Ang anggulo ng dihedral, patayo sa eroplano. Dihedral anggulo

UNANG KABANATA MGA LINYA AT EROPLO

V. DIHEDRAL ANGLES, ISANG TAMANG ANGLE NA MAY EROPLO,
ANGLE NG DALAWANG CROSSING RIGHTS, POLYHEDRAL ANGLES

dihedral na mga anggulo

38. Mga Kahulugan. Ang bahagi ng isang eroplano na nakahiga sa isang gilid ng isang linya na nakahiga sa eroplanong iyon ay tinatawag kalahating eroplano. Ang figure na nabuo ng dalawang kalahating eroplano (P at Q, Fig. 26) na nagmumula sa isang tuwid na linya (AB) ay tinatawag dihedral na anggulo. Ang tuwid na linyang AB ay tinatawag gilid, at ang kalahating eroplanong P at Q - mga partido o mga mukha dihedral na anggulo.

Ang ganitong anggulo ay karaniwang tinutukoy ng dalawang titik na nakalagay sa gilid nito (dihedral angle AB). Ngunit kung walang mga dihedral na anggulo sa isang gilid, ang bawat isa sa kanila ay tinutukoy ng apat na letra, kung saan ang dalawang gitna ay nasa gilid, at ang dalawang sukdulan ay nasa mga mukha (halimbawa, ang dihedral angle SCDR) (Fig . 27).

Kung, mula sa isang di-makatwirang punto D, ang mga gilid AB (Larawan 28) ay iginuhit sa bawat mukha sa kahabaan ng patayo sa gilid, kung gayon ang anggulo na nabuo ng mga ito ay tinatawag na CDE. linear na anggulo dihedral na anggulo.

Ang halaga ng isang linear na anggulo ay hindi nakadepende sa posisyon ng vertex nito sa gilid. Kaya, ang mga linear na anggulo na CDE at C 1 D 1 E 1 ay pantay-pantay dahil ang kanilang mga panig ay magkatulad at pantay na direksyon.

Ang eroplano ng isang linear na anggulo ay patayo sa gilid dahil naglalaman ito ng dalawang linya na patayo dito. Samakatuwid, upang makakuha ng isang linear na anggulo, sapat na upang i-intersect ang mga mukha ng isang naibigay na anggulo ng dihedral na may isang eroplanong patayo sa gilid, at isaalang-alang ang anggulo na nakuha sa eroplanong ito.

39. Pagkakapantay-pantay at hindi pagkakapantay-pantay ng mga anggulong dihedral. Ang dalawang dihedral na anggulo ay itinuturing na pantay kung maaari silang pagsamahin kapag nakapugad; kung hindi, ang isa sa mga dihedral na anggulo ay itinuturing na mas maliit, na magiging bahagi ng kabilang anggulo.

Tulad ng mga anggulo sa planimetry, ang mga anggulo ng dihedral ay maaaring katabi, patayo atbp.

Kung ang dalawang katabing anggulo ng dihedral ay pantay sa bawat isa, kung gayon ang bawat isa sa kanila ay tinatawag kanang anggulo ng dihedral.

Theorems. 1) Ang mga pantay na dihedral na anggulo ay tumutugma sa pantay na mga linear na anggulo.

2) Ang isang mas malaking dihedral na anggulo ay tumutugma sa isang mas malaking linear na anggulo.

Hayaang ang PABQ, at P 1 A 1 B 1 Q 1 (Fig. 29) ay dalawang dihedral na anggulo. I-embed ang anggulo A 1 B 1 sa anggulo AB upang ang gilid A 1 B 1 ay tumutugma sa gilid AB at ang mukha P 1 sa mukha P.

Pagkatapos kung ang mga dihedral na anggulo na ito ay pantay, ang mukha Q 1 ay magtutugma sa mukha Q; kung ang anggulo A 1 B 1 ay mas mababa sa anggulo AB, ang mukha Q 1 ay kukuha ng ilang posisyon sa loob ng dihedral na anggulo, halimbawa Q 2 .

Napansin ito, kumuha kami ng ilang punto B sa isang karaniwang gilid at gumuhit ng isang eroplanong R sa pamamagitan nito, patayo sa gilid. Mula sa intersection ng eroplanong ito na may mga mukha ng dihedral na mga anggulo, ang mga linear na anggulo ay nakuha. Malinaw na kung ang mga anggulo ng dihedral ay magkakasabay, magkakaroon sila ng parehong linear na anggulo CBD; kung ang mga anggulo ng dihedral ay hindi nag-tutugma, kung, halimbawa, ang mukha Q 1 ay pumuwesto Q 2, kung gayon ang mas malaking anggulo ng dihedral ay magkakaroon ng mas malaking linear na anggulo (ibig sabihin: / CBD > / C2BD).

40. Inverse theorems. 1) Ang mga pantay na linear na anggulo ay tumutugma sa pantay na dihedral na anggulo.

2) Ang isang mas malaking linear na anggulo ay tumutugma sa isang mas malaking dihedral na anggulo .

Ang mga teorema na ito ay madaling mapatunayan sa pamamagitan ng kontradiksyon.

41. Bunga. 1) Ang isang tamang dihedral na anggulo ay tumutugma sa isang tamang linear na anggulo, at vice versa.

Hayaang (Fig. 30) ang dihedral na anggulo na PABQ ay tama. Nangangahulugan ito na ito ay katumbas ng katabing anggulo QABP 1 . Ngunit sa kasong ito, ang mga linear na anggulo CDE at CDE 1 ay pantay din; at dahil magkatabi sila, dapat tuwid ang bawat isa sa kanila. Sa kabaligtaran, kung ang mga katabing linear na anggulo CDE at CDE 1 ay pantay-pantay, kung gayon ang katabing dihedral na mga anggulo ay pantay din, ibig sabihin, ang bawat isa sa kanila ay dapat na tama.

2) Lahat ng tamang dihedral na anggulo ay pantay, dahil mayroon silang pantay na mga linear na anggulo .

Katulad nito, madaling patunayan na:

3) Ang mga patayong dihedral na anggulo ay pantay.

4) Dihedral ang mga anggulo na may katumbas na parallel at pantay (o magkasalungat) nakadirekta na mga mukha ay pantay.

5) Kung kukunin natin bilang isang yunit ng dihedral na anggulo ang isang dihedral na anggulo na tumutugma sa isang yunit ng mga linear na anggulo, maaari nating sabihin na ang isang dihedral na anggulo ay sinusukat ng linear na anggulo nito.

Layunin ng aralin: pagpapakilala ng konsepto ng isang dihedral na anggulo at ang linear na anggulo nito.

Mga gawain:

Pang-edukasyon: upang isaalang-alang ang mga gawain para sa aplikasyon ng mga konseptong ito, upang bumuo ng isang nakabubuo na kasanayan sa paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga eroplano;

Pagbuo: pag-unlad ng malikhaing pag-iisip ng mga mag-aaral, personal na pag-unlad ng sarili ng mga mag-aaral, pag-unlad ng pagsasalita ng mga mag-aaral;

Pang-edukasyon: edukasyon ng kultura ng gawaing pangkaisipan, kultura ng komunikasyon, kultura ng mapanimdim.

Uri ng aralin: isang aral sa pag-aaral ng bagong kaalaman

Mga pamamaraan ng pagtuturo: nagpapaliwanag at naglalarawan

Kagamitan: computer, interactive na whiteboard.

Panitikan:

Geometry. Baitang 10-11: aklat-aralin. para sa 10-11 na mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon: basic at profile. mga antas / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev at iba pa] - ika-18 na ed. - M. : Edukasyon, 2009. - 255 p.

Plano ng aralin:

sandali ng organisasyon (2 min)

Pag-update ng kaalaman (5 min)

Pag-aaral ng bagong materyal (12 min)

Pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal (21 min)

Takdang-Aralin (2 min)

Pagbubuod (3 min)

Sa panahon ng mga klase:

1. Organisasyon sandali.

May kasamang pagbati ng guro ng klase, paghahanda ng silid para sa aralin, pagsuri sa mga lumiliban.

2. Aktwalisasyon ng pangunahing kaalaman.

Guro: Sa huling aralin, sumulat ka ng isang malayang akda. Sa pangkalahatan, mahusay ang pagkakasulat ng gawain. Ngayon ulitin natin ng kaunti. Ano ang tinatawag na anggulo sa isang eroplano?

Mag-aaral: Ang anggulo sa isang eroplano ay isang pigura na nabuo sa pamamagitan ng dalawang sinag na nagmumula sa isang punto.

Guro: Ano ang tawag sa anggulo sa pagitan ng mga linya sa espasyo?

Mag-aaral: Ang anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting na linya sa espasyo ay ang pinakamaliit sa mga anggulo na nabuo ng mga sinag ng mga linyang ito na may vertex sa punto ng kanilang intersection.

Mag-aaral: Ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya ay ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya, ayon sa pagkakabanggit, parallel sa data.

Guro: Ano ang tawag sa anggulo sa pagitan ng linya at eroplano?

Mag-aaral: Anggulo sa pagitan ng linya at eroplanoAnumang anggulo sa pagitan ng isang tuwid na linya at ang projection nito sa eroplanong ito ay tinatawag.

3. Pag-aaral ng bagong materyal.

Guro: Sa stereometry, kasama ang mga naturang anggulo, isa pang uri ng mga anggulo ang isinasaalang-alang - mga anggulo ng dihedral. Marahil ay nahulaan mo na kung ano ang paksa ng aralin ngayon, kaya buksan mo ang iyong mga kuwaderno, isulat ang petsa ngayong araw at ang paksa ng aralin.

Pagsusulat sa pisara at sa mga kuwaderno:

10.12.14.

Dihedral anggulo.

Guro : Upang ipakilala ang konsepto ng isang dihedral na anggulo, dapat itong alalahanin na ang anumang tuwid na linya na iginuhit sa isang partikular na eroplano ay naghahati sa eroplanong ito sa dalawang kalahating eroplano.(Larawan 1a)

Guro : Isipin na baluktot namin ang eroplano sa isang tuwid na linya upang ang dalawang kalahating eroplano na may hangganan ay lumabas na hindi na nakahiga sa parehong eroplano (Larawan 1, b). Ang resultang figure ay ang dihedral angle. Ang dihedral angle ay isang figure na nabuo sa pamamagitan ng isang tuwid na linya at dalawang kalahating eroplano na may isang karaniwang hangganan na hindi kabilang sa parehong eroplano. Ang mga kalahating eroplano na bumubuo ng isang dihedral na anggulo ay tinatawag na mga mukha nito. Ang isang dihedral angle ay may dalawang mukha, kaya ang pangalan ay dihedral angle. Ang tuwid na linya - ang karaniwang hangganan ng kalahating eroplano - ay tinatawag na gilid ng anggulo ng dihedral. Isulat ang kahulugan sa iyong kuwaderno.

Ang dihedral angle ay isang figure na nabuo sa pamamagitan ng isang tuwid na linya at dalawang kalahating eroplano na may isang karaniwang hangganan na hindi kabilang sa parehong eroplano.

Guro : Sa pang-araw-araw na buhay, madalas tayong makatagpo ng mga bagay na may hugis ng dihedral na anggulo. Magbigay ng halimbawa.

Mag-aaral : Kalahating bukas na folder.

Mag-aaral : Ang dingding ng silid kasama ang sahig.

Mag-aaral : Gable na bubong ng mga gusali.

Guro : Tama. At mayroong maraming tulad na mga halimbawa.

Guro : Tulad ng alam mo, ang mga anggulo sa isang eroplano ay sinusukat sa mga degree. Marahil ay may tanong ka, ngunit paano sinusukat ang mga anggulo ng dihedral? Ginagawa ito sa sumusunod na paraan.Minarkahan namin ang ilang punto sa gilid ng anggulo ng dihedral, at sa bawat mukha mula sa puntong ito gumuhit kami ng isang ray na patayo sa gilid. Ang anggulo na nabuo ng mga sinag na ito ay tinatawag na linear na anggulo ng dihedral angle. Gumawa ng isang guhit sa iyong mga kuwaderno.

Pagsusulat sa pisara at sa kuwaderno.

O ∈ a, AO ⊥ a, VO ⊥ a, SABD- anggulo ng dihedral,∠ AOBay ang linear na anggulo ng dihedral angle.

Guro : Ang lahat ng mga linear na anggulo ng isang dihedral na anggulo ay pantay. Gawin ang iyong sarili ng isang bagay na tulad nito.

Guro : Patunayan natin. Isaalang-alang ang dalawang linear na anggulo AOB atPQR. Sinag OA atQPnakahiga sa parehong mukha at patayoOQ, na nangangahulugang sila ay nakahanay. Katulad nito, ang mga sinag OB atQRco-directed. Ibig sabihin,∠ AOB= ∠ PQR(tulad ng mga anggulo na may codirectional na panig).

Guro : Well, ngayon ang sagot sa aming tanong ay kung paano sinusukat ang dihedral angle.Ang sukat ng antas ng isang dihedral na anggulo ay ang sukat ng antas ng linear na anggulo nito. Muling iguhit ang mga guhit ng acute, right, at obtuse dihedral angle mula sa textbook sa pahina 48.

4. Pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal.

Guro : Gumawa ng mga guhit para sa mga gawain.

№ 1 . Ibinigay: ΔABC, AC = BC, AB ay nasa eroplanoα, CD ⊥ α, C∉ a. Bumuo ng Linear Angle ng Dihedral AngleCABD.

Mag-aaral : Solusyon:CM ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ cmd - ninanais.

№ 2. Ibinigay: ΔABC, ∠ C= 90°, ang BC ay nasa eroplanoα, AO⊥ α, A∈ α.

Bumuo ng Linear Angle ng Dihedral AngleAVSO.

Mag-aaral : Solusyon:AB ⊥ BC, JSC⊥ Ang ibig sabihin ng araw ay OS⊥ Araw.∠ ACO - ninanais.

№ 3 . Ibinigay: ΔABC, ∠ C \u003d 90 °, AB ay namamalagi sa eroplanoα, CD⊥ α, C∉ a. Bumuolinear dihedral angguloDABC.

Mag-aaral : Solusyon: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,DK ⊥ Ibig sabihin ng AB∠ DKC - ninanais.

№ 4 . Ibinigay:DABC- tetrahedron,GAWIN⊥ ABC.Buuin ang linear na anggulo ng dihedral angleA B C D.

Mag-aaral : Solusyon:DM ⊥ araw,GAWIN ⊥ Ang ibig sabihin ng BC ay OM⊥ araw;∠ OMD - ninanais.

5. Pagbubuod.

Guro: Ano ang bagong natutunan mo sa aralin ngayon?

Mga mag-aaral : Ano ang tinatawag na dihedral angle, linear angle, paano sinusukat ang dihedral angle.

Guro : Ano ang inulit mo?

Mga mag-aaral : Ano ang tinatawag na anggulo sa isang eroplano; anggulo sa pagitan ng mga linya.

6. Takdang-Aralin.

Pagsusulat sa pisara at sa mga talaarawan: aytem 22, blg. 167, blg. 170.

TEKSTO NA PALIWANAG NG ARALIN:

Sa planimetry, ang mga pangunahing bagay ay mga linya, mga segment, ray at mga punto. Ang mga sinag na nagmumula sa isang punto ay bumubuo ng isa sa kanilang mga geometric na hugis - isang anggulo.

Alam namin na ang isang linear na anggulo ay sinusukat sa mga degree at radian.

Sa stereometry, ang isang eroplano ay idinagdag sa mga bagay. Ang figure na nabuo sa pamamagitan ng tuwid na linya a at dalawang kalahating eroplano na may isang karaniwang hangganan a na hindi kabilang sa parehong eroplano sa geometry ay tinatawag na dihedral angle. Ang kalahating eroplano ay ang mga mukha ng isang dihedral na anggulo. Ang tuwid na linya a ay ang gilid ng dihedral na anggulo.

Ang isang dihedral na anggulo, tulad ng isang linear na anggulo, ay maaaring pangalanan, sukatin, itayo. Ito ang ating aalamin sa araling ito.

Hanapin ang dihedral angle sa ABCD tetrahedron model.

Ang isang dihedral na anggulo na may gilid AB ay tinatawag na CABD, kung saan ang C at D na mga puntos ay nabibilang sa magkaibang mukha ng anggulo at ang gilid AB ay tinatawag sa gitna.

Sa paligid natin ay maraming mga bagay na may mga elemento sa anyo ng isang dihedral na anggulo.

Sa maraming lungsod, ang mga espesyal na bangko para sa pagkakasundo ay inilagay sa mga parke. Ang bangko ay ginawa sa anyo ng dalawang hilig na eroplano na nagtatagpo patungo sa gitna.

Sa pagtatayo ng mga bahay, kadalasang ginagamit ang tinatawag na gable roof. Ang bubong ng bahay na ito ay ginawa sa anyo ng isang dihedral anggulo ng 90 degrees.

Ang dihedral angle ay sinusukat din sa degrees o radians, ngunit kung paano ito susukatin.

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang mga bubong ng mga bahay ay nakahiga sa mga rafters. At ang crate ng mga rafters ay bumubuo ng dalawang slope ng bubong sa isang naibigay na anggulo.

Ilipat natin ang larawan sa pagguhit. Sa pagguhit, upang makahanap ng isang dihedral na anggulo, ang punto B ay minarkahan sa gilid nito. Mula sa puntong ito, dalawang beam na BA at BC ay iginuhit patayo sa gilid ng anggulo. Ang anggulong ABC na nabuo ng mga sinag na ito ay tinatawag na linear na anggulo ng dihedral angle.

Ang sukat ng antas ng isang dihedral na anggulo ay katumbas ng sukat ng antas ng linear na anggulo nito.

Sukatin natin ang anggulong AOB.

Ang sukat ng antas ng isang naibigay na anggulo ng dihedral ay animnapung degree.

Ang mga linear na anggulo para sa isang dihedral na anggulo ay maaaring iguguhit sa isang walang katapusang bilang, mahalagang malaman na silang lahat ay pantay.

Isaalang-alang ang dalawang linear na anggulo AOB at A1O1B1. Ang mga sinag na OA at O1A1 ay nasa parehong mukha at patayo sa tuwid na linya OO1, kaya sila ay nakadirekta. Ang Rays OB at O1B1 ay co-direct din. Samakatuwid, ang anggulong AOB ay katumbas ng anggulong A1O1B1 bilang mga anggulo na may mga codirectional na panig.

Kaya ang isang dihedral na anggulo ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang linear na anggulo, at ang mga linear na anggulo ay acute, obtuse at right. Isaalang-alang ang mga modelo ng dihedral na anggulo.

Ang obtuse angle ay isa na ang linear na anggulo ay nasa pagitan ng 90 at 180 degrees.

Isang tamang anggulo kung ang linear na anggulo nito ay 90 degrees.

Isang matinding anggulo, kung ang linear na anggulo nito ay nasa pagitan ng 0 at 90 degrees.

Patunayan natin ang isa sa mga mahahalagang katangian ng isang linear na anggulo.

Ang eroplano ng isang linear na anggulo ay patayo sa gilid ng dihedral na anggulo.

Hayaang ang anggulong AOB ay ang linear na anggulo ng ibinigay na anggulo ng dihedral. Sa pamamagitan ng pagbuo, ang mga sinag AO at OB ay patayo sa tuwid na linya a.

Ang eroplanong AOB ay dumadaan sa dalawang intersecting na linya AO at OB ayon sa theorem: Ang isang eroplano ay dumadaan sa dalawang intersecting na linya, at higit pa rito, isa lamang.

Ang linya a ay patayo sa dalawang intersecting na linya na nakahiga sa eroplanong ito, na nangangahulugan na, sa pamamagitan ng tanda ng perpendicularity ng linya at ng eroplano, ang linya a ay patayo sa eroplanong AOB.

Upang malutas ang mga problema, mahalaga na makabuo ng isang linear na anggulo ng isang naibigay na anggulo ng dihedral. Buuin ang linear na anggulo ng dihedral angle na may gilid AB para sa tetrahedron ABCD.

Pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang anggulo ng dihedral, na nabuo, una, sa gilid ng AB, isang facet ABD, ang pangalawang facet ABC.

Narito ang isang paraan upang bumuo.

Gumuhit tayo ng patayo mula sa punto D hanggang sa eroplanong ABC, markahan ang puntong M bilang base ng patayo. Alalahanin na sa isang tetrahedron ang base ng patayo ay tumutugma sa gitna ng nakasulat na bilog sa base ng tetrahedron.

Gumuhit ng slope mula sa punto D patayo sa gilid AB, markahan ang punto N bilang base ng slope.

Sa tatsulok na DMN, ang segment na NM ay ang mga projection ng pahilig na DN papunta sa eroplanong ABC. Ayon sa tatlong perpendicular theorem, ang gilid AB ay magiging patayo sa projection NM.

Nangangahulugan ito na ang mga gilid ng anggulo ng DNM ay patayo sa gilid AB, na nangangahulugang ang itinayong anggulo na DNM ay ang kinakailangang linear na anggulo.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng paglutas ng problema sa pagkalkula ng anggulo ng dihedral.

Isosceles triangle ABC at regular triangle ADB ay hindi nakahiga sa parehong eroplano. Ang segment na CD ay patayo sa eroplanong ADB. Hanapin ang dihedral angle DABC kung AC=CB=2cm, AB=4cm.

Ang dihedral angle DABC ay katumbas ng linear na angle nito. Buuin natin ang sulok na ito.

Gumuhit tayo ng isang pahilig na SM patayo sa gilid AB, dahil ang tatsulok na ACB ay isosceles, kung gayon ang puntong M ay magkakasabay sa gitnang punto ng gilid AB.

Ang linyang CD ay patayo sa eroplanong ADB, na nangangahulugang ito ay patayo sa linyang DM na nakahiga sa eroplanong ito. At ang segment na MD ay ang projection ng pahilig na SM papunta sa eroplanong ADB.

Ang linyang AB ay patayo sa pahilig na CM sa pamamagitan ng konstruksyon, na nangangahulugan na sa pamamagitan ng tatlong perpendiculars theorem ito ay patayo sa projection MD.

Kaya, dalawang perpendicular na CM at DM ang matatagpuan sa gilid ng AB. Kaya bumubuo sila ng isang linear na anggulo СMD ng isang dihedral angle DABC. At nananatili para sa amin na hanapin ito mula sa kanang tatsulok na СDM.

Dahil ang segment na SM ay ang median at ang taas ng isosceles triangle ASV, pagkatapos ay ayon sa Pythagorean theorem, ang binti ng SM ay 4 cm.

Mula sa isang kanang tatsulok na DMB, ayon sa Pythagorean theorem, ang leg DM ay katumbas ng dalawang ugat ng tatlo.

Ang cosine ng isang anggulo mula sa isang kanang tatsulok ay katumbas ng ratio ng katabing binti MD sa hypotenuse CM at katumbas ng tatlong ugat ng tatlo sa dalawa. Kaya ang anggulo ng CMD ay 30 degrees.

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagbubunyag ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Ang anggulo sa pagitan ng dalawang magkaibang eroplano ay maaaring matukoy para sa anumang kamag-anak na posisyon ng mga eroplano.

Ang maliit na kaso ay kung ang mga eroplano ay parallel. Kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay itinuturing na katumbas ng zero.

Non-trivial case kung mag-intersect ang mga eroplano. Ang kasong ito ay paksa ng karagdagang talakayan. Una kailangan natin ang konsepto ng isang dihedral angle.

9.1 Dihedral anggulo

Ang dihedral angle ay dalawang kalahating eroplano na may karaniwang tuwid na linya (na tinatawag na gilid ng isang dihedral angle). Sa fig. Ang 50 ay nagpapakita ng isang dihedral na anggulo na nabuo ng mga kalahating eroplano at; ang gilid ng dihedral na anggulo na ito ay ang linyang karaniwan sa ibinigay na kalahating eroplano.

kanin. 50. Dihedral anggulo

Ang anggulo ng dihedral ay maaaring masukat sa mga degree o radian sa isang salita, ipasok ang angular na halaga ng anggulo ng dihedral. Ginagawa ito sa sumusunod na paraan.

Sa gilid ng anggulo ng dihedral na nabuo ng mga kalahating eroplano at, kumuha kami ng isang di-makatwirang punto M. Iguhit natin ang mga sinag na MA at MB, na nakahiga ayon sa pagkakabanggit sa mga kalahating eroplano na ito at patayo sa gilid (Larawan 51).

kanin. 51. Linear angle dihedral angle

Ang resultang anggulo na AMB ay ang linear na anggulo ng dihedral angle. Ang anggulo na " = \AMB ay tiyak ang angular na halaga ng aming dihedral na anggulo.

Kahulugan. Ang angular magnitude ng isang dihedral angle ay ang magnitude ng linear na angle ng isang ibinigay na dihedral angle.

Ang lahat ng mga linear na anggulo ng isang dihedral na anggulo ay katumbas ng bawat isa (pagkatapos ng lahat, sila ay nakuha mula sa bawat isa sa pamamagitan ng isang parallel shift). Samakatuwid, ang kahulugan na ito ay tama: ang halaga "ay hindi nakasalalay sa tiyak na pagpili ng punto M sa gilid ng anggulo ng dihedral.

9.2 Pagtukoy sa anggulo sa pagitan ng mga eroplano

Kapag ang dalawang eroplano ay nagsalubong, apat na dihedral na anggulo ang makukuha. Kung lahat sila ay may parehong halaga (90 bawat isa), kung gayon ang mga eroplano ay tinatawag na patayo; ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano ay pagkatapos ay 90 .

Kung hindi lahat ng dihedral na anggulo ay pareho (iyon ay, mayroong dalawang acute at dalawang obtuse), kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano ay ang halaga ng acute dihedral angle (Fig. 52).

kanin. 52. Anggulo sa pagitan ng mga eroplano

9.3 Mga halimbawa ng paglutas ng problema

Isaalang-alang natin ang tatlong gawain. Ang una ay simple, ang pangalawa at pangatlo ay humigit-kumulang sa antas ng C2 sa pagsusulit sa matematika.

Gawain 1. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng dalawang mukha ng isang regular na tetrahedron.

Solusyon. Hayaan ang ABCD na maging isang regular na tetrahedron. Iguhit natin ang median AM at DM ng kaukulang mga mukha, pati na rin ang taas ng tetrahedron DH (Larawan 53).

kanin. 53. Sa problema 1

Ang pagiging median, ang AM at DM ay ang taas din ng equilateral triangles ABC at DBC. Samakatuwid, ang anggulo " = \AMD ay ang linear na anggulo ng dihedral angle na nabuo ng mga mukha ng ABC at DBC. Nahanap natin ito mula sa tatsulok na DHM:

Sagot: arccos 1 3 .

Problema 2. Sa isang regular na quadrangular pyramid SABCD (na may vertex S), ang gilid ng gilid ay katumbas ng gilid ng base. Ang point K ay ang midpoint ng gilid SA. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano

Solusyon. Ang linyang BC ay parallel sa AD at sa gayon ay parallel sa plane ADS. Samakatuwid, ang KBC plane ay nag-intersect sa ADS plane sa kahabaan ng straight line na KL parallel sa BC (Fig. 54).

kanin. 54. Sa problema 2

Sa kasong ito, ang KL ay magiging parallel din sa linyang AD; kaya ang KL ay ang midline ng triangle ADS, at ang point L ay ang midpoint ng DS.

Iguhit ang taas ng pyramid SO. Hayaan ang N ang midpoint ng DO. Kung gayon ang LN ay ang midline ng tatsulok na DOS, at samakatuwid ay LN k SO. Kaya ang LN ay patayo sa eroplanong ABC.

Mula sa puntong N ibinabagsak namin ang patayo NM sa linyang BC. Ang tuwid na linyang NM ang magiging projection ng pahilig na LM papunta sa eroplanong ABC. Pagkatapos ay sumusunod mula sa tatlong perpendicular theorem na ang LM ay patayo din sa BC.

Kaya, ang anggulo " = \LMN ay isang linear na anggulo ng dihedral na anggulo na nabuo ng kalahating eroplanong KBC at ABC. Hahanapin natin ang anggulong ito mula sa kanang tatsulok na LMN.

Hayaang ang gilid ng pyramid ay a. Una, hanapin ang taas ng pyramid:

Solusyon. Hayaang L ang intersection point ng mga linyang A1 K at AB. Pagkatapos ang eroplanong A1 KC ay nag-intersect sa eroplanong ABC kasama ang tuwid na linyang CL (Fig.55).

A C

kanin. 55. Problema 3

Ang mga tatsulok na A1 B1 K at KBL ay pantay sa binti at matinding anggulo. Samakatuwid, ang iba pang mga binti ay pantay din: A1 B1 = BL.

Isaalang-alang ang tatsulok na ACL. Sa loob nito BA = BC = BL. Ang anggulo ng CBL ay 120 ; kaya \BCL = 30 . Gayundin, \BCA = 60 . Samakatuwid \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

So LC? AC. Ngunit ang linyang AC ay ang projection ng linyang A1 C papunta sa eroplanong ABC. Sa pamamagitan ng tatlong perpendicular theorem, pagkatapos ay tapusin natin na ang LC ? A1C.

Kaya, ang anggulo A1 CA ay ang linear na anggulo ng dihedral na anggulo na nabuo ng kalahating eroplanong A1 KC at ABC. Ito ang kinakailangang anggulo. Mula sa isosceles right triangle A1 AC makikita natin na ito ay katumbas ng 45 .