Ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya sa pamamagitan ng koepisyent. Anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya: kahulugan, mga halimbawa ng paghahanap

Magpa-brief ako. Ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya ay katumbas ng anggulo sa pagitan ng kanilang mga vector ng direksyon. Kaya, kung namamahala ka upang mahanap ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon a = (x 1 ; y 1 ; z 1) at b = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2), pagkatapos ay mahahanap mo ang anggulo. Mas tiyak, ang cosine ng anggulo ayon sa formula:

Tingnan natin kung paano gumagana ang formula na ito gamit ang mga partikular na halimbawa:

Gawain. Sa kubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, ang mga puntos E at F ay minarkahan - ang mga midpoint ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linyang AE at BF.

Dahil ang gilid ng kubo ay hindi tinukoy, itakda natin ang AB = 1. Ipinakilala namin ang isang karaniwang sistema ng coordinate: ang pinagmulan ay nasa punto A, ang x, y, z axes ay nakadirekta sa AB, AD at AA 1, ayon sa pagkakabanggit. Ang segment ng yunit ay katumbas ng AB = 1. Ngayon, hanapin natin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon para sa ating mga linya.

Hanapin natin ang mga coordinate ng vector AE. Para dito kailangan namin ng mga puntos A = (0; 0; 0) at E = (0.5; 0; 1). Dahil ang point E ay ang gitna ng segment A 1 B 1, ang mga coordinate nito ay katumbas ng arithmetic mean ng mga coordinate ng mga dulo. Tandaan na ang pinagmulan ng vector AE ay tumutugma sa pinagmulan ng mga coordinate, kaya AE = (0.5; 0; 1).

Ngayon tingnan natin ang BF vector. Katulad nito, sinusuri namin ang mga puntos na B = (1; 0; 0) at F = (1; 0.5; 1), dahil Ang F ay ang gitna ng segment B 1 C 1. Meron kami:
BF = (1 − 1; 0.5 − 0; 1 − 0) = (0; 0.5; 1).

Kaya, handa na ang mga vector ng direksyon. Ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ay ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector ng direksyon, kaya mayroon tayong:

Gawain. Sa isang regular na tatsulok na prism ABCA 1 B 1 C 1, ang lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, ang mga punto D at E ay minarkahan - ang mga midpoint ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linyang AD at BE.

Ipakilala natin ang isang karaniwang sistema ng coordinate: ang pinagmulan ay nasa punto A, ang x axis ay nakadirekta sa AB, z - kasama ang AA 1. Idirekta natin ang y-axis upang ang OXY plane ay tumutugma sa ABC plane. Ang segment ng unit ay katumbas ng AB = 1. Hanapin natin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon para sa mga kinakailangang linya.

Una, hanapin natin ang mga coordinate ng vector AD. Isaalang-alang ang mga puntos: A = (0; 0; 0) at D = (0.5; 0; 1), dahil D - gitna ng segment A 1 B 1. Dahil ang simula ng vector AD ay tumutugma sa pinagmulan ng mga coordinate, nakuha namin ang AD = (0.5; 0; 1).

Ngayon hanapin natin ang mga coordinate ng vector BE. Point B = (1; 0; 0) ay madaling kalkulahin. Sa punto E - ang gitna ng segment C 1 B 1 - ito ay medyo mas kumplikado. Meron kami:

Ito ay nananatili upang mahanap ang cosine ng anggulo:

Gawain. Sa isang regular na hexagonal prism ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , ang lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, ang mga puntos na K at L ay minarkahan - ang mga midpoint ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit . Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linyang AK at BL.

Ipakilala natin ang isang karaniwang sistema ng coordinate para sa isang prisma: inilalagay natin ang pinagmulan ng mga coordinate sa gitna ng ibabang base, ang x axis ay nakadirekta sa kahabaan ng FC, ang y axis ay nakadirekta sa mga midpoint ng mga segment na AB at DE, at ang Ang z axis ay nakadirekta patayo pataas. Ang segment ng unit ay muling katumbas ng AB = 1. Isulat natin ang mga coordinate ng mga punto ng interes sa atin:

Ang mga puntong K at L ay ang mga midpoint ng mga segment na A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit, kaya ang kanilang mga coordinate ay matatagpuan sa pamamagitan ng arithmetic mean. Ang pag-alam sa mga punto, nakita namin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon na AK at BL:

Ngayon hanapin natin ang cosine ng anggulo:

Gawain. Sa isang regular na quadrangular pyramid SABCD, ang lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, ang mga puntos na E at F ay minarkahan - ang mga midpoint ng mga gilid ng SB at SC, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linyang AE at BF.

Ipakilala natin ang isang karaniwang sistema ng coordinate: ang pinagmulan ay nasa punto A, ang x at y axes ay nakadirekta sa kahabaan ng AB at AD, ayon sa pagkakabanggit, at ang z axis ay nakadirekta patayo paitaas. Ang segment ng unit ay katumbas ng AB = 1.

Ang mga puntong E at F ay ang mga midpoint ng mga segment na SB at SC, ayon sa pagkakabanggit, kaya ang kanilang mga coordinate ay matatagpuan bilang arithmetic mean ng mga dulo. Isulat natin ang mga coordinate ng mga punto ng interes sa atin:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Ang pag-alam sa mga punto, nakita namin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon na AE at BF:

Ang mga coordinate ng vector AE ay tumutugma sa mga coordinate ng point E, dahil ang point A ay ang pinagmulan. Ito ay nananatiling mahanap ang cosine ng anggulo:

Oh-oh-oh-oh-oh... well, it's tough, as if he was reading out a sentence to himself =) However, relaxation will help later, especially since today I bought the appropriate accessories. Samakatuwid, magpatuloy tayo sa unang seksyon, umaasa ako na sa pagtatapos ng artikulo ay mapanatili ko ang isang masayang kalooban.

Ang relatibong posisyon ng dalawang tuwid na linya

Ganito ang kaso kapag kumakanta ang mga manonood sa koro. Dalawang tuwid na linya ay maaari:

1) tugma;

2) maging parallel: ;

3) o bumalandra sa isang punto: .

