Jak zamienić ułamek zwykły na liczbę zwykłą. Zamiana ułamka dziesiętnego na ułamek pierwszy i odwrotnie

Już w szkole podstawowej uczniowie mają kontakt z ułamkami zwykłymi. A potem pojawiają się w każdym temacie. Nie możesz zapomnieć działań z tymi liczbami. Dlatego musisz znać wszystkie informacje o ułamkach zwykłych i dziesiętnych. Pojęcia te nie są skomplikowane, najważniejsze jest zrozumienie wszystkiego w porządku.

Dlaczego potrzebne są ułamki?

Świat wokół nas składa się z całych obiektów. Dlatego udziały nie są potrzebne. Ale życie codzienne nieustannie popycha ludzi do pracy z częściami przedmiotów i rzeczy.

Na przykład czekolada składa się z kilku kawałków. Rozważmy sytuację, w której jego płytka składa się z dwunastu prostokątów. Jeśli podzielisz go na dwie części, otrzymasz 6 części. Można go łatwo podzielić na trzy. Ale nie będzie możliwe danie pięciu osobom całej liczby plasterków czekolady.

Nawiasem mówiąc, te plasterki są już ułamkami. A ich dalszy podział prowadzi do pojawienia się liczb bardziej zespolonych.

Co to jest „ułamek”?

Jest to liczba złożona z części jednostki. Na zewnątrz wygląda jak dwie liczby oddzielone poziomą lub ukośnikiem. Ta funkcja nazywa się ułamkowa. Liczba zapisana u góry (po lewej) nazywana jest licznikiem. To, co znajduje się na dole (po prawej), jest mianownikiem.

Zasadniczo ukośnik okazuje się znakiem podziału. Oznacza to, że licznik można nazwać dywidendą, a mianownik można nazwać dzielnikiem.

Jakie są ułamki?

W matematyce istnieją tylko dwa rodzaje ułamków zwykłych i dziesiętnych. Z pierwszymi uczniowie zapoznają się już w szkole podstawowej, nazywając je po prostu „ułamkami”. Tego ostatniego będzie można się nauczyć w klasie 5. To wtedy pojawiają się te nazwiska.

Ułamki zwykłe to wszystkie te, które są zapisane jako dwie liczby oddzielone linią. Na przykład 4/7. Ułamek dziesiętny to liczba, w której część ułamkowa ma zapis pozycyjny i jest oddzielona od liczby całkowitej przecinkiem. Na przykład 4,7. Uczniowie muszą jasno zrozumieć, że podane dwa przykłady to zupełnie różne liczby.

Każdy ułamek prosty można zapisać w postaci ułamka dziesiętnego. To stwierdzenie jest prawie zawsze prawdziwe w odwrotnej kolejności. Istnieją zasady, które pozwalają zapisać ułamek dziesiętny jako ułamek zwykły.

Jakie podtypy mają tego typu ułamki?

Lepiej zacząć w porządku chronologicznym, ponieważ są one badane. Na pierwszym miejscu są ułamki zwykłe. Wśród nich można wyróżnić 5 podgatunków.

Prawidłowy. Jego licznik jest zawsze mniejszy od mianownika.

Zło. Jego licznik jest większy lub równy jego mianownikowi.

Redukowalne/nieredukowalne. Może się okazać, że jest to słuszne lub błędne. Kolejną ważną rzeczą jest to, czy licznik i mianownik mają wspólne czynniki. Jeśli tak, konieczne jest podzielenie przez nie obu części ułamka, czyli zmniejszenie go.

Mieszany. Liczba całkowita jest przypisana do jej zwykłej regularnej (nieregularnej) części ułamkowej. Co więcej, zawsze jest po lewej stronie.

Złożony. Powstaje z dwóch podzielonych przez siebie frakcji. Oznacza to, że zawiera jednocześnie trzy linie ułamkowe.

Ułamki dziesiętne mają tylko dwa podtypy:

skończony, to znaczy taki, którego część ułamkowa jest ograniczona (ma koniec);

nieskończony - liczba, której cyfry po przecinku nie kończą się (można je zapisywać w nieskończoność).

Jak zamienić ułamek dziesiętny na ułamek zwykły?

Jeśli jest to liczba skończona, to stosuje się skojarzenie w oparciu o regułę – jak słyszę, tak piszę. Oznacza to, że musisz to poprawnie przeczytać i zapisać, ale bez przecinka, ale z kreską ułamkową.

Jako wskazówkę dotyczącą wymaganego mianownika należy pamiętać, że jest to zawsze jedno i kilka zer. Tych ostatnich należy wpisać tyle, ile jest cyfr w części ułamkowej danej liczby.

Jak zamienić ułamki dziesiętne na ułamki zwykłe, jeśli brakuje ich części całkowitej, czyli równej zero? Na przykład 0,9 lub 0,05. Po zastosowaniu określonej reguły okazuje się, że trzeba wpisać zero liczb całkowitych. Ale nie jest to wskazane. Pozostaje tylko zapisać części ułamkowe. Pierwsza liczba będzie miała mianownik 10, druga będzie miała mianownik 100. Oznacza to, że w podanych przykładach jako odpowiedzi będą miały liczby: 9/10, 5/100. Co więcej, okazuje się, że to drugie można zmniejszyć o 5. Dlatego wynik należy zapisać jako 1/20.

Jak zamienić ułamek dziesiętny na zwykły, jeśli jego część całkowita jest różna od zera? Na przykład 5,23 lub 13,00108. W obu przykładach odczytywana jest cała część i zapisywana jest jej wartość. W pierwszym przypadku jest to 5, w drugim 13. Następnie należy przejść do części ułamkowej. Z nimi należy przeprowadzić tę samą operację. Pierwsza liczba pojawia się 23/100, druga - 108/100000. Drugą wartość należy ponownie zmniejszyć. Odpowiedź daje następujące ułamki mieszane: 5 23/100 i 13 27/25000.

Jak zamienić nieskończony ułamek dziesiętny na ułamek zwykły?

Jeśli nie jest to okresowe, taka operacja nie będzie możliwa. Fakt ten wynika z faktu, że każdy ułamek dziesiętny jest zawsze zamieniany na ułamek skończony lub okresowy.

Jedyne, co można zrobić z takim ułamkiem, to go zaokrąglić. Ale wtedy ułamek dziesiętny będzie w przybliżeniu równy tej nieskończoności. Można go już przekształcić w zwykły. Ale proces odwrotny: konwersja na dziesiętny nigdy nie da wartości początkowej. Oznacza to, że nieskończone ułamki nieokresowe nie są przekształcane w ułamki zwykłe. Należy o tym pamiętać.

Jak zapisać nieskończony ułamek okresowy jako ułamek zwykły?

W tych liczbach zawsze powtarza się jedna lub więcej cyfr po przecinku. Nazywa się je okresem. Na przykład 0,3(3). Tutaj „3” jest w okresie. Są one klasyfikowane jako wymierne, ponieważ można je zamienić na ułamki zwykłe.

Ci, którzy zetknęli się z frakcjami okresowymi, wiedzą, że mogą być one czyste lub mieszane. W pierwszym przypadku kropka rozpoczyna się bezpośrednio od przecinka. W drugim część ułamkowa zaczyna się od kilku liczb, a następnie zaczyna się powtarzanie.

Zasada, według której należy zapisać nieskończony ułamek dziesiętny jako ułamek zwykły, będzie inna dla dwóch wskazanych typów liczb. Całkiem łatwo jest zapisać czyste ułamki okresowe jako ułamki zwykłe. Podobnie jak w przypadku skończonych, należy je przeliczyć: wpisz kropkę w liczniku, a mianownikiem będzie liczba 9, powtórzona tyle razy, ile cyfr zawiera kropka.

Na przykład 0,(5). Liczba nie ma części całkowitej, dlatego należy natychmiast zacząć od części ułamkowej. Zapisz 5 jako licznik i 9 jako mianownik. Oznacza to, że odpowiedzią będzie ułamek 5/9.

Zasada zapisywania zwykłego dziesiętnego ułamka okresowego, który jest mieszany.

Spójrz na długość okresu. Tyle będzie dziewiątek w mianowniku.

Zapisz mianownik: najpierw dziewiątki, potem zera.

Aby określić licznik, musisz zapisać różnicę dwóch liczb. Wszystkie liczby po przecinku zostaną zminimalizowane wraz z kropką. Odliczenie – jest bez okresu.

Na przykład 0,5(8) - zapisz okresowy ułamek dziesiętny jako ułamek zwykły. Część ułamkowa przed kropką zawiera jedną cyfrę. Zatem będzie jedno zero. W okresie jest też tylko jedna liczba - 8. Oznacza to, że jest tylko jedna dziewiątka. Oznacza to, że musisz zapisać 90 w mianowniku.

Aby określić licznik, musisz odjąć 5 od 58. Okazuje się, że jest to 53. Na przykład musiałbyś zapisać odpowiedź jako 53/90.

Jak zamienia się ułamki zwykłe na dziesiętne?

Najprostszą opcją jest liczba, której mianownikiem jest liczba 10, 100 itd. Następnie mianownik jest po prostu odrzucany, a między częściami ułamkowymi i całkowitymi umieszczany jest przecinek.

Są sytuacje, gdy mianownik łatwo zamienia się na 10, 100 itd. Na przykład liczby 5, 20, 25. Wystarczy pomnożyć je odpowiednio przez 2, 5 i 4. Wystarczy pomnożyć nie tylko mianownik, ale także licznik przez tę samą liczbę.

We wszystkich innych przypadkach przydatna jest prosta zasada: podziel licznik przez mianownik. W takim przypadku możesz otrzymać dwie możliwe odpowiedzi: skończoną lub okresową część dziesiętną.

Działania na ułamkach zwyczajnych

Dodawanie i odejmowanie

Studenci zapoznają się z nimi wcześniej niż inni. Co więcej, początkowo ułamki mają te same mianowniki, a potem mają różne. Ogólne zasady można sprowadzić do tego planu.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników.

Napisz dodatkowe współczynniki dla wszystkich ułamków zwyczajnych.

Pomnóż liczniki i mianowniki przez podane dla nich współczynniki.

Dodaj (odejmij) liczniki ułamków i pozostaw wspólny mianownik bez zmian.

Jeśli licznik odejmowania jest mniejszy od odejmowania, to musimy dowiedzieć się, czy mamy liczbę mieszaną, czy ułamek właściwy.

W pierwszym przypadku musisz pożyczyć jeden z całej części. Dodaj mianownik do licznika ułamka. A potem wykonaj odejmowanie.

W drugim przypadku należy zastosować zasadę odejmowania większej liczby od mniejszej. Oznacza to, że od modułu odejmowania odejmij moduł odjemnika i w odpowiedzi wstaw znak „-”.

Przyjrzyj się uważnie wynikowi dodawania (odejmowania). Jeśli otrzymasz ułamek niewłaściwy, musisz wybrać całą część. To znaczy podziel licznik przez mianownik.

Mnożenie i dzielenie

Aby je wykonać, ułamków nie trzeba sprowadzać do wspólnego mianownika. Ułatwia to wykonywanie czynności. Ale nadal wymagają od ciebie przestrzegania zasad.

Mnożąc ułamki zwykłe, należy zwrócić uwagę na liczby w licznikach i mianownikach. Jeśli jakikolwiek licznik i mianownik mają wspólny czynnik, można je zmniejszyć.

Pomnóż liczniki.

Pomnóż mianowniki.

Jeśli wynikiem jest ułamek redukowalny, należy go ponownie uprościć.

Podczas dzielenia należy najpierw zastąpić dzielenie mnożeniem, a dzielnik (drugi ułamek) ułamkiem odwrotnym (zamień licznik i mianownik).

Następnie postępuj jak przy mnożeniu (zaczynając od punktu 1).

W zadaniach, w których trzeba pomnożyć (dzielić) liczbę całkowitą, tę drugą należy zapisać jako ułamek niewłaściwy. To znaczy z mianownikiem 1. Następnie postępuj jak opisano powyżej.



Operacje na ułamkach dziesiętnych

Dodawanie i odejmowanie

Oczywiście zawsze możesz zamienić ułamek dziesiętny na ułamek zwykły. I postępuj zgodnie z opisanym już planem. Ale czasami wygodniej jest działać bez tego tłumaczenia. Wtedy zasady ich dodawania i odejmowania będą dokładnie takie same.

Wyrównaj liczbę cyfr w części ułamkowej liczby, czyli po przecinku. Dodaj do niego brakującą liczbę zer.

Zapisz ułamki zwykłe tak, aby przecinek znajdował się pod przecinkiem.

Dodawaj (odejmuj) jak liczby naturalne.

Usuń przecinek.

Mnożenie i dzielenie

Ważne jest, aby nie trzeba było tutaj dodawać zer. Ułamki należy pozostawić takie, jakie podano w przykładzie. A potem iść zgodnie z planem.

Aby pomnożyć, należy wpisać ułamki jeden pod drugim, ignorując przecinki.

Mnożyć jak liczby naturalne.

W odpowiedzi postaw przecinek, licząc od prawego końca odpowiedzi tyle cyfr, ile znajduje się w częściach ułamkowych obu współczynników.

Aby dzielić, musisz najpierw przekształcić dzielnik: uczynić go liczbą naturalną. Oznacza to, że pomnóż go przez 10, 100 itd., w zależności od tego, ile cyfr znajduje się w części ułamkowej dzielnika.

Pomnóż dywidendę przez tę samą liczbę.

Dzielenie ułamka dziesiętnego przez liczbę naturalną.

Wstaw przecinek w odpowiedzi w momencie zakończenia podziału całej części.



Co się stanie, jeśli jeden przykład zawiera oba rodzaje ułamków?

Tak, w matematyce często zdarzają się przykłady, w których trzeba wykonywać operacje na ułamkach zwykłych i dziesiętnych. W takich zadaniach możliwe są dwa rozwiązania. Musisz obiektywnie zważyć liczby i wybrać optymalną.

Pierwszy sposób: reprezentuj zwykłe miejsca po przecinku

Jest to odpowiednie, jeśli dzielenie lub tłumaczenie daje ułamki skończone. Jeśli co najmniej jedna liczba daje część okresową, wówczas technika ta jest zabroniona. Dlatego nawet jeśli nie lubisz pracować ze zwykłymi ułamkami, będziesz musiał je policzyć.

Sposób drugi: zapisz ułamki dziesiętne jako zwykłe

Technika ta okazuje się wygodna, jeśli część po przecinku zawiera 1-2 cyfry. Jeśli będzie ich więcej, może się okazać, że otrzymasz bardzo duży ułamek zwykły, a zapis dziesiętny sprawi, że zadanie będzie szybsze i łatwiejsze do obliczenia. Dlatego zawsze należy trzeźwo ocenić zadanie i wybrać najprostszą metodę rozwiązania.

Ułamek dziesiętny składa się z dwóch części oddzielonych przecinkami. Pierwsza część to cała jednostka, druga część to dziesiątki (jeśli po przecinku jest jedna liczba), setki (dwie liczby po przecinku, jak dwa zera na sto), części tysięczne itp. Spójrzmy na przykłady ułamków dziesiętnych: 0, 2; 7, 54; 235,448; 5.1; 6,32; 0,5. To wszystko są ułamki dziesiętne. Jak zamienić ułamek dziesiętny na zwykły?

Przykład pierwszy

Mamy ułamek, na przykład 0,5. Jak wspomniano powyżej, składa się z dwóch części. Pierwsza liczba, 0, pokazuje, ile jednostek całkowitych ma ułamek. W naszym przypadku nie ma ich wcale. Druga liczba pokazuje dziesiątki. Ułamek ten odczytuje nawet zero przecinek pięć. Liczba dziesiętna zamień na ułamek Teraz nie będzie trudno, napiszemy 5/10. Jeśli widzisz, że liczby mają wspólny dzielnik, możesz zmniejszyć ułamek. Mamy tę liczbę 5, dzieląc obie strony ułamka przez 5, otrzymujemy - 1/2.

Przykład drugi

Weźmy bardziej złożony ułamek - 2,25. Brzmi to tak: dwa przecinek dwa i dwadzieścia pięć setnych. Uwaga - części setne, ponieważ po przecinku są dwie liczby. Teraz możesz zamienić go na ułamek zwykły. Zapisujemy - 2 25/100. Cała część to 2, część ułamkowa to 25/100. Podobnie jak w pierwszym przykładzie, tę część można skrócić. Wspólnym czynnikiem liczb 25 i 100 jest liczba 25. Pamiętaj, że zawsze wybieramy największy wspólny czynnik. Dzieląc obie strony ułamka przez NWD, otrzymaliśmy 1/4. Zatem 2,25 to 2 1/4.

Przykład trzeci

Aby skonsolidować materiał, weźmy ułamek dziesiętny 4,112 - cztery punkty jeden i sto dwanaście tysięcznych. Myślę, że dlaczego tysięczne części są jasne. Teraz zapisujemy 4 112/1000. Korzystając z algorytmu, znajdujemy gcd liczb 112 i 1000. W naszym przypadku jest to liczba 6. Otrzymujemy 4 14/125.

Wniosek

1. Ułamek dzielimy na części całkowite i ułamkowe.
2. Zobaczmy, ile cyfr jest po przecinku. Jeśli jeden to dziesiątki, dwa to setki, trzy to tysięczne itd.
3. Ułamek piszemy w postaci zwykłej.
4. Skróć licznik i mianownik ułamka.
5. Zapisujemy powstały ułamek.
6. Sprawdzamy dzieląc górną część ułamka przez dolną część. Jeśli istnieje część całkowita, dodaj ją do powstałego ułamka dziesiętnego. Oryginalna wersja wyszła świetnie, co oznacza, że ​​zrobiłeś wszystko dobrze.

Na przykładach pokazałem, jak można zamienić ułamek dziesiętny na ułamek zwykły. Jak widać, jest to bardzo łatwe i proste do zrobienia.

