జీవిత భాగస్వామి నిరీక్షణ అంటే ఏమిటి? నిరీక్షణ సూత్రం

నిరీక్షణ అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సంభావ్యత పంపిణీ

గణిత నిరీక్షణ, నిర్వచనం, వివిక్త మరియు నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ, నమూనా, షరతులతో కూడిన నిరీక్షణ, గణన, లక్షణాలు, సమస్యలు, అంచనా అంచనా, వ్యాప్తి, పంపిణీ ఫంక్షన్, సూత్రాలు, గణన ఉదాహరణలు

విషయాలను విస్తరించండి

కంటెంట్‌ని కుదించు

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ అనేది నిర్వచనం

గణిత గణాంకాలు మరియు సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో అత్యంత ముఖ్యమైన భావనలలో ఒకటి, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువలు లేదా సంభావ్యతలను పంపిణీ చేస్తుంది. సాధారణంగా యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అన్ని పారామితుల యొక్క బరువున్న సగటుగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. సాంకేతిక విశ్లేషణ, సంఖ్యల శ్రేణి అధ్యయనం మరియు నిరంతర మరియు సమయం తీసుకునే ప్రక్రియల అధ్యయనంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. ఇది నష్టాలను అంచనా వేయడంలో ముఖ్యమైనది, ఆర్థిక మార్కెట్లలో ట్రేడింగ్ చేసేటప్పుడు ధర సూచికలను అంచనా వేయడం మరియు జూదం సిద్ధాంతంలో గేమింగ్ వ్యూహాల వ్యూహాలు మరియు పద్ధతులను అభివృద్ధి చేయడంలో ఉపయోగించబడుతుంది.

గణిత నిరీక్షణ ఉందియాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సంభావ్యత పంపిణీ సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో పరిగణించబడుతుంది.

గణిత నిరీక్షణ ఉందిసంభావ్యత సిద్ధాంతంలో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ యొక్క కొలత. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క నిరీక్షణ xద్వారా సూచించబడుతుంది M(x).

గణిత నిరీక్షణ ఉంది

గణిత నిరీక్షణ ఉందిసంభావ్యత సిద్ధాంతంలో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ తీసుకోగల అన్ని సాధ్యమైన విలువల సగటు.

గణిత నిరీక్షణ ఉందియాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సాధ్యమయ్యే అన్ని విలువల ఉత్పత్తుల మొత్తం మరియు ఈ విలువల సంభావ్యత.

గణిత నిరీక్షణ ఉందిఒక నిర్దిష్ట నిర్ణయం నుండి సగటు ప్రయోజనం, అటువంటి నిర్ణయం పెద్ద సంఖ్యలు మరియు సుదూర సిద్ధాంతం యొక్క చట్రంలో పరిగణించబడుతుంది.

గణిత నిరీక్షణ ఉందిజూదం సిద్ధాంతంలో, ఒక ఆటగాడు ప్రతి పందెం కోసం సగటున సంపాదించగల లేదా కోల్పోగల విజయాల మొత్తం. జూదం పరిభాషలో, దీనిని కొన్నిసార్లు "ప్లేయర్స్ ఎడ్జ్" (ఆటగాడికి సానుకూలంగా ఉంటే) లేదా "హౌస్ ఎడ్జ్" (ఆటగాడికి ప్రతికూలంగా ఉంటే) అని పిలుస్తారు.

గణిత నిరీక్షణ ఉందిసగటు లాభంతో గుణించిన లాభం శాతం, నష్ట సంభావ్యత సగటు నష్టంతో గుణించబడుతుంది.

గణిత సిద్ధాంతంలో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ముఖ్యమైన సంఖ్యా లక్షణాలలో ఒకటి దాని గణిత అంచనా. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ వ్యవస్థ యొక్క భావనను పరిచయం చేద్దాం. అదే యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం యొక్క ఫలితాలు అయిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ సమితిని పరిశీలిద్దాం. సిస్టమ్ యొక్క సాధ్యమయ్యే విలువలలో ఒకటి అయితే, ఈ సంఘటన కోల్మోగోరోవ్ యొక్క సిద్ధాంతాలను సంతృప్తిపరిచే నిర్దిష్ట సంభావ్యతకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా సాధ్యమైన విలువల కోసం నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్‌ను ఉమ్మడి పంపిణీ చట్టం అంటారు. ఈ ఫంక్షన్ ఏదైనా ఈవెంట్‌ల సంభావ్యతను లెక్కించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ప్రత్యేకించి, రాండమ్ వేరియబుల్స్ యొక్క ఉమ్మడి పంపిణీ చట్టం మరియు, ఇది సెట్ నుండి విలువలను తీసుకుంటుంది మరియు సంభావ్యత ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది.

"గణిత నిరీక్షణ" అనే పదాన్ని పియరీ సైమన్ మార్క్విస్ డి లాప్లేస్ (1795) పరిచయం చేశారు మరియు ఇది "విజయాల అంచనా విలువ" అనే భావన నుండి వచ్చింది, ఇది 17వ శతాబ్దంలో బ్లైస్ పాస్కల్ మరియు క్రిస్టియాన్ రచనలలో జూదం యొక్క సిద్ధాంతంలో మొదటిసారి కనిపించింది. హైజెన్స్. ఏదేమైనా, ఈ భావన యొక్క మొదటి పూర్తి సైద్ధాంతిక అవగాహన మరియు అంచనాను పాఫ్నుటీ ల్వోవిచ్ చెబిషెవ్ (19వ శతాబ్దం మధ్య) అందించారు.

యాదృచ్ఛిక సంఖ్యా చరరాశుల పంపిణీ చట్టం (పంపిణీ ఫంక్షన్ మరియు పంపిణీ శ్రేణి లేదా సంభావ్యత సాంద్రత) యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ప్రవర్తనను పూర్తిగా వివరిస్తుంది. కానీ అనేక సమస్యలలో, అడిగిన ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి అధ్యయనంలో ఉన్న పరిమాణం యొక్క కొన్ని సంఖ్యా లక్షణాలను (ఉదాహరణకు, దాని సగటు విలువ మరియు దాని నుండి సాధ్యమయ్యే విచలనం) తెలుసుకోవడం సరిపోతుంది. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ప్రధాన సంఖ్యా లక్షణాలు గణిత అంచనా, వైవిధ్యం, మోడ్ మరియు మధ్యస్థం.

వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా అనేది దాని సాధ్యమైన విలువలు మరియు వాటి సంబంధిత సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తం. కొన్నిసార్లు గణిత అంచనాను వెయిటెడ్ యావరేజ్ అని పిలుస్తారు, ఎందుకంటే ఇది పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలలో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటుకు దాదాపు సమానంగా ఉంటుంది. గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ యొక్క నిర్వచనం నుండి దాని విలువ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సాధ్యమయ్యే అతి చిన్న విలువ కంటే తక్కువ కాదు మరియు అతిపెద్దది కంటే ఎక్కువ కాదు. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా అనేది యాదృచ్ఛికం కాని (స్థిరమైన) వేరియబుల్.

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణకు సరళమైన భౌతిక అర్ధం ఉంటుంది: మీరు ఒక యూనిట్ ద్రవ్యరాశిని సరళ రేఖపై ఉంచినట్లయితే, నిర్దిష్ట ద్రవ్యరాశిని కొన్ని పాయింట్ల వద్ద ఉంచడం (వివిక్త పంపిణీ కోసం) లేదా నిర్దిష్ట సాంద్రతతో "స్మెరింగ్" చేయడం (పూర్తిగా నిరంతర పంపిణీ కోసం) , అప్పుడు గణిత నిరీక్షణకు సంబంధించిన పాయింట్ కోఆర్డినేట్ "గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం" నేరుగా ఉంటుంది.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య, అంటే దాని "ప్రతినిధి" మరియు దానిని సుమారుగా ఉజ్జాయింపు లెక్కల్లో భర్తీ చేస్తుంది. మేము ఇలా చెప్పినప్పుడు: "సగటు దీపం ఆపరేటింగ్ సమయం 100 గంటలు" లేదా "ప్రభావం యొక్క సగటు పాయింట్ లక్ష్యానికి సంబంధించి 2 మీటర్లు కుడివైపుకి మార్చబడుతుంది" అని మేము దాని స్థానాన్ని వివరించే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క నిర్దిష్ట సంఖ్యా లక్షణాన్ని సూచిస్తాము. సంఖ్యా అక్షం మీద, అనగా. "స్థాన లక్షణాలు".

సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో స్థానం యొక్క లక్షణాలలో, చాలా ముఖ్యమైన పాత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ ద్వారా ఆడబడుతుంది, దీనిని కొన్నిసార్లు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ అని పిలుస్తారు.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ను పరిగణించండి X, సాధ్యమైన విలువలను కలిగి ఉంటుంది x1, x2, ..., xnసంభావ్యతతో p1, p2, ..., pn. ఈ విలువలు వేర్వేరు సంభావ్యతలను కలిగి ఉన్నాయనే వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుని, x- అక్షంపై యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువల స్థానాన్ని మనం కొంత సంఖ్యతో వర్గీకరించాలి. ఈ ప్రయోజనం కోసం, విలువల యొక్క "వెయిటెడ్ యావరేజ్" అని పిలవబడేది ఉపయోగించడం సహజం xi, మరియు సగటు సమయంలో ప్రతి విలువ xi ఈ విలువ యొక్క సంభావ్యతకు అనులోమానుపాతంలో "బరువు"తో పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి. అందువలన, మేము యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటును గణిస్తాము X, మేము సూచిస్తాము M |X|:

ఈ వెయిటెడ్ యావరేజ్‌ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా అంటారు. అందువల్ల, సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క అత్యంత ముఖ్యమైన భావనలలో ఒకదాన్ని మేము పరిగణనలోకి తీసుకున్నాము - గణిత నిరీక్షణ భావన. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అన్ని సాధ్యమైన విలువల యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తం మరియు ఈ విలువల సంభావ్యత.

దానిని ఉత్పత్తి చేయనివ్వండి ఎన్స్వతంత్ర ప్రయోగాలు, ప్రతి దానిలో విలువ Xఒక నిర్దిష్ట విలువను తీసుకుంటుంది. విలువ అని అనుకుందాం x1కనిపించాడు m1సార్లు, విలువ x2కనిపించాడు m2సార్లు, సాధారణ అర్థం xi mi సార్లు కనిపించింది. X విలువ యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటును గణిద్దాం, ఇది గణిత అంచనాకు భిన్నంగా ఉంటుంది. M|X|మేము సూచిస్తాము M*|X|:

పెరుగుతున్న ప్రయోగాలతో ఎన్ఫ్రీక్వెన్సీలు పైసంబంధిత సంభావ్యతలను చేరుస్తుంది (సంభావ్యతలో కలుస్తుంది). పర్యవసానంగా, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటు M|X|ప్రయోగాల సంఖ్య పెరుగుదలతో అది దాని గణిత నిరీక్షణకు చేరుకుంటుంది (సంభావ్యతలో కలుస్తుంది). పైన రూపొందించిన అంకగణిత సగటు మరియు గణిత అంచనాల మధ్య కనెక్షన్ పెద్ద సంఖ్యల చట్టం యొక్క రూపాలలో ఒకదాని యొక్క కంటెంట్‌ను ఏర్పరుస్తుంది.

పెద్ద సంఖ్యల చట్టం యొక్క అన్ని రూపాలు పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలలో కొన్ని సగటులు స్థిరంగా ఉన్నాయనే వాస్తవాన్ని తెలియజేస్తాయని మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. ఇక్కడ మనం అదే పరిమాణంలోని పరిశీలనల శ్రేణి నుండి అంకగణిత సగటు యొక్క స్థిరత్వం గురించి మాట్లాడుతున్నాము. తక్కువ సంఖ్యలో ప్రయోగాలతో, వాటి ఫలితాల యొక్క అంకగణిత సగటు యాదృచ్ఛికంగా ఉంటుంది; ప్రయోగాల సంఖ్యలో తగినంత పెరుగుదలతో, ఇది "దాదాపు యాదృచ్ఛికం" అవుతుంది మరియు స్థిరీకరించడం, స్థిరమైన విలువను చేరుకుంటుంది - గణిత అంచనా.

పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలపై సగటుల స్థిరత్వం ప్రయోగాత్మకంగా సులభంగా ధృవీకరించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, ఖచ్చితమైన ప్రమాణాలపై ప్రయోగశాలలో శరీరాన్ని బరువుగా ఉంచినప్పుడు, బరువు ఫలితంగా ప్రతిసారీ కొత్త విలువను పొందుతాము; పరిశీలన లోపాన్ని తగ్గించడానికి, మేము శరీరాన్ని అనేక సార్లు బరువుగా ఉంచుతాము మరియు పొందిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటును ఉపయోగిస్తాము. ప్రయోగాల సంఖ్య (బరువులు) మరింత పెరగడంతో, అంకగణిత సగటు ఈ పెరుగుదలకు తక్కువ మరియు తక్కువ ప్రతిస్పందిస్తుంది మరియు తగినంత పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలతో, ఆచరణాత్మకంగా మారడం ఆగిపోతుందని చూడటం సులభం.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క స్థానం యొక్క అతి ముఖ్యమైన లక్షణం - గణిత అంచనా - అన్ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్‌కు ఉనికిలో లేదని గమనించాలి. గణిత నిరీక్షణ ఉనికిలో లేని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ఉదాహరణలను కంపోజ్ చేయడం సాధ్యపడుతుంది, ఎందుకంటే సంబంధిత మొత్తం లేదా సమగ్రం వేరుగా ఉంటుంది. అయితే, ఇటువంటి కేసులు ఆచరణలో ముఖ్యమైన ఆసక్తిని కలిగి ఉండవు. సాధారణంగా, మేము వ్యవహరించే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ పరిమిత శ్రేణి సాధ్యమైన విలువలను కలిగి ఉంటాయి మరియు వాస్తవానికి, గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణను కలిగి ఉంటాయి.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క స్థానం యొక్క అతి ముఖ్యమైన లక్షణాలతో పాటు - గణిత నిరీక్షణ - ఆచరణలో, స్థానం యొక్క ఇతర లక్షణాలు కొన్నిసార్లు ఉపయోగించబడతాయి, ప్రత్యేకించి, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మోడ్ మరియు మధ్యస్థం.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మోడ్ దాని అత్యంత సంభావ్య విలువ. ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే "అత్యంత సంభావ్య విలువ" అనే పదం నిరంతర పరిమాణాలకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది; నిరంతర పరిమాణం కోసం, మోడ్ అనేది సంభావ్యత సాంద్రత గరిష్టంగా ఉండే విలువ. బొమ్మలు వరుసగా నిరంతర మరియు నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కోసం మోడ్‌ను చూపుతాయి.

పంపిణీ బహుభుజి (పంపిణీ వక్రరేఖ) గరిష్టంగా ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఉంటే, పంపిణీని "మల్టీమోడల్" అంటారు.

