Wartości tabelaryczne funkcji. Prawo rozkładu prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej

2.1. Funkcja Laplace'a (całka prawdopodobieństwa) ma postać:

Wykres funkcji Laplace'a pokazano na rys. 5.

Funkcjonować F(X) w formie tabelarycznej (zob. tabela 1 w załącznikach). Aby skorzystać z tej tabeli, musisz wiedzieć właściwości funkcji Laplace'a:

1) Funkcja Ф( X) dziwne: F(-X)= -F(X).

2) Funkcja F(X) monotonicznie rosnące.

3) F(0)=0.

4) F(+¥ )=0,5; F(-¥ )=-0,5. W praktyce możemy założyć, że dla x³5 funkcja F(X) = 0,5; dla funkcji x £ -5 F(X)=-0,5.

2.2. Istnieją inne formy funkcji Laplace'a:

I

W przeciwieństwie do tych form, funkcja F(X) nazywa się standardową lub znormalizowaną funkcją Laplace'a. Wiąże się to z innymi formami relacji:

PRZYKŁAD 2. Ciągła zmienna losowa X ma prawo rozkładu normalnego o parametrach: M=3, S=4. Znajdź prawdopodobieństwo, że w wyniku testu zostanie zmienna losowa X: a) przyjmie wartość zawartą w przedziale (2; 6); b) przyjmie wartość mniejszą niż 2; c) przyjmie wartość większą niż 10; d) odbiegać od oczekiwań matematycznych o kwotę nie większą niż 2. Rozwiązanie problemu zilustrować graficznie.

Rozwiązanie. a) Prawdopodobieństwo, że normalna zmienna losowa X mieści się w określonym przedziale ( a, b), Gdzie A=2 i B=6, równe:

Wartości funkcji Laplace'a F(x) ustala się zgodnie z tabelą podaną w załączniku, biorąc pod uwagę ww F(–X)= –F(X).



b) Prawdopodobieństwo, że normalna zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą od 2, równą:

c) Prawdopodobieństwo, że normalna zmienna losowa X przyjmie wartość większą od 10, równą:

d) Prawdopodobieństwo, że normalna zmienna losowa X D=2, równe:

Z geometrycznego punktu widzenia obliczone prawdopodobieństwa są liczbowo równe zacienionym obszarom pod krzywą normalną (patrz rys. 6).


1 5

Ryż. 6. Krzywa normalna dla zmiennej losowej X~N(3;4)
PRZYKŁAD 3.Średnicę wału mierzy się bez błędów systematycznych (tego samego znaku). Losowe błędy pomiarowe podlegają rozkładowi normalnemu z odchyleniem standardowym wynoszącym 10 mm. Znajdź prawdopodobieństwo, że pomiar zostanie wykonany z błędem nie większym niż 15 mm w wartości bezwzględnej.

Rozwiązanie. Matematyczne oczekiwanie błędów losowych wynosi zero M X będzie odbiegać od oczekiwań matematycznych o kwotę mniejszą niż D=15, równe:

PRZYKŁAD 4. Maszyna produkuje kulki. Piłka jest uznawana za ważną w przypadku odchylenia Xśrednica kuli od rozmiaru projektowego w wartości bezwzględnej jest mniejsza niż 0,7 mm. Zakładając, że zmienna losowa X o rozkładzie normalnym z odchyleniem standardowym 0,4 mm, znajdź średnią liczbę odpowiednich kulek spośród 100 wyprodukowanych.

Rozwiązanie. Losowa wartość X- odchylenie średnicy kulki od wymiaru projektowego. Matematyczne oczekiwanie odchylenia wynosi zero, tj. M(X)=M=0. Następnie prawdopodobieństwo, że normalna zmienna losowa X będzie odbiegać od oczekiwań matematycznych o kwotę mniejszą niż D=0,7, równe:

Wynika z tego, że odpowiednie będą około 92 kulki na 100.

PRZYKŁAD 5. Udowodnij regułę „3” S».

Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo, że normalna zmienna losowa X będzie odbiegać od oczekiwań matematycznych o kwotę mniejszą niż d= 3S, jest równe:

PRZYKŁAD 6. Losowa wartość X rozkład normalny z oczekiwaniem matematycznym M=10. Prawdopodobieństwo trafienia X w przedziale (10, 20) jest równe 0,3. Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia X w przedziale (0, 10)?

Rozwiązanie. Krzywa normalna jest symetryczna względem linii prostej X=M=10, zatem obszary ograniczone powyżej krzywą normalną i poniżej przedziałami (0, 10) i (10, 20) są sobie równe. Ponieważ obszary są liczbowo równe prawdopodobieństwu trafienia X następnie w odpowiednich odstępach czasu.

Twierdzenia lokalne i całkowe Laplace'a

Artykuł ten stanowi naturalną kontynuację lekcji nt niezależne testy, gdzie się spotkaliśmy Wzór Bernoulliego i pracował na typowych przykładach na dany temat. Twierdzenia lokalne i całkowe Laplace'a (Moivre-Laplace'a) rozwiązują podobny problem, z tą różnicą, że mają zastosowanie do wystarczająco dużej liczby niezależnych testów. Nie ma potrzeby pomijać słów „lokalny”, „całkowy”, „twierdzenia” – materiał jest opanowany z taką samą łatwością, z jaką Laplace poklepał Napoleona po kręconej głowie. Dlatego bez żadnych kompleksów i wstępnych komentarzy rozważmy od razu przykład demonstracyjny:

Moneta jest rzucana 400 razy. Znajdź prawdopodobieństwo wyrzucenia orła 200 razy.

Ze względu na charakterystyczne cechy należy tutaj zastosować Wzór Bernoulliego . Przypomnijmy sobie znaczenie tych liter:

– prawdopodobieństwo, że w niezależnych badaniach zdarzenie losowe wystąpi dokładnie raz;
– współczynnik dwumianu;
– prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w każdej próbie;

W związku z naszym zadaniem:
– łączna liczba testów;
– liczba rzutów, w których musi spaść głowa;

Zatem prawdopodobieństwo, że w wyniku 400 rzutów monetą wypadnie dokładnie 200 razy reszka: ...Stop, co dalej? Mikrokalkulator (przynajmniej mój) nie poradził sobie z 400 stopniem i skapitulował silnia. Ale nie chciałem czegoś obliczać za pomocą produktu =) Użyjmy standardowa funkcja Excela, któremu udało się przetworzyć potwora: .

Chciałbym zwrócić Państwa uwagę na to, co otrzymaliśmy dokładny sens i takie rozwiązanie wydaje się być idealne. Od pierwszego wejrzenia. Oto kilka przekonujących kontrargumentów:

– po pierwsze, oprogramowania może nie być pod ręką;
– po drugie, rozwiązanie będzie wyglądać niestandardowo (z dużym prawdopodobieństwem będziesz musiał zmienić zdanie);

Dlatego też, drodzy czytelnicy, w najbliższej przyszłości spodziewamy się:

Lokalne twierdzenie Laplace'a

Jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia losowego w każdej próbie jest stałe, to prawdopodobieństwo, że zdarzenie wystąpi dokładnie raz w każdej próbie, jest w przybliżeniu równe:
, Gdzie .

Co więcej, im większe, tym lepiej obliczone prawdopodobieństwo przybliży dokładną uzyskaną wartość (przynajmniej hipotetycznie) zgodnie ze wzorem Bernoulliego. Zalecana minimalna liczba testów to około 50-100, w przeciwnym razie wynik może być daleki od prawdy. Ponadto lokalne twierdzenie Laplace'a działa lepiej, im prawdopodobieństwo jest bliższe 0,5 i odwrotnie - daje znaczny błąd dla wartości bliskich zeru lub jedności. Z tego powodu kolejnym kryterium skutecznego wykorzystania formuły jest nierówność () .

Zatem np. jeśli , to zastosowanie twierdzenia Laplace’a dla 50 testów jest uzasadnione. Ale jeśli i , to także przybliżenie (do dokładnej wartości) będzie źle.

O tym, dlaczego i o specjalnej funkcji będziemy rozmawiać na zajęciach normalny rozkład prawdopodobieństwa, ale na razie potrzebujemy formalnej obliczeniowej strony problemu. W szczególności ważnym faktem jest parytet ta funkcja: .

Sformalizujmy relację na naszym przykładzie:

Problem 1

Moneta jest rzucana 400 razy. Znajdź prawdopodobieństwo, że orzeł wyląduje dokładnie:

a) 200 razy;
b) 225 razy.

Gdzie zacząć rozwiązanie? Najpierw zapiszmy znane wielkości tak, aby były przed naszymi oczami:

– łączna liczba niezależnych testów;
– prawdopodobieństwo zdobycia orła w każdym rzucie;
– prawdopodobieństwo wylądowania głów.

a) Obliczmy prawdopodobieństwo, że w serii 400 rzutów wypadnie reszka dokładnie raz. Ze względu na dużą liczbę testów stosujemy lokalne twierdzenie Laplace’a: , Gdzie .

W pierwszym kroku obliczamy wymaganą wartość argumentu:

Następnie znajdujemy odpowiednią wartość funkcji: . Można to zrobić na kilka sposobów. Przede wszystkim sugerują się bezpośrednie obliczenia:

Zaokrąglanie odbywa się zwykle do 4 miejsc po przecinku.

Wadą obliczeń bezpośrednich jest to, że nie każdy mikrokalkulator jest w stanie przetrawić wykładnik, w dodatku obliczenia nie są szczególnie przyjemne i zajmują dużo czasu. Po co tak cierpieć? Używać kalkulator Tervera (punkt 4) i natychmiast zdobywaj wartości!

