సాధారణ కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ వాల్యూమ్ కోసం ఫార్ములా. పూర్తి మరియు కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ వాల్యూమ్ కోసం సూత్రాలు

• 09.10.2014

  చిత్రంలో చూపిన ప్రీయాంప్లిఫైయర్ 4 రకాల సౌండ్ సోర్స్‌లతో ఉపయోగం కోసం రూపొందించబడింది, ఉదాహరణకు, మైక్రోఫోన్, CD ప్లేయర్, రేడియో మొదలైనవి. ఈ సందర్భంలో, ప్రీయాంప్లిఫైయర్‌లో ఒక ఇన్‌పుట్ ఉంటుంది, ఇది సున్నితత్వాన్ని 50 mV నుండి 500కి మార్చగలదు. mV. యాంప్లిఫైయర్ అవుట్పుట్ వోల్టేజ్ 1000mV. స్విచ్ SA1 మారినప్పుడు వివిధ సిగ్నల్ మూలాలను కనెక్ట్ చేయడం ద్వారా, మేము ఎల్లప్పుడూ పొందుతాము...

• 20.09.2014

  విద్యుత్ సరఫరా 15…20 W లోడ్ కోసం రూపొందించబడింది. సింగిల్-సైకిల్ పల్స్ హై-ఫ్రీక్వెన్సీ కన్వర్టర్ యొక్క సర్క్యూట్ ప్రకారం మూలం తయారు చేయబడింది. 20…40 kHz ఫ్రీక్వెన్సీతో పనిచేసే స్వీయ-ఓసిలేటర్‌ను సమీకరించడానికి ట్రాన్సిస్టర్ ఉపయోగించబడుతుంది. ఫ్రీక్వెన్సీ కెపాసిటెన్స్ C5 ద్వారా సర్దుబాటు చేయబడుతుంది. ఎలిమెంట్స్ VD5, VD6 మరియు C6 ఓసిలేటర్ స్టార్టింగ్ సర్క్యూట్‌ను ఏర్పరుస్తాయి. బ్రిడ్జ్ రెక్టిఫైయర్ తర్వాత సెకండరీ సర్క్యూట్‌లో మైక్రో సర్క్యూట్‌లో సాంప్రదాయ లీనియర్ స్టెబిలైజర్ ఉంది, ఇది మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది ...

• 28.09.2014

  ఫిగర్ K174XA11 మైక్రో సర్క్యూట్ ఆధారంగా జనరేటర్‌ను చూపుతుంది, దీని ఫ్రీక్వెన్సీ వోల్టేజ్ ద్వారా నియంత్రించబడుతుంది. కెపాసిటెన్స్ C1ని 560 నుండి 4700 pFకి మార్చడం ద్వారా, విస్తృత శ్రేణి ఫ్రీక్వెన్సీలను పొందవచ్చు, అయితే పౌనఃపున్యం R4 నిరోధకతను మార్చడం ద్వారా సర్దుబాటు చేయబడుతుంది. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, C1 = 560pFతో, జనరేటర్ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీని R4 ఉపయోగించి 600Hz నుండి 200kHzకి మార్చవచ్చని రచయిత కనుగొన్నారు, ...

• 03.10.2014

  యూనిట్ శక్తివంతమైన ULFకు శక్తినిచ్చేలా రూపొందించబడింది, ఇది ±27V అవుట్‌పుట్ వోల్టేజ్ మరియు ప్రతి చేతిపై 3A వరకు లోడ్ కోసం రూపొందించబడింది. విద్యుత్ సరఫరా బైపోలార్, పూర్తి మిశ్రమ ట్రాన్సిస్టర్లు KT825-KT827పై తయారు చేయబడింది. స్టెబిలైజర్ యొక్క రెండు చేతులు ఒకే సర్క్యూట్ ప్రకారం తయారు చేయబడ్డాయి, కానీ ఇతర చేతిలో (ఇది చూపబడలేదు) కెపాసిటర్ల ధ్రువణత మార్చబడింది మరియు వేరే రకం ట్రాన్సిస్టర్లు ఉపయోగించబడతాయి ...

జ్యామితిలో అనేక ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు ప్రాదేశిక బొమ్మల పరిమాణాన్ని లెక్కించే సామర్థ్యం ముఖ్యం. అత్యంత సాధారణ వ్యక్తులలో ఒకటి పిరమిడ్. ఈ వ్యాసంలో మేము పూర్తి మరియు కత్తిరించబడిన పిరమిడ్లను పరిశీలిస్తాము.

త్రిమితీయ వ్యక్తిగా పిరమిడ్

ఈజిప్షియన్ పిరమిడ్‌ల గురించి అందరికీ తెలుసు, కాబట్టి మనం ఎలాంటి వ్యక్తి గురించి మాట్లాడతామో వారికి మంచి ఆలోచన ఉంది. అయినప్పటికీ, ఈజిప్షియన్ రాతి నిర్మాణాలు భారీ తరగతి పిరమిడ్‌ల యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం మాత్రమే.

సాధారణ సందర్భంలో పరిశీలనలో ఉన్న రేఖాగణిత వస్తువు బహుభుజి ఆధారం, వీటిలో ప్రతి శీర్షం బేస్ యొక్క సమతలానికి చెందని ప్రదేశంలో ఒక నిర్దిష్ట బిందువుతో అనుసంధానించబడి ఉంటుంది. ఈ నిర్వచనం ఒక n-gon మరియు n త్రిభుజాలతో కూడిన బొమ్మకు దారి తీస్తుంది.

ఏదైనా పిరమిడ్‌లో n+1 ముఖాలు, 2*n అంచులు మరియు n+1 శీర్షాలు ఉంటాయి. ప్రశ్నలోని ఫిగర్ ఒక ఖచ్చితమైన పాలిహెడ్రాన్ అయినందున, గుర్తించబడిన మూలకాల సంఖ్యలు ఆయిలర్ యొక్క సమానత్వానికి కట్టుబడి ఉంటాయి:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

బేస్ వద్ద ఉన్న బహుభుజి పిరమిడ్ పేరును ఇస్తుంది, ఉదాహరణకు, త్రిభుజాకార, పెంటగోనల్ మరియు మొదలైనవి. వివిధ స్థావరాలు కలిగిన పిరమిడ్ల సమితి క్రింది ఫోటోలో చూపబడింది.

ఫిగర్ యొక్క n త్రిభుజాలు కలిసే బిందువును పిరమిడ్ యొక్క శీర్షం అంటారు. ఒక లంబంగా దాని నుండి బేస్ పైకి తగ్గించబడి, దానిని రేఖాగణిత కేంద్రంలో కలుస్తే, అటువంటి బొమ్మను సరళ రేఖ అంటారు. ఈ పరిస్థితి నెరవేరకపోతే, వంపుతిరిగిన పిరమిడ్ ఏర్పడుతుంది.

ఈక్విలేటరల్ (సమభుజ) n-gon ద్వారా ఏర్పడే కుడి బొమ్మను రెగ్యులర్ అంటారు.

పిరమిడ్ వాల్యూమ్ కోసం ఫార్ములా

పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను లెక్కించడానికి, మేము సమగ్ర కాలిక్యులస్‌ని ఉపయోగిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, మేము బేస్‌కు సమాంతరంగా ఉన్న విమానాలను అనంతమైన సన్నని పొరలుగా కత్తిరించడం ద్వారా ఫిగర్‌ను విభజిస్తాము. దిగువన ఉన్న బొమ్మ ఎత్తు h మరియు సైడ్ పొడవు L యొక్క చతుర్భుజ పిరమిడ్‌ను చూపుతుంది, దీనిలో చతుర్భుజం విభాగం యొక్క పలుచని పొరను సూచిస్తుంది.

అటువంటి ప్రతి పొర యొక్క వైశాల్యాన్ని సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

ఇక్కడ A 0 అనేది బేస్ యొక్క వైశాల్యం, z అనేది నిలువు కోఆర్డినేట్ యొక్క విలువ. z = 0 అయితే, సూత్రం A 0 విలువను ఇస్తుంది.

పిరమిడ్ వాల్యూమ్ కోసం సూత్రాన్ని పొందడానికి, మీరు ఫిగర్ యొక్క మొత్తం ఎత్తుపై సమగ్రతను లెక్కించాలి, అంటే:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

డిపెండెన్స్ A(z)ని ప్రత్యామ్నాయం చేసి, యాంటీడెరివేటివ్‌ను గణిస్తూ, మేము వ్యక్తీకరణకు చేరుకుంటాము:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3*A 0 *h.

మేము పిరమిడ్ వాల్యూమ్ కోసం సూత్రాన్ని పొందాము. V విలువను కనుగొనడానికి, ఆధారం యొక్క వైశాల్యంతో ఫిగర్ యొక్క ఎత్తును గుణించి, ఆపై ఫలితాన్ని మూడుతో భాగించండి.

ఏ రకమైన పిరమిడ్ యొక్క వాల్యూమ్‌ను లెక్కించడానికి ఫలిత వ్యక్తీకరణ చెల్లుబాటు అవుతుందని గమనించండి. అంటే, అది వంపుతిరిగి ఉంటుంది మరియు దాని ఆధారం ఏకపక్ష n-gon కావచ్చు.

మరియు దాని వాల్యూమ్

పై పేరాలో పొందిన వాల్యూమ్ కోసం సాధారణ సూత్రాన్ని సాధారణ స్థావరంతో పిరమిడ్ విషయంలో శుద్ధి చేయవచ్చు. అటువంటి బేస్ యొక్క ప్రాంతం క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

ఇక్కడ L అనేది n శీర్షాలతో కూడిన సాధారణ బహుభుజి వైపు పొడవు. గుర్తు pi అనేది సంఖ్య pi.

సాధారణ ఫార్ములాలో A 0 కోసం వ్యక్తీకరణను భర్తీ చేయడం ద్వారా, మేము సాధారణ పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను పొందుతాము:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

ఉదాహరణకు, త్రిభుజాకార పిరమిడ్ కోసం, ఈ సూత్రం క్రింది వ్యక్తీకరణకు దారి తీస్తుంది:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్ కోసం, వాల్యూమ్ ఫార్ములా రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.

సాధారణ పిరమిడ్‌ల వాల్యూమ్‌లను నిర్ణయించడానికి వాటి బేస్ వైపు మరియు ఫిగర్ యొక్క ఎత్తు గురించి తెలుసుకోవడం అవసరం.

కత్తిరించబడిన పిరమిడ్

మేము ఏకపక్ష పిరమిడ్‌ని తీసుకున్నామని మరియు శీర్షాన్ని కలిగి ఉన్న దాని పార్శ్వ ఉపరితలం యొక్క భాగాన్ని కత్తిరించామని అనుకుందాం. మిగిలిన బొమ్మను కత్తిరించిన పిరమిడ్ అంటారు. ఇది ఇప్పటికే రెండు n-గోనల్ స్థావరాలు మరియు వాటిని కనెక్ట్ చేసే n ట్రాపెజాయిడ్‌లను కలిగి ఉంది. కట్టింగ్ ప్లేన్ ఫిగర్ యొక్క స్థావరానికి సమాంతరంగా ఉంటే, అదే సమాంతర స్థావరాలతో కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ ఏర్పడుతుంది. అంటే, వాటిలో ఒకదాని భుజాల పొడవులను మరొకదాని పొడవును నిర్దిష్ట గుణకం k ద్వారా గుణించడం ద్వారా పొందవచ్చు.

పైన ఉన్న బొమ్మ కత్తిరించబడిన క్రమమైనదాన్ని చూపిస్తుంది.దాని ఎగువ బేస్, కిందిది వలె, సాధారణ షడ్భుజితో ఏర్పడినట్లు చూడవచ్చు.

పైన పేర్కొన్నటువంటి సమగ్ర కాలిక్యులస్‌ని ఉపయోగించి ఉత్పన్నమయ్యే సూత్రం:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

A 0 మరియు A 1 అనేవి వరుసగా దిగువ (పెద్ద) మరియు ఎగువ (చిన్న) స్థావరాల ప్రాంతాలు. వేరియబుల్ h కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ యొక్క ఎత్తును సూచిస్తుంది.

చెయోప్స్ పిరమిడ్ వాల్యూమ్

అతిపెద్ద ఈజిప్షియన్ పిరమిడ్ లోపల ఉన్న వాల్యూమ్‌ను నిర్ణయించే సమస్యను పరిష్కరించడం ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది.

1984లో, బ్రిటీష్ ఈజిప్టు శాస్త్రవేత్తలు మార్క్ లెహ్నర్ మరియు జోన్ గుడ్‌మాన్ చెయోప్స్ పిరమిడ్ యొక్క ఖచ్చితమైన కొలతలను స్థాపించారు. దీని అసలు ఎత్తు 146.50 మీటర్లు (ప్రస్తుతం సుమారు 137 మీటర్లు). నిర్మాణం యొక్క నాలుగు వైపులా ప్రతి సగటు పొడవు 230.363 మీటర్లు. పిరమిడ్ యొక్క ఆధారం అధిక ఖచ్చితత్వంతో చతురస్రంగా ఉంటుంది.

ఈ రాతి దిగ్గజం యొక్క పరిమాణాన్ని నిర్ణయించడానికి మేము ఇచ్చిన బొమ్మలను ఉపయోగిస్తాము. పిరమిడ్ సాధారణ చతుర్భుజం కాబట్టి, ఫార్ములా దానికి చెల్లుతుంది:

సంఖ్యలను ప్రత్యామ్నాయంగా, మేము పొందుతాము:

V 4 = 1/3*(230.363) 2 *146.5 ≈ 2591444 m 3.

చెయోప్స్ పిరమిడ్ పరిమాణం దాదాపు 2.6 మిలియన్ m3. పోలిక కోసం, ఒలింపిక్ స్విమ్మింగ్ పూల్ 2.5 వేల మీ 3 వాల్యూమ్ కలిగి ఉందని మేము గమనించాము. అంటే, మొత్తం చెయోప్స్ పిరమిడ్‌ను పూరించడానికి మీకు అలాంటి 1000 కంటే ఎక్కువ కొలనులు అవసరం!

అనేది పిరమిడ్ యొక్క ఆధారం మరియు దానికి సమాంతరంగా ఉన్న ఒక విభాగం ద్వారా ఏర్పడిన ఒక పాలిహెడ్రాన్. కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ పైభాగం కత్తిరించిన పిరమిడ్ అని మనం చెప్పగలం. ఈ సంఖ్య అనేక ప్రత్యేక లక్షణాలను కలిగి ఉంది:

• పిరమిడ్ యొక్క పార్శ్వ ముఖాలు ట్రాపెజాయిడ్లు;
• సాధారణ కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ యొక్క పార్శ్వ అంచులు ఒకే పొడవు మరియు అదే కోణంలో బేస్కు వంపుతిరిగి ఉంటాయి;
• స్థావరాలు సారూప్య బహుభుజాలు;
• సాధారణ కత్తిరించబడిన పిరమిడ్‌లో, ముఖాలు ఒకేలా ఉండే సమద్విబాహు ట్రాపెజాయిడ్‌లు, వీటి వైశాల్యం సమానంగా ఉంటుంది. వారు కూడా ఒక కోణంలో బేస్కు వంపుతిరిగి ఉంటారు.

కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యానికి సూత్రం దాని భుజాల ప్రాంతాల మొత్తం:

కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ యొక్క భుజాలు ట్రాపెజాయిడ్లు కాబట్టి, పారామితులను లెక్కించడానికి మీరు సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి ట్రాపజోయిడ్ ప్రాంతం. సాధారణ కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ కోసం, మీరు ప్రాంతాన్ని లెక్కించడానికి వేరొక సూత్రాన్ని వర్తింపజేయవచ్చు. బేస్ వద్ద దాని అన్ని భుజాలు, ముఖాలు మరియు కోణాలు సమానంగా ఉన్నందున, బేస్ మరియు అపోథెమ్ యొక్క చుట్టుకొలతలను వర్తింపజేయడం సాధ్యమవుతుంది మరియు బేస్ వద్ద ఉన్న కోణం ద్వారా ప్రాంతాన్ని కూడా పొందవచ్చు.

సాధారణ కత్తిరించబడిన పిరమిడ్‌లోని పరిస్థితుల ప్రకారం, అపోథెమ్ (పక్క ఎత్తు) మరియు బేస్ యొక్క భుజాల పొడవులు ఇవ్వబడితే, ఆ ప్రాంతాన్ని చుట్టుకొలతల మొత్తంలో సగం ఉత్పత్తి ద్వారా లెక్కించవచ్చు. ఆధారాలు మరియు అపోథెమ్:

కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యాన్ని లెక్కించే ఉదాహరణను చూద్దాం.
సాధారణ పెంటగోనల్ పిరమిడ్ ఇవ్వబడింది. అపోథెమ్ ఎల్= 5 సెం.మీ., పెద్ద బేస్‌లో అంచు యొక్క పొడవు a= 6 సెం.మీ., మరియు అంచు చిన్న బేస్ వద్ద ఉంటుంది బి= 4 సెం.మీ. కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి.

మొదట, స్థావరాల చుట్టుకొలతలను కనుగొనండి. మనకు పెంటగోనల్ పిరమిడ్ ఇవ్వబడింది కాబట్టి, స్థావరాలు పంచభుజాలు అని మేము అర్థం చేసుకున్నాము. దీనర్థం స్థావరాలు ఐదు ఒకే భుజాలతో ఒక బొమ్మను కలిగి ఉంటాయి. పెద్ద బేస్ యొక్క చుట్టుకొలతను కనుగొనండి:

అదే విధంగా మేము చిన్న బేస్ యొక్క చుట్టుకొలతను కనుగొంటాము:

ఇప్పుడు మనం సాధారణ కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించవచ్చు. ఫార్ములాలో డేటాను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:

ఈ విధంగా, మేము చుట్టుకొలతలు మరియు అపోథెమ్ ద్వారా సాధారణ కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించాము.

సాధారణ పిరమిడ్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి మరొక మార్గం ఫార్ములా బేస్ వద్ద ఉన్న కోణాల ద్వారా మరియు ఈ స్థావరాల ప్రాంతం.

ఒక ఉదాహరణ గణనను చూద్దాం. ఈ ఫార్ములా సాధారణ కత్తిరించబడిన పిరమిడ్‌కు మాత్రమే వర్తిస్తుందని మేము గుర్తుంచుకోవాలి.

ఒక సాధారణ చతుర్భుజ పిరమిడ్ ఇవ్వబడనివ్వండి. దిగువ బేస్ యొక్క అంచు a = 6 సెం.మీ, మరియు ఎగువ బేస్ యొక్క అంచు b = 4 సెం.మీ. బేస్ వద్ద డైహెడ్రల్ కోణం β = 60 °. సాధారణ కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ యొక్క పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

మొదట, స్థావరాల వైశాల్యాన్ని లెక్కిద్దాం. పిరమిడ్ సక్రమంగా ఉన్నందున, స్థావరాల యొక్క అన్ని అంచులు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి. బేస్ చతుర్భుజం అని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, అది లెక్కించాల్సిన అవసరం ఉందని మేము అర్థం చేసుకున్నాము చదరపు ప్రాంతం. ఇది వెడల్పు మరియు పొడవు యొక్క ఉత్పత్తి, కానీ స్క్వేర్ చేసినప్పుడు ఈ విలువలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి. పెద్ద బేస్ యొక్క ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి:


ఇప్పుడు మేము పార్శ్వ ఉపరితల వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి కనుగొన్న విలువలను ఉపయోగిస్తాము.

కొన్ని సాధారణ సూత్రాలను తెలుసుకోవడం, మేము వివిధ విలువలను ఉపయోగించి కత్తిరించబడిన పిరమిడ్ యొక్క పార్శ్వ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యాన్ని సులభంగా లెక్కించాము.