కొన్నిసార్లు గరిష్టంగా కాకుండా మధ్యలో కనిష్టంగా ఉండే పంపిణీలు ఉన్నాయి. ఇటువంటి పంపిణీలను "యాంటీ-మోడల్" అంటారు.

సాధారణ సందర్భంలో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మోడ్ మరియు గణిత నిరీక్షణ ఏకీభవించవు. నిర్దిష్ట సందర్భంలో, పంపిణీ సుష్టంగా మరియు మోడల్‌గా ఉన్నప్పుడు (అనగా మోడ్‌ను కలిగి ఉంటుంది) మరియు గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ ఉన్నప్పుడు, అది పంపిణీ యొక్క మోడ్ మరియు సెంటర్ ఆఫ్ సిమెట్రీతో సమానంగా ఉంటుంది.

మరొక స్థానం లక్షణం తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది - యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మధ్యస్థం అని పిలవబడేది. ఈ లక్షణం సాధారణంగా నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కోసం మాత్రమే ఉపయోగించబడుతుంది, అయినప్పటికీ ఇది నిరంతర వేరియబుల్ కోసం అధికారికంగా నిర్వచించబడుతుంది. రేఖాగణితంగా, మధ్యస్థం అనేది డిస్ట్రిబ్యూషన్ వక్రరేఖతో చుట్టబడిన ప్రాంతం సగానికి విభజించబడిన బిందువు యొక్క అబ్సిస్సా.

సిమెట్రిక్ మోడల్ పంపిణీ విషయంలో, మధ్యస్థం గణిత అంచనా మరియు మోడ్‌తో సమానంగా ఉంటుంది.

గణిత అంచనా అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ - యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సంభావ్యత పంపిణీ యొక్క సంఖ్యా లక్షణం. అత్యంత సాధారణ మార్గంలో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ X(w)సంభావ్యత కొలతకు సంబంధించి Lebesgue సమగ్రంగా నిర్వచించబడింది ఆర్అసలు సంభావ్యత స్థలంలో:

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణను లెబెస్గూ సమగ్రంగా కూడా లెక్కించవచ్చు Xసంభావ్యత పంపిణీ ద్వారా pxపరిమాణంలో X:

అనంతమైన గణిత నిరీక్షణతో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ భావనను సహజ మార్గంలో నిర్వచించవచ్చు. కొన్ని యాదృచ్ఛిక నడకల రిటర్న్ టైమ్స్ ఒక విలక్షణ ఉదాహరణ.

గణిత నిరీక్షణను ఉపయోగించి, పంపిణీ యొక్క అనేక సంఖ్యా మరియు క్రియాత్మక లక్షణాలు నిర్ణయించబడతాయి (యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సంబంధిత ఫంక్షన్ల యొక్క గణిత నిరీక్షణగా), ఉదాహరణకు, ఉత్పాదక ఫంక్షన్, లక్షణం ఫంక్షన్, ఏదైనా క్రమం యొక్క క్షణాలు, ప్రత్యేకించి వ్యాప్తి, సహసంబంధం .

గణిత అంచనా అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ (దాని పంపిణీ యొక్క సగటు విలువ) యొక్క విలువల స్థానం యొక్క లక్షణం. ఈ సామర్థ్యంలో, గణిత నిరీక్షణ అనేది కొన్ని "విలక్షణమైన" పంపిణీ పారామీటర్‌గా పనిచేస్తుంది మరియు దాని పాత్ర మెకానిక్స్‌లో స్టాటిక్ మూమెంట్ - మాస్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ యొక్క గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం యొక్క కోఆర్డినేట్ పాత్రను పోలి ఉంటుంది. పంపిణీని సాధారణ పరంగా వివరించిన ప్రదేశం యొక్క ఇతర లక్షణాల నుండి - మధ్యస్థాలు, మోడ్‌లు, గణిత నిరీక్షణ సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క పరిమితి సిద్ధాంతాలలో అది మరియు సంబంధిత స్కాటరింగ్ లక్షణం - వ్యాప్తి - ఎక్కువ విలువలో భిన్నంగా ఉంటుంది. గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ యొక్క అర్థం పెద్ద సంఖ్యల చట్టం (చెబిషెవ్ యొక్క అసమానత) మరియు పెద్ద సంఖ్యల యొక్క బలపరిచిన చట్టం ద్వారా పూర్తిగా వెల్లడి చేయబడింది.

వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క నిరీక్షణ

అనేక సంఖ్యా విలువలలో ఒకదానిని తీసుకోగల కొన్ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ ఉండనివ్వండి (ఉదాహరణకు, పాచికలు విసిరేటప్పుడు పాయింట్ల సంఖ్య 1, 2, 3, 4, 5 లేదా 6 కావచ్చు). తరచుగా ఆచరణలో, అటువంటి విలువ కోసం, ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: పెద్ద సంఖ్యలో పరీక్షలతో "సగటున" ఏ విలువను తీసుకుంటుంది? ప్రతి ప్రమాదకర లావాదేవీల నుండి మన సగటు ఆదాయం (లేదా నష్టం) ఎంత?

ఏదో లాటరీ ఉందనుకుందాం. దానిలో పాల్గొనడం లాభదాయకంగా ఉందా లేదా (లేదా పదేపదే, క్రమం తప్పకుండా పాల్గొనడం) మేము అర్థం చేసుకోవాలనుకుంటున్నాము. ప్రతి నాల్గవ టికెట్ విజేత అని చెప్పండి, బహుమతి 300 రూబిళ్లు మరియు ఏదైనా టిక్కెట్ ధర 100 రూబిళ్లు. అనంతమైన పెద్ద సంఖ్యలో పాల్గొనడంతో, ఇది జరుగుతుంది. మూడు వంతుల కేసులలో మనం కోల్పోతాము, ప్రతి మూడు నష్టాలకు 300 రూబిళ్లు ఖర్చు అవుతుంది. ప్రతి నాల్గవ సందర్భంలో మేము 200 రూబిళ్లు గెలుస్తాము. (బహుమతి మైనస్ ఖర్చు), అంటే, నాలుగు పాల్గొనడం కోసం మేము సగటున 100 రూబిళ్లు కోల్పోతాము, ఒకదానికి - సగటున 25 రూబిళ్లు. మొత్తంగా, మా వినాశనం యొక్క సగటు రేటు టిక్కెట్‌కు 25 రూబిళ్లు.

మేము పాచికలు త్రో. ఇది మోసం కాకపోతే (గురుత్వాకర్షణ కేంద్రాన్ని మార్చకుండా, మొదలైనవి), అప్పుడు మనకు సగటున ఒక సమయంలో ఎన్ని పాయింట్లు ఉంటాయి? ప్రతి ఎంపిక సమానంగా ఉంటుంది కాబట్టి, మేము కేవలం అంకగణిత సగటును తీసుకొని 3.5ని పొందుతాము. ఇది సగటు కాబట్టి, నిర్దిష్ట రోల్ 3.5 పాయింట్లను ఇవ్వదని ఆగ్రహం చెందాల్సిన అవసరం లేదు - సరే, ఈ క్యూబ్‌కు అలాంటి సంఖ్యతో ముఖం లేదు!

ఇప్పుడు మన ఉదాహరణలను సంగ్రహిద్దాం:

ఇప్పుడే ఇచ్చిన చిత్రాన్ని చూద్దాం. ఎడమవైపు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీ పట్టిక ఉంది. X విలువ n సాధ్యమయ్యే విలువలలో ఒకదాన్ని తీసుకోవచ్చు (ఎగువ లైన్‌లో చూపబడింది). వేరే అర్థాలు ఉండకూడదు. ప్రతి సాధ్యమైన విలువ క్రింద, దాని సంభావ్యత క్రింద వ్రాయబడింది. కుడివైపున ఫార్ములా ఉంది, ఇక్కడ M(X)ని గణిత నిరీక్షణ అంటారు. ఈ విలువ యొక్క అర్థం ఏమిటంటే, పెద్ద సంఖ్యలో పరీక్షలతో (పెద్ద నమూనాతో), సగటు విలువ ఇదే గణిత నిరీక్షణకు మొగ్గు చూపుతుంది.

మళ్లీ అదే ప్లేయింగ్ క్యూబ్‌కి తిరిగి వెళ్దాం. విసిరేటప్పుడు పాయింట్ల సంఖ్య యొక్క గణిత అంచనా 3.5 (మీరు నన్ను నమ్మకపోతే సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మీరే లెక్కించండి). మీరు రెండు సార్లు విసిరారు అనుకుందాం. ఫలితాలు 4 మరియు 6. సగటు 5, ఇది 3.5కి దూరంగా ఉంది. వారు దానిని మరోసారి విసిరారు, వారికి 3 వచ్చింది, అంటే సగటున (4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణకు కొంత దూరంలో ఉంది. ఇప్పుడు ఒక వెర్రి ప్రయోగం చేయండి - క్యూబ్‌ను 1000 సార్లు చుట్టండి! మరియు సగటు సరిగ్గా 3.5 కాకపోయినా, అది దానికి దగ్గరగా ఉంటుంది.

పైన వివరించిన లాటరీ కోసం గణిత అంచనాను గణిద్దాం. ప్లేట్ ఇలా కనిపిస్తుంది:

మేము పైన స్థాపించిన విధంగా గణిత నిరీక్షణ ఉంటుంది:

మరొక విషయం ఏమిటంటే, "వేళ్లపై" చేయడం, ఫార్ములా లేకుండా, మరిన్ని ఎంపికలు ఉంటే కష్టంగా ఉంటుంది. సరే, 75% ఓడిపోయిన టిక్కెట్లు, 20% గెలిచిన టిక్కెట్లు మరియు 5% ముఖ్యంగా గెలిచినవి ఉన్నాయని అనుకుందాం.

ఇప్పుడు గణిత నిరీక్షణ యొక్క కొన్ని లక్షణాలు.

నిరూపించడం సులభం:

స్థిరమైన కారకాన్ని గణిత నిరీక్షణకు చిహ్నంగా తీసుకోవచ్చు, అంటే:

ఇది గణిత నిరీక్షణ యొక్క రేఖీయత లక్షణం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం.

గణిత నిరీక్షణ యొక్క సరళత యొక్క మరొక పరిణామం:

అంటే, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మొత్తం యొక్క గణిత నిరీక్షణ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క గణిత అంచనాల మొత్తానికి సమానం.

X, Y స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక చరరాశులుగా ఉండనివ్వండి, అప్పుడు:

ఇది నిరూపించడం కూడా సులభం) పని XYఇది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్, మరియు ప్రారంభ విలువలు తీసుకోగలిగితే nమరియు mవిలువలు తదనుగుణంగా, అప్పుడు XY nm విలువలను తీసుకోవచ్చు. స్వతంత్ర సంఘటనల సంభావ్యత గుణించబడుతుందనే వాస్తవం ఆధారంగా ప్రతి విలువ యొక్క సంభావ్యత లెక్కించబడుతుంది. ఫలితంగా, మేము దీన్ని పొందుతాము:

నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క నిరీక్షణ

నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ పంపిణీ సాంద్రత (సంభావ్యత సాంద్రత) వంటి లక్షణాన్ని కలిగి ఉంటాయి. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ వాస్తవ సంఖ్యల సమితి నుండి కొన్ని విలువలను మరింత తరచుగా మరియు కొన్ని తక్కువ తరచుగా తీసుకునే పరిస్థితిని ఇది తప్పనిసరిగా వర్ణిస్తుంది. ఉదాహరణకు, ఈ గ్రాఫ్‌ను పరిగణించండి:

ఇక్కడ X- వాస్తవ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్, f(x)- పంపిణీ సాంద్రత. ఈ గ్రాఫ్ ద్వారా నిర్ణయించడం, ప్రయోగాల సమయంలో విలువ Xతరచుగా సున్నాకి దగ్గరగా ఉండే సంఖ్య. అవకాశాలు మించిపోయాయి 3 లేదా చిన్నగా ఉంటుంది -3 కాకుండా పూర్తిగా సైద్ధాంతిక.

ఉదాహరణకు, ఏకరీతి పంపిణీ ఉండనివ్వండి:

ఇది సహజమైన అవగాహనతో చాలా స్థిరంగా ఉంటుంది. మనం అనేక యాదృచ్ఛిక వాస్తవ సంఖ్యలను ఏకరీతి పంపిణీతో స్వీకరిస్తే, ప్రతి సెగ్మెంట్ |0; 1| , అప్పుడు అంకగణిత సగటు సుమారు 0.5 ఉండాలి.

వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కోసం వర్తించే గణిత నిరీక్షణ - లీనియారిటీ మొదలైన లక్షణాలు ఇక్కడ కూడా వర్తిస్తాయి.

గణిత నిరీక్షణ మరియు ఇతర గణాంక సూచికల మధ్య సంబంధం

గణాంక విశ్లేషణలో, గణిత అంచనాతో పాటు, దృగ్విషయాల సజాతీయత మరియు ప్రక్రియల స్థిరత్వాన్ని ప్రతిబింబించే పరస్పర ఆధారిత సూచికల వ్యవస్థ ఉంది. వైవిధ్య సూచికలకు తరచుగా స్వతంత్ర అర్ధం ఉండదు మరియు తదుపరి డేటా విశ్లేషణ కోసం ఉపయోగించబడతాయి. మినహాయింపు అనేది వైవిధ్యం యొక్క గుణకం, ఇది డేటా యొక్క సజాతీయతను వర్ణిస్తుంది, ఇది విలువైన గణాంక లక్షణం.

గణాంక శాస్త్రంలో ప్రక్రియల వైవిధ్యం లేదా స్థిరత్వం యొక్క డిగ్రీని అనేక సూచికలను ఉపయోగించి కొలవవచ్చు.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క వేరియబిలిటీని వివరించే అతి ముఖ్యమైన సూచిక చెదరగొట్టడం, ఇది గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణకు చాలా దగ్గరగా మరియు నేరుగా సంబంధించినది. ఈ పరామితి ఇతర రకాల గణాంక విశ్లేషణలలో చురుకుగా ఉపయోగించబడుతుంది (పరికల్పన పరీక్ష, కారణం-మరియు-ప్రభావ సంబంధాల విశ్లేషణ మొదలైనవి). సగటు లీనియర్ విచలనం వలె, వ్యత్యాసం సగటు విలువ చుట్టూ డేటా వ్యాప్తి యొక్క పరిధిని కూడా ప్రతిబింబిస్తుంది.

