Ako vypočítať priemer z kruhu so znalosťou dĺžky. Ako nájsť a aký bude obvod kruhu

Kruh sa v každodennom živote nachádza nie menej ako obdĺžnik. A pre mnohých ľudí je úloha, ako vypočítať obvod kruhu, náročná. A to všetko preto, že nemá rohy. S nimi by bolo všetko oveľa jednoduchšie.

Čo je kruh a kde sa vyskytuje?

Táto plochá postava je niekoľko bodov, ktoré sú umiestnené v rovnakej vzdialenosti od iného, ​​ktorý je stredom. Táto vzdialenosť sa nazýva polomer.

V každodennom živote nie je často potrebné vypočítať obvod, s výnimkou ľudí, ktorí sú inžiniermi a dizajnérmi. Navrhujú mechanizmy, ktoré využívajú napríklad ozubené kolesá, okienka a kolesá. Architekti vytvárajú domy, ktoré majú okrúhle alebo klenuté okná.

Každý z týchto a ďalších prípadov si vyžaduje vlastnú presnosť. Navyše je absolútne nemožné vypočítať obvod kruhu s absolútnou presnosťou. Je to spôsobené nekonečnosťou hlavného čísla vo vzorci. "Pí" sa stále špecifikuje. A najčastejšie sa používa zaokrúhlená hodnota. Stupeň presnosti sa volí tak, aby sa dala čo najsprávnejšia odpoveď.

Zápis veličín a vzorcov

Teraz je ľahké odpovedať na otázku, ako vypočítať obvod kruhu z polomeru, bude to vyžadovať nasledujúci vzorec:

Keďže polomer a priemer navzájom súvisia, existuje ďalší vzorec na výpočty. Keďže je polomer dvakrát menší, výraz sa mierne zmení. A vzorec na výpočet obvodu kruhu so znalosťou priemeru bude nasledujúci:

l \u003d π * d.

Čo ak potrebujete vypočítať obvod kruhu?

Nezabudnite, že kruh zahŕňa všetky body vo vnútri kruhu. Jeho obvod sa teda zhoduje s jeho dĺžkou. A po výpočte obvodu dajte znamienko rovnosti s obvodom kruhu.

Mimochodom, majú rovnaké označenia. To platí pre polomer a priemer a latinské písmeno P je obvod.

Príklady úloh

Úloha jedna

Podmienka. Nájdite obvod kruhu, ktorého polomer je 5 cm.

Riešenie. Tu je ľahké pochopiť, ako vypočítať obvod kruhu. Stačí použiť prvý vzorec. Keďže je polomer známy, všetko, čo musíte urobiť, je zapojiť hodnoty a počítať. 2 vynásobené polomerom 5 cm dáva 10. Zostáva to vynásobiť hodnotou π. 3,14 x 10 = 31,4 (cm).

odpoveď: l = 31,4 cm.

Úloha dva

Podmienka. Existuje koleso, ktorého obvod je známy a rovná sa 1256 mm. Musíte vypočítať jeho polomer.

Riešenie. V tejto úlohe budete musieť použiť rovnaký vzorec. Ale iba známu dĺžku bude potrebné deliť súčinom 2 a π. Ukazuje sa, že produkt poskytne výsledok: 6.28. Po rozdelení zostane číslo: 200. Toto je požadovaná hodnota.

odpoveď: r = 200 mm.

Úloha tri

Podmienka. Vypočítajte priemer, ak je známy obvod, ktorý je 56,52 cm.

Riešenie. Podobne ako v predchádzajúcom probléme je potrebné vydeliť známu dĺžku hodnotou π zaokrúhlenou na stotiny nahor. V dôsledku takejto akcie sa získa číslo 18. Získa sa výsledok.

odpoveď: d = 18 cm.

Úloha štvrtá

Podmienka. Hodinové ručičky sú dlhé 3 a 5 cm.Je potrebné vypočítať dĺžky kruhov, ktoré opisujú ich konce.

Riešenie. Keďže šípky sa zhodujú s polomermi kruhov, je potrebný prvý vzorec. Je potrebné použiť dvakrát.

Pre prvú dĺžku bude výrobok pozostávať z faktorov: 2; 3,14 a 3. Výsledkom bude číslo 18,84 cm.