W tym artykule przyjrzymy się, jak to zrobić zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne, a także rozważ proces odwrotny - konwersję ułamków dziesiętnych na ułamki zwykłe. Tutaj przedstawimy zasady przeliczania ułamków zwykłych i podamy szczegółowe rozwiązania typowych przykładów.

Nawigacja strony.

Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne

Oznaczmy kolejność, z jaką będziemy się zajmować zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne.

Najpierw przyjrzymy się, jak przedstawić ułamki zwykłe o mianownikach 10, 100, 1000, ... jako ułamki dziesiętne. Wyjaśnia to fakt, że ułamki dziesiętne są zasadniczo zwartą formą zapisywania ułamków zwykłych o mianownikach 10, 100, ....

Następnie pójdziemy dalej i pokażemy, jak zapisać dowolny ułamek zwykły (nie tylko ten o mianownikach 10, 100, ...) jako ułamek dziesiętny. Gdy potraktujemy w ten sposób ułamki zwykłe, otrzymamy zarówno skończone ułamki dziesiętne, jak i nieskończone okresowe ułamki dziesiętne.

Porozmawiajmy teraz o wszystkim w porządku.

Zamiana ułamków zwykłych o mianownikach 10, 100, ... na ułamki dziesiętne

Niektóre ułamki właściwe wymagają „wstępnego przygotowania” przed zamianą na ułamki dziesiętne. Dotyczy to ułamków zwykłych, których liczba cyfr w liczniku jest mniejsza niż liczba zer w mianowniku. Na przykład ułamek zwykły 2/100 należy najpierw przygotować do konwersji na ułamek dziesiętny, ale ułamek 9/10 nie wymaga żadnego przygotowania.

„Wstępne przygotowanie” właściwych ułamków zwyczajnych do zamiany na ułamki dziesiętne polega na dodaniu z lewej strony licznika takiej liczby zer, aby całkowita liczba znajdujących się tam cyfr zrównała się z liczbą zer w mianowniku. Przykładowo ułamek po dodaniu zer będzie wyglądał tak.

Po przygotowaniu odpowiedniego ułamka zwykłego możesz przystąpić do jego konwersji na ułamek dziesiętny.

Dajmy reguła zamiany właściwego ułamka zwykłego o mianowniku 10, 100, lub 1000, ... na ułamek dziesiętny. Składa się z trzech kroków:

• napisz 0;
• po nim stawiamy kropkę dziesiętną;
• Zapisujemy liczbę z licznika (wraz z dodanymi zerami, jeśli je dodaliśmy).

Rozważmy zastosowanie tej zasady przy rozwiązywaniu przykładów.

Przykład.

Zamień ułamek właściwy 37/100 na ułamek dziesiętny.

Rozwiązanie.

W mianowniku znajduje się liczba 100, która ma dwa zera. Licznik zawiera liczbę 37, jego zapis jest dwucyfrowy, zatem ułamka tego nie trzeba przygotowywać do przeliczenia na ułamek dziesiętny.

Teraz wpisujemy 0, stawiamy przecinek dziesiętny i z licznika zapisujemy liczbę 37, a otrzymujemy ułamek dziesiętny 0,37.

Odpowiedź:

0,37 .

Aby utrwalić umiejętność zamiany ułamków zwykłych właściwych o licznikach 10, 100, ... na ułamki dziesiętne, przeanalizujemy rozwiązanie na innym przykładzie.

Przykład.

Zapisz ułamek właściwy 107/10 000 000 jako ułamek dziesiętny.

Rozwiązanie.

Liczba cyfr w liczniku wynosi 3, a liczba zer w mianowniku wynosi 7, więc ten ułamek zwykły należy przygotować do konwersji na ułamek dziesiętny. Musimy dodać 7-3=4 zera po lewej stronie licznika, tak aby całkowita liczba cyfr była równa liczbie zer w mianowniku. Dostajemy.

Pozostaje tylko utworzyć wymagany ułamek dziesiętny. Aby to zrobić, po pierwsze piszemy 0, po drugie, stawiamy przecinek, po trzecie, liczbę z licznika zapisujemy razem z zerami 0000107, w wyniku czego otrzymujemy ułamek dziesiętny 0,0000107.

Odpowiedź:

0,0000107 .

Ułamki niewłaściwe nie wymagają żadnego przygotowania przy zamianie na ułamki dziesiętne. Należy przestrzegać poniższych zasad zasady zamiany ułamków niewłaściwych o mianownikach 10, 100, ... na dziesiętne:

• zapisz liczbę z licznika;
• Przecinkiem dziesiętnym oddzielamy po prawej stronie tyle cyfr, ile jest zer w mianowniku ułamka pierwotnego.

Przyjrzyjmy się zastosowaniu tej reguły przy rozwiązywaniu przykładu.

Przykład.

Zamień ułamek niewłaściwy 56 888 038 009/100 000 na ułamek dziesiętny.

Rozwiązanie.

Po pierwsze zapisujemy liczbę z licznika 56888038009, a po drugie 5 cyfr po prawej stronie oddzielamy przecinkiem, ponieważ w mianowniku ułamka pierwotnego jest 5 zer. W rezultacie mamy ułamek dziesiętny 568880,38009.

Odpowiedź:

568 880,38009 .

Aby zamienić liczbę mieszaną na ułamek dziesiętny, którego mianownikiem części ułamkowej jest liczba 10, 100 lub 1000, ..., możesz zamienić liczbę mieszaną na niewłaściwy ułamek zwykły, a następnie przekonwertować wynikowy ułamek dziesiętny na ułamek dziesiętny. Ale możesz także użyć poniższych zasada zamiany liczb mieszanych o mianowniku ułamkowym 10, 100, lub 1000, ... na ułamki dziesiętne:

• w razie potrzeby wykonujemy „wstępne przygotowanie” części ułamkowej pierwotnej liczby mieszanej, dodając wymaganą liczbę zer z lewej strony licznika;
• zapisz część całkowitą oryginalnej liczby mieszanej;
• wstaw kropkę dziesiętną;
• Zapisujemy liczbę z licznika wraz z dodanymi zerami.

Spójrzmy na przykład, w którym wykonujemy wszystkie niezbędne kroki, aby przedstawić liczbę mieszaną w postaci ułamka dziesiętnego.

Przykład.

Zamień liczbę mieszaną na dziesiętną.

Rozwiązanie.

Mianownik części ułamkowej ma 4 zera, a licznik zawiera liczbę 17 składającą się z 2 cyfr, dlatego musimy dodać dwa zera po lewej stronie licznika, aby liczba tam cyfr była równa liczbie zera w mianowniku. Po wykonaniu tej czynności licznik będzie wynosić 0017.

Teraz zapisujemy część całkowitą pierwotnej liczby, czyli liczbę 23, stawiamy przecinek, po czym zapisujemy liczbę z licznika wraz z dodanymi zerami, czyli 0017, i otrzymujemy żądaną liczbę dziesiętną frakcja 23.0017.

Zapiszmy krótko całe rozwiązanie: .

Oczywiście można było najpierw przedstawić liczbę mieszaną w postaci ułamka niewłaściwego, a następnie zamienić ją na ułamek dziesiętny. Przy takim podejściu rozwiązanie wygląda następująco: .

Odpowiedź:

23,0017 .

Zamiana ułamków zwykłych na skończone i nieskończone okresowe ułamki dziesiętne

Na ułamek dziesiętny możesz zamienić nie tylko ułamki zwykłe o mianownikach 10, 100, ..., ale także ułamki zwykłe o innych mianownikach. Teraz dowiemy się, jak to się robi.

W niektórych przypadkach pierwotny ułamek zwykły można łatwo zredukować do jednego z mianowników 10, 100 lub 1000, ... (patrz doprowadzenie ułamka zwykłego do nowego mianownika), po czym nie jest trudno przedstawić powstały ułamek jako ułamek dziesiętny. Na przykład oczywiste jest, że ułamek 2/5 można sprowadzić do ułamka o mianowniku 10, w tym celu należy pomnożyć licznik i mianownik przez 2, co da ułamek 4/10, co zgodnie z zasady omówione w poprzednim akapicie można łatwo przekształcić na ułamek dziesiętny 0, 4 .

W innych przypadkach należy zastosować inną metodę konwersji ułamka zwykłego na dziesiętny, którą teraz rozważymy.

Aby zamienić ułamek zwykły na ułamek dziesiętny, licznik ułamka dzieli się przez mianownik, licznik zastępuje się najpierw równym ułamkiem dziesiętnym z dowolną liczbą zer po przecinku (rozmawialiśmy o tym w sekcji Równe i nierówne ułamki dziesiętne). W tym przypadku dzielenie przeprowadza się analogicznie jak dzielenie przez kolumnę liczb naturalnych, a w ilorazie przecinek umieszcza się w momencie zakończenia dzielenia całej części dywidendy. Wszystko stanie się jasne na podstawie rozwiązań podanych poniżej przykładów.

Przykład.

Zamień ułamek zwykły 621/4 na dziesiętny.

Rozwiązanie.

Przedstawmy liczbę w liczniku 621 jako ułamek dziesiętny, dodając po nim przecinek dziesiętny i kilka zer. Najpierw dodajmy 2 cyfry 0, później, jeśli zajdzie taka potrzeba, zawsze możemy dodać więcej zer. Mamy więc 621,00.