సంకేతాల భాషని పదాల భాషలోకి అనువదించడానికి ఇది ఉపయోగపడుతుంది. చెదరగొట్టడం అనేది విచలనాల సగటు చతురస్రం అని తేలింది. అంటే, సగటు విలువ మొదట లెక్కించబడుతుంది, ఆపై ప్రతి అసలు మరియు సగటు విలువ మధ్య వ్యత్యాసం తీసుకోబడుతుంది, స్క్వేర్ చేయబడింది, జోడించబడుతుంది, ఆపై జనాభాలోని విలువల సంఖ్యతో భాగించబడుతుంది. వ్యక్తిగత విలువ మరియు సగటు మధ్య వ్యత్యాసం విచలనం యొక్క కొలతను ప్రతిబింబిస్తుంది. ఇది స్క్వేర్ చేయబడింది, తద్వారా అన్ని విచలనాలు ప్రత్యేకంగా సానుకూల సంఖ్యలుగా మారతాయి మరియు వాటిని సంగ్రహించేటప్పుడు సానుకూల మరియు ప్రతికూల విచలనాల పరస్పర విధ్వంసం నివారించడానికి. అప్పుడు, స్క్వేర్డ్ విచలనాలు ఇచ్చినప్పుడు, మేము కేవలం అంకగణిత సగటును గణిస్తాము. సగటు - చదరపు - విచలనాలు. విచలనాలు వర్గీకరించబడ్డాయి మరియు సగటు లెక్కించబడుతుంది. "డిస్పర్షన్" అనే మేజిక్ పదానికి సమాధానం కేవలం మూడు పదాలలో ఉంది.

అయినప్పటికీ, అంకగణిత సగటు లేదా సూచిక వంటి దాని స్వచ్ఛమైన రూపంలో, వ్యాప్తి ఉపయోగించబడదు. ఇది ఇతర రకాల గణాంక విశ్లేషణల కోసం ఉపయోగించే సహాయక మరియు ఇంటర్మీడియట్ సూచిక. దీనికి సాధారణ కొలత యూనిట్ కూడా లేదు. ఫార్ములా ద్వారా నిర్ణయించడం, ఇది అసలు డేటా యొక్క కొలత యూనిట్ యొక్క స్క్వేర్.

యాదృచ్ఛిక చరరాశిని కొలుద్దాం ఎన్సార్లు, ఉదాహరణకు, మేము గాలి వేగాన్ని పదిసార్లు కొలుస్తాము మరియు సగటు విలువను కనుగొనాలనుకుంటున్నాము. పంపిణీ ఫంక్షన్‌కి సగటు విలువ ఎలా సంబంధం కలిగి ఉంటుంది?

లేదా మేము పాచికలు పెద్ద సంఖ్యలో రోల్ చేస్తాము. ప్రతి త్రోతో డైస్‌పై కనిపించే పాయింట్ల సంఖ్య యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ మరియు 1 నుండి 6 వరకు ఏదైనా సహజ విలువను తీసుకోవచ్చు. అన్ని డైస్ త్రోల కోసం లెక్కించిన డ్రాప్ చేయబడిన పాయింట్‌ల అంకగణిత సగటు కూడా యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్, కానీ పెద్దది ఎన్ఇది చాలా నిర్దిష్ట సంఖ్యకు మొగ్గు చూపుతుంది - గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ Mx. ఈ సందర్భంలో Mx = 3.5.

మీరు ఈ విలువను ఎలా పొందారు? లోనికి అనుమతించు ఎన్పరీక్షలు n1మీరు 1 పాయింట్‌ని పొందిన తర్వాత, n2ఒకసారి - 2 పాయింట్లు మరియు మొదలైనవి. అప్పుడు ఒక పాయింట్ పడిపోయిన ఫలితాల సంఖ్య:

అదేవిధంగా 2, 3, 4, 5 మరియు 6 పాయింట్లు రోల్ చేయబడినప్పుడు ఫలితాల కోసం.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ x యొక్క పంపిణీ చట్టం మనకు తెలుసని ఇప్పుడు మనం ఊహించుదాం, అనగా, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ x సంభావ్యతలతో p1, p2, ..., x1, x2, ..., xk విలువలను తీసుకోగలదని మనకు తెలుసు. pk.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ x యొక్క గణిత అంచనా Mx దీనికి సమానం:

గణిత నిరీక్షణ ఎల్లప్పుడూ కొన్ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సహేతుకమైన అంచనా కాదు. అందువల్ల, సగటు జీతం అంచనా వేయడానికి, మధ్యస్థం అనే భావనను ఉపయోగించడం మరింత సహేతుకమైనది, అంటే, సగటు కంటే తక్కువ మరియు ఎక్కువ మంది జీతం పొందే వ్యక్తుల సంఖ్య సమానంగా ఉంటుంది.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ x x1/2 కంటే తక్కువగా ఉండే సంభావ్యత p1 మరియు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ x x1/2 కంటే ఎక్కువగా ఉండే సంభావ్యత p2 ఒకే విధంగా ఉంటాయి మరియు 1/2కి సమానంగా ఉంటాయి. అన్ని పంపిణీలకు మధ్యస్థం ప్రత్యేకంగా నిర్ణయించబడదు.

ప్రామాణిక లేదా ప్రామాణిక విచలనంగణాంకాలలో, సగటు విలువ నుండి పరిశీలనాత్మక డేటా లేదా సెట్‌ల విచలనం యొక్క డిగ్రీని అంటారు. s లేదా s అక్షరాలతో సూచించబడుతుంది. ఒక చిన్న ప్రామాణిక విచలనం సగటు చుట్టూ డేటా క్లస్టర్‌లను సూచిస్తుంది, అయితే పెద్ద ప్రామాణిక విచలనం ప్రారంభ డేటా దాని నుండి దూరంగా ఉందని సూచిస్తుంది. ప్రామాణిక విచలనం వైవిధ్యం అని పిలువబడే పరిమాణం యొక్క వర్గమూలానికి సమానం. ఇది సగటు విలువ నుండి వైదొలిగే ప్రారంభ డేటా యొక్క స్క్వేర్డ్ తేడాల మొత్తం సగటు. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ప్రామాణిక విచలనం భేదం యొక్క వర్గమూలం:

ఉదాహరణ. లక్ష్యాన్ని కాల్చేటప్పుడు పరీక్ష పరిస్థితులలో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క వ్యాప్తి మరియు ప్రామాణిక విచలనాన్ని లెక్కించండి:

వైవిధ్యం- హెచ్చుతగ్గులు, జనాభా యొక్క యూనిట్లలో ఒక లక్షణం యొక్క విలువ యొక్క మార్పు. అధ్యయనంలో ఉన్న జనాభాలో కనిపించే లక్షణం యొక్క వ్యక్తిగత సంఖ్యా విలువలను విలువల వైవిధ్యాలు అంటారు. జనాభాను పూర్తిగా వర్గీకరించడానికి సగటు విలువ యొక్క లోపం అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం యొక్క వైవిధ్యాన్ని (వైవిధ్యం) కొలవడం ద్వారా ఈ సగటుల యొక్క విలక్షణతను అంచనా వేయడానికి అనుమతించే సూచికలతో సగటు విలువలను భర్తీ చేయడానికి మమ్మల్ని బలవంతం చేస్తుంది. వైవిధ్యం యొక్క గుణకం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

వైవిధ్యం యొక్క పరిధి(R) అధ్యయనం చేయబడుతున్న జనాభాలో లక్షణం యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్ట విలువల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని సూచిస్తుంది. ఈ సూచిక అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం యొక్క వైవిధ్యం యొక్క అత్యంత సాధారణ ఆలోచనను ఇస్తుంది, ఎందుకంటే ఇది ఎంపికల గరిష్ట విలువల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని మాత్రమే చూపుతుంది. ఒక లక్షణం యొక్క విపరీతమైన విలువలపై ఆధారపడటం వైవిధ్యం యొక్క పరిధిని అస్థిరమైన, యాదృచ్ఛిక పాత్రను ఇస్తుంది.

సగటు సరళ విచలనంవారి సగటు విలువ నుండి విశ్లేషించబడిన జనాభా యొక్క అన్ని విలువల యొక్క సంపూర్ణ (మాడ్యులో) వ్యత్యాసాల యొక్క అంకగణిత సగటును సూచిస్తుంది:

జూదం సిద్ధాంతంలో గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ

గణిత నిరీక్షణ ఉందిజూదగాడు ఇచ్చిన బెట్టింగ్‌లో గెలవగల లేదా ఓడిపోగల సగటు డబ్బు. ఆటగాడికి ఇది చాలా ముఖ్యమైన అంశం ఎందుకంటే ఇది చాలా గేమింగ్ పరిస్థితులను అంచనా వేయడానికి ప్రాథమికమైనది. ప్రాథమిక కార్డ్ లేఅవుట్‌లు మరియు గేమింగ్ పరిస్థితులను విశ్లేషించడానికి గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ సరైన సాధనం.

మీరు స్నేహితుడితో కాయిన్ గేమ్ ఆడుతున్నారని అనుకుందాం, ప్రతిసారీ $1కి సమానంగా బెట్టింగ్‌లు వేస్తున్నారు. తోకలు అంటే మీరు గెలుస్తారు, తలలు అంటే మీరు ఓడిపోతారు. అసమానతలు ఒకదానికొకటి పైకి వస్తాయి, కాబట్టి మీరు $1 నుండి $1 వరకు పందెం వేయండి. అందువలన, మీ గణిత నిరీక్షణ సున్నా, ఎందుకంటే గణిత కోణం నుండి, మీరు రెండు త్రోల తర్వాత లేదా 200 తర్వాత లీడ్ చేస్తారా లేదా ఓడిపోతారా అనేది మీకు తెలియదు.

మీ గంటకు వచ్చే లాభం సున్నా. గంట వారీ విజయాలు అంటే మీరు ఒక గంటలో గెలవాలని ఆశించే మొత్తం. మీరు ఒక గంటలో 500 సార్లు నాణేన్ని టాసు చేయవచ్చు, కానీ మీరు గెలవలేరు లేదా ఓడిపోరు ఎందుకంటే... మీ అవకాశాలు సానుకూలంగా లేదా ప్రతికూలంగా ఉండవు. సీరియస్ ప్లేయర్ కోణంలో చూస్తే.. ఈ బెట్టింగ్ విధానం చెడ్డది కాదు. కానీ ఇది కేవలం సమయం వృధా.

అయితే అదే గేమ్‌లో మీ $1కి వ్యతిరేకంగా ఎవరైనా $2 పందెం వేయాలనుకుంటున్నారని అనుకుందాం. అప్పుడు మీరు వెంటనే ప్రతి పందెం నుండి 50 సెంట్ల సానుకూల నిరీక్షణను కలిగి ఉంటారు. 50 సెంట్లు ఎందుకు? సగటున, మీరు ఒక పందెం గెలిచి రెండవదాన్ని కోల్పోతారు. మొదటి డాలర్‌ను పందెం వేయండి మరియు మీరు $1 కోల్పోతారు, రెండవది పందెం వేయండి మరియు మీరు $2 గెలుస్తారు. మీరు రెండుసార్లు $1 పందెం వేసి $1 కంటే ముందున్నారు. కాబట్టి మీ ఒక్కొక్క డాలర్ పందెం మీకు 50 సెంట్లు ఇచ్చింది.

ఒక నాణెం ఒక గంటలో 500 సార్లు కనిపిస్తే, మీ గంటకు ఇప్పటికే $250 ఉంటుంది, ఎందుకంటే... సగటున, మీరు ఒక డాలర్‌ను 250 సార్లు కోల్పోయారు మరియు రెండు డాలర్లను 250 సార్లు గెలుచుకున్నారు. $500 మైనస్ $250 $250కి సమానం, ఇది మొత్తం విజయాలు. దయచేసి మీరు ఒక్కో పందెం గెలిచిన సగటు మొత్తం అంచనా విలువ 50 సెంట్లు అని గమనించండి. మీరు ఒక డాలర్‌ను 500 సార్లు బెట్టింగ్ చేయడం ద్వారా $250 గెలుచుకున్నారు, ఇది ఒక్కో పందెంకు 50 సెంట్లు.

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణకు స్వల్పకాలిక ఫలితాలతో సంబంధం లేదు. మీకు వ్యతిరేకంగా $2 పందెం వేయాలని నిర్ణయించుకున్న మీ ప్రత్యర్థి, వరుసగా మొదటి పది రోల్స్‌లో మిమ్మల్ని ఓడించగలడు, కానీ మీరు, 2 నుండి 1 బెట్టింగ్ ప్రయోజనం కలిగి ఉంటే, అన్ని ఇతర అంశాలు సమానంగా ఉంటే, ప్రతి $1 పందెం మీద 50 సెంట్లు సంపాదిస్తారు పరిస్థితులలో. మీరు ఒక పందెం లేదా అనేక పందాలను గెలిచినా లేదా ఓడిపోయినా తేడా లేదు, ఖర్చులను సౌకర్యవంతంగా కవర్ చేయడానికి మీకు తగినంత నగదు ఉన్నంత వరకు. మీరు అదే విధంగా పందెం వేయడం కొనసాగిస్తే, చాలా కాలం పాటు మీ విజయాలు వ్యక్తిగత త్రోలలోని అంచనాల మొత్తానికి చేరుకుంటాయి.

మీరు ఉత్తమ పందెం వేసిన ప్రతిసారీ (దీర్ఘకాలంలో లాభదాయకంగా మారే పందెం), అసమానత మీకు అనుకూలంగా ఉన్నప్పుడు, మీరు దానిలో ఓడిపోయినా, కోల్పోకపోయినా, మీరు దానిపై ఏదో ఒకదానిని గెలవవలసి ఉంటుంది. చేతికి ఇచ్చారు. దీనికి విరుద్ధంగా, అసమానత మీకు వ్యతిరేకంగా ఉన్నప్పుడు మీరు అండర్‌డాగ్ పందెం (దీర్ఘకాలంలో లాభదాయకం లేని పందెం) చేస్తే, మీరు గెలిచినా లేదా ఓడినా అనే దానితో సంబంధం లేకుండా మీరు ఏదైనా కోల్పోతారు.

మీ నిరీక్షణ సానుకూలంగా ఉంటే మీరు ఉత్తమ ఫలితంతో పందెం వేస్తారు మరియు అసమానత మీ వైపు ఉంటే అది సానుకూలంగా ఉంటుంది. మీరు చెత్త ఫలితంతో పందెం వేసినప్పుడు, మీకు ప్రతికూల నిరీక్షణ ఉంటుంది, అసమానత మీకు వ్యతిరేకంగా ఉన్నప్పుడు ఇది జరుగుతుంది. తీవ్రమైన ఆటగాళ్ళు ఉత్తమ ఫలితంపై మాత్రమే పందెం వేస్తారు; చెత్తగా జరిగితే, వారు మడతపెట్టారు. మీకు అనుకూలంగా ఉన్న అసమానతలు అంటే ఏమిటి? మీరు నిజమైన అసమానతల కంటే ఎక్కువ గెలుపొందవచ్చు. ల్యాండింగ్ హెడ్‌ల యొక్క నిజమైన అసమానత 1 నుండి 1 వరకు ఉంటుంది, కానీ అసమానత నిష్పత్తి కారణంగా మీరు 2 నుండి 1 వరకు పొందుతారు. ఈ సందర్భంలో, అసమానత మీకు అనుకూలంగా ఉంటుంది. ప్రతి పందెంకు 50 సెంట్ల సానుకూల అంచనాతో మీరు ఖచ్చితంగా ఉత్తమ ఫలితాన్ని పొందుతారు.