Pre druhú odpoveď je potrebné vynásobiť 2, π a 5. Produkt dá číslo: 31,4 cm.

odpoveď: l 1 = 18,84 cm, l 2 = 31,4 cm.

Úloha piata

Podmienka. Veverička beží v kolese s priemerom 2 m. Akú vzdialenosť prejde za jednu úplnú otáčku kolesa?

Riešenie. Táto vzdialenosť sa rovná obvodu kruhu. Preto musíte použiť vhodný vzorec. Konkrétne vynásobte hodnotu π a 2 m. Výpočty dávajú výsledok: 6,28 m.

odpoveď: Veverička beží 6,28 m.

1. Ťažšie nájsť obvod cez priemer Poďme sa teda najprv pozrieť na túto možnosť.

Príklad: Nájdite obvod kruhu, ktorého priemer je 6 cm. Použijeme vyššie uvedený vzorec pre obvod kruhu, ale najprv musíme nájsť polomer. Aby sme to urobili, rozdelíme priemer 6 cm na 2 a dostaneme polomer kruhu 3 cm.

Potom je všetko veľmi jednoduché: Číslo Pi vynásobíme 2 a výsledným polomerom 3 cm.
2 * 3,14 * 3 cm = 6,28 * 3 cm = 18,84 cm.

2. A teraz sa opäť pozrime na jednoduchú možnosť nájdite obvod kruhu s polomerom 5 cm

Riešenie: Polomer 5 cm sa vynásobí 2 a vynásobí 3,14. Nezľaknite sa, pretože preskupenie faktorov neovplyvní výsledok a obvodový vzorec možno aplikovať v akomkoľvek poradí.

5 cm * 2 * 3,14 = 10 cm * 3,14 = 31,4 cm - toto je nájdený obvod pre polomer 5 cm!

Online kalkulačka obvodu

Naša obvodová kalkulačka vykoná všetky tieto nenáročné výpočty okamžite a riešenie zapíše do riadku s komentármi. Obvod vypočítame pre polomer 3, 5, 6, 8 alebo 1 cm, alebo priemer je 4, 10, 15, 20 dm, našej kalkulačke je jedno, pre akú hodnotu polomeru obvod zistíme.

Všetky výpočty budú presné, testované matematikmi. Výsledky je možné použiť pri riešení školských úloh v geometrii alebo matematike, ako aj pri pracovných výpočtoch v stavebníctve alebo pri opravách a výzdobe priestorov, keď sú potrebné presné výpočty pomocou tohto vzorca.

Kruh je zakrivená čiara, ktorá obklopuje kruh. V geometrii sú postavy ploché, takže definícia sa vzťahuje na dvojrozmerný obraz. Predpokladá sa, že všetky body tejto krivky sú v rovnakej vzdialenosti od stredu kruhu.

Kruh má niekoľko charakteristík, na základe ktorých sa robia výpočty spojené s týmto geometrickým útvarom. Patria sem: priemer, polomer, plocha a obvod. Tieto charakteristiky sú vzájomne prepojené, to znamená, že na ich výpočet postačia informácie o aspoň jednej zo zložiek. Napríklad, ak poznáte iba polomer geometrického útvaru pomocou vzorca, môžete nájsť obvod, priemer a jeho plochu.

• Polomer kruhu je segment vo vnútri kruhu spojený s jeho stredom.
• Priemer je úsečka vo vnútri kruhu, ktorá spája jej body a prechádza stredom. V skutočnosti je priemer dva polomery. Presne takto vyzerá vzorec na jej výpočet: D=2r.
• Existuje ďalšia zložka kruhu - akord. Ide o priamku, ktorá spája dva body na kružnici, no nie vždy prechádza stredom. Takže struna, ktorá ňou prechádza, sa nazýva aj priemer.

Ako zistiť obvod kruhu? Teraz to poďme zistiť.

Obvod: vzorec

Na označenie tejto charakteristiky bolo zvolené latinské písmeno p. Archimedes tiež dokázal, že pomer obvodu kruhu k jeho priemeru je pre všetky kruhy rovnaké číslo: je to číslo π, ktoré sa približne rovná 3,14159. Vzorec na výpočet π vyzerá takto: π = p/d. Podľa tohto vzorca sa hodnota p rovná πd, teda obvodu: p= πd. Keďže d (priemer) sa rovná dvom polomerom, rovnaký obvodový vzorec možno napísať ako p=2πr. Uvažujme aplikáciu vzorca pomocou jednoduchých úloh ako príklad:

Úloha 1

Pri základni cárskeho zvonu je priemer 6,6 metra. Aký je obvod základne zvona?