Ponadto istnieje tabela wartości funkcji, który znajduje się w prawie każdej książce o teorii prawdopodobieństwa, w szczególności w podręczniku VE Gmurmana. Jeżeli jeszcze jej nie pobrałeś, to pobierz - jest tam mnóstwo przydatnych rzeczy ;-) I pamiętaj, aby nauczyć się korzystać ze stołu (w tej chwili!)– odpowiedni sprzęt komputerowy nie zawsze jest pod ręką!

Na ostatnim etapie stosujemy formułę :
– prawdopodobieństwo, że w 400 rzutach monetą wypadnie dokładnie 200 orłów.

Jak widać uzyskany wynik jest bardzo zbliżony do dokładnej wartości obliczonej przez Wzór Bernoulliego.

b) Znajdź prawdopodobieństwo, że w serii 400 prób reszka pojawi się dokładnie raz. Korzystamy z lokalnego twierdzenia Laplace'a. Raz, dwa, trzy - i gotowe:

– pożądane prawdopodobieństwo.

Odpowiedź:

Następny przykład, jak wielu się domyślało, poświęcony jest porodowi - i o tym decydujesz sama :)

Problem 2

Prawdopodobieństwo urodzenia chłopca wynosi 0,52. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród 100 noworodków będzie dokładnie: a) 40 chłopców, b) 50 chłopców, c) 30 dziewcząt.

Wyniki zaokrąglij do 4 miejsc po przecinku.

...Wyrażenie „niezależne testy” brzmi tutaj interesująco =) Swoją drogą, realne prawdopodobieństwo statystyczne współczynnik urodzeń chłopców w wielu regionach świata waha się od 0,51 do 0,52.

Przybliżony przykład zadania na końcu lekcji.

Wszyscy zauważyli, że liczby okazały się dość małe i nie powinno to wprowadzać w błąd - wszak mówimy o prawdopodobieństwach indywidualnych, lokalny wartości (stąd nazwa twierdzenia). A takich wartości jest wiele i, mówiąc w przenośni, prawdopodobieństwo „powinno wystarczyć każdemu”. To prawda, że ​​wiele wydarzeń tak będzie Prawie niemożliwe.

Wyjaśnię to na przykładzie monet: w serii czterystu prób orły mogą teoretycznie spaść od 0 do 400 razy, a zdarzenia te układają się w pełna grupa:

Jednak większość z tych wartości jest zaledwie znikoma, na przykład prawdopodobieństwo, że reszka pojawi się 250 razy, wynosi już jeden do dziesięciu milionów: . O wartościach takich jak Taktownie milczmy =)

Z drugiej strony nie należy lekceważyć skromnych wyników: jeśli chodzi tylko o , to prawdopodobieństwo wylądowania głów, powiedzmy, od 220 do 250 razy, będzie bardzo zauważalne.

Zastanówmy się teraz: jak obliczyć to prawdopodobieństwo? Nie licz twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych kwota:

Wartości te są znacznie prostsze łączyć. A łączenie czegoś, jak wiadomo, nazywa się integracja:

Twierdzenie całkowe Laplace'a

Jeżeli prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia losowego w każdej próbie jest stałe, to prawdopodobieństwo że zdarzenie to nastąpi podczas prób nie mniej i nie więcej razy (od do razy włącznie), jest w przybliżeniu równe:

W tym przypadku liczba testów oczywiście również powinna być odpowiednio duża, a prawdopodobieństwo nie powinno być zbyt małe/wysokie (około), w przeciwnym razie przybliżenie będzie nieistotne lub złe.

Funkcja nazywa się Funkcja Laplace'a, a jego wartości są ponownie podsumowane w standardowej tabeli ( znajdź i naucz się z nim pracować!!). Mikrokalkulator tutaj nie pomoże, ponieważ całki nie da się połączyć. Ale Excel ma odpowiednią funkcjonalność - użyj punkt 5 układ projektu.

W praktyce najczęstszymi wartościami są:
- Skopiuj to do swojego notatnika.
Zaczynając od , możemy założyć, że , lub pisząc ściślej:

Ponadto funkcja Laplace'a dziwne: , a ta właściwość jest aktywnie wykorzystywana w zadaniach, którymi jesteśmy już zmęczeni:

Problem 3

Prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel wynosi 0,7. Znajdź prawdopodobieństwo, że przy 100 strzałach cel zostanie trafiony od 65 do 80 razy.

Wybrałem najbardziej realistyczny przykład, w przeciwnym razie znalazłem tutaj kilka zadań, w których strzelec oddaje tysiące strzałów =)

Rozwiązanie: w tym problemie, o którym mówimy powtarzane niezależne testy, a ich liczba jest dość duża. Zgodnie z warunkiem należy znaleźć prawdopodobieństwo, że cel zostanie trafiony co najmniej 65, ale nie więcej niż 80 razy, co oznacza, że ​​należy skorzystać z twierdzenia całkowego Laplace'a: , gdzie

Dla wygody przepiszemy oryginalne dane w kolumnie:
– strzały całkowite;
– minimalna liczba trafień;
– maksymalna liczba trafień;
– prawdopodobieństwo trafienia w cel przy każdym strzale;
- prawdopodobieństwo chybienia przy każdym strzale.

