Nájdite vzorec uhla medzi rovnými čiarami. Uhol medzi dvoma priamymi čiarami
A. Uveďme dve priame čiary, ktoré, ako je uvedené v kapitole 1, tvoria rôzne kladné a záporné uhly, ktoré môžu byť ostré alebo tupé. Keď poznáme jeden z týchto uhlov, môžeme ľahko nájsť ktorýkoľvek iný.
Mimochodom, pre všetky tieto uhly je číselná hodnota dotyčnice rovnaká, rozdiel môže byť len v znamienku
Rovnice čiar. Čísla sú priemety smerových vektorov prvej a druhej priamky.Uhol medzi týmito vektormi sa rovná jednému z uhlov tvorených priamkami. Preto je problém určiť uhol medzi vektormi
Pre jednoduchosť sa môžeme dohodnúť, že uhol medzi dvoma priamkami je ostrý kladný uhol (ako napr. na obr. 53).
Potom bude dotyčnica tohto uhla vždy kladná. Ak je teda na pravej strane vzorca (1) znamienko mínus, musíme ho zahodiť, t.j. uložiť len absolútnu hodnotu.
Príklad. Určte uhol medzi priamymi čiarami
Podľa vzorca (1) máme
s. Ak je naznačené, ktorá zo strán uhla je jeho začiatkom a ktorá je jeho koncom, potom, vždy počítajúc smer uhla proti smeru hodinových ručičiek, môžeme zo vzorca (1) získať niečo viac. Ako je ľahko vidieť z obr. 53, znamienko získané na pravej strane vzorca (1) udáva, aký uhol - ostrý alebo tupý - tvorí druhá priamka s prvou.
(Z obr. 53 vidíme, že uhol medzi vektorom prvého a druhého smeru sa buď rovná požadovanému uhlu medzi priamkami, alebo sa od neho líši o ±180°.)
d. Ak sú priamky rovnobežné, tak ich smerové vektory sú rovnobežné.Aplikovaním podmienky rovnobežnosti dvoch vektorov dostaneme!
Toto je nevyhnutná a postačujúca podmienka pre rovnobežnosť dvoch čiar.
Príklad. Priamy
sú paralelné, pretože
e. Ak sú čiary kolmé, ich smerové vektory sú tiež kolmé. Aplikovaním podmienky kolmosti dvoch vektorov získame podmienku kolmosti dvoch priamok, a to
Príklad. Priamy
sú kolmé vzhľadom na to, že
V súvislosti s podmienkami rovnobežnosti a kolmosti budeme riešiť nasledujúce dva problémy.
f. Nakreslite čiaru cez bod rovnobežný s danou čiarou
Riešenie sa vykonáva takto. Keďže požadovaná priamka je rovnobežná s touto, potom za jej smerový vektor môžeme brať ten istý, ako má daná priamka, t.j. vektor s priemetmi A a B. Potom rovnicu požadovanej priamky zapíšeme v tlačivo (§ 1)
Príklad. Rovnica priamky prechádzajúcej bodom (1; 3) rovnobežne s priamkou
bude ďalší!
g. Nakreslite čiaru cez bod kolmý na danú čiaru
Tu už nie je vhodné brať vektor s projekciami A a ako vodiaci vektor, ale je potrebné brať vektor kolmo naň. Priemetne tohto vektora treba teda voliť podľa podmienky kolmosti oboch vektorov, teda podľa podmienky
Táto podmienka môže byť splnená nespočetnými spôsobmi, keďže tu je jedna rovnica s dvoma neznámymi, ale najjednoduchšie je zobrať alebo Potom rovnicu požadovanej priamky zapíšeme v tvare
Príklad. Rovnica priamky prechádzajúcej bodom (-7; 2) v kolmej priamke
bude nasledovné (podľa druhého vzorca)!
h. V prípade, keď sú čiary dané rovnicami tvaru
Inštrukcie
Poznámka
Perióda dotyčnice goniometrickej funkcie sa rovná 180 stupňom, čo znamená, že uhly sklonu priamok nemôžu v absolútnej hodnote prekročiť túto hodnotu.
Užitočné rady
Ak sú uhlové koeficienty navzájom rovnaké, potom je uhol medzi týmito čiarami 0, pretože tieto čiary sa buď zhodujú, alebo sú rovnobežné.
Na určenie hodnoty uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami je potrebné presunúť obe čiary (alebo jednu z nich) do novej polohy pomocou metódy paralelného prekladu, kým sa nepretnú. Potom by ste mali nájsť uhol medzi výslednými pretínajúcimi sa čiarami.
Budete potrebovať
- Pravítko, pravouhlý trojuholník, ceruzka, uhlomer.
Inštrukcie
Nech je teda daný vektor V = (a, b, c) a rovina A x + B y + C z = 0, kde A, B a C sú súradnice normály N. Potom kosínus uhla α medzi vektormi V a N sa rovná: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).
Na výpočet uhla v stupňoch alebo radiánoch je potrebné z výsledného výrazu vypočítať inverznú funkciu ku kosínusu, t.j. arkkozín:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).
Príklad: nájsť rohu medzi vektor(5, -3, 8) a lietadlo, dané všeobecnou rovnicou 2 x – 5 y + 3 z = 0. Riešenie: zapíšte súradnice normálového vektora roviny N = (2, -5, 3). Dosaďte všetky známe hodnoty do daného vzorca: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.
Video k téme
Priamka, ktorá má jeden spoločný bod s kružnicou, je dotyčnicou kružnice. Ďalšou vlastnosťou dotyčnice je, že je vždy kolmá na polomer nakreslený k bodu dotyku, to znamená, že dotyčnica a polomer tvoria priamku. rohu. Ak sú dve dotyčnice ku kružnici AB a AC nakreslené z jedného bodu A, potom sú si vždy rovné. Určenie uhla medzi dotyčnicami ( rohu ABC) sa robí pomocou Pytagorovej vety.
Inštrukcie
Na určenie uhla potrebujete poznať polomer kružnice OB a OS a vzdialenosť začiatočného bodu dotyčnice od stredu kružnice - O. Takže uhly ABO a ACO sú rovnaké, polomer OB je, napríklad 10 cm a vzdialenosť od stredu kružnice AO je 15 cm Dĺžku dotyčnice určte pomocou vzorca podľa Pytagorovej vety: AB = druhá odmocnina z AO2 – OB2 alebo 152 - 102 = 225 – 100 = 125;
Budem stručný. Uhol medzi dvoma priamkami sa rovná uhlu medzi ich smerovými vektormi. Ak sa vám teda podarí nájsť súradnice smerových vektorov a = (x 1 ; y 1 ; z 1) a b = (x 2 ; y 2 ; z 2), môžete nájsť uhol. Presnejšie, kosínus uhla podľa vzorca:
Pozrime sa, ako tento vzorec funguje na konkrétnych príkladoch:
Úloha. V kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sú vyznačené body E a F - stredy hrán A 1 B 1 a B 1 C 1, resp. Nájdite uhol medzi čiarami AE a BF.
Keďže hrana kocky nie je zadaná, nastavíme AB = 1. Zavedieme štandardný súradnicový systém: počiatok je v bode A, osi x, y, z smerujú pozdĺž AB, AD a AA 1, v tomto poradí. Jednotkový segment sa rovná AB = 1. Teraz nájdime súradnice smerových vektorov pre naše čiary.
Nájdite súradnice vektora AE. Na to potrebujeme body A = (0; 0; 0) a E = (0,5; 0; 1). Keďže bod E je stredom úsečky A 1 B 1, jeho súradnice sa rovnajú aritmetickému priemeru súradníc koncov. Všimnite si, že počiatok vektora AE sa zhoduje s počiatkom súradníc, takže AE = (0,5; 0; 1).
Teraz sa pozrime na BF vektor. Podobne analyzujeme body B = (1; 0; 0) a F = (1; 0,5; 1), pretože F je stred segmentu B 1 C 1. Máme:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).
Smerové vektory sú teda pripravené. Kosínus uhla medzi priamkami je kosínus uhla medzi smerovými vektormi, takže máme:
Úloha. V pravidelnom trojuholníkovom hranole ABCA 1 B 1 C 1, ktorého všetky hrany sú rovné 1, sú vyznačené body D a E - stredy hrán A 1 B 1 a B 1 C 1, resp. Nájdite uhol medzi čiarami AD a BE.
