Napíšte rovnicu priamky cez 2 body. Všeobecná rovnica priamky
Vlastnosti priamky v euklidovskej geometrii.
Cez ktorýkoľvek bod možno nakresliť nekonečné množstvo priamych čiar.
Cez akékoľvek dva nezhodné body možno nakresliť jednu priamku.
Dve rôznobežné čiary v rovine sa buď pretínajú v jednom bode, alebo sú
paralelný (vyplýva z predchádzajúceho).
V trojrozmernom priestore existujú tri možnosti pre relatívnu polohu dvoch čiar:
- čiary sa pretínajú;
- čiary sú rovnobežné;
- priamky sa pretínajú.
Rovno riadok— algebraická krivka prvého rádu: priamka v karteziánskom súradnicovom systéme
je daná v rovine rovnicou prvého stupňa (lineárna rovnica).
Všeobecná rovnica priamky.
Definícia. Akákoľvek priamka v rovine môže byť špecifikovaná rovnicou prvého poriadku
Ax + Wu + C = 0,
a konštantný A, B sa zároveň nerovnajú nule. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecný
rovnica priamky. V závislosti od hodnôt konštánt A, B A S Možné sú tieto špeciálne prípady:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- počiatkom prechádza priamka
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (by + C = 0)- priamka rovnobežná s osou Oh
. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- priamka rovnobežná s osou OU
. B = C = 0, A ≠0- priamka sa zhoduje s osou OU
. A = C = 0, B = 0- priamka sa zhoduje s osou Oh
Rovnica priamky môže byť prezentovaná v rôznych formách v závislosti od danej veličiny
počiatočné podmienky.
Rovnica priamky z bodu a normálového vektora.
Definícia. V kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme vektor so zložkami (A, B)
kolmá na priamku danú rovnicou
Ax + Wu + C = 0.
Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A(1; 2) kolmo na vektor (3, -1).
Riešenie. S A = 3 a B = -1 zostavme rovnicu priamky: 3x - y + C = 0. Ak chcete nájsť koeficient C
Do výsledného výrazu dosadíme súradnice daného bodu A. Dostaneme: 3 - 2 + C = 0, teda
C = -1. Spolu: požadovaná rovnica: 3x - y - 1 = 0.
Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi.
Nech sú uvedené dva body v priestore M 1 (x 1 , y 1 , z 1) A M2 (x 2, y 2, z 2), Potom rovnica priamky,
prechádza cez tieto body:
Ak je niektorý z menovateľov nula, zodpovedajúci čitateľ by mal byť nastavený na nulu. Zapnuté
rovine, rovnica priamky napísaná vyššie je zjednodušená:
Ak x 1 ≠ x 2 A x = x 1, Ak x 1 = x 2 .
Zlomok = k volal sklon rovno.
Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1, 2) a B(3, 4).
Riešenie. Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:
Rovnica priamky pomocou bodu a sklonu.
Ak je všeobecná rovnica priamky Ax + Wu + C = 0 viesť k:
a určiť 
, potom sa výsledná rovnica nazýva
rovnica priamky so sklonom k.
Rovnica priamky z bodu a smerového vektora.
Analogicky s bodom, ktorý berie do úvahy rovnicu priamky cez normálový vektor, môžete zadať úlohu
priamka cez bod a smerový vektor priamky.
Definícia. Každý nenulový vektor (α 1, α 2), ktorého komponenty spĺňajú podmienku
Aai + Ba2 = 0 volal smerový vektor priamky.
Ax + Wu + C = 0.
Príklad. Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom (1, -1) a prechádzajúcej bodom A(1, 2).
Riešenie. Budeme hľadať rovnicu požadovaného riadku v tvare: Ax + By + C = 0. Podľa definície
koeficienty musia spĺňať tieto podmienky:
1 * A + (-1) * B = 0, t.j. A = B.
Potom má rovnica priamky tvar: Ax + Ay + C = 0, alebo x + y + C / A = 0.
pri x = 1, y = 2 dostaneme C/A = -3, t.j. požadovaná rovnica:
x + y - 3 = 0
Rovnica priamky v segmentoch.
Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ах + Ву + С = 0 С≠0, potom po delení -С dostaneme:
alebo kde
Geometrický význam koeficientov je, že koeficient a je súradnicou priesečníka
rovný s osou oh, A b- súradnica priesečníka priamky s osou OU.