Dlatego twierdzenie Laplace'a będzie dobrym przybliżeniem.

Obliczmy wartości argumentów:

Zwracam uwagę na fakt, że dzieło nie musi być całkowicie wyrwane ze swoich korzeni. (ponieważ autorzy problemów lubią „dopasowywać” liczby)– bez cienia wątpliwości wyodrębnij korzeń i zaokrąglij wynik; Przyzwyczaiłem się do pozostawiania 4 miejsc po przecinku. Ale uzyskane wartości są zwykle zaokrąglane do 2 miejsc po przecinku – z tej tradycji wywodzi się tablice wartości funkcji, gdzie argumenty są prezentowane dokładnie w tej formie.

Korzystamy z powyższej tabeli lub projekt układu dla terver (punkt 5).
W komentarzu pisemnym radzę umieścić następujące zdanie: wartości funkcji znajdziemy korzystając z odpowiedniej tabeli:

– prawdopodobieństwo, że przy 100 strzałach cel zostanie trafiony od 65 do 80 razy.

Pamiętaj, aby skorzystać z nieparzystego numeru funkcji! Na wszelki wypadek napiszę to szczegółowo:

Fakt jest taki tabela wartości funkcji zawiera tylko pozytywne „X” i pracujemy (przynajmniej według „legendy”) ze stołem!

Odpowiedź:

Wynik najczęściej zaokrągla się do 4 miejsc po przecinku (ponownie zgodnie z formatem tabeli).

Aby rozwiązać to samodzielnie:

Problem 4

W budynku znajduje się 2500 lamp, prawdopodobieństwo włączenia każdej z nich wieczorem wynosi 0,5. Znajdź prawdopodobieństwo, że wieczorem zostanie włączonych co najmniej 1250 i nie więcej niż 1275 lamp.

Przybliżona próbka ostatecznego projektu na koniec lekcji.

Należy zaznaczyć, że rozpatrywane zadania bardzo często występują w formie „bezosobowej”, np.:

Przeprowadzono pewien eksperyment, w którym może nastąpić zdarzenie losowe z prawdopodobieństwem 0,5. Doświadczenie powtarza się w niezmienionych warunkach 2500 razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że w 2500 eksperymentach zdarzenie wystąpi od 1250 do 1275 razy

I podobne preparaty są na dachu. Ze względu na banalny charakter zadań często starają się zatuszować warunek - to „jedyna szansa”, aby w jakiś sposób urozmaicić i skomplikować rozwiązanie:

Problem 5

W instytucie studiuje 1000 studentów. W jadalni znajduje się 105 miejsc. Każdy uczeń udaje się do stołówki podczas dużej przerwy z prawdopodobieństwem 0,1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w typowy dzień szkolny:

a) jadalnia będzie zapełniona nie więcej niż w dwóch trzecich;
b) nie starczy miejsc dla wszystkich.

Chciałbym zwrócić Państwa uwagę na ważną klauzulę „w REGULARNYM dniu szkolnym” – gwarantuje ona, że ​​sytuacja pozostanie w miarę niezmienna. Po wakacjach do instytutu może przyjechać znacznie mniej studentów, a na „Dniu Otwartych Drzwi” może przyjechać głodna delegacja =) Czyli w „niezwykły” dzień prawdopodobieństwa będą zauważalnie inne.

Rozwiązanie: korzystamy z twierdzenia całkowego Laplace’a, gdzie

W tym zadaniu:
– ogół studentów w instytucie;
– prawdopodobieństwo, że student pójdzie do stołówki podczas dłuższej przerwy;
– prawdopodobieństwo zdarzenia odwrotnego.

a) Obliczmy, ile mandatów stanowi dwie trzecie całkowitej liczby: mandatów

Znajdźmy prawdopodobieństwo, że w normalny dzień szkolny stołówka będzie zapełniona nie więcej niż w dwóch trzecich. Co to znaczy? Oznacza to, że w czasie wielkiej przerwy przyjdzie od 0 do 70 osób. To, że nikt nie przychodzi, albo przychodzi tylko kilku uczniów – są wydarzenia praktycznie niemożliwe jednakże w celu zastosowania twierdzenia całkowego Laplace’a należy nadal brać pod uwagę te prawdopodobieństwa. Zatem:

Obliczmy odpowiednie argumenty:

W rezultacie:

– prawdopodobieństwo, że w normalny dzień szkolny stołówka będzie zapełniona nie więcej niż w dwóch trzecich.

Przypomnienie : gdy funkcja Laplace'a jest uważana za równą .