1. Takže vzorec na výpočet kruhu je p= πd
2. Nahradíme existujúcu hodnotu vo vzorci: p \u003d 3,14 * 6,6 \u003d 20,724

Odpoveď: Obvod podstavy zvona je 20,7 metra.

Úloha 2

Umelá družica Zeme rotuje vo vzdialenosti 320 km od planéty. Polomer Zeme je 6370 km. Aká je dĺžka kruhovej dráhy satelitu?

1. 1. Vypočítajte polomer kruhovej dráhy družice Zeme: 6370+320=6690 (km)
2. 2. Vypočítajte dĺžku kruhovej dráhy družice podľa vzorca: P=2πr
3. 3.P=2*3,14*6690=42013,2

Odpoveď: dĺžka kruhovej dráhy družice Zeme je 42013,2 km.

Metódy merania obvodu

Výpočet obvodu kruhu sa v praxi často nepoužíva. Dôvodom je približná hodnota čísla π. V každodennom živote sa na zistenie dĺžky kruhu používa špeciálne zariadenie - curvimeter. Na kruhu je vyznačený ľubovoľný referenčný bod a zariadenie je z neho vedené striktne pozdĺž čiary, kým opäť nedosiahne tento bod.

Ako zistiť obvod kruhu? Stačí mať na pamäti jednoduché vzorce na výpočty.

Inštrukcia

Pripomeňme, že Archimedes prvýkrát vypočítal tento pomer matematicky. Vo vnútri a okolo kruhu je to pravidelných 96-uholníkov. Obvod vpísaného mnohouholníka bol braný ako minimálny možný obvod, obvod opísanej postavy bol braný ako maximálna veľkosť. Podľa Archimeda je pomer obvodu k priemeru 3,1419. Oveľa neskôr toto číslo „predĺžil“ na osem číslic čínsky matematik Zu Chongzhi. Jeho výpočty zostali najpresnejšie na 900 rokov. Len v 18. storočí sa počítalo na sto desatinných miest. A od roku 1706 tento nekonečný desatinný zlomok vďaka Williamovi Jonesovi získal meno. Označil ho prvým písmenom gréckych slov perimeter (periféria). Dnes počítač ľahko vypočíta znaky čísla Pi: ​​3,141592653589793238462643 ...

Pre výpočty znížte Pi na 3,14. Ukazuje sa, že pre každý kruh sa jeho dĺžka delená priemerom rovná tomuto číslu: L:d=3,14.

Vyjadrite z tohto výroku vzorec na zistenie priemeru. Ukazuje sa, že na nájdenie priemeru kruhu je potrebné rozdeliť obvod pí. Vyzerá to takto: d = L: 3,14. Toto je univerzálny spôsob, ako zistiť priemer, keď je známy obvod kruhu.

Takže obvod je známy, povedzme 15,7 cm, vydeľte toto číslo 3,14. Priemer bude 5 cm. Napíšte to takto: d \u003d 15,7: 3,14 \u003d 5 cm.

Zistite priemer z obvodu pomocou špeciálnych tabuliek na výpočet obvodu. Tieto tabuľky sú zahrnuté v rôznych referenčných knihách. Napríklad sú v "Štvorciferných matematických tabuľkách" od V.M. Bradis.

Užitočné rady

Zapamätajte si prvých osem číslic pí s básňou:
Treba len skúšať
A pamätajte si všetko tak, ako to je:
Tri, štrnásť, pätnásť
Deväťdesiatdva a šesť.

Zdroje:

• Číslo "Pi" je vypočítané s presnosťou záznamu
• priemer a obvod
• Ako zistiť obvod kruhu?

Kruh je plochý geometrický útvar, ktorého všetky body sú v rovnakej a nenulovej vzdialenosti od zvoleného bodu, ktorý sa nazýva stred kruhu. Priamka spájajúca dva ľubovoľné body kruhu a prechádzajúca stredom sa nazýva. priemer. Celková dĺžka všetkých hraníc dvojrozmernej postavy, ktorá sa zvyčajne nazýva obvod, pre kruh sa častejšie označuje ako „obvod“. Keď poznáte obvod kruhu, môžete vypočítať jeho priemer.

