Čo je lineárna rovnica s 2 premennými. Zhrnutie lekcie na tému "lineárne rovnice v dvoch premenných"

Naučiť sa riešiť rovnice je jednou z hlavných úloh, ktoré algebra kladie pre študentov. Počnúc tým najjednoduchším, keď sa skladá z jednej neznámej, a prejsť k čoraz zložitejším. Ak nemáte zvládnuté úkony, ktoré je potrebné vykonať s rovnicami z prvej skupiny, ťažko pochopíte ostatné.

Ak chcete pokračovať v konverzácii, musíte sa dohodnúť na zápise.

Všeobecný tvar lineárnej rovnice s jednou neznámou a princíp jej riešenia

Akákoľvek rovnica, ktorá sa dá napísať takto:

a * x = b,

volal lineárne. Toto je všeobecný vzorec. Ale často v zadaniach sú lineárne rovnice napísané v implicitnej forme. Potom je potrebné vykonať identické transformácie na získanie všeobecne akceptovaného zápisu. Tieto akcie zahŕňajú:

• otváranie zátvoriek;
• posunutie všetkých členov s premennou hodnotou na ľavú stranu rovnosti a zvyšok doprava;
• zníženie podobných podmienok.

V prípade, že neznáme množstvo je v menovateli zlomku, musíte určiť jeho hodnoty, pri ktorých výraz nebude dávať zmysel. Inými slovami, musíte poznať doménu definície rovnice.

Princíp, ktorým sa riešia všetky lineárne rovnice, spočíva v delení hodnoty na pravej strane rovnice koeficientom pred premennou. To znamená, že „x“ sa bude rovnať b/a.

Špeciálne prípady lineárnych rovníc a ich riešenia

Počas uvažovania môžu nastať momenty, keď lineárne rovnice nadobudnú jednu zo špeciálnych foriem. Každý z nich má špecifické riešenie.

V prvej situácii:

a * x = 0 a ≠ 0.

Riešenie takejto rovnice bude vždy x = 0.

V druhom prípade má „a“ hodnotu rovnajúcu sa nule:

0 * x = 0.

Odpoveďou na takúto rovnicu bude ľubovoľné číslo. To znamená, že má nekonečný počet koreňov.

Tretia situácia vyzerá takto:

0 * x = in, kde v ≠ 0.

Táto rovnica nedáva zmysel. Pretože neexistujú žiadne korene, ktoré by ju uspokojovali.

Všeobecný pohľad na lineárnu rovnicu s dvoma premennými

Už z jeho názvu je jasné, že sa v ňom nachádzajú už dve neznáme veličiny. Lineárne rovnice v dvoch premenných vyzerať takto:

a * x + b * y = c.

Keďže v zázname sú dve neznáme, odpoveď bude vyzerať ako dvojica čísel. To znamená, že nestačí zadať iba jednu hodnotu. Toto bude neúplná odpoveď. Dvojica veličín, pre ktoré sa rovnica stáva identitou, je riešením rovnice. Navyše v odpovedi sa vždy ako prvá zapíše premenná, ktorá je v abecede na prvom mieste. Niekedy hovoria, že ho tieto čísla uspokojujú. Navyše takýchto párov môže byť nekonečné množstvo.

Ako vyriešiť lineárnu rovnicu s dvoma neznámymi?

Ak to chcete urobiť, stačí vybrať ľubovoľný pár čísel, ktorý sa ukáže ako správny. Pre jednoduchosť môžete vziať jednu z neznámych rovnú nejakému prvočíslu a potom nájsť druhú.

Pri riešení často musíte vykonať kroky na zjednodušenie rovnice. Nazývajú sa transformácie identity. Okrem toho pre rovnice vždy platia nasledujúce vlastnosti:

• každý člen možno presunúť do opačnej časti rovnosti nahradením jeho znamienka opačným;
• Ľavú a pravú stranu akejkoľvek rovnice je možné deliť rovnakým číslom, pokiaľ sa nerovná nule.

Príklady úloh s lineárnymi rovnicami

Prvá úloha. Riešte lineárne rovnice: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

V rovnici, ktorá je v tomto zozname na prvom mieste, jednoducho vydeľte 20 číslom 4. Výsledok bude 5. Toto je odpoveď: x = 5.

Tretia rovnica vyžaduje, aby sa uskutočnila transformácia identity. Bude pozostávať z otvorenia zátvoriek a uvedenia podobných podmienok. Po prvom kroku bude mať rovnica tvar: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. Potom musíte presunúť všetky neznáme na ľavú stranu rovnice a zvyšok na pravú. Rovnica bude vyzerať takto: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Po pridaní podobných výrazov: 14x = 16. Teraz vyzerá rovnako ako prvá a jej riešenie sa dá ľahko nájsť. Odpoveď bude x=8/7. Ale v matematike sa predpokladá, že izolujete celú časť od nesprávneho zlomku. Potom sa výsledok transformuje a „x“ sa bude rovnať jednému celku a jednej sedmine.

V zostávajúcich príkladoch sú premenné v menovateli. To znamená, že najprv musíte zistiť, pri akých hodnotách sú rovnice definované. Ak to chcete urobiť, musíte vylúčiť čísla, v ktorých menovatelia idú na nulu. V prvom príklade je to „-4“, v druhom „-3“. To znamená, že tieto hodnoty je potrebné vylúčiť z odpovede. Potom musíte vynásobiť obe strany rovnosti výrazmi v menovateli.

Otvorením zátvoriek a uvedením podobných členov dostaneme v prvej z týchto rovníc: 5x + 15 = 4x + 16 a v druhej 5x + 15 = 4x + 12. Po transformáciách bude riešením prvej rovnice x = -1. Druhý sa rovná „-3“, čo znamená, že druhý nemá žiadne riešenia.

Druhá úloha. Vyriešte rovnicu: -7x + 2y = 5.

Predpokladajme, že prvá neznáma x = 1, potom rovnica bude mať tvar -7 * 1 + 2y = 5. Posunutím faktora „-7“ na pravú stranu rovnosti a zmenou jeho znamienka na plus sa ukáže, že 2y = 12. To znamená y = 6. Odpoveď: jedno z riešení rovnice x = 1, y = 6.

Všeobecná forma nerovnosti s jednou premennou

Všetky možné situácie nerovností sú uvedené tu:

• a * x > b;
• a * x< в;
• a* x >b;
• a * x ≤в.

Vo všeobecnosti to vyzerá ako jednoduchá lineárna rovnica, len znamienko rovnosti je nahradené nerovnicou.

Pravidlá pre identitné transformácie nerovností

Rovnako ako lineárne rovnice, nerovnosti môžu byť upravené podľa určitých zákonov. Zredukujú sa na nasledovné:

1. na ľavú a pravú stranu nerovnosti možno pridať ľubovoľný abecedný alebo číselný výraz a znamienko nerovnosti zostáva rovnaké;
2. rovnakým kladným číslom môžete aj násobiť alebo deliť, znamienko sa tým opäť nezmení;
3. Pri násobení alebo delení rovnakým záporným číslom zostane rovnosť pravdivá za predpokladu, že sa znamienko nerovnosti obráti.

Celkový pohľad na dvojité nerovnosti

V problémoch môžu byť uvedené nasledujúce nerovnosti:

• V< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• V< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

Nazýva sa dvojitý, pretože je obmedzený znakmi nerovnosti na oboch stranách. Rieši sa pomocou rovnakých pravidiel ako bežné nerovnosti. A nájdenie odpovede vedie k sérii identických transformácií. Kým sa nedosiahne najjednoduchšie.

Vlastnosti riešenia dvojitých nerovností

Prvým z nich je jeho obraz na súradnicovej osi. Pri jednoduchých nerovnostiach nie je potrebné túto metódu používať. Ale v zložitých prípadoch to môže byť jednoducho nevyhnutné.

Ak chcete zobraziť nerovnosť, musíte na osi označiť všetky body, ktoré ste získali počas uvažovania. Ide o neplatné hodnoty, ktoré sú označené prepichnutými bodkami, a hodnoty z nerovností získaných po transformáciách. Aj tu je dôležité správne nakresliť bodky. Ak je nerovnosť prísna, tak< или >, potom sa tieto hodnoty vyrazia. V neprísnych nerovnostiach musia byť body zatienené.

Potom je potrebné uviesť význam nerovností. To sa dá dosiahnuť pomocou tieňovania alebo oblúkov. Ich priesečník naznačí odpoveď.

Druhá vlastnosť súvisí s jej nahrávaním. Ponúkajú sa tu dve možnosti. Prvým je konečná nerovnosť. Druhá je vo forme intervalov. Stáva sa s ním, že vznikajú ťažkosti. Odpoveď v medzerách vždy vyzerá ako premenná so znakom členstva a zátvorkami s číslami. Niekedy existuje niekoľko medzier, potom musíte do zátvoriek napísať symbol „a“. Tieto znaky vyzerajú takto: ∈ a ∩. Svoju úlohu zohrávajú aj rozperné držiaky. Okrúhla sa umiestni, keď je bod vylúčený z odpovede, a obdĺžniková obsahuje túto hodnotu. Znak nekonečna je vždy v zátvorkách.