To jednak podoba się tłumom =)

b) Wydarzenie „Nie starczy miejsc dla wszystkich” jest to, że w czasie wielkiej przerwy do jadalni na lunch przyjdzie od 106 do 1000 osób (najważniejsze jest, aby dobrze go zagęścić =)). Wiadomo, że wysoka frekwencja jest niesamowita, ale mimo to: .

Obliczamy argumenty:

Zatem prawdopodobieństwo, że nie będzie wystarczającej liczby miejsc dla wszystkich, wynosi:

Odpowiedź:

Teraz skupmy się na jednym ważny niuans metoda: gdy przeprowadzamy obliczenia na pojedynczy segment, wtedy wszystko jest „bezchmurne” - zdecyduj zgodnie z rozważanym szablonem. Jeśli jednak weźmiemy pod uwagę pełen zespół wydarzeń należy pokazać pewną dokładność. Wyjaśnię tę kwestię na przykładzie właśnie omówionego problemu. W punkcie „be” obliczyliśmy prawdopodobieństwo, że nie będzie wystarczającej liczby miejsc dla wszystkich. Następnie korzystając z tego samego schematu obliczamy:
– prawdopodobieństwo, że będzie wystarczająca liczba miejsc.

Od tych wydarzeń naprzeciwko, to suma prawdopodobieństw powinna być równa jeden:

O co chodzi? – tutaj wszystko wydaje się być logiczne. Chodzi o to, że funkcja Laplace'a jest ciągły, ale nie wzięliśmy pod uwagę interwał od 105 do 106. W tym miejscu zniknęła sztuka 0,0338. Dlatego stosując tę ​​samą standardową formułę należy obliczyć:

Cóż, albo jeszcze prościej:

Nasuwa się pytanie: co by było, gdybyśmy PIERWSZYM znaleźli? Wtedy będzie inna wersja rozwiązania:

Ale jak to możliwe?! – obie metody dają różne odpowiedzi! To proste: twierdzenie całkowe Laplace'a jest metodą zamknąć obliczeń, dlatego dopuszczalne są oba sposoby.

Aby uzyskać dokładniejsze obliczenia, należy użyć Wzór Bernoulliego i na przykład funkcja Excel BINOMIDST. W rezultacie jego zastosowanie otrzymujemy:

Wyrażam wdzięczność jednemu z odwiedzających witrynę, który zwrócił uwagę na tę subtelność - wypadła ona z mojego pola widzenia, ponieważ w praktyce rzadko spotyka się badanie pełnej grupy zdarzeń. Zainteresowani mogą się zapoznać

Jedną z najbardziej znanych funkcji nieelementarnych, wykorzystywaną w matematyce, teorii równań różniczkowych, statystyce i teorii prawdopodobieństwa, jest funkcja Laplace'a. Rozwiązanie problemów z nim związanych wymaga znacznego przygotowania. Dowiedzmy się, jak obliczyć ten wskaźnik za pomocą narzędzi Excel.

Funkcja Laplace'a ma szerokie zastosowania aplikacyjne i teoretyczne. Na przykład dość często stosuje się go do rozwiązywania równań różniczkowych. Termin ten ma inną równoważną nazwę - całka prawdopodobieństwa. W niektórych przypadkach podstawą rozwiązania jest konstrukcja tabeli wartości.

Operator ROZKŁ.NORMALNY

W Excelu problem ten rozwiązuje się za pomocą operatora ROZKŁ.NORMALNY.. Jego nazwa jest skrótem od terminu „normalny rozkład standardowy”. Ponieważ jego głównym zadaniem jest zwrócenie standardowego skumulowanego rozkładu normalnego do wybranej komórki. Operator ten należy do kategorii statystycznej standardowych funkcji Excela.

W Excelu 2007 i wcześniejszych wersjach programu ten operator był wywoływany ROZKŁAD NORMALNY. Ze względu na kompatybilność jest on zachowywany w nowoczesnych wersjach aplikacji. Mimo to zalecają użycie bardziej zaawansowanego analogu - ROZKŁ.NORMALNY..

Składnia operatora ROZKŁ.NORMALNY. następująco:

ROZKŁAD.ST.NORMALNY(z;całka)

Starszy operator ROZKŁAD NORMALNY jest napisane tak:

ROZKŁAD NORMALNY(z)

Jak widać, w nowej wersji istniejącej argumentacji „Z” dodano argument "Całka". Należy zaznaczyć, że każdy argument jest wymagany.

Argument „Z” wskazuje wartość liczbową, dla której konstruowany jest rozkład.

Argument "Całka" reprezentuje wartość logiczną, która może mieć reprezentację "PRAWDA" („1”) Lub "KŁAMSTWO" («0») . W pierwszym przypadku funkcja rozkładu skumulowanego jest zwracana do określonej komórki, a w drugim przypadku zwracana jest funkcja rozkładu wagowego.

