Rozwiązywanie równań wykładniczych online ze szczegółowymi rozwiązaniami. Jak rozwiązuje się układ równań? Metody rozwiązywania układów równań

Na etapie przygotowania do egzaminu końcowego uczniowie szkół średnich muszą udoskonalić swoją wiedzę na temat „Równania wykładnicze”. Doświadczenia ostatnich lat wskazują, że tego typu zadania sprawiają uczniom pewne trudności. Dlatego licealiści, niezależnie od poziomu przygotowania, muszą dokładnie opanować teorię, zapamiętać wzory i zrozumieć zasadę rozwiązywania takich równań. Nauczywszy się radzić sobie z tego typu problemami, absolwenci mogą liczyć na wysokie wyniki przy zdaniu Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki.

Przygotuj się do testów egzaminacyjnych z Shkolkovo!

Przeglądając przestudiowany materiał, wielu uczniów staje przed problemem znalezienia wzorów potrzebnych do rozwiązania równań. Podręcznik szkolny nie zawsze jest pod ręką, a wybranie niezbędnych informacji na dany temat w Internecie zajmuje dużo czasu.

Portal edukacyjny Shkolkovo zaprasza uczniów do korzystania z naszej bazy wiedzy. Wdrażamy zupełnie nową metodę przygotowania do egzaminu końcowego. Studiując na naszej stronie, będziesz w stanie zidentyfikować luki w wiedzy i zwrócić uwagę na te zadania, które sprawiają najwięcej trudności.

Nauczyciele Shkolkovo zebrali, usystematyzowali i przedstawili cały materiał niezbędny do pomyślnego zdania jednolitego egzaminu państwowego w najprostszej i najbardziej przystępnej formie.

Podstawowe definicje i wzory przedstawiono w części „Podstawy teoretyczne”.

Aby lepiej zrozumieć materiał, zalecamy przećwiczenie wykonywania zadań. Dokładnie przejrzyj przykłady równań wykładniczych z rozwiązaniami przedstawionymi na tej stronie, aby zrozumieć algorytm obliczeniowy. Następnie przejdź do wykonywania zadań w sekcji „Katalogi”. Możesz zacząć od najłatwiejszych zadań lub przejść od razu do rozwiązywania złożonych równań wykładniczych z kilkoma niewiadomymi lub . Baza ćwiczeń na naszej stronie jest na bieżąco uzupełniana i aktualizowana.

Te przykłady ze wskaźnikami, które sprawiły Ci trudności, możesz dodać do „Ulubionych”. W ten sposób możesz szybko je znaleźć i omówić rozwiązanie ze swoim nauczycielem.

Aby pomyślnie zdać ujednolicony egzamin państwowy, codziennie ucz się na portalu Shkolkovo!

I. topór 2 =0 – niekompletny równanie kwadratowe (b=0, c=0 ). Rozwiązanie: x=0. Odpowiedź: 0.

Rozwiązywać równania.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

Rozwiązanie. Otwórzmy nawiasy, mnożąc 2x dla każdego terminu w nawiasach:

2x 2 +6x=6x-x 2 ; Przenosimy wyrazy z prawej strony na lewą:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; Oto podobne terminy:

3x 2 =0, stąd x=0.

Odpowiedź: 0.

II. topór 2 +bx=0 –niekompletny równanie kwadratowe (c=0 ). Rozwiązanie: x (ax+b)=0 → x 1 =0 lub ax+b=0 → x 2 =-b/a. Odpowiedź: 0; -b/a.

5x2 -26x=0.

Rozwiązanie. Wyjmijmy wspólny czynnik X poza nawiasami:

x(5x-26)=0; każdy współczynnik może być równy zeru:

x=0 Lub 5x-26=0→ 5x=26, podziel obie strony równości przez 5 i otrzymujemy: x=5,2.

Odpowiedź: 0; 5,2.

Przykład 3. 64x+4x2 =0.