Zavedieme štandardný súradnicový systém: počiatok je v bode A, os x smeruje pozdĺž AB, z - pozdĺž AA 1. Nasmerujme os y tak, aby sa rovina OXY zhodovala s rovinou ABC. Jednotkový segment sa rovná AB = 1. Nájdite súradnice smerových vektorov pre požadované čiary.
Najprv nájdime súradnice vektora AD. Zvážte body: A = (0; 0; 0) a D = (0,5; 0; 1), pretože D - stred segmentu A 1 B 1. Keďže začiatok vektora AD sa zhoduje s počiatkom súradníc, dostaneme AD = (0,5; 0; 1).
Teraz nájdime súradnice vektora BE. Bod B = (1; 0; 0) sa dá ľahko vypočítať. S bodom E - stredom segmentu C 1 B 1 - je to trochu zložitejšie. Máme:
Zostáva nájsť kosínus uhla:
Úloha. V pravidelnom šesťhrannom hranole ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, ktorého všetky hrany sú rovné 1, sú vyznačené body K a L - stredy hrán A 1 B 1 a B 1 C 1, resp. . Nájdite uhol medzi čiarami AK a BL.
Zavedme štandardný súradnicový systém pre hranol: počiatok súradníc umiestnime do stredu spodnej základne, os x smeruje pozdĺž FC, os y smeruje cez stredy segmentov AB a DE a os z os smeruje zvisle nahor. Jednotkový segment sa opäť rovná AB = 1. Zapíšme si súradnice bodov záujmu, ktoré nás zaujímajú:
Body K a L sú stredovými bodmi segmentov A 1 B 1 a B 1 C 1, takže ich súradnice sa nachádzajú aritmetickým priemerom. Keď poznáme body, nájdeme súradnice smerových vektorov AK a BL:
Teraz nájdime kosínus uhla:
Úloha. V pravidelnej štvorhrannej pyramíde SABCD, ktorej všetky hrany sú rovné 1, sú označené body E a F - stredy strán SB a SC. Nájdite uhol medzi čiarami AE a BF.
Zavedme štandardný súradnicový systém: počiatok je v bode A, osi x a y sú nasmerované pozdĺž AB a AD a os z smeruje vertikálne nahor. Jednotkový segment sa rovná AB = 1.
Body E a F sú stredovými bodmi segmentov SB a SC, takže ich súradnice sa nachádzajú ako aritmetický priemer koncov. Zapíšme si súradnice bodov záujmu:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Keď poznáme body, nájdeme súradnice smerových vektorov AE a BF:
Súradnice vektora AE sa zhodujú so súradnicami bodu E, pretože bod A je počiatok. Zostáva nájsť kosínus uhla:
Definícia. Ak sú dané dve čiary y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, potom ostrý uhol medzi týmito čiarami bude definovaný ako
Dve čiary sú rovnobežné, ak k 1 = k 2. Dve čiary sú kolmé, ak k 1 = -1/ k 2.
Veta.Čiary Ax + Bу + C = 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sú rovnobežné, keď sú koeficienty A 1 = λA, B 1 = λB úmerné. Ak aj C 1 = λC, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.
Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom
Kolmo na danú čiaru
Definícia. Priamka prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmá na priamku y = kx + b je vyjadrená rovnicou:
Vzdialenosť od bodu k čiare
Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom vzdialenosť k priamke Ax + Bу + C = 0 je určená ako
.
Dôkaz. Nech bod M 1 (x 1, y 1) je základňou kolmice spadnutej z bodu M na danú priamku. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:
(1)
Súradnice x 1 a y 1 možno nájsť riešením sústavy rovníc:
Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmým na danú priamku. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
potom pri riešení dostaneme:
Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:
Veta bola dokázaná.
Príklad. Určte uhol medzi čiarami: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
ki = -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= p/4.
Príklad. Ukážte, že priamky 3x – 5y + 7 = 0 a 10x + 6y – 3 = 0 sú kolmé.
Riešenie. Nájdeme: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, teda čiary sú kolmé.
Príklad. Dané sú vrcholy trojuholníka A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Nájdite rovnicu výšky nakreslenú z vrcholu C.
