Ang integral ay nasa aksyon. Paano kalkulahin ang dami ng isang katawan ng rebolusyon gamit ang isang tiyak na integral

Kahulugan 3. Ang katawan ng rebolusyon ay isang katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang patag na pigura sa paligid ng isang axis na hindi sumasalubong sa pigura at nakahiga sa parehong eroplano kasama nito.

Ang axis ng pag-ikot ay maaaring mag-intersect sa figure kung ito ang axis ng symmetry ng figure.

Teorama 2.
, aksis
at tuwid na mga segment
At

umiikot sa paligid ng isang axis
. Pagkatapos ang dami ng nagresultang katawan ng pag-ikot ay maaaring kalkulahin gamit ang formula

(2)

Patunay. Para sa naturang katawan, ang cross section na may abscissa ay isang bilog ng radius
, Ibig sabihin
at ang formula (1) ay nagbibigay ng kinakailangang resulta.

Kung ang figure ay limitado sa pamamagitan ng mga graph ng dalawang tuloy-tuloy na function
At
, at mga segment ng linya
At
, at
At
, pagkatapos ay sa pag-ikot sa paligid ng x-axis nakakakuha tayo ng katawan na ang volume

Halimbawa 3. Kalkulahin ang volume ng isang torus na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang bilog na may hangganan ng isang bilog

sa paligid ng abscissa axis.

R desisyon. Ang ipinahiwatig na bilog ay limitado sa ibaba ng graph ng function
, at mula sa itaas –
. Ang pagkakaiba ng mga parisukat ng mga function na ito:

Kinakailangang volume

(ang graph ng integrand ay ang itaas na kalahating bilog, kaya ang integral na nakasulat sa itaas ay ang lugar ng kalahating bilog).

Halimbawa 4. Parabolic segment na may base
, at taas , umiikot sa paligid ng base. Kalkulahin ang dami ng nagresultang katawan (“lemon” ni Cavalieri).

R desisyon. Ilalagay namin ang parabola tulad ng ipinapakita sa figure. Pagkatapos ang equation nito
, at
. Hanapin natin ang halaga ng parameter :
. Kaya, ang kinakailangang dami:

Teorama 3. Hayaan ang isang curvilinear trapezoid na bounded ng graph ng isang tuluy-tuloy na di-negatibong function
, aksis
at tuwid na mga segment
At
, at
, umiikot sa paligid ng isang axis
. Pagkatapos ang dami ng nagresultang katawan ng pag-ikot ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

(3)

Ang ideya ng patunay. Hinati namin ang segment
tuldok

, sa mga bahagi at gumuhit ng mga tuwid na linya
. Ang buong trapezoid ay mabubulok sa mga piraso, na maaaring ituring na humigit-kumulang na mga parihaba na may base
at taas
.

Pinutol namin ang nagresultang silindro sa pamamagitan ng pag-ikot ng tulad ng isang rektanggulo kasama ang generatrix nito at ibuka ito. Nakakakuha kami ng "halos" parallelepiped na may mga sukat:
,
At
. Ang dami nito
. Kaya, para sa dami ng isang katawan ng rebolusyon magkakaroon tayo ng tinatayang pagkakapantay-pantay

Upang makakuha ng eksaktong pagkakapantay-pantay, ang isa ay dapat pumunta sa limitasyon sa
. Ang kabuuan na nakasulat sa itaas ay ang integral sum para sa function
, samakatuwid, sa limitasyon ay nakukuha natin ang integral mula sa formula (3). Ang teorama ay napatunayan.

Tandaan 1. Sa Theorems 2 at 3 ang kondisyon
maaaring tanggalin: ang formula (2) ay karaniwang hindi sensitibo sa tanda
, at sa formula (3) ito ay sapat na
pinalitan ng
.

Halimbawa 5. Parabolic segment (base
, taas ) umiikot sa taas. Hanapin ang dami ng nagresultang katawan.

Solusyon. Ilagay natin ang parabola tulad ng ipinapakita sa figure. At kahit na ang axis ng pag-ikot ay intersects ang figure, ito - ang axis - ay ang axis ng mahusay na proporsyon. Samakatuwid, kailangan nating isaalang-alang lamang ang kanang kalahati ng segment. Parabola equation
, at
, Ibig sabihin
. Para sa dami mayroon kaming:

Tandaan 2. Kung ang curvilinear na hangganan ng isang curvilinear trapezoid ay ibinibigay ng parametric equation
,
,
At
,
pagkatapos ay maaari mong gamitin ang mga formula (2) at (3) na may kapalit sa
At
sa
kapag nagbago ito t mula sa
dati .

Halimbawa 6. Ang pigura ay limitado ng unang arko ng cycloid
,
,
, at ang x-axis. Hanapin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng figure na ito sa paligid: 1) axis
; 2) mga palakol
.

Solusyon. 1) Pangkalahatang formula
Sa kaso natin:

2) Pangkalahatang formula
Para sa aming figure:

Inaanyayahan namin ang mga mag-aaral na isakatuparan ang lahat ng mga kalkulasyon sa kanilang sarili.

Tandaan 3. Hayaan ang isang hubog na sektor na nalilimitahan ng tuloy-tuloy na linya
at sinag
,

, umiikot sa paligid ng isang polar axis. Ang dami ng nagresultang katawan ay maaaring kalkulahin gamit ang formula.

Halimbawa 7. Bahagi ng isang pigura na may hangganan ng isang cardioid
, nakahiga sa labas ng bilog
, umiikot sa paligid ng isang polar axis. Hanapin ang volume ng resultang katawan.

Solusyon. Ang parehong mga linya, at samakatuwid ang figure na kanilang nililimitahan, ay simetriko tungkol sa polar axis. Samakatuwid, kinakailangang isaalang-alang lamang ang bahaging iyon kung saan
. Ang mga kurba ay nagsalubong sa
At

sa
. Dagdag pa, ang figure ay maaaring isaalang-alang bilang pagkakaiba ng dalawang sektor, at samakatuwid ang dami ay maaaring kalkulahin bilang pagkakaiba ng dalawang integral. Meron kami:

Mga gawain para sa isang malayang desisyon.

1. Isang pabilog na segment na ang base
, taas , umiikot sa paligid ng base. Hanapin ang dami ng katawan ng pag-ikot.

2. Hanapin ang volume ng isang paraboloid ng rebolusyon na ang base , at ang taas ay .

3. Figure na may hangganan ng isang astroid
,
umiikot sa paligid ng abscissa axis. Hanapin ang dami ng nagresultang katawan.

4. Figure na may hangganan ng mga linya
At
umiikot sa paligid ng x-axis. Hanapin ang dami ng katawan ng pag-ikot.

Paksa: "Pagkalkula ng mga volume ng katawan ng rebolusyon gamit ang isang tiyak na integral"

Uri ng aralin: pinagsama-sama.