Príklad. Je uvedená všeobecná rovnica priamky x - y + 1 = 0. Nájdite rovnicu tejto priamky v segmentoch.
C = 1, a = -1, b = 1.
Normálna rovnica priamky.
Ak obe strany rovnice Ax + Wu + C = 0 deliť číslom 
ktorá sa volá
normalizačný faktor, potom dostaneme
xcosφ + ysinφ - p = 0 -normálna rovnica priamky.
Znamienko ± normalizačného faktora musí byť zvolené tak, aby μ*C< 0.
R- dĺžka kolmice spustenej od začiatku k priamke,
A φ - uhol, ktorý zviera táto kolmica s kladným smerom osi Oh.
Príklad. Je uvedená všeobecná rovnica priamky 12x - 5r - 65 = 0. Vyžaduje sa na písanie rôznych typov rovníc
túto priamku.
Rovnica tejto priamky v segmentoch:
Rovnica tejto priamky so sklonom: (vydeliť 5)
Rovnica priamky:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Treba poznamenať, že nie každá priamka môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad priamky,
rovnobežné s osami alebo prechádzajúce počiatkom.
Uhol medzi priamkami v rovine.
Definícia. Ak sú uvedené dva riadky y = k1x + b1, y = k2x + b2, potom ostrý uhol medzi týmito čiarami
bude definovaný ako
Dve čiary sú rovnobežné, ak k1 = k2. Dve čiary sú kolmé
Ak k1 = -1/k2 .
Veta.
Priamy Ax + Wu + C = 0 A Aix + B1y + C1 = 0 paralelné, keď sú koeficienty proporcionálne
Ai = λA, B1 = λB. Ak tiež С 1 = λС, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok
sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.
Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmo na danú priamku.
Definícia. Čiara prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmo na čiaru y = kx + b
reprezentovaný rovnicou:
Vzdialenosť od bodu k čiare.
Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom vzdialenosť k priamke Ax + Wu + C = 0 definovaný ako:
Dôkaz. Nechajte bod M 1 (x 1, y 1)- základňa kolmice spadnutá z bodu M za danú
priamy. Potom vzdialenosť medzi bodmi M A M 1:
(1)
Súradnice x 1 A o 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc:
Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmo
daná priama čiara. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
potom pri riešení dostaneme:
Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:
Veta bola dokázaná.
Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi. V článku" " Sľúbil som vám, že sa pozriete na druhý spôsob riešenia uvedených problémov hľadania derivácie, ak je daný graf funkcie a dotyčnica k tomuto grafu. O tejto metóde budeme diskutovať v , Nenechajte si ujsť! Prečo? v ďalšom?
Faktom je, že tam bude použitý vzorec pre rovnicu priamky. Samozrejme, mohli by sme jednoducho ukázať tento vzorec a poradiť vám, aby ste sa ho naučili. Ale je lepšie vysvetliť, odkiaľ pochádza (ako je odvodený). Je to nevyhnutné! Ak ho zabudnete, môžete ho rýchlo obnoviťnebude ťažké. Všetko je podrobne opísané nižšie. Takže máme dva body A na rovine súradníc(x 1; y 1) a B(x 2; y 2) je nakreslená priamka cez uvedené body: 
Tu je samotný priamy vzorec:
*To znamená, že pri dosadení konkrétnych súradníc bodov dostaneme rovnicu v tvare y=kx+b.
**Ak si tento vzorec jednoducho „zapamätáte“, potom je vysoká pravdepodobnosť, že sa pomýlite s indexmi, keď X. Okrem toho môžu byť indexy označené rôznymi spôsobmi, napríklad:
Preto je dôležité pochopiť význam.
Teraz odvodenie tohto vzorca. Všetko je veľmi jednoduché!
Trojuholníky ABE a ACF sú podobné v ostrom uhle (prvý znak podobnosti pravouhlých trojuholníkov). Z toho vyplýva, že pomery zodpovedajúcich prvkov sú rovnaké, to znamená:
Teraz jednoducho vyjadríme tieto segmenty prostredníctvom rozdielu v súradniciach bodov:
Samozrejme, nedôjde k chybe, ak napíšete vzťahy prvkov v inom poradí (hlavná vec je zachovať konzistenciu):
Výsledkom bude rovnaká rovnica priamky. To je všetko!