Riešenie. Nájdeme rovnicu strany AB: 
; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Požadovaná výšková rovnica má tvar: Ax + By + C = 0 alebo y = kx + b. k = . Potom y =. Pretože výška prechádza bodom C, potom jej súradnice spĺňajú túto rovnicu: 
odkiaľ b = 17. Spolu: . 
Odpoveď: 3 x + 2 roky – 34 = 0.
Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom v danom smere. Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva dané body. Uhol medzi dvoma priamymi čiarami. Podmienka rovnobežnosti a kolmosti dvoch priamok. Určenie priesečníka dvoch priamok
1. Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom A(X 1 , r 1) v danom smere, určenom sklonom k,
r - r 1 = k(X - X 1). (1)
Táto rovnica definuje ceruzku čiar prechádzajúcich bodom A(X 1 , r 1), ktorý sa nazýva stred lúča.
2. Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva body: A(X 1 , r 1) a B(X 2 , r 2), napísané takto:
Uhlový koeficient priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi je určený vzorcom
3. Uhol medzi rovnými čiarami A A B je uhol, o ktorý sa musí otočiť prvá priamka A okolo priesečníka týchto čiar proti smeru hodinových ručičiek, kým sa nezhoduje s druhou čiarou B. Ak sú dve priamky dané rovnicami so sklonom
r = k 1 X + B 1 ,
r = k 2 X + B 2 , (4)
potom je uhol medzi nimi určený vzorcom
Treba poznamenať, že v čitateli zlomku sa sklon prvého riadku odpočítava od sklonu druhého riadku.
Ak sú rovnice priamky uvedené vo všeobecnom tvare
A 1 X + B 1 r + C 1 = 0,
A 2 X + B 2 r + C 2 = 0, (6)
uhol medzi nimi je určený vzorcom
4. Podmienky pre rovnobežnosť dvoch čiar:
a) Ak sú priamky dané rovnicami (4) s uhlovým koeficientom, potom nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou ich rovnobežnosti je rovnosť ich uhlových koeficientov:
k 1 = k 2 . (8)
b) Pre prípad, keď sú priamky dané rovnicami vo všeobecnom tvare (6), je nutnou a postačujúcou podmienkou ich rovnobežnosti, aby koeficienty pre zodpovedajúce súradnice prúdu v ich rovniciach boli úmerné, t.j.
5. Podmienky pre kolmosť dvoch priamok:
a) V prípade, keď sú priamky dané rovnicami (4) s uhlovým koeficientom, nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou ich kolmosti je, aby ich uhlové koeficienty boli inverzné čo do veľkosti a opačného znamienka, t.j.
Túto podmienku je možné zapísať aj do formulára
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Ak sú rovnice priamok uvedené vo všeobecnom tvare (6), potom podmienkou ich kolmosti (nutnej a postačujúcej) je splnenie rovnosti
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Súradnice priesečníka dvoch priamok nájdeme riešením sústavy rovníc (6). Čiary (6) sa pretínajú vtedy a len vtedy
1. Napíšte rovnice priamok prechádzajúcich bodom M, z ktorých jedna je rovnobežná a druhá kolmá na danú priamku l.
Uhol medzi priamkami v priestore budeme nazývať ktorýkoľvek zo susedných uhlov tvorených dvoma priamkami vedenými cez ľubovoľný bod rovnobežný s údajmi.
Nech sú v priestore uvedené dve čiary:
Je zrejmé, že uhol φ medzi priamkami možno brať ako uhol medzi ich smerovými vektormi a . Pretože potom pomocou vzorca pre kosínus uhla medzi vektormi dostaneme
Podmienky rovnobežnosti a kolmosti dvoch priamok sú ekvivalentné podmienkam rovnobežnosti a kolmosti ich smerových vektorov a:
Dve rovno paralelný vtedy a len vtedy, ak sú im zodpovedajúce koeficienty pomerné, t.j. l 1 rovnobežka l 2 vtedy a len vtedy, ak sú rovnobežné 
.
Dve rovno kolmý práve vtedy, ak súčet súčinov príslušných koeficientov je rovný nule: .
U cieľ medzi čiarou a rovinou
Nech je to rovno d- nie je kolmá na rovinu θ;
d′− projekcia priamky d k rovine 9;
Najmenší uhol medzi priamymi čiarami d A d"zavoláme uhol medzi priamkou a rovinou.
Označme to ako φ=( d,θ)
Ak d⊥θ, potom ( d,θ)=π/2
Oi→j→k→− pravouhlý súradnicový systém.
Rovinná rovnica:
θ: Ax+Autor:+Cz+D=0
Predpokladáme, že priamka je definovaná bodom a smerovým vektorom: d[M 0,p→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Potom zostáva zistiť uhol medzi vektormi n→ a p→, označme to ako γ=( n→,p→).
Ak je uhol γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Ak je uhol γ>π/2, potom požadovaný uhol je φ=γ−π/2
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
potom uhol medzi priamkou a rovinou možno vypočítať pomocou vzorca:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23
Otázka 29. Pojem kvadratickej formy. Znamenková určitosť kvadratických foriem.
Kvadratický tvar j (x 1, x 2, …, x n) n reálnych premenných x 1, x 2, …, x n sa nazýva súčet tvaru 
, (1)
Kde a ij – niektoré čísla nazývané koeficienty. Bez straty všeobecnosti to môžeme predpokladať a ij = a ji.
Kvadratická forma je tzv platný, Ak a ij
Î GR. Matica kvadratického tvaru sa nazýva matica zložená z jej koeficientov. Kvadratický tvar (1) zodpovedá jedinej symetrickej matici 
Teda A T = A. V dôsledku toho možno kvadratickú formu (1) zapísať v maticovom tvare j ( X) = x T Ah, Kde x T = (X 1 X 2 … x n). (2)
A naopak, každá symetrická matica (2) zodpovedá jedinej kvadratickej forme až po zápis premenných.
Hodnosť kvadratického tvaru sa nazýva hodnosť jeho matice. Kvadratická forma je tzv nedegenerovaný, ak jeho matica nie je jednotná A. (pripomeňme, že matica A sa nazýva nedegenerovaný, ak jeho determinant nie je rovný nule). V opačnom prípade je kvadratická forma degenerovaná.
kladné definitívne(alebo striktne pozitívne), ak
j ( X) > 0 , pre hocikoho X = (X 1 , X 2 , …, x n), okrem X = (0, 0, …, 0).
Matrix A pozitívne definitná kvadratická forma j ( X) sa nazýva aj pozitívne definitíva. Pozitívne definitná kvadratická forma teda zodpovedá jedinečnej pozitívne definitívnej matici a naopak.
Kvadratická forma (1) sa nazýva negatívne definované(alebo striktne negatívne), ak
j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), okrem X = (0, 0, …, 0).
Podobne ako vyššie, matica negatívne definitívnej kvadratickej formy sa tiež nazýva negatívne definitná.
V dôsledku toho je kladná (záporná) určitá kvadratická forma j ( X) dosiahne minimálnu (maximálnu) hodnotu j ( X*) = 0 at X* = (0, 0, …, 0).
Všimnite si, že väčšina kvadratických foriem nie je znamienkovo definovaná, to znamená, že nie sú ani pozitívne, ani negatívne. Takéto kvadratické formy zanikajú nielen v počiatku súradnicového systému, ale aj v iných bodoch.
Kedy n> 2, na kontrolu znamienka kvadratického tvaru sú potrebné špeciálne kritériá. Pozrime sa na ne.
Hlavne maloletí kvadratické formy sa nazývajú maloletí:
to znamená, že ide o maloletých v poradí 1, 2, ..., n matice A, umiestnený v ľavom hornom rohu, posledný z nich sa zhoduje s determinantom matice A.
Pozitívne kritérium jednoznačnosti (Sylvesterovo kritérium)
X) = x T Ah bol kladný jednoznačný, je potrebné a postačujúce, aby všetky hlavné maloleté matice A boli pozitívne, teda: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Negatívne kritérium istoty Aby kvadratická forma j ( X) = x T Ah bol záporne určitý, je potrebné a postačujúce, aby jeho hlavné maloleté osoby párneho rádu boli kladné a nepárneho rádu boli záporné, t.j.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n