytycznej x0 mamy punkt minimalny.
Największa i najmniejsza wartość funkcji na przerwie(na segmencie) znajdują się przy użyciu tej samej procedury, biorąc jedynie pod uwagę fakt, że być może nie wszystkie punkty krytyczne będą mieścić się w określonym przedziale. Te punkty krytyczne, które znajdują się poza przedziałem, należy wykluczyć z rozważań. Jeśli w przedziale znajduje się tylko jeden punkt krytyczny, będzie on miał maksimum lub minimum. W tym przypadku, aby wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji, bierzemy pod uwagę także wartości funkcji na końcach przedziału.
Na przykład znajdźmy największą i najmniejszą wartość funkcji
y(x) = 3sin(x) - 0,5x
w przerwach:
Zatem pochodna funkcji wynosi
y?(x) = 3cos(x) - 0,5
Rozwiązujemy równanie 3cos(x) - 0,5 = 0
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
x = ±arccos(0,16667) + 2πk.
Punkty krytyczne znajdujemy na przedziale [-9; 9]:
x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nieuwzględnione w przedziale)
x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687
x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88
x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403
x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403
x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88
x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687
x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nieuwzględnione w przedziale)
Wartości funkcji znajdujemy przy wartościach krytycznych argumentu:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885
Można zauważyć, że na przedziale [-9; 9] funkcja ma największą wartość przy x = -4,88:
x = -4,88, y = 5,398,
i najmniejszy - przy x = 4,88:
x = 4,88, y = -5,398.
Na przedziale [-6; -3] mamy tylko jeden punkt krytyczny: x = -4,88. Wartość funkcji przy x = -4,88 jest równa y = 5,398.
Znajdź wartość funkcji na końcach przedziału:
y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077
Na przedziale [-6; -3] mamy największą wartość funkcji
y = 5,398 przy x = -4,88
najmniejsza wartość -
y = 1,077 przy x = -3
Jak znaleźć punkty przegięcia wykresu funkcji i wyznaczyć boki wypukłe i wklęsłe?
Aby znaleźć wszystkie punkty przegięcia prostej y = f(x), należy znaleźć drugą pochodną, przyrównać ją do zera (rozwiązać równanie) i przetestować wszystkie wartości x, dla których druga pochodna wynosi zero, nieskończony lub nie istnieje. Jeżeli przy przejściu przez jedną z tych wartości druga pochodna zmieni znak, to wykres funkcji ma w tym miejscu przegięcie. Jeżeli to się nie zmieni, to nie ma zakrętu.
Pierwiastki równania f? (x) = 0, a także możliwe punkty nieciągłości funkcji i druga pochodna dzielą dziedzinę definicji funkcji na pewną liczbę przedziałów. Wypukłość na każdym z ich przedziałów wyznacza znak drugiej pochodnej. Jeżeli druga pochodna w punkcie badanego przedziału jest dodatnia, to prosta y = f(x) jest wklęsła w górę, a jeśli jest ujemna, to w dół.
Jak znaleźć ekstrema funkcji dwóch zmiennych?
Aby znaleźć ekstrema funkcji f(x,y), różniczkowalne w dziedzinie jej specyfikacji, potrzebujemy:
1) znaleźć punkty krytyczne i w tym celu rozwiązać układ równań
kurwa? (x, y) = 0, fу? (x, y) = 0
2) dla każdego punktu krytycznego P0(a;b) sprawdzić, czy znak różnicy pozostaje niezmieniony
dla wszystkich punktów (x;y) wystarczająco blisko P0. Jeśli różnica pozostaje dodatnia, to w punkcie P0 mamy minimum, jeśli jest ujemna, to mamy maksimum. Jeżeli różnica nie zachowuje znaku, to w punkcie P0 nie ma ekstremum.
Ekstrema funkcji wyznacza się w podobny sposób dla większej liczby argumentów.
Jaka jest oficjalna strona piosenkarki Miki Newton i jej zespołu
Nowy ukraiński cud - Mika Newton! To 5-osobowy zespół, który gra pop-rock, cieszy się życiem, dodaje energii i pozytywnie patrzy na życie. Chłopaki zebrali się w Kijowie, gdzie obecnie mieszkają. Chłopaki zupełnie nie zgadzają się ze standardowymi podstawami w muzyce i życiu, odkrywając swoje nowe brzmienie i łamiąc wszelkie standardy. Lider zespołu -
Jak przeliczyć mililitry na metry sześcienne
Podstawową jednostką długości w układzie SI jest metr. Na tej podstawie za podstawową jednostkę objętości należy uznać metr sześcienny lub, jak to się nazywa, metr sześcienny lub sześcian. Jest to objętość sześcianu o krawędziach równych jednemu metrowi. Jednak w praktyce nie zawsze wygodnie jest wyrażać objętość w metrach sześciennych. Na przykład wygodnie jest wyrazić objętość pomieszczenia w metrach sześciennych: pomnóż długość
Jaka jest zawartość kalorii w semolinie?