To znamená, že bez ohľadu na to, ako sú označené samotné body (a ich súradnice), pochopením tohto vzorca vždy nájdete rovnicu priamky.
Vzorec je možné odvodiť pomocou vlastností vektorov, ale princíp odvodenia bude rovnaký, keďže budeme hovoriť o proporcionalite ich súradníc. V tomto prípade funguje rovnaká podobnosť pravouhlých trojuholníkov. Podľa môjho názoru je vyššie popísaný záver jasnejší)).
Zobraziť výstup cez vektorové súradnice >>>
Nech je zostrojená priamka na súradnicovej rovine prechádzajúcej cez dva dané body A(x 1;y 1) a B(x 2;y 2). Označme ľubovoľný bod C na priamke so súradnicami ( X; r). Označujeme tiež dva vektory:
Je známe, že pre vektory ležiace na rovnobežných čiarach (alebo na tej istej čiare) sú ich zodpovedajúce súradnice proporcionálne, to znamená:
— zapíšeme rovnosť pomerov príslušných súradníc:
Pozrime sa na príklad:
Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej dvoma bodmi so súradnicami (2;5) a (7:3).
Nemusíte ani postaviť samotnú priamku. Aplikujeme vzorec:
Je dôležité, aby ste pri zostavovaní pomeru pochopili korešpondenciu. Nemôžeš sa pokaziť, ak napíšeš:
Odpoveď: y=-2/5x+29/5 pokračujte y=-0,4x+5,8
Aby ste sa uistili, že výsledná rovnica je nájdená správne, nezabudnite do nej skontrolovať - nahradiť súradnice údajov v stave bodov. Rovnice by mali byť správne.
To je všetko. Dúfam, že materiál bol pre vás užitočný.
S pozdravom Alexander.
P.S: Bol by som vďačný, keby ste mi o stránke povedali na sociálnych sieťach.
Definícia. Akákoľvek priamka v rovine môže byť špecifikovaná rovnicou prvého poriadku
Ax + Wu + C = 0,
Navyše konštanty A a B nie sú súčasne rovné nule. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecná rovnica priamky. V závislosti od hodnôt konštánt A, B a C sú možné tieto špeciálne prípady:
C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – priamka prechádza počiatkom
A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - priamka rovnobežná s osou Ox
B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – priamka rovnobežná s osou Oy
B = C = 0, A ≠0 – priamka sa zhoduje s osou Oy
A = C = 0, B ≠0 – priamka sa zhoduje s osou Ox
Rovnica priamky môže byť prezentovaná v rôznych formách v závislosti od akýchkoľvek daných počiatočných podmienok.
Rovnica priamky z bodu a normálového vektora
Definícia. V kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme je vektor so zložkami (A, B) kolmý na priamku danú rovnicou Ax + By + C = 0.
Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A(1, 2) kolmým na (3, -1).
Riešenie. Pri A = 3 a B = -1 zostavme rovnicu priamky: 3x – y + C = 0. Aby sme našli koeficient C, dosadíme do výsledného výrazu súradnice daného bodu A. Dostaneme: 3 – 2 + C = 0, teda C = -1 . Spolu: požadovaná rovnica: 3x – y – 1 = 0.
Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi
Nech sú v priestore dané dva body M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), potom rovnica priamky prechádzajúcej týmito bodmi je:
Ak sa niektorý z menovateľov rovná nule, príslušný čitateľ by sa mal rovnať nule. Rovnica riadku napísaná vyššie je v rovine zjednodušená:
ak x 1 ≠ x 2 a x = x 1, ak x 1 = x 2.
Zlomok = k sa nazýva sklon rovno.
Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1, 2) a B(3, 4).
Riešenie. Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:
Rovnica priamky z bodu a sklonu
Ak súčet Ax + Bu + C = 0, vedie k tvaru:
a určiť 
, potom sa výsledná rovnica nazýva rovnica priamky so sklonomk.
Rovnica priamky z bodu a smerového vektora
Analogicky s bodom, ktorý berie do úvahy rovnicu priamky cez normálový vektor, môžete zadať definíciu priamky cez bod a smerový vektor priamky.
Definícia. Každý nenulový vektor (α 1, α 2), ktorého zložky spĺňajú podmienku A α 1 + B α 2 = 0, sa nazýva smerovací vektor priamky.
Ax + Wu + C = 0.
Príklad. Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom (1, -1) a prechádzajúcej bodom A(1, 2).
