Paghahambing sa matematika - kung paano matukoy kung alin sa mga numero ang mas malaki o mas kaunti. Paghahambing ng mga negatibong numero: panuntunan, mga halimbawa

Aralin sa matematika sa 6 Sa silid-aralan

Paksa: "Paghahambing ng positibo at negatibong mga numero"

Uri ng aralin: pagtatakda ng aralin ng problema sa pag-aaral

Mga anyo ng trabaho: indibidwal, frontal, steam room, grupo.

Mga pamamaraan ng pagtuturo: berbal, biswal, praktikal, may problema.

Kagamitan: kompyuter, multimedia projector.

Mga Layunin ng Aralin:

Cognitive: bumuo ng isang panuntunan para sa paghahambing ng mga numero na may iba't ibang mga palatandaan, alamin kung paano ito isabuhay.

Metasubjects, kabilang ang:

Regulatoryo: magtakda ng isang gawain sa pag-aaral batay sa ugnayan ng kung ano ang alam na at natutunan ng mga mag-aaral, at kung ano ang hindi pa nalalaman; matukoy ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon upang malutas ang problema; iwasto ang resulta na isinasaalang-alang ang pagtatasa ng mag-aaral, guro, mga kasama; maunawaan ang kalidad at antas ng asimilasyon ng materyal.

Komunikatibo: upang matutunan ang aktibong kooperasyon sa paghahanap ng solusyon sa problema; matutong ipahayag ang kanilang mga iniisip nang may sapat na pagkakumpleto at katumpakan alinsunod sa mga gawain at kondisyon ng komunikasyon.

Sa panahon ng mga klase

Pagganyak.

Patuloy kaming nagtatrabaho sa positibo at negatibong mga numero. Matagal na naming alam ang mga positibong numero, una naming natutunan kung paano ihambing ang mga ito, pagkatapos ay magsagawa ng iba't ibang mga aksyon: pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami at paghahati. Sa palagay mo, posible bang gawin ang parehong mga operasyon na may mga negatibong numero tulad ng sa mga positibo? (sagot). Ano ang gusto mong matutunan sa klase ngayon?

Pagtatakda ng layunin: Kumuha ng panuntunan para sa paghahambing ng mga numero na may iba't ibang mga palatandaan, at alamin kung paano ilapat ito.

Pag-update ng pangunahing kaalaman.

Mga gawain para sa oral na gawain:

Tukuyin ang isang module.

Ano ang palatandaan ng mga numero na matatagpuan sa linya ng coordinate sa kanan ng zero? Kaliwa ng zero?

Hanapin ang modulus ng numero 6.8; -3.5; 18.11; 0.03; -12.3

Pahayag ng gawaing pang-edukasyon.

Paghambingin ang mga module ng mga numero

1. Paano ihambing ang mga numero gamit ang isang linya ng coordinate?

   Point A sa coordinate line ay matatagpuan sa kaliwa ng point B. Ang coordinate ng aling punto ay mas malaki?

   Aling punto sa linya ng coordinate ang matatagpuan sa kaliwa?

   1. A(0.6) o B(3.11)

Solusyon.

Upang makumpleto ang susunod na gawain, hahatiin tayo sa 5 pangkat ng 6 na tao. Kailangang paghambingin ng bawat pangkat ang mga bilang at sagutin ang mga tanong.

1. 2. 2 at -11

   3. -15 at 16

Pangunahing pangkabit.

Pangalan ng limang magkakaibang numero

malaki 0;

mas maliit 0;

mas maliit -5;

malaki -3;

malaki -11, ngunit mas maliit -3

Sa pagitan ng kung anong mga kalapit na integer ay ang numero 3.8; numero -8.9

Isulat ang lahat ng integer na matatagpuan sa linya ng coordinate sa pagitan ng mga numero -2.5 at 6; sa pagitan ng mga numero -17.3 at -8.1

Isulat ang mga numero sa pagkakasunud-sunod bumababa -6,9; 3,8; 5; -10; 15; 0; -3:

Pagtatakda ng takdang-aralin. aytem 29, alamin ang panuntunan para sa paghahambing ng positibo at negatibong mga numero, kumpletuhin ang No. 995, 996, 997, 999, 1000

Pagninilay ng mga aktibidad sa pagkatuto sa silid-aralan.

1. Anong mga layunin ang itinakda natin sa aralin ngayon, nasagot ba natin ang lahat ng mga tanong na ibinigay?

   Paano mo ihahambing ang positibo at negatibong mga numero?

   Paano ihambing ang dalawang negatibong numero?

   Mangyaring kumpletuhin ang mga assessment card para sa aralin ngayon.

Paghambingin ang mga numero gamit ang isang coordinate line:

2. 2 at -11

3. -15 at 16

Magbigay ng mga sagot sa mga sumusunod na tanong:

Paghambingin ang dalawang positibong numero

Ihambing ang positibong numero sa zero

Ihambing ang negatibong numero sa zero

Paghambingin ang positibo at negatibong mga numero

Paghambingin ang dalawang negatibong numero

Mga negatibong numero ay mga numerong may minus sign (-), halimbawa -1, -2, -3. Nagbabasa tulad ng: minus one, minus two, minus three.

Halimbawa ng aplikasyon mga negatibong numero ay isang thermometer na nagpapakita ng temperatura ng katawan, hangin, lupa o tubig. Sa taglamig, kapag napakalamig sa labas, negatibo ang temperatura (o, gaya ng sinasabi ng mga tao, "minus").

Halimbawa, -10 degrees malamig:

Ang karaniwang mga numero na aming isinasaalang-alang kanina, tulad ng 1, 2, 3, ay tinatawag na positibo. Ang mga positibong numero ay mga numerong may plus sign (+).

Kapag nagsusulat ng mga positibong numero, hindi isinulat ang + sign, kaya naman nakikita natin ang mga numerong 1, 2, 3 na pamilyar sa atin. Ngunit dapat tandaan na ganito ang hitsura ng mga positibong numerong ito: +1, + 2, +3.

Ito ay isang tuwid na linya kung saan matatagpuan ang lahat ng mga numero: parehong negatibo at positibo. Tulad ng sumusunod:

Ipinapakita dito ang mga numero mula -5 hanggang 5. Sa katunayan, ang linya ng coordinate ay walang katapusan. Ang figure ay nagpapakita lamang ng isang maliit na fragment nito.

Ang mga numero sa linya ng coordinate ay minarkahan bilang mga tuldok. Sa figure, ang naka-bold na itim na tuldok ay ang panimulang punto. Magsisimula ang countdown sa zero. Sa kaliwa ng reference point, ang mga negatibong numero ay minarkahan, at sa kanan, mga positibo.

