En basit trigonometrik denklemlerin çözümünün açıklanması. trigonometrik denklemler

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
Zaman zaman, size önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlarla da kullanabiliriz.
Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara açıklama

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

Gerekli olması durumunda - yasaya, yargı düzenine, yasal işlemlere ve / veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet organlarının kamuya açık taleplerine veya taleplerine dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı amaçları için gerekli veya uygun olduğunu belirlersek hakkınızdaki bilgileri ifşa edebiliriz.
Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefine aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinizi korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik uygulamalarını iletiriz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uygularız.

"A Alın" video kursu, matematik sınavını 60-65 puanla başarılı bir şekilde geçmek için gerekli tüm konuları içerir. Matematikte Profil KULLANIMI'nın 1-13 arasındaki tüm görevleri tamamlayın. Matematikte Temel KULLANIM'ı geçmek için de uygundur. Sınavı 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

10-11. sınıflar ve öğretmenler için sınava hazırlık kursu. Matematik sınavının 1. bölümünü (ilk 12 problem) ve problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazladır ve ne yüz puanlık bir öğrenci ne de bir hümanist onlarsız yapamaz.

Tüm gerekli teori. Sınavın hızlı çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Bankası görevlerinden 1. bölümün tüm ilgili görevleri analiz edilmiştir. Kurs, USE-2018 gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs, her biri 2,5 saat olan 5 büyük konu içerir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilir.

Yüzlerce sınav görevi. Metin problemleri ve olasılık teorisi. Basit ve hatırlaması kolay problem çözme algoritmaları. Geometri. Teori, referans materyal, her türlü KULLANIM görevinin analizi. Stereometri. Çözmek için kurnaz hileler, faydalı hile sayfaları, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan trigonometri - görev 13'e. Tıkanmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların görsel açıklaması. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Sınavın 2. bölümünün karmaşık problemlerini çözmek için temel.

Trigonometrik denklemler en kolay konu değildir. Acı verici bir şekilde çeşitlidirler.) Örneğin, bunlar:

sin2x + cos3x = ctg5x

günah(5x+π/4) = ctg(2x-π/3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Vb...

Ancak bu (ve diğer tüm) trigonometrik canavarların iki ortak ve zorunlu özelliği vardır. Birincisi - inanamayacaksınız - denklemlerde trigonometrik fonksiyonlar var.) İkincisi: x'li tüm ifadeler bu aynı işlevler içinde. Ve sadece orada! x bir yerde görünürse dıştan,Örneğin, sin2x + 3x = 3, bu karma tip bir denklem olacaktır. Bu tür denklemler bireysel bir yaklaşım gerektirir. Burada onları dikkate almayacağız.

Bu derste de şeytani denklemleri çözmeyeceğiz.) Burada ele alacağız. en basit trigonometrik denklemler. Niye ya? evet çünkü karar herhangi trigonometrik denklemler iki aşamadan oluşur. İlk aşamada şer denklemi çeşitli dönüşümlerle basite indirgenir. İkincisi - bu en basit denklem çözüldü. Başka yol yok.

Yani ikinci aşamada sorun yaşıyorsanız ilk aşama pek mantıklı gelmiyor.)

Temel trigonometrik denklemler neye benziyor?

günah = bir

cosx = bir

tgx = bir

ctgx = bir

Burada a herhangi bir sayıyı temsil eder. Herhangi.

Bu arada, fonksiyonun içinde saf bir x değil, bir tür ifade olabilir, örneğin:

cos(3x+π/3) = 1/2

vb. Bu hayatı zorlaştırır, ancak trigonometrik denklemi çözme yöntemini etkilemez.

Trigonometrik denklemler nasıl çözülür?

Trigonometrik denklemler iki şekilde çözülebilir. İlk yol: mantık ve trigonometrik daire kullanmak. Bu yolu burada keşfedeceğiz. İkinci yol - hafıza ve formüllerin kullanılması - bir sonraki derste ele alınacaktır.

İlk yol açık, güvenilir ve unutulması zor.) Trigonometrik denklemleri, eşitsizlikleri ve her türlü zor standart dışı örneği çözmek için iyidir. Mantık hafızadan daha güçlüdür!

Trigonometrik bir daire kullanarak denklemleri çözüyoruz.

