Espesyal na solusyon ng differential equation online. Mga equation ng kaugalian ng unang order

Aplikasyon

Paglutas ng mga differential equation online sa website para sa mga mag-aaral upang pagsama-samahin ang materyal na kanilang sakop. At pagsasanay sa iyong mga praktikal na kasanayan. Differential equation online. Difurs online, paglutas ng matematika online. Mga hakbang-hakbang na solusyon sa mga problema sa matematika online. Ang pagkakasunud-sunod, o antas, ng isang differential equation ay ang pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng mga derivatives na kasama dito. Differential equation online. Ang proseso ng paglutas ng differential equation ay tinatawag na integration. Ang problema sa pagsasama ng isang differential equation ay itinuturing na lutasin kung ang paghahanap ng isang hindi kilalang function ay maaaring humantong sa quadrature, hindi alintana kung ang resultang integral ay ipinahayag sa huling anyo sa mga tuntunin ng mga kilalang function o hindi. Hakbang-hakbang na solusyon ng mga differential equation online. Ang lahat ng differential equation ay maaaring hatiin sa ordinaryong differential equation (ODE), na kinabibilangan lamang ng mga function (at ang kanilang mga derivatives) ng isang argumento, at partial differential equation (PDE), kung saan ang input function ay nakadepende sa maraming variable. Differential equation online. Mayroon ding mga stochastic differential equation (SDEs) na kinasasangkutan ng mga random na proseso. Hakbang-hakbang na solusyon ng mga differential equation online. Depende sa mga kumbinasyon ng mga derivatives, function, at independent variable, ang mga differential equation ay nahahati sa linear at nonlinear, na may pare-pareho o variable na coefficient, homogenous o inhomogeneous. Dahil sa kahalagahan ng mga aplikasyon, ang quasilinear (linear na may paggalang sa mas mataas na derivatives) na mga partial differential equation ay inuri sa isang hiwalay na klase. Ang mga solusyon ng differential equation ay nahahati sa pangkalahatan at partikular na mga solusyon. Differential equation online. Kasama sa mga pangkalahatang solusyon ang mga hindi natukoy na constant, at para sa mga partial differential equation, mga arbitrary na function ng independent variable, na maaaring pinuhin mula sa karagdagang mga kondisyon ng integration (mga paunang kondisyon para sa ordinaryong differential equation, initial at boundary na kondisyon para sa partial differential equation). Hakbang-hakbang na solusyon ng mga differential equation online. Matapos matukoy ang uri ng ipinahiwatig na pare-pareho at hindi tiyak na mga pag-andar, ang mga solusyon ay nagiging partikular. Ang paghahanap ng mga solusyon sa mga ordinaryong differential equation ay humantong sa pagtatatag ng isang klase ng mga espesyal na function - mga function na madalas na nakatagpo sa mga application na hindi maaaring ipahayag sa pamamagitan ng mga kilalang elementarya function. Differential equation online. Ang kanilang mga pag-aari ay pinag-aralan nang detalyado, ang mga talahanayan ng mga halaga ay pinagsama-sama, ang mga relasyon sa isa't isa ay tinutukoy, atbp. . Ang hanay ng mga enumerated na numero ay maaaring tuklasin. Ang pinakamahusay na sagot sa ibinigay na problema. Paano mahahanap, bilang unang pagtataya, ang papalabas na vector sa convergence region tungkol sa Differential equation nang hindi alam ang nahanap na upper limit. Ang pagpipilian ay halata para sa pagtaas ng mga pag-andar ng matematika. Mayroong isang progresibong pamamaraan sa itaas ng antas ng pananaliksik. Ang pag-align sa paunang kondisyon ng problema sa paglutas ng mga differential equation ay makakatulong sa iyong makahanap ng natatanging napiling halaga. Maaaring matukoy niya kaagad ang hindi alam. Tulad ng sa nakaraang halimbawa ng pagtukoy ng solusyon sa isang problema sa matematika, ang mga linear differential equation ay ang sagot sa isang partikular na problema sa loob ng tinukoy na time frame. Ang pagpapanatili ng pamamaraan ng pananaliksik ay hindi lokal na tinutukoy. Ito ay magiging isang halimbawa para sa bawat mag-aaral at ang solusyon sa mga differential equation ay tutukuyin ng taong itinalaga sa responsableng tao mula sa hindi bababa sa dalawang halaga. Kumuha ng function na may pangkalahatang halaga sa isang partikular na segment at bigyan ng babala kung aling axis ang magkakaroon ng gap. Sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga differential equation online, posible na malinaw na ipakita kung gaano kahalaga ang resulta, kung ito ay ibinigay ng mga paunang kundisyon. Ang pagputol ng isang lugar mula sa isang kahulugan ng function ay imposible, dahil walang kahulugan para sa gawain nang lokal. Dahil natagpuan mula sa isang sistema ng mga equation, ang sagot ay naglalaman ng isang variable na mabibilang sa pangkalahatang kahulugan, ngunit ang paglutas ng isang differential equation online ay natural na magiging posible nang wala ang pagkilos na ito ng pagtukoy sa nasabing kundisyon. Sa tabi ng agwat ng segment, makikita mo kung paano masusulong ng paglutas ng mga differential equation online ang resulta ng pananaliksik sa isang positibong direksyon sa sandaling maputol ang kaalaman ng mga mag-aaral. Ang pinakamahusay ay hindi palaging nagmumula sa isang pangkalahatang tinatanggap na diskarte sa negosyo. Sa antas ng 2x, kapaki-pakinabang na suriin ang lahat ng kinakailangang linear differential equation sa isang natural na representasyon, ngunit ang kakayahang kalkulahin ang numerical na halaga ay magreresulta sa pinahusay na kaalaman. Ayon sa anumang pamamaraan sa matematika, may mga differential equation na ipinakita sa mga expression na naiiba sa kalikasan, tulad ng homogenous o complex. Ang pagkakaroon ng isang pangkalahatang pagsusuri ng pag-aaral ng function, nagiging malinaw na ang paglutas ng mga pagkakaiba-iba bilang isang hanay ng mga posibilidad ay kumakatawan sa isang malinaw na error sa mga halaga. Ang katotohanan dito ay namamalagi sa espasyo sa itaas ng mga linya ng abscissa. Sa isang lugar sa domain ng kahulugan ng isang kumplikadong function, sa isang punto sa kahulugan nito, ang mga linear differential equation ay magagawang ipakita ang sagot sa analytical form. iyon ay, sa pangkalahatang mga termino bilang ang kakanyahan. Walang magbabago kapag binago mo ang variable. Gayunpaman, kailangan mong tingnan ang sagot nang may espesyal na interes. Sa esensya, binabago ng calculator ang relasyon sa dulo, iyon ay, kung paano ang solusyon ng mga differential equation ay proporsyonal sa pandaigdigang halaga at itinalaga sa loob ng mga limitasyon ng nais na solusyon. Sa ilang mga kaso, ang isang napakalaking babala ng error ay hindi maiiwasan. Ang mga online na differential equation ay nagpapatupad ng isang pangkalahatang ideya ng problema, ngunit sa huli ay kinakailangan na magbigay para sa mga positibong aspeto ng produkto ng vector sa lalong madaling panahon. Sa matematika, ang mga kaso ng maling akala sa teorya ng numero ay hindi karaniwan. Tiyak na kakailanganin ang isang tseke. Natural, mas mainam na ibigay ang karapatang ito sa mga propesyonal sa kanilang larangan at tutulungan ka nilang malutas ang differential equation online, dahil napakalaki at positibo ang kanilang karanasan. Ang pagkakaiba sa ibabaw ng mga figure at ang lugar ay tulad na ito ay hindi paglutas ng mga differential equation online na magbibigay-daan sa iyo upang makita, ngunit ang hanay ng mga hindi intersecting na mga bagay ay tulad na ang linya ay parallel sa axis. Bilang resulta, maaari kang makakuha ng doble sa dami ng mga halaga. Bagama't hindi tahasan, ang aming pag-unawa sa kawastuhan ng pormal na notasyon ay nagsasangkot ng mga linear differential equation sa lugar na tinitingnan at kaugnay ng sadyang labis na pagtatantya sa kalidad ng resulta. Ang isang panel discussion sa isang paksang kinaiinteresan ng lahat ng mag-aaral ay sinusuri ng ilang beses. Sa buong pag-aaral ng buong kurso ng mga lektura, itutuon namin ang aming malapit na atensyon sa mga differential equation at mga kaugnay na lugar ng siyentipikong pag-aaral, kung hindi ito sumasalungat sa katotohanan. Maraming hakbang ang maiiwasan sa simula ng paglalakbay. Kung ang paglutas ng mga differential equation ay panimula pa ring bago para sa mga mag-aaral, kung gayon ang luma ay hindi nakalimutan sa lahat, ngunit umuusad sa hinaharap sa isang mataas na rate ng pag-unlad. Sa una, ang mga kondisyon para sa problema sa matematika ay magkakaiba, ngunit ito ay ipinahiwatig sa talata sa kanan. Matapos ang oras na tinukoy ng kahulugan ay lumipas, ang posibilidad ng isang proporsyonal na umaasa na kinalabasan sa iba't ibang mga eroplano ng paggalaw ng vector ay hindi maaaring ibukod. Ang ganitong simpleng kaso ay maaaring itama sa parehong paraan tulad ng linear differential equation ay inilarawan sa isang calculator sa pangkalahatang anyo, ito ay magiging mas mabilis at ang offset ng mga kalkulasyon ay hindi hahantong sa isang maling opinyon. Limang kaso lamang na pinangalanan ayon sa teorya ang maaaring itulak ang mga hangganan ng kung ano ang nangyayari. Ang aming solusyon ng mga differential equation ay makakatulong sa iyong manu-manong kalkulahin ang halaga sa mga numero na nasa mga unang yugto ng pag-decomposing ng function space. Sa mga tamang lugar kinakailangan na kumatawan sa punto ng pakikipag-ugnay ng apat na linya sa isang pangkalahatang kahulugan. Ngunit kung kailangan mong palitan ang gawain, kung gayon magiging madali itong pantayan ang pagiging kumplikado. Ang paunang data ay sapat na upang idisenyo ang katabing binti at ang mga online na differential equation ay tumingin sa kaliwa at ang ibabaw ay isang panig na nakadirekta patungo sa rotor ng vector. Sa itaas ng itaas na limitasyon, ang mga numerong halaga na lampas sa itinalagang kundisyon ay posible. Posibleng isaalang-alang ang mathematical formula at lutasin ang differential equation online gamit ang tatlong hindi alam sa pangkalahatang halaga ng proporsyon. Ang lokal na paraan ng pagkalkula ay kinikilala bilang wasto. Ang sistema ng coordinate ay hugis-parihaba sa relatibong paggalaw ng eroplano. Ang pangkalahatang solusyon ng mga differential equation online ay nagbibigay-daan sa amin na malinaw na makagawa ng konklusyon na pabor sa isang computational run sa pamamagitan ng mga kahulugan ng matrix sa buong tuwid na linya na matatagpuan sa itaas ng graph ng isang tahasang tinukoy na function. Ang solusyon ay malinaw na nakikita kung ilalapat mo ang motion vector sa punto ng contact ng tatlong hemispheres. Ang silindro ay nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng parihaba sa paligid ng gilid at ang mga linear differential equation ay magagawang ipakita ang direksyon ng paggalaw ng punto ayon sa ibinigay na mga expression ng batas ng paggalaw nito. Ang paunang data ay tama at ang problema sa matematika ay maaaring palitan sa ilalim ng isang simpleng kondisyon. Gayunpaman, dahil sa mga pangyayari, dahil sa pagiging kumplikado ng posed subtask, pinapasimple ng mga differential equation ang proseso ng pagkalkula ng mga numerical space sa antas ng three-dimensional na espasyo. Madaling patunayan kung hindi, ngunit maaari itong iwasan, tulad ng ibinigay na halimbawa. Sa mas mataas na matematika, ang mga sumusunod na punto ay ibinibigay: kapag ang isang problema ay nabawasan sa isang pinasimpleng anyo, ang pinakamalaking posibleng pagsisikap sa bahagi ng mga mag-aaral ay dapat ilapat dito. Ang mga linyang nakapatong sa isa't isa ay isinasaalang-alang. Tungkol sa paglutas ng mga kaugalian ay nagpapatuloy pa rin sa bentahe ng nasabing pamamaraan sa isang hubog na linya. Kung una mong nakilala ang isang bagay na hindi ang kailangan mo, ang mathematical formula ay lilikha ng bagong kahulugan para sa expression. Ang layunin ay ang pinakamainam na diskarte sa paglutas ng mga gawaing itinakda ng propesor. Hindi mo dapat ipagpalagay na ang mga linear differential equation sa isang pinasimpleng anyo ay lalampas sa inaasahang resulta. Naglalagay kami ng tatlong vectors sa isang finitely composed surface. orthogonal sa isa't isa. Kalkulahin natin ang produkto. Magdagdag tayo ng mas malaking bilang ng mga simbolo at isulat ang lahat ng mga variable ng function mula sa resultang expression. May proporsyon. Maraming mga aksyon bago ang pagtatapos ng pagkalkula ay hindi magbibigay ng isang malinaw na sagot sa solusyon ng mga differential equation kaagad, ngunit pagkatapos lamang na lumipas ang inilaang oras kasama ang y-axis. Sa kaliwa ng discontinuity point, implicitly na tinukoy mula sa function, gumuhit kami ng axis orthogonal sa pinakamahusay na pagtaas ng vector at naglalagay ng mga online na differential equation kasama ang pinakamaliit na boundary value ng lower face ng mathematical object. Idinagdag namin ang dagdag na argumento sa function break area. Sa kanan ng mga punto kung saan matatagpuan ang curved line, ang mga formula na isinulat namin para sa pagbabawas sa isang common denominator ay makakatulong sa iyo na malutas ang differential equation online. Gagawin namin ang tanging tamang diskarte na magbibigay liwanag sa mga hindi nalutas na mga problema mula sa teorya hanggang sa pagsasanay, sa pangkalahatang kaso nang hindi malabo. Ang mga linya sa direksyon ng mga coordinate ng mga ibinigay na punto ay hindi kailanman isinara ang matinding posisyon ng parisukat, ngunit ang paglutas ng mga differential equation online ay makakatulong sa mga mag-aaral, sa amin, at mga baguhan lamang sa larangang ito sa pag-aaral ng matematika. Pinag-uusapan natin ang posibilidad ng pagpapalit ng argumento ng halaga sa lahat ng makabuluhang linya ng isang field. Sa prinsipyo, tulad ng inaasahan ng isa, ang aming mga linear differential equation ay isang bagay na nakahiwalay sa isang konsepto ng ibinigay na kahulugan. Upang matulungan ang mga mag-aaral, isa sa pinakamahusay na calculator sa mga katulad na serbisyo. Kunin ang lahat ng mga kurso at piliin ang pinakamahusay para sa iyong sarili.

Alalahanin natin ang gawain na nakaharap sa atin nang maghanap ng mga tiyak na integral:

o dy = f(x)dx. Ang kanyang solusyon:

at ito ay bumaba sa pagkalkula ng hindi tiyak na integral. Sa pagsasagawa, ang isang mas kumplikadong gawain ay mas madalas na nakatagpo: paghahanap ng function y, kung ito ay kilala na ito ay nakakatugon sa isang kaugnayan ng anyo

Iniuugnay ng relasyong ito ang malayang baryabol x, hindi kilalang function y at ang mga derivative nito hanggang sa pagkakasunud-sunod n inclusive, ay tinatawag .

Kasama sa isang differential equation ang isang function sa ilalim ng sign ng mga derivatives (o differentials) ng isang order o iba pa. Ang pinakamataas na order ay tinatawag na order (9.1) .

Differential equation:

- unang order,

Pangalawang utos

- ikalimang order, atbp.

Ang function na nakakatugon sa isang ibinigay na differential equation ay tinatawag na solusyon nito , o integral . Ang paglutas nito ay nangangahulugan ng paghahanap ng lahat ng solusyon nito. Kung para sa kinakailangang function y pinamamahalaang upang makakuha ng isang formula na nagbibigay ng lahat ng mga solusyon, pagkatapos ay sinasabi namin na natagpuan namin ang pangkalahatang solusyon nito , o pangkalahatang integral .

Karaniwang desisyon naglalaman ng n di-makatwirang mga pare-pareho at mukhang

Kung ang isang relasyon ay nakuha na nauugnay x, y At n arbitrary constants, sa isang form na hindi pinahihintulutan na may paggalang sa y -

kung gayon ang gayong relasyon ay tinatawag na pangkalahatang integral ng equation (9.1).

Cauchy na problema

Ang bawat tiyak na solusyon, ibig sabihin, ang bawat tiyak na function na nakakatugon sa isang naibigay na differential equation at hindi nakadepende sa arbitrary constants, ay tinatawag na isang partikular na solusyon , o isang bahagyang integral. Upang makakuha ng mga partikular na solusyon (integral) mula sa mga pangkalahatan, ang mga constant ay dapat bigyan ng mga tiyak na halaga ng numero.

Ang graph ng isang partikular na solusyon ay tinatawag na integral curve. Ang pangkalahatang solusyon, na naglalaman ng lahat ng bahagyang solusyon, ay isang pamilya ng mga integral na kurba. Para sa isang first-order equation ang pamilyang ito ay nakasalalay sa isang arbitrary constant, para sa equation n-ika-utos - mula sa n di-makatwirang mga pare-pareho.

Ang problema ng Cauchy ay ang paghahanap ng partikular na solusyon para sa equation n-ika-utos, kasiya-siya n paunang kondisyon:

kung saan natutukoy ang n constants c 1, c 2,..., c n.

1st order differential equation

Para sa isang 1st order differential equation na hindi naresolba kaugnay ng derivative, mayroon itong anyo

o para sa pinahihintulutan medyo

Halimbawa 3.46. Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa equation

Solusyon. Pagsasama, nakukuha namin

kung saan ang C ay isang arbitrary na pare-pareho. Kung magtatalaga kami ng mga tiyak na halaga ng numero sa C, nakakakuha kami ng mga partikular na solusyon, halimbawa,

Halimbawa 3.47. Isaalang-alang ang pagtaas ng halaga ng pera na idineposito sa bangko na napapailalim sa accrual na 100 r tambalang interes bawat taon. Hayaan ang Yo ang paunang halaga ng pera, at Yx - sa dulo x taon. Kung kinakalkula ang interes isang beses sa isang taon, nakukuha namin

kung saan ang x = 0, 1, 2, 3,.... Kapag kinakalkula ang interes dalawang beses sa isang taon, nakukuha natin

kung saan ang x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Kapag kinakalkula ang interes n minsan sa isang taon at kung x tumatagal ng mga sunud-sunod na halaga 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., pagkatapos

Italaga ang 1/n = h, pagkatapos ay magiging ganito ang dating pagkakapantay-pantay:

Sa walang limitasyong pagpapalaki n(sa ) sa limitasyon na dumarating tayo sa proseso ng pagtaas ng halaga ng pera na may patuloy na pag-iipon ng interes:

Kaya malinaw na sa patuloy na pagbabago x ang batas ng pagbabago sa supply ng pera ay ipinahayag ng isang 1st order differential equation. Kung saan ang Y x ay isang hindi kilalang function, x- malayang variable, r- pare-pareho. Lutasin natin ang equation na ito, para gawin ito, isusulat natin ito bilang mga sumusunod:

saan , o , kung saan ang P ay nagsasaad ng e C .

Mula sa mga unang kundisyon Y(0) = Yo, makikita natin ang P: Yo = Pe o, mula sa kung saan, Yo = P. Samakatuwid, ang solusyon ay may anyo:

Isaalang-alang natin ang pangalawang problema sa ekonomiya. Ang mga macroeconomic na modelo ay inilalarawan din ng mga linear differential equation ng 1st order, na naglalarawan ng mga pagbabago sa kita o output Y bilang mga function ng oras.

Halimbawa 3.48. Hayaang tumaas ang pambansang kita Y sa isang rate na proporsyonal sa halaga nito:

at hayaang ang depisit sa paggasta ng pamahalaan ay direktang proporsyonal sa kita Y na may proporsyonalidad na koepisyent q. Ang kakulangan sa paggasta ay humahantong sa pagtaas ng pambansang utang D:

Paunang kondisyon Y = Yo at D = Gawin sa t = 0. Mula sa unang equation Y= Yoe kt. Ang pagpapalit sa Y ay nakukuha natin dD/dt = qYoe kt . Ang pangkalahatang solusyon ay may anyo
D = (q/ k) Yoe kt +С, kung saan С = const, na tinutukoy mula sa mga paunang kondisyon. Ang pagpapalit sa mga paunang kundisyon, makukuha natin ang Do = (q/ k)Yo + C. Kaya, sa wakas,

D = Gawin +(q/ k)Yo (e kt -1),

ito ay nagpapakita na ang pambansang utang ay tumataas sa parehong relatibong rate k, kapareho ng pambansang kita.

Isaalang-alang natin ang pinakasimpleng differential equation n ika-order, ito ay mga equation ng form

Ang pangkalahatang solusyon nito ay maaaring makuha gamit ang n beses na mga pagsasama.

Halimbawa 3.49. Isaalang-alang ang halimbawa y """ = cos x.

Solusyon. Pagsasama, nahanap namin

Ang pangkalahatang solusyon ay may anyo

Linear differential equation

Malawakang ginagamit ang mga ito sa ekonomiya; isaalang-alang natin ang paglutas ng mga naturang equation. Kung ang (9.1) ay may anyo:

pagkatapos ito ay tinatawag na linear, kung saan ang рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) ay binibigyan ng mga function. Kung f(x) = 0, kung gayon ang (9.2) ay tinatawag na homogenous, kung hindi man ito ay tinatawag na inhomogeneous. Ang pangkalahatang solusyon ng equation (9.2) ay katumbas ng kabuuan ng alinman sa mga partikular na solusyon nito y(x) at ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation na naaayon dito:

Kung ang mga coefficient р o (x), р 1 (x),..., р n (x) ay pare-pareho, kung gayon (9.2)

(9.4) ay tinatawag na linear differential equation na may pare-parehong coefficients of order n .

Para sa (9.4) ay may anyo:

Nang walang pagkawala ng pangkalahatan, maaari nating itakda ang p o = 1 at isulat ang (9.5) sa form

Maghahanap tayo ng solusyon (9.6) sa anyong y = e kx, kung saan ang k ay pare-pareho. Meron kami: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Ang pagpapalit ng mga resultang expression sa (9.6), magkakaroon tayo ng:

Ang (9.7) ay isang algebraic equation, ang hindi alam ay k, ito ay tinatawag na katangian. Ang katangian equation ay may degree n At n mga ugat, kung saan maaaring mayroong maramihan at kumplikado. Hayaan ang k 1 , k 2 ,..., k n maging totoo at naiiba, kung gayon - mga partikular na solusyon (9.7), at pangkalahatan

Isaalang-alang ang isang linear homogenous na second-order differential equation na may pare-parehong coefficient:

Ang katangiang equation nito ay may anyo

(9.9)

ang discriminant nito D = p 2 - 4q, depende sa sign ng D, tatlong kaso ang posible.

1. Kung D>0, kung gayon ang mga ugat k 1 at k 2 (9.9) ay totoo at naiiba, at ang pangkalahatang solusyon ay may anyo:

Solusyon. Katangiang equation: k 2 + 9 = 0, kung saan ang k = ± 3i, a = 0, b = 3, ang pangkalahatang solusyon ay may anyo:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Ginagamit ang mga linear differential equation ng 2nd order kapag nag-aaral ng modelong pang-ekonomiyang uri ng web na may mga imbentaryo ng mga kalakal, kung saan ang rate ng pagbabago sa presyo P ay depende sa laki ng imbentaryo (tingnan ang talata 10). Kung ang supply at demand ay mga linear function ng presyo, ibig sabihin

a ay isang pare-pareho na tumutukoy sa rate ng reaksyon, pagkatapos ang proseso ng pagbabago ng presyo ay inilalarawan ng differential equation:

Para sa isang partikular na solusyon maaari tayong kumuha ng pare-pareho

makabuluhang ekwilibriyong presyo. paglihis natutugunan ang homogenous equation

(9.10)

Ang katangian equation ay magiging ang mga sumusunod:

Kung sakaling positibo ang termino. Tukuyin natin . Ang mga ugat ng katangiang equation k 1,2 = ± i w, samakatuwid ang pangkalahatang solusyon (9.10) ay may anyo:

kung saan ang C at ay arbitrary constants, ang mga ito ay tinutukoy mula sa mga paunang kondisyon. Nakuha namin ang batas ng pagbabago ng presyo sa paglipas ng panahon:

Ilagay ang iyong differential equation, ang apostroa "" ay ginagamit para ipasok ang derivative, pindutin ang submit para makuha ang solusyon

Alinman ay nalutas na may kinalaman sa derivative, o maaari silang malutas nang may kinalaman sa derivative .

Pangkalahatang solusyon ng mga differential equation ng uri sa pagitan X, na ibinigay, ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagkuha ng integral ng magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito.

Nakukuha namin .

Kung titingnan natin ang mga katangian ng hindi tiyak na integral, makikita natin ang nais na pangkalahatang solusyon:

y = F(x) + C,

saan F(x)- isa sa mga primitive na function f(x) sa gitna X, A SA- di-makatwirang pare-pareho.

Pakitandaan na sa karamihan ng mga problema ang pagitan X huwag magpahiwatig. Nangangahulugan ito na ang isang solusyon ay dapat mahanap para sa lahat. x, para sa kung saan at ang nais na function y, at ang orihinal na equation ay may katuturan.

Kung kailangan mong kalkulahin ang isang partikular na solusyon sa isang differential equation na nakakatugon sa paunang kondisyon y(x 0) = y 0, pagkatapos ay pagkatapos kalkulahin ang pangkalahatang integral y = F(x) + C, kailangan pa ring matukoy ang halaga ng pare-pareho C = C 0, gamit ang paunang kondisyon. Iyon ay, isang pare-pareho C = C 0 tinutukoy mula sa equation F(x 0) + C = y 0, at ang nais na bahagyang solusyon ng differential equation ay kukuha ng anyo:

y = F(x) + C 0.

Tingnan natin ang isang halimbawa:

Maghanap tayo ng pangkalahatang solusyon sa differential equation at suriin ang kawastuhan ng resulta. Maghanap tayo ng partikular na solusyon sa equation na ito na makakatugon sa paunang kondisyon.

Solusyon:

Pagkatapos naming isama ang ibinigay na differential equation, nakukuha namin ang:

Kunin natin ang integral na ito gamit ang paraan ng pagsasama ng mga bahagi:

yun., ay isang pangkalahatang solusyon sa differential equation.

Para masiguradong tama ang resulta, suriin natin. Upang gawin ito, pinapalitan namin ang solusyon na nakita namin sa ibinigay na equation:

Ibig sabihin, kapag ang orihinal na equation ay nagiging isang pagkakakilanlan:

samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ng differential equation ay natukoy nang tama.

Ang solusyon na aming nakita ay isang pangkalahatang solusyon sa differential equation para sa bawat tunay na halaga ng argumento x.

Ito ay nananatiling kalkulahin ang isang partikular na solusyon sa ODE na makakatugon sa paunang kondisyon. Sa madaling salita, kinakailangan upang kalkulahin ang halaga ng pare-pareho SA, kung saan magiging totoo ang pagkakapantay-pantay:

Tapos, nagpapalit C = 2 sa pangkalahatang solusyon ng ODE, nakakakuha tayo ng partikular na solusyon ng differential equation na nakakatugon sa paunang kondisyon:

Ordinaryong differential equation maaaring malutas para sa derivative sa pamamagitan ng paghahati sa 2 panig ng equation sa pamamagitan ng f(x). Ang pagbabagong ito ay magiging katumbas kung f(x) hindi nagiging zero sa anumang pagkakataon x mula sa integration interval ng differential equation X.

May mga malamang na sitwasyon kung kailan, para sa ilang mga halaga ng argumento x ∈ X mga function f(x) At g(x) sabay-sabay na nagiging zero. Para sa mga katulad na halaga x ang pangkalahatang solusyon ng isang differential equation ay anumang function y, na tinukoy sa kanila, dahil .

Kung para sa ilang mga halaga ng argumento x ∈ X ang kondisyon ay nasiyahan, na nangangahulugan na sa kasong ito ang ODE ay walang mga solusyon.

Para sa lahat x mula sa pagitan X ang pangkalahatang solusyon ng differential equation ay tinutukoy mula sa transformed equation.

Tingnan natin ang mga halimbawa:

Halimbawa 1.

Maghanap tayo ng pangkalahatang solusyon sa ODE: .

Solusyon.

Mula sa mga katangian ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya, malinaw na ang natural na logarithm function ay tinukoy para sa mga di-negatibong halaga ng argumento, samakatuwid ang domain ng kahulugan ng expression ln(x+3) may pagitan x > -3 . Nangangahulugan ito na ang ibinigay na differential equation ay may katuturan para sa x > -3 . Para sa mga halaga ng argument na ito, ang expression x+3 ay hindi naglalaho, kaya maaari mong lutasin ang ODE para sa derivative sa pamamagitan ng paghahati ng 2 bahagi sa x + 3.

Nakukuha namin .

Susunod, isasama namin ang nagresultang differential equation, na nalutas nang may paggalang sa derivative: . Upang kunin ang integral na ito, ginagamit namin ang paraan ng pag-subsuming nito sa ilalim ng differential sign.

Nalutas ang mga first order differential equation na may kinalaman sa derivative

Paano malutas ang mga first order differential equation

Magkaroon tayo ng unang pagkakasunud-sunod na differential equation na naresolba nang may kinalaman sa derivative:
.
Hinahati ang equation na ito sa pamamagitan ng , na may , nakakakuha tayo ng equation ng form:
,
saan .

Susunod, titingnan natin kung nabibilang ang mga equation na ito sa isa sa mga uri na nakalista sa ibaba. Kung hindi, muli naming isusulat ang equation sa anyo ng mga kaugalian. Upang gawin ito, isinulat namin at i-multiply ang equation sa pamamagitan ng . Nakukuha namin ang isang equation sa anyo ng mga pagkakaiba-iba:
.

Kung ang equation na ito ay hindi isang kabuuang differential equation, pagkatapos ay isasaalang-alang namin na sa equation na ito ay ang independent variable, at isang function ng . Hatiin ang equation sa pamamagitan ng:
.
Susunod, titingnan namin kung ang equation na ito ay kabilang sa isa sa mga uri na nakalista sa ibaba, na isinasaalang-alang na kami ay nagpalit ng mga lugar.

Kung ang isang uri ay hindi natagpuan para sa equation na ito, makikita natin kung posible na gawing simple ang equation sa pamamagitan ng simpleng pagpapalit. Halimbawa, kung ang equation ay:
,
tapos mapapansin natin yun. Pagkatapos ay gumawa kami ng isang pagpapalit. Pagkatapos nito, ang equation ay magkakaroon ng mas simpleng anyo:
.

Kung hindi ito makakatulong, susubukan naming hanapin ang integrating factor.

Pinaghihiwalay na mga equation

;
.
Hatiin at pagsamahin. Kapag nakuha namin:
.

Mga equation na bumabawas sa mga separable equation

Mga homogenous na equation

Malutas namin sa pamamagitan ng pagpapalit:
,
saan ang isang function ng . Pagkatapos
;
.
Pinaghiwalay namin ang mga variable at isinasama.

Ang mga equation ay bumabawas sa homogenous

Ipasok ang mga variable at:
;
.
Pinipili namin ang mga constant at para mawala ang mga libreng termino:
;
.
Bilang resulta, nakakakuha tayo ng homogenous na equation sa mga variable at .

Pangkalahatang homogenous equation

Gumawa tayo ng substitution. Nakukuha namin ang isang homogenous na equation sa mga variable at .

Linear differential equation

Mayroong tatlong mga pamamaraan para sa paglutas ng mga linear equation.

2) Pamamaraan ni Bernoulli.
Naghahanap kami ng isang solusyon sa anyo ng isang produkto ng dalawang function at isang variable:
.
;
.
Maaari nating piliin ang isa sa mga function na ito nang basta-basta. Samakatuwid, pipili kami ng anumang di-zero na solusyon ng equation bilang:
.

3) Paraan ng pagkakaiba-iba ng pare-pareho (Lagrange).
Dito muna natin lutasin ang homogenous equation:

Ang pangkalahatang solusyon ng homogenous equation ay may anyo:
,
kung saan ay isang pare-pareho. Susunod, pinapalitan namin ang pare-pareho ng isang function na nakasalalay sa variable:
.
Palitan sa orihinal na equation. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng equation kung saan natin tinutukoy .

Mga equation ni Bernoulli

Sa pamamagitan ng pagpapalit, ang equation ni Bernoulli ay nabawasan sa isang linear equation.

Ang equation na ito ay maaari ding lutasin gamit ang Bernoulli method. Iyon ay, naghahanap kami ng isang solusyon sa anyo ng isang produkto ng dalawang pag-andar depende sa variable:
.
Palitan sa orihinal na equation:
;
.
Pinipili namin ang anumang di-zero na solusyon ng equation bilang:
.
Ang pagkakaroon ng natukoy , kami ay kumuha ng isang equation na may mga separable variable para sa .

Riccati equation

Hindi ito malulutas sa pangkalahatang anyo. Pagpapalit

Ang Riccati equation ay binawasan sa anyo:
,
kung saan ay isang pare-pareho; ; .
Susunod, sa pamamagitan ng pagpapalit:

ito ay nabawasan sa anyo:
,
saan .

Ang mga katangian ng Riccati equation at ilang mga espesyal na kaso ng solusyon nito ay ipinakita sa pahina
Riccati differential equation >>>

Mga equation ni Jacobi

Nalutas sa pamamagitan ng pagpapalit:
.

Mga equation sa kabuuang pagkakaiba

Kung ganoon
.
Kung matugunan ang kundisyong ito, ang expression sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay ang pagkakaiba ng ilang function:
.
Pagkatapos
.
Mula dito nakukuha natin ang integral ng differential equation:
.

Upang mahanap ang function, ang pinaka-maginhawang paraan ay ang paraan ng sequential differential extraction. Upang gawin ito, gamitin ang mga formula:
;
;
;
.

Salik ng pagsasanib

Kung ang isang first-order differential equation ay hindi maaaring bawasan sa alinman sa mga nakalistang uri, maaari mong subukang hanapin ang integrating factor. Ang isang integrating factor ay isang function, kapag pinarami kung saan, ang isang differential equation ay nagiging isang equation sa kabuuang differentials. Ang isang first order differential equation ay may walang katapusang bilang ng mga integrating factor. Gayunpaman, walang mga pangkalahatang pamamaraan para sa paghahanap ng integrating factor.

Hindi nalutas ang mga equation para sa derivative na y"

Mga equation na maaaring malutas na may kinalaman sa derivative y"

Una kailangan mong subukang lutasin ang equation na may paggalang sa derivative. Kung maaari, ang equation ay maaaring bawasan sa isa sa mga uri na nakalista sa itaas.

Mga equation na maaaring i-factorize

Kung maaari mong i-factor ang equation:
,
pagkatapos ang problema ay nabawasan sa sunud-sunod na paglutas ng mas simpleng mga equation:
;
;

;
. Naniniwala kami. Pagkatapos
o .
Susunod na isasama namin ang equation:
;
.
Bilang resulta, nakukuha namin ang pagpapahayag ng pangalawang variable sa pamamagitan ng parameter.

Higit pang mga pangkalahatang equation:
o
ay nalutas din sa parametric form. Upang gawin ito, kailangan mong pumili ng isang function na mula sa orihinal na equation ay maaari mong ipahayag o sa pamamagitan ng parameter.
Upang ipahayag ang pangalawang variable sa pamamagitan ng parameter, isinasama namin ang equation:
;
.

Nalutas ang mga equation para sa y

Mga equation ng Clairaut

Ang equation na ito ay may pangkalahatang solusyon

Lagrange equation

Naghahanap kami ng solusyon sa parametric form. Ipinapalagay namin kung saan ang isang parameter.

Mga equation na humahantong sa equation ni Bernoulli

Ang mga equation na ito ay binabawasan sa Bernoulli equation kung hahanapin natin ang kanilang mga solusyon sa parametric form sa pamamagitan ng pagpapakilala ng parameter at paggawa ng substitution.

Mga sanggunian:
V.V. Stepanov, Kurso ng mga differential equation, "LKI", 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Koleksyon ng mga problema sa mas mataas na matematika, "Lan", 2003.

Sa tingin ko, dapat tayong magsimula sa kasaysayan ng isang maluwalhating kasangkapang pangmatematika bilang mga equation ng kaugalian. Tulad ng lahat ng differential at integral calculus, ang mga equation na ito ay naimbento ni Newton noong huling bahagi ng ika-17 siglo. Itinuring niya ang partikular na pagtuklas na ito sa kanya na napakahalaga kaya't na-encrypt pa niya ang isang mensahe, na ngayon ay maaaring isalin ng ganito: "Ang lahat ng mga batas ng kalikasan ay inilarawan sa pamamagitan ng mga differential equation." Ito ay maaaring mukhang isang pagmamalabis, ngunit ito ay totoo. Anumang batas ng pisika, kimika, biology ay maaaring ilarawan ng mga equation na ito.

Ang mga mathematician na sina Euler at Lagrange ay gumawa ng malaking kontribusyon sa pagbuo at paglikha ng teorya ng differential equation. Nasa ika-18 siglo na nila natuklasan at binuo ang kanilang pinag-aaralan ngayon sa mga kurso sa senior university.

Nagsimula ang isang bagong milestone sa pag-aaral ng mga differential equation salamat kay Henri Poincaré. Nilikha niya ang "teorya ng husay ng mga equation ng kaugalian", na, kasama ang teorya ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable, ay gumawa ng isang makabuluhang kontribusyon sa pundasyon ng topology - ang agham ng espasyo at mga katangian nito.

Ano ang mga differential equation?

Maraming tao ang natatakot sa isang parirala. Gayunpaman, sa artikulong ito ay ilalarawan namin nang detalyado ang buong kakanyahan ng napaka-kapaki-pakinabang na kagamitang pangmatematika na ito, na sa katunayan ay hindi kasing kumplikado na tila mula sa pangalan. Upang simulan ang pag-uusap tungkol sa mga first-order differential equation, dapat mo munang maging pamilyar sa mga pangunahing konsepto na likas na nauugnay sa kahulugang ito. At magsisimula tayo sa pagkakaiba.

Differential

Alam na ng maraming tao ang konseptong ito mula pa sa paaralan. Gayunpaman, tingnan natin ito nang mas malapitan. Isipin ang graph ng isang function. Maaari nating dagdagan ito sa isang lawak na ang anumang bahagi nito ay magkakaroon ng anyo ng isang tuwid na linya. Kumuha tayo ng dalawang punto dito na walang katapusan na malapit sa isa't isa. Ang pagkakaiba sa pagitan ng kanilang mga coordinate (x o y) ay magiging infinitesimal. Tinatawag itong differential at tinutukoy ng mga sign na dy (differential ng y) at dx (differential ng x). Napakahalagang maunawaan na ang pagkakaiba ay hindi isang may hangganang dami, at ito ang kahulugan at pangunahing tungkulin nito.

Ngayon ay kailangan nating isaalang-alang ang susunod na elemento, na magiging kapaki-pakinabang sa atin sa pagpapaliwanag ng konsepto ng isang differential equation. Ito ay isang derivative.

Derivative

Malamang narinig nating lahat ang konseptong ito sa paaralan. Ang derivative ay sinasabing ang rate kung saan tumataas o bumababa ang isang function. Gayunpaman, mula sa kahulugan na ito marami ang nagiging hindi malinaw. Subukan nating ipaliwanag ang derivative sa pamamagitan ng differentials. Bumalik tayo sa isang infinitesimal na segment ng isang function na may dalawang puntos na nasa pinakamababang distansya sa isa't isa. Ngunit kahit na sa paglipas ng distansya na ito ang function ay namamahala upang magbago ng ilang halaga. At upang ilarawan ang pagbabagong ito, gumawa sila ng isang derivative, na maaaring isulat bilang ratio ng mga pagkakaiba: f(x)"=df/dx.

Ngayon ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang sa mga pangunahing katangian ng derivative. Tatlo lang sila:

Ang derivative ng isang kabuuan o pagkakaiba ay maaaring katawanin bilang isang kabuuan o pagkakaiba ng mga derivatives: (a+b)"=a"+b" at (a-b)"=a"-b".
Ang pangalawang pag-aari ay nauugnay sa pagpaparami. Ang derivative ng isang produkto ay ang kabuuan ng mga produkto ng isang function at ang derivative ng isa pa: (a*b)"=a"*b+a*b".
Ang derivative ng pagkakaiba ay maaaring isulat bilang sumusunod na pagkakapantay-pantay: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Ang lahat ng mga katangiang ito ay magiging kapaki-pakinabang sa amin para sa paghahanap ng mga solusyon sa mga first-order na differential equation.

Mayroon ding mga partial derivatives. Sabihin nating mayroon tayong function na z na nakasalalay sa mga variable na x at y. Upang kalkulahin ang bahagyang derivative ng function na ito, sabihin, na may paggalang sa x, kailangan nating kunin ang variable na y bilang isang pare-pareho at simpleng pagkakaiba.

integral

Isa pang mahalagang konsepto ay integral. Sa katunayan, ito ang eksaktong kabaligtaran ng isang derivative. Mayroong ilang mga uri ng integrals, ngunit upang malutas ang pinakasimpleng differential equation kailangan namin ang pinaka-walang halaga.

Kaya, sabihin nating mayroon tayong ilang pagtitiwala sa f sa x. Kinukuha namin ang integral mula dito at nakuha ang function na F(x) (kadalasang tinatawag na antiderivative), ang derivative nito ay katumbas ng orihinal na function. Kaya F(x)"=f(x). Kasunod din nito na ang integral ng derivative ay katumbas ng orihinal na function.

Kapag nilulutas ang mga differential equation, napakahalagang maunawaan ang kahulugan at pag-andar ng integral, dahil kakailanganin mong dalhin ang mga ito nang madalas upang mahanap ang solusyon.

Ang mga equation ay nag-iiba depende sa kanilang kalikasan. Sa susunod na seksyon, titingnan natin ang mga uri ng first-order differential equation, at pagkatapos ay matutunan kung paano lutasin ang mga ito.

Mga klase ng differential equation

Ang "diffurs" ay nahahati ayon sa pagkakasunud-sunod ng mga derivatives na kasangkot sa mga ito. Kaya mayroong una, pangalawa, pangatlo at higit pang pagkakasunud-sunod. Maaari din silang hatiin sa ilang mga klase: ordinaryong at bahagyang derivatives.

Sa artikulong ito, titingnan natin ang mga ordinaryong kaugalian na equation sa unang pagkakasunud-sunod. Tatalakayin din natin ang mga halimbawa at paraan upang malutas ang mga ito sa mga sumusunod na seksyon. Isasaalang-alang lamang namin ang mga ODE, dahil ito ang mga pinakakaraniwang uri ng mga equation. Ang mga ordinaryong ay nahahati sa mga subspecies: na may mga separable variable, homogenous at heterogenous. Susunod, malalaman mo kung paano sila naiiba sa isa't isa at matutunan kung paano lutasin ang mga ito.

Bilang karagdagan, ang mga equation na ito ay maaaring pagsamahin upang tayo ay mapunta sa isang sistema ng mga first-order na differential equation. Isasaalang-alang din namin ang mga naturang sistema at matutunan kung paano lutasin ang mga ito.

Bakit first order lang ang isinasaalang-alang natin? Dahil kailangan mong magsimula sa isang bagay na simple, at imposibleng ilarawan ang lahat na may kaugnayan sa mga differential equation sa isang artikulo.

Pinaghihiwalay na mga equation

Ito marahil ang pinakasimpleng first order differential equation. Kabilang dito ang mga halimbawa na maaaring isulat bilang mga sumusunod: y"=f(x)*f(y). Upang malutas ang equation na ito, kailangan namin ng formula para sa pagre-represent sa derivative bilang ratio ng mga differentials: y"=dy/dx. Gamit ito nakukuha natin ang sumusunod na equation: dy/dx=f(x)*f(y). Ngayon ay maaari nating buksan ang pamamaraan para sa paglutas ng mga karaniwang halimbawa: hahatiin natin ang mga variable sa mga bahagi, iyon ay, ililipat natin ang lahat na may variable na y sa bahagi kung saan matatagpuan ang dy, at gawin ang parehong sa variable x. Nakukuha namin ang isang equation ng form: dy/f(y)=f(x)dx, na nalulutas sa pamamagitan ng pagkuha ng mga integral ng magkabilang panig. Huwag kalimutan ang tungkol sa pare-pareho na kailangang itakda pagkatapos kunin ang integral.

Ang solusyon sa anumang "diffure" ay isang function ng pag-asa ng x sa y (sa aming kaso) o, kung ang isang numerical na kondisyon ay naroroon, pagkatapos ay ang sagot sa anyo ng isang numero. Tingnan natin ang buong proseso ng solusyon gamit ang isang partikular na halimbawa:

Ilipat natin ang mga variable sa iba't ibang direksyon:

Ngayon kunin natin ang mga integral. Ang lahat ng mga ito ay matatagpuan sa isang espesyal na talahanayan ng mga integral. At nakukuha namin:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Kung kinakailangan, maaari naming ipahayag ang "y" bilang isang function ng "x". Ngayon ay maaari nating sabihin na ang ating differential equation ay malulutas kung ang kundisyon ay hindi tinukoy. Maaaring tukuyin ang isang kundisyon, halimbawa, y(n/2)=e. Pagkatapos ay pinapalitan lang natin ang mga halaga ng mga variable na ito sa solusyon at hanapin ang halaga ng pare-pareho. Sa aming halimbawa ito ay 1.

Mga homogenous na differential equation ng unang order

Ngayon ay lumipat tayo sa mas mahirap na bahagi. Ang mga homogenous na differential equation ng unang pagkakasunud-sunod ay maaaring isulat sa pangkalahatang anyo tulad ng sumusunod: y"=z(x,y). Dapat tandaan na homogenous ang right-hand function ng dalawang variable, at hindi ito maaaring hatiin sa dalawang dependence : z sa x at z sa y. Suriin , kung ang equation ay homogenous o hindi ay medyo simple: ginagawa namin ang kapalit na x=k*x at y=k*y. Ngayon kanselahin namin ang lahat ng k. Kung ang lahat ng mga titik na ito ay kinansela , kung gayon ang equation ay homogenous at maaari mong ligtas na simulan ang paglutas nito. Pagtingin sa unahan , sabihin nating: ang prinsipyo ng paglutas ng mga halimbawang ito ay napakasimple rin.

Kailangan nating gumawa ng kapalit: y=t(x)*x, kung saan ang t ay isang tiyak na function na nakadepende rin sa x. Pagkatapos ay maaari nating ipahayag ang derivative: y"=t"(x)*x+t. Ang pagpapalit ng lahat ng ito sa aming orihinal na equation at pinasimple ito, nakakakuha kami ng isang halimbawa na may mga separable variable na t at x. Malutas namin ito at makuha ang dependence t(x). Kapag natanggap namin ito, pinapalitan lang namin ang y=t(x)*x sa dati naming kapalit. Pagkatapos makuha namin ang pagtitiwala ng y sa x.

Upang gawing mas malinaw, tingnan natin ang isang halimbawa: x*y"=y-x*e y/x .

Kapag sinusuri gamit ang kapalit, lahat ay nabawasan. Nangangahulugan ito na ang equation ay tunay na homogenous. Ngayon gumawa kami ng isa pang kapalit na aming napag-usapan: y=t(x)*x at y"=t"(x)*x+t(x). Pagkatapos ng pagpapasimple, makuha natin ang sumusunod na equation: t"(x)*x=-e t. Niresolba natin ang resultang halimbawa gamit ang mga pinaghiwalay na variable at makuha ang: e -t =ln(C*x). Ang kailangan lang nating gawin ay palitan t na may y/x (pagkatapos ng lahat, kung y =t*x, pagkatapos ay t=y/x), at makuha natin ang sagot: e -y/x =ln(x*C).

Mga linear differential equation ng unang order

Panahon na upang tumingin sa isa pang malawak na paksa. Susuriin namin ang mga first-order inhomogeneous differential equation. Paano sila naiiba sa naunang dalawa? Alamin natin ito. Ang mga linear differential equation ng unang pagkakasunod-sunod sa pangkalahatang anyo ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: y" + g(x)*y=z(x). Ito ay nagkakahalaga ng paglilinaw na ang z(x) at g(x) ay maaaring pare-pareho ang dami.

At ngayon isang halimbawa: y" - y*x=x 2 .

Mayroong dalawang solusyon, at titingnan natin ang dalawa sa pagkakasunud-sunod. Ang una ay ang paraan ng pag-iiba-iba ng mga arbitrary na constant.

Upang malutas ang equation sa ganitong paraan, kailangan mo munang ipantay ang kanang bahagi sa zero at lutasin ang resultang equation, na, pagkatapos ilipat ang mga bahagi, ay kukuha ng anyo:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

Ngayon kailangan nating palitan ang pare-parehong C 1 ng function na v(x), na kailangan nating hanapin.

Palitan natin ang derivative:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

At palitan ang mga expression na ito sa orihinal na equation:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Makikita mo na sa kaliwang bahagi ay dalawang termino ang kanselahin. Kung sa ilang halimbawa ay hindi ito nangyari, may ginawa kang mali. Ituloy natin:

v"*e x2/2 = x 2 .

Ngayon lutasin natin ang karaniwang equation kung saan kailangan nating paghiwalayin ang mga variable:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Upang kunin ang integral, kailangan nating ilapat ang pagsasama ayon sa mga bahagi dito. Gayunpaman, hindi ito ang paksa ng aming artikulo. Kung interesado ka, maaari mong matutunan kung paano gawin ang mga naturang aksyon sa iyong sarili. Ito ay hindi mahirap, at may sapat na kasanayan at pangangalaga ay hindi nangangailangan ng maraming oras.

Bumaling tayo sa pangalawang paraan ng paglutas ng mga hindi magkakatulad na equation: ang pamamaraan ni Bernoulli. Aling diskarte ang mas mabilis at mas madali ay nasa iyo na magpasya.

Kaya, kapag nilulutas ang isang equation gamit ang pamamaraang ito, kailangan nating gumawa ng isang pagpapalit: y=k*n. Narito ang k at n ay ilang mga function na umaasa sa x. Pagkatapos ay magiging ganito ang derivative: y"=k"*n+k*n". Pinapalitan namin ang parehong mga kapalit sa equation:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Pagpapangkat:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Ngayon kailangan nating i-equate sa zero kung ano ang nasa panaklong. Ngayon, kung pagsasamahin natin ang dalawang resultang equation, makakakuha tayo ng sistema ng mga first-order differential equation na kailangang lutasin:

Nilulutas namin ang unang pagkakapantay-pantay bilang isang ordinaryong equation. Upang gawin ito kailangan mong paghiwalayin ang mga variable:

Kinukuha namin ang integral at makuha ang: ln(n)=x 2 /2. Pagkatapos, kung ipahayag natin ang n:

Ngayon ay pinapalitan namin ang nagresultang pagkakapantay-pantay sa pangalawang equation ng system:

k"*e x2/2 =x 2 .

At sa pagbabago, nakakakuha tayo ng parehong pagkakapantay-pantay tulad ng sa unang paraan:

dk=x 2 /e x2/2 .

Hindi rin natin tatalakayin ang mga karagdagang aksyon. Ito ay nagkakahalaga na sabihin na sa unang paglutas ng mga first-order differential equation ay nagdudulot ng mga makabuluhang paghihirap. Gayunpaman, habang pinag-aaralan mo nang mas malalim ang paksa, nagsisimula itong maging mas mahusay at mas mahusay.

Saan ginagamit ang mga differential equation?

Ang mga differential equation ay napakaaktibong ginagamit sa physics, dahil halos lahat ng mga pangunahing batas ay nakasulat sa differential form, at ang mga formula na nakikita natin ay mga solusyon sa mga equation na ito. Sa kimika ginagamit ang mga ito para sa parehong dahilan: ang mga pangunahing batas ay hinango sa kanilang tulong. Sa biology, ginagamit ang mga differential equation upang i-modelo ang pag-uugali ng mga system, tulad ng predator at prey. Maaari din silang magamit upang lumikha ng mga modelo ng pagpaparami ng, halimbawa, isang kolonya ng mga mikroorganismo.

Paano makakatulong sa iyo ang mga differential equation sa buhay?

Ang sagot sa tanong na ito ay simple: hindi sa lahat. Kung hindi ka isang scientist o engineer, malamang na hindi sila magiging kapaki-pakinabang sa iyo. Gayunpaman, para sa pangkalahatang pag-unlad ay hindi masasaktan na malaman kung ano ang isang differential equation at kung paano ito malulutas. At pagkatapos ang tanong ng anak na lalaki o babae ay "ano ang isang differential equation?" hindi ka malito. Buweno, kung ikaw ay isang siyentipiko o inhinyero, kung gayon naiintindihan mo mismo ang kahalagahan ng paksang ito sa anumang agham. Ngunit ang pinakamahalagang bagay ay ngayon ang tanong na "paano lutasin ang isang first-order differential equation?" palagi kang makakapagbigay ng sagot. Sumang-ayon, ito ay palaging maganda kapag naiintindihan mo ang isang bagay na kahit na ang mga tao ay natatakot na maunawaan.

Pangunahing problema sa pag-aaral

Ang pangunahing problema sa pag-unawa sa paksang ito ay ang mahinang kasanayan sa pagsasama-sama at pagkakaiba-iba ng mga function. Kung hindi ka mahusay sa mga derivatives at integrals, kung gayon marahil ay nagkakahalaga ng pag-aaral nang higit pa, pag-master ng iba't ibang mga pamamaraan ng pagsasama at pagkita ng kaibhan, at pagkatapos lamang magsimulang pag-aralan ang materyal na inilarawan sa artikulo.

Ang ilang mga tao ay nagulat kapag nalaman nila na ang dx ay maaaring dalhin, dahil dati (sa paaralan) ay nakasaad na ang fraction na dy/dx ay hindi nahahati. Dito kailangan mong basahin ang literatura sa derivative at maunawaan na ito ay isang ratio ng mga infinitesimal na dami na maaaring manipulahin kapag nilulutas ang mga equation.

Maraming mga tao ang hindi agad napagtanto na ang paglutas ng mga first-order differential equation ay kadalasang isang function o isang integral na hindi maaaring kunin, at ang maling kuru-kuro na ito ay nagbibigay sa kanila ng maraming problema.

Ano pa ang maaari mong pag-aralan para sa isang mas mahusay na pag-unawa?

Pinakamainam na simulan ang karagdagang paglulubog sa mundo ng differential calculus na may mga dalubhasang aklat-aralin, halimbawa, sa pagsusuri sa matematika para sa mga mag-aaral ng mga non-mathematical specialty. Pagkatapos ay maaari kang magpatuloy sa mas espesyal na panitikan.

Ito ay nagkakahalaga ng pagsasabi na, bilang karagdagan sa mga differential equation, mayroon ding mga integral na equation, kaya palagi kang mayroong isang bagay na pagsusumikapan at isang bagay na pag-aaralan.

Konklusyon

Inaasahan namin na pagkatapos basahin ang artikulong ito ay mayroon kang ideya kung ano ang mga differential equation at kung paano malutas ang mga ito nang tama.

Sa anumang kaso, ang matematika ay magiging kapaki-pakinabang sa atin sa buhay sa ilang paraan. Nagbubuo ito ng lohika at atensyon, kung wala ang bawat tao ay walang mga kamay.