Inštrukcia

Na zistenie priemeru použite jednu zo základných vlastností kruhu, ktorou je, že pomer dĺžky jeho obvodu k priemeru je rovnaký pre absolútne všetky kruhy. Samozrejme, stálosť nezostala bez povšimnutia matematikov a tento podiel už dávno dostal svoje vlastné - toto je číslo Pi (π je prvé grécke slovo „ kruh“ a „obvod“). Číselná hodnota tohto je určená obvodom kruhu, ktorého priemer sa rovná jednej.

Vydeľte známy obvod kruhu číslom pí a vypočítajte jeho priemer. Keďže toto číslo je "", nemá konečnú hodnotu - je to zlomok. Zaokrúhlite pí podľa presnosti výsledku, ktorý potrebujete získať.

Podobné videá

Tip 4: Ako zistiť pomer obvodu kruhu k dĺžke jeho priemeru

Úžasná nehnuteľnosť kruhy nám otvoril starogrécky vedec Archimedes. Spočíva v tom, že postoj jej dĺžka do dĺžky priemeru je rovnaká pre ľubovoľné kruhy. Vo svojom diele „O meraní kruhu“ ho vypočítal a označil ako číslo „Pi“. Je iracionálny, to znamená, že jeho význam nemožno presne vyjadriť. Používa sa jeho hodnota rovnajúca sa 3,14. Archimedov výrok si môžete overiť sami jednoduchými výpočtami.

Budete potrebovať

• - kompas;
• - pravítko;
• - ceruzka;
• - niť.

Inštrukcia

Nakreslite kružnicu ľubovoľného priemeru na papier pomocou kružidla. Pomocou pravítka a ceruzky nakreslite segment cez jeho stred spájajúci dva umiestnené na čiare kruhy. Pomocou pravítka zmerajte dĺžku výsledného segmentu. Povedzme kruhy v tomto prípade 7 centimetrov.

Vezmite niť a usporiadajte ju pozdĺž dĺžky kruhy. Zmerajte výslednú dĺžku vlákna. Nech sa rovná 22 centimetrom. Nájsť postoj dĺžka kruhy na dĺžku jeho priemeru - 22 cm: 7 cm \u003d 3,1428 .... Zaokrúhlite výsledné číslo (3,14). Ukázalo sa známe číslo „Pi“.

Dokážte túto vlastnosť kruhy môžete pomocou pohára alebo pohára. Zmerajte ich priemer pomocou pravítka. Hornú časť misky omotajte niťou, zmerajte výslednú dĺžku. Delenie dĺžky kruhyšálky dĺžkou jej priemeru získate aj číslo "Pi", čím sa uistíte o tejto vlastnosti kruhy objavil Archimedes.

Pomocou tejto vlastnosti môžete vypočítať dĺžku ľubovoľného kruhy pozdĺž dĺžky jeho priemeru alebo podľa vzorcov: C \u003d 2 * p * R alebo C \u003d D * p, kde C - kruhy, D - dĺžka jeho priemeru, R - dĺžka jeho polomeru. Nájsť (rovinu ohraničenú priamkami kruhy) použite vzorec S = π*R², ak je známy jeho polomer, alebo vzorec S = π*D²/4, ak je známy jeho priemer.

Poznámka

Vedeli ste, že 14. marec je už viac ako dvadsať rokov Dňom pí? Ide o neoficiálny sviatok matematikov venovaný tomuto zaujímavému číslu, s ktorým sa v súčasnosti spája množstvo vzorcov, matematických a fyzikálnych axióm. Tento sviatok vymyslel Američan Larry Shaw, ktorý si všimol, že v tento deň (v americkom dátumovom systéme 3.14) sa narodil známy vedec Einstein.

Zdroje:

• Archimedes

Niekedy sa dá konvexný mnohouholník nakresliť tak, že na ňom ležia vrcholy všetkých rohov. Takýto kruh vzhľadom na mnohouholník by sa mal nazývať opísaný. jej centrum nemusí byť vo vnútri obvodu vpísaného obrazca, ale s využitím vlastností opísaných kruhy, nájsť tento bod zvyčajne nie je veľmi ťažké.

