తార్కిక సమీకరణాలను పరిష్కరించడం. తార్కిక కార్యకలాపాల ప్రాధాన్యత

n వేరియబుల్స్ యొక్క లాజికల్ ఫంక్షన్‌గా ఉండనివ్వండి. తార్కిక సమీకరణం ఇలా కనిపిస్తుంది:

C స్థిరాంకం 1 లేదా 0 విలువను కలిగి ఉంటుంది.

తార్కిక సమీకరణం 0 నుండి వివిధ పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది. C 1కి సమానం అయితే, సొల్యూషన్స్ అనేది ట్రూట్ టేబుల్ నుండి వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని సెట్లు, దీని కోసం F ఫంక్షన్ ట్రూ (1) విలువను తీసుకుంటుంది. మిగిలిన సెట్‌లు సున్నాకి సమానమైన Cతో సమీకరణం యొక్క పరిష్కారాలు. మీరు ఎల్లప్పుడూ ఫారమ్ యొక్క సమీకరణాలను మాత్రమే పరిగణించవచ్చు:

నిజానికి, సమీకరణాన్ని ఇవ్వనివ్వండి:

ఈ సందర్భంలో, మేము సమానమైన సమీకరణానికి వెళ్లవచ్చు:

k తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిగణించండి:

సిస్టమ్‌కు పరిష్కారం అనేది సిస్టమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాలు సంతృప్తి చెందే వేరియబుల్స్ సమితి. తార్కిక ఫంక్షన్ల పరంగా, తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాన్ని పొందడానికి, అసలు ఫంక్షన్ల కలయికను సూచించే తార్కిక ఫంక్షన్ Ф నిజం అయిన సమితిని కనుగొనాలి:

వేరియబుల్స్ సంఖ్య తక్కువగా ఉంటే, ఉదాహరణకు, 5 కంటే తక్కువ, అప్పుడు ఫంక్షన్ కోసం ట్రూత్ టేబుల్‌ను నిర్మించడం కష్టం కాదు, ఇది సిస్టమ్‌లో ఎన్ని పరిష్కారాలు ఉన్నాయి మరియు పరిష్కారాలను అందించే సెట్‌లు ఏమిటో చెప్పడానికి అనుమతిస్తుంది.

తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాలను కనుగొనడంలో కొన్ని USE సమస్యలలో, వేరియబుల్స్ సంఖ్య 10కి చేరుకుంటుంది. అప్పుడు సత్య పట్టికను నిర్మించడం దాదాపు అసాధ్యమైన పని అవుతుంది. సమస్యను పరిష్కరించడానికి వేరే విధానం అవసరం. సమీకరణాల యొక్క ఏకపక్ష వ్యవస్థ కోసం, అటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అనుమతించే గణన కంటే ఇతర సాధారణ పద్ధతి లేదు.

పరీక్షలో ప్రతిపాదించబడిన సమస్యలలో, పరిష్కారం సాధారణంగా సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క ప్రత్యేకతలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. నేను పునరావృతం చేస్తున్నాను, వేరియబుల్స్ సెట్ కోసం అన్ని ఎంపికలను ప్రయత్నించడమే కాకుండా, సమస్యను పరిష్కరించడానికి సాధారణ మార్గం లేదు. సిస్టమ్ యొక్క ప్రత్యేకతల ఆధారంగా పరిష్కారం తప్పనిసరిగా నిర్మించబడాలి. తెలిసిన లాజిక్ చట్టాలను ఉపయోగించి సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క ప్రాథమిక సరళీకరణను నిర్వహించడానికి ఇది తరచుగా ఉపయోగపడుతుంది. ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి మరొక ఉపయోగకరమైన సాంకేతికత క్రింది విధంగా ఉంది. మేము అన్ని సెట్‌లపై ఆసక్తి చూపడం లేదు, కానీ ఫంక్షన్ విలువ 1 కలిగి ఉన్న వాటిపై మాత్రమే. పూర్తి సత్య పట్టికను నిర్మించడానికి బదులుగా, మేము దాని అనలాగ్‌ను నిర్మిస్తాము - బైనరీ డెసిషన్ ట్రీ. ఈ చెట్టు యొక్క ప్రతి శాఖ ఒక పరిష్కారానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది మరియు ఫంక్షన్ విలువ 1 కలిగి ఉన్న సమితిని నిర్దేశిస్తుంది. నిర్ణయం చెట్టులోని శాఖల సంఖ్య సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాల సంఖ్యతో సమానంగా ఉంటుంది.

బైనరీ డెసిషన్ ట్రీ అంటే ఏమిటి మరియు అనేక సమస్యల ఉదాహరణలను ఉపయోగించి అది ఎలా నిర్మించబడుతుందో నేను వివరిస్తాను.

సమస్య 18

రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థను సంతృప్తిపరిచే లాజికల్ వేరియబుల్స్ x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 యొక్క ఎన్ని విభిన్న సెట్ల విలువలు ఉన్నాయి?

సమాధానం: సిస్టమ్ 36 విభిన్న పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది.

పరిష్కారం: సమీకరణాల వ్యవస్థ రెండు సమీకరణాలను కలిగి ఉంటుంది. 5 వేరియబుల్స్ ఆధారంగా మొదటి సమీకరణానికి పరిష్కారాల సంఖ్యను కనుగొనండి - . మొదటి సమీకరణాన్ని 5 సమీకరణాల వ్యవస్థగా పరిగణించవచ్చు. చూపినట్లుగా, సమీకరణాల వ్యవస్థ వాస్తవానికి తార్కిక ఫంక్షన్ల కలయికను సూచిస్తుంది. సంభాషణ ప్రకటన కూడా నిజం - పరిస్థితుల కలయికను సమీకరణాల వ్యవస్థగా పరిగణించవచ్చు.

ఇంప్లికేషన్ () కోసం ఒక నిర్ణయ వృక్షాన్ని రూపొందిద్దాం - సంయోగం యొక్క మొదటి పదం, ఇది మొదటి సమీకరణంగా పరిగణించబడుతుంది. ఈ చెట్టు యొక్క గ్రాఫికల్ ప్రాతినిధ్యం ఇలా ఉంటుంది

సమీకరణంలోని వేరియబుల్స్ సంఖ్య ప్రకారం చెట్టు రెండు స్థాయిలను కలిగి ఉంటుంది. మొదటి స్థాయి మొదటి వేరియబుల్‌ను వివరిస్తుంది. ఈ స్థాయి యొక్క రెండు శాఖలు ఈ వేరియబుల్ యొక్క సాధ్యమైన విలువలను ప్రతిబింబిస్తాయి - 1 మరియు 0. రెండవ స్థాయిలో, చెట్టు యొక్క శాఖలు వేరియబుల్ యొక్క సాధ్యమైన విలువలను మాత్రమే ప్రతిబింబిస్తాయి, దీని కోసం సమీకరణం నిజమైనదిగా అంచనా వేస్తుంది. సమీకరణం అంతరార్థాన్ని నిర్దేశిస్తుంది కాబట్టి, విలువ 1 ఉన్న శాఖకు ఈ శాఖపై 1 విలువ ఉండాలి. 0 విలువ ఉన్న శాఖ 0 మరియు 1కి సమానమైన విలువలతో రెండు శాఖలను ఉత్పత్తి చేస్తుంది. చెట్టు మూడు పరిష్కారాలను నిర్దేశిస్తుంది, వాటిపై తాత్పర్యం విలువను తీసుకుంటుంది 1. ప్రతి శాఖపై, సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని ఇస్తూ సంబంధిత వేరియబుల్ విలువల సమితి వ్రాయబడుతుంది.

ఈ సెట్‌లు: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))

కింది సమీకరణాన్ని, కింది అంతరార్థాన్ని జోడించడం ద్వారా నిర్ణయ వృక్షాన్ని నిర్మించడాన్ని కొనసాగిద్దాం. మా సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క విశిష్టత ఏమిటంటే, సిస్టమ్ యొక్క ప్రతి కొత్త సమీకరణం మునుపటి సమీకరణం నుండి ఒక వేరియబుల్‌ని ఉపయోగిస్తుంది, ఒక కొత్త వేరియబుల్‌ని జోడిస్తుంది. వేరియబుల్ ఇప్పటికే చెట్టులో విలువలను కలిగి ఉన్నందున, వేరియబుల్ 1 విలువను కలిగి ఉన్న అన్ని శాఖలలో, వేరియబుల్ కూడా 1 విలువను కలిగి ఉంటుంది. అటువంటి శాఖల కోసం, చెట్టు నిర్మాణం తదుపరి స్థాయికి కొనసాగుతుంది, కానీ కొత్త శాఖలు కనిపించడం లేదు. వేరియబుల్ 0 విలువను కలిగి ఉన్న ఒకే శాఖ రెండు శాఖలుగా విభజించబడుతుంది, ఇక్కడ వేరియబుల్ 0 మరియు 1 విలువలను అందుకుంటుంది. అందువలన, కొత్త సమీకరణం యొక్క ప్రతి జోడింపు, దాని ప్రత్యేకతను బట్టి, ఒక పరిష్కారాన్ని జోడిస్తుంది. అసలు మొదటి సమీకరణం:

6 పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది. ఈ సమీకరణం కోసం పూర్తి నిర్ణయ వృక్షం ఎలా ఉంటుందో ఇక్కడ ఉంది:

మా సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణం మొదటి దానికి సమానంగా ఉంటుంది:

ఒకే తేడా ఏమిటంటే సమీకరణం Y వేరియబుల్స్‌ని ఉపయోగిస్తుంది.ఈ సమీకరణంలో 6 పరిష్కారాలు కూడా ఉన్నాయి. ప్రతి వేరియబుల్ సొల్యూషన్‌ను ప్రతి వేరియబుల్ సొల్యూషన్‌తో కలపవచ్చు కాబట్టి, మొత్తం పరిష్కారాల సంఖ్య 36.

దయచేసి నిర్మిత నిర్ణయ చెట్టు పరిష్కారాల సంఖ్య (శాఖల సంఖ్య ప్రకారం) మాత్రమే కాకుండా, చెట్టు యొక్క ప్రతి శాఖపై వ్రాసిన పరిష్కారాలను కూడా ఇస్తుంది.

సమస్య 19

x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 లాజికల్ వేరియబుల్స్ యొక్క ఎన్ని విభిన్న సెట్ల విలువలు క్రింద జాబితా చేయబడిన అన్ని షరతులను సంతృప్తిపరుస్తాయి?

ఈ టాస్క్ మునుపటి పనికి సవరణ. తేడా ఏమిటంటే X మరియు Y వేరియబుల్స్‌కు సంబంధించి మరొక సమీకరణం జోడించబడింది.

ఇది సమీకరణం నుండి 1 విలువను కలిగి ఉన్నప్పుడు (అటువంటి ఒక పరిష్కారం ఉంది), అప్పుడు అది 1 విలువను కలిగి ఉంటుంది. అందువలన, ఒక సెట్ ఉంది మరియు 1 విలువలను కలిగి ఉంటుంది. 0కి సమానమైనప్పుడు, అది చేయవచ్చు 0 మరియు మరియు 1 రెండింటిలో ఏదైనా విలువను కలిగి ఉంటాయి. కాబట్టి, ప్రతి సెట్ 0కి సమానం మరియు 5 అటువంటి సెట్‌లు ఉన్నాయి, Y వేరియబుల్స్‌తో మొత్తం 6 సెట్‌లకు అనుగుణంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, మొత్తం పరిష్కారాల సంఖ్య 31.

సమస్య 20

పరిష్కారం: ప్రాథమిక సమానత్వాలను గుర్తుంచుకోవడం, మేము మా సమీకరణాన్ని ఇలా వ్రాస్తాము:

చిక్కుల చక్రీయ గొలుసు అంటే వేరియబుల్స్ ఒకేలా ఉంటాయి కాబట్టి మన సమీకరణం సమీకరణానికి సమానం:

అన్నీ 1 లేదా 0 అయినప్పుడు ఈ సమీకరణానికి రెండు పరిష్కారాలు ఉంటాయి.

సమస్య 21

సమీకరణం ఎన్ని పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది:

పరిష్కారం: సమస్య 20లో వలె, మేము చక్రీయ చిక్కుల నుండి గుర్తింపుల వైపుకు వెళ్తాము, ఈ రూపంలో సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాస్తాము:

ఈ సమీకరణం కోసం నిర్ణయ వృక్షాన్ని రూపొందిద్దాం:

సమస్య 22

కింది సమీకరణాల వ్యవస్థ ఎన్ని పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది?

ఏడాది చివర్లో, మూడు అంచనాలలో ఒకటి మాత్రమే నిజమని తేలింది. సంవత్సరం చివరిలో ఏయే విభాగాలు లాభాలను ఆర్జించాయి?

పరిష్కారం. సమస్య పరిస్థితుల నుండి ఊహలను తార్కిక ప్రకటనల రూపంలో వ్రాస్దాం: "B డివిజన్ ద్వారా లాభం పొందడం అనేది పొందేందుకు అవసరమైన షరతు కాదు.

విభజన ద్వారా లాభం A ":F 1 (A, B, C) = A → B

“లాభాన్ని ఆర్జించడానికి డివిజన్ Aకి కనీసం ఒక డివిజన్ B మరియు C నుండి లాభం పొందడం సరిపోదు”: F 2 (A, B, C) = (B + C) → A

"A మరియు B విభాగాలు ఒకే సమయంలో లాభం పొందవు": F 3 (A, B, C) = A B

మూడు ఊహల్లో ఒక్కటి మాత్రమే నిజమని షరతును బట్టి తెలిసింది. దీనర్థం, కింది మూడు తార్కిక వ్యక్తీకరణలలో ఏది ఒకేలా తప్పు కాదని మనం కనుగొనాలి:

1) F 1F 2F 3

2) F 1F 2F 3

3) F 1F 2F 3

1) (A→ B) ((B+ C) → A) (A↔ B) = A B(B C+ A) (A B+ A B) = 0

2) (A→ B) ((B+ C) → A) (A↔ B) = (A+ B) (A B+ A C) (A B+ A B) = A B C

3) (A→ B) ((B+ C) → A) (A B) = (A+ B) (B C+ A) (A B+ A B) = 0

పర్యవసానంగా, సంవత్సరం చివరిలో, రెండవ ఊహ నిజమని తేలింది మరియు మొదటి మరియు మూడవది తప్పు.

అందువల్ల, డివిజన్ C లాభం పొందుతుంది, కానీ A మరియు B విభాగాలు లాభం పొందవు.

లాజిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం

రాష్ట్ర కేంద్రీకృత పరీక్ష యొక్క పాఠాలలో టాస్క్ (A8) ఉంది, ఇది తార్కిక సమీకరణం యొక్క మూలాన్ని కనుగొనమని అడుగుతుంది. ఒక ఉదాహరణను ఉపయోగించి అటువంటి పనులను పరిష్కరించడానికి మార్గాలను చూద్దాం.

తార్కిక సమీకరణం యొక్క మూలాన్ని కనుగొనండి: (A + B)(X AB) = B + X → A.

సత్య పట్టికను నిర్మించడం మొదటి పరిష్కారం. సమీకరణం యొక్క కుడి మరియు ఎడమ వైపుల కోసం సత్య పట్టికలను రూపొందించండి మరియు ఈ పట్టికల చివరి నిలువు వరుసలలో ఏ X విలువలు ఏకీభవిస్తాయో చూద్దాం.

F1 (A, B, X) = (A+ B)(X AB)

F2 (A, B, X) = B+ X→ A

ఫలితంగా వచ్చే సత్య పట్టికలను సరిపోల్చండి మరియు F 1 (A, B, X) మరియు F 2 (A, B, X) విలువలు కలిసే వరుసలను ఎంచుకుందాం.

ఆర్గ్యుమెంట్ నిలువు వరుసలను మాత్రమే వదిలి, ఎంచుకున్న అడ్డు వరుసలను మాత్రమే తిరిగి వ్రాద్దాం. A మరియు B యొక్క ఫంక్షన్‌గా వేరియబుల్ Xని చూద్దాం.

సహజంగానే, X = B → A.

రెండవ పరిష్కారం సమీకరణంలోని సమాన చిహ్నాన్ని సమానమైన గుర్తుతో భర్తీ చేయడం, ఆపై ఫలిత తార్కిక సమీకరణాన్ని సులభతరం చేయడం.

తదుపరి పనిని సులభతరం చేయడానికి, మొదట తార్కిక సమీకరణం యొక్క కుడి మరియు ఎడమ వైపులను సరళీకృతం చేద్దాం మరియు వాటి ప్రతికూలతలను కనుగొనండి:

F1 = (A+ B)(X AB) = A+ B+ (X↔ AB) = A B+ X A B+ X A+ X B

F1 = (A+ B)(X AB) = (A+ B)(X A+ X B+ X A B) = X A B+ X A B+ X A B

F2 = B+ X→ A= B(X→ A) = B(X+ A) = X B+ A B F2 = B+ X→ A= B+ X+ A= B+ X A

మన తార్కిక సమీకరణంలో సమాన చిహ్నాన్ని సమాన గుర్తుతో భర్తీ చేద్దాం:

F1 ↔ F2 = F1 F2 + F1 F2 = (A B+ X A B+ X A+ X B) (X B+ A B) +

+ (X A B+ X A B+ X A B) (B+ X A) =

= (X A B+ X B+ X A B) + (X A B+ X A B) =

X మరియు X కారకాలను బ్రాకెట్‌ల నుండి తీసివేసి, ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క తార్కిక నిబంధనలను తిరిగి అమర్చండి.

X(A B) + X(B+ AB) = X(A B) + X(B+ A) =

అప్పుడు T = A B ని సూచిస్తాము

X T+ X T= X↔ T.

కాబట్టి, తార్కిక సమీకరణానికి ఒక పరిష్కారం ఉంటుంది: X = A B = B + A = B → A.

కంప్యూటర్ లాజిక్ అంశాలు. ఫంక్షనల్ రేఖాచిత్రాల నిర్మాణం

కంప్యూటర్ టెక్నాలజీ అభివృద్ధితో, గణిత తర్కం కంప్యూటర్ టెక్నాలజీ రూపకల్పన మరియు ప్రోగ్రామింగ్ సమస్యలతో దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉంది. తర్కం యొక్క బీజగణితం అభివృద్ధిలో ప్రారంభంలో విస్తృత అనువర్తనాన్ని కనుగొంది రిలే పరిచయంపథకాలు బూలియన్ బీజగణితాన్ని ఉపయోగించి ఎలక్ట్రికల్ సర్క్యూట్‌లను విశ్లేషించే అవకాశంపై కంప్యూటర్ డిజైన్‌లో పాల్గొన్న ఇంజనీర్ల దృష్టిని ఆకర్షించిన మొదటి ప్రాథమిక పరిశోధన డిసెంబర్ 1938లో అమెరికన్ క్లాడ్ షానన్చే ప్రచురించబడింది, "నిచ్చెన సర్క్యూట్ల సింబాలిక్ అనాలిసిస్." ఈ కథనం తర్వాత, బూలియన్ బీజగణితాన్ని ఉపయోగించకుండా కంప్యూటర్ డిజైన్ చేయడం సాధ్యం కాదు.

లాజిక్ ఎలిమెంట్డిస్జంక్షన్, సంయోగం మరియు విలోమం యొక్క తార్కిక కార్యకలాపాలను అమలు చేసే సర్క్యూట్. పాఠశాల భౌతిక కోర్సు నుండి మీకు తెలిసిన ఎలక్ట్రికల్ రిలే-కాంటాక్ట్ సర్క్యూట్ల ద్వారా తార్కిక మూలకాల అమలును పరిశీలిద్దాం.

పరిచయాల సీరియల్ కనెక్షన్

పరిచయాల సమాంతర కనెక్షన్

పరిచయాల యొక్క అన్ని సాధ్యమైన స్థితులపై సర్క్యూట్ల స్థితిపై ఆధారపడే పట్టికను కంపైల్ చేద్దాం. కింది సంజ్ఞామానాలను పరిచయం చేద్దాం: 1 - పరిచయం మూసివేయబడింది, సర్క్యూట్లో కరెంట్ ఉంది; 0 - పరిచయం తెరవబడింది, సర్క్యూట్లో కరెంట్ లేదు.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, సీరియల్ కనెక్షన్‌తో కూడిన సర్క్యూట్ సంయోగం యొక్క తార్కిక ఆపరేషన్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే A మరియు B పరిచయాలు ఏకకాలంలో మూసివేయబడినప్పుడు మాత్రమే సర్క్యూట్‌లోని కరెంట్ కనిపిస్తుంది. సమాంతర కనెక్షన్ ఉన్న సర్క్యూట్ డిస్జంక్షన్ యొక్క తార్కిక ఆపరేషన్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే రెండు పరిచయాలు తెరిచిన క్షణంలో మాత్రమే సర్క్యూట్‌లో కరెంట్ ఉండదు.

విలోమం యొక్క తార్కిక ఆపరేషన్ విద్యుదయస్కాంత రిలే యొక్క కాంటాక్ట్ సర్క్యూట్ ద్వారా అమలు చేయబడుతుంది, దీని సూత్రం పాఠశాల భౌతిక కోర్సులో అధ్యయనం చేయబడుతుంది. x మూసివేయబడినప్పుడు పరిచయం x తెరవబడి ఉంటుంది మరియు వైస్ వెర్సా.

తక్కువ విశ్వసనీయత, పెద్ద కొలతలు, అధిక శక్తి వినియోగం మరియు తక్కువ పనితీరు కారణంగా కంప్యూటర్ల లాజికల్ సర్క్యూట్‌లను నిర్మించడానికి రిలే కాంటాక్ట్ ఎలిమెంట్‌ల ఉపయోగం సమర్థించబడలేదు. ఎలక్ట్రానిక్ పరికరాల ఆగమనం (వాక్యూమ్ మరియు సెమీకండక్టర్) సెకనుకు 1 మిలియన్ స్విచింగ్‌ల వేగంతో లాజిక్ మూలకాలను నిర్మించే అవకాశాన్ని సృష్టించింది. సెమీకండక్టర్ లాజిక్ మూలకాలు విద్యుదయస్కాంత రిలే మాదిరిగానే స్విచ్ మోడ్‌లో పనిచేస్తాయి. కాంటాక్ట్ సర్క్యూట్ల కోసం సమర్పించబడిన మొత్తం సిద్ధాంతం సెమీకండక్టర్ మూలకాలకు బదిలీ చేయబడుతుంది. సెమీకండక్టర్లపై లాజిక్ అంశాలు పరిచయాల స్థితి ద్వారా కాకుండా, ఇన్పుట్ మరియు అవుట్పుట్ వద్ద సంకేతాల ఉనికి ద్వారా వర్గీకరించబడతాయి.

ప్రాథమిక తార్కిక కార్యకలాపాలను అమలు చేసే తార్కిక అంశాలను పరిశీలిద్దాం:

ఫంక్షన్‌కు సంబంధించిన రేఖాచిత్రం:

&F(X, Y, Z)

కంజుక్టివ్ నార్మల్ ఉపయోగించి సమస్యలను పరిష్కరించడం

మరియు విచ్ఛేద-సాధారణరూపాలు

IN లాజిక్ సమస్య పుస్తకాలు తరచుగా ప్రామాణిక సమస్యలను కలిగి ఉంటాయి, ఇక్కడ మీరు అమలు చేసే ఫంక్షన్‌ను వ్రాయాలినిచ్చెన రేఖాచిత్రం, దానిని సరళీకృతం చేయండి మరియు ఈ ఫంక్షన్ కోసం సత్య పట్టికను నిర్మించండి. విలోమ సమస్యను ఎలా పరిష్కరించాలి? ఏకపక్ష సత్య పట్టికను అందించినందున, మీరు ఫంక్షనల్ లేదా రిలే రేఖాచిత్రాన్ని రూపొందించాలి. మేము ఈ రోజు ఈ సమస్యను పరిష్కరిస్తాము.

ఏదైనా లాజికల్ ఆల్జీబ్రా ఫంక్షన్‌ని మూడు ఆపరేషన్ల కలయికతో సూచించవచ్చు: సంయోగం, డిస్‌జంక్షన్ మరియు విలోమం. ఇది ఎలా జరుగుతుందో తెలుసుకుందాం. దీన్ని చేయడానికి, కొన్ని నిర్వచనాలను వ్రాస్దాం.

మింటర్మ్ అనేది నిర్దిష్ట సంఖ్యలో వేరియబుల్స్ లేదా వాటి నిరాకరణల కలయికతో ఏర్పడిన ఫంక్షన్. Minterm అన్ని సాధ్యం సెట్‌లలో ఒకదానికి మాత్రమే విలువ 1ని తీసుకుంటుంది

ఆర్గ్యుమెంట్‌లు, మరియు మిగతా వాటికి విలువ 0. ఉదాహరణ: x 1 x 2 x 3 x 4 .

మాక్స్‌టెర్మ్ అనేది నిర్దిష్ట సంఖ్యలో వేరియబుల్స్ లేదా వాటి నిరాకరణల విభజన ద్వారా ఏర్పడిన ఫంక్షన్. Maxterm సాధ్యమయ్యే సెట్‌లలో ఒకదానిలో విలువ 0ని మరియు మిగతా అన్నింటిలో 1ని తీసుకుంటుంది.

ఉదాహరణ: x 1 + x 2 + x 3.

లో ఫంక్షన్ విచ్ఛేద సాధారణ రూపం(DNF) అనేది minterms యొక్క తార్కిక మొత్తం.

ఉదాహరణ: x 1x 2+ x 1x 2+ x 1x 2x 3.

సంయోగ సాధారణ రూపం(CNF) అనేది ఎలిమెంటరీ డిస్‌జంక్షన్‌ల (మాక్స్‌టర్మ్స్) యొక్క తార్కిక ఉత్పత్తి.

ఉదాహరణ: (x 1+ x 2+ x 3) (x 1+ x 2) .

పర్ఫెక్ట్ డిజంక్టివ్ సాధారణ రూపం DNF అని పిలుస్తారు, ప్రతి minterm లో అన్ని వేరియబుల్స్ లేదా వాటి ప్రతికూలతలు ఉంటాయి.

ఉదాహరణ: x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3

సంపూర్ణ సంయోగ సాధారణ రూపం అన్ని వేరియబుల్స్ లేదా వాటి నిరాకరణలు ఉన్న ప్రతి మాక్స్‌టర్మ్‌లో CNF అంటారు.

ఉదాహరణ: (x 1+ x 2+ x 3) (x 1+ x 2+ x 3)

పట్టిక నుండి తార్కిక విధిని వ్రాయడం

ఏదైనా లాజికల్ ఫంక్షన్‌ను SDNF లేదా SCNFగా వ్యక్తీకరించవచ్చు. ఉదాహరణగా, పట్టికలో అందించిన ఫంక్షన్ fని పరిగణించండి.

G0, G1, G4, G5, G7 విధులు minterms (నిర్వచనం చూడండి). ఈ ఫంక్షన్లలో ప్రతి ఒక్కటి మూడు వేరియబుల్స్ లేదా వాటి విలోమాల ఉత్పత్తి మరియు ఒక సందర్భంలో మాత్రమే విలువ 1ని తీసుకుంటుంది. f ఫంక్షన్ విలువలో 1ని పొందడానికి, ఒక minterm అవసరమని చూడవచ్చు. పర్యవసానంగా, ఈ ఫంక్షన్ యొక్క SDNFని రూపొందించే minterms సంఖ్య ఫంక్షన్ విలువలోని యూనిట్ల సంఖ్యకు సమానం: f= G0+G1+G4+G5+G7. అందువలన, SDNF రూపం కలిగి ఉంది:

f (x 1, x 2, x 3) = x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3+ x 1x 2x 3.

అదేవిధంగా, మీరు SKNFని నిర్మించవచ్చు. కారకాల సంఖ్య ఫంక్షన్ విలువలలోని సున్నాల సంఖ్యకు సమానం:

f (x 1, x 2, x 3) = (x 1+ x 2+ x 3) (x 1+ x 2+ x 3) (x 1+ x 2+ x 3) .

అందువలన, పట్టిక రూపంలో ఇవ్వబడిన ఏదైనా తార్కిక విధిని ఫార్ములాగా వ్రాయవచ్చు.

సత్య పట్టికను ఉపయోగించి SDNFని నిర్మించడానికి అల్గారిథమ్

కొన్ని ఫంక్షన్ యొక్క సత్య పట్టిక ఇవ్వబడింది. SDNFని నిర్మించడానికి, మీరు క్రింది దశల క్రమాన్ని తప్పనిసరిగా చేయాలి:

1. ఫంక్షన్ విలువ 1ని తీసుకునే అన్ని టేబుల్ అడ్డు వరుసలను ఎంచుకోండి.

2. అటువంటి ప్రతి పంక్తికి, అన్ని ఆర్గ్యుమెంట్‌లు లేదా వాటి విలోమాలు (మింటర్మ్) యొక్క సంయోగాన్ని కేటాయించండి. ఈ సందర్భంలో, 0 విలువను తీసుకునే వాదన నిరాకరణతో మింటర్మ్‌లో చేర్చబడుతుంది మరియు విలువ 1 నిరాకరణ లేకుండా చేర్చబడుతుంది.

3. చివరగా, మేము పొందిన అన్ని మింటర్మ్‌ల విభజనను ఏర్పరుస్తాము. మింటర్మ్‌ల సంఖ్య తప్పనిసరిగా లాజికల్ ఫంక్షన్ యొక్క యూనిట్ల సంఖ్యతో సరిపోలాలి.

సత్య పట్టికను ఉపయోగించి SCNFని నిర్మించడానికి అల్గోరిథం

కొన్ని ఫంక్షన్ యొక్క సత్య పట్టిక ఇవ్వబడింది. SKNFని నిర్మించడానికి, మీరు ఈ క్రింది దశల క్రమాన్ని చేయాలి:

1. ఫంక్షన్ విలువ 0ని తీసుకునే పట్టికలోని అన్ని అడ్డు వరుసలను ఎంచుకోండి.

2. అటువంటి ప్రతి పంక్తి కోసం, అన్ని ఆర్గ్యుమెంట్‌లు లేదా వాటి విలోమాలు (గరిష్టంగా) యొక్క విభజనను కేటాయించండి. ఈ సందర్భంలో, విలువ 1ని తీసుకునే వాదన మాక్స్‌టర్మ్‌లో నిరాకరణతో చేర్చబడుతుంది మరియు విలువ 1 నిరాకరణ లేకుండా చేర్చబడుతుంది.

3. చివరగా, మేము పొందిన అన్ని మాక్స్‌టర్మ్‌ల కలయికను ఏర్పరుస్తాము. మాక్స్‌టర్మ్‌ల సంఖ్య తప్పనిసరిగా లాజికల్ ఫంక్షన్ యొక్క సున్నాల సంఖ్యతో సరిపోలాలి.

మేము రెండు ఫారమ్‌ల నుండి (SDNF లేదా SKNF) తక్కువ అక్షరాలను కలిగి ఉన్న వాటికి ప్రాధాన్యత ఇవ్వడానికి అంగీకరిస్తే, ట్రూట్ టేబుల్ ఫంక్షన్ యొక్క విలువలలో తక్కువ వాటిని కలిగి ఉంటే SDNF ఉత్తమం, SKNF - తక్కువ సున్నాలు ఉంటే.

ఉదాహరణ. మూడు వేరియబుల్స్ యొక్క లాజికల్ ఫంక్షన్ యొక్క సత్య పట్టిక ఇవ్వబడింది. ఈ ఫంక్షన్‌ను అమలు చేసే తార్కిక సూత్రాన్ని రూపొందించండి.

ఈ సత్యం పట్టికలో ఫంక్షన్ విలువ 0 ఉన్న అడ్డు వరుసలను ఎంచుకుందాం.

F(A, B, C) = (A+ B+ C) (A+ B+ C)

సత్య పట్టికను సృష్టించడం ద్వారా ఉత్పన్నమైన ఫంక్షన్‌ని తనిఖీ చేద్దాం.

ప్రారంభ మరియు చివరి సత్య పట్టికలను పోల్చడం ద్వారా, లాజికల్ ఫంక్షన్ సరిగ్గా నిర్మించబడిందని మేము నిర్ధారించగలము.

సమస్య పరిష్కారం

1. ముగ్గురు ఉపాధ్యాయులు ఒలింపియాడ్ కోసం సమస్యలను ఎంపిక చేస్తారు. ఎంచుకోవడానికి అనేక పనులు ఉన్నాయి. ప్రతి పని కోసం, ప్రతి ఉపాధ్యాయుడు తన అభిప్రాయాన్ని వ్యక్తపరుస్తాడు: సులభమైన (0) లేదా కష్టమైన (1) పని. ఒలింపియాడ్ టాస్క్‌లో కనీసం ఇద్దరు ఉపాధ్యాయులు కష్టమని గుర్తించినట్లయితే ఒక పని చేర్చబడుతుంది, కానీ ముగ్గురు ఉపాధ్యాయులు దానిని కష్టంగా భావిస్తే, అలాంటి పనిని ఒలింపియాడ్ టాస్క్‌లో చాలా కష్టంగా చేర్చలేదు. ఒలింపియాడ్ టాస్క్‌లో టాస్క్ చేర్చబడితే 1 మరియు చేర్చబడకపోతే 0 అవుట్‌పుట్ చేసే పరికరం యొక్క లాజికల్ రేఖాచిత్రాన్ని రూపొందించండి.

కోరుకున్న ఫంక్షన్ కోసం ట్రూత్ టేబుల్‌ని రూపొందిద్దాం. మాకు మూడు ఇన్‌పుట్ వేరియబుల్స్ (ముగ్గురు ఉపాధ్యాయులు) ఉన్నాయి. కాబట్టి, అవసరమైన ఫంక్షన్ మూడు వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్ అవుతుంది.

సమస్య పరిస్థితిని విశ్లేషించడం ద్వారా, మేము ఈ క్రింది సత్య పట్టికను పొందుతాము:

మేము SDNFని నిర్మిస్తున్నాము. F(A, B, C) = ABC+ ABC+ ABC

ఇప్పుడు మనం ఈ ఫంక్షన్ యొక్క తార్కిక రేఖాచిత్రాన్ని నిర్మిస్తాము.

B&1F(A,B,C)

2. కంప్యూటర్ సైన్స్ యొక్క ప్రాథమిక కోర్సులో సిటీ ఒలింపియాడ్, 2007.మూడు అంతస్తుల ఇంటి ప్రవేశ ద్వారం కోసం ఒక ఎలక్ట్రికల్ సర్క్యూట్ రేఖాచిత్రాన్ని నిర్మించండి, ఏ అంతస్తులోనైనా స్విచ్ మొత్తం ఇంటిలోని లైట్లను ఆన్ లేదా ఆఫ్ చేయగలదు.

కాబట్టి, మనకు మూడు స్విచ్‌లు ఉన్నాయి, వీటిని మనం లైట్ ఆన్ మరియు ఆఫ్ చేయడానికి తప్పనిసరిగా ఉపయోగించాలి. ప్రతి స్విచ్ రెండు స్థితులను కలిగి ఉంటుంది: పైకి (0) మరియు క్రిందికి (1). మూడు స్విచ్‌లు స్థానం 0లో ఉంటే, ప్రవేశ ద్వారంలోని లైట్లు ఆపివేయబడిందని అనుకుందాం. అప్పుడు, మీరు మూడు స్విచ్‌లలో దేనినైనా 1వ స్థానానికి తరలించినప్పుడు, ప్రవేశ ద్వారంలోని కాంతి వెలిగించాలి. సహజంగానే, మీరు ఏదైనా ఇతర స్విచ్‌ని స్థానం 1కి తరలించినప్పుడు, ప్రవేశ ద్వారంలోని లైట్ ఆఫ్ అవుతుంది. మూడవ స్విచ్ స్థానం 1కి మారినట్లయితే, ప్రవేశద్వారంలోని కాంతి ఆన్ అవుతుంది. మేము సత్య పట్టికను నిర్మిస్తాము.

అప్పుడు, F(A, B, C) = ABC+ ABC+ ABC+ ABC.

గమనిక. ఈ సమస్యను విజయవంతంగా పరిష్కరించడానికి, క్రింది తార్కిక సూత్రాలను గుర్తుంచుకోండి:

x → y= x+ y x y= x y+ x y

x ↔ y= x y+ x y

మనకు F 1 (A, B, C) = C → A + B = C + A B అనే మూడు వేరియబుల్స్ యొక్క లాజికల్ ఫంక్షన్ ఇవ్వబడింది.

వేరియబుల్స్ B మరియు Cలను ఏకకాలంలో మారుద్దాం: F 2 (A, B, C) = F 1 (A, B, C) = C + A B. ఈ రెండు ఫంక్షన్‌ల కోసం సత్య పట్టికలను రూపొందిద్దాం:

ఫలిత పట్టికను విశ్లేషిద్దాం. పట్టికలోని ఎనిమిది వరుసలలో, రెండు (2వ మరియు 3వ)లో మాత్రమే ఫంక్షన్ దాని విలువను మార్చదు. ఈ పంక్తులలో, వేరియబుల్ A దాని విలువను రివర్స్ చేయదు, కానీ వేరియబుల్స్ B మరియు C చేస్తుంది.

మేము ఈ పంక్తులను ఉపయోగించి SKNF ఫంక్షన్‌లను నిర్మిస్తాము:

F3 (A, B, C) = (A+ B+ C) (A+ B C) = A+ AB+ AC+ AB+ BC+ AC+ B C= .

A+ (B↔ C) = A+ B C= (B C) → A

కాబట్టి, కావలసిన సమాధానం 4.

4. లాజికల్ ఫంక్షన్ విలువను మార్చడానికి షరతు F (A, B, C) = C + AB అయితే A మరియు B ఆర్గ్యుమెంట్‌లను ఏకకాలంలో మార్చడం దీనికి సమానం:

ఫలిత పట్టికను విశ్లేషిద్దాం. పట్టికలోని ఎనిమిది వరుసలలో, రెండు (1వ మరియు 7వ)లో మాత్రమే ఫంక్షన్ దాని విలువను మారుస్తుంది. దయచేసి ఈ పంక్తులలో, వేరియబుల్ C దాని విలువను మార్చదు, కానీ వేరియబుల్స్ A మరియు B మారుతాయి.

మేము ఈ పంక్తులను ఉపయోగించి SDNF ఫంక్షన్‌లను నిర్మిస్తాము:

F3 (A, B, C) = A B C+ A B C= C(A B+ A B) = C(A↔ B) = C+ (A B)

కాబట్టి, కావలసిన సమాధానం 2.

ప్రస్తావనలు

1. షాపిరో ఎస్.ఐ. తార్కిక మరియు గేమింగ్ సమస్యలను పరిష్కరించడం(తార్కిక మరియు మానసిక అధ్యయనాలు). – M.: రేడియో అండ్ కమ్యూనికేషన్స్, 1984. – 152 p.

2. షోలోమోవ్ L.A. వివిక్త తార్కిక మరియు కంప్యూటింగ్ పరికరాల సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు. - M.: సైన్స్. చ. ed. భౌతిక - చాప. లిట్., 1980. - 400 p.

3. పుఖాల్స్కీ G.I., నోవోసెల్ట్సేవా T.Ya. ఇంటిగ్రేటెడ్ సర్క్యూట్‌లపై వివిక్త పరికరాల రూపకల్పన: హ్యాండ్‌బుక్. – M.: రేడియో మరియు కమ్యూనికేషన్స్, 1990.

తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులు

కిర్గిజోవా E.V., నెమ్కోవా A.E.

లెసోసిబిర్స్క్ పెడగోగికల్ ఇన్స్టిట్యూట్ -

రష్యాలోని సైబీరియన్ ఫెడరల్ యూనివర్సిటీ శాఖ

స్థిరంగా ఆలోచించడం, నమ్మకంగా వాదించడం, పరికల్పనలను రూపొందించడం మరియు ప్రతికూల తీర్మానాలను తిరస్కరించే సామర్థ్యం దాని స్వంతదానిపై రాదు; ఈ నైపుణ్యం తర్కం యొక్క శాస్త్రం ద్వారా అభివృద్ధి చేయబడింది. లాజిక్ అనేది ఇతర ప్రకటనల యొక్క నిజం లేదా అబద్ధం ఆధారంగా కొన్ని స్టేట్‌మెంట్‌ల యొక్క నిజం లేదా అబద్ధాన్ని స్థాపించే పద్ధతులను అధ్యయనం చేసే శాస్త్రం.

తార్కిక సమస్యలను పరిష్కరించకుండా ఈ శాస్త్రం యొక్క ప్రాథమికాలను నేర్చుకోవడం అసాధ్యం. ఒక కొత్త పరిస్థితిలో ఒకరి జ్ఞానాన్ని వర్తింపజేయడానికి నైపుణ్యాల అభివృద్ధిని పరీక్షించడం ఉత్తీర్ణత ద్వారా నిర్వహించబడుతుంది. ముఖ్యంగా, ఇది తార్కిక సమస్యలను పరిష్కరించే సామర్ధ్యం. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్‌లోని టాస్క్‌లు B15 పెరిగిన సంక్లిష్టత యొక్క పనులు, ఎందుకంటే అవి తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థలను కలిగి ఉంటాయి. తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి వివిధ మార్గాలు ఉన్నాయి. ఇది ఒక సమీకరణానికి తగ్గింపు, సత్య పట్టిక నిర్మాణం, కుళ్ళిపోవడం, సమీకరణాల వరుస పరిష్కారం మొదలైనవి.

విధి:తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి:

పరిగణలోకి తీసుకుందాం ఒక సమీకరణానికి తగ్గింపు పద్ధతి . ఈ పద్ధతిలో తార్కిక సమీకరణాలను మార్చడం ఉంటుంది, తద్వారా వాటి కుడి-భుజాలు సత్య విలువకు సమానంగా ఉంటాయి (అంటే, 1). దీన్ని చేయడానికి, లాజికల్ నెగెషన్ ఆపరేషన్ ఉపయోగించండి. అప్పుడు, సమీకరణాలు సంక్లిష్టమైన తార్కిక కార్యకలాపాలను కలిగి ఉంటే, మేము వాటిని ప్రాథమిక వాటితో భర్తీ చేస్తాము: "AND", "OR", "NOT". "AND" లాజికల్ ఆపరేషన్ ఉపయోగించి, సిస్టమ్‌కు సమానమైన సమీకరణాలను ఒకటిగా కలపడం తదుపరి దశ. దీని తరువాత, మీరు తార్కిక బీజగణితం యొక్క చట్టాల ఆధారంగా ఫలిత సమీకరణాన్ని మార్చాలి మరియు సిస్టమ్‌కు నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని పొందాలి.

పరిష్కారం 1:మొదటి సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా విలోమాన్ని వర్తింపజేయండి:

ప్రాథమిక కార్యకలాపాలు "OR" మరియు "NOT" ద్వారా అంతరార్థాన్ని ఊహించుకుందాం:

సమీకరణాల యొక్క ఎడమ భుజాలు 1కి సమానం కాబట్టి, మేము వాటిని “AND” ఆపరేషన్‌ని ఉపయోగించి అసలు సిస్టమ్‌కు సమానమైన ఒక సమీకరణంగా కలపవచ్చు:

మేము డి మోర్గాన్ చట్టం ప్రకారం మొదటి బ్రాకెట్‌ను తెరిచి, పొందిన ఫలితాన్ని మారుస్తాము:

ఫలిత సమీకరణం ఒక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది: A= 0, B =0 మరియు C =1.

తదుపరి పద్ధతి సత్య పట్టికలను నిర్మించడం . తార్కిక పరిమాణాలు కేవలం రెండు విలువలను కలిగి ఉన్నందున, మీరు అన్ని ఎంపికల ద్వారా వెళ్ళవచ్చు మరియు వాటిలో ఇచ్చిన సమీకరణాల వ్యవస్థ సంతృప్తి చెందిన వాటిని కనుగొనవచ్చు. అంటే, మేము సిస్టమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాల కోసం ఒక సాధారణ సత్య పట్టికను నిర్మిస్తాము మరియు అవసరమైన విలువలతో ఒక పంక్తిని కనుగొంటాము.

పరిష్కారం 2:సిస్టమ్ కోసం సత్య పట్టికను సృష్టిద్దాం:

టాస్క్ షరతులు తీర్చబడిన లైన్ బోల్డ్‌లో హైలైట్ చేయబడింది. కాబట్టి A =0, B =0 మరియు C =1.

మార్గం కుళ్ళిపోవడం . వేరియబుల్స్‌లో ఒకదాని విలువను పరిష్కరించడం (దీనిని 0 లేదా 1కి సమానంగా సెట్ చేయండి) మరియు తద్వారా సమీకరణాలను సులభతరం చేయడం ఆలోచన. అప్పుడు మీరు రెండవ వేరియబుల్ యొక్క విలువను పరిష్కరించవచ్చు మరియు మొదలైనవి.

పరిష్కారం 3:వీలు A = 0, అప్పుడు:

మొదటి సమీకరణం నుండి మనం పొందుతాముబి =0, మరియు రెండవ నుండి – C=1. సిస్టమ్ యొక్క పరిష్కారం: A = 0, B = 0 మరియు C = 1.

మీరు పద్ధతిని కూడా ఉపయోగించవచ్చు సమీకరణాల వరుస పరిష్కారం , ప్రతి దశలో పరిశీలనలో ఉన్న సెట్‌కు ఒక వేరియబుల్ జోడించడం. దీన్ని చేయడానికి, సమీకరణాలను మార్చడం అవసరం, తద్వారా వేరియబుల్స్ అక్షర క్రమంలో నమోదు చేయబడతాయి. తరువాత, మేము ఒక నిర్ణయం చెట్టును నిర్మిస్తాము, దానికి వరుసగా వేరియబుల్స్ జోడించడం.

సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణం A మరియు B పై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది మరియు రెండవ సమీకరణం A మరియు C పై ఆధారపడి ఉంటుంది. వేరియబుల్ A 2 విలువలను 0 మరియు 1 తీసుకోవచ్చు:

మొదటి సమీకరణం నుండి అది అనుసరిస్తుంది , అయితే ఎప్పుడు A = 0 మరియు మనకు B = 0 వస్తుంది మరియు A = 1కి B = 1 ఉంటుంది. కాబట్టి, మొదటి సమీకరణం A మరియు B వేరియబుల్స్‌కు సంబంధించి రెండు పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది.

రెండవ సమీకరణాన్ని వర్ణిద్దాం, దాని నుండి మేము ప్రతి ఎంపికకు C విలువలను నిర్ణయిస్తాము. A =1 అయినప్పుడు, అంతరార్థం తప్పుగా ఉండకూడదు, అంటే చెట్టు యొక్క రెండవ శాఖకు పరిష్కారం ఉండదు. వద్ద A= 0 మేము ఏకైక పరిష్కారం పొందుతాము C= 1 :

ఈ విధంగా, మేము సిస్టమ్‌కు పరిష్కారాన్ని పొందాము: A = 0, B = 0 మరియు C = 1.

కంప్యూటర్ సైన్స్‌లో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో, తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాలను కనుగొనకుండా, పరిష్కారాల సంఖ్యను నిర్ణయించడం చాలా తరచుగా అవసరం; దీనికి కొన్ని పద్ధతులు కూడా ఉన్నాయి. తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాల సంఖ్యను కనుగొనడానికి ప్రధాన మార్గం వేరియబుల్స్ స్థానంలో. మొదట, మీరు తార్కిక బీజగణితం యొక్క చట్టాల ఆధారంగా సాధ్యమైనంతవరకు ప్రతి సమీకరణాలను సరళీకృతం చేయాలి, ఆపై సమీకరణాల యొక్క సంక్లిష్ట భాగాలను కొత్త వేరియబుల్స్‌తో భర్తీ చేయండి మరియు కొత్త సిస్టమ్‌కు పరిష్కారాల సంఖ్యను నిర్ణయించండి. తరువాత, పునఃస్థాపనకు తిరిగి వెళ్లి దాని కోసం పరిష్కారాల సంఖ్యను నిర్ణయించండి.

విధి:సమీకరణం ఎన్ని పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది ( A → B ) + (C → D ) = 1? ఇక్కడ A, B, C, D లాజికల్ వేరియబుల్స్.

పరిష్కారం:కొత్త వేరియబుల్స్‌ని పరిచయం చేద్దాం: X = A → B మరియు Y = C → D . కొత్త వేరియబుల్స్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, సమీకరణం ఇలా వ్రాయబడుతుంది: X + Y = 1.

డిస్జంక్షన్ మూడు సందర్భాలలో నిజం: (0;1), (1;0) మరియు (1;1), అయితే X మరియు Y అనేది ఒక అంతరార్థం, అంటే, ఇది మూడు సందర్భాలలో నిజం మరియు ఒకదానిలో తప్పు. కాబట్టి, కేసు (0;1) మూడు సాధ్యమైన పారామితుల కలయికలకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. కేస్ (1;1) - అసలు సమీకరణం యొక్క పారామితుల యొక్క తొమ్మిది సాధ్యమైన కలయికలకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. అంటే ఈ సమీకరణానికి సాధ్యమయ్యే మొత్తం పరిష్కారాలు 3+9=15.

తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాల సంఖ్యను నిర్ణయించడానికి తదుపరి మార్గం బైనరీ చెట్టు. ఒక ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఈ పద్ధతిని చూద్దాం.

విధి:తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థలో ఎన్ని విభిన్న పరిష్కారాలు ఉన్నాయి:

ఇచ్చిన సమీకరణాల వ్యవస్థ సమీకరణానికి సమానం:

( x 1 → x 2 )*( x 2 → x 3 )*…*( x మీ -1 → x మీ) = 1.

అలా నటిద్దాంx 1 - నిజం, మొదటి సమీకరణం నుండి మనం దానిని పొందుతాముx 2 రెండవది నుండి కూడా నిజం -x 3 =1, మొదలగు వరకు x మీ= 1. కాబట్టి సెట్ (1; 1; …; 1) యొక్క m యూనిట్లు వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారం. ఇప్పుడు లెట్x 1 =0, అప్పుడు మనకు ఉన్న మొదటి సమీకరణం నుండిx 2 =0 లేదా x 2 =1.

ఎప్పుడు x 2 నిజమే, మిగిలిన వేరియబుల్స్ కూడా నిజమని మేము పొందుతాము, అనగా సెట్ (0; 1; ...; 1) వ్యవస్థకు ఒక పరిష్కారం. వద్దx 2 =0 మేము దానిని పొందుతాము x 3 =0 లేదా x 3 =, మరియు మొదలైనవి. చివరి వేరియబుల్‌కు కొనసాగిస్తూ, సమీకరణానికి పరిష్కారాలు క్రింది వేరియబుల్స్ సెట్‌లని మేము కనుగొన్నాము ( m ప్రతి ద్రావణంలో +1 పరిష్కారం m వేరియబుల్ విలువలు):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

బైనరీ ట్రీని నిర్మించడం ద్వారా ఈ విధానం చక్కగా వివరించబడింది. సాధ్యమయ్యే పరిష్కారాల సంఖ్య నిర్మించిన చెట్టు యొక్క వివిధ శాఖల సంఖ్య. ఇది సమానంగా ఉందని చూడటం సులభం m +1.

రీజనింగ్ మరియు డెసిషన్ ట్రీని నిర్మించడంలో ఇబ్బందులు ఎదురైనప్పుడు, మీరు ఉపయోగించి పరిష్కారం కోసం శోధించవచ్చు సత్య పట్టికలు, ఒకటి లేదా రెండు సమీకరణాల కోసం.

సమీకరణాల వ్యవస్థను రూపంలో తిరిగి వ్రాద్దాం:

మరియు ఒక సమీకరణం కోసం విడిగా సత్య పట్టికను సృష్టిద్దాం:

రెండు సమీకరణాల కోసం సత్య పట్టికను రూపొందిద్దాం:

తరువాత, కింది మూడు సందర్భాలలో ఒక సమీకరణం నిజమని మీరు చూడవచ్చు: (0; 0), (0; 1), (1; 1). రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థ నాలుగు సందర్భాలలో నిజం (0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 1), (1; 1; 1). ఈ సందర్భంలో, సున్నాలు మరియు మరిన్ని మాత్రమే ఉన్న పరిష్కారం ఉందని వెంటనే స్పష్టమవుతుంది mఒక సమయంలో ఒక యూనిట్ జోడించబడే పరిష్కారాలు, చివరి స్థానం నుండి అన్ని సాధ్యమైన స్థలాలు పూరించబడే వరకు. సాధారణ పరిష్కారం ఒకే రూపాన్ని కలిగి ఉంటుందని భావించవచ్చు, కానీ అటువంటి విధానం పరిష్కారంగా మారడానికి, ఊహ సరైనదని రుజువు అవసరం.

పైన పేర్కొన్నవన్నీ సంగ్రహించేందుకు, చర్చించిన అన్ని పద్ధతులు సార్వత్రికమైనవి కావు అనే వాస్తవాన్ని నేను మీ దృష్టిని ఆకర్షించాలనుకుంటున్నాను. తార్కిక సమీకరణాల యొక్క ప్రతి వ్యవస్థను పరిష్కరించేటప్పుడు, దాని లక్షణాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి, దాని ఆధారంగా పరిష్కార పద్ధతిని ఎంచుకోవాలి.

సాహిత్యం:

1. తార్కిక సమస్యలు / O.B. బోగోమోలోవ్ - 2వ ఎడిషన్. - M.: BINOM. లేబొరేటరీ ఆఫ్ నాలెడ్జ్, 2006. - 271 పే.: అనారోగ్యం.

2. పాలియకోవ్ K.Yu. తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థలు / కంప్యూటర్ సైన్స్ ఉపాధ్యాయుల కోసం విద్యా మరియు పద్దతి వార్తాపత్రిక: ఇన్ఫర్మేటిక్స్ నం. 14, 2011.

పాఠం అంశం: లాజిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం

అభివృద్ధి - విద్యార్థుల అభిజ్ఞా ఆసక్తి అభివృద్ధికి పరిస్థితులను సృష్టించండి, జ్ఞాపకశక్తి, శ్రద్ధ మరియు తార్కిక ఆలోచన అభివృద్ధిని ప్రోత్సహించండి;

విద్యాపరమైన : ఇతరుల అభిప్రాయాలను వినే సామర్థ్యాన్ని ప్రోత్సహించండి,తుది ఫలితాలను సాధించడానికి సంకల్పం మరియు పట్టుదల పెంపొందించడం.

పాఠం రకం: కలిపి పాఠం

సామగ్రి: కంప్యూటర్, మల్టీమీడియా ప్రొజెక్టర్, ప్రదర్శన 6.

తరగతుల సమయంలో

ప్రాథమిక జ్ఞానం యొక్క పునరావృతం మరియు నవీకరణ. హోంవర్క్‌ని తనిఖీ చేస్తోంది (10 నిమిషాలు)

మునుపటి పాఠాలలో, మేము తార్కిక బీజగణితం యొక్క ప్రాథమిక చట్టాలతో పరిచయం పొందాము మరియు తార్కిక వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడానికి ఈ చట్టాలను ఉపయోగించడం నేర్చుకున్నాము.

తార్కిక వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడంపై మా హోంవర్క్‌ని తనిఖీ చేద్దాం:

1. కింది పదాలలో ఏది తార్కిక స్థితిని సంతృప్తిపరుస్తుంది:

(మొదటి అక్షరం హల్లు→రెండవ అక్షరం హల్లు)٨ (చివరి అక్షరం అచ్చు → చివరి అక్షరం అచ్చు)? అలాంటి పదాలు చాలా ఉంటే, వాటిలో చిన్నవి సూచించండి.

1) అన్నా 2) మరియా 3) ఒలేగ్ 4) స్టెపాన్

కింది సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేద్దాం:

A - మొదటి అక్షరం హల్లు

B - రెండవ అక్షరం హల్లు

S - చివరి అక్షరం అచ్చు

D - చివరి అచ్చు అక్షరం

వ్యక్తీకరణ చేద్దాం:

పట్టిక తయారు చేద్దాం:

2. ఏ తార్కిక వ్యక్తీకరణ వ్యక్తీకరణకు సమానమో సూచించండి

అసలు వ్యక్తీకరణ మరియు ప్రతిపాదిత ఎంపికల రికార్డింగ్‌ను సులభతరం చేద్దాం:

3. ట్రూత్ టేబుల్ ఆఫ్ ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లో కొంత భాగాన్ని అందించారు:

ఆర్గ్యుమెంట్‌ల యొక్క పేర్కొన్న విలువల కోసం ఈ వ్యక్తీకరణల విలువలను నిర్ధారిద్దాం:

పాఠం యొక్క అంశానికి పరిచయం, కొత్త విషయం యొక్క ప్రదర్శన (30 నిముషాలు)

మేము తర్కం యొక్క ప్రాథమికాలను అధ్యయనం చేస్తూనే ఉన్నాము మరియు మా నేటి పాఠం యొక్క అంశం “తార్కిక సమీకరణాలను పరిష్కరించడం”. ఈ అంశాన్ని అధ్యయనం చేసిన తర్వాత, మీరు తార్కిక సమీకరణాలను పరిష్కరించే ప్రాథమిక మార్గాలను నేర్చుకుంటారు, తార్కిక బీజగణితం యొక్క భాషను ఉపయోగించి మరియు సత్య పట్టికను ఉపయోగించి తార్కిక వ్యక్తీకరణను కంపోజ్ చేసే సామర్థ్యాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా ఈ సమీకరణాలను పరిష్కరించే నైపుణ్యాలను పొందుతారు.

1. లాజిక్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

(¬K M) → (¬L ఎం N) =0

మీ సమాధానాన్ని నాలుగు అక్షరాల స్ట్రింగ్‌గా వ్రాయండి: వేరియబుల్స్ K, L, M మరియు N (ఆ క్రమంలో) విలువలు. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, లైన్ 1101 K=1, L=1, M=0, N=1 అనే వాస్తవానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

పరిష్కారం:

వ్యక్తీకరణను మారుద్దాం(¬K  M) → (¬L  ఎం  N)

రెండు పదాలు తప్పు అయినప్పుడు వ్యక్తీకరణ తప్పు. M =0, N =0, L =1 అయితే రెండవ పదం 0కి సమానం. మొదటి పదంలో K = 0, M = 0 నుండి, మరియు
.

సమాధానం: 0100

2. సమీకరణం ఎన్ని పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది (మీ సమాధానంలోని సంఖ్యను మాత్రమే సూచించండి)?

పరిష్కారం: వ్యక్తీకరణను మార్చండి

(A +B )*(C +D )=1

A +B =1 మరియు C +D =1

విధానం 2: సత్య పట్టికను గీయడం

అసలు వ్యక్తీకరణను మారుద్దాం, సంయోగాల విభజనను పొందడానికి బ్రాకెట్లను తెరవండి:

(A+B)*(C+D)=A*C+B*C+A*D+B*D=

సంయోగాలను పూర్తి చేయడానికి (అన్ని ఆర్గ్యుమెంట్‌ల ఉత్పత్తి), బ్రాకెట్‌లను తెరవడానికి సంయోగాలను సప్లిమెంట్ చేద్దాం:

అదే సంయోగాలను పరిగణలోకి తీసుకుందాం:

ఫలితంగా, మేము 9 సంయోగాలను కలిగి ఉన్న SDNFని పొందుతాము. కాబట్టి, ఈ ఫంక్షన్‌కి సంబంధించిన ట్రూత్ టేబుల్‌లో 9 వరుసలలో 1 విలువ 2 4 =16 సెట్‌ల వేరియబుల్ విలువలు ఉంటాయి.

3. సమీకరణం ఎన్ని పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది (మీ సమాధానంలోని సంఖ్యను మాత్రమే సూచించండి)?

వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేద్దాం:

,

3 మార్గం: SDNF నిర్మాణం

అదే సంయోగాలను పరిగణలోకి తీసుకుందాం:

ఫలితంగా, మేము 5 సంయోగాలను కలిగి ఉన్న SDNFని పొందుతాము. కాబట్టి, ఈ ఫంక్షన్‌కి సంబంధించిన ట్రూత్ టేబుల్ 5 వరుసల 2 4 =16 సెట్‌ల వేరియబుల్ విలువలపై 1 విలువను కలిగి ఉంటుంది.

సత్య పట్టికను ఉపయోగించి తార్కిక వ్యక్తీకరణను నిర్మించడం:

1ని కలిగి ఉన్న సత్య పట్టికలోని ప్రతి అడ్డు వరుస కోసం, మేము ఆర్గ్యుమెంట్‌ల ఉత్పత్తిని కంపోజ్ చేస్తాము మరియు 0కి సమానమైన వేరియబుల్స్ నిరాకరణతో ఉత్పత్తిలో చేర్చబడతాయి మరియు 1కి సమానమైన వేరియబుల్స్ నిరాకరణ లేకుండా చేర్చబడతాయి. కావలసిన వ్యక్తీకరణ F ఫలిత ఉత్పత్తుల మొత్తంతో కూడి ఉంటుంది. అప్పుడు, వీలైతే, ఈ వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయాలి.

ఉదాహరణ: వ్యక్తీకరణ యొక్క సత్య పట్టిక ఇవ్వబడింది. తార్కిక వ్యక్తీకరణను రూపొందించండి.

3. హోంవర్క్ (5 నిమిషాలు)

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

సమీకరణం ఎన్ని పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది (మీ సమాధానంలోని సంఖ్యను మాత్రమే సూచించండి)?

ఇచ్చిన సత్య పట్టికను ఉపయోగించి, తార్కిక వ్యక్తీకరణను రూపొందించండి మరియు

దానిని సరళీకృతం చేయండి.

కంప్యూటర్ సైన్స్ పరీక్షలో A మరియు B విభాగాలలో కొన్ని సమస్యలను ఎలా పరిష్కరించాలి

పాఠం #3. లాజిక్స్. లాజిక్ విధులు. సమీకరణాలను పరిష్కరించడం

యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ సమస్యలు పెద్ద సంఖ్యలో ప్రతిపాదిత తర్కానికి అంకితం చేయబడ్డాయి. వాటిలో చాలా వరకు పరిష్కరించడానికి, ప్రతిపాదిత తర్కం యొక్క ప్రాథమిక చట్టాలు, ఒకటి మరియు రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క తార్కిక ఫంక్షన్ల సత్య పట్టికల జ్ఞానం గురించి తెలుసుకోవడం సరిపోతుంది. నేను ప్రతిపాదిత తర్కం యొక్క ప్రాథమిక చట్టాలను ఇస్తాను.

1. డిస్జంక్షన్ మరియు సంయోగం యొక్క కమ్యుటాటివిటీ:
   a ˅b≡ b˅ a
   a^b ≡ b^a
2. డిస్జంక్షన్ మరియు సంయోగానికి సంబంధించిన పంపిణీ చట్టం:
   a ˅ (b^с) ≡ (a ˅ b) ^(a ˅ с)
   a ^ (b˅ c) ≡ (a^ b) ˅ (a^ c)
3. నిరాకరణ నిరాకరణ:
   ¬(¬a) ≡ a
4. స్థిరత్వం:
   a ^ ¬а ≡ తప్పు
5. ప్రత్యేకమైన మూడవది:
   a ˅ ¬а ≡ నిజం
6. డి మోర్గాన్ చట్టాలు:
   ¬(a ˅ b) ≡ ¬a ˄ ¬b
   ¬(a ˄ b) ≡ ¬a ˅ ¬b
7. సరళీకరణ:
   a ˄ a ≡ a
   a ˅ a ≡ a
   a ˄ నిజం ≡ a
   ఒక ˄ తప్పు ≡ తప్పు
8. శోషణ:
   a ˄ (a ˅ b) ≡ a
   a ˅ (a ˄ b) ≡ a
9. ఇంప్లికేషన్ యొక్క ప్రత్యామ్నాయం
   a → b ≡ ¬a ˅ b
10. గుర్తింపు భర్తీ
    a ≡ b ≡(a ˄ b) ˅ (¬a ˄ ¬b)

లాజికల్ ఫంక్షన్ల ప్రాతినిధ్యం

n వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా లాజికల్ ఫంక్షన్ - F(x 1, x 2, ... x n) సత్య పట్టిక ద్వారా పేర్కొనవచ్చు. అటువంటి పట్టికలో 2n సెట్ల వేరియబుల్స్ ఉంటాయి, వీటిలో ప్రతిదానికి ఈ సెట్‌లోని ఫంక్షన్ విలువ పేర్కొనబడుతుంది. వేరియబుల్స్ సంఖ్య చాలా తక్కువగా ఉన్నప్పుడు ఈ పద్ధతి మంచిది. ఇప్పటికే n > 5కి ప్రాతినిధ్యం సరిగా కనిపించదు.

తెలిసిన సరళమైన ఫంక్షన్‌లను ఉపయోగించి కొన్ని ఫార్ములా ద్వారా ఫంక్షన్‌ను నిర్వచించడం మరొక మార్గం. ఫంక్షన్ల వ్యవస్థ (f 1, f 2, ... f k) ఏదైనా లాజికల్ ఫంక్షన్ f i మాత్రమే ఉన్న ఫార్ములా ద్వారా వ్యక్తీకరించగలిగితే దాన్ని పూర్తి అంటారు.

ఫంక్షన్ల వ్యవస్థ (¬, ˄, ˅) పూర్తయింది. 9 మరియు 10 చట్టాలు నిరాకరణ, సంయోగం మరియు విడదీయడం ద్వారా తాత్పర్యం మరియు గుర్తింపు ఎలా వ్యక్తీకరించబడతాయో తెలిపే ఉదాహరణలు.

వాస్తవానికి, రెండు ఫంక్షన్ల వ్యవస్థ - నిరాకరణ మరియు సంయోగం లేదా నిరాకరణ మరియు డిస్జంక్షన్ - కూడా పూర్తయింది. డి మోర్గాన్ యొక్క చట్టాల నుండి, నిరాకరణ మరియు విభజన ద్వారా సంయోగాన్ని వ్యక్తీకరించడానికి మరియు తదనుగుణంగా, నిరాకరణ మరియు సంయోగం ద్వారా ఒక విచ్ఛేదనాన్ని వ్యక్తీకరించడానికి అనుమతించే ఆలోచనలను అనుసరించండి:

(a˅b) ≡ ¬(¬a ˄ ¬b)
(a ˄ b) ≡ ¬(¬a ˅ ¬b)

విరుద్ధంగా, కేవలం ఒక ఫంక్షన్‌తో కూడిన సిస్టమ్ పూర్తయింది. రెండు బైనరీ ఫంక్షన్‌లు ఉన్నాయి - యాంటీకాన్జంక్షన్ మరియు యాంటీడిజంక్షన్, వీటిని పియర్స్ బాణం మరియు స్కాఫెర్ స్ట్రోక్ అని పిలుస్తారు, ఇది బోలు వ్యవస్థను సూచిస్తుంది.

ప్రోగ్రామింగ్ భాషల యొక్క ప్రాథమిక విధులు సాధారణంగా గుర్తింపు, నిరాకరణ, సంయోగం మరియు విచ్ఛేదనం. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ సమస్యలలో, ఈ ఫంక్షన్లతో పాటు, చిక్కులు తరచుగా కనుగొనబడతాయి.

లాజికల్ ఫంక్షన్లతో కూడిన కొన్ని సాధారణ సమస్యలను చూద్దాం.

సమస్య 15:

సత్య పట్టిక యొక్క ఒక భాగం ఇవ్వబడింది. ఇచ్చిన మూడు ఫంక్షన్‌లలో ఈ ఫ్రాగ్‌మెంట్‌కి ఏది అనుగుణంగా ఉంటుంది?

1. (X 1 → X 2) ˄ ¬ X 3 ˅ X 4
2. (¬ X 1 ˄ X 2) ˅ (¬ X 3 ˄ X 4)
3. ¬ X 1 ˅ X 2 ˅ (X 3 ˄ X 4)

ఫంక్షన్ సంఖ్య 3.

సమస్యను పరిష్కరించడానికి, మీరు ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల సత్య పట్టికలను తెలుసుకోవాలి మరియు కార్యకలాపాల ప్రాధాన్యతలను గుర్తుంచుకోవాలి. సంయోగం (తార్కిక గుణకారం) అధిక ప్రాధాన్యతను కలిగి ఉందని మరియు డిస్జంక్షన్ (తార్కిక జోడింపు) కంటే ముందుగా అమలు చేయబడుతుందని నేను మీకు గుర్తు చేస్తాను. గణనల సమయంలో, మూడవ సెట్‌లోని 1 మరియు 2 సంఖ్యలతో కూడిన ఫంక్షన్‌లు 1 విలువను కలిగి ఉన్నాయని మరియు ఈ కారణంగా ఫ్రాగ్‌మెంట్‌కు అనుగుణంగా లేవని గమనించడం సులభం.

సమస్య 16:

ఇచ్చిన సంఖ్యలలో ఏది షరతును సంతృప్తిపరుస్తుంది:

(అత్యంత ముఖ్యమైన అంకె నుండి ప్రారంభమయ్యే అంకెలు అవరోహణ క్రమంలో ఉన్నాయి) → (సంఖ్య - సరి) ˄ (తక్కువ అంకెలు - సరి) ˄ (అధిక అంకె - బేసి)

అటువంటి అనేక సంఖ్యలు ఉంటే, అతిపెద్దది సూచించండి.

1. 13579
2. 97531
3. 24678
4. 15386

పరిస్థితి సంఖ్య 4 ద్వారా సంతృప్తి చెందుతుంది.

అత్యల్ప అంకె బేసిగా ఉన్న కారణంగా మొదటి రెండు సంఖ్యలు షరతును సంతృప్తిపరచవు. సంయోగం యొక్క నిబంధనలలో ఒకటి తప్పు అయితే షరతుల కలయిక తప్పు. మూడవ సంఖ్యకు, అత్యధిక అంకెకు సంబంధించిన షరతు నెరవేరలేదు. నాల్గవ సంఖ్య కోసం, సంఖ్య యొక్క తక్కువ మరియు అధిక అంకెలపై విధించిన షరతులు నెరవేరుతాయి. సంయోగం యొక్క మొదటి పదం కూడా నిజమే, ఎందుకంటే దాని ఆవరణ తప్పు అయితే, అంతరార్థం నిజం, ఇది ఇక్కడ ఉంది.

సమస్య 17: ఇద్దరు సాక్షులు ఈ క్రింది సాక్ష్యం ఇచ్చారు:

మొదటి సాక్షి: A దోషి అయితే, B మరింత దోషి, మరియు C నిర్దోషి.

రెండో సాక్షి: ఇద్దరు దోషులు. మరియు మిగిలిన వారిలో ఒకరు ఖచ్చితంగా దోషి మరియు దోషి, కానీ నేను ఖచ్చితంగా ఎవరు చెప్పలేను.

A, B మరియు C యొక్క అపరాధం గురించి వాంగ్మూలం నుండి ఎలాంటి ముగింపులు తీసుకోవచ్చు?

సమాధానం: వాంగ్మూలం నుండి A మరియు B దోషులు మరియు C నిర్దోషి అని అనుసరిస్తుంది.

పరిష్కారం: వాస్తవానికి, ఇంగితజ్ఞానం ఆధారంగా సమాధానం ఇవ్వవచ్చు. అయితే దీన్ని ఖచ్చితంగా మరియు అధికారికంగా ఎలా చేయవచ్చో చూద్దాం.

స్టేట్‌మెంట్‌లను లాంఛనంగా మార్చడం మొదటి విషయం. మూడు లాజికల్ వేరియబుల్స్‌ని పరిచయం చేద్దాం - A, B మరియు C, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి సంబంధిత అనుమానితుడు దోషిగా ఉంటే నిజమైన (1) విలువను కలిగి ఉంటుంది. అప్పుడు మొదటి సాక్షి యొక్క సాక్ష్యం సూత్రం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది:

A → (B ˄ ¬C)

రెండవ సాక్షి యొక్క సాక్ష్యం సూత్రం ద్వారా ఇవ్వబడింది:

A ˄ ((B ˄ ¬C) ˅ (¬B ˄ C))

ఇద్దరు సాక్షుల సాక్ష్యం నిజమని భావించబడుతుంది మరియు సంబంధిత సూత్రాల కలయికను సూచిస్తుంది.

ఈ రీడింగ్‌ల కోసం సత్య పట్టికను రూపొందిద్దాం:

సారాంశం సాక్ష్యం ఒక సందర్భంలో మాత్రమే నిజం, స్పష్టమైన సమాధానానికి దారి తీస్తుంది - A మరియు B దోషులు మరియు C నిర్దోషి.

ఈ పట్టిక యొక్క విశ్లేషణ నుండి రెండవ సాక్షి యొక్క సాక్ష్యం మరింత సమాచారంగా ఉందని కూడా అనుసరిస్తుంది. అతని సాక్ష్యం యొక్క నిజం నుండి, కేవలం రెండు ఎంపికలు మాత్రమే అనుసరించబడతాయి - A మరియు B దోషులు, మరియు C నిర్దోషి, లేదా A మరియు C దోషులు మరియు B నిర్దోషి. మొదటి సాక్షి యొక్క వాంగ్మూలం తక్కువ సమాచారంగా ఉంది - అతని వాంగ్మూలానికి అనుగుణంగా 5 విభిన్న ఎంపికలు ఉన్నాయి. ఇద్దరు సాక్షుల వాంగ్మూలం కలిసి, అనుమానితుల అపరాధం గురించి స్పష్టమైన సమాధానం ఇస్తుంది.

తార్కిక సమీకరణాలు మరియు సమీకరణాల వ్యవస్థలు

F(x 1, x 2, …x n) n వేరియబుల్స్ యొక్క లాజికల్ ఫంక్షన్‌గా ఉండనివ్వండి. తార్కిక సమీకరణం ఇలా కనిపిస్తుంది:

F(x 1, x 2, …x n) = C,

C స్థిరాంకం 1 లేదా 0 విలువను కలిగి ఉంటుంది.

తార్కిక సమీకరణం 0 నుండి 2 n వరకు వివిధ పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది. C 1కి సమానం అయితే, సొల్యూషన్స్ అనేది ట్రూట్ టేబుల్ నుండి వేరియబుల్స్ యొక్క అన్ని సెట్లు, దీని కోసం F ఫంక్షన్ ట్రూ (1) విలువను తీసుకుంటుంది. మిగిలిన సెట్‌లు సున్నాకి సమానమైన Cతో సమీకరణం యొక్క పరిష్కారాలు. మీరు ఎల్లప్పుడూ ఫారమ్ యొక్క సమీకరణాలను మాత్రమే పరిగణించవచ్చు:

F(x 1 , x 2 , …x n) = 1

నిజానికి, సమీకరణాన్ని ఇవ్వనివ్వండి:

F(x 1, x 2, …x n) = 0

ఈ సందర్భంలో, మేము సమానమైన సమీకరణానికి వెళ్లవచ్చు:

¬F(x 1 , x 2 , …x n) = 1

k తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిగణించండి:

F 1 (x 1, x 2, …x n) = 1

F 2 (x 1, x 2, …x n) = 1

F k (x 1 , x 2 , …x n) = 1

సిస్టమ్‌కు పరిష్కారం అనేది సిస్టమ్ యొక్క అన్ని సమీకరణాలు సంతృప్తి చెందే వేరియబుల్స్ సమితి. తార్కిక ఫంక్షన్ల పరంగా, తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాన్ని పొందడానికి, అసలు ఫంక్షన్ల ఎఫ్ యొక్క సంయోగాన్ని సూచించే లాజికల్ ఫంక్షన్ Ф నిజం అయిన సమితిని కనుగొనాలి:

Ф = F 1 ˄ F 2 ˄… F k

వేరియబుల్స్ సంఖ్య తక్కువగా ఉంటే, ఉదాహరణకు, 5 కంటే తక్కువ, అప్పుడు ఫంక్షన్ Ф కోసం సత్య పట్టికను నిర్మించడం కష్టం కాదు, ఇది సిస్టమ్ ఎన్ని పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది మరియు పరిష్కారాలను అందించే సెట్‌లు ఏమిటో చెప్పడానికి అనుమతిస్తుంది.

తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాలను కనుగొనడంలో కొన్ని USE సమస్యలలో, వేరియబుల్స్ సంఖ్య 10కి చేరుకుంటుంది. అప్పుడు సత్య పట్టికను నిర్మించడం దాదాపు అసాధ్యమైన పని అవుతుంది. సమస్యను పరిష్కరించడానికి వేరే విధానం అవసరం. సమీకరణాల యొక్క ఏకపక్ష వ్యవస్థ కోసం, అటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అనుమతించే గణన కంటే ఇతర సాధారణ పద్ధతి లేదు.

పరీక్షలో ప్రతిపాదించబడిన సమస్యలలో, పరిష్కారం సాధారణంగా సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క ప్రత్యేకతలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. నేను పునరావృతం చేస్తున్నాను, వేరియబుల్స్ సెట్ కోసం అన్ని ఎంపికలను ప్రయత్నించడమే కాకుండా, సమస్యను పరిష్కరించడానికి సాధారణ మార్గం లేదు. సిస్టమ్ యొక్క ప్రత్యేకతల ఆధారంగా పరిష్కారం తప్పనిసరిగా నిర్మించబడాలి. తెలిసిన లాజిక్ చట్టాలను ఉపయోగించి సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క ప్రాథమిక సరళీకరణను నిర్వహించడానికి ఇది తరచుగా ఉపయోగపడుతుంది. ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి మరొక ఉపయోగకరమైన సాంకేతికత క్రింది విధంగా ఉంది. మేము అన్ని సెట్‌లపై ఆసక్తి చూపడం లేదు, కానీ ఫంక్షన్ Ф విలువ 1 కలిగి ఉన్న వాటిపై మాత్రమే. పూర్తి సత్య పట్టికను నిర్మించడానికి బదులుగా, మేము దాని అనలాగ్‌ను నిర్మిస్తాము - బైనరీ డెసిషన్ ట్రీ. ఈ చెట్టు యొక్క ప్రతి శాఖ ఒక పరిష్కారానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది మరియు ఫంక్షన్ Ф విలువ 1 కలిగి ఉన్న సమితిని నిర్దేశిస్తుంది. నిర్ణయం చెట్టులోని శాఖల సంఖ్య సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాల సంఖ్యతో సమానంగా ఉంటుంది.

బైనరీ డెసిషన్ ట్రీ అంటే ఏమిటి మరియు అనేక సమస్యల ఉదాహరణలను ఉపయోగించి అది ఎలా నిర్మించబడుతుందో నేను వివరిస్తాను.

సమస్య 18

రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థను సంతృప్తిపరిచే లాజికల్ వేరియబుల్స్ x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 యొక్క ఎన్ని విభిన్న సెట్ల విలువలు ఉన్నాయి?

సమాధానం: సిస్టమ్ 36 విభిన్న పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది.

పరిష్కారం: సమీకరణాల వ్యవస్థ రెండు సమీకరణాలను కలిగి ఉంటుంది. 5 వేరియబుల్స్ - x 1, x 2, ...x 5 ఆధారంగా మొదటి సమీకరణానికి పరిష్కారాల సంఖ్యను కనుగొనండి. మొదటి సమీకరణాన్ని 5 సమీకరణాల వ్యవస్థగా పరిగణించవచ్చు. చూపినట్లుగా, సమీకరణాల వ్యవస్థ వాస్తవానికి తార్కిక ఫంక్షన్ల కలయికను సూచిస్తుంది. సంభాషణ కూడా నిజం: పరిస్థితుల కలయికను సమీకరణాల వ్యవస్థగా పరిగణించవచ్చు.

ఇంప్లికేషన్ (x1→ x2) కోసం నిర్ణయ వృక్షాన్ని రూపొందిద్దాం - సంయోగం యొక్క మొదటి పదం, ఇది మొదటి సమీకరణంగా పరిగణించబడుతుంది. ఈ చెట్టు యొక్క గ్రాఫికల్ ప్రాతినిధ్యం ఇలా ఉంటుంది:

సమీకరణంలోని వేరియబుల్స్ సంఖ్య ప్రకారం చెట్టు రెండు స్థాయిలను కలిగి ఉంటుంది. మొదటి స్థాయి మొదటి వేరియబుల్ X 1ని వివరిస్తుంది. ఈ స్థాయి యొక్క రెండు శాఖలు ఈ వేరియబుల్ యొక్క సాధ్యమైన విలువలను ప్రతిబింబిస్తాయి - 1 మరియు 0. రెండవ స్థాయిలో, చెట్టు యొక్క శాఖలు వేరియబుల్ X 2 యొక్క సాధ్యమైన విలువలను మాత్రమే ప్రతిబింబిస్తాయి, దీని కోసం సమీకరణం నిజం. సమీకరణం అంతరార్థాన్ని నిర్దేశిస్తుంది కాబట్టి, X 1 విలువ 1 ఉన్న బ్రాంచ్‌కు ఆ శాఖలో X 2 విలువ 1 ఉండాలి. X 1 విలువ 0 ఉన్న శాఖ X 2 విలువలతో రెండు శాఖలను ఉత్పత్తి చేస్తుంది. 0 మరియు 1కి సమానంగా నిర్మించబడిన చెట్టు మూడు పరిష్కారాలను నిర్వచిస్తుంది, దానిపై X 1 → X 2 1 విలువను తీసుకుంటుంది. ప్రతి శాఖపై, సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని ఇస్తూ సంబంధిత వేరియబుల్ విలువల సెట్ వ్రాయబడుతుంది.

ఈ సెట్‌లు: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))

కింది సమీకరణాన్ని జోడించడం ద్వారా డెసిషన్ ట్రీని నిర్మించడాన్ని కొనసాగిద్దాం, ఈ క్రింది ఇంప్లికేషన్ X 2 → X 3 . మా సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క విశిష్టత ఏమిటంటే, సిస్టమ్ యొక్క ప్రతి కొత్త సమీకరణం మునుపటి సమీకరణం నుండి ఒక వేరియబుల్‌ని ఉపయోగిస్తుంది, ఒక కొత్త వేరియబుల్‌ని జోడిస్తుంది. వేరియబుల్ X 2 ఇప్పటికే చెట్టులో విలువలను కలిగి ఉన్నందున, X 2 వేరియబుల్ 1 విలువను కలిగి ఉన్న అన్ని శాఖలలో, వేరియబుల్ X 3 కూడా 1 విలువను కలిగి ఉంటుంది. అటువంటి శాఖలకు, చెట్టు నిర్మాణం తదుపరి స్థాయికి కొనసాగుతుంది, కానీ కొత్త శాఖలు కనిపించవు. వేరియబుల్ X 2 విలువ 0 ఉన్న సింగిల్ బ్రాంచ్ రెండు శాఖలుగా విభజించబడుతుంది, ఇక్కడ వేరియబుల్ X 3 0 మరియు 1 విలువలను అందుకుంటుంది. అందువలన, కొత్త సమీకరణం యొక్క ప్రతి జోడింపు, దాని ప్రత్యేకతలను బట్టి, ఒక పరిష్కారాన్ని జోడిస్తుంది. అసలు మొదటి సమీకరణం:

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1
6 పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది. ఈ సమీకరణం కోసం పూర్తి నిర్ణయ వృక్షం ఎలా ఉంటుందో ఇక్కడ ఉంది:

మా సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణం మొదటి దానికి సమానంగా ఉంటుంది:

(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1

ఒకే తేడా ఏమిటంటే సమీకరణం Y వేరియబుల్స్‌ని ఉపయోగిస్తుంది.ఈ సమీకరణంలో 6 పరిష్కారాలు కూడా ఉన్నాయి. వేరియబుల్స్ కోసం ప్రతి పరిష్కారం X i వేరియబుల్స్ Y j కోసం ప్రతి పరిష్కారంతో కలపవచ్చు కాబట్టి, మొత్తం పరిష్కారాల సంఖ్య 36.

దయచేసి నిర్మిత నిర్ణయ చెట్టు పరిష్కారాల సంఖ్య (శాఖల సంఖ్య ప్రకారం) మాత్రమే కాకుండా, చెట్టు యొక్క ప్రతి శాఖపై వ్రాసిన పరిష్కారాలను కూడా ఇస్తుంది.

సమస్య 19

x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 లాజికల్ వేరియబుల్స్ యొక్క ఎన్ని విభిన్న సెట్ల విలువలు క్రింద జాబితా చేయబడిన అన్ని షరతులను సంతృప్తిపరుస్తాయి?

(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1
(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1
(x1→ y1) = 1

ఈ టాస్క్ మునుపటి పనికి సవరణ. తేడా ఏమిటంటే X మరియు Y వేరియబుల్స్‌కు సంబంధించి మరొక సమీకరణం జోడించబడింది.

X 1 → Y 1 సమీకరణం నుండి X 1 విలువ 1 ఉన్నప్పుడు (అటువంటి పరిష్కారం ఉంది), Y 1 కూడా 1 విలువను కలిగి ఉంటుంది. అందువలన, X 1 మరియు Y 1 విలువలను కలిగి ఉన్న ఒక సెట్ ఉంది. 1. X 1 0కి సమానమైనప్పుడు, Y 1 0 మరియు 1 రెండింటిలోనూ ఏదైనా విలువను కలిగి ఉంటుంది. కాబట్టి, X 1తో 0కి సమానమైన ప్రతి సెట్, మరియు 5 అటువంటి సెట్‌లు ఉంటాయి, Y వేరియబుల్స్‌తో ఉన్న మొత్తం 6 సెట్‌లకు అనుగుణంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, మొత్తం పరిష్కారాల సంఖ్య 31.

సమస్య 20

(¬X 1 ˅ X 2) ˄ (¬X 2 ˅ X 3) ˄ (¬X 3 ˅ X 4) ˄ (¬X 4 ˅ X 5) ˄ (¬X 5 ˅ X 1) = 1

పరిష్కారం: ప్రాథమిక సమానత్వాలను గుర్తుంచుకోవడం, మేము మా సమీకరణాన్ని ఇలా వ్రాస్తాము:

(X 1 → X 2) ˄ (X 2 → X 3) ˄ (X 3 → X 4) ˄ (X 4 → X 5) ˄ (X 5 → X 1) = 1

చిక్కుల చక్రీయ గొలుసు అంటే వేరియబుల్స్ ఒకేలా ఉంటాయి కాబట్టి మన సమీకరణం సమీకరణానికి సమానం:

X 1 ≡ X 2 ≡ X 3 ≡ X 4 ≡ X 5 = 1

అన్ని X i 1 లేదా 0 అయినప్పుడు ఈ సమీకరణానికి రెండు పరిష్కారాలు ఉంటాయి.

సమస్య 21

(X 1 → X 2) ˄ (X 2 → X 3) ˄ (X 3 → X 4) ˄ (X 4 → X 2) ˄ (X 4 → X 5) = 1

పరిష్కారం: సమస్య 20లో వలె, మేము చక్రీయ చిక్కుల నుండి గుర్తింపుల వైపుకు వెళ్తాము, ఈ రూపంలో సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాస్తాము:

(X 1 → X 2) ˄ (X 2 ≡ X 3 ≡ X 4) ˄ (X 4 → X 5) = 1

ఈ సమీకరణం కోసం నిర్ణయ వృక్షాన్ని రూపొందిద్దాం:

సమస్య 22

కింది సమీకరణాల వ్యవస్థ ఎన్ని పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది?

((X 1 ≡X 2) ˄ (X 3 ≡X 4)) ˅(¬(X 1 ≡X 2) ˄ ¬(X 3 ≡X 4)) = 0

((X 3 ≡X 4) ˄ (X 5 ≡X 6)) ˅(¬(X 3 ≡X 4) ˄ ¬(X 5 ≡X 6)) = 0

((X 5 ≡X 6) ˄ (X 7 ≡X 8)) ˅(¬(X 5 ≡X 6) ˄ ¬(X 7 ≡X 8)) = 0

((X 7 ≡X 8) ˄ (X 9 ≡X 10)) ˅(¬(X 7 ≡X 8) ˄ ¬(X 9 ≡X 10)) = 0

సమాధానం: 64

పరిష్కారం: కింది వేరియబుల్స్ మార్పును పరిచయం చేయడం ద్వారా 10 వేరియబుల్స్ నుండి 5 వేరియబుల్స్‌కు మారుద్దాం:

Y 1 = (X 1 ≡ X 2); Y 2 = (X 3 ≡ X 4); Y 3 = (X 5 ≡ X 6); Y 4 = (X 7 ≡ X 8); Y 5 = (X 9 ≡ X 10);

అప్పుడు మొదటి సమీకరణం రూపం తీసుకుంటుంది:

(Y 1 ˄ Y 2) ˅ (¬Y 1 ˄ ¬Y 2) = 0

సమీకరణాన్ని ఇలా వ్రాయడం ద్వారా సరళీకరించవచ్చు:

(Y 1 ≡ Y 2) = 0

సాంప్రదాయ రూపానికి వెళ్లడం, మేము రూపంలో సరళీకృతం చేసిన తర్వాత సిస్టమ్‌ను వ్రాస్తాము:

¬(Y 1 ≡ Y 2) = 1

¬(Y 2 ≡ Y 3) = 1

¬(Y 3 ≡ Y 4) = 1

¬(Y 4 ≡ Y 5) = 1

ఈ సిస్టమ్ కోసం నిర్ణయం ట్రీ సరళమైనది మరియు ప్రత్యామ్నాయ వేరియబుల్ విలువలతో రెండు శాఖలను కలిగి ఉంటుంది:

అసలు X వేరియబుల్స్‌కి తిరిగి వస్తే, Y వేరియబుల్‌లోని ప్రతి విలువకు X వేరియబుల్స్‌లో 2 విలువలు ఉన్నాయని గమనించండి, కాబట్టి Y వేరియబుల్స్‌లోని ప్రతి పరిష్కారం X వేరియబుల్స్‌లో 2 5 పరిష్కారాలను ఉత్పత్తి చేస్తుంది. రెండు శాఖలు 2 * 2ని ఉత్పత్తి చేస్తాయి. 5 పరిష్కారాలు, కాబట్టి మొత్తం పరిష్కారాల సంఖ్య 64.

మీరు గమనిస్తే, సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించే ప్రతి సమస్యకు దాని స్వంత విధానం అవసరం. సమీకరణాలను సరళీకృతం చేయడానికి సమానమైన పరివర్తనలను చేయడం ఒక సాధారణ సాంకేతికత. నిర్ణయం చెట్లను నిర్మించడం అనేది ఒక సాధారణ సాంకేతికత. ఉపయోగించిన విధానం పాక్షికంగా సత్య పట్టికను నిర్మించడాన్ని గుర్తుచేస్తుంది, దీని ప్రత్యేకతతో వేరియబుల్స్ యొక్క సాధ్యమయ్యే అన్ని విలువల సెట్‌లు నిర్మించబడవు, కానీ ఫంక్షన్ విలువ 1 (నిజం) తీసుకుంటుంది. తరచుగా ప్రతిపాదిత సమస్యలలో పూర్తి నిర్ణయం చెట్టును నిర్మించాల్సిన అవసరం లేదు, ఎందుకంటే ఇప్పటికే ప్రారంభ దశలో ప్రతి తదుపరి స్థాయిలో కొత్త శాఖల రూపాన్ని ఏర్పాటు చేయడం సాధ్యపడుతుంది, ఉదాహరణకు, సమస్య 18 లో .

సాధారణంగా, తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాలను కనుగొనడంలో సమస్యలు మంచి గణిత వ్యాయామాలు.

సమస్యను మాన్యువల్‌గా పరిష్కరించడం కష్టమైతే, సమీకరణాలు మరియు సమీకరణాల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి తగిన ప్రోగ్రామ్‌ను వ్రాయడం ద్వారా మీరు కంప్యూటర్‌కు పరిష్కారాన్ని అప్పగించవచ్చు.

అటువంటి ప్రోగ్రామ్ రాయడం కష్టం కాదు. ఇటువంటి ప్రోగ్రామ్ యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో అందించే అన్ని పనులను సులభంగా ఎదుర్కోగలదు.

విచిత్రమేమిటంటే, తార్కిక సమీకరణాల వ్యవస్థలకు పరిష్కారాలను కనుగొనే పని కంప్యూటర్‌కు కష్టం, మరియు కంప్యూటర్‌కు దాని పరిమితులు ఉన్నాయని తేలింది. వేరియబుల్స్ సంఖ్య 20-30 ఉన్న సమస్యలను కంప్యూటర్ చాలా సులభంగా ఎదుర్కోగలదు, అయితే ఇది పెద్ద పరిమాణ సమస్యలపై ఎక్కువసేపు ఆలోచించడం ప్రారంభిస్తుంది. వాస్తవం ఏమిటంటే, సెట్‌ల సంఖ్యను పేర్కొనే ఫంక్షన్ 2 n, n పెరిగే కొద్దీ వేగంగా వృద్ధి చెందే ఘాతాంకం. ఒక రోజులో 40 వేరియబుల్స్ ఉన్న పనిని ఒక సాధారణ వ్యక్తిగత కంప్యూటర్ భరించలేనంత వేగంగా.

తార్కిక సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి C# భాషలో ప్రోగ్రామ్

తార్కిక సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రోగ్రామ్‌ను వ్రాయడం అనేక కారణాల వల్ల ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే మీరు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష పరీక్ష సమస్యలకు మీ స్వంత పరిష్కారం యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని తనిఖీ చేయడానికి దాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. మరొక కారణం ఏమిటంటే, యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో కేటగిరీ సి టాస్క్‌ల అవసరాలను తీర్చగల ప్రోగ్రామింగ్ టాస్క్‌కి ఇటువంటి ప్రోగ్రామ్ అద్భుతమైన ఉదాహరణ.

ప్రోగ్రామ్‌ను రూపొందించే ఆలోచన చాలా సులభం - ఇది వేరియబుల్ విలువల యొక్క అన్ని సెట్‌ల పూర్తి శోధనపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఇచ్చిన తార్కిక సమీకరణం లేదా సమీకరణాల వ్యవస్థ కోసం వేరియబుల్స్ సంఖ్య n తెలుసు కాబట్టి, సెట్ల సంఖ్య కూడా తెలుసు - 2 n వీటిని క్రమబద్ధీకరించాలి. C# భాష యొక్క ప్రాథమిక విధులు - నిరాకరణ, డిస్జంక్షన్, సంయోగం మరియు గుర్తింపును ఉపయోగించి, ఇచ్చిన వేరియబుల్స్ సెట్ కోసం, తార్కిక సమీకరణం లేదా సమీకరణాల వ్యవస్థకు సంబంధించిన తార్కిక ఫంక్షన్ విలువను లెక్కించే ప్రోగ్రామ్‌ను వ్రాయడం కష్టం కాదు. .

అటువంటి ప్రోగ్రామ్‌లో, మీరు సెట్‌ల సంఖ్య ఆధారంగా లూప్‌ను నిర్మించాలి, లూప్ యొక్క శరీరంలో, సెట్ సంఖ్యను ఉపయోగించి, సెట్‌ను ఏర్పరుచుకోండి, ఈ సెట్‌లోని ఫంక్షన్ విలువను లెక్కించండి మరియు ఇలా ఉంటే విలువ 1, అప్పుడు సెట్ సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని ఇస్తుంది.

ప్రోగ్రామ్‌ను అమలు చేసేటప్పుడు ఉత్పన్నమయ్యే ఏకైక ఇబ్బంది సెట్ సంఖ్య ఆధారంగా వేరియబుల్ విలువల సమితిని రూపొందించే పనికి సంబంధించినది. ఈ సమస్య యొక్క అందం ఏమిటంటే, ఈ అకారణంగా కష్టంగా అనిపించే పని వాస్తవానికి ఇప్పటికే చాలాసార్లు తలెత్తిన సాధారణ సమస్యకు వస్తుంది. నిజమే, సున్నాలు మరియు వాటిని కలిగి ఉన్న సంఖ్య iకి సంబంధించిన వేరియబుల్ విలువల సమితి i సంఖ్య యొక్క బైనరీ ప్రాతినిధ్యాన్ని సూచిస్తుందని అర్థం చేసుకోవడం సరిపోతుంది. కాబట్టి సెట్ నంబర్ ద్వారా వేరియబుల్ విలువల సమితిని పొందడం సంక్లిష్టమైన పని సంఖ్యను బైనరీకి మార్చే సుపరిచితమైన పనికి తగ్గించబడుతుంది.

C#లోని ఫంక్షన్ మా సమస్యను పరిష్కరిస్తుంది:

///

///

/// లాజికల్ ఫంక్షన్ - పద్ధతి,

/// దీని సంతకం DF ప్రతినిధి ద్వారా పేర్కొనబడింది

///

/// వేరియబుల్స్ సంఖ్య

/// పరిష్కారాల సంఖ్య

స్టాటిక్ పూర్ణాంక పరిష్కార సమీకరణాలు (DF ఫన్, పూర్ణాంక n)

bool set = కొత్త bool[n];

int m = (int)Math.Pow(2, n); //సెట్ల సంఖ్య

int p = 0, q = 0, k = 0;

//సెట్‌ల సంఖ్య ఆధారంగా శోధనను పూర్తి చేయండి

కోసం (int i = 0; i< m; i++)

//తదుపరి సెట్ యొక్క నిర్మాణం - సెట్,

//సంఖ్య i యొక్క బైనరీ ప్రాతినిధ్యం ద్వారా పేర్కొనబడింది

కోసం (int j = 0; j< n; j++)

k = (int)Math.Pow(2, j);

//సెట్‌లోని ఫంక్షన్ విలువను లెక్కించండి

ప్రోగ్రామ్‌ను అర్థం చేసుకోవడానికి, ప్రోగ్రామ్ యొక్క ఆలోచన మరియు దాని టెక్స్ట్‌లోని వ్యాఖ్యల వివరణలు సరిపోతాయని నేను ఆశిస్తున్నాను. నేను ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క శీర్షికను వివరించడంపై మాత్రమే దృష్టి పెడతాను. SolveEquations ఫంక్షన్ రెండు ఇన్‌పుట్ పారామితులను కలిగి ఉంటుంది. సరదా పరామితి సమీకరణం లేదా పరిష్కరించబడుతున్న సమీకరణాల వ్యవస్థకు సంబంధించిన తార్కిక విధిని నిర్దేశిస్తుంది. n పరామితి ఫన్ వేరియబుల్స్ సంఖ్యను నిర్దేశిస్తుంది. ఫలితంగా, SolveEquations ఫంక్షన్ లాజికల్ ఫంక్షన్ యొక్క పరిష్కారాల సంఖ్యను అందిస్తుంది, అనగా, ఫంక్షన్ నిజానికి మూల్యాంకనం చేసే సెట్‌ల సంఖ్య.

కొన్ని ఫంక్షన్ F(x)లో అంకగణితం, స్ట్రింగ్ లేదా లాజికల్ రకం యొక్క వేరియబుల్ అయిన ఇన్‌పుట్ పరామితి x ఉన్నప్పుడు ఇది పాఠశాల పిల్లలకు సాధారణం. మా విషయంలో, మరింత శక్తివంతమైన డిజైన్ ఉపయోగించబడుతుంది. SolveEquations ఫంక్షన్ అధిక-ఆర్డర్ ఫంక్షన్‌లను సూచిస్తుంది - రకం F(f) యొక్క ఫంక్షన్‌లు, దీని పారామితులు సాధారణ వేరియబుల్స్ మాత్రమే కాకుండా ఫంక్షన్‌లు కూడా కావచ్చు.

SolveEquations ఫంక్షన్‌కు పారామీటర్‌గా పాస్ చేయగల ఫంక్షన్‌ల తరగతి క్రింది విధంగా పేర్కొనబడింది:

డెలిగేట్ బూల్ DF(బూల్ వర్స్);

ఈ తరగతి vars శ్రేణి ద్వారా పేర్కొన్న లాజికల్ వేరియబుల్స్ యొక్క విలువల సమితిని పారామీటర్‌గా ఆమోదించిన అన్ని ఫంక్షన్‌లను కలిగి ఉంటుంది. ఫలితం ఈ సెట్‌లోని ఫంక్షన్ విలువను సూచించే బూలియన్ విలువ.

చివరగా, తార్కిక సమీకరణాల యొక్క అనేక వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి SolveEquations ఫంక్షన్‌ను ఉపయోగించే ప్రోగ్రామ్ ఇక్కడ ఉంది. SolveEquations ఫంక్షన్ క్రింది ప్రోగ్రామ్‌కామన్ క్లాస్‌లో భాగం:

తరగతి ప్రోగ్రామ్ కామన్

డెలిగేట్ బూల్ DF(బూల్ వర్స్);

స్టాటిక్ శూన్య ప్రధాన (స్ట్రింగ్ ఆర్గ్స్)

Console.WriteLine("మరియు విధులు - " +

పరిష్కార సమీకరణాలు(FunAnd, 2));

Console.WriteLine("ఫంక్షన్ 51 పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది - " +

పరిష్కార సమీకరణాలు(Fun51, 5));

Console.WriteLine("ఫంక్షన్ 53 పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది - " +

పరిష్కార సమీకరణాలు(Fun53, 10));

స్టాటిక్ బూల్ ఫన్ఆండ్ (బూల్ వర్స్)

తిరిగి vars && vars;

స్టాటిక్ బూల్ ఫన్51(బూల్ వర్స్)

f = f && (!vars || vars);

f = f && (!vars || vars);

f = f && (!vars || vars);

f = f && (!vars || vars);

f = f && (!vars || vars);

స్టాటిక్ బూల్ ఫన్53(బూల్ వర్స్)

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && ((vars == vars) || (vars == vars));

f = f && (!((వర్స్ == వర్స్) || (వర్స్ == వర్స్)));

ఈ ప్రోగ్రామ్ కోసం పరిష్కార ఫలితాలు ఎలా ఉంటాయో ఇక్కడ ఉంది:

స్వతంత్ర పని కోసం 10 పనులు

1. మూడు ఫంక్షన్లలో ఏది సమానం:
   1. (X → Y) ˅ ¬Y
   2. ¬(X ˅ ¬Y) ˄ (X → ¬Y)
   3. ¬X ˄Y
2. సత్య పట్టిక యొక్క ఒక భాగం ఇవ్వబడింది:

మూడు ఫంక్షన్లలో ఈ భాగం దేనికి అనుగుణంగా ఉంటుంది:

1. (X 1 ˅ ¬X 2) ˄ (X 3 → X 4)
2. (X 1 → X 3) ˄ X 2 ˅ X 4
3. X 1 ˄ X 2 ˅ (X 3 → (X 1 ˅ X 4))
4. జ్యూరీలో ముగ్గురు వ్యక్తులు ఉంటారు. జ్యూరీ ఛైర్మన్ దానికి ఓటు వేస్తే, కనీసం జ్యూరీ సభ్యులలో ఒకరు మద్దతు ఇస్తే నిర్ణయం తీసుకోబడుతుంది. లేదంటే ఎలాంటి నిర్ణయం తీసుకోరు. నిర్ణయం తీసుకునే ప్రక్రియను అధికారికం చేసే లాజికల్ ఫంక్షన్‌ను రూపొందించండి.
5. నాలుగు కాయిన్ టాస్‌లు మూడు సార్లు తలపడితే X Y పై గెలుస్తుంది. X యొక్క చెల్లింపును వివరించే లాజికల్ ఫంక్షన్‌ను నిర్వచించండి.
6. వాక్యంలోని పదాలు ఒకటి నుండి ప్రారంభించబడతాయి. కింది నియమాలకు అనుగుణంగా ఉంటే ఒక వాక్యం సరిగ్గా నిర్మితమైనదిగా పరిగణించబడుతుంది:
   1. సరి-సంఖ్య గల పదం అచ్చుతో ముగిస్తే, తదుపరి పదం, అది ఉన్నట్లయితే, తప్పనిసరిగా అచ్చుతో ప్రారంభం కావాలి.
   2. బేసి-సంఖ్యల పదం హల్లుతో ముగిస్తే, తదుపరి పదం ఉంటే, అది హల్లుతో ప్రారంభమై అచ్చుతో ముగియాలి.
      కింది వాక్యాలలో ఏవి సరిగ్గా నిర్మించబడ్డాయి:
   3. అమ్మ మాషాను సబ్బుతో కడిగింది.
   4. నాయకుడు ఎప్పుడూ మోడల్‌గా ఉంటాడు.
   5. నిజం మంచిది, కానీ ఆనందం మంచిది.
7. సమీకరణం ఎన్ని పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది:
   (a ˄ ¬ b) ˅ (¬a ˄ b) → (c ˄ d) = 1
8. సమీకరణానికి అన్ని పరిష్కారాలను జాబితా చేయండి:
   (a → b) → c = 0
9. కింది సమీకరణాల వ్యవస్థలో ఎన్ని పరిష్కారాలు ఉన్నాయి:
   X 0 → X 1 ˄ X 1 → X 2 = 1
   X 2 → X 3 ˄ X 3 → X 4 = 1
   X 5 → X 6 ˄ X 6 → X 7 = 1
   X 7 → X 8 ˄ X 8 → X 9 = 1
   X 0 → X 5 = 1
10. సమీకరణం ఎన్ని పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది:
    ((((X 0 → X 1) → X 2) → X 3) →X 4) →X 5 = 1

సమస్యలకు సమాధానాలు:

1. బి మరియు సి ఫంక్షన్‌లు సమానం.
2. శకలం ఫంక్షన్ బికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.
3. జ్యూరీ ఛైర్మన్ నిర్ణయానికి ఓటు వేసినప్పుడు లాజికల్ వేరియబుల్ P విలువ 1ని తీసుకోనివ్వండి. M 1 మరియు M 2 వేరియబుల్స్ జ్యూరీ సభ్యుల అభిప్రాయాలను సూచిస్తాయి. సానుకూల నిర్ణయం తీసుకోవడాన్ని పేర్కొనే తార్కిక విధిని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:
   P˄ (M 1 ˅ M 2)
4. i-th కాయిన్ టాస్ హెడ్స్‌పై పడినప్పుడు లాజికల్ వేరియబుల్ P i విలువ 1ని తీసుకుందాం. చెల్లింపు Xని పేర్కొనే లాజికల్ ఫంక్షన్‌ని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:
   ¬((¬P 1 ˄ (¬P 2 ˅ ¬P 3 ˅ ¬P 4)) ˅
   (¬P 2 ˄ (¬P 3 ˅ ¬P 4)) ˅
   (¬P 3 ˄ ¬P 4))
5. వాక్యం బి.
6. సమీకరణంలో 3 పరిష్కారాలు ఉన్నాయి: (a = 1; b = 1; c = 0); (a = 0; b = 0; c = 0); (a = 0; b = 1; c = 0)