Zawartość kalorii w żywności, tabela zawartości kalorii. Zapotrzebowanie energetyczne człowieka mierzone jest w kilokaloriach (kcal). Słowo „kalorie” pochodzi z łaciny i oznacza „ciepło”. W fizyce kalorie mierzą energię. Jedna kilokaloria to ilość energii
Jakie są etapy rozwoju realizmu w literaturze?
Realizm (łac. materialny, realny) to nurt w literaturze i sztuce, którego celem jest wierne odwzorowanie rzeczywistości w jej charakterystycznych cechach. Cechy ogólne: Artystyczne przedstawienie życia w obrazach, które odpowiada istocie zjawisk samego życia. Rzeczywistość jest środkiem umożliwiającym człowiekowi zrozumienie siebie i otaczającego go świata. Pisanie na maszynie
Jaki jest związek między berkelem a pierwiastkiem 117 układu okresowego
Berkelium, Berkelium, Bk to 97. pierwiastek układu okresowego, odkryty w grudniu 1949 roku przez Thompsona, Ghiorso i Seaborga na Uniwersytecie Kalifornijskim w Berkeley. Po napromieniowaniu cząsteczkami alfa 241Am uzyskali izotop berkelium 243Bk. Ponieważ Bk ma strukturalne podobieństwo do terbu, który otrzymał swoją nazwę od pana Ytterby'ego w
Z czego słynie Jarosław Mądry?
Jarosław Mądry (980-1054), wielki książę kijowski (1019). Syn Włodzimierza I Światosławowicza. Wygnał Światopełka I Przeklętego, walczył ze swoim bratem Mścisławem, podzielił z nim państwo (1025), a w 1035 ponownie je zjednoczył. Seria zwycięstw zabezpieczył południowe i zachodnie granice Rusi. Nawiązał więzi dynastyczne z wieloma krajami Ev
Jak narodziła się tradycja krzyczenia „Gorzki!” na weselu?
Dawno temu istniał zwyczaj, że podczas uczty weselnej krzyczano: „Gorzki!”, zmuszając nowożeńców do wstania z miejsc i pocałunku. Dziś wiele osób nawet nie wie, jakie jest znaczenie tego rytuału. Dawniej na weselach krzyczano „gorzki!”, dając tym do zrozumienia, że wino w kielichach miało być niesłodzone. A
Jakie są objawy zapalenia krtani
Zapalenie krtani (od starogreckiego λ?ρυγξ – krtań) to zapalenie krtani, zwykle kojarzone z przeziębieniem lub chorobami zakaźnymi, takimi jak odra, szkarlatyna, krztusiec. Rozwojowi choroby sprzyja hipotermia, oddychanie przez usta, zakurzenie
Czy rodzaj i deklinacja są określane w przypadku rzeczowników, które mają tylko liczbę mnogą?
Liczba to kategoria gramatyczna wyrażająca ilościowe cechy obiektu. 1. Większość rzeczowników zmienia się w zależności od liczb, tj. ma dwie formy - liczbę pojedynczą i mnogą. W liczbie pojedynczej rzeczownik oznacza jeden przedmiot, w liczbie mnogiej - kilka obiektów:
Jakie są zalety rosyjskiej owsianki?
Kasza gryczana Kasza gryczana to specjalne zboże. Okazuje się, że być może jest to jedna z najbardziej przydatnych kaszek. Nic dziwnego, że nazywamy to pierwszym. Kasza gryczana zawiera błonnik, całą gamę witamin – E, PP, B1, B2, kwas foliowy i kwasy organiczne, a także duży procent skrobi, która pomaga organizmowi uzyskać odpowiednią ilość neo
Interaktywną mapę miasta Archangielsk można obejrzeć w serwisach: Mapa1 – mapa satelitarna i standardowa, Mapa2 – mapa standardowa (1:350 000); Mapa3 - znajdują się nazwy ulic, numery domów, można wyszukiwać według ulicy, Map4 - mapa z nazwami ulic, Map5 - interaktywna mapa miasta, Map6 - interaktywna mapa miasta.
Ekstrema funkcji
Definicja 2
Punkt $x_0$ nazywamy punktem maksymalnym funkcji $f(x)$, jeśli istnieje takie otoczenie tego punktu, że dla wszystkich $x$ w tym sąsiedztwie nierówność $f(x)\le f(x_0) $ trzyma.
Definicja 3
Punkt $x_0$ nazywamy punktem maksymalnym funkcji $f(x)$, jeśli istnieje takie otoczenie tego punktu, że dla wszystkich $x$ w tym sąsiedztwie nierówność $f(x)\ge f(x_0) $ trzyma.