Budete potrebovať

• Pravítko, ceruzka, uhlomer alebo štvorec, kružidlo.

Inštrukcia

Ak je mnohouholník, okolo ktorého chcete opísať kruh, nakreslený na papieri, nájdite centrum a na pravítko, ceruzku a uhlomer alebo štvorec stačí kruh. Zmerajte dĺžku ktorejkoľvek zo strán obrázku, určte jeho stred a na toto miesto výkresu vložte pomocný bod. Pomocou štvorca alebo uhlomeru nakreslite segment kolmý na túto stranu vo vnútri mnohouholníka, kým sa nepretína s opačnou stranou.

Vykonajte rovnakú operáciu s ktoroukoľvek inou stranou mnohouholníka. Priesečník dvoch zostrojených segmentov bude požadovaným bodom. Vyplýva to z hlavnej vlastnosti opísaného kruhy- jej centrum v konvexnom mnohouholníku s ľubovoľnou stranou vždy leží v priesečníku kolmých osi nakreslených k nim .

Pre pravidelné polygóny centrum ale zapísané kruhy by to mohlo byť oveľa jednoduchšie. Napríklad, ak je to štvorec, potom nakreslite dve uhlopriečky - ich priesečník bude centrum ohm vpísané kruhy. V mnohouholníku s ľubovoľným párnym počtom strán stačí spojiť dva páry protiľahlých rohov s pomocnými - centrum popísané kruhy sa musia zhodovať s bodom ich priesečníka. V pravouhlom trojuholníku na vyriešenie problému jednoducho určte stred najdlhšej strany obrázku - preponu.

Ak z podmienok nie je známe, či je v zásade možná opísaná kružnica pre daný mnohouholník, po určení predpokladaného bodu centrum a pomocou ktorejkoľvek z opísaných metód to môžete zistiť. Odložte na kompas vzdialenosť medzi nájdeným bodom a ktorýmkoľvek bodom , nastavte na odhad centrum kruhy a nakreslite kruh - každý vrchol musí ležať na ňom kruhy. Ak tomu tak nie je, potom jedna z vlastností nie je splnená a opíše kružnicu okolo daného mnohouholníka.

Určenie priemeru môže byť užitočné nielen pri riešení geometrických úloh, ale aj ako pomôcka v praxi. Napríklad pri znalosti priemeru hrdla zaváracieho pohára rozhodne neurobíte chybu výberom vrchnáka k nemu. To isté platí pre väčšie kruhy.

Inštrukcia

Zadajte teda označenie pre množstvá. Nech d je priemer jamky, L je obvod, n je číslo Pi, ktoré sa približne rovná 3,14, R je polomer kruhu. Obvod (L) je známy. Predpokladajme, že sa rovná 628 centimetrom.

Ďalej na zistenie priemeru (d) použite vzorec pre obvod: L=2nR, kde R je neznáma hodnota, L=628 cm a n=3,14. Teraz použite pravidlo na nájdenie neznámeho faktora: "Ak chcete nájsť faktor, musíte rozdeliť produkt známym faktorom." Ukazuje sa: R \u003d L / 2p. Dosaďte hodnoty do vzorca: R=628/2x3,14. Ukazuje sa: R=628/6,28, R=100 cm.

Po nájdení polomeru kruhu (R=100 cm) použite nasledujúci vzorec: priemer kruhu (d) sa rovná dvom polomerom kruhu (2R). Ukazuje sa: d=2R.

Teraz, aby ste našli priemer, nahraďte hodnoty vo vzorci d \u003d 2R a vypočítajte výsledok. Keďže je známy polomer (R), ukazuje sa: d=2x100, d=200 cm.

Zdroje:

• ako zistiť priemer kruhu

Obvod a priemer sú vzájomne prepojené geometrické veličiny. To znamená, že prvý z nich môže byť preložený do druhého bez akýchkoľvek ďalších údajov. Matematickou konštantou, cez ktorú sú navzájom prepojené, je číslo π.