Tulong para sa mga dummies : Mangyaring tandaan ang mathematical intersection sign, ito ay lilitaw nang napakadalas. Ang notasyon ay nangangahulugan na ang linya ay bumalandra sa linya sa punto .

Paano matukoy ang kamag-anak na posisyon ng dalawang linya?

Magsimula tayo sa unang kaso:

Ang dalawang linya ay nagtutugma kung at kung ang mga kaukulang coefficient nito ay proporsyonal, ibig sabihin, mayroong isang numerong "lambda" na nasiyahan ang mga pagkakapantay-pantay

Isaalang-alang natin ang mga tuwid na linya at lumikha ng tatlong equation mula sa kaukulang coefficient: . Mula sa bawat equation ay sumusunod na, samakatuwid, ang mga linyang ito ay nag-tutugma.

Sa katunayan, kung ang lahat ng mga coefficient ng equation i-multiply sa –1 (change signs), at lahat ng coefficients ng equation gupitin ng 2, makakakuha ka ng parehong equation: .

Ang pangalawang kaso, kapag ang mga linya ay parallel:

Dalawang linya ay magkatulad kung at kung ang kanilang mga coefficient ng mga variable ay proporsyonal: , Ngunit.

Bilang halimbawa, isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya. Sinusuri namin ang proporsyonalidad ng kaukulang coefficient para sa mga variable:

Gayunpaman, medyo halata iyon.

At ang pangatlong kaso, kapag nagsalubong ang mga linya:

Dalawang linya ay nagsalubong kung at kung ang kanilang mga coefficient ng mga variable ay HINDI proporsyonal, ibig sabihin, WALANG ganoong halaga ng "lambda" na nasiyahan ang mga pagkakapantay-pantay

Kaya, para sa mga tuwid na linya gagawa kami ng isang sistema:

Mula sa unang equation ito ay sumusunod na , at mula sa pangalawang equation: , na nangangahulugang hindi pare-pareho ang sistema(walang solusyon). Kaya, ang mga coefficient ng mga variable ay hindi proporsyonal.

Konklusyon: nagsalubong ang mga linya

Sa mga praktikal na problema, maaari mong gamitin ang scheme ng solusyon na tinalakay lang. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay lubos na nakapagpapaalaala sa algorithm para sa pagsuri ng mga vectors para sa collinearity, na tiningnan namin sa klase Ang konsepto ng linear (in)dependence ng mga vectors. Batayan ng mga vector. Ngunit mayroong isang mas sibilisadong packaging:

Halimbawa 1

Alamin ang relatibong posisyon ng mga linya:

Solusyon batay sa pag-aaral ng pagdidirekta ng mga vector ng mga tuwid na linya:

a) Mula sa mga equation nakita natin ang mga vector ng direksyon ng mga linya: .

, na nangangahulugan na ang mga vector ay hindi collinear at ang mga linya ay nagsalubong.

Kung sakali, maglalagay ako ng bato na may mga palatandaan sa sangang-daan:

Ang natitira ay tumalon sa ibabaw ng bato at sumunod pa, diretso sa Kashchei the Immortal =)

b) Hanapin ang mga vector ng direksyon ng mga linya:

Ang mga linya ay may parehong direksyon ng vector, na nangangahulugang sila ay magkatulad o magkatulad. Hindi na kailangang bilangin ang determinant dito.

Malinaw na ang mga coefficient ng mga hindi alam ay proporsyonal, at .

Alamin natin kung totoo ang pagkakapantay-pantay:

kaya,

c) Hanapin ang mga vector ng direksyon ng mga linya:

Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito:
, samakatuwid, ang mga vector ng direksyon ay collinear. Ang mga linya ay magkatulad o magkatulad.

Ang koepisyent ng proporsyonalidad na "lambda" ay madaling makita nang direkta mula sa ratio ng mga vector ng direksyon ng collinear. Gayunpaman, maaari rin itong matagpuan sa pamamagitan ng mga coefficient ng mga equation mismo: .

Ngayon, alamin natin kung totoo ang pagkakapantay-pantay. Ang parehong mga libreng termino ay zero, kaya:

Ang resultang halaga ay nakakatugon sa equation na ito (anumang numero sa pangkalahatan ay nakakatugon dito).

Kaya, ang mga linya ay nag-tutugma.

Sagot:

Sa lalong madaling panahon matututunan mo (o kahit na natutunan na) upang malutas ang problemang tinalakay nang literal sa loob ng ilang segundo. Sa bagay na ito, wala akong nakikitang punto sa pag-aalok ng anumang bagay para sa isang independiyenteng solusyon, mas mahusay na maglagay ng isa pang mahalagang brick sa geometric na pundasyon:

Paano bumuo ng isang linya parallel sa isang ibinigay na isa?

Para sa kamangmangan sa pinakasimpleng gawaing ito, ang Nightingale the Robber ay mahigpit na nagpaparusa.

Halimbawa 2

Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Sumulat ng isang equation para sa isang parallel na linya na dumadaan sa punto.

Solusyon: Tukuyin natin ang hindi kilalang linya sa pamamagitan ng titik . Ano ang sinasabi ng kundisyon tungkol sa kanya? Ang tuwid na linya ay dumadaan sa punto. At kung ang mga linya ay magkatulad, kung gayon ay malinaw na ang direksyon ng vector ng tuwid na linya na "tse" ay angkop din para sa pagbuo ng tuwid na linya na "de".

Kinukuha namin ang vector ng direksyon mula sa equation:

Sagot:

Ang halimbawang geometry ay mukhang simple:

Ang analytical testing ay binubuo ng mga sumusunod na hakbang:

1) Sinusuri namin na ang mga linya ay may parehong direksyon ng vector (kung ang equation ng linya ay hindi pinasimple nang maayos, kung gayon ang mga vector ay magiging collinear).

2) Suriin kung ang punto ay nakakatugon sa resultang equation.

Sa karamihan ng mga kaso, madaling maisagawa ang analytical testing nang pasalita. Tingnan ang dalawang equation, at marami sa inyo ang mabilis na matutukoy ang parallelism ng mga linya nang walang anumang pagguhit.