Rozwiązanie problemu

Aby wykonać wymagane obliczenia dla zmiennej, należy skorzystać z poniższego wzoru:

ROZKŁAD.ST.NORMALNY(z;całka(1))-0,5

Przyjrzyjmy się teraz zastosowaniu operatora na konkretnym przykładzie ROZKŁ.NORMALNY. aby rozwiązać konkretny problem.

Funkcja Laplace'a jest funkcją nieelementarną i jest często wykorzystywana zarówno w teorii równań różniczkowych i teorii prawdopodobieństwa, jak i w statystyce. Funkcja Laplace'a wymaga pewnego zestawu wiedzy i przeszkolenia, ponieważ pozwala rozwiązywać różne problemy z zakresu zastosowań stosowanych i teoretycznych.

Funkcja Laplace'a jest często używana do rozwiązywania równań różniczkowych i często nazywana jest całką prawdopodobieństwa. Zobaczmy, jak można wykorzystać tę funkcję w programie Excel i jak ona działa.

Całka prawdopodobieństwa lub funkcja Laplace'a w programie Excel odpowiada operatorowi „ROZKŁAD.NORMALNYM”, który ma składnię: „= ROZKŁAD.NORMALNY(z). W nowszych wersjach programu operator ma także nazwę „ROZKŁ.NORMALNY”. i nieco zmodyfikowaną składnię „=ROZKŁ.NORMALNY.ST.(z; całka).


Argument „Z” odpowiada za wartość liczbową rozkładu. Argument „Całka” zwraca dwie wartości – „1” – funkcję rozkładu całkowego, „0” – funkcję rozkładu wag.

Ustaliliśmy teorię. Przejdźmy do ćwiczeń. Przyjrzyjmy się użyciu funkcji Laplace'a w Excelu.

1. Wpisz wartość w komórce i wstaw funkcję w następnej.

2. Zapiszmy funkcję ręcznie „=ROZKŁ.NORMALNY.ST.(B4;1).

3. Lub korzystamy z kreatora wstawiania funkcji - przechodzimy do kategorii „Statyczny” i wskazujemy „Pełna lista alfabetyczna”.

4. W wyświetlonym oknie argumentów funkcji wskaż wartości początkowe. Nasza oryginalna komórka będzie odpowiedzialna za zmienną „Z”, a do „Całki” wstawimy „1”. Nasza funkcja zwróci funkcję dystrybucji skumulowanej.

5. Otrzymujemy gotowe rozwiązanie standardowego rozkładu całkowego normalnego dla tej funkcji „ROZKŁ.NORMALNY”. Ale to nie wszystko, naszym celem było znalezienie funkcji Laplace'a lub całki prawdopodobieństwa, więc wykonajmy jeszcze kilka kroków.

6. Z funkcji Laplace'a wynika, że ​​od wartości wynikowej funkcji należy odjąć „0,5”. Do funkcji dodajemy niezbędną operację. Wciskamy „Enter” i otrzymujemy ostateczne rozwiązanie. Żądana wartość jest prawidłowa i szybko znaleziona.

Excel z łatwością oblicza tę funkcję dla dowolnej wartości komórki, zakresu komórek lub odwołań do komórek. Funkcja „ROZKŁ.NORMALNY.ST.” jest standardowym operatorem służącym do wyszukiwania całki prawdopodobieństwa lub, jak się ją nazywa, funkcją Laplace'a.

Formuła Bayesa

Zdarzenia B 1, B 2,…, B n są niezgodne i tworzą kompletną grupę, tj. P(B 1)+ P(B 2)+…+ P(B n)=1. I niech zdarzenie A nastąpi tylko wtedy, gdy pojawi się jedno ze zdarzeń B 1, B 2,…, B n. Następnie prawdopodobieństwo zdarzenia A oblicza się, korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.

Niech zdarzenie A już się wydarzyło. Wówczas prawdopodobieństwa hipotez B 1, B 2,..., B n można przeszacować korzystając ze wzoru Bayesa:

Wzór Bernoulliego

Niech zostanie przeprowadzonych n niezależnych prób, w każdym z których zdarzenie A może wystąpić lub nie. Prawdopodobieństwo wystąpienia (niewystąpienia) zdarzenia A jest takie samo i równe p (q=1-p).

Prawdopodobieństwo, że w n niezależnych próbach zdarzenie A wystąpi dokładnie raz (w zależności od kolejności) obliczamy ze wzoru Bernoulliego:

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w n niezależnych próbach wynosi:

A). Mniej niż razy P n (0)+P n (1)+…+P n (k-1).

B). Więcej niż jeden raz P n (k+1)+P n (k+2)+…+P n (n).

V). co najmniej razy P n (k)+P n (k+1)+…+P n (n).

G). nie więcej niż k razy P n (0)+P n (1)+…+P n (k).

Twierdzenia lokalne i całkowe Laplace'a.

Twierdzeń tych używamy, gdy n jest wystarczająco duże.

