టోనల్ కలయికల గణిత పురోగతి. అంకగణిత పురోగతి - సంఖ్య క్రమం

మాధ్యమిక పాఠశాలలో (9వ తరగతి) బీజగణితాన్ని అభ్యసిస్తున్నప్పుడు, ముఖ్యమైన అంశాలలో ఒకటి సంఖ్యా శ్రేణుల అధ్యయనం, ఇందులో పురోగతి - రేఖాగణిత మరియు అంకగణితం. ఈ వ్యాసంలో మనం ఒక అంకగణిత పురోగతిని మరియు పరిష్కారాలతో ఉదాహరణలను పరిశీలిస్తాము.

అంకగణిత పురోగతి అంటే ఏమిటి?

దీన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి, ప్రశ్నలోని పురోగతిని నిర్వచించడం అవసరం, అలాగే సమస్యలను పరిష్కరించడంలో తరువాత ఉపయోగించబడే ప్రాథమిక సూత్రాలను అందించడం అవసరం.

కొన్ని బీజగణిత పురోగతిలో 1వ పదం 6కి సమానం, మరియు 7వ పదం 18కి సమానం అని తెలుసు. వ్యత్యాసాన్ని కనుగొని ఈ క్రమాన్ని 7వ పదానికి పునరుద్ధరించడం అవసరం.

తెలియని పదాన్ని నిర్ణయించడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము: a n = (n - 1) * d + a 1 . షరతు నుండి తెలిసిన డేటాను దానిలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం, అంటే, a 1 మరియు a 7 సంఖ్యలు, మనకు ఉన్నాయి: 18 = 6 + 6 * d. ఈ వ్యక్తీకరణ నుండి మీరు తేడాను సులభంగా లెక్కించవచ్చు: d = (18 - 6) /6 = 2. అందువలన, మేము సమస్య యొక్క మొదటి భాగానికి సమాధానమిచ్చాము.

క్రమాన్ని 7వ పదానికి పునరుద్ధరించడానికి, మీరు బీజగణిత పురోగతి యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించాలి, అంటే, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, మరియు మొదలైనవి. ఫలితంగా, మేము మొత్తం క్రమాన్ని పునరుద్ధరిస్తాము: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

ఉదాహరణ సంఖ్య 3: పురోగతిని గీయడం

సమస్యను మరింత జటిలం చేద్దాం. ఇప్పుడు మనం అంకగణిత పురోగతిని ఎలా కనుగొనాలి అనే ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వాలి. కింది ఉదాహరణను ఇవ్వవచ్చు: రెండు సంఖ్యలు ఇవ్వబడ్డాయి, ఉదాహరణకు - 4 మరియు 5. బీజగణిత పురోగతిని సృష్టించడం అవసరం, తద్వారా వీటి మధ్య మరో మూడు పదాలు ఉంచబడతాయి.

మీరు ఈ సమస్యను పరిష్కరించడం ప్రారంభించడానికి ముందు, భవిష్యత్ పురోగతిలో ఇచ్చిన సంఖ్యలు ఏ స్థలాన్ని ఆక్రమిస్తాయో మీరు అర్థం చేసుకోవాలి. వాటి మధ్య మరో మూడు పదాలు ఉంటాయి కాబట్టి, ఒక 1 = -4 మరియు 5 = 5. దీన్ని స్థాపించిన తర్వాత, మేము మునుపటి మాదిరిగానే సమస్యకు వెళ్తాము. మళ్ళీ, nవ పదం కోసం మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము, మనకు లభిస్తుంది: a 5 = a 1 + 4 * d. నుండి: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. మేము ఇక్కడ పొందింది వ్యత్యాసం యొక్క పూర్ణాంకం విలువ కాదు, కానీ అది హేతుబద్ధ సంఖ్య, కాబట్టి బీజగణిత పురోగతికి సూత్రాలు అలాగే ఉంటాయి.

ఇప్పుడు కనుగొన్న వ్యత్యాసాన్ని 1కి జోడించి, పురోగతి యొక్క తప్పిపోయిన నిబంధనలను పునరుద్ధరిద్దాము. మనకు లభిస్తుంది: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, ఇది కలిసి ఉంటుంది సమస్య యొక్క పరిస్థితులతో.

ఉదాహరణ సంఖ్య 4: పురోగతి యొక్క మొదటి పదం

పరిష్కారాలతో అంకగణిత పురోగతికి ఉదాహరణలు ఇవ్వడం కొనసాగిద్దాం. అన్ని మునుపటి సమస్యలలో, బీజగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి సంఖ్య తెలిసింది. ఇప్పుడు వేరొక రకమైన సమస్యను పరిశీలిద్దాం: రెండు సంఖ్యలను ఇవ్వనివ్వండి, ఇక్కడ 15 = 50 మరియు 43 = 37. ఈ క్రమం ఏ సంఖ్యతో ప్రారంభమవుతుందో కనుగొనడం అవసరం.

ఇప్పటివరకు ఉపయోగించిన సూత్రాలు 1 మరియు d యొక్క పరిజ్ఞానాన్ని కలిగి ఉంటాయి. సమస్య ప్రకటనలో, ఈ సంఖ్యల గురించి ఏమీ తెలియదు. అయినప్పటికీ, సమాచారం అందుబాటులో ఉన్న ప్రతి పదానికి మేము వ్యక్తీకరణలను వ్రాస్తాము: a 15 = a 1 + 14 * d మరియు a 43 = a 1 + 42 * d. 2 తెలియని పరిమాణాలు (a 1 మరియు d) ఉన్న రెండు సమీకరణాలను మేము అందుకున్నాము. దీని అర్థం సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి సమస్య తగ్గించబడింది.

ఈ వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి సులభమైన మార్గం ప్రతి సమీకరణంలో 1ని వ్యక్తీకరించడం మరియు ఫలిత వ్యక్తీకరణలను సరిపోల్చడం. మొదటి సమీకరణం: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; రెండవ సమీకరణం: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. ఈ వ్యక్తీకరణలను సమం చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, ఇక్కడ వ్యత్యాసం d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (కేవలం 3 దశాంశ స్థానాలు మాత్రమే ఇవ్వబడ్డాయి).

d తెలుసుకోవడం, మీరు 1 కోసం పైన ఉన్న 2 వ్యక్తీకరణలలో దేనినైనా ఉపయోగించవచ్చు. ఉదాహరణకు, మొదటిది: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

పొందిన ఫలితం గురించి మీకు సందేహాలు ఉంటే, మీరు దాన్ని తనిఖీ చేయవచ్చు, ఉదాహరణకు, పురోగతి యొక్క 43 వ పదాన్ని నిర్ణయించండి, ఇది పరిస్థితిలో పేర్కొనబడింది. మనకు లభిస్తుంది: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. లెక్కల్లో వెయ్యో వంతుకు చుట్టుముట్టడం వల్ల చిన్న లోపం ఏర్పడింది.

ఉదాహరణ సంఖ్య 5: మొత్తం

ఇప్పుడు అంకగణిత పురోగతి మొత్తానికి పరిష్కారాలతో అనేక ఉదాహరణలను చూద్దాం.

కింది ఫారమ్ యొక్క సంఖ్యాపరమైన పురోగతిని ఇవ్వనివ్వండి: 1, 2, 3, 4, ...,. ఈ సంఖ్యల 100 మొత్తాన్ని ఎలా లెక్కించాలి?

కంప్యూటర్ టెక్నాలజీ అభివృద్ధికి ధన్యవాదాలు, ఈ సమస్యను పరిష్కరించడం సాధ్యమవుతుంది, అనగా, అన్ని సంఖ్యలను వరుసగా జోడించండి, ఒక వ్యక్తి ఎంటర్ కీని నొక్కిన వెంటనే కంప్యూటర్ చేస్తుంది. అయితే, మీరు సమర్పించిన సంఖ్యల శ్రేణి బీజగణిత పురోగతి అని మరియు దాని వ్యత్యాసం 1కి సమానం అని మీరు శ్రద్ధ వహిస్తే సమస్య మానసికంగా పరిష్కరించబడుతుంది. మొత్తానికి సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తే, మనకు లభిస్తుంది: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

ఈ సమస్యను "గాస్సియన్" అని పిలుస్తారని గమనించడం ఆసక్తికరంగా ఉంది, ఎందుకంటే 18 వ శతాబ్దం ప్రారంభంలో ప్రసిద్ధ జర్మన్, ఇప్పటికీ 10 సంవత్సరాల వయస్సులో, కొన్ని సెకన్లలో తన తలపై దాన్ని పరిష్కరించగలిగాడు. బీజగణిత పురోగమనం యొక్క మొత్తానికి సూత్రం బాలుడికి తెలియదు, కానీ మీరు వరుస చివరలలోని సంఖ్యలను జతగా జోడిస్తే, మీరు ఎల్లప్పుడూ ఒకే ఫలితాన్ని పొందుతారని అతను గమనించాడు, అంటే 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., మరియు ఈ మొత్తాలు సరిగ్గా 50 (100/2) ఉంటాయి కాబట్టి, సరైన సమాధానం పొందడానికి 50ని 101తో గుణిస్తే సరిపోతుంది.

ఉదాహరణ సంఖ్య 6: n నుండి m వరకు ఉన్న నిబంధనల మొత్తం

అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొత్తానికి మరొక సాధారణ ఉదాహరణ క్రింది విధంగా ఉంది: సంఖ్యల శ్రేణిని అందించారు: 3, 7, 11, 15, ..., మీరు 8 నుండి 14 వరకు ఉన్న దాని నిబంధనల మొత్తం దేనికి సమానంగా ఉంటుందో కనుగొనాలి. .

సమస్య రెండు విధాలుగా పరిష్కరించబడుతుంది. వాటిలో మొదటిది 8 నుండి 14 వరకు తెలియని పదాలను కనుగొనడం, ఆపై వాటిని వరుసగా సంగ్రహించడం. కొన్ని నిబంధనలు ఉన్నందున, ఈ పద్ధతి చాలా శ్రమతో కూడుకున్నది కాదు. అయినప్పటికీ, రెండవ పద్ధతిని ఉపయోగించి ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి ప్రతిపాదించబడింది, ఇది మరింత సార్వత్రికమైనది.

m మరియు n పదాల మధ్య బీజగణిత పురోగతి మొత్తానికి సూత్రాన్ని పొందడం ఆలోచన, ఇక్కడ n > m పూర్ణాంకాలు. రెండు సందర్భాల్లో, మేము మొత్తానికి రెండు వ్యక్తీకరణలను వ్రాస్తాము:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

n > m నుండి, 2వ మొత్తంలో మొదటిది చేర్చబడిందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. చివరి ముగింపు అంటే మనం ఈ మొత్తాల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని తీసుకొని దానికి a m అనే పదాన్ని జోడిస్తే (వ్యత్యాసాన్ని తీసుకునే సందర్భంలో, అది మొత్తం S n నుండి తీసివేయబడుతుంది), మేము సమస్యకు అవసరమైన సమాధానాన్ని పొందుతాము. మనకు ఇవి ఉన్నాయి: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). ఈ వ్యక్తీకరణలో n మరియు m కోసం సూత్రాలను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం అవసరం. అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

ఫలిత సూత్రం కొంత గజిబిజిగా ఉంటుంది, అయినప్పటికీ, S mn మొత్తం n, m, a 1 మరియు dపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది. మా సందర్భంలో, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. ఈ సంఖ్యలను ప్రత్యామ్నాయంగా, మేము పొందుతాము: S mn = 301.

పై పరిష్కారాల నుండి చూడగలిగినట్లుగా, అన్ని సమస్యలు nవ పదం యొక్క వ్యక్తీకరణ మరియు మొదటి పదాల సమితి యొక్క ఫార్ములా యొక్క జ్ఞానంపై ఆధారపడి ఉంటాయి. ఈ సమస్యలలో దేనినైనా పరిష్కరించడానికి ప్రారంభించడానికి ముందు, మీరు పరిస్థితిని జాగ్రత్తగా చదవాలని, మీరు ఏమి కనుగొనాలో స్పష్టంగా అర్థం చేసుకుని, ఆపై మాత్రమే పరిష్కారాన్ని కొనసాగించాలని సిఫార్సు చేయబడింది.

మరొక చిట్కా ఏమిటంటే, సరళత కోసం ప్రయత్నించడం, అంటే, మీరు సంక్లిష్టమైన గణిత గణనలను ఉపయోగించకుండా ఒక ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వగలిగితే, మీరు అలా చేయాలి, ఎందుకంటే ఈ సందర్భంలో పొరపాటు చేసే అవకాశం తక్కువగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, పరిష్కారం సంఖ్య 6తో అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఉదాహరణలో, S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, మరియు మొత్తం సమస్యను ప్రత్యేక సబ్‌టాస్క్‌లుగా విభజించండి (ఈ సందర్భంలో, ముందుగా a n మరియు m అనే పదాలను కనుగొనండి).

పొందిన ఫలితం గురించి మీకు సందేహాలు ఉంటే, ఇచ్చిన కొన్ని ఉదాహరణలలో చేసినట్లుగా దాన్ని తనిఖీ చేయాలని సిఫార్సు చేయబడింది. అంకగణిత పురోగతిని ఎలా కనుగొనాలో మేము కనుగొన్నాము. మీరు దానిని గుర్తించినట్లయితే, అది అంత కష్టం కాదు.

సరే, మిత్రులారా, మీరు ఈ వచనాన్ని చదువుతున్నట్లయితే, అంకగణిత పురోగతి అంటే ఏమిటో మీకు ఇంకా తెలియదని అంతర్గత టోపీ-సాక్ష్యం నాకు చెబుతుంది, కానీ మీరు నిజంగా (లేదు, అలాంటిది: SOOOOO!) తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నారు. అందువల్ల, నేను మిమ్మల్ని సుదీర్ఘ పరిచయాలతో హింసించను మరియు నేరుగా పాయింట్‌కి వస్తాను.

మొదట, కొన్ని ఉదాహరణలు. అనేక సెట్ల సంఖ్యలను చూద్దాం:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

ఈ సెట్లన్నింటికీ ఉమ్మడిగా ఏమి ఉంది? మొదటి చూపులో, ఏమీ లేదు. కానీ నిజానికి ఏదో ఉంది. అవి: ప్రతి తదుపరి మూలకం మునుపటి నుండి అదే సంఖ్యతో భిన్నంగా ఉంటుంది.

మీరే తీర్పు చెప్పండి. మొదటి సెట్ కేవలం వరుస సంఖ్యలు, ప్రతి తదుపరిది మునుపటి కంటే ఒకటి ఎక్కువ. రెండవ సందర్భంలో, ప్రక్కనే ఉన్న సంఖ్యల మధ్య వ్యత్యాసం ఇప్పటికే ఐదు, కానీ ఈ వ్యత్యాసం ఇప్పటికీ స్థిరంగా ఉంటుంది. మూడవ సందర్భంలో, పూర్తిగా మూలాలు ఉన్నాయి. అయితే, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, మరియు $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, అనగా. మరియు ఈ సందర్భంలో, ప్రతి తదుపరి మూలకం కేవలం $\sqrt(2)$ పెరుగుతుంది (మరియు ఈ సంఖ్య అహేతుకం అని భయపడవద్దు).

కాబట్టి: అటువంటి అన్ని క్రమాలను అంకగణిత పురోగతి అంటారు. ఖచ్చితమైన నిర్వచనం ఇద్దాం:

నిర్వచనం. సంఖ్యల శ్రేణిలో ప్రతి తదుపరిది మునుపటి దాని నుండి సరిగ్గా అదే మొత్తంలో భిన్నంగా ఉండే సంఖ్యలను అంకగణిత పురోగతి అంటారు. సంఖ్యలు భిన్నంగా ఉండే మొత్తాన్ని ప్రోగ్రెస్షన్ డిఫరెన్స్ అంటారు మరియు చాలా తరచుగా $d$ అక్షరంతో సూచిస్తారు.

సంజ్ఞామానం: $\left(((a)_(n)) \right)$ అనేది పురోగతి కూడా, $d$ అనేది దాని తేడా.

మరియు కేవలం కొన్ని ముఖ్యమైన గమనికలు. మొదట, పురోగతి మాత్రమే పరిగణించబడుతుంది ఆదేశించారుసంఖ్యల క్రమం: అవి వ్రాసిన క్రమంలో ఖచ్చితంగా చదవడానికి అనుమతించబడతాయి - మరియు మరేమీ కాదు. సంఖ్యలను పునర్వ్యవస్థీకరించడం లేదా మార్పిడి చేయడం సాధ్యం కాదు.

రెండవది, క్రమం కూడా పరిమితమైనది లేదా అనంతం కావచ్చు. ఉదాహరణకు, సెట్ (1; 2; 3) స్పష్టంగా పరిమిత అంకగణిత పురోగతి. కానీ మీరు ఆత్మలో ఏదైనా వ్రాస్తే (1; 2; 3; 4; ...) - ఇది ఇప్పటికే అనంతమైన పురోగతి. నాలుగింటి తర్వాత ఎలిప్సిస్ ఇంకా కొన్ని సంఖ్యలు రాబోతున్నాయని సూచించినట్లు తెలుస్తోంది. అనంతమైన అనేక, ఉదాహరణకు. :)

పురోగతి పెరుగుతుందని లేదా తగ్గుతుందని కూడా నేను గమనించాలనుకుంటున్నాను. మేము ఇప్పటికే పెరుగుతున్న వాటిని చూశాము - అదే సెట్ (1; 2; 3; 4; ...). తగ్గుతున్న పురోగతికి ఉదాహరణలు ఇక్కడ ఉన్నాయి:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

సరే, సరే: చివరి ఉదాహరణ చాలా క్లిష్టంగా అనిపించవచ్చు. కానీ మిగిలినవి, మీరు అర్థం చేసుకున్నారని నేను అనుకుంటున్నాను. కాబట్టి, మేము కొత్త నిర్వచనాలను పరిచయం చేస్తున్నాము:

నిర్వచనం. అంకగణిత పురోగతిని అంటారు:

1. ప్రతి తదుపరి మూలకం మునుపటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటే పెరుగుతుంది;
2. దీనికి విరుద్ధంగా, ప్రతి తదుపరి మూలకం మునుపటి కంటే తక్కువగా ఉంటే తగ్గుతుంది.

అదనంగా, "స్టేషనరీ" సీక్వెన్సులు అని పిలవబడేవి ఉన్నాయి - అవి ఒకే పునరావృత సంఖ్యను కలిగి ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, (3; 3; 3; ...).

ఒక ప్రశ్న మాత్రమే మిగిలి ఉంది: పెరుగుతున్న పురోగతిని తగ్గుతున్న దాని నుండి ఎలా వేరు చేయాలి? అదృష్టవశాత్తూ, ఇక్కడ ప్రతిదీ $d$ సంఖ్య యొక్క గుర్తుపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది, అనగా. పురోగతి తేడాలు:

1. $d \gt 0$ అయితే, పురోగతి పెరుగుతుంది;
2. $d \lt 0$ అయితే, పురోగతి స్పష్టంగా తగ్గుతోంది;
3. చివరగా, $d=0$ అనే సందర్భం ఉంది - ఈ సందర్భంలో మొత్తం పురోగతి ఒకే విధమైన సంఖ్యల స్థిర శ్రేణికి తగ్గించబడుతుంది: (1; 1; 1; 1; ...), మొదలైనవి.

పైన ఇచ్చిన మూడు తగ్గుతున్న పురోగతికి $d$ వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. ఇది చేయుటకు, ఏదైనా రెండు ప్రక్కనే ఉన్న మూలకాలను (ఉదాహరణకు, మొదటి మరియు రెండవది) తీసుకొని, కుడి వైపున ఉన్న సంఖ్య నుండి ఎడమ వైపున ఉన్న సంఖ్యను తీసివేయడం సరిపోతుంది. ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

మేము చూడగలిగినట్లుగా, మూడు సందర్భాల్లోనూ వ్యత్యాసం వాస్తవానికి ప్రతికూలంగా మారింది. మరియు ఇప్పుడు మేము నిర్వచనాలను ఎక్కువ లేదా తక్కువ కనుగొన్నాము, పురోగతి ఎలా వివరించబడింది మరియు అవి ఏ లక్షణాలను కలిగి ఉన్నాయో గుర్తించడానికి ఇది సమయం.

పురోగతి నిబంధనలు మరియు పునరావృత సూత్రం

మా సీక్వెన్స్‌ల మూలకాలను మార్చుకోలేము కాబట్టి, వాటిని లెక్కించవచ్చు:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \కుడి\)\]

ఈ సెట్ యొక్క వ్యక్తిగత మూలకాలను పురోగతి సభ్యులు అంటారు. అవి సంఖ్య ద్వారా సూచించబడతాయి: మొదటి సభ్యుడు, రెండవ సభ్యుడు, మొదలైనవి.

అదనంగా, మనకు ఇప్పటికే తెలిసినట్లుగా, పురోగతి యొక్క పొరుగు నిబంధనలు ఫార్ములా ద్వారా సంబంధం కలిగి ఉంటాయి:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

సంక్షిప్తంగా, పురోగతి యొక్క $n$వ పదాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు $n-1$వ పదం మరియు వ్యత్యాసం $d$ తెలుసుకోవాలి. ఈ సూత్రాన్ని పునరావృతం అని పిలుస్తారు, ఎందుకంటే దాని సహాయంతో మీరు మునుపటి (మరియు వాస్తవానికి, అన్ని మునుపటి వాటిని) తెలుసుకోవడం ద్వారా మాత్రమే ఏదైనా సంఖ్యను కనుగొనవచ్చు. ఇది చాలా అసౌకర్యంగా ఉంది, కాబట్టి ఏదైనా గణనలను మొదటి పదం మరియు వ్యత్యాసానికి తగ్గించే మరింత మోసపూరిత సూత్రం ఉంది:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

మీరు బహుశా ఇప్పటికే ఈ ఫార్ములాను చూసి ఉండవచ్చు. వారు దానిని అన్ని రకాల రిఫరెన్స్ పుస్తకాలు మరియు పరిష్కార పుస్తకాలలో ఇవ్వడానికి ఇష్టపడతారు. మరియు ఏదైనా తెలివైన గణిత పాఠ్య పుస్తకంలో ఇది మొదటిది.

అయితే, మీరు కొంచెం ప్రాక్టీస్ చేయమని నేను సూచిస్తున్నాను.

పని సంఖ్య 1. $(a)_(1))=8,d=-5$ అయితే అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి మూడు పదాలను $\left((((a)_(n)) \right)$ వ్రాయండి.

పరిష్కారం. కాబట్టి, మొదటి పదం $((a)_(1))=8$ మరియు పురోగతి $d=-5$ తేడా మాకు తెలుసు. ఇప్పుడే అందించిన సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము మరియు $n=1$, $n=2$ మరియు $n=3$లను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

సమాధానం: (8; 3; -2)

అంతే! దయచేసి గమనించండి: మా పురోగతి తగ్గుతోంది.

వాస్తవానికి, $n=1$ని భర్తీ చేయడం సాధ్యపడలేదు - మొదటి పదం ఇప్పటికే మాకు తెలుసు. అయితే, ఐక్యతను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా, మొదటి టర్మ్‌కు కూడా మా ఫార్ములా పనిచేస్తుందని మేము ఒప్పించాము. ఇతర సందర్భాల్లో, ప్రతిదీ సామాన్యమైన అంకగణితానికి వచ్చింది.

పని సంఖ్య 2. దాని ఏడవ పదం −40 మరియు దాని పదిహేడవ పదం −50కి సమానం అయితే అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి మూడు పదాలను వ్రాయండి.

పరిష్కారం. సమస్య పరిస్థితిని తెలిసిన పదాలలో వ్రాస్దాం:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\ఎడమ\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \ end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \ end(align) \కుడి.\]

ఈ అవసరాలు ఏకకాలంలో తీర్చబడాలి కాబట్టి నేను సిస్టమ్ గుర్తును ఉంచాను. ఇప్పుడు మనం రెండవ సమీకరణం నుండి మొదటిదాన్ని తీసివేస్తే (మనకు సిస్టమ్ ఉన్నందున దీన్ని చేయడానికి మాకు హక్కు ఉంది), మనకు ఇది లభిస్తుంది:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ప్రగతి వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనడం ఎంత సులభం! సిస్టమ్ యొక్క ఏదైనా సమీకరణాలలో కనుగొనబడిన సంఖ్యను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది. ఉదాహరణకు, మొదటిదానిలో:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \ఎండ్(మ్యాట్రిక్స్)\]

ఇప్పుడు, మొదటి పదం మరియు వ్యత్యాసాన్ని తెలుసుకోవడం, రెండవ మరియు మూడవ పదాలను కనుగొనడం మిగిలి ఉంది:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

సిద్ధంగా ఉంది! సమస్య పరిష్కారమైంది.

సమాధానం: (−34; -35; -36)

మేము కనుగొన్న పురోగతి యొక్క ఆసక్తికరమైన లక్షణాన్ని గమనించండి: మేము $n$th మరియు $m$th నిబంధనలను తీసుకొని వాటిని ఒకదానికొకటి తీసివేస్తే, మేము $n-m$ సంఖ్యతో గుణించబడిన పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని పొందుతాము:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

మీరు ఖచ్చితంగా తెలుసుకోవలసిన ఒక సాధారణ కానీ చాలా ఉపయోగకరమైన ఆస్తి - దాని సహాయంతో మీరు అనేక పురోగతి సమస్యల పరిష్కారాన్ని గణనీయంగా వేగవంతం చేయవచ్చు. దీనికి స్పష్టమైన ఉదాహరణ ఇక్కడ ఉంది:

పని సంఖ్య 3. అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఐదవ పదం 8.4 మరియు దాని పదవ పదం 14.4. ఈ పురోగతి యొక్క పదిహేనవ పదాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, మరియు మేము $((a)_(15))$ని కనుగొనవలసి ఉంటుంది కాబట్టి, మేము ఈ క్రింది వాటిని గమనించాము:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((ఎ)_(10))-((ఎ)_(5))=5డి. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

కానీ షరతు ప్రకారం $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, కాబట్టి $5d=6$, దీని నుండి మనకు:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

సమాధానం: 20.4

అంతే! మేము సమీకరణాల వ్యవస్థలను సృష్టించాల్సిన అవసరం లేదు మరియు మొదటి పదం మరియు వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించాల్సిన అవసరం లేదు - ప్రతిదీ కేవలం రెండు పంక్తులలో పరిష్కరించబడింది.

ఇప్పుడు మరొక రకమైన సమస్యను చూద్దాం - పురోగతి యొక్క ప్రతికూల మరియు సానుకూల పదాల కోసం శోధించడం. పురోగతి పెరిగితే, మరియు దాని మొదటి పదం ప్రతికూలంగా ఉంటే, ముందుగానే లేదా తరువాత సానుకూల పదాలు దానిలో కనిపిస్తాయి అనేది రహస్యం కాదు. మరియు వైస్ వెర్సా: తగ్గుతున్న పురోగతి యొక్క నిబంధనలు ముందుగానే లేదా తరువాత ప్రతికూలంగా మారతాయి.

అదే సమయంలో, మూలకాల ద్వారా క్రమంగా వెళ్లడం ద్వారా ఈ క్షణాన్ని "హెడ్-ఆన్" కనుగొనడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదు. తరచుగా, సమస్యలు సూత్రాలు తెలియకుండానే, లెక్కలు అనేక కాగితపు షీట్లను తీసుకునే విధంగా వ్రాయబడతాయి-మేము సమాధానం కనుగొన్నప్పుడు మనం నిద్రపోతాము. అందువల్ల, ఈ సమస్యలను వేగంగా పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

పని సంఖ్య 4. అంకగణిత పురోగతిలో ఎన్ని ప్రతికూల పదాలు ఉన్నాయి -38.5; -35.8; ...?

పరిష్కారం. కాబట్టి, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, ఇక్కడ నుండి మేము వెంటనే తేడాను కనుగొంటాము:

వ్యత్యాసం సానుకూలంగా ఉందని గమనించండి, కాబట్టి పురోగతి పెరుగుతుంది. మొదటి పదం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది, కాబట్టి వాస్తవానికి ఏదో ఒక సమయంలో మనం సానుకూల సంఖ్యలపై పొరపాట్లు చేస్తాము. ఇది ఎప్పుడు జరుగుతుందనేది ఒక్కటే ప్రశ్న.

నిబంధనల ప్రతికూలత ఎంతకాలం (అంటే సహజ సంఖ్య $n$ వరకు) ఉందో తెలుసుకోవడానికి ప్రయత్నిద్దాం:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \కుడి. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

చివరి పంక్తికి కొంత వివరణ అవసరం. కాబట్టి $n \lt 15\frac(7)(27)$ అని మాకు తెలుసు. మరోవైపు, మేము సంఖ్య యొక్క పూర్ణాంక విలువలతో మాత్రమే సంతృప్తి చెందాము (అంతేకాకుండా: $n\in \mathbb(N)$), కాబట్టి అతిపెద్ద అనుమతించదగిన సంఖ్య ఖచ్చితంగా $n=15$, మరియు ఎటువంటి సందర్భంలోనూ 16 .

పని సంఖ్య 5. అంకగణిత పురోగతిలో $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. ఈ పురోగతి యొక్క మొదటి సానుకూల పదం సంఖ్యను కనుగొనండి.

ఇది మునుపటి సమస్య వలెనే ఉంటుంది, కానీ మాకు $((a)_(1))$ తెలియదు. కానీ పొరుగు నిబంధనలు తెలిసినవి: $((a)_(5))$ మరియు $((a)_(6))$, కాబట్టి మనం పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని సులభంగా కనుగొనవచ్చు:

అదనంగా, ప్రామాణిక సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మొదటి మరియు తేడా ద్వారా ఐదవ పదాన్ని వ్యక్తీకరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((ఎ)_(1))=-150-12=-162. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ఇప్పుడు మేము మునుపటి పనితో సారూప్యతతో కొనసాగుతాము. మన క్రమంలో సానుకూల సంఖ్యలు ఏ సమయంలో కనిపిస్తాయో తెలుసుకుందాం:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ఈ అసమానతకు కనీస పూర్ణాంకం పరిష్కారం సంఖ్య 56.

దయచేసి గమనించండి: చివరి టాస్క్‌లో ప్రతిదీ కఠినమైన అసమానతకు దిగజారింది, కాబట్టి ఎంపిక $n=55$ మాకు సరిపోదు.

ఇప్పుడు మనం సాధారణ సమస్యలను ఎలా పరిష్కరించాలో నేర్చుకున్నాము, మరింత క్లిష్టమైన వాటికి వెళ్దాం. అయితే మొదట, అంకగణిత పురోగతి యొక్క మరొక ఉపయోగకరమైన ఆస్తిని అధ్యయనం చేద్దాం, ఇది భవిష్యత్తులో మనకు చాలా సమయాన్ని మరియు అసమాన కణాలను ఆదా చేస్తుంది. :)

అంకగణిత సగటు మరియు సమాన ఇండెంటేషన్లు

పెరుగుతున్న అంకగణిత పురోగతి యొక్క అనేక వరుస నిబంధనలను పరిశీలిద్దాం $\left(((a)_(n)) \right)$. వాటిని నంబర్ లైన్‌లో గుర్తించడానికి ప్రయత్నిద్దాం:

నేను ప్రత్యేకంగా ఏకపక్ష నిబంధనలను గుర్తు పెట్టాను $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, మరియు కొన్ని $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, మొదలైనవి. ఎందుకంటే నేను ఇప్పుడు మీకు చెప్పే నియమం ఏదైనా "విభాగాలు" కోసం అదే పని చేస్తుంది.

మరియు నియమం చాలా సులభం. పునరావృత ఫార్ములాను గుర్తుంచుకోండి మరియు గుర్తించబడిన అన్ని నిబంధనల కోసం దాన్ని వ్రాస్దాం:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

అయితే, ఈ సమానత్వాన్ని వేరే విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

బాగా, కాబట్టి ఏమిటి? మరియు $((a)_(n-1))$ మరియు $((a)_(n+1))$ అనే పదాలు $((a)_(n)) $ నుండి ఒకే దూరంలో ఉన్నాయి. . మరియు ఈ దూరం $d$కి సమానం. $((a)_(n-2))$ మరియు $((a)_(n+2))$ నిబంధనల గురించి కూడా అదే చెప్పవచ్చు - అవి $((a)_(n) నుండి కూడా తీసివేయబడతాయి )$ అదే దూరం వద్ద $2d$కి సమానం. మేము ప్రకటన అనంతంగా కొనసాగించవచ్చు, కానీ అర్థం చిత్రం ద్వారా బాగా వివరించబడింది

దీని అర్థం మనకు ఏమిటి? దీని అర్థం పొరుగు సంఖ్యలు తెలిసినట్లయితే $((a)_(n))$ని కనుగొనవచ్చు:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

మేము ఒక అద్భుతమైన ప్రకటనను పొందాము: అంకగణిత పురోగతి యొక్క ప్రతి పదం దాని పొరుగు పదాల అంకగణిత సగటుకు సమానం! అంతేకాకుండా: మేము మా $((a)_(n))$ నుండి ఎడమకు మరియు కుడికి ఒక అడుగు ద్వారా కాకుండా $k$ దశల ద్వారా వెనక్కి తగ్గవచ్చు - మరియు సూత్రం ఇప్పటికీ సరైనదే:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

ఆ. మనకు $((a)_(100))$ మరియు $((a)_(200))$ తెలిస్తే మనం కొన్ని $((a)_(150))$ని సులభంగా కనుగొనవచ్చు, ఎందుకంటే $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. మొదటి చూపులో, ఈ వాస్తవం మనకు ఉపయోగకరంగా ఏమీ ఇవ్వలేదని అనిపించవచ్చు. అయితే, ఆచరణలో, అనేక సమస్యలు అంకగణిత సగటును ఉపయోగించడానికి ప్రత్యేకంగా రూపొందించబడ్డాయి. ఒకసారి చూడు:

పని సంఖ్య 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ మరియు $14+4((x)^(2))$ అనే సంఖ్యలు వరుసగా ఉండే $x$ యొక్క అన్ని విలువలను కనుగొనండి ఒక అంకగణిత పురోగతి (సూచించిన క్రమంలో).

పరిష్కారం. ఈ సంఖ్యలు పురోగమనంలో సభ్యులు కాబట్టి, అంకగణిత సగటు పరిస్థితి వారికి సంతృప్తికరంగా ఉంటుంది: కేంద్ర మూలకం $x+1$ పొరుగు మూలకాల పరంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & (((x)^(2))+x-6=0. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ఫలితం క్లాసిక్ క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం. దీని మూలాలు: $x=2$ మరియు $x=-3$ సమాధానాలు.

సమాధానం: −3; 2.

పని సంఖ్య 7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ సంఖ్యలు అంకగణిత పురోగతిని ఏర్పరుస్తాయి (ఆ క్రమంలో) $$ విలువలను కనుగొనండి.

పరిష్కారం. పొరుగు పదాల యొక్క అంకగణిత సగటు ద్వారా మధ్య పదాన్ని మళ్లీ వ్యక్తపరుస్తాము:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \ కుడి.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

మళ్ళీ క్వాడ్రాటిక్ ఈక్వేషన్. మరియు మళ్లీ రెండు మూలాలు ఉన్నాయి: $x=6$ మరియు $x=1$.

సమాధానం: 1; 6.

సమస్యను పరిష్కరించే ప్రక్రియలో మీరు కొన్ని క్రూరమైన సంఖ్యలతో ముందుకు వస్తే లేదా కనుగొన్న సమాధానాల ఖచ్చితత్వం గురించి మీకు పూర్తిగా తెలియకపోతే, తనిఖీ చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే అద్భుతమైన టెక్నిక్ ఉంది: మేము సమస్యను సరిగ్గా పరిష్కరించామా?

సమస్య నం. 6లో మనం సమాధానాలు −3 మరియు 2 అందుకున్నామని చెప్పండి. ఈ సమాధానాలు సరైనవని మనం ఎలా తనిఖీ చేయవచ్చు? వాటిని అసలు స్థితికి చేర్చి, ఏమి జరుగుతుందో చూద్దాం. మా వద్ద మూడు సంఖ్యలు ($-6(()^(2))$, $+1$ మరియు $14+4(()^(2))$) ఉన్నాయని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను, అవి తప్పనిసరిగా అంకగణిత పురోగతిని ఏర్పరుస్తాయి. $x=-3$ని ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

మాకు −54 సంఖ్యలు వచ్చాయి; -2; 52తో విభేదించే 50 నిస్సందేహంగా అంకగణిత పురోగతి. $x=2$కి ఇదే జరుగుతుంది:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

మళ్లీ పురోగతి, కానీ 27 తేడాతో. ఆ విధంగా, సమస్య సరిగ్గా పరిష్కరించబడింది. కోరుకునే వారు రెండవ సమస్యను స్వయంగా తనిఖీ చేయవచ్చు, కానీ నేను వెంటనే చెబుతాను: అక్కడ కూడా ప్రతిదీ సరైనది.

సాధారణంగా, చివరి సమస్యలను పరిష్కరిస్తున్నప్పుడు, గుర్తుంచుకోవలసిన మరో ఆసక్తికరమైన వాస్తవాన్ని మేము చూశాము:

మూడు సంఖ్యలు రెండవది మొదటి మరియు చివరి అంకగణిత సగటు అయినట్లయితే, ఈ సంఖ్యలు అంకగణిత పురోగతిని ఏర్పరుస్తాయి.

భవిష్యత్తులో, ఈ ప్రకటనను అర్థం చేసుకోవడం సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ఆధారంగా అవసరమైన పురోగతిని అక్షరాలా "నిర్మించడానికి" అనుమతిస్తుంది. కానీ మేము అలాంటి "నిర్మాణంలో" నిమగ్నమవ్వడానికి ముందు, మనం మరొక వాస్తవానికి శ్రద్ధ వహించాలి, ఇది ఇప్పటికే చర్చించబడిన దాని నుండి నేరుగా అనుసరిస్తుంది.

గ్రూపింగ్ మరియు సమ్మింగ్ ఎలిమెంట్స్

మళ్ళీ సంఖ్య అక్షానికి తిరిగి వెళ్దాం. పురోగతి యొక్క అనేక మంది సభ్యులను అక్కడ గమనించండి, వాటి మధ్య, బహుశా. ఇతర సభ్యులకు చాలా విలువైనది:

“ఎడమ తోక”ని $((a)_(n))$ మరియు $d$ ద్వారా మరియు “కుడి తోక” $((a)_(k))$ మరియు $d$ ద్వారా వ్యక్తీకరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. ఇది చాలా సులభం:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ఇప్పుడు కింది మొత్తాలు సమానంగా ఉన్నాయని గమనించండి:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ఎస్. \end(align)\]

సరళంగా చెప్పాలంటే, మేము పురోగతి యొక్క రెండు మూలకాలను ప్రారంభంలో పరిగణించినట్లయితే, ఇది మొత్తంగా $S$కి సమానం, ఆపై ఈ మూలకాల నుండి వ్యతిరేక దిశలలో (ఒకదానికొకటి వైపుకు లేదా వైదొలగడానికి) అప్పుడు మనం పొరపాట్లు చేసే మూలకాల మొత్తాలు కూడా సమానంగా ఉంటాయి$S$. ఇది చాలా స్పష్టంగా గ్రాఫికల్‌గా సూచించబడుతుంది:

ఈ వాస్తవాన్ని అర్థం చేసుకోవడం, మేము పైన పరిగణించిన వాటి కంటే ప్రాథమికంగా అధిక స్థాయి సంక్లిష్టత యొక్క సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అనుమతిస్తుంది. ఉదాహరణకు, ఇవి:

పని సంఖ్య 8. మొదటి పదం 66, మరియు రెండవ మరియు పన్నెండవ పదాల లబ్ధం సాధ్యమైనంత చిన్నదిగా ఉండే అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని నిర్ణయించండి.

పరిష్కారం. మనకు తెలిసిన ప్రతిదాన్ని వ్రాసుకుందాం:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

కాబట్టి, $d$ పురోగతి తేడా మాకు తెలియదు. వాస్తవానికి, మొత్తం పరిష్కారం వ్యత్యాసం చుట్టూ నిర్మించబడుతుంది, ఎందుకంటే ఉత్పత్తి $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

ట్యాంక్‌లో ఉన్నవారికి: నేను రెండవ బ్రాకెట్‌లో మొత్తం గుణకం 11ని తీసుకున్నాను. ఈ విధంగా, కావలసిన ఉత్పత్తి $d$ వేరియబుల్‌కు సంబంధించి క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్. కాబట్టి, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ అనే ఫంక్షన్‌ని పరిగణించండి - దాని గ్రాఫ్ బ్రాంచ్‌లతో కూడిన పారాబొలాగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే మేము బ్రాకెట్లను విస్తరిస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11((( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అత్యధిక పదం యొక్క గుణకం 11 - ఇది సానుకూల సంఖ్య, కాబట్టి మేము నిజంగా పైకి శాఖలతో పారాబొలాతో వ్యవహరిస్తున్నాము:

క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ - పారాబొలా

దయచేసి గమనించండి: ఈ పారాబొలా దాని కనిష్ట విలువను అబ్సిస్సా $((d)_(0))$తో దాని శీర్షంలో తీసుకుంటుంది. వాస్తవానికి, మేము ఈ అబ్సిస్సాను ప్రామాణిక స్కీమ్‌ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ అనే ఫార్ములా ఉంది), అయితే ఇది గమనించడం చాలా సహేతుకంగా ఉంటుంది. కావలసిన శీర్షం పారాబొలా యొక్క అక్షం సమరూపతపై ఉంటుంది, కనుక $((d)_(0))$ పాయింట్ $f\left(d \right)=0$ సమీకరణం యొక్క మూలాల నుండి సమానంగా ఉంటుంది.

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

అందుకే బ్రాకెట్లను తెరవడానికి నేను ప్రత్యేకంగా ఆతురుతలో లేను: వాటి అసలు రూపంలో, మూలాలను కనుగొనడం చాలా సులభం. కాబట్టి, abscissa సంఖ్యల −66 మరియు −6 యొక్క అంకగణిత సగటుకు సమానం:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

కనుగొనబడిన సంఖ్య మనకు ఏమి ఇస్తుంది? దానితో, అవసరమైన ఉత్పత్తి అతిచిన్న విలువను తీసుకుంటుంది (మార్గం ద్వారా, మేము ఎప్పుడూ $((y)_(\min ))$ని లెక్కించలేదు - ఇది మాకు అవసరం లేదు). అదే సమయంలో, ఈ సంఖ్య అసలు పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం, అనగా. మేము సమాధానం కనుగొన్నాము. :)

సమాధానం: −36

పని సంఖ్య 9. $-\frac(1)(2)$ మరియు $-\frac(1)(6)$ సంఖ్యల మధ్య మూడు సంఖ్యలను చొప్పించండి, తద్వారా ఈ సంఖ్యలతో కలిసి అవి అంకగణిత పురోగతిని ఏర్పరుస్తాయి.

పరిష్కారం. ముఖ్యంగా, మేము ఇప్పటికే తెలిసిన మొదటి మరియు చివరి సంఖ్యతో ఐదు సంఖ్యల క్రమాన్ని తయారు చేయాలి. $x$, $y$ మరియు $z$ వేరియబుల్స్ ద్వారా తప్పిపోయిన సంఖ్యలను సూచిస్తాము:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

$y$ అనేది మా క్రమం యొక్క “మధ్యం” అని గమనించండి - ఇది $x$ మరియు $z$ సంఖ్యల నుండి మరియు $-\frac(1)(2)$ మరియు $-\frac సంఖ్యల నుండి సమాన దూరంలో ఉంటుంది. (1)( 6)$. మరియు మేము ప్రస్తుతం $x$ మరియు $z$ సంఖ్యల నుండి $y$ని పొందలేకపోతే, పురోగతి ముగింపులతో పరిస్థితి భిన్నంగా ఉంటుంది. అంకగణిత సగటును గుర్తుంచుకోండి:

ఇప్పుడు, $y$ తెలుసుకోవడం, మేము మిగిలిన సంఖ్యలను కనుగొంటాము. మేము ఇప్పుడే కనుగొన్న $-\frac(1)(2)$ మరియు $y=-\frac(1)(3)$ సంఖ్యల మధ్య $x$ ఉంటుందని గమనించండి. అందుకే

సారూప్య తర్కాన్ని ఉపయోగించి, మేము మిగిలిన సంఖ్యను కనుగొంటాము:

సిద్ధంగా ఉంది! మేము మూడు సంఖ్యలను కనుగొన్నాము. అసలు సంఖ్యల మధ్య వాటిని చొప్పించాల్సిన క్రమంలో వాటిని సమాధానంలో వ్రాస్దాం.

సమాధానం: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

టాస్క్ నం. 10. 2 మరియు 42 సంఖ్యల మధ్య, చొప్పించిన సంఖ్యలలో మొదటి, రెండవ మరియు చివరి మొత్తం 56 అని మీకు తెలిస్తే, ఈ సంఖ్యలతో కలిసి, ఒక అంకగణిత పురోగతిని ఏర్పరుచుకునే అనేక సంఖ్యలను చొప్పించండి.

పరిష్కారం. మరింత క్లిష్టమైన సమస్య, అయితే, ఇది మునుపటి వాటి వలె అదే పథకం ప్రకారం పరిష్కరించబడుతుంది - అంకగణిత సగటు ద్వారా. సమస్య ఏమిటంటే, ఎన్ని సంఖ్యలను చొప్పించాలో ఖచ్చితంగా తెలియదు. కాబట్టి, ప్రతిదానిని చొప్పించిన తర్వాత ఖచ్చితంగా $n$ సంఖ్యలు ఉంటాయని మరియు వాటిలో మొదటిది 2 మరియు చివరిది 42 అని ఖచ్చితంగా ఊహించుకుందాం. ఈ సందర్భంలో, అవసరమైన అంకగణిత పురోగతిని రూపంలో సూచించవచ్చు:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \కుడి\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

అయితే, $((a)_(2))$ మరియు $((a)_(n-1))$ అనే సంఖ్యలు 2 మరియు 42 సంఖ్యల నుండి అంచుల నుండి ఒకదానికొకటి ఒక అడుగు చొప్పున పొందాయని గమనించండి, అనగా. క్రమం మధ్యలోకి. మరియు దీని అర్థం

\[((ఎ)_(2))+((ఎ)_(n-1))=2+42=44\]

కానీ పైన వ్రాసిన వ్యక్తీకరణను ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((ఎ)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

$((a)_(3))$ మరియు $((a)_(1))$ తెలుసుకోవడం ద్వారా, మేము పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని సులభంగా కనుగొనవచ్చు:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

మిగిలిన నిబంధనలను కనుగొనడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((ఎ)_(2))=2+5=7; \\ & ((ఎ)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \ముగింపు(సమలేఖనం)\]

ఈ విధంగా, ఇప్పటికే 9వ దశలో మనం క్రమం యొక్క ఎడమ చివరన చేరుకుంటాము - సంఖ్య 42. మొత్తంగా, 7 సంఖ్యలను మాత్రమే చొప్పించవలసి ఉంటుంది: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

సమాధానం: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

పురోగతితో పద సమస్యలు

ముగింపులో, నేను కొన్ని సాధారణ సమస్యలను పరిగణించాలనుకుంటున్నాను. బాగా, చాలా సులభం: పాఠశాలలో గణితాన్ని అభ్యసించే మరియు పైన వ్రాసిన వాటిని చదవని చాలా మంది విద్యార్థులకు, ఈ సమస్యలు కఠినంగా అనిపించవచ్చు. అయినప్పటికీ, ఇవి OGE మరియు గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో కనిపించే సమస్యలు, కాబట్టి మీరు వాటితో మిమ్మల్ని పరిచయం చేసుకోవాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను.

టాస్క్ నం. 11. ఈ బృందం జనవరిలో 62 భాగాలను ఉత్పత్తి చేసింది మరియు ప్రతి తదుపరి నెలలో వారు మునుపటి నెలలో కంటే 14 ఎక్కువ భాగాలను ఉత్పత్తి చేసారు. నవంబర్‌లో టీమ్ ఎన్ని భాగాలను నిర్మించింది?

పరిష్కారం. సహజంగానే, నెలవారీగా జాబితా చేయబడిన భాగాల సంఖ్య పెరుగుతున్న అంకగణిత పురోగతిని సూచిస్తుంది. అంతేకాకుండా:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

నవంబర్ సంవత్సరంలో 11వ నెల, కాబట్టి మనం $((a)_(11))$ని కనుగొనాలి:

\[((ఎ)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

అందుకోసం నవంబర్‌లో 202 పార్ట్‌లు నిర్మించనున్నారు.

పని సంఖ్య 12. బుక్‌బైండింగ్ వర్క్‌షాప్ జనవరిలో 216 పుస్తకాలను బైండింగ్ చేసింది మరియు ప్రతి తదుపరి నెలలో ఇది మునుపటి నెల కంటే 4 పుస్తకాలను బైండ్ చేసింది. డిసెంబర్‌లో వర్క్‌షాప్ బైండ్ చేసిన పుస్తకాలు ఎన్ని?

పరిష్కారం. ఒకే:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

డిసెంబర్ సంవత్సరంలో చివరి, 12వ నెల, కాబట్టి మేము $((a)_(12))$ కోసం వెతుకుతున్నాము:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

ఇదీ సమాధానం - డిసెంబర్‌లో 260 పుస్తకాలు బైండ్‌ అవుతాయి.

సరే, మీరు ఇంతవరకు చదివి ఉంటే, నేను మిమ్మల్ని అభినందించడానికి తొందరపడుతున్నాను: మీరు అంకగణిత పురోగతిలో “యంగ్ ఫైటర్ కోర్సు” విజయవంతంగా పూర్తి చేసారు. మీరు తదుపరి పాఠానికి సురక్షితంగా వెళ్లవచ్చు, ఇక్కడ మేము పురోగతి యొక్క మొత్తానికి సూత్రాన్ని అలాగే దాని నుండి ముఖ్యమైన మరియు చాలా ఉపయోగకరమైన పరిణామాలను అధ్యయనం చేస్తాము.

అంకగణిత పురోగతిపై సమస్యలు పురాతన కాలంలో ఇప్పటికే ఉన్నాయి. వారికి ఆచరణాత్మక అవసరం ఉన్నందున వారు కనిపించారు మరియు పరిష్కారం కోరారు.

ఈ విధంగా, ప్రాచీన ఈజిప్ట్‌లోని గణిత శాస్త్రాన్ని కలిగి ఉన్న పాపిరిలో ఒకటైన రిండ్ పాపిరస్ (క్రీ.పూ. 19వ శతాబ్దం) కింది పనిని కలిగి ఉంది: పది మంది రొట్టెలను పది మంది మధ్య విభజించండి, ప్రతి ఒక్కరి మధ్య వ్యత్యాసం ఎనిమిదో వంతు ఉంటుంది. కొలత."

మరియు పురాతన గ్రీకుల గణిత రచనలలో అంకగణిత పురోగతికి సంబంధించిన సొగసైన సిద్ధాంతాలు ఉన్నాయి. ఈ విధంగా, అలెగ్జాండ్రియా యొక్క హైప్సికల్స్ (2వ శతాబ్దం, అతను అనేక ఆసక్తికరమైన సమస్యలను సంకలనం చేశాడు మరియు పద్నాలుగో పుస్తకాన్ని యూక్లిడ్ ఎలిమెంట్స్‌కు జోడించాడు), ఈ ఆలోచనను రూపొందించాడు: “అరిథ్మెటిక్ పురోగతిలో సమాన సంఖ్యలో పదాలు ఉన్నాయి, 2వ సగం నిబంధనల మొత్తం స్క్వేర్ 1/2 సభ్యుల సంఖ్యల 1వ నిబంధనల మొత్తం కంటే ఎక్కువ."

క్రమం ఒక ద్వారా సూచించబడుతుంది. క్రమం యొక్క సంఖ్యలు దాని సభ్యులుగా పిలువబడతాయి మరియు సాధారణంగా ఈ సభ్యుని యొక్క క్రమ సంఖ్యను సూచించే సూచికలతో అక్షరాలతో నియమించబడతాయి (a1, a2, a3 ... చదవండి: “a 1st”, “a 2nd”, “a 3rd” మరియు మొదలైనవి).

క్రమం అనంతం లేదా పరిమితమైనది కావచ్చు.

అంకగణిత పురోగతి అంటే ఏమిటి? దీని ద్వారా మనం మునుపటి పదం (n) ను అదే సంఖ్య dతో జోడించడం ద్వారా పొందినది అని అర్థం, ఇది పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం.

ఒకవేళ డి<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, అప్పుడు ఈ పురోగతి పెరుగుతున్నదిగా పరిగణించబడుతుంది.

ఒక అంకగణిత పురోగతిని దాని మొదటి కొన్ని పదాలను మాత్రమే పరిగణనలోకి తీసుకుంటే దానిని పరిమితం అంటారు. చాలా పెద్ద సంఖ్యలో సభ్యులతో, ఇది ఇప్పటికే అంతులేని పురోగతి.

ఏదైనా అంకగణిత పురోగతి క్రింది సూత్రం ద్వారా నిర్వచించబడుతుంది:

an =kn+b, అయితే b మరియు k కొన్ని సంఖ్యలు.

వ్యతిరేక ప్రకటన పూర్తిగా నిజం: ఒక క్రమాన్ని సారూప్య ఫార్ములా ద్వారా అందించినట్లయితే, అది ఖచ్చితంగా లక్షణాలను కలిగి ఉన్న అంకగణిత పురోగతి:

1. పురోగతి యొక్క ప్రతి పదం మునుపటి పదం యొక్క అంకగణిత సగటు మరియు తదుపరిది.
2. సంభాషించు: 2వ నుండి ప్రారంభించి, ప్రతి పదం మునుపటి పదం మరియు తదుపరిది యొక్క అంకగణిత సగటు అయితే, అనగా. షరతు నెరవేరినట్లయితే, ఈ క్రమం ఒక అంకగణిత పురోగతి. ఈ సమానత్వం కూడా పురోగతికి సంకేతం, అందుకే దీనిని సాధారణంగా పురోగమనం యొక్క లక్షణ లక్షణం అంటారు.
   అదే విధంగా, ఈ లక్షణాన్ని ప్రతిబింబించే సిద్ధాంతం నిజం: ఈ సమానత్వం 2వదితో ప్రారంభమయ్యే శ్రేణిలోని ఏదైనా నిబంధనలకు నిజమైతే మాత్రమే క్రమాన్ని అంకగణిత పురోగతిగా చెప్పవచ్చు.

n + m = k + l (m, n, k పురోగమన సంఖ్యలు) అయితే, అంకగణిత పురోగతి యొక్క ఏదైనా నాలుగు సంఖ్యల లక్షణ లక్షణాన్ని an + am = ak + al సూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించవచ్చు.

అంకగణిత పురోగతిలో, కింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఏదైనా అవసరమైన (Nth) పదాన్ని కనుగొనవచ్చు:

ఉదాహరణకు: అంకగణిత పురోగతిలో మొదటి పదం (a1) ఇవ్వబడింది మరియు మూడుకి సమానం మరియు వ్యత్యాసం (d) నాలుగుకి సమానం. మీరు ఈ పురోగతి యొక్క నలభై-ఐదవ పదాన్ని కనుగొనాలి. a45 = 1+4(45-1)=177

ఫార్ములా an = ak + d(n - k) మీరు ఒక అంకగణిత పురోగమనం యొక్క nవ పదాన్ని దాని kth నిబంధనలలో దేని ద్వారా అయినా గుర్తించడానికి అనుమతిస్తుంది.

అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తం (పరిమిత పురోగతి యొక్క మొదటి n నిబంధనలు అని అర్ధం) క్రింది విధంగా లెక్కించబడుతుంది:

Sn = (a1+an) n/2.

1వ పదం కూడా తెలిసినట్లయితే, గణన కోసం మరొక సూత్రం సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

n నిబంధనలను కలిగి ఉన్న అంకగణిత పురోగతి మొత్తం క్రింది విధంగా లెక్కించబడుతుంది:

గణనల కోసం సూత్రాల ఎంపిక సమస్యల పరిస్థితులు మరియు ప్రారంభ డేటాపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

1,2,3,...,n,... వంటి ఏదైనా సంఖ్యల సహజ శ్రేణి అంకగణిత పురోగతికి సరళమైన ఉదాహరణ.

అంకగణిత పురోగతికి అదనంగా, దాని స్వంత లక్షణాలు మరియు లక్షణాలను కలిగి ఉన్న రేఖాగణిత పురోగతి కూడా ఉంది.

ప్రతి సహజ సంఖ్యకు అయితే n వాస్తవ సంఖ్యను సరిపోల్చండి ఒక ఎన్ , అప్పుడు ఇచ్చినట్లు చెప్పారు సంఖ్య క్రమం :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , ఒక ఎన్ , . . . .

కాబట్టి, సంఖ్యా క్రమం సహజ వాదన యొక్క విధి.

సంఖ్య a 1 అని పిలిచారు క్రమం యొక్క మొదటి పదం , సంఖ్య a 2 — క్రమం యొక్క రెండవ పదం , సంఖ్య a 3 — మూడవది మరియు అందువలన న. సంఖ్య ఒక ఎన్ అని పిలిచారు క్రమంలో nవ సభ్యుడు , మరియు సహజ సంఖ్య n — అతని సంఖ్య .

ఇద్దరు ప్రక్కనే ఉన్న సభ్యుల నుండి ఒక ఎన్ మరియు ఒక ఎన్ +1 క్రమం సభ్యుడు ఒక ఎన్ +1 అని పిలిచారు తదుపరి (వైపు ఒక ఎన్ ), ఎ ఒక ఎన్ — మునుపటి (వైపు ఒక ఎన్ +1 ).

క్రమాన్ని నిర్వచించడానికి, మీరు ఏదైనా సంఖ్యతో సీక్వెన్స్ సభ్యుడిని కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే పద్ధతిని పేర్కొనాలి.

తరచుగా క్రమం ఉపయోగించి పేర్కొనబడుతుంది nవ పదం సూత్రాలు , అంటే, ఒక క్రమం యొక్క సభ్యుడిని దాని సంఖ్య ద్వారా గుర్తించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే ఫార్ములా.

ఉదాహరణకి,

ధన బేసి సంఖ్యల క్రమాన్ని ఫార్ములా ద్వారా ఇవ్వవచ్చు

ఒక ఎన్= 2n- 1,

మరియు ఆల్టర్నేటింగ్ యొక్క క్రమం 1 మరియు -1 - సూత్రం

బి n = (-1)n +1 . ◄

క్రమాన్ని నిర్ణయించవచ్చు పునరావృత సూత్రం, అంటే, మునుపటి (ఒకరు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ) సభ్యుల ద్వారా కొంతమందితో ప్రారంభించి, సీక్వెన్స్‌లోని ఏదైనా సభ్యుడిని వ్యక్తీకరించే ఫార్ములా.

ఉదాహరణకి,

ఉంటే a 1 = 1 , ఎ ఒక ఎన్ +1 = ఒక ఎన్ + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

ఉంటే a 1= 1, ఒక 2 = 1, ఒక ఎన్ +2 = ఒక ఎన్ + ఒక ఎన్ +1 , అప్పుడు సంఖ్యా క్రమం యొక్క మొదటి ఏడు పదాలు క్రింది విధంగా స్థాపించబడ్డాయి:

a 1 = 1,

ఒక 2 = 1,

a 3 = a 1 + ఒక 2 = 1 + 1 = 2,

ఒక 4 = ఒక 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

ఒక 5 = a 3 + ఒక 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

సీక్వెన్సులు కావచ్చు చివరి మరియు అంతులేని .

క్రమం అంటారు అంతిమ , అది పరిమిత సంఖ్యలో సభ్యులను కలిగి ఉంటే. క్రమం అంటారు అంతులేని , అది అనంతమైన అనేక మంది సభ్యులను కలిగి ఉంటే.

ఉదాహరణకి,

రెండు అంకెల సహజ సంఖ్యల క్రమం:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

చివరి.

ప్రధాన సంఖ్యల క్రమం:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

అంతులేని. ◄

క్రమం అంటారు పెరుగుతున్నాయి , దానిలోని ప్రతి సభ్యుడు, రెండవదాని నుండి ప్రారంభించి, మునుపటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటే.

క్రమం అంటారు తగ్గుతోంది , దానిలోని ప్రతి సభ్యుడు, రెండవదాని నుండి ప్రారంభించి, మునుపటి కంటే తక్కువగా ఉంటే.

ఉదాహరణకి,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - పెరుగుతున్న క్రమం;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - తగ్గుతున్న క్రమం. ◄

సంఖ్య పెరిగేకొద్దీ మూలకాలు తగ్గని లేదా దానికి విరుద్ధంగా పెరగని క్రమాన్ని అంటారు. మార్పులేని క్రమం .

మోనోటోనిక్ సీక్వెన్సులు, ముఖ్యంగా, సీక్వెన్స్‌లను పెంచుతున్నాయి మరియు తగ్గుతున్న సన్నివేశాలు.

అంకగణిత పురోగతి

అంకగణిత పురోగతి ప్రతి సభ్యుడు, రెండవదాని నుండి ప్రారంభించి, మునుపటి దానికి సమానం, దానికి అదే సంఖ్య జోడించబడుతుంది.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , ఒక ఎన్, . . .

ఏదైనా సహజ సంఖ్యకు సంబంధించిన అంకగణిత పురోగతి n షరతు నెరవేరింది:

ఒక ఎన్ +1 = ఒక ఎన్ + డి,

ఎక్కడ డి - ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య.

అందువల్ల, ఇచ్చిన అంకగణిత పురోగతి యొక్క తదుపరి మరియు మునుపటి నిబంధనల మధ్య వ్యత్యాసం ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది:

ఒక 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = ఒక ఎన్ +1 - ఒక ఎన్ = డి.

సంఖ్య డి అని పిలిచారు అంకగణిత పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం.

అంకగణిత పురోగతిని నిర్వచించడానికి, దాని మొదటి పదం మరియు వ్యత్యాసాన్ని సూచించడానికి సరిపోతుంది.

ఉదాహరణకి,

ఉంటే a 1 = 3, డి = 4 , అప్పుడు మేము ఈ క్రింది విధంగా సీక్వెన్స్ యొక్క మొదటి ఐదు పదాలను కనుగొంటాము:

a 1 =3,

ఒక 2 = a 1 + డి = 3 + 4 = 7,

a 3 = ఒక 2 + డి= 7 + 4 = 11,

ఒక 4 = a 3 + డి= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + డి= 15 + 4 = 19. ◄

మొదటి పదంతో అంకగణిత పురోగతి కోసం a 1 మరియు తేడా డి ఆమె n

ఒక ఎన్ = a 1 + (n- 1)డి.

ఉదాహరణకి,

అంకగణిత పురోగతి యొక్క ముప్పైవ పదాన్ని కనుగొనండి

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, డి = 3,

ఒక 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

ఒక n-1 = a 1 + (n- 2)d,

ఒక ఎన్= a 1 + (n- 1)d,

ఒక ఎన్ +1 = a 1 + nd,

అప్పుడు స్పష్టంగా

అంకగణిత పురోగమనంలోని ప్రతి సభ్యుడు, రెండవదాని నుండి ప్రారంభించి, మునుపటి మరియు తదుపరి సభ్యుల అంకగణిత సగటుకు సమానం.

a, b మరియు c అనే సంఖ్యలు కొన్ని అంకగణిత పురోగతి యొక్క వరుస పదాలు మరియు వాటిలో ఒకటి మిగిలిన రెండింటి యొక్క అంకగణిత సగటుకు సమానంగా ఉంటే మాత్రమే.

ఉదాహరణకి,

ఒక ఎన్ = 2n- 7 , ఒక అంకగణిత పురోగతి.

పై ప్రకటనను ఉపయోగించుకుందాం. మాకు ఉన్నాయి:

ఒక ఎన్ = 2n- 7,

ఒక n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

అందుకే,

◄

అని గమనించండి n అంకగణిత పురోగతి యొక్క పదం ద్వారా మాత్రమే కనుగొనబడుతుంది a 1 , కానీ ఏదైనా మునుపటి ఒక కె

ఒక ఎన్ = ఒక కె + (n- కె)డి.

ఉదాహరణకి,

కోసం a 5 రాసుకోవచ్చు

ఒక 5 = a 1 + 4డి,

ఒక 5 = ఒక 2 + 3డి,

ఒక 5 = a 3 + 2డి,

ఒక 5 = ఒక 4 + డి. ◄

ఒక ఎన్ = ఒక n-k + kd,

ఒక ఎన్ = ఒక n+k - kd,

అప్పుడు స్పష్టంగా

ఒక అంకగణిత పురోగమనంలోని ఏ సభ్యుడైనా, రెండవదాని నుండి మొదలై, ఈ అంకగణిత పురోగతి యొక్క సమాన అంతరం ఉన్న సభ్యుల మొత్తంలో సగం మొత్తానికి సమానం.

అదనంగా, ఏదైనా అంకగణిత పురోగతికి క్రింది సమానత్వం ఉంటుంది:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

ఉదాహరణకి,

అంకగణిత పురోగతిలో

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = ఒక 10 = a 3 + 7డి= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) ఒక 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, ఎందుకంటే

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

ఎస్ ఎన్= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ ఒక ఎన్,

ప్రధమ n అంకగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనలు తీవ్రమైన పదాలు మరియు పదాల సంఖ్య యొక్క సగం మొత్తం యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం:

ఇక్కడ నుండి, ప్రత్యేకించి, మీరు నిబంధనలను సంకలనం చేయవలసి వస్తే అది అనుసరిస్తుంది

ఒక కె, ఒక కె +1 , . . . , ఒక ఎన్,

అప్పుడు మునుపటి ఫార్ములా దాని నిర్మాణాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

ఉదాహరణకి,

అంకగణిత పురోగతిలో 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

ఎస్ 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ఎస్ 10 - ఎస్ 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

అంకగణిత పురోగతిని అందించినట్లయితే, అప్పుడు పరిమాణాలు a 1 , ఒక ఎన్, డి, nమరియుఎస్ n రెండు సూత్రాల ద్వారా కనెక్ట్ చేయబడింది:

అందువల్ల, ఈ పరిమాణాలలో మూడు విలువలు ఇవ్వబడినట్లయితే, మిగిలిన రెండు పరిమాణాల యొక్క సంబంధిత విలువలు ఈ సూత్రాల నుండి నిర్ణయించబడతాయి, రెండు తెలియని వాటితో రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థగా మిళితం చేయబడతాయి.

అంకగణిత పురోగతి అనేది ఒక మోనోటోనిక్ సీక్వెన్స్. ఇందులో:

• ఉంటే డి > 0 , అప్పుడు అది పెరుగుతోంది;
• ఉంటే డి < 0 , అప్పుడు అది తగ్గుతోంది;
• ఉంటే డి = 0 , అప్పుడు క్రమం స్థిరంగా ఉంటుంది.

రేఖాగణిత పురోగతి

రేఖాగణిత పురోగతి ప్రతి సభ్యుడు, రెండవదాని నుండి ప్రారంభించి, అదే సంఖ్యతో గుణించబడిన మునుపటి దానికి సమానంగా ఉండే క్రమం.

బి 1 , బి 2 , బి 3 , . . . , b n, . . .

ఏదైనా సహజ సంఖ్య కోసం జ్యామితీయ పురోగమనం n షరతు నెరవేరింది:

b n +1 = b n · q,

ఎక్కడ q ≠ 0 - ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య.

అందువల్ల, ఇచ్చిన రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క తదుపరి పదం యొక్క నిష్పత్తి మునుపటి దానికి స్థిరమైన సంఖ్య:

బి 2 / బి 1 = బి 3 / బి 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

సంఖ్య q అని పిలిచారు రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క హారం.

రేఖాగణిత పురోగతిని నిర్వచించడానికి, దాని మొదటి పదం మరియు హారం సూచించడానికి సరిపోతుంది.

ఉదాహరణకి,

ఉంటే బి 1 = 1, q = -3 , అప్పుడు మేము ఈ క్రింది విధంగా సీక్వెన్స్ యొక్క మొదటి ఐదు పదాలను కనుగొంటాము:

బి 1 = 1,

బి 2 = బి 1 · q = 1 · (-3) = -3,

బి 3 = బి 2 · q= -3 · (-3) = 9,

బి 4 = బి 3 · q= 9 · (-3) = -27,

బి 5 = బి 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

బి 1 మరియు హారం q ఆమె n సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వ పదాన్ని కనుగొనవచ్చు:

b n = బి 1 · qn -1 .

ఉదాహరణకి,

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ఏడవ పదాన్ని కనుగొనండి 1, 2, 4, . . .

బి 1 = 1, q = 2,

బి 7 = బి 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = బి 1 · qn -2 ,

b n = బి 1 · qn -1 ,

b n +1 = బి 1 · qn,

అప్పుడు స్పష్టంగా

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

జ్యామితీయ పురోగమనంలోని ప్రతి సభ్యుడు, రెండవదాని నుండి ప్రారంభమై, మునుపటి మరియు తదుపరి సభ్యుల రేఖాగణిత సగటు (అనుపాత)కి సమానం.

సంభాషణ కూడా నిజం కాబట్టి, ఈ క్రింది ప్రకటన కలిగి ఉంది:

a, b మరియు c అనే సంఖ్యలు కొన్ని రేఖాగణిత పురోగమనం యొక్క వరుస పదాలు మరియు వాటిలో ఒకదాని యొక్క వర్గము మిగిలిన రెండింటి యొక్క లబ్ధానికి సమానంగా ఉంటే, అనగా, సంఖ్యలలో ఒకటి మిగిలిన రెండింటి యొక్క రేఖాగణిత సగటు.

ఉదాహరణకి,

ఫార్ములా ఇచ్చిన క్రమం అని నిరూపిద్దాం b n= -3 2 n , ఒక రేఖాగణిత పురోగతి. పై ప్రకటనను ఉపయోగించుకుందాం. మాకు ఉన్నాయి:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

అందుకే,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ఇది కోరుకున్న ప్రకటనను రుజువు చేస్తుంది. ◄

అని గమనించండి n రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క వ పదం ద్వారా మాత్రమే కనుగొనబడుతుంది బి 1 , కానీ ఏ మునుపటి సభ్యుడు కూడా బి కె , దీని కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం సరిపోతుంది

b n = బి కె · qn - కె.

ఉదాహరణకి,

కోసం బి 5 రాసుకోవచ్చు

బి 5 = బి 1 · q 4 ,

బి 5 = బి 2 · q 3,

బి 5 = బి 3 · q 2,

బి 5 = బి 4 · q. ◄

b n = బి కె · qn - కె,

b n = b n - కె · q k,

అప్పుడు స్పష్టంగా

b n 2 = b n - కె· b n + కె

రేఖాగణిత పురోగమనం యొక్క ఏదైనా పదం యొక్క వర్గము, రెండవది నుండి మొదలవుతుంది, దాని నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న ఈ పురోగతి యొక్క నిబంధనల ఉత్పత్తికి సమానం.

అదనంగా, ఏదైనా రేఖాగణిత పురోగతికి సమానత్వం నిజం:

బి ఎమ్· b n= బి కె· బి ఎల్,

m+ n= కె+ ఎల్.

ఉదాహరణకి,

రేఖాగణిత పురోగతిలో

1) బి 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = బి 5 · బి 7 ;

2) 1024 = బి 11 = బి 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) బి 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = బి 4 · బి 8 ;

4) బి 2 · బి 7 = బి 4 · బి 5 , ఎందుకంటే

బి 2 · బి 7 = 2 · 64 = 128,

బి 4 · బి 5 = 8 · 16 = 128. ◄

ఎస్ ఎన్= బి 1 + బి 2 + బి 3 + . . . + b n

ప్రధమ n హారంతో ఒక రేఖాగణిత పురోగతి సభ్యులు q ≠ 0 సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:

మరి ఎప్పుడూ q = 1 - సూత్రం ప్రకారం

ఎస్ ఎన్= nb 1

మీరు నిబంధనలను సంగ్రహించవలసి వస్తే గమనించండి

బి కె, బి కె +1 , . . . , b n,

అప్పుడు సూత్రం ఉపయోగించబడుతుంది:

ఉదాహరణకి,

రేఖాగణిత పురోగతిలో 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

ఎస్ 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = ఎస్ 10 - ఎస్ 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

రేఖాగణిత పురోగతిని అందించినట్లయితే, అప్పుడు పరిమాణాలు బి 1 , b n, q, nమరియు ఎస్ ఎన్ రెండు సూత్రాల ద్వారా కనెక్ట్ చేయబడింది:

అందువల్ల, ఈ పరిమాణాలలో ఏదైనా మూడు విలువలు ఇచ్చినట్లయితే, మిగిలిన రెండు పరిమాణాల యొక్క సంబంధిత విలువలు ఈ సూత్రాల నుండి నిర్ణయించబడతాయి, రెండు తెలియని వాటితో రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థగా మిళితం చేయబడతాయి.

మొదటి పదంతో రేఖాగణిత పురోగతి కోసం బి 1 మరియు హారం q కిందివి జరుగుతాయి మోనోటోనిసిటీ యొక్క లక్షణాలు :

• కింది షరతుల్లో ఒకదానిని నెరవేర్చినట్లయితే పురోగతి పెరుగుతుంది:

బి 1 > 0 మరియు q> 1;

బి 1 < 0 మరియు 0 < q< 1;

• కింది షరతుల్లో ఒకదానికి అనుగుణంగా ఉంటే పురోగతి తగ్గుతుంది:

బి 1 > 0 మరియు 0 < q< 1;

బి 1 < 0 మరియు q> 1.

ఉంటే q< 0 , అప్పుడు రేఖాగణిత పురోగతి ప్రత్యామ్నాయంగా ఉంటుంది: బేసి సంఖ్యలతో దాని పదాలు దాని మొదటి పదం వలె అదే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి మరియు సరి సంఖ్యలతో ఉన్న పదాలు వ్యతిరేక చిహ్నాన్ని కలిగి ఉంటాయి. ప్రత్యామ్నాయ రేఖాగణిత పురోగమనం మోనోటోనిక్ కాదని స్పష్టమవుతుంది.

మొదటి ఉత్పత్తి n రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనలను ఫార్ములా ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు:

Pn= బి 1 · బి 2 · బి 3 · . . . · b n = (బి 1 · b n) n / 2 .

ఉదాహరణకి,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి

అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి హారం మాడ్యులస్ తక్కువగా ఉన్న అనంతమైన రేఖాగణిత పురోగతి అని పిలుస్తారు 1 , అంటే

|q| < 1 .

అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి తగ్గుతున్న క్రమం కాకపోవచ్చునని గమనించండి. ఇది సందర్భానికి సరిపోతుంది

1 < q< 0 .

అటువంటి హారంతో, క్రమం ప్రత్యామ్నాయంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకి,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి మొత్తం మొదటి వాటి మొత్తం పరిమితి లేకుండా చేరుకునే సంఖ్యకు పేరు పెట్టండి n సంఖ్యలో అపరిమిత పెరుగుదలతో పురోగతి సభ్యులు n . ఈ సంఖ్య ఎల్లప్పుడూ పరిమితమైనది మరియు ఫార్ములా ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది

ఉదాహరణకి,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

అంకగణితం మరియు రేఖాగణిత పురోగమనాల మధ్య సంబంధం

అంకగణితం మరియు రేఖాగణిత పురోగమనాలు దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉంటాయి. కేవలం రెండు ఉదాహరణలు చూద్దాం.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . డి , ఆ

బా 1 , బా 2 , బా 3 , . . . బి డి .

ఉదాహరణకి,

1, 3, 5, . . . - తేడాతో అంకగణిత పురోగతి 2 మరియు

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - హారంతో రేఖాగణిత పురోగతి 7 2 . ◄

బి 1 , బి 2 , బి 3 , . . . - హారంతో రేఖాగణిత పురోగతి q , ఆ

లాగ్ a b 1, లాగ్ a b 2, లాగ్ a b 3, . . . - తేడాతో అంకగణిత పురోగతి లాగ్ aq .

ఉదాహరణకి,

2, 12, 72, . . . - హారంతో రేఖాగణిత పురోగతి 6 మరియు

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - తేడాతో అంకగణిత పురోగతి lg 6 . ◄

ఉదాహరణకు, క్రమం \(2\); \(5\); \(8\); \(పదకొండు\); \(14\)... ఒక అంకగణిత పురోగతి, ఎందుకంటే ప్రతి తదుపరి మూలకం మునుపటి దాని నుండి మూడు తేడా ఉంటుంది (మూడు జోడించడం ద్వారా మునుపటి నుండి పొందవచ్చు):

ఈ పురోగతిలో, తేడా \(d\) సానుకూలంగా ఉంటుంది (\(3\)కి సమానం), అందువల్ల ప్రతి తదుపరి పదం మునుపటి కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. ఇటువంటి పురోగతులు అంటారు పెరుగుతున్నాయి.

అయితే, \(d\) కూడా ప్రతికూల సంఖ్య కావచ్చు. ఉదాహరణకి, అంకగణిత పురోగతిలో \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... పురోగతి వ్యత్యాసం \(d\) మైనస్ ఆరుకి సమానం.

మరియు ఈ సందర్భంలో, ప్రతి తదుపరి మూలకం మునుపటి కంటే చిన్నదిగా ఉంటుంది. ఈ పురోగతులు అంటారు తగ్గుతోంది.

అంకగణిత పురోగతి సంజ్ఞామానం

పురోగతి చిన్న లాటిన్ అక్షరంతో సూచించబడుతుంది.

పురోగతిని ఏర్పరిచే సంఖ్యలను అంటారు సభ్యులు(లేదా అంశాలు).

అవి అదే అక్షరంతో అంకగణిత పురోగతిగా సూచించబడతాయి, కానీ క్రమంలో మూలకం సంఖ్యకు సమానమైన సంఖ్యా సూచికతో ఉంటాయి.

ఉదాహరణకు, అంకగణిత పురోగతి \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) మూలకాలు \(a_1=2\) ఉంటాయి; \(a_2=5\); \(a_3=8\) మరియు మొదలైనవి.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, పురోగతి కోసం \(a_n = \ఎడమ\(2; 5; 8; 11; 14...\కుడి\)\)

అంకగణిత పురోగతి సమస్యలను పరిష్కరించడం

సూత్రప్రాయంగా, దాదాపు ఏదైనా అంకగణిత పురోగతి సమస్యను (OGEలో అందించిన వాటితో సహా) పరిష్కరించడానికి పైన అందించిన సమాచారం ఇప్పటికే సరిపోతుంది.

ఉదాహరణ (OGE). అంకగణిత పురోగతి షరతుల ద్వారా పేర్కొనబడింది \(b_1=7; d=4\). \(b_5\)ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:

సమాధానం: \(b_5=23\)

ఉదాహరణ (OGE). అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి మూడు పదాలు ఇవ్వబడ్డాయి: \(62; 49; 36...\) ఈ పురోగతి యొక్క మొదటి ప్రతికూల పదం యొక్క విలువను కనుగొనండి..
పరిష్కారం:

సమాధానం: \(-3\)

ఉదాహరణ (OGE). అంకగణిత పురోగతి యొక్క అనేక వరుస మూలకాలు అందించబడ్డాయి: \(...5; x; 10; 12.5...\) \(x\) అక్షరం ద్వారా నిర్దేశించబడిన మూలకం విలువను కనుగొనండి.
పరిష్కారం:

సమాధానం: \(7,5\).

ఉదాహరణ (OGE). అంకగణిత పురోగతి క్రింది పరిస్థితుల ద్వారా నిర్వచించబడింది: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) ఈ పురోగతి యొక్క మొదటి ఆరు పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:

సమాధానం: \(S_6=9\).

ఉదాహరణ (OGE). అంకగణిత పురోగతిలో \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). ఈ పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:

సమాధానం: \(d=7\).

అంకగణిత పురోగతికి ముఖ్యమైన సూత్రాలు

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అంకగణిత పురోగతిపై చాలా సమస్యలను ప్రధాన విషయం అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా పరిష్కరించవచ్చు - అంకగణిత పురోగతి అనేది సంఖ్యల గొలుసు, మరియు ఈ గొలుసులోని ప్రతి తదుపరి మూలకం మునుపటి సంఖ్యకు అదే సంఖ్యను జోడించడం ద్వారా పొందబడుతుంది (ది పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసం).

అయితే, కొన్నిసార్లు "హెడ్-ఆన్" నిర్ణయించడం చాలా అసౌకర్యంగా ఉన్నప్పుడు పరిస్థితులు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, మొదటి ఉదాహరణలో మనం ఐదవ మూలకం \(b_5\) కాకుండా మూడు వందల ఎనభై ఆరవ \(b_(386)\)ని కనుగొనవలసి ఉంటుందని ఊహించండి. మేము నాలుగు \(385\) సార్లు జోడించాలా? లేదా చివరి ఉదాహరణలో మీరు మొదటి డెబ్బై-మూడు మూలకాల మొత్తాన్ని కనుగొనవలసి ఉంటుందని ఊహించండి. మీరు లెక్కించి విసిగిపోతారు ...

అందువల్ల, అటువంటి సందర్భాలలో వారు "హెడ్-ఆన్" విషయాలను పరిష్కరించరు, కానీ అంకగణిత పురోగతి కోసం రూపొందించిన ప్రత్యేక సూత్రాలను ఉపయోగిస్తారు. మరియు ప్రధానమైనవి ప్రోగ్రెస్షన్ యొక్క nవ పదానికి సూత్రం మరియు \(n\) మొదటి పదాల మొత్తానికి సూత్రం.

\(n\)వ పదం యొక్క ఫార్ములా: \(a_n=a_1+(n-1)d\), ఇక్కడ \(a_1\) అనేది పురోగతి యొక్క మొదటి పదం;
\(n\) – అవసరమైన మూలకం సంఖ్య;
\(a_n\) – సంఖ్య \(n\)తో పురోగతి యొక్క పదం.

ఈ ఫార్ములా మూడు వందల లేదా మిలియన్ల మూలకాన్ని కూడా త్వరగా కనుగొనడానికి అనుమతిస్తుంది, మొదటి మరియు పురోగతి యొక్క వ్యత్యాసాన్ని మాత్రమే తెలుసుకుంటుంది.

ఉదాహరణ. అంకగణిత పురోగతి షరతుల ద్వారా పేర్కొనబడింది: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). కనుగొను \(b_(246)\).
పరిష్కారం:

సమాధానం: \(b_(246)=1850\).

మొదటి n నిబంధనల మొత్తానికి ఫార్ములా: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), ఇక్కడ

\(a_n\) – చివరిగా సంగ్రహించిన పదం;

ఉదాహరణ (OGE). అంకగణిత పురోగతి షరతుల ద్వారా పేర్కొనబడింది \(a_n=3.4n-0.6\). ఈ పురోగతి యొక్క మొదటి \(25\) నిబంధనల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:

సమాధానం: \(S_(25)=1090\).

మొదటి నిబంధనల మొత్తం \(n\) కోసం, మీరు మరొక సూత్రాన్ని పొందవచ్చు: మీరు కేవలం \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\)కి బదులుగా \(a_n=a_1+(n-1)d\) సూత్రాన్ని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. మాకు దొరికింది:

మొదటి n నిబంధనల మొత్తానికి ఫార్ములా: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), ఇక్కడ

\(S_n\) – \(n\) మొదటి మూలకాల యొక్క అవసరమైన మొత్తం;
\(a_1\) – మొదటి సంగ్రహ పదం;
\(d\) - పురోగతి వ్యత్యాసం;
\(n\) – మొత్తం మూలకాల సంఖ్య.

ఉదాహరణ. అంకగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి \(33\)-మాజీ నిబంధనల మొత్తాన్ని కనుగొనండి: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
పరిష్కారం:

సమాధానం: \(S_(33)=-231\).

మరింత సంక్లిష్టమైన అంకగణిత పురోగతి సమస్యలు

ఇప్పుడు మీరు దాదాపు ఏదైనా అంకగణిత పురోగతి సమస్యను పరిష్కరించడానికి అవసరమైన మొత్తం సమాచారాన్ని కలిగి ఉన్నారు. మీరు సూత్రాలను వర్తింపజేయడమే కాకుండా, కొంచెం ఆలోచించాల్సిన సమస్యలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా అంశాన్ని పూర్తి చేద్దాం (గణితంలో ఇది ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది ☺)

ఉదాహరణ (OGE). పురోగతి యొక్క అన్ని ప్రతికూల నిబంధనల మొత్తాన్ని కనుగొనండి: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
పరిష్కారం:

సమాధానం: \(S_(65)=-630.5\).

ఉదాహరణ (OGE). అంకగణిత పురోగతి షరతుల ద్వారా పేర్కొనబడింది: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)వ నుండి \(42\) మూలకం కలుపుకొని మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం:

సమాధానం: \(S=1683\).

అంకగణిత పురోగతి కోసం, వాటి తక్కువ ఆచరణాత్మక ఉపయోగం కారణంగా మేము ఈ వ్యాసంలో పరిగణించని అనేక సూత్రాలు ఉన్నాయి. అయితే, మీరు వాటిని సులభంగా కనుగొనవచ్చు.