Je daná sústava lineárnych algebraických rovníc. Ako nájsť všeobecné a partikulárne riešenia sústavy lineárnych rovníc

Lineárne rovnice v dvoch premenných

Školák má na obed v škole 200 rubľov. Koláč stojí 25 rubľov a šálka kávy 10 rubľov. Koľko koláčov a šálok kávy si môžete kúpiť za 200 rubľov?

Označme počet koláčov podľa X a počet prepitých šálok kávy r. Potom budú náklady na koláče označené výrazom 25 X a náklady na šálky kávy za 10 r .

25X- cena X koláče
10y — cena ršálky kávy

Celková suma by mala byť 200 rubľov. Potom dostaneme rovnicu s dvoma premennými X A r

25X+ 10r= 200

Koľko koreňov má táto rovnica?

Všetko závisí od chuti študenta. Ak si kúpi 6 koláčov a 5 šálok kávy, koreňmi rovnice budú čísla 6 a 5.

Dvojica hodnôt 6 a 5 sa považuje za korene rovnice 25 X+ 10r= 200. Zapísané ako (6; 5), pričom prvé číslo je hodnota premennej X a druhá - hodnota premennej r .

6 a 5 nie sú jediné korene, ktoré obracajú rovnicu 25 X+ 10r= 200 k identite. Ak je to potrebné, za rovnakých 200 rubľov si študent môže kúpiť 4 koláče a 10 šálok kávy:

V tomto prípade korene rovnice 25 X+ 10r= 200 je pár hodnôt (4; 10).

Okrem toho si školák nemôže kúpiť kávu, ale kúpiť koláče za celých 200 rubľov. Potom korene rovnice 25 X+ 10r= 200 budú hodnoty 8 a 0

Alebo naopak, nekupujte koláče, ale kúpte si kávu za celých 200 rubľov. Potom korene rovnice 25 X+ 10r= 200, hodnoty budú 0 a 20

Skúsme uviesť všetky možné korene rovnice 25 X+ 10r= 200. Zhodnime sa, že hodnoty X A r patria do množiny celých čísel. A nech sú tieto hodnoty väčšie alebo rovné nule:

X∈Z, r∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

To bude výhodné pre samotného študenta. Je výhodnejšie kúpiť celé koláče ako napríklad niekoľko celých koláčov a pol koláča. Je tiež pohodlnejšie brať kávu v celých šálkach ako napríklad niekoľko celých šálok a pol šálky.

Všimnite si, že za nepárny X za žiadnych okolností nie je možné dosiahnuť rovnosť r. Potom hodnoty X nasledujúce čísla budú 0, 2, 4, 6, 8. A vedieť X možno ľahko určiť r

Takto sme dostali nasledujúce páry hodnôt (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Tieto dvojice sú riešeniami alebo koreňmi rovnice 25 X+ 10r= 200. Zmenia túto rovnicu na identitu.

Rovnica formulára ax + by = c volal lineárna rovnica s dvoma premennými. Riešením alebo koreňmi tejto rovnice je dvojica hodnôt ( X; r), čím sa zmení na identitu.

Všimnite si tiež, že ak je lineárna rovnica s dvoma premennými napísaná vo forme ax + b y = c , potom hovoria, že je to napísané v kanonický(normálna) forma.

Niektoré lineárne rovnice v dvoch premenných možno redukovať na kanonickú formu.

Napríklad rovnica 2(16X+ 3y − 4) = 2(12 + 8X − r) možno spomenúť ax + by = c. Otvorme zátvorky na oboch stranách tejto rovnice a získajme 32X + 6r − 8 = 24 + 16X − 2r . Zoskupujeme členy obsahujúce neznáme na ľavej strane rovnice a členy bez neznámych - na pravej strane. Potom dostaneme 32x− 16X+ 6r+ 2r = 24 + 8 . Na oboch stranách uvádzame podobné pojmy, dostaneme rovnicu 16 X+ 8r= 32. Táto rovnica je zredukovaná do tvaru ax + by = c a je kanonický.

Rovnica 25 diskutovaná vyššie X+ 10r= 200 je tiež lineárna rovnica s dvoma premennými v kanonickom tvare. V tejto rovnici parametre a , b A c sa rovnajú hodnotám 25, 10 a 200.

Vlastne rovnica ax + by = c má nespočetné množstvo riešení. Riešenie rovnice 25X+ 10r= 200, jeho korene sme hľadali len na množine celých čísel. V dôsledku toho sme získali niekoľko párov hodnôt, ktoré zmenili túto rovnicu na identitu. Ale na množine racionálnych čísel, rovnica 25 X+ 10r= 200 bude mať nekonečne veľa riešení.

Ak chcete získať nové páry hodnôt, musíte použiť ľubovoľnú hodnotu X, potom vyjadrite r. Vezmime si napríklad premennú X hodnota 7. Potom dostaneme rovnicu s jednou premennou 25×7 + 10r= 200 v ktorom sa dá vyjadriť r

Nechaj X= 15. Potom rovnica 25X+ 10r= 200 sa zmení na 25 × 15 + 10r= 200. Odtiaľ to nájdeme r = −17,5

Nechaj X= -3. Potom rovnica 25X+ 10r= 200 sa zmení na 25 × (-3) + 10r= 200. Odtiaľ to nájdeme r = −27,5

Sústava dvoch lineárnych rovníc s dvoma premennými

Pre rovnicu ax + by = c môžete použiť ľubovoľné hodnoty toľkokrát, koľkokrát chcete X a nájsť hodnoty pre r. Ak sa to vezme samostatne, takáto rovnica bude mať nespočetné množstvo riešení.

Ale tiež sa stáva, že premenné X A r spojené nie jednou, ale dvoma rovnicami. V tomto prípade tvoria tzv sústava lineárnych rovníc v dvoch premenných. Takýto systém rovníc môže mať jeden pár hodnôt (alebo inými slovami: „jedno riešenie“).

Môže sa tiež stať, že systém nemá žiadne riešenia. Systém lineárnych rovníc môže mať v ojedinelých a výnimočných prípadoch nespočetné množstvo riešení.

Dve lineárne rovnice tvoria systém, keď hodnoty X A r zadajte do každej z týchto rovníc.

Vráťme sa k úplne prvej rovnici 25 X+ 10r= 200. Jedným z párov hodnôt pre túto rovnicu bol pár (6; 5) . To je prípad, keď za 200 rubľov ste si mohli kúpiť 6 koláčov a 5 šálok kávy.

Sformulujme úlohu tak, aby sa dvojica (6; 5) stala jediným riešením rovnice 25 X+ 10r= 200. Aby sme to urobili, vytvorte ďalšiu rovnicu, ktorá by spájala to isté X koláče a ršálky kávy.

Uveďme text problému takto:

„Študent si kúpil niekoľko koláčov a niekoľko šálok kávy za 200 rubľov. Koláč stojí 25 rubľov a šálka kávy 10 rubľov. Koľko koláčikov a šálok kávy si študent kúpil, ak je známe, že počet koláčikov je o jednotku väčší ako počet šálok kávy?

Prvú rovnicu už máme. Toto je rovnica 25 X+ 10r= 200. Teraz vytvoríme rovnicu pre podmienku „počet koláčikov je o jednotku väčší ako počet šálok kávy“ .

Počet koláčikov je X, a počet šálok kávy je r. Túto frázu môžete napísať pomocou rovnice x-y= 1. Táto rovnica bude znamenať, že rozdiel medzi koláčmi a kávou je 1.

x = y+ 1. Táto rovnica znamená, že počet koláčikov je o jeden väčší ako počet šálok kávy. Preto, aby sa dosiahla rovnosť, k počtu šálok kávy sa pridá jedna. To sa dá ľahko pochopiť, ak použijeme model mierok, ktoré sme zvažovali pri štúdiu najjednoduchších problémov:

Máme dve rovnice: 25 X+ 10r= 200 a x = y+ 1. Keďže hodnoty X A r, konkrétne 6 a 5 sú zahrnuté v každej z týchto rovníc, potom spolu tvoria systém. Napíšme si tento systém. Ak rovnice tvoria systém, potom sú orámované znakom systému. Symbol systému je zložená zátvorka:

Poďme vyriešiť tento systém. To nám umožní vidieť, ako sa dostaneme k hodnotám 6 a 5. Existuje mnoho metód na riešenie takýchto systémov. Pozrime sa na najobľúbenejšie z nich.

Substitučná metóda

Názov tejto metódy hovorí sám za seba. Jeho podstatou je dosadenie jednej rovnice do inej, ktorá predtým vyjadrila jednu z premenných.

V našom systéme nie je potrebné nič vyjadrovať. V druhej rovnici X = r+ 1 premenná X už vyjadrené. Táto premenná sa rovná výrazu r+ 1. Potom môžete tento výraz nahradiť do prvej rovnice namiesto premennej X

Po nahradení výrazu r+ 1 do prvej rovnice X, dostaneme rovnicu 25(r+ 1) + 10r= 200 . Toto je lineárna rovnica s jednou premennou. Táto rovnica sa dá pomerne ľahko vyriešiť:

Zistili sme hodnotu premennej r. Teraz dosadíme túto hodnotu do jednej z rovníc a nájdeme hodnotu X. Na tento účel je vhodné použiť druhú rovnicu X = r+ 1. Dosadíme do nej hodnotu r

To znamená, že dvojica (6; 5) je riešením sústavy rovníc, ako sme zamýšľali. Skontrolujeme a ubezpečíme sa, že pár (6; 5) vyhovuje systému:

Príklad 2

Dosadíme prvú rovnicu X= 2 + r do druhej rovnice 3 x− 2r= 9. V prvej rovnici premenná X rovná sa výrazu 2 + r. Namiesto toho dosadíme tento výraz do druhej rovnice X

Teraz poďme nájsť hodnotu X. Ak to chcete urobiť, nahraďte hodnotu r do prvej rovnice X= 2 + r

To znamená, že riešením systému je hodnota páru (5; 3)

Príklad 3. Vyriešte nasledujúcu sústavu rovníc pomocou substitučnej metódy:

Tu, na rozdiel od predchádzajúcich príkladov, jedna z premenných nie je explicitne vyjadrená.