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణకు మరింత సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణ ఇక్కడ ఉంది. ఒక స్నేహితుడు ఒకటి నుండి ఐదు వరకు సంఖ్యలను వ్రాస్తాడు మరియు మీరు నంబర్‌ను ఊహించలేరని మీ $1కి వ్యతిరేకంగా $5 పందెం వేస్తాడు. అలాంటి పందెానికి మీరు అంగీకరించాలా? ఇక్కడ నిరీక్షణ ఏమిటి?

సగటున మీరు నాలుగు సార్లు తప్పు చేస్తారు. దీని ఆధారంగా, మీరు ఊహించిన సంఖ్యకు వ్యతిరేకంగా ఉన్న అసమానత 4 నుండి 1. ఒక ప్రయత్నంలో మీరు డాలర్‌ను కోల్పోయే అవకాశం ఉంది. అయితే, మీరు 5 నుండి 1 గెలుస్తారు, 4 నుండి 1 ఓడిపోయే అవకాశం ఉంది. కాబట్టి అసమానత మీకు అనుకూలంగా ఉంటుంది, మీరు పందెం తీసుకోవచ్చు మరియు ఉత్తమ ఫలితం కోసం ఆశిస్తున్నాము. మీరు ఈ పందెం ఐదు సార్లు చేస్తే, సగటున మీరు నాలుగు సార్లు $1 కోల్పోతారు మరియు ఒకసారి $5 గెలుస్తారు. దీని ఆధారంగా, మొత్తం ఐదు ప్రయత్నాలకు మీరు ప్రతి పందెం 20 సెంట్ల సానుకూల గణిత అంచనాతో $1 సంపాదిస్తారు.

పై ఉదాహరణలో ఉన్నట్లుగా, అతను పందెం వేసిన దానికంటే ఎక్కువ గెలవబోతున్న ఆటగాడు, అవకాశాలను తీసుకుంటున్నాడు. దీనికి విరుద్ధంగా, అతను బెట్టింగ్ కంటే తక్కువ గెలవాలని ఆశించినప్పుడు అతను తన అవకాశాలను నాశనం చేస్తాడు. పందెం వేసే వ్యక్తి సానుకూల లేదా ప్రతికూల అంచనాలను కలిగి ఉండవచ్చు, ఇది అతను గెలుస్తాడా లేదా అసమానతలను నాశనం చేస్తాడా అనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

మీరు 4 నుండి 1 గెలిచే అవకాశంతో $10 గెలవడానికి $50 పందెం వేస్తే, మీరు $2 ప్రతికూల అంచనాను పొందుతారు ఎందుకంటే సగటున, మీరు నాలుగు సార్లు $10 గెలుస్తారు మరియు ఒకసారి $50 కోల్పోతారు, ఇది ఒక్కో పందెం నష్టాన్ని $10 అని చూపిస్తుంది. మీరు $10 గెలవడానికి $30 పందెం వేస్తే, అదే అసమానతతో 4 నుండి 1 గెలుపొందినట్లయితే, ఈ సందర్భంలో మీకు $2 సానుకూల అంచనా ఉంటుంది, ఎందుకంటే మీరు మళ్లీ $10ని నాలుగుసార్లు గెలుస్తారు మరియు $10 లాభం కోసం ఒకసారి $30ని కోల్పోతారు. ఈ ఉదాహరణలు మొదటి పందెం చెడ్డదని మరియు రెండవది మంచిదని చూపిస్తుంది.

ఏదైనా గేమింగ్ పరిస్థితికి గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ కేంద్రంగా ఉంటుంది. ఒక బుక్‌మేకర్ ఫుట్‌బాల్ అభిమానులను $11 పందెం వేసి $10 గెలవమని ప్రోత్సహించినప్పుడు, అతను ప్రతి $10పై 50 సెంట్లు సానుకూలంగా అంచనా వేస్తాడు. కాసినో పాస్ లైన్ నుండి కూడా డబ్బును క్రాప్స్‌లో చెల్లిస్తే, కాసినో యొక్క సానుకూల అంచనా ప్రతి $100కి సుమారు $1.40 అవుతుంది, ఎందుకంటే ఈ గేమ్ నిర్మాణాత్మకమైనది, తద్వారా ఈ లైన్‌లో పందెం కాసే ఎవరైనా సగటున 50.7% కోల్పోతారు మరియు మొత్తం సమయంలో 49.3% గెలుస్తారు. నిస్సందేహంగా, ఇది ప్రపంచవ్యాప్తంగా ఉన్న కాసినో యజమానులకు అపారమైన లాభాలను తెచ్చిపెట్టే కనీస సానుకూల అంచనా. వెగాస్ వరల్డ్ క్యాసినో యజమాని బాబ్ స్టుపక్ పేర్కొన్నట్లుగా, "తగినంత దూరం కంటే వెయ్యి శాతం ప్రతికూల సంభావ్యత ప్రపంచంలోని అత్యంత సంపన్నుడిని నాశనం చేస్తుంది."

పోకర్ ఆడుతున్నప్పుడు నిరీక్షణ

పోకర్ గేమ్ అనేది గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ యొక్క సిద్ధాంతం మరియు లక్షణాలను ఉపయోగించే దృక్కోణం నుండి అత్యంత సచిత్ర మరియు దృష్టాంత ఉదాహరణ.

పోకర్‌లో ఆశించిన విలువ అనేది ఒక నిర్దిష్ట నిర్ణయం నుండి సగటు ప్రయోజనం, అటువంటి నిర్ణయాన్ని పెద్ద సంఖ్యలు మరియు సుదూర సిద్ధాంతం యొక్క చట్రంలో పరిగణించవచ్చు. విజయవంతమైన పోకర్ గేమ్ ఎల్లప్పుడూ సానుకూల అంచనా విలువతో కదలికలను అంగీకరించడం.

పోకర్ ఆడుతున్నప్పుడు గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ యొక్క గణిత అర్థం ఏమిటంటే, నిర్ణయాలు తీసుకునేటప్పుడు మనం తరచుగా యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్‌ను ఎదుర్కొంటాము (ప్రత్యర్థి చేతిలో ఏ కార్డులు ఉన్నాయో మాకు తెలియదు, తదుపరి రౌండ్లలో బెట్టింగ్‌లలో ఏ కార్డులు వస్తాయి). పెద్ద సంఖ్య సిద్ధాంతం యొక్క దృక్కోణం నుండి మేము ప్రతి పరిష్కారాలను పరిగణించాలి, ఇది తగినంత పెద్ద నమూనాతో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ దాని గణిత అంచనాకు అనుగుణంగా ఉంటుందని పేర్కొంది.

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణను గణించే ప్రత్యేక సూత్రాలలో, కిందివి పోకర్‌లో ఎక్కువగా వర్తిస్తాయి:

పోకర్ ఆడుతున్నప్పుడు, పందెం మరియు కాల్‌లు రెండింటికీ అంచనా విలువను లెక్కించవచ్చు. మొదటి సందర్భంలో, మడత ఈక్విటీని పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి, రెండవది, బ్యాంకు యొక్క స్వంత అసమానతలను పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి. నిర్దిష్ట కదలిక యొక్క గణిత నిరీక్షణను అంచనా వేసేటప్పుడు, ఒక మడతకు ఎల్లప్పుడూ సున్నా నిరీక్షణ ఉంటుందని మీరు గుర్తుంచుకోవాలి. అందువల్ల, ఏదైనా ప్రతికూల చర్య కంటే కార్డ్‌లను విస్మరించడం ఎల్లప్పుడూ లాభదాయకమైన నిర్ణయం.

మీరు రిస్క్ చేసే ప్రతి డాలర్‌కు మీరు ఏమి ఆశించవచ్చో (లాభం లేదా నష్టం) నిరీక్షణ మీకు తెలియజేస్తుంది. క్యాసినోలు డబ్బు సంపాదిస్తాయి ఎందుకంటే వాటిలో ఆడే అన్ని ఆటల గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ కాసినోకు అనుకూలంగా ఉంటుంది. "అసమానతలు" కాసినోకు అనుకూలంగా ఉన్నందున, తగినంత సుదీర్ఘమైన గేమ్‌లతో, క్లయింట్ తన డబ్బును కోల్పోతారని మీరు ఆశించవచ్చు. అయినప్పటికీ, ప్రొఫెషనల్ క్యాసినో ప్లేయర్‌లు తమ గేమ్‌లను తక్కువ వ్యవధికి పరిమితం చేస్తారు, తద్వారా వారికి అనుకూలంగా అసమానతలను పేర్చుకుంటారు. పెట్టుబడికి కూడా ఇదే వర్తిస్తుంది. మీ నిరీక్షణ సానుకూలంగా ఉంటే, మీరు తక్కువ వ్యవధిలో అనేక లావాదేవీలు చేయడం ద్వారా ఎక్కువ డబ్బు సంపాదించవచ్చు. నిరీక్షణ అనేది మీ సగటు లాభంతో గుణించబడిన ప్రతి విజయానికి మీ లాభం శాతం, మైనస్ మీ నష్ట సంభావ్యత మీ సగటు నష్టంతో గుణించబడుతుంది.

పోకర్ గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ దృక్కోణం నుండి కూడా పరిగణించబడుతుంది. ఒక నిర్దిష్ట కదలిక లాభదాయకంగా ఉంటుందని మీరు అనుకోవచ్చు, కానీ కొన్ని సందర్భాల్లో ఇది ఉత్తమమైనది కాకపోవచ్చు ఎందుకంటే మరొక కదలిక మరింత లాభదాయకంగా ఉంటుంది. మీరు ఐదు కార్డుల డ్రా పోకర్‌లో పూర్తి హౌస్‌ని కొట్టారని అనుకుందాం. మీ ప్రత్యర్థి పందెం వేస్తాడు. మీరు పందెం పెంచితే, అతను స్పందిస్తాడని మీకు తెలుసు. అందువల్ల, పెంచడం ఉత్తమ వ్యూహంగా కనిపిస్తుంది. కానీ మీరు పందెం పెంచితే, మిగిలిన ఇద్దరు ఆటగాళ్ళు ఖచ్చితంగా మడతపెడతారు. కానీ మీరు కాల్ చేస్తే, మీ వెనుక ఉన్న మరో ఇద్దరు ఆటగాళ్లు కూడా అదే చేస్తారని మీకు పూర్తి విశ్వాసం ఉంది. మీరు మీ పందెం పెంచినప్పుడు మీకు ఒక యూనిట్ లభిస్తుంది మరియు మీరు కాల్ చేసినప్పుడు మీకు రెండు లభిస్తాయి. అందువల్ల, కాలింగ్ మీకు అధిక సానుకూల అంచనా విలువను ఇస్తుంది మరియు ఇది ఉత్తమ వ్యూహంగా ఉంటుంది.

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ ఏ పోకర్ వ్యూహాలు తక్కువ లాభదాయకం మరియు ఏది ఎక్కువ లాభదాయకం అనే ఆలోచనను కూడా ఇస్తుంది. ఉదాహరణకు, మీరు ఒక నిర్దిష్ట చేతిని ఆడితే మరియు మీ నష్టం యాంటీతో సహా సగటున 75 సెంట్లు ఉంటుందని మీరు భావిస్తే, మీరు ఆ చేతిని ఆడాలి ఎందుకంటే పూర్వం $1 అయినప్పుడు మడతపెట్టడం కంటే ఇది ఉత్తమం.

ఆశించిన విలువ యొక్క భావనను అర్థం చేసుకోవడానికి మరొక ముఖ్యమైన కారణం ఏమిటంటే, మీరు పందెం గెలిచినా, గెలవకపోయినా మీకు మనశ్శాంతి కలిగిస్తుంది: మీరు మంచి పందెం వేసినా లేదా సరైన సమయంలో మడతపెట్టినా, మీరు సంపాదించినట్లు మీకు తెలుస్తుంది లేదా బలహీనమైన ఆటగాడు ఆదా చేయలేని కొంత మొత్తాన్ని ఆదా చేశాడు. మీ ప్రత్యర్థి చేతిని బలంగా లాగినందున మీరు కలత చెందితే మడవడం చాలా కష్టం. వీటన్నింటితో, బెట్టింగ్‌లకు బదులుగా మీరు ఆదా చేయని డబ్బు రాత్రి లేదా నెలలో మీ విజయాలకు జోడించబడుతుంది.

మీరు మీ చేతులను మార్చినట్లయితే, మీ ప్రత్యర్థి మిమ్మల్ని పిలిచేవారని గుర్తుంచుకోండి మరియు మీరు పోకర్ యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతంలో చూసినట్లుగా, ఇది మీ ప్రయోజనాల్లో ఒకటి మాత్రమే. ఇది జరిగినప్పుడు మీరు సంతోషంగా ఉండాలి. మీరు చేతిని కోల్పోవడాన్ని ఆనందించడం కూడా నేర్చుకోవచ్చు, ఎందుకంటే మీ స్థానంలో ఉన్న ఇతర ఆటగాళ్లు చాలా ఎక్కువ నష్టపోతారని మీకు తెలుసు.

ప్రారంభంలో కాయిన్ గేమ్ ఉదాహరణలో పేర్కొన్నట్లుగా, లాభం యొక్క గంట రేటు గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణతో పరస్పర సంబంధం కలిగి ఉంటుంది మరియు వృత్తిపరమైన ఆటగాళ్లకు ఈ భావన చాలా ముఖ్యమైనది. మీరు పేకాట ఆడటానికి వెళ్ళినప్పుడు, మీరు ఒక గంట ఆటలో ఎంత గెలుస్తారో మానసికంగా అంచనా వేయాలి. చాలా సందర్భాలలో మీరు మీ అంతర్ దృష్టి మరియు అనుభవంపై ఆధారపడవలసి ఉంటుంది, కానీ మీరు కొంత గణితాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు. ఉదాహరణకు, మీరు డ్రా లోబాల్ ఆడుతున్నారు మరియు ముగ్గురు ఆటగాళ్ళు $10 పందెం వేసి, ఆపై రెండు కార్డ్‌లను వర్తకం చేయడాన్ని మీరు చూస్తారు, ఇది చాలా చెడ్డ వ్యూహం, వారు $10 పందెం వేసిన ప్రతిసారీ వారు సుమారు $2 కోల్పోతారని మీరు గుర్తించవచ్చు. ప్రతి ఒక్కరు గంటకు ఎనిమిది సార్లు ఇలా చేస్తారు, అంటే ముగ్గురూ గంటకు సుమారు $48 కోల్పోతారు. మీరు దాదాపు సమానంగా ఉన్న మిగిలిన నలుగురు ఆటగాళ్లలో ఒకరు, కాబట్టి ఈ నలుగురు ఆటగాళ్ళు (మరియు వారిలో మీరు) తప్పనిసరిగా $48ని విభజించాలి, ఒక్కొక్కరు గంటకు $12 లాభాన్ని పొందుతారు. ఈ సందర్భంలో మీ గంట వారీ అసమానత కేవలం ఒక గంటలో ముగ్గురు చెడ్డ ఆటగాళ్లు కోల్పోయిన డబ్బు మొత్తంలో మీ వాటాకు సమానంగా ఉంటుంది.

చాలా కాలం పాటు, ఆటగాడి మొత్తం విజయాలు వ్యక్తిగత చేతుల్లో అతని గణిత అంచనాల మొత్తం. మీరు సానుకూల నిరీక్షణతో ఎంత ఎక్కువ చేతులు ఆడితే, మీరు అంత ఎక్కువగా గెలుస్తారు మరియు ప్రతికూల అంచనాతో మీరు ఎంత ఎక్కువ చేతులు ఆడితే అంత ఎక్కువగా మీరు కోల్పోతారు. ఫలితంగా, మీరు మీ సానుకూల నిరీక్షణను పెంచే గేమ్‌ను ఎంచుకోవాలి లేదా మీ ప్రతికూల నిరీక్షణను తిరస్కరించవచ్చు, తద్వారా మీరు మీ గంటవారీ విజయాలను పెంచుకోవచ్చు.

గేమింగ్ వ్యూహంలో సానుకూల గణిత నిరీక్షణ

కార్డ్‌లను ఎలా లెక్కించాలో మీకు తెలిస్తే, వారు గమనించి మిమ్మల్ని బయటకు విసిరేయనంత కాలం, మీరు క్యాసినోపై ప్రయోజనాన్ని పొందవచ్చు. క్యాసినోలు తాగిన ఆటగాళ్ళను ఇష్టపడతారు మరియు కార్డ్ లెక్కింపు ఆటగాళ్లను సహించరు. కాలక్రమేణా మీరు ఓడిపోయిన దానికంటే ఎక్కువ సార్లు గెలవడానికి ఒక ప్రయోజనం మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ఆశించిన విలువ గణనలను ఉపయోగించి మంచి డబ్బు నిర్వహణ మీ అంచు నుండి మరింత లాభం పొందడంలో మరియు మీ నష్టాలను తగ్గించడంలో మీకు సహాయపడుతుంది. ప్రయోజనం లేకుండా, మీరు దాతృత్వానికి డబ్బు ఇవ్వడం మంచిది. స్టాక్ ఎక్స్ఛేంజ్లో ఆటలో, గేమ్ సిస్టమ్ ద్వారా ప్రయోజనం ఇవ్వబడుతుంది, ఇది నష్టాలు, ధర వ్యత్యాసాలు మరియు కమీషన్ల కంటే ఎక్కువ లాభాలను సృష్టిస్తుంది. ఎటువంటి డబ్బు నిర్వహణ చెడు గేమింగ్ సిస్టమ్‌ను సేవ్ చేయదు.

సానుకూల అంచనా సున్నా కంటే ఎక్కువ విలువగా నిర్వచించబడింది. ఈ సంఖ్య ఎంత పెద్దదైతే, గణాంక అంచనాలు అంత బలంగా ఉంటాయి. విలువ సున్నా కంటే తక్కువగా ఉంటే, గణిత అంచనా కూడా ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. ప్రతికూల విలువ యొక్క మాడ్యూల్ పెద్దది, పరిస్థితి అధ్వాన్నంగా ఉంటుంది. ఫలితం సున్నా అయితే, వేచి ఉండటం బ్రేక్-ఈవెన్. మీకు సానుకూల గణిత నిరీక్షణ మరియు సహేతుకమైన ఆట విధానం ఉన్నప్పుడు మాత్రమే మీరు గెలవగలరు. అంతర్ దృష్టితో ఆడటం విపత్తుకు దారితీస్తుంది.

గణిత అంచనా మరియు స్టాక్ ట్రేడింగ్

ఫైనాన్షియల్ మార్కెట్లలో ఎక్స్ఛేంజ్ ట్రేడింగ్ నిర్వహించేటప్పుడు గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ అనేది చాలా విస్తృతంగా ఉపయోగించబడే మరియు ప్రజాదరణ పొందిన గణాంక సూచిక. అన్నింటిలో మొదటిది, ట్రేడింగ్ యొక్క విజయాన్ని విశ్లేషించడానికి ఈ పరామితి ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ విలువ ఎక్కువ అని ఊహించడం కష్టం కాదు, వ్యాపారాన్ని విజయవంతంగా అధ్యయనం చేయడానికి మరింత కారణాలు. వాస్తవానికి, ఈ పరామితిని ఉపయోగించి మాత్రమే వ్యాపారి పని యొక్క విశ్లేషణ నిర్వహించబడదు. అయితే, లెక్కించిన విలువ, పని నాణ్యతను అంచనా వేసే ఇతర పద్ధతులతో కలిపి, విశ్లేషణ యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని గణనీయంగా పెంచుతుంది.

గణిత నిరీక్షణ తరచుగా ట్రేడింగ్ ఖాతా పర్యవేక్షణ సేవలలో లెక్కించబడుతుంది, ఇది డిపాజిట్‌పై చేసిన పనిని త్వరగా అంచనా వేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. మినహాయింపులలో లాభదాయకం లేని ట్రేడ్‌లను "సిట్టింగ్ అవుట్" ఉపయోగించే వ్యూహాలు ఉన్నాయి. ఒక వ్యాపారి కొంతకాలం అదృష్టవంతుడు కావచ్చు, అందువల్ల అతని పనిలో ఎటువంటి నష్టాలు ఉండకపోవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, గణిత నిరీక్షణ ద్వారా మాత్రమే మార్గనిర్దేశం చేయడం సాధ్యం కాదు, ఎందుకంటే పనిలో ఉపయోగించే నష్టాలు పరిగణనలోకి తీసుకోబడవు.

మార్కెట్ ట్రేడింగ్‌లో, ఏదైనా ట్రేడింగ్ వ్యూహం యొక్క లాభదాయకతను అంచనా వేసేటప్పుడు లేదా అతని మునుపటి ట్రేడింగ్ నుండి గణాంక డేటా ఆధారంగా వ్యాపారి ఆదాయాన్ని అంచనా వేసేటప్పుడు గణిత నిరీక్షణ చాలా తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది.

మనీ మేనేజ్‌మెంట్‌కు సంబంధించి, ప్రతికూల అంచనాలతో లావాదేవీలు చేస్తున్నప్పుడు, ఖచ్చితంగా అధిక లాభాలను తెచ్చే మనీ మేనేజ్‌మెంట్ స్కీమ్ లేదని అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం. మీరు ఈ పరిస్థితులలో స్టాక్ మార్కెట్‌ను ఆడటం కొనసాగిస్తే, మీరు మీ డబ్బును ఎలా నిర్వహించారనే దానితో సంబంధం లేకుండా, మీరు మీ మొత్తం ఖాతాను కోల్పోతారు, అది ఎంత పెద్దదైనా ప్రారంభించబడుతుంది.

ఈ సిద్ధాంతం ప్రతికూల అంచనాలతో గేమ్‌లు లేదా ట్రేడ్‌లకు మాత్రమే కాదు, సమాన అవకాశాలు ఉన్న గేమ్‌లకు కూడా వర్తిస్తుంది. అందువల్ల, మీరు సానుకూల అంచనా విలువతో ట్రేడ్‌లను తీసుకుంటే మాత్రమే మీకు దీర్ఘకాలిక లాభం పొందే అవకాశం ఉంటుంది.

ప్రతికూల నిరీక్షణ మరియు సానుకూల నిరీక్షణ మధ్య వ్యత్యాసం జీవితం మరియు మరణం మధ్య వ్యత్యాసం. నిరీక్షణ ఎంత సానుకూలంగా ఉన్నా లేదా ఎంత ప్రతికూలంగా ఉన్నా అది పట్టింపు లేదు; ఇది సానుకూలమా లేదా ప్రతికూలమా అనేది ముఖ్యం. అందువల్ల, డబ్బు నిర్వహణను పరిగణనలోకి తీసుకునే ముందు, మీరు సానుకూల అంచనాతో గేమ్‌ను కనుగొనాలి.

మీకు ఆ గేమ్ లేకపోతే, ప్రపంచంలోని డబ్బు నిర్వహణ అంతా మిమ్మల్ని రక్షించదు. మరోవైపు, మీరు సానుకూల నిరీక్షణను కలిగి ఉంటే, మీరు సరైన డబ్బు నిర్వహణ ద్వారా దానిని ఘాతాంక వృద్ధి ఫంక్షన్‌గా మార్చవచ్చు. సానుకూల అంచనాలు ఎంత తక్కువగా ఉన్నా పర్వాలేదు! మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఒకే ఒప్పందంపై ఆధారపడిన వ్యాపార వ్యవస్థ ఎంత లాభదాయకంగా ఉంది. మీరు ఒక్కో ట్రేడ్‌కు $10 చొప్పున గెలుచుకునే సిస్టమ్‌ను కలిగి ఉంటే (కమీషన్‌లు మరియు జారడం తర్వాత), ప్రతి ట్రేడ్‌కు సగటున $1,000 (కమీషన్‌లు మరియు జారడం తర్వాత) ఉండే సిస్టమ్ కంటే మీరు దానిని మరింత లాభదాయకంగా మార్చడానికి డబ్బు నిర్వహణ పద్ధతులను ఉపయోగించవచ్చు.

సిస్టమ్ ఎంత లాభదాయకంగా ఉంది అనేది ముఖ్యం కాదు, కానీ భవిష్యత్తులో కనీసం కనీస లాభాన్ని చూపుతుందని సిస్టమ్ ఎంత ఖచ్చితంగా చెప్పగలదు. అందువల్ల, ఒక వ్యాపారి చేయగలిగే అతి ముఖ్యమైన తయారీ వ్యవస్థ భవిష్యత్తులో సానుకూల అంచనా విలువను చూపుతుందని నిర్ధారించుకోవడం.

భవిష్యత్తులో సానుకూల అంచనా విలువను కలిగి ఉండటానికి, మీ సిస్టమ్ యొక్క స్వేచ్ఛ స్థాయిలను పరిమితం చేయకుండా ఉండటం చాలా ముఖ్యం. ఆప్టిమైజ్ చేయవలసిన పారామితుల సంఖ్యను తొలగించడం లేదా తగ్గించడం ద్వారా మాత్రమే కాకుండా, వీలైనన్ని ఎక్కువ సిస్టమ్ నియమాలను తగ్గించడం ద్వారా కూడా ఇది సాధించబడుతుంది. మీరు జోడించే ప్రతి పరామితి, మీరు చేసే ప్రతి నియమం, సిస్టమ్‌లో మీరు చేసే ప్రతి చిన్న మార్పు స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్యను తగ్గిస్తుంది. ఆదర్శవంతంగా, మీరు దాదాపు ఏదైనా మార్కెట్‌లో స్థిరంగా చిన్న లాభాలను సృష్టించే చాలా ప్రాచీనమైన మరియు సరళమైన వ్యవస్థను నిర్మించాలి. మళ్ళీ, ఇది లాభదాయకంగా ఉన్నంత వరకు వ్యవస్థ ఎంత లాభదాయకంగా ఉన్నప్పటికీ అది ముఖ్యం కాదని మీరు అర్థం చేసుకోవడం ముఖ్యం. మీరు ట్రేడింగ్‌లో సంపాదించే డబ్బు సమర్థవంతమైన మనీ మేనేజ్‌మెంట్ ద్వారా చేయబడుతుంది.

ట్రేడింగ్ సిస్టమ్ అనేది మీకు సానుకూల అంచనా విలువను అందించే సాధనం, తద్వారా మీరు డబ్బు నిర్వహణను ఉపయోగించవచ్చు. ఒకటి లేదా కొన్ని మార్కెట్‌లలో మాత్రమే పని చేసే (కనీసం కనిష్ట లాభాలను చూపే) సిస్టమ్‌లు లేదా వివిధ మార్కెట్‌ల కోసం వేర్వేరు నియమాలు లేదా పారామితులను కలిగి ఉంటాయి, అవి చాలా కాలం పాటు నిజ సమయంలో పని చేయవు. చాలా సాంకేతికంగా ఆధారిత వ్యాపారుల సమస్య ఏమిటంటే వారు వాణిజ్య వ్యవస్థ యొక్క వివిధ నియమాలు మరియు పారామీటర్ విలువలను ఆప్టిమైజ్ చేయడానికి ఎక్కువ సమయం మరియు కృషిని వెచ్చిస్తారు. ఇది పూర్తిగా వ్యతిరేక ఫలితాలను ఇస్తుంది. వాణిజ్య వ్యవస్థ యొక్క లాభాలను పెంచడానికి శక్తి మరియు కంప్యూటర్ సమయాన్ని వృధా చేయడానికి బదులుగా, కనీస లాభం పొందే విశ్వసనీయత స్థాయిని పెంచడానికి మీ శక్తిని నిర్దేశించండి.

మనీ మేనేజ్‌మెంట్ అనేది కేవలం నంబర్‌ల గేమ్ అని తెలుసుకోవడం వల్ల సానుకూల అంచనాలను ఉపయోగించడం అవసరం, ఒక వ్యాపారి స్టాక్ ట్రేడింగ్ యొక్క "హోలీ గ్రెయిల్" కోసం శోధించడం మానివేయవచ్చు. బదులుగా, అతను తన వ్యాపార పద్ధతిని పరీక్షించడం ప్రారంభించవచ్చు, ఈ పద్ధతి ఎంత తార్కికంగా ఉందో మరియు అది సానుకూల అంచనాలను ఇస్తుందో లేదో తెలుసుకోవచ్చు. సరైన డబ్బు నిర్వహణ పద్ధతులు, ఏదైనా, చాలా మధ్యస్థమైన వ్యాపార పద్ధతులకు కూడా వర్తింపజేస్తే, మిగిలిన పనిని స్వయంగా చేస్తారు.

ఏ వ్యాపారి అయినా తన పనిలో విజయం సాధించాలంటే, అతను మూడు ముఖ్యమైన పనులను పరిష్కరించాలి: . విజయవంతమైన లావాదేవీల సంఖ్య అనివార్యమైన తప్పులు మరియు తప్పుడు లెక్కల కంటే ఎక్కువగా ఉందని నిర్ధారించడానికి; మీ వ్యాపార వ్యవస్థను సెటప్ చేయండి, తద్వారా మీరు వీలైనంత తరచుగా డబ్బు సంపాదించడానికి అవకాశం ఉంటుంది; మీ కార్యకలాపాల నుండి స్థిరమైన సానుకూల ఫలితాలను సాధించండి.

మరియు ఇక్కడ, మాకు పని చేసే వ్యాపారులకు, గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ గొప్ప సహాయంగా ఉంటుంది. ఈ పదం సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో కీలకమైన వాటిలో ఒకటి. దాని సహాయంతో, మీరు కొంత యాదృచ్ఛిక విలువ యొక్క సగటు అంచనాను ఇవ్వవచ్చు. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ గురుత్వాకర్షణ కేంద్రాన్ని పోలి ఉంటుంది, మీరు అన్ని సంభావ్య సంభావ్యతలను వేర్వేరు ద్రవ్యరాశితో పాయింట్లుగా ఊహించినట్లయితే.

వ్యాపార వ్యూహానికి సంబంధించి, లాభం (లేదా నష్టం) యొక్క గణిత అంచనా దాని ప్రభావాన్ని అంచనా వేయడానికి చాలా తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ పరామితి లాభం మరియు నష్టాల యొక్క ఇచ్చిన స్థాయిల ఉత్పత్తుల మొత్తం మరియు వాటి సంభవించే సంభావ్యతగా నిర్వచించబడింది. ఉదాహరణకు, అభివృద్ధి చెందిన వర్తక వ్యూహం మొత్తం లావాదేవీలలో 37% లాభాన్ని తెస్తుంది మరియు మిగిలిన భాగం - 63% - లాభదాయకం కాదు. అదే సమయంలో, విజయవంతమైన లావాదేవీ నుండి సగటు ఆదాయం $7 ఉంటుంది మరియు సగటు నష్టం $1.4 అవుతుంది. ఈ వ్యవస్థను ఉపయోగించి ట్రేడింగ్ యొక్క గణిత నిరీక్షణను గణిద్దాం:

ఈ సంఖ్య అంటే ఏమిటి? ఈ సిస్టమ్ యొక్క నియమాలను అనుసరించి, మేము ప్రతి క్లోజ్డ్ లావాదేవీ నుండి సగటున $1,708 అందుకుంటామని ఇది చెప్పింది. ఫలితంగా సమర్ధత రేటింగ్ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉన్నందున, అటువంటి వ్యవస్థ నిజమైన పని కోసం ఉపయోగించబడుతుంది. గణన ఫలితంగా, గణిత నిరీక్షణ ప్రతికూలంగా మారినట్లయితే, ఇది ఇప్పటికే సగటు నష్టాన్ని సూచిస్తుంది మరియు అటువంటి వ్యాపారం నాశనానికి దారి తీస్తుంది.

లావాదేవీకి వచ్చే లాభం మొత్తాన్ని కూడా % రూపంలో సాపేక్ష విలువగా వ్యక్తీకరించవచ్చు. ఉదాహరణకి:

– 1 లావాదేవీకి ఆదాయం శాతం - 5%;

– విజయవంతమైన ట్రేడింగ్ కార్యకలాపాల శాతం - 62%;

– 1 లావాదేవీకి నష్టం శాతం - 3%;

– విజయవంతం కాని లావాదేవీల శాతం - 38%;

అంటే, సగటు వాణిజ్యం 1.96% తెస్తుంది.

లాభదాయకమైన ట్రేడ్‌ల ప్రాబల్యం ఉన్నప్పటికీ, దాని MO>0 నుండి సానుకూల ఫలితాన్ని అందించే వ్యవస్థను అభివృద్ధి చేయడం సాధ్యపడుతుంది.

అయితే, ఒక్క నిరీక్షణ సరిపోదు. సిస్టమ్ చాలా తక్కువ ట్రేడింగ్ సిగ్నల్స్ ఇస్తే డబ్బు సంపాదించడం కష్టం. ఈ సందర్భంలో, దాని లాభదాయకత బ్యాంకు వడ్డీతో పోల్చవచ్చు. ప్రతి ఆపరేషన్ సగటున 0.5 డాలర్లు మాత్రమే ఉత్పత్తి చేయనివ్వండి, అయితే సిస్టమ్ సంవత్సరానికి 1000 కార్యకలాపాలను కలిగి ఉంటే ఏమి చేయాలి? సాపేక్షంగా తక్కువ సమయంలో ఇది చాలా ముఖ్యమైన మొత్తం అవుతుంది. ఇది తార్కికంగా మంచి వ్యాపార వ్యవస్థ యొక్క మరొక విలక్షణమైన లక్షణాన్ని హోల్డింగ్ పొజిషన్ల స్వల్ప వ్యవధిగా పరిగణించవచ్చు.

మూలాలు మరియు లింక్‌లు

dic.academic.ru – అకడమిక్ ఆన్‌లైన్ నిఘంటువు

mathematics.ru – గణితంలో విద్యా వెబ్‌సైట్

nsu.ru - నోవోసిబిర్స్క్ స్టేట్ యూనివర్శిటీ యొక్క విద్యా వెబ్‌సైట్

webmath.ru అనేది విద్యార్థులు, దరఖాస్తుదారులు మరియు పాఠశాల పిల్లల కోసం ఒక విద్యా పోర్టల్.

exponenta.ru విద్యా గణిత వెబ్‌సైట్

ru.tradimo.com – ఉచిత ఆన్‌లైన్ ట్రేడింగ్ స్కూల్

crypto.hut2.ru - మల్టీడిసిప్లినరీ ఇన్ఫర్మేషన్ రిసోర్స్

poker-wiki.ru – పోకర్ యొక్క ఉచిత ఎన్సైక్లోపీడియా

sernam.ru – ఎంచుకున్న సహజ విజ్ఞాన ప్రచురణల యొక్క శాస్త్రీయ లైబ్రరీ

reshim.su – వెబ్‌సైట్ మేము పరీక్షా కోర్సు సమస్యలను పరిష్కరిస్తాము

unfx.ru - UNFXలో ఫారెక్స్: శిక్షణ, ట్రేడింగ్ సిగ్నల్స్, ట్రస్ట్ మేనేజ్‌మెంట్

slovopedia.com – బిగ్ ఎన్సైక్లోపెడిక్ డిక్షనరీ స్లోవోపీడియా

pokermansion.3dn.ru – పోకర్ ప్రపంచంలో మీ గైడ్

statanaliz.info – సమాచార బ్లాగ్ “గణాంక డేటా విశ్లేషణ”

forex-trader.rf - ఫారెక్స్-ట్రేడర్ పోర్టల్

megafx.ru - ప్రస్తుత ఫారెక్స్ విశ్లేషణలు

fx-by.com - వ్యాపారి కోసం ప్రతిదీ

డై విసిరే ఉదాహరణను ఉపయోగించి గణిత నిరీక్షణ భావనను పరిగణించవచ్చు. ప్రతి త్రోతో, పడిపోయిన పాయింట్లు నమోదు చేయబడతాయి. వాటిని వ్యక్తీకరించడానికి, 1 - 6 పరిధిలో సహజ విలువలు ఉపయోగించబడతాయి.

నిర్దిష్ట సంఖ్యలో త్రోల తర్వాత, సాధారణ గణనలను ఉపయోగించి, మీరు చుట్టిన పాయింట్ల అంకగణిత సగటును కనుగొనవచ్చు.

పరిధిలోని ఏదైనా విలువలు సంభవించినట్లే, ఈ విలువ యాదృచ్ఛికంగా ఉంటుంది.

మీరు త్రోల సంఖ్యను అనేక సార్లు పెంచినట్లయితే? పెద్ద సంఖ్యలో త్రోలతో, పాయింట్ల యొక్క అంకగణిత సగటు నిర్దిష్ట సంఖ్యను చేరుకుంటుంది, ఇది సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో గణిత నిరీక్షణగా పిలువబడుతుంది.

కాబట్టి, గణిత నిరీక్షణ ద్వారా మనం యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువను సూచిస్తాము. ఈ సూచిక సంభావ్య విలువ విలువల యొక్క వెయిటెడ్ మొత్తంగా కూడా ప్రదర్శించబడుతుంది.

ఈ భావనకు అనేక పర్యాయపదాలు ఉన్నాయి:

• సగటు విలువ;
• సగటు విలువ;
• కేంద్ర ధోరణి యొక్క సూచిక;
• మొదటి క్షణం.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఇది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువలు పంపిణీ చేయబడిన సంఖ్య కంటే మరేమీ కాదు.

మానవ కార్యకలాపాల యొక్క వివిధ రంగాలలో, గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణను అర్థం చేసుకునే విధానాలు కొంత భిన్నంగా ఉంటాయి.

దీనిని ఇలా పరిగణించవచ్చు:

• పెద్ద సంఖ్య సిద్ధాంతం యొక్క దృక్కోణం నుండి అటువంటి నిర్ణయాన్ని పరిగణించినప్పుడు, నిర్ణయం తీసుకోవడం ద్వారా పొందిన సగటు ప్రయోజనం;
• ప్రతి పందెం కోసం సగటున లెక్కించబడిన గెలుపు లేదా ఓడిపోయిన (జూదం సిద్ధాంతం) సాధ్యమయ్యే మొత్తం. యాసలో, అవి "ప్లేయర్స్ అడ్వాంటేజ్" (ప్లేయర్‌కి పాజిటివ్) లేదా "కాసినో అడ్వాంటేజ్" (ప్లేయర్‌కి నెగిటివ్) లాగా ఉంటాయి;
• విజయాల నుండి పొందిన లాభం శాతం.

అన్ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్‌కు నిరీక్షణ తప్పనిసరి కాదు. సంబంధిత మొత్తం లేదా సమగ్రంలో వ్యత్యాసం ఉన్నవారికి ఇది ఉండదు.

గణిత నిరీక్షణ యొక్క లక్షణాలు

ఏదైనా గణాంక పరామితి వలె, గణిత నిరీక్షణ క్రింది లక్షణాలను కలిగి ఉంటుంది:

గణిత నిరీక్షణ కోసం ప్రాథమిక సూత్రాలు

గణిత నిరీక్షణ యొక్క గణన కొనసాగింపు (ఫార్ములా A) మరియు విచక్షణ (ఫార్ములా B) రెండింటి ద్వారా వర్గీకరించబడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కోసం రెండింటినీ నిర్వహించవచ్చు:

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, ఇక్కడ xi అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువలు, pi అనేది సంభావ్యతలు:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, ఇక్కడ f(x) అనేది ఇచ్చిన సంభావ్యత సాంద్రత.

గణిత నిరీక్షణను లెక్కించడానికి ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ A.

స్నో వైట్ గురించి అద్భుత కథలో మరుగుజ్జుల సగటు ఎత్తును కనుగొనడం సాధ్యమేనా? 7 మరుగుజ్జుల్లో ప్రతి ఒక్కరికి ఒక నిర్దిష్ట ఎత్తు ఉందని తెలిసింది: 1.25; 0.98; 1.05; 0.71; 0.56; 0.95 మరియు 0.81 మీ.

గణన అల్గోరిథం చాలా సులభం:

• వృద్ధి సూచిక (యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్) యొక్క అన్ని విలువల మొత్తాన్ని మేము కనుగొంటాము:
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• ఫలిత మొత్తాన్ని పిశాచముల సంఖ్యతో భాగించండి:
  6,31:7=0,90.

ఈ విధంగా, ఒక అద్భుత కథలో పిశాచాల సగటు ఎత్తు 90 సెం.మీ. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఇది పిశాచాల పెరుగుదల యొక్క గణిత అంచనా.

వర్కింగ్ ఫార్ములా - M(x)=4 0.2+6 0.3+10 0.5=6

గణిత నిరీక్షణ యొక్క ఆచరణాత్మక అమలు

గణిత నిరీక్షణ యొక్క గణాంక సూచిక యొక్క గణన ఆచరణాత్మక కార్యకలాపాల యొక్క వివిధ రంగాలలో ఆశ్రయించబడుతుంది. అన్నింటిలో మొదటిది, మేము వాణిజ్య రంగం గురించి మాట్లాడుతున్నాము. అన్నింటికంటే, ఈ సూచిక యొక్క హ్యూజెన్స్ పరిచయం కొన్ని సంఘటనలకు అనుకూలంగా ఉండే అవకాశాలను నిర్ణయించడంతో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది, లేదా దీనికి విరుద్ధంగా, అననుకూలమైనది.

ఈ పరామితి నష్టాలను అంచనా వేయడానికి విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది, ప్రత్యేకించి ఆర్థిక పెట్టుబడుల విషయానికి వస్తే.
అందువలన, వ్యాపారంలో, ధరలను లెక్కించేటప్పుడు ప్రమాదాన్ని అంచనా వేయడానికి గణిత అంచనాల గణన ఒక పద్ధతిగా పనిచేస్తుంది.

ఈ సూచిక కొన్ని చర్యల ప్రభావాన్ని లెక్కించడానికి కూడా ఉపయోగించవచ్చు, ఉదాహరణకు, కార్మిక రక్షణ. దానికి ధన్యవాదాలు, మీరు ఈవెంట్ సంభవించే సంభావ్యతను లెక్కించవచ్చు.

ఈ పరామితి యొక్క అప్లికేషన్ యొక్క మరొక ప్రాంతం నిర్వహణ. ఉత్పత్తి నాణ్యత నియంత్రణ సమయంలో కూడా దీనిని లెక్కించవచ్చు. ఉదాహరణకు, చాపను ఉపయోగించడం. అంచనాల ప్రకారం, మీరు ఉత్పత్తి చేయబడిన లోపభూయిష్ట భాగాల సంఖ్యను లెక్కించవచ్చు.

శాస్త్రీయ పరిశోధన సమయంలో పొందిన ఫలితాల గణాంక ప్రాసెసింగ్‌ను నిర్వహించేటప్పుడు గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ కూడా ఎంతో అవసరం. లక్ష్యం సాధించే స్థాయిని బట్టి ప్రయోగం లేదా అధ్యయనం యొక్క కావలసిన లేదా అవాంఛనీయ ఫలితం యొక్క సంభావ్యతను లెక్కించడానికి ఇది మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. అన్నింటికంటే, దాని సాధన లాభం మరియు ప్రయోజనంతో ముడిపడి ఉంటుంది మరియు దాని వైఫల్యం నష్టం లేదా నష్టంతో ముడిపడి ఉంటుంది.

ఫారెక్స్‌లో గణిత నిరీక్షణను ఉపయోగించడం

విదేశీ మారకపు మార్కెట్లో లావాదేవీలను నిర్వహిస్తున్నప్పుడు ఈ గణాంక పరామితి యొక్క ఆచరణాత్మక అనువర్తనం సాధ్యమవుతుంది. దాని సహాయంతో, మీరు వాణిజ్య లావాదేవీల విజయాన్ని విశ్లేషించవచ్చు. అంతేకాకుండా, అంచనా విలువలో పెరుగుదల వారి విజయంలో పెరుగుదలను సూచిస్తుంది.

వ్యాపారి పనితీరును విశ్లేషించడానికి ఉపయోగించే ఏకైక గణాంక పరామితిగా గణిత నిరీక్షణను పరిగణించరాదని గుర్తుంచుకోవడం కూడా ముఖ్యం. సగటు విలువతో పాటు అనేక గణాంక పారామితుల ఉపయోగం విశ్లేషణ యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని గణనీయంగా పెంచుతుంది.

ట్రేడింగ్ ఖాతాల పరిశీలనలను పర్యవేక్షించడంలో ఈ పరామితి బాగా నిరూపించబడింది. దానికి ధన్యవాదాలు, డిపాజిట్ ఖాతాలో నిర్వహించిన పని యొక్క శీఘ్ర అంచనా నిర్వహించబడుతుంది. వ్యాపారి యొక్క కార్యకలాపం విజయవంతమై, నష్టాలను నివారించే సందర్భాలలో, గణిత అంచనాల గణనను ప్రత్యేకంగా ఉపయోగించమని సిఫార్సు చేయబడదు. ఈ సందర్భాలలో, నష్టాలు పరిగణనలోకి తీసుకోబడవు, ఇది విశ్లేషణ యొక్క ప్రభావాన్ని తగ్గిస్తుంది.