Rozwiązanie. Wyjmijmy wspólny czynnik 4x poza nawiasami:

4x(16+x)=0. Mamy zatem trzy czynniki, 4≠0, lub x=0 Lub 16+x=0. Z ostatniej równości otrzymujemy x=-16.

Odpowiedź: -16; 0.

Przykład 4.(x-3) 2 +5x=9.

Rozwiązanie. Stosując wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń, otworzymy nawiasy:

x 2 -6x+9+5x=9; przekształcić do postaci: x 2 -6x+9+5x-9=0; Przedstawmy podobne terminy:

x2 -x=0; wyciągniemy to X poza nawiasami otrzymujemy: x (x-1)=0. Stąd lub x=0 Lub x-1=0→ x=1.

Odpowiedź: 0; 1.

III. topór 2 +c=0 –niekompletny równanie kwadratowe (b=0 ); Rozwiązanie: topór 2 =-c → x 2 =-c/a.

Jeśli (-c/a)<0 , to nie ma prawdziwych korzeni. Jeśli (-с/а)>0

Przykład 5. x2 -49=0.

Rozwiązanie.

x 2 = 49, stąd x=±7. Odpowiedź:-7; 7.

Przykład 6. 9x2 -4=0.

Rozwiązanie.

Często trzeba znaleźć sumę kwadratów (x 1 2 + x 2 2) lub sumę kostek (x 1 3 + x 2 3) pierwiastków równania kwadratowego, rzadziej - sumę wartości odwrotności ​​kwadratów pierwiastków lub sumy arytmetycznych pierwiastków kwadratowych pierwiastków równania kwadratowego:

Twierdzenie Viety może w tym pomóc:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Wyraźmy Poprzez P I Q:

1) suma kwadratów pierwiastków równania x 2 +px+q=0;

2) suma sześcianów pierwiastków równania x 2 +px+q=0.

Rozwiązanie.

1) Wyrażenie x 1 2 + x 2 2 uzyskuje się przez podniesienie obu stron równania do kwadratu x 1 + x 2 = -p;

(x 1 + x 2) 2 = (-p) 2 ; otwórz nawiasy: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; wyrażamy wymaganą kwotę: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Otrzymaliśmy użyteczną równość: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

2) Wyrażenie x 1 3 + x 2 3 Przedstawmy sumę kostek za pomocą wzoru:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).

Kolejne przydatne równanie: x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

Przykłady.

3) x 2 -3x-4=0. Nie rozwiązując równania, oblicz wartość wyrażenia x 1 2 + x 2 2.

Rozwiązanie.

x 1 + x 2 =-p=3, i praca x 1 ∙x 2 =q=w przykładzie 1) równość:

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q. Mamy -P=x 1 + x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Następnie x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

Odpowiedź: x 1 2 + x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0. Oblicz: x 1 3 +x 2 3 .

Rozwiązanie.

Zgodnie z twierdzeniem Viety suma pierwiastków tego zredukowanego równania kwadratowego wynosi x 1 + x 2 =-p=2, i praca x 1 ∙x 2 =q=-4. Zastosujmy to, co otrzymaliśmy ( w przykładzie 2) równość: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Odpowiedź: x 1 3 + x 2 3 =32.

Pytanie: co się stanie, jeśli otrzymamy nieredukowane równanie kwadratowe? Odpowiedź: zawsze można to „zredukować”, dzieląc wyraz po wyrazie przez pierwszy współczynnik.

5) 2x 2 -5x-7=0. Nie decydując się, oblicz: x 1 2 + x 2 2.

Rozwiązanie. Dano nam pełne równanie kwadratowe. Podziel obie strony równości przez 2 (pierwszy współczynnik) i uzyskaj następujące równanie kwadratowe: x 2 -2,5x-3,5=0.

Zgodnie z twierdzeniem Viety suma pierwiastków jest równa 2,5 ; iloczyn pierwiastków jest równy -3,5 .

