Dihedrálny uhol, kolmý na rovinu. Dihedrálny uhol

KAPITOLA 1 ČIARY A ROVINY

V. DIHEDRÁLNE UHLY, PRAVÝ UHOL S ROVINOU,
UHOL DVOCH KRÍŽOV PRAVÁ, LYHEDRÁLNE UHLY

dihedrálne uhly

38. Definície.Časť roviny ležiaca na jednej strane priamky ležiacej v tejto rovine sa nazýva polorovina. Obrazec tvorený dvoma polrovinami (P a Q, obr. 26) vychádzajúcimi z jednej priamky (AB) sa nazýva tzv. dihedrálny uhol. Priamka AB sa nazýva hrana a polroviny P a Q - strany alebo tváre dihedrálny uhol.

Takýto uhol sa zvyčajne označuje dvoma písmenami umiestnenými na jeho okraji (dihedrálny uhol AB). Ak však na jednom okraji nie sú žiadne uhly, potom je každý z nich označený štyrmi písmenami, z ktorých dve stredné sú na okraji a dve extrémne sú na stenách (napríklad uhol vodorovnej hrany SCDR) (obr. 27).

Ak sú z ľubovoľného bodu D na každej ploche pozdĺž kolmice na hranu nakreslené hrany AB (obr. 28), potom uhol CDE, ktorý tvoria, sa nazýva lineárny uhol dihedrálny uhol.

Hodnota lineárneho uhla nezávisí od polohy jeho vrcholu na hrane. Lineárne uhly CDE a C1D1E1 sú teda rovnaké, pretože ich strany sú rovnobežné a rovnako smerované.

Rovina lineárneho uhla je kolmá na hranu, pretože obsahuje dve na ňu kolmé priamky. Preto, aby sme získali lineárny uhol, stačí preťať plochy daného dihedrálneho uhla s rovinou kolmou na hranu a zvážiť uhol získaný v tejto rovine.

39. Rovnosť a nerovnosť dihedrálnych uhlov. Dva dihedrálne uhly sa považujú za rovnaké, ak ich možno pri vnorení kombinovať; v opačnom prípade sa jeden z uhlov klinu považuje za menší, ktorý bude tvoriť časť druhého uhla.

Podobne ako uhly v planimetrii môžu byť aj dihedrálne uhly priľahlé, vertikálne atď.

Ak sú dva susedné dihedrálne uhly navzájom rovnaké, potom sa nazýva každý z nich pravý dihedrálny uhol.

Vety. 1) Rovnaké dihedrálne uhly zodpovedajú rovnakým lineárnym uhlom.

2) Väčší dihedrálny uhol zodpovedá väčšiemu lineárnemu uhlu.

Nech PABQ a P 1 A 1 B 1 Q 1 (obr. 29) sú dva dihedrálne uhly. Uhol A 1 B 1 vložte do uhla AB tak, aby sa hrana A 1 B 1 zhodovala s hranou AB a plocha P 1 s plochou P.

Potom, ak sú tieto dihedrálne uhly rovnaké, potom sa plocha Q 1 zhoduje s plochou Q; ak je uhol AiBi menší ako uhol AB, potom čelná plocha Qi zaujme určitú polohu vo vnútri uhla klinu, napríklad Q2.

Keď si to všimneme, vezmeme nejaký bod B na spoločnú hranu a nakreslíme cez ňu rovinu R, kolmú na hranu. Z priesečníka tejto roviny s plochami dihedrálnych uhlov sa získajú lineárne uhly. Je jasné, že ak sa dihedrálne uhly zhodujú, potom budú mať rovnaký lineárny uhol CBD; ak sa uhly klinu nezhodujú, ak napríklad plocha Q 1 zaujme polohu Q 2, potom väčší uhol klinu bude mať väčší lineárny uhol (konkrétne: / CBD > / C2BD).

40. Inverzné vety. 1) Rovnaké lineárne uhly zodpovedajú rovnakým dihedrálnym uhlom.

2) Väčší lineárny uhol zodpovedá väčšiemu dihedrickému uhlu .

Tieto vety sa dajú ľahko dokázať protirečením.