Lokalne twierdzenie Laplace'a

Prawdopodobieństwo, że zdarzenie nastąpi dokładnie k razy w n niezależnych próbach, jest w przybliżeniu równe:

Tablicę funkcji dla wartości dodatnich (x) podano w książce problemowej Gmurmana w dodatku 1, s. 324-325.

Ponieważ () jest parzyste, używamy tej samej tabeli dla wartości ujemnych (x).

Twierdzenie całkowe Laplace'a.

Prawdopodobieństwo, że zdarzenie nastąpi co najmniej „k” razy w n niezależnych próbach, jest w przybliżeniu równe:

Funkcja Laplace'a

Tabela funkcji dla wartości dodatnich znajduje się w książce problemowej Gmurmana w dodatku 2, s. 326-327. Dla wartości większych niż 5 ustawiamy Ф(х)=0,5.

Ponieważ funkcja Laplace'a jest nieparzysta Ф(-х)=-Ф(х), to dla wartości ujemnych (x) korzystamy z tej samej tabeli, tyle że przyjmujemy wartości funkcji ze znakiem minus.

Prawo rozkładu prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej

Prawo dystrybucji dwumianowej.

Oddzielny- zmienna losowa, której możliwymi wartościami są pojedyncze izolowane liczby, które ta zmienna przyjmuje z pewnymi prawdopodobieństwami. Innymi słowy, możliwe wartości dyskretnej zmiennej losowej można ponumerować.

Liczba możliwych wartości dyskretnej zmiennej losowej może być skończona lub nieskończona.

Dyskretne zmienne losowe oznaczono dużymi literami X, a ich możliwe wartości małymi literami x1, x2, x3...

Na przykład.

X to liczba punktów wyrzuconych na kostce; X przyjmuje sześć możliwych wartości: x1=1, x2=1, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6 z prawdopodobieństwami p1=1/6, p2=1/6, p3=1/6.. p6 =1/6.

Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej podaj listę możliwych wartości i odpowiadających im prawdopodobieństw.

Prawo dystrybucji można podać:

1. w formie tabeli.

2. Analitycznie – w formie wzoru.

3. graficznie. W tym przypadku w prostokątnym układzie współrzędnych XOP konstruowane są punkty M1(x1,р1), М2(x2,р2), ... Мn(хn,рn). Punkty te są połączone odcinkami prostymi. Powstała liczba nazywa się wielokąt dystrybucyjny.

Aby napisać prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej (x), należy wypisać wszystkie jej możliwe wartości i znaleźć odpowiednie prawdopodobieństwa.

Jeśli odpowiednie prawdopodobieństwa zostaną znalezione za pomocą wzoru Bernoulliego, wówczas takie prawo dystrybucji nazywa się dwumianem.

Przykład nr 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.

Wartości liczbowe dyskretnych zmiennych losowych.

Oczekiwanie, wariancja i odchylenie standardowe.

Cechą średniej wartości dyskretnej zmiennej losowej jest oczekiwanie matematyczne.

Oczekiwanie matematyczne Dyskretna zmienna losowa to suma iloczynów wszystkich jej możliwych wartości i ich prawdopodobieństw. Te. jeśli podane jest prawo dystrybucji, to oczekiwanie matematyczne

Jeśli liczba możliwych wartości dyskretnej zmiennej losowej jest nieskończona, to

Co więcej, szereg po prawej stronie równości jest zbieżny absolutnie, a suma wszystkich prawdopodobieństw pi jest równa jeden.

Właściwości oczekiwań matematycznych.

1. M(C)=C, C=stała.

2. M(Cx)=CM(x)

3. M(x1+x2+…+xn)=M(x1)+M(x2)+…+M(xn)

4. M(x1*x2**…*xn)=M(x1)*M(x2)*…*M(xn).

5. W przypadku prawa dystrybucji dwumianowej oczekiwanie matematyczne można znaleźć za pomocą wzoru:

Cechami rozproszenia możliwych wartości zmiennej losowej wokół oczekiwań matematycznych są rozproszenie i odchylenie standardowe.

Zmienność dyskretna zmienna losowa (x) nazywana jest matematycznym oczekiwaniem kwadratu odchylenia. D(x)=M(x-M(x)) 2.

Rozproszenie wygodnie jest obliczyć ze wzoru: D(x) = M(x 2) - (M(x)) 2.

Właściwości dyspersji.

1. D(S)=0, C=stała.

2. D(Cx)=C 2 D(x)

3. D(x1+x2+…+xn)=D(x1)+D(x2)+…+D(xn)

4. Rozproszenie prawa rozkładu dwumianowego

Odchylenie standardowe zmienna losowa nazywana jest pierwiastkiem kwadratowym wariancji.

przykłady. 191, 193, 194, 209, d/z.

Funkcja rozkładu skumulowanego (CDF) prawdopodobieństw ciągłej zmiennej losowej (RCV). Ciągły- ilość, która może przyjąć wszystkie wartości z jakiegoś skończonego lub nieskończonego przedziału. Istnieje wiele możliwych wartości NSV i nie można ich przenumerować.

Na przykład.

Odległość, jaką przebywa pocisk po wystrzeleniu, wynosi NSV.

IFR nazywa się funkcją F(x), która dla każdej wartości x określa prawdopodobieństwo, że NSV X przyjmie wartość X<х, т.е. F(x)=Р(X

Często zamiast IFR mówi się FR.

Geometrycznie równość F(x)=P(X

Właściwości JEŻELI.

1. Wartość JEŻELI należy do przedziału, tj. F(x).

2. JEŻELI jest funkcją niemalejącą, tj. x2>x1.

Wniosek 1. Prawdopodobieństwo, że NSV X przyjmie wartość zawartą w przedziale (a; b) jest równe przyrostowi funkcji całkowej na tym przedziale, tj.

Rocznie

Wniosek 2. Prawdopodobieństwo, że NSV X przyjmie jedną określoną wartość, na przykład x1=0, jest równe 0, tj. P(x=x1)=0.

3. Jeżeli wszystkie możliwe wartości NSV X należą do (a;c), to F(x)=0 przy x<а, и F(x)=1 при х>V.

Wniosek 3. Obowiązują następujące relacje graniczne.

Rozkład różniczkowy (DDF) prawdopodobieństw ciągłej zmiennej losowej (RNV) (gęstość prawdopodobieństwa).

DF f(x) rozkłady prawdopodobieństwa NSV nazywa się pierwszą pochodną IFR:

Często zamiast PDR mówi się o gęstości prawdopodobieństwa (PD).

Z definicji wynika, że ​​znając DF F(x) możemy znaleźć DF f(x). Ale przeprowadzana jest również transformacja odwrotna: znając DF f(x), możesz znaleźć DF F(x).

Oblicza się prawdopodobieństwo, że NSV X przyjmie wartość należącą do (a;b):

A). Jeżeli podano JEŻELI, wniosek 1.

B). Jeśli określono DF

Właściwości DF.

1. DF - nieujemny, tj. .

2. całka niewłaściwa z DF w () jest równa 1, tj. .

Wniosek 1. Jeśli wszystkie możliwe wartości NSV X należą do (a;c), to.

Przykłady. nr 263, 265, 266, 268, 1111, 272, d/z.

Charakterystyka numeryczna NSV.

1. Oczekiwanie matematyczne (ME) NSV X, którego możliwe wartości należą do całej osi OX, określa wzór:

Jeżeli wszystkie możliwe wartości NSV X należą do (a;c), to MO określa się według wzoru:

Wszystkie właściwości MO wskazane dla wielkości dyskretnych są również zachowywane dla ilości ciągłych.

2. Rozproszenie NSV X, którego możliwe wartości należą do całej osi OX, określa wzór:

Jeżeli wszystkie możliwe wartości NSV X należą do (a;c), to dyspersję określa się według wzoru:

Wszystkie właściwości dyspersji określone dla wielkości dyskretnych są również zachowywane dla ilości ciągłych.

3. Odchylenie standardowe NSV X wyznacza się w taki sam sposób jak dla wielkości dyskretnych:

Przykłady. nr 276, 279, X, d/z.

Rachunek operacyjny (OC).

OR to metoda pozwalająca sprowadzić operacje różniczkowania i całkowania funkcji do prostszych działań: mnożenia i dzielenia przez argument tzw. obrazów tych funkcji.

Korzystanie z OI ułatwia rozwiązanie wielu problemów. W szczególności problemy całkowania LDE o stałych współczynnikach i układach takich równań, sprowadzając je do równań algebraicznych liniowych.

Oryginały i obrazy. Laplace się zmienia.

f(t)-oryginał; Obraz F(p).

Nazywa się przejście f(t)F(p). Transformata Laplace’a.

Transformata Laplace'a funkcji f(t) nazywana jest F(p), w zależności od zmiennej zespolonej i określona wzorem:

Całka ta nazywana jest całką Laplace’a. Dla zbieżności tej całki niewłaściwej wystarczy założyć, że w przedziale f(t) jest odcinkowo ciągła i dla niektórych stałych M>0 i spełnia nierówność

Wywołuje się funkcję f(t) posiadającą takie własności oryginalny, a przejście od oryginału do jego obrazu nazywa się Transformata Laplace’a.

Własności transformaty Laplace'a.

Bezpośrednie wyznaczenie obrazów za pomocą wzoru (2) jest zwykle trudne i można je znacznie ułatwić wykorzystując właściwości transformaty Laplace'a.

Niech F(p) i G(p) będą obrazami oryginałów odpowiednio f(t) i g(t). Następnie zachodzą następujące relacje właściwości:

1. С*f(t)С*F(p), С=const - właściwość jednorodności.

2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) - właściwość addytywności.

3. f(t)F(p-) - twierdzenie o przemieszczeniu.

przejście n-tej pochodnej oryginału na obraz (twierdzenie o różniczkowaniu oryginału).