Ang linya ng coordinate ay nagpapatuloy nang walang katiyakan sa magkabilang panig. Ang infinity sa matematika ay tinutukoy ng simbolo ∞. Ang negatibong direksyon ay ilalarawan ng simbolong −∞, at ang positibo sa pamamagitan ng simbolo na +∞. Pagkatapos ay maaari nating sabihin na ang lahat ng mga numero mula sa minus infinity hanggang plus infinity ay matatagpuan sa coordinate line:

Ang bawat punto sa linya ng coordinate ay may sariling pangalan at coordinate. Pangalan ay anumang letrang Latin. Coordinate ay isang numero na nagsasaad ng posisyon ng isang punto sa linyang ito. Sa madaling salita, ang coordinate ay ang parehong numero na gusto naming markahan sa linya ng coordinate.

Halimbawa, ang punto A(2) ay mababasa bilang "point A na may coordinate 2" at ilalarawan sa linya ng coordinate tulad ng sumusunod:

Dito A ay ang pangalan ng punto, 2 ay ang coordinate ng punto A.

Halimbawa 2 Ang punto B(4) ay mababasa bilang "punto B sa coordinate 4"

Dito B ay ang pangalan ng punto, 4 ay ang coordinate ng punto b.

Halimbawa 3 Ang puntong M(−3) ay binabasa bilang "point M na may coordinate minus three" at ilalarawan sa linya ng coordinate tulad ng sumusunod:

Dito M ay ang pangalan ng punto, −3 ay ang coordinate ng punto M .

Ang mga puntos ay maaaring ipahiwatig ng anumang mga titik. Ngunit karaniwang tinatanggap na italaga ang mga ito ng malalaking titik na Latin. Bukod dito, ang simula ng ulat, na kung hindi man ay tinatawag pinagmulan karaniwang tinutukoy ng malaking titik O

Madaling makita na ang mga negatibong numero ay nasa kaliwa ng pinanggalingan, at mga positibong numero sa kanan.

May mga pariralang tulad ng "mas marami sa kaliwa, mas kaunti" at "mas marami sa kanan, mas marami". Malamang nahulaan mo na kung ano ang pinag-uusapan natin. Sa bawat hakbang sa kaliwa, ang bilang ay bababa pababa. At sa bawat hakbang sa kanan, tataas ang bilang. Ang arrow na nakaturo sa kanan ay nagpapahiwatig ng positibong direksyon ng pagbibilang.

Paghahambing ng negatibo at positibong mga numero

Panuntunan 1 Ang anumang negatibong numero ay mas mababa kaysa sa anumang positibong numero.

Halimbawa, paghambingin natin ang dalawang numero: −5 at 3. Minus five mas kaunti kaysa sa tatlo, sa kabila ng katotohanan na ang lima ay nakakakuha ng mata sa unang lugar, bilang isang numero na higit sa tatlo.

Ito ay dahil ang −5 ay negatibo at 3 ay positibo. Sa linya ng coordinate makikita mo kung saan matatagpuan ang mga numero −5 at 3

Makikita na ang −5 ay nasa kaliwa, at 3 sa kanan. At sinabi namin iyon "mas marami sa kaliwa, mas kaunti" . At sinasabi ng panuntunan na ang anumang negatibong numero ay mas mababa kaysa sa anumang positibong numero. Kaya naman sinusunod iyon

−5 < 3

"Ang minus five ay mas mababa sa tatlo"

Panuntunan 2 Sa dalawang negatibong numero, ang mas maliit ay ang matatagpuan sa kaliwa sa linya ng coordinate.

Halimbawa, ihambing natin ang mga numero -4 at -1. minus apat mas kaunti kaysa sa minus one.

Ito ay muli dahil sa ang katunayan na sa linya ng coordinate −4 ay matatagpuan higit pa sa kaliwa kaysa sa −1

Makikita na ang -4 ay nasa kaliwa, at -1 sa kanan. At sinabi namin iyon "mas marami sa kaliwa, mas kaunti" . At sinasabi ng panuntunan na sa dalawang negatibong numero, ang isa na matatagpuan sa kaliwa sa linya ng coordinate ay mas mababa. Kaya naman sinusunod iyon

Ang minus four ay mas mababa sa minus one

Panuntunan 3 Ang zero ay mas malaki kaysa sa anumang negatibong numero.

Halimbawa, ihambing natin ang 0 at −3. Zero higit pa kaysa minus tatlo. Ito ay dahil sa ang katunayan na sa coordinate line 0 ay matatagpuan sa kanan kaysa sa −3

Makikita na ang 0 ay nasa kanan, at −3 sa kaliwa. At sinabi namin iyon "mas marami sa kanan, mas marami" . At sinasabi ng panuntunan na ang zero ay mas malaki kaysa sa anumang negatibong numero. Kaya naman sinusunod iyon

Ang zero ay mas malaki kaysa sa minus tatlo

Panuntunan 4 Ang zero ay mas mababa sa anumang positibong numero.

Halimbawa, ihambing ang 0 at 4. Zero mas kaunti kaysa 4. Sa prinsipyo, ito ay malinaw at totoo. Ngunit susubukan naming makita ito sa aming sariling mga mata, muli sa linya ng coordinate:

Makikita na sa linya ng coordinate 0 ay matatagpuan sa kaliwa, at 4 sa kanan. At sinabi namin iyon "mas marami sa kaliwa, mas kaunti" . At sinasabi ng panuntunan na ang zero ay mas mababa sa anumang positibong numero. Kaya naman sinusunod iyon

Ang zero ay mas mababa sa apat

Nagustuhan mo ba ang aralin?
Sumali sa aming bagong pangkat ng Vkontakte at magsimulang makatanggap ng mga abiso ng mga bagong aralin

§ 1 Paghahambing ng mga positibong numero

Sa araling ito, maaalala natin kung paano ihambing ang mga positibong numero at tingnan ang paghahambing ng mga negatibong numero.

Magsimula tayo sa gawain. Sa araw ang temperatura ng hangin ay +7 degrees, sa gabi ay bumaba ito sa +2 degrees, sa gabi ay naging -2 degrees, at sa umaga ay bumaba ito sa -7 degrees. Paano nagbago ang temperatura ng hangin?

Ang problema ay tungkol sa pagpapababa, i.e. tungkol sa pagbaba ng temperatura. Nangangahulugan ito na sa bawat kaso ang panghuling halaga ng temperatura ay mas mababa kaysa sa una, samakatuwid 2< 7; -2 < 2; -7< -2.

Tukuyin natin ang mga numerong 7, 2, -2, -7 sa linya ng coordinate. Alalahanin na sa linya ng coordinate, isang mas malaking positibong numero ang matatagpuan sa kanan.

Tingnan natin ang mga negatibong numero, ang numero -2 ay nasa kanan kaysa sa -7, i.e. para sa mga negatibong numero sa linya ng coordinate, ang parehong pagkakasunud-sunod ay pinapanatili: kapag ang punto ay lumipat sa kanan, ang coordinate nito ay tumataas, at kapag ang punto ay lumipat sa kaliwa, ang coordinate nito ay bumababa.

Maaari nating tapusin: Ang anumang positibong numero ay mas malaki sa zero at mas malaki kaysa sa anumang negatibong numero. 1 > 0; 12 > -2.5. Ang anumang negatibong numero ay mas mababa sa zero at mas mababa sa anumang positibong numero. -59< 1; -9 < 2. Из двух чисел большее изображается на координатной прямой правее, а меньшее - левее.

Maginhawang ihambing ang mga rational na numero (iyon ay, lahat ng integer at fractional na numero) gamit ang module.

Ang mga positibong numero ay matatagpuan sa linya ng coordinate sa pataas na pagkakasunud-sunod mula sa pinanggalingan, na nangangahulugang mas malayo ang numero mula sa pinanggalingan, mas malaki ang haba ng segment mula sa zero hanggang sa numero, i.e. modyul nito. Samakatuwid, sa dalawang positibong numero, ang isa na ang modulus ay mas malaki ay mas malaki.

§ 2 Paghahambing ng mga negatibong numero

Kapag naghahambing ng dalawang negatibong numero, ang mas malaki ay matatagpuan sa kanan, iyon ay, mas malapit sa pinanggalingan. Nangangahulugan ito na ang modulus nito (ang haba ng segment mula sa zero hanggang sa isang numero) ay magiging mas mababa. Kaya, sa dalawang negatibong numero, ang isa na may mas maliit na modulus ay mas malaki.

Halimbawa. Ihambing natin ang mga numero -1 at -5. Ang puntong katumbas ng numero -1 ay matatagpuan na mas malapit sa pinanggalingan kaysa sa puntong katumbas ng numero -5. Kaya't ang haba ng segment mula 0 hanggang -1 o ang modulus ng numero -1 ay mas mababa kaysa sa haba ng segment mula 0 hanggang -5 o ang modulus ng numero -5, na nangangahulugan na ang numero -1 ay mas malaki. kaysa sa bilang -5.

Gumagawa kami ng mga konklusyon:

Kapag naghahambing ng mga makatwirang numero, bigyang-pansin ang:

Mga Palatandaan: Ang negatibong numero ay palaging mas mababa sa positibong numero at sero;

Sa lokasyon sa linya ng coordinate: mas pakanan, mas marami;

Sa mga module: para sa mga positibong numero, mas malaki ang module at mas malaki ang bilang, para sa mga negatibong numero, mas malaki ang module, at mas kaunti ang bilang.

Listahan ng ginamit na panitikan:

1. Mathematics.6th grade: lesson plans for the textbook by I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // author-compiler L.A. Topilin. Mnemosyne 2009
2. Mathematics. Baitang 6: isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013
3. Mathematics. Baitang 6: isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon. /N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd. – M.: Mnemosyne, 2013
4. Handbook sa Matematika - http://lyudmilanik.com.ua
5. Handbook para sa mga mag-aaral sa sekondaryang paaralan http://shkolo.ru

Unang antas

Paghahambing ng mga numero. Comprehensive Guide (2019)

Kapag nilulutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay, pati na rin ang mga problema sa mga module, kinakailangan upang mahanap ang mga natagpuang ugat sa totoong linya. Tulad ng alam mo, ang mga nahanap na ugat ay maaaring magkakaiba. Maaari silang maging ganito:, o maaari silang maging ganito:,.

Alinsunod dito, kung ang mga numero ay hindi makatwiran ngunit hindi makatwiran (kung nakalimutan mo kung ano ito, tingnan ang paksa), o mga kumplikadong mathematical expression, kung gayon ang paglalagay sa kanila sa linya ng numero ay napaka-problema. Bukod dito, hindi magagamit ang mga calculator sa pagsusulit, at ang isang tinatayang pagkalkula ay hindi nagbibigay ng 100% na garantiya na ang isang numero ay mas mababa kaysa sa isa pa (paano kung may pagkakaiba sa pagitan ng mga inihambing na numero?).

Siyempre, alam mo na ang mga positibong numero ay palaging mas malaki kaysa sa mga negatibo, at na kung kinakatawan natin ang isang axis ng numero, kung ihahambing, ang pinakamalaking mga numero ay nasa kanan kaysa sa pinakamaliit: ; ; atbp.

Ngunit ito ba ay palaging napakadali? Kung saan sa linya ng numero ay minarkahan natin.

Paano ihambing ang mga ito, halimbawa, sa isang numero? Doon ang kuskusin...)

Upang magsimula, pag-usapan natin ang mga pangkalahatang tuntunin tungkol sa kung paano at kung ano ang ihahambing.

Mahalaga: ito ay kanais-nais na gumawa ng mga pagbabagong-anyo sa paraang hindi nagbabago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay! Iyon ay, sa kurso ng mga pagbabagong-anyo, hindi kanais-nais na i-multiply sa isang negatibong numero, at ito ay bawal parisukat kung ang isa sa mga bahagi ay negatibo.

Paghahambing ng Fraction

Kaya, kailangan nating ihambing ang dalawang praksyon: at.

Mayroong ilang mga pagpipilian para sa kung paano gawin ito.

Pagpipilian 1. Dalhin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator.

Isulat natin ito bilang isang ordinaryong fraction:

- (tulad ng makikita mo, binawasan ko rin ng numerator at denominator).

Ngayon kailangan nating ihambing ang mga fraction:

Ngayon ay maaari nating ipagpatuloy ang paghahambing din sa dalawang paraan. Maaari naming:

1. bawasan lang ang lahat sa isang karaniwang denominator, na ipinapakita ang parehong mga fraction bilang hindi wasto (ang numerator ay mas malaki kaysa sa denominator):

   Aling numero ang mas malaki? Iyon ay, ang isa na ang numerator ay mas malaki, iyon ay, ang una.

2. "i-discard" (ipagpalagay na nagbawas kami ng isa mula sa bawat fraction, at ang ratio ng mga fraction sa isa't isa, ayon sa pagkakabanggit, ay hindi nagbago) at ihahambing namin ang mga fraction:

   Dinadala rin namin ang mga ito sa isang karaniwang denominator:

   Nakuha namin ang eksaktong parehong resulta tulad ng sa nakaraang kaso - ang unang numero ay mas malaki kaysa sa pangalawa:

   Suriin din natin kung tama ba ang pagbabawas natin ng isa? Kalkulahin natin ang pagkakaiba sa numerator sa unang pagkalkula at pangalawa:
   1)
   2)

Kaya, tiningnan namin kung paano ihambing ang mga fraction, dinadala ang mga ito sa isang karaniwang denominator. Lumipat tayo sa isa pang paraan - paghahambing ng mga fraction sa pamamagitan ng pagdadala sa kanila sa isang karaniwang ... numerator.

Pagpipilian 2. Paghahambing ng mga fraction sa pamamagitan ng pagbabawas sa isang karaniwang numerator.

Oo Oo. Ito ay hindi isang typo. Sa paaralan, ang pamamaraang ito ay bihirang itinuro sa sinuman, ngunit kadalasan ito ay napaka-maginhawa. Upang mabilis mong maunawaan ang kakanyahan nito, tatanungin kita ng isang tanong lamang - "sa anong mga kaso ang halaga ng fraction ang pinakamalaki?" Siyempre, sasabihin mo "kapag ang numerator ay kasing laki hangga't maaari, at ang denominator ay kasing liit hangga't maaari."

Halimbawa, tiyak na sasabihin mo na Tama? At kung kailangan nating ihambing ang mga naturang fraction: Sa palagay ko, ikaw din, ay agad na maglalagay ng tanda, dahil sa unang kaso sila ay nahahati sa mga bahagi, at sa pangalawa sa kabuuan, na nangangahulugan na sa pangalawang kaso ang mga piraso ay napakaliit, at naaayon: . Tulad ng makikita mo, ang mga denominator ay naiiba dito, ngunit ang mga numerator ay pareho. Gayunpaman, upang maihambing ang dalawang praksyon na ito, hindi mo kailangang humanap ng karaniwang denominator. Bagama't ... hanapin ito at tingnan kung mali pa rin ang tanda ng paghahambing?

Ngunit pareho ang tanda.

Bumalik tayo sa ating orihinal na gawain - upang ihambing at. Magkukumpara kami at Dinadala namin ang mga fraction na ito hindi sa isang common denominator, ngunit sa isang common numerator. Para dito ito ay simple numerator at denominador multiply ang unang fraction sa. Nakukuha namin:

at. Aling fraction ang mas malaki? Tama, ang una.

Pagpipilian 3. Paghahambing ng mga praksiyon gamit ang pagbabawas.

Paano ihambing ang mga fraction gamit ang pagbabawas? Oo, napakasimple. Ibawas namin ang isa pa mula sa isang fraction. Kung positibo ang resulta, kung gayon ang unang bahagi (binawasan) ay mas malaki kaysa sa pangalawa (binawas), at kung negatibo, kabaligtaran.

Sa ating kaso, subukan nating ibawas ang unang bahagi mula sa pangalawa: .

Tulad ng naintindihan mo na, nagsasalin din kami sa isang ordinaryong fraction at nakuha ang parehong resulta -. Ang ating ekspresyon ay nagiging:

Dagdag pa, kailangan pa rin nating gumamit ng pagbawas sa isang karaniwang denominator. Ang tanong ay kung paano: sa unang paraan, ang pag-convert ng mga fraction sa hindi wasto, o sa pangalawa, na parang "tinatanggal" ang yunit? Sa pamamagitan ng paraan, ang aksyon na ito ay may ganap na mathematical na katwiran. Tingnan mo:

Mas gusto ko ang pangalawang opsyon, dahil ang pagpaparami sa numerator kapag ang pagbabawas sa isang karaniwang denominator ay nagiging maraming beses na mas madali.

Dinadala namin sa isang karaniwang denominator:

Ang pangunahing bagay dito ay hindi malito tungkol sa kung anong numero at kung saan tayo nagbawas. Maingat na tingnan ang kurso ng solusyon at huwag aksidenteng malito ang mga palatandaan. Ibinawas namin ang una sa pangalawang numero at nakakuha ng negatibong sagot, kaya? .. Tama, ang unang numero ay mas malaki kaysa sa pangalawa.

Nakuha ko? Subukang paghambingin ang mga fraction:

Tigil tigil. Huwag magmadali upang dalhin sa isang karaniwang denominator o ibawas. Tingnan: madali itong ma-convert sa isang decimal fraction. Magkano ito? Tama. Ano ang nagtatapos sa pagiging higit pa?

Ito ay isa pang pagpipilian - paghahambing ng mga fraction sa pamamagitan ng pagbawas sa isang decimal.

Pagpipilian 4. Paghahambing ng mga praksiyon gamit ang paghahati.

Oo Oo. At kaya posible rin. Ang lohika ay simple: kapag hinati natin ang isang mas malaking numero sa isang mas maliit, makakakuha tayo ng isang numero na mas malaki kaysa sa isa sa sagot, at kung hahatiin natin ang isang mas maliit na numero sa isang mas malaki, kung gayon ang sagot ay mahuhulog sa pagitan mula sa.

Upang matandaan ang panuntunang ito, kunin para sa paghahambing ng anumang dalawang pangunahing numero, halimbawa, at. Alam mo ba kung ano ang higit pa? Ngayon ay hatiin natin sa pamamagitan ng. Ang sagot namin ay . Alinsunod dito, tama ang teorya. Kung hahatiin natin, ang nakukuha natin ay mas mababa sa isa, na kung saan ay nagpapatunay kung ano ang talagang mas mababa.

Subukan nating ilapat ang panuntunang ito sa mga ordinaryong fraction. Ihambing:

Hatiin ang unang bahagi sa pangalawa:

Paikliin natin.

Ang resulta ay mas mababa, kaya ang dibidendo ay mas mababa kaysa sa divisor, iyon ay:

Sinuri namin ang lahat ng posibleng opsyon para sa paghahambing ng mga fraction. Tulad ng makikita mo mayroong 5 sa kanila:

• pagbawas sa isang karaniwang denominator;
• pagbawas sa isang karaniwang numerator;
• pagbawas sa anyo ng isang decimal fraction;
• pagbabawas;
• dibisyon.

Handa nang mag-ehersisyo? Ihambing ang mga fraction sa pinakamahusay na paraan:

Ihambing natin ang mga sagot:

1. (- convert sa decimal)
2. (hatiin ang isang fraction sa isa pa at bawasan ng numerator at denominator)
3. (piliin ang buong bahagi at ihambing ang mga praksiyon ayon sa prinsipyo ng parehong numerator)
4. (hatiin ang isang fraction sa isa pa at bawasan ng numerator at denominator).

2. Paghahambing ng mga digri

Ngayon isipin na kailangan nating ihambing hindi lamang ang mga numero, ngunit ang mga expression kung saan mayroong isang degree ().

Siyempre, madali kang maglagay ng sign:

Pagkatapos ng lahat, kung papalitan natin ang degree ng multiplikasyon, makakakuha tayo ng:

Mula sa maliit at primitive na halimbawang ito, ang panuntunan ay sumusunod:

Ngayon subukang ihambing ang sumusunod: . Madali ka ring maglagay ng sign:

Dahil kung papalitan natin ang exponentiation ng multiplication...

Sa pangkalahatan, naiintindihan mo ang lahat, at hindi ito mahirap.

Ang mga paghihirap ay lumitaw lamang kapag, kung ihahambing, ang mga antas ay may iba't ibang mga batayan at tagapagpahiwatig. Sa kasong ito, kinakailangan upang subukang dalhin sa isang karaniwang batayan. Halimbawa:

Siyempre, alam mo na ito, nang naaayon, ang expression ay nasa anyo:

Buksan natin ang mga bracket at ihambing kung ano ang mangyayari:

Ang isang medyo espesyal na kaso ay kapag ang base ng degree () ay mas mababa sa isa.

Kung, pagkatapos ng dalawang degree o higit pa, ang isa na ang tagapagpahiwatig ay mas mababa.

Subukan nating patunayan ang panuntunang ito. Hayaan.

Ipinakilala namin ang ilang natural na numero bilang pagkakaiba sa pagitan ng at.

Logical, hindi ba?

Ngayon bigyang-pansin natin ang kondisyon - .

Kaugnay nito: . Kaya naman, .

Halimbawa:

Tulad ng naiintindihan mo, isinasaalang-alang namin ang kaso kapag ang mga batayan ng mga kapangyarihan ay pantay. Ngayon tingnan natin kung ang base ay nasa hanay mula hanggang, ngunit ang mga exponent ay pantay. Napakasimple ng lahat dito.

Tandaan natin kung paano ito ihambing sa isang halimbawa:

Siyempre, mabilis mong nakalkula:

Samakatuwid, kapag nakatagpo ka ng mga katulad na problema para sa paghahambing, tandaan ang ilang simpleng katulad na halimbawa na mabilis mong makalkula, at batay sa halimbawang ito, ilagay ang mga palatandaan sa mas kumplikadong isa.

Kapag nagsasagawa ng mga pagbabagong-anyo, tandaan na kung mag-multiply ka, magdagdag, magbawas o maghahati, kung gayon ang lahat ng mga aksyon ay dapat gawin sa parehong kaliwa at kanang bahagi (kung mag-multiply ka sa, pagkatapos ay kailangan mong i-multiply ang pareho).

Bilang karagdagan, may mga pagkakataon na ang paggawa ng anumang mga manipulasyon ay hindi kumikita. Halimbawa, kailangan mong ihambing. Sa kasong ito, hindi napakahirap na itaas sa isang kapangyarihan, at ayusin ang tanda batay dito:

Practice tayo. Paghambingin ang mga antas:

Handa nang ihambing ang mga sagot? Iyon ang ginawa ko:

1. - katulad ng
2. - katulad ng
3. - katulad ng
4. - katulad ng

3. Paghahambing ng mga numero na may ugat

Magsimula tayo sa kung ano ang mga ugat? Naaalala mo ba ang entry na ito?

Ang ugat ng isang tunay na numero ay isang numero kung saan may pagkakapantay-pantay.

Mga ugat kakaibang antas ang umiiral para sa negatibo at positibong mga numero, at kahit mga ugat- Para lamang sa positibo.

Ang halaga ng ugat ay kadalasang isang walang katapusang decimal, na nagpapahirap sa tumpak na kalkulahin ito, kaya mahalagang makapaghambing ng mga ugat.

Kung nakalimutan mo kung ano ito at kung ano ang kinakain nito -. Kung naaalala mo ang lahat, matuto tayong ihambing ang mga ugat nang hakbang-hakbang.

Sabihin nating kailangan nating ihambing:

Upang ihambing ang dalawang ugat na ito, hindi mo kailangang gumawa ng anumang mga kalkulasyon, pag-aralan lamang ang mismong konsepto ng "ugat". Nakuha mo ba ang sinasabi ko? Oo, tungkol dito: kung hindi, maaari itong isulat bilang ikatlong kapangyarihan ng ilang numero, katumbas ng expression ng ugat.

Ano pa? o kaya? Ito, siyempre, maaari mong ihambing nang walang anumang kahirapan. Kung mas malaki ang bilang na itataas natin sa isang kapangyarihan, magiging mas malaki ang halaga.

Kaya. Kunin natin ang panuntunan.

Kung ang mga exponent ng mga ugat ay pareho (sa aming kaso, ito ay), kung gayon kinakailangan upang ihambing ang mga expression ng ugat (at) - mas malaki ang numero ng ugat, mas malaki ang halaga ng ugat na may pantay na mga tagapagpahiwatig.

Mahirap tandaan? Pagkatapos ay isaisip lamang ang isang halimbawa at. Iyon pa?

Ang mga exponent ng mga ugat ay pareho, dahil ang ugat ay parisukat. Ang root expression ng isang numero () ay mas malaki kaysa sa isa pa (), na nangangahulugan na ang panuntunan ay talagang totoo.

Ngunit paano kung ang mga radikal na expression ay pareho, ngunit ang mga antas ng mga ugat ay iba? Halimbawa: .

Malinaw din na kapag kumukuha ng ugat ng mas mataas na antas, mas maliit na bilang ang makukuha. Kunin natin halimbawa:

Tukuyin ang halaga ng unang ugat bilang, at ang pangalawa - bilang, pagkatapos:

Madali mong makikita na dapat mayroong higit pa sa mga equation na ito, samakatuwid:

Kung ang root expression ay pareho(sa kaso natin), at ang mga exponent ng mga ugat ay iba(sa aming kaso, ito ay at), pagkatapos ito ay kinakailangan upang ihambing ang mga exponent(at) - mas malaki ang exponent, mas maliit ang ibinigay na expression.

Subukang ihambing ang mga sumusunod na ugat:

Ihambing natin ang mga resulta?

Matagumpay naming naharap ito :). Ang isa pang tanong ay lumitaw: paano kung lahat tayo ay magkakaiba? At ang antas, at ang radikal na pagpapahayag? Hindi lahat ay napakahirap, kailangan lang nating ... "alisin" ang ugat. Oo Oo. Alisin mo.)

Kung mayroon tayong iba't ibang antas at radikal na mga expression, kinakailangan upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang (basahin ang seksyon tungkol sa) para sa mga root exponents at itaas ang parehong mga expression sa isang kapangyarihan na katumbas ng hindi bababa sa karaniwang maramihang.

Na tayong lahat ay nasa salita at salita. Narito ang isang halimbawa:

1. Tinitingnan namin ang mga tagapagpahiwatig ng mga ugat - at. Ang kanilang hindi bababa sa karaniwang maramihang ay .
2. Itaas natin ang parehong mga expression sa isang kapangyarihan:
3. Ibahin natin ang ekspresyon at palawakin ang mga bracket (higit pang mga detalye sa kabanata):
4. Isaalang-alang natin kung ano ang nagawa natin, at maglagay ng senyales:

4. Paghahambing ng logarithms

Kaya, dahan-dahan ngunit tiyak, nilapitan namin ang tanong kung paano ihambing ang mga logarithms. Kung hindi mo matandaan kung anong uri ng hayop ito, ipinapayo ko sa iyo na basahin muna ang teorya mula sa seksyon. Basahin? Pagkatapos ay sagutin ang ilang mahahalagang tanong:

1. Ano ang argumento ng logarithm at ano ang batayan nito?
2. Ano ang tumutukoy kung ang isang function ay tumataas o bumababa?

Kung naaalala mo ang lahat at natutunan mo itong mabuti - magsimula tayo!

Upang maihambing ang logarithms sa isa't isa, kailangan mo lamang malaman ang 3 trick:

• pagbawas sa parehong base;
• paghahagis sa parehong argumento;
• paghahambing sa ikatlong numero.

Una, bigyang-pansin ang base ng logarithm. Tandaan mo na kung ito ay mas kaunti, pagkatapos ay ang pag-andar ay bumababa, at kung ito ay mas malaki, pagkatapos ito ay tumataas. Ito ang pagbabasehan ng ating mga paghatol.

Isaalang-alang ang paghahambing ng mga logarithm na nabawasan na sa parehong base o argumento.

Upang magsimula, pasimplehin natin ang problema: ipasok ang mga inihambing na logarithms pantay na batayan. Pagkatapos:

1. Ang function, kapag tumaas sa pagitan mula sa, ay nangangahulugan, sa pamamagitan ng kahulugan, pagkatapos ay (“direktang paghahambing”).
2. Halimbawa:- ang mga base ay pareho, ayon sa pagkakabanggit, inihambing namin ang mga argumento: , samakatuwid:
3. Ang function, sa, ay bumababa sa pagitan mula sa, na nangangahulugang, ayon sa kahulugan, pagkatapos ay (“reverse comparison”). - ang mga base ay pareho, ayon sa pagkakabanggit, inihahambing namin ang mga argumento: , gayunpaman, ang tanda ng logarithms ay magiging "reverse", dahil bumababa ang function: .

Ngayon isaalang-alang ang mga kaso kung saan ang mga base ay naiiba, ngunit ang mga argumento ay pareho.

1. Mas malaki ang base.
   • . Sa kasong ito, ginagamit namin ang "reverse comparison". Halimbawa: - ang mga argumento ay pareho, at. Inihahambing namin ang mga base: gayunpaman, ang tanda ng logarithms ay magiging "reverse":
2. Nasa pagitan ang base a.
   • . Sa kasong ito, ginagamit namin ang "direktang paghahambing". Halimbawa:
   • . Sa kasong ito, ginagamit namin ang "reverse comparison". Halimbawa:

Isulat natin ang lahat sa pangkalahatang tabular na anyo:

Alinsunod dito, tulad ng naintindihan mo na, kapag inihambing ang mga logarithms, kailangan nating dalhin sa parehong base, o argumento, Dumating tayo sa parehong base gamit ang formula para sa paglipat mula sa isang base patungo sa isa pa.

Maaari mo ring ihambing ang mga logarithms sa pangatlong numero at, batay dito, mahinuha kung ano ang mas kaunti at kung ano ang higit pa. Halimbawa, isipin kung paano ihambing ang dalawang logarithms na ito?

Isang maliit na pahiwatig - para sa paghahambing, ang logarithm ay makakatulong sa iyo ng maraming, ang argumento kung saan ay magiging pantay.

Naisip? Sabay tayong magdesisyon.

Madali naming maihahambing sa iyo ang dalawang logarithms na ito:

Hindi alam kung paano? Tingnan sa itaas. Pinaghiwalay lang namin. Anong palatandaan ang makikita doon? kanan:

Sumasang-ayon ako?

Ihambing natin sa isa't isa:

Dapat mong makuha ang sumusunod:

Ngayon pagsamahin ang lahat ng aming mga konklusyon sa isa. Nangyari?

5. Paghahambing ng trigonometriko expression.

Ano ang sine, cosine, tangent, cotangent? Para saan ang unit circle at paano mahahanap ang halaga ng trigonometriko function dito? Kung hindi mo alam ang mga sagot sa mga tanong na ito, lubos kong inirerekumenda na basahin mo ang teorya sa paksang ito. At kung alam mo, kung gayon ang paghahambing ng mga trigonometriko na expression sa bawat isa ay hindi mahirap para sa iyo!

I-refresh natin ng kaunti ang ating memorya. Gumuhit tayo ng isang yunit ng trigonometric na bilog at isang tatsulok na nakasulat dito. Inayos mo ba? Ngayon markahan kung aling bahagi mayroon tayong cosine, at kung aling sine, gamit ang mga gilid ng tatsulok. (Siyempre, naaalala mo na ang sine ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa hypotenuse, at ang cosine ng katabi?). nagdrawing ka ba? ayos! Ang pangwakas na pagpindot - ilagay kung saan tayo magkakaroon nito, kung saan at iba pa. Ibaba? Phew) Ikumpara mo ang nangyari sa akin at sa iyo.

Phew! Ngayon simulan natin ang paghahambing!

Ipagpalagay na kailangan nating ihambing at . Iguhit ang mga anggulong ito gamit ang mga senyas sa mga kahon (kung saan namin minarkahan kung saan), inilalatag ang mga punto sa bilog ng yunit. Inayos mo ba? Iyon ang ginawa ko.

Ngayon ibababa natin ang patayo mula sa mga puntos na minarkahan natin sa bilog hanggang sa axis ... Alin? Aling axis ang nagpapakita ng halaga ng mga sine? Tama, . Narito ang dapat mong makuha:

Sa pagtingin sa figure na ito, alin ang mas malaki: o? Siyempre, dahil ang punto ay nasa itaas ng punto.

Katulad nito, inihahambing namin ang halaga ng mga cosine. Ibinababa lang namin ang perpendicular papunta sa axis ... Tama, . Alinsunod dito, tinitingnan natin kung aling punto ang nasa kanan (mabuti, o mas mataas, tulad ng kaso ng mga sine), kung gayon ang halaga ay mas malaki.

Malamang alam mo na kung paano ihambing ang mga tangent, di ba? Ang kailangan mo lang malaman ay kung ano ang tangent. So what is tangent?) Tama, ang ratio ng sine sa cosine.

Upang ihambing ang mga tangent, gumuhit din kami ng isang anggulo, tulad ng sa nakaraang kaso. Sabihin nating kailangan nating ihambing:

nagdrawing ka ba? Ngayon ay minarkahan din namin ang mga halaga ng sine sa coordinate axis. Napansin? At ngayon ipahiwatig ang mga halaga ng cosine sa linya ng coordinate. Nangyari? Ihambing natin:

Ngayon, pag-aralan kung ano ang iyong isinulat. - hinahati namin ang isang malaking segment sa isang maliit. Ang sagot ay isang halaga na eksaktong mas malaki kaysa sa isa. tama?

At kapag hinati natin ang maliit sa malaki. Ang sagot ay isang numero na eksaktong mas mababa sa isa.

Kaya ang halaga ng kung aling trigonometriko na expression ang mas malaki?

kanan:

Tulad ng naiintindihan mo na ngayon, ang paghahambing ng mga cotangent ay pareho, kabaligtaran lamang: tinitingnan namin kung paano nauugnay ang mga segment na tumutukoy sa cosine at sine sa isa't isa.

Subukang ihambing ang mga sumusunod na trigonometrikong expression sa iyong sarili:

Mga halimbawa.

Mga sagot.

PAGHAHAMBING NG MGA BILANG. AVERAGE LEVEL.

Alin sa mga numero ang mas malaki: o? Ang sagot ay halata. At ngayon: o? Hindi na masyadong halata diba? At kaya: o?

Kadalasan kailangan mong malaman kung alin sa mga numeric na expression ang mas malaki. Halimbawa, kapag nilulutas ang hindi pagkakapantay-pantay, ilagay ang mga puntos sa axis sa tamang pagkakasunod-sunod.

Ngayon ituturo ko sa iyo na ihambing ang mga naturang numero.

Kung kailangan mong ihambing ang mga numero at, maglagay ng sign sa pagitan ng mga ito (nagmula sa salitang Latin na Versus o dinaglat kumpara - laban):. Pinapalitan ng sign na ito ang hindi alam na inequality sign (). Dagdag pa, magsasagawa kami ng magkakaparehong pagbabagong-anyo hanggang sa maging malinaw kung aling tanda ang dapat ilagay sa pagitan ng mga numero.

Ang kakanyahan ng paghahambing ng mga numero ay ang mga sumusunod: tinatrato namin ang tanda na parang ito ay isang uri ng tanda ng hindi pagkakapantay-pantay. At sa pagpapahayag, magagawa natin ang lahat ng karaniwan nating ginagawa sa mga hindi pagkakapantay-pantay:

• magdagdag ng anumang numero sa parehong bahagi (at ibawas, siyempre, maaari din natin)
• "ilipat ang lahat sa isang direksyon", iyon ay, ibawas ang isa sa mga inihambing na expression mula sa parehong bahagi. Sa lugar ng ibinawas na expression ay mananatili: .
• multiply o hatiin sa parehong bilang. Kung negatibo ang numerong ito, binabaligtad ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay: .
• Itaas ang magkabilang panig sa parehong kapangyarihan. Kung ang kapangyarihang ito ay pantay, dapat mong tiyakin na ang parehong bahagi ay may parehong tanda; kung ang parehong mga bahagi ay positibo, ang tanda ay hindi nagbabago kapag nakataas sa isang kapangyarihan, at kung sila ay negatibo, pagkatapos ay nagbabago ito sa kabaligtaran.
• kunin ang ugat ng parehong antas mula sa magkabilang bahagi. Kung kinukuha namin ang ugat ng pantay na antas, kailangan mo munang tiyakin na ang parehong mga expression ay hindi negatibo.
• anumang iba pang katumbas na pagbabago.

Mahalaga: ito ay kanais-nais na gumawa ng mga pagbabagong-anyo sa paraang hindi nagbabago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay! Iyon ay, sa kurso ng mga pagbabagong-anyo, hindi kanais-nais na i-multiply sa isang negatibong numero, at imposibleng i-square kung ang isa sa mga bahagi ay negatibo.

Tingnan natin ang ilang karaniwang sitwasyon.

1. Exponentiation.

Halimbawa.

Alin ang higit pa: o?

Solusyon.

Dahil ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay positibo, maaari nating i-square upang maalis ang ugat:

Halimbawa.

Alin ang higit pa: o?

Solusyon.

Dito rin, maaari tayong parisukat, ngunit ito ay makakatulong lamang sa atin na mapupuksa ang parisukat na ugat. Dito kinakailangan na itaas sa isang antas na ang parehong mga ugat ay nawawala. Nangangahulugan ito na ang exponent ng degree na ito ay dapat na mahahati ng pareho (ang antas ng unang ugat) at ng. Ang numerong ito ay, kaya itinaas namin ito sa ika-kapangyarihan:

2. Pagpaparami ng conjugate.

Halimbawa.

Alin ang higit pa: o?

Solusyon.

I-multiply at hatiin ang bawat pagkakaiba sa conjugate sum:

Malinaw, ang denominator sa kanang bahagi ay mas malaki kaysa sa denominator sa kaliwa. Samakatuwid, ang kanang bahagi ay mas mababa kaysa sa kaliwa:

3. Pagbabawas

Tandaan natin yan.

Halimbawa.

Alin ang higit pa: o?

Solusyon.

Siyempre, maaari naming i-square ang lahat, regroup, at square again. Ngunit maaari kang gumawa ng mas matalinong bagay:

Makikita na ang bawat termino sa kaliwang bahagi ay mas mababa kaysa sa bawat termino sa kanang bahagi.

Alinsunod dito, ang kabuuan ng lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi ay mas mababa kaysa sa kabuuan ng lahat ng mga termino sa kanang bahagi.

Ngunit mag-ingat! Tinanong pa kami...

Ang kanang bahagi ay mas malaki.

Halimbawa.

Paghambingin ang mga numero at.

Solusyon.

Tandaan ang mga formula ng trigonometrya:

Suriin natin kung aling quarter ang mga puntos at nakahiga sa trigonometriko na bilog.

4. Dibisyon.

Dito rin kami gumagamit ng isang simpleng panuntunan: .

Sa o, iyon ay.

Kapag nagbago ang tanda: .

Halimbawa.

Gumawa ng paghahambing: .

Solusyon.

5. Ihambing ang mga numero sa ikatlong numero

Kung at, pagkatapos (batas ng transitivity).

Halimbawa.

Ikumpara.

Solusyon.

Ihambing natin ang mga numero hindi sa isa't isa, ngunit sa numero.

Obvious naman yun.

Sa kabila, .

Halimbawa.

Alin ang higit pa: o?

Solusyon.

Ang parehong mga numero ay mas malaki ngunit mas maliit. Pumili ng isang numero na mas malaki ito sa isa ngunit mas mababa kaysa sa isa. Halimbawa, . Suriin natin:

6. Ano ang gagawin sa logarithms?

Normal lang, walang espesyal. Kung paano mapupuksa ang logarithms ay inilarawan nang detalyado sa paksa. Ang mga pangunahing patakaran ay:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \wedge y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Maaari din tayong magdagdag ng panuntunan tungkol sa logarithms na may iba't ibang base at parehong argumento:

Ito ay maaaring ipaliwanag bilang mga sumusunod: kung mas malaki ang base, mas kaunti ang kailangang itaas upang makakuha ng pareho. Kung ang base ay mas maliit, kung gayon ang kabaligtaran ay totoo, dahil ang kaukulang function ay monotonically bumababa.

Halimbawa.

Paghambingin ang mga numero: i.

Solusyon.

Ayon sa mga tuntunin sa itaas:

At ngayon ang advanced na formula.

Ang panuntunan para sa paghahambing ng logarithms ay maaari ding isulat nang mas maikli:

Halimbawa.

Alin ang higit pa: o?

Solusyon.

Halimbawa.

Ihambing kung alin sa mga numero ang mas malaki: .

Solusyon.

PAGHAHAMBING NG MGA BILANG. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING

1. Exponentiation

Kung ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay positibo, maaari silang kuwadrado upang maalis ang ugat

2. Pagpaparami ng conjugate

Ang conjugate ay isang multiplier na umaakma sa expression sa formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat: - conjugate para sa at vice versa, dahil .

3. Pagbabawas

4. Dibisyon

Sa o iyon ay

Kapag nagbago ang tanda:

5. Paghahambing sa ikatlong bilang

Kung at pagkatapos

6. Paghahambing ng logarithms

Mga pangunahing tuntunin.

Kahulugan 1. Kung dalawang numero 1) a at b kapag hinahati sa pamamagitan ng p bigyan ang parehong natitira r, kung gayon ang mga naturang numero ay tinatawag na equidistant o maihahambing sa modulo p.

Pahayag 1. Hayaan p ilang positibong numero. Pagkatapos ng anumang numero a palagi at, bukod dito, sa isang natatanging paraan ay maaaring katawanin sa anyo

Ngunit ang mga numerong ito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pagtatanong r katumbas ng 0, 1, 2,..., p-1. Kaya naman sp+r=a tumatagal ng lahat ng posibleng integer value.

Ipakita natin na kakaiba ang representasyong ito. Kunwari na lang p maaaring katawanin sa dalawang paraan a=sp+r at a=s 1 p+r isa. Pagkatapos

(2)

kasi r Ang 1 ay kumukuha ng isa sa mga numerong 0,1, ..., p−1, pagkatapos ay ang ganap na halaga r 1 −r mas kaunti p. Ngunit mula sa (2) ito ay sumusunod na r 1 −r maramihan p. Kaya naman r 1 =r at s 1 =s.

Numero r tinawag minus numero a modulo p(sa madaling salita, ang numero r tinatawag ang natitira sa dibisyon ng isang numero a sa p).

Pahayag 2. Kung dalawang numero a at b maihahambing na modulo p, pagkatapos a−b hinati ng p.

Talaga. Kung dalawang numero a at b maihahambing na modulo p, pagkatapos ay kapag hinati sa p magkaroon ng parehong natitira p. Pagkatapos

hinati ng p, dahil ang kanang bahagi ng equation (3) ay hinati ng p.

Pahayag 3. Kung ang pagkakaiba ng dalawang numero ay nahahati ng p, kung gayon ang mga numerong ito ay maihahambing na modulo p.

Patunay. Tukuyin ng r at r 1 natitira mula sa dibisyon a at b sa p. Pagkatapos

Mga halimbawa 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).

Ito ay sumusunod mula sa unang halimbawa na ang 25 kapag hinati sa 7 ay nagbibigay ng parehong natitira sa 39. Sa katunayan, 25=3 7+4 (natitira 4). 39=3 7+4 (natitira 4). Kapag isinasaalang-alang ang pangalawang halimbawa, tandaan na ang natitira ay dapat na isang hindi negatibong numero na mas mababa sa modulus (i.e. 4). Pagkatapos ay maaari nating isulat ang: −18=−5 4+2 (natitira 2), 14=3 4+2 (natitira 2). Samakatuwid, ang −18 kapag hinati sa 4 ay nag-iiwan ng natitirang 2, at ang 14 kapag hinati sa 4 ay nag-iiwan ng natitirang 2.

Mga Katangian ng Mga Paghahambing ng Modulo

Ari-arian 1. Para kahit kanino a at p palagi

Ang paghahambing ay hindi palaging kinakailangan

saan λ ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero m at p.

Patunay. Hayaan λ pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero m at p. Pagkatapos

kasi m(a−b) hinati ng k, pagkatapos

Kaya naman

at m ay isa sa mga divisors ng numero p, pagkatapos

saan h=pqs.

Tandaan na maaari naming payagan ang mga paghahambing sa mga negatibong module, i.e. paghahambing a≡b mod( p) ay nangangahulugan sa kasong ito na ang pagkakaiba a−b hinati ng p. Ang lahat ng mga katangian ng mga paghahambing ay nananatiling wasto para sa mga negatibong module.