Zrozumienie magii hiperboli. Rysowanie wykresu zależności odwrotnej (hiperbola)

Pozostałym czytelnikom sugeruję znaczne poszerzenie swojej szkolnej wiedzy na temat paraboli i hiperboli. Hiperbola i parabola - czy są proste? ...Nie mogę się doczekać =)

Hiperbola i jej równanie kanoniczne

Ogólna struktura prezentacji materiału będzie przypominać poprzedni akapit. Zacznijmy od ogólnej koncepcji hiperboli i zadania jej skonstruowania.

Równanie kanoniczne hiperboli ma postać , gdzie są dodatnie liczby rzeczywiste. Należy pamiętać, że w przeciwieństwie do elipsa, warunek nie jest tu narzucony, czyli wartość „a” może być mniejsza niż wartość „być”.

Muszę przyznać, że dość niespodziewanie... równanie hiperboli „szkolnej” nawet nie przypomina zapisu kanonicznego. Ale ta zagadka będzie musiała jeszcze na nas poczekać, ale na razie podrapmy się po głowie i przypomnijmy sobie, jakie cechy charakterystyczne ma dana krzywa? Rozpowszechnijmy to na ekranie naszej wyobraźni wykres funkcji ….

Hiperbola ma dwie symetryczne gałęzie.

Niezły postęp! Każda hiperbola ma te właściwości, a teraz z prawdziwym podziwem będziemy patrzeć na dekolt tej linii:

Przykład 4

Skonstruuj hiperbolę podaną w równaniu

Rozwiązanie: w pierwszym kroku doprowadzamy to równanie do postaci kanonicznej. Proszę pamiętać o standardowej procedurze. Po prawej stronie musisz uzyskać „jeden”, więc dzielimy obie strony pierwotnego równania przez 20:

Tutaj możesz zmniejszyć oba ułamki, ale bardziej optymalne jest wykonanie każdego z nich trzypiętrowy:

I dopiero potem wykonaj redukcję:

Wybierz kwadraty w mianownikach:

Dlaczego lepiej przeprowadzać przekształcenia w ten sposób? W końcu ułamki po lewej stronie można natychmiast zredukować i uzyskać. Faktem jest, że w rozważanym przykładzie mieliśmy trochę szczęścia: liczba 20 jest podzielna zarówno przez 4, jak i 5. W ogólnym przypadku taka liczba nie działa. Rozważmy na przykład równanie . Tutaj z podzielnością wszystko jest smutniejsze i bez frakcje trzypiętrowe nie jest już możliwe:

Wykorzystajmy więc owoc naszej pracy - równanie kanoniczne:

Jak skonstruować hiperbolę?

Istnieją dwa podejścia do konstruowania hiperboli - geometryczne i algebraiczne.
Z praktycznego punktu widzenia rysowanie kompasem... Powiedziałbym nawet, że utopijne, dlatego o wiele bardziej opłaca się po raz kolejny posłużyć się prostymi obliczeniami.

Wskazane jest przestrzeganie następującego algorytmu, najpierw gotowy rysunek, a następnie komentarze:

W praktyce często spotyka się kombinację obrotu o dowolny kąt i równoległego przesunięcia hiperboli. Sytuacja ta jest omawiana na zajęciach Sprowadzenie równania liniowego drugiego rzędu do postaci kanonicznej.

Parabola i jej równanie kanoniczne

Jest skonczone! Ona jest tą. Gotowy ujawnić wiele tajemnic. Równanie kanoniczne paraboli ma postać , gdzie jest liczbą rzeczywistą. Łatwo zauważyć, że w położeniu standardowym parabola „leży na boku”, a jej wierzchołek znajduje się w początku układu współrzędnych. W tym przypadku funkcja określa górną gałąź tej linii, a funkcja – dolną gałąź. Jest oczywiste, że parabola jest symetryczna względem osi. Właściwie, po co się męczyć:

Przykład 6

Zbuduj parabolę

Rozwiązanie: wierzchołek jest znany, znajdźmy dodatkowe punkty. Równanie określa górny łuk paraboli, równanie określa dolny łuk.

Aby skrócić zapis obliczeń, obliczenia będziemy przeprowadzać „jednym pędzlem”:

W przypadku rejestracji kompaktowej wyniki można podsumować w tabeli.

Przed wykonaniem elementarnego rysowania punkt po punkcie sformułujmy ścisły

definicja paraboli:

Parabola to zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, które są w jednakowej odległości od danego punktu i danej linii, która nie przechodzi przez ten punkt.

Punkt nazywa się centrum parabole, linia prosta - dyrektorka szkoły (pisane przez jedno „es”) parabole. Nazywa się stałą „pe” równania kanonicznego parametr ogniskowy, która jest równa odległości od ogniska do kierownicy. W tym przypadku . W tym przypadku ognisko ma współrzędne , a kierownicę wyznacza równanie .
W naszym przykładzie:

Definicja paraboli jest jeszcze łatwiejsza do zrozumienia niż definicje elipsy i hiperboli. Dla dowolnego punktu paraboli długość odcinka (odległość od ogniska do punktu) jest równa długości prostopadłej (odległość od punktu do kierownicy):

Gratulacje! Wielu z Was dokonało dziś prawdziwego odkrycia. Okazuje się, że hiperbola i parabola wcale nie są wykresami „zwykłych” funkcji, ale mają wyraźne pochodzenie geometryczne.

Oczywiście wraz ze wzrostem parametru ogniskowego gałęzie wykresu będą „podnosić się” w górę i w dół, zbliżając się nieskończenie blisko osi. W miarę zmniejszania się wartości „pe” zaczną się one ściskać i rozciągać wzdłuż osi

Ekscentryczność dowolnej paraboli jest równa jedności:

Obrót i przesunięcie równoległe paraboli

Parabola jest jedną z najczęstszych prostych w matematyce i trzeba ją budować naprawdę często. Dlatego proszę zwrócić szczególną uwagę na ostatni akapit lekcji, w którym omówię typowe opcje lokalizacji tej krzywej.

! Notatka : podobnie jak w przypadku poprzednich krzywych, bardziej poprawne jest mówienie o obrocie i równoległym przesunięciu osi współrzędnych, jednak autor ograniczy się do uproszczonej wersji prezentacji, aby czytelnik miał podstawową wiedzę na temat tych przekształceń.

Prezentacja i lekcja na temat:
„Hiperbola, definicja, własność funkcji”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń. Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce edukacyjne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 8
Elektroniczne tablice edukacyjne do geometrii. 7-9 klas
Elektroniczne tablice edukacyjne do algebry. klasy 7-9”

Hiperbola, definicja

Wykres funkcji $y=\frac(1)(x)$.
Wykres takiej funkcji nazywany jest „hiperbolą”.

Właściwości hiperboli

Hiperbola ma nie tylko środek symetrii, ale także oś symetrii. Chłopaki, narysuj linię $y=x$ i zobacz, jak dzieli się nasz wykres. Można zauważyć, że jeśli część znajdująca się nad prostą $y=x$ nałoży się na część znajdującą się poniżej, to będą się one pokrywać, co oznacza symetrię względem prostej.

Wykreśliliśmy funkcję $y=\frac(1)(x)$, ale w ogólnym przypadku wydarzy się $y=\frac(k)(x)$, $k>0$.
Wykresy praktycznie nie będą się różnić. Rezultatem będzie hiperbola z tymi samymi gałęziami, tyle że im więcej $k$, tym dalej gałęzie zostaną usunięte od początku, a im mniej $k$, tym bliżej początku.

Przykładowo wykres funkcji $y=\frac(10)(x)$ wygląda następująco. Wykres stał się „szerszy” i odsunął się od początku.
Ale co z ujemnym $k$? Wykres funkcji $y=-f(x)$ jest symetryczny do wykresu $y=f(x)$ względem osi x, należy go odwrócić do góry nogami.
Skorzystajmy z tej właściwości i wykreślmy funkcję $y=-\frac(1)(x)$.

Podsumujmy zdobytą wiedzę.
Wykres funkcji $y=\frac(k)(x)$, $k≠0$ jest hiperbolą umieszczoną w pierwszej i trzeciej (drugiej i czwartej) ćwiartce współrzędnych, dla $k>0$ ($k

Własności funkcji $y=\frac(k)(x)$, $k>0$

Własności funkcji $y=\frac(k)(x)$, $k
1. Dziedzina definicji: wszystkie liczby z wyjątkiem $x=0$.
2. $y>0$ za $x 0$.
3. Funkcja rośnie na przedziałach $(-∞;0)$ i $(0;+∞)$.
4. Funkcja nie jest ograniczona ani powyżej, ani poniżej.
5. Nie ma wartości maksymalnej ani minimalnej.
6. Funkcja jest ciągła na przedziałach $(-∞;0)U(0;+∞)$ i ma nieciągłość w punkcie $x=0$.
7. Zakres wartości: $(-∞;0)U(0;+∞)$.

Hiperbola jest krzywą płaską drugiego rzędu składającą się z dwóch oddzielnych krzywych, które się nie przecinają.
Formuła hiperboli y = k/x, pod warunkiem że k nie równe 0 . Oznacza to, że wierzchołki hiperboli dążą do zera, ale nigdy się z nim nie przecinają.

Hiperbola- jest to zbiór punktów na płaszczyźnie, moduł różnicy odległości od dwóch punktów, zwany ogniskami, jest wartością stałą.

Nieruchomości:

1. Właściwości optyczne:światło ze źródła znajdującego się w jednym z ognisk hiperboli jest odbijane przez drugą gałąź hiperboli w taki sposób, że przedłużenia odbitych promieni przecinają się w drugim ognisku.
Innymi słowy, jeśli F1 i F2 są ogniskami hiperboli, to styczna w dowolnym punkcie X hiperboli jest dwusieczną kąta ∠F1XF2.

2. Dla dowolnego punktu leżącego na hiperboli stosunek odległości od tego punktu do ogniska i odległości od tego samego punktu do kierownicy jest wartością stałą.

3. Hiperbola ma symetria lustrzana względem osi rzeczywistej i urojonej, I symetria obrotowa po obróceniu o kąt 180° wokół środka hiperboli.

4. Każda hiperbola ma hiperbola sprzężona, dla którego osie rzeczywista i urojona zamieniają się miejscami, ale asymptoty pozostają takie same.

Właściwości hiperboli:

1) Hiperbola ma dwie osie symetrii (główne osie hiperboli) i środek symetrii (środek hiperboli). W tym przypadku jedna z tych osi przecina się z hiperbolą w dwóch punktach, zwanych wierzchołkami hiperboli. Nazywa się to rzeczywistą osią hiperboli (oś Oh dla kanonicznego wyboru układu współrzędnych). Druga oś nie ma punktów wspólnych z hiperbolą i nazywana jest jej osią urojoną (we współrzędnych kanonicznych - osią Jednostka organizacyjna). Po obu stronach znajdują się prawa i lewa gałąź hiperboli. Ogniska hiperboli znajdują się na jej osi rzeczywistej.

2) Gałęzie hiperboli mają dwie asymptoty określone przez równania

3) Wraz z hiperbolą (11.3) możemy rozważyć tzw. hiperbolę sprzężoną, określoną równaniem kanonicznym

dla którego oś rzeczywista i urojona są zamienione miejscami przy zachowaniu tych samych asymptot.

4) Ekscentryczność hiperboli mi> 1.

5) Stosunek odległości r ja od punktu hiperboli do skupienia Fi na odległość ja od tego punktu do kierownicy odpowiadającej ognisku jest równe mimośrodowi hiperboli.

42. Hiperbola to zbiór punktów na płaszczyźnie, dla których wynosi moduł różnicy odległości do dwóch stałych punktów F 1 i F 2 tego samolotu, tzw wydziwianie, jest wartością stałą.

Wyprowadźmy równanie kanoniczne hiperboli przez analogię do wyprowadzenia równania elipsy, stosując tę ​​samą notację.

|r 1 - r 2 | = 2A, skąd Jeśli oznaczamy B² = C² - A², stąd można dostać

- równanie kanoniczne hiperboli. (11.3)

Zbiór punktów, dla którego stosunek odległości do ogniska i danej prostej, zwany kierownicą, jest stały i większy od jedności, nazywa się hiperbolą. Podana stała nazywana jest mimośrodem hiperboli

Definicja 11.6.Ekscentryczność hiperbola nazywana jest ilością e = c/a.

Ekscentryczność:

Definicja 11.7.Dyrektorka szkoły D ja hiperbola odpowiadająca ognisku Fi, nazywa się linią prostą znajdującą się w tej samej półpłaszczyźnie z Fi względem osi Jednostka organizacyjna prostopadle do osi Oh na odległość a/e od pochodzenia.

43. Przypadek hiperboli sprzężonej, zdegenerowanej (NIE CAŁKOWICIE)

Każda hiperbola ma hiperbola sprzężona, dla którego osie rzeczywista i urojona zamieniają się miejscami, ale asymptoty pozostają takie same. Odpowiada to zamiennikowi A I B jedna na drugiej we wzorze opisującym hiperbolę. Hiperbola sprzężona nie jest wynikiem obrotu pierwotnej hiperboli o kąt 90°; obie hiperbole różnią się kształtem.

Jeżeli asymptoty hiperboli są wzajemnie prostopadłe, wówczas nazywa się hiperbolę równoboczny . Dwie hiperbole, które mają wspólne asymptoty, ale z przestawionymi osiami poprzecznymi i sprzężonymi, nazywane są wzajemnie sprzężone .

Hiperbola i parabola

Przejdźmy do drugiej części artykułu o liniach drugiego rzędu, poświęcony dwóm innym popularnym krzywym - hiperbola I parabola. Jeśli trafiłeś na tę stronę z wyszukiwarki lub nie miałeś jeszcze czasu na poruszanie się w tym temacie, polecam najpierw przestudiować pierwszą część lekcji, w której zbadaliśmy nie tylko główne punkty teoretyczne, ale także zapoznaliśmy się z elipsa. Pozostałym czytelnikom sugeruję znaczne poszerzenie swojej szkolnej wiedzy na temat paraboli i hiperboli. Hiperbola i parabola - czy są proste? ...Nie mogę się doczekać =)

Hiperbola i jej równanie kanoniczne

Ogólna struktura prezentacji materiału będzie przypominać poprzedni akapit. Zacznijmy od ogólnej koncepcji hiperboli i zadania jej skonstruowania.

Równanie kanoniczne hiperboli ma postać , gdzie są dodatnie liczby rzeczywiste. Należy pamiętać, że w przeciwieństwie do elipsa, warunek nie jest tu narzucony, czyli wartość „a” może być mniejsza niż wartość „być”.

Muszę przyznać, że dość niespodziewanie... równanie hiperboli „szkolnej” nawet nie przypomina zapisu kanonicznego. Ale ta zagadka będzie musiała jeszcze na nas poczekać, ale na razie podrapmy się po głowie i przypomnijmy sobie, jakie cechy charakterystyczne ma dana krzywa? Rozpowszechnijmy to na ekranie naszej wyobraźni wykres funkcji ….

Hiperbola ma dwie symetryczne gałęzie.

Hiperbola ma dwa asymptoty.

Niezły postęp! Każda hiperbola ma te właściwości, a teraz z prawdziwym podziwem będziemy patrzeć na dekolt tej linii:

Przykład 4

Skonstruuj hiperbolę podaną w równaniu

Rozwiązanie: w pierwszym kroku doprowadzamy to równanie do postaci kanonicznej. Proszę pamiętać o standardowej procedurze. Po prawej stronie musisz uzyskać „jeden”, więc dzielimy obie strony pierwotnego równania przez 20:

Tutaj możesz zmniejszyć oba ułamki, ale bardziej optymalne jest wykonanie każdego z nich trzypiętrowy:

I dopiero potem wykonaj redukcję:

Wybierz kwadraty w mianownikach:

Dlaczego lepiej przeprowadzać przekształcenia w ten sposób? W końcu ułamki po lewej stronie można natychmiast zredukować i uzyskać. Faktem jest, że w rozważanym przykładzie mieliśmy trochę szczęścia: liczba 20 jest podzielna zarówno przez 4, jak i 5. W ogólnym przypadku taka liczba nie działa. Rozważmy na przykład równanie . Tutaj z podzielnością wszystko jest smutniejsze i bez frakcje trzypiętrowe nie jest już możliwe:

Wykorzystajmy więc owoc naszej pracy - równanie kanoniczne:

Jak skonstruować hiperbolę?

Istnieją dwa podejścia do konstruowania hiperboli - geometryczne i algebraiczne.
Z praktycznego punktu widzenia rysowanie kompasem... Powiedziałbym nawet, że utopijne, dlatego o wiele bardziej opłaca się po raz kolejny posłużyć się prostymi obliczeniami.

Wskazane jest przestrzeganie następującego algorytmu, najpierw gotowy rysunek, a następnie komentarze:

1) Przede wszystkim znajdujemy asymptoty. Jeśli hiperbola jest dana równaniem kanonicznym, to jej asymptoty są prosty . W naszym przypadku: . Ten przedmiot jest wymagany! Jest to podstawowa cecha rysunku i błędem będzie, jeśli gałęzie hiperboli „wypełzną” poza swoje asymptoty.

2) Teraz znajdujemy dwa wierzchołki hiperboli, które znajdują się na osi odciętych w punktach . Wyprowadzenie jest elementarne: jeśli , to równanie kanoniczne zamienia się w , z czego wynika, że ​​. Rozważana hiperbola ma wierzchołki

3) Poszukujemy dodatkowych punktów. Zwykle wystarczą 2-3. W położeniu kanonicznym hiperbola jest symetryczna względem początku i obu osi współrzędnych, dlatego wystarczy przeprowadzić obliczenia dla 1. ćwiartki współrzędnych. Technika jest dokładnie taka sama jak przy budowie elipsa. Z równania kanonicznego w projekcie wyrażamy:

Równanie dzieli się na dwie funkcje:
– określa górne łuki hiperboli (czego potrzebujemy);
– definiuje dolne łuki hiperboli.

Sugeruje to znajdowanie punktów za pomocą odciętych:

4) Przedstawmy asymptoty na rysunku , szczyty , dodatkowe i symetryczne punkty do nich w innych ćwiartkach współrzędnych. Ostrożnie połącz odpowiednie punkty na każdej gałęzi hiperboli:

W przypadku irracjonalności mogą pojawić się trudności techniczne nachylenie, ale jest to problem całkowicie do pokonania.

Odcinek zwany prawdziwa oś hiperbole,
jego długość to odległość między wierzchołkami;
numer zwany prawdziwa półoś hiperbola;
numer – wyimaginowana półoś.

W naszym przykładzie: i oczywiście, jeśli tę hiperbolę obróci się wokół środka symetrii i/lub przesunie, to wartości te nie zmieni się.

Definicja hiperboli. Ognisko i ekscentryczność

Hiperbola, podobnie jak np elipsa, istnieją dwa specjalne punkty zwane wydziwianie. Nic nie powiedziałem, ale na wypadek, gdyby ktoś źle zrozumiał: środek symetrii i punkty ogniskowe oczywiście nie należą do krzywych.

Ogólna koncepcja definicji jest również podobna:

Hiperbola zwany zbiorem wszystkich punktów na płaszczyźnie, całkowita wartość różnica odległości do każdego z dwóch danych punktów jest wartością stałą, liczbowo równą odległości między wierzchołkami tej hiperboli: . W tym przypadku odległość między ogniskami przekracza długość osi rzeczywistej: .

Jeśli hiperbola jest dana równaniem kanonicznym, to odległość od środka symetrii do każdego ogniska oblicza się ze wzoru: .
I odpowiednio ogniska mają współrzędne .

Dla badanej hiperboli:

Rozumiemy definicję. Oznaczmy przez odległości ognisk od dowolnego punktu hiperboli:

Najpierw przesuń w myślach niebieską kropkę wzdłuż prawej gałęzi hiperboli – gdziekolwiek jesteśmy, moduł(wartość bezwzględna) różnicy długości odcinków będzie taka sama:

Jeśli „rzucisz” punkt na lewą gałąź i tam go przesuniesz, to wartość ta pozostanie niezmieniona.

Znak modułu jest potrzebny, ponieważ różnica długości może być dodatnia lub ujemna. Nawiasem mówiąc, dla dowolnego punktu na prawej gałęzi (ponieważ segment jest krótszy niż segment ). Dla dowolnego punktu lewej gałęzi sytuacja jest dokładnie odwrotna i .

Co więcej, biorąc pod uwagę oczywistą właściwość modułu, nie ma znaczenia, co zostanie odjęte od czego.

Upewnijmy się, że w naszym przykładzie moduł tej różnicy jest rzeczywiście równy odległości pomiędzy wierzchołkami. Mentalnie umieść punkt w prawym wierzchołku hiperboli. Następnie: , co należało sprawdzić.

Hiperbola to zbiór punktów, dla którego różnica odległości od dwóch stałych punktów na płaszczyźnie, zwana ogniskami, jest wartością stałą; wskazaną różnicę przyjmuje się jako wartość bezwzględną i zwykle oznacza się ją przez 2 a. Ogniska hiperboli oznaczono literami F 1 i F 2, a odległość między nimi - 2c. Z definicji hiperboli 2a

Niech zostanie podana hiperbola. Jeżeli osie prostokątnego układu współrzędnych kartezjańskich zostaną tak dobrane, że ogniska danej hiperboli leżą na osi odciętych symetrycznie względem początku układu współrzędnych, to w tym układzie współrzędnych równanie hiperboli ma postać

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, (1)

gdzie b = √(c 2 - a 2). Równanie typu (I) nazywa się równaniem kanonicznym hiperboli.Przy określonym wyborze układu współrzędnych osie współrzędnych są osiami symetrii hiperboli, a początek jest jej środkiem symetrii (ryc. 18). Osie symetrii hiperboli nazywane są po prostu jej osiami, środek symetrii jest środkiem hiperboli. Hiperbola przecina jedną ze swoich osi; punkty przecięcia nazywane są wierzchołkami hiperboli. Na ryc. 18 wierzchołków hiperboli to punkty A” i A.

Prostokąt o bokach 2a i 2b, położonych symetrycznie względem osi hiperboli i stykających się z nią wierzchołkami, nazywany jest prostokątem głównym hiperboli.

Odcinki o długości 2a i 2b łączące środki boków głównego prostokąta hiperboli nazywane są także jej osiami. Przekątne głównego prostokąta (rozciąganego w nieskończoność) są asymptotami hiperboli; ich równania to:

y = b/a x, y = - b/a x

Równanie

X 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 (2)

definiuje hiperbolę symetryczną względem osi współrzędnych z ogniskami na osi współrzędnych; równanie (2), podobnie jak równanie (1), nazywane jest równaniem kanonicznym hiperboli; w tym przypadku stała różnica odległości od dowolnego punktu hiperboli do ognisk jest równa 2b.

Dwie hiperbole określone przez równania

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1, - x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1

w tym samym układzie współrzędnych nazywane są koniugatami.

Hiperbola z równą półosią (a = b) nazywana jest równoboczną; jego równanie kanoniczne ma postać

x 2 - y 2 = za 2 lub - x 2 + y 2 = za 2.

gdzie a jest odległością od środka hiperboli do jej wierzchołka, zwaną mimośrodem hiperboli. Oczywiście dla dowolnej hiperboli ε > 1. Jeśli M(x; y) jest dowolnym punktem hiperboli, wówczas odcinki F 1 M i F 2 M (patrz ryc. 18) nazywane są promieniami ogniskowymi punktu M. Ogniskowe promienie punktów prawej gałęzi hiperboli oblicza się według wzorów

r 1 = εx + a, r 2 = εx - a,

promienie ogniskowe punktów lewej gałęzi - zgodnie ze wzorami

r 1 = -εх - a, r 2 = -εх + a

Jeżeli hiperbola jest dana równaniem (1), to linie określone przez równania

x = -a/ε, x = a/ε

nazywane są jego kierownicami (patrz ryc. 18). Jeżeli hiperbola jest dana równaniem (2), to kierownice są określone przez równania

x = -b/ε, x = b/ε

Każda kierownica ma następującą właściwość: jeśli r jest odległością od dowolnego punktu hiperboli do określonego ogniska, d jest odległością od tego samego punktu do jednostronnej kierownicy z tym ogniskiem, to stosunek r/d wynosi stała wartość równa mimośrodowi hiperboli:

515. Ułóż równanie hiperboli, której ogniska leżą na osi odciętych symetrycznie względem początku, wiedząc dodatkowo, że:

1) jego osie 2a = 10 i 2b = 8;

2) odległość ognisk 2c = 10 od osi 2b = 8;

3) odległość ognisk 2с = 6 od mimośrodu ε = 3/2;

4) oś 2a = 16 i mimośrodowość ε = 5/4;

5) równania asymptot y = ±4/3x i odległości między ogniskami 2c = 20;

6) odległość między kierownicami wynosi 22 2/13, a odległość między ogniskami wynosi 2c = 26; 39

7) odległość między kierownicami wynosi 32/5, a oś 2b = 6;

8) odległość między kierownicami wynosi 8/3, a mimośród ε = 3/2;

9) równanie asymptot y = ± 3/4 x i odległość między kierownicami wynosi 12 4/5.

516. Ułóż równanie hiperboli, której ogniska leżą na osi rzędnych symetrycznie względem początku, wiedząc dodatkowo, że:

1) jej półosie a = 6, b = 18 (literą a oznaczamy półoś hiperboli umieszczoną na osi x);

2) odległość między ogniskami wynosi 2c = 10, a mimowolność wynosi ε = 5/3; bardzo dobry 12

3) równanie asymptot y = ±12/5x i odległość między wierzchołkami wynosi 48;

4) odległość między kierownicami wynosi 7 1/7, a mimośród ε = 7/5;

5) równanie asymptot y = ± 4/3x, a odległość między kierownicami wynosi 6 2/5.

517. Wyznacz półosie aib dla każdej z poniższych hiperboli:

1) x 2 /9 - y 2 /4 = 1; 2) x 2 /16 - y 2 = 1; 3) x 2 - 4 lata 2 = 16;

4) x 2 - y 2 = 1; 5) 4x 2 - 9 lat 2 = 25; 6) 25x 2 -16y 2 = 1;

7) 9x 2 - 64 lata 2 = 1.

518. Biorąc pod uwagę hiperbolę 16x 2 - 9y 2 = 144. Znajdź: 1) półosie aib; 2) sztuczki; 3) ekscentryczność; 4) równania asymptot; 5) równania kierownicze.

519. Biorąc pod uwagę hiperbolę 16x 2 - 9y 2 = -144. Znajdź: 1) półosie aib; 2) sztuczki; 3) ekscentryczność; 4) równania asymptot; 5) równania kierownicze.

520. Oblicz pole trójkąta utworzonego przez asymptoty hiperboli x 2 /4 - y 2 /9 = 1 i prostej 9x + 2y - 24 = 0.

521. Ustal, które linie wyznaczają następujące równania:

1) y = +2/3√(x 2 - 9); 2) y = -3√(x 2 + 1)

3) x = -4/3√(y 2 + 9); 4) +2/5√(x 2 + 25)

522. Mając punkt M 1 (l0; - √5) na hiperboli - x 2 /80 - y 2 /20 = 1. Utwórz równania prostych, na których leżą promienie ogniskowe punktu M 1.

523. Upewniwszy się, że punkt M 1 (-5; 9/4) leży na kuli skrzelowej x 2 /16 - y 2 /9 = 1, określ promienie ogniskowe punktu M 1.

524. Mimośród hiperboli wynosi ε = 2, promień ogniska jej punktu M, wykreślonego z pewnego ogniska, wynosi 16. Oblicz odległość punktu M od jednostronnej kierownicy z tym ogniskiem.

525. Mimośród hiperboli wynosi ε = 3, odległość od punktu M hiperboli do kierownicy wynosi 4. Oblicz odległość od punktu M do ogniska, jednostronnie z tą kierownicą.

526. Mimośród hiperboli wynosi ε = 2, jej środek leży w początku, w jednym z ognisk F(12; 0). Oblicz odległość od punktu M 1 hiperboli o odciętej równej 13 do kierownicy odpowiadającej danemu ognisku.

527. Mimośród hiperboli wynosi ε = 3/2, jej środek leży w początku układu współrzędnych, jedną z kierownic wyraża równanie x = -8. Oblicz odległość od punktu M 1 hiperboli o odciętej równej 10 do ogniska odpowiadającego danej kierownicy.

528. Określ punkty hiperboli - x 2 /64 - y 2 /36 = 1, których odległość do prawego ogniska wynosi 4,5.

529. Określ punkty hiperboli x 2 /9 - y 2 /16 = 1, których odległość do lewego ogniska wynosi 7.

530. Przez lewe ognisko hiperboli x 2 /144 - y 2 /25 = 1 poprowadzono prostopadłą do jej osi zawierającej wierzchołki. Wyznacz odległości od ognisk do punktów przecięcia tej prostopadłej z hiperbolą.

531. Za pomocą jednego kompasu skonstruuj ogniska hiperboli x 2 /16 - y 2 /25 = 1 (zakładając, że są przedstawione osie współrzędnych i podana jest jednostka skali).

532. Ułóż równanie hiperboli, której ogniska leżą na osi odciętych symetrycznie względem początku, jeśli podano:

1) punkty M 1 (6; -1) i M 2 (-8; 2√2) hiperbole;

2) punkt M 1 (-5; 3) hiperbola i mimośród ε = √2;

3) punkt M 1 (9/2;-l) hiperbola i równanie asymptot y = ± 2,3x;

4) punkt M 1 (-3; 5.2) równanie hiperboli i kierownicy x = ± 4/3;

5) równania asymptot y = ±-3/4x i równania kierownic x = ± 16/5

533. Wyznacz mimośród hiperboli równobocznej.

534. Wyznacz mimośród hiperboli, jeżeli odcinek pomiędzy jej wierzchołkami jest widoczny z ognisk hiperboli sprzężonej pod kątem 60°.

535. Ogniska hiperboli pokrywają się z ogniskami elipsy x 2 /25 + y 2 /9 = 1. Napisz równanie hiperboli, jeśli jej mimośrodowość ε = 2.

536. Napisz równanie hiperboli, której ogniska leżą w wierzchołkach elipsy x 2 /100 + y 2 /64 = 1, a kierownice przechodzą przez ogniska tej elipsy.

537. Udowodnić, że odległość od ogniska hiperboli x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 do jej asymptoty wynosi b.

538. Udowodnić, że iloczyn odległości od dowolnego punktu hiperboli x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 do jej dwóch asymptot jest wartością stałą równą a 2 b 2 /(a 2 + b 2)

539. Udowodnić, że pole równoległoboku ograniczone asymptotami hiperboli x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 i liniami poprowadzonymi przez którykolwiek z jego punktów równoległych do asymptot ma wartość stałą równą odb/2.

540. Napisz równanie hiperboli, jeśli znane są jej półosie a i b, środek C(x 0;y 0) oraz ogniska leżą na linii prostej: 1) równoległej do osi Wółu; 2) równolegle do osi Oy.

541. Ustal, że każde z poniższych równań definiuje hiperbolę i znajdź współrzędne jej środka C, półosi, mimośrodu, równania asymptot i równania kierownic:

1) 16x 2 - 9у 2 - 64x - 54у - 161 =0;

2) 9x 2 - 16 lat 2 + 90x + 32 lata - 367 = 0;

3) 16x 2 - 9 lat 2 - 64x - 18 lat + 199 = 0.

542. Ustal, które linie wyznaczają następujące równania:

1) y = - 1 + 2/3√(x 2 - 4x - 5);

2) y = 7 - 3/2√(x 2 - 6x + 13);

3) x = 9 - 2√(y 2 + 4y + 8);

4) X = 5 + 3/4√(y 2 + 4y - 12).

Narysuj te linie na rysunku.

543. Utwórz równanie hiperboli, wiedząc, że:

1) odległość między jego wierzchołkami wynosi 24, a ogniska to F 1 (-10; 2), F 2 (16; 2);

2) ogniska to F 1 (3; 4), F 2 (-3; -4), a odległość między kierownicami wynosi 3,6;

3) kąt między asymptotami wynosi 90°, a ogniska to F 1 (4; -4), F 1 (- 2; 2).

544. Napisz równanie hiperboli, jeśli znane są jej mimośrodowość ε = 5/4, ognisko F (5; 0) i równanie odpowiedniej kierownicy 5x - 16 = 0.

545. Napisz równanie hiperboli, jeśli znany jest jej mimośród e - ognisko F(0; 13) i równanie odpowiadającej kierownicy 13y - 144 = 0.

546. Punkt A (-3; - 5) leży na hiperboli, której ogniskiem jest F (-2;-3), a odpowiadającą mu kierownicę wyznacza równanie x + 1 = 0. Napisz równanie tej hiperboli .

547. Napisz równanie hiperboli, jeśli znane są jej mimośrodowość ε = √5, ognisko F(2;-3) i równanie odpowiadającej mu kierownicy Zx - y + 3 = 0.

548. Punkt M 1 (1; 2) leży na hiperboli, której ogniskiem jest F(-2; 2), a odpowiadającą mu kierownicę wyznacza równanie 2x - y - 1 = 0. Napisz równanie tej hiperboli .

549. Podano równanie hiperboli równobocznej x 2 - y 2 = a 2. Znajdź jego równanie w nowym układzie, przyjmując jego asymptoty jako osie współrzędnych.

550. Po ustaleniu, że każde z poniższych równań definiuje hiperbolę, znajdź dla każdego z nich środek, półosie, równania asymptot i nanieś je na rysunek: 1) xy = 18; 2) 2xy - 9 = 0; 3) 2xy + 25 = 0.

551. Znajdź punkty przecięcia prostej 2x - y - 10 = 0 i hiperboli x 2 /20 - y 2 /5 = 1.

552. Znajdź punkty przecięcia prostej 4x - 3y - 16 = 0 i hiperboli x 2 /25 - y 2 /16 = 1.

553. Znajdź punkty przecięcia prostej 2x - y + 1 = 0 i hiperboli x 2 /9 - y 2 /4 = 1.

554. W następujących przypadkach określ położenie linii względem hiperboli: czy przecina ją, dotyka czy przechodzi poza nią:

1) x - y - 3 = 0, x 2 /12 - y 2 /3 = l;

2) x - 2y + 1 = 0, x 2 /16 - y 2 /9 = l;

555. Ustal, przy jakich wartościach m prosta y = 5/2x + m

1) przecina hiperbolę x 2 /9 - y 2 /36 = 1; 2) dotyka jej;

3) wykracza poza tę hiperbolę.

556. Wyprowadź warunek, w którym prosta y = kx + m dotyka hiperboli x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1.

557. Zapisz równanie stycznej do hiperboli x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 w jej punkcie Af, (*,; #i).

558. Udowodnić, że styczne do hiperboli poprowadzonej na końcach o tej samej średnicy są równoległe.

559. Ułóż równania stycznych do hiperboli x 2 /20 - y 2 /5 = 1, prostopadle do prostej 4x + 3y - 7 = 0.

560. Ułóż równania stycznych do hiperboli x 2 /16 - y 2 /64 = 1, równolegle do prostej 10x - 3y + 9 = 0.

561. Narysuj styczne do hiperboli x 2 /16 - y 2 /8 = - 1 równolegle do prostej 2x + 4y - 5 = 0 i oblicz odległość d pomiędzy nimi.

562. Na hiperboli x 2 /24 - y 2 /18 = 1 znajdź punkt M 1 najbliższy prostej 3x + 2y + 1 = O i oblicz odległość d od punktu M x do tej prostej.

563. Utwórz równanie na styczne do hiperboli x 2 - y 2 = 16 wyprowadzone z punktu A(- 1; -7).

564. Z punktu C(1;-10) poprowadzono styczne do hiperboli x 2 /8 - y 2 /32 = 1. Utwórz równanie cięciwy łączącej punkty styczności.

565. Z punktu P(1; -5) poprowadzono styczne do hiperboli x 2 /3 - y 2 /5 = 1. Oblicz odległość d od punktu P do cięciwy hiperboli łączącej punkty styczności.

566. Hiperbola przechodzi przez punkt A(√6; 3) i dotyka prostej 9x + 2y - 15 == 0. Napisz równanie tej hiperboli, pod warunkiem, że jej osie pokrywają się z osiami współrzędnych.

567. Napisz równanie hiperboli stycznej do dwóch prostych: 5x - 6y - 16 = 0, 13x - 10y - 48 = 0, pod warunkiem, że jej osie pokrywają się z osiami współrzędnych.

568. Upewniwszy się, że punkty przecięcia elipsy x 2 /3 - y 2 /5 = 1 i hiperboli x 2 /12 - y 2 /3 = 1 są wierzchołkami prostokąta, ułóż równania jego boków .

569. Mając dane hiperbole x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 i niektóre jej styczne: P jest punktem przecięcia stycznej z osią Ox, Q jest rzutem punktu styczności na tę samą oś . Udowodnić, że OP OQ = a 2 .

570. Udowodnić, że ogniska hiperboli znajdują się po przeciwnych stronach którejkolwiek z jej stycznych.

571. Udowodnić, że iloczyn odległości ognisk od dowolnej stycznej do hiperboli x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 jest wartością stałą równą b 2.

572. Linia prosta 2x - y - 4 == 0 dotyka hiperboli, której ogniska znajdują się w punktach F 1 (-3; 0) i F 2 (3; 0). Napisz równanie tej hiperboli.

573. Ułóż równanie hiperboli, której ogniska znajdują się na osi x symetrycznie względem początku, jeśli znane jest równanie stycznej do hiperboli 15x + 16y - 36 = 0 i odległość między jej wierzchołków wynosi 2a = 8.

574. Udowodnić, że prosta styczna do hiperboli w pewnym punkcie M tworzy kąty równe z promieniami ogniskowymi F 1 M, F 2 M i przechodzi wewnątrz kąta F 1 MF 2. X^

575. Z prawego ogniska hiperboli x 2 /5 - y 2 /4 = 1 pod kątem α(π

576. Udowodnij, że elipsa i hiperbola, mając wspólne ogniska, przecinają się pod kątem prostym.

577. Współczynnik równomiernego ściskania płaszczyzny do osi Wółu wynosi 4/3. Wyznacz równanie prostej, na którą podczas tej kompresji przekształca się hiperbola x 2 /16 - y 2 /9 = 1.Podpowiedź. Zobacz zadanie 509.

578. Współczynnik równomiernego ściskania płaszczyzny do osi Oy wynosi 4/5. Wyznacz równanie prostej, na którą podczas tej kompresji przekształca się hiperbola x 2 /25 - y 2 /9 = 1.

579. Znajdź równanie prostej, na którą przekształca się hiperbola x 2 - y 2 = 9 pod wpływem dwóch kolejnych równomiernych ściskań płaszczyzny do osi współrzędnych, jeżeli współczynniki równomiernego ściskania płaszczyzny do osi Ox i Oy wynoszą odpowiednio równe 2/3 i 5/3.

580. Wyznacz współczynnik q równomiernego ściskania płaszczyzny do osi Ox, przy którym hiperbola - x 2 /25 - y 2 /36 = 1 zostaje zamieniona na hiperbolę x 2 /25 - y 2 /16 = 1.

581. Wyznacz współczynnik q równomiernego ściskania płaszczyzny do osi Oy, przy którym hiperbola x 2 /4 - y 2 /9 = 1 przekształca się w hiperbolę x 2 /16 - y 2 /9 = 1.

582. Wyznacz współczynniki q 1 i q 2 dwóch kolejnych równomiernych ściśnięć płaszczyzny do osi Ox i Oy, przy których hiperbola x 2 /49 - y 2 /16 = 1 zostaje zamieniona na hiperbolę x 2 /25 - y2/64 = 1.