41. Dôsledky. 1) Pravý dihedrálny uhol zodpovedá pravému lineárnemu uhlu a naopak.

Nech (obr. 30) je uhol klinu PABQ pravý. To znamená, že sa rovná susednému uhlu QABP1. Ale v tomto prípade sú lineárne uhly CDE a CDE 1 tiež rovnaké; a keďže susedia, každý z nich musí byť rovný. Naopak, ak sú susedné lineárne uhly CDE a CDE 1 rovnaké, potom sú aj susedné dihedrálne uhly rovnaké, t.j. každý z nich musí byť pravý.

2) Všetky pravé dihedrálne uhly sú rovnaké, pretože majú rovnaké lineárne uhly .

Podobne je ľahké dokázať, že:

3) Vertikálne dihedrálne uhly sú rovnaké.

4) Dihedral uhly so zodpovedajúcimi rovnobežnými a rovnako (alebo opačne) nasmerovanými plochami sú rovnaké.

5) Ak zoberieme ako jednotku uhlov klinu taký uhol klinu, ktorý zodpovedá jednotke lineárnych uhlov, potom môžeme povedať, že uhol klinu sa meria jeho lineárnym uhlom.

Účel lekcie: zavedenie pojmu dihedrálny uhol a jeho lineárny uhol.

Úlohy:

Vzdelávacie: zvážiť úlohy na aplikáciu týchto konceptov, vytvoriť konštruktívnu zručnosť nájsť uhol medzi rovinami;

vyvíja sa: rozvoj tvorivého myslenia žiakov, osobnostný sebarozvoj žiakov, rozvoj reči žiakov;

Vzdelávacie: výchova kultúry duševnej práce, komunikatívnej kultúry, reflektívnej kultúry.

Typ lekcie: lekciu osvojovania si nových vedomostí

Vyučovacie metódy: vysvetľujúce a názorné

Vybavenie: počítač, interaktívna tabuľa.

Literatúra:

Geometria. Ročníky 10-11: učebnica. pre 10-11 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie: základné a profilové. úrovne / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev a ďalší] - 18. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2009. - 255 s.

Plán lekcie:

Organizačný moment (2 min)

Aktualizácia vedomostí (5 min)

Učenie sa nového materiálu (12 min.)

Konsolidácia študovaného materiálu (21 min)

domáca úloha (2 minúty)

Zhrnutie (3 minúty)

Počas tried:

1. Organizačný moment.

Zahŕňa pozdrav učiteľa triedy, príprava miestnosti na hodinu, kontrola neprítomných.

2. Aktualizácia základných poznatkov.

učiteľ: Na poslednej lekcii ste napísali samostatnú prácu. Vo všeobecnosti bola práca napísaná dobre. Teraz si to trochu zopakujme. Čo sa nazýva uhol v rovine?

študent: Uhol v rovine je obrazec tvorený dvoma lúčmi vychádzajúcimi z jedného bodu.

učiteľ: Ako sa nazýva uhol medzi čiarami v priestore?

študent: Uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami v priestore je najmenší z uhlov, ktoré zvierajú lúče týchto čiar s vrcholom v bode ich priesečníka.

študent: Uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami je uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami, respektíve rovnobežnými s údajmi.

učiteľ: Ako sa nazýva uhol medzi priamkou a rovinou?

študent: Uhol medzi čiarou a rovinouAkýkoľvek uhol medzi priamkou a jej priemetom do tejto roviny sa nazýva.

3. Štúdium nového materiálu.

učiteľ: V stereometrii sa spolu s takýmito uhlami uvažuje o inom type uhlov - dihedrálnych uhloch. Pravdepodobne ste už uhádli, aká je téma dnešnej hodiny, tak si otvorte zošity, zapíšte si dnešný dátum a tému hodiny.

Písanie na tabuľu a do zošitov:

10.12.14.

Dihedrálny uhol.

učiteľ : Aby sme zaviedli pojem dihedrálneho uhla, treba pripomenúť, že akákoľvek priamka nakreslená v danej rovine rozdeľuje túto rovinu na dve polroviny.(obr. 1a)

učiteľ : Predstavte si, že sme rovinu ohli pozdĺž priamky tak, že dve polroviny s hranicou už neležia v tej istej rovine (obr. 1, b). Výsledný údaj je dihedrálny uhol. Dihedrálny uhol je útvar tvorený priamkou a dvoma polrovinami so spoločnou hranicou, ktoré nepatria do tej istej roviny. Polroviny, ktoré zvierajú dihedrálny uhol, sa nazývajú jeho steny. Dihedrálny uhol má dve strany, odtiaľ názov - dihedrálny uhol. Priamka - spoločná hranica polrovín - sa nazýva hrana dihedrálneho uhla. Napíšte definíciu do zošita.

Dihedrálny uhol je útvar tvorený priamkou a dvoma polrovinami so spoločnou hranicou, ktoré nepatria do tej istej roviny.

učiteľ : V každodennom živote sa často stretávame s predmetmi, ktoré majú tvar uholníka. Uveďte príklady.

Študent : Napoly otvorený priečinok.

Študent : Stena miestnosti spolu s podlahou.

Študent : Sedlové strechy budov.

učiteľ : Správny. A takýchto príkladov je veľa.

učiteľ : Ako viete, uhly na rovine sa merajú v stupňoch. Pravdepodobne máte otázku, ale ako sa merajú dihedrálne uhly? Toto sa vykonáva nasledujúcim spôsobom.Označíme nejaký bod na hrane dihedrálneho uhla a v každej ploche z tohto bodu nakreslíme lúč kolmý na hranu. Uhol tvorený týmito lúčmi sa nazýva lineárny uhol dihedrálneho uhla. Urobte si kresbu do svojich zošitov.

Písanie na tabuľu a do zošitov.

O ∈ a, AO ⊥ a, VO ⊥ a, SABD- dihedrálny uhol,∠ AOBje lineárny uhol dihedrálneho uhla.

učiteľ : Všetky lineárne uhly dihedrálneho uhla sú rovnaké. Urobte si niečo takéto.

učiteľ : Poďme to dokázať. Zvážte dva lineárne uhly AOB aPQR. Lúče OA aQPležia na rovnakej tvári a sú kolméOQ, čo znamená, že sú zarovnané. Podobne aj lúče OB aQRspolurežírovaný. znamená,∠ AOB= ∠ PQR(ako uhly so súosmernými stranami).

učiteľ : No, teraz je odpoveď na našu otázku, ako sa meria uhol klinu.Miera stupňa dihedrálneho uhla je miera stupňa jeho lineárneho uhla. Prekreslite z učebnice na strane 48 nákresy ostrého, pravého a tupého dihedrálneho uhla.

4. Konsolidácia študovaného materiálu.

učiteľ : Vytvárajte nákresy úloh.

№ 1 . Dané: ΔABC, AC = BC, AB leží v rovineα, CD ⊥ a, C∉ a. Zostrojte lineárny uhol dihedrálneho uhlaCABD.

Študent : Riešenie:CM ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ cmd - želaný.

№ 2. Dané: ΔABC, ∠ C= 90°, BC leží v rovinea, AO⊥ α, A∈ α.

Zostrojte lineárny uhol dihedrálneho uhlaAVSO.

Študent : Riešenie:AB ⊥ BC, JSC⊥ Sun znamená OS⊥ Slnko.∠ ACO - želaný.

№ 3 . Dané: ΔABC, ∠ C \u003d 90 °, AB leží v rovineα, CD⊥ a, C∉ a. Stavaťlineárny dihedrálny uholDABC.

Študent : Riešenie: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,DK ⊥ AB znamená∠ DKC - želaný.

№ 4 . Vzhľadom na to:DABC- štvorsten,DO⊥ ABC.Zostrojte lineárny uhol dihedrálneho uhlaA B C D.

Študent : Riešenie:DM ⊥ slnko,DO ⊥ BC znamená OM⊥ slnko;∠ OMD - želaný.

5. Zhrnutie.

učiteľ: Čo nové ste sa dnes naučili na lekcii?

Študenti : Čo sa nazýva dihedrálny uhol, lineárny uhol, ako sa meria dihedrálny uhol.

učiteľ : Čo si opakoval?

Študenti : Čo sa nazýva uhol na rovine; uhol medzi čiarami.

6. Domáce úlohy.

Zapíšte si na tabuľu a do denníkov: položka 22, č.167, č.170.

TEXTOVÉ VYSVETLENIE LEKCIE:

V planimetrii sú hlavnými objektmi čiary, segmenty, lúče a body. Lúče vychádzajúce z jedného bodu tvoria jeden z ich geometrických tvarov – uhol.

Vieme, že lineárny uhol sa meria v stupňoch a radiánoch.

V stereometrii sa k objektom pridáva rovina. Útvar tvorený priamkou a a dvoma polrovinami so spoločnou hranicou a, ktoré geometriou nepatria do rovnakej roviny, sa nazýva dihedrálny uhol. Polovičné roviny sú plochy dihedrálneho uhla. Priamka a je hrana dihedrálneho uhla.

Dihedrálny uhol, podobne ako lineárny uhol, možno pomenovať, zmerať, postaviť. Toto sa dozvieme v tejto lekcii.

Nájdite dihedrálny uhol na modeli štvorstenu ABCD.

Dihedrálny uhol s hranou AB sa nazýva CABD, kde body C a D patria rôznym stranám uhla a hrana AB sa nazýva v strede.

Okolo nás je veľa predmetov s prvkami v tvare dihedrálneho uhla.

V mnohých mestách sú v parkoch inštalované špeciálne lavičky na zmierenie. Lavička je vyrobená vo forme dvoch naklonených rovín zbiehajúcich sa smerom k stredu.

Pri stavbe domov sa často používa takzvaná sedlová strecha. Strecha tohto domu je vyrobená vo forme šikmého uhla 90 stupňov.

Dihedrálny uhol sa tiež meria v stupňoch alebo radiánoch, ale ako ho merať.

Zaujímavosťou je, že strechy domov ležia na krokve. A prepravka krokiev tvorí dva strešné svahy pod daným uhlom.

Prenesieme obrázok na výkres. Na nákrese sa na nájdenie uhlu klinu vyznačí na jeho okraji bod B. Z tohto bodu sa kolmo na hranu uhla nakreslia dva nosníky BA a BC. Uhol ABC vytvorený týmito lúčmi sa nazýva lineárny uhol dihedrálneho uhla.

Miera stupňa dihedrálneho uhla sa rovná miere stupňa jeho lineárneho uhla.

Zmeriame uhol AOB.

Miera stupňa daného dihedrálneho uhla je šesťdesiat stupňov.

Lineárne uhly pre dihedrálny uhol môžu byť nakreslené v nekonečnom počte, je dôležité vedieť, že sú všetky rovnaké.

Zvážte dva lineárne uhly AOB a A1O1B1. Lúče OA a O1A1 ležia v rovnakej ploche a sú kolmé na priamku OO1, takže sú spolu nasmerované. Lúče OB a O1B1 sú tiež spoluriadené. Preto sa uhol AOB rovná uhlu A101B1 ako uhol so súosmernými stranami.

Takže dihedrálny uhol je charakterizovaný lineárnym uhlom a lineárne uhly sú ostré, tupé a pravé. Zvážte modely dihedrálnych uhlov.

Tupý uhol je taký, ktorého lineárny uhol je medzi 90 a 180 stupňami.

Pravý uhol, ak je jeho lineárny uhol 90 stupňov.

Ostrý uhol, ak je jeho lineárny uhol medzi 0 a 90 stupňami.

Dokážme jednu z dôležitých vlastností lineárneho uhla.

Rovina lineárneho uhla je kolmá na hranu dihedrálneho uhla.

Nech uhol AOB je lineárny uhol daného dihedrálneho uhla. Podľa konštrukcie sú lúče AO a OB kolmé na priamku a.

Rovina AOB prechádza dvomi pretínajúcimi sa priamkami AO a OB podľa vety: Rovina prechádza dvomi pretínajúcimi sa priamkami a navyše iba jednou.

Priamka a je kolmá na dve pretínajúce sa priamky ležiace v tejto rovine, čo znamená, že znamienkom kolmosti priamky a roviny je priamka a kolmá na rovinu AOB.

Na riešenie problémov je dôležité vedieť zostaviť lineárny uhol daného dihedrálneho uhla. Zostrojte lineárny uhol dihedrálneho uhla s hranou AB pre štvorsten ABCD.

Hovoríme o dihedrálnom uhle, ktorý je tvorený jednak hranou AB, jednou fazetou ABD, druhou fazetou ABC.

Tu je jeden spôsob, ako stavať.

Z bodu D nakreslíme kolmicu na rovinu ABC, bod M označíme ako základňu kolmice. Pripomeňme, že v štvorstene sa základňa kolmice zhoduje so stredom vpísanej kružnice v základni štvorstenu.

Nakreslite sklon z bodu D kolmo na hranu AB, označte bod N ako základňu svahu.

V trojuholníku DMN bude úsečka NM priemety šikmej DN do roviny ABC. Podľa vety o troch kolmičkách bude hrana AB kolmá na priemet NM.

To znamená, že strany uhla DNM sú kolmé na hranu AB, čo znamená, že zostrojený uhol DNM je požadovaný lineárny uhol.

Zvážte príklad riešenia problému výpočtu dihedrálneho uhla.

Rovnoramenný trojuholník ABC a pravidelný trojuholník ADB neležia v rovnakej rovine. Úsek CD je kolmý na rovinu ADB. Nájdite dihedrálny uhol DABC, ak AC=CB=2cm, AB=4cm.

Dihedrálny uhol DABC sa rovná jeho lineárnemu uhlu. Postavme tento roh.

Narysujme si šikmý SM kolmo na hranu AB, keďže trojuholník ACB je rovnoramenný, potom sa bod M bude zhodovať so stredom hrany AB.

Priamka CD je kolmá na rovinu ADB, čo znamená, že je kolmá na priamku DM ležiacu v tejto rovine. A segment MD je priemetom šikmého SM do roviny ADB.

Priamka AB je konštrukciou kolmá na šikmú CM, čo znamená, že podľa vety o troch kolmičkách je kolmá na priemet MD.

Na hranu AB teda nájdeme dve kolmice CM a DM. Tak tvoria lineárny uhol СMD dihedrálneho uhla DABC. A zostáva nám to nájsť z pravouhlého trojuholníka СDM.

Keďže úsečka SM je stred a výška rovnoramenného trojuholníka ASV, potom podľa Pytagorovej vety je noha SM 4 cm.

Z pravouhlého trojuholníka DMB sa podľa Pytagorovej vety noha DM rovná dvom koreňom z troch.

Kosínus uhla z pravouhlého trojuholníka sa rovná pomeru susednej vetvy MD k prepone CM a rovná sa trom odmocninám tri krát dva. Takže uhol CMD je 30 stupňov.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Uhol medzi dvoma rôznymi rovinami možno určiť pre akúkoľvek vzájomnú polohu rovín.

Triviálny prípad je, ak sú roviny rovnobežné. Potom sa uhol medzi nimi považuje za rovný nule.

Netriviálny prípad, ak sa roviny pretínajú. Tento prípad je predmetom ďalšej diskusie. Najprv potrebujeme koncept dihedrálneho uhla.

9.1 Dihedrálny uhol

Dihedrálny uhol sú dve polroviny so spoločnou priamkou (ktorá sa nazýva hrana dihedrálneho uhla). Na obr. 50 znázorňuje uhol klinu tvorený polovičnými rovinami a; hrana tohto dihedrálneho uhla je priamka a spoločná pre dané polroviny.

Ryža. 50. Dihedrálny uhol

Dihedrálny uhol môže byť meraný v stupňoch alebo radiánoch v slove, zadajte uhlovú hodnotu dihedrálneho uhla. Toto sa vykonáva nasledujúcim spôsobom.

Na hranu dihedrálneho uhla, ktorý zvierajú polroviny a vezmeme ľubovoľný bod M. Narysujme lúče MA a MB, ležiace v týchto polrovinách a kolmé na hranu (obr. 51).

Ryža. 51. Lineárny uhol dihedrálny uhol

Výsledný uhol AMB je lineárny uhol dihedrálneho uhla. Uhol " = \AMB je presne uhlová hodnota nášho dihedrálneho uhla.

Definícia. Uhlová veľkosť dihedrálneho uhla je veľkosť lineárneho uhla daného dihedrálneho uhla.

Všetky lineárne uhly dihedrálneho uhla sú si navzájom rovné (napokon sa získavajú navzájom paralelným posunom). Preto je táto definícia správna: hodnota „nezávisí od konkrétnej voľby bodu M na hrane dihedrálneho uhla.

9.2 Určenie uhla medzi rovinami

Keď sa pretínajú dve roviny, získajú sa štyri dihedrálne uhly. Ak majú všetky rovnakú hodnotu (každá 90), potom sa roviny nazývajú kolmé; uhol medzi rovinami je potom 90 .

Ak nie sú všetky dihedrálne uhly rovnaké (to znamená, že sú dva ostré a dva tupé), potom je uhol medzi rovinami hodnotou ostrého dihedrálneho uhla (obr. 52).

Ryža. 52. Uhol medzi rovinami

9.3 Príklady riešenia problémov

Uvažujme o troch úlohách. Prvý je jednoduchý, druhý a tretí sú približne na úrovni C2 na skúške z matematiky.

Úloha 1. Nájdite uhol medzi dvoma stenami pravidelného štvorstenu.

Riešenie. Nech ABCD je pravidelný štvorsten. Nakreslíme mediány AM a DM zodpovedajúcich plôch, ako aj výšku štvorstenu DH (obr. 53).

Ryža. 53. K problému 1

Ako mediány sú AM a DM tiež výšky rovnostranných trojuholníkov ABC a DBC. Preto uhol " = \AMD je lineárny uhol dihedrálneho uhla, ktorý zvierajú steny ABC a DBC. Nájdeme ho z trojuholníka DHM:

Odpoveď: arccos 1 3 .

Úloha 2. V pravidelnom štvorhrannom ihlane SABCD (s vrcholom S) sa bočná hrana rovná strane podstavy. Bod K je stredom hrany SA. Nájdite uhol medzi rovinami

Riešenie. Čiara BC je rovnobežná s AD a teda rovnobežná s rovinou ADS. Preto rovina KBC pretína rovinu ADS pozdĺž priamky KL rovnobežnej s BC (obr. 54).

Ryža. 54. K problému 2

V tomto prípade bude KL tiež rovnobežná s čiarou AD; teda KL je stredná čiara trojuholníka ADS a bod L je stred DS.

Nakreslite výšku pyramídy SO. Nech N je stred DO. Potom LN je stredná čiara trojuholníka DOS, a teda LN k SO. Takže LN je kolmá na rovinu ABC.

Z bodu N spustíme kolmicu NM na priamku BC. Priamka NM bude priemetom šikmej LM do roviny ABC. Z vety o troch kolmiciach potom vyplýva, že LM je tiež kolmá na BC.

Uhol " = \LMN je teda lineárny uhol dihedrálneho uhla, ktorý zvierajú polroviny KBC a ABC. Tento uhol budeme hľadať z pravouhlého trojuholníka LMN.

Nech je okraj pyramídy a. Najprv nájdite výšku pyramídy:

Riešenie. Nech L je priesečník priamok A1 K a AB. Potom rovina A1 KC pretína rovinu ABC pozdĺž priamky CL (obr.55).

A C

Ryža. 55. Problém 3

Trojuholníky A1 B1 K a KBL sú rovnaké v nohe a ostrom uhle. Preto sú aj ostatné nohy rovnaké: A1 B1 = BL.

Zvážte trojuholník ACL. V ňom BA = BC = BL. Uhol CBL je 120 ; takže \BCL = 30 . Tiež \BCA = 60 . Preto \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Takže LC? AC. Ale priamka AC je priemetom priamky A1 C do roviny ABC. Podľa vety o troch kolmičkách potom dospejeme k záveru, že LC ? A1C.

Uhol A1 CA je teda lineárnym uhlom dihedrálneho uhla, ktorý zvierajú polroviny A1 KC a ABC. Toto je požadovaný uhol. Z rovnoramenného pravouhlého trojuholníka A1 AC vidíme, že sa rovná 45 .