Rozwiązujemy to w taki sam sposób jak w przykładzie 3) korzystając z równości: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Odpowiedź: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2=0. Znajdować:

Przekształćmy tę równość i korzystając z twierdzenia Viety, podstawimy sumę pierwiastków przez -P i iloczyn korzeni poprzez Q, otrzymujemy kolejną przydatną formułę. Wyprowadzając wzór skorzystaliśmy z równości 1): x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

W naszym przykładzie x 1 + x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Podstawiamy te wartości do powstałego wzoru:

7) x 2 -13x+36=0. Znajdować:

Przekształćmy tę sumę i uzyskajmy wzór, za pomocą którego można znaleźć sumę arytmetycznych pierwiastków kwadratowych z pierwiastków równania kwadratowego.

Mamy x 1 + x 2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. Podstawiamy te wartości do powstałego wzoru:

Rada : zawsze sprawdzaj możliwość znalezienia pierwiastków równania kwadratowego odpowiednią metodą, ponieważ 4 Oceniony przydatne formuły pozwalają szybko wykonać zadanie, szczególnie w przypadkach, gdy wyróżnikiem jest „niewygodna” liczba. We wszystkich prostych przypadkach znajdź korzenie i działaj na nich. Przykładowo w ostatnim przykładzie pierwiastki wybieramy korzystając z twierdzenia Viety: suma pierwiastków powinna być równa 13 i produkt korzeni 36 . Co to za liczby? Z pewnością, 4 i 9. Teraz oblicz sumę pierwiastków kwadratowych tych liczb: 2+3=5. Otóż ​​to!

I. Twierdzenie Viety dla zredukowanego równania kwadratowego.

Suma pierwiastków zredukowanego równania kwadratowego x 2 +px+q=0 jest równy drugiemu współczynnikowi wziętemu z przeciwnym znakiem, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Znajdź pierwiastki danego równania kwadratowego, korzystając z twierdzenia Viety.

Przykład 1) x 2 -x-30=0. To jest zredukowane równanie kwadratowe ( x2 +px+q=0), drugi współczynnik p=-1 i bezpłatny członek q=-30. Najpierw upewnijmy się, że to równanie ma pierwiastki i że pierwiastki (jeśli istnieją) zostaną wyrażone w liczbach całkowitych. Aby to zrobić, wystarczy, aby dyskryminator był idealnym kwadratem liczby całkowitej.

Znalezienie wyróżnika D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Teraz, zgodnie z twierdzeniem Viety, suma pierwiastków musi być równa drugiemu współczynnikowi przyjętemu z przeciwnym znakiem, tj. ( -P), a iloczyn jest równy terminowi dowolnemu, tj. ( Q). Następnie:

x 1 + x 2 = 1; x 1 ∙x 2 =-30. Musimy wybrać dwie liczby takie, aby ich iloczyn był równy -30 , a kwota jest jednostka. To są liczby -5 I 6 . Odpowiedź: -5; 6.

Przykład 2) x 2 +6x+8=0. Mamy zredukowane równanie kwadratowe z drugim współczynnikiem p=6 i wolny członek q=8. Upewnijmy się, że istnieją pierwiastki całkowite. Znajdźmy dyskryminator D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Dyskryminator D 1 jest idealnym kwadratem liczby 1 , co oznacza, że ​​pierwiastki tego równania są liczbami całkowitymi. Wybierzmy pierwiastki korzystając z twierdzenia Viety: suma pierwiastków jest równa –р=-6, a iloczyn pierwiastków jest równy q=8. To są liczby -4 I -2 .

W rzeczywistości: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Odpowiedź: -4; -2.