Riešenie. Budeme hľadať rovnicu požadovanej priamky v tvare: Ax + By + C = 0. V súlade s definíciou musia koeficienty spĺňať podmienky:
1 * A + (-1) * B = 0, t.j. A = B.
Potom rovnica priamky má tvar: Ax + Ay + C = 0, alebo x + y + C / A = 0. pre x = 1, y = 2 dostaneme C/ A = -3, t.j. požadovaná rovnica:
Rovnica priamky v segmentoch
Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ах + Ву + С = 0 С≠0, potom po delení –С dostaneme: 
alebo
Geometrický význam koeficientov je, že koeficient A je súradnica priesečníka priamky s osou Ox a b– súradnica priesečníka priamky s osou Oy.
Príklad. Je daná všeobecná rovnica priamky x – y + 1 = 0. Nájdite rovnicu tejto priamky v úsečkách.
C = 1, a = -1, b = 1.
Normálna rovnica priamky
Ak sa obe strany rovnice Ax + By + C = 0 vynásobia číslom 
ktorá sa volá normalizačný faktor, potom dostaneme
xcosφ + ysinφ - p = 0 –
normálna rovnica priamky. Znamienko ± normalizačného faktora sa musí zvoliť tak, aby μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Príklad. Je uvedená všeobecná rovnica priamky 12x – 5y – 65 = 0. Pre túto priamku je potrebné napísať rôzne typy rovníc.
rovnica tejto priamky v segmentoch: 
rovnica tejto priamky so sklonom: (delíme 5)
; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Treba poznamenať, že nie každá priamka môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad priamky rovnobežné s osami alebo prechádzajúce počiatkom súradníc.
Príklad. Priamka odreže rovnaké kladné segmenty na súradnicových osiach. Napíšte rovnicu pre priamku, ak je plocha trojuholníka tvoreného týmito segmentmi 8 cm2.
Riešenie. Rovnica priamky má tvar: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.
Príklad. Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom A(-2, -3) a počiatkom.
Riešenie.
Rovnica priamky je: 
kde xi = yi = 0; x2 = -2; y2 = -3.
Uhol medzi rovnými čiarami v rovine
Definícia. Ak sú dané dve čiary y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, potom ostrý uhol medzi týmito čiarami bude definovaný ako
.
Dve čiary sú rovnobežné, ak k 1 = k 2. Dve čiary sú kolmé, ak k 1 = -1/ k 2.
Veta.Čiary Ax + Bу + C = 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sú rovnobežné, keď sú koeficienty A 1 = λA, B 1 = λB úmerné. Ak aj C 1 = λC, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.
Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmo na danú priamku
Definícia. Priamka prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmá na priamku y = kx + b je vyjadrená rovnicou:
Vzdialenosť od bodu k čiare
Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom vzdialenosť k priamke Ax + Bу + C = 0 je určená ako
.
Dôkaz. Nech bod M 1 (x 1, y 1) je základňou kolmice spadnutej z bodu M na danú priamku. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:
(1)
Súradnice x 1 a y 1 možno nájsť riešením sústavy rovníc:
Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmým na danú priamku. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
potom pri riešení dostaneme:
Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:
Veta bola dokázaná.
Príklad. Určte uhol medzi čiarami: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
ki = -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= π /4.
Príklad. Ukážte, že priamky 3x – 5y + 7 = 0 a 10x + 6y – 3 = 0 sú kolmé.
Riešenie. Nájdeme: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, teda čiary sú kolmé.
Príklad. Dané sú vrcholy trojuholníka A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Nájdite rovnicu výšky nakreslenú z vrcholu C.
Riešenie. Nájdeme rovnicu strany AB: 
; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Požadovaná výšková rovnica má tvar: Ax + By + C = 0 alebo y = kx + b. k = . Potom y =. Pretože výška prechádza bodom C, potom jej súradnice spĺňajú túto rovnicu: 
odkiaľ b = 17. Spolu: . 
Odpoveď: 3 x + 2 roky – 34 = 0.
Nechajte priamku prechádzať bodmi M 1 (x 1; y 1) a M 2 (x 2; y 2). Rovnica priamky prechádzajúcej bodom M 1 má tvar y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)
Kde k - zatiaľ neznámy koeficient.
Keďže priamka prechádza bodom M 2 (x 2 y 2), súradnice tohto bodu musia spĺňať rovnicu (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).