Ang mga halimbawa para sa mga independiyenteng solusyon ngayon ay magiging malikhain. Dahil kailangan mo pa ring makipagkumpitensya sa Baba Yaga, at siya, alam mo, ay isang mahilig sa lahat ng uri ng mga bugtong.

Halimbawa 3

Sumulat ng isang equation para sa isang linya na dumadaan sa isang punto na kahanay ng linya kung

Mayroong makatwiran at hindi makatwiran na paraan upang malutas ito. Ang pinakamaikling paraan ay nasa dulo ng aralin.

Nagtrabaho kami ng kaunti sa mga parallel na linya at babalik sa kanila mamaya. Ang kaso ng magkasabay na mga linya ay hindi gaanong interesado, kaya isaalang-alang natin ang isang problema na pamilyar sa iyo mula sa kurikulum ng paaralan:

Paano mahahanap ang punto ng intersection ng dalawang linya?

Kung diretso bumalandra sa punto , pagkatapos ang mga coordinate nito ay ang solusyon sistema ng mga linear na equation

Paano mahahanap ang punto ng intersection ng mga linya? Lutasin ang sistema.

Eto na geometric na kahulugan ng isang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam- ito ay dalawang intersecting (madalas) na linya sa isang eroplano.

Halimbawa 4

Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya

Solusyon: Mayroong dalawang paraan upang malutas - graphical at analytical.

Ang graphical na paraan ay ang simpleng pagguhit ng mga ibinigay na linya at alamin ang intersection point nang direkta mula sa pagguhit:

Narito ang aming punto: . Upang suriin, dapat mong palitan ang mga coordinate nito sa bawat equation ng linya; Sa madaling salita, ang mga coordinate ng isang punto ay isang solusyon sa system. Mahalaga, tumingin kami sa isang graphical na solusyon sistema ng mga linear na equation na may dalawang equation, dalawang hindi alam.

Ang graphical na paraan, siyempre, ay hindi masama, ngunit may mga kapansin-pansing disadvantages. Hindi, ang punto ay hindi ang mga ikapitong baitang ang magpapasya sa ganitong paraan, ang punto ay magtatagal ng panahon upang makagawa ng tama at TUMPAK na pagguhit. Bilang karagdagan, ang ilang mga tuwid na linya ay hindi gaanong madaling gawin, at ang punto ng intersection mismo ay maaaring matatagpuan sa isang lugar sa ika-tatlumpung kaharian sa labas ng notebook sheet.

Samakatuwid, mas kapaki-pakinabang na maghanap para sa intersection point gamit ang analytical method. Lutasin natin ang sistema:

Upang malutas ang sistema, ginamit ang paraan ng termino-by-term na pagdaragdag ng mga equation. Upang bumuo ng mga kaugnay na kasanayan, kumuha ng aralin Paano malutas ang isang sistema ng mga equation?

Sagot:

Ang tseke ay walang kuwenta - ang mga coordinate ng intersection point ay dapat masiyahan sa bawat equation ng system.

Halimbawa 5

Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya kung sila ay magsalubong.

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa. Maginhawang hatiin ang gawain sa maraming yugto. Ang pagsusuri sa kondisyon ay nagpapahiwatig na ito ay kinakailangan:
1) Isulat ang equation ng tuwid na linya.
2) Isulat ang equation ng tuwid na linya.
3) Alamin ang relatibong posisyon ng mga linya.
4) Kung magsalubong ang mga linya, hanapin ang punto ng intersection.

Ang pagbuo ng isang algorithm ng pagkilos ay tipikal para sa maraming mga geometric na problema, at paulit-ulit kong tututuon ito.

Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin:

Kahit isang pares ng sapatos ay hindi nasira bago kami nakarating sa ikalawang bahagi ng aralin:

Mga linyang patayo. Distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya.
Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya

Magsimula tayo sa isang tipikal at napakahalagang gawain. Sa unang bahagi, natutunan namin kung paano bumuo ng isang tuwid na linya na kahanay sa isang ito, at ngayon ang kubo sa mga binti ng manok ay magiging 90 degrees:

Paano bumuo ng isang linya na patayo sa isang ibinigay?

Halimbawa 6

Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Sumulat ng isang equation na patayo sa linyang dumadaan sa punto.

Solusyon: Sa kondisyon ay alam na . Ito ay magiging maganda upang mahanap ang nagdidirekta vector ng linya. Dahil ang mga linya ay patayo, ang lansihin ay simple:

Mula sa equation ay "tinatanggal" namin ang normal na vector: , na siyang magiging direksyon ng vector ng tuwid na linya.

Buuin natin ang equation ng isang tuwid na linya gamit ang isang punto at isang vector ng direksyon:

Sagot:

Palawakin natin ang geometric sketch:

Hmmm... Orange na langit, orange na dagat, orange na kamelyo.

Analytical na pag-verify ng solusyon:

1) Inalis namin ang mga vector ng direksyon mula sa mga equation at sa tulong scalar na produkto ng mga vector dumating kami sa konklusyon na ang mga linya ay talagang patayo: .

Sa pamamagitan ng paraan, maaari kang gumamit ng mga normal na vector, mas madali ito.

2) Suriin kung ang punto ay nakakatugon sa resultang equation .

Ang pagsusulit, muli, ay madaling gawin nang pasalita.

Halimbawa 7

Hanapin ang punto ng intersection ng mga patayong linya kung ang equation ay kilala at panahon.

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Mayroong ilang mga aksyon sa problema, kaya maginhawang bumalangkas ng solusyon sa bawat punto.

Ang aming kapana-panabik na paglalakbay ay nagpapatuloy:

Distansya mula sa punto hanggang linya

Sa harap namin ay isang tuwid na guhit ng ilog at ang aming gawain ay makarating dito sa pinakamaikling ruta. Walang mga hadlang, at ang pinakamainam na ruta ay ang paglipat sa kahabaan ng patayo. Iyon ay, ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay ang haba ng perpendicular segment.

Ang distansya sa geometry ay tradisyonal na tinutukoy ng letrang Griyego na "rho", halimbawa: - ang distansya mula sa puntong "em" hanggang sa tuwid na linya na "de".