Pojęcie ekstremum funkcji jest ściśle powiązane z pojęciem punktu krytycznego funkcji. Przedstawmy jego definicję.
Definicja 4
$x_0$ nazywa się punktem krytycznym funkcji $f(x)$ jeżeli:
1) $x_0$ - punkt wewnętrzny dziedziny definicji;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ lub nie istnieje.
Dla pojęcia ekstremum można sformułować twierdzenia o wystarczających i koniecznych warunkach jego istnienia.
Twierdzenie 2
Warunek wystarczający na ekstremum
Niech punkt $x_0$ będzie krytyczny dla funkcji $y=f(x)$ i będzie należał do przedziału $(a,b)$. Niech na każdym przedziale $\left(a,x_0\right)\ i\ (x_0,b)$ istnieje i zachowuje stały znak pochodna $f"(x)$. Wtedy:
1) Jeżeli na przedziale $(a,x_0)$ pochodna wynosi $f"\left(x\right)>0$, a na przedziale $(x_0,b)$ pochodna wynosi $f"\left( x\prawo)
2) Jeżeli na przedziale $(a,x_0)$ pochodna $f"\left(x\right)0$, to punkt $x_0$ jest punktem minimalnym tej funkcji.
3) Jeżeli zarówno na przedziale $(a,x_0)$, jak i na przedziale $(x_0,b)$ pochodna $f"\left(x\right) >0$ lub pochodna $f"\left(x \Prawidłowy)
Twierdzenie to zilustrowano na rysunku 1.
Rysunek 1. Warunek wystarczający na istnienie ekstremów
Przykłady skrajności (ryc. 2).
Rysunek 2. Przykłady punktów ekstremalnych
Zasada badania funkcji ekstremum
2) Znajdź pochodną $f"(x)$;
7) Wyciągnij wnioski na temat obecności maksimów i minimów w każdym przedziale, korzystając z Twierdzenia 2.
Funkcje rosnące i malejące
Najpierw wprowadźmy definicje funkcji rosnących i malejących.
Definicja 5
Mówi się, że funkcja $y=f(x)$ zdefiniowana na przedziale $X$ rośnie, jeśli dla dowolnych punktów $x_1,x_2\in X$ w $x_1
Definicja 6
Mówi się, że funkcja $y=f(x)$ zdefiniowana na przedziale $X$ jest malejąca, jeśli dla dowolnych punktów $x_1,x_2\in X$ dla $x_1f(x_2)$.
Badanie funkcji zwiększania i zmniejszania
Funkcje rosnące i malejące można badać za pomocą pochodnej.
Aby sprawdzić funkcję dla przedziałów rosnących i malejących, należy wykonać następujące czynności:
1) Znajdź dziedzinę definicji funkcji $f(x)$;
2) Znajdź pochodną $f"(x)$;
3) Znajdź punkty, w których zachodzi równość $f"\left(x\right)=0$;
4) Znajdź punkty, w których $f"(x)$ nie istnieje;
5) Zaznacz na osi współrzędnych wszystkie znalezione punkty oraz dziedzinę definicji tej funkcji;
6) Wyznacz znak pochodnej $f"(x)$ na każdym otrzymanym przedziale;
7) Wyciągnij wniosek: na przedziałach, gdzie $f"\left(x\right)0$ funkcja rośnie.
Przykłady problemów badania funkcji rosnących, malejących i występowania ekstremów
Przykład 1
Zbadaj funkcję zwiększania i zmniejszania oraz obecność punktów maksymalnych i minimalnych: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Ponieważ pierwsze 6 punktów jest takich samych, przeprowadźmy je najpierw.
1) Dziedzina definicji - wszystkie liczby rzeczywiste;
2) $f"\lewo(x\prawo)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\lewo(x\prawo)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ istnieje we wszystkich punktach dziedziny definicji;
5) Linia współrzędnych:
Rysunek 3.
6) Wyznacz znak pochodnej $f"(x)$ na każdym przedziale:
\\. Jak wiadomo, funkcja taka osiąga wartości maksymalne i minimalne albo na granicy odcinka, albo wewnątrz niego. Jeżeli największą lub najmniejszą wartość funkcji osiąga się w wewnętrznym punkcie odcinka, to wartość ta jest maksimum lub minimum funkcji, czyli zostaje osiągnięta w punktach krytycznych.
W ten sposób otrzymujemy, co następuje zasada znajdowania największej i najmniejszej wartości funkcji w segmencie[ a, b] :
- Znajdź wszystkie punkty krytyczne funkcji w przedziale ( a, b) i oblicz wartości funkcji w tych punktach.
- Oblicz wartości funkcji na końcach odcinka, gdy x = a, x = b.
- Spośród wszystkich uzyskanych wartości wybierz największą i najmniejszą.