Odtiaľ nájdeme Nahradenie nájdenej hodnoty k
do rovnice (10.6) dostaneme rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi M 1 a M 2: 
Predpokladá sa, že v tejto rovnici x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Ak x 1 = x 2, potom priamka prechádzajúca bodmi M 1 (x 1,y I) a M 2 (x 2,y 2) je rovnobežná so zvislou osou. Jeho rovnica je x = x 1 .
Ak y 2 = y I, potom rovnicu priamky môžeme zapísať ako y = y 1, priamka M 1 M 2 je rovnobežná s osou x.
Rovnica priamky v segmentoch
Nech priamka pretína os Ox v bode M 1 (a;0) a os Oy v bode M 2 (0;b). Rovnica bude mať tvar: 
tie. 
. Táto rovnica sa nazýva rovnica priamky v segmentoch, pretože čísla a a b označujú, ktoré segmenty úsečka oddeľuje na súradnicových osiach.
Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmo na daný vektor
Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej daným bodom Mo (x O; y o) kolmou na daný nenulový vektor n = (A; B).
Zoberme si ľubovoľný bod M(x; y) na priamke a uvažujme vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (pozri obr. 1). Pretože vektory n a M o M sú kolmé, ich skalárny súčin sa rovná nule: tj.
A(x - xo) + B (y - yo) = 0. (10.8)
Volá sa rovnica (10.8). rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmým na daný vektor .
Vektor n= (A; B), kolmý na priamku, sa nazýva normálny normálny vektor tejto čiary .
Rovnicu (10.8) je možné prepísať ako Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
kde A a B sú súradnice normálového vektora, C = -Ax o - Vu o je voľný člen. rovnica (10.9) je všeobecná rovnica priamky(pozri obr. 2).
Obr.1 Obr.2
Kanonické rovnice priamky
,
Kde 
- súradnice bodu, ktorým čiara prechádza, a 
- smerový vektor.
Krivky druhého rádu Kruh
Kruh je množina všetkých bodov roviny rovnako vzdialených od daného bodu, ktorý sa nazýva stred.
Kanonická rovnica kružnice s polomerom
R sústredený v bode 
:
Najmä, ak sa stred kolíka zhoduje s pôvodom súradníc, rovnica bude vyzerať takto: 
Elipsa
Elipsa je množina bodov v rovine, pričom súčet vzdialeností od každého z nich k dvom daným bodom
A 
, ktoré sa nazývajú ohniská, je konštantná veličina 
, väčšia ako vzdialenosť medzi ohniskami 
.
Kanonická rovnica elipsy, ktorej ohniská ležia na osi Ox a počiatok súradníc v strede medzi ohniskami má tvar 
G 
de a dĺžka hlavnej osi; b – dĺžka vedľajšej osi (obr. 2).
Rovnica priamky na rovine.
Ako je známe, každý bod v rovine je určený dvoma súradnicami v nejakom súradnicovom systéme. Súradnicové systémy sa môžu líšiť v závislosti od výberu základu a pôvodu.
Definícia. Rovnica priamky sa nazýva vzťah y = f(x) medzi súradnicami bodov, ktoré tvoria túto priamku.
Všimnite si, že rovnica priamky môže byť vyjadrená parametricky, to znamená, že každá súradnica každého bodu je vyjadrená prostredníctvom nejakého nezávislého parametra t.
Typickým príkladom je trajektória pohybujúceho sa bodu. V tomto prípade zohráva úlohu parametra čas.
Rovnica priamky na rovine.
Definícia. Akákoľvek priamka v rovine môže byť špecifikovaná rovnicou prvého poriadku
Ax + Wu + C = 0,
Navyše konštanty A a B sa zároveň nerovnajú nule, t.j. A 2 + B 2 0. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecná rovnica priamky.
V závislosti od hodnôt konštánt A, B a C sú možné tieto špeciálne prípady:
C = 0, A 0, B 0 – priamka prechádza počiatkom
A = 0, B 0, C 0 (By + C = 0) - priamka rovnobežná s osou Ox
B = 0, A 0, C 0 (Ax + C = 0) – priamka rovnobežná s osou Oy
B = C = 0, A 0 – priamka sa zhoduje s osou Oy
A = C = 0, B 0 – priamka sa zhoduje s osou Ox
Rovnica priamky môže byť prezentovaná v rôznych formách v závislosti od akýchkoľvek daných počiatočných podmienok.
Rovnica priamky z bodu a normálového vektora.
Definícia. V kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme je vektor so zložkami (A, B) kolmý na priamku danú rovnicou Ax + By + C = 0.
Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A(1, 2) kolmým na vektor 
(3,
-1).
Pri A = 3 a B = -1 zostavme rovnicu priamky: 3x – y + C = 0. Pre zistenie koeficientu C dosadíme súradnice daného bodu A do výsledného výrazu.
Dostaneme: 3 – 2 + C = 0, teda C = -1.
Spolu: požadovaná rovnica: 3x – y – 1 = 0.
Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi.
Nech sú v priestore dané dva body M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), potom rovnica priamky prechádzajúcej týmito bodmi je:
Ak je niektorý z menovateľov nula, zodpovedajúci čitateľ by mal byť nastavený na nulu.
V rovine je rovnica priamky napísaná vyššie zjednodušená:
ak x 1 x 2 a x = x 1, ak x 1 = x 2.
Zlomok 
=k sa volá sklon rovno.
Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1, 2) a B(3, 4).
Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:
Rovnica priamky pomocou bodu a sklonu.
Ak sa všeobecná rovnica priamky Ax + By + C = 0 zredukuje na tvar:
a určiť 
, potom sa výsledná rovnica nazýva rovnica priamky so sklonomk.
Rovnica priamky z bodu a smerového vektora.
Analogicky s bodom, ktorý berie do úvahy rovnicu priamky cez normálový vektor, môžete zadať definíciu priamky cez bod a smerový vektor priamky.
Definícia.
Každý nenulový vektor 
( 1, 2), ktorého zložky spĺňajú podmienku A 1 + B 2 = 0 sa nazýva smerovací vektor priamky.
Ax + Wu + C = 0.
Príklad. Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom 
(1, -1) a prechádza cez bod A(1, 2).
Budeme hľadať rovnicu požadovanej priamky v tvare: Ax + By + C = 0. V súlade s definíciou musia koeficienty spĺňať podmienky:
1A + (-1)B = 0, t.j. A = B.
Potom má rovnica priamky tvar: Ax + Ay + C = 0 alebo x + y + C/A = 0.
pri x = 1, y = 2 dostaneme C/A = -3, t.j. požadovaná rovnica:
Rovnica priamky v segmentoch.
Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ах + Ву + С = 0 С 0, potom po delení –С dostaneme: 
alebo
, Kde
Geometrický význam koeficientov je, že koeficient A je súradnica priesečníka priamky s osou Ox a b– súradnica priesečníka priamky s osou Oy.
Príklad. Je daná všeobecná rovnica priamky x – y + 1 = 0. Nájdite rovnicu tejto priamky v úsečkách.
C = 1, 
a = -1, b = 1.
Normálna rovnica priamky.
Ak sú obe strany rovnice Ax + By + C = 0 delené číslom 
ktorá sa volá normalizačný faktor, potom dostaneme
xcos + ysin - p = 0 –
normálna rovnica priamky.
Znamienko normalizačného faktora treba zvoliť tak, aby С< 0.
p je dĺžka kolmice spustenej od začiatku k priamke a je uhol, ktorý zviera táto kolmica s kladným smerom osi Ox.
Príklad. Je uvedená všeobecná rovnica priamky 12x – 5y – 65 = 0. Pre túto priamku je potrebné napísať rôzne typy rovníc.
rovnica tejto priamky v segmentoch: 
rovnica tejto priamky so sklonom: (delíme 5)
normálna rovnica priamky:
; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.
Treba poznamenať, že nie každá priamka môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad priamky rovnobežné s osami alebo prechádzajúce počiatkom súradníc.
Príklad. Priamka odreže rovnaké kladné segmenty na súradnicových osiach. Napíšte rovnicu pre priamku, ak je plocha trojuholníka tvoreného týmito segmentmi 8 cm2.
Rovnica priamky je: 
a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.
a = -4 nie je vhodné podľa podmienok problému.
Celkom: 
alebo x + y – 4 = 0.
Príklad. Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom A(-2, -3) a počiatkom.
Rovnica priamky je: 
kde xi = yi = 0; x2 = -2; y2 = -3.
Uhol medzi priamkami v rovine.
Definícia. Ak sú dané dve čiary y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, potom ostrý uhol medzi týmito čiarami bude definovaný ako
.