Inštrukcia

Ak je kruh znázornený ako obrázok na papieri a chcete približne určiť jeho priemer, zmerajte ho priamo. Ak je na výkrese znázornený jeho stred, nakreslite cez neho čiaru. Ak stred nie je zobrazený, nájdite ho pomocou kompasu. K tomu použite štvorec s uhlami 90 a. Pripevnite ho pod 90-stupňovým uhlom ku kruhu tak, aby sa ho dotýkali obe nohy, a krúžte. Potom k výslednému pravému uhlu pripojte 45-stupňový uhol štvorca a nakreslite. Prejde stredom kruhu. Potom podobným spôsobom nakreslite druhý pravý uhol a jeho os na inom mieste kruhu. Pretínajú sa v strede. Tým sa zmeria priemer.

Na meranie priemeru je vhodnejšie použiť pravítko z čo najtenšieho plošného materiálu alebo krajčírsky meter. Ak máte iba hrubé pravítko, zmerajte priemer kruhu pomocou kružidla a potom ho bez zmeny riešenia preneste na milimetrový papier.

Tiež pri absencii číselných údajov v podmienkach problému a iba pomocou výkresu môžete zmerať obvod pomocou krivky a potom vypočítať priemer. Ak chcete použiť curvimeter, najprv otočte jeho kolieskom, aby ste nastavili ukazovateľ presne na nulové delenie. Potom označte bod na kruhu a pritlačte meter k listu tak, aby ťah nad kolesom smeroval do tohto bodu. Pohybujte kolieskom pozdĺž kruhovej čiary, kým sa zdvih opäť nedostane nad tento bod. Prečítajte si vyhlásenia. Budú ohraničené prerušovanou čiarou. Ak je do kruhu vpísaný pravidelný n-uholník so stranou b, potom sa obvod takéhoto obrázku P rovná súčinu strany b počtom strán n: P \u003d b * n. Stranu b môžeme určiť podľa vzorca: b=2R*Sin (π/n), kde R je polomer kružnice, do ktorej je vpísaný n-uholník.

S rastúcim počtom strán sa obvod vpísaného mnohouholníka bude čoraz viac približovať k L. Р= b*n=2n*R*Sin (π/n)=n*D*Sin (π/n). Vzťah medzi obvodom L a jeho priemerom D je konštantný. Pomer L / D \u003d n * Sin (π / n), keďže počet strán vpísaného mnohouholníka má tendenciu k nekonečnu, smeruje k číslu π, konštantnej hodnote nazývanej „číslo pí“ a vyjadrenej ako nekonečný desatinný zlomok. Pre výpočty bez použitia výpočtovej techniky sa berie hodnota π=3,14. Obvod kruhu a jeho priemer sú spojené podľa vzorca: L= πD. Na výpočet priemeru

Meranie obvodu

1. Obvod. Kruh je uzavretá plochá zakrivená čiara, ktorej všetky body sú v rovnakej vzdialenosti od jedného bodu (O), nazývaného stred kružnice (obr. 27).

Kruh sa kreslí kružidlom. Za týmto účelom sa ostrá noha kompasu umiestni do stredu a druhá (ceruzkou) sa otáča okolo prvej, až kým koniec ceruzky nenakreslí úplný kruh. Vzdialenosť od stredu k ľubovoľnému bodu na kruhu sa nazýva jeho polomer. Z definície vyplýva, že všetky polomery jednej kružnice sú si navzájom rovné.

Nazýva sa priamka (AB), ktorá spája ľubovoľné dva body kružnice a prechádza jej stredom priemer. Všetky priemery jedného kruhu sú si navzájom rovné; priemer sa rovná dvom polomerom.

Ako zistiť obvod kruhu? V praxi sa v niektorých prípadoch dá obvod zistiť priamym meraním. Dá sa to urobiť napríklad pri meraní obvodu relatívne malých predmetov (vedro, sklo atď.). Ak to chcete urobiť, môžete použiť meter, vrkoč alebo šnúru.

V matematike sa používa metóda nepriameho určenia obvodu kruhu. Spočíva vo výpočte podľa hotového vzorca, ktorý si teraz odvodíme.

Ak vezmeme niekoľko veľkých a malých okrúhlych predmetov (minca, sklo, vedro, sud atď.) a zmeriame obvod a priemer každého z nich, dostaneme pre každý predmet dve čísla (jedno meria obvod a druhé je dĺžka priemeru). Prirodzene, pre malé objekty budú tieto čísla malé a pre veľké objekty budú veľké.