Temel mantığı ve trigonometrik bir daire kullanma yeteneğini dahil ediyoruz. Yapamaz mısın!? Ancak... Trigonometride size zor gelecek...) Ama önemli değil. "Trigonometrik daire ...... Nedir?" derslerine bir göz atın. ve "Trigonometrik bir daire üzerinde açıları sayma." Orada her şey basit. Ders kitaplarının aksine...)

Ah, biliyor musun!? Ve hatta "Trigonometrik bir daire ile pratik çalışma" konusunda ustalaştı!? Tebrikleri kabul edin. Bu konu size yakın ve anlaşılır olacaktır.) Özellikle sevindirici olan şey, trigonometrik dairenin hangi denklemi çözdüğünüzü umursamamasıdır. Sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant - onun için her şey aynıdır. Çözüm prensibi aynıdır.

Yani herhangi bir temel trigonometrik denklemi alıyoruz. En azından bu:

cosx = 0,5

X'i bulmam gerek. İnsan dilinde konuşmak, ihtiyacınız olan kosinüsü 0,5 olan açıyı (x) bulun.

Daha önce çemberi nasıl kullanıyorduk? Üzerine bir köşe çektik. Derece veya radyan cinsinden. Ve derhal görülen bu açının trigonometrik fonksiyonları. Şimdi tersini yapalım. Çemberin üzerine 0,5'e eşit bir kosinüs çizin ve hemen göreceğiz enjeksiyon. Geriye sadece cevabı yazmak kalıyor.) Evet, evet!

Bir daire çiziyoruz ve kosinüsü 0,5'e eşit olarak işaretliyoruz. Tabii ki kosinüs ekseninde. Bunun gibi:

Şimdi bu kosinüsün bize verdiği açıyı çizelim. Farenizi resmin üzerine getirin (veya bir tablette resme dokunun) ve görmek bu aynı köşe X.

Hangi açının kosinüsü 0,5'tir?

x \u003d π / 3

çünkü 60°= çünkü( π/3) = 0,5

Bazıları şüpheyle homurdanacak, evet... Her şey ortadayken, çemberi çitle çevirmeye değdi mi derler... Elbette homurdanabilirsin...) Ama gerçek şu ki bu yanlış bir şey. Cevap. Daha doğrusu yetersiz. Çemberin uzmanları, hala 0,5'e eşit bir kosinüs veren bir sürü açı olduğunu anlıyorlar.

Hareketli tarafı OA'yı çevirirseniz tam bir dönüş için, A noktası orijinal konumuna geri dönecektir. Aynı kosinüs 0,5'e eşit. Şunlar. açı değişecek 360° veya 2π radyan ve kosinüs değildir. 60° + 360° = 420° yeni açı da denklemimizin bir çözümü olacaktır, çünkü

Böyle sonsuz sayıda tam dönüş var... Ve tüm bu yeni açılar trigonometrik denklemimizin çözümleri olacak. Ve hepsinin bir şekilde yazılması gerekiyor. Her şey. Aksi halde karar dikkate alınmaz, evet...)

Matematik bunu basit ve zarif bir şekilde yapabilir. Kısa bir cevapta, yazın sonsuz kümeçözümler. Denklemimiz için şöyle görünüyor:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

deşifre edeceğim. Hala yaz anlamlı bir şekilde bazı gizemli harfleri aptalca çizmekten daha güzel, değil mi?)

π/3 bizim açımızla aynı açı testereçember üzerinde ve tanımlanmış kosinüs tablosuna göre.

2π radyan cinsinden bir tam dönüştür.

n - bu, tamamlanmış sayıdır, yani. tüm devrimler. Açıktır ki n 0, ±1, ±2, ±3.... ve benzeri olabilir. Kısa girişte belirtildiği gibi:

n ∈ Z

n ait ( ∈ ) tamsayılar kümesine ( Z ). Bu arada, mektup yerine n harfler kullanılabilir k, m, t vb.

Bu gösterim, herhangi bir tamsayı alabileceğiniz anlamına gelir. n . En az -3, en az 0, en az +55. Ne istiyorsun. Bu numarayı cevap girişinize eklerseniz, zorlu denklemimizin çözümü olacağı kesin olan belirli bir açı elde edersiniz.)