వ్యాపారుల వ్యూహాలపై నిర్వహించిన అధ్యయనాలు సూచిస్తున్నాయి:

• అత్యంత ప్రభావవంతమైన వ్యూహాలు యాదృచ్ఛిక ప్రవేశంపై ఆధారపడి ఉంటాయి;
• నిర్మాణాత్మక ఇన్‌పుట్‌లపై ఆధారపడిన వ్యూహాలు తక్కువ ప్రభావవంతమైనవి.

సానుకూల ఫలితాలను సాధించడంలో, తక్కువ ముఖ్యమైనవి కాదు:

• డబ్బు నిర్వహణ వ్యూహాలు;
• నిష్క్రమణ వ్యూహాలు.

గణిత నిరీక్షణ వంటి సూచికను ఉపయోగించి, మీరు 1 డాలర్ పెట్టుబడి పెట్టినప్పుడు లాభం లేదా నష్టం ఏమిటో అంచనా వేయవచ్చు. క్యాసినోలో ప్రాక్టీస్ చేసే అన్ని ఆటల కోసం లెక్కించిన ఈ సూచిక స్థాపనకు అనుకూలంగా ఉందని తెలిసింది. ఇది డబ్బు సంపాదించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ఆటల యొక్క సుదీర్ఘ శ్రేణి విషయంలో, క్లయింట్ డబ్బును కోల్పోయే సంభావ్యత గణనీయంగా పెరుగుతుంది.

వృత్తిపరమైన ఆటగాళ్ళు ఆడే ఆటలు స్వల్ప కాలానికి పరిమితం చేయబడతాయి, ఇది గెలిచే సంభావ్యతను పెంచుతుంది మరియు ఓడిపోయే ప్రమాదాన్ని తగ్గిస్తుంది. పెట్టుబడి కార్యకలాపాలను నిర్వహించేటప్పుడు అదే నమూనా గమనించబడుతుంది.

పెట్టుబడిదారుడు సానుకూల అంచనాలను కలిగి ఉండటం మరియు తక్కువ వ్యవధిలో పెద్ద సంఖ్యలో లావాదేవీలు చేయడం ద్వారా గణనీయమైన మొత్తాన్ని సంపాదించవచ్చు.

సగటు లాభం (AW)తో గుణించబడిన లాభం (PW) మరియు నష్ట సంభావ్యత (PL) సగటు నష్టం (AL) ద్వారా గుణించబడిన లాభం శాతం మధ్య వ్యత్యాసాన్ని నిరీక్షణగా భావించవచ్చు.

ఉదాహరణగా, మేము ఈ క్రింది వాటిని పరిగణించవచ్చు: స్థానం - 12.5 వేల డాలర్లు, పోర్ట్‌ఫోలియో - 100 వేల డాలర్లు, డిపాజిట్ రిస్క్ - 1%. లావాదేవీల లాభదాయకత 40% కేసులలో సగటు లాభం 20%. నష్టం విషయంలో, సగటు నష్టం 5%. లావాదేవీకి సంబంధించిన గణిత నిరీక్షణను లెక్కించడం వలన $625 విలువ వస్తుంది.

వివిక్త మరియు నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ప్రాథమిక సంఖ్యా లక్షణాలు: గణిత నిరీక్షణ, వ్యాప్తి మరియు ప్రామాణిక విచలనం. వారి లక్షణాలు మరియు ఉదాహరణలు.

పంపిణీ చట్టం (డిస్ట్రిబ్యూషన్ ఫంక్షన్ మరియు డిస్ట్రిబ్యూషన్ సిరీస్ లేదా ప్రాబబిలిటీ డెన్సిటీ) యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ప్రవర్తనను పూర్తిగా వివరిస్తుంది. కానీ అనేక సమస్యలలో, అడిగిన ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి అధ్యయనంలో ఉన్న విలువ యొక్క కొన్ని సంఖ్యా లక్షణాలను (ఉదాహరణకు, దాని సగటు విలువ మరియు దాని నుండి సాధ్యమయ్యే విచలనం) తెలుసుకోవడం సరిపోతుంది. వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ప్రధాన సంఖ్యా లక్షణాలను పరిశీలిద్దాం.

నిర్వచనం 7.1.గణిత నిరీక్షణవివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ అనేది దాని సాధ్యం విలువలు మరియు వాటి సంబంధిత సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తం:

ఎం(X) = X 1 ఆర్ 1 + X 2 ఆర్ 2 + … + x p p p.(7.1)

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సాధ్యమయ్యే విలువల సంఖ్య అనంతంగా ఉంటే, ఫలితంగా వచ్చే సిరీస్ ఖచ్చితంగా కలుస్తుంది.

గమనిక 1.గణిత నిరీక్షణను కొన్నిసార్లు అంటారు సగటు బరువు, ఇది పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలలో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటుకు దాదాపు సమానంగా ఉంటుంది.

గమనిక 2.గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ యొక్క నిర్వచనం నుండి దాని విలువ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సాధ్యమయ్యే అతి చిన్న విలువ కంటే తక్కువ కాదు మరియు అతిపెద్దది కంటే ఎక్కువ కాదు.

గమనిక 3.వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా కాని యాదృచ్ఛిక(స్థిరమైన. నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్‌కు కూడా ఇదే నిజమని మనం తరువాత చూస్తాము.

ఉదాహరణ 1. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణను కనుగొనండి X- 2 లోపభూయిష్టమైన వాటితో సహా 10 భాగాల బ్యాచ్ నుండి ఎంచుకున్న మూడింటిలో ప్రామాణిక భాగాల సంఖ్య. దీని కోసం పంపిణీ శ్రేణిని సృష్టిద్దాం X. సమస్య పరిస్థితుల నుండి అది అనుసరిస్తుంది X 1, 2, 3 విలువలను తీసుకోవచ్చు. తర్వాత

ఉదాహరణ 2. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనాను నిర్ణయించండి X- కోట్ ఆఫ్ ఆర్మ్స్ మొదటి రూపానికి ముందు నాణెం టాసుల సంఖ్య. ఈ పరిమాణం అనంతమైన విలువలను తీసుకోవచ్చు (సాధ్యమైన విలువల సమితి సహజ సంఖ్యల సమితి). దాని పంపిణీ శ్రేణి రూపాన్ని కలిగి ఉంది:

+ (గణిస్తున్నప్పుడు, అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి మొత్తానికి ఫార్ములా రెండుసార్లు ఉపయోగించబడింది: , ఎక్కడ నుండి ).

గణిత నిరీక్షణ యొక్క లక్షణాలు.

1) స్థిరాంకం యొక్క గణిత నిరీక్షణ స్థిరాంకానికి సమానం:

ఎం(తో) = తో.(7.2)

రుజువు. మేము పరిగణనలోకి తీసుకుంటే తోఒక వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌గా ఒక విలువను మాత్రమే తీసుకుంటుంది తోసంభావ్యతతో ఆర్= 1, అప్పుడు ఎం(తో) = తో?1 = తో.

2) గణిత నిరీక్షణ యొక్క సంకేతం నుండి స్థిరమైన కారకాన్ని తీసుకోవచ్చు:

ఎం(CX) = సీఎం(X). (7.3)

రుజువు. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ అయితే Xపంపిణీ సిరీస్ ద్వారా అందించబడింది

అప్పుడు ఎం(CX) = Cx 1 ఆర్ 1 + Cx 2 ఆర్ 2 + … + Cx p p p = తో(X 1 ఆర్ 1 + X 2 ఆర్ 2 + … + x p r p) = సీఎం(X).

నిర్వచనం 7.2.రెండు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ అంటారు స్వతంత్ర, వాటిలో ఒకదాని పంపిణీ చట్టం మరొకటి తీసుకున్న విలువలపై ఆధారపడి ఉండకపోతే. లేకపోతే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ ఆధారపడిన.

నిర్వచనం 7.3.పిలుద్దాం స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ఉత్పత్తి Xమరియు వై యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ XY, సాధ్యమయ్యే అన్ని విలువల ఉత్పత్తులకు సమానమైన విలువలు Xసాధ్యమయ్యే అన్ని విలువల కోసం వై, మరియు సంబంధిత సంభావ్యతలు కారకాల యొక్క సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తులకు సమానంగా ఉంటాయి.

3) రెండు స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ఉత్పత్తి యొక్క గణిత నిరీక్షణ వాటి గణిత అంచనాల ఉత్పత్తికి సమానం:

ఎం(XY) = ఎం(X)ఎం(వై). (7.4)

రుజువు. గణనలను సులభతరం చేయడానికి, మేము ఎప్పుడు కేసుకు పరిమితం చేస్తాము Xమరియు వైరెండు సాధ్యమయ్యే విలువలను మాత్రమే తీసుకోండి:

అందుకే, ఎం(XY) = x 1 వై 1 ?p 1 g 1 + x 2 వై 1 ?p 2 g 1 + x 1 వై 2 ?p 1 g 2 + x 2 వై 2 ?p 2 g 2 = వై 1 g 1 (x 1 p 1 + x 2 p 2) + + వై 2 g 2 (x 1 p 1 + x 2 p 2) = (వై 1 g 1 + వై 2 g 2) (x 1 p 1 + x 2 p 2) = ఎం(X)?ఎం(వై).

గమనిక 1.మీరు కారకాల యొక్క పెద్ద సంఖ్యలో సాధ్యమయ్యే విలువల కోసం ఈ ఆస్తిని అదేవిధంగా నిరూపించవచ్చు.

గమనిక 2.గణిత ప్రేరణ ద్వారా నిరూపించబడిన స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా ఉత్పత్తికి ప్రాపర్టీ 3 నిజం.

నిర్వచనం 7.4.నిర్వచించుకుందాం యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మొత్తం Xమరియు వై యాదృచ్ఛిక చరరాశిగా X+Y, సాధ్యమయ్యే విలువలు ప్రతి సాధ్యమైన విలువ మొత్తాలకు సమానంగా ఉంటాయి Xసాధ్యమయ్యే ప్రతి విలువతో వై; అటువంటి మొత్తాల సంభావ్యత నిబంధనల యొక్క సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తులకు సమానం (ఆధారిత యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కోసం - రెండవ షరతులతో కూడిన సంభావ్యత ద్వారా ఒక పదం యొక్క సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తులు).

4) రెండు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ (డిపెండెంట్ లేదా ఇండిపెండెంట్) మొత్తం యొక్క గణిత నిరీక్షణ నిబంధనల యొక్క గణిత అంచనాల మొత్తానికి సమానం:

ఎం (X+Y) = ఎం (X) + ఎం (వై). (7.5)

రుజువు.

ఆస్తి రుజువు 3లో ఇవ్వబడిన పంపిణీ శ్రేణి ద్వారా నిర్వచించబడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్‌ను మళ్లీ పరిశీలిద్దాం. ఆపై సాధ్యమయ్యే విలువలు X+Yఉన్నాయి X 1 + వద్ద 1 , X 1 + వద్ద 2 , X 2 + వద్ద 1 , X 2 + వద్ద 2. వాటి సంభావ్యతలను వరుసగా ఇలా సూచిస్తాము ఆర్ 11 , ఆర్ 12 , ఆర్ 21 మరియు ఆర్ 22. మేము కనుగొంటాము ఎం(X+వై) = (x 1 + వై 1)p 11 + (x 1 + వై 2)p 12 + (x 2 + వై 1)p 21 + (x 2 + వై 2)p 22 =

= x 1 (p 11 + p 12) + x 2 (p 21 + p 22) + వై 1 (p 11 + p 21) + వై 2 (p 12 + p 22).

అని నిరూపిద్దాం ఆర్ 11 + ఆర్ 22 = ఆర్ 1 . నిజానికి ఆ సంఘటన X+Yవిలువలు తీసుకుంటారు X 1 + వద్ద 1 లేదా X 1 + వద్ద 2 మరియు దీని సంభావ్యత ఆర్ 11 + ఆర్ 22 ఆ సంఘటనతో సమానంగా ఉంటుంది X = X 1 (దాని సంభావ్యత ఆర్ 1) అదే విధంగా నిరూపించబడింది p 21 + p 22 = ఆర్ 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2. అంటే,

ఎం(X+Y) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + వై 1 g 1 + వై 2 g 2 = ఎం (X) + ఎం (వై).

వ్యాఖ్య. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా సంఖ్య మొత్తం నిబంధనల యొక్క గణిత అంచనాల మొత్తానికి సమానం అని ఆస్తి 4 నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది.

ఉదాహరణ. ఐదు పాచికలు విసిరినప్పుడు పొందిన పాయింట్ల సంఖ్య యొక్క మొత్తం గణిత అంచనాను కనుగొనండి.

ఒక పాచికను విసిరేటప్పుడు చుట్టబడిన పాయింట్ల సంఖ్య యొక్క గణిత నిరీక్షణను కనుగొనండి:

ఎం(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) అదే సంఖ్య ఏదైనా పాచికలపై చుట్టబడిన పాయింట్ల సంఖ్య యొక్క గణిత అంచనాకు సమానం. కాబట్టి, ఆస్తి ద్వారా 4 ఎం(X)=

చెదరగొట్టడం.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ప్రవర్తన యొక్క ఆలోచనను కలిగి ఉండటానికి, దాని గణిత నిరీక్షణను మాత్రమే తెలుసుకోవడం సరిపోదు. రెండు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ పరిగణించండి: Xమరియు వై, ఫారమ్ యొక్క పంపిణీ శ్రేణి ద్వారా పేర్కొనబడింది

మేము కనుగొంటాము ఎం(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, ఎం(వై) = 0?0.5 + 100?0.5 = 50. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, రెండు పరిమాణాల గణిత అంచనాలు సమానంగా ఉంటాయి, అయితే HM(X) యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ప్రవర్తనను బాగా వివరిస్తుంది, దాని అత్యంత సంభావ్య విలువ (మరియు మిగిలిన విలువలు 50 నుండి చాలా తేడా లేదు), ఆపై విలువలు వైనుండి గణనీయంగా తొలగించబడింది ఎం(వై) అందువల్ల, గణిత అంచనాతో పాటు, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువలు దాని నుండి ఎంత వైదొలగుతున్నాయో తెలుసుకోవడం అవసరం. ఈ సూచికను వర్గీకరించడానికి, వ్యాప్తి ఉపయోగించబడుతుంది.

నిర్వచనం 7.5.చెదరగొట్టడం (చెదరగొట్టడం)యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ అనేది దాని గణిత అంచనా నుండి దాని విచలనం యొక్క స్క్వేర్ యొక్క గణిత అంచనా:

డి(X) = ఎం (X-M(X))². (7.6)

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క వైవిధ్యాన్ని కనుగొనండి X(ఎంచుకున్న వాటిలో ప్రామాణిక భాగాల సంఖ్య) ఈ ఉపన్యాసం యొక్క ఉదాహరణ 1లో. గణిత అంచనా నుండి సాధ్యమయ్యే ప్రతి విలువ యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాన్ని గణిద్దాం:

(1 - 2.4) 2 = 1.96; (2 - 2.4) 2 = 0.16; (3 - 2.4) 2 = 0.36. అందుకే,

గమనిక 1.చెదరగొట్టడాన్ని నిర్ణయించడంలో, సగటు నుండి విచలనం అంచనా వేయబడదు, కానీ దాని చతురస్రం. విభిన్న సంకేతాల విచలనాలు ఒకదానికొకటి రద్దు చేయని విధంగా ఇది జరుగుతుంది.

గమనిక 2.వ్యాప్తి యొక్క నిర్వచనం నుండి ఈ పరిమాణం ప్రతికూల విలువలను మాత్రమే తీసుకుంటుంది.

గమనిక 3.గణనలకు మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉండే వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించడానికి ఒక సూత్రం ఉంది, దీని యొక్క ప్రామాణికత క్రింది సిద్ధాంతంలో నిరూపించబడింది:

సిద్ధాంతం 7.1.డి(X) = ఎం(X²) - ఎం²( X). (7.7)

రుజువు.

దేనిని ఉపయోగించడం ఎం(X) అనేది స్థిరమైన విలువ, మరియు గణిత నిరీక్షణ యొక్క లక్షణాలు, మేము ఫార్ములాను (7.6) రూపానికి మారుస్తాము:

డి(X) = ఎం(X-M(X))² = ఎం(X² - 2 X?M(X) + ఎం²( X)) = ఎం(X²) - 2 ఎం(X)?ఎం(X) + ఎం²( X) =

= ఎం(X²) - 2 ఎం²( X) + ఎం²( X) = ఎం(X²) - ఎం²( X), ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.

ఉదాహరణ. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క వ్యత్యాసాలను గణిద్దాం Xమరియు వైఈ విభాగం ప్రారంభంలో చర్చించబడింది. ఎం(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

ఎం(వై) = (0 2 ² అందువల్ల, ఈ పరిమాణాల పంపిణీ చట్టాలు తెలియకుండానే, తెలిసిన వ్యాప్తి విలువల ఆధారంగా మనం చెప్పగలం Xదాని గణిత నిరీక్షణ నుండి కొద్దిగా వైదొలగుతుంది, అయితే వైఈ విచలనం చాలా ముఖ్యమైనది.

వ్యాప్తి యొక్క లక్షణాలు.

1) స్థిరమైన విలువ యొక్క వైవిధ్యం తోసున్నాకి సమానం:

డి (సి) = 0. (7.8)

రుజువు. డి(సి) = ఎం((సి-ఎం(సి))²) = ఎం((సి-సి)²) = ఎం(0) = 0.

2) స్థిరమైన కారకాన్ని స్క్వేర్ చేయడం ద్వారా డిస్పర్షన్ గుర్తు నుండి బయటకు తీయవచ్చు:

డి(CX) = సి² డి(X). (7.9)

రుజువు. డి(CX) = ఎం((CX-M(CX))²) = ఎం((CX-CM(X))²) = ఎం(సి²( X-M(X))²) =

= సి² డి(X).

3) రెండు స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మొత్తం యొక్క భేదం వాటి వ్యత్యాసాల మొత్తానికి సమానం:

డి(X+Y) = డి(X) + డి(వై). (7.10)

రుజువు. డి(X+Y) = ఎం(X² + 2 XY + వై²) - ( ఎం(X) + ఎం(వై))² = ఎం(X²) + 2 ఎం(X)ఎం(వై) +

+ ఎం(వై²) - ఎం²( X) - 2ఎం(X)ఎం(వై) - ఎం²( వై) = (ఎం(X²) - ఎం²( X)) + (ఎం(వై²) - ఎం²( వై)) = డి(X) + డి(వై).

పరిణామం 1.అనేక పరస్పర స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మొత్తం యొక్క వ్యత్యాసం వాటి వ్యత్యాసాల మొత్తానికి సమానం.

పరిణామం 2.స్థిరాంకం మరియు యాదృచ్ఛిక చరరాశి యొక్క మొత్తం యొక్క భేదం యాదృచ్ఛిక చరరాశి యొక్క వ్యత్యాసానికి సమానం.

4) రెండు స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మధ్య వ్యత్యాసం యొక్క వ్యత్యాసం వాటి వ్యత్యాసాల మొత్తానికి సమానం:

డి(X-Y) = డి(X) + డి(వై). (7.11)

రుజువు. డి(X-Y) = డి(X) + డి(-వై) = డి(X) + (-1)² డి(వై) = డి(X) + డి(X).

వ్యత్యాసం సగటు నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనం యొక్క సగటు విలువను ఇస్తుంది; విచలనాన్ని స్వయంగా అంచనా వేయడానికి, ప్రామాణిక విచలనం అని పిలువబడే విలువ ఉపయోగించబడుతుంది.

నిర్వచనం 7.6.ప్రామాణిక విచలనంσ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ Xభేదం యొక్క వర్గమూలం అంటారు:

ఉదాహరణ. మునుపటి ఉదాహరణలో, ప్రామాణిక విచలనాలు Xమరియు వైవరుసగా సమానంగా ఉంటాయి

పంపిణీ చట్టాలతో పాటు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కూడా వివరించవచ్చు సంఖ్యా లక్షణాలు .

గణిత నిరీక్షణయాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క M (x)ని దాని సగటు విలువ అంటారు.

వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది

ఎక్కడ – యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ విలువలు, p నేను-వారి సంభావ్యతలు.

గణిత నిరీక్షణ యొక్క లక్షణాలను పరిశీలిద్దాం:

1. స్థిరాంకం యొక్క గణిత నిరీక్షణ స్థిరాంకానికి సమానం

2. యాదృచ్ఛిక చరరాశిని నిర్దిష్ట సంఖ్య kతో గుణిస్తే, గణిత అంచనా అదే సంఖ్యతో గుణించబడుతుంది

M (kx) = kM (x)

3. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మొత్తం యొక్క గణిత నిరీక్షణ వాటి గణిత అంచనాల మొత్తానికి సమానం

M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)

5. స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ x 1, x 2, … x n కోసం, ఉత్పత్తి యొక్క గణిత అంచనా వారి గణిత అంచనాల ఉత్పత్తికి సమానం

M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0

ఉదాహరణ 11 నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కోసం గణిత అంచనాను గణిద్దాం.

M(x) = = .

ఉదాహరణ 12.యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ x 1, x 2 పంపిణీ చట్టాల ద్వారా తదనుగుణంగా పేర్కొనబడనివ్వండి:

x 1 టేబుల్ 2

x 2 టేబుల్ 3

M (x 1) మరియు M (x 2) లను గణిద్దాం

M (x 1) = (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0 0.4 + 0.01 0.2 + 0.1 0.1 = 0

M (x 2) = (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 0.2 + 10 0.1 + 20 0.3 = 0

రెండు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క గణిత అంచనాలు ఒకేలా ఉంటాయి - అవి సున్నాకి సమానం. అయితే, వాటి పంపిణీ స్వభావం భిన్నంగా ఉంటుంది. x 1 యొక్క విలువలు వాటి గణిత నిరీక్షణ నుండి కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటే, x 2 యొక్క విలువలు వాటి గణిత నిరీక్షణ నుండి చాలా వరకు భిన్నంగా ఉంటాయి మరియు అటువంటి విచలనాల సంభావ్యత చిన్నది కాదు. ఈ ఉదాహరణలు దాని నుండి చిన్నవి మరియు పెద్దవి రెండింటిలో ఏ వ్యత్యాసాలు సంభవిస్తాయో సగటు విలువ నుండి గుర్తించడం అసాధ్యం అని చూపిస్తుంది. కాబట్టి, రెండు ప్రాంతాలలో ఒకే సగటు వార్షిక వర్షపాతంతో, ఈ ప్రాంతాలు వ్యవసాయ పనులకు సమానంగా అనుకూలంగా ఉన్నాయని చెప్పలేము. అదేవిధంగా, సగటు జీతం సూచిక ఆధారంగా, అధిక మరియు తక్కువ-చెల్లింపు కార్మికుల వాటాను నిర్ధారించడం సాధ్యం కాదు. అందువలన, ఒక సంఖ్యా లక్షణం పరిచయం చేయబడింది - చెదరగొట్టడం D(x) , యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ దాని సగటు విలువ నుండి విచలనం యొక్క డిగ్రీని వర్ణిస్తుంది:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

డిస్పర్షన్ అనేది గణిత నిరీక్షణ నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనం యొక్క గణిత నిరీక్షణ. వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కోసం, వైవిధ్యం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

D(x)= = (3)

వ్యాప్తి యొక్క నిర్వచనం నుండి అది D (x) 0ని అనుసరిస్తుంది.

వ్యాప్తి లక్షణాలు:

1. స్థిరాంకం యొక్క వైవిధ్యం సున్నా

2. యాదృచ్ఛిక చరరాశిని నిర్దిష్ట సంఖ్య kతో గుణించినట్లయితే, ఆ వ్యత్యాసం ఈ సంఖ్య యొక్క వర్గంతో గుణించబడుతుంది

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)

4. పెయిర్‌వైజ్ ఇండిపెండెంట్ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ x 1 , x 2 , … x n మొత్తము యొక్క భేదం వ్యత్యాసాల మొత్తానికి సమానం.

D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)

ఉదాహరణ 11 నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కోసం వ్యత్యాసాన్ని గణిద్దాం.

గణిత నిరీక్షణ M (x) = 1. కాబట్టి, ఫార్ములా (3) ప్రకారం మనకు:

D (x) = (0 - 1) 2 1/4 + (1 - 1) 2 1/2 + (2 - 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

మీరు ప్రాపర్టీ 3ని ఉపయోగిస్తే వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించడం సులభం అని గమనించండి:

D (x) = M (x 2) – M 2 (x).

ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఉదాహరణ 12 నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ x 1 , x 2 కోసం వ్యత్యాసాలను గణిద్దాం. రెండు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క గణిత అంచనాలు సున్నా.

D (x 1) = 0.01 0.1 + 0.0001 0.2 + 0.0001 0.2 + 0.01 0.1 = 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.001 = 0.00204

D (x 2) = (-20) 2 0.3 + (-10) 2 0.1 + 10 2 0.1 + 20 2 0.3 = 240 +20 = 260

వ్యత్యాస విలువ సున్నాకి దగ్గరగా ఉంటే, సగటు విలువకు సంబంధించి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క చిన్న వ్యాప్తి.

పరిమాణం అంటారు ప్రామాణిక విచలనం. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ మోడ్ x వివిక్త రకం Mdఅత్యధిక సంభావ్యత కలిగిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువను అంటారు.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ మోడ్ x నిరంతర రకం Md, అనేది సంభావ్యత పంపిణీ సాంద్రత f(x) యొక్క గరిష్ట బిందువుగా నిర్వచించబడిన వాస్తవ సంఖ్య.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మధ్యస్థం x నిరంతర రకం Mnసమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరిచే వాస్తవ సంఖ్య

ప్రతి వ్యక్తి విలువ దాని పంపిణీ ఫంక్షన్ ద్వారా పూర్తిగా నిర్ణయించబడుతుంది. అలాగే, ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరించడానికి, అనేక సంఖ్యా లక్షణాలను తెలుసుకోవడం సరిపోతుంది, దీనికి ధన్యవాదాలు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ప్రధాన లక్షణాలను చిన్న రూపంలో ప్రదర్శించడం సాధ్యమవుతుంది.

ఈ పరిమాణాలు ప్రధానంగా ఉంటాయి అంచనా విలువమరియు చెదరగొట్టడం .

ఆశించిన విలువ— సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ. గా సూచించబడింది.

సరళమైన మార్గంలో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ X(w), ఎలాగో కనుగొనండి సమగ్రమైనలెబెస్గేసంభావ్యత కొలతకు సంబంధించి ఆర్ అసలు సంభావ్యత స్థలం

మీరు విలువ యొక్క గణిత నిరీక్షణను కూడా కనుగొనవచ్చు Lebesgue సమగ్రనుండి Xసంభావ్యత పంపిణీ ద్వారా ఆర్ ఎక్స్పరిమాణంలో X:

సాధ్యమయ్యే అన్ని విలువల సమితి ఎక్కడ ఉంది X.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ నుండి ఫంక్షన్ల యొక్క గణిత అంచనా Xపంపిణీ ద్వారా కనుగొనబడింది ఆర్ ఎక్స్. ఉదాహరణకి, ఉంటే X- మరియు విలువలతో కూడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ f(x)- నిస్సందేహంగా బోరెల్ యొక్కఫంక్షన్ X , అది:

ఉంటే F(x)- పంపిణీ ఫంక్షన్ X, అప్పుడు గణిత నిరీక్షణ ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుంది సమగ్రమైనLebesgue - Stieltjes (లేదా Rimann - Stieltjes):

ఈ సందర్భంలో సమగ్రత Xపరంగా ( * ) సమగ్రత యొక్క పరిమితతకు అనుగుణంగా ఉంటుంది

నిర్దిష్ట సందర్భాలలో, ఉంటే Xసంభావ్య విలువలతో వివిక్త పంపిణీని కలిగి ఉంది x కె, k=1, 2, . , మరియు సంభావ్యతలు, అప్పుడు

ఉంటే Xసంభావ్యత సాంద్రతతో సంపూర్ణ నిరంతర పంపిణీని కలిగి ఉంది p(x), ఆ

ఈ సందర్భంలో, గణిత నిరీక్షణ యొక్క ఉనికి సంబంధిత శ్రేణి లేదా సమగ్రం యొక్క సంపూర్ణ కలయికకు సమానం.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా యొక్క లక్షణాలు.

• స్థిరమైన విలువ యొక్క గణిత అంచనా ఈ విలువకు సమానం:

సి- స్థిరమైన;

• M=C.M[X]

• యాదృచ్ఛికంగా తీసుకున్న విలువల మొత్తం యొక్క గణిత నిరీక్షణ వాటి గణిత అంచనాల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది:

• స్వతంత్ర యాదృచ్ఛికంగా తీసుకున్న వేరియబుల్స్ యొక్క ఉత్పత్తి యొక్క గణిత నిరీక్షణ = వాటి గణిత అంచనాల ఉత్పత్తి:

M=M[X]+M[Y]

ఉంటే Xమరియు వైస్వతంత్ర.

సిరీస్ కలిసినట్లయితే:

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణను లెక్కించడానికి అల్గోరిథం.

వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క లక్షణాలు: వాటి విలువలన్నీ సహజ సంఖ్యల ద్వారా పునర్నిర్మించబడతాయి; ప్రతి విలువకు సున్నా కాని సంభావ్యతను కేటాయించండి.

1. జతలను ఒక్కొక్కటిగా గుణించండి: x iపై p i.

2. ప్రతి జత యొక్క ఉత్పత్తిని జోడించండి x i p i.

ఉదాహరణకి, కోసం n = 4 :

వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క పంపిణీ ఫంక్షన్దశలవారీగా, సంభావ్యత సానుకూల సంకేతాలను కలిగి ఉన్న పాయింట్ల వద్ద ఆకస్మికంగా పెరుగుతుంది.

ఉదాహరణ:సూత్రాన్ని ఉపయోగించి గణిత నిరీక్షణను కనుగొనండి.