లైన్ల ద్వారా పరిమితం చేయబడిన ఫిగర్ వాల్యూమ్ ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్. పాఠం “నిర్దిష్ట సమగ్రతను ఉపయోగించి విప్లవ శరీరాల వాల్యూమ్‌లను గణించడం

పాఠం రకం: కలిపి.

పాఠం యొక్క ఉద్దేశ్యం:సమగ్రాలను ఉపయోగించి విప్లవ శరీరాల వాల్యూమ్‌లను లెక్కించడం నేర్చుకోండి.

పనులు:

• అనేక రేఖాగణిత బొమ్మల నుండి కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్‌లను గుర్తించే సామర్థ్యాన్ని ఏకీకృతం చేయడం మరియు కర్విలినియర్ ట్రాపజోయిడ్‌ల ప్రాంతాలను లెక్కించే నైపుణ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయడం;
• త్రిమితీయ వ్యక్తి యొక్క భావనతో పరిచయం పొందండి;
• భ్రమణ శరీరాల వాల్యూమ్లను లెక్కించడం నేర్చుకోండి;
• డ్రాయింగ్‌లను నిర్మించేటప్పుడు తార్కిక ఆలోచన, సమర్థ గణిత ప్రసంగం, ఖచ్చితత్వం అభివృద్ధిని ప్రోత్సహించండి;
• విషయంపై ఆసక్తిని పెంపొందించడం, గణిత భావనలు మరియు చిత్రాలతో పనిచేయడం, తుది ఫలితం సాధించడంలో సంకల్పం, స్వాతంత్ర్యం మరియు పట్టుదల పెంపొందించడం.

తరగతుల సమయంలో

I. సంస్థాగత క్షణం.

సమూహం నుండి శుభాకాంక్షలు. పాఠ్య లక్ష్యాలను విద్యార్థులకు తెలియజేయండి.

ప్రతిబింబం. ప్రశాంతమైన మెలోడీ.

- నేను నేటి పాఠాన్ని ఒక ఉపమానంతో ప్రారంభించాలనుకుంటున్నాను. "ఒకప్పుడు ప్రతిదీ తెలిసిన ఒక తెలివైన వ్యక్తి నివసించాడు. ఋషికి అన్నీ తెలియవని ఒక వ్యక్తి నిరూపించాలనుకున్నాడు. తన అరచేతుల్లో సీతాకోకచిలుకను పట్టుకుని, అతను ఇలా అడిగాడు: “చెప్పు, ఋషి, నా చేతిలో ఏ సీతాకోకచిలుక ఉందో: చచ్చిపోయిందా లేదా సజీవంగా ఉందా?” మరియు అతను స్వయంగా ఇలా అనుకుంటాడు: "జీవించినవాడు చెబితే, నేను ఆమెను చంపుతాను; చనిపోయినవాడు, నేను ఆమెను విడుదల చేస్తాను అని చెబుతాడు." ఋషి, ఆలోచించిన తరువాత, ఇలా సమాధానమిచ్చాడు: "అన్నీ మీ చేతుల్లోనే". (ప్రదర్శన.స్లయిడ్)

- కాబట్టి, ఈ రోజు ఫలవంతంగా పని చేద్దాం, కొత్త జ్ఞానాన్ని పొందండి మరియు మేము సంపాదించిన నైపుణ్యాలు మరియు సామర్థ్యాలను భవిష్యత్ జీవితంలో మరియు ఆచరణాత్మక కార్యకలాపాలలో వర్తింపజేస్తాము. "అన్నీ మీ చేతుల్లోనే".

II. గతంలో అధ్యయనం చేసిన పదార్థం యొక్క పునరావృతం.

- గతంలో అధ్యయనం చేసిన మెటీరియల్ యొక్క ప్రధాన అంశాలను గుర్తుంచుకోండి. దీన్ని చేయడానికి, పనిని పూర్తి చేద్దాం "అదనపు పదాన్ని తొలగించండి."(స్లయిడ్.)

(విద్యార్థి I.Dకి వెళ్తాడు. అదనపు పదాన్ని తీసివేయడానికి ఎరేజర్‌ని ఉపయోగిస్తాడు.)

- కుడి "డిఫరెన్షియల్". మిగిలిన పదాలను ఒక సాధారణ పదంతో పేరు పెట్టడానికి ప్రయత్నించండి. (ఇంటిగ్రల్ కాలిక్యులస్.)

– సమగ్ర కాలిక్యులస్‌తో అనుబంధించబడిన ప్రధాన దశలు మరియు భావనలను గుర్తుంచుకోండి..

"గణిత బంచ్".

వ్యాయామం. ఖాళీలను పునరుద్ధరించండి. (విద్యార్థి బయటకు వచ్చి పెన్నుతో అవసరమైన పదాలలో వ్రాస్తాడు.)

– మేము సమగ్రాల అప్లికేషన్‌పై ఒక సారాంశాన్ని తర్వాత వింటాము.

నోట్బుక్లలో పని చేయండి.

– న్యూటన్-లీబ్నిజ్ సూత్రం ఆంగ్ల భౌతిక శాస్త్రవేత్త ఐజాక్ న్యూటన్ (1643–1727) మరియు జర్మన్ తత్వవేత్త గాట్‌ఫ్రైడ్ లీబ్నిజ్ (1646–1716)చే రూపొందించబడింది. మరియు ఇది ఆశ్చర్యం కలిగించదు, ఎందుకంటే గణితం అనేది ప్రకృతి స్వయంగా మాట్లాడే భాష.

- ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఈ ఫార్ములా ఎలా ఉపయోగించబడుతుందో పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ 1: పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి

పరిష్కారం: కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో ఫంక్షన్‌ల గ్రాఫ్‌లను రూపొందిద్దాం . కనుగొనవలసిన బొమ్మ యొక్క ప్రాంతాన్ని ఎంచుకుందాం.

III. కొత్త మెటీరియల్ నేర్చుకోవడం.

- స్క్రీన్‌పై శ్రద్ధ వహించండి. మొదటి చిత్రంలో ఏమి చూపబడింది? (స్లయిడ్) (ఫిగర్ ఒక ఫ్లాట్ ఫిగర్ చూపిస్తుంది.)

- రెండవ చిత్రంలో ఏమి చూపబడింది? ఈ ఫిగర్ ఫ్లాట్‌గా ఉందా? (స్లయిడ్) (చిత్రం త్రిమితీయ బొమ్మను చూపుతుంది.)

- అంతరిక్షంలో, భూమిపై మరియు రోజువారీ జీవితంలో, మేము చదునైన బొమ్మలను మాత్రమే కాకుండా, త్రిమితీయ వాటిని కూడా ఎదుర్కొంటాము, అయితే అటువంటి శరీరాల పరిమాణాన్ని మనం ఎలా లెక్కించవచ్చు? ఉదాహరణకు, ఒక గ్రహం, తోకచుక్క, ఉల్క మొదలైన వాటి పరిమాణం.

- ఇళ్లు నిర్మించేటప్పుడు మరియు ఒక పాత్ర నుండి మరొక పాత్రకు నీటిని పోయేటప్పుడు ప్రజలు వాల్యూమ్ గురించి ఆలోచిస్తారు. వాల్యూమ్‌లను లెక్కించడానికి నియమాలు మరియు సాంకేతికతలు ఉద్భవించవలసి ఉంది; అవి ఎంత ఖచ్చితమైనవి మరియు సహేతుకమైనవి అనేది మరొక విషయం.

విద్యార్థి నుండి సందేశం. (త్యూరినా వెరా.)

ప్రసిద్ధ ఖగోళ శాస్త్రవేత్త జోహన్నెస్ కెప్లర్ నివసించిన ఆస్ట్రియన్ నగరమైన లింజ్ నివాసితులకు 1612 సంవత్సరం చాలా ఫలవంతమైనది, ముఖ్యంగా ద్రాక్ష కోసం. ప్రజలు వైన్ బారెల్స్ సిద్ధం చేస్తున్నారు మరియు వారి వాల్యూమ్‌లను ఆచరణాత్మకంగా ఎలా నిర్ణయించాలో తెలుసుకోవాలనుకున్నారు. (స్లయిడ్ 2)

– ఈ విధంగా, కెప్లర్ యొక్క పరిగణించబడిన రచనలు 17వ శతాబ్దం చివరి త్రైమాసికంలో ముగిసిన పరిశోధన యొక్క మొత్తం ప్రవాహానికి పునాది వేసింది. I. న్యూటన్ మరియు G.V యొక్క రచనలలో రూపకల్పన. అవకలన మరియు సమగ్ర కాలిక్యులస్ యొక్క లీబ్నిజ్. అప్పటి నుండి, గణిత శాస్త్ర విజ్ఞాన వ్యవస్థలో వేరియబుల్స్ గణితం ప్రముఖ స్థానాన్ని ఆక్రమించింది.

– ఈ రోజు మీరు మరియు నేను అలాంటి ఆచరణాత్మక కార్యకలాపాలలో పాల్గొంటాము, కాబట్టి,

మా పాఠం యొక్క అంశం: "నిర్దిష్ట సమగ్రతను ఉపయోగించి భ్రమణ శరీరాల వాల్యూమ్‌లను గణించడం." (స్లయిడ్)

– మీరు క్రింది పనిని పూర్తి చేయడం ద్వారా భ్రమణ శరీరం యొక్క నిర్వచనాన్ని నేర్చుకుంటారు.

"లాబ్రింత్".

లాబ్రింత్ (గ్రీకు పదం) అంటే భూగర్భంలోకి వెళ్లడం. చిక్కైన మార్గాలు, మార్గాలు మరియు ఇంటర్‌కనెక్టింగ్ గదుల యొక్క క్లిష్టమైన నెట్‌వర్క్.

కానీ నిర్వచనం "విరిగిపోయింది," బాణాల రూపంలో సూచనలను వదిలివేసింది.

వ్యాయామం. గందరగోళ పరిస్థితి నుండి ఒక మార్గాన్ని కనుగొని, నిర్వచనాన్ని వ్రాయండి.

స్లయిడ్. “మ్యాప్ సూచన” వాల్యూమ్‌ల గణన.

ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి, మీరు ఒక నిర్దిష్ట శరీరం యొక్క వాల్యూమ్‌ను లెక్కించవచ్చు, ప్రత్యేకించి, భ్రమణ శరీరం.

విప్లవం యొక్క శరీరం దాని బేస్ చుట్టూ ఒక వంపు తిరిగిన ట్రాపెజాయిడ్‌ను తిప్పడం ద్వారా పొందిన శరీరం (Fig. 1, 2)

భ్రమణ శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ సూత్రాలలో ఒకదానిని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

1. OX అక్షం చుట్టూ.

2. , ఒక వక్ర ట్రాపజోయిడ్ యొక్క భ్రమణం ఉంటే op-amp యొక్క అక్షం చుట్టూ.

ప్రతి విద్యార్థి సూచనల కార్డును అందుకుంటారు. ఉపాధ్యాయుడు ప్రధాన అంశాలను నొక్కి చెబుతాడు.

– ఉపాధ్యాయుడు బోర్డులోని ఉదాహరణలకు పరిష్కారాలను వివరిస్తాడు.

A.S. పుష్కిన్ రాసిన ప్రసిద్ధ అద్భుత కథ నుండి ఒక సారాంశాన్ని పరిశీలిద్దాం “ది టేల్ ఆఫ్ జార్ సాల్తాన్, అతని అద్భుతమైన మరియు శక్తివంతమైన కుమారుడు ప్రిన్స్ గైడాన్ సాల్టానోవిచ్ మరియు అందమైన యువరాణి స్వాన్” (స్లయిడ్ 4):

…..
మరియు తాగిన దూత తీసుకువచ్చాడు
అదే రోజు ఆర్డర్ ఇలా ఉంది:
"రాజు తన బోయార్లను ఆజ్ఞాపించాడు,
సమయం వృధా చేయకుండా,
మరియు రాణి మరియు సంతానం
రహస్యంగా నీటి అగాధంలోకి విసిరేయండి.
చేయడానికి ఏమీ లేదు: బోయార్స్,
సార్వభౌమాధికారం గురించి చింత
మరియు యువ రాణికి,
ఆమె పడకగదికి జనం వచ్చారు.
వారు రాజు ఇష్టాన్ని ప్రకటించారు -
ఆమె మరియు ఆమె కొడుకు చెడు వాటా కలిగి ఉన్నారు,
మేము డిక్రీని బిగ్గరగా చదువుతాము,
మరియు అదే గంటలో రాణి
వారు నన్ను నా కొడుకుతో బారెల్‌లో ఉంచారు,
తారు వేసి వెళ్లిపోయారు
మరియు వారు నన్ను ఓకియాన్‌లోకి అనుమతించారు -
సార్ సాల్తాన్ ఆదేశించినది ఇదే.

రాణి మరియు ఆమె కొడుకు దానిలో సరిపోయేలా బారెల్ వాల్యూమ్ ఎంత ఉండాలి?

- కింది పనులను పరిగణించండి

1. పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క ఆర్డినేట్ అక్షం చుట్టూ తిప్పడం ద్వారా పొందిన శరీర పరిమాణాన్ని కనుగొనండి: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

సమాధానం: 1163 సెం.మీ 3 .

అబ్సిస్సా అక్షం చుట్టూ పారాబొలిక్ ట్రాపెజాయిడ్‌ను తిప్పడం ద్వారా పొందిన శరీర పరిమాణాన్ని కనుగొనండి y =, x = 4, y = 0.

IV. కొత్త పదార్థాన్ని ఏకీకృతం చేయడం

ఉదాహరణ 2. x-అక్షం చుట్టూ రేక యొక్క భ్రమణం ద్వారా ఏర్పడిన శరీరం యొక్క పరిమాణాన్ని లెక్కించండి y = x 2, y 2 = x.

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌లను రూపొందిద్దాం. y = x 2, y 2 = x. షెడ్యూల్ y2 = xఫారమ్‌కి మార్చండి వై= .

మన దగ్గర ఉంది V = V 1 – V 2ప్రతి ఫంక్షన్ యొక్క వాల్యూమ్‌ను గణిద్దాం

- ఇప్పుడు, గొప్ప రష్యన్ ఇంజనీర్, గౌరవ విద్యావేత్త V. G. షుఖోవ్ రూపకల్పన ప్రకారం నిర్మించిన షాబోలోవ్కాలోని మాస్కోలోని రేడియో స్టేషన్ కోసం టవర్ని చూద్దాం. ఇది భాగాలను కలిగి ఉంటుంది - భ్రమణ హైపర్బోలాయిడ్లు. అంతేకాకుండా, వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి ప్రక్కనే ఉన్న వృత్తాలు (Fig. 8, 9) కలుపుతూ నేరుగా మెటల్ రాడ్లతో తయారు చేయబడతాయి.

- సమస్యను పరిశీలిద్దాం.

హైపర్బోలా ఆర్క్‌లను తిప్పడం ద్వారా పొందిన శరీర పరిమాణాన్ని కనుగొనండి దాని ఊహాత్మక అక్షం చుట్టూ, అంజీర్లో చూపిన విధంగా. 8, ఎక్కడ

క్యూబ్ యూనిట్లు

సమూహ కేటాయింపులు. విద్యార్థులు టాస్క్‌లతో చాలా గీస్తారు, వాట్‌మ్యాన్ పేపర్‌పై డ్రాయింగ్‌లు గీయండి మరియు సమూహ ప్రతినిధులలో ఒకరు పనిని సమర్థిస్తారు.

1వ సమూహం.

కొట్టుట! కొట్టుట! మరో దెబ్బ!
బంతి లక్ష్యంలోకి ఎగురుతుంది - బాల్!
మరియు ఇది పుచ్చకాయ బంతి
ఆకుపచ్చ, గుండ్రని, రుచికరమైన.
మెరుగ్గా చూడండి - ఏ బంతి!
ఇది వృత్తాలు తప్ప మరేమీ లేకుండా తయారు చేయబడింది.
పుచ్చకాయను వృత్తాలుగా కట్ చేసుకోండి
మరియు వాటిని రుచి చూడండి.

పరిమిత ఫంక్షన్ యొక్క OX అక్షం చుట్టూ తిప్పడం ద్వారా పొందిన శరీర పరిమాణాన్ని కనుగొనండి

లోపం! బుక్‌మార్క్ నిర్వచించబడలేదు.

– ఈ బొమ్మను మనం ఎక్కడ కలుస్తామో దయచేసి నాకు చెప్పండి?

ఇల్లు. 1 సమూహం కోసం పని. సిలిండర్ (స్లయిడ్) .