Dve čiary sú rovnobežné, ak k 1 = k 2.
Dve čiary sú kolmé, ak k 1 = -1/k 2 .
Veta. Priame čiary Ax + Wu + C = 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sú paralelné, keď sú koeficienty A proporcionálne 1 = A, B 1 = B. Ak aj C 1 = C, potom sa čiary zhodujú.
Súradnice priesečníka dvoch priamok sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.
Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom
kolmo na túto čiaru.
Definícia. Priamka prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmá na priamku y = kx + b je vyjadrená rovnicou:
Vzdialenosť od bodu k čiare.
Veta. Ak je daný bod M(x). 0 , r 0 ), potom je vzdialenosť k priamke Ах + Ву + С =0 definovaná ako
.
Dôkaz. Nech bod M 1 (x 1, y 1) je základňou kolmice spadnutej z bodu M na danú priamku. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:
Súradnice x 1 a y 1 možno nájsť riešením sústavy rovníc:
Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmým na danú priamku.
Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
potom pri riešení dostaneme:
Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:
.
Veta bola dokázaná.
Príklad. Určte uhol medzi čiarami: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
ki = -3; k2 = 2 tg = 
; = /4.
Príklad. Ukážte, že priamky 3x – 5y + 7 = 0 a 10x + 6y – 3 = 0 sú kolmé.
Nájdeme: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, teda čiary sú kolmé.
Príklad. Dané sú vrcholy trojuholníka A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Nájdite rovnicu výšky nakreslenú z vrcholu C.
Nájdeme rovnicu strany AB: 
; 4x = 6r – 6;
2x – 3r + 3 = 0; 
Požadovaná výšková rovnica má tvar: Ax + By + C = 0 alebo y = kx + b.
k = 
. Potom y = 
. Pretože výška prechádza bodom C, potom jej súradnice spĺňajú túto rovnicu: 
odkiaľ b = 17. Celkom: 
.
Odpoveď: 3x + 2r – 34 = 0.
Analytická geometria v priestore.
Rovnica priamky v priestore.
Rovnica priamky v priestore zadanej bodom a
smerový vektor.
Zoberme si ľubovoľnú čiaru a vektor 
(m, n, p), rovnobežné s danou čiarou. Vektor 
volal vodiaci vektor rovno.
Na priamke vezmeme dva ľubovoľné body M 0 (x 0 , y 0 , z 0) a M (x, y, z).
z
M 1
Označme vektory polomerov týchto bodov ako 
A 
, to je jasné 
-
=
.
Pretože vektory 
A 
sú kolineárne, potom je vzťah pravdivý 
=
t, kde t je nejaký parameter.
Celkovo môžeme napísať: 
=
+
t.
Pretože táto rovnica je splnená súradnicami ľubovoľného bodu na priamke, potom výsledná rovnica je parametrická rovnica priamky.
Táto vektorová rovnica môže byť reprezentovaná v súradnicovom tvare:
Transformáciou tohto systému a porovnaním hodnôt parametra t získame kanonické rovnice priamky v priestore:
.
Definícia.
Smerové kosínusy priame sú smerové kosínusy vektora 
, ktoré možno vypočítať pomocou vzorcov:
;
.
Odtiaľto dostaneme: m: n: p = cos : cos : cos.
Nazývajú sa čísla m, n, p uhlové koeficienty rovno. Pretože 
je nenulový vektor, potom sa m, n a p nemôžu súčasne rovnať nule, ale jedno alebo dve z týchto čísel sa môžu rovnať nule. V tomto prípade by v rovnici riadku mali byť zodpovedajúce čitateľa nastavené na nulu.
Rovnica priamky pri prechode priestorom
cez dva body.
Ak na priamke v priestore označíme dva ľubovoľné body M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), potom súradnice týchto bodov musia spĺňať rovnicu priamky získané vyššie:
.
Okrem toho pre bod M 1 môžeme napísať:
.
Spoločným riešením týchto rovníc dostaneme:
.
Toto je rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi v priestore.
Všeobecné rovnice priamky v priestore.
Rovnicu priamky možno považovať za rovnicu priesečníka dvoch rovín.
Ako je uvedené vyššie, rovinu vo vektorovom tvare možno špecifikovať rovnicou:
+ D = 0, kde
- rovina normálna; 
- polomer je vektor ľubovoľného bodu v rovine.