Veya başka bir deyişle, x \u003d π / 3 sonsuz bir kümenin tek köküdür. Diğer tüm kökleri elde etmek için, π / 3'e herhangi bir sayıda tam dönüş eklemek yeterlidir ( n ) radyan cinsinden. Şunlar. 2πn radyan.

Her şey? Numara. Özellikle zevki uzatırım. Daha iyi hatırlamak için.) Denklemimize verilen cevapların sadece bir kısmını aldık. Çözümün bu ilk bölümünü aşağıdaki gibi yazacağım:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - tek bir kök değil, kısa biçimde yazılmış bir dizi köktür.

Ancak kosinüs değeri 0,5'e eşit olan başka açılar da vardır!

Cevabı yazdığımıza göre resmimize dönelim. İşte orada:

Fareyi görüntünün üzerine getirin ve görmek başka bir köşe ayrıca 0,5 kosinüs verir. Sizce neye eşittir? Üçgenler aynı... Evet! açıya eşittir x , sadece negatif yönde çizilir. bu köşe -X. Ama biz zaten x'i hesapladık. π/3 veya 60°. Bu nedenle, güvenle yazabiliriz:

x 2 \u003d - π / 3

Ve elbette, tam dönüşlerle elde edilen tüm açıları ekliyoruz:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Şimdi hepsi bu.) Trigonometrik bir daire içinde, biz testere(kim anlar elbette)) Tümü 0,5'e eşit bir kosinüs veren açılar. Ve bu açıları kısa bir matematiksel formda yazdılar. Cevap iki sonsuz kök dizisidir:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Bu doğru cevap.

Umut, trigonometrik denklemleri çözmek için genel prensip bir daire yardımıyla anlaşılabilir. Verilen denklemden kosinüsü (sinüs, tanjant, kotanjant) daire üzerinde işaretliyoruz, karşılık gelen açıları çiziyoruz ve cevabı yazıyoruz. Tabii bizim ne tür köşeler olduğumuzu anlamanız gerekiyor. testere daire üzerinde. Bazen o kadar açık değildir. Eh, dediğim gibi, burada mantık gereklidir.)

Örneğin, başka bir trigonometrik denklemi analiz edelim:

Lütfen denklemlerde 0,5 sayısının tek olası sayı olmadığını unutmayın!) Bunu yazmak benim için kökler ve kesirlerden daha uygun.

Genel prensibe göre çalışıyoruz. Bir daire çiziyoruz, işaretleyin (elbette sinüs ekseninde!) 0,5. Bu sinüse karşılık gelen tüm açıları bir kerede çiziyoruz. Bu resmi alıyoruz:

Önce açıyla ilgilenelim. x ilk çeyrekte. Sinüs tablosunu hatırlıyoruz ve bu açının değerini belirliyoruz. Konu basit:

x \u003d π / 6

Tüm dönüşleri hatırlıyoruz ve net bir vicdanla ilk cevap dizisini yazıyoruz:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

İşin yarısı yapılır. Şimdi tanımlamamız gerekiyor ikinci köşe... Bu kosinüslerden daha zor, evet ... Ama mantık bizi kurtaracak! İkinci açı nasıl belirlenir x aracılığıyla? Evet Kolay! Resimdeki üçgenler aynı ve kırmızı köşe x açıya eşit x . Sadece π açısından negatif yönde sayılır. Bu yüzden kırmızı.) Ve cevabımız için, pozitif yarım eksen OX'den doğru olarak ölçülen bir açıya ihtiyacımız var, yani. 0 derecelik bir açıyla.

İmleci resmin üzerine getirin ve her şeyi görün. Resmi karmaşıklaştırmamak için ilk köşeyi kaldırdım. Bizi ilgilendiren açı (yeşille çizilmiş) şuna eşit olacaktır:

π - x

x onu biliyoruz π /6 . Yani ikinci açı olacak:

π - π /6 = 5π /6

Yine, tam devirlerin eklenmesini hatırlıyoruz ve ikinci dizi cevapları yazıyoruz:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Bu kadar. Tam bir cevap iki dizi kökten oluşur:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tanjant ve kotanjantlı denklemler, trigonometrik denklemleri çözmek için aynı genel ilke kullanılarak kolayca çözülebilir. Tabii ki, trigonometrik bir daire üzerinde tanjant ve kotanjantı nasıl çizeceğinizi bilmiyorsanız.

Yukarıdaki örneklerde sinüs ve kosinüsün tablo değerini kullandım: 0,5. Şunlar. öğrencinin bildiği anlamlardan biri mutlak.Şimdi yeteneklerimizi genişletelim diğer tüm değerler. Karar verin, karar verin!)

Diyelim ki aşağıdaki trigonometrik denklemi çözmemiz gerekiyor:

Kısa tablolarda kosinüsün böyle bir değeri yoktur. Bu korkunç gerçeği soğukkanlılıkla görmezden geliyoruz. Bir daire çiziyoruz, kosinüs ekseninde 2/3'ü işaretliyoruz ve karşılık gelen açıları çiziyoruz. Bu resmi alıyoruz.

Yeni başlayanlar için ilk çeyrekte bir açıyla anlıyoruz. x'in neye eşit olduğunu bilmek için hemen cevabı yazarlardı! Bilmiyoruz... Başarısızlık!? Sakinlik! Matematik kendi başını belada bırakmaz! Bu durum için ark kosinüslerini icat etti. Bilmemek? Boşuna. Öğrenin. Düşündüğünüzden çok daha kolay. Bu bağlantıya göre, "ters trigonometrik fonksiyonlar" hakkında tek bir hileli büyü yoktur... Bu konuda gereksizdir.

Bilginiz varsa, kendinize "X, kosinüsü 2/3 olan bir açıdır" deyin. Ve hemen, tamamen arkkozin tanımına göre şunu yazabiliriz:

Ek devirleri hatırlıyoruz ve trigonometrik denklemimizin ilk kök dizisini sakince yazıyoruz:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

İkinci kök dizisi de ikinci açı için neredeyse otomatik olarak yazılır. Her şey aynı, sadece x (arccos 2/3) eksi ile olacak:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Ve her şey! Bu doğru cevap. Tablo değerlerinden bile daha kolay. Hiçbir şey hatırlamanıza gerek yok.) Bu arada, en dikkatli olanı, ark kosinüsünden geçen bu resmin çözümüyle fark edecektir. esasen cosx = 0,5 denklemi için resimden farklı değildir.

Aynen öyle! Bu konuda genel ilke ve genel! Özellikle hemen hemen aynı iki resim çizdim. Daire bize açıyı gösterir x kosinüsüne göre. Bu tablosal bir kosinüs veya değil - daire bilmiyor. Bu ne tür bir açı, π/3 veya ne tür bir ark kosinüsü olduğuna karar vermek bize kalmış.

Sinüs ile aynı şarkı indir. Örneğin:

Yine bir daire çiziyoruz, sinüsü 1/3 olarak işaretliyoruz, köşeleri çiziyoruz. Bu resim ortaya çıkıyor:

Ve yine resim denklemdekiyle hemen hemen aynı sinx = 0,5.İlk çeyreğe yine kornerden başlıyoruz. Sinüsü 1/3 ise x neye eşittir? Sorun yok!

Böylece ilk kök paketi hazır:

x 1 = arksin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

İkinci açıya bir göz atalım. 0,5 tablo değerine sahip örnekte, şuna eşitti:

π - x

Yani burada tamamen aynı olacak! Sadece x farklıdır, arcsin 1/3. Ne olmuş!? İkinci kök paketini güvenle yazabilirsiniz:

x 2 = π - arksin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Bu tamamen doğru bir cevap. Çok tanıdık gelmese de. Ama anlaşılmıştır umarım.)

Trigonometrik denklemler bir daire kullanılarak bu şekilde çözülür. Bu yol açık ve anlaşılırdır. Belirli bir aralıkta, trigonometrik eşitsizliklerde köklerin seçimi ile trigonometrik denklemlerde tasarruf eden kişidir - genellikle neredeyse her zaman bir daire içinde çözülürler. Kısacası, standart olanlardan biraz daha karmaşık olan herhangi bir görevde.

Bilgiyi uygulamaya koymak mı?

Trigonometrik denklemleri çözün:

İlk başta, doğrudan bu derste daha basittir.

Şimdi daha zor.

İpucu: burada daire hakkında düşünmeniz gerekiyor. Şahsen.)

Ve şimdi görünüşte iddiasız ... Bunlara özel durumlar da denir.

günah = 0

günah = 1

cosx = 0

cosx = -1

İpucu: burada iki dizi cevabın olduğu ve nerede olduğu bir daire içinde bulmanız gerekiyor ... Ve iki dizi cevap yerine bir tane nasıl yazılacağını. Evet, böylece sonsuz sayıdan tek bir kök kaybolmaz!)

Eh, oldukça basit):

günah = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

İpucu: burada arksinüs, arkkozin nedir bilmeniz gerekiyor? Ark tanjantı, ark tanjantı nedir? En basit tanımlar. Ancak herhangi bir tablo değerini hatırlamanıza gerek yok!)

Cevaplar, elbette, kargaşa içinde):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Her şey yolunda gitmiyor mu? Olur. Dersi tekrar okuyun. Bir tek düşünceli(O kadar eski bir kelime var ki...) Ve linkleri takip edin. Ana bağlantılar daire ile ilgilidir. Onsuz, trigonometride - gözü kapalı yoldan nasıl geçilir. Bazen işe yarar.)

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenme - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

En basit trigonometrik denklemlerin çözümü.

Herhangi bir karmaşıklık seviyesindeki trigonometrik denklemlerin çözümü, nihayetinde en basit trigonometrik denklemleri çözmeye gelir. Ve bunda, trigonometrik dairenin yine en iyi yardımcı olduğu ortaya çıkıyor.

Kosinüs ve sinüs tanımlarını hatırlayın.

Bir açının kosinüsü, belirli bir açıyla dönmeye karşılık gelen birim çember üzerindeki bir noktanın apsisidir (yani eksen boyunca koordinat).

Bir açının sinüsü, belirli bir açıyla dönmeye karşılık gelen birim çember üzerindeki bir noktanın ordinatıdır (yani eksen boyunca koordinat).

Trigonometrik daire boyunca pozitif hareket yönü, saat yönünün tersine hareket olarak kabul edilir. 0 derecelik (veya 0 radyan) bir dönüş, (1; 0) koordinatlarına sahip bir noktaya karşılık gelir.

Bu tanımları en basit trigonometrik denklemleri çözmek için kullanırız.

1. Denklemi çözün

Bu denklem, ordinatı eşit olan dairenin noktalarına karşılık gelen dönme açısının tüm değerleri ile karşılanır.

Y ekseninde ordinatlı bir noktayı işaretleyelim:

Daire ile kesişene kadar x eksenine paralel yatay bir çizgi çizin. Bir daire üzerinde uzanan ve bir ordinatı olan iki nokta elde edeceğiz. Bu noktalar, ve radyanların dönüş açılarına karşılık gelir:

Radyan başına dönme açısına karşılık gelen noktadan ayrıldıktan sonra tam bir daire etrafında dönersek, radyan başına dönme açısına karşılık gelen ve aynı ordinata sahip bir noktaya geleceğiz. Yani bu dönme açısı da denklemimizi sağlıyor. Aynı noktaya dönerek istediğimiz kadar "boşta" dönüş yapabiliriz ve tüm bu açı değerleri denklemimizi tatmin edecektir. "Boş" devir sayısı harf (veya) ile gösterilir. Bu dönüşleri hem pozitif hem de negatif yönde yapabildiğimiz için (veya ) herhangi bir tamsayı değeri alabilir.

Yani, orijinal denklemin ilk çözüm serisi şu şekildedir:

, , - tam sayılar kümesi (1)

Benzer şekilde, ikinci çözüm serisi şu şekildedir:

, nerede , . (2)

Tahmin ettiğiniz gibi, bu çözüm serisi, dairenin dönme açısına karşılık gelen noktasına dayanmaktadır.

Bu iki çözüm serisi tek bir girişte birleştirilebilir:

Bu girişi alırsak (yani, hatta), o zaman ilk çözüm serisini elde ederiz.

Bu girişi alırsak (yani, tek), o zaman ikinci çözüm serisini elde ederiz.

2. Şimdi denklemi çözelim

Açı döndürülerek birim çemberin noktasının apsisi elde edildiğinden, eksen üzerinde apsis ile bir nokta işaretliyoruz:

Daireyle kesişene kadar eksene paralel dikey bir çizgi çizin. Bir daire üzerinde uzanan ve apsisi olan iki nokta elde edeceğiz. Bu noktalar ve radyanların dönüş açılarına karşılık gelir. Saat yönünde hareket ederken negatif bir dönüş açısı elde ettiğimizi hatırlayın:

İki dizi çözüm yazıyoruz:

(Ana tam daireden geçerek doğru noktaya geliyoruz yani.

Bu iki diziyi tek bir gönderide birleştirelim:

3. Denklemi çözün

Teğet çizgisi, OY eksenine paralel birim çemberin koordinatları (1,0) olan noktadan geçer.

Üzerinde bir ordinatı 1'e eşit olan bir noktayı işaretleyin (açıların 1 olduğu tanjantını arıyoruz):

Bu noktayı düz bir çizgi ile orijine bağlayın ve doğrunun birim çemberle kesişme noktalarını işaretleyin. Doğrunun ve dairenin kesişme noktaları ve üzerindeki dönüş açılarına karşılık gelir:

Denklemimizi sağlayan dönüş açılarına karşılık gelen noktalar radyan uzaklıkta olduğundan çözümü şu şekilde yazabiliriz:

4. Denklemi çözün

Kotanjant doğrusu, birim çemberin koordinatları eksene paralel olan noktadan geçer.

Kotanjant çizgisinde apsis -1 ile bir noktayı işaretliyoruz:

Bu noktayı düz çizginin başlangıcına bağlayın ve daire ile kesişene kadar devam edin. Bu çizgi, daireyi ve radyanların dönüş açılarına karşılık gelen noktalarda kesecektir:

Bu noktalar birbirinden kadar uzak olduğu için bu denklemin genel çözümünü şu şekilde yazabiliriz:

Verilen örneklerde en basit trigonometrik denklemlerin çözümünü gösteren trigonometrik fonksiyonların tablo değerleri kullanılmıştır.

Ancak, denklemin sağ tarafında tablo dışı bir değer varsa, o zaman denklemin genel çözümündeki değeri yerine koyarız:

ÖZEL ÇÖZÜMLER:

Ordinatı 0 olan daire üzerindeki noktaları işaretleyin:

Daire üzerinde, ordinatı 1'e eşit olan tek bir noktayı işaretleyin:

Ordinatı -1'e eşit olan daire üzerinde tek bir nokta işaretleyin:

Sıfıra en yakın değerleri belirtmek adetten olduğu için çözümü şu şekilde yazıyoruz:

Apsisi 0 olan daire üzerindeki noktaları işaretleyin:

5.
Apsisi 1'e eşit olan daire üzerinde tek bir noktayı işaretleyelim:

Apsisi -1'e eşit olan daire üzerinde tek bir nokta işaretleyin:

Ve daha karmaşık örnekler:

Argüman ise sinüs birdir

Sinüsümüzün argümanı , yani şunu elde ederiz:

Denklemin her iki tarafını da 3'e bölün:

Yanıt vermek:

Kosinüs bağımsız değişkeni ise, kosinüs sıfırdır.

Kosinüsümüzün argümanı , yani şunu elde ederiz:

Bunu ifade ediyoruz, bunun için önce ters işaretle sağa hareket ediyoruz:

Sağ tarafı basitleştirin:

Her iki parçayı da -2'ye bölün:

Terimden önceki işaretin değişmediğine dikkat edin, çünkü k herhangi bir tamsayı değeri alabilir.

Yanıt vermek:

Ve sonuç olarak, "Trigonometrik bir daire kullanarak trigonometrik bir denklemde köklerin seçimi" video eğitimini izleyin.

Bu, en basit trigonometrik denklemleri çözme konusundaki konuşmayı sonlandırıyor. Bir dahaki sefere nasıl çözüleceği hakkında konuşacağız.

Temel trigonometri formülleri hakkında bilgi gerektirir - sinüs ve kosinüsün karelerinin toplamı, teğetin sinüs ve kosinüs yoluyla ifadesi ve diğerleri. Unutanlar veya tanımayanlar için "" makalesini okumanızı öneririz.
Yani, temel trigonometrik formülleri biliyoruz, onları uygulamaya koyma zamanı. trigonometrik denklemleri çözme Doğru yaklaşımla, örneğin bir Rubik küpünü çözmek gibi oldukça heyecan verici bir aktivitedir.

Adından yola çıkarak, bir trigonometrik denklemin, bilinmeyenin bir trigonometrik fonksiyonun işareti altında olduğu bir denklem olduğu açıktır.
Sözde basit trigonometrik denklemler vardır. Şuna benziyorlar: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Düşünmek, böyle trigonometrik denklemler nasıl çözülür, netlik için zaten tanıdık trigonometrik daireyi kullanacağız.

günah = bir

çünkü x = bir

tan x = bir

karyola x = bir

Herhangi bir trigonometrik denklem iki aşamada çözülür: denklemi en basit forma getiriyoruz ve sonra onu en basit trigonometrik denklem olarak çözüyoruz.
Trigonometrik denklemlerin çözüldüğü 7 ana yöntem vardır.

Değişken ikame ve ikame yöntemi

2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0 denklemini çözün

İndirgeme formüllerini kullanarak şunları elde ederiz:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Basitlik için cos(x + /6)'yı y ile değiştirelim ve normal ikinci dereceden denklemi elde edelim:

2y 2 – 3y + 1 + 0

y 1 = 1, y 2 = 1/2 olan kökleri

Şimdi geriye gidelim

Bulunan y değerlerini yerine koyarız ve iki cevap alırız:

Trigonometrik denklemleri çarpanlara ayırma yoluyla çözme

sin x + cos x = 1 denklemi nasıl çözülür?

0 sağda kalacak şekilde her şeyi sola kaydıralım:

günah x + cos x - 1 = 0

Denklemi basitleştirmek için yukarıdaki kimlikleri kullanıyoruz:

günah x - 2 günah 2 (x/2) = 0

Çarpanlara ayırmayı yapalım:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 günah 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

iki denklem elde ederiz

Homojen bir denkleme indirgeme

Bir denklem, sinüs ve kosinüs açısından tüm terimleri aynı derecede aynı açıdaysa, sinüs ve kosinüs açısından homojendir. Homojen bir denklemi çözmek için aşağıdakileri yapın:

a) tüm üyelerini sol tarafa aktarın;

b) tüm ortak çarpanları parantez dışında bırakın;

c) tüm faktörleri ve parantezleri 0'a eşitleyin;

d) parantez içinde, daha düşük derecede homojen bir denklem elde edilir, bu da sırayla bir sinüs veya kosinüs ile daha yüksek bir dereceye bölünür;

e) tg için elde edilen denklemi çözün.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 denklemini çözün

sin 2 x + cos 2 x = 1 formülünü kullanalım ve sağdaki açık ikiden kurtulalım:

3sin 2 x + 4 günah x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

günah 2 x + 4 günah x cos x + 3 cos 2 x = 0

cosx'e bölün:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tg x'i y ile değiştiririz ve ikinci dereceden bir denklem elde ederiz:

kökleri y 1 =1, y 2 = 3 olan y 2 + 4y +3 = 0

Buradan orijinal denkleme iki çözüm buluyoruz:

x 2 \u003d yay 3 + k

Yarım açıya geçiş yoluyla denklemleri çözme

3sin x - 5cos x = 7 denklemini çözün

x/2'ye geçelim:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Her şeyi sola kaydırmak:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2) ile böl:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

Yardımcı açının tanıtılması

Dikkate almak için şu formun bir denklemini alalım: a sin x + b cos x \u003d c,

burada a, b, c bazı keyfi katsayılardır ve x bir bilinmeyendir.

Denklemin her iki tarafını da şuna bölün:

Şimdi trigonometrik formüllere göre denklemin katsayıları sin ve cos özelliklerine sahiptir, yani: modülleri 1'den fazla değildir ve karelerin toplamı = 1'dir. Bunları sırasıyla cos ve sin olarak gösterelim, nerede yardımcı açı denir. O zaman denklem şu şekli alacaktır:

çünkü * günah x + günah * çünkü x \u003d C

veya günah(x + ) = C

Bu basit trigonometrik denklemin çözümü

x \u003d (-1) k * yaylarC - + k, nerede

Cos ve sin tanımlarının birbirinin yerine kullanılabildiğine dikkat edilmelidir.

sin 3x - cos 3x = 1 denklemini çözün

Bu denklemde katsayılar:

a \u003d, b \u003d -1, bu yüzden her iki parçayı da \u003d 2'ye bölüyoruz