Ak však v každom z týchto prípadov vezmeme pomer dvoch získaných čísel (obvod a priemer), potom pri starostlivom meraní nájdeme takmer rovnaké číslo. Označte obvod písmenom OD, dĺžka priemeru podľa písmena D, potom bude ich vzťah vyzerať C:D. Skutočné merania sú vždy sprevádzané nevyhnutnými nepresnosťami. Po vykonaní uvedeného experimentu a vykonaní potrebných výpočtov však získame vzťah C:D približne tieto čísla: 3,13; 3,14; 3.15. Tieto čísla sa navzájom veľmi málo líšia.

V matematike sa teoretickými úvahami stanovuje, že požadovaný pomer C:D sa nikdy nemení a rovná sa nekonečnému neperiodickému zlomku, ktorého približná hodnota sa s presnosťou na desaťtisíciny rovná 3,1416 . To znamená, že každý kruh je dlhší ako jeho priemer o rovnaký počet krát. Toto číslo sa zvyčajne označuje gréckym písmenom π (pí). Potom sa pomer obvodu k priemeru zapíše ako: C:D = π . Toto číslo obmedzíme len na stotiny, t.j. brať π = 3,14.

Napíšeme si vzorec na určenie obvodu kruhu.

Pretože C:D= π , potom

C = πD

t.j. obvod sa rovná súčinu čísla π pre priemer.

Úloha 1. Nájdite obvod ( OD) kruhovej miestnosti, ak jej priemer D= 5,5 m.

Ak vezmeme do úvahy vyššie uvedené, na vyriešenie tohto problému musíme zväčšiť priemer 3,14-krát:

5,5 3,14 = 17,27 (m).

Úloha 2. Nájdite polomer kolesa, ktorého obvod je 125,6 cm.

Tento problém je opakom predchádzajúceho. Zistite priemer kolesa:

125,6: 3,14 = 40 (cm).

Teraz nájdime polomer kolesa:

40:2 = 20 (cm).

2. Oblasť kruhu. Na určenie plochy kruhu je možné nakresliť kruh daného polomeru na papier, prikryť ho priehľadným kockovaným papierom a potom spočítať bunky vo vnútri kruhu (obr. 28).

Táto metóda je však z mnohých dôvodov nepohodlná. Po prvé, v blízkosti obrysu kruhu sa získa množstvo neúplných buniek, ktorých veľkosť je ťažké posúdiť. Po druhé, veľký predmet nemôžete zakryť listom papiera (okrúhly kvetinový záhon, bazén, fontána atď.). Po tretie, po spočítaní buniek stále nemáme žiadne pravidlo, ktoré by nám umožnilo vyriešiť ďalší podobný problém. Z tohto dôvodu to urobme inak. Porovnajme kruh s nejakou nám známou figúrkou a urobme to takto: vystrihneme kruh z papiera, rozrežeme ho najskôr v priemere na polovicu, potom každú polovicu znova rozrežeme na polovicu, každú štvrtinu znova na polovicu atď. kruh rozrežte napríklad na 32 častí v tvare zubov (obr. 29).

Potom ich zložíme tak, ako je to znázornené na obrázku 30, t.j. najprv umiestnime 16 zubov vo forme pílky a potom do vytvorených otvorov vložíme 15 zubov a nakoniec posledný zostávajúci zub pozdĺž polomeru rozrežeme na polovicu a pripevníme jedna časť vľavo, druhá - vpravo. Potom dostanete postavu pripomínajúcu obdĺžnik.

Dĺžka tohto obrázku (základňa) sa približne rovná dĺžke polkruhu a výška sa približne rovná polomeru. Potom sa plocha takejto postavy dá nájsť vynásobením čísel vyjadrujúcich dĺžku polkruhu a dĺžku polomeru. Ak označíme oblasť kruhu písmenom S, obvod písmena OD, polomerové písmeno r, potom môžeme napísať vzorec na určenie plochy kruhu:

ktorý znie takto: Plocha kruhu sa rovná dĺžke polkruhu krát polomer.

Úloha. Nájdite oblasť kruhu, ktorého polomer je 4 cm. Najprv nájdite obvod, potom dĺžku polkruhu a potom ho vynásobte polomerom.

1) Obvod OD = π D= 3,14 8 = 25,12 (cm).

2) Dĺžka polkruhu C / 2 \u003d 25,12: 2 \u003d 12,56 (cm).

3) Plocha kruhu S = C / 2 r\u003d 12,56 4 \u003d 50,24 (cm2).