"సిలిండర్ - ఇది ఏమిటి?" - నేను మా నాన్నను అడిగాను.
తండ్రి నవ్వాడు: టాప్ టోపీ ఒక టోపీ.
సరైన ఆలోచన కలిగి ఉండటానికి,
ఒక సిలిండర్, ఒక టిన్ డబ్బా అని అనుకుందాం.
స్టీమ్‌బోట్ పైపు - సిలిండర్,
మా పైకప్పు మీద పైపు కూడా,

అన్ని పైపులు సిలిండర్‌ను పోలి ఉంటాయి.
మరియు నేను ఇలాంటి ఉదాహరణ ఇచ్చాను -
నా ప్రియమైన కాలిడోస్కోప్,
మీరు అతని నుండి మీ కళ్ళు తీయలేరు,
మరియు అది కూడా సిలిండర్ లాగా ఉంటుంది.

- వ్యాయామం. హోంవర్క్: ఫంక్షన్‌ను గ్రాఫ్ చేయండి మరియు వాల్యూమ్‌ను లెక్కించండి.

2వ సమూహం. కోన్ (స్లయిడ్).

అమ్మ చెప్పింది: మరియు ఇప్పుడు
నా కథ కోన్ గురించి ఉంటుంది.
ఎత్తైన టోపీలో స్టార్‌గేజర్
ఏడాది పొడవునా నక్షత్రాలను లెక్కిస్తుంది.
కోన్ - స్టార్‌గేజర్ టోపీ.
అతను అలాంటివాడు. అర్థమైందా? అంతే.
అమ్మ టేబుల్ వద్ద నిలబడి ఉంది,
సీసాలలో నూనె పోసుకున్నాను.
- గరాటు ఎక్కడ ఉంది? గరాటు లేదు.
దానికోసం చూడు. ప్రక్కన నిలబడవద్దు.
- అమ్మ, నేను లొంగను.
కోన్ గురించి మాకు మరింత చెప్పండి.
– గరాటు నీళ్ల డబ్బా కోన్ రూపంలో ఉంటుంది.
రండి, నా కోసం ఆమెను త్వరగా కనుగొనండి.
నేను గరాటుని కనుగొనలేకపోయాను
కానీ అమ్మ ఒక బ్యాగ్ చేసింది,
అట్టను వేలికి చుట్టాను
మరియు ఆమె దానిని నేర్పుగా పేపర్ క్లిప్‌తో భద్రపరిచింది.
నూనె ప్రవహిస్తోంది, అమ్మ సంతోషంగా ఉంది,
కోన్ సరిగ్గా బయటకు వచ్చింది.

వ్యాయామం. అబ్సిస్సా అక్షం చుట్టూ తిరగడం ద్వారా పొందిన శరీరం యొక్క వాల్యూమ్‌ను లెక్కించండి

ఇల్లు. 2 వ సమూహం కోసం పని. పిరమిడ్(స్లయిడ్).

నేను చిత్రాన్ని చూశాను. ఈ చిత్రంలో
ఇసుక ఎడారిలో పిరమిడ్ ఉంది.
పిరమిడ్‌లోని ప్రతిదీ అసాధారణమైనది,
అందులో ఒకరకమైన రహస్యం మరియు రహస్యం ఉంది.
మరియు రెడ్ స్క్వేర్‌లోని స్పాస్కాయ టవర్
ఇది పిల్లలు మరియు పెద్దలు ఇద్దరికీ చాలా సుపరిచితం.
మీరు టవర్‌ను చూస్తే, అది సాధారణంగా కనిపిస్తుంది,
దాని పైన ఏముంది? పిరమిడ్!

వ్యాయామం.హోంవర్క్: ఫంక్షన్‌ను గ్రాఫ్ చేయండి మరియు పిరమిడ్ వాల్యూమ్‌ను లెక్కించండి

- మేము సమగ్రతను ఉపయోగించి శరీరాల వాల్యూమ్‌ల కోసం ప్రాథమిక సూత్రం ఆధారంగా వివిధ శరీరాల వాల్యూమ్‌లను లెక్కించాము.

గణితశాస్త్ర అధ్యయనానికి ఖచ్చితమైన సమగ్రత కొంత పునాది అని ఇది మరొక నిర్ధారణ.

- సరే, ఇప్పుడు కొంచెం విశ్రాంతి తీసుకుందాం.

ఒక జత కనుగొనండి.

గణిత సంబంధమైన డొమినో మెలోడీ నాటకాలు.

"నేను వెతుకుతున్న రహదారి ఎప్పటికీ మరచిపోలేను ..."

పరిశోధన పని. ఆర్థికశాస్త్రం మరియు సాంకేతికతలో సమగ్రత యొక్క అప్లికేషన్.

బలమైన విద్యార్థులు మరియు గణిత ఫుట్‌బాల్ కోసం పరీక్షలు.

గణిత అనుకరణ యంత్రం.

2. ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క అన్ని యాంటీడెరివేటివ్‌ల సమితిని అంటారు

ఎ) నిరవధిక సమగ్రం,

బి) ఫంక్షన్,

బి) భేదం.

7. పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క అబ్సిస్సా అక్షం చుట్టూ తిరగడం ద్వారా పొందిన శరీర పరిమాణాన్ని కనుగొనండి:

D/Z. భ్రమణ శరీరాల వాల్యూమ్లను లెక్కించండి.

ప్రతిబింబం.

రూపంలో ప్రతిబింబం యొక్క స్వీకరణ సింక్వైన్(ఐదు పంక్తులు).

1వ పంక్తి - టాపిక్ పేరు (ఒక నామవాచకం).

2 వ పంక్తి - రెండు పదాలలో టాపిక్ యొక్క వివరణ, రెండు విశేషణాలు.

3వ పంక్తి - మూడు పదాలలో ఈ అంశంలోని చర్య యొక్క వివరణ.

4 వ పంక్తి అంశం (మొత్తం వాక్యం) పట్ల వైఖరిని చూపే నాలుగు పదాల పదబంధం.

5వ పంక్తి అంశం యొక్క సారాంశాన్ని పునరావృతం చేసే పర్యాయపదం.

1. వాల్యూమ్.
2. ఖచ్చితమైన సమగ్ర, సమగ్ర ఫంక్షన్.
3. మేము నిర్మించాము, తిరుగుతాము, లెక్కిస్తాము.
4. వక్ర ట్రాపెజాయిడ్ (దాని బేస్ చుట్టూ) తిప్పడం ద్వారా పొందిన శరీరం.
5. భ్రమణ శరీరం (వాల్యూమెట్రిక్ రేఖాగణిత శరీరం).

ముగింపు (స్లయిడ్).

• ఖచ్చితమైన సమగ్రత అనేది గణితశాస్త్ర అధ్యయనానికి ఒక నిర్దిష్ట పునాది, ఇది ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరించడానికి పూడ్చలేని సహకారాన్ని అందిస్తుంది.
• "ఇంటిగ్రల్" అనే అంశం గణితం మరియు భౌతిక శాస్త్రం, జీవశాస్త్రం, ఆర్థిక శాస్త్రం మరియు సాంకేతికత మధ్య సంబంధాన్ని స్పష్టంగా ప్రదర్శిస్తుంది.
• సమగ్రతను ఉపయోగించకుండా ఆధునిక విజ్ఞాన శాస్త్రం యొక్క అభివృద్ధి ఊహించలేము. ఈ విషయంలో, సెకండరీ స్పెషలైజ్డ్ ఎడ్యుకేషన్ ఫ్రేమ్‌వర్క్‌లో దానిని అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభించాల్సిన అవసరం ఉంది!

గ్రేడింగ్. (వ్యాఖ్యతో.)

గొప్ప ఒమర్ ఖయ్యామ్ - గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, కవి, తత్వవేత్త. అతను మన స్వంత విధికి మాస్టర్స్‌గా ఉండమని ప్రోత్సహిస్తాడు. అతని పని నుండి ఒక సారాంశాన్ని విందాం:

మీరు చెబుతారు, ఈ జీవితం ఒక్క క్షణం.
దానిని మెచ్చుకోండి, దాని నుండి ప్రేరణ పొందండి.
మీరు ఖర్చు చేస్తే, అది గడిచిపోతుంది.
మర్చిపోవద్దు: ఆమె మీ సృష్టి.

విప్లవం యొక్క శరీరం యొక్క పరిమాణాన్ని ఎలా లెక్కించాలి
ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగిస్తున్నారా?

సాధారణంగా, సమగ్ర కాలిక్యులస్‌లో చాలా ఆసక్తికరమైన అప్లికేషన్లు ఉన్నాయి; ఖచ్చితమైన సమగ్రతను ఉపయోగించి, మీరు ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యం, భ్రమణ శరీరం యొక్క వాల్యూమ్, ఆర్క్ యొక్క పొడవు, ఉపరితల వైశాల్యాన్ని లెక్కించవచ్చు. భ్రమణం మరియు మరెన్నో. కాబట్టి ఇది సరదాగా ఉంటుంది, దయచేసి ఆశాజనకంగా ఉండండి!

కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో కొన్ని ఫ్లాట్ ఫిగర్ ఇమాజిన్ చేయండి. పరిచయం చేశారా? ... ఎవరు ఏమి అందించారో నేను ఆశ్చర్యపోతున్నాను... =))) మేము ఇప్పటికే దాని ప్రాంతాన్ని కనుగొన్నాము. కానీ, అదనంగా, ఈ సంఖ్యను కూడా తిప్పవచ్చు మరియు రెండు విధాలుగా తిప్పవచ్చు:

- abscissa అక్షం చుట్టూ;
- ఆర్డినేట్ అక్షం చుట్టూ.

ఈ వ్యాసం రెండు కేసులను పరిశీలిస్తుంది. భ్రమణం యొక్క రెండవ పద్ధతి ముఖ్యంగా ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది; ఇది చాలా ఇబ్బందులను కలిగిస్తుంది, అయితే వాస్తవానికి పరిష్కారం x- అక్షం చుట్టూ ఉన్న సాధారణ భ్రమణంలో దాదాపుగా సమానంగా ఉంటుంది. బోనస్‌గా నేను తిరిగి వస్తాను బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడంలో సమస్య, మరియు రెండవ మార్గంలో - అక్షం వెంట ప్రాంతాన్ని ఎలా కనుగొనాలో నేను మీకు చెప్తాను. మెటీరియల్ టాపిక్‌కి బాగా సరిపోతుంది కాబట్టి ఇది చాలా బోనస్ కాదు.

అత్యంత ప్రజాదరణ పొందిన భ్రమణ రకంతో ప్రారంభిద్దాం.

ఒక అక్షం చుట్టూ ఫ్లాట్ ఫిగర్

అక్షం చుట్టూ పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మను తిప్పడం ద్వారా పొందిన శరీరం యొక్క పరిమాణాన్ని లెక్కించండి.

పరిష్కారం: ప్రాంతాన్ని కనుగొనడంలో సమస్య వలె, పరిష్కారం ఒక ఫ్లాట్ ఫిగర్ యొక్క డ్రాయింగ్తో ప్రారంభమవుతుంది. అంటే, విమానంలో పంక్తులచే సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మను నిర్మించడం అవసరం , మరియు సమీకరణం అక్షాన్ని నిర్దేశిస్తుందని మర్చిపోవద్దు. డ్రాయింగ్‌ను మరింత సమర్థవంతంగా మరియు త్వరగా ఎలా పూర్తి చేయాలో పేజీలలో చూడవచ్చు ఎలిమెంటరీ ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు మరియు లక్షణాలుమరియు . ఇది చైనీస్ రిమైండర్, ఈ సమయంలో నేను ఇకపై నివసించను.

ఇక్కడ డ్రాయింగ్ చాలా సులభం:

కావలసిన ఫ్లాట్ ఫిగర్ నీలం రంగులో ఉంటుంది; ఇది అక్షం చుట్టూ తిరిగేది. భ్రమణం ఫలితంగా, అక్షం చుట్టూ సుష్టంగా ఉండే కొద్దిగా అండాకారపు ఫ్లయింగ్ సాసర్ వస్తుంది. నిజానికి, శరీరానికి గణిత సంబంధమైన పేరు ఉంది, కానీ రిఫరెన్స్ బుక్‌లో ఏదైనా స్పష్టం చేయడానికి నేను చాలా సోమరిగా ఉన్నాను, కాబట్టి మేము కొనసాగుతాము.

భ్రమణ శరీరం యొక్క పరిమాణాన్ని ఎలా లెక్కించాలి?

విప్లవం యొక్క శరీరం యొక్క వాల్యూమ్‌ను సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు:

ఫార్ములాలో, సంఖ్య తప్పనిసరిగా సమగ్రానికి ముందు ఉండాలి. కాబట్టి ఇది జరిగింది - జీవితంలో తిరిగే ప్రతిదీ ఈ స్థిరాంకంతో అనుసంధానించబడి ఉంటుంది.

పూర్తయిన డ్రాయింగ్ నుండి ఏకీకరణ "a" మరియు "be" యొక్క పరిమితులను ఎలా సెట్ చేయాలో ఊహించడం సులభం అని నేను భావిస్తున్నాను.

ఫంక్షన్... ఈ ఫంక్షన్ ఏమిటి? డ్రాయింగ్ చూద్దాం. పైభాగంలో ఉన్న పారాబొలా యొక్క గ్రాఫ్‌తో ప్లేన్ ఫిగర్ సరిహద్దులుగా ఉంటుంది. ఇది ఫార్ములాలో సూచించబడిన ఫంక్షన్.

ఆచరణాత్మక పనులలో, ఒక ఫ్లాట్ ఫిగర్ కొన్నిసార్లు అక్షం క్రింద ఉంటుంది. ఇది దేనినీ మార్చదు - ఫార్ములాలోని ఇంటిగ్రండ్ స్క్వేర్ చేయబడింది: , ఆ విధంగా సమగ్రం ఎల్లప్పుడూ ప్రతికూలంగా ఉండదు, ఇది చాలా లాజికల్.

ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి భ్రమణ శరీరం యొక్క పరిమాణాన్ని గణిద్దాం:

నేను ఇప్పటికే గుర్తించినట్లుగా, సమగ్రత దాదాపు ఎల్లప్పుడూ సరళంగా మారుతుంది, ప్రధాన విషయం జాగ్రత్తగా ఉండటం.

సమాధానం:

మీ సమాధానంలో మీరు తప్పనిసరిగా పరిమాణాన్ని సూచించాలి - క్యూబిక్ యూనిట్లు. అంటే, మన భ్రమణ శరీరంలో సుమారు 3.35 “క్యూబ్‌లు” ఉన్నాయి. ఎందుకు క్యూబిక్ యూనిట్లు? ఎందుకంటే అత్యంత సార్వత్రిక సూత్రీకరణ. క్యూబిక్ సెంటీమీటర్లు ఉండవచ్చు, క్యూబిక్ మీటర్లు ఉండవచ్చు, క్యూబిక్ కిలోమీటర్లు ఉండవచ్చు.

పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క అక్షం చుట్టూ భ్రమణం ద్వారా ఏర్పడిన శరీరం యొక్క వాల్యూమ్‌ను కనుగొనండి, ,

మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ. పాఠం చివరిలో పూర్తి పరిష్కారం మరియు సమాధానం.

ఆచరణలో కూడా తరచుగా ఎదుర్కొనే రెండు క్లిష్టమైన సమస్యలను పరిశీలిద్దాం.

పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న బొమ్మ యొక్క అబ్సిస్సా అక్షం చుట్టూ తిరగడం ద్వారా పొందిన శరీరం యొక్క వాల్యూమ్‌ను లెక్కించండి , మరియు

పరిష్కారం: సమీకరణం అక్షాన్ని నిర్వచిస్తుంది అనే విషయాన్ని మరచిపోకుండా , , , అనే పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న ఒక ఫ్లాట్ ఫిగర్‌ని డ్రాయింగ్‌లో వర్ణిద్దాం:

కావలసిన బొమ్మ నీలం రంగులో ఉంటుంది. ఇది దాని అక్షం చుట్టూ తిరిగినప్పుడు, అది నాలుగు మూలలతో అధివాస్తవిక డోనట్‌గా మారుతుంది.

విప్లవం యొక్క శరీర పరిమాణాన్ని ఇలా గణిద్దాం శరీర పరిమాణంలో వ్యత్యాసం.

మొదట, ఎరుపు రంగులో ఉన్న బొమ్మను చూద్దాం. ఇది అక్షం చుట్టూ తిరిగినప్పుడు, కత్తిరించబడిన కోన్ పొందబడుతుంది. ఈ కత్తిరించబడిన కోన్ వాల్యూమ్‌ను దీని ద్వారా సూచిస్తాము.

ఆకుపచ్చ రంగులో ఉన్న బొమ్మను పరిగణించండి. మీరు ఈ బొమ్మను అక్షం చుట్టూ తిప్పితే, మీరు కత్తిరించబడిన కోన్ కూడా పొందుతారు, కొంచెం చిన్నది. దాని వాల్యూమ్‌ని ద్వారా సూచిస్తాం.

మరియు, స్పష్టంగా, వాల్యూమ్‌లలో వ్యత్యాసం ఖచ్చితంగా మా "డోనట్" యొక్క వాల్యూమ్.

విప్లవం యొక్క పరిమాణాన్ని కనుగొనడానికి మేము ప్రామాణిక సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

1) ఎరుపు రంగులో వృత్తాకారంలో ఉన్న బొమ్మ పైన సరళ రేఖతో సరిహద్దులుగా ఉంటుంది, కాబట్టి:

2) ఆకుపచ్చ రంగులో వృత్తాకారంలో ఉన్న బొమ్మ పైన సరళ రేఖతో సరిహద్దులుగా ఉంటుంది, కాబట్టి:

3) కావలసిన విప్లవం యొక్క వాల్యూమ్:

సమాధానం:

ఈ సందర్భంలో, కత్తిరించబడిన కోన్ వాల్యూమ్‌ను లెక్కించడానికి పాఠశాల సూత్రాన్ని ఉపయోగించి పరిష్కారాన్ని తనిఖీ చేయవచ్చు.

నిర్ణయం తరచుగా చిన్నదిగా వ్రాయబడుతుంది, ఇలాంటిది:

ఇప్పుడు కొంచెం విశ్రాంతి తీసుకుని, రేఖాగణిత భ్రమలు గురించి చెప్పుకుందాం.

ప్రజలు తరచుగా వాల్యూమ్‌లతో అనుబంధించబడిన భ్రమలను కలిగి ఉంటారు, దీనిని పుస్తకంలో పెరెల్‌మాన్ (మరొకరు) గమనించారు వినోదాత్మక జ్యామితి. పరిష్కరించబడిన సమస్యలో ఫ్లాట్ ఫిగర్ చూడండి - ఇది విస్తీర్ణంలో చిన్నదిగా కనిపిస్తుంది మరియు విప్లవం యొక్క శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ కేవలం 50 క్యూబిక్ యూనిట్లకు పైగా ఉంది, ఇది చాలా పెద్దదిగా అనిపిస్తుంది. మార్గం ద్వారా, సగటు వ్యక్తి తన మొత్తం జీవితంలో 18 చదరపు మీటర్ల ద్రవానికి సమానమైన గదిని తాగుతాడు, దీనికి విరుద్ధంగా, చాలా చిన్న వాల్యూమ్ అనిపిస్తుంది.

లిరికల్ డైగ్రెషన్ తర్వాత, సృజనాత్మక పనిని పరిష్కరించడం సముచితం:

పంక్తులచే సరిహద్దులుగా ఉన్న ఫ్లాట్ ఫిగర్ అక్షం చుట్టూ తిరిగేటటువంటి శరీరం యొక్క పరిమాణాన్ని లెక్కించండి, , ఎక్కడ .

మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ. బ్యాండ్‌లో అన్ని సందర్భాలు జరుగుతాయని దయచేసి గమనించండి, మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఇంటిగ్రేషన్ యొక్క రెడీమేడ్ పరిమితులు వాస్తవానికి ఇవ్వబడ్డాయి. త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లను సరిగ్గా గీయండి, దాని గురించి పాఠ్యాంశాలను మీకు గుర్తు చేస్తాను గ్రాఫ్‌ల రేఖాగణిత రూపాంతరాలు: వాదనను రెండుగా విభజించినట్లయితే: , అప్పుడు గ్రాఫ్‌లు అక్షం వెంట రెండుసార్లు విస్తరించబడతాయి. కనీసం 3-4 పాయింట్లను కనుగొనడం మంచిది త్రికోణమితి పట్టికల ప్రకారండ్రాయింగ్‌ను మరింత ఖచ్చితంగా పూర్తి చేయడానికి. పాఠం చివరిలో పూర్తి పరిష్కారం మరియు సమాధానం. మార్గం ద్వారా, పని హేతుబద్ధంగా పరిష్కరించబడుతుంది మరియు చాలా హేతుబద్ధంగా కాదు.

భ్రమణం ద్వారా ఏర్పడిన శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ యొక్క గణన
ఒక అక్షం చుట్టూ ఫ్లాట్ ఫిగర్

మొదటి పేరా కంటే రెండవ పేరా మరింత ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది. పరీక్షా పనిలో ఆర్డినేట్ అక్షం చుట్టూ విప్లవం యొక్క శరీర పరిమాణాన్ని లెక్కించే పని కూడా చాలా సాధారణ అతిథి. మార్గంలో ఇది పరిగణించబడుతుంది బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడంలో సమస్యరెండవ పద్ధతి అక్షం వెంట ఏకీకరణ, ఇది మీ నైపుణ్యాలను మెరుగుపరచడానికి మాత్రమే కాకుండా, అత్యంత లాభదాయకమైన పరిష్కార మార్గాన్ని కనుగొనడానికి మీకు నేర్పుతుంది. ఇందులో ప్రాక్టికల్ లైఫ్ అర్థం కూడా ఉంది! గణిత బోధనా పద్ధతులపై నా ఉపాధ్యాయుడు చిరునవ్వుతో గుర్తుచేసుకున్నప్పుడు, చాలా మంది గ్రాడ్యుయేట్లు ఆమెకు ఈ పదాలతో కృతజ్ఞతలు తెలిపారు: "మీ విషయం మాకు చాలా సహాయపడింది, ఇప్పుడు మేము సమర్థవంతమైన నిర్వాహకులు మరియు సిబ్బందిని ఉత్తమంగా నిర్వహిస్తాము." ఈ అవకాశాన్ని సద్వినియోగం చేసుకుంటూ, నేను ఆమెకు నా గొప్ప కృతజ్ఞతలు తెలియజేస్తున్నాను, ప్రత్యేకించి నేను సంపాదించిన జ్ఞానాన్ని దాని ఉద్దేశించిన ప్రయోజనం కోసం ఉపయోగిస్తాను =).

నేను దీన్ని అందరికీ సిఫార్సు చేస్తున్నాను, పూర్తి డమ్మీస్ కూడా. అంతేకాకుండా, రెండవ పేరాలో నేర్చుకున్న అంశాలు డబుల్ ఇంటిగ్రల్స్‌ను లెక్కించడంలో అమూల్యమైన సహాయాన్ని అందిస్తాయి.

పంక్తులతో బంధించబడిన ఫ్లాట్ ఫిగర్ ఇవ్వబడింది, , .

1) ఈ పంక్తులచే సరిహద్దులుగా ఉన్న ఫ్లాట్ ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
2) అక్షం చుట్టూ ఈ పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న ఫ్లాట్ ఫిగర్‌ని తిప్పడం ద్వారా పొందిన శరీర పరిమాణాన్ని కనుగొనండి.

శ్రద్ధ!మీరు రెండవ పాయింట్ మాత్రమే చదవాలనుకున్నా, మొదటిది తప్పక చదవండి!

పరిష్కారం: పని రెండు భాగాలను కలిగి ఉంటుంది. చతురస్రంతో ప్రారంభిద్దాం.

1) డ్రాయింగ్ చేద్దాం:

ఫంక్షన్ పారాబొలా యొక్క ఎగువ శాఖను నిర్దేశిస్తుందని మరియు ఫంక్షన్ పారాబొలా యొక్క దిగువ శాఖను పేర్కొంటుందని చూడటం సులభం. మన ముందు "దాని ప్రక్కన ఉన్న" ఒక అల్పమైన పారాబొలా ఉంది.

కావలసిన బొమ్మ, కనుగొనవలసిన ప్రాంతం, నీలం రంగులో ఉంటుంది.

బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా కనుగొనాలి? ఇది "సాధారణ" మార్గంలో కనుగొనబడుతుంది, ఇది తరగతిలో చర్చించబడింది ఖచ్చితమైన సమగ్ర. ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని ఎలా లెక్కించాలి. అంతేకాకుండా, ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యం ప్రాంతాల మొత్తంగా కనుగొనబడింది:
- విభాగంలో ;
- విభాగంలో.

అందుకే:

ఈ సందర్భంలో సాధారణ పరిష్కారం ఎందుకు చెడ్డది? మొదట, మేము రెండు సమగ్రాలను పొందాము. రెండవది, ఇంటిగ్రల్స్ క్రింద మూలాలు ఉన్నాయి మరియు ఇంటిగ్రల్స్‌లోని మూలాలు బహుమతి కాదు, అంతేకాకుండా, ఏకీకరణ పరిమితులను భర్తీ చేయడంలో మీరు గందరగోళానికి గురవుతారు. వాస్తవానికి, సమగ్రతలు కిల్లర్ కాదు, కానీ ఆచరణలో ప్రతిదీ చాలా విచారంగా ఉంటుంది, నేను సమస్య కోసం “మెరుగైన” ఫంక్షన్‌లను ఎంచుకున్నాను.

మరింత హేతుబద్ధమైన పరిష్కారం ఉంది: ఇది విలోమ ఫంక్షన్లకు మారడం మరియు అక్షం వెంట ఏకీకృతం చేయడం.

విలోమ ఫంక్షన్‌లను ఎలా పొందాలి? స్థూలంగా చెప్పాలంటే, మీరు “x”ని “y” ద్వారా వ్యక్తపరచాలి. మొదట, పారాబొలాను చూద్దాం:

ఇది సరిపోతుంది, కానీ అదే ఫంక్షన్ దిగువ శాఖ నుండి పొందవచ్చని నిర్ధారించుకోండి:

సరళ రేఖతో ఇది సులభం:

ఇప్పుడు అక్షాన్ని చూడండి: దయచేసి మీరు వివరించేటప్పుడు మీ తలను క్రమానుగతంగా కుడివైపు 90 డిగ్రీలకి వంచండి (ఇది జోక్ కాదు!). మనకు అవసరమైన బొమ్మ సెగ్మెంట్లో ఉంది, ఇది ఎరుపు చుక్కల రేఖ ద్వారా సూచించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, సెగ్మెంట్‌లో సరళ రేఖ పారాబొలా పైన ఉంది, అంటే మీకు ఇప్పటికే తెలిసిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యం కనుగొనబడాలి: . ఫార్ములాలో ఏమి మారింది? కేవలం ఒక లేఖ మరియు ఇంకేమీ లేదు.

! గమనిక: అక్షం వెంట ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను సెట్ చేయాలి ఖచ్చితంగా దిగువ నుండి పైకి!

ప్రాంతాన్ని కనుగొనడం:

విభాగంలో, కాబట్టి:

నేను ఏకీకరణను ఎలా నిర్వహించానో దయచేసి గమనించండి, ఇది అత్యంత హేతుబద్ధమైన మార్గం, మరియు పని యొక్క తదుపరి పేరాలో ఎందుకు స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.

ఏకీకరణ యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని అనుమానించే పాఠకుల కోసం, నేను ఉత్పన్నాలను కనుగొంటాను:

అసలైన ఇంటిగ్రండ్ ఫంక్షన్ పొందబడింది, అంటే ఏకీకరణ సరిగ్గా నిర్వహించబడింది.

సమాధానం:

2) అక్షం చుట్టూ ఈ బొమ్మ యొక్క భ్రమణం ద్వారా ఏర్పడిన శరీరం యొక్క పరిమాణాన్ని గణిద్దాం.

నేను కొద్దిగా భిన్నమైన డిజైన్‌లో డ్రాయింగ్‌ను మళ్లీ గీస్తాను:

కాబట్టి, నీలం రంగులో ఉన్న బొమ్మ అక్షం చుట్టూ తిరుగుతుంది. ఫలితంగా దాని అక్షం చుట్టూ తిరిగే "హోవర్ సీతాకోకచిలుక".

భ్రమణ శరీరం యొక్క వాల్యూమ్‌ను కనుగొనడానికి, మేము అక్షం వెంట ఏకీకృతం చేస్తాము. మొదట మనం విలోమ ఫంక్షన్లకు వెళ్లాలి. ఇది ఇప్పటికే జరిగింది మరియు మునుపటి పేరాలో వివరంగా వివరించబడింది.

ఇప్పుడు మన తలను మళ్లీ కుడివైపుకి వంచి, మన బొమ్మను అధ్యయనం చేస్తాము. సహజంగానే, భ్రమణ శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ వాల్యూమ్‌లలో తేడాగా గుర్తించబడాలి.

మేము అక్షం చుట్టూ ఎరుపు రంగులో ఉన్న బొమ్మను తిప్పుతాము, ఫలితంగా కత్తిరించబడిన కోన్ ఏర్పడుతుంది. ఈ సంపుటిని మనం ద్వారా సూచిస్తాము.

మేము అక్షం చుట్టూ ఆకుపచ్చ రంగులో వృత్తాకారంలో ఉన్న బొమ్మను తిప్పుతాము మరియు ఫలితంగా వచ్చే భ్రమణ శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ ద్వారా దాన్ని సూచిస్తాము.

మా సీతాకోకచిలుక వాల్యూమ్ వాల్యూమ్లలో తేడాతో సమానంగా ఉంటుంది.

విప్లవం యొక్క పరిమాణాన్ని కనుగొనడానికి మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

మునుపటి పేరాలోని ఫార్ములా నుండి తేడా ఏమిటి? లేఖలో మాత్రమే.

కానీ నేను ఇటీవల మాట్లాడిన ఇంటిగ్రేషన్ యొక్క ప్రయోజనం కనుగొనడం చాలా సులభం , ముందుగా సమగ్రతను 4వ శక్తికి పెంచడం కంటే.

సమాధానం:

అదే ఫ్లాట్ ఫిగర్ అక్షం చుట్టూ తిప్పినట్లయితే, మీరు సహజంగా భిన్నమైన వాల్యూమ్‌తో పూర్తిగా భిన్నమైన భ్రమణాన్ని పొందుతారు.

పంక్తులు మరియు అక్షంతో సరిహద్దులుగా ఉన్న ఫ్లాట్ ఫిగర్ ఇవ్వబడింది.

1) విలోమ ఫంక్షన్‌లకు వెళ్లి, వేరియబుల్‌పై ఏకీకృతం చేయడం ద్వారా ఈ పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న ప్లేన్ ఫిగర్ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.
2) అక్షం చుట్టూ ఈ పంక్తులతో సరిహద్దులుగా ఉన్న ఫ్లాట్ ఫిగర్‌ను తిప్పడం ద్వారా పొందిన శరీరం యొక్క వాల్యూమ్‌ను లెక్కించండి.

మీరు మీ స్వంతంగా పరిష్కరించుకోవడానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ. ఆసక్తి ఉన్నవారు బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని "సాధారణ" పద్ధతిలో కనుగొనవచ్చు, తద్వారా పాయింట్ 1ని తనిఖీ చేయవచ్చు). అయితే, నేను పునరావృతం చేస్తే, మీరు అక్షం చుట్టూ ఫ్లాట్ ఫిగర్‌ను తిప్పితే, మీరు వేరే వాల్యూమ్‌తో పూర్తిగా భిన్నమైన భ్రమణ శరీరాన్ని పొందుతారు, మార్గం ద్వారా, సరైన సమాధానం (సమస్యలను పరిష్కరించాలనుకునే వారికి కూడా).

టాస్క్ యొక్క రెండు ప్రతిపాదిత పాయింట్లకు పూర్తి పరిష్కారం పాఠం చివరిలో ఉంది.

అవును, మరియు భ్రమణ శరీరాలను మరియు ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను అర్థం చేసుకోవడానికి మీ తలను కుడివైపుకు వంచడం మర్చిపోవద్దు!

నేను కథనాన్ని పూర్తి చేయబోతున్నాను, కానీ ఈ రోజు వారు ఆర్డినేట్ అక్షం చుట్టూ ఉన్న విప్లవం యొక్క పరిమాణాన్ని కనుగొనడానికి ఒక ఆసక్తికరమైన ఉదాహరణను తీసుకువచ్చారు. తాజా:

వక్రతలు మరియు .

పరిష్కారం: డ్రాయింగ్ చేద్దాం:

అలాగే, మేము కొన్ని ఇతర ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లతో పరిచయం పొందుతాము. సరి ఫంక్షన్ యొక్క ఆసక్తికరమైన గ్రాఫ్ ఇక్కడ ఉంది...

I. విప్లవ శరీరాల వాల్యూమ్‌లు. G. M. ఫిఖ్‌టెంగోల్ట్స్ పాఠ్యపుస్తకం నుండి XII అధ్యాయం, 197, 198 పేరాలను ప్రాథమికంగా అధ్యయనం చేయండి * పేరా 198లో ఇవ్వబడిన ఉదాహరణలను వివరంగా విశ్లేషించండి.

508. ఆక్స్ అక్షం చుట్టూ దీర్ఘవృత్తాకారాన్ని తిప్పడం ద్వారా ఏర్పడిన శరీరం యొక్క పరిమాణాన్ని లెక్కించండి.

ఈ విధంగా,

530. సైనూసాయిడ్ ఆర్క్ y = sin x యొక్క ఆక్స్ అక్షం చుట్టూ భ్రమణం ద్వారా ఏర్పడిన ఉపరితల వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి పాయింట్ X = 0 నుండి పాయింట్ X = ఇది.

531. ఎత్తు h మరియు వ్యాసార్థం r తో కోన్ యొక్క ఉపరితల వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి.

532. ఏర్పడిన ఉపరితల వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి

ఆస్ట్రోయిడ్ x3 -)- y* - a3 ఆక్స్ అక్షం చుట్టూ భ్రమణం.

533. ఆక్స్ అక్షం చుట్టూ 18 ug - x (6 - x) z వక్రరేఖ యొక్క లూప్‌ను తిప్పడం ద్వారా ఏర్పడిన ఉపరితల వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి.

534. ఆక్స్ అక్షం చుట్టూ X2 - j - (y-3)2 = 4 వృత్తం యొక్క భ్రమణం ద్వారా ఉత్పత్తి చేయబడిన టోరస్ యొక్క ఉపరితలం కనుగొనండి.

535. ఆక్స్ అక్షం చుట్టూ X = a ఖర్చు, y = asint వృత్తం యొక్క భ్రమణ ద్వారా ఏర్పడిన ఉపరితల వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి.

536. ఆక్స్ అక్షం చుట్టూ x = 9t2, y = St - 9t3 వక్రరేఖ యొక్క లూప్ యొక్క భ్రమణ ద్వారా ఏర్పడిన ఉపరితల వైశాల్యాన్ని లెక్కించండి.

537. ఆక్స్ అక్షం చుట్టూ x = e*sint, y = el ఖరీదు వక్రరేఖ యొక్క ఆర్క్‌ని తిప్పడం ద్వారా ఏర్పడిన ఉపరితల వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి

t = 0 నుండి t = —.

538. Oy అక్షం చుట్టూ సైక్లోయిడ్ ఆర్క్ x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) భ్రమణం ద్వారా ఉత్పత్తి చేయబడిన ఉపరితలం 16 u2 o2కి సమానమని చూపండి.

539. ధ్రువ అక్షం చుట్టూ కార్డియోయిడ్‌ను తిప్పడం ద్వారా పొందిన ఉపరితలాన్ని కనుగొనండి.

540. లెమ్నిస్కేట్ యొక్క భ్రమణం ద్వారా ఏర్పడిన ఉపరితల వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి ధ్రువ అక్షం చుట్టూ.

చాప్టర్ IV కోసం అదనపు టాస్క్‌లు

విమాన బొమ్మల ప్రాంతాలు

541. వక్రరేఖతో సరిహద్దులుగా ఉన్న ప్రాంతం యొక్క మొత్తం ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి మరియు అక్షం ఆక్స్.

542. వక్రరేఖతో సరిహద్దులుగా ఉన్న ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి

మరియు అక్షం ఆక్స్.

543. మొదటి క్వాడ్రంట్‌లో ఉన్న మరియు వక్రరేఖతో సరిహద్దులుగా ఉన్న ప్రాంతం యొక్క భాగాన్ని కనుగొనండి

l కోఆర్డినేట్ అక్షాలు.

544. లోపల ఉన్న ప్రాంతం యొక్క ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి

ఉచ్చులు:

545. వక్రరేఖ యొక్క ఒక లూప్‌తో సరిహద్దులుగా ఉన్న ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి:

546. లూప్ లోపల ఉన్న ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి:

547. వక్రరేఖతో సరిహద్దులుగా ఉన్న ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి

మరియు అక్షం ఆక్స్.

548. వక్రరేఖతో సరిహద్దులుగా ఉన్న ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి

మరియు అక్షం ఆక్స్.

549. Oxr అక్షం సరిహద్దులో ఉన్న ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి

నేరుగా మరియు వంపు

T అనేది ఎగువ అర్ధ-తలంలో ఉన్న కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క అబ్సిస్సా అక్షం చుట్టూ తిరిగే విప్లవం యొక్క శరీరంగా ఉండనివ్వండి మరియు abscissa అక్షం, సరళ రేఖలు x=a మరియు x=b మరియు నిరంతర ఫంక్షన్ y= గ్రాఫ్ ద్వారా పరిమితం చేయబడింది. f(x) .

ఇది అని నిరూపిద్దాం విప్లవం యొక్క శరీరం క్యూబ్ చేయబడింది మరియు దాని వాల్యూమ్ సూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

మొదట, మేము భ్రమణ అక్షానికి లంబంగా ఉన్న Oyz విమానాన్ని \Piగా ఎంచుకుంటే ఈ విప్లవం యొక్క శరీరం రెగ్యులర్ అని నిరూపిస్తాము. Oyz విమానం నుండి x దూరంలో ఉన్న విభాగం f(x) వ్యాసార్థం యొక్క వృత్తం మరియు దాని ప్రాంతం S(x) \pi f^2(x) (Fig. 46)కి సమానం అని గమనించండి. కాబట్టి, f(x) యొక్క కొనసాగింపు కారణంగా S(x) ఫంక్షన్ నిరంతరంగా ఉంటుంది. తదుపరి, ఉంటే S(x_1)\leqslant S(x_2), అప్పుడు దీని అర్థం . కానీ Oyz ప్లేన్‌పై ఉన్న సెక్షన్‌ల ప్రొజెక్షన్‌లు O కేంద్రంతో ఉన్న రేడి f(x_1) మరియు f(x_2) వృత్తాలు, మరియు దీని నుండి f(x_1)\leqslant f(x_2)వ్యాసార్థం f(x_1) యొక్క వృత్తం వ్యాసార్థం f(x_2) వృత్తంలో ఉన్నట్లు ఇది అనుసరిస్తుంది.

కాబట్టి, విప్లవ శరీరం రెగ్యులర్. అందువల్ల, ఇది ఘనం చేయబడింది మరియు దాని వాల్యూమ్ సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

ఒక కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) అనే వక్రరేఖల ద్వారా దిగువ మరియు పైన రెండు సరిహద్దులుగా ఉంటే, అప్పుడు

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\పరిమితి_(a) )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

పారామితి సమీకరణాల ద్వారా తిరిగే ఫిగర్ యొక్క సరిహద్దు పేర్కొనబడినప్పుడు ఫార్ములా (3) విప్లవం యొక్క శరీర పరిమాణాన్ని లెక్కించడానికి కూడా ఉపయోగించవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, మీరు ఖచ్చితమైన సమగ్ర చిహ్నం క్రింద వేరియబుల్ మార్పును ఉపయోగించాలి.

కొన్ని సందర్భాల్లో, భ్రమణ శరీరాలను నేరుగా వృత్తాకార సిలిండర్లుగా కాకుండా, వేరే రకం బొమ్మలుగా కుళ్ళిపోవడం సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణకు, కనుగొనండి ఆర్డినేట్ అక్షం చుట్టూ వంపు తిరిగిన ట్రాపెజాయిడ్‌ను తిప్పడం ద్వారా పొందిన శరీరం యొక్క పరిమాణం. ముందుగా, y# ఎత్తుతో దీర్ఘచతురస్రాన్ని తిప్పడం ద్వారా పొందిన వాల్యూమ్‌ను కనుగొనండి, దాని బేస్ వద్ద సెగ్మెంట్ ఉంటుంది . ఈ వాల్యూమ్ రెండు సరళ వృత్తాకార సిలిండర్ల వాల్యూమ్‌లలోని వ్యత్యాసానికి సమానం

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

కానీ ఇప్పుడు అవసరమైన వాల్యూమ్ పైన మరియు దిగువ నుండి ఈ క్రింది విధంగా అంచనా వేయబడిందని స్పష్టమైంది:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

ఇది ఇక్కడ నుండి సులభంగా అనుసరిస్తుంది ఆర్డినేట్ అక్షం చుట్టూ విప్లవం యొక్క శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ కోసం సూత్రం:

V=2\pi \int\పరిమితి_(a)^(b) xy\,dx\,.

ఉదాహరణ 4. R వ్యాసార్థం ఉన్న బంతి వాల్యూమ్‌ను కనుగొనండి.

పరిష్కారం.సాధారణతను కోల్పోకుండా, మేము మూలం వద్ద దాని కేంద్రంతో R వ్యాసార్థం యొక్క వృత్తాన్ని పరిశీలిస్తాము. ఈ వృత్తం, ఆక్స్ అక్షం చుట్టూ తిరుగుతూ, బంతిని ఏర్పరుస్తుంది. వృత్తం యొక్క సమీకరణం x^2+y^2=R^2, కాబట్టి y^2=R^2-x^2. ఆర్డినేట్ అక్షానికి సంబంధించి సర్కిల్ యొక్క సమరూపతను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము మొదట అవసరమైన వాల్యూమ్‌లో సగం కనుగొంటాము

\frac(1)(2)V= \pi\int\పరిమితి_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\పరిమితి_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \left.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\right))\right|_(0)^(R)= \pi\ !\ఎడమ(R^3- \frac(R^3)(3)\కుడి)= \frac(2)(3)\pi R^3.

అందువల్ల, మొత్తం బంతి పరిమాణం సమానంగా ఉంటుంది \frac(4)(3)\pi R^3.

ఉదాహరణ 5.ఎత్తు h మరియు మూల వ్యాసార్థం r ఉన్న కోన్ వాల్యూమ్‌ను లెక్కించండి.

పరిష్కారం.ఆక్స్ అక్షం ఎత్తు h (Fig. 47)తో సమానంగా ఉండేలా కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను ఎంచుకుందాం మరియు కోన్ యొక్క శీర్షాన్ని కోఆర్డినేట్‌ల మూలంగా తీసుకుందాం. అప్పుడు సరళ రేఖ OA యొక్క సమీకరణం y=\frac(r)(h)\,x రూపంలో వ్రాయబడుతుంది.

ఫార్ములా (3) ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము:

V=\pi \int\పరిమితి_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\పరిమితి_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \left.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\కుడి|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

ఉదాహరణ 6.ఆస్ట్రోయిడ్ యొక్క x-అక్షం చుట్టూ తిరగడం ద్వారా పొందిన శరీర పరిమాణాన్ని కనుగొనండి \begin(కేసులు)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(కేసులు)(Fig. 48).

పరిష్కారం.ఆస్ట్రోయిడ్‌ని నిర్మించుకుందాం. ఆర్డినేట్ అక్షానికి సాపేక్షంగా ఉన్న ఆస్ట్రోయిడ్ ఎగువ భాగంలో సగం భాగాన్ని పరిశీలిద్దాం. ఫార్ములా (3)ని ఉపయోగించి మరియు ఖచ్చితమైన సమగ్ర సంకేతం క్రింద వేరియబుల్‌ని మార్చడం ద్వారా, కొత్త వేరియబుల్ t కోసం ఏకీకరణ యొక్క పరిమితులను మేము కనుగొంటాము.

x=a\cos^3t=0 అయితే, t=\frac(\pi)(2) , మరియు x=a\cos^3t=a అయితే , అప్పుడు t=0 . y^2=a^2\sin^6t మరియు dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, మాకు దొరికింది:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

ఆస్ట్రోయిడ్ యొక్క భ్రమణం ద్వారా ఏర్పడిన మొత్తం శరీరం యొక్క వాల్యూమ్ ఉంటుంది \frac(32\pi)(105)\,a^3.

ఉదాహరణ 7. x-అక్షం మరియు సైక్లోయిడ్ యొక్క మొదటి ఆర్క్‌తో సరిహద్దులుగా ఉన్న కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క ఆర్డినేట్ అక్షం చుట్టూ తిరగడం ద్వారా పొందిన శరీర పరిమాణాన్ని కనుగొనండి. \begin(cases)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(cases).

పరిష్కారం.ఫార్ములా (4) ఉపయోగిస్తాము: V=2\pi \int\పరిమితి_(a)^(b)xy\,dx, మరియు వేరియబుల్ t 0 నుండి 2\piకి మారినప్పుడు సైక్లాయిడ్ యొక్క మొదటి ఆర్క్ ఏర్పడుతుందని పరిగణనలోకి తీసుకుని, సమగ్ర సంకేతం క్రింద వేరియబుల్‌ను భర్తీ చేయండి. ఈ విధంగా,

\begin(aligned)V&= 2\pi \int\పరిమితి_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\పరిమితి_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\పరిమితి_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \ఎడమ.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2 )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\కుడి))\కుడి|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\కుడి)= 6\pi^3a^3. \ ముగింపు (సమలేఖనం చేయబడింది)

విప్లవం యొక్క శరీరాల వాల్యూమ్‌లను కనుగొనడానికి సమగ్రాలను ఉపయోగించడం

గణితం యొక్క ఆచరణాత్మక ఉపయోగం లేకుండా వాస్తవం కారణంగా ఉంది

నిర్దిష్ట గణిత జ్ఞానం పరికరం యొక్క సూత్రాలను మరియు ఆధునిక సాంకేతిక పరిజ్ఞానాన్ని ఉపయోగించడం కష్టతరం చేస్తుంది. తన జీవితంలో ప్రతి వ్యక్తి చాలా క్లిష్టమైన గణనలను నిర్వహించాలి, సాధారణంగా ఉపయోగించే పరికరాలను ఉపయోగించాలి, రిఫరెన్స్ పుస్తకాలలో అవసరమైన సూత్రాలను కనుగొని, సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సాధారణ అల్గారిథమ్‌లను రూపొందించాలి. ఆధునిక సమాజంలో, అధిక స్థాయి విద్య అవసరమయ్యే మరిన్ని ప్రత్యేకతలు గణితం యొక్క ప్రత్యక్ష అనువర్తనంతో ముడిపడి ఉన్నాయి. అందువలన, గణితం విద్యార్థికి వృత్తిపరంగా ముఖ్యమైన సబ్జెక్ట్ అవుతుంది. అల్గోరిథమిక్ ఆలోచన ఏర్పడటంలో ప్రముఖ పాత్ర గణితానికి చెందినది; ఇది ఇచ్చిన అల్గోరిథం ప్రకారం పని చేసే మరియు కొత్త అల్గోరిథంలను నిర్మించే సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేస్తుంది.

విప్లవం యొక్క శరీరాల వాల్యూమ్‌లను లెక్కించడానికి సమగ్రతను ఉపయోగించడం అనే అంశాన్ని అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, ఎలక్టివ్ తరగతులలోని విద్యార్థులు ఈ అంశాన్ని పరిగణించాలని నేను సూచిస్తున్నాను: "ఇంటిగ్రల్స్ ఉపయోగించి విప్లవం యొక్క శరీరాల వాల్యూమ్‌లు." ఈ అంశాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోవడానికి పద్దతి సిఫార్సులు క్రింద ఉన్నాయి:

1. ఫ్లాట్ ఫిగర్ యొక్క ప్రాంతం.

బీజగణితం కోర్సు నుండి, ఆచరణాత్మక స్వభావం యొక్క సమస్యలు ఖచ్చితమైన సమగ్ర భావనకు దారితీశాయని మనకు తెలుసు..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=" >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

ఆక్స్ అక్షం చుట్టూ కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ భ్రమణం ద్వారా ఏర్పడిన భ్రమణ శరీరం యొక్క వాల్యూమ్‌ను కనుగొనడానికి, విరిగిన రేఖ y=f(x), ఆక్స్ అక్షం, సరళ రేఖలు x=a మరియు x=b, మేము గణిస్తాము ఫార్ములా ఉపయోగించి

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3.సిలిండర్ వాల్యూమ్.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">కాలి AC ఉన్న ఆక్స్ అక్షం చుట్టూ ABC (C = 90) కుడి త్రిభుజాన్ని తిప్పడం ద్వారా కోన్ పొందబడుతుంది.

AB విభాగం y=kx+c సరళ రేఖపై ఉంటుంది, ఇక్కడ https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

a=0, b=H (H అనేది కోన్ యొక్క ఎత్తు), ఆపై Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5.ఒక కత్తిరించబడిన కోన్ యొక్క వాల్యూమ్.

ఆక్స్ అక్షం చుట్టూ దీర్ఘచతురస్రాకార ట్రాపెజాయిడ్ ABCD (CDOx)ని తిప్పడం ద్వారా కత్తిరించబడిన కోన్‌ను పొందవచ్చు.

AB సెగ్మెంట్ y=kx+c, ఇక్కడ సరళ రేఖపై ఉంటుంది , c=r.

సరళ రేఖ పాయింట్ A (0;r) గుండా వెళుతుంది కాబట్టి.

అందువలన, సరళ రేఖ https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src="> వలె కనిపిస్తుంది

a=0, b=H (H అనేది కత్తిరించబడిన కోన్ యొక్క ఎత్తు), ఆపై https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src = "> = .

6. బంతి వాల్యూమ్.

ఆక్స్ అక్షం చుట్టూ కేంద్రం (0;0)తో వృత్తాన్ని తిప్పడం ద్వారా బంతిని పొందవచ్చు. ఆక్స్ అక్షం పైన ఉన్న సెమిసర్కిల్ సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.