Ak chcete nahradiť jednu rovnicu inou, musíte najskôr .

Je vhodné vyjadriť premennú, ktorá má koeficient jedna. Premenná má koeficient jedna X, ktorý je obsiahnutý v prvej rovnici X+ 2r= 11. Vyjadrime túto premennú.

Po variabilnom výraze X, náš systém bude mať nasledujúcu formu:

Teraz dosadíme prvú rovnicu do druhej a nájdeme hodnotu r

Poďme nahradiť r X

To znamená, že riešením systému je dvojica hodnôt (3; 4)

Samozrejme, môžete vyjadriť aj premennú r. Tým sa korene nezmenia. Ale ak sa vyjadríš y, Výsledkom nie je veľmi jednoduchá rovnica, ktorej riešenie zaberie viac času. Bude to vyzerať takto:

Vidíme, že v tomto príklade vyjadrujeme X oveľa pohodlnejšie ako vyjadrovanie r .

Príklad 4. Vyriešte nasledujúcu sústavu rovníc pomocou substitučnej metódy:

Vyjadrime sa v prvej rovnici X. Potom bude mať systém tvar:

r

Poďme nahradiť r do prvej rovnice a nájdite X. Môžete použiť pôvodnú rovnicu 7 X+ 9r= 8, alebo použite rovnicu, v ktorej je premenná vyjadrená X. Použijeme túto rovnicu, pretože je vhodná:

To znamená, že riešením systému je dvojica hodnôt (5; −3)

Spôsob pridávania

Metóda sčítania pozostáva zo sčítania rovníc zahrnutých v systéme po členoch. Výsledkom tohto pridania je nová rovnica s jednou premennou. A riešenie takejto rovnice je celkom jednoduché.

Poďme vyriešiť nasledujúcu sústavu rovníc:

Pridajme ľavú stranu prvej rovnice k ľavej strane druhej rovnice. A pravá strana prvej rovnice s pravou stranou druhej rovnice. Dostaneme nasledujúcu rovnosť:

Pozrime sa na podobné pojmy:

V dôsledku toho sme dostali najjednoduchšiu rovnicu 3 X= 27, ktorého koreň je 9. Poznanie hodnoty X môžete nájsť hodnotu r. Dosadíme hodnotu X do druhej rovnice x-y= 3. Dostaneme 9 - r= 3. Odtiaľ r= 6 .

To znamená, že riešením systému je dvojica hodnôt (9; 6)

Príklad 2

Pridajme ľavú stranu prvej rovnice k ľavej strane druhej rovnice. A pravá strana prvej rovnice s pravou stranou druhej rovnice. Vo výslednej rovnosti uvádzame podobné pojmy:

V dôsledku toho sme dostali najjednoduchšiu rovnicu 5 X= 20, ktorého koreň je 4. Poznanie hodnoty X môžete nájsť hodnotu r. Dosadíme hodnotu X do prvej rovnice 2 x+y= 11. Dajme 8+ r= 11. Odtiaľ r= 3 .

To znamená, že riešením systému je dvojica hodnôt (4;3)

Proces pridávania nie je podrobne opísaný. Musí sa to robiť psychicky. Pri sčítaní treba obe rovnice zredukovať na kanonickú formu. Teda mimochodom ac + by = c .

Z uvažovaných príkladov je zrejmé, že hlavným účelom pridávania rovníc je zbaviť sa jednej z premenných. Ale nie vždy je možné okamžite vyriešiť sústavu rovníc pomocou metódy sčítania. Najčastejšie sa systém najprv uvedie do formy, v ktorej je možné pridať rovnice zahrnuté v tomto systéme.

Napríklad systém je možné okamžite vyriešiť pridaním. Pri sčítaní oboch rovníc sú členy r A −y zmizne, pretože ich súčet je nula. V dôsledku toho sa vytvorí najjednoduchšia rovnica 11 X= 22, ktorého koreň je 2. Potom bude možné určiť r rovný 5.

A systém rovníc Metódu sčítania nemožno vyriešiť okamžite, pretože to nepovedie k vymiznutiu jednej z premenných. Výsledkom sčítania bude rovnica 8 X+ r= 28, ktorý má nekonečný počet riešení.

Ak sú obe strany rovnice vynásobené alebo delené rovnakým číslom, ktoré sa nerovná nule, dostanete rovnicu ekvivalentnú danej jednotke. Toto pravidlo platí aj pre sústavu lineárnych rovníc s dvoma premennými. Jedna z rovníc (alebo obe rovnice) môže byť vynásobená ľubovoľným číslom. Výsledkom bude ekvivalentný systém, ktorého korene sa budú zhodovať s predchádzajúcim.

Vráťme sa k úplne prvému systému, ktorý popisoval, koľko koláčikov a šálok kávy si školák kúpil. Riešením tohto systému bola dvojica hodnôt (6; 5).

Vynásobme obe rovnice zahrnuté v tejto sústave nejakými číslami. Povedzme, že vynásobíme prvú rovnicu 2 a druhú 3

V dôsledku toho sme dostali systém
Riešením tohto systému je stále dvojica hodnôt (6; 5)

To znamená, že rovnice zahrnuté v systéme môžu byť zredukované na formu vhodnú na aplikáciu metódy sčítania.

Vráťme sa k systému , ktoré sa nám nepodarilo vyriešiť metódou sčítania.

Vynásobte prvú rovnicu 6 a druhú −2

Potom dostaneme nasledujúci systém:

Sčítajme rovnice zahrnuté v tomto systéme. Pridávanie komponentov 12 X a -12 X výsledkom bude 0, sčítanie 18 r a 4 r dá 22 r a sčítaním 108 a −20 dostaneme 88. Potom dostaneme rovnicu 22 r= 88, odtiaľto r = 4 .

Ak je spočiatku ťažké pridať rovnice v hlave, potom si môžete zapísať, ako sa ľavá strana prvej rovnice sčítava s ľavou stranou druhej rovnice a pravá strana prvej rovnice s pravou stranou rovnice druhá rovnica:

S vedomím, že hodnota premennej r rovná sa 4, môžete nájsť hodnotu X. Poďme nahradiť r do jednej z rovníc, napríklad do prvej rovnice 2 X+ 3r= 18. Potom dostaneme rovnicu s jednou premennou 2 X+ 12 = 18. Presuňme 12 na pravú stranu, pričom zmeníme znamienko, dostaneme 2 X= 6, odtiaľto X = 3 .

Príklad 4. Vyriešte nasledujúci systém rovníc pomocou metódy sčítania:

Vynásobme druhú rovnicu −1. Potom bude mať systém nasledujúcu formu:

Pridajme obe rovnice. Pridávanie komponentov X A −x výsledkom bude 0, sčítanie 5 r a 3 r dá 8 r a sčítaním 7 a 1 dostaneme 8. Výsledkom je rovnica 8 r= 8, ktorého koreň je 1. S vedomím, že hodnota r rovná sa 1, môžete nájsť hodnotu X .

Poďme nahradiť r do prvej rovnice dostaneme X+ 5 = 7, teda X= 2

Príklad 5. Vyriešte nasledujúci systém rovníc pomocou metódy sčítania:

Je žiaduce, aby výrazy obsahujúce rovnaké premenné boli umiestnené pod sebou. Preto v druhej rovnici výrazy 5 r a -2 X Vymeňme si miesta. V dôsledku toho bude mať systém podobu:

Vynásobme druhú rovnicu číslom 3. Potom bude systém mať tvar:

Teraz pridajme obe rovnice. Výsledkom sčítania dostaneme rovnicu 8 r= 16, ktorého koreň je 2.

Poďme nahradiť r do prvej rovnice dostaneme 6 X− 14 = 40. Presuňme výraz −14 na pravú stranu, zmeníme znamienko a dostaneme 6 X= 54. Odtiaľ X= 9.

Príklad 6. Vyriešte nasledujúci systém rovníc pomocou metódy sčítania:

Zbavme sa zlomkov. Vynásobte prvú rovnicu 36 a druhú 12

Vo výslednom systéme prvú rovnicu možno vynásobiť -5 a druhú 8

Sčítajme rovnice vo výslednej sústave. Potom dostaneme najjednoduchšiu rovnicu −13 r= -156 . Odtiaľ r= 12. Poďme nahradiť r do prvej rovnice a nájdite X

Príklad 7. Vyriešte nasledujúci systém rovníc pomocou metódy sčítania:

Uveďme obe rovnice do normálneho tvaru. Tu je vhodné použiť pravidlo proporcie v oboch rovniciach. Ak je v prvej rovnici pravá strana reprezentovaná ako a pravá strana druhej rovnice ako , potom bude mať systém tvar:

Máme pomer. Vynásobme jeho extrémne a stredné pojmy. Potom bude mať systém tvar:

Vynásobme prvú rovnicu −3 a otvorme zátvorky v druhej:

Teraz pridajme obe rovnice. V dôsledku sčítania týchto rovníc dostaneme rovnosť s nulou na oboch stranách:

Ukazuje sa, že systém má nespočetné množstvo riešení.

Ale nemôžeme si len tak zobrať ľubovoľné hodnoty z neba X A r. Môžeme určiť jednu z hodnôt a druhá bude určená v závislosti od hodnoty, ktorú určíme. Napríklad nech X= 2. Túto hodnotu dosadíme do systému:

Výsledkom riešenia jednej z rovníc je hodnota pre r, ktorý bude spĺňať obe rovnice:

Výsledná dvojica hodnôt (2; −2) uspokojí systém:

Poďme nájsť ďalší pár hodnôt. Nechaj X= 4. Dosadíme túto hodnotu do systému:

Hodnotu spoznáte od oka r rovná sa nule. Potom dostaneme pár hodnôt (4; 0), ktorý vyhovuje nášmu systému:

Príklad 8. Vyriešte nasledujúci systém rovníc pomocou metódy sčítania:

Vynásobte prvú rovnicu 6 a druhú 12

Prepíšme, čo zostalo:

Vynásobme prvú rovnicu −1. Potom bude mať systém tvar:

Teraz pridajme obe rovnice. V dôsledku sčítania sa vytvorí rovnica 6 b= 48, ktorého koreň je 8. Nahrad b do prvej rovnice a nájdite a

Systém lineárnych rovníc s tromi premennými

Lineárna rovnica s tromi premennými obsahuje tri premenné s koeficientmi, ako aj priesečník. V kánonickej forme to môže byť napísané takto:

ax + by + cz = d

Táto rovnica má nespočetné množstvo riešení. Zadaním rôznych hodnôt dvom premenným je možné nájsť tretiu hodnotu. Riešením je v tomto prípade trojica hodnôt ( X; y; z), čo mení rovnicu na identitu.

Ak premenné x, y, z sú vzájomne prepojené tromi rovnicami, potom vzniká sústava troch lineárnych rovníc s tromi premennými. Na vyriešenie takéhoto systému môžete použiť rovnaké metódy, ktoré platia pre lineárne rovnice s dvoma premennými: substitučnú metódu a metódu sčítania.

Príklad 1. Vyriešte nasledujúcu sústavu rovníc pomocou substitučnej metódy:

Vyjadrime sa v tretej rovnici X. Potom bude mať systém tvar:

Teraz urobme náhradu. Variabilné X sa rovná výrazu 3 − 2r − 2z . Dosaďte tento výraz do prvej a druhej rovnice:

Otvorme zátvorky v oboch rovniciach a predstavme podobné pojmy:

Dospeli sme k systému lineárnych rovníc s dvoma premennými. V tomto prípade je vhodné použiť metódu pridávania. V dôsledku toho premenná r zmizne a môžeme nájsť hodnotu premennej z

Teraz poďme nájsť hodnotu r. Na tento účel je vhodné použiť rovnicu − r+ z= 4. Dosaďte do neho hodnotu z

Teraz poďme nájsť hodnotu X. Na tento účel je vhodné použiť rovnicu X= 3 − 2r − 2z . Dosadíme do nej hodnoty r A z

Trojica hodnôt (3; −2; 2) je teda riešením pre náš systém. Kontrolou sa ubezpečíme, že tieto hodnoty vyhovujú systému:

Príklad 2. Vyriešte systém pomocou metódy sčítania

Sčítajme prvú rovnicu s druhou, vynásobíme −2.

Ak sa druhá rovnica vynásobí -2, dostane tvar −6X+ 6y − 4z = −4 . Teraz to pridajme k prvej rovnici:

Vidíme, že v dôsledku elementárnych transformácií bola určená hodnota premennej X. Rovná sa jednej.

Vráťme sa k hlavnému systému. Pridajme druhú rovnicu k tretej, vynásobíme −1. Ak sa tretia rovnica vynásobí −1, dostane tvar −4X + 5r − 2z = −1 . Teraz to pridajme k druhej rovnici:

Dostali sme rovnicu x− 2r= -1. Dosadíme do nej hodnotu X ktoré sme našli skôr. Potom môžeme určiť hodnotu r

Teraz poznáme významy X A r. To vám umožní určiť hodnotu z. Použime jednu z rovníc zahrnutých v systéme:

Trojica hodnôt (1; 1; 1) je teda riešením pre náš systém. Kontrolou sa ubezpečíme, že tieto hodnoty vyhovujú systému:

Problémy skladania sústav lineárnych rovníc

Úloha skladania sústav rovníc sa rieši zadaním viacerých premenných. Ďalej sa zostavujú rovnice na základe podmienok úlohy. Zo zostavených rovníc tvoria sústavu a riešia ju. Po vyriešení systému je potrebné skontrolovať, či jeho riešenie spĺňa podmienky problému.

Problém 1. Auto Volga odišlo z mesta do kolchozu. Späť sa vrátila po inej ceste, ktorá bola o 5 km kratšia ako prvá. Celkovo auto prešlo 35 km tam a späť. Koľko kilometrov má každá cesta?

Riešenie

Nechaj X- dĺžka prvej cesty, r- dĺžka druhého. Ak auto prešlo 35 km tam a späť, potom prvú rovnicu možno zapísať ako X+ r= 35. Táto rovnica popisuje súčet dĺžok oboch ciest.

Auto sa vraj vrátilo po ceste, ktorá bola o 5 km kratšia ako tá prvá. Potom môže byť druhá rovnica napísaná ako X− r= 5. Táto rovnica ukazuje, že rozdiel medzi dĺžkami ciest je 5 km.

Alebo druhá rovnica môže byť napísaná ako X= r+ 5. Použijeme túto rovnicu.

Pretože premenné X A r v oboch rovniciach označujú rovnaké číslo, potom z nich môžeme zostaviť systém:

Vyriešme tento systém pomocou niektorej zo skôr študovaných metód. V tomto prípade je vhodné použiť substitučnú metódu, keďže v druhej rovnici premenná X už vyjadrené.

Dosaďte druhú rovnicu do prvej a nájdite r

Nájdenú hodnotu dosadíme r v druhej rovnici X= r+ 5 a nájdeme X

Dĺžka prvej cesty bola určená cez premennú X. Teraz sme našli jeho význam. Variabilné X sa rovná 20. To znamená, že dĺžka prvej cesty je 20 km.

A dĺžka druhej cesty bola označená r. Hodnota tejto premennej je 15. To znamená, že dĺžka druhej cesty je 15 km.

Skontrolujme to. Najprv sa uistite, že systém je správne vyriešený:

Teraz skontrolujme, či riešenie (20; 15) spĺňa podmienky problému.

Hovorilo sa, že auto prešlo spolu 35 km tam a späť. Spočítame dĺžky oboch ciest a uistíme sa, že riešenie (20; 15) spĺňa túto podmienku: 20 km + 15 km = 35 km

Nasledujúca podmienka: auto sa vrátilo späť po inej ceste, ktorá bola o 5 km kratšia ako prvá . Vidíme, že riešenie (20; 15) tiež spĺňa túto podmienku, pretože 15 km je kratších ako 20 km o 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Pri zostavovaní systému je dôležité, aby premenné predstavovali rovnaké čísla vo všetkých rovniciach zahrnutých v tomto systéme.

Náš systém teda obsahuje dve rovnice. Tieto rovnice zase obsahujú premenné X A r, ktoré predstavujú rovnaké čísla v oboch rovniciach, a to dĺžky ciest 20 km a 15 km.

Problém 2. Na plošinu boli naložené dubové a borovicové podvaly, celkovo 300 podvalov. Je známe, že všetky dubové podvaly vážili o 1 tonu menej ako všetky borovicové podvaly. Určte, koľko dubových a borovicových podvalov bolo oddelene, ak každý dubový podval vážil 46 kg a každý borovicový podval 28 kg.

Riešenie

Nechaj X dub a r na plošinu boli naložené borovicové podvaly. Ak by bolo celkovo 300 podvalov, tak prvú rovnicu možno napísať ako x+y = 300 .

Všetky dubové podvaly vážili 46 X kg a tie borovicové vážili 28 r kg. Keďže dubové podvaly vážili o 1 tonu menej ako borovicové podvaly, druhú rovnicu možno zapísať ako 28y − 46X= 1000 . Táto rovnica ukazuje, že rozdiel v hmotnosti medzi dubovými a borovicovými podvalmi je 1000 kg.

Tony boli prevedené na kilogramy, pretože hmotnosť dubových a borovicových podvalov sa merala v kilogramoch.

V dôsledku toho získame dve rovnice, ktoré tvoria systém

Poďme vyriešiť tento systém. Vyjadrime sa v prvej rovnici X. Potom bude mať systém tvar:

Nahraďte prvú rovnicu druhou a nájdite r

Poďme nahradiť r do rovnice X= 300 − r a zistiť, čo to je X

To znamená, že na plošinu bolo naložených 100 dubových a 200 borovicových podvalov.

Skontrolujme, či riešenie (100; 200) spĺňa podmienky úlohy. Najprv sa uistite, že systém je správne vyriešený:

Celkovo bolo vraj 300 spáčov. Spočítame počet dubových a borovicových podvalov a uistíme sa, že riešenie (100; 200) spĺňa túto podmienku: 100 + 200 = 300.

Nasledujúca podmienka: všetky dubové podvaly vážili o 1 tonu menej ako všetky borovicové podvaly . Vidíme, že riešenie (100; 200) tiež spĺňa túto podmienku, keďže 46 × 100 kg dubových podvalov je ľahších ako 28 × 200 kg borovicových podvalov: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Problém 3. Vzali sme tri kusy zliatiny medi a niklu v hmotnostných pomeroch 2: 1, 3: 1 a 5: 1. Vytavil sa z nich kus s hmotnosťou 12 kg s pomerom medi a niklu 4: 1. Nájdite hmotnosť každého pôvodného kusu, ak hmotnosť prvého je dvojnásobkom hmotnosti druhého.

Gaussova metóda má množstvo nevýhod: nie je možné zistiť, či je systém konzistentný alebo nie, kým sa nevykonajú všetky potrebné transformácie v Gaussovej metóde; Gaussova metóda nie je vhodná pre systémy s písmenovými koeficientmi.

Uvažujme o iných metódach riešenia sústav lineárnych rovníc. Tieto metódy využívajú koncept poradia matice a redukujú riešenie akéhokoľvek konzistentného systému na riešenie systému, na ktorý sa vzťahuje Cramerovo pravidlo.

Príklad 1 Nájdite všeobecné riešenie nasledujúceho systému lineárnych rovníc pomocou základného systému riešení redukovaného homogénneho systému a konkrétneho riešenia nehomogénneho systému.

1. Vytvorenie matrice A a rozšírená matica systému (1)

2. Preskúmajte systém (1) pre spolupatričnosť. Aby sme to urobili, nájdeme hodnosti matríc A a https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Ak sa ukáže, že , potom systém (1) nezlučiteľné. Ak to dostaneme , potom je tento systém konzistentný a budeme ho riešiť. (Štúdia kompatibility je založená na Kronecker-Capelliho vete).

a. nachádzame rA.

Nájsť rA, budeme postupne uvažovať o nenulových maloletých prvého, druhého atď. rádu matice A a maloletí okolo nich.

M1=1≠0 (berieme 1 z ľavého horného rohu matice A).

Hraničíme M1 druhý riadok a druhý stĺpec tejto matice. . Pokračujeme k hraniciam M1 druhý riadok a tretí stĺpec..gif" width="37" height="20 src=">. Teraz ohraničíme nenulovú vedľajšiu M2′ druhá objednávka.

Máme: (keďže prvé dva stĺpce sú rovnaké)

(keďže druhý a tretí riadok sú proporcionálne).

To vidíme rA=2, a je menšia báza matice A.

b. nachádzame.

Pomerne základné drobné M2′ matice A ohraničenie stĺpcom voľných výrazov a všetkými riadkami (máme len posledný riadok).

. Z toho vyplýva M3′′ zostáva základnou moll matice https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Pretože M2′- menší základ matice A systémov (2) , potom je tento systém ekvivalentný systému (3) , pozostávajúce z prvých dvoch rovníc sústavy (2) (pre M2′ je v prvých dvoch riadkoch matice A).

(3)

Od základnej malej https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

V tomto systéme sú dve voľné neznáme ( x2 A x4 ). Preto FSR systémov (4) pozostáva z dvoch riešení. Aby sme ich našli, priraďujeme k nim voľné neznáme (4) hodnoty ako prvé x2 = 1 , x4 = 0 , a potom - x2 = 0 , x4=1 .

O x2 = 1 , x4 = 0 dostaneme:

.

Tento systém už má jediná vec riešenie (možno ho nájsť pomocou Cramerovho pravidla alebo akejkoľvek inej metódy). Odčítaním prvej od druhej rovnice dostaneme:

Jej riešenie bude x1= -1 , x3 = 0 . Vzhľadom na hodnoty x2 A x4 , ktorý sme pridali, získame prvé zásadné riešenie systému (2) : .

Teraz veríme (4) x2 = 0 , x4=1 . Dostaneme:

.

Tento systém riešime pomocou Cramerovej vety:

.

Získame druhé základné riešenie systému (2) : .

Riešenia β1 , β2 a make up FSR systémov (2) . Potom bude jeho všeobecné riešenie

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Tu C1 , C2 – ľubovoľné konštanty.

4. Nájdime jeden súkromné Riešenie heterogénny systém(1) . Ako v odseku 3 , namiesto systému (1) Uvažujme o ekvivalentnom systéme (5) , pozostávajúce z prvých dvoch rovníc sústavy (1) .

(5)

Presuňme voľné neznáme na správnu stranu x2 A x4.

(6)

Dajme zadarmo neznáme x2 A x4 ľubovoľné hodnoty, napr. x2=2 , x4=1 a vložte ich (6) . Zoberme si systém

Tento systém má jedinečné riešenie (pretože je jeho determinantom M2'0). Jeho vyriešením (pomocou Cramerovej vety alebo Gaussovej metódy) dostaneme x1=3 , x3=3 . Vzhľadom na hodnoty voľných neznámych x2 A x4 , dostaneme konkrétne riešenie nehomogénneho systému(1)a1=(3,2,3,1).

5. Teraz už zostáva len zapísať všeobecné riešenie α nehomogénnej sústavy(1) : rovná sa súčtu súkromné ​​riešenie tento systém a všeobecné riešenie jeho redukovaného homogénneho systému (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

To znamená: (7)

6. Vyšetrenie. Ak chcete skontrolovať, či ste systém vyriešili správne (1) , potrebujeme všeobecné riešenie (7) nahradiť v (1) . Ak sa každá rovnica zmení na identitu ( C1 A C2 musia byť zničené), potom sa riešenie nájde správne.

Nahradíme (7) napríklad len posledná rovnica sústavy (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .

Získame: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Kde –1=–1. Máme identitu. Robíme to so všetkými ostatnými rovnicami systému (1) .

Komentujte. Kontrola je zvyčajne dosť ťažkopádna. Možno odporučiť nasledujúcu „čiastočnú kontrolu“: vo všeobecnom riešení systému (1) priradiť nejaké hodnoty ľubovoľným konštantám a výsledné čiastkové riešenie dosadiť len do vyradených rovníc (t.j. do tých rovníc z (1) , ktoré neboli zahrnuté v (5) ). Ak získate identity, potom skôr, systémové riešenie (1) nájdené správne (takáto kontrola však neposkytuje úplnú záruku správnosti!). Napríklad, ak v (7) dať C2=- 1 , C1=1, potom dostaneme: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Dosadením do poslednej rovnice systému (1) máme: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , t.j. –1=–1. Máme identitu.

Príklad 2 Nájdite všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc (1) , vyjadrujúce základné neznáme z hľadiska voľných.

Riešenie. Ako v príklad 1, skladať matice A a https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> týchto matíc. Teraz ponecháme len tie rovnice systému (1) , ktorých koeficienty sú zahrnuté v tejto základnej moll (t. j. máme prvé dve rovnice) a uvažujeme systém z nich pozostávajúci, ekvivalentný systému (1).

Prenesme voľné neznáme na pravú stranu týchto rovníc.

systém (9) Riešime Gaussovou metódou, pričom pravé strany považujeme za voľné členy.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Možnosť 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Možnosť 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Možnosť 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Možnosť 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Ako je zrejmé z Cramerova veta, pri riešení sústavy lineárnych rovníc môžu nastať tri prípady:

Prvý prípad: sústava lineárnych rovníc má jedinečné riešenie

(systém je konzistentný a jednoznačný)

Druhý prípad: sústava lineárnych rovníc má nekonečný počet riešení

(systém je konzistentný a neistý)

** ,

tie. koeficienty neznámych a voľných členov sú úmerné.

Tretí prípad: sústava lineárnych rovníc nemá riešenia

(systém je nekonzistentný)

Takže systém m lineárne rovnice s n nazývané premenné nekĺbový, ak nemá jediné riešenie, a kĺb, ak má aspoň jedno riešenie. Súčasný systém rovníc, ktorý má len jedno riešenie, sa nazýva istý a viac ako jeden - neistý.

Príklady riešenia sústav lineárnych rovníc Cramerovou metódou

Nech je daný systém

.

Na základe Cramerovej vety

………….
,

Kde
-

systémový determinant. Zvyšné determinanty získame nahradením stĺpca koeficientmi príslušnej premennej (neznáme) voľnými členmi:

Príklad 2

.

Preto je systém definitívny. Aby sme našli riešenie, vypočítame determinanty

Pomocou Cramerových vzorcov nájdeme:

Takže (1; 0; -1) je jediné riešenie systému.

Ak chcete skontrolovať riešenia systémov rovníc 3 X 3 a 4 X 4, môžete použiť online kalkulačku pomocou Cramerovej metódy riešenia.

Ak v systéme lineárnych rovníc nie sú žiadne premenné v jednej alebo viacerých rovniciach, potom v determinante sú zodpovedajúce prvky rovné nule! Toto je ďalší príklad.

Príklad 3 Vyriešte sústavu lineárnych rovníc Cramerovou metódou:

.

Riešenie. Nájdeme determinant systému:

Pozorne sa pozrite na sústavu rovníc a na determinant sústavy a zopakujte odpoveď na otázku, v ktorých prípadoch sa jeden alebo viac prvkov determinantu rovná nule. Takže determinant sa nerovná nule, preto je systém určitý. Aby sme našli riešenie, vypočítame determinanty pre neznáme

Pomocou Cramerových vzorcov nájdeme:

Takže riešenie systému je (2; -1; 1).

6. Všeobecný systém lineárnych algebraických rovníc. Gaussova metóda.

Ako si pamätáme, Cramerovo pravidlo a maticová metóda sú nevhodné v prípadoch, keď má systém nekonečne veľa riešení alebo je nekonzistentný. Gaussova metóda – najvýkonnejší a najuniverzálnejší nástroj na hľadanie riešení akéhokoľvek systému lineárnych rovníc, ktorý v každom prípade nás privedie k odpovedi! Samotný algoritmus metódy funguje vo všetkých troch prípadoch rovnako. Ak Cramerova a maticová metóda vyžadujú znalosť determinantov, potom na aplikáciu Gaussovej metódy potrebujete len znalosť aritmetických operácií, vďaka čomu je dostupná aj pre žiakov základných škôl.

Najprv systematizujeme trochu vedomostí o sústavách lineárnych rovníc. Systém lineárnych rovníc môže:

1) Majte jedinečné riešenie.
2) Mať nekonečne veľa riešení.
3) Nemať žiadne riešenia (buď nekĺbový).

Gaussova metóda je najvýkonnejší a univerzálny nástroj na hľadanie riešenia akýkoľvek sústavy lineárnych rovníc. Ako si pamätáme, Cramerovo pravidlo a maticová metóda sú nevhodné v prípadoch, keď má systém nekonečne veľa riešení alebo je nekonzistentný. A metóda postupnej eliminácie neznámych Každopádne nás privedie k odpovedi! V tejto lekcii sa budeme opäť zaoberať Gaussovou metódou pre prípad č. 1 (jediné riešenie systému), článok je venovaný situáciám bodov č. 2-3. Podotýkam, že samotný algoritmus metódy funguje vo všetkých troch prípadoch rovnako.

Vráťme sa k najjednoduchšiemu systému z lekcie Ako vyriešiť sústavu lineárnych rovníc?
a vyriešiť to pomocou Gaussovej metódy.

Prvým krokom je zapísať rozšírená matica systému:
. Myslím, že každý vidí, akým princípom sa koeficienty píšu. Vertikálna čiara vo vnútri matice nemá žiadny matematický význam - je to jednoducho prečiarknuté pre zjednodušenie návrhu.

Odkaz:Odporúčam zapamätať si podmienky lineárna algebra. Systémová matica je matica zložená len z koeficientov pre neznáme, v tomto príklade matica sústavy: . Rozšírená systémová matica– ide o rovnakú maticu systému plus stĺpec voľných výrazov, v tomto prípade: . Pre stručnosť, ktorúkoľvek z matíc možno jednoducho nazvať maticou.

Po napísaní rozšírenej matice systému je potrebné s ňou vykonať niektoré akcie, ktoré sa tiež nazývajú elementárne transformácie.

Existujú nasledujúce elementárne transformácie:

1) Struny matice možno preusporiadať na niektorých miestach. Napríklad v uvažovanej matici môžete bezbolestne preusporiadať prvý a druhý riadok:

2) Ak v matici existujú (alebo sa objavili) proporcionálne (ako špeciálny prípad - identické) riadky, mali by ste vymazať Všetky tieto riadky sú z matice okrem jedného. Zoberme si napríklad maticu . V tejto matici sú posledné tri riadky proporcionálne, takže stačí nechať len jeden z nich: .

3) Ak sa pri transformáciách objaví v matici nulový riadok, potom by mal byť tiež vymazať. Nebudem kresliť, samozrejme, nulová čiara je čiara, v ktorej všetky nuly.

4) Riadok matice môže byť násobiť (deliť) na ľubovoľné číslo nenulové. Zoberme si napríklad maticu . Tu je vhodné vydeliť prvý riadok –3 a druhý vynásobiť 2: . Táto akcia je veľmi užitočná, pretože zjednodušuje ďalšie transformácie matice.

5) Táto transformácia spôsobuje najväčšie ťažkosti, ale v skutočnosti nie je nič zložité. Do riadku matice môžete pridajte ďalší reťazec vynásobený číslom, odlišný od nuly. Pozrime sa na našu maticu z praktického príkladu: . Najprv veľmi podrobne opíšem premenu. Vynásobte prvý riadok -2: , A k druhému riadku pridáme prvý riadok vynásobený –2: . Teraz je možné prvý riadok rozdeliť „späť“ na –2: . Ako vidíte, riadok, ktorý je PRIDANÝ LI – sa nezmenil. Vždy riadok, KTORÝ JE PRIDANÝ, sa mení UT.

V praxi to, samozrejme, nepíšu tak podrobne, ale píšu to stručne:

Ešte raz: do druhého riadku pridal prvý riadok vynásobený –2. Čiara sa zvyčajne násobí ústne alebo na koncepte, pričom proces mentálneho výpočtu prebieha asi takto:

„Prepíšem maticu a prepíšem prvý riadok: »

„Prvý stĺpec. V spodnej časti potrebujem dostať nulu. Preto to, čo je hore, vynásobím –2: , a prvé pripočítam k druhému riadku: 2 + (–2) = 0. Do druhého riadku zapíšem výsledok: »

„Teraz druhý stĺpec. V hornej časti vynásobím -1 -2: . Prvý pridám do druhého riadku: 1 + 2 = 3. Do druhého riadku zapíšem výsledok: »

"A tretí stĺpec." V hornej časti vynásobím -5 -2: . Prvý pridám do druhého riadku: –7 + 10 = 3. Do druhého riadku zapíšem výsledok: »

Pozorne pochopte tento príklad a pochopte algoritmus sekvenčného výpočtu, ak tomu rozumiete, potom máte Gaussovu metódu prakticky vo vrecku. Ale, samozrejme, na tejto premene ešte popracujeme.

Elementárne transformácie nemenia riešenie sústavy rovníc

! POZOR: považované za manipulácie nemožno použiť, ak vám bude ponúknutá úloha, kde sa matice dávajú „samo od seba“. Napríklad pri „klasickom“ operácie s maticami Za žiadnych okolností by ste nemali nič prestavovať vo vnútri matríc!

Vráťme sa k nášmu systému. Je prakticky rozobraný na kusy.

Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju zredukujme na stupňovitý pohľad:

(1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –2. A opäť: prečo násobíme prvý riadok –2? Aby sa naspodku dostala nula, čo znamená zbaviť sa jednej premennej v druhom riadku.

(2) Vydeľte druhý riadok 3.

Účel elementárnych transformácií – zredukovať maticu na postupný tvar: . Pri návrhu úlohy jednoducho vyznačia „schody“ jednoduchou ceruzkou a tiež zakrúžkujú čísla, ktoré sa nachádzajú na „schodoch“. Samotný pojem „odstupňovaný pohľad“ nie je úplne teoretický, vo vedeckej a náučnej literatúre sa často nazýva lichobežníkový pohľad alebo trojuholníkový pohľad.

V dôsledku elementárnych transformácií sme získali ekvivalent pôvodný systém rovníc:

Teraz je potrebné systém „rozvinúť“ v opačnom smere - tento proces sa nazýva zdola nahor inverzná ku Gaussovej metóde.

V spodnej rovnici už máme hotový výsledok: .

Zoberme si prvú rovnicu systému a dosaďte do nej už známu hodnotu „y“:

Zoberme si najbežnejšiu situáciu, keď Gaussova metóda vyžaduje riešenie sústavy troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi.

Príklad 1

Riešte sústavu rovníc pomocou Gaussovej metódy:

Napíšme rozšírenú maticu systému:

Teraz okamžite nakreslím výsledok, ku ktorému dôjdeme počas riešenia:

A opakujem, naším cieľom je dostať maticu do stupňovitej formy pomocou elementárnych transformácií. Kde začať?

Najprv sa pozrite na ľavé horné číslo:

Mal by tu byť takmer vždy jednotka. Vo všeobecnosti postačí –1 (a niekedy aj iné čísla), ale akosi sa už tradične stáva, že sa tam zvyčajne umiestňuje jedna. Ako organizovať jednotku? Pozeráme sa na prvý stĺpec – máme hotovú jednotku! Transformácia jedna: vymeňte prvý a tretí riadok:

Teraz zostane prvý riadok nezmenený až do konca riešenia. Teraz dobre.

Jednotka v ľavom hornom rohu je usporiadaná. Teraz musíte získať nuly na týchto miestach:

Nuly dostaneme pomocou „ťažkej“ transformácie. Najprv sa zaoberáme druhým riadkom (2, –1, 3, 13). Čo je potrebné urobiť, aby ste na prvej pozícii dostali nulu? Potrebovať k druhému riadku pridajte prvý riadok vynásobený –2. V duchu alebo na koncepte vynásobte prvý riadok –2: (–2, –4, 2, –18). A dôsledne vykonávame (opäť mentálne alebo na návrh) pridávanie, k druhému riadku pridáme prvý riadok, už vynásobený –2:

Výsledok zapíšeme do druhého riadku:

S tretím riadkom zaobchádzame rovnakým spôsobom (3, 2, –5, –1). Ak chcete získať nulu na prvej pozícii, potrebujete k tretiemu riadku pridajte prvý riadok vynásobený –3. V duchu alebo na koncepte vynásobte prvý riadok –3: (–3, –6, 3, –27). A do tretieho riadku pridáme prvý riadok vynásobený –3:

Výsledok zapíšeme do tretieho riadku:

V praxi sa tieto úkony zvyčajne vykonávajú ústne a zapisujú sa v jednom kroku:

Netreba počítať všetko naraz a v rovnakom čase. Poradie výpočtov a „zapisovanie“ výsledkov konzistentné a väčšinou je to takto: najprv prepíšeme prvý riadok a pomaly na seba naťahujeme - DÔSLEDNE a POZORNE:


A o mentálnom procese samotných výpočtov som už hovoril vyššie.

V tomto príklade je to jednoduché, druhý riadok vydelíme –5 (keďže všetky čísla sú bezo zvyšku deliteľné 5). Tretí riadok zároveň vydelíme –2, pretože čím menšie čísla, tým jednoduchšie riešenie:

V záverečnej fáze elementárnych transformácií tu musíte získať ďalšiu nulu:

Pre to k tretiemu riadku pridáme druhý riadok vynásobený –2:


Pokúste sa prísť na túto akciu sami - v duchu vynásobte druhý riadok -2 a vykonajte sčítanie.

Poslednou vykonanou akciou je účes výsledku, vydeľte tretí riadok 3.

V dôsledku elementárnych transformácií sa získal ekvivalentný systém lineárnych rovníc:

V pohode.

Teraz prichádza na rad opak Gaussovej metódy. Rovnice sa „odvíjajú“ zdola nahor.

V tretej rovnici už máme hotový výsledok:

Pozrime sa na druhú rovnicu: . Význam „zet“ je už známy, teda:

A na záver prvá rovnica: . „Igrek“ a „zet“ sú známe, ide len o maličkosti:

Odpoveď:

Ako už bolo niekoľkokrát spomenuté, pre každý systém rovníc je možné a potrebné skontrolovať nájdené riešenie, našťastie je to jednoduché a rýchle.

Príklad 2

Toto je príklad samostatného riešenia, ukážka finálneho návrhu a odpoveď na konci hodiny.

Treba poznamenať, že váš priebeh rozhodnutia sa nemusí zhodovať s mojím rozhodovacím procesom, a to je vlastnosť Gaussovej metódy. Ale odpovede musia byť rovnaké!

Príklad 3

Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru:

Pozeráme sa na ľavý horný „krok“. Mali by sme tam jeden mať. Problém je, že v prvom stĺpci nie sú vôbec žiadne jednotky, takže preskupenie riadkov nič nevyrieši. V takýchto prípadoch musí byť jednotka organizovaná pomocou elementárnej transformácie. Zvyčajne sa to dá urobiť niekoľkými spôsobmi. Urobil som toto:
(1) K prvému riadku pridáme druhý riadok, vynásobený –1. To znamená, že druhý riadok sme v duchu vynásobili –1 a pridali prvý a druhý riadok, pričom druhý riadok sa nezmenil.

Teraz vľavo hore je „mínus jedna“, čo nám celkom vyhovuje. Každý, kto chce získať +1, môže vykonať ďalší pohyb: vynásobiť prvý riadok –1 (zmeniť jeho znamienko).

(2) Prvý riadok vynásobený 5 bol pridaný k druhému riadku.Prvý riadok vynásobený 3 bol pridaný k tretiemu riadku.

(3) Prvý riadok bol vynásobený –1, v zásade je to pre krásu. Zmenilo sa aj znamienko tretieho riadku a posunulo sa na druhé miesto, aby sme na druhom „kroku“ mali požadovanú jednotku.

(4) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený 2.

(5) Tretí riadok bol delený 3.

Zlé znamenie, ktoré označuje chybu vo výpočtoch (zriedkavejšie preklep), je „zlý“ spodný riadok. To znamená, že ak dostaneme niečo ako , nižšie a podľa toho , potom s vysokou mierou pravdepodobnosti môžeme povedať, že pri elementárnych transformáciách došlo k chybe.

Účtujeme naopak, pri návrhu príkladov často neprepisujú samotný systém, ale rovnice sú „priamo prevzaté z danej matice“. Spätný ťah, pripomínam, funguje zdola nahor. Áno, tu je darček:

Odpoveď: .

Príklad 4

Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami, je to o niečo zložitejšie. Nevadí, ak je niekto zmätený. Úplné riešenie a vzorový návrh na konci lekcie. Vaše riešenie sa môže líšiť od môjho riešenia.

V poslednej časti sa pozrieme na niektoré funkcie Gaussovho algoritmu.
Prvou vlastnosťou je, že v systémových rovniciach niekedy chýbajú niektoré premenné, napríklad:

Ako správne napísať maticu rozšíreného systému? O tomto bode som už hovoril v triede. Cramerovo pravidlo. Maticová metóda. V rozšírenej matici systému umiestnime nuly na miesto chýbajúcich premenných:

Mimochodom, toto je pomerne jednoduchý príklad, pretože prvý stĺpec už má jednu nulu a je potrebné vykonať menej základných transformácií.

Druhá vlastnosť je toto. Vo všetkých uvažovaných príkladoch sme na „kroky“ umiestnili buď –1 alebo +1. Môžu tam byť aj iné čísla? V niektorých prípadoch môžu. Zvážte systém: .

Tu v ľavom hornom „kroku“ máme dvojku. Ale všimneme si fakt, že všetky čísla v prvom stĺpci sú bezo zvyšku deliteľné 2 – a to druhé je dva a šesť. A tie dve vľavo hore nám pristanú! V prvom kroku musíte vykonať nasledujúce transformácie: pridajte prvý riadok vynásobený –1 k druhému riadku; k tretiemu riadku pridajte prvý riadok vynásobený –3. Takto dostaneme požadované nuly v prvom stĺpci.

Alebo iný konvenčný príklad: . Tu nám vyhovuje aj trojka na druhom „kroku“, keďže 12 (miesto, kde potrebujeme dostať nulu) je bezo zvyšku deliteľné 3. Je potrebné vykonať nasledujúcu transformáciu: pridajte druhý riadok k tretiemu riadku, vynásobte -4, v dôsledku čoho sa získa nula, ktorú potrebujeme.

Gaussova metóda je univerzálna, no má jednu zvláštnosť. Môžete sa s istotou naučiť riešiť systémy pomocou iných metód (Cramerova metóda, maticová metóda) doslova prvýkrát - majú veľmi prísny algoritmus. Ale aby ste sa cítili istí v Gaussovej metóde, musíte sa v nej dobre zorientovať a vyriešiť aspoň 5-10 systémov. Preto môže na začiatku dôjsť k zmätku a chybám vo výpočtoch a na tom nie je nič neobvyklé alebo tragické.

Daždivé jesenné počasie za oknom.... Preto pre každého, kto chce zložitejší príklad, ktorý si vyrieši sám:

Príklad 5

Riešte sústavu štyroch lineárnych rovníc so štyrmi neznámymi pomocou Gaussovej metódy.

Takáto úloha nie je v praxi taká zriedkavá. Myslím, že aj čajník, ktorý si túto stránku dôkladne preštudoval, pochopí algoritmus na riešenie takéhoto systému intuitívne. V zásade je všetko rovnaké - existuje viac akcií.

Prípady, keď systém nemá žiadne riešenia (nekonzistentné) alebo má nekonečne veľa riešení, sú diskutované v lekcii Nekompatibilné systémy a systémy so spoločným riešením. Tam môžete opraviť uvažovaný algoritmus Gaussovej metódy.

Prajem ti úspech!

Riešenia a odpovede:

Príklad 2: Riešenie: Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru.


Vykonané elementárne transformácie:
(1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –2. Prvý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený –1. Pozor! Tu môžete byť v pokušení odčítať prvý od tretieho riadku, dôrazne odporúčam neodčítať ho - riziko chyby sa výrazne zvyšuje. Stačí ho zložiť!
(2) Znamienko druhého riadku bolo zmenené (vynásobené –1). Druhý a tretí riadok boli vymenené. Poznámka, že na „stupňoch“ sa uspokojíme nielen s jednotkou, ale aj s –1, čo je ešte výhodnejšie.
(3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený 5.
(4) Znamienko druhého riadku bolo zmenené (vynásobené –1). Tretí riadok bol rozdelený 14.

Obrátené:

Odpoveď: .

Príklad 4: Riešenie: Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru:

Vykonané konverzie:
(1) K prvému riadku bol pridaný druhý riadok. Požadovaná jednotka je teda usporiadaná v ľavom hornom „kroku“.
(2) Prvý riadok vynásobený 7 bol pridaný k druhému riadku.Prvý riadok vynásobený 6 bol pridaný k tretiemu riadku.

S druhým „krokom“ sa všetko zhoršuje, „kandidátmi“ na ňu sú čísla 17 a 23 a potrebujeme buď jednotku alebo –1. Transformácie (3) a (4) budú zamerané na získanie požadovanej jednotky

(3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený –1.
(4) Tretí riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –3.
Požadovaná položka v druhom kroku bola prijatá. .
(5) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený 6.

V rámci vyučovacích hodín Gaussova metóda A Nekompatibilné systémy/systémy so spoločným riešením zvažovali sme nehomogénne sústavy lineárnych rovníc, Kde voľný člen(ktorý je zvyčajne vpravo) aspoň jeden z rovníc bola iná ako nula.
A teraz, po dobrej rozcvičke s maticová hodnosť, budeme pokračovať v leštení techniky elementárne transformácie na homogénna sústava lineárnych rovníc.
Na základe prvých odstavcov môže materiál pôsobiť nudne a priemerne, no tento dojem klame. Okrem ďalšieho vývoja techník pribudne aj množstvo nových informácií, preto sa prosím snažte nezanedbávať príklady v tomto článku.

Systémy rovníc sú široko používané v ekonomickom sektore na matematické modelovanie rôznych procesov. Napríklad pri riešení problémov riadenia a plánovania výroby, logistických trás (problém dopravy) alebo umiestnenia zariadení.

Sústavy rovníc sa využívajú nielen v matematike, ale aj vo fyzike, chémii a biológii pri riešení úloh zisťovania veľkosti populácie.

Systém lineárnych rovníc sú dve alebo viac rovníc s viacerými premennými, pre ktoré je potrebné nájsť spoločné riešenie. Taká postupnosť čísel, pre ktorú sa všetky rovnice stávajú skutočnými rovnosťami alebo dokazujú, že postupnosť neexistuje.

Lineárna rovnica

Rovnice v tvare ax+by=c sa nazývajú lineárne. Označenia x, y sú neznáme, ktorých hodnotu treba nájsť, b, a sú koeficienty premenných, c je voľný člen rovnice.
Riešenie rovnice jej vykreslením bude vyzerať ako priamka, ktorej všetky body sú riešeniami polynómu.

Typy sústav lineárnych rovníc

Za najjednoduchšie príklady sa považujú sústavy lineárnych rovníc s dvoma premennými X a Y.

F1(x, y) = 0 a F2(x, y) = 0, kde F1,2 sú funkcie a (x, y) sú funkčné premenné.

Riešiť sústavu rovníc - to znamená nájsť hodnoty (x, y), pri ktorých sa systém zmení na skutočnú rovnosť, alebo určiť, že vhodné hodnoty x a y neexistujú.

Dvojica hodnôt (x, y), zapísaná ako súradnice bodu, sa nazýva riešenie systému lineárnych rovníc.

Ak systémy majú jedno spoločné riešenie alebo žiadne riešenie neexistuje, nazývajú sa ekvivalentné.

Homogénne sústavy lineárnych rovníc sú sústavy, ktorých pravá strana sa rovná nule. Ak má pravá časť za znakom rovnosti hodnotu alebo je vyjadrená funkciou, takýto systém je heterogénny.

Počet premenných môže byť oveľa viac ako dve, potom by sme mali hovoriť o príklade systému lineárnych rovníc s tromi alebo viacerými premennými.

Keď sú školáci konfrontovaní so systémami, predpokladajú, že počet rovníc sa musí nevyhnutne zhodovať s počtom neznámych, ale nie je to tak. Počet rovníc v systéme nezávisí od premenných, môže ich byť ľubovoľne veľa.

Jednoduché a zložité metódy riešenia sústav rovníc

Na riešenie takýchto systémov neexistuje všeobecná analytická metóda, všetky metódy sú založené na numerických riešeniach. V kurze školskej matematiky sú podrobne opísané metódy ako permutácia, algebraické sčítanie, substitúcia, ako aj grafické a maticové metódy, riešenie Gaussovou metódou.

Hlavnou úlohou pri výučbe metód riešenia je naučiť sa správne analyzovať systém a nájsť optimálny algoritmus riešenia pre každý príklad. Hlavnou vecou nie je zapamätať si systém pravidiel a akcií pre každú metódu, ale pochopiť princípy používania konkrétnej metódy

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc v učive 7. ročníka všeobecnovzdelávacích predmetov je pomerne jednoduché a veľmi podrobne vysvetlené. V každej učebnici matematiky sa tejto časti venuje dostatočná pozornosť. Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc pomocou Gaussovej a Cramerovej metódy sa podrobnejšie študuje v prvých ročníkoch vysokoškolského štúdia.

Riešenie systémov substitučnou metódou

Akcie substitučnej metódy sú zamerané na vyjadrenie hodnoty jednej premennej z hľadiska druhej. Výraz sa dosadí do zostávajúcej rovnice, potom sa zredukuje do tvaru s jednou premennou. Akcia sa opakuje v závislosti od počtu neznámych v systéme

Uveďme riešenie príkladu sústavy lineárnych rovníc triedy 7 pomocou substitučnej metódy:

Ako je zrejmé z príkladu, premenná x bola vyjadrená pomocou F(X) = 7 + Y. Výsledný výraz, dosadený do 2. rovnice systému na miesto X, pomohol získať jednu premennú Y v 2. rovnici . Riešenie tohto príkladu je jednoduché a umožňuje získať hodnotu Y. Posledným krokom je kontrola získaných hodnôt.

Nie vždy je možné vyriešiť príklad sústavy lineárnych rovníc substitúciou. Rovnice môžu byť zložité a vyjadrenie premennej pomocou druhej neznámej bude príliš ťažkopádne na ďalšie výpočty. Keď je v systéme viac ako 3 neznámych, riešenie substitúciou je tiež nevhodné.

Riešenie príkladu sústavy lineárnych nehomogénnych rovníc:

Riešenie pomocou algebraického sčítania

Pri hľadaní riešení systémov metódou sčítania sa rovnice sčítavajú po členoch a násobia sa rôznymi číslami. Konečným cieľom matematických operácií je rovnica v jednej premennej.

Aplikácia tejto metódy si vyžaduje prax a pozorovanie. Riešenie sústavy lineárnych rovníc metódou sčítania pri 3 a viacerých premenných nie je jednoduché. Algebraické sčítanie je vhodné použiť, keď rovnice obsahujú zlomky a desatinné miesta.

Algoritmus riešenia:

1. Vynásobte obe strany rovnice určitým číslom. V dôsledku aritmetickej operácie by sa jeden z koeficientov premennej mal rovnať 1.
2. Pridajte výsledný výraz výraz po výraze a nájdite jednu z neznámych.
3. Dosaďte výslednú hodnotu do 2. rovnice systému, aby ste našli zostávajúcu premennú.

Spôsob riešenia zavedením novej premennej

Novú premennú je možné zaviesť, ak systém vyžaduje nájsť riešenie nie viac ako dvoch rovníc; počet neznámych by tiež nemal byť väčší ako dve.

Metóda sa používa na zjednodušenie jednej z rovníc zavedením novej premennej. Nová rovnica sa rieši pre zavedenú neznámu a výsledná hodnota sa použije na určenie pôvodnej premennej.

Príklad ukazuje, že zavedením novej premennej t bolo možné zredukovať 1. rovnicu sústavy na štandardný kvadratický trinom. Polynóm môžete vyriešiť nájdením diskriminantu.

Hodnotu diskriminantu je potrebné nájsť pomocou známeho vzorca: D = b2 - 4*a*c, kde D je požadovaný diskriminant, b, a, c sú faktory polynómu. V uvedenom príklade a=1, b=16, c=39, teda D=100. Ak je diskriminant väčší ako nula, potom existujú dve riešenia: t = -b±√D / 2*a, ak je diskriminant menší ako nula, potom existuje jedno riešenie: x = -b / 2*a.

Riešenie pre výsledné systémy sa nachádza adičnou metódou.

Vizuálna metóda riešenia systémov

Vhodné pre 3 rovnicové sústavy. Metóda spočíva v zostrojení grafov každej rovnice zahrnutej v systéme na súradnicovej osi. Súradnice priesečníkov kriviek budú všeobecným riešením systému.

Grafická metóda má množstvo nuancií. Pozrime sa na niekoľko príkladov riešenia sústav lineárnych rovníc názorným spôsobom.

Ako je vidieť z príkladu, pre každú čiaru boli skonštruované dva body, hodnoty premennej x boli zvolené ľubovoľne: 0 a 3. Na základe hodnôt x boli nájdené hodnoty pre y: 3 a 0. Na grafe boli vyznačené body so súradnicami (0, 3) a (3, 0) a spojené čiarou.

Kroky sa musia opakovať pre druhú rovnicu. Priesečník čiar je riešením sústavy.

Nasledujúci príklad vyžaduje nájdenie grafického riešenia sústavy lineárnych rovníc: 0,5x-y+2=0 a 0,5x-y-1=0.

Ako vidno z príkladu, systém nemá riešenie, pretože grafy sú rovnobežné a nepretínajú sa po celej dĺžke.

Systémy z príkladov 2 a 3 sú podobné, ale keď sa skonštruujú, je zrejmé, že ich riešenia sú odlišné. Malo by sa pamätať na to, že nie vždy je možné povedať, či systém má riešenie alebo nie, vždy je potrebné zostaviť graf.

Matrica a jej odrody

Matice sa používajú na výstižný zápis sústavy lineárnych rovníc. Matica je špeciálny typ tabuľky naplnenej číslami. n*m má n - riadkov a m - stĺpcov.

Matica je štvorcová, keď je počet stĺpcov a riadkov rovnaký. Maticový vektor je matica jedného stĺpca s nekonečne možným počtom riadkov. Matica s jednotkami pozdĺž jednej z uhlopriečok a inými nulovými prvkami sa nazýva identita.

Inverzná matica je matica po vynásobení, ktorou sa pôvodná zmení na jednotkovú maticu; takáto matica existuje len pre pôvodnú štvorcovú.

Pravidlá pre prevod sústavy rovníc na maticu

Vo vzťahu k sústavám rovníc sa koeficienty a voľné členy rovníc zapisujú ako maticové čísla, jedna rovnica je jeden riadok matice.

Riadok matice sa považuje za nenulový, ak aspoň jeden prvok v riadku nie je nula. Ak sa teda v niektorej z rovníc počet premenných líši, potom je potrebné namiesto chýbajúcej neznámej zadať nulu.

Stĺpce matice musia presne zodpovedať premenným. To znamená, že koeficienty premennej x možno zapísať len do jedného stĺpca, napríklad do prvého, koeficient neznámej y - len do druhého.

Pri násobení matice sa všetky prvky matice postupne násobia číslom.

Možnosti hľadania inverznej matice

Vzorec na nájdenie inverznej matice je celkom jednoduchý: K -1 = 1 / |K|, kde K -1 je inverzná matica a |K| je determinantom matice. |K| sa nesmie rovnať nule, potom má systém riešenie.

Determinant sa ľahko vypočíta pre maticu dva krát dva, stačí vynásobiť diagonálne prvky navzájom. Pre možnosť „tri po troch“ existuje vzorec |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Môžete použiť vzorec alebo si môžete zapamätať, že z každého riadku a každého stĺpca musíte vziať jeden prvok, aby sa počty stĺpcov a riadkov prvkov v práci neopakovali.

Riešenie príkladov sústav lineárnych rovníc maticovou metódou

Maticová metóda hľadania riešenia umožňuje zredukovať ťažkopádne zadania pri riešení systémov s veľkým počtom premenných a rovníc.

V príklade sú a nm koeficienty rovníc, matica je vektor, x n sú premenné a b n sú voľné členy.

Riešenie systémov Gaussovou metódou

Vo vyššej matematike sa študuje Gaussova metóda spolu s Cramerovou metódou a proces hľadania riešení systémov sa nazýva Gauss-Cramerova metóda riešenia. Tieto metódy sa používajú na hľadanie premenných systémov s veľkým počtom lineárnych rovníc.

Gaussova metóda je veľmi podobná riešeniam substitúciou a algebraickým sčítaním, ale je systematickejšia. V školskom kurze sa pri sústavách 3 a 4 rovníc používa riešenie Gaussovou metódou. Účelom metódy je zredukovať systém do podoby obráteného lichobežníka. Pomocou algebraických transformácií a substitúcií sa hodnota jednej premennej nachádza v jednej z rovníc systému. Druhá rovnica je výraz s 2 neznámymi, zatiaľ čo 3 a 4 sú s 3 a 4 premennými.

Po uvedení systému do opísanej formy sa ďalšie riešenie redukuje na postupné dosadzovanie známych premenných do rovníc systému.

V školských učebniciach pre 7. ročník je príklad riešenia Gaussovou metódou opísaný takto:

Ako je možné vidieť z príkladu, v kroku (3) sa získali dve rovnice: 3x3-2x4=11 a 3x3+2x4=7. Vyriešenie ktorejkoľvek z rovníc vám umožní zistiť jednu z premenných x n.

Veta 5, ktorá sa v texte spomína, hovorí, že ak sa jedna z rovníc sústavy nahradí ekvivalentnou, tak aj výsledná sústava bude ekvivalentná tej pôvodnej.

Gaussova metóda je pre stredoškolákov ťažko pochopiteľná, no je to jeden z najzaujímavejších spôsobov, ako rozvíjať vynaliezavosť detí zapísaných do pokročilých vzdelávacích programov na hodinách matematiky a fyziky.

Na uľahčenie zaznamenávania sa výpočty zvyčajne vykonávajú takto:

Koeficienty rovníc a voľné členy sú zapísané vo forme matice, kde každý riadok matice zodpovedá jednej z rovníc sústavy. oddeľuje ľavú stranu rovnice od pravej. Rímske číslice označujú počet rovníc v systéme.

Najprv si zapíšte maticu, s ktorou sa má pracovať, a potom všetky akcie vykonané s jedným z riadkov. Výsledná matica je napísaná za znakom „šípky“ a potrebné algebraické operácie pokračujú, kým sa nedosiahne výsledok.

Výsledkom by mala byť matica, v ktorej sa jedna z uhlopriečok rovná 1 a všetky ostatné koeficienty sa rovnajú nule, to znamená, že matica je zredukovaná na jednotkový tvar. Nesmieme zabudnúť vykonať výpočty s číslami na oboch stranách rovnice.

Tento spôsob nahrávania je menej ťažkopádny a umožňuje vám nenechať sa rozptyľovať zoznamom mnohých neznámych.

Bezplatné použitie akejkoľvek metódy riešenia si bude vyžadovať starostlivosť a určité skúsenosti. Nie všetky metódy majú aplikovaný charakter. Niektoré metódy hľadania riešení sú vhodnejšie v konkrétnej oblasti ľudskej činnosti, zatiaľ čo iné existujú na vzdelávacie účely.

Sústava m lineárnych rovníc s n neznámymi nazývaný systém formulára

Kde a ij A b i (i=1,…,m; b=1,…,n) sú niektoré známe čísla a x 1,…,x n– neznámy. V označení koeficientov a ij prvý index i označuje číslo rovnice a druhé j– číslo neznámej, pri ktorej tento koeficient stojí.

Koeficienty pre neznáme budeme zapisovať vo forme matice , ktorú zavoláme matice systému.

Čísla na pravej strane rovníc sú b1,...,b m sa volajú voľných členov.

Totalita nčísla c 1,…,c n volal rozhodnutie danej sústavy, ak sa každá rovnica sústavy po dosadení čísel do nej stane rovnosťou c 1,…,c n namiesto zodpovedajúcich neznámych x 1,…,x n.

Našou úlohou bude nájsť riešenia systému. V tomto prípade môžu nastať tri situácie:

Systém lineárnych rovníc, ktorý má aspoň jedno riešenie, sa nazýva kĺb. V opačnom prípade, t.j. ak systém nemá riešenia, tak sa volá nekĺbový.

Pozrime sa na spôsoby, ako nájsť riešenia systému.

MATICOVÁ METÓDA NA RIEŠENIE SYSTÉMOV LINEÁRNYCH ROVNIC

Matice umožňujú stručne zapísať sústavu lineárnych rovníc. Nech je daný systém 3 rovníc s tromi neznámymi:

Zvážte maticu systému a matice stĺpce neznámych a voľných výrazov

Poďme nájsť prácu

tie. ako výsledok súčinu získame ľavé strany rovníc tohto systému. Potom pomocou definície maticovej rovnosti možno tento systém zapísať do tvaru

alebo kratšie A∙X = B.

Tu sú matrice A A B sú známe a matice X neznámy. Je potrebné ho nájsť, pretože... jeho prvky sú riešením tohto systému. Táto rovnica sa nazýva maticová rovnica.

Nech je determinant matice odlišný od nuly | A| ≠ 0. Potom sa maticová rovnica vyrieši nasledovne. Vynásobte obe strany rovnice vľavo maticou A-1, inverzná k matici A: . Pretože A-1 A = E A E∙X = X, potom získame riešenie maticovej rovnice v tvare X = A-1 B .

Všimnite si, že keďže inverznú maticu možno nájsť len pre štvorcové matice, maticová metóda môže riešiť len tie systémy, v ktorých počet rovníc sa zhoduje s počtom neznámych. Maticový záznam systému je však možný aj v prípade, keď sa počet rovníc nerovná počtu neznámych, potom matica A nebude hranatý a preto nie je možné nájsť riešenie systému vo forme X = A-1 B.

Príklady. Riešiť sústavy rovníc.

CRAMEROVO PRAVIDLO

Uvažujme systém 3 lineárnych rovníc s tromi neznámymi:

Determinant tretieho rádu zodpovedajúci matici systému, t.j. zložené z koeficientov pre neznáme,

volal determinant systému.

Zostavme ďalšie tri determinanty takto: nahraďte postupne 1, 2 a 3 stĺpce v determinante D stĺpcom voľných členov

Potom môžeme dokázať nasledujúci výsledok.

Veta (Cramerovo pravidlo). Ak je determinant sústavy Δ ≠ 0, potom uvažovaná sústava má len jedno riešenie a

Dôkaz. Uvažujme teda systém 3 rovníc s tromi neznámymi. Vynásobme 1. rovnicu sústavy algebraickým doplnkom A 11 element 11, 2. rovnica – zap A 21 a 3. – dňa A 31:

Pridajme tieto rovnice:

Pozrime sa na každú zo zátvoriek a pravú stranu tejto rovnice. Podľa vety o expanzii determinantu v prvkoch 1. stĺpca

Podobne možno ukázať, že a .

Nakoniec je ľahké si to všimnúť

Získame teda rovnosť: .

Preto, .

Rovnosti a sú odvodené podobne, z čoho vyplýva výrok vety.

Poznamenávame teda, že ak je determinant systému Δ ≠ 0, potom má systém jedinečné riešenie a naopak. Ak je determinant sústavy rovný nule, tak sústava má buď nekonečný počet riešení, alebo nemá riešenia, t.j. nezlučiteľné.

Príklady. Riešiť sústavu rovníc

GAUSSOVÁ METÓDA

Vyššie diskutované metódy možno použiť na riešenie iba tých systémov, v ktorých sa počet rovníc zhoduje s počtom neznámych a determinant systému musí byť odlišný od nuly. Gaussova metóda je univerzálnejšia a vhodná pre systémy s ľubovoľným počtom rovníc. Spočíva v dôslednom odstraňovaní neznámych z rovníc sústavy.

Zvážte znova systém troch rovníc s tromi neznámymi:

.

Prvú rovnicu necháme nezmenenú a z 2. a 3. vylúčime členy obsahujúce x 1. Ak to chcete urobiť, vydeľte druhú rovnicu o A 21 a vynásobte - A 11 a potom ho pridajte do 1. rovnice. Podobne delíme tretiu rovnicu o A 31 a vynásobte - A 11 a potom ho pridajte k prvému. V dôsledku toho bude mať pôvodný systém podobu:

Teraz z poslednej rovnice vylúčime člen obsahujúci x 2. Ak to chcete urobiť, vydeľte tretiu rovnicu, vynásobte a pridajte s druhou. Potom budeme mať systém rovníc:

Odtiaľto z poslednej rovnice je ľahké nájsť x 3, potom z 2. rovnice x 2 a nakoniec od 1. x 1.

Pri použití Gaussovej metódy je možné rovnice v prípade potreby prehodiť.

Často sa namiesto písania nového systému rovníc obmedzujú na písanie rozšírenej matice systému:

a potom ho pomocou elementárnych transformácií priviesť do trojuholníkového alebo diagonálneho tvaru.

TO elementárne transformácie matice zahŕňajú nasledujúce transformácie:

1. preusporiadanie riadkov alebo stĺpcov;
2. násobenie reťazca číslom iným ako nula;
3. pridanie ďalších riadkov do jedného riadku.

Príklady: Riešiť sústavy rovníc pomocou Gaussovej metódy.

Systém má teda nekonečné množstvo riešení.