§ 118. Povrch a objem valca.

Úloha 1. Nájdite celkovú plochu valca s priemerom základne 20,6 cm a výškou 30,5 cm.

Tvar valca (obr. 31) je: vedro, pohár (nie fazetovaný), kastról a mnoho ďalších predmetov.

Celá plocha valca (ako celá plocha pravouhlého rovnobežnostena) pozostáva z bočnej plochy a plôch dvoch podstav (obr. 32).

Aby ste si predstavili, o čom hovoríme, musíte starostlivo vyrobiť model valca z papiera. Ak od tohto modelu odčítame dve podstavy, teda dva kruhy a pozdĺžne rozrežeme bočnú plochu a rozložíme ju, potom bude celkom jasné, ako vypočítať celkovú plochu valca. Bočná plocha sa rozvinie do obdĺžnika, ktorého základňa sa rovná obvodu kruhu. Preto bude riešenie problému vyzerať takto:

1) Obvod: 20,6 3,14 = 64,684 (cm).

2) Bočný povrch: 64,684 ± 30,5 = 1972,862 (cm2).

3) Plocha jednej základne: 32,342 10,3 \u003d 333,1226 (cm2).

4) Celý povrch valca:

1972,862 + 333,1226 + 333,1226 = 2639,1072 (cm2) ≈ 2639 (cm2).

Úloha 2. Nájdite objem železného suda v tvare valca s rozmermi: priemer základne 60 cm a výška 110 cm.

Na výpočet objemu valca si musíte pamätať, ako sme vypočítali objem pravouhlého rovnobežnostena (je užitočné prečítať si § 61).

Jednotkou merania objemu je kubický centimeter. Najprv musíte zistiť, koľko kubických centimetrov je možné umiestniť na základnú plochu, a potom vynásobiť nájdené číslo výškou.

Ak chcete zistiť, koľko kubických centimetrov je možné umiestniť na základnú plochu, musíte vypočítať základnú plochu valca. Keďže základňa je kruh, musíte nájsť oblasť kruhu. Potom, aby ste určili objem, vynásobte ho výškou. Riešenie problému vyzerá takto:

1) Obvod: 60 3,14 = 188,4 (cm).

2) Plocha kruhu: 94,230 = 2826 (cm2).

3) Objem valca: 2826 110 \u003d 310 860 (cc).

Odpoveď. Objem suda je 310,86 metrov kubických. dm.

Ak objem valca označíme písmenom V, základná plocha S, výška valca H, potom môžete napísať vzorec na určenie objemu valca:

V = S H

ktorý znie takto: Objem valca sa rovná ploche základne krát výška.

§ 119. Tabuľky na výpočet obvodu kruhu podľa priemeru.

Pri riešení rôznych výrobných problémov je často potrebné vypočítať obvod. Predstavte si robotníka, ktorý vyrába okrúhle diely podľa priemerov, ktoré mu boli naznačené. Musí zakaždým, keď pozná priemer, vypočítať obvod. Aby ušetril čas a poistil sa proti chybám, obracia sa na hotové tabuľky, ktoré uvádzajú priemery a príslušné obvody.

Tu je malá časť týchto tabuliek a povie vám, ako ich používať.

Nech je známe, že priemer kruhu je 5 m. Hľadáme v tabuľke vo zvislom stĺpci pod písm. Dčíslo 5. Toto je dĺžka priemeru. Vedľa tohto čísla (vpravo, v stĺpci s názvom "Obvod") uvidíme číslo 15,708 (m). Presne rovnakým spôsobom zistíme, že ak D\u003d 10 cm, potom je obvod 31,416 cm.

Rovnaké tabuľky možno použiť na vykonanie spätných výpočtov. Ak je známy obvod, potom môžete nájsť zodpovedajúci priemer v tabuľke. Obvod nech je približne 34,56 cm Nájdime v tabuľke číslo najbližšie k danému. To bude 34,558 (rozdiel 0,002). Priemer zodpovedajúci takémuto obvodu je približne 11 cm.

Tu uvedené tabuľky sú dostupné v rôznych referenčných knihách. Najmä ich možno nájsť v knihe „Štvorciferné matematické tabuľky“ od V. M. Bradisa. a v knihe problémov o aritmetike od S. A. Ponomareva a N. I. Syrneva.