Paano hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya. Anggulo sa pagitan ng mga linya sa isang eroplano
Oh-oh-oh-oh-oh ... well, it's tinny, as if you read the sentence to yourself =) However, then relaxation will help, especially since today I bought suitable accessories. Samakatuwid, magpatuloy tayo sa unang seksyon, umaasa ako, sa pagtatapos ng artikulo ay mapanatili ko ang isang masayang kalooban.
Mutual arrangement ng dalawang tuwid na linya
Ang kaso kapag kumakanta ang bulwagan sa koro. Dalawang linya pwede:
1) tugma;
2) maging parallel: ;
3) o bumalandra sa isang punto: .
Tulong para sa mga dummies : mangyaring tandaan ang mathematical sign ng intersection , ito ay magaganap nang napakadalas. Ang entry ay nangangahulugan na ang linya ay bumalandra sa linya sa punto.
Paano matukoy ang kamag-anak na posisyon ng dalawang linya?
Magsimula tayo sa unang kaso:
Dalawang linya ang nagtutugma kung at kung ang kani-kanilang mga coefficient ay proporsyonal, iyon ay, mayroong isang bilang na "lambda" na ang mga pagkakapantay-pantay
Isaalang-alang natin ang mga tuwid na linya at bumuo ng tatlong equation mula sa kaukulang coefficient: . Mula sa bawat equation ay sumusunod na, samakatuwid, ang mga linyang ito ay nag-tutugma.
Sa katunayan, kung ang lahat ng mga coefficient ng equation 
multiply sa -1 (pagbabago ng mga palatandaan), at lahat ng mga coefficient ng equation 
bawasan ng 2, makakakuha ka ng parehong equation: .
Ang pangalawang kaso kapag ang mga linya ay parallel:
Dalawang linya ay magkatulad kung at kung ang kanilang mga coefficient sa mga variable ay proporsyonal: 
, ngunit.
Bilang halimbawa, isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya. Sinusuri namin ang proporsyonalidad ng kaukulang coefficient para sa mga variable: 
Gayunpaman, malinaw na .
At ang pangatlong kaso, kapag nagsalubong ang mga linya:
Dalawang linya ay nagsalubong kung at kung ang kanilang mga coefficient ng mga variable ay HINDI proporsyonal, ibig sabihin, WALANG ganoong halaga ng "lambda" na natutupad ang mga pagkakapantay-pantay 
Kaya, para sa mga tuwid na linya bubuo kami ng isang sistema: 
Mula sa unang equation ito ay sumusunod na , at mula sa pangalawang equation: , samakatuwid, hindi pare-pareho ang sistema(walang solusyon). Kaya, ang mga coefficient sa mga variable ay hindi proporsyonal.
Konklusyon: nagsalubong ang mga linya
Sa mga praktikal na problema, maaaring gamitin ang scheme ng solusyon na isinasaalang-alang lamang. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay halos kapareho sa algorithm para sa pagsuri ng mga vectors para sa collinearity, na isinasaalang-alang namin sa aralin. Ang konsepto ng linear (non) dependence ng mga vectors. Batayang vector. Ngunit mayroong isang mas sibilisadong pakete:
Halimbawa 1
Alamin ang relatibong posisyon ng mga linya: 
Desisyon batay sa pag-aaral ng pagdidirekta ng mga vector ng mga tuwid na linya:
a) Mula sa mga equation nakita natin ang mga vector ng direksyon ng mga linya: 
.
, kaya ang mga vector ay hindi collinear at ang mga linya ay nagsalubong.
Kung sakali, maglalagay ako ng bato na may mga pointer sa sangang-daan:
Ang natitira ay tumalon sa ibabaw ng bato at sumunod, diretso sa Kashchei na Walang Kamatayan =)
b) Hanapin ang mga vector ng direksyon ng mga linya: 
Ang mga linya ay may parehong direksyon ng vector, na nangangahulugang sila ay kahanay o pareho. Dito hindi kailangan ang determinant.
Malinaw, ang mga coefficient ng mga hindi alam ay proporsyonal, habang .
Alamin natin kung totoo ang pagkakapantay-pantay: 
kaya,
c) Hanapin ang mga vector ng direksyon ng mga linya: 
Kalkulahin natin ang determinant, na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito: 
, samakatuwid, ang mga vector ng direksyon ay collinear. Ang mga linya ay magkatulad o magkatugma.
Ang proportionality factor na "lambda" ay madaling makita nang direkta mula sa ratio ng mga vector ng collinear na direksyon. Gayunpaman, maaari rin itong matagpuan sa pamamagitan ng mga coefficient ng mga equation mismo: 
.
Ngayon, alamin natin kung totoo ang pagkakapantay-pantay. Ang parehong mga libreng termino ay zero, kaya:
Ang resultang halaga ay nakakatugon sa equation na ito (anumang numero sa pangkalahatan ay nakakatugon dito).
Kaya, ang mga linya ay nag-tutugma.
Sagot:
Sa lalong madaling panahon matututunan mo (o kahit na natutunan na) upang malutas ang itinuturing na problema sa literal na salita sa loob ng ilang segundo. Kaugnay nito, wala akong nakikitang dahilan upang mag-alok ng isang bagay para sa isang independiyenteng solusyon, mas mahusay na maglagay ng isang mas mahalagang brick sa geometric na pundasyon:
Paano gumuhit ng isang linya parallel sa isang ibinigay na isa?
Para sa kamangmangan sa pinakasimpleng gawaing ito, ang Nightingale the Robber ay mahigpit na nagpaparusa.
Halimbawa 2
Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Sumulat ng isang equation para sa isang parallel na linya na dumadaan sa punto.
Desisyon: Tukuyin ang hindi kilalang linya sa pamamagitan ng titik. Ano ang sinasabi ng kondisyon tungkol dito? Ang linya ay dumadaan sa punto. At kung ang mga linya ay magkatulad, kung gayon ito ay malinaw na ang nagdidirekta na vector ng linyang "ce" ay angkop din para sa pagtatayo ng linyang "te".
Inalis namin ang vector ng direksyon mula sa equation:
Sagot:
Ang geometry ng halimbawa ay mukhang simple: 
Ang analytical na pag-verify ay binubuo ng mga sumusunod na hakbang:
1) Sinusuri namin na ang mga linya ay may parehong direksyon ng vector (kung ang equation ng linya ay hindi maayos na pinasimple, kung gayon ang mga vector ay magiging collinear).
2) Suriin kung ang punto ay nakakatugon sa resultang equation.
Ang analytical na pag-verify sa karamihan ng mga kaso ay madaling gawin sa salita. Tingnan ang dalawang equation at marami sa inyo ang mabilis na malalaman kung paano magkatulad ang mga linya nang walang anumang pagguhit.
Ang mga halimbawa para sa paglutas sa sarili ngayon ay magiging malikhain. Dahil kailangan mo pang makipagkumpitensya sa Baba Yaga, at siya, alam mo, ay isang mahilig sa lahat ng uri ng mga bugtong.
Halimbawa 3
Sumulat ng isang equation para sa isang linya na dumadaan sa isang punto na kahanay ng linya kung
Mayroong isang makatwiran at hindi masyadong makatwiran na paraan upang malutas. Ang pinakamaikling paraan ay nasa dulo ng aralin.
Gumawa kami ng kaunting trabaho na may mga parallel na linya at babalik sa kanila mamaya. Ang kaso ng magkasabay na mga linya ay hindi gaanong interesado, kaya isaalang-alang natin ang isang problema na alam mo mula sa kurikulum ng paaralan:
Paano mahahanap ang punto ng intersection ng dalawang linya?
Kung diretso 
bumalandra sa punto , pagkatapos ang mga coordinate nito ay ang solusyon sistema ng mga linear na equation 
Paano mahahanap ang punto ng intersection ng mga linya? Lutasin ang sistema.
Eto para sayo geometric na kahulugan ng isang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam ay dalawang intersecting (pinaka madalas) tuwid na linya sa isang eroplano.
Halimbawa 4
Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya
Desisyon: Mayroong dalawang paraan upang malutas - graphical at analytical.
Ang graphical na paraan ay ang simpleng pagguhit ng mga ibinigay na linya at alamin ang punto ng intersection nang direkta mula sa pagguhit: 
Narito ang aming punto: . Upang suriin, dapat mong palitan ang mga coordinate nito sa bawat equation ng isang tuwid na linya, dapat silang magkasya doon at doon. Sa madaling salita, ang mga coordinate ng isang punto ay ang solusyon ng system . Sa katunayan, isinasaalang-alang namin ang isang graphical na paraan upang malutas sistema ng mga linear na equation na may dalawang equation, dalawang hindi alam.
Ang graphical na paraan, siyempre, ay hindi masama, ngunit may mga kapansin-pansing disadvantages. Hindi, ang punto ay hindi na ang mga ikapitong baitang ay nagpapasya sa ganitong paraan, ang punto ay kailangan ng oras upang makagawa ng tama at TAMANG pagguhit. Bilang karagdagan, ang ilang mga linya ay hindi gaanong madaling gawin, at ang intersection point mismo ay maaaring nasa isang lugar sa ika-tatlumpung kaharian sa labas ng notebook sheet.
Samakatuwid, mas kapaki-pakinabang na maghanap para sa intersection point sa pamamagitan ng analytical method. Lutasin natin ang sistema: 
Upang malutas ang sistema, ginamit ang paraan ng termwise na pagdaragdag ng mga equation. Upang mapaunlad ang mga kaugnay na kasanayan, bisitahin ang aralin Paano lutasin ang isang sistema ng mga equation?
Sagot:
Ang pag-verify ay walang halaga - ang mga coordinate ng intersection point ay dapat matugunan ang bawat equation ng system.
Halimbawa 5
Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya kung magsalubong ang mga ito.
Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Ang gawain ay maaaring maginhawang nahahati sa maraming yugto. Ang pagsusuri sa kondisyon ay nagmumungkahi na ito ay kinakailangan:
1) Isulat ang equation ng isang tuwid na linya.
2) Isulat ang equation ng isang tuwid na linya.
3) Alamin ang relatibong posisyon ng mga linya.
4) Kung magsalubong ang mga linya, hanapin ang punto ng intersection.
Ang pagbuo ng isang algorithm ng aksyon ay tipikal para sa maraming mga geometric na problema, at paulit-ulit kong tututuon ito.
Buong solusyon at sagot sa dulo ng tutorial:
Ang isang pares ng sapatos ay hindi pa napupuna, nang makarating kami sa ikalawang seksyon ng aralin:
Mga linyang patayo. Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya.
Anggulo sa pagitan ng mga linya
Magsimula tayo sa isang tipikal at napakahalagang gawain. Sa unang bahagi, natutunan namin kung paano bumuo ng isang tuwid na linya na kahanay sa ibinigay, at ngayon ang kubo sa mga binti ng manok ay magiging 90 degrees:
Paano gumuhit ng isang linya na patayo sa isang ibinigay?
Halimbawa 6
Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Sumulat ng isang equation para sa isang patayong linya na dumadaan sa isang punto.
Desisyon: Ito ay kilala sa pamamagitan ng pagpapalagay na . Masarap na hanapin ang vector ng direksyon ng tuwid na linya. Dahil ang mga linya ay patayo, ang lansihin ay simple:
Mula sa equation ay "tinatanggal" namin ang normal na vector: , na siyang magiging direksyon ng vector ng tuwid na linya.
Binubuo namin ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang nagdidirekta na vector:
Sagot: 
Buksan natin ang geometric sketch:
Hmmm... Orange na langit, orange na dagat, orange na kamelyo.
Analytical na pag-verify ng solusyon:
1) I-extract ang mga vector ng direksyon mula sa mga equation 
at sa tulong tuldok na produkto ng mga vector napagpasyahan namin na ang mga linya ay talagang patayo: .
Sa pamamagitan ng paraan, maaari kang gumamit ng mga normal na vector, mas madali ito.
2) Suriin kung ang punto ay nakakatugon sa resultang equation 
.
Ang pag-verify, muli, ay madaling gawin sa salita.
Halimbawa 7
Hanapin ang punto ng intersection ng mga patayong linya, kung ang equation ay kilala 
at tuldok.
Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Mayroong ilang mga aksyon sa gawain, kaya ito ay maginhawa upang ayusin ang solusyon sa bawat punto.
Ang aming kapana-panabik na paglalakbay ay nagpapatuloy:
Distansya mula sa punto hanggang linya
Sa harap namin ay isang tuwid na guhit ng ilog at ang aming gawain ay maabot ito sa pinakamaikling paraan. Walang mga hadlang, at ang pinakamainam na ruta ay ang paggalaw sa kahabaan ng patayo. Iyon ay, ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay ang haba ng perpendicular segment.
Ang distansya sa geometry ay tradisyonal na tinutukoy ng letrang Griyego na "ro", halimbawa: - ang distansya mula sa puntong "em" hanggang sa tuwid na linya na "de".
Distansya mula sa punto hanggang linya 
ay ipinahayag ng pormula
Halimbawa 8
Hanapin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya 
Desisyon: ang kailangan mo lang ay maingat na palitan ang mga numero sa formula at gawin ang mga kalkulasyon:
Sagot: 
Isagawa natin ang pagguhit: 
Ang distansya na natagpuan mula sa punto hanggang sa linya ay eksaktong haba ng pulang segment. Kung gagawa ka ng drawing sa checkered na papel sa sukat na 1 unit. \u003d 1 cm (2 mga cell), kung gayon ang distansya ay maaaring masukat sa isang ordinaryong pinuno.
Isaalang-alang ang isa pang gawain ayon sa parehong pagguhit:
Ang gawain ay upang mahanap ang mga coordinate ng punto , na simetriko sa punto na may paggalang sa linya 
. Iminumungkahi kong gawin ang mga aksyon nang mag-isa, gayunpaman, ilalarawan ko ang algorithm ng solusyon na may mga intermediate na resulta:
1) Maghanap ng isang linya na patayo sa isang linya.
2) Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya: 
.
Ang parehong mga aksyon ay tinalakay nang detalyado sa araling ito.
3) Ang punto ay ang midpoint ng segment. Alam namin ang mga coordinate ng gitna at isa sa mga dulo. Sa pamamagitan ng mga formula para sa mga coordinate ng gitna ng segment hanapin ang .
Hindi magiging kalabisan upang suriin na ang distansya ay katumbas din ng 2.2 na yunit.
Ang mga paghihirap dito ay maaaring lumitaw sa mga kalkulasyon, ngunit sa tore ang isang microcalculator ay nakakatulong nang malaki, na nagpapahintulot sa iyo na magbilang ng mga ordinaryong fraction. Nagpayo ng maraming beses at magrerekomenda muli.
Paano mahahanap ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya?
Halimbawa 9
Hanapin ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya
Ito ay isa pang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon. Isang maliit na pahiwatig: mayroong walang katapusang maraming paraan upang malutas. Debriefing sa pagtatapos ng aralin, ngunit mas mahusay na subukang hulaan para sa iyong sarili, sa palagay ko ay nagawa mong ikalat ang iyong talino.
Anggulo sa pagitan ng dalawang linya
Anuman ang sulok, pagkatapos ay ang hamba: 
Sa geometry, ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya ay kinukuha bilang MAS MALIIT na anggulo, kung saan awtomatiko itong sumusunod na hindi ito maaaring maging mahina. Sa figure, ang anggulo na ipinahiwatig ng pulang arko ay hindi itinuturing na anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya. At ang "berde" nitong kapitbahay o kabaligtaran ang oriented pulang sulok.
Kung ang mga linya ay patayo, kung gayon ang alinman sa 4 na anggulo ay maaaring kunin bilang anggulo sa pagitan ng mga ito.
Paano naiiba ang mga anggulo? Oryentasyon. Una, ang direksyon ng "pag-scroll" sa sulok ay pangunahing mahalaga. Pangalawa, ang isang negatibong anggulo ay nakasulat na may minus sign, halimbawa, kung .
Bakit ko nasabi ito? Mukhang makakayanan mo ang karaniwang konsepto ng isang anggulo. Ang katotohanan ay sa mga pormula kung saan mahahanap natin ang mga anggulo, ang isang negatibong resulta ay madaling makuha, at hindi ka dapat magtaka. Ang isang anggulo na may minus sign ay hindi mas masahol pa, at may napakaspesipikong geometric na kahulugan. Sa pagguhit para sa isang negatibong anggulo, kinakailangang ipahiwatig ang oryentasyon nito (clockwise) gamit ang isang arrow.
Paano mahahanap ang anggulo sa pagitan ng dalawang linya? Mayroong dalawang gumaganang formula:
Halimbawa 10
Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya
Desisyon at Pamamaraan isa
Isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya na ibinigay ng mga equation sa pangkalahatang anyo: 
Kung diretso hindi patayo, pagkatapos nakatuon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay maaaring kalkulahin gamit ang formula: 
Bigyang-pansin natin ang denominator - ito ay eksakto produktong scalar mga vector ng direksyon ng mga tuwid na linya:
Kung , kung gayon ang denominator ng formula ay mawawala, at ang mga vector ay magiging orthogonal at ang mga linya ay magiging patayo. Iyon ang dahilan kung bakit ginawa ang isang reserbasyon tungkol sa hindi perpendikularidad ng mga linya sa pagbabalangkas.
Batay sa nabanggit, ang solusyon ay maginhawang gawing pormal sa dalawang hakbang:
1) Kalkulahin ang scalar product ng pagdidirekta ng mga vector ng mga tuwid na linya:
kaya ang mga linya ay hindi patayo.
2) Nahanap namin ang anggulo sa pagitan ng mga linya sa pamamagitan ng formula:
Gamit ang inverse function, madaling mahanap ang mismong anggulo. Sa kasong ito, ginagamit namin ang kakaiba ng arc tangent (tingnan ang Fig. Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar):
Sagot: 
Sa sagot, ipinapahiwatig namin ang eksaktong halaga, pati na rin ang tinatayang halaga (mas mabuti sa mga degree at sa radians), na kinakalkula gamit ang isang calculator.
Well, minus, kaya minus, okay lang. Narito ang isang geometric na paglalarawan: 
Hindi nakakagulat na ang anggulo ay naging negatibong oryentasyon, dahil sa kondisyon ng problema ang unang numero ay isang tuwid na linya at ang "pag-twisting" ng anggulo ay nagsimula nang tumpak mula dito.
Kung gusto mo talagang makakuha ng positibong anggulo, kailangan mong palitan ang mga tuwid na linya, iyon ay, kunin ang mga coefficient mula sa pangalawang equation 
, at kunin ang mga coefficient mula sa unang equation . Sa madaling salita, kailangan mong magsimula sa isang direktang 
.
Kahulugan. Kung ang dalawang linya ay binibigyan ng y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , kung gayon ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linyang ito ay tutukuyin bilang
Dalawang linya ay parallel kung k 1 = k 2 . Dalawang linya ay patayo kung k 1 = -1/ k 2 .
Teorama. Ang mga tuwid na linya Ax + Vy + C \u003d 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ay magkatulad kapag ang mga coefficient A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB ay proporsyonal. Kung din С 1 = λС, kung gayon ang mga linya ay nag-tutugma. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.
Equation ng isang linya na dumadaan sa isang naibigay na punto
Patayo sa linyang ito
Kahulugan. Ang linya na dumadaan sa puntong M 1 (x 1, y 1) at patayo sa linya y \u003d kx + b ay kinakatawan ng equation:
Distansya mula sa punto hanggang linya
Teorama. Kung ang isang punto M(x 0, y 0) ay ibinigay, kung gayon ang distansya sa linya Ax + Vy + C \u003d 0 ay tinukoy bilang
.
Patunay. Hayaang ang puntong M 1 (x 1, y 1) ang maging base ng patayo na bumaba mula sa puntong M hanggang sa ibinigay na linya. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga punto M at M 1:
(1)
Ang x 1 at y 1 coordinate ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation:
Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M 0 patayo sa isang ibinigay na tuwid na linya. Kung ibahin natin ang unang equation ng system sa anyo:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
pagkatapos, paglutas, makuha namin:
Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), makikita natin:
Ang teorama ay napatunayan.
Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga linya: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= p /4.
Halimbawa. Ipakita na ang mga linyang 3x - 5y + 7 = 0 at 10x + 6y - 3 = 0 ay patayo.
Desisyon. Nahanap namin: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, samakatuwid, ang mga linya ay patayo.
Halimbawa. Ang mga vertices ng tatsulok na A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ay ibinibigay. Hanapin ang equation para sa taas na nakuha mula sa vertex C.
Desisyon. Nahanap namin ang equation ng side AB: 
; 4 x = 6 y - 6;
2x – 3y + 3 = 0;
Ang nais na equation ng taas ay: Ax + By + C = 0 o y = kx + b. k = . Pagkatapos y = . kasi ang taas ay dumadaan sa punto C, pagkatapos ang mga coordinate nito ay natutugunan ang equation na ito: 
saan b = 17. Kabuuan: . 
Sagot: 3x + 2y - 34 = 0.
Equation ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto sa isang tiyak na direksyon. Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos. Anggulo sa pagitan ng dalawang linya. Kondisyon ng parallelism at perpendicularity ng dalawang linya. Pagtukoy sa punto ng intersection ng dalawang linya
1. Equation ng isang linya na dumadaan sa isang naibigay na punto A(x 1 , y 1) sa isang ibinigay na direksyon, na tinutukoy ng slope k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Ang equation na ito ay tumutukoy sa isang lapis ng mga linyang dumadaan sa isang punto A(x 1 , y 1), na tinatawag na sentro ng sinag.
2. Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos: A(x 1 , y 1) at B(x 2 , y 2) ay nakasulat tulad nito:
Ang slope ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na mga punto ay tinutukoy ng formula
3. Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya A at B ay ang anggulo kung saan dapat paikutin ang unang tuwid na linya A sa paligid ng punto ng intersection ng mga linyang ito nang pakaliwa hanggang sa ito ay tumutugma sa pangalawang linya B. Kung ang dalawang linya ay ibinigay ng mga equation ng slope
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
pagkatapos ay ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay tinutukoy ng formula
Dapat pansinin na sa numerator ng fraction, ang slope ng unang tuwid na linya ay ibabawas mula sa slope ng pangalawang tuwid na linya.
Kung ang mga equation ng isang tuwid na linya ay ibinigay sa pangkalahatang anyo
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay tinutukoy ng formula
4. Mga kondisyon para sa parallelism ng dalawang linya:
a) Kung ang mga linya ay ibinigay ng mga equation (4) na may slope, kung gayon ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang parallelism ay ang pagkakapantay-pantay ng kanilang mga slope:
k 1 = k 2 . (8)
b) Para sa kaso kung ang mga linya ay ibinigay ng mga equation sa pangkalahatang anyo (6), ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang parallelism ay ang mga coefficient sa kaukulang kasalukuyang mga coordinate sa kanilang mga equation ay proporsyonal, i.e.
5. Mga kondisyon para sa perpendicularity ng dalawang linya:
a) Sa kaso kapag ang mga linya ay binigay ng mga equation (4) na may slope, ang kailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang perpendicularity ay ang kanilang mga slope ay reciprocal sa magnitude at kabaligtaran sa sign, i.e.
Ang kundisyong ito ay maaari ding isulat sa anyo
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Kung ang mga equation ng mga tuwid na linya ay ibinigay sa pangkalahatang anyo (6), kung gayon ang kondisyon para sa kanilang perpendicularity (kinakailangan at sapat) ay upang matupad ang pagkakapantay-pantay.
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation (6). Ang mga linya (6) ay nagsalubong kung at kung lamang
1. Isulat ang mga equation ng mga linyang dumadaan sa puntong M, ang isa ay parallel at ang isa ay patayo sa ibinigay na linya l.
sulok sa pagitan ng mga tuwid na linya sa espasyo ay tatawagin natin ang alinman sa mga katabing anggulo na nabuo ng dalawang tuwid na linya na iginuhit sa pamamagitan ng isang arbitrary na punto na kahanay ng data.
Hayaang magbigay ng dalawang tuwid na linya sa espasyo:
Malinaw, ang anggulo φ sa pagitan ng mga linya ay maaaring kunin bilang anggulo sa pagitan ng kanilang mga vector ng direksyon at . Dahil , pagkatapos ay ayon sa formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vectors na nakukuha natin
Ang mga kondisyon ng parallelism at perpendicularity ng dalawang linya ay katumbas ng mga kondisyon ng parallelism at perpendicularity ng kanilang mga vector ng direksyon at:
Dalawang tuwid ay parallel kung at kung ang kani-kanilang mga coefficient ay proporsyonal, i.e. l 1 parallel l 2 kung at kung magkatulad lamang 
.
Dalawang tuwid patayo kung at kung ang kabuuan ng mga produkto ng kaukulang coefficient ay katumbas ng zero: .
Sa layunin sa pagitan ng linya at eroplano
Hayaan ang linya d- hindi patayo sa eroplano θ;
d′− projection ng isang tuwid na linya d sa eroplano θ;
Ang pinakamaliit sa mga anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya d at d"tatawagan natin anggulo sa pagitan ng linya at eroplano.
Tukuyin natin ito bilang φ=( d,θ)
Kung ang d⊥θ , pagkatapos ( d,θ)=π/2
Oi→j→k→− rectangular coordinate system.
Equation ng eroplano:
θ: Ax+Sa pamamagitan ng+cz+D=0
Isinasaalang-alang namin na ang linya ay ibinibigay ng isang punto at isang vector ng direksyon: d[M 0,p→]
Vector n→(A,B,C)⊥θ
Pagkatapos ay nananatili itong malaman ang anggulo sa pagitan ng mga vectors n→ at p→, tukuyin ito bilang γ=( n→,p→).
Kung ang anggulo γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Kung ang anggulo γ>π/2 , kung gayon ang kinakailangang anggulo φ=γ−π/2
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
pagkatapos, anggulo sa pagitan ng linya at eroplano maaaring kalkulahin gamit ang formula:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23
Tanong 29. Ang konsepto ng isang parisukat na anyo. Ang sign-definiteness ng quadratic forms.
Quadratic form j (x 1, x 2, ..., x n) n real variables x 1, x 2, ..., x n ay tinatawag na kabuuan ng anyo 
, (1)
saan aij ay ilang mga numero na tinatawag na coefficients. Nang walang pagkawala ng pangkalahatan, maaari nating ipagpalagay iyon aij = isang ji.
Ang quadratic form ay tinatawag wasto, kung aij
О GR. Matrix ng quadratic form ay tinatawag na matrix na binubuo ng mga coefficient nito. Ang parisukat na anyo (1) ay tumutugma sa isang natatanging simetriko matrix 
i.e. A T = A. Samakatuwid, ang parisukat na anyo (1) ay maaaring isulat sa matrix form na j ( X) = x T Ah, saan x T = (X 1 X 2 … x n). (2)
At vice versa, anumang simetriko matrix (2) ay tumutugma sa isang natatanging parisukat na anyo hanggang sa notasyon ng mga variable.
Ang ranggo ng parisukat na anyo ay tinatawag na ranggo ng matris nito. Ang quadratic form ay tinatawag hindi nabubulok, kung ang matrix nito ay nonsingular PERO. (tandaan na ang matrix PERO ay tinatawag na non-degenerate kung ang determinant nito ay non-zero). Kung hindi, ang quadratic form ay degenerate.
positibong tiyak(o mahigpit na positibo) kung
j ( X) > 0 , para sa sinuman X = (X 1 , X 2 , …, x n), Bukod sa X = (0, 0, …, 0).
Matrix PERO positibong tiyak na parisukat na anyo j ( X) ay tinatawag ding positive definite. Samakatuwid, ang isang positibong tiyak na quadratic na anyo ay tumutugma sa isang natatanging positibong tiyak na matrix at vice versa.
Ang parisukat na anyo (1) ay tinatawag negatibong tiyak(o mahigpit na negatibo) kung
j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), Bukod sa X = (0, 0, …, 0).
Katulad ng nasa itaas, ang negative-definite quadratic matrix ay tinatawag ding negative-definite.
Samakatuwid, isang positibo (negatibong) tiyak na parisukat na anyo j ( X) umabot sa pinakamababa (maximum) na halaga j ( X*) = 0 para sa X* = (0, 0, …, 0).
Tandaan na karamihan sa mga quadratic na anyo ay hindi sign-definite, ibig sabihin, hindi sila positibo o negatibo. Ang ganitong mga quadratic form ay nawawala hindi lamang sa pinagmulan ng coordinate system, kundi pati na rin sa iba pang mga punto.
Kailan n> 2, ang mga espesyal na pamantayan ay kinakailangan upang suriin ang sign-definiteness ng isang quadratic form. Isaalang-alang natin sila.
Major Minors quadratic form ay tinatawag na mga menor de edad:
ibig sabihin, ito ay mga menor de edad ng order 1, 2, …, n matrice PERO, na matatagpuan sa itaas na kaliwang sulok, ang huli sa mga ito ay tumutugma sa determinant ng matrix PERO.
Pamantayan para sa positibong katiyakan (Sylvester criterion)
X) = x T Ah ay tiyak na positibo, ito ay kinakailangan at sapat na ang lahat ng mga pangunahing menor de edad ng matrix PERO ay positibo, iyon ay: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Pamantayan ng negatibong katiyakan Upang ang parisukat na anyo j ( X) = x T Ah ay negatibong tiyak, ito ay kinakailangan at sapat na ang mga pangunahing menor de edad nito ng pantay na pagkakasunud-sunod ay positibo, at ang mga may kakaibang pagkakasunud-sunod ay negatibo, ibig sabihin.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n
a. Hayaang magbigay ng dalawang linya. Ang mga linyang ito, tulad ng ipinahiwatig sa Kabanata 1, ay bumubuo ng iba't ibang positibo at negatibong mga anggulo, na, sa kasong ito, ay maaaring parehong talamak at mahina. Ang pag-alam sa isa sa mga anggulong ito, madali nating mahahanap ang iba pa.
Sa pamamagitan ng paraan, para sa lahat ng mga anggulong ito, ang numerical na halaga ng tangent ay pareho, ang pagkakaiba ay maaari lamang sa sign
Mga equation ng mga linya. Ang mga numero ay ang mga projection ng nagdidirekta na mga vector ng una at pangalawang linya. Ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay katumbas ng isa sa mga anggulo na nabuo ng mga tuwid na linya. Samakatuwid, ang problema ay nabawasan sa pagtukoy ng anggulo sa pagitan ng mga vectors, Nakukuha namin
Para sa pagiging simple, maaari tayong sumang-ayon sa isang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya upang maunawaan ang isang matinding positibong anggulo (tulad ng, halimbawa, sa Fig. 53).
Kung gayon ang padaplis ng anggulong ito ay palaging magiging positibo. Kaya, kung ang isang minus sign ay nakuha sa kanang bahagi ng formula (1), pagkatapos ay dapat nating itapon ito, ibig sabihin, panatilihin lamang ang ganap na halaga.
Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga linya
Sa pamamagitan ng formula (1) mayroon tayo
kasama. Kung ipinahiwatig kung alin sa mga gilid ng anggulo ang simula nito at alin ang dulo nito, kung gayon, palaging binibilang ang direksyon ng anggulo na pakaliwa, maaari tayong kumuha ng higit pa mula sa mga formula (1). Tulad ng madaling makita mula sa Fig. 53 ang sign na nakuha sa kanang bahagi ng formula (1) ay magsasaad kung alin - talamak o mahina - ang anggulo ay bumubuo sa pangalawang linya kasama ang una.
(Sa katunayan, mula sa Fig. 53 makikita natin na ang anggulo sa pagitan ng una at pangalawang direksyon ng mga vector ay alinman sa katumbas ng nais na anggulo sa pagitan ng mga linya, o naiiba mula dito sa pamamagitan ng ±180°.)
d. Kung ang mga linya ay parallel, kung gayon ang kanilang direksyon vectors ay parallel din. Ang paglalapat ng kondisyon ng parallelism ng dalawang vectors, makuha natin!
Ito ay isang kinakailangan at sapat na kundisyon para magkaparehas ang dalawang linya.
Halimbawa. Direkta
ay parallel dahil
e. Kung ang mga linya ay patayo, kung gayon ang kanilang mga vector ng direksyon ay patayo din. Ang paglalapat ng kondisyon ng perpendicularity ng dalawang vectors, nakuha namin ang kondisyon ng perpendicularity ng dalawang linya, lalo
Halimbawa. Direkta
patayo kasi
Kaugnay ng mga kondisyon ng parallelism at perpendicularity, malulutas natin ang sumusunod na dalawang problema.
f. Gumuhit ng isang linya parallel sa isang ibinigay na linya sa pamamagitan ng isang punto
Ang desisyon ay ginawa tulad nito. Dahil ang nais na linya ay kahanay sa ibinigay na isa, kung gayon para sa nagdidirekta nitong vector ay maaari nating kunin ang pareho sa ibinigay na linya, ibig sabihin, isang vector na may mga projection A at B. At pagkatapos ay isusulat ang equation ng nais na linya. sa anyo (§ 1)
Halimbawa. Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto (1; 3) na parallel sa isang tuwid na linya
susunod na!
g. Gumuhit ng isang linya sa pamamagitan ng isang punto na patayo sa ibinigay na linya
Dito, hindi na angkop na kumuha ng vector na may mga projection A at bilang isang vector na nagdidirekta, ngunit kinakailangan upang manalo ng isang vector na patayo dito. Samakatuwid, ang mga projection ng vector na ito ay dapat piliin ayon sa kondisyon na ang parehong mga vector ay patayo, ibig sabihin, ayon sa kondisyon
Ang kundisyong ito ay maaaring matupad sa isang walang katapusang bilang ng mga paraan, dahil dito mayroong isang equation na may dalawang hindi alam. Ngunit ang pinakamadaling paraan ay ang kunin ito. Pagkatapos ay ang equation ng nais na tuwid na linya ay isusulat sa anyo
Halimbawa. Equation ng isang linya na dumadaan sa isang punto (-7; 2) sa isang patayong linya
ay ang mga sumusunod (ayon sa pangalawang formula)!
h. Sa kaso kapag ang mga linya ay ibinigay ng mga equation ng form
Pagtuturo
tala
Ang panahon ng trigonometric function tangent ay 180 degrees, na nangangahulugan na ang mga anggulo ng pagkahilig ng mga tuwid na linya ay hindi maaaring, sa ganap na halaga, lumampas sa halagang ito.
Nakatutulong na payo
Kung ang mga coefficient ng slope ay pantay-pantay sa bawat isa, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga naturang linya ay 0, dahil ang mga naturang linya ay magkasabay o magkatulad.
Upang matukoy ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya, kinakailangan upang ilipat ang parehong mga linya (o isa sa mga ito) sa isang bagong posisyon sa pamamagitan ng paraan ng parallel transfer sa intersection. Pagkatapos nito, dapat mong mahanap ang anggulo sa pagitan ng mga nagresultang intersecting na linya.
Kakailanganin mong
- Ruler, kanang tatsulok, lapis, protractor.
Pagtuturo
Kaya, hayaan ang vector V = (a, b, c) at ang eroplanong A x + B y + C z = 0, kung saan ang A, B at C ay ang mga coordinate ng normal na N. Pagkatapos ay ang cosine ng anggulo Ang α sa pagitan ng mga vectors V at N ay: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).
Upang kalkulahin ang halaga ng anggulo sa mga degree o radian, kailangan mong kalkulahin ang function na kabaligtaran sa cosine mula sa nagresultang expression, i.e. arccosine: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).
Halimbawa: hanapin iniksyon sa pagitan vector(5, -3, 8) at eroplano, na ibinigay ng pangkalahatang equation 2 x - 5 y + 3 z = 0. Solusyon: isulat ang mga coordinate ng normal na vector ng eroplano N = (2, -5, 3). Palitan ang lahat ng kilalang halaga sa formula sa itaas: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°.
Mga kaugnay na video
Ang isang tuwid na linya na may isang karaniwang punto na may isang bilog ay padaplis sa bilog. Ang isa pang tampok ng tangent ay palaging patayo sa radius na iginuhit sa punto ng contact, iyon ay, ang tangent at ang radius ay bumubuo ng isang tuwid na linya iniksyon. Kung ang dalawang tangent sa bilog na AB at AC ay iginuhit mula sa isang punto A, kung gayon sila ay palaging pantay sa bawat isa. Kahulugan ng anggulo sa pagitan ng mga tangent ( iniksyon ABC) ay ginawa gamit ang Pythagorean theorem.
Pagtuturo
Upang matukoy ang anggulo, kailangan mong malaman ang radius ng bilog OB at OS at ang distansya ng panimulang punto ng tangent mula sa gitna ng bilog - O. Kaya, ang mga anggulo ABO at ACO ay pantay, ang radius OB, halimbawa, 10 cm, at ang distansya sa gitna ng bilog AO ay 15 cm Tukuyin ang haba ng tangent sa pamamagitan ng formula alinsunod sa Pythagorean theorem: AB \u003d square root ng AO2 - OB2 o 152 - 102 \u003d 225 - 100 \u003d 125;