Príklady riešenia nerovností

1. Vyriešte nerovnosť 7 - 5x ≥ 37.

Po jednoduchých transformáciách dostaneme: -5x ≥ 30. Delením „-5“ dostaneme nasledujúci výraz: x ≤ -6. Toto je už odpoveď, ale dá sa napísať aj inak: x ∈ (-∞; -6].

2. Vyriešte dvojitú nerovnosť -4< 2x + 6 ≤ 8.

Najprv musíte všade odčítať 6. Získate: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Ciele lekcie:

• Vzdelávacie:
  • zopakujte si tému: „Rovnice. Lineárne rovnice. Ekvivalentné rovnice a ich vlastnosti“;
  • zabezpečiť, aby žiaci pochopili pojem lineárne rovnice s dvoma premennými a ich riešenie.
• Vývojový:
  • rozvíjať intelektuálne schopnosti:
  • schopnosť porovnávať, vytvárať analógy, zvýrazniť hlavnú vec;
  • schopnosť zovšeobecňovať a systematizovať preberaný materiál;
  • rozvíjať logické myslenie, pamäť, predstavivosť, matematickú reč;
  • rozvíjať aktívnu kognitívnu aktivitu.
• Vzdelávacie:
  • pestovať samostatnosť, aktivitu a záujem o žiakov vo všetkých fázach vyučovacej hodiny;
  • formovať také charakterové vlastnosti ako vytrvalosť, vytrvalosť, odhodlanie.

Úlohy, ktoré musí učiteľ na hodine vyriešiť:

• naučiť sa zvýrazniť hlavnú myšlienku v texte;
• naučiť sa klásť otázky učiteľovi, sebe alebo študentom;
• naučiť sa využívať získané vedomosti na riešenie neštandardných problémov;
• naučiť schopnosť vyjadrovať svoje myšlienky matematicky správne.

Problémy, ktoré musia študenti v tejto lekcii vyriešiť:

• poznať definíciu lineárnej rovnice s dvoma premennými;
• vedieť písať jednoduché lineárne rovnice;
• vedieť správne nájsť hodnoty premenných a, b a c;
• byť schopný identifikovať lineárne rovnice s dvoma premennými medzi rovnicami;
• odpovedzte na otázku: aké je riešenie lineárnej rovnice v dvoch premenných?
• Ako viete, či je dvojica čísel riešením rovnice?
• byť schopný vyjadriť jednu premennú v termínoch inej.

Typ lekcie: lekciu osvojovania si nového materiálu.

POČAS VYUČOVANIA

I. Organizačný moment

II. Opakovanie preberanej látky

1) Na hracej ploche: 2x, 2x + 5, 2x + 5 = 17.

2) Otázky pre triedu:

– Definujte tieto výrazy. (Očakávané odpovede: súčin, monočlen, súčet, polynóm, rovnica.)
-Ako sa volá rovnica?
– Potrebujete rovnicu...? (rozhodnúť sa)
– Čo znamená „vyriešiť rovnicu“?
– Aký je koreň rovnice?
- Ktoré rovnice sú ekvivalentné?
– Aké vlastnosti ekvivalencie rovníc poznáte?

III. Aktualizácia vedomostí žiakov

3) Úloha pre celú triedu:

- Konvertovať výrazy (dvaja ľudia pracujú v predstavenstve).

a) 2 (x + 8) + 4 (2x – 4) = b) 4 (x – 2) + 2 (3 roky + 4) =

Po premene sme dostali: a) 10x; b) 4x + 6 rokov:

- Použite ich na vytvorenie rovníc (žiaci navrhujú - učiteľ píše rovnice na tabuľu): 10x = 30; 4x + 6r = 28.

otázky:

– Ako sa volá prvá rovnica?
- Prečo lineárne?
– Porovnajte druhú rovnicu s prvou. Skúste sformulovať definíciu druhej rovnice (Očakávaná odpoveď: rovnica s dvoma premennými; pozornosť žiakov sa sústreďuje na typ rovnice – lineárna).

IV. Učenie sa nového materiálu

1) Vyhlasuje sa téma hodiny. Zapisovanie témy do zošitov. Študentská samostatná formulácia definície rovnice s dvoma premennými, lineárnej rovnice s dvoma premennými (analogicky s definíciou lineárnej rovnice s jednou premennou), príklady rovníc s dvoma premennými. Diskusia prebieha formou frontálneho rozhovoru, dialógu – uvažovania.