Distansya mula sa punto hanggang linya ipinahayag ng pormula

Halimbawa 8

Hanapin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya

Solusyon: ang kailangan mo lang gawin ay maingat na palitan ang mga numero sa formula at isagawa ang mga kalkulasyon:

Sagot:

Gawin natin ang pagguhit:

Ang nahanap na distansya mula sa punto hanggang sa linya ay eksaktong haba ng pulang segment. Kung gumuhit ka ng guhit sa checkered na papel sa sukat na 1 yunit. = 1 cm (2 cell), pagkatapos ay masusukat ang distansya gamit ang isang ordinaryong ruler.

Isaalang-alang natin ang isa pang gawain batay sa parehong pagguhit:

Ang gawain ay upang mahanap ang mga coordinate ng isang punto na simetriko sa punto na may kaugnayan sa tuwid na linya . Iminumungkahi kong gawin ang mga hakbang sa iyong sarili, ngunit balangkasin ko ang algorithm ng solusyon na may mga intermediate na resulta:

1) Maghanap ng isang linya na patayo sa linya.

2) Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya: .

Ang parehong mga aksyon ay tinalakay nang detalyado sa araling ito.

3) Ang punto ay ang midpoint ng segment. Alam namin ang mga coordinate ng gitna at isa sa mga dulo. Sa pamamagitan ng mga formula para sa mga coordinate ng midpoint ng isang segment nahanap namin.

Magandang ideya na tingnan kung ang distansya ay 2.2 units din.

Ang mga paghihirap ay maaaring lumitaw sa mga kalkulasyon dito, ngunit ang isang microcalculator ay isang malaking tulong sa tore, na nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin ang mga ordinaryong fraction. Pinayuhan kita ng maraming beses at irerekomenda muli.

Paano mahahanap ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya?

Halimbawa 9

Hanapin ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya

Ito ay isa pang halimbawa para sa iyo na magpasya sa iyong sarili. Bibigyan kita ng kaunting pahiwatig: mayroong walang katapusang maraming paraan upang malutas ito. Debriefing sa pagtatapos ng aralin, ngunit mas mahusay na subukang hulaan para sa iyong sarili, sa palagay ko ang iyong katalinuhan ay mahusay na binuo.

Anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya

Ang bawat sulok ay isang hamba:


Sa geometry, ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya ay itinuturing na MAS MALIIT na anggulo, kung saan awtomatiko itong sumusunod na hindi ito maaaring maging mahina. Sa figure, ang anggulo na ipinahiwatig ng pulang arko ay hindi itinuturing na anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya. At ang kanyang "berde" na kapitbahay o oppositely oriented"raspberry" na sulok.

Kung ang mga linya ay patayo, kung gayon ang alinman sa 4 na anggulo ay maaaring kunin bilang anggulo sa pagitan ng mga ito.

Paano naiiba ang mga anggulo? Oryentasyon. Una, ang direksyon kung saan ang anggulo ay "naka-scroll" ay pangunahing mahalaga. Pangalawa, ang isang negatibong anggulo ay nakasulat na may minus sign, halimbawa kung .

Bakit ko sinabi sayo ito? Tila kaya natin ang karaniwang konsepto ng isang anggulo. Ang katotohanan ay ang mga pormula kung saan mahahanap namin ang mga anggulo ay madaling magresulta sa isang negatibong resulta, at hindi ka dapat magtaka. Ang isang anggulo na may minus sign ay hindi mas masahol pa, at may napaka tiyak na geometric na kahulugan. Sa pagguhit, para sa isang negatibong anggulo, siguraduhing ipahiwatig ang oryentasyon nito gamit ang isang arrow (clockwise).

Paano mahahanap ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya? Mayroong dalawang gumaganang formula:

Halimbawa 10

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya

Solusyon At Pamamaraan isa

Isaalang-alang natin ang dalawang tuwid na linya na tinukoy ng mga equation sa pangkalahatang anyo:

Kung diretso hindi patayo, Iyon nakatuon Ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:

Bigyang-pansin natin ang denominator - ito ay eksakto produktong scalar nagdidirekta ng mga vector ng mga tuwid na linya:

Kung , kung gayon ang denominator ng formula ay magiging zero, at ang mga vector ay magiging orthogonal at ang mga linya ay magiging patayo. Iyon ang dahilan kung bakit ginawa ang isang reserbasyon tungkol sa hindi perpendikularidad ng mga tuwid na linya sa pagbabalangkas.

Batay sa itaas, maginhawa upang gawing pormal ang solusyon sa dalawang hakbang:

1) Kalkulahin natin ang scalar product ng mga vector ng direksyon ng mga linya:
, na nangangahulugang ang mga linya ay hindi patayo.

2) Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya gamit ang formula:

Gamit ang inverse function, madaling mahanap ang mismong anggulo. Sa kasong ito, ginagamit namin ang kakaiba ng arctangent (tingnan. Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar):

Sagot:

Sa iyong sagot, ipinapahiwatig namin ang eksaktong halaga, pati na rin ang tinatayang halaga (mas mabuti sa parehong mga degree at radian), na kinakalkula gamit ang isang calculator.

Well, minus, minus, walang malaking bagay. Narito ang isang geometric na paglalarawan:

Hindi nakakagulat na ang anggulo ay naging negatibong oryentasyon, dahil sa pahayag ng problema ang unang numero ay isang tuwid na linya at ang "pag-unscrew" ng anggulo ay nagsimula nang tumpak dito.

Kung talagang nais mong makakuha ng isang positibong anggulo, kailangan mong palitan ang mga linya, iyon ay, kunin ang mga coefficient mula sa pangalawang equation , at kunin ang mga coefficient mula sa unang equation. Sa madaling salita, kailangan mong magsimula sa isang direktang .

