Bir dağılım fonksiyonu verildiğinde olasılığı bulun. Sürekli bir rastgele değişkenin beklentisi

4. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu

Dağıtım fonksiyonu kullanılarak sürekli bir rastgele değişken belirtilebilir F(X) . Bu atama yöntemi tek yöntem değildir. Sürekli bir rastgele değişken, dağıtım yoğunluğu veya olasılık yoğunluğu (bazen diferansiyel fonksiyon olarak da adlandırılır) adı verilen başka bir fonksiyon kullanılarak da belirtilebilir.

Tanım4.1: Sürekli rastgele değişkenin dağılım yoğunluğu X işlevi çağır F (X) - dağılım fonksiyonunun birinci türevi F(X) :

F ( X ) = F "( X ) .

Bu tanımdan, dağılım fonksiyonunun, dağılım yoğunluğunun ters türevi olduğu sonucu çıkar. Ayrık bir rastgele değişkenin olasılık dağılımını tanımlamak için dağılım yoğunluğunun uygulanamayacağına dikkat edin.

Sürekli bir rastgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığı

Dağılım yoğunluğunu bilerek sürekli bir rastgele değişkenin belirli bir aralığa ait bir değer alma olasılığını hesaplayabilirsiniz.

Teorem: Sürekli bir rastgele değişken X'in aralığa ait değerleri alma olasılığı (A, B), aşağıdaki aralıkta alınan dağıtım yoğunluğunun belirli bir integraline eşittir:AönceB :

Kanıt: Oranı kullanıyoruz

P(A ≤ XB) = F(B) – F(A).

Newton-Leibniz formülüne göre,

Böylece,

.

Çünkü P(A ≤ X B)= P(A X B) , sonunda elde ederiz

.

Geometrik olarak elde edilen sonuç şu şekilde yorumlanabilir: sürekli bir rastgele değişkenin aralığa ait bir değer alma olasılığı (A, B), eksen tarafından sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanına eşitÖküz, dağıtım eğrisiF(X) ve düzX = AVeX = B.

Yorum:Özellikle eğer F(X) – fonksiyon çifttir ve aralığın uçları orijine göre simetriktir, bu durumda

.

Örnek. Rastgele bir değişkenin olasılık yoğunluğu verilir X

Test sonucunda olasılığı bulun X(0,5, 1) aralığına ait değerleri alacaktır.

Çözüm: Gerekli olasılık

.

Bilinen bir dağıtım yoğunluğundan dağıtım fonksiyonunu bulma

Dağıtım yoğunluğunu bilmek F(X) dağıtım fonksiyonunu bulabiliriz F(X) formüle göre

.

Gerçekten mi, F(X) = P(X X) = P(-∞ X X) .

Buradan,

.

Böylece, Dağıtım yoğunluğunu bilerek dağıtım fonksiyonunu bulabilirsiniz. Elbette bilinen bir dağıtım fonksiyonundan dağıtım yoğunluğu bulunabilir., yani:

F(X) = F"(X).

Örnek. Verilen dağıtım yoğunluğu için dağıtım fonksiyonunu bulun:

Çözüm: Formülü kullanalım

Eğer X ≤ A, O F(X) = 0 , buradan, F(X) = 0 . Eğer o zaman f(x) = 1/(b-a),

buradan,

.

Eğer X > B, O

.

Yani gerekli dağıtım fonksiyonu

Yorum: Düzgün dağılmış bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu elde ettik (bakınız tekdüze dağılım).

Dağıtım yoğunluğunun özellikleri

Özellik 1: Dağıtım yoğunluğu negatif olmayan bir fonksiyondur:

F ( X ) ≥ 0 .

Özellik 2:-∞ ila ∞ aralığındaki dağılım yoğunluğunun uygunsuz integrali birliğe eşittir:

.

Yorum: Dağılım yoğunluğu grafiği denir dağıtım eğrisi.

Yorum: Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım yoğunluğuna dağılım yasası da denir.

Örnek. Rastgele değişkenin dağılım yoğunluğu aşağıdaki forma sahiptir:

Sabit bir parametre bulun A.

Çözüm: Dağıtım yoğunluğunun koşulu sağlaması gerekir, dolayısıyla eşitliğin sağlanmasını isteyeceğiz.

.

Buradan
. Belirsiz integrali bulalım:

.

Uygunsuz integrali hesaplayalım:

Böylece gerekli parametre

.

Dağıtım yoğunluğunun olası anlamı

İzin vermek F(X) – sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu X. Dağıtım yoğunluğunun tanımı gereği, F(X) = F"(X) , veya

Fark F(X+∆x) -F(X) olasılığını belirler X aralığa ait bir değer alacaktır (X, X+∆x). Böylece sürekli bir rastgele değişkenin aralığına ait bir değer alacağı olasılık oranının sınırı (X, X+∆x), bu aralığın uzunluğuna kadar ( ∆х→0) noktadaki dağılım yoğunluğunun değerine eşittir X.

Yani fonksiyon F(X) her nokta için olasılık dağılım yoğunluğunu belirler X. Diferansiyel hesaptan, bir fonksiyonun artışının yaklaşık olarak fonksiyonun diferansiyeline eşit olduğu bilinmektedir;

Çünkü F"(X) = F(X) Ve dx = ∆ X, O F(X+∆ X) - F(X) ≈ F(X)∆ X.

Bu eşitliğin olasılıksal anlamı şudur: rastgele bir değişkenin aralığa ait bir değer alma olasılığı (X, X+∆ X) yaklaşık olarak x noktasındaki olasılık yoğunluğu ile ∆x aralığının uzunluğunun çarpımına eşittir..

Geometrik olarak bu sonuç şu şekilde yorumlanabilir:: rastgele bir değişkenin aralığa ait bir değer alma olasılığı (X, X+∆ X) yaklaşık olarak tabanı ∆х ve yüksekliği olan bir dikdörtgenin alanına eşittirF(X).

5. Ayrık rastgele değişkenlerin tipik dağılımları

5.1. Bernoulli dağılımı

Tanım5.1: Rastgele değer X, iki değer alarak 1 Ve 0 olasılıklarla (“başarı”) P ve (“başarısızlık”) Q, isminde Bernoullievskaya:

, Nerede k=0,1.

5.2. Binom dağılımı

Üretilsin N her birinde olay olan bağımsız denemeler A görünebilir veya görünmeyebilir. Tüm denemelerde bir olayın meydana gelme olasılığı sabit ve eşittir P(dolayısıyla gerçekleşmeme olasılığı Q = 1 - P).

Rastgele değişkeni düşünün X– olayın gerçekleşme sayısı A bu testlerde. Rastgele değer X değerleri alır 0,1,2,… N Bernoulli formülü kullanılarak hesaplanan olasılıklarla: , Nerede k = 0,1,2,… N.

Tanım5.2: Binom Bernoulli formülüne göre belirlenen olasılık dağılımı denir.

Örnek. Hedefe üç atış yapılır ve her atışta isabet olasılığı 0,8'dir. Rasgele bir değişken düşünün X– hedefteki isabet sayısı. Dağıtım serisini bulun.

Çözüm: Rastgele değer X değerleri alır 0,1,2,3 Bernoulli formülü kullanılarak hesaplanan olasılıklarla, burada N = 3, P = 0,8 (vuruş olasılığı), Q = 1 - 0,8 = = 0,2 (eksik olma olasılığı).

Böylece dağıtım serisi aşağıdaki forma sahiptir:

Büyük değerler için Bernoulli formülünü kullanın N bu nedenle karşılık gelen olasılıkları hesaplamak oldukça zordur, bir olayın meydana gelme olasılığını tam olarak yaklaşık olarak bulmanızı sağlayan yerel Laplace teoremini kullanın. k her defasında N Test sayısı yeterince büyükse testler.

Yerel Laplace teoremi: Eğer olasılık P bir olayın meydana gelmesi A
olay A içinde görünecek N tam olarak testler k kez, yaklaşık olarak eşittir (ne kadar doğru olursa, o kadar fazla olur) N) fonksiyon değeri
, Nerede
, .

Not 1:İşlev değerlerini içeren tablolar
, Ek 1'de verilmiştir ve
. İşlev standart normal dağılımın yoğunluğudur (bkz. normal dağılım).

Örnek: Olayın gerçekleşme olasılığını bulun A tam olarak gelecek 80 her defasında 400 Her denemede bu olayın meydana gelme olasılığı eşitse denemeler 0,2.

Çözüm: Koşullara göre N = 400, k = 80, P = 0,2 , Q = 0,8 . Görev verilerinin belirlediği değeri hesaplayalım X:
. Ek 1'deki tablodan şunu buluyoruz:
. O zaman gerekli olasılık şöyle olacaktır:

Bir olayın olasılığını hesaplamanız gerekiyorsa A içinde görünecek N daha az değil testler k 1 bir kez ve artık yok k 2 kez Laplace'ın integral teoremini kullanmanız gerekir:

Laplace'ın integral teoremi: Eğer olasılık P bir olayın meydana gelmesi A her denemede sabit ve sıfır ve birden farklı ise olasılık olay A içinde görünecek N gelen testler k 1 önce k 2 kez, yaklaşık olarak belirli bir integrale eşit

, Nerede
Ve
.

Başka bir deyişle bir olayın gerçekleşme olasılığı A içinde görünecek N gelen testler k 1 önce k 2 kez, yaklaşık olarak eşit

Nerede
, Ve .

Not2:İşlev
Laplace fonksiyonu denir (bkz. normal dağılım). İşlev değerlerini içeren tablolar , Ek 2'de verilmiştir ve
.

Örnek: arasında olma olasılığını bulun 400 Parçanın kalite kontrol muayenesini geçmeme olasılığı şuna eşitse, rastgele seçilen parçalar 70 ila 100 parça arasında test edilmemiş olarak çıkacaktır. 0,2.

Çözüm: Koşullara göre N = 400, P = 0,2 , Q = 0,8, k 1 = 70, k 2 = 100 . İntegralin alt ve üst limitlerini hesaplayalım:

;
.

Böylece elimizde:

Ek 2'deki tablodan şunu görüyoruz:
Ve
. O halde gerekli olasılık:

Not3: Bir dizi bağımsız denemede (n büyük, p küçük olduğunda), bir olayın tam olarak k kez meydana gelme olasılığını hesaplamak için Poisson formülü kullanılır (bkz. Poisson dağılımı).

5.3. Poisson Dağılımı

Tanım5.3: Ayrık bir rastgele değişken denir Poisson, dağıtım yasası aşağıdaki forma sahipse:

, Nerede
Ve
(sabit değer).

Poisson rastgele değişkenlerine örnekler:

Belirli bir süre boyunca otomatik istasyona yapılan çağrıların sayısı T.

Belirli bir süre boyunca bazı radyoaktif maddelerin bozunma parçacıklarının sayısı T.

Belirli bir süre içinde atölyeye gelen TV sayısı T büyük şehirde .

Büyük bir şehirde bir kavşağın durma çizgisine gelecek araba sayısı .

Not 1: Bu olasılıkların hesaplanmasına yönelik özel tablolar Ek 3'te verilmiştir.

Not2: Bir dizi bağımsız testte (ne zaman N Harika, P bir olayın tam olarak gerçekleşme olasılığını hesaplamak yeterli değildir) k Poisson formülünü kullanarak çarpım:
, Nerede
, yani olayların ortalama gerçekleşme sayısı sabit kalır.

Not3: Poisson yasasına göre dağıtılan bir rastgele değişken varsa, o zaman mutlaka üstel yasaya göre dağıtılan bir rastgele değişken de vardır ve bunun tersi de geçerlidir (bkz. Üstel dağılım).

Örnek. Tesis üsse gönderildi 5000 kaliteli ürünler. Ürünün taşıma sırasında hasar görme olasılığı eşittir 0,0002 . Üsse tam olarak üç kullanılamaz ürünün gelme olasılığını bulun.

Çözüm: Koşullara göre N = 5000, P = 0,0002, k = 3. Bulacağız λ: λ = n.p.= 5000·0,0002 = 1.

Poisson formülüne göre istenen olasılık şuna eşittir:

, rastgele değişken nerede X– kullanılamayan ürün sayısı.

5.4. Geometrik dağılım

Her birinde olayın meydana gelme olasılığının eşit olduğu bağımsız testler yapılmasına izin verin. A eşittir P(0 p

Q = 1 - P. Etkinlik ortaya çıktığı anda zorluklar sona erer A. Yani eğer bir olay A ortaya çıkan k-th test, ardından önceki testte k – 1 testlerde görünmedi.

ile belirtelim X ayrık rastgele değişken - olayın ilk ortaya çıkmasından önce yapılması gereken denemelerin sayısı A. Elbette olası değerler X doğal sayılar x 1 = 1, x 2 = 2, ...

Önce izin ver k-1 test olayı A gelmedi ama k-inci test ortaya çıktı. Bağımsız olayların olasılıklarının çarpımı teoremine göre bu “karmaşık olayın” olasılığı, P (X = k) = Q k -1 P.

Tanım5.4: Ayrık bir rastgele değişkenin sahip olduğu geometrik dağılım, eğer dağıtım kanunu aşağıdaki şekle sahipse:

P ( X = k ) = Q k -1 P , Nerede
.

Not 1:İnanmak k = 1,2,… , ilk terimle geometrik bir ilerleme elde ederiz P ve payda Q (0Q. Bu nedenle dağılıma geometrik denir.

Not2: Sıra
yakınsar ve toplamı bire eşittir. Aslında serinin toplamı eşittir
.

Örnek. Silah ilk vuruş yapılana kadar hedefe ateş edilir. Hedefi vurma olasılığı P = 0,6 . Üçüncü atışta isabet olma olasılığını bulun.

Çözüm: Koşullara göre P = 0,6, Q = 1 – 0,6 = 0,4, k = 3. Gerekli olasılık:

P (X = 3) = 0,4 2 ·0,6 = 0,096.

5.5. Hipergeometrik dağılım

Aşağıdaki problemi ele alalım. Partiyi dışarı çıkaralım N mevcut ürünler M standart (MN). Partiden rastgele alındı Nürünler (her ürün aynı olasılıkla ekstrakte edilebilir) ve seçilen ürün, bir sonraki ürün seçilmeden partiye iade edilmez (bu nedenle Bernoulli formülü burada geçerli değildir).

ile belirtelim X rastgele değişken - sayı M arasında standart ürünler N seçildi. Daha sonra olası değerler X 0, 1, 2,… olacak dk ; Onları etiketleyelim ve... İle Bağımsız değişkenin değerleri (Fonds) butonunu kullanın ( bölüm ...

Sürekli rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri. Sürekli bir rastgele değişken X'in f(x) dağılım fonksiyonu tarafından belirtilmesine izin verin

Sürekli bir rastgele değişken X'in dağıtım fonksiyonu tarafından belirtilmesine izin verin f(x). Rastgele değişkenin olası tüm değerlerinin segmente ait olduğunu varsayalım [ a,b].

Tanım. Matematiksel beklenti olası değerleri segmente ait olan sürekli bir rastgele değişken X'e belirli integral denir

Rastgele bir değişkenin olası değerleri tüm sayısal eksende dikkate alınırsa, matematiksel beklenti aşağıdaki formülle bulunur:

Bu durumda elbette uygunsuz integralin yakınsak olduğu varsayılır.

Tanım. Varyans Sürekli bir rastgele değişkenin sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir.

Ayrık bir rastgele değişkenin varyansına benzetilerek, varyansı pratik olarak hesaplamak için aşağıdaki formül kullanılır:

Tanım. Standart sapma varyansın karekökü denir.

Tanım. Moda Ayrık bir rastgele değişkenin M 0'ına onun en olası değeri denir. Sürekli bir rastgele değişken için mod, dağılım yoğunluğunun maksimum olduğu rastgele değişkenin değeridir.

Ayrık bir rastgele değişken için dağılım poligonu veya sürekli bir rastgele değişken için dağılım eğrisi iki veya daha fazla maksimuma sahipse, bu tür bir dağılıma dağılım denir. iki modlu veya çok modlu. Bir dağılımın minimumu var ama maksimumu yok ise buna denir. antimodal.

Tanım. Medyan Bir X rasgele değişkeninin M D'si, rasgele değişkenin daha büyük veya daha küçük bir değerinin elde edilmesinin eşit olasılığa sahip olduğu değerdir.

Geometrik olarak medyan, dağılım eğrisi tarafından sınırlanan alanın ikiye bölündüğü noktanın apsisidir. Dağılım tek modlu ise mod ve medyanın matematiksel beklentiyle örtüştüğünü unutmayın.

Tanım. Başlangıç ​​anı emir k rastgele değişken X, X değerinin matematiksel beklentisidir k.

Ayrık bir rastgele değişken için: .

.

Birinci mertebenin başlangıç ​​anı matematiksel beklentiye eşittir.

Tanım. Merkezi an emir k Rastgele değişken X, değerin matematiksel beklentisidir

Ayrık bir rastgele değişken için: .

Sürekli bir rastgele değişken için: .

Birinci dereceden merkezi moment her zaman sıfırdır ve ikinci dereceden merkezi moment dağılıma eşittir. Üçüncü dereceden merkezi moment, dağılımın asimetrisini karakterize eder.

Tanım. Üçüncü dereceden merkezi momentin standart sapmanın üçüncü kuvvetine oranına denir. asimetri katsayısı.

Tanım. Dağıtımın zirve ve düzlüğünü karakterize etmek için bir miktar denir. aşırı.

Dikkate alınan büyüklüklere ek olarak mutlak momentler de kullanılır:

Mutlak başlangıç ​​anı: . Mutlak merkez nokta: . Birinci mertebenin mutlak merkezi momentine denir aritmetik ortalama sapma.

Örnek. Yukarıda tartışılan örnek için, X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini ve varyansını belirleyin.

Örnek. Bir torbada 6 beyaz ve 4 siyah top vardır. İçinden bir top art arda beş kez çıkarılır ve her seferinde çıkarılan top geri getirilerek toplar karıştırılır. Çıkarılan beyaz topların sayısını X rastgele değişkeni olarak alarak, bu değer için bir dağılım kanunu çizin, matematiksel beklentisini ve dağılımını belirleyin.

Çünkü her deneydeki toplar geri döndürülür ve karıştırılır, daha sonra testler bağımsız olarak değerlendirilebilir (önceki deneyin sonucu, başka bir deneyde bir olayın meydana gelme veya gelmeme olasılığını etkilemez).

Böylece her deneyde beyaz topun ortaya çıkma olasılığı sabit ve eşittir.

Yani arka arkaya yapılan beş deneme sonucunda beyaz top hiç görünmeyebileceği gibi bir, iki, üç, dört, beş kez de ortaya çıkabilir. Bir dağıtım yasası hazırlamak için bu olayların her birinin olasılığını bulmanız gerekir.

1) Beyaz top hiç görünmedi:

2) Beyaz top bir kez ortaya çıktı:

3) Beyaz top iki kez görünecektir: .

RASTGELE DEĞİŞKENLER

Örnek 2.1. Rastgele değer X dağıtım fonksiyonu tarafından verilen

Test sonucunda olasılığı bulun X(2.5; 3.6) aralığında yer alan değerleri alacaktır.

Çözüm: X(2,5; 3,6) aralığında iki şekilde belirlenebilir:

Örnek 2.2. Hangi parametre değerlerinde A Ve İÇİNDE işlev F(X) = A + Be - x rastgele bir değişkenin negatif olmayan değerleri için bir dağılım fonksiyonu olabilir X.

Çözüm: Rastgele değişkenin tüm olası değerleri olduğundan X aralığına aitse, fonksiyonun bir dağıtım fonksiyonu olması için X, özelliğin karşılanması gerekir:

.

Cevap: .

Örnek 2.3. Rastgele değişken X, dağıtım fonksiyonu tarafından belirtilir

Dört bağımsız test sonucunda değerin çıkma olasılığını bulun. X tam 3 katı (0.25;0.75) aralığına ait bir değer alacaktır.

Çözüm: Bir değere ulaşma olasılığı X(0,25;0,75) aralığında aşağıdaki formülü kullanarak buluruz:

Örnek 2.4. Topun tek atışta sepete çarpma olasılığı 0,3'tür. Üç atışla isabet sayısı için bir dağıtım yasası hazırlayın.

Çözüm: Rastgele değer X– üç atışta sepetteki isabet sayısı – şu değerleri alabilir: 0, 1, 2, 3. X

X:

Örnek 2.5.İki atıcının her biri hedefe bir atış yapar. İlk atıcının vurma olasılığı 0,5, ikincisi ise 0,4'tür. Bir hedefe isabet edenlerin sayısı için bir dağıtım yasası hazırlayın.

Çözüm: Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasını bulalım X– hedefteki isabet sayısı. Olay sırasıyla ilk atıcının hedefi vurması ve ikinci atıcının hedefi vurması ve onların ıskalaması olsun.

SV'nin olasılık dağılımı yasasını oluşturalım X:

Örnek 2.6. Birbirinden bağımsız çalışan üç eleman test edilir. Elemanların hatasız çalışma süresi (saat cinsinden) bir dağıtım yoğunluğu fonksiyonuna sahiptir: birincisi için: F 1 (T) =1-e- 0,1 T, Ikinci için: F 2 (T) = 1-e- 0,2 Tüçüncüsü için: F 3 (T) =1-e- 0,3 T. 0 ila 5 saat arasındaki zaman aralığında yalnızca bir elemanın arızalanma olasılığını bulun; yalnızca iki öğe başarısız olacaktır; üç unsurun tümü başarısız olacaktır.

Çözüm: Olasılık üreten fonksiyonun tanımını kullanalım:

Bağımsız denemelerde olasılık, ilkinde bir olayın meydana gelme olasılığı A eşittir , ikinci vb. olayda A tam olarak bir kez ortaya çıkar ve üretici fonksiyonun genişleme katsayısına eşittir. 0 ila 5 saat arasındaki zaman aralığında sırasıyla birinci, ikinci ve üçüncü elemanın arızalanma ve arızalanmama olasılıklarını bulalım:

Bir üreten fonksiyon oluşturalım:

At katsayısı olayın gerçekleşme olasılığına eşittir. A tam olarak üç kez ortaya çıkacak, yani her üç unsurun da arızalanma olasılığı; at katsayısı tam olarak iki elemanın başarısız olma olasılığına eşittir; at katsayısı yalnızca bir elemanın arızalanma olasılığına eşittir.

Örnek 2.7. Olasılık yoğunluğu göz önüne alındığında F(X)rastgele değişken X:

F(x) dağılım fonksiyonunu bulun.

Çözüm: Formülü kullanıyoruz:

.

Böylece dağıtım fonksiyonu şuna benzer:

Örnek 2.8. Cihaz birbirinden bağımsız çalışan üç elemandan oluşur. Bir deneyde her bir elemanın arızalanma olasılığı 0,1'dir. Bir deneydeki başarısız elemanların sayısı için bir dağılım kanunu çizin.

Çözüm: Rastgele değer X– bir deneyde başarısız olan elementlerin sayısı – şu değerleri alabilir: 0, 1, 2, 3. Olasılıklar X Bu değerleri alırsak Bernoulli formülünü kullanarak şunu buluruz:

Böylece, bir rastgele değişkenin aşağıdaki olasılık dağılımı yasasını elde ederiz. X:

Örnek 2.9. 6 parçadan oluşan bir partide 4 standart parça vardır. Rastgele 3 parça seçildi. Seçilenler arasında standart parçaların sayısı için bir dağıtım yasası hazırlayın.

Çözüm: Rastgele değer X– seçilenler arasında standart parça sayısı – 1, 2, 3 değerlerini alabilir ve hipergeometrik bir dağılıma sahiptir. Olasılıklar X

Nerede -- partideki parça sayısı;

-- bir partideki standart parçaların sayısı;

– seçilen parçaların sayısı;

-- Seçilenler arasında standart parçaların sayısı.

.

.

.

Örnek 2.10. Rastgele değişkenin bir dağılım yoğunluğu vardır

ve bilinmiyor, ancak , a ve . Bul ve.

Çözüm: Bu durumda rastgele değişken X aralığında üçgen bir dağılıma (Simpson dağılımı) sahiptir [ a, b] Sayısal özellikler X:

Buradan, . Bu sistemi çözerek iki çift değer elde ederiz: . Sorunun koşullarına göre nihayet elimizde: .

Cevap: .

Örnek 2.11. Ortalama olarak sözleşmelerin %10'unda sigorta şirketi, sigorta konusu olayın meydana gelmesiyle bağlantılı olarak sigorta tutarlarını öder. Rastgele seçilen dört sözleşme arasındaki bu tür sözleşmelerin sayısının matematiksel beklentisini ve dağılımını hesaplayın.

Çözüm: Matematiksel beklenti ve varyans aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:

.

SV'nin olası değerleri (sigortalı bir olayın meydana geldiği sözleşme sayısı (dört üzerinden): 0, 1, 2, 3, 4.

Sigorta tutarlarının ödendiği farklı sayıda sözleşmenin (dört üzerinden) olasılığını hesaplamak için Bernoulli formülünü kullanıyoruz:

.

IC dağıtım serisi (sigortalı bir olayın meydana geldiği sözleşmelerin sayısı) şu şekildedir:

Cevap: , .

Örnek 2.12. Beş gülden ikisi beyazdır. Aynı anda alınan iki beyaz gül arasındaki beyaz güllerin sayısını ifade eden bir rastgele değişkenin dağılım yasasını çizin.

Çözüm:İki gülden oluşan bir seçimde ya hiç beyaz gül olmayabilir ya da bir ya da iki beyaz gül bulunabilir. Bu nedenle rastgele değişken Xşu değerleri alabilir: 0, 1, 2. Olasılıklar X bu değerleri alırsak, formülü kullanarak buluruz:

Nerede -- gül sayısı;

-- beyaz gül sayısı;

– aynı anda alınan gül sayısı;

-- Alınanlar arasında beyaz güllerin sayısı.

.

.

.

O halde rastgele değişkenin dağılım yasası aşağıdaki gibi olacaktır:

Örnek 2.13. Birleştirilmiş 15 üniteden 6'sı ek yağlama gerektirir. Toplam sayıdan rastgele seçilen beş ünite arasından ek yağlama gerektiren ünitelerin sayısı için bir dağıtım kanunu çizin.

Çözüm: Rastgele değer X– seçilen beş ünite arasında ek yağlama gerektiren ünitelerin sayısı – şu değerleri alabilir: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ve hipergeometrik bir dağılıma sahiptir. Olasılıklar X bu değerleri alırsak, formülü kullanarak buluruz:

Nerede -- birleştirilmiş birimlerin sayısı;

-- ek yağlama gerektiren ünite sayısı;

– seçilen birimlerin sayısı;

-- Seçilenler arasında ek yağlama gerektiren ünitelerin sayısı.

.

.

.

.

.

.

O halde rastgele değişkenin dağılım yasası aşağıdaki gibi olacaktır:

Örnek 2.14. Onarım için alınan 10 saatten 7'si mekanizmanın genel temizliğini gerektiriyor. Saatler onarım türüne göre sıralanmamıştır. Temizlenmesi gereken saatleri bulmak isteyen usta, onları tek tek inceler ve bu tür saatleri bulunca daha fazla incelemeyi bırakır. İzlenen saat sayısının matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.

Çözüm: Rastgele değer X– seçilen beş ünite arasında ek yağlama gerektiren ünitelerin sayısı – şu değerleri alabilir: 1, 2, 3, 4. Olasılıklar X bu değerleri alırsak, formülü kullanarak buluruz:

.

.

.

.

O halde rastgele değişkenin dağılım yasası aşağıdaki gibi olacaktır:

Şimdi miktarın sayısal özelliklerini hesaplayalım:

Cevap: , .

Örnek 2.15. Abone, ihtiyaç duyduğu telefon numarasının son rakamını unutmuş ancak bunun tek rakamlı olduğunu hatırlamaktadır. Son rakamı rastgele çevirdiğinde ve daha sonra aranan rakamı çevirmezse, istenen numaraya ulaşmadan önce bir telefon numarasını kaç kez çevirdiğine ilişkin matematiksel beklentiyi ve varyansı bulun.

Çözüm: Rastgele değişken şu değerleri alabilir: . Abone ileride çevrilen rakamı çevirmediği için bu değerlerin olasılıkları eşittir.

Rastgele bir değişkenin dağılım serisini derleyelim:

Çevirme denemesi sayısının matematiksel beklentisini ve varyansını hesaplayalım:

Cevap: , .

Örnek 2.16. Serideki her cihaz için güvenilirlik testi sırasında arıza olasılığı eşittir: P. Test edildikleri takdirde başarısız olan cihaz sayısına ilişkin matematiksel beklentiyi belirleyin N cihazlar.

Çözüm: Ayrık rastgele değişken X, arızalı cihazların sayısıdır. N Her birinde başarısızlık olasılığının eşit olduğu bağımsız testler P, binom kanununa göre dağıtılır. Binom dağılımının matematiksel beklentisi, deneme sayısı ile bir denemede bir olayın meydana gelme olasılığının çarpımına eşittir:

Örnek 2.17. Ayrık rassal değişken X 3 olası değer alır: olasılıkla; olasılıkla ve olasılıkla. M( olduğunu bilerek bulun ve X) = 8.

Çözüm: Matematiksel beklentinin tanımlarını ve ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasını kullanıyoruz:

Bulduk: .

Örnek 2.18. Teknik kontrol departmanı ürünlerin standart olup olmadığını kontrol eder. Ürünün standart olma ihtimali 0,9'dur. Her partide 5 ürün bulunmaktadır. Rasgele bir değişkenin matematiksel beklentisini bulun X- 50 partinin muayeneye tabi olması durumunda, her biri tam olarak 4 standart ürün içeren parti sayısı.

Çözüm: Bu durumda yapılan tüm deneyler bağımsızdır ve her partinin tam olarak 4 standart ürün içerme olasılıkları aynıdır, dolayısıyla matematiksel beklenti aşağıdaki formülle belirlenebilir:

,

parti sayısı nerede;

Bir partinin tam olarak 4 standart ürün içerme olasılığı.

Bernoulli formülünü kullanarak olasılığı buluyoruz:

Cevap: .

Örnek 2.19. Rastgele bir değişkenin varyansını bulun X– olayın gerçekleşme sayısı Aİki bağımsız denemede, bu denemelerde bir olayın meydana gelme olasılıkları aynı ise ve biliniyorsa M(X) = 0,9.

Çözüm: Sorun iki şekilde çözülebilir.

1) SV'nin olası değerleri X: 0, 1, 2. Bernoulli formülünü kullanarak bu olayların olasılıklarını belirliyoruz:

, , .

Daha sonra dağıtım kanunu Xşu forma sahiptir:

Matematiksel beklentinin tanımından olasılığı belirleriz:

SV'nin dağılımını bulalım X:

.

2) Formülü kullanabilirsiniz:

.

Cevap: .

Örnek 2.20. Normal dağılım gösteren bir rastgele değişkenin beklentisi ve standart sapması X sırasıyla 20 ve 5'e eşittir. Test sonucunda olasılığını bulun X(15; 25) aralığındaki değeri alacaktır.

Çözüm: Normal bir rastgele değişkene ulaşma olasılığı X ile arasındaki bölüm Laplace fonksiyonu aracılığıyla ifade edilir:

Örnek 2.21. Verilen fonksiyon:

Hangi parametre değerinde C bu fonksiyon bazı sürekli rastgele değişkenlerin dağılım yoğunluğudur X? Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun X.

Çözüm: Bir fonksiyonun bazı rastgele değişkenlerin dağılım yoğunluğu olması için negatif olmaması ve şu özelliği karşılaması gerekir:

.

Buradan:

Matematiksel beklentiyi aşağıdaki formülü kullanarak hesaplayalım:

.

Aşağıdaki formülü kullanarak varyansı hesaplayalım:

T eşittir P. Bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulmak gerekir.

Çözüm: Ayrık bir rastgele değişken X'in dağılım yasası - her birinde olayın meydana gelme olasılığının eşit olduğu bağımsız denemelerde bir olayın meydana gelme sayısı, binom olarak adlandırılır. Binom dağılımının matematiksel beklentisi, deneme sayısı ile bir denemede A olayının meydana gelme olasılığının çarpımına eşittir:

.

Örnek 2.25. Hedefe üç bağımsız atış yapılır. Her atışta isabet olasılığı 0,25'tir. Üç atışla isabet sayısının standart sapmasını belirleyin.

Çözüm:Üç bağımsız deneme gerçekleştirildiğinden ve her denemede A olayının (bir isabet) meydana gelme olasılığı aynı olduğundan, ayrık rastgele değişken X'in (hedefteki isabet sayısı) şu şekilde dağıtıldığını varsayacağız: binom kanunu.

Binom dağılımının varyansı, deneme sayısı ile bir olayın bir denemede meydana gelme ve gelmeme olasılığının çarpımına eşittir:

Örnek 2.26. Bir sigorta şirketini 10 dakikada ziyaret eden ortalama müşteri sayısı üçtür. Önümüzdeki 5 dakika içinde en az bir müşterinin gelme olasılığını bulun.

5 dakikada gelen ortalama müşteri sayısı: . .

Örnek 2.29.İşlemci kuyruğundaki bir uygulamanın bekleme süresi, ortalama değeri 20 saniye olan üstel dağılım yasasına uyar. Bir sonraki (rastgele) isteğin işlemcide 35 saniyeden fazla bekleme olasılığını bulun.

Çözüm: Bu örnekte matematiksel beklenti ve başarısızlık oranı eşittir.

O halde istenilen olasılık:

Örnek 2.30. 15 öğrenciden oluşan bir grup, her birinde 10 koltuk bulunan 20 sıradan oluşan bir salonda toplantı yapıyor. Her öğrenci salonda rastgele bir yer alır. Sıranın yedinci sırasında en fazla üç kişinin bulunma olasılığı nedir?

Çözüm:

Örnek 2.31.

O halde klasik olasılık tanımına göre:

Nerede -- partideki parça sayısı;

-- partideki standart olmayan parçaların sayısı;

– seçilen parçaların sayısı;

-- Seçilenler arasında standart olmayan parçaların sayısı.

O halde rastgele değişkenin dağılım yasası aşağıdaki gibi olacaktır.

Kesikli bir rastgele değişkenden farklı olarak, sürekli rastgele değişkenler, tüm değerlerini belirli bir sırayla listelemek ve yazmak mümkün olmadığından, dağıtım yasası tablosu şeklinde belirtilemez. Sürekli bir rastgele değişkeni belirlemenin olası bir yolu, bir dağılım fonksiyonunu kullanmaktır.

TANIM. Dağılım fonksiyonu, bir rastgele değişkenin sayı ekseninde x noktasının solunda yer alan bir nokta ile temsil edilen değeri alma olasılığını belirleyen bir fonksiyondur;

Bazen “Dağıtım fonksiyonu” terimi yerine “İntegral fonksiyon” terimi kullanılır.

Dağıtım fonksiyonunun özellikleri:

1. Dağılım fonksiyonunun değerleri segmente aittir: 0F(x)1
2. F(x) azalmayan bir fonksiyondur, yani. F(x 2)F(x 1), eğer x 2 >x 1 ise

Sonuç 1. Bir rastgele değişkenin (a,b) aralığında yer alan bir değeri alma olasılığı, dağılım fonksiyonunun bu aralıktaki artışına eşittir:

Sulh

Örnek 9. Rastgele değişken X, dağılım fonksiyonu tarafından verilmektedir:

Test sonucunda X'in (0;2) aralığına ait bir değer alma olasılığını bulun: P(0

Çözüm: (0;2) aralığında koşula göre F(x)=x/4+1/4 olduğuna göre F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Yani P(0

Sonuç 2. Sürekli bir rastgele değişken X'in belirli bir değeri alma olasılığı sıfırdır.

Sonuç 3. Eğer bir rastgele değişkenin olası değerleri (a;b) aralığına aitse: 1) xa için F(x)=0; 2) xb'de F(x)=1.
Aşağıdaki limit ilişkileri geçerlidir:

Dağılım fonksiyonunun grafiği y=0, y=1 (birinci özellik) düz çizgileriyle sınırlanan bantta yer almaktadır. Rastgele değişkenin tüm olası değerlerini içeren (a;b) aralığında x arttıkça grafik “yükselir”. Xa'da grafiğin koordinatları sıfıra eşittir; xb'de grafiğin koordinatları bire eşittir:

Resim 1

Örnek 10. Ayrık bir rasgele değişken X, bir dağılım tablosuyla verilmektedir:

Dağılım fonksiyonunu bulun ve grafiğini çizin.
Çözüm: Dağılım fonksiyonu analitik olarak aşağıdaki şekilde yazılabilir:

Şekil 2

TANIM: Sürekli bir rastgele değişken X'in olasılık dağılım yoğunluğu, f(x) fonksiyonudur - F(x) dağılım fonksiyonunun birinci türevi: f(x)=F"(x)

Bu tanımdan, dağılım fonksiyonunun, dağılım yoğunluğunun ters türevi olduğu sonucu çıkar.

Teorem. Sürekli bir rastgele değişken X'in (a;b) aralığına ait bir değer alma olasılığı, a'dan b'ye kadar olan aralıkta alınan dağılım yoğunluğunun belirli bir integraline eşittir:

(8)

Olasılık yoğunluk dağılımının özellikleri:

1. Olasılık yoğunluğu negatif olmayan bir fonksiyondur: f(x)0.
2. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğunun -∞'dan +∞'a kadar olan belirli integrali 1'e eşittir: f(x)dx=1.
3. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğunun -∞'dan x'e kadar olan belirli integrali, bu değişkenin dağılım fonksiyonuna eşittir: f(x)dx=F(x)

Örnek 11. Bir X rastgele değişkeninin olasılık dağılım yoğunluğu verilmiştir.

Test sonucunda X'in (0,5;1) aralığına ait bir değer alma olasılığını bulun.

Çözüm: Gerekli olasılık:

Ayrık niceliklerin sayısal özelliklerinin tanımını sürekli niceliklere genişletelim. Sürekli bir rastgele değişken X'in dağılım yoğunluğu f(x) tarafından belirtilmesine izin verin.

TANIM. Olası değerleri segmente ait olan sürekli bir rastgele X değişkeninin matematiksel beklentisine belirli bir integral denir:

M(x)=xf(x)dx (9)

Olası değerler Ox ekseninin tamamına aitse, o zaman:

M(x)=xf(x)dx (10)

Sürekli bir rastgele değişken X'in M 0 (X) modu, dağıtım yoğunluğunun yerel maksimumunun karşılık geldiği olası değeridir.

Sürekli bir rastgele değişken X'in medyanı M e (X), eşitlikle belirlenen olası değeridir:

P(X e (X))=P(X>M e (X))

TANIM. Sürekli bir rastgele değişkenin varyansı, sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir. X'in olası değerleri segmente aitse, o zaman:

D(x)= 2 f(x)dx (11)
veya
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

Olası değerler x ekseninin tamamına aitse o zaman.

Dağılım Olası değerleri Ox ekseninin tamamına ait olan sürekli rastgele değişken X, eşitlikle belirlenir:

Hizmetin amacı. Çevrimiçi hesap makinesi, aşağıdaki durumlardan herhangi birinin meydana geldiği sorunları çözmek için tasarlanmıştır: dağıtım yoğunluğu f(x) veya dağılım fonksiyonu F(x) (örneğe bakın). Genellikle bu tür görevlerde bulmanız gerekir matematiksel beklenti, standart sapma, grafik fonksiyonları f(x) ve F(x).

Talimatlar. Kaynak veri türünü seçin: dağıtım yoğunluğu f(x) veya dağıtım fonksiyonu F(x).

Dağıtım yoğunluğu f(x) verilir:

F(x) dağılım fonksiyonu verilir:

Sürekli bir rastgele değişken olasılık yoğunluğuyla belirtilir
(Rayleigh dağıtım yasası - radyo mühendisliğinde kullanılır). M(x) , D(x)'i bulun.

Rastgele değişken X denir sürekli , eğer dağıtım fonksiyonu F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu, bir rastgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığını hesaplamak için kullanılır:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Ayrıca sürekli bir rastgele değişken için sınırlarının bu aralığa dahil olup olmaması önemli değildir:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Dağıtım yoğunluğu sürekli bir rastgele değişkene fonksiyon denir
f(x)=F’(x) , dağılım fonksiyonunun türevi.

Dağıtım yoğunluğunun özellikleri