2) Zadanie do triedy:

a) Napíšte dve lineárne rovnice s dvoma premennými (učiteľ a žiaci si vypočujú odpovede viacerých žiakov; podľa výberu učiteľa jeden z nich napíše svoje rovnice na tabuľu).

b) Spolu so študentmi sa určia úlohy a otázky, na ktoré by mali dostať odpoveď v tejto lekcii. Každý študent dostane kartičky s týmito otázkami.

c) Práca so študentmi pri riešení týchto problémov a úloh:

– Určte, ktoré z týchto rovníc sú lineárne rovnice s dvoma premennými a) 6x 2 = 36; b) 2x – 5r = 9: c) 7x + 3r 3; d) 1/2x + 1/3y = 6 atď. Problém môže nastať pri rovnici x: 5 – y: 4 = 3 (znamienko delenia treba zapísať zlomkom). Aké vlastnosti ekvivalencie rovníc je potrebné použiť? (Odpovede študentov) Určte hodnoty koeficientov A, V A s.

– Lineárne rovnice s dvoma premennými, ako všetky rovnice, je potrebné vyriešiť. Aké je riešenie lineárnych rovníc v dvoch premenných? (Deti dávajú definíciu).

Príklad: Nájdite riešenia rovnice: a) x – y = 12, odpovede napíšte v tvare (x; y) alebo x = ...; y = .... Koľko riešení má rovnica?

Príklady: Nájdite riešenia nasledujúcich rovníc a) 2x + y = 7; b) 5x – y = 4. Ako ste našli riešenia týchto rovníc? (vyzdvihnuté).

– Ako viete, či je dvojica čísel riešením lineárnej rovnice v dvoch premenných?

3) Práca s učebnicou.

- Nájdite v učebnici tie miesta, kde je zvýraznená hlavná myšlienka témy tejto lekcie

a) Ústne plnenie úloh: č.1092, č.1094.

b) Riešenie príkladov č. 1096 (pre slabých žiakov), č. 1097 (pre silných žiakov).

c) Zopakujte vlastnosti ekvivalencie rovníc.

Cvičenie: Pomocou vlastností ekvivalencie rovníc vyjadrite premennú Y cez premennú X v rovnici 5x + 2y = 12 („minúta“ na samostatné riešenie, potom všeobecný prehľad riešenia na tabuli, po ktorom nasleduje vysvetlenie).

d) Vykonanie príkladu č.1099 (jeden zo žiakov dokončí úlohu pri tabuli).

Historický odkaz

1. Chlapci, rovnice, s ktorými sme sa dnes stretli v triede, sa nazývajú diofantické lineárne rovnice s dvoma premennými, pomenované po starogréckom vedcovi a matematikovi Diophantovi, ktorý žil asi pred 3,5 tisíc rokmi. Starovekí matematici najskôr skladali problémy a potom pracovali na ich riešení. Tak sa zostavilo veľa problémov, s ktorými sa zoznamujeme a učíme sa ich riešiť.

2. A tiež sa tieto rovnice nazývajú neurčité rovnice. Na riešení takýchto rovníc pracovalo veľa matematikov. Jedným z nich je Pierre Fermat, francúzsky matematik. Študoval teóriu riešenia neurčitých rovníc.

V. Zhrnutie lekcie

1) Zhrnutie učiva preberaného v lekcii. Odpovede na všetky otázky položené študentom na začiatku hodiny:

– Aké rovnice sa nazývajú lineárne s dvoma premennými?
– Čo sa nazýva riešenie lineárnej rovnice v dvoch premenných?
– Ako sa toto rozhodnutie zaznamenáva?
– Aké rovnice sa nazývajú ekvivalentné?
– Aké sú vlastnosti ekvivalencie rovníc?
– Aké úlohy sme na hodine riešili, na aké otázky sme odpovedali?

2) Samostatná práca.

Pre slabších:

– Nájdite hodnoty premenných a, b a c v rovnici –1,1x + 3,6y = – 34?
– Nájdite aspoň jedno riešenie rovnice x – y = 35?
– Je dvojica čísel (3; 2) riešením danej lineárnej rovnice s dvomi premennými 2x – y = 4?

Pre silných:

– Napíšte lineárnu rovnicu s dvoma premennými pre Diophantov problém: Na dvore domu sa prechádzajú bažanty a králiky. Ukázalo sa, že počet všetkých nôh je 26.
– Vyjadrite premennú y pomocou x v rovnici 3x – 5y = 8.

VI. Správa o domácej úlohe

Zobrazenie všetkých úloh v učebnici, rýchly rozbor každej úlohy, výber úlohy.

• Pre slabých žiakov: č. 1093, č. 1095b).
• Pre silných: 1) č. 1101, č. 1104 (a). 2) vyriešte Diophantov problém, nájdite všetky prirodzené riešenia tejto rovnice.

Dodatočne na žiadosť študentov - č.1105.

Namiesto záveru: Vyše 40 rokov som učiteľkou matematiky. A chcem poznamenať, že otvorená lekcia nie je vždy tou najlepšou lekciou. Často sa stáva, že niekedy bežné hodiny prinesú učiteľovi viac radosti a uspokojenia. A potom si s ľútosťou pomyslíte, že túto lekciu nikto nevidel - výtvor učiteľa a študentov.

Hodina je jeden organizmus, jeden celok, na hodine sa získava osobná a morálna skúsenosť s výchovou tak pre študentov, ako aj pre učiteľov. 45 minút lekcie je tak veľa a tak málo. Veľa - pretože počas tejto doby sa môžete so svojimi študentmi „pozrieť“ do hlbín storočí a „vrátiť sa“ odtiaľ, naučiť sa veľa nových, zaujímavých vecí a ešte máte čas študovať nový materiál.

Každý študent musí pochopiť, že matematika je základom ľudského intelektuálneho rozvoja. A základom toho je rozvoj logického myslenia. Preto som si pred každou hodinou stanovil pre seba a svojich študentov cieľ: naučiť študentov úspešne pracovať s definíciami, šikovne rozlišovať neznáme od známeho, overené od neovereného, ​​analyzovať, porovnávať, triediť, klásť otázky a naučiť sa šikovne riešiť ich. Použite analógie, ale ak sa nemôžete dostať von sami, potom vedľa vás nie je len učiteľ, ale váš hlavný asistent - kniha.

Samozrejme, že otvorená hodina je výsledkom tvorivej práce učiteľa. A učitelia prítomní na tejto lekcii by mali venovať pozornosť hlavnej veci: systému práce, novosti, nápadu. Tu si myslím, že nie je zvlášť dôležité, akú metodiku vyučovania učiteľ na hodine používa: staré, moderné alebo nové inovatívne technológie, hlavné je, aby ich použitie bolo vhodné a efektívne pre učiteľa a žiakov.

Som veľmi rada, že mám v živote školu, deti, hodiny a takýchto milých kolegov. Ďakujem vám všetkým!

Lineárna rovnica s dvoma premennými má všeobecný tvar ax + by + c = 0. V nej sú a, b a c koeficienty - nejaké čísla; a x a y sú premenné - neznáme čísla, ktoré treba nájsť.

Riešením lineárnej rovnice s dvoma premennými je dvojica čísel x a y, pre ktoré ax + by + c = 0 je skutočná rovnosť.

Daná lineárna rovnica v dvoch premenných (napríklad 3x + 2y – 1 = 0) má množinu riešení, teda množinu dvojíc čísel, pre ktoré platí rovnica. Lineárna rovnica s dvoma premennými sa transformuje na lineárnu funkciu tvaru y = kx + m, čo je priamka na súradnicovej rovine. Súradnice všetkých bodov ležiacich na tejto priamke sú riešeniami lineárnej rovnice v dvoch premenných.

Ak sú dané dve lineárne rovnice v tvare ax + by + c = 0 a je potrebné nájsť hodnoty x a y, pre ktoré budú mať obe riešenia, potom hovoríme, že musíme riešiť sústavu rovníc. Systém rovníc je napísaný pod spoločnou zloženou zátvorkou. Príklad:

Systém rovníc nemôže mať riešenie, ak sa priamky, ktoré sú grafmi zodpovedajúcich lineárnych funkcií, nepretínajú (teda navzájom rovnobežne). Aby sme dospeli k záveru, že riešenie neexistuje, stačí transformovať obe lineárne rovnice s dvoma premennými do tvaru y = kx + m. Ak je k rovnaké číslo v oboch rovniciach, potom systém nemá žiadne riešenia.

Ak sa ukáže, že systém rovníc pozostáva z dvoch rovnakých rovníc (čo nemusí byť zrejmé hneď, ale po transformáciách), potom má nekonečný počet riešení. V tomto prípade hovoríme o neistote.

Vo všetkých ostatných prípadoch má systém jedno riešenie. Tento záver možno vyvodiť zo skutočnosti, že akékoľvek dve nerovnobežné čiary sa môžu pretínať iba v jednom bode. Je to tento priesečník, ktorý bude ležať na prvom aj druhom riadku, to znamená, že bude riešením prvej aj druhej rovnice. Preto je riešením sústavy rovníc. Je však potrebné stanoviť situácie, kedy sú na hodnoty x a y kladené určité obmedzenia (zvyčajne podľa podmienok problému). Napríklad x > 0, y > 0. V tomto prípade, aj keď má sústava rovníc riešenie, ale nespĺňa podmienku, vyvodí sa záver, že sústava rovníc nemá za daných podmienok riešenia. .