Layunin ng aralin: matutong kalkulahin ang mga volume ng katawan ng rebolusyon gamit ang mga integral.

Mga gawain:

pagsamahin ang kakayahang makilala ang mga curvilinear trapezoid mula sa isang bilang ng mga geometric na numero at bumuo ng kasanayan sa pagkalkula ng mga lugar ng curvilinear trapezoids;

kilalanin ang konsepto ng isang three-dimensional na pigura;

matutong kalkulahin ang dami ng mga katawan ng rebolusyon;

itaguyod ang pagbuo ng lohikal na pag-iisip, karampatang pagsasalita sa matematika, katumpakan kapag gumagawa ng mga guhit;

upang linangin ang interes sa paksa, sa pagpapatakbo sa matematikal na mga konsepto at imahe, upang linangin ang kalooban, pagsasarili, at tiyaga sa pagkamit ng pangwakas na resulta.

Sa panahon ng mga klase

I. Pansamahang sandali.

Pagbati mula sa grupo. Ipaalam sa mga mag-aaral ang mga layunin ng aralin.

Nais kong simulan ang aralin ngayon sa pamamagitan ng isang talinghaga. “Noong unang panahon ay may nabuhay na isang matalinong tao na alam ang lahat. Isang lalaki ang gustong patunayan na hindi alam ng pantas ang lahat. Hawak ang isang butterfly sa kanyang mga palad, nagtanong siya: "Sabihin mo sa akin, sage, kung aling butterfly ang nasa aking mga kamay: patay o buhay?" At iniisip niya: “Kung sasabihin ng buhay, papatayin ko siya; kung sabihin ng patay, palalayain ko siya.” Ang pantas, pagkatapos mag-isip, ay sumagot: "Ang lahat ay nasa iyong mga kamay."

Samakatuwid, gumawa tayo ng mabunga ngayon, kumuha ng bagong tindahan ng kaalaman, at ilalapat natin ang mga nakuhang kasanayan at kakayahan sa hinaharap na buhay at sa mga praktikal na aktibidad. "Nasa iyong mga kamay ang lahat."

II. Pag-uulit ng naunang pinag-aralan na materyal.

Tandaan natin ang mga pangunahing punto ng naunang pinag-aralan na materyal. Upang gawin ito, kumpletuhin natin ang gawain na "Alisin ang karagdagang salita."

(Nagsasabi ang mga mag-aaral ng karagdagang salita.)

Tama "Differential". Subukang pangalanan ang natitirang mga salita gamit ang isang karaniwang salita. (Integral na calculus.)

Tandaan natin ang mga pangunahing yugto at konsepto na nauugnay sa integral calculus.

Mag-ehersisyo. Bawiin ang mga puwang. (Lalabas ang mag-aaral at isusulat ang mga kinakailangang salita na may marker.)

Magtrabaho sa mga notebook.

Ang pormula ng Newton-Leibniz ay hinango ng English physicist na si Isaac Newton (1643-1727) at ng German philosopher na si Gottfried Leibniz (1646-1716). At hindi ito nakakagulat, dahil ang matematika ay ang wikang sinasalita ng kalikasan mismo.

Isaalang-alang natin kung paano ginagamit ang formula na ito upang malutas ang mga praktikal na problema.

Halimbawa 1: Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya

Solusyon: Bumuo tayo ng mga graph ng mga function sa coordinate plane . Piliin natin ang lugar ng figure na kailangang matagpuan.

III. Pag-aaral ng bagong materyal.

Bigyang-pansin ang screen. Ano ang ipinapakita sa unang larawan? (Ang figure ay nagpapakita ng isang flat figure.)

Ano ang ipinapakita sa pangalawang larawan? Flat ba ang figure na ito? (Ang figure ay nagpapakita ng isang three-dimensional na figure.)

Sa kalawakan, sa lupa at sa pang-araw-araw na buhay, nakatagpo tayo hindi lamang ng mga flat figure, kundi pati na rin ang mga three-dimensional, ngunit paano natin makalkula ang dami ng naturang mga katawan? Halimbawa: ang dami ng isang planeta, kometa, meteorite, atbp.

Ang mga tao ay nag-iisip tungkol sa lakas ng tunog kapwa kapag nagtatayo ng mga bahay at kapag nagbubuhos ng tubig mula sa isang sisidlan patungo sa isa pa. Kailangang lumabas ang mga panuntunan at pamamaraan para sa pagkalkula ng mga volume; kung gaano katumpak at katuwiran ang mga ito ay ibang usapin.

Ang taong 1612 ay napakabunga para sa mga residente ng Austrian na lungsod ng Linz, kung saan nanirahan ang sikat na astronomer na si Johannes Kepler, lalo na para sa mga ubas. Ang mga tao ay naghahanda ng mga bariles ng alak at gustong malaman kung paano praktikal na matukoy ang kanilang mga volume.

Kaya, ang itinuturing na mga gawa ni Kepler ay minarkahan ang simula ng isang buong stream ng pananaliksik na nagtapos sa huling quarter ng ika-17 siglo. disenyo sa mga gawa ni I. Newton at G.V. Leibniz ng differential at integral calculus. Mula sa oras na iyon, ang matematika ng mga variable ay kinuha ang nangungunang lugar sa sistema ng kaalaman sa matematika.

Ngayon ikaw at ako ay makikibahagi sa gayong mga praktikal na aktibidad, samakatuwid,

Ang paksa ng ating aralin: "Pagkalkula ng mga volume ng katawan ng pag-ikot gamit ang isang tiyak na integral."

Matututuhan mo ang kahulugan ng isang katawan ng rebolusyon sa pamamagitan ng pagkumpleto sa sumusunod na gawain.

"Labyrinth".

Mag-ehersisyo. Maghanap ng isang paraan mula sa nakalilitong sitwasyon at isulat ang kahulugan.

IVPagkalkula ng mga volume.

Gamit ang isang tiyak na integral, maaari mong kalkulahin ang dami ng isang partikular na katawan, sa partikular, isang katawan ng pag-ikot.

Ang katawan ng rebolusyon ay isang katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang hubog na trapezoid sa paligid ng base nito (Larawan 1, 2)

Ang dami ng isang katawan ng rebolusyon ay kinakalkula gamit ang isa sa mga formula:

1. sa paligid ng axis ng OX.

2. , kung ang pag-ikot ng isang hubog na trapezoid sa paligid ng axis ng op-amp.

Isulat ng mga mag-aaral ang mga pangunahing pormula sa isang kuwaderno.

Ipaliwanag ng guro ang mga solusyon sa mga halimbawa sa pisara.

1. Hanapin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng ordinate axis ng isang curvilinear trapezoid na may hangganan ng mga linya: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Solusyon.

Sagot: 1163 cm3.

2. Hanapin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng parabolic trapezoid sa paligid ng x-axis y = , x = 4, y = 0.

Solusyon.

V. Math simulator.

2. Ang set ng lahat ng antiderivatives ng isang ibinigay na function ay tinatawag

A) isang hindi tiyak na integral,

B) pag-andar,

B) pagkita ng kaibhan.

7. Hanapin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng abscissa axis ng isang curvilinear trapezoid na may hangganan ng mga linya:

D/Z. Pagsasama-sama ng bagong materyal

Kalkulahin ang dami ng katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng talulot sa paligid ng x-axis y = x2, y2 = x.

Bumuo tayo ng mga graph ng function. y = x2, y2 = x. Ibahin natin ang graph na y2 = x sa anyong y = .

Mayroon tayong V = V1 - V2 Kalkulahin natin ang dami ng bawat function:

Konklusyon:

Ang tiyak na integral ay isang tiyak na pundasyon para sa pag-aaral ng matematika, na gumagawa ng isang hindi mapapalitang kontribusyon sa paglutas ng mga praktikal na problema.

Ang paksang "Integral" ay malinaw na nagpapakita ng koneksyon sa pagitan ng matematika at pisika, biology, ekonomiya at teknolohiya.

Ang pag-unlad ng modernong agham ay hindi maiisip nang walang paggamit ng integral. Kaugnay nito, kinakailangang simulan ang pag-aaral nito sa loob ng balangkas ng pangalawang espesyalisadong edukasyon!

VI. Grading.(Na may komentaryo.)

Ang dakilang Omar Khayyam - matematiko, makata, pilosopo. Hinihikayat niya tayong maging panginoon ng ating sariling kapalaran. Makinig tayo sa isang sipi mula sa kanyang trabaho:

Sabi mo, ang buhay na ito ay isang sandali.
Pahalagahan ito, kumuha ng inspirasyon mula dito.
Habang ginagastos mo ito, lilipas din ito.
Huwag kalimutan: siya ang iyong nilikha.

Tulad ng problema sa paghahanap ng lugar, kailangan mo ng kumpiyansa na mga kasanayan sa pagguhit - ito ay halos ang pinakamahalagang bagay (dahil ang mga integral mismo ay madalas na madali). Magagawa mong makabisado ang mga karampatang at mabilis na diskarte sa pag-graph sa tulong ng mga materyales sa pagtuturo at mga pagbabagong Geometric ng mga graph. Ngunit, sa katunayan, napag-usapan ko na ang tungkol sa kahalagahan ng pagguhit ng ilang beses sa klase.

Sa pangkalahatan, mayroong maraming mga kagiliw-giliw na aplikasyon sa integral calculus; gamit ang isang tiyak na integral, maaari mong kalkulahin ang lugar ng isang figure, ang dami ng isang katawan ng pag-ikot, haba ng arko, ibabaw na lugar ng pag-ikot, at marami higit pa. Kaya ito ay magiging masaya, mangyaring manatiling optimistiko!

Isipin ang ilang flat figure sa coordinate plane. Ipinakilala? ... I wonder kung sino ang nagpresenta ng ano... =))) Nakahanap na kami ng area nito. Ngunit, bilang karagdagan, ang figure na ito ay maaari ding paikutin, at paikutin sa dalawang paraan:

– sa paligid ng abscissa axis;
– sa paligid ng ordinate axis.

Susuriin ng artikulong ito ang parehong mga kaso. Ang pangalawang paraan ng pag-ikot ay lalong kawili-wili; ito ay nagdudulot ng pinakamaraming kahirapan, ngunit sa katunayan ang solusyon ay halos kapareho ng sa mas karaniwang pag-ikot sa paligid ng x-axis. Bilang bonus babalik ako sa problema sa paghahanap ng lugar ng isang pigura, at sasabihin ko sa iyo kung paano hanapin ang lugar sa pangalawang paraan - kasama ang axis. Ito ay hindi gaanong bonus dahil ang materyal ay angkop sa paksa.

Magsimula tayo sa pinakasikat na uri ng pag-ikot.

flat figure sa paligid ng isang axis

Halimbawa 1

Kalkulahin ang volume ng isang katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang figure na nililimitahan ng mga linya sa paligid ng isang axis.

Solusyon: Tulad ng problema sa paghahanap ng lugar, ang solusyon ay nagsisimula sa isang pagguhit ng isang patag na pigura. Iyon ay, sa eroplano ito ay kinakailangan upang bumuo ng isang figure bounded sa pamamagitan ng mga linya , at huwag kalimutan na ang equation ay tumutukoy sa axis. Kung paano kumpletuhin ang isang pagguhit nang mas mahusay at mabilis ay makikita sa mga pahina Mga graph at katangian ng mga function sa Elementarya At Tiyak na integral. Paano makalkula ang lugar ng isang figure. Ito ay isang paalala ng Tsino, at sa puntong ito ay hindi na ako magtatagal pa.

Ang pagguhit dito ay medyo simple:

Ang ninanais na flat figure ay may kulay na kulay asul; ito ang umiikot sa paligid ng axis. Bilang resulta ng pag-ikot, ang resulta ay isang bahagyang ovoid flying saucer na simetriko tungkol sa axis. Sa katunayan, ang katawan ay may isang mathematical na pangalan, ngunit ako ay masyadong tamad upang linawin ang anumang bagay sa reference na libro, kaya magpatuloy kami.

Paano makalkula ang dami ng isang katawan ng pag-ikot?

Ang dami ng isang katawan ng rebolusyon ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:

Sa formula, ang numero ay dapat na naroroon bago ang integral. Kaya nangyari - lahat ng umiikot sa buhay ay konektado sa pare-parehong ito.

Sa palagay ko madaling hulaan kung paano itakda ang mga limitasyon ng pagsasama ng "a" at "maging" mula sa natapos na pagguhit.

Function... ano ang function na ito? Tingnan natin ang pagguhit. Ang figure ng eroplano ay nililimitahan ng graph ng parabola sa itaas. Ito ang function na ipinahiwatig sa formula.

Sa mga praktikal na gawain, ang isang flat figure ay maaaring minsan ay matatagpuan sa ibaba ng axis. Hindi ito nagbabago ng anuman - ang integrand sa formula ay naka-squad: , kaya ang integral ay palaging hindi negatibo, na napaka-lohikal.

Kalkulahin natin ang dami ng isang katawan ng pag-ikot gamit ang formula na ito:

Tulad ng nabanggit ko na, ang integral ay halos palaging nagiging simple, ang pangunahing bagay ay maging maingat.

Sagot:

Sa iyong sagot, dapat mong ipahiwatig ang dimensyon - cubic units. Iyon ay, sa aming katawan ng pag-ikot mayroong humigit-kumulang 3.35 "cubes". Bakit cubic mga yunit? Dahil ang pinaka-unibersal na pagbabalangkas. Maaaring may cubic centimeters, maaaring may cubic meters, maaaring may cubic kilometers, atbp., Ganyan karaming berdeng lalaki ang mailalagay ng iyong imahinasyon sa isang flying saucer.

Halimbawa 2

Hanapin ang volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng axis ng isang figure na may hangganan ng mga linya , ,

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Isaalang-alang natin ang dalawang mas kumplikadong mga problema, na madalas ding nakatagpo sa pagsasanay.

Halimbawa 3

Kalkulahin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng abscissa axis ng figure na nakatali ng mga linya , , at

Solusyon: Ilarawan natin sa pagguhit ang isang flat figure na nililimitahan ng mga linya , , , , nang hindi nalilimutan na ang equation ay tumutukoy sa axis:

Ang nais na pigura ay may kulay na asul. Kapag umikot ito sa axis nito, ito ay nagiging surreal donut na may apat na sulok.

Kalkulahin natin ang dami ng katawan ng rebolusyon bilang pagkakaiba sa dami ng mga katawan.

Una, tingnan natin ang pigurang nakabilog sa pula. Kapag ito ay umiikot sa paligid ng isang axis, isang pinutol na kono ay nakuha. Tukuyin natin ang dami nitong pinutol na kono sa pamamagitan ng .

Isaalang-alang ang pigura na nakabilog sa berde. Kung paikutin mo ang figure na ito sa paligid ng axis, makakakuha ka rin ng pinutol na kono, mas maliit lang ng kaunti. Tukuyin natin ang dami nito sa pamamagitan ng .

At, malinaw naman, ang pagkakaiba sa mga volume ay eksaktong dami ng aming "donut".

Ginagamit namin ang karaniwang formula upang mahanap ang dami ng isang katawan ng pag-ikot:

1) Ang figure na bilog sa pula ay nakatali sa itaas ng isang tuwid na linya, samakatuwid:

2) Ang pigura na nakabilog sa berde ay nakatali sa itaas ng isang tuwid na linya, samakatuwid:

3) Dami ng nais na katawan ng pag-ikot:

Sagot:

Nakakapagtataka na sa kasong ito ang solusyon ay maaaring masuri gamit ang formula ng paaralan para sa pagkalkula ng dami ng isang pinutol na kono.

Ang desisyon mismo ay madalas na isinulat nang mas maikli, tulad nito:

Ngayon, magpahinga tayo ng kaunti at sabihin sa iyo ang tungkol sa mga geometric na ilusyon.

Ang mga tao ay madalas na may mga ilusyon na nauugnay sa mga volume, na napansin ni Perelman (isa pa) sa aklat Nakakaaliw na geometry. Tingnan ang flat figure sa nalutas na problema - ito ay tila maliit sa lugar, at ang volume ng katawan ng rebolusyon ay higit lamang sa 50 cubic units, na tila masyadong malaki. Sa pamamagitan ng paraan, ang karaniwang tao ay umiinom ng katumbas ng isang silid na 18 metro kuwadrado ng likido sa kanyang buong buhay, na, sa kabaligtaran, ay tila napakaliit na dami.

Sa pangkalahatan, ang sistema ng edukasyon sa USSR ay talagang ang pinakamahusay. Ang parehong libro ni Perelman, na inilathala noong 1950, ay napakahusay na umuunlad, tulad ng sinabi ng humorist, na nag-iisip at nagtuturo sa iyo na maghanap ng orihinal, hindi karaniwang mga solusyon sa mga problema. Binasa ko kamakailan ang ilan sa mga kabanata na may malaking interes, inirerekomenda ko ito, naa-access ito kahit para sa mga humanista. Hindi, hindi mo kailangang ngumiti na nag-alok ako ng libreng oras, ang kaalaman at malawak na abot-tanaw sa komunikasyon ay isang magandang bagay.

Pagkatapos ng lyrical digression, nararapat lamang na lutasin ang isang malikhaing gawain:

Halimbawa 4

Kalkulahin ang volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot tungkol sa axis ng isang patag na pigura na nakatali ng mga linya , , kung saan .

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Pakitandaan na ang lahat ng mga kaso ay nangyayari sa banda, sa madaling salita, ang mga handa na limitasyon ng pagsasama ay talagang ibinibigay. Iguhit nang tama ang mga graph ng trigonometriko function, hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang materyal ng aralin tungkol sa geometric na pagbabagong-anyo ng mga graph: kung ang argumento ay nahahati sa dalawa: , pagkatapos ay ang mga graph ay nakaunat nang dalawang beses sa kahabaan ng axis. Maipapayo na makahanap ng hindi bababa sa 3-4 na puntos ayon sa trigonometric tables upang makumpleto ang pagguhit nang mas tumpak. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. Sa pamamagitan ng paraan, ang gawain ay maaaring malutas nang makatwiran at hindi masyadong makatwiran.

Pagkalkula ng dami ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot
flat figure sa paligid ng isang axis

Ang pangalawang talata ay magiging mas kawili-wili kaysa sa una. Ang gawain ng pagkalkula ng dami ng isang katawan ng rebolusyon sa paligid ng ordinate axis ay isang medyo karaniwang panauhin sa pagsubok na trabaho. Sa daan ito ay isasaalang-alang problema sa paghahanap ng lugar ng isang pigura ang pangalawang paraan ay ang pagsasama sa kahabaan ng axis, ito ay magbibigay-daan sa iyo hindi lamang upang mapabuti ang iyong mga kasanayan, ngunit din magturo sa iyo upang mahanap ang pinaka kumikitang landas ng solusyon. Mayroon ding praktikal na kahulugan ng buhay dito! Habang nakangiti ang aking guro sa mga pamamaraan sa pagtuturo ng matematika, maraming nagtapos ang nagpasalamat sa kanya sa mga salitang: "Nakatulong nang malaki sa amin ang iyong paksa, ngayon ay epektibo na kaming mga tagapamahala at mahusay na namamahala ng mga kawani." Sa pagkakataong ito, nagpapasalamat din ako sa kanya, lalo na't ginagamit ko ang nakuhang kaalaman para sa layunin nito =).

Inirerekomenda ko ito sa lahat, kahit na kumpletong dummies. Bukod dito, ang materyal na natutunan sa ikalawang talata ay magbibigay ng napakahalagang tulong sa pagkalkula ng dobleng integral.

Halimbawa 5

Given a flat figure bounded by the lines , , .

1) Hanapin ang lugar ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linyang ito.
2) Hanapin ang dami ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang patag na pigura na nakatali ng mga linyang ito sa paligid ng axis.

Pansin! Kahit na gusto mo lang basahin ang pangalawang punto, una Kailangan basahin mo yung una!

Solusyon: Ang gawain ay binubuo ng dalawang bahagi. Magsimula tayo sa parisukat.

1) Gumawa tayo ng drawing:

Madaling makita na ang function ay tumutukoy sa itaas na sangay ng parabola, at ang function ay tumutukoy sa mas mababang sangay ng parabola. Sa harap natin ay isang maliit na parabola na "nakahiga sa gilid nito."

Ang nais na pigura, ang lugar kung saan matatagpuan, ay may kulay na asul.

Paano mahahanap ang lugar ng isang figure? Ito ay matatagpuan sa "karaniwan" na paraan, na tinalakay sa klase Tiyak na integral. Paano makalkula ang lugar ng isang figure. Bukod dito, ang lugar ng figure ay matatagpuan bilang kabuuan ng mga lugar:
- sa segment ;
- sa segment.

kaya naman:

Bakit masama ang karaniwang solusyon sa kasong ito? Una, nakakuha kami ng dalawang integral. Pangalawa, ang mga integral ay mga ugat, at ang mga ugat sa mga integral ay hindi isang regalo, at bukod pa, maaari kang malito sa pagpapalit ng mga limitasyon ng pagsasama. Sa katunayan, ang mga integral, siyempre, ay hindi mamamatay, ngunit sa pagsasanay ang lahat ay maaaring maging mas malungkot, pinili ko lang ang "mas mahusay" na mga pag-andar para sa problema.

Mayroong mas makatwirang solusyon: binubuo ito ng paglipat sa mga kabaligtaran na pag-andar at pagsasama sa kahabaan ng axis.

Paano makarating sa mga inverse function? Sa halos pagsasalita, kailangan mong ipahayag ang "x" sa pamamagitan ng "y". Una, tingnan natin ang parabola:

Ito ay sapat na, ngunit tiyakin natin na ang parehong function ay maaaring makuha mula sa mas mababang sangay:

Ito ay mas madali sa isang tuwid na linya:

Ngayon tingnan ang axis: mangyaring pana-panahong ikiling ang iyong ulo sa kanan 90 degrees habang ipinapaliwanag mo (ito ay hindi isang biro!). Ang figure na kailangan namin ay namamalagi sa segment, na ipinahiwatig ng pulang tuldok na linya. Sa kasong ito, sa segment ang tuwid na linya ay matatagpuan sa itaas ng parabola, na nangangahulugan na ang lugar ng figure ay dapat matagpuan gamit ang formula na pamilyar sa iyo: . Ano ang nagbago sa formula? Isang sulat lang at wala nang iba pa.

! Tandaan: Ang mga limitasyon ng pagsasama sa kahabaan ng axis ay dapat itakda mahigpit mula sa ibaba hanggang sa itaas!

Paghahanap ng lugar:

Sa segment, samakatuwid:

Mangyaring tandaan kung paano ko isinagawa ang pagsasama, ito ang pinaka-makatuwirang paraan, at sa susunod na talata ng gawain ay magiging malinaw kung bakit.

Para sa mga mambabasa na nagdududa sa kawastuhan ng pagsasama, hahanap ako ng mga derivatives:

Ang orihinal na integrand function ay nakuha, na nangangahulugan na ang integration ay ginawa ng tama.

Sagot:

2) Kalkulahin natin ang dami ng katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng figure na ito sa paligid ng axis.

Ire-redraw ko ang drawing sa isang bahagyang naiibang disenyo:

Kaya, ang figure na may kulay na asul ay umiikot sa paligid ng axis. Ang resulta ay isang "hovering butterfly" na umiikot sa paligid ng axis nito.

Upang mahanap ang dami ng isang katawan ng pag-ikot, isasama namin sa kahabaan ng axis. Una kailangan nating pumunta sa mga inverse function. Nagawa na ito at inilarawan nang detalyado sa nakaraang talata.

Ngayon ay ikiling namin ang aming ulo sa kanan muli at pag-aralan ang aming figure. Malinaw, ang dami ng isang katawan ng pag-ikot ay dapat makita bilang pagkakaiba sa mga volume.

Pinaikot namin ang figure na bilog sa pula sa paligid ng axis, na nagreresulta sa isang pinutol na kono. Ipahiwatig natin ang volume na ito sa pamamagitan ng .

Pinaikot namin ang figure na bilog sa berde sa paligid ng axis at ipahiwatig ito sa pamamagitan ng dami ng nagresultang katawan ng pag-ikot.

Ang dami ng ating butterfly ay katumbas ng pagkakaiba ng volume.

Ginagamit namin ang formula upang mahanap ang dami ng isang katawan ng rebolusyon:

Ano ang pagkakaiba sa pormula sa nakaraang talata? Sa sulat lang.

Ngunit ang bentahe ng pagsasama, na kamakailan kong pinag-usapan, ay mas madaling mahanap , sa halip na itaas muna ang integrand sa ika-4 na kapangyarihan.

Sagot:

Gayunpaman, hindi isang sickly butterfly.

Tandaan na kung ang parehong flat figure ay pinaikot sa paligid ng axis, makakakuha ka ng isang ganap na naiibang katawan ng pag-ikot, na may ibang volume, natural.

Halimbawa 6

Ibinigay ang isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya at isang axis.

1) Pumunta sa mga inverse function at hanapin ang lugar ng isang plane figure na nakatali sa mga linyang ito sa pamamagitan ng pagsasama sa variable.
2) Kalkulahin ang dami ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang patag na pigura na nakatali ng mga linyang ito sa paligid ng axis.

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa. Ang mga interesado ay maaari ring mahanap ang lugar ng isang figure sa "karaniwan" na paraan, sa gayon ay suriin ang punto 1). Ngunit kung, ulitin ko, paikutin mo ang isang flat figure sa paligid ng axis, makakakuha ka ng isang ganap na naiibang katawan ng pag-ikot na may ibang dami, sa pamamagitan ng paraan, ang tamang sagot (para rin sa mga gustong malutas ang mga problema).

Ang kumpletong solusyon sa dalawang iminungkahing punto ng gawain ay nasa katapusan ng aralin.

Oo, at huwag kalimutang ikiling ang iyong ulo sa kanan upang maunawaan ang mga katawan ng pag-ikot at ang mga limitasyon ng pagsasama!

Paano makalkula ang dami ng isang katawan ng rebolusyon gamit ang isang tiyak na integral?

Bukod sa paghahanap ng lugar ng isang figure ng eroplano gamit ang isang tiyak na integral ang pinakamahalagang aplikasyon ng paksa ay pagkalkula ng dami ng isang katawan ng rebolusyon. Ang materyal ay simple, ngunit ang mambabasa ay dapat maging handa: dapat mong malutas mga integral na hindi tiyak katamtamang kumplikado at ilapat ang Newton-Leibniz formula sa tiyak na integral . Tulad ng problema sa paghahanap ng lugar, kailangan mo ng kumpiyansa na mga kasanayan sa pagguhit - ito ay halos ang pinakamahalagang bagay (dahil ang mga integral mismo ay madalas na madali). Maaari mong makabisado ang mga karampatang at mabilis na diskarte sa pag-chart sa tulong ng materyal na pamamaraan . Ngunit, sa katunayan, napag-usapan ko na ang tungkol sa kahalagahan ng pagguhit ng ilang beses sa klase. .

Sa pangkalahatan, mayroong maraming mga kagiliw-giliw na aplikasyon sa integral calculus; gamit ang isang tiyak na integral, maaari mong kalkulahin ang lugar ng isang figure, ang dami ng isang katawan ng pag-ikot, ang haba ng isang arko, ang ibabaw na lugar ng isang katawan at marami pang iba. Kaya ito ay magiging masaya, mangyaring manatiling optimistiko!

– sa paligid ng x-axis; – sa paligid ng ordinate axis.

Susuriin ng artikulong ito ang parehong mga kaso. Ang pangalawang paraan ng pag-ikot ay lalong kawili-wili; ito ay nagdudulot ng pinakamaraming kahirapan, ngunit sa katunayan ang solusyon ay halos kapareho ng sa mas karaniwang pag-ikot sa paligid ng x-axis. Bilang bonus babalik ako sa problema sa paghahanap ng lugar ng isang pigura , at sasabihin ko sa iyo kung paano hanapin ang lugar sa pangalawang paraan - kasama ang axis. Ito ay hindi gaanong bonus dahil ang materyal ay angkop sa paksa.

Magsimula tayo sa pinakasikat na uri ng pag-ikot.

Halimbawa 1

Kalkulahin ang volume ng isang katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang figure na nililimitahan ng mga linya sa paligid ng isang axis.

Solusyon: Tulad ng problema sa paghahanap ng lugar, ang solusyon ay nagsisimula sa isang pagguhit ng isang patag na pigura. Iyon ay, sa isang eroplano kinakailangan na bumuo ng isang figure na may hangganan ng mga linya, at huwag kalimutan na ang equation ay tumutukoy sa axis. Kung paano kumpletuhin ang isang pagguhit nang mas mahusay at mabilis ay makikita sa mga pahina Mga graph at katangian ng mga function sa Elementarya At Tiyak na integral. Paano makalkula ang lugar ng isang figure . Ito ay isang paalala ng Tsino, at sa puntong ito ay hindi na ako magtatagal pa.

Ang pagguhit dito ay medyo simple:

Ang nais na flat figure ay may kulay na asul; ito ang umiikot sa paligid ng axis. Bilang resulta ng pag-ikot, ang resulta ay isang bahagyang ovoid flying saucer na simetriko sa axis. Sa katunayan, ang katawan ay may mathematical na pangalan, ngunit tinatamad akong tumingin sa reference na libro, kaya lumipat kami.

Paano makalkula ang dami ng isang katawan ng pag-ikot?

Ang dami ng isang katawan ng rebolusyon ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:

Sa formula, ang numero ay dapat na naroroon bago ang integral. Kaya nangyari - lahat ng umiikot sa buhay ay konektado sa pare-parehong ito.

Sa palagay ko madaling hulaan kung paano itakda ang mga limitasyon ng pagsasama ng "a" at "maging" mula sa natapos na pagguhit.

Function... ano ang function na ito? Tingnan natin ang pagguhit. Ang flat figure ay nililimitahan ng parabola graph sa itaas. Ito ang function na ipinahiwatig sa formula.

Sa mga praktikal na gawain, ang isang flat figure ay maaaring minsan ay matatagpuan sa ibaba ng axis. Hindi nito binabago ang anuman - ang function sa formula ay squared: kaya ang dami ng isang katawan ng rebolusyon ay palaging hindi negatibo, na napaka-lohikal.

Kalkulahin natin ang dami ng isang katawan ng pag-ikot gamit ang formula na ito:

Tulad ng nabanggit ko na, ang integral ay halos palaging nagiging simple, ang pangunahing bagay ay maging maingat.

Sagot:

Halimbawa 2

Hanapin ang volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng axis ng isang figure na nalilimitahan ng mga linya,

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Isaalang-alang natin ang dalawang mas kumplikadong mga problema, na madalas ding nakatagpo sa pagsasanay.

Halimbawa 3

Kalkulahin ang dami ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng abscissa axis ng figure na nakatali ng mga linya ,, at

Solusyon: Ilarawan natin sa pagguhit ang isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya ,,,, nang hindi nalilimutan na ang equation ay tumutukoy sa axis:

Ang nais na pigura ay may kulay na asul. Kapag umikot ito sa axis nito, ito ay nagiging surreal donut na may apat na sulok.

Kalkulahin natin ang dami ng katawan ng rebolusyon bilang pagkakaiba sa dami ng mga katawan.

Una, tingnan natin ang pigurang nakabilog sa pula. Kapag ito ay umiikot sa paligid ng isang axis, isang pinutol na kono ay nakuha. Tukuyin natin ang dami nitong pinutol na kono sa pamamagitan ng.

At, malinaw naman, ang pagkakaiba sa mga volume ay eksaktong dami ng aming "donut".

Ginagamit namin ang karaniwang formula upang mahanap ang dami ng isang katawan ng pag-ikot:

1) Ang figure na bilog sa pula ay nakatali sa itaas ng isang tuwid na linya, samakatuwid:

2) Ang pigura na nakabilog sa berde ay nakatali sa itaas ng isang tuwid na linya, samakatuwid:

3) Dami ng nais na katawan ng pag-ikot:

Sagot:

Nakakapagtataka na sa kasong ito ang solusyon ay maaaring masuri gamit ang formula ng paaralan para sa pagkalkula ng dami ng isang pinutol na kono.

Ang desisyon mismo ay madalas na isinulat nang mas maikli, tulad nito:

Ngayon, magpahinga tayo ng kaunti at sabihin sa iyo ang tungkol sa mga geometric na ilusyon.

Ang mga tao ay madalas na may mga ilusyon na nauugnay sa mga volume, na napansin ni Perelman (hindi iyon) sa aklat Nakakaaliw na geometry. Tingnan ang flat figure sa nalutas na problema - ito ay tila maliit sa lugar, at ang volume ng katawan ng rebolusyon ay higit lamang sa 50 cubic units, na tila masyadong malaki. Sa pamamagitan ng paraan, ang karaniwang tao ay umiinom ng katumbas ng isang silid na 18 metro kuwadrado ng likido sa kanyang buong buhay, na, sa kabaligtaran, ay tila napakaliit na dami.

Sa pangkalahatan, ang sistema ng edukasyon sa USSR ay talagang ang pinakamahusay. Ang parehong libro ni Perelman, na isinulat niya noong 1950, ay napakahusay na nabuo, tulad ng sinabi ng humorist, na nag-iisip at nagtuturo sa isa na maghanap ng orihinal, hindi karaniwang mga solusyon sa mga problema. Binasa ko kamakailan ang ilan sa mga kabanata na may malaking interes, inirerekomenda ko ito, naa-access ito kahit para sa mga humanista. Hindi, hindi mo kailangang ngumiti na nag-alok ako ng libreng oras, ang kaalaman at malawak na abot-tanaw sa komunikasyon ay isang magandang bagay.

Pagkatapos ng lyrical digression, nararapat lamang na lutasin ang isang malikhaing gawain:

Halimbawa 4

Kalkulahin ang volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot tungkol sa axis ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya,, kung saan.

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Pakitandaan na lahat ng bagay ay nangyayari sa banda, sa madaling salita, halos handa na ang mga limitasyon ng pagsasama ay ibinibigay. Subukan din na iguhit nang tama ang mga graph ng trigonometriko function; kung ang argumento ay nahahati sa dalawa: pagkatapos ay ang mga graph ay nakaunat sa kahabaan ng axis ng dalawang beses. Subukang maghanap ng hindi bababa sa 3-4 na puntos ayon sa trigonometric tables at mas tumpak na kumpletuhin ang pagguhit. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. Sa pamamagitan ng paraan, ang gawain ay maaaring malutas nang makatwiran at hindi masyadong makatwiran.

Pagkalkula ng volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang flat figure sa paligid ng isang axis

Halimbawa 5

Given a flat figure bounded by lines ,,.

1) Hanapin ang lugar ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linyang ito. 2) Hanapin ang dami ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang patag na pigura na nakatali ng mga linyang ito sa paligid ng axis.

Pansin! Kahit na gusto mo lang basahin ang pangalawang punto, una Kailangan basahin mo yung una!

Solusyon: Ang gawain ay binubuo ng dalawang bahagi. Magsimula tayo sa parisukat.

1) Gumawa tayo ng drawing:

Ang nais na pigura, ang lugar kung saan matatagpuan, ay may kulay na asul.

Paano mahahanap ang lugar ng isang figure? Ito ay matatagpuan sa "karaniwan" na paraan, na tinalakay sa klase Tiyak na integral. Paano makalkula ang lugar ng isang figure . Bukod dito, ang lugar ng figure ay matatagpuan bilang kabuuan ng mga lugar: – sa segment ; - sa segment.

kaya naman:

Mayroong mas makatwirang solusyon: binubuo ito ng paglipat sa mga kabaligtaran na pag-andar at pagsasama sa kahabaan ng axis.

Paano makarating sa mga inverse function? Sa halos pagsasalita, kailangan mong ipahayag ang "x" sa pamamagitan ng "y". Una, tingnan natin ang parabola:

Ito ay sapat na, ngunit tiyakin natin na ang parehong function ay maaaring makuha mula sa mas mababang sangay:

Ito ay mas madali sa isang tuwid na linya:

Ngayon tingnan ang axis: mangyaring pana-panahong ikiling ang iyong ulo sa kanan 90 degrees habang ipinapaliwanag mo (ito ay hindi isang biro!). Ang figure na kailangan namin ay namamalagi sa segment, na ipinahiwatig ng pulang tuldok na linya. Bukod dito, sa segment ang tuwid na linya ay matatagpuan sa itaas ng parabola, na nangangahulugan na ang lugar ng figure ay dapat matagpuan gamit ang formula na pamilyar sa iyo: . Ano ang nagbago sa formula? Isang sulat lang at wala nang iba pa.

! Tandaan: Dapat itakda ang mga limitasyon sa pagsasama sa kahabaan ng axismahigpit mula sa ibaba hanggang sa itaas !

Paghahanap ng lugar:

Sa segment, samakatuwid:

Mangyaring tandaan kung paano ko isinagawa ang pagsasama, ito ang pinaka-makatuwirang paraan, at sa susunod na talata ng gawain ay magiging malinaw kung bakit.

Para sa mga mambabasa na nagdududa sa kawastuhan ng pagsasama, hahanap ako ng mga derivatives:

Ang orihinal na integrand function ay nakuha, na nangangahulugan na ang integration ay ginawa ng tama.

Sagot:

2) Kalkulahin natin ang dami ng katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng figure na ito sa paligid ng axis.

Ire-redraw ko ang drawing sa isang bahagyang naiibang disenyo:

Kaya, ang figure na may kulay na asul ay umiikot sa paligid ng axis. Ang resulta ay isang "hovering butterfly" na umiikot sa paligid ng axis nito.

Ngayon ay ikiling namin ang aming ulo sa kanan muli at pag-aralan ang aming figure. Malinaw, ang dami ng isang katawan ng pag-ikot ay dapat makita bilang pagkakaiba sa mga volume.

Pinaikot namin ang figure na bilog sa pula sa paligid ng axis, na nagreresulta sa isang pinutol na kono. Tukuyin natin ang volume na ito sa pamamagitan ng.

Pinaikot namin ang figure na bilog sa berde sa paligid ng axis at tinutukoy ng dami ng nagresultang katawan ng pag-ikot.

Ang dami ng ating butterfly ay katumbas ng pagkakaiba ng volume.

Ginagamit namin ang formula upang mahanap ang dami ng isang katawan ng rebolusyon:

Ano ang pagkakaiba sa pormula sa nakaraang talata? Sa sulat lang.

Ngunit ang bentahe ng pagsasama, na kamakailan kong pinag-usapan, ay mas madaling mahanap , sa halip na itaas muna ang integrand sa ika-4 na kapangyarihan.

Paano makalkula ang dami ng isang katawan ng pag-ikot
gamit ang isang tiyak na integral?

Sa pangkalahatan, mayroong maraming mga kagiliw-giliw na aplikasyon sa integral calculus; gamit ang isang tiyak na integral, maaari mong kalkulahin ang lugar ng isang figure, ang dami ng isang katawan ng pag-ikot, ang haba ng isang arko, ang ibabaw na lugar ng pag-ikot at marami pang iba. Kaya ito ay magiging masaya, mangyaring manatiling optimistiko!

- sa paligid ng abscissa axis;
- sa paligid ng ordinate axis.

Magsimula tayo sa pinakasikat na uri ng pag-ikot.

flat figure sa paligid ng isang axis

Kalkulahin ang volume ng isang katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang figure na nililimitahan ng mga linya sa paligid ng isang axis.

Solusyon: Tulad ng problema sa paghahanap ng lugar, ang solusyon ay nagsisimula sa isang pagguhit ng isang patag na pigura. Iyon ay, sa eroplano ito ay kinakailangan upang bumuo ng isang figure bounded sa pamamagitan ng mga linya , at huwag kalimutan na ang equation ay tumutukoy sa axis. Kung paano kumpletuhin ang isang pagguhit nang mas mahusay at mabilis ay makikita sa mga pahina Mga graph at katangian ng mga function sa Elementarya At . Ito ay isang paalala ng Tsino, at sa puntong ito ay hindi na ako magtatagal pa.

Ang pagguhit dito ay medyo simple:

Paano makalkula ang dami ng isang katawan ng pag-ikot?

Ang dami ng isang katawan ng rebolusyon ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:

Sa formula, ang numero ay dapat na naroroon bago ang integral. Kaya nangyari - lahat ng umiikot sa buhay ay konektado sa pare-parehong ito.

Sa palagay ko madaling hulaan kung paano itakda ang mga limitasyon ng pagsasama ng "a" at "maging" mula sa natapos na pagguhit.

Function... ano ang function na ito? Tingnan natin ang pagguhit. Ang figure ng eroplano ay nililimitahan ng graph ng parabola sa itaas. Ito ang function na ipinahiwatig sa formula.

Kalkulahin natin ang dami ng isang katawan ng pag-ikot gamit ang formula na ito:

Tulad ng nabanggit ko na, ang integral ay halos palaging nagiging simple, ang pangunahing bagay ay maging maingat.

Sagot:

Sa iyong sagot dapat mong ipahiwatig ang dimensyon - cubic units. Iyon ay, sa aming katawan ng pag-ikot mayroong humigit-kumulang 3.35 "cubes". Bakit cubic mga yunit? Dahil ang pinaka-unibersal na pagbabalangkas. Maaaring may cubic centimeters, maaaring may cubic meters, maaaring may cubic kilometers, atbp., Ganyan karaming berdeng lalaki ang mailalagay ng iyong imahinasyon sa isang flying saucer.

Hanapin ang volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng axis ng isang figure na may hangganan ng mga linya , ,

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Isaalang-alang natin ang dalawang mas kumplikadong mga problema, na madalas ding nakatagpo sa pagsasanay.

Kalkulahin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng abscissa axis ng figure na nakatali ng mga linya , , at

Solusyon: Ilarawan natin sa pagguhit ang isang flat figure na nililimitahan ng mga linya , , , , nang hindi nalilimutan na ang equation ay tumutukoy sa axis:

Ang nais na pigura ay may kulay na asul. Kapag umikot ito sa axis nito, ito ay nagiging surreal donut na may apat na sulok.

Kalkulahin natin ang dami ng katawan ng rebolusyon bilang pagkakaiba sa dami ng mga katawan.

Una, tingnan natin ang pigurang nakabilog sa pula. Kapag ito ay umiikot sa paligid ng isang axis, isang pinutol na kono ay nakuha. Tukuyin natin ang dami nitong pinutol na kono sa pamamagitan ng .

At, malinaw naman, ang pagkakaiba sa mga volume ay eksaktong dami ng aming "donut".

Ginagamit namin ang karaniwang formula upang mahanap ang dami ng isang katawan ng pag-ikot:

1) Ang figure na bilog sa pula ay nakatali sa itaas ng isang tuwid na linya, samakatuwid:

2) Ang pigura na nakabilog sa berde ay nakatali sa itaas ng isang tuwid na linya, samakatuwid:

3) Dami ng nais na katawan ng pag-ikot:

Sagot:

Nakakapagtataka na sa kasong ito ang solusyon ay maaaring masuri gamit ang formula ng paaralan para sa pagkalkula ng dami ng isang pinutol na kono.

Ang desisyon mismo ay madalas na isinulat nang mas maikli, tulad nito:

Ngayon, magpahinga tayo ng kaunti at sabihin sa iyo ang tungkol sa mga geometric na ilusyon.

Pagkatapos ng lyrical digression, nararapat lamang na lutasin ang isang malikhaing gawain:

Kalkulahin ang volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot tungkol sa axis ng isang patag na pigura na nakatali ng mga linya , , kung saan .

Pagkalkula ng dami ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot
flat figure sa paligid ng isang axis

Inirerekomenda ko ito sa lahat, kahit na kumpletong dummies. Bukod dito, ang materyal na natutunan sa ikalawang talata ay magbibigay ng napakahalagang tulong sa pagkalkula ng dobleng integral.

Given a flat figure bounded by the lines , , .

Pansin! Kahit na gusto mo lang basahin ang pangalawang punto, siguraduhing basahin muna ang una!

Solusyon: Ang gawain ay binubuo ng dalawang bahagi. Magsimula tayo sa parisukat.

1) Gumawa tayo ng drawing:

Ang nais na pigura, ang lugar kung saan matatagpuan, ay may kulay na asul.

kaya naman:

Bakit masama ang karaniwang solusyon sa kasong ito? Una, nakakuha kami ng dalawang integral. Pangalawa, may mga ugat sa ilalim ng mga integral, at ang mga ugat sa mga integral ay hindi isang regalo, at bukod pa, maaari kang malito sa pagpapalit ng mga limitasyon ng pagsasama. Sa katunayan, ang mga integral, siyempre, ay hindi mamamatay, ngunit sa pagsasanay ang lahat ay maaaring maging mas malungkot, pinili ko lang ang "mas mahusay" na mga pag-andar para sa problema.

Mayroong mas makatwirang solusyon: binubuo ito ng paglipat sa mga kabaligtaran na pag-andar at pagsasama sa kahabaan ng axis.

Paano makarating sa mga inverse function? Sa halos pagsasalita, kailangan mong ipahayag ang "x" sa pamamagitan ng "y". Una, tingnan natin ang parabola:

Ito ay sapat na, ngunit tiyakin natin na ang parehong function ay maaaring makuha mula sa mas mababang sangay:

Ito ay mas madali sa isang tuwid na linya:

! Tandaan: Ang mga limitasyon ng pagsasama sa kahabaan ng axis ay dapat itakda mahigpit mula sa ibaba hanggang sa itaas!

Paghahanap ng lugar:

Sa segment, samakatuwid:

Mangyaring tandaan kung paano ko isinagawa ang pagsasama, ito ang pinaka-makatuwirang paraan, at sa susunod na talata ng gawain ay magiging malinaw kung bakit.

Para sa mga mambabasa na nagdududa sa kawastuhan ng pagsasama, hahanap ako ng mga derivatives:

Ang orihinal na integrand function ay nakuha, na nangangahulugan na ang integration ay ginawa ng tama.

Sagot:

2) Kalkulahin natin ang dami ng katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng figure na ito sa paligid ng axis.

Ire-redraw ko ang drawing sa isang bahagyang naiibang disenyo: