Hayvan formundaki fonksiyonların grafikleri. Doğrusal fonksiyon ve grafiği

Tanım: Sayısal bir fonksiyon, belirli bir kümedeki her x sayısını tek bir y sayısıyla ilişkilendiren bir yazışmadır.

Tanım:

burada x bağımsız değişkendir (argüman), y ise bağımlı değişkendir (fonksiyon). X'in değerleri kümesine fonksiyonun tanım kümesi denir (D(f) ile gösterilir). Y'nin değerleri kümesine fonksiyonun değer aralığı denir (E(f) ile gösterilir). Bir fonksiyonun grafiği, koordinatları (x, f(x)) olan düzlemdeki noktaların kümesidir.

Bir işlevi belirtme yöntemleri.

1. analitik yöntem (matematiksel bir formül kullanarak);
2. tablo yöntemi (bir tablo kullanarak);
3. betimleyici yöntem (sözlü açıklamayı kullanarak);
4. grafiksel yöntem (bir grafik kullanarak).

Fonksiyonun temel özellikleri.

1. Çift ve tek

Bir fonksiyon şöyle olsa bile çağrılır:
– fonksiyonun tanım bölgesi sıfıra göre simetriktir
f(-x) = f(x)

Çift fonksiyonun grafiği eksene göre simetriktir 0 yıl

Bir fonksiyona tek ise denir
– fonksiyonun tanım bölgesi sıfıra göre simetriktir
– tanım alanındaki herhangi bir x için f(-x) = –f(x)

Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.

2. Frekans

Bir f(x) fonksiyonu, tanım tanım kümesinden herhangi bir x için ise periyotlu periyodik olarak adlandırılır. f(x) = f(x+T) = f(x-T) .

Periyodik bir fonksiyonun grafiği sınırsız tekrarlanan özdeş parçalardan oluşur.

3. Monotonluk (artan, azalan)

f(x) fonksiyonu, eğer bu kümeden herhangi bir x 1 ve x 2 için x 1 olacak şekilde P kümesi üzerinde artıyorsa

f(x) fonksiyonu P kümesinde bu kümeden herhangi bir x 1 ve x 2 için x 1 f(x 2) olacak şekilde azalır.

4. Aşırılıklar

Xmax'ın belirli bir komşuluğundaki tüm x'ler için f(x) f(Xmax) eşitsizliği karşılanıyorsa, Xmax noktasına f(x) fonksiyonunun maksimum noktası denir.

Y max =f(X max) değerine bu fonksiyonun maksimumu denir.

X max – maksimum nokta
Maksimum - maksimumda

X min'in herhangi bir komşuluğundaki tüm x'ler için f(x) f(X min) eşitsizliği karşılanıyorsa, X min noktasına f(x) fonksiyonunun minimum noktası denir.

Y min =f(X min) değerine bu fonksiyonun minimumu denir.

X dk – minimum nokta
Y dk – minimum

X min, X max – ekstrem noktalar
Y min , Y max – ekstrema.

5. Fonksiyonun sıfırları

Bir y = f(x) fonksiyonunun sıfırı, fonksiyonun sıfır olduğu x argümanının değeridir: f(x) = 0.

X 1, X 2, X 3 – y = f(x) fonksiyonunun sıfırları.

"Bir fonksiyonun temel özellikleri" konusundaki görevler ve testler

• Fonksiyon Özellikleri - Sayısal fonksiyonlar 9. sınıf

  Dersler: 2 Ödevler: 11 Testler: 1

• Logaritmanın özellikleri - Üstel ve logaritmik fonksiyonlar 11. sınıf

  Dersler: 2 Ödevler: 14 Testler: 1

• Karekök fonksiyonu, özellikleri ve grafiği - Karekök fonksiyonu. Karekök 8. sınıfın özellikleri

  Dersler: 1 Ödevler: 9 Testler: 1

• Fonksiyonlar - Matematikte Birleşik Devlet Sınavının gözden geçirilmesi için önemli konular

  Görevler: 24

• Güç fonksiyonları, özellikleri ve grafikleri - Dereceler ve kökler. Güç fonksiyonları 11. sınıf

  Dersler: 4 Ödevler: 14 Testler: 1

Bu konuyu inceledikten sonra, çeşitli fonksiyonların tanım tanım kümesini bulabilmeli, bir fonksiyonun monotonluk aralıklarını grafikler kullanarak belirleyebilmeli ve fonksiyonları düzgünlük ve teklik açısından inceleyebilmelisiniz. Aşağıdaki örnekleri kullanarak benzer problemleri çözmeyi düşünelim.

Örnekler.

1. Fonksiyonun tanım tanım kümesini bulun.

Çözüm: fonksiyonun tanım alanı koşuldan bulunur

dolayısıyla f(x) fonksiyonu çifttir.

Cevap: eşit

D(f) = [-1; 1] – sıfıra yakın simetrik.

dolayısıyla fonksiyon ne çift ne de tektir.

Cevap: ne eşit ne de düzensiz.

Parçanın koordinat eksenindeki uzunluğu aşağıdaki formülle belirlenir:

Koordinat düzlemindeki bir parçanın uzunluğu aşağıdaki formül kullanılarak bulunur:

Üç boyutlu koordinat sisteminde bir parçanın uzunluğunu bulmak için aşağıdaki formülü kullanın:

Segmentin ortasının koordinatları (koordinat ekseni için yalnızca ilk formül kullanılır, koordinat düzlemi için - ilk iki formül, üç boyutlu koordinat sistemi için - üç formülün tümü) aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

İşlev– bu formun bir yazışmasıdır sen= F(X) değişken miktarlar arasında, her biri bazı değişken miktarların değerini dikkate aldığından dolayı X(argüman veya bağımsız değişken) başka bir değişkenin belirli bir değerine karşılık gelir, sen(bağımlı değişken, bazen bu değere basitçe fonksiyonun değeri denir). Fonksiyonun bir argüman değerinin varsayıldığını unutmayın. X bağımlı değişkenin yalnızca bir değeri karşılık gelebilir en. Ancak aynı değer en farklı şekilde elde edilebilir X.

İşlev Etki Alanı– bunların hepsi bağımsız değişkenin değerleridir (işlev argümanı, genellikle bu X), işlevin tanımlandığı yer, yani. anlamı mevcuttur. Tanım alanı belirtilir D(sen). Genel olarak bu kavrama zaten aşinasınız. Bir fonksiyonun tanım alanına, izin verilen değerlerin alanı veya uzun süredir bulabileceğiniz VA adı verilir.

Fonksiyon Aralığı belirli bir fonksiyonun bağımlı değişkeninin tüm olası değerleridir. Belirlenmiş e(en).

Fonksiyon artar argümanın daha büyük bir değerinin fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık geldiği aralıkta. Fonksiyon azalıyor argümanın daha büyük bir değerinin fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık geldiği aralıkta.

Bir fonksiyonun sabit işaretinin aralıkları- bunlar, bağımlı değişkenin pozitif veya negatif işaretini koruduğu bağımsız değişken aralıklarıdır.

Fonksiyon sıfırları– bunlar, fonksiyonun değerinin sıfıra eşit olduğu argümanın değerleridir. Bu noktalarda fonksiyon grafiği apsis eksenini (OX ekseni) keser. Çoğu zaman, bir fonksiyonun sıfırlarını bulma ihtiyacı, denklemi basitçe çözme ihtiyacı anlamına gelir. Ayrıca, çoğu zaman işaretin sabitlik aralıklarını bulma ihtiyacı, eşitsizliği basitçe çözme ihtiyacı anlamına gelir.

İşlev sen = F(X) arandı eşit X

Bu, argümanın herhangi bir zıt değeri için çift fonksiyonun değerlerinin eşit olduğu anlamına gelir. Çift fonksiyonun grafiği, op-amp'in ordinat eksenine göre her zaman simetriktir.

İşlev sen = F(X) arandı garip, eğer simetrik bir kümede tanımlanmışsa ve herhangi biri için X tanım alanından eşitlik geçerlidir:

Bu, argümanın herhangi bir zıt değeri için tek fonksiyonun değerlerinin de zıt olduğu anlamına gelir. Tek bir fonksiyonun grafiği her zaman orijine göre simetriktir.

Çift ve tek fonksiyonların köklerinin toplamı (OX ekseninin kesişme noktaları) her zaman sıfıra eşittir, çünkü her pozitif kök için X negatif bir kökü var - X.

Şunu belirtmek önemlidir: Bazı fonksiyonların çift veya tek olması gerekmez. Ne çift ne de tek olan birçok fonksiyon vardır. Bu tür işlevler denir genel işlevler ve onlar için yukarıda verilen eşitliklerin veya özelliklerin hiçbiri sağlanmıyor.

Doğrusal fonksiyon aşağıdaki formülle verilebilecek bir fonksiyondur:

Doğrusal bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir ve genel durumda şöyle görünür (durum için bir örnek verilmiştir) k> 0, bu durumda fonksiyon artıyor; bu durum için k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği (Parabola)

Bir parabolün grafiği ikinci dereceden bir fonksiyonla verilir:

İkinci dereceden bir fonksiyon, diğer herhangi bir fonksiyon gibi, OX eksenini kökleri olan noktalarda keser: ( X 1; 0) ve ( X 2; 0). Kök yoksa, ikinci dereceden fonksiyon OX eksenini kesmez; yalnızca bir kök varsa, o zaman bu noktada ( X 0; 0) ikinci dereceden fonksiyon yalnızca OX eksenine dokunur, ancak onunla kesişmez. İkinci dereceden fonksiyon her zaman OY eksenini koordinatların bulunduğu noktada keser: (0; C). İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabol) grafiği şu şekilde görünebilir (şekil, olası tüm parabol türlerini tüketmeyen örnekleri göstermektedir):

Burada:

• eğer katsayı A> 0, fonksiyonda sen = balta 2 + bx + C, daha sonra parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir;
• eğer A < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Bir parabolün tepe noktasının koordinatları aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanabilir. X üstleri (P- yukarıdaki resimlerde) paraboller (veya ikinci dereceden üç terimlinin en büyük veya en küçük değerine ulaştığı nokta):

Igrek üstleri (Q- yukarıdaki şekillerde) paraboller veya parabolün dalları aşağıya doğru yönlendirilmişse maksimum ( A < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (A> 0), ikinci dereceden üç terimlinin değeri:

Diğer fonksiyonların grafikleri

Güç fonksiyonu

Güç fonksiyonlarının grafiklerine bazı örnekler:

Ters orantı aşağıdaki formülle verilen bir fonksiyondur:

Sayının işaretine bağlı olarak k Ters orantılı bir bağımlılık grafiğinin iki temel seçeneği olabilir:

Asimptot bir fonksiyonun grafiğinin sonsuz olarak yaklaştığı ancak kesişmediği bir doğrudur. Yukarıdaki şekilde gösterilen ters orantı grafiklerinin asimptotları, fonksiyonun grafiğinin sonsuz yaklaştığı ancak kesişmediği koordinat eksenleridir.