Magiging kapaki-pakinabang para sa bawat mag-aaral na naghahanda para sa Unified State Exam sa matematika na ulitin ang paksang "Paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya." Tulad ng ipinapakita ng mga istatistika, kapag pumasa sa pagsusulit sa sertipikasyon, ang mga gawain sa seksyong ito ng stereometry ay nagdudulot ng mga paghihirap para sa isang malaking bilang ng mga mag-aaral. Kasabay nito, ang mga gawain na nangangailangan ng paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ay matatagpuan sa Pinag-isang Pagsusulit ng Estado sa parehong basic at espesyal na antas. Nangangahulugan ito na ang lahat ay dapat na malutas ang mga ito.

Mga pangunahing sandali

Mayroong 4 na uri ng mga relatibong posisyon ng mga linya sa espasyo. Maaari silang magkasabay, mag-intersect, maging parallel o intersecting. Ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay maaaring maging talamak o tuwid.

Upang mahanap ang anggulo sa pagitan ng mga linya sa Unified State Exam o, halimbawa, sa paglutas, ang mga mag-aaral sa Moscow at iba pang mga lungsod ay maaaring gumamit ng ilang mga paraan upang malutas ang mga problema sa seksyong ito ng stereometry. Maaari mong kumpletuhin ang gawain gamit ang mga klasikal na konstruksyon. Upang gawin ito, ito ay nagkakahalaga ng pag-aaral ng mga pangunahing axiom at theorems ng stereometry. Ang mag-aaral ay kailangang makapag-isip nang lohikal at makalikha ng mga guhit upang maihatid ang gawain sa isang problemang planimetric.

Maaari mo ring gamitin ang paraan ng coordinate vector gamit ang mga simpleng formula, panuntunan at algorithm. Ang pangunahing bagay sa kasong ito ay upang maisagawa nang tama ang lahat ng mga kalkulasyon. Tutulungan ka ng proyektong pang-edukasyon ng Shkolkovo na mahasa ang iyong mga kasanayan sa paglutas ng problema sa stereometry at iba pang mga seksyon ng kurso sa paaralan.

Ang materyal na ito ay nakatuon sa isang konsepto tulad ng anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting na linya. Sa unang talata ay ipapaliwanag natin kung ano ito at ipapakita ito sa mga ilustrasyon. Pagkatapos ay titingnan namin ang mga paraan kung saan maaari mong mahanap ang sine, cosine ng anggulo na ito at ang anggulo mismo (isaalang-alang namin ang mga kaso na may isang eroplano at tatlong-dimensional na espasyo), ibibigay namin ang mga kinakailangang formula at ipakita nang eksakto ang mga halimbawa. kung paano ginagamit ang mga ito sa pagsasanay.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Upang maunawaan kung ano ang nabuong anggulo kapag nagsalubong ang dalawang linya, kailangan nating tandaan ang mismong kahulugan ng anggulo, perpendicularity at punto ng intersection.

Kahulugan 1

Tinatawag namin ang dalawang linya na intersecting kung mayroon silang isang karaniwang punto. Ang puntong ito ay tinatawag na punto ng intersection ng dalawang linya.

Ang bawat tuwid na linya ay nahahati sa pamamagitan ng isang intersection point sa mga sinag. Ang parehong mga tuwid na linya ay bumubuo ng 4 na anggulo, dalawa sa mga ito ay patayo, at dalawa ay magkatabi. Kung alam natin ang sukat ng isa sa kanila, matutukoy natin ang natitira.

Sabihin nating alam natin na ang isa sa mga anggulo ay katumbas ng α. Sa kasong ito, ang anggulo na patayo kaugnay nito ay magiging katumbas din ng α. Upang mahanap ang natitirang mga anggulo, kailangan nating kalkulahin ang pagkakaiba 180 ° - α. Kung ang α ay katumbas ng 90 degrees, ang lahat ng mga anggulo ay magiging tamang mga anggulo. Ang mga linyang nagsasalubong sa tamang mga anggulo ay tinatawag na patayo (isang hiwalay na artikulo ay nakatuon sa konsepto ng perpendicularity).

Tingnan ang larawan:

Magpatuloy tayo sa pagbabalangkas ng pangunahing kahulugan.

Kahulugan 2

Ang anggulo na nabuo sa pamamagitan ng dalawang intersecting na linya ay ang sukat ng mas maliit sa 4 na anggulo na bumubuo sa dalawang linyang ito.

Ang isang mahalagang konklusyon ay dapat makuha mula sa kahulugan: ang laki ng anggulo sa kasong ito ay ipapahayag ng anumang tunay na numero sa pagitan (0, 90). Kung ang mga linya ay patayo, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay sa anumang kaso ay magiging. katumbas ng 90 degrees.

Ang kakayahang hanapin ang sukat ng anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting na linya ay kapaki-pakinabang para sa paglutas ng maraming praktikal na problema. Ang paraan ng solusyon ay maaaring mapili mula sa ilang mga pagpipilian.

Upang magsimula, maaari tayong kumuha ng mga geometric na pamamaraan. Kung may alam tayo tungkol sa mga pantulong na anggulo, maiuugnay natin ang mga ito sa anggulo na kailangan natin gamit ang mga katangian ng pantay o katulad na mga pigura. Halimbawa, kung alam natin ang mga gilid ng isang tatsulok at kailangan nating kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga linya kung saan matatagpuan ang mga panig na ito, kung gayon ang cosine theorem ay angkop para sa paglutas nito. Kung mayroon tayong tamang tatsulok sa ating kondisyon, kung gayon para sa mga kalkulasyon ay kailangan din nating malaman ang sine, cosine at tangent ng anggulo.

Ang pamamaraan ng coordinate ay napaka-maginhawa din para sa paglutas ng mga problema ng ganitong uri. Ipaliwanag natin kung paano ito gamitin nang tama.

Mayroon tayong rectangular (Cartesian) coordinate system O x y, kung saan binibigyan ang dalawang tuwid na linya. Tukuyin natin ang mga ito sa pamamagitan ng mga titik a at b. Ang mga tuwid na linya ay maaaring ilarawan gamit ang ilang mga equation. Ang orihinal na mga linya ay may intersection point na M. Paano matukoy ang kinakailangang anggulo (ipahiwatig natin ito α) sa pagitan ng mga tuwid na linya na ito?

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagbabalangkas ng pangunahing prinsipyo ng paghahanap ng isang anggulo sa ilalim ng mga ibinigay na kondisyon.