Podzielmy teraz liczbę 621 000 przez 4 za pomocą kolumny. Pierwsze trzy kroki nie różnią się od dzielenia liczb naturalnych przez kolumnę, po czym dochodzimy do następującego obrazu:

W ten sposób dochodzimy do miejsca dziesiętnego dywidendy, a reszta jest różna od zera. W tym wypadku w iloraz stawiamy przecinek dziesiętny i kontynuujemy dzielenie w kolumnie, nie zwracając uwagi na przecinki:

To kończy dzielenie, w wyniku czego otrzymujemy ułamek dziesiętny 155,25, który odpowiada pierwotnemu ułamkowi zwykłemu.

Odpowiedź:

155,25 .

Aby skonsolidować materiał, rozważ rozwiązanie w innym przykładzie.

Przykład.

Zamień ułamek zwykły 21/800 na dziesiętny.

Rozwiązanie.

Aby zamienić ten ułamek zwykły na ułamek dziesiętny, dzielimy kolumnę ułamka dziesiętnego 21 000... przez 800. Po pierwszym kroku będziemy musieli wstawić przecinek dziesiętny w iloraz, a następnie kontynuować dzielenie:

Wreszcie otrzymaliśmy resztę 0, co kończy konwersję ułamka zwykłego 21/400 na ułamek dziesiętny i dotarliśmy do ułamka dziesiętnego 0,02625.

Odpowiedź:

0,02625 .

Może się zdarzyć, że dzieląc licznik przez mianownik ułamka zwykłego, nadal nie otrzymamy reszty równej 0. W takich przypadkach podział może być kontynuowany w nieskończoność. Jednak zaczynając od pewnego kroku, reszty zaczynają się okresowo powtarzać, a liczby w ilorazie również się powtarzają. Oznacza to, że pierwotny ułamek jest konwertowany na nieskończony okresowy ułamek dziesiętny. Pokażmy to na przykładzie.

Przykład.

Zapisz ułamek zwykły 19/44 w postaci ułamka dziesiętnego.

Rozwiązanie.

Aby zamienić ułamek zwykły na dziesiętny, wykonaj dzielenie po kolumnie:

Wiadomo już, że podczas dzielenia zaczęły się powtarzać reszty 8 i 36, natomiast w ilorazie powtarzają się liczby 1 i 8. W ten sposób pierwotny ułamek zwykły 19/44 zostaje zamieniony na okresowy ułamek dziesiętny 0,43181818...=0,43(18).

Odpowiedź:

0,43(18) .

Podsumowując ten punkt, dowiemy się, które ułamki zwykłe można zamienić na skończone ułamki dziesiętne, a które tylko na ułamki okresowe.

Mamy przed sobą nieredukowalny ułamek zwykły (jeśli ułamek jest redukowalny, to najpierw go redukujemy) i musimy dowiedzieć się, na jaki ułamek dziesiętny można go zamienić - skończony czy okresowy.

Oczywiste jest, że jeśli ułamek zwykły można sprowadzić do jednego z mianowników 10, 100, 1000, ..., wówczas powstały ułamek można łatwo przekształcić w końcowy ułamek dziesiętny zgodnie z zasadami omówionymi w poprzednim akapicie. Ale do mianowników 10, 100, 1000 itd. Nie podano wszystkich ułamków zwykłych. Tylko ułamki, których mianownikami jest co najmniej jedna z liczb 10, 100, ..., można sprowadzić do takich mianowników. A jakie liczby mogą być dzielnikami 10, 100, ...? Odpowiedzi na to pytanie pozwolą nam odpowiedzieć liczby 10, 100, ..., a są one następujące: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1000 = 2 2 2 5 5 5, .... Wynika z tego, że dzielnikami są 10, 100, 1000 itd. Mogą istnieć tylko liczby, których rozkład na czynniki pierwsze zawiera tylko liczby 2 i (lub) 5.

Teraz możemy wyciągnąć ogólny wniosek na temat zamiany ułamków zwykłych na dziesiętne:

• jeżeli przy rozkładzie mianownika na czynniki pierwsze obecne są tylko liczby 2 i (lub) 5, wówczas ułamek ten można przekształcić w końcowy ułamek dziesiętny;
• jeśli oprócz dwójek i piątek w rozwinięciu mianownika znajdują się inne liczby pierwsze, wówczas ułamek ten jest konwertowany na nieskończony dziesiętny ułamek okresowy.

Przykład.

Nie zamieniając ułamków zwykłych na dziesiętne, powiedz mi, które z ułamków 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 można zamienić na końcowy ułamek dziesiętny, a które tylko na ułamek okresowy.

Rozwiązanie.

Mianownik ułamka 47/20 rozkłada się na czynniki pierwsze jako 20=2·2·5. W tym rozwinięciu są tylko dwójki i piątki, więc ułamek ten można sprowadzić do jednego z mianowników 10, 100, 1000, ... (w tym przykładzie do mianownika 100), zatem można go zamienić na końcowy ułamek dziesiętny frakcja.

Rozkład mianownika ułamka 7/12 na czynniki pierwsze ma postać 12=2·2·3. Ponieważ zawiera czynnik pierwszy 3, inny niż 2 i 5, ułamka tego nie można przedstawić jako skończonego ułamka dziesiętnego, ale można go przekształcić w okresowy ułamek dziesiętny.

Frakcja 21/56 – kurczliwy, po skurczeniu przyjmuje postać 3/8. Rozłożenie mianownika na czynniki pierwsze zawiera trzy czynniki równe 2, zatem ułamek wspólny 3/8, a zatem ułamek równy 21/56, można zamienić na końcowy ułamek dziesiętny.

Wreszcie rozwinięcie mianownika ułamka 31/17 wynosi samo 17, dlatego ułamka tego nie można przekształcić w skończony ułamek dziesiętny, ale można go przekształcić w nieskończony ułamek okresowy.

Odpowiedź:

47/20 i 21/56 można zamienić na skończony ułamek dziesiętny, ale 7/12 i 31/17 można zamienić tylko na ułamek okresowy.

Ułamków zwykłych nie zamienia się na nieskończone, nieokresowe ułamki dziesiętne

Z informacji zawartych w poprzednim akapicie nasuwa się pytanie: „Czy dzieląc licznik ułamka przez mianownik, można otrzymać nieskończony ułamek nieokresowy?”

Odpowiedź: nie. Podczas konwersji ułamka zwykłego wynikiem może być skończony ułamek dziesiętny lub nieskończony okresowy ułamek dziesiętny. Wyjaśnijmy dlaczego tak się dzieje.

Z twierdzenia o podzielności z resztą jasno wynika, że ​​reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika, to znaczy, jeśli podzielimy jakąś liczbę całkowitą przez liczbę całkowitą q, wówczas reszta może być tylko jedną z liczb 0, 1, 2 , ..., q−1. Wynika z tego, że po tym jak kolumna zakończy dzielenie części całkowitej licznika ułamka zwykłego przez mianownik q, w nie więcej niż q krokach zaistnieje jedna z dwóch sytuacji:

• albo otrzymamy resztę 0, to zakończy dzielenie i otrzymamy końcowy ułamek dziesiętny;
• albo otrzymamy resztę, która już wcześniej się pojawiła, po czym reszty zaczną się powtarzać jak w poprzednim przykładzie (ponieważ przy dzieleniu liczb równych przez q otrzymuje się reszty równe, co wynika ze wspomnianego już twierdzenia o podzielności), to spowoduje nieskończony okresowy ułamek dziesiętny.

Nie ma innych opcji, dlatego przy konwersji ułamka zwykłego na ułamek dziesiętny nie można uzyskać nieskończonego nieokresowego ułamka dziesiętnego.

Z rozumowania podanego w tym akapicie wynika również, że długość okresu ułamka dziesiętnego jest zawsze mniejsza niż wartość mianownika odpowiedniego ułamka zwykłego.

Zamiana ułamków dziesiętnych na ułamki zwykłe

Teraz zastanówmy się, jak zamienić ułamek dziesiętny na ułamek zwykły. Zacznijmy od zamiany końcowych ułamków dziesiętnych na zwykłe. Następnie rozważymy metodę odwracania nieskończonych okresowych ułamków dziesiętnych. Podsumowując, powiedzmy o niemożności przekształcenia nieskończonych nieokresowych ułamków dziesiętnych na ułamki zwykłe.

Konwersja końcowych ułamków dziesiętnych na ułamki zwykłe

Uzyskanie ułamka zwykłego zapisanego jako ułamek dziesiętny jest dość proste. Zasada zamiany końcowego ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły składa się z trzech kroków:

• najpierw wpisz do licznika podany ułamek dziesiętny, odrzucając wcześniej przecinek dziesiętny i wszystkie zera po lewej stronie, jeśli występują;
• po drugie, wpisz jedynkę do mianownika i dodaj do niego tyle zer, ile jest cyfr po przecinku w pierwotnym ułamku dziesiętnym;
• po trzecie, jeśli to konieczne, zmniejsz powstałą frakcję.

Spójrzmy na rozwiązania przykładów.

Przykład.

Zamień ułamek dziesiętny 3,025 na ułamek zwykły.

Rozwiązanie.

Jeśli usuniemy przecinek dziesiętny z pierwotnego ułamka dziesiętnego, otrzymamy liczbę 3025. Po lewej stronie nie ma zer, które byśmy odrzucili. Zatem w liczniku żądanego ułamka piszemy 3025.

W mianowniku zapisujemy liczbę 1 i dodajemy 3 zera po jej prawej stronie, ponieważ w pierwotnym ułamku dziesiętnym są 3 cyfry po przecinku.

Otrzymaliśmy więc ułamek zwykły 3025/1000. Otrzymujemy, że ułamek ten można zmniejszyć o 25 .

Odpowiedź:

.

Przykład.

Zamień ułamek dziesiętny 0,0017 na ułamek zwykły.

Rozwiązanie.

Bez kropki dziesiętnej pierwotny ułamek dziesiętny wygląda jak 00017, odrzucając zera po lewej stronie otrzymamy liczbę 17, która jest licznikiem pożądanego ułamka zwykłego.

Zapisujemy jedynkę z czterema zerami w mianowniku, ponieważ pierwotny ułamek dziesiętny ma 4 cyfry po przecinku.

W rezultacie mamy ułamek zwykły 17/10 000. Ułamek ten jest nieredukowalny i konwersja ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły jest zakończona.

Odpowiedź:

.

Jeśli część całkowita pierwotnego końcowego ułamka dziesiętnego jest różna od zera, można ją natychmiast przekonwertować na liczbę mieszaną, z pominięciem ułamka zwykłego. Dajmy zasada zamiany końcowego ułamka dziesiętnego na liczbę mieszaną:

• liczbę przed przecinkiem należy zapisać jako część całkowitą żądanej liczby mieszanej;
• w liczniku części ułamkowej należy wpisać liczbę uzyskaną z części ułamkowej pierwotnego ułamka dziesiętnego po odrzuceniu wszystkich zer po lewej stronie;
• w mianowniku części ułamkowej należy zapisać liczbę 1, do której należy dodać po prawej stronie tyle zer, ile jest cyfr po przecinku w pierwotnym ułamku dziesiętnym;
• w razie potrzeby zmniejsz część ułamkową powstałej liczby mieszanej.

Spójrzmy na przykład konwersji ułamka dziesiętnego na liczbę mieszaną.

Przykład.

Wyraź ułamek dziesiętny 152,06005 jako liczbę mieszaną

Powiedzieliśmy już, że istnieją ułamki zwykły I dziesiętny. W tym momencie dowiedzieliśmy się trochę o ułamkach zwykłych. Dowiedzieliśmy się, że istnieją ułamki regularne i niewłaściwe. Dowiedzieliśmy się również, że ułamki zwykłe można zmniejszać, dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić. Dowiedzieliśmy się również, że istnieją tak zwane liczby mieszane, które składają się z liczby całkowitej i części ułamkowej.

Nie zbadaliśmy jeszcze w pełni ułamków zwykłych. Istnieje wiele subtelności i szczegółów, o których należy porozmawiać, ale dzisiaj zaczniemy się uczyć dziesiętny ułamki zwykłe, ponieważ często trzeba łączyć ułamki zwykłe i dziesiętne. Oznacza to, że przy rozwiązywaniu problemów należy używać obu rodzajów ułamków.

Ta lekcja może wydawać się skomplikowana i zagmatwana. To całkiem normalne. Tego rodzaju lekcje wymagają studiowania, a nie powierzchownego przeglądania.

Wyrażanie wielkości w formie ułamkowej

Czasami wygodnie jest pokazać coś w formie ułamkowej. Na przykład jedna dziesiąta decymetra jest zapisana w następujący sposób:

Wyrażenie to oznacza, że ​​jeden decymetr podzielono na dziesięć równych części i z tych dziesięciu części wzięto jedną część. A jedna część na dziesięć w tym przypadku jest równa jednemu centymetrowi:

Rozważ następujący przykład. Pokaż 6 cm i kolejne 3 mm w centymetrach w formie ułamkowej.

Musisz więc pokazać 6 cm i 3 mm w centymetrach, ale w formie ułamkowej. Mamy już 6 całych centymetrów:

Ale pozostały jeszcze 3 milimetry. Jak pokazać te 3 milimetry i w centymetrach? Na ratunek przychodzą frakcje. Jeden centymetr to dziesięć milimetrów. Trzy milimetry to trzy części na dziesięć. A trzy części z dziesięciu są zapisane jako cm

Wyrażenie cm oznacza, że ​​jeden centymetr podzielono na dziesięć równych części i z tych dziesięciu części wzięto trzy części.

W rezultacie mamy sześć pełnych centymetrów i trzy dziesiąte centymetra:

W tym przypadku 6 oznacza liczbę pełnych centymetrów, a ułamek pokazuje liczbę ułamkowych centymetrów. Ułamek ten odczytuje się jako „sześć przecinek trzy centymetry”.

Ułamki zwykłe, których mianownik zawiera liczby 10, 100, 1000, można zapisać bez mianownika. Najpierw napisz całą część, a następnie licznik części ułamkowej. Część całkowitą oddziela się od licznika części ułamkowej przecinkiem.

Na przykład napiszmy to bez mianownika. Najpierw zapisujemy całą część. Cała część to 6

Całość jest nagrana. Zaraz po napisaniu całej części stawiamy przecinek:

A teraz zapisujemy licznik części ułamkowej. W liczbie mieszanej licznikiem części ułamkowej jest liczba 3. Trójkę po przecinku piszemy:

Dowolna liczba przedstawiona w tej formie nazywana jest dziesiętny.

Dlatego możesz pokazać 6 cm i kolejne 3 mm w centymetrach, używając ułamka dziesiętnego:

6,3cm

Będzie to wyglądać tak:

W rzeczywistości ułamki dziesiętne to to samo, co zwykłe ułamki zwykłe i liczby mieszane. Osobliwością takich ułamków jest to, że w mianowniku ich części ułamkowej znajdują się liczby 10, 100, 1000 lub 10000.

Podobnie jak liczba mieszana, ułamek dziesiętny składa się z części całkowitej i części ułamkowej. Na przykład w liczbie mieszanej część całkowita wynosi 6, a część ułamkowa to .

W ułamku dziesiętnym 6,3 częścią całkowitą jest liczba 6, a częścią ułamkową jest licznik ułamka, czyli liczba 3.

Zdarza się również, że ułamki zwykłe w mianowniku, w których liczby 10, 100, 1000 są podane bez części całkowitej. Na przykład podaje się ułamek bez części całkowitej. Aby zapisać taki ułamek jako ułamek dziesiętny, należy najpierw wpisać 0, następnie postawić przecinek i wpisać licznik ułamka. Ułamek zwykły bez mianownika zapiszemy następująco:

Czyta się jak „zero przecinek pięć”.

Zamiana liczb mieszanych na dziesiętne

Kiedy piszemy liczby mieszane bez mianownika, w ten sposób konwertujemy je na ułamki dziesiętne. Konwertując ułamki zwykłe na dziesiętne, musisz wiedzieć kilka rzeczy, o których teraz porozmawiamy.

Po zapisaniu całej części należy policzyć liczbę zer w mianowniku części ułamkowej, ponieważ liczba zer części ułamkowej i liczba cyfr po przecinku w ułamku dziesiętnym musi być równa To samo. Co to znaczy? Rozważ następujący przykład:

Najpierw

I możesz od razu zapisać licznik części ułamkowej i ułamek dziesiętny jest gotowy, ale zdecydowanie musisz policzyć liczbę zer w mianowniku części ułamkowej.

Zatem liczymy liczbę zer w części ułamkowej liczby mieszanej. W mianowniku części ułamkowej jest jedno zero. Oznacza to, że w ułamku dziesiętnym po przecinku będzie jedna cyfra i cyfra ta będzie licznikiem części ułamkowej liczby mieszanej, czyli liczbą 2

Zatem po przeliczeniu na ułamek dziesiętny liczba mieszana staje się 3,2.

Ten ułamek dziesiętny brzmi następująco:

„Trzy punkty dwa”

„Dziesiątki”, ponieważ część ułamkowa liczby mieszanej zawiera liczbę 10.

Przykład 2. Zamień liczbę mieszaną na dziesiętną.

Zapisz całą część i wstaw przecinek:

I można od razu zapisać licznik części ułamkowej i otrzymać ułamek dziesiętny 5,3, ale zasada mówi, że po przecinku powinno być tyle cyfr, ile jest zer w mianowniku części ułamkowej liczby mieszanej. I widzimy, że mianownik części ułamkowej ma dwa zera. Oznacza to, że nasz ułamek dziesiętny musi mieć dwie cyfry po przecinku, a nie jedną.

W takich przypadkach licznik części ułamkowej należy nieco zmodyfikować: dodać zero przed licznikiem, czyli przed liczbą 3

Teraz możesz zamienić tę liczbę mieszaną na ułamek dziesiętny. Zapisz całą część i wstaw przecinek:

I zapisz licznik części ułamkowej:

Ułamek dziesiętny 5,03 odczytuje się w następujący sposób:

„Pięć punkt trzy”

„Setki”, ponieważ w mianowniku części ułamkowej liczby mieszanej znajduje się liczba 100.

Przykład 3. Zamień liczbę mieszaną na dziesiętną.

Z poprzednich przykładów dowiedzieliśmy się, że aby pomyślnie zamienić liczbę mieszaną na ułamek dziesiętny, liczba cyfr w liczniku ułamka i liczba zer w mianowniku ułamka muszą być takie same.

Przed zamianą liczby mieszanej na ułamek dziesiętny należy nieco zmodyfikować jej część ułamkową, a mianowicie upewnić się, że liczba cyfr w liczniku części ułamkowej i liczba zer w mianowniku części ułamkowej są równe To samo.

Przede wszystkim patrzymy na liczbę zer w mianowniku części ułamkowej. Widzimy, że są trzy zera:

Naszym zadaniem jest uporządkowanie trzech cyfr w liczniku części ułamkowej. Mamy już jedną cyfrę - jest to liczba 2. Pozostaje dodać jeszcze dwie cyfry. Będą to dwa zera. Dodaj je przed liczbą 2. W rezultacie liczba zer w mianowniku i liczba cyfr w liczniku będą takie same:

Teraz możesz zacząć konwertować tę liczbę mieszaną na ułamek dziesiętny. Najpierw zapisujemy całą część i stawiamy przecinek:

i natychmiast zapisz licznik części ułamkowej

3,002

Widzimy, że liczba cyfr po przecinku i liczba zer w mianowniku części ułamkowej liczby mieszanej są takie same.

Ułamek dziesiętny 3,002 odczytuje się w następujący sposób:

„Trzy i pół tysięczne”

„Tysięczne”, ponieważ w mianowniku części ułamkowej liczby mieszanej znajduje się liczba 1000.

Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne

Ułamki zwykłe o mianownikach 10, 100, 1000 lub 10000 można również konwertować na ułamki dziesiętne. Ponieważ ułamek zwykły nie ma części całkowitej, najpierw wpisz 0, następnie wstaw przecinek i zapisz licznik części ułamkowej.

Tutaj również liczba zer w mianowniku i liczba cyfr w liczniku muszą być takie same. Dlatego należy zachować ostrożność.

Przykład 1.

Brakuje całej części, dlatego najpierw wpisujemy 0 i stawiamy przecinek:

Teraz patrzymy na liczbę zer w mianowniku. Widzimy, że jest jedno zero. A licznik ma jedną cyfrę. Oznacza to, że możesz bezpiecznie kontynuować ułamek dziesiętny, wpisując cyfrę 5 po przecinku

W powstałym ułamku dziesiętnym 0,5 liczba cyfr po przecinku i liczba zer w mianowniku ułamka są takie same. Oznacza to, że ułamek jest poprawnie przetłumaczony.

Ułamek dziesiętny 0,5 odczytuje się w następujący sposób:

„Piąty punkt zerowy”

Przykład 2. Zamień ułamek zwykły na dziesiętny.

Brakuje całej części. Najpierw piszemy 0 i stawiamy przecinek:

Teraz patrzymy na liczbę zer w mianowniku. Widzimy, że są dwa zera. A licznik ma tylko jedną cyfrę. Aby liczba cyfr i liczba zer były takie same, dodaj jedno zero w liczniku przed liczbą 2. Wtedy ułamek przyjmie postać . Teraz liczba zer w mianowniku i liczba cyfr w liczniku są takie same. Możesz więc kontynuować ułamek dziesiętny:

W powstałym ułamku dziesiętnym 0,02 liczba cyfr po przecinku i liczba zer w mianowniku ułamka są takie same. Oznacza to, że ułamek jest poprawnie przetłumaczony.

Ułamek dziesiętny 0,02 odczytuje się w następujący sposób:

„Przecinek zerowy dwa.”

Przykład 3. Zamień ułamek zwykły na dziesiętny.

Wpisz 0 i wstaw przecinek:

Teraz liczymy liczbę zer w mianowniku ułamka. Widzimy, że jest pięć zer, a licznik ma tylko jedną cyfrę. Aby liczba zer w mianowniku była taka sama, jak liczba cyfr w liczniku, należy dodać cztery zera w liczniku przed liczbą 5:

Teraz liczba zer w mianowniku i liczba cyfr w liczniku są takie same. Możemy więc kontynuować ułamek dziesiętny. Wpisz licznik ułamka zwykłego po przecinku

W powstałym ułamku dziesiętnym 0,00005 liczba cyfr po przecinku i liczba zer w mianowniku ułamka są takie same. Oznacza to, że ułamek jest poprawnie przetłumaczony.

Ułamek dziesiętny 0,00005 odczytuje się w następujący sposób:

„Przecinek zerowy pięćset tysięcznych”.

Zamiana ułamków niewłaściwych na dziesiętne

Ułamek niewłaściwy to ułamek, w którym licznik jest większy od mianownika. Istnieją ułamki niewłaściwe, których w mianowniku znajdują się liczby 10, 100, 1000 lub 10000. Takie ułamki można zamienić na ułamki dziesiętne. Ale przed zamianą na ułamek dziesiętny takie ułamki należy rozdzielić na całą część.

Przykład 1.

Ułamek jest ułamkiem niewłaściwym. Aby zamienić taki ułamek zwykły na dziesiętny, należy najpierw zaznaczyć całą jego część. Przypomnijmy sobie jak wyodrębnić całą część ułamków niewłaściwych. Jeśli zapomniałeś, radzimy wrócić do niego i przestudiować go.

Podkreślmy więc całą część w ułamku niewłaściwym. Przypomnijmy, że ułamek oznacza dzielenie - w tym przypadku dzielenie liczby 112 przez liczbę 10

Spójrzmy na ten obrazek i złóżmy nową liczbę mieszaną, jak zestaw konstrukcyjny dla dzieci. Liczba 11 będzie częścią całkowitą, liczba 2 będzie licznikiem części ułamkowej, a liczba 10 będzie mianownikiem części ułamkowej.

Otrzymaliśmy liczbę mieszaną. Zamieńmy to na ułamek dziesiętny. I już wiemy, jak zamienić takie liczby na ułamki dziesiętne. Najpierw zapisujemy całą część i stawiamy przecinek:

Teraz liczymy liczbę zer w mianowniku części ułamkowej. Widzimy, że jest jedno zero. A licznik części ułamkowej ma jedną cyfrę. Oznacza to, że liczba zer w mianowniku części ułamkowej i liczba cyfr w liczniku części ułamkowej są takie same. Daje nam to możliwość natychmiastowego zapisania licznika części ułamkowej po przecinku:

W powstałym ułamku dziesiętnym 11,2 liczba cyfr po przecinku i liczba zer w mianowniku ułamka są takie same. Oznacza to, że ułamek jest poprawnie przetłumaczony.

Oznacza to, że po przeliczeniu na ułamek dziesiętny ułamek niewłaściwy otrzymuje wartość 11,2.

Ułamek dziesiętny 11,2 odczytuje się w następujący sposób:

„Jedenaście punkt dwa”.

Przykład 2. Zamień ułamek niewłaściwy na dziesiętny.

Jest to ułamek niewłaściwy, ponieważ licznik jest większy od mianownika. Można go jednak przekonwertować na ułamek dziesiętny, ponieważ w mianowniku znajduje się liczba 100.

Najpierw wybierzmy całą część tego ułamka. Aby to zrobić, podziel 450 przez 100 narożnikiem:

Zbierzmy nową liczbę mieszaną - otrzymamy . Wiemy już, jak zamienić liczby mieszane na ułamki dziesiętne.

Zapisz całą część i wstaw przecinek:

Teraz liczymy liczbę zer w mianowniku części ułamkowej i liczbę cyfr w liczniku części ułamkowej. Widzimy, że liczba zer w mianowniku i liczba cyfr w liczniku są takie same. Daje nam to możliwość natychmiastowego zapisania licznika części ułamkowej po przecinku:

W powstałym ułamku dziesiętnym 4,50 liczba cyfr po przecinku i liczba zer w mianowniku ułamka są takie same. Oznacza to, że ułamek jest poprawnie przetłumaczony.

Oznacza to, że po przeliczeniu na ułamek dziesiętny ułamek niewłaściwy otrzymuje wartość 4,50.

Podczas rozwiązywania problemów, jeśli na końcu ułamka dziesiętnego znajdują się zera, można je odrzucić. W naszej odpowiedzi usuńmy także zero. Wtedy otrzymamy 4,5

To jedna z interesujących rzeczy związanych z ułamkami dziesiętnymi. Polega to na tym, że zera znajdujące się na końcu ułamka nie nadają temu ułamkowi żadnej wagi. Innymi słowy, miejsca po przecinku 4,50 i 4,5 są równe. Postawmy między nimi znak równości:

4,50 = 4,5

Powstaje pytanie: dlaczego tak się dzieje? W końcu 4,50 i 4,5 wyglądają jak różne ułamki. Cały sekret tkwi w podstawowej właściwości ułamków, którą badaliśmy wcześniej. Spróbujemy udowodnić, dlaczego ułamki dziesiętne 4,50 i 4,5 są równe, ale po przestudiowaniu następnego tematu, który nazywa się „przeliczaniem ułamka dziesiętnego na liczbę mieszaną”.

Konwersja ułamka dziesiętnego na liczbę mieszaną

Dowolny ułamek dziesiętny można zamienić z powrotem na liczbę mieszaną. Aby to zrobić, wystarczy umieć czytać ułamki dziesiętne. Na przykład przekonwertujmy 6,3 na liczbę mieszaną. 6,3 to sześć i trzy punkty. Najpierw zapisujemy sześć liczb całkowitych:

i obok trzech dziesiątych:

Przykład 2. Zamień liczbę dziesiętną 3,002 na liczbę mieszaną

3,002 to trzy całe i dwie tysięczne. Najpierw zapisujemy trzy liczby całkowite

a obok piszemy dwie tysięczne:

Przykład 3. Zamień liczbę dziesiętną 4,50 na liczbę mieszaną

4,50 to cztery i pół pięćdziesiąt. Zapisz cztery liczby całkowite

i następne pięćdziesiąt setnych:

Przy okazji przypomnijmy sobie ostatni przykład z poprzedniego tematu. Powiedzieliśmy, że liczby dziesiętne 4,50 i 4,5 są równe. Powiedzieliśmy również, że zero można odrzucić. Spróbujmy udowodnić, że ułamki dziesiętne 4,50 i 4,5 są równe. Aby to zrobić, zamieniamy oba ułamki dziesiętne na liczby mieszane.

Po przeliczeniu na liczbę mieszaną liczba dziesiętna 4,50 staje się , a liczba dziesiętna 4,5

Mamy dwie liczby mieszane i . Zamieńmy te liczby mieszane na ułamki niewłaściwe:

Teraz mamy dwa ułamki i . Czas przypomnieć sobie podstawową własność ułamka, która mówi, że gdy mnożymy (lub dzielimy) licznik i mianownik ułamka przez tę samą liczbę, wartość ułamka się nie zmienia.

Podzielmy pierwszy ułamek przez 10

Mamy i to jest drugi ułamek. Oznacza to, że oba są sobie równe i mają tę samą wartość:

Spróbuj użyć kalkulatora, aby podzielić najpierw 450 przez 100, a następnie 45 przez 10. To będzie zabawne.

Zamiana ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły

Każdy ułamek dziesiętny można zamienić z powrotem na ułamek zwykły. Aby to zrobić, wystarczy umieć czytać ułamki dziesiętne. Na przykład zamieńmy 0,3 na ułamek zwykły. 0,3 to zero przecinek trzy. Najpierw zapisujemy zero liczb całkowitych:

i obok trzech dziesiątych 0. Tradycyjnie nie zapisuje się zera, więc ostateczną odpowiedzią nie będzie 0, ale po prostu .

Przykład 2. Zamień ułamek dziesiętny 0,02 na ułamek zwykły.

0,02 to zero przecinek dwa. Nie zapisujemy zera, więc od razu zapisujemy dwie setne

Przykład 3. Zamień 0,00005 na ułamek zwykły

0,00005 to zero przecinek pięć. Nie zapisujemy zera, więc od razu zapisujemy pięćset tysięcznych

Czy podobała Ci się lekcja?
Dołącz do naszej nowej grupy VKontakte i zacznij otrzymywać powiadomienia o nowych lekcjach

Ułamki

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

W szkole średniej ułamki nie są zbyt uciążliwe. Obecnie. Dopóki nie natkniesz się na potęgi z wymiernymi wykładnikami i logarytmami. I tu... Naciskasz i naciskasz kalkulator, a pojawia się pełny wyświetlacz niektórych liczb. Trzeba myśleć głową jak w trzeciej klasie.

W końcu wymyślmy ułamki! No, ile można się w nich pogubić!? Co więcej, wszystko jest proste i logiczne. Więc, jakie są rodzaje ułamków?

Rodzaje ułamków. Transformacje.

Istnieją trzy rodzaje ułamków.

1. Ułamki zwykłe , Na przykład:

Czasami zamiast poziomej linii wstawia się ukośnik: 1/2, 3/4, 19/5, cóż, i tak dalej. Tutaj często będziemy używać tej pisowni. Wybierany jest najwyższy numer licznik ułamka, niżej - mianownik. Jeżeli ciągle mylicie te nazwy (zdarza się...), powiedzcie sobie zdanie: „ Zzzzz Pamiętać! Zzzzz mianownik - spójrz zzzzz uh!” Słuchaj, wszystko zostanie zapamiętane.)

Kreska, pozioma lub nachylona, ​​oznacza dział od góry (licznik) do dołu (mianownik). To wszystko! Zamiast myślnika całkiem możliwe jest umieszczenie znaku podziału - dwóch kropek.

Jeżeli możliwy jest całkowity podział, należy tego dokonać. Zatem zamiast ułamka „32/8” znacznie przyjemniej jest napisać liczbę „4”. Te. 32 dzieli się po prostu przez 8.

32/8 = 32: 8 = 4

O ułamku „4/1” nawet nie mówię. Co również jest po prostu „4”. A jeśli nie jest to całkowicie podzielne, zostawiamy to jako ułamek. Czasami trzeba wykonać operację odwrotną. Zamień liczbę całkowitą na ułamek. Ale o tym później.

2. Dziesiętne , Na przykład:

W tej formie będziesz musiał zapisać odpowiedzi na zadania „B”.

3. Liczby mieszane , Na przykład:

Liczby mieszane praktycznie nie są używane w szkole średniej. Aby z nimi pracować, należy je przekształcić w zwykłe ułamki. Ale zdecydowanie musisz to umieć! Inaczej natkniesz się na taki numer w problemie i zamarzniesz... Znikąd. Ale będziemy pamiętać tę procedurę! Trochę niżej.

Najbardziej wszechstronny ułamki zwykłe. Zacznijmy od nich. Nawiasem mówiąc, jeśli ułamek zawiera wszelkiego rodzaju logarytmy, sinusy i inne litery, niczego to nie zmienia. W tym sensie, że wszystko działania z wyrażeniami ułamkowymi nie różnią się od działań ze zwykłymi ułamkami!

Główna właściwość ułamka.

Więc chodźmy! Na początek cię zaskoczę. Cała gama przekształceń ułamkowych zapewniana jest przez jedną właściwość! Tak to się nazywa główna właściwość ułamka. Pamiętać: Jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną pomnożone (podzielone) przez tę samą liczbę, ułamek się nie zmieni. Te:

Oczywiste jest, że możesz pisać dalej, aż zsiniejesz na twarzy. Nie pozwól, aby sinusy i logarytmy Cię zmyliły, zajmiemy się nimi dalej. Najważniejsze jest, aby zrozumieć, że wszystkie te różne wyrażenia są ten sam ułamek . 2/3.

Czy tego potrzebujemy, tych wszystkich przemian? I jak! Teraz przekonasz się sam. Na początek skorzystajmy z podstawowej właściwości ułamka dla ułamki redukujące. Wydawałoby się, że to elementarna rzecz. Podziel licznik i mianownik przez tę samą liczbę i gotowe! Nie da się popełnić błędu! Ale... człowiek jest istotą twórczą. Wszędzie możesz popełnić błąd! Zwłaszcza jeśli musisz zmniejszyć nie ułamek taki jak 5/10, ale wyrażenie ułamkowe z różnymi rodzajami liter.

Jak poprawnie i szybko redukować ułamki bez wykonywania dodatkowej pracy, można przeczytać w specjalnym rozdziale 555.

Zwykły uczeń nie zawraca sobie głowy dzieleniem licznika i mianownika przez tę samą liczbę (lub wyrażenie)! Po prostu przekreśla wszystko, co jest takie samo powyżej i poniżej! Tu właśnie czai się typowy błąd, pomyłka, jeśli można tak powiedzieć.

Na przykład musisz uprościć wyrażenie:

Tu nie ma o czym myśleć, przekreśl literę „a” na górze i „2” na dole! Otrzymujemy:

Wszystko jest poprawne. Ale tak naprawdę podzieliliście się Wszystko licznik i Wszystko mianownikiem jest „a”. Jeśli jesteś przyzwyczajony do przekreślania, możesz w pośpiechu skreślić „a” w wyrażeniu

i zdobądź to jeszcze raz

Co byłoby kategoryczną nieprawdą. Ponieważ tutaj Wszystko licznik na „a” już jest nie udostępnia! Ułamka tego nie można zmniejszyć. Swoją drogą taka obniżka to... hmm... poważne wyzwanie dla nauczyciela. Tego się nie wybacza! Pamiętasz? Redukując, musisz dzielić Wszystko licznik i Wszystko mianownik!

Zmniejszanie ułamków znacznie ułatwia życie. Dostaniesz gdzieś ułamek, na przykład 375/1000. Jak mogę teraz kontynuować z nią współpracę? Bez kalkulatora? Pomnóż, powiedz, dodaj, podnieś do kwadratu!? A jeśli nie jesteś zbyt leniwy, to ostrożnie obetnij go o pięć, a potem o kolejne pięć, a nawet… krótko mówiąc, w trakcie skracania. Zdobądźmy 3/8! Dużo ładniej, prawda?

Główna właściwość ułamka zwykłego umożliwia konwersję ułamków zwykłych na dziesiętne i odwrotnie bez kalkulatora! To ważne dla egzaminu Unified State Exam, prawda?

Jak zamienić ułamki jednego typu na inny.

W przypadku ułamków dziesiętnych wszystko jest proste. Jak się słyszy, tak jest napisane! Powiedzmy 0,25. To jest dwadzieścia pięć setnych przecinka zero. Piszemy więc: 25/100. Zmniejszamy (dzielimy licznik i mianownik przez 25), otrzymujemy zwykły ułamek: 1/4. Wszystko. To się zdarza i nic nie zostaje zredukowane. Jak 0,3. To trzy dziesiąte, tj. 3/10.

A co jeśli liczby całkowite nie są zerem? W porządku. Zapisujemy cały ułamek bez przecinków w liczniku i mianowniku - co słychać. Na przykład: 3.17. To jest trzy przecinek siedemnaście setnych. W liczniku zapisujemy 317, a w mianowniku 100. Otrzymujemy 317/100. Nic nie jest redukowane, to znaczy wszystko. To jest odpowiedź. Podstawowy Watsonie! Z tego wszystkiego, co zostało powiedziane, użyteczny wniosek: każdy ułamek dziesiętny można zamienić na ułamek zwykły .

Ale niektórzy ludzie nie mogą dokonać odwrotnej konwersji ze zwykłego na dziesiętny bez kalkulatora. I jest to konieczne! Jak zapiszesz odpowiedź na egzaminie Unified State Exam!? Przeczytaj uważnie i opanuj ten proces.

Jaka jest cecha ułamka dziesiętnego? Jej mianownik to Zawsze kosztuje 10, 100, 1000 lub 10000 i tak dalej. Jeśli twój ułamek zwykły ma taki mianownik, nie ma problemu. Na przykład 4/10 = 0,4. Lub 7/100 = 0,07. Lub 12/10 = 1,2. A co by było, gdyby odpowiedź na zadanie z sekcji „B” okazała się 1/2? Co napiszemy w odpowiedzi? Wymagane są ułamki dziesiętne...

Zapamiętajmy główna właściwość ułamka ! Matematyka korzystnie pozwala pomnożyć licznik i mianownik przez tę samą liczbę. Swoją drogą, cokolwiek! Oprócz zera, oczywiście. Wykorzystajmy więc tę właściwość na naszą korzyść! Przez co można pomnożyć mianownik, tj. 2, aby uzyskać liczbę 10, 100 lub 1000 (oczywiście im mniej, tym lepiej...)? Oczywiście o 5. Możesz pomnożyć mianownik (tzn nas konieczne) przez 5. Ale wtedy licznik należy również pomnożyć przez 5. To już jest matematykażąda! Otrzymujemy 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. To wszystko.

Jednak spotykają się różne mianowniki. Możesz natknąć się na przykład na ułamek 3/16. Spróbuj dowiedzieć się, przez co pomnożyć 16, aby otrzymać 100 lub 1000... Czy to nie działa? Wtedy wystarczy po prostu podzielić 3 przez 16. W przypadku braku kalkulatora trzeba będzie dzielić narożnikiem na kartce papieru, jak uczono w szkole podstawowej. Otrzymujemy 0,1875.

Są też bardzo złe mianowniki. Na przykład nie ma możliwości zamiany ułamka 1/3 na dobry ułamek dziesiętny. Zarówno na kalkulatorze, jak i na kartce papieru otrzymujemy 0,3333333... Oznacza to, że 1/3 to dokładny ułamek dziesiętny nie tłumaczy. To samo co 1/7, 5/6 i tak dalej. Jest ich wiele, nieprzetłumaczalnych. To prowadzi nas do kolejnego przydatnego wniosku. Nie każdy ułamek zwykły można zamienić na ułamek dziesiętny !

Nawiasem mówiąc, jest to przydatna informacja do samodzielnego testowania. W części „B” należy wpisać ułamek dziesiętny w swojej odpowiedzi. I masz na przykład 4/3. Ułamek ten nie jest konwertowany na ułamek dziesiętny. Oznacza to, że gdzieś po drodze popełniłeś błąd! Wróć i sprawdź rozwiązanie.

Więc wymyśliliśmy ułamki zwykłe i dziesiętne. Pozostaje poradzić sobie z liczbami mieszanymi. Aby z nimi pracować, należy je przekształcić w zwykłe ułamki. Jak to zrobić? Możesz złapać szóstoklasistę i go zapytać. Ale szóstoklasista nie zawsze będzie pod ręką... Musisz to zrobić sam. To nie jest trudne. Musisz pomnożyć mianownik części ułamkowej przez część całkowitą i dodać licznik części ułamkowej. Będzie to licznik ułamka zwykłego. A co z mianownikiem? Mianownik pozostanie taki sam. Brzmi skomplikowanie, ale w rzeczywistości wszystko jest proste. Spójrzmy na przykład.

Załóżmy, że przestraszyłeś się, widząc liczbę związaną z problemem:

Myślimy, że spokojnie, bez paniki. Cała część to 1. Jednostka. Część ułamkowa to 3/7. Dlatego mianownik części ułamkowej wynosi 7. Mianownik ten będzie mianownikiem ułamka zwykłego. Liczymy licznik. Mnożymy 7 przez 1 (część całkowitą) i dodajemy 3 (licznik części ułamkowej). Otrzymujemy 10. To będzie licznik ułamka zwykłego. To wszystko. W zapisie matematycznym wygląda to jeszcze prościej:

Czy to jasne? Zatem zapewnij sobie sukces! Zamień na ułamki zwykłe. Powinieneś dostać 10/7, 7/2, 23/10 i 21/4.

W szkole średniej rzadko wymagana jest operacja odwrotna – zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną. Cóż, jeśli tak... A jeśli nie jesteś w szkole średniej, możesz zapoznać się ze specjalną sekcją 555. Przy okazji dowiesz się tam również o ułamkach niewłaściwych.

No cóż, to praktycznie wszystko. Zapamiętałeś rodzaje ułamków i zrozumiałeś Jak przenieść je z jednego typu na drugi. Pozostaje pytanie: Po co Zrób to? Gdzie i kiedy zastosować tę głęboką wiedzę?

Odpowiadam. Każdy przykład sam w sobie sugeruje niezbędne działania. Jeśli w przykładzie zmieszamy ułamki zwykłe, dziesiętne, a nawet liczby mieszane, wszystko zamienimy na ułamki zwykłe. Zawsze można to zrobić. Cóż, jeśli jest napisane coś w rodzaju 0,8 + 0,3, to liczymy to w ten sposób, bez żadnego tłumaczenia. Dlaczego potrzebujemy dodatkowej pracy? Wybieramy rozwiązanie, które jest wygodne nas !

Jeśli zadaniem są same ułamki dziesiętne, ale... jakieś złe, przejdź do zwykłych i spróbuj! Słuchaj, wszystko się ułoży. Na przykład będziesz musiał podnieść do kwadratu liczbę 0,125. To nie jest takie proste, jeśli nie przyzwyczaiłeś się do korzystania z kalkulatora! Nie tylko musisz pomnożyć liczby w kolumnie, ale także pomyśleć o tym, gdzie wstawić przecinek! Na pewno nie będzie to działać w Twojej głowie! A co jeśli przejdziemy do ułamka zwykłego?

0,125 = 125/1000. Zmniejszamy go o 5 (to na początek). Dostajemy 25/200. Znowu o 5. Dostajemy 5/40. Och, wciąż się kurczy! Powrót do 5! Dostajemy 1/8. Łatwo to wyrównamy (w naszych umysłach!) i otrzymamy 1/64. Wszystko!

Podsumujmy tę lekcję.

1. Istnieją trzy rodzaje ułamków. Liczby zwykłe, dziesiętne i mieszane.

2. Liczby dziesiętne i mieszane Zawsze można zamienić na ułamki zwykłe. Przeniesienie zwrotne nie zawsze dostępny.

3. Wybór rodzaju ułamków do pracy z zadaniem zależy od samego zadania. Jeśli w jednym zadaniu występują różne rodzaje ułamków, najbardziej niezawodną rzeczą jest przejście na ułamki zwykłe.

Teraz możesz ćwiczyć. Najpierw zamień te ułamki dziesiętne na ułamki zwykłe:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Powinieneś otrzymać takie odpowiedzi (w bałaganie!):

Skończmy tutaj. Podczas tej lekcji odświeżyliśmy naszą pamięć o kluczowych kwestiach dotyczących ułamków zwykłych. Zdarza się jednak, że nie ma nic specjalnego do odświeżenia...) Jeśli ktoś zupełnie o tym zapomniał, albo jeszcze tego nie opanował... Wtedy można przejść do specjalnego Sekcji 555. Wszystkie podstawy są tam szczegółowo omówione. Wielu nagle rozumieć wszystko zaczynają się. I rozwiązują ułamki na bieżąco).

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.