Üstel fonksiyon baz ile A aşağıdaki formülle verilen bir fonksiyondur:

AÜstel bir fonksiyonun grafiğinin iki temel seçeneği olabilir (ayrıca örnekler veriyoruz, aşağıya bakın):

Logaritmik fonksiyon aşağıdaki formülle verilen bir fonksiyondur:

Sayının birden büyük veya küçük olmasına bağlı olarak A Logaritmik bir fonksiyonun grafiğinin iki temel seçeneği olabilir:

Bir fonksiyonun grafiği sen = |X| aşağıdaki gibi:

Periyodik (trigonometrik) fonksiyonların grafikleri

İşlev en = F(X) denir periyodik sıfır olmayan bir sayı varsa T, Ne F(X + T) = F(X), herkes için X fonksiyonun etki alanından F(X). Eğer fonksiyon F(X) periyotlu periyodiktir T, ardından fonksiyon:

Nerede: A, k, B sabit sayılardır ve k sıfıra eşit değil, ayrıca periyotlu periyodik T 1, aşağıdaki formülle belirlenir:

Periyodik fonksiyonların çoğu örneği trigonometrik fonksiyonlardır. Ana trigonometrik fonksiyonların grafiklerini sunuyoruz. Aşağıdaki şekil fonksiyonun grafiğinin bir kısmını göstermektedir sen= günah X(grafiğin tamamı süresiz olarak sola ve sağa devam eder), fonksiyonun grafiği sen= günah X isminde sinüzoid:

Bir fonksiyonun grafiği sen=çünkü X isminde kosinüs. Bu grafik aşağıdaki şekilde gösterilmektedir. Sinüs grafiği OX ekseni boyunca sola ve sağa doğru süresiz olarak devam ettiğinden:

Bir fonksiyonun grafiği sen= tg X isminde teğetsel. Bu grafik aşağıdaki şekilde gösterilmektedir. Diğer periyodik fonksiyonların grafikleri gibi, bu grafik de OX ekseni boyunca sola ve sağa doğru süresiz olarak tekrarlanır.

Ve son olarak fonksiyonun grafiği sen=ctg X isminde kotanjantoid. Bu grafik aşağıdaki şekilde gösterilmektedir. Diğer periyodik ve trigonometrik fonksiyonların grafikleri gibi, bu grafik de OX ekseni boyunca sola ve sağa doğru süresiz olarak tekrarlanır.

Bu üç noktanın başarılı, özenli ve sorumlu bir şekilde uygulanması, CT'de yapabildiğiniz maksimum düzeyde mükemmel bir sonuç göstermenize olanak sağlayacaktır.

Bir hata mı buldunuz?

Eğitim materyallerinde bir hata bulduğunuzu düşünüyorsanız lütfen e-posta ile yazınız. Ayrıca sosyal ağdaki () bir hatayı da bildirebilirsiniz. Mektupta konuyu (fizik veya matematik), konunun veya testin adını veya numarasını, problemin numarasını veya metinde (sayfada) sizce hatanın olduğu yeri belirtin. Ayrıca şüphelenilen hatanın ne olduğunu da açıklayın. Mektubunuz gözden kaçmayacak, hata ya düzeltilecek ya da neden hata olmadığı size açıklanacak.

Bu yazıda bakacağız doğrusal fonksiyon, doğrusal bir fonksiyonun grafiği ve özellikleri. Ve her zamanki gibi bu konuyla ilgili birkaç sorunu çözeceğiz.

Doğrusal fonksiyon formun bir fonksiyonu denir

Bir fonksiyon denkleminde çarptığımız sayıya eğim katsayısı denir.

Örneğin fonksiyon denkleminde;

fonksiyonun denkleminde;

fonksiyonun denkleminde;

fonksiyon denkleminde.

Doğrusal bir fonksiyonun grafiği düz bir çizgidir.

1. Bir fonksiyonu çizmek için için fonksiyonun grafiğine ait iki noktanın koordinatlarına ihtiyacımız var. Bunları bulmak için iki x değeri almanız, bunları fonksiyon denkleminde yerine koymanız ve karşılık gelen y değerlerini hesaplamak için bunları kullanmanız gerekir.

Örneğin, bir fonksiyon grafiği çizmek için ve almak uygundur, o zaman bu noktaların koordinatları ve'ye eşit olacaktır.

A(0;2) ve B(3;3) puanlarını alıyoruz. Bunları bağlayalım ve fonksiyonun grafiğini elde edelim:

2 . Bir fonksiyon denkleminde katsayı, fonksiyon grafiğinin eğiminden sorumludur:

Başlık = "k>0">!}

Katsayı, grafiğin eksen boyunca kaydırılmasından sorumludur:

Başlık = "b>0">!}

Aşağıdaki şekil fonksiyonların grafiklerini göstermektedir; ;

Tüm bu fonksiyonlarda katsayıya dikkat edin. Sıfırın üstünde Sağ. Üstelik değer ne kadar yüksek olursa düz çizgi de o kadar dik gider.

Tüm fonksiyonlarda - ve tüm grafiklerin OY eksenini (0;3) noktasında kestiğini görüyoruz.

Şimdi fonksiyonların grafiklerine bakalım; ;

Bu sefer tüm fonksiyonlarda katsayı Sıfırdan daha az ve tüm fonksiyon grafikleri eğimlidir sol.

|k| ne kadar büyükse düz çizginin o kadar dik olduğuna dikkat edin. b katsayısı aynıdır, b=3 ve grafikler önceki durumda olduğu gibi OY eksenini (0;3) noktasında keser.

Fonksiyonların grafiklerine bakalım; ;

Artık tüm fonksiyon denklemlerindeki katsayılar eşittir. Ve üç paralel çizgimiz var.

Ancak b katsayıları farklıdır ve bu grafikler OY eksenini farklı noktalarda keser:

(b=3) fonksiyonunun grafiği OY eksenini (0;3) noktasında kesiyor

(b=0) fonksiyonunun grafiği OY eksenini (0;0) noktasında - başlangıç ​​noktasında kesmektedir.

(b=-2) fonksiyonunun grafiği OY eksenini (0;-2) noktasında kesiyor

Yani k ve b katsayılarının işaretlerini bilirsek, fonksiyonun grafiğinin nasıl göründüğünü hemen hayal edebiliriz.

Eğer k<0 и b>0 , o zaman fonksiyonun grafiği şöyle görünür:

Eğer k>0 ve b>0, o zaman fonksiyonun grafiği şöyle görünür:

Eğer k>0 ve b<0 , o zaman fonksiyonun grafiği şöyle görünür:

Eğer k<0 и b<0 , o zaman fonksiyonun grafiği şöyle görünür:

Eğer k=0, daha sonra fonksiyon bir fonksiyona dönüşür ve grafiği şöyle görünür:

Fonksiyonun grafiğindeki tüm noktaların koordinatları eşittir

Eğer b=0, o zaman fonksiyonun grafiği orijinden geçer:

Bu doğru orantılılık grafiği.

3. Denklemin grafiğini ayrı ayrı not etmek isterim. Bu denklemin grafiği, tüm noktaları apsisli olan eksene paralel düz bir çizgidir.

Örneğin denklemin grafiği şöyle görünür:

Dikkat! Denklem bir fonksiyon değildir, çünkü argümanın farklı değerleri, fonksiyonun karşılık gelmeyen aynı değerine karşılık gelir.

4 . İki doğrunun paralellik koşulu:

Bir fonksiyonun grafiği fonksiyonun grafiğine paralel, Eğer

5. İki düz çizginin diklik koşulu:

Bir fonksiyonun grafiği fonksiyonun grafiğine dik, eğer veya

6. Bir fonksiyonun grafiğinin koordinat eksenleriyle kesişme noktaları.

OY ekseni ile. OY eksenine ait herhangi bir noktanın apsisi sıfıra eşittir. Bu nedenle OY ekseniyle kesişme noktasını bulmak için fonksiyon denkleminde x yerine sıfır yazmanız gerekir. y=b'yi elde ederiz. Yani OY ekseni ile kesişme noktasının koordinatları (0; b)'dir.

OX ekseni ile: OX eksenine ait herhangi bir noktanın ordinatı sıfıra eşittir. Bu nedenle OX ekseniyle kesişme noktasını bulmak için fonksiyon denkleminde y yerine sıfır yazmanız gerekir. 0=kx+b elde ederiz. Buradan. Yani OX ekseni ile kesişme noktasının koordinatları (;0) vardır:

Sorunun çözümüne bakalım.

1. Fonksiyonun A(-3;2) noktasından geçtiği ve y=-4x düz çizgisine paralel olduğu biliniyorsa, fonksiyonun grafiğini oluşturun.

Fonksiyon denkleminin iki bilinmeyen parametresi vardır: k ve b. Bu nedenle problemin metni, fonksiyonun grafiğini karakterize eden iki koşulu içermelidir.

a) Fonksiyonun grafiğinin y=-4x doğrusuna paralel olmasından k=-4 sonucu çıkar. Yani fonksiyon denklemi şu şekildedir:

b) Sadece b'yi bulmamız gerekiyor. Fonksiyonun grafiğinin A(-3;2) noktasından geçtiği bilinmektedir. Bir nokta bir fonksiyonun grafiğine aitse, o zaman koordinatlarını fonksiyonun denkleminde değiştirdiğimizde doğru eşitliği elde ederiz:

dolayısıyla b=-10

Bu nedenle fonksiyonun grafiğini çizmemiz gerekiyor.

A(-3;2) noktasını biliyoruz, B(0;-10) noktasını alalım

Bu noktaları koordinat düzlemine yerleştirip düz bir çizgiyle birleştirelim:

2. A(1;1) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazın; B(2;4).

Bir doğru, verilen koordinatlara sahip noktalardan geçiyorsa, noktaların koordinatları doğrunun denklemini karşılar. Yani noktaların koordinatlarını bir doğru denkleminde yerine koyarsak doğru eşitliği elde ederiz.

Her noktanın koordinatlarını denklemde yerine koyalım ve bir doğrusal denklem sistemi elde edelim.

Birinciyi sistemin ikinci denkleminden çıkarın ve elde edin. Sistemin ilk denkleminde k değerini yerine koyalım ve b=-2 elde edelim.

Yani doğrunun denklemi.

3. Denklemin Grafiği

Bilinmeyen değerlerin hangi değerlerinde birkaç faktörün ürününün sıfıra eşit olduğunu bulmak için, her faktörü sıfıra eşitlemeniz ve dikkate almanız gerekir. her çarpan.

Bu denklemin ODZ üzerinde herhangi bir kısıtlaması yoktur. İkinci parantezi çarpanlara ayıralım ve her faktörü sıfıra eşitleyelim. Bir dizi denklem elde ederiz:

Kümenin tüm denklemlerinin grafiklerini tek bir koordinat düzleminde oluşturalım. Bu denklemin grafiği :

4. Doğruya dik olan ve M(-1;2) noktasından geçen fonksiyonun grafiğini oluşturun.

Grafik oluşturmayacağız, sadece doğrunun denklemini bulacağız.

a) Bir fonksiyonun grafiği bir doğruya dik olduğuna göre, dolayısıyla. Yani fonksiyon denklemi şu şekildedir:

b) Fonksiyonun grafiğinin M(-1;2) noktasından geçtiğini biliyoruz. Koordinatlarını fonksiyon denkleminde yerine koyalım. Şunu elde ederiz:

Buradan.

Bu nedenle fonksiyonumuz şuna benzer: .

5. Fonksiyonun Grafiği

Fonksiyon denkleminin sağ tarafındaki ifadeyi sadeleştirelim.

Önemli!İfadeyi basitleştirmeden önce ODZ'sini bulalım.

Bir kesrin paydası sıfır olamaz, dolayısıyla title="x1">, title="x-1">.!}

Daha sonra fonksiyonumuz şu şekli alır:

Title="delim(lbrace)(matrix(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1))))( )">!}

Yani, fonksiyonun bir grafiğini oluşturmamız ve üzerinde iki nokta kesmemiz gerekiyor: apsis x=1 ve x=-1 ile: