Mga halimbawa ng linear equation na may pare-parehong coefficient. Linear inhomogeneous second order differential equation na may pare-parehong coefficient
Tinutugunan ng artikulong ito ang isyu ng paglutas ng linear inhomogeneous second-order differential equation na may pare-parehong coefficient. Ang teorya ay tatalakayin kasama ng mga halimbawa ng mga ibinigay na problema. Upang matukoy ang mga hindi malinaw na termino, kinakailangang sumangguni sa paksa tungkol sa mga pangunahing kahulugan at konsepto ng teorya ng mga differential equation.
Isaalang-alang natin ang isang linear differential equation (LDE) ng pangalawang pagkakasunud-sunod na may pare-parehong coefficients ng anyong y "" + p · y " + q · y = f (x), kung saan ang p at q ay mga arbitrary na numero, at ang umiiral na function f (x) ay tuloy-tuloy sa integration interval x.
Magpatuloy tayo sa pagbabalangkas ng theorem para sa pangkalahatang solusyon ng LNDE.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pangkalahatang solution theorem para sa LDNU
Teorama 1Isang pangkalahatang solusyon, na matatagpuan sa pagitan ng x, ng isang inhomogeneous differential equation ng anyong y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) na may tuluy-tuloy na integration coefficients sa x interval f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) at isang tuluy-tuloy na function na f (x) ay katumbas ng kabuuan ng pangkalahatang solusyon y 0, na tumutugma sa LOD at ilang partikular na solusyon y ~, kung saan ang orihinal na inhomogeneous equation ay y = y 0 + y ~.
Ipinapakita nito na ang solusyon sa naturang pangalawang-order na equation ay may anyo na y = y 0 + y ~ . Ang algorithm para sa paghahanap ng y 0 ay tinalakay sa artikulo sa linear homogenous na second-order differential equation na may pare-parehong coefficient. Pagkatapos nito ay dapat tayong magpatuloy sa kahulugan ng y ~.
Ang pagpili ng isang partikular na solusyon sa LPDE ay depende sa uri ng magagamit na function f (x) na matatagpuan sa kanang bahagi ng equation. Upang gawin ito, kinakailangang isaalang-alang nang hiwalay ang mga solusyon ng linear inhomogeneous second-order differential equation na may pare-parehong coefficient.
Kapag ang f (x) ay itinuturing na isang polynomial ng nth degree f (x) = P n (x), sumusunod na ang isang partikular na solusyon ng LPDE ay matatagpuan gamit ang isang formula ng anyong y ~ = Q n (x ) x γ, kung saan ang Q n ( x) ay isang polynomial ng degree n, ang r ay ang bilang ng mga zero na ugat ng katangian na equation. Ang value y ~ ay isang partikular na solusyon y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , pagkatapos ay ang mga available na coefficient na tinutukoy ng polynomial
Q n (x), nakita namin ang paggamit ng paraan ng mga hindi tiyak na coefficient mula sa pagkakapantay-pantay y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
Halimbawa 1
Kalkulahin gamit ang teorem ni Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Solusyon
Sa madaling salita, kinakailangan na lumipat sa isang partikular na solusyon ng isang linear inhomogeneous differential equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficients y "" - 2 y " = x 2 + 1, na kung saan ay masisiyahan ang ibinigay na mga kondisyon y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .
Ang pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous equation ay ang kabuuan ng pangkalahatang solusyon, na tumutugma sa equation y 0 o isang partikular na solusyon sa inhomogeneous equation y ~, iyon ay, y = y 0 + y ~.
Una, hahanap tayo ng pangkalahatang solusyon para sa LNDU, at pagkatapos ay isang partikular na solusyon.
Lumipat tayo sa paghahanap ng y 0. Ang pagsusulat ng katangian na equation ay makakatulong sa iyong mahanap ang mga ugat. Nakukuha namin iyon
k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2
Nalaman namin na ang mga ugat ay iba at totoo. Samakatuwid, isulat natin
y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.
Hanapin natin y ~ . Makikita na ang kanang bahagi ng ibinigay na equation ay isang polynomial ng pangalawang degree, pagkatapos ay ang isa sa mga ugat ay katumbas ng zero. Mula dito nakuha namin na ang isang partikular na solusyon para sa y ~ ay magiging
y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, kung saan ang mga halaga ng A, B, C ay tumatagal sa hindi natukoy na mga koepisyent.
Hanapin natin ang mga ito mula sa pagkakapantay-pantay ng anyong y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .
Pagkatapos makuha namin iyon:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Ang equating ng mga coefficient na may parehong exponents ng x, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga linear na expression - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Kapag nag-solve ng alinman sa mga pamamaraan, hahanapin natin ang mga coefficient at isulat ang: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 at y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .
Ang entry na ito ay tinatawag na pangkalahatang solusyon ng orihinal na linear inhomogeneous second-order differential equation na may pare-parehong coefficient.
Upang makahanap ng isang partikular na solusyon na nakakatugon sa mga kondisyon y (0) = 2, y "(0) = 1 4, kinakailangan upang matukoy ang mga halaga C 1 At C 2, batay sa pagkakapantay-pantay ng anyong y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.
Nakukuha namin iyon:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
Nagtatrabaho kami sa nagresultang sistema ng mga equation ng form C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, kung saan C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.
Ang paglalapat ng teorama ni Cauchy, mayroon tayo nito
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Sagot: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
Kapag ang function na f (x) ay kinakatawan bilang produkto ng isang polynomial na may degree n at isang exponent f (x) = P n (x) · e a x , pagkatapos ay makuha namin na ang isang partikular na solusyon ng pangalawang-order na LPDE ay magiging isang equation ng anyong y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ, kung saan ang Q n (x) ay isang polynomial ng nth degree, at ang r ay ang bilang ng mga ugat ng katangiang equation na katumbas ng α.
Ang mga coefficient na kabilang sa Q n (x) ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Halimbawa 2
Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa isang differential equation ng anyong y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .
Solusyon
Ang pangkalahatang equation ay y = y 0 + y ~ . Ang ipinahiwatig na equation ay tumutugma sa LOD y "" - 2 y " = 0. Mula sa nakaraang halimbawa ay makikita na ang mga ugat nito ay pantay. k 1 = 0 at k 2 = 2 at y 0 = C 1 + C 2 e 2 x sa pamamagitan ng katangiang equation.
Makikita na ang kanang bahagi ng equation ay x 2 + 1 · e x . Mula dito ang LPDE ay matatagpuan sa pamamagitan ng y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, kung saan ang Q n (x) ay isang polynomial ng pangalawang degree, kung saan ang α = 1 at r = 0, dahil ang characteristic equation ay hindi may ugat na katumbas ng 1. Mula dito nakukuha natin iyan
y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .
Ang A, B, C ay mga hindi kilalang coefficient na makikita ng pagkakapantay-pantay y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.
Nakuha ko na
y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1
Tinutumbas namin ang mga tagapagpahiwatig na may parehong mga coefficient at kumuha ng isang sistema ng mga linear na equation. Mula dito makikita natin ang A, B, C:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
Sagot: malinaw na ang y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 ay isang partikular na solusyon ng LNDDE, at y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - isang pangkalahatang solusyon para sa pangalawang-order na inhomogeneous dif equation.
Kapag ang function ay isinulat bilang f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x, at A 1 At SA 1 ay mga numero, kung gayon ang isang bahagyang solusyon ng LPDE ay itinuturing na isang equation ng anyong y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, kung saan ang A at B ay itinuturing na hindi natukoy na mga coefficient, at ang r ay ang bilang ng kumplikadong conjugate root na nauugnay sa katangian equation, katumbas ng ± i β . Sa kasong ito, ang paghahanap para sa mga coefficient ay isinasagawa gamit ang pagkakapantay-pantay y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
Halimbawa 3
Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa isang differential equation ng anyong y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Solusyon
Bago isulat ang katangiang equation, makikita natin ang y 0. Pagkatapos
k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i
Mayroon kaming isang pares ng kumplikadong conjugate roots. Magbago tayo at makakuha ng:
y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
Ang mga ugat ng characteristic equation ay itinuturing na conjugate pair ± 2 i, pagkatapos f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Ipinapakita nito na ang paghahanap para sa y ~ ay gagawin mula sa y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Unknowns Hahanapin natin ang mga coefficient A at B mula sa isang pagkakapantay-pantay ng anyo y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Ibahin natin:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
Pagkatapos ay malinaw na
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)
Ito ay kinakailangan upang equate ang coefficients ng sines at cosines. Kumuha kami ng isang sistema ng form:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
Kasunod nito na y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.
Sagot: ang pangkalahatang solusyon ng orihinal na pangalawang-order na LDDE na may pare-parehong coefficient ay isinasaalang-alang
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x
Kapag f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), pagkatapos ay y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. Mayroon tayong r ay ang bilang ng mga kumplikadong pares ng conjugate ng mga ugat na nauugnay sa katangiang equation, katumbas ng α ± i β, kung saan ang P n (x), Q k (x), L m (x) at Nm(x) ay mga polynomial ng degree n, k, m, m, kung saan m = m a x (n, k). Paghahanap ng mga coefficient Lm(x) At Nm(x) ay ginawa batay sa pagkakapantay-pantay y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Halimbawa 4
Hanapin ang pangkalahatang solusyon y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
Solusyon
Ayon sa kondisyon ay malinaw na
α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1
Pagkatapos m = m a x (n, k) = 1. Nahanap namin ang y 0 sa pamamagitan ng unang pagsulat ng isang katangian na equation ng form:
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2
Nalaman namin na ang mga ugat ay totoo at naiiba. Kaya y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Susunod, kailangang maghanap ng pangkalahatang solusyon batay sa hindi magkakatulad na equation y ~ ng form
y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) kasalanan (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) kasalanan (5 x))
Ito ay kilala na ang A, B, C ay mga coefficients, r = 0, dahil walang pares ng conjugate roots na nauugnay sa katangian na equation na may α ± i β = 3 ± 5 · i. Nakikita namin ang mga coefficient na ito mula sa nagresultang pagkakapantay-pantay:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) kasalanan (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) kasalanan (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
Ang paghahanap ng derivative at mga katulad na termino ay nagbibigay
E 3 x ((15 A + 23 C) x kasalanan (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) kasalanan (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))
Pagkatapos equating ang coefficients, kumuha kami ng isang sistema ng form
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1
Mula sa lahat ay sinusundan iyon
y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) kasalanan (5 x))
Sagot: Ngayon nakuha namin ang isang pangkalahatang solusyon sa ibinigay na linear equation:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
Algorithm para sa paglutas ng LDNU
Kahulugan 1Anumang iba pang uri ng function f (x) para sa solusyon ay nangangailangan ng pagsunod sa algorithm ng solusyon:
- paghahanap ng pangkalahatang solusyon sa katumbas na linear homogeneous equation, kung saan y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, kung saan y 1 At y 2 ay linearly independent na bahagyang solusyon ng LODE, C 1 At C 2 ay itinuturing na mga arbitrary na pare-pareho;
- pag-aampon bilang pangkalahatang solusyon ng LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
- pagtukoy ng mga derivatives ng isang function sa pamamagitan ng isang sistema ng anyong C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " (x ) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , at paghahanap ng mga function C 1 (x) at C 2 (x) sa pamamagitan ng pagsasama.
Halimbawa 5
Hanapin ang pangkalahatang solusyon para sa y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.
Solusyon
Nagpapatuloy kami sa pagsulat ng katangian na equation, na dati nang nakasulat y 0, y "" + 36 y = 0. Isulat at lutasin natin:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = kasalanan (6 x)
Mayroon kaming na ang pangkalahatang solusyon ng ibinigay na equation ay isusulat bilang y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Kinakailangang magpatuloy sa kahulugan ng mga derivative function C 1 (x) At C2(x) ayon sa isang sistema na may mga equation:
C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
Kailangang gumawa ng desisyon tungkol sa C 1" (x) At C 2" (x) gamit ang anumang paraan. Pagkatapos ay sumulat kami:
C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
Ang bawat isa sa mga equation ay dapat isama. Pagkatapos ay isulat namin ang mga nagresultang equation:
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x kasalanan (6 x) + C 4
Ito ay sumusunod na ang pangkalahatang solusyon ay magkakaroon ng form:
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 na kasalanan (6 x)
Sagot: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)
Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Nakita natin na, sa kaso kung saan ang pangkalahatang solusyon ng isang linear homogeneous equation ay kilala, posibleng mahanap ang pangkalahatang solusyon ng isang inhomogeneous equation gamit ang paraan ng variation ng arbitrary constants. Gayunpaman, ang tanong kung paano makahanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang homogenous na equation ay nanatiling bukas. Sa espesyal na kaso kapag nasa linear differential equation (3) lahat ng coefficients p i(X)= a i - constants, maaari itong malutas nang simple, kahit na walang pagsasama.
Isaalang-alang ang isang linear homogeneous differential equation na may pare-parehong coefficient, ibig sabihin, mga equation ng form
y (n) + a 1 y (n – 1) +...a n – 1 y " + a n y = 0, (14)
saan at ako- mga pare-pareho (i= 1, 2, ...,n).
Tulad ng nalalaman, para sa isang linear homogeneous equation ng 1st order ang solusyon ay isang function ng form e kx. Maghahanap tayo ng solusyon sa equation (14) sa anyo j (X) = e kx.
I-substitute natin ang function sa equation (14) j (X) at ang order derivatives nito m (1 £ m£ n)j (m) (X) = k m e kx. Nakukuha namin
(k n + a 1 k n – 1 +...a n – 1 k + a n)e kx = 0,
Pero e k x ¹ 0 para sa alinman X, kaya lang
k n + a 1 k n – 1 +...a n – 1 k + a n = 0. (15)
Ang equation (15) ay tinatawag katangian equation, ang polynomial sa kaliwang bahagi- katangiang polinomyal , ang mga ugat nito- katangiang ugat differential equation (14).
Konklusyon:
functionj (X) = e kx - solusyon sa linear homogenous equation (14) kung at kung ang numero lamang k - ugat ng katangian equation (15).
Kaya, ang proseso ng paglutas ng linear homogenous equation (14) ay nabawasan sa paglutas ng algebraic equation (15).
Ang iba't ibang mga kaso ng mga katangian ng mga ugat ay posible.
1.Ang lahat ng mga ugat ng katangian na equation ay totoo at naiiba.
Sa kasong ito n iba't ibang katangiang ugat k 1 ,k 2 ,..., k n tumutugma n iba't ibang solusyon ng homogenous equation (14)
Maipapakita na ang mga solusyong ito ay linearly independent at samakatuwid ay bumubuo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon. Kaya, ang pangkalahatang solusyon sa equation ay ang function
saan SA 1 , C 2 , ..., C n - di-makatwirang mga pare-pareho.
Halimbawa 7. Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng linear homogenous equation:
A) sa¢ ¢ (X) - 6sa¢ (X) + 8sa(X) = 0,b) sa¢ ¢ ¢ (X) + 2sa¢ ¢ (X) - 3sa¢ (X) = 0.
Solusyon. Gumawa tayo ng isang katangian na equation. Para magawa ito, pinapalitan namin ang derivative ng order m mga function y(x) sa naaangkop na antas
k(sa (m) (x) « k m),
habang ang function mismo sa(X) dahil ang zeroth order derivative ay pinalitan ng k 0 = 1.
Kung sakaling (a) ang katangiang equation ay may anyo k 2 - 6k + 8 = 0. Ang mga ugat ng quadratic equation na ito k 1 = 2,k 2 = 4. Dahil ang mga ito ay totoo at naiiba, ang pangkalahatang solusyon ay may anyo j (X)= C 1 e 2X + C 2 e 4x.
Para sa case (b), ang characteristic equation ay ang 3rd degree equation k 3 + 2k 2 - 3k = 0. Hanapin natin ang mga ugat ng equation na ito:
k(k 2 + 2 k - 3)= 0 Þ k = 0i k 2 + 2 k - 3 = 0 Þ k = 0, (k - 1)(k + 3) = 0,
T . e . k 1 = 0, k 2 = 1, k 3 = - 3.
Ang mga katangiang ugat na ito ay tumutugma sa pangunahing sistema ng mga solusyon ng differential equation:
j 1 (X)= e 0X = 1, j 2 (X) = e x, j 3 (X)= e - 3X .
Ang pangkalahatang solusyon, ayon sa formula (9), ay ang function
j (X)= C 1 + C 2 e x + C 3 e - 3X .
II . Ang lahat ng mga ugat ng katangian na equation ay iba, ngunit ang ilan sa mga ito ay kumplikado.
Lahat ng coefficients ng differential equation (14), at samakatuwid ng katangiang equation nito (15)- tunay na mga numero, na nangangahulugang kung c sa mga katangiang ugat ay mayroong isang kumplikadong ugat k 1 = a + ib, ibig sabihin, ang conjugate root nito k 2 = ` k 1 = a- ib.Sa unang ugat k 1 tumutugma sa solusyon ng differential equation (14)
j 1 (X)= e (a+ib)X = e a x e ibx = e ax(cosbx + isinbx)
(ginamit namin ang formula ni Euler e i x = cosx + isinx). Gayundin, ang ugat k 2 = a- ib tumutugma sa solusyon
j 2 (X)= e (isang - -ib)X = e a x e - ib x= e palakol(cosbx - isinbx).
Ang mga solusyon na ito ay kumplikado. Upang makakuha ng mga tunay na solusyon mula sa kanila, ginagamit namin ang mga katangian ng mga solusyon sa isang linear homogenous equation (tingnan ang 13.2). Mga pag-andar
ay mga tunay na solusyon ng equation (14). Bukod dito, ang mga solusyong ito ay linearly independent. Kaya, maaari nating gawin ang sumusunod na konklusyon.
Panuntunan 1.Isang pares ng conjugate complex roots a± ib ng characteristic equation sa FSR ng linear homogenous equation (14) tumutugma sa dalawang tunay na bahagyang solusyonAt .
Halimbawa 8. Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa equation:
A) sa¢ ¢ (X) - 2sa ¢ (X) + 5sa(X) = 0 ;b) sa¢ ¢ ¢ (X) - sa¢ ¢ (X) + 4sa ¢ (X) - 4sa(X) = 0.
Solusyon. Sa kaso ng equation (a), ang mga ugat ng katangian na equation k 2 - 2k + 5 Ang = 0 ay dalawang conjugate complex na numero
k 1, 2 = .
Dahil dito, ayon sa panuntunan 1, tumutugma sila sa dalawang tunay na linearly independent na solusyon: at , at ang pangkalahatang solusyon ng equation ay ang function.
j (X)= C 1 e x cos 2x + C 2 e x kasalanan 2x.
Sa kaso (b), upang mahanap ang mga ugat ng katangian na equation k 3 - k 2 + 4k- 4 = 0, isinasali namin ang kaliwang bahagi nito:
k 2 (k - 1) + 4(k - 1) = 0 Þ (k - 1)(k 2 + 4) = 0 Þ (k - 1) = 0, (k 2 + 4) = 0.
Samakatuwid, mayroon tayong tatlong katangiang ugat: k 1 = 1,k 2 , 3 = ± 2i. Cornu k 1 tumutugma sa solusyon , at isang pares ng conjugate complex roots k 2, 3 = ± 2ako = 0 ± 2i- dalawang wastong solusyon: at . Bumubuo kami ng isang pangkalahatang solusyon sa equation:
j (X)= C 1 e x + C 2 cos 2x + C 3 kasalanan 2x.
III . Kabilang sa mga ugat ng katangian na equation ay may mga multiple.
Hayaan k 1 - tunay na ugat ng multiplicity m katangian equation (15), ibig sabihin, kabilang sa mga ugat mayroong m pantay na ugat. Ang bawat isa sa kanila ay tumutugma sa parehong solusyon sa differential equation (14) Gayunpaman, isama m Walang pantay na solusyon sa FSR, dahil bumubuo sila ng isang linearly dependent na sistema ng mga function.
Maaari itong ipakita na sa kaso ng maramihang ugat k 1 ang mga solusyon sa equation (14), bilang karagdagan sa function, ay ang mga function
Ang mga function ay linearly independent sa buong numerical axis, dahil , ibig sabihin, maaari silang isama sa FSR.
Panuntunan 2. Tunay na katangiang ugat k 1 multiplicity m sa FSR tumutugon m mga solusyon:
Kung k 1 - kumplikadong multiplicity ng ugat m katangian equation (15), pagkatapos ay mayroong isang conjugate root k 1 multiplicity m. Sa pamamagitan ng pagkakatulad ay nakukuha natin ang sumusunod na tuntunin.
Panuntunan 3. Isang pares ng conjugate complex roots a± Ang ib sa FSR ay tumutugma sa 2mreal na linearly independent na mga solusyon:
, , ..., ,
, , ..., .
Halimbawa 9. Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa equation:
A) sa¢ ¢ ¢ (X) + 3sa¢ ¢ (X) + 3sa¢ (X)+ y ( X)= 0;b) sa IV(X) + 6sa¢ ¢ (X) + 9sa(X) = 0.
Solusyon. Kung sakaling (a) ang katangiang equation ay may anyo
k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 = 0
(k + 1) 3 = 0,
i.e. k =- 1 - ugat ng multiplicity 3. Batay sa panuntunan 2, isusulat namin ang pangkalahatang solusyon:
j (X)= C 1 + C 2 x + C 3 x 2 .
Ang katangiang equation sa kaso (b) ay ang equation
k 4 + 6k 2 + 9 = 0
o, kung hindi,
(k 2 + 3) 2 = 0 Þ k 2 = - 3 Þ k 1, 2 = ± i.
Mayroon kaming isang pares ng conjugate complex roots, bawat isa ay may multiplicity 2. Ayon sa panuntunan 3, ang pangkalahatang solusyon ay nakasulat bilang
j (X)= C 1 + C 2 x + C 3 + C 4 x.
Mula sa itaas ay sumusunod na para sa anumang linear homogenous na equation na may pare-parehong mga coefficient posible na makahanap ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon at bumuo ng isang pangkalahatang solusyon. Dahil dito, ang solusyon sa kaukulang inhomogeneous equation para sa anumang tuluy-tuloy na function f(x) sa kanang bahagi ay matatagpuan gamit ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants (tingnan ang seksyon 5.3).
Halimbawa 10. Gamit ang paraan ng pagkakaiba-iba, hanapin ang pangkalahatang solusyon sa inhomogeneous equation sa¢ ¢ (X) - sa¢ (X) - 6sa(X) = xe 2x .
Solusyon. Una naming mahanap ang pangkalahatang solusyon ng kaukulang homogenous equation sa¢ ¢ (X) - sa¢ (X) - 6sa(X) = 0. Mga ugat ng katangiang equation k 2 - k- 6 = 0 ay k 1 = 3,k 2 = - 2, a pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation - function ` sa ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X .
Maghahanap tayo ng solusyon sa inhomogeneous equation sa anyo
sa( X) = SA 1 (X)e 3X + C 2 (X)e 2X . (*)
Hanapin natin ang determinant ng Wronski
W[e 3X , e 2X ] = .
Bumuo tayo ng isang sistema ng mga equation (12) para sa mga derivatives ng mga hindi kilalang function SA ¢ 1 (X) At SA¢ 2 (X):
Ang paglutas ng system gamit ang mga formula ng Cramer, nakukuha namin
Pagsasama, nahanap namin SA 1 (X) At SA 2 (X):
Pagpapalit ng mga function SA 1 (X) At SA 2 (X) sa pagkakapantay-pantay (*), nakakakuha tayo ng pangkalahatang solusyon sa equation sa¢ ¢ (X) - sa¢ (X) - 6sa(X) = xe 2x :
Sa kaso kapag ang kanang bahagi ng isang linear inhomogeneous equation na may pare-parehong coefficient ay may espesyal na anyo, ang isang partikular na solusyon sa hindi homogenous na equation ay matatagpuan nang hindi gumagamit ng paraan ng pag-iiba-iba ng mga arbitrary na constant.
Isaalang-alang ang equation na may pare-parehong coefficient
y (n) + isang 1 y (n– 1) +...a n – 1y " + a n y = f (x), (16)
f( x) = epalakol(Si Pn(x)cosbx + Rm(x)sinbx), (17)
saan Si Pn(x) At R m(x) - degree polynomials n At m ayon sa pagkakabanggit.
Pribadong solusyon y*(X) ng equation (16) ay tinutukoy ng formula
sa* (X) = xse palakol(Ginoo(x)cosbx + Nr(x)sinbx), (18)
saan Ginoo(x) At N r(x) - degree polynomials r = max(n, m) na may hindi tiyak na mga coefficient , A s katumbas ng multiple ng ugat k 0 = a + ib katangian polynomial ng equation (16), at ipinapalagay namin s = 0 kung k Ang 0 ay hindi isang katangiang ugat.
Upang makabuo ng isang partikular na solusyon gamit ang formula (18), kailangan mong maghanap ng apat na parameter - a, b, r At s. Ang unang tatlo ay tinutukoy mula sa kanang bahagi ng equation, at r- ito talaga ang pinakamataas na antas x, matatagpuan sa kanang bahagi. Parameter s natagpuan mula sa paghahambing ng mga numero k 0 = a + ib At ang set ng lahat (isinasaalang-alang ang multiplicity) katangian na mga ugat ng equation (16), na matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng kaukulang homogeneous equation.
Isaalang-alang natin ang mga espesyal na kaso ng anyo ng function (17):
1) kailan a ¹ 0, b= 0f(x)= e palakol P n(x);
2) kailan a= 0, b ¹ 0f(x)= Si Pn(x) Saosbx + R m(x)sinbx;
3) kailan a = 0, b = 0f(x)=Pn(x).
Puna 1. Kung P n (x) º 0 o Rm(x)º 0, pagkatapos ay ang kanang bahagi ng equation f(x) = e ax P n (x)с osbx o f(x) = e ax R m (x)sinbx, ibig sabihin, naglalaman lamang ng isa sa mga function - cosine o sine. Ngunit sa pag-record ng isang partikular na solusyon, pareho ang mga ito ay dapat naroroon, dahil, ayon sa formula (18), ang bawat isa sa kanila ay pinarami ng isang polynomial na may hindi natukoy na mga coefficient ng parehong degree r = max(n, m).
Halimbawa 11. Tukuyin ang uri ng partial solution sa isang linear homogeneous equation ng ika-4 na order na may pare-parehong coefficient kung ang kanang bahagi ng equation ay kilala f(X) = e x(2xcos 3x+(x 2 + 1)kasalanan 3x) at ang mga ugat ng katangiang equation:
A ) k 1 = k 2 = 1, k 3 = 3,k 4 = - 1;
b ) k 1, 2 = 1 ± 3i,k 3, 4 = ± 1;
V ) k 1, 2 = 1 ± 3i,k 3, 4 = 1 ± 3i.
Solusyon. Sa kanang bahagi nakita namin iyon sa partikular na solusyon sa*(X), na tinutukoy ng formula (18), mga parameter: a= 1, b= 3, r = 2. Nananatili silang pareho para sa lahat ng tatlong kaso, kaya ang bilang k 0 na tumutukoy sa huling parameter s ang formula (18) ay katumbas ng k 0 = 1+ 3i. Kung sakaling (a) walang numero sa mga katangiang ugat k 0 = 1 + 3ako, Ibig sabihin, s= 0, at ang isang partikular na solusyon ay may anyo
y*(X) = x 0 e x(M 2 (x)cos 3x+N 2 (x)kasalanan 3x) =
= ex( (Ax 2 +Bx+C)cos 3x+(A 1 x 2 +B 1 x+C 1)kasalanan 3x.
Kung sakaling (b) ang numero k 0 = 1 + 3i nangyayari minsan sa mga katangiang ugat, na nangangahulugang s = 1 At
y*(X) = x e x((Ax 2 +Bx+C)cos 3x+(A 1 x 2 +B 1 x+C 1)kasalanan 3x.
Para sa kaso (c) mayroon kami s = 2 at
y*(X) = x 2 e x((Ax 2 +Bx+C)cos 3x+(A 1 x 2 +B 1 x+C 1)kasalanan 3x.
Sa halimbawa 11, ang partikular na solusyon ay naglalaman ng dalawang polynomial ng degree 2 na may hindi natukoy na mga coefficient. Upang makahanap ng solusyon, kailangan mong matukoy ang mga numerical na halaga ng mga coefficient na ito. Bumuo tayo ng pangkalahatang tuntunin.
Upang matukoy ang hindi kilalang coefficient ng polynomials Ginoo(x) At N r(x) pagkakapantay-pantay (17) ay pinag-iiba ang kinakailangang bilang ng beses, at ang function ay pinapalitan y*(X) at mga derivatives nito sa equation (16). Sa pamamagitan ng paghahambing sa kaliwa at kanang bahagi nito, ang isang sistema ng mga algebraic equation ay nakuha para sa paghahanap ng mga coefficient.
Halimbawa 12. Humanap ng solusyon sa equation sa¢ ¢ (X) - sa¢ (X) - 6sa(X) = xe 2x, na natukoy ang isang partikular na solusyon ng inhomogeneous equation sa pamamagitan ng anyo ng kanang bahagi.
Solusyon. Ang pangkalahatang solusyon ng inhomogeneous equation ay may anyo
sa( X) = ` sa(X)+ y*(X),
saan ` sa ( X) - ang pangkalahatang solusyon ng katumbas na homogenous equation, at y*(X) - partikular na solusyon ng isang hindi homogenous na equation.
Una naming lutasin ang homogenous equation sa¢ ¢ (X) - sa¢ (X) - 6sa(X) = 0. Ang katangiang equation nito k 2 - k- 6 = 0 may dalawang ugat k 1 = 3,k 2 = - 2, kaya naman, ` sa ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X .
Gamitin natin ang formula (18) upang matukoy ang uri ng partikular na solusyon sa*(X). Function f(x) = xe 2x kumakatawan sa isang espesyal na kaso (a) ng formula (17), habang a = 2,b = 0 At r = 1, i.e. k 0 = 2 + 0ako = 2. Ang paghahambing sa mga katangian ng mga ugat, napagpasyahan namin iyon s = 0. Ang pagpapalit ng mga halaga ng lahat ng mga parameter sa formula (18), mayroon kami y*(X) = (Ah + B)e 2X .
Upang mahanap ang mga halaga A At SA, hanapin natin ang una at pangalawang order derivatives ng function y*(X) = (Ah + B)e 2X :
y*¢ (X)= Ae 2X + 2(Ah + B)e 2X = (2Ah + Ah + 2B)e 2x,
y*¢ ¢ (X) = 2Ae 2X + 2(2Ah + Ah + 2B)e 2X = (4Ah + 4A+ 4B)e 2X .
Pagkatapos ng pagpapalit ng function y*(X) at ang mga derivatives nito sa equation na mayroon tayo
(4Ah + 4A+ 4B)e 2X - (2Ah + Ah + 2B)e 2X - 6(Ah + B)e 2X =xe 2x Þ Þ A=- 1/4,B=- 3/16.
Kaya, ang isang partikular na solusyon sa inhomogeneous equation ay may anyo
y*(X) = (- 1/4X- 3/16)e 2X ,
at ang pangkalahatang solusyon - sa ( X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .
Tandaan 2.Sa kaso kapag ang problemang Cauchy ay ipinakita para sa isang hindi magkakatulad na equation, kailangan munang maghanap ng isang pangkalahatang solusyon sa equation.
sa( X) = ,
na natukoy ang lahat ng mga numerical na halaga ng mga coefficient sa sa*(X). Pagkatapos ay gamitin ang mga paunang kundisyon at, palitan ang mga ito sa pangkalahatang solusyon (at hindi sa y*(X)), hanapin ang mga halaga ng mga constant C i.
Halimbawa 13. Humanap ng solusyon sa problemang Cauchy:
sa¢ ¢ (X) - sa¢ (X) - 6sa(X) = xe 2x ,y(0) = 0, y ¢ (X) = 0.
Solusyon. Ang pangkalahatang solusyon sa equation na ito ay
sa(X) = C 1 e 3X + C 2 e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X
ay natagpuan sa Halimbawa 12. Upang makahanap ng isang partikular na solusyon na nakakatugon sa mga unang kondisyon ng problemang ito ng Cauchy, kumuha tayo ng isang sistema ng mga equation
Ang paglutas nito, mayroon kami C 1 = 1/8, C 2 = 1/16. Samakatuwid, ang solusyon sa problemang Cauchy ay ang pag-andar
sa(X) = 1/8e 3X + 1/16e - 2X + (- 1/4X- 3/16)e 2X .
Tandaan 3(prinsipyo ng superposisyon). Kung sa isang linear equation Ln[y(x)]=f(x), Saan f(x) =f 1 (x)+f 2 (x) At y* 1 (x) - solusyon sa equation Ln[y(x)]=f 1 (x), A y* 2 (x) - solusyon sa equation Ln[y(x)]=f 2 (x), pagkatapos ay ang function y*(X)= y* 1 (x)+ y* 2 (x) ay paglutas ng equation Ln[y(x)]=f(x).
Halimbawa 14. Ipahiwatig ang uri ng pangkalahatang solusyon sa isang linear equation
sa¢ ¢ (X) + 4sa(X) = x + sinx.
Solusyon. Pangkalahatang solusyon ng katumbas na homogenous equation
` sa(x) = C 1 cos 2x + C 2 kasalanan 2x,
dahil ang katangian equation k 2 + 4 = 0 ay may mga ugat k 1, 2 = ± 2i.Ang kanang bahagi ng equation ay hindi tumutugma sa formula (17), ngunit kung ipinakilala natin ang notasyon f 1 (x) = x, f 2 (x) = sinx at gamitin ang prinsipyo ng superposisyon , pagkatapos ay ang isang partikular na solusyon sa inhomogeneous equation ay matatagpuan sa anyo y*(X)= y* 1 (x)+ y* 2 (x), Saan y* 1 (x) - solusyon sa equation sa¢ ¢ (X) + 4sa(X) = x, A y* 2 (x) - solusyon sa equation sa¢ ¢ (X) + 4sa(X) = sinx. Ayon sa formula (18)
y* 1 (x) = Ax + B,y* 2 (x) = Ссosx + Dsinx.
Pagkatapos ay ang partikular na solusyon
y*(X) = Ax + B + Ccosx + Dsinx,
samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ay may anyo
sa(X) = C 1 cos 2x + C 2 e - 2X + A x + B + Ccosx + Dsinx.
Halimbawa 15. Ang isang de-koryenteng circuit ay binubuo ng isang kasalukuyang pinagmumulan na konektado sa serye na may isang emf e(t) = E kasalananw t, inductance L at mga lalagyan SA, at
Institusyon ng edukasyon "Estado ng Belarus
akademya ng agrikultura"
Kagawaran ng Mas Mataas na Matematika
Mga Alituntunin
upang pag-aralan ang paksang "Linear differential equation ng pangalawang pagkakasunud-sunod" ng mga mag-aaral ng accounting faculty of correspondence education (NISPO)
Gorki, 2013
Linear differential equation
pangalawang order na may mga constantscoefficients
Linear homogenous differential equation
Linear differential equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient tinatawag na equation ng form
mga. isang equation na naglalaman ng nais na function at mga derivatives nito hanggang sa unang antas lamang at hindi naglalaman ng kanilang mga produkto. Sa equation na ito 
At 
- ilang mga numero, at isang function 
ibinigay sa isang tiyak na pagitan 
.
Kung 
sa pagitan 
, pagkatapos ay ang equation (1) ay kukuha ng anyo
,
(2)
at tinatawag linear homogenous . Kung hindi, ang equation (1) ay tinatawag linear inhomogeneous .
Isaalang-alang ang kumplikadong pag-andar
,
(3)
saan 
At 
- tunay na pag-andar. Kung ang function (3) ay isang kumplikadong solusyon sa equation (2), kung gayon ang tunay na bahagi 
, at ang haka-haka na bahagi 
mga solusyon 
magkahiwalay ang mga solusyon ng parehong homogenous equation. Kaya, ang anumang kumplikadong solusyon sa equation (2) ay bumubuo ng dalawang tunay na solusyon sa equation na ito.
Ang mga solusyon ng isang homogenous na linear equation ay may mga sumusunod na katangian:
Kung 
ay isang solusyon sa equation (2), pagkatapos ay ang function 
, Saan SA– ang isang arbitrary constant ay magiging solusyon din sa equation (2);
Kung 
At 
may mga solusyon sa equation (2), pagkatapos ay ang function 
magiging solusyon din sa equation (2);
Kung 
At 
may mga solusyon sa equation (2), pagkatapos ang kanilang linear na kumbinasyon 
magiging solusyon din sa equation (2), kung saan 
At 
– di-makatwirang mga pare-pareho.
Mga pag-andar 
At 
ay tinatawag nakadepende sa linear
sa pagitan 
, kung may mga ganyang numero 
At 
, hindi katumbas ng zero sa parehong oras, na sa pagitan na ito ang pagkakapantay-pantay
Kung ang pagkakapantay-pantay (4) ay nangyayari lamang kapag 
At 
, pagkatapos ay ang mga pag-andar 
At 
ay tinatawag linearly independent
sa pagitan 
.
Halimbawa 1
. Mga pag-andar 
At 
ay linearly dependent, dahil 
sa buong linya ng numero. Sa halimbawang ito 
.
Halimbawa 2
. Mga pag-andar 
At 
ay linearly na independyente sa anumang agwat, dahil ang pagkakapantay-pantay 
ay posible lamang sa kaso kung kailan 
, At 
.
Konstruksyon ng isang pangkalahatang solusyon sa isang linear homogenous
mga equation
Upang makahanap ng pangkalahatang solusyon sa equation (2), kailangan mong hanapin ang dalawa sa mga linearly independent na solusyon nito 
At 
. Linear na kumbinasyon ng mga solusyong ito 
, Saan 
At 
ay mga arbitrary constants, at magbibigay ng pangkalahatang solusyon sa isang linear homogenous equation.
Maghahanap tayo ng mga linearly independent na solusyon sa equation (2) sa form
,
(5)
saan 
– isang tiyak na numero. Pagkatapos 
,
. I-substitute natin ang mga expression na ito sa equation (2):
o 
.
kasi 
, Iyon 
. Kaya ang function 
magiging solusyon sa equation (2) kung 
ay masiyahan ang equation
.
(6)
Ang equation (6) ay tinatawag katangian equation para sa equation (2). Ang equation na ito ay isang algebraic quadratic equation.
Hayaan 
At 
may mga ugat ng equation na ito. Maaari silang maging totoo at naiiba, o kumplikado, o totoo at pantay. Isaalang-alang natin ang mga kasong ito.
Hayaan ang mga ugat 
At 
Ang mga katangiang equation ay totoo at naiiba. Pagkatapos ang mga solusyon sa equation (2) ay ang mga function 
At 
. Ang mga solusyong ito ay linearly independent, dahil ang pagkakapantay-pantay 
maisasagawa lamang kapag 
, At 
. Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon sa equation (2) ay may anyo
,
saan 
At 
- di-makatwirang mga pare-pareho.
Halimbawa 3
.
Solusyon
. Ang katangian na equation para sa kaugalian na ito ay magiging 
. Nang malutas ang quadratic equation na ito, nakita natin ang mga ugat nito 
At 
. Mga pag-andar 
At 
ay mga solusyon sa differential equation. Ang pangkalahatang solusyon sa equation na ito ay 
.
Kumplikadong numero 
tinatawag na pagpapahayag ng anyo 
, Saan 
At 
ay tunay na mga numero, at 
tinatawag na imaginary unit. Kung 
, pagkatapos ay ang numero 
ay tinatawag na puro haka-haka. Kung 
, pagkatapos ay ang numero 
ay kinilala sa isang tunay na numero 
.
Numero 
ay tinatawag na tunay na bahagi ng isang kumplikadong numero, at 
- haka-haka na bahagi. Kung ang dalawang kumplikadong numero ay naiiba sa bawat isa lamang sa pamamagitan ng pag-sign ng haka-haka na bahagi, kung gayon sila ay tinatawag na conjugate: 
,
.
Halimbawa 4
. Lutasin ang quadratic equation 
.
Solusyon
. Discriminant equation 
. Pagkatapos. Gayundin, 
. Kaya, ang quadratic equation na ito ay may conjugate complex roots.
Hayaang maging kumplikado ang mga ugat ng katangiang equation, i.e. 
,
, Saan 
. Ang mga solusyon ng equation (2) ay maaaring isulat sa anyo 
,
o 
,
. Ayon sa mga formula ni Euler
,
.
Tapos ,. Tulad ng nalalaman, kung ang isang kumplikadong function ay isang solusyon sa isang linear homogenous na equation, kung gayon ang mga solusyon sa equation na ito ay parehong tunay at haka-haka na mga bahagi ng function na ito. Kaya, ang mga solusyon sa equation (2) ay magiging mga function 
At 
. Dahil pagkakapantay-pantay
maaari lamang isagawa kung 
At 
, pagkatapos ang mga solusyong ito ay linearly independent. Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon sa equation (2) ay may anyo
saan 
At 
- di-makatwirang mga pare-pareho.
Halimbawa 5
. Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa differential equation 
.
Solusyon
. Ang equation 
ay katangian ng isang ibinigay na kaugalian. Ating lutasin ito at makakuha ng mga kumplikadong ugat 
,
. Mga pag-andar 
At 
ay mga linearly independent na solusyon ng differential equation. Ang pangkalahatang solusyon sa equation na ito ay:
Hayaang maging totoo at pantay ang mga ugat ng katangiang equation, i.e. 
. Pagkatapos ang mga solusyon sa equation (2) ay ang mga function 
At 
. Ang mga solusyong ito ay linearly independent, dahil ang expression ay maaaring magkaparehong katumbas ng zero kapag 
At 
. Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon sa equation (2) ay may anyo 
.
Halimbawa 6
. Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa differential equation 
.
Solusyon
. Katangiang equation 
may pantay na ugat 
. Sa kasong ito, ang mga linearly independent na solusyon sa differential equation ay ang mga function 
At 
. Ang pangkalahatang solusyon ay may anyo 
.
Inhomogeneous linear differential equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient
at ang espesyal na kanang bahagi
Ang pangkalahatang solusyon ng linear inhomogeneous equation (1) ay katumbas ng kabuuan ng pangkalahatang solusyon 
ang katumbas na homogenous equation at anumang partikular na solusyon 
hindi magkakatulad na equation: 
.
Sa ilang mga kaso, ang isang partikular na solusyon sa isang hindi magkakatulad na equation ay matatagpuan sa simpleng anyo ng kanang bahagi. 
equation (1). Tingnan natin ang mga kaso kung saan posible ito.
mga. ang kanang bahagi ng inhomogeneous equation ay isang polynomial of degree m. Kung 
ay hindi isang ugat ng katangian na equation, kung gayon ang isang partikular na solusyon sa hindi magkakatulad na equation ay dapat hanapin sa anyo ng isang polynomial ng degree m, ibig sabihin.
Odds 
ay tinutukoy sa proseso ng paghahanap ng isang partikular na solusyon.
Kung 
ay ang ugat ng katangiang equation, kung gayon ang isang partikular na solusyon sa hindi magkakatulad na equation ay dapat hanapin sa anyo
Halimbawa 7
. Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa differential equation 
.
Solusyon
. Ang katumbas na homogenous equation para sa equation na ito ay 
. Ang katangiang equation nito 
may mga ugat 
At 
. Ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation ay may anyo 
.
kasi 
ay hindi ugat ng katangiang equation, pagkatapos ay hahanapin natin ang isang partikular na solusyon ng inhomogeneous equation sa anyo ng isang function. 
. Hanapin natin ang mga derivatives ng function na ito 
,
at palitan ang mga ito sa equation na ito:
o . Itumbas natin ang mga coefficient para sa 
at mga libreng miyembro: 
Nang malutas ang sistemang ito, nakukuha natin 
,
. Pagkatapos ang isang partikular na solusyon ng inhomogeneous equation ay may anyo 
, at ang pangkalahatang solusyon ng isang ibinigay na inhomogeneous equation ay ang kabuuan ng pangkalahatang solusyon ng katumbas na homogenous na equation at ang partikular na solusyon ng inhomogeneous: 
.
Hayaang magkaroon ng anyo ang inhomogeneous equation
Kung 
ay hindi isang ugat ng katangian na equation, kung gayon ang isang partikular na solusyon sa hindi magkakatulad na equation ay dapat hanapin sa anyo. Kung 
ay ang ugat ng katangian ng multiplicity equation k
(k=1 o k=2), kung gayon sa kasong ito ang isang partikular na solusyon ng hindi magkakatulad na equation ay magkakaroon ng anyo .
Halimbawa 8
. Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa differential equation 
.
Solusyon
. Ang katangiang equation para sa katumbas na homogenous na equation ay may anyo 
. Ang mga ugat nito 
,
. Sa kasong ito, ang pangkalahatang solusyon ng kaukulang homogenous equation ay nakasulat sa form 
.
Dahil ang numero 3 ay hindi ugat ng katangiang equation, isang partikular na solusyon sa hindi magkakatulad na equation ang dapat hanapin sa anyo. 
. Hanapin natin ang mga derivative ng una at pangalawang order:
Ipalit natin sa differential equation: 
+
+,
+,.
Itumbas natin ang mga coefficient para sa 
at mga libreng miyembro:
Mula rito 
,
. Pagkatapos ang isang partikular na solusyon sa equation na ito ay may anyo 
, at ang pangkalahatang solusyon
.
Lagrange na paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants
Ang paraan ng pag-iiba-iba ng mga di-makatwirang constant ay maaaring ilapat sa anumang inhomogeneous linear equation na may pare-parehong coefficient, anuman ang uri ng kanang bahagi. Ang pamamaraang ito ay nagbibigay-daan sa iyo na laging makahanap ng isang pangkalahatang solusyon sa isang hindi magkakatulad na equation kung ang pangkalahatang solusyon sa katumbas na homogenous na equation ay kilala.
Hayaan 
At 
ay mga linearly independent na solusyon ng equation (2). Kung gayon ang pangkalahatang solusyon sa equation na ito ay 
, Saan 
At 
- di-makatwirang mga pare-pareho. Ang kakanyahan ng paraan ng pag-iiba-iba ng mga arbitrary na constant ay ang pangkalahatang solusyon sa equation (1) ay hinahanap sa anyo
saan 
At 
- mga bagong hindi kilalang function na kailangang matagpuan. Dahil mayroong dalawang hindi kilalang function, upang mahanap ang mga ito, kailangan ng dalawang equation na naglalaman ng mga function na ito. Ang dalawang equation na ito ay bumubuo sa sistema
na isang linear algebraic system ng mga equation na may kinalaman sa 
At 
. Ang paglutas ng sistemang ito, nahanap namin 
At 
. Ang pagsasama ng magkabilang panig ng mga nakuhang pagkakapantay-pantay, nakita namin
At 
.
Ang pagpapalit ng mga ekspresyong ito sa (9), nakakakuha tayo ng pangkalahatang solusyon sa hindi magkakatulad na linear na equation (1).
Halimbawa 9
. Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa differential equation 
.
Solusyon.
Ang katangiang equation para sa homogenous na equation na tumutugma sa isang ibinigay na differential equation ay 
. Ang mga ugat nito ay kumplikado 
,
. kasi 
At 
, Iyon 
,
, at ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation ay may anyo. Pagkatapos ay hahanapin namin ang isang pangkalahatang solusyon sa hindi magkakatulad na equation na ito sa anyo kung saan 
At 
- hindi kilalang mga function.
Ang sistema ng mga equation para sa paghahanap ng mga hindi kilalang function na ito ay may anyo
Ang pagkakaroon ng malutas ang sistemang ito, nakita namin 
,
. Pagkatapos
,
. Palitan natin ang mga resultang expression sa formula para sa pangkalahatang solusyon:
Ito ang pangkalahatang solusyon sa differential equation na ito, na nakuha gamit ang Lagrange method.
Mga tanong para sa pagpipigil sa sarili ng kaalaman
Anong differential equation ang tinatawag na second order linear differential equation na may pare-parehong coefficient?
Aling linear differential equation ang tinatawag na homogenous at alin ang tinatawag na inhomogeneous?
Anong mga katangian mayroon ang isang linear homogenous equation?
Anong equation ang tinatawag na katangian para sa isang linear differential equation at paano ito nakuha?
Sa anong anyo ang pangkalahatang solusyon ng isang linear homogeneous differential equation na may pare-parehong coefficient na nakasulat sa kaso ng iba't ibang mga ugat ng katangian na equation?
Sa anong anyo ang pangkalahatang solusyon ng isang linear homogeneous differential equation na may pare-parehong coefficient na nakasulat sa kaso ng pantay na mga ugat ng katangian na equation?
Sa anong anyo ang pangkalahatang solusyon ng isang linear homogeneous differential equation na may pare-parehong coefficient na nakasulat sa kaso ng mga kumplikadong ugat ng katangian na equation?
Paano isinusulat ang pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous equation?
Sa anong anyo ang isang partikular na solusyon sa isang linear inhomogeneous equation na hinahangad kung ang mga ugat ng characteristic equation ay iba at hindi katumbas ng zero, at ang kanang bahagi ng equation ay isang polynomial of degree m?
Sa anong anyo ang isang partikular na solusyon sa isang linear inhomogeneous equation ay hinahangad kung mayroong isang zero sa mga ugat ng characteristic equation at ang kanang bahagi ng equation ay isang polynomial of degree m?
Ano ang kakanyahan ng pamamaraan ni Lagrange?
Mga pangunahing kaalaman sa paglutas ng linear inhomogeneous second order differential equation (LNDE-2) na may pare-parehong coefficient (PC)
Ang 2nd order na LDDE na may pare-parehong coefficient na $p$ at $q$ ay may anyong $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, kung saan $f\left(x \right)$ ay isang tuluy-tuloy na function.
Tungkol sa LNDU 2 sa PC, ang sumusunod na dalawang pahayag ay totoo.
Ipagpalagay natin na ang ilang function na $U$ ay isang di-makatwirang partial na solusyon ng isang inhomogeneous differential equation. Ipagpalagay din natin na ang ilang function na $Y$ ay ang pangkalahatang solusyon (GS) ng kaukulang linear homogeneous differential equation (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Pagkatapos ay ang GR ng Ang LHDE-2 ay katumbas ng kabuuan ng ipinahiwatig na pribado at pangkalahatang mga solusyon, iyon ay, $y=U+Y$.
Kung ang kanang bahagi ng isang 2nd order LMDE ay isang kabuuan ng mga function, ibig sabihin, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, pagkatapos ay mahahanap muna natin ang mga PD na $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ na katumbas sa bawat isa sa mga function $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, at pagkatapos nito isulat ang CR LNDU-2 sa anyong $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
Solusyon ng 2nd order LPDE sa PC
Malinaw na ang uri ng isa o isa pang PD $U$ ng isang ibinigay na LNDU-2 ay nakasalalay sa partikular na anyo ng kanang bahagi nito $f\left(x\right)$. Ang pinakasimpleng mga kaso ng paghahanap para sa PD LNDU-2 ay binuo sa anyo ng sumusunod na apat na panuntunan.
Panuntunan #1.
Ang kanang bahagi ng LNDU-2 ay may anyong $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, kung saan $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, ibig sabihin, ito ay tinatawag na a polynomial ng degree $n$. Pagkatapos ang PD $U$ nito ay hinanap sa form na $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, kung saan ang $Q_(n) \left(x\right)$ ay isa pa polynomial na kapareho ng antas ng $P_(n) \left(x\right)$, at ang $r$ ay ang bilang ng mga ugat ng katangiang equation ng kaukulang LODE-2 na katumbas ng zero. Ang mga coefficient ng polynomial na $Q_(n) \left(x\right)$ ay matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng indefinite coefficients (UK).
Panuntunan Blg. 2.
Ang kanang bahagi ng LNDU-2 ay may anyong $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, kung saan $P_(n) Ang \left( x\right)$ ay isang polynomial ng degree na $n$. Pagkatapos ang PD $U$ nito ay hinanap sa anyong $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, kung saan ang $Q_(n ) \ left(x\right)$ ay isa pang polynomial na kapareho ng degree ng $P_(n) \left(x\right)$, at ang $r$ ay ang bilang ng mga ugat ng katangian na equation ng kaukulang LODE-2 katumbas ng $\alpha $. Ang mga coefficient ng polynomial $Q_(n) \left(x\right)$ ay matatagpuan sa pamamagitan ng NC method.
Panuntunan Blg. 3.
Ang kanang bahagi ng LNDU-2 ay may anyong $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, kung saan ang $a$, $b$ at $\beta$ ay mga kilalang numero. Pagkatapos ang PD $U$ nito ay hinahanap sa form na $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, kung saan ang $A$ at $B$ ay mga hindi kilalang coefficient, at ang $r$ ay ang bilang ng mga ugat ng katangian na equation ng kaukulang LODE-2, katumbas ng $i\cdot \beta $. Ang mga coefficient na $A$ at $B$ ay matatagpuan gamit ang non-destructive method.
Panuntunan Blg. 4.
Ang kanang bahagi ng LNDU-2 ay may anyong $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, kung saan ang $P_(n) \left(x\right)$ ay isang polynomial ng degree na $ n$, at ang $P_(m) \left(x\right)$ ay isang polynomial ng degree na $m$. Pagkatapos ang PD $U$ nito ay hinahanap sa anyong $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, kung saan ang $Q_(s) \left(x\right)$ at ang $ R_(s) \left(x\right)$ ay mga polynomial ng degree na $s$, ang bilang na $s$ ay ang maximum ng dalawang numero na $n$ at $m$, at ang $r$ ay ang bilang ng mga ugat ng katangiang equation ng kaukulang LODE-2, katumbas ng $\alpha +i\cdot \beta $. Ang mga coefficient ng mga polynomial na $Q_(s) \left(x\right)$ at $R_(s) \left(x\right)$ ay matatagpuan sa pamamagitan ng NC method.
Ang paraan ng NK ay binubuo ng paglalapat ng sumusunod na tuntunin. Upang mahanap ang hindi kilalang mga coefficient ng polynomial na bahagi ng bahagyang solusyon ng inhomogeneous differential equation LNDU-2, kinakailangan:
- palitan ang PD $U$, nakasulat sa pangkalahatang anyo, sa kaliwang bahagi ng LNDU-2;
- sa kaliwang bahagi ng LNDU-2, magsagawa ng mga pagpapasimple at mga termino ng pangkat na may parehong kapangyarihan $x$;
- sa nagresultang pagkakakilanlan, ipantay ang mga koepisyent ng mga termino na may parehong kapangyarihan $x$ ng kaliwa at kanang panig;
- lutasin ang resultang sistema ng mga linear equation para sa hindi kilalang coefficient.
Halimbawa 1
Gawain: hanapin O LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Hanapin din ang PD , na nagbibigay-kasiyahan sa mga paunang kundisyon $y=6$ para sa $x=0$ at $y"=1$ para sa $x=0$.
Isinulat namin ang kaukulang LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Katangiang equation: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Ang mga ugat ng katangiang equation ay: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Ang mga ugat na ito ay wasto at naiiba. Kaya, ang OR ng kaukulang LODE-2 ay may anyo: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Ang kanang bahagi ng LNDU-2 na ito ay may anyong $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Kinakailangang isaalang-alang ang koepisyent ng exponent na $\alpha =3$. Ang koepisyent na ito ay hindi tumutugma sa alinman sa mga ugat ng katangian na equation. Samakatuwid, ang PD ng LNDU-2 na ito ay may anyong $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Hahanapin namin ang mga coefficient na $A$, $B$ gamit ang NC method.
Nakita namin ang unang derivative ng Czech Republic:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Nakita namin ang pangalawang derivative ng Czech Republic:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Pinapalitan namin ang mga function na $U""$, $U"$ at $U$ sa halip na $y""$, $y"$ at $y$ sa ibinigay na NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Bukod dito, dahil ang exponent na $e^(3\cdot x)$ ay kasama bilang isang factor sa lahat ng bahagi, maaari itong alisin. Nakukuha namin ang:
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
Ginagawa namin ang mga aksyon sa kaliwang bahagi ng nagresultang pagkakapantay-pantay:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Ginagamit namin ang paraan ng NDT. Kumuha kami ng isang sistema ng mga linear na equation na may dalawang hindi alam:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Ang solusyon sa sistemang ito ay: $A=-2$, $B=-1$.
PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ para sa aming problema ay ganito ang hitsura: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.
Ang OR $y=Y+U$ para sa aming problema ay ganito ang hitsura: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ kaliwa(-2\cdot x-1\kanan)\cdot e^(3\cdot x) $.
Upang maghanap ng PD na nakakatugon sa ibinigay na mga paunang kundisyon, nakita namin ang derivative na $y"$ ng OP:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Pinapalitan namin sa $y$ at $y"$ ang mga paunang kundisyon $y=6$ para sa $x=0$ at $y"=1$ para sa $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Nakatanggap kami ng isang sistema ng mga equation:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Solusyonan natin ito. Nahanap namin ang $C_(1) $ gamit ang formula ng Cramer, at $C_(2) $ ang tinutukoy namin mula sa unang equation:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\kanan|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Kaya, ang PD ng differential equation na ito ay may anyo: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \kanan )\cdot e^(3\cdot x) $.