Przykład 3) x 2 +2x-4=0. W tym zredukowanym równaniu kwadratowym drugi współczynnik p=2 i bezpłatny członek q=-4. Znajdźmy dyskryminator D 1, ponieważ drugi współczynnik jest liczbą parzystą. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Dyskryminator nie jest idealnym kwadratem liczby, więc tak robimy wniosek: Pierwiastki tego równania nie są liczbami całkowitymi i nie można ich znaleźć za pomocą twierdzenia Viety. Oznacza to, że równanie to rozwiązujemy jak zwykle za pomocą wzorów (w tym przypadku za pomocą wzorów). Otrzymujemy:

Przykład 4). Zapisz równanie kwadratowe, korzystając z jego pierwiastków, jeśli x 1 = -7, x 2 = 4.

Rozwiązanie. Wymagane równanie zostanie zapisane w postaci: x 2 +px+q=0, oraz, w oparciu o twierdzenie Viety –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Wówczas równanie przyjmie postać: x2 +3x-28=0.

Przykład 5). Zapisz równanie kwadratowe, korzystając z jego pierwiastków, jeśli:

II. Twierdzenie Viety dla pełnego równania kwadratowego topór 2 +bx+c=0.

Suma pierwiastków wynosi minus B, podzielony przez A, iloczyn pierwiastków jest równy Z, podzielony przez A:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

Przykład 6). Znajdź sumę pierwiastków równania kwadratowego 2x2 -7x-11=0.

Rozwiązanie.

Dbamy o to, aby to równanie miało pierwiastki. Aby to zrobić, wystarczy utworzyć wyrażenie na dyskryminator i bez obliczania go po prostu upewnić się, że dyskryminator jest większy od zera. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Teraz skorzystajmy twierdzenie Vieta dla pełnych równań kwadratowych.

x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

Przykład 7). Znajdź iloczyn pierwiastków równania kwadratowego 3x2 +8x-21=0.

Rozwiązanie.

Znajdźmy dyskryminator D 1, ponieważ drugi współczynnik ( 8 ) jest liczbą parzystą. D 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Równanie kwadratowe ma 2 pierwiastek, zgodnie z twierdzeniem Viety, iloczyn pierwiastków x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.

I. topór 2 +bx+c=0– ogólne równanie kwadratowe

Dyskryminujący D=b 2 - 4ac.

Jeśli D>0, to mamy dwa prawdziwe pierwiastki:

Jeśli D=0, to mamy pojedynczy pierwiastek (lub dwa równe pierwiastki) x=-b/(2a).

Jeśli D<0, то действительных корней нет.

Przykład 1) 2x2 +5x-3=0.

Rozwiązanie. A=2; B=5; C=-3.

D=b 2 - 4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 prawdziwe korzenie.

4x2 +21x+5=0.

Rozwiązanie. A=4; B=21; C=5.

D=b 2 - 4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 prawdziwe korzenie.

II. topór 2 +bx+c=0 – równanie kwadratowe określonej postaci z nawet drugim

współczynnik B

Przykład 3) 3x 2 -10x+3=0.

Rozwiązanie. A=3; B=-10 (liczba parzysta); C=3.

Przykład 4) 5x2 -14x-3=0.

Rozwiązanie. A=5; B= -14 (liczba parzysta); C=-3.

Przykład 5) 71x2 +144x+4=0.

Rozwiązanie. A=71; B=144 (liczba parzysta); C=4.

Przykład 6) 9x2 -30x+25=0.

Rozwiązanie. A=9; B=-30 (liczba parzysta); C=25.

III. topór 2 +bx+c=0 – równanie kwadratowe podany typ prywatny: a-b+c=0.

Pierwszy pierwiastek jest zawsze równy minus jeden, a drugi pierwiastek jest zawsze równy minus Z, podzielony przez A:

x 1 = -1, x 2 = -c/a.

Przykład 7) 2x2 +9x+7=0.

Rozwiązanie. A=2; B=9; C=7. Sprawdźmy równość: a-b+c=0. Otrzymujemy: 2-9+7=0 .

Następnie x 1 =-1, x 2 =-c/a=-7/2=-3,5. Odpowiedź: -1; -3,5.

IV. topór 2 +bx+c=0 – równanie kwadratowe określonej postaci podlegającej : a+b+c=0.

Pierwszy pierwiastek jest zawsze równy jeden, a drugi pierwiastek jest równy Z, podzielony przez A:

x 1 = 1, x 2 = c/a.

Przykład 8) 2x2 -9x+7=0.

Rozwiązanie. A=2; B=-9; C=7. Sprawdźmy równość: a+b+c=0. Otrzymujemy: 2-9+7=0 .

Następnie x 1 =1, x 2 =c/a=7/2=3,5. Odpowiedź: 1; 3,5.

Strona 1 z 1 1

Na lekcjach matematyki w klasie 7 spotykamy się po raz pierwszy równania z dwiema zmiennymi, ale bada się je tylko w kontekście układów równań z dwiema niewiadomymi. Dlatego też znika z pola widzenia cały szereg problemów, w których na współczynniki równania wprowadzane są pewne warunki ograniczające je. Ponadto ignorowane są również metody rozwiązywania problemów typu „Rozwiąż równanie na liczbach naturalnych lub całkowitych”, choć problemy tego rodzaju coraz częściej spotykane są w materiałach Unified State Examination i na egzaminach wstępnych.

Które równanie nazwiemy równaniem z dwiema zmiennymi?

Na przykład równania 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 lub xy = 12 są równaniami z dwiema zmiennymi.

Rozważmy równanie 2x – y = 1. Staje się prawdziwe, gdy x = 2 i y = 3, więc ta para wartości zmiennych jest rozwiązaniem omawianego równania.

Zatem rozwiązaniem dowolnego równania z dwiema zmiennymi jest zbiór uporządkowanych par (x; y), wartości zmiennych, które zamieniają to równanie w prawdziwą równość liczbową.

Równanie z dwiema niewiadomymi może:

A) mieć jedno rozwiązanie. Na przykład równanie x 2 + 5y 2 = 0 ma unikalne rozwiązanie (0; 0);

B) mieć wiele rozwiązań. Na przykład (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ma 4 rozwiązania: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) nie mają rozwiązań. Na przykład równanie x 2 + y 2 + 1 = 0 nie ma rozwiązań;

G) mają nieskończenie wiele rozwiązań. Np. x + y = 3. Rozwiązaniem tego równania będą liczby, których suma jest równa 3. Zbiór rozwiązań tego równania można zapisać w postaci (k; 3 – k), gdzie k jest dowolną wartością rzeczywistą numer.

Głównymi metodami rozwiązywania równań z dwiema zmiennymi są metody oparte na rozkładaniu wyrażeń na czynniki, izolowaniu pełnego kwadratu, wykorzystaniu właściwości równania kwadratowego, wyrażeniach ograniczonych i metodach estymacji. Równanie zwykle przekształca się do postaci, z której można uzyskać układ znajdowania niewiadomych.

Faktoryzacja

Przykład 1.

Rozwiąż równanie: xy – 2 = 2x – y.

Rozwiązanie.

Grupujemy terminy w celu faktoryzacji:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Z każdego nawiasu wyciągamy wspólny czynnik:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Mamy:

y = 2, x – dowolna liczba rzeczywista lub x = -1, y – dowolna liczba rzeczywista.

Zatem, odpowiedzią są wszystkie pary postaci (x; 2), x € R i (-1; y), y € R.

Równość liczb nieujemnych do zera

Przykład 2.

Rozwiąż równanie: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Rozwiązanie.

Grupowanie:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Teraz każdy nawias można złożyć, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Suma dwóch nieujemnych wyrażeń wynosi zero tylko wtedy, gdy 3x – 2 = 0 i 2y – 3 = 0.

Oznacza to x = 2/3 i y = 3/2.

Odpowiedź: (2/3; 3/2).

Metoda szacowania

Przykład 3.

Rozwiąż równanie: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Rozwiązanie.

W każdym nawiasie wybieramy cały kwadrat:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Oszacujmy znaczenie wyrażeń w nawiasach.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 oraz (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, wówczas lewa strona równania wynosi zawsze co najmniej 2. Równość jest możliwa, jeśli:

(x + 1) 2 + 1 = 1 i (y – 2) 2 + 2 = 2, co oznacza x = -1, y = 2.

Odpowiedź: (-1; 2).

Zapoznajmy się z inną metodą rozwiązywania równań z dwiema zmiennymi drugiego stopnia. Metoda ta polega na traktowaniu równania jako kwadrat w odniesieniu do jakiejś zmiennej.

Przykład 4.

Rozwiąż równanie: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Rozwiązanie.

Rozwiążmy to równanie jako równanie kwadratowe dla x. Znajdźmy dyskryminator:

re = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Równanie będzie miało rozwiązanie tylko wtedy, gdy D = 0, to znaczy, jeśli y = 4. Podstawiamy wartość y do pierwotnego równania i stwierdzamy, że x = 3.

Odpowiedź: (3; 4).

Często w równaniach z dwiema niewiadomymi wskazują ograniczenia dotyczące zmiennych.

Przykład 5.

Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Rozwiązanie.

Zapiszmy równanie w postaci x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Prawa strona otrzymanego równania przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2. Zatem x 2 nie jest podzielne przez 5. Ale kwadrat liczba niepodzielna przez 5 daje resztę 1 lub 4. Zatem równość jest niemożliwa i nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: brak korzeni.

Przykład 6.

Rozwiąż równanie: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Rozwiązanie.

Zaznaczmy całe kwadraty w każdym nawiasie:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Lewa strona równania jest zawsze większa lub równa 3. Równość jest możliwa pod warunkiem, że |x| – 2 = 0 i y + 3 = 0. Zatem x = ± 2, y = -3.

Odpowiedź: (2; -3) i (-2; -3).

Przykład 7.

Dla każdej pary ujemnych liczb całkowitych (x;y) spełniających równanie
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, oblicz sumę (x + y). W odpowiedzi proszę wskazać najmniejszą kwotę.

Rozwiązanie.

Wybierzmy całe kwadraty:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Ponieważ x i y są liczbami całkowitymi, ich kwadraty również są liczbami całkowitymi. Otrzymamy sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych równą 37, jeśli dodamy 1 + 36. Zatem:

(x – y) 2 = 36 i (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 i (y + 2) 2 = 36.

Rozwiązując te układy i biorąc pod uwagę, że x i y są ujemne, znajdujemy rozwiązania: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Odpowiedź: -17.

Nie rozpaczaj, jeśli masz trudności z rozwiązywaniem równań z dwiema niewiadomymi. Przy odrobinie praktyki poradzisz sobie z każdym równaniem.

Nadal masz pytania? Nie wiesz, jak rozwiązywać równania z dwiema zmiennymi?
Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest darmowa!

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

Usługa rozwiązywania równań online pomoże Ci rozwiązać każde równanie. Korzystając z naszej strony, otrzymasz nie tylko odpowiedź na równanie, ale także zobaczysz szczegółowe rozwiązanie, czyli pokaz krok po kroku procesu uzyskiwania wyniku. Z naszej usługi skorzystają uczniowie szkół średnich i ich rodzice. Uczniowie będą mogli przygotować się do sprawdzianów i egzaminów, sprawdzić swoją wiedzę, a rodzice będą mogli na bieżąco monitorować rozwiązywanie równań matematycznych przez swoje dzieci. Umiejętność rozwiązywania równań jest obowiązkowym wymogiem dla uczniów. Usługa pomoże Ci dokształcić się i udoskonalić swoją wiedzę z zakresu równań matematycznych. Za jego pomocą rozwiążesz dowolne równanie: kwadratowe, sześcienne, niewymierne, trygonometryczne itp. Korzyści z usługi online są bezcenne, ponieważ oprócz prawidłowej odpowiedzi otrzymasz szczegółowe rozwiązanie każdego równania. Korzyści z rozwiązywania równań online. Na naszej stronie możesz rozwiązać dowolne równanie online, zupełnie za darmo. Usługa jest w pełni automatyczna, nie musisz niczego instalować na swoim komputerze, wystarczy, że wprowadzisz dane, a program podpowie Ci rozwiązanie. Wszelkie błędy w obliczeniach lub literówki są wykluczone. Z nami rozwiązywanie dowolnego równania online jest bardzo proste, więc koniecznie skorzystaj z naszej witryny, aby rozwiązać dowolny rodzaj równań. Wystarczy wprowadzić dane, a obliczenia zostaną zakończone w ciągu kilku sekund. Program działa niezależnie, bez interwencji człowieka, a Ty otrzymujesz dokładną i szczegółową odpowiedź. Rozwiązanie równania w postaci ogólnej. W takim równaniu zmienne współczynniki i pożądane pierwiastki są ze sobą powiązane. O kolejności takiego równania decyduje najwyższa potęga zmiennej. Na tej podstawie stosuje się różne metody i twierdzenia do równań w celu znalezienia rozwiązań. Rozwiązywanie równań tego typu polega na znajdowaniu wymaganych pierwiastków w postaci ogólnej. Nasz serwis umożliwia rozwiązanie nawet najbardziej złożonego równania algebraicznego online. Możesz uzyskać zarówno rozwiązanie ogólne równania, jak i rozwiązanie szczegółowe dla wartości liczbowych określonych współczynników. Aby rozwiązać równanie algebraiczne w serwisie wystarczy poprawnie wypełnić tylko dwa pola: lewą i prawą stronę danego równania. Równania algebraiczne o zmiennych współczynnikach mają nieskończoną liczbę rozwiązań, a po postawieniu pewnych warunków ze zbioru rozwiązań wybiera się równania cząstkowe. Równanie kwadratowe. Równanie kwadratowe ma postać ax^2+bx+c=0 dla a>0. Rozwiązywanie równań kwadratowych polega na znalezieniu wartości x, przy których zachodzi równość ax^2+bx+c=0. Aby to zrobić, znajdź wartość dyskryminacyjną, korzystając ze wzoru D=b^2-4ac. Jeśli dyskryminator jest mniejszy od zera, to równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych (pierwiastki pochodzą z ciała liczb zespolonych), jeśli jest równy zeru, to równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty, a jeśli dyskryminator jest większy od zera , to równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste, które można znaleźć ze wzoru: D = -b+-sqrt/2a. Aby rozwiązać równanie kwadratowe online, wystarczy wprowadzić współczynniki równania (liczby całkowite, ułamki zwykłe lub ułamki dziesiętne). Jeśli w równaniu występują znaki odejmowania, przed odpowiednimi wyrazami równania należy umieścić znak minus. Równanie kwadratowe można rozwiązać online w zależności od parametru, czyli zmiennych we współczynnikach równania. Nasz internetowy serwis wyszukiwania ogólnych rozwiązań dobrze radzi sobie z tym zadaniem. Równania liniowe. Do rozwiązywania równań liniowych (lub układów równań) w praktyce stosuje się cztery główne metody. Opiszemy szczegółowo każdą metodę. Metoda substytucyjna. Rozwiązywanie równań metodą podstawieniową wymaga wyrażenia jednej zmiennej w kategoriach pozostałych. Następnie wyrażenie jest zastępowane innymi równaniami układu. Stąd nazwa metody rozwiązania, czyli zamiast zmiennej jej wyrażenie zostaje podstawione przez pozostałe zmienne. W praktyce metoda wymaga skomplikowanych obliczeń, choć jest łatwa do zrozumienia, więc rozwiązanie takiego równania online pomoże zaoszczędzić czas i ułatwi obliczenia. Wystarczy wskazać liczbę niewiadomych w równaniu i uzupełnić dane z równań liniowych, a następnie serwis dokona obliczeń. Metoda Gaussa. Metoda opiera się na najprostszych przekształceniach układu w celu uzyskania równoważnego układu trójkątnego. Na tej podstawie niewiadome są określane jedna po drugiej. W praktyce trzeba rozwiązać takie równanie online ze szczegółowym opisem, dzięki czemu będziemy dobrze rozumieć metodę Gaussa do rozwiązywania układów równań liniowych. Zapisz układ równań liniowych w odpowiednim formacie i uwzględnij liczbę niewiadomych, aby dokładnie rozwiązać układ. Metoda Cramera. Metoda ta rozwiązuje układy równań w przypadkach, gdy układ ma jednoznaczne rozwiązanie. Głównym działaniem matematycznym jest tutaj obliczenie wyznaczników macierzy. Rozwiązywanie równań metodą Cramera odbywa się online, wynik otrzymujesz błyskawicznie wraz z pełnym i szczegółowym opisem. Wystarczy wypełnić układ współczynnikami i wybrać liczbę nieznanych zmiennych. Metoda matrycowa. Metoda ta polega na zebraniu współczynników niewiadomych w macierzy A, niewiadomych w kolumnie X i wolnych wyrazów w kolumnie B. W ten sposób układ równań liniowych sprowadza się do równania macierzowego o postaci AxX=B. Równanie to ma jednoznaczne rozwiązanie tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy A jest różny od zera, w przeciwnym razie układ nie ma rozwiązań lub ma nieskończoną liczbę rozwiązań. Rozwiązywanie równań metodą macierzową polega na znalezieniu macierzy odwrotnej A.

Instrukcje. Aby rozwiązać online, należy wybrać rodzaj równania i ustawić wymiar odpowiednich macierzy.

Przykład nr 1. Ćwiczenia. Znajdź rozwiązanie równania macierzowego
Rozwiązanie. Oznaczmy:
Wówczas równanie macierzowe zostanie zapisane w postaci: A·X·B = C.
Wyznacznik macierzy A jest równy detA=-1
Ponieważ A jest macierzą nieosobliwą, istnieje macierz odwrotna A -1 . Pomnóż obie strony równania po lewej stronie przez A -1: Pomnóż obie strony równania po lewej stronie przez A -1 i po prawej stronie przez B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . Ponieważ A A -1 = B B -1 = E i E X = X E = X, to X = A -1 C B -1

Odwrotna macierz A -1:
Znajdźmy macierz odwrotną B -1.
Transponowana macierz B T:
Odwrotna macierz B -1:
Macierzy X szukamy według wzoru: X = A -1 ·C·B -1

Odpowiedź:

Przykład nr 2. Ćwiczenia. Rozwiąż równanie macierzowe
Rozwiązanie. Oznaczmy:
Wówczas równanie macierzowe zostanie zapisane w postaci: A·X = B.
Wyznacznikiem macierzy A jest detA=0
Ponieważ A jest macierzą pojedynczą (wyznacznik wynosi 0), zatem równanie nie ma rozwiązania.

Przykład nr 3. Ćwiczenia. Znajdź rozwiązanie równania macierzowego
Rozwiązanie. Oznaczmy:
Wówczas równanie macierzowe zostanie zapisane w postaci: X A = B.
Wyznacznikiem macierzy A jest detA=-60
Ponieważ A jest macierzą nieosobliwą, istnieje macierz odwrotna A -1 . Pomnóżmy obie strony równania po prawej stronie przez A -1: X A A -1 = B A -1, skąd dowiadujemy się, że X = B A -1
Znajdźmy macierz odwrotną A -1 .
Transponowana macierz A T:
Odwrotna macierz A -1:
Szukamy macierzy X korzystając ze wzoru: X = B A -1


Odpowiedź: >