Alam namin na ang konsepto ng isang tuwid na linya ay malapit na nauugnay sa mga konsepto bilang isang vector ng direksyon at isang normal na vector. Kung mayroon tayong equation ng isang tiyak na linya, maaari nating kunin ang mga coordinate ng mga vector na ito mula dito. Magagawa natin ito para sa dalawang magkasalubong na linya nang sabay-sabay.

Ang anggulong na-subtend ng dalawang intersecting na linya ay matatagpuan gamit ang:

• anggulo sa pagitan ng mga vector ng direksyon;
• anggulo sa pagitan ng mga normal na vector;
• ang anggulo sa pagitan ng normal na vector ng isang linya at ng direksyon ng vector ng isa pa.

Ngayon tingnan natin ang bawat pamamaraan nang hiwalay.

1. Ipagpalagay natin na mayroon tayong linya a na may vector ng direksyon a → = (a x, a y) at isang linya b na may vector ng direksyon b → (b x, b y). Ngayon ay i-plot natin ang dalawang vectors a → at b → mula sa intersection point. Pagkatapos nito ay makikita natin na ang bawat isa ay matatagpuan sa kanilang sariling tuwid na linya. Pagkatapos ay mayroon kaming apat na pagpipilian para sa kanilang kamag-anak na pag-aayos. Tingnan ang paglalarawan:

Kung ang anggulo sa pagitan ng dalawang vector ay hindi malabo, ito ang magiging anggulo na kailangan natin sa pagitan ng mga intersecting na linya a at b. Kung ito ay mahina, kung gayon ang nais na anggulo ay magiging katumbas ng anggulo na katabi ng anggulo a →, b → ^. Kaya, α = a → , b → ^ kung a → , b → ^ ≤ 90 ° , at α = 180 ° - a → , b → ^ kung a → , b → ^ > 90 ° .

Batay sa katotohanan na ang mga cosine ng pantay na mga anggulo ay pantay, maaari nating muling isulat ang mga resultang pagkakapantay-pantay tulad ng sumusunod: cos α = cos a →, b → ^, kung a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, kung a →, b → ^ > 90 °.

Sa pangalawang kaso, ginamit ang mga formula ng pagbabawas. kaya,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Isulat natin ang huling formula sa mga salita:

Kahulugan 3

Ang cosine ng anggulo na nabuo ng dalawang intersecting na tuwid na linya ay magiging katumbas ng modulus ng cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector ng direksyon nito.

Ang pangkalahatang anyo ng formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng dalawang vectors a → = (a x , a y) at b → = (b x , b y) ay ganito ang hitsura:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Mula dito maaari nating makuha ang formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng dalawang ibinigay na tuwid na linya:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Pagkatapos ang anggulo mismo ay matatagpuan gamit ang sumusunod na formula:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Narito ang a → = (a x , a y) at b → = (b x , b y) ay ang mga vector ng direksyon ng mga ibinigay na linya.

Magbigay tayo ng isang halimbawa ng paglutas ng problema.

Halimbawa 1

Sa isang hugis-parihaba na coordinate system sa isang eroplano, dalawang magkasalubong na linya a at b ang ibinibigay. Maaari silang ilarawan ng mga parametric equation x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R at x 5 = y - 6 - 3. Kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga linyang ito.

Solusyon

Mayroon kaming isang parametric equation sa aming kondisyon, na nangangahulugan na para sa linyang ito maaari naming agad na isulat ang mga coordinate ng vector ng direksyon nito. Upang gawin ito, kailangan nating kunin ang mga halaga ng mga coefficient para sa parameter, i.e. ang tuwid na linya x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R ay magkakaroon ng direction vector a → = (4, 1).

Ang ikalawang tuwid na linya ay inilalarawan gamit ang canonical equation x 5 = y - 6 - 3. Dito maaari nating kunin ang mga coordinate mula sa mga denominador. Kaya, ang linyang ito ay may vector ng direksyon b → = (5, - 3) .

Susunod, lumipat kami nang direkta sa paghahanap ng anggulo. Upang gawin ito, palitan lamang ang umiiral na mga coordinate ng dalawang vector sa formula sa itaas na α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . Nakukuha namin ang sumusunod:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

Sagot: Ang mga tuwid na linyang ito ay bumubuo ng isang anggulo na 45 degrees.

Malutas natin ang isang katulad na problema sa pamamagitan ng paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga normal na vector. Kung mayroon tayong linya a na may normal na vector n a → = (n a x , n a y) at linya b na may normal na vector n b → = (n b x , n b y), kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay magiging katumbas ng anggulo sa pagitan ng n a → at n b → o ang anggulo na magiging katabi ng n a →, n b → ^. Ang pamamaraang ito ay ipinapakita sa larawan:

Ang mga formula para sa pagkalkula ng cosine ng anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya at ang anggulong ito mismo gamit ang mga coordinate ng mga normal na vector ay ganito ang hitsura:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b 2 + n a y 2 n b 2

Dito ang n a → at n b → ay tumutukoy sa mga normal na vector ng dalawang ibinigay na linya.

Halimbawa 2

Sa isang rectangular coordinate system, dalawang tuwid na linya ang ibinibigay gamit ang mga equation na 3 x + 5 y - 30 = 0 at x + 4 y - 17 = 0. Hanapin ang sine at cosine ng anggulo sa pagitan nila at ang magnitude ng anggulong ito mismo.

Solusyon

Ang orihinal na mga linya ay tinukoy gamit ang mga normal na line equation ng form A x + B y + C = 0. Tinutukoy namin ang normal na vector bilang n → = (A, B). Hanapin natin ang mga coordinate ng unang normal na vector para sa isang linya at isulat ang mga ito: n a → = (3, 5) . Para sa pangalawang linya x + 4 y - 17 = 0, ang normal na vector ay magkakaroon ng mga coordinate n b → = (1, 4). Ngayon idagdag natin ang nakuha na mga halaga sa formula at kalkulahin ang kabuuan:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Kung alam natin ang cosine ng isang anggulo, maaari nating kalkulahin ang sine nito gamit ang pangunahing trigonometric identity. Dahil ang anggulong α na nabuo ng mga tuwid na linya ay hindi malabo, kung gayon ang sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

Sa kasong ito, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

Sagot: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Suriin natin ang huling kaso - paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya kung alam natin ang mga coordinate ng vector ng direksyon ng isang tuwid na linya at ang normal na vector ng isa pa.

Ipagpalagay natin na ang tuwid na linya a ay may vector ng direksyon a → = (a x , a y) , at ang tuwid na linya b ay may normal na vector n b → = (n b x , n b y) . Kailangan nating itabi ang mga vector na ito mula sa intersection point at isaalang-alang ang lahat ng opsyon para sa kanilang mga kamag-anak na posisyon. Tingnan sa larawan:

Kung ang anggulo sa pagitan ng mga ibinigay na vector ay hindi hihigit sa 90 degrees, lumalabas na ito ay makadagdag sa anggulo sa pagitan ng a at b sa isang tamang anggulo.

a → , n b → ^ = 90 ° - α kung a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Kung ito ay mas mababa sa 90 degrees, pagkatapos ay makuha namin ang sumusunod:

a → , n b → ^ > 90 ° , pagkatapos ay a → , n b → ^ = 90 ° + α

Gamit ang panuntunan ng pagkakapantay-pantay ng mga cosine ng pantay na mga anggulo, isinulat namin:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α para sa isang → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α para sa isang → , n b → ^ > 90 ° .

kaya,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Bumuo tayo ng konklusyon.

Kahulugan 4

Upang mahanap ang sine ng anggulo sa pagitan ng dalawang linya na nagsasalubong sa isang eroplano, kailangan mong kalkulahin ang modulus ng cosine ng anggulo sa pagitan ng vector ng direksyon ng unang linya at ng normal na vector ng pangalawa.

Isulat natin ang mga kinakailangang formula. Paghahanap ng sine ng isang anggulo:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Paghahanap ng anggulo mismo:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Narito ang a → ay ang vector ng direksyon ng unang linya, at ang n b → ay ang normal na vector ng pangalawa.

Halimbawa 3

Ang dalawang intersecting na linya ay ibinibigay ng mga equation na x - 5 = y - 6 3 at x + 4 y - 17 = 0. Hanapin ang anggulo ng intersection.

Solusyon

Kinukuha namin ang mga coordinate ng gabay at normal na vector mula sa mga ibinigay na equation. Lumalabas ang isang → = (- 5, 3) at n → b = (1, 4). Kinukuha namin ang formula α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 at kalkulahin:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Pakitandaan na kinuha namin ang mga equation mula sa nakaraang problema at nakuha ang eksaktong parehong resulta, ngunit sa ibang paraan.

Sagot:α = a r c sin 7 2 34

Magpakita tayo ng isa pang paraan upang mahanap ang nais na anggulo gamit ang mga angular coefficient ng mga tuwid na linya.

Mayroon kaming linyang a, na tinukoy sa isang rectangular coordinate system gamit ang equation na y = k 1 x + b 1, at isang linya b, na tinukoy bilang y = k 2 x + b 2. Ito ay mga equation ng mga linya na may mga slope. Upang mahanap ang anggulo ng intersection, ginagamit namin ang formula:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, kung saan ang k 1 at k 2 ay ang mga slope ng mga ibinigay na linya. Upang makuha ang rekord na ito, ginamit ang mga formula para sa pagtukoy ng anggulo sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga normal na vector.

Halimbawa 4

Mayroong dalawang linya na nagsasalubong sa isang eroplano, na ibinigay ng mga equation na y = - 3 5 x + 6 at y = - 1 4 x + 17 4. Kalkulahin ang halaga ng anggulo ng intersection.

Solusyon

Ang mga angular coefficient ng aming mga linya ay katumbas ng k 1 = - 3 5 at k 2 = - 1 4. Idagdag natin sila sa formula α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 at kalkulahin:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

Sagot:α = a r c cos 23 2 34

Sa mga konklusyon ng talatang ito, dapat tandaan na ang mga pormula para sa paghahanap ng anggulo na ibinigay dito ay hindi kailangang matutunan sa pamamagitan ng puso. Upang gawin ito, sapat na malaman ang mga coordinate ng mga gabay at/o mga normal na vector ng mga ibinigay na linya at matukoy ang mga ito gamit ang iba't ibang uri ng mga equation. Ngunit mas mabuting tandaan o isulat ang mga formula para sa pagkalkula ng cosine ng isang anggulo.

Paano kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya sa espasyo

Ang pagkalkula ng naturang anggulo ay maaaring bawasan sa pagkalkula ng mga coordinate ng mga vector ng direksyon at pagtukoy sa magnitude ng anggulo na nabuo ng mga vectors na ito. Para sa mga ganitong halimbawa, ang parehong pangangatwiran na ibinigay namin noon ay ginagamit.

Ipagpalagay natin na mayroon tayong rectangular coordinate system na matatagpuan sa three-dimensional space. Naglalaman ito ng dalawang tuwid na linya a at b na may intersection point na M. Upang makalkula ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon, kailangan nating malaman ang mga equation ng mga linyang ito. Tukuyin natin ang mga vector ng direksyon a → = (a x , a y , a z) at b → = (b x , b y , b z) . Upang kalkulahin ang cosine ng anggulo sa pagitan nila, ginagamit namin ang formula:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Upang mahanap ang mismong anggulo, kailangan namin ang formula na ito:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Halimbawa 5

Mayroon kaming isang linya na tinukoy sa tatlong-dimensional na espasyo gamit ang equation x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. Ito ay kilala na ito ay sumasalubong sa O z axis. Kalkulahin ang anggulo ng intercept at ang cosine ng anggulong iyon.

Solusyon

Tukuyin natin ang anggulo na kailangang kalkulahin ng titik α. Isulat natin ang mga coordinate ng vector ng direksyon para sa unang tuwid na linya – a → = (1, - 3, - 2) . Para sa applicate axis, maaari nating kunin ang coordinate vector k → = (0, 0, 1) bilang gabay. Natanggap namin ang kinakailangang data at maidaragdag namin ito sa gustong formula:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Bilang resulta, nalaman namin na ang anggulo na kailangan namin ay magiging katumbas ng a r c cos 1 2 = 45 °.

Sagot: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya sa espasyo ay tatawagin natin ang alinman sa mga katabing anggulo na nabuo ng dalawang tuwid na linya na iginuhit sa pamamagitan ng isang arbitrary na punto na kahanay ng data.

Hayaang magbigay ng dalawang linya sa espasyo:

Malinaw, ang anggulo φ sa pagitan ng mga tuwid na linya ay maaaring kunin bilang anggulo sa pagitan ng kanilang mga vector ng direksyon at . Since , pagkatapos ay gamit ang formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vectors na nakukuha natin

Ang mga kondisyon ng parallelism at perpendicularity ng dalawang tuwid na linya ay katumbas ng mga kondisyon ng parallelism at perpendicularity ng kanilang mga vector ng direksyon at:

Dalawang tuwid parallel kung at kung ang kanilang mga kaukulang coefficient ay proporsyonal, i.e. l 1 parallel l 2 kung at kung magkatulad lamang .

Dalawang tuwid patayo kung at kung ang kabuuan ng mga produkto ng kaukulang coefficient ay katumbas ng zero: .

U layunin sa pagitan ng linya at eroplano

Hayaan itong maging tuwid d- hindi patayo sa θ eroplano;
d′− projection ng isang linya d sa θ eroplano;
Ang pinakamaliit na anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya d At d"tatawagan natin anggulo sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang eroplano.
Tukuyin natin ito bilang φ=( d,θ)
Kung d⊥θ, pagkatapos ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− rectangular coordinate system.
Equation ng eroplano:

θ: Ax+Sa pamamagitan ng+Cz+D=0

Ipinapalagay namin na ang tuwid na linya ay tinukoy ng isang punto at isang vector ng direksyon: d[M 0,p→]
Vector n→(A,B,C)⊥θ
Pagkatapos ay nananatili itong malaman ang anggulo sa pagitan ng mga vectors n→ at p→, tukuyin natin ito bilang γ=( n→,p→).

Kung ang anggulo γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Kung ang anggulo ay γ>π/2, ang nais na anggulo ay φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

pagkatapos, anggulo sa pagitan ng tuwid na linya at eroplano maaaring kalkulahin gamit ang formula:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

Tanong29. Ang konsepto ng quadratic form. Sign definiteness ng quadratic forms.

Quadratic form j (x 1, x 2, …, x n) n real variables x 1, x 2, …, x n ay tinatawag na kabuuan ng anyo
, (1)

saan isang ij – ilang numero na tinatawag na coefficient. Nang walang pagkawala ng pangkalahatan, maaari nating ipagpalagay iyon isang ij = isang ji.

Ang quadratic form ay tinatawag wasto, Kung isang ij Î GR. Matrix ng quadratic form ay tinatawag na matrix na binubuo ng mga coefficient nito. Ang parisukat na anyo (1) ay tumutugma sa tanging simetriko matrix
Yan ay A T = A. Dahil dito, ang parisukat na anyo (1) ay maaaring isulat sa matrix form na j ( X) = x T Ah, Saan x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

At, sa kabaligtaran, ang bawat simetriko matrix (2) ay tumutugma sa isang natatanging parisukat na anyo hanggang sa notasyon ng mga variable.

Ranggo ng parisukat na anyo ay tinatawag na ranggo ng matris nito. Ang quadratic form ay tinatawag hindi nabubulok, kung ang matrix nito ay hindi isahan A. (tandaan na ang matrix A ay tinatawag na non-degenerate kung ang determinant nito ay hindi katumbas ng zero). Kung hindi, ang quadratic form ay degenerate.

positibong tiyak(o mahigpit na positibo) kung

j ( X) > 0 , para sa sinuman X = (X 1 , X 2 , …, x n), maliban sa X = (0, 0, …, 0).

Matrix A positibong tiyak na parisukat na anyo j ( X) ay tinatawag ding positive definite. Samakatuwid, ang isang positibong tiyak na parisukat na anyo ay tumutugma sa isang natatanging positibong tiyak na matrix at vice versa.

Ang parisukat na anyo (1) ay tinatawag negatibong tinukoy(o mahigpit na negatibo) kung

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), maliban sa X = (0, 0, …, 0).

Katulad ng nasa itaas, ang isang matrix ng negatibong tiyak na quadratic na anyo ay tinatawag ding negatibong tiyak.

Dahil dito, ang positibong (negatibong) tiyak na parisukat na anyo j ( X) umabot sa pinakamababa (maximum) na halaga j ( X*) = 0 sa X* = (0, 0, …, 0).

Tandaan na ang karamihan sa mga quadratic na anyo ay hindi sign-definite, ibig sabihin, hindi sila positibo o negatibo. Ang ganitong mga quadratic form ay nagiging 0 hindi lamang sa pinagmulan ng coordinate system, kundi pati na rin sa iba pang mga punto.

Kailan n> 2, ang mga espesyal na pamantayan ay kinakailangan upang suriin ang tanda ng isang parisukat na anyo. Tingnan natin sila.

Mga pangunahing menor de edad quadratic form ay tinatawag na mga menor de edad:

ibig sabihin, ito ay mga menor de edad sa pagkakasunud-sunod ng 1, 2, ..., n matrice A, na matatagpuan sa itaas na kaliwang sulok, ang huli sa mga ito ay tumutugma sa determinant ng matrix A.

Pamantayan ng Positibong Katiyakan (Sylvester criterion)

X) = x T Ah ay positibong tiyak, ito ay kinakailangan at sapat na ang lahat ng mga pangunahing menor de edad ng matrix A ay positibo, iyon ay: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Negatibong pamantayan ng katiyakan Upang ang parisukat na anyo j ( X) = x T Ah ay negatibong tiyak, kinakailangan at sapat na ang mga pangunahing menor de edad nito ng pantay na pagkakasunud-sunod ay maging positibo, at ng kakaibang pagkakasunud-sunod - negatibo, ibig sabihin.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n