Existujú tri spôsoby riešenia systému rovníc:

1. Spôsobom výberu. Najčastejšie je to veľmi ťažké.
2. Grafická metóda. Keď sú na súradnicovej rovine nakreslené dve priame čiary (grafy funkcií zodpovedajúcich rovníc) a nájde sa ich priesečník. Táto metóda nemusí poskytnúť presné výsledky, ak súradnice priesečníka sú zlomkové čísla.
3. Algebraické metódy. Sú všestranné a spoľahlivé.

Inštrukcie

Daný systém dvoch lineárnych rovníc vyriešte nasledovne. Vyberte si jednu z rovníc, v ktorej sú koeficienty pred premennými menšie a vyjadrite jednu z premenných, napríklad x. Potom dosaďte túto hodnotu obsahujúcu y do druhej rovnice. Vo výslednej rovnici bude len jedna premenná y, všetky časti s y presuňte doľava a voľné doprava. Nájdite y a dosaďte do ktorejkoľvek z pôvodných rovníc, aby ste našli x.

Existuje ďalší spôsob riešenia systému dvoch rovníc. Vynásobte jednu z rovníc číslom tak, aby koeficient jednej z premenných, napríklad x, bol v oboch rovniciach rovnaký. Potom odčítajte jednu z rovníc od druhej (ak sa pravá strana nerovná 0, nezabudnite rovnakým spôsobom odčítať aj pravú stranu). Uvidíte, že premenná x zmizla a zostala len jedna premenná y. Vyriešte výslednú rovnicu a dosaďte nájdenú hodnotu y do ktorejkoľvek z pôvodných rovníc. Nájdite x.

Tretí spôsob riešenia sústavy dvoch lineárnych rovníc je grafický. Nakreslite súradnicový systém a nakreslite do grafu dve priame čiary, ktorých rovnice sú uvedené vo vašom systéme. Za týmto účelom nahraďte ľubovoľné dve hodnoty x do rovnice a nájdite zodpovedajúce y - to budú súradnice bodov patriacich k čiare. Najpohodlnejší spôsob, ako nájsť priesečník so súradnicovými osami, je jednoducho nahradiť hodnoty x=0 a y=0. Úlohami budú súradnice priesečníka týchto dvoch čiar.

Ak je v problémových podmienkach iba jedna lineárna rovnica, potom ste dostali ďalšie podmienky, pomocou ktorých môžete nájsť riešenie. Pozorne si prečítajte problém, aby ste našli tieto podmienky. Ak premenné x a y označujú vzdialenosť, rýchlosť, hmotnosť, pokojne nastavte limit x≥0 a y≥0. Je dosť možné, že x alebo y skrýva počet jabĺk, stromov atď. - potom hodnoty môžu byť iba celé čísla. Ak je x vek syna, je jasné, že nemôže byť starší ako jeho otec, preto to uveďte v podmienkach problému.

Zostrojte čiarový graf zodpovedajúci lineárnej rovnici. Pozrite sa na graf, môže existovať len niekoľko riešení, ktoré spĺňajú všetky podmienky - napríklad celé čísla a kladné čísla. Budú riešením vašej rovnice.

Zdroje:

• ako vyriešiť rovnicu s jednou premennou

Jedným z hlavných problémov matematiky je riešenie sústavy rovníc s niekoľkými neznámymi. Ide o veľmi praktický problém: neznámych parametrov je viacero, je na ne kladených viacero podmienok a je potrebné nájsť ich najoptimálnejšiu kombináciu. Takéto úlohy sú samozrejmosťou v ekonomike, konštrukcii, návrhu zložitých mechanických systémov a všeobecne všade tam, kde je potrebná optimalizácia nákladov na materiál a ľudské zdroje. V tejto súvislosti vyvstáva otázka: ako takéto systémy vyriešiť?

Inštrukcie

Matematika nám dáva dva spôsoby riešenia takýchto systémov: grafický a analytický. Tieto metódy sú rovnocenné a nemožno povedať, že by niektorá z nich bola lepšia alebo horšia. V každej situácii si pri optimalizácii riešenia musíte vybrať, ktorá metóda dáva jednoduchšie riešenie. Existujú však aj typické situácie. Teda systém rovinných rovníc, teda keď dva grafy majú tvar y=ax+b, je jednoduchšie graficky vyriešiť. Všetko sa robí veľmi jednoducho: zostrojia sa dve priame čiary: grafy lineárnych funkcií, potom sa nájde ich priesečník. Riešením tejto rovnice budú súradnice tohto bodu (osová a ordináta). Všimnite si tiež, že dve čiary môžu byť rovnobežné. Potom systém rovníc nemá riešenie a funkcie sa nazývajú lineárne závislé.

Môže nastať aj opačná situácia. Ak potrebujeme nájsť tretiu neznámu za predpokladu dvoch lineárne nezávislých rovníc, systém bude podurčený a bude mať nekonečný počet riešení. V teórii lineárnej algebry je dokázané, že systém má jedinečné riešenie práve vtedy, ak sa počet rovníc zhoduje s počtom neznámych.

ZHRNUTIE LEKCIE

trieda: 7

UMK: Algebra 7. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie organizácie / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk a kol.]; upravil S.A. Teljakovského. – 2. vyd. – M.: Vzdelávanie, 2014

Predmet: Lineárne rovnice v dvoch premenných

Ciele: Oboznámiť žiakov s pojmami lineárna rovnica s dvoma premennými a jej riešením, naučiť sa vyjadrovať z rovniceX cezpri alebopri cezX .

Vytvorený UUD:

Poznávacie: predkladať a zdôvodňovať hypotézy, navrhovať spôsoby ich testovania

Regulačné: porovnávať spôsob a výsledok svojich činností s daným štandardom, zisťovať odchýlky a rozdiely od štandardu; zostaviť plán a postupnosť akcií.

Komunikatívne: nadviazať pracovné vzťahy; efektívne spolupracovať a podporovať produktívnu spoluprácu.

Osobné: frozvíjanie zručností pre organizáciu analýzy vlastných činností

Vybavenie:počítač, multimediálny projektor, plátno

Počas tried:

ja Organizovanie času

Vypočujte si rozprávku o Dedkovi Equallyovi a hádajte, o čom sa dnes budeme rozprávať

Rozprávka "Dedko rovný"

Starý otec prezývaný Ravnyalo žil v chatrči na okraji lesa. Rád žartoval s číslami. Dedko zoberie čísla na oboch stranách, spojí ich znamienkami a najrýchlejšie dá do zátvoriek, ale dbajte na to, aby sa jedna časť rovnala druhej. A potom skryje nejaké číslo pod maskou „X“ a požiada svojho vnuka, malého Ravnyalka, aby ho našiel. Aj keď je Ravnyalka malý, vie o tom svoje: rýchlo presunie všetky čísla okrem „X“ na druhú stranu a nezabudne im zmeniť znamienka na opačné. A čísla ho poslúchajú, rýchlo vykonajú všetky akcie podľa jeho príkazov a „X“ je známe. Dedko sa pozerá, ako šikovne všetko robí jeho vnučka, a teší sa: vyrastá mu dobrá náhrada.

Takže, o čom je táto rozprávka?(o rovniciach)

II . Zapamätajme si všetko, čo vieme o lineárnych rovniciach a skúsme nakresliť paralelu medzi materiálom, ktorý poznáme, a novým materiálom.

Aký typ rovnice poznáme?(lineárna rovnica s jednou premennou)

Pripomeňme si definíciu lineárnej rovnice s jednou premennou.

Aký je koreň lineárnej rovnice v jednej premennej?

Sformulujme všetky vlastnosti lineárnej rovnice s jednou premennou.

1 časť tabuľky je vyplnená

Príklad: 3x = 6

Hodnota x, pri ktorej sa rovnica stáva pravdivou

1) prenos členov z jednej časti rovnice do druhej, zmena ich znamienka na opačné.

2) vynásobte alebo vydeľte obe strany rovnice rovnakým číslom, ktoré sa nerovná nule.

Lineárna rovnica s dvoma premennými.

ax + vy = c, kde x, y sú premenné, a, b.c sú čísla.

Príklad:

x – y = 5

x + y = 56

2x + 6r = 68

Hodnoty x, y, ktoré robia rovnicu pravdivou.

x = 8; y=3 (8;3)

x = 60; y = - 4 (60;-4)

Vlastnosti 1 a 2 sú pravdivé.

3) ekvivalentné rovnice:

x-y=5 a y=x-5

(8;3) (8;3)

Po vyplnení prvej časti tabuľky, na základe analógie, začneme vypĺňať druhý riadok tabuľky, čím sa naučíme nový materiál.

III . Vráťme sa k téme:lineárna rovnica v dvoch premenných . Už názov témy napovedá, že treba zaviesť novú premennú, napríklad y.

Existujú dve čísla x a y, jedno väčšie ako druhé o 5. Ako zapísať vzťah medzi nimi? (x – y = 5) toto je lineárna rovnica s dvoma premennými. Analogicky s definíciou lineárnej rovnice s jednou premennou sformulujme definíciu lineárnej rovnice s dvoma premennými (Lineárna rovnica v dvoch premenných je rovnica tvarusekera + podľa = c , Kdea,b Ac - niektoré čísla aX Ar -premenné).

Rovnica X – r= 5 s x = 8, y = 3 sa zmení na správnu rovnosť 8 – 3 = 5. Hovorí sa, že pár hodnôt premenných x = 8, y = 3 je riešením tejto rovnice.

Formulujte definíciu riešenia rovnice s dvoma premennými (Riešenie rovnice s dvoma premennými je dvojica hodnôt premenných, ktorá mení túto rovnicu na skutočnú rovnosť)

Páry premenných hodnôt sa niekedy píšu kratšie: (8;3). V takomto zápise sa na prvé miesto zapíše hodnota x a na druhé hodnota y.

Rovnice s dvoma premennými, ktoré majú rovnaké riešenia (alebo žiadne riešenia), sa nazývajú ekvivalentné.

Rovnice s dvoma premennými majú rovnaké vlastnosti ako rovnice s jednou premennou:

Ak presuniete ľubovoľný člen v rovnici z jednej časti do druhej a zmeníte jej znamienko, dostanete rovnicu ekvivalentnú danej rovnici.

Ak sa obe strany rovnice vynásobia alebo vydelia rovnakým číslom (nerovná sa nule), dostanete rovnicu ekvivalentnú danej jednotke.

Príklad 1 Uvažujme rovnicu 10x + 5y = 15. Pomocou vlastností rovníc vyjadrujeme jednu premennú pomocou druhej.

Ak to chcete urobiť, najprv sa posuňte 10x z ľavej strany doprava a zmeňte jej znamienko. Dostaneme ekvivalentnú rovnicu 5y = 15 - 10x.

Vydelením každej časti tejto rovnice číslom 5 dostaneme ekvivalentnú rovnicu

y = 3 - 2x. Vyjadrili sme teda jednu premennú v podmienkach inej. Pomocou tejto rovnosti môžeme pre každú hodnotu x vypočítať hodnotu y.

Ak x = 2, potom y = 3 - 2 2 = -1.

Ak x = -2, potom y = 3 - 2· (-2) = 7. Dvojice čísel (2; -1), (-2; 7) sú riešeniami tejto rovnice. Táto rovnica má teda nekonečne veľa riešení.

Z histórie. Problém riešenia rovníc v prirodzených číslach bol podrobne zvážený v dielach slávneho gréckeho matematika Diophantusa (III. storočie). Jeho pojednanie „Aritmetika“ obsahuje dômyselné riešenia širokej škály rovníc v prirodzených číslach. V tomto ohľade sa rovnice s niekoľkými premennými, ktoré vyžadujú riešenia v prirodzených číslach alebo celých číslach, nazývajú diofantínové rovnice.

Príklad 2 Múka je balená vo vreciach po 3 kg a 2 kg. Koľko vriec z každého druhu by ste si mali vziať na výrobu 20 kg múky?

Povedzme, že potrebujeme zobrať x vriec po 3 kg a y vriec po 2 kg. Potom 3x + 2y = 20. Je potrebné nájsť všetky dvojice prirodzených hodnôt premenných x a y, ktoré vyhovujú tejto rovnici. Dostaneme:

2r = 20 - 3x

y =

Ak do tejto rovnosti namiesto x dosadíme postupne všetky čísla 1,2,3 atď., zistíme, pre ktoré hodnoty x, hodnoty y sú prirodzené čísla.

Dostaneme: (2;7), (4;4), (6;1). Neexistujú žiadne iné páry, ktoré spĺňajú túto rovnicu. To znamená, že musíte vziať buď 2 a 7, alebo 4 a 4, alebo 6 a 1 balenia.

IV . Práca z učebnice (ústne) č. 1025, č. 1027 (a)

Samostatná práca s testovaním na hodine.

1. Napíšte lineárnu rovnicu s dvoma premennými.

a) 3x + 6y = 5 c) xy = 11 b) x – 2y = 5

2. Je dvojica čísel riešením rovnice?

2x + y = -5 (-4;3), (-1;-3), (0;5).

3. Vyjadrite z lineárnej rovnice

4x – 3y = 12 a) x až y b) y až x

4. Nájdite tri riešenia rovnice.

x + y = 27

V . Takže, aby som to zhrnul:

Definujte lineárnu rovnicu s dvoma premennými.

Čo sa nazýva riešenie (koreň) lineárnej rovnice s dvoma premennými.

Uveďte vlastnosti lineárnej rovnice s dvoma premennými.

Klasifikácia.

Domáca úloha